7/23/2019 Flusso e Circuitazione

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NOTE SUL Flusso di un Campo vettoriale attraverso una superficie (piana o

chiusa) e sulla Circuitazione di un Campo vettoriale lungo una linea chiusa.

NOTA 1: da estendere la definizione tramite lutilizzo degli integrali

NOTA 2: da integrare nel caso di campi elettrici e magnetici variabili (equazioni di Maxwell)

DEFINIZIONE DI FLUSSO DI UN VETTORE ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE

Il flusso di un vettore attraverso una superficie piana di area S unoperazione matematicadata dal prodotto scalare del vettore con il vettore = , dove il versore normale allasuperficie, ovvero il vettore di modulo unitario, perpendicolare alla superficie stessa e diretto fuori

dalla pagina che si considera (regola mano destra per orientare il bordo o frontiera della

superficie).

In formule:

S() = = dove langolo compreso tra ed (Fig.1)

Per calcolare il flusso attraverso una superficie non piana si divide la superficie in elementi tanto piccoli (vedi nota 1) da poter essere considerati piani e si sommano tutti i singoli flussi

() (vedi testo figura 31 pagina 140).In particolare il flusso del vettore attraverso la superficie direttamente proporzionale alnumero delle linee di forza che attraversano la superficie.

In particolare:

1) per il campo elettrico:

Se la superficie chiusa vale il teorema di Gauss: =

: il flusso del vettore

attraverso una superficie chiusa non dipende dalla superficie, ma uguale alla somma algebrica(cio con segno!)

=1 delle cariche interne alla superficie chiusa e inversamente

proporzionale alla costante dielettrica del mezzo.

2) per il campo magnetico:

Il flusso del vettore attraverso una superficie chiusa sempre nullo (testo pagina 282).

Da queste relazioni si deduce che le linee di forza di sono linee aperte, cio hanno sorgenti

(cariche positive) e pozzi (cariche negative), mentre le linee di forza di sono linee chiuse (testo

pagina 282).

Per il campo elettrico si deduce anche la legge dellinverso del quadrato della distanza ( legge di

Coulomb).

DEFINIZIONE DI CIRCUITAZIONE DI UN VETTORE LUNGO UNA LINEA CHIUSA

Sia un campo vettoriale e una linea chiusa (orientata). Si suddivide il percorso in porzioni

abbastanza piccole (vedi nota 1) da essere considerate segmenti orientati (vettori) e si calcolaper ciascun elemento di linea il prodotto scalare , dove rappresenta il campo presentenel tratto .

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Si definisce circuitazione del campo vettoriale lungo il percorso chiusoe si indica con (),la somma

=1 (Fig.2), ovvero

() = ( )=1

In particolare se il campo conservativo la circuitazione nulla lungo qualsiasi linea chiusa.

Nel caso del campo elettrostatico , conservativo, la circuitazione lungo qualunque percorsochiuso sempre nulla, = 0(testo pagina 169).

Nel caso del vettore , campo magnetico, la circuitazione calcolata lungo una linea chiusa uguale a , dove rappresenta la risultante delle correnti concatenate alla linea chiusa, ovvero

= (teorema della circuitazione di Ampere, pagina 283 del libro di testo).

Fig.1

Fig. 2