DINAMICADINAMICA

NON VISCOSO

INCOMPRIMIBILEProprietà del fluido

STAZIONARIO

IRROTAZIONALE

Proprietà del moto

del fluido

FLUIDO FLUIDO

PERFETTOPERFETTO

2211 xAxA ∆=∆

Equazione di Equazione di

continuitcontinuitàà

tvAtvA 2211 ∆=∆

cost. portatavAvA 2211 ==== Q

Linee di flussoLinee di flusso

Tubo di flussoTubo di flusso

21 VV ====2∆x

2A

1V

2v1∆x

1v

2V

1A

Teorema di BernoulliTeorema di Bernoulli

cinEL ∆=→21

Forze di pressione,

forza peso

2

1

2

2212211 mv2

1mv

2

1mgymgy∆xF∆xF −=−+−

2

1

2

221222111 mv2

1mv

2

1mgymgy∆xAP∆xAP −=−+−

2

1

2

22121 ρVv2

1ρVv

2

1ρVgyρVgyVPVP −=−+−

Si applica al moto stazionario di un fluido perfetto

2

1

2

22121 v2

1v

2

1gygyPP ρρρρ −−−−====−−−−++++−−−−

2

222

2

111 v2

1gyPv

2

1gyP ρρρρ ++++++++====++++++++

cost.ρv2

1ρgyP 2 =++

Teorema di BernoulliTeorema di Bernoulli

cost.2g

v

ρg

Py

2

=++

2

1

2

22121ρVv

2

1ρVv

2

1ρVgyρVgyVPVP −=−+−

cost.ρv2

1ρgyP 2 =++

21 yy =

21 AA >>>>

)vρ(v2

1PP ρv

2

1Pρv

2

1P 2

1

2

221

2

22

2

11 −=−+=+

21 vv <<<<21 PP >>>>

Aneurisma, stenosi:

2y111 P,v,A 222 P,v,A

1y

Applicazione: Tubo di Venturi

2

1

2

2

2

2

2

11211

AA

AA

ρ

PP2vAQ

−

−==

Portata nel tubo di Venturi

2211 vAvAQ ==2

112

A

Avv =

2

2

2

12

12

2

11A

Aρv

2

1Pρv

2

1P +=+

Dal teorema di Bernoulli:

122

2

2

12

1 P-PA

A1ρv

2

1=

−

( )2

1

2

2

2

212

2

1AA

AP-Pρv

2

1

−=

2y111 P,v,A 222 P,v,A

1y

Il volo

Dal teorema di Bernoulli:

cost.ρv2

1ρgyP 2 =++

ba yy =

Dall’equazione di continuità:

ba vv >

ab PP >

Portanza: )P-P(AF abL =

va,pa

vb, Pb

va, Pa

TEOREMA DI TORRICELLI

h

0y2 ====

hy1 ====0v1 ≅

2v

01 PP ====

02 PP ====

2g

v

ρg

P

ρg

Ph

2

200 +=+ gh2v2 ====

2m

sN

VISCOSITAVISCOSITA’’

Coefficiente Coefficiente

didi

viscositviscositàà Av

Fd

dv

AF

η ==22 m

Ns0.1poise

cm

s dine =≡

tvx ∆∆∆∆∆∆∆∆ =

d

vF

Regime di moto laminare

d

vηAF =Formula di Newton

Fluido T (ºC)Viscosità

ηηηη (Ns/m2)

Viscosità

mP

Acqua 100 0.3x10-3 3

Acqua 20 1.0x10-3 10

Sangue 37 2.7x10-3 27

Olio per

motore30 250x10-3 2500

Glicerina 20 830x10-3 8300

ViscositViscositàà

Per i liquidi, η diminuisce rapidamente al crescere della temperatura.

Per quasi tutti i liquidi (l’acqua è un’eccezione), η aumenta al crescere della pressione.

Legge di PoiseuilleLegge di Poiseuille

r

l

1P 2P

( )21

4

8PP

l

rQ −=

η

π

vr

12 PP <<<<

La portata di un liquido viscoso in un condotto La portata di un liquido viscoso in un condotto

orizzontale di lunghezza l e raggio r orizzontale di lunghezza l e raggio r èè proporzionaleproporzionale

alla differenza di pressione agli estremialla differenza di pressione agli estremi

Moto turbolentoMoto turbolento

R R èè il numero di Reynoldsil numero di Reynolds

R R ≅≅≅≅≅≅≅≅ 1200 per condotti di1200 per condotti di

forma regolareforma regolare

fluido del densità ρ ≡

condotto del raggio r ≡

fluido del viscositàη ≡

Acqua a 20°C:r

/sm 0.0012

r

1

1000

1011200v

23

c =×××

=−

Gomiti o strozzature nel condotto R < 1200

Il passaggio dal moto laminare a quello Il passaggio dal moto laminare a quello

turbolento avviene quando il liquido turbolento avviene quando il liquido

raggiunge una raggiunge una velocitvelocitàà critica vcritica vcc

ρr

Rηvc =

Regime laminareRegime laminare

r

l

1P 2Pvr

12 PP <<<<

Regime turbolentoRegime turbolento

r

l

1P 2P

12 PP <<<<

( )21

4

8PP

l

rQ −=

η

π

Formula di Poiseuille La portata è minore di quella

prevista dalla formula di Poiseuille

(la resistenza del condotto

R = ∆P/Q è maggiore)

0

20

40

60

80

100

120

VeneCapillariArterioleArterie

Pre

ssio

ne (

mm

di H

g)

Soggetto in

posizione orizzontale

Circolazione sanguigna

AORTAVENA CAVA

SISTEMA VENOSO ARTERIOLE ARTERIE

ARTERIA POLMONARE

L = F l = pSl = pV L’ = p’V

L + L’ = (p + p’)V =

= (100 + 25)mmHg × 105 Pa/760mmHg × 0.005m3 = 82J (in un minuto)

P = 82J/60s = 1.4W potenza media (stimata)

FV

S

l

FV

S

Potenza cardiacaPotenza cardiaca

AORTAVENA CAVA

SISTEMA VENOSO ARTERIOLE ARTERIE

ARTERIA POLMONARE

Resistenza di un condotto:

Q

∆PR =

Moto laminareMoto laminare

( )21

4

8PP

l

rQ −=

η

π

Formula di Poiseuille

4

8

r

lR

π

η=

1R2R

Condotti in serieCondotti in serie

321T R

1

R

1

R

1

R

1++=

Condotti in paralleloCondotti in parallelo

1R

2R

3R

QR∆P T=

QRQR∆P∆P∆P 2121 +=+=

21T RRR +=

321 QQQQ ++=

∆P

)QQ(Q

∆P

Q

R

1 321

T

++==

...R

1

R

1

R

1

R

1

321s.a.

+++= R1≅ R2≅ R3… ≅ Raa

as.a.

a

a

s.a. N

RR

R

N

R

1==

c

cs.c.

N

RR =Analogamente: Sebbene Rc > Ra, Rs.c. < Rs.a. poiché Nc >> Na