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Fisica per MedicinaLezione 24 - Onde ed ottica

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

11 dicembre 2017

Indice

OndeEnergia di un’ondaSuoni e percezioneInterferenza e diffrazioneOnde elettromagneticheOttica

2/34 FISICA PER MEDICINA Lezione 24 - Onde ed ottica – Dr. Cristiano Fontana – 11 dicembre 2017

Propagazione di un’onda sinusoidale II

In generale la velocità di propagazione di un’onda dipende solamentedal mezzo in cui si propaga. La dipendenza dalla frequenza dell’ondaè generalmente piccola.Vediamo alcuni esempi:

c ≈ 3 · 108 m/s Velocità della luce nel vuoto (1)a ≈ 340 m/s Velocità del suono in aria (2)al ≈ 1480 m/s Velocità del suono in acqua (3)v ≈ 800 km/h = 222 m/s Velocità di Tsunami nell’oceano (4)


Ampiezza di un’onda

Abbiamo detto che in generale l’energia è proporzionale al quadratodell’ampiezza, ma qual è l’ampiezza di un’onda? È il termine dellaformula che non dipende dal tempo. Vediamo alcuni esempi in cuisono evidenziate le ampiezze:

u(t , x) = A︸︷︷︸Ampiezza

sin (ωt − kx) Onda generica (5)

u(t , x) = 2A cos (kx)︸︷︷︸Ampiezza

sin (ωt) Onda stazionaria (6)

u(t , x) = 2A cos(

kd sin θ

2

)︸︷︷︸

Ampiezza

sin (ωt − kr) Interferenza (7)

u(t , x) = 2Asin

( kd sin θ2

)kd sin θ

2︸︷︷︸Ampiezza

sin (ωt − kr) Diffrazione (8)


Flusso di energiaSe prendiamo una porzione di spazio ∆x attraversata da un’onda,l’energia trasportata è

∆E =dEdx

∆x (9)

la quantità di energia che fluisce nel tempo ∆t che impiega apercorrere ∆x è

Φ =∆E∆t

=dEdx

∆x∆t

=dEdx

c (10)

ove c è la velocità di propagazione dell’onda.E.g. Nel caso dell’onda elastica si ha

dE =12ω2A2ρdx Φ =

dEdx

c =12ω2A2ρdx

dxc =

12

cω2A2ρ (11)

per aumentare quindi il flusso si può aumentare l’ampiezza dell’onda Aoppure la pulsazione ω.


Intensità di un’onda

L’intensità di un’onda tridimensionale è definita come il rapporto tral’energia trasportata nell’unità di tempo e l’unità di superficie S cheessa attraversa, ovvero il flusso dell’energia attraverso la superficie

I =Φ

S. (12)

Ricordando che in generale l’energia di un’onda è proporzionale alquadrato dell’ampiezza, anche l’intensità stessa lo sarà:

E ∝ A2 ⇒ I ∝ A2 (13)

L’unità di misura è

[I] =[E ]

[t ][S]=

Wm2 (14)


Intensità e distanza I

S

ds

r ⃗

Calcoliamo la potenza totale emessa da unasorgente di un’onda sferica, a potenza costante.Su una superficie sferica S di raggio R, centratasulla sorgente, è l’integrale dell’intensità sullasuperficie stessa

P0 =

∫S

I(R)ds = I(R)

∫S

ds︸︷︷︸Superficie

= I(R)4πR2

(15)

ove abbiamo portato I(R) fuori dall’integraleperché è costante su S perché è sferica. Quindiotteniamo

I(R) =P0

4πR2 (16)


Intensità e distanza II

S

ds

r ⃗

L’intensità è quindi inversamente proporzionale alquadrato della distanza

I(r) =P0

4πr2 =I0r2 ove I0 =

P0

4π(17)

I0 rappresenta l’intensità della sorgente dell’onda.Calcoliamo la potenza che riceve una genericasuperficie Σ

P =

∫Σ

I(r)ds =P0

4π

∫Σ

dsr2 (18)


Percezione uditiva

Livello del dolore

Inte

nsi

tà s

onora

[dB

]

Frequenza [Hz]

Parlata umana

Musica

Suoni percepibili

Figura: Percezione uditiva [wiki]

L’orecchio umano riesce apercepire suoni con intervalli diintensità e frequenze molto ampi.Vi è una forte relazione tra le duegrandezze, ovvero la gamma diintensità udibili dipende dallafrequenza del suono.

20 Hz . νperc. . 20 kHz (19)

1 · 10−12 W/m2 . Iperc. . 10 W/m2 (20)


Scala dei decibel I

Vista l’ampia gamma di intensità sonore percepibili si utilizzacomunemente la scala decibel:

β = 10 dB · log10

(II0

)(21)

ove I0 è un’intensità di riferimento pari a

I0 = 1 · 10−12 Wm2 (22)

Notiamo che un aumento di 10 dB nell’intensità del suono, corrispondead un aumento di 10 volte dell’intensità dell’onda.


https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Powierzchnia_slyszalnosci.svg

Scala dei decibel II

Vediamo alcuni esempi

βmin = 10 dB · log10

(I0I0

)= 10 dB · log10 (1) = 0 dB (23)

βdolore = 10 dB · log10

(Idolore

I0

)= 10 dB · log10

(10 W/m2

1 · 10−12 W/m2

)(24)

= 10 dB · log10(1 · 1013) = 130 dB (25)

βzanzara = 10 dB · log10

(1 · 10−8 W/m2

I0

)= 40 dB (26)

βvoce = 10 dB · log10

(1 · 10−6 W/m2

I0

)= 60 dB (27)

βtraffico = 10 dB · log10

(1 · 10−4 W/m2

I0

)= 80 dB (28)


Attenuazione del suono

101 102 103 104 105 106

Frequency/pressure [Hz/atm]

10 4

10 3

10 2

10 1

100

101

102

103

104

Abso

rptio

n co

effic

ient

/pre

ssur

e [d

B/10

0m.a

tm]

Rel. hum.0 %30 %60 %100 %

Figura: Attenuazione del suono in ariaa diversi valori di umidità relativa [wiki]

Sperimentalmente si vede chel’ampiezza di un suono cheattraversa un mezzo è attenuatasecondo la legge:

dAdx

= −µA (29)

integrando otteniamo:

A(x) = A0 e−µx (30)

ricordando che I ∝ A2 si ottieneuna legge simile per l’intensità

I(x) = I0 e−2µx (31)

ovvero in un mezzo si haun’attenuazione esponenziale.


https://en.wikibooks.org/wiki/Engineering_Acoustics/Outdoor_Sound_Propagation

Principio di Huygens-Fresnel

Sorgentisecondarie

Principio di Huygens-FresnelOgni punto del fronte di un’onda può essereconsiderato una sorgente secondaria di ondesferiche secondarie. La velocità e la lunghezzad’onda sono le stesse dell’onda primaria.Il fronte d’onda in un tempo successivo ètangente a tutti i fronti d’onda secondari.


Interferenza ISommiamo due onde uguali ma sfasate di ϕ una dall’alta

u(t , x) = u1(t , x) + u2(t , x + ϕ) (32)= A sin(ωt − kx) + A sin(ωt − kx + kϕ) (33)

usando le formule di prostaferesi si ottiene

u(t , x) =2A cos(ωt − kx − ωt + kx − kϕ

2

)·

· sin(ωt − kx + ωt − kx + kϕ

2

)(34)

=2A cos(

kϕ2

)· sin

(ωt − kx +

kϕ2

)(35)

questa è un’onda con ampiezza 2A cos(

kϕ2

)quindi l’intensità

I ∝ 4A2 cos2(

kϕ2

)(36)


Interferenza II

Per semplicità diciamo che

I = I0 cos2(

kϕ2

)(37)

A seconda del valore dello sfasamento kϕ si può avere interferenzacostruttiva o distruttiva:

kϕ = 0 ⇒ u(t , x) = 2A sin (ωt − kx) Costruttiva (38)kϕ = π ⇒ u(t , x) = 0 Distruttiva (39)

La percezione dell’onda dipende dall’intensità quindi

kϕ = 0 ⇒ I = I0 Costruttiva (40)kϕ = π ⇒ I = 0 Distruttiva (41)

Se l’interferenza è distruttiva quindi l’onda non trasporta energia e siha un punto “buio” (per la luce) o “muto” (per il suono).


Interferenza III

Schermo

D

d

r1 r2θ

PDato un sistema con duesorgenti puntiformi ed unoschermo, si può osservare ilfenomeno dell’interferenza trale onde emesse. d

r1 r2θ

θ

La distanza tra le sorgenti deve esseretrascurabile rispetto la distanza con lo schermo

d � D (42)

Un punto P sullo schermo vede le sorgenti adistanza r1 e r2. L’onda, percorrendo percorsidiversi alla stessa velocità, arriva con unosfasamento dovuto alla differenza tra i cammini

∆r = r2−r1 = d sin θ & r =r1 + r2

2(43)


Interferenza IV

Vediamo la sovrapposizione tra le due onde sul punto P

u(t ,P) =A0 sin (ωt − kr1) + A0 sin (ωt − kr2) (44)

=2A0 cos(ωt − kr1 − ωt + kr2

2

)· sin

(ωt − kr1 + ωt − kr2

2

)(45)

=2A0 cos(−k

r2 − r1

2

)· sin

(ωt − k

r1 + r2

2

)(46)

=2A0 cos(−k

r2 − r1

2

)· sin (ωt − kr) (47)

=2A0 cos(

kd sin θ

2

)︸︷︷︸

Ampiezza

· sin (ωt − kr) (48)


Interferenza V

Data l’ampiezza

A = 2A0 cos(

kd sin θ

2

)(49)

Passiamo all’intensità

I = I0 cos2(

kd sin θ

2

)(50)

La condizione di interferenza costruttiva diventa

kd sin θ

2= nπ ⇒ sin θ =

nλd

(51)

mentre per l’interferenza distruttiva

kd sin θ

2=

π

2+ nπ ⇒ sin θ =

λ

2d(1 + 2n) (52)


Diffrazione I

Ondaincidente

Ondauscente

In realtà anche una singola sorgente estesa,come una fenditura, può fare interferenza con séstessa. Possiamo vederlo applicando il principiodi Huygens. Ricordiamo il caso dell’interferenzadi due sorgenti

u2(t ,P) =2A cos(

kd sin θ

2

)· sin (ωt − kr) (53)

e ricordiamo che ognuna delle sorgentinesecondarie sta emettendo onde cheinterferiscono le une dalle altre. Prendiamo comeriferimento uno dei bordi e sommiamo i contributidi tutte le altre sorgentine.


Diffrazione II

Schermo

D

d

r1 r2θ

P

x ⃗

utot(t) =1d

∫ d

0u2(t ,P)dx (54)

=2Ad

∫ d

0cos

(kx sin θ

2

)sin (ωt − kr) dx

(55)

= 2Asin

( kd sin θ2

)kd sin θ

2

· sin (ωt − kr) (56)

ove abbiamo diviso l’integrando per d permediare il contributo sulla lunghezza dellasorgente. Passando all’intensità

I(P) = 2A

[sin

( kd sin θ2

)kd sin θ

2

]2

(57)


Diffrazione III

3 2 1 0 1 2 3/d

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0Con intensità:

I(P) = 2A

[sin

( kd sin θ2

)kd sin θ

2

]2

(58)

le condizioni di interferenzadistruttiva diventano

kd sin θ

2= nπ (59)

sin θ =nλd

(60)


Diffrazione IV

Una condizione importante per ottenere la figuradi diffrazione è che la dimensione della sorgentesia molto maggiore della lunghezza d’onda

λ � d (61)

in caso contrario si ottiene un’onda sfericacentrata sulla sorgente. Ricordando chesin θ ∈ [−1,1] allora

sin θ =nλd

≤ 1 (62)

quindi se nλ ≥ d la condizione non può esseresoddisfatta.


Onde elettromagnetiche I

x

z

yB⃗

E ⃗

λ

k⃗

E0⃗

B0⃗

Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali, costituite da uncampo elettromagnetico variabile nel tempo. Trasportano energia e sipropagano, nel vuoto, alla velocità della luce c = 3 · 108 m/s. I campipossono essere descritti con

~E(t ,~r

)= ~E0 sin

(ωt − ~k ·~r

)& ~B

(t ,~r

)= ~B0 sin

(ωt − ~k ·~r

)(63)


Onde elettromagnetiche II

x

z

yB⃗

E ⃗

λ

k⃗

E0⃗

B0⃗

Il campo elettrico e magnetico sono perpendicolari tra loro, ~E ⊥ ~B, esono legati da

E0

B0= c (64)

E.g. Se ~E ‖ ~y e ~B ‖ ~x allora la direzione di propagazione è ~k ‖ ~z.


Spettro elettromagnetico

400 nm500 nm600 nm700 nm

1000 m100 m

10 m1 m

10 cm1 cm

1 mm100 µm

10 µm1 µm

100 nm10 nm

0.1 Å1Å

1 nm

Raggi γ

Raggi X

Ultravioletto

Visibile

Vicino IR

Infrarosso

IR termicoLontano IR

Microonde

Radar

Radio, TV

AM

Onde lunghe

Lunghezzad'onda

Frequenza[Hz]

Telefoni

cellulari

106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019

Figura: Rappresentazione dello spettro elettromagnetico [wiki]

Le onde elettromagnetiche mostrano comportamenti estremamentediversi a seconda della loro frequenza (ovvero dell’energia), andandodalle onde radio fino ai raggi X e γ.


FotoniLe onde elettromagnetiche sono in realtà composte da un’insieme diquanti detti fotoni, ovvero dei pacchetti di energia che viaggiano allavelocità della luce nel vuoto. L’energia di un singolo fotone è

E = hν =hcλ

(65)

ove ν è la frequenza ed h è la costante di Planck che vale

h = 6.626 · 10−34 J · s. (66)

Un valore pratico di hc per i calcoli è

hc = 1240 eV · nm. (67)

L’energia trasportata da un’onda elettromagnetica è pari alla sommadell’energia trasportata da tutti i fotoni:

Etot =∑

i

Ei = h∑

i

νi = Nh 〈ν〉 . (68)


https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electromagnetic-Spectrum.svg

Riflessione

θ = θ'

Usando il principio di Huygens è possibilespiegare la legge della riflessione.

Legge della riflessioneNell’interfaccia tra due mezzi si può aver unariflessione. L’angolo di uscita è pari all’angolod’incidenza

θ = θ′ (69)


Rifrazione I

θ1

θ2

n1

n2

Usando il principio di Huygens è possibile anchespiegare la legge di Snell, ovvero la legge dellarifrazione.

Indice di rifrazioneIn un mezzo la luce si muove con una velocitàdiversa da quella nel vuoto. Il rapporto tra lavelocità della luce nel vuoto e la velocità nelmezzo è detto indice di rifrazione:

n =cv

(70)


Rifrazione II

θ1

θ2

n1

n2

Legge di SnellNell’interfaccia tra due mezzi con indici dirifrazione diversi si ha una deviazione delcammino della luce che entra nel mezzo,descritta dalla legge

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (71)


Riflessione e Rifrazione

θ1

θ2

n1

n2

θ1

In un’interfaccia tra due mezzi con indici dirifrazione diversi i raggi luminosi possono essereparzialmente riflessi e parzialmente rifratti.L’intensità del raggio incidente sarà allorasuddivisa tra i due raggi uscenti:

Iincidente = Iriflesso + Irifratto (72)


Riflessione totale

θ2

n1

n2

θ1

θlim θlim

Nel passaggio da un mezzo con indice dirifrazione maggiore n2 ad uno con indice dirifrazione minore n1 si può avere il fenomenodella riflessione totale. Ovvero il raggio rifrattonon esiste ed il raggio è riflesso completamente.Si ha nel caso in cui θ1 = π

2 , ovvero il seno èmassimo sin θ1 = 1:

n2 sin θlim = n1 ⇒ sin θlim =n1

n2(73)

ove θlim è detto angolo limite.


Indice di rifrazione

350 400 450 500 550 600 650 700 750 [nm]

1.328

1.330

1.332

1.334

1.336

1.338

1.340

1.342

1.344

n

350 400 450 500 550 600 650 700 750 [nm]

0.00.20.40.60.81.0

Figura: Indice di rifrazionedell’acqua, dati da [wiki]

L’indice di rifrazione varia al variare dellafrequenza della luce incidente, quindi unaluce bianca può essere suddivisa nellesue componenti sfruttando il fenomenodella rifrazione.


https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_properties_of_water_and_ice

Prisma I

Un prisma è in grado di scomporre la luce neisuoi componenti perché gli angoli di deviazionedipendono dai diversi indici di rifrazione per lediverse lunghezze d’onda.


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