Fisica 2 Magnetostatica

11a lezione

Programma della lezione

• Legge di Biot-Savart• Prima formula di Laplace• Campo B di una carica in moto• Forza magnetica tra due cariche in moto• Forza tra due correnti, definizione di

ampere• Circuitazione di B• Legge di Ampère

Legge di Biot-Savart

• Il campo B generato da un filo rettilineo molto lungo

• Ha solo componente azimutale• k è anche espressa mediante la permeabilità

magnetica del vuoto

r

ikB 2

40k 2

26

2

27

0 1026.1104C

Ns

C

Ns

2

2710C

Nsk

Forza tra due correnti• Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted• Limitiamoci al caso di fili paralleli• Filo 1 indefinito, genera un campo

• Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso relativo delle correnti)

• Il modulo questa forza vale

• Formula che sta alla base della definizione di ampere

r

iB 101 2

12221 BliF

r

iilBliF 210212221 2

Fl

ri

20

2

r

ilF

20

2 2

Prima formula di Laplace

• Dalla legge di Biot-Savart Laplace propose una formula valida per un circuito di forma arbitraria

• Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B– Attorno ad un filo indefinito – Sull’asse di una spira circolare– Sull’asse di un solenoide

3r

rldkiBd

3r

rldkiB

Campo B generato da una carica in moto

• Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento infinitesimo di un circuito qualunque

• Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di lunghezza

• Dividiamo l’elemento di campo magnetico per il numero di elettroni

• Troviamo il vettore b generato da un singolo elettrone

3r

rldkiBd

vendVvdqlddt

dqlid

3r

rvkeb

ndV

Bd

Campo B generato da una carica in moto

• Carica puntiforme q in moto con velocità v• Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla

velocità v, al seno dell’angolo tra v e r• È inversamente proporzionale al quadrato della

distanza r• La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r• Il verso è dato dalla regola della mano destra

3r

rvqkB

Forza magnetica tra due cariche in moto

• Si trova usando l’espressione precedente per B e la forza di Lorentz

• Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta alla carica 1

321

21212121112 r

rvvqkqBvqF

312

12122112221 r

rvvqkqBvqF

Circuitazione del campo B• Esaminiamola nel caso particolare del campo

generato da un filo indefinito• Usiamo coordinate cilindriche

• Se C è un cerchio e il filo è perpendicolare al piano del cerchio e passa per il suo centro

• Se si cambia il verso della corrente il 2° membro cambia segno

• Anche il primo membro cambia segno perché B assume verso opposto

idrdr

irdB

dzBrdBdrBldB zr

2200

C

iidldBC

0

2

0

0

2

Circuitazione del campo B

• Sia l’integrando che l’integrale non dipendono da r

• Se ora C è una curva arbitraria (concatenata al filo)

• E di nuovo otteniamo

iddrr

i

drBldB

2)(

)(2

)(

00

C

iidldBC

0

2

0

0

2

Circuitazione del campo B

• Se la curva C fa n giri attorno al filo la circuitazione è

• Se la curva è concatenata a più fili la circuitazione totale è la somma delle circuitazioni dei campi B relativi a ciascun filo

inidldBn

C

0

2

0

0

2

C

N

jj

N

jj

N

j C

j

C

N

jj

C

ii

ldBldBldB

10

10

11

Circuitazione del campo B

• Sia ora C una curva arbitraria non concatenata al filo, percorsa in senso orario

• Scegliamo due punti P e Q sulla curva, suddividendola in due curve C1 e C2

• Tracciamo una curva da P a Q di modo che sia (percorsa in senso orario) che (percorsa in senso antiorario) siano concatenate con il filo

• Le due circuitazioni nel membro di destra sono uguali in modulo e di segno opposto, quindi la circuitazione lungo C è nulla

C1C2C ,, BBC1 C2

DP

Q

DC2DC1C1C2 ,,, BBB

0, 00 iiB C

DC1 DC2

Legge di Ampère

• Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici arbitrari e vari conduttori

• Proprietà generale del campo magnetico: legge di Ampère

• Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore• Per curve non concatenate la circuitazione è nulla• È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata

da Maxwell

N

jj

C

ildB1

0

Forma differenziale della legge di Ampère

• Applichiamo il teorema di Stokes alla circuitazione del campo B e riscriviamo la corrente come il flusso della densita` di corrente:

• Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue che

CSCCS

adBldBiadJ

00

JB

0