Lavoro, energia, e differenza di potenziale

Il lavoro Le forze sono in grado di muovere gli oggetti su cui agiscono; le forze

elettriche spostano le cariche, le forze gravitazionali spostano le masse Quando una forza sposta un oggetto, la forza compie lavoro su

quell’oggetto; dunque il lavoro consiste nell’applicare una forza al fine di favorire (o ostacolare) lo spostamento dell’oggetto

Da un punto di vista matematico, il lavoro (L) è il prodotto scalare della forza applicata su un corpo per lo spostamento S del corpo:

Pensiamo al lavoro manuale compiuti dall’uomo, o al lavoro compiuto dalle macchine: in ultima analisi, esso si riduce all’applicazione di forze che spostano corpi; ad esempio la forza esercitata dallo scoppio del gas fa muovere i pistoni del motore e quindi l’automobile; nel lavoro cerebrale, elettroni e ioni sono mossi lungo le fibre nervose dagli impulsi elettrici generati nel cervello

Nel Sistema Internazionale il lavoro si misura in Joule (J): un Joule equivale ad un Newton per un metro; dunque se la forza di 1 N sposta un corpo di 1 m, essa ha compiuto il lavoro di 1 J

cosL F S FS

Il lavoro Il prodotto scalare permette di distingue lavoro positivo e negativo;

consideriamo un corpo spostato di un vettore S, su cui agisce la forza F se la forza agisce a favore dello spostamento il lavoro è positivo,

poiché <p/2, cos()>0, per cui L>0; il lavoro positivo si dice anche ‘motore’ perché tende a muovere l’oggetto

se la forza si oppone alle spostamento il lavoro è negativo, ovvero per > p/2, cos()<0, L< 0; il lavoro negativo si dice anche resistente o frenante, perché tende a frenare il corpo che si muove

0L

FS

0L

F

S

Essendo F cos() = F|| la componente della forza parallela allo spostamento, possiamo esprimere il lavoro come prodotto della componente parallela della forza per lo spostamento:

/ /L F S Dunque soltanto la componente della forza parallela allo spostamento

compie lavoro, mentre la componente perpendicolare non compie lavoro

Il lavoro: esempi Il lavoro positivo è massimo

quando forza e spostamento sono paralleli

Esempi sono l’uomo che spinge la macchina o il motore elettrico che traina l’ascensore verso l’alto

In questi casi:

L FS

Il lavoro negativo è massimo quando forza e spostamento sono antiparalleli

In frenata, l’auto si sposta in avanti mentre la forza di attrito tra gomme e suolo generata dal blocco della ruota è diretta all’indietro; il guantone da baseball frena la palla, compiendo lavoro negativo

L FS

Il lavoro: esempi

la forza con cui il cane tira il guinzaglio può essere scomposta nelle componenti parallela e perpendicolare allo spostamento orizzontale S; delle due, soltanto la prima compie lavoro

/ /cosF F

la componente perpendicolare della forza è tutta forza sprecata dal cane, poiché non utilizzabile per compiere lavoro favorevole allo spostamento orizzontale

sinF F

A parità di forza applicata, un cane alto tira il guinzaglio in orizzontale molto di più di un cane basso, poiché la componente parallela allo spostamento è maggiore, e dunque maggiore il lavoro in direzione orizzontale che essa può compiere

Lavoro ed energia Lavoro ed energia sono grandezze fisiche strettamente connesse Per compiere lavoro, il soggetto che esercita la forza deve possedere

un’energia; l’energia rappresenta la quantità di lavoro che un soggetto può compiere

Quando un soggetto compie lavoro su un oggetto, esso trasferisce all’oggetto parte della sua energia; dunque il lavoro è energia in transito dal soggetto che compie lavoro all’oggetto spostato, o viceversa

Ad esempio, l’uomo che spinge l’auto (lavoro positivo) trasferisce la sua energia sull’auto, che la assorbe sotto forma di energia cinetica; nel caso della macchina in frenata (lavoro negativo) le superfici di contatto gomma-suolo assorbono energia (sotto forma di calore) dall’auto che, rallentando perde energia cinetica

Definiamo E l’energia totale, e DE la variazione di energia del soggetto che compie lavoro; lavoro ed energia del soggetto che applica la forza sono legati dalla relazione:

E LD Notiamo che se il lavoro compiuto è positivo (uomo che spinge l’auto), il

soggetto ha speso energia (Efinale< Einiziale , DE<0) dunque la sua energia è diminuita; di contro nel caso di lavoro negativo (forze d’attrito), l’energia del soggetto che esercita la forza è aumentata (Efinale> Einiziale , DE>0)

finale inizialeE E ED

Energia potenziale

Nel caso del campo di gravità terrestre un oggetto di massa m precipita verso il suolo, attratto dalla forza di gravità; precipitando, l’oggetto accelera, e l’energia energia potenziale iniziale viene via via trasformata in energia cinetica

Se U è l’energia potenziale dell’oggetto ed L il lavoro compiuto dal campo, si ha:

Esistono due forme di energia: l’energia cinetica o di moto, posseduta dai corpi in movimento, e l’energia potenziale, posseduta da un corpo in virtù del fatto di essere all’interno di un campo di forze conservativo

Un campo conservativo compie lavoro positivo sul corpo posto all’interno del campo, spostandolo e trasformando così la sua energia potenziale in energia cinetica

hF mg

La variazione di energia potenziale del corpo è uguale a (meno) il lavoro compiuto dal campo, ove il segno – indica che il lavoro positivo del campo riduce l’energia potenziale del corpo

Anche se per brevità parliamo spesso “energia potenziale”, essa è sempre in realtà una differenza tra 2 stati, poiché deriva dal lavoro, e dunque implica uno spostamento dell’oggetto tra due posizioni (iniziale e finale)

U LD finale inizialeU U UD

Lavoro ed energia potenziale del campo elettrico uniforme

Come il campo di gravità, anche il campo elettrico è conservativo; dunque una carica all’interno del campo elettrico possiede un’energia potenziale, in virtù del fatto che essa può essere spostata dalla forza del campo elettrico

Consideriamo una carica q all’interno di un campo uniforme E; la carica subisce la forza F=qE esercitata dal campo, e si sposta di un vettore d dal punto i al punto f; il lavoro compiuto dal campo elettrico sulla carica è

L F S q E d

La forza del campo accelera la carica elettrica, trasformando l’energia potenziale iniziale in energia cinetica; l’energia potenziale della carica q sarà variata (diminuita) di una quantità:

U L q E dD

f iU U UD

+

E

i

f

d

q

La differenza di potenziale (d.d.p) In ambito elettronico o elettrotecnico, più che lavoro o energia potenziale

si utilizza la differenza di potenziale DV (in breve d.d.p.), comunemente anche detta tensione, voltaggio, o semplicemente potenziale.

La d.d.p. corrisponde al lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare la carica unitaria tra due punti dello spazio; dunque se q è la carica spostata dal campo elettrico ed L il lavoro del campo, la d.d.p. è:

LV

qD finale inizialeV V VD

Nel caso di campo elettrico uniforme, se d è il vettore spostamento tra i punti i ed f, la d.d.p. è:

LV E d

qD

Notiamo che, a differenza di lavoro ed energia potenziale, il potenziale non dipende dalla carica spostata, ma soltanto dal campo elettrico e dalla distanza tra 2 punti; dunque è una grandezza più generale

Come l’energia potenziale, anche il potenziale ha senso solo se definito come differenza tra due punti dello spazio

Unità di misurail lavoro ed energia hanno stesse dimensioni fisiche, e si misurano in Joule (J):

Il Potenziale ha dimensioni di energia diviso carica, e si misura in Volt (V)

JmNLU

U J NmV V

q C C

Dalla precedente equazione si vede che il campo elettrico si può anche esprimere in V/m, essendo:

V N

m C

Una unità di lavoro ed energia molto utilizzata in fisica atomica è l’elettronvolt (eV); 1 eV è il lavoro compiuto per variare di 1 Volt il potenziale di una carica elementare:

19 191 1.6 10 1.6 10J

L q V e V C JC

D

Esercizio #1: elettrone in campo elettrico uniforme

Consideriamo un elettrone inizialmente fermo in un campo elettrico uniforme d’intensità E = 100 N/C=100 V/m, diretto verticalmente verso il basso; l’elettrone viene spostato dalla forza del campo di una distanza d=100 m tra i punti i ed f; calcolare:

19 151.6 10 100 100 1.6 10N

L F d e E d C m JC

a) la forza esercitata dal campo sull’elettrone F=-eE è diretta verso l’alto, ed ovviamente parallela allo spostamento; dunque L è positivo; il valore di L è il prodotto del modulo di forza e spostamento, dunque:

d

i

fa) il lavoro compiuto dal campo per spostare l’elettroneb) la variazione di energia potenziale dell’elettrone a

seguito dello spostamentoc) L’energia cinetica dell’elettrone nel punto fd) la d.d.p. generata dal campo tra i punti i ed f

Esercizio #1: elettrone in campo elettrico uniforme

151.6 10f iU U L J

4100 100 10f i

NV V E d m V

C

d) la d.d.p. tra i punti i ed f è semplicemente il lavoro per carica unitaria:

b) Il lavoro calcolato corrisponde alla perdita di energia potenziale dell’elettrone nel passaggio dal punto i al punto f , per cui:

c) Questa energia potenziale non è svanita nel nulla, ma semplicemente trasformata in cinetica; all’inizio l’elettrone è fermo, dunque la sua energia cinetica è nulla; indicando con K l’energia cinetica, nel punto f deve essere:

d

i

f

151.6 10f i fK U U J

Lavoro e d.d.p.: definizione generale Abbiamo visto l’espressione del lavoro nel caso semplice di forze uniformi

e spostamenti rettilinei; in generale però le forze e i campi non sono uniformi, e le traiettorie dei corpi non sono necessariamente rettilinee; in questo caso dobbiamo usare il formalismo infinitesimale

Consideriamo una carica q0 all’interno di un campo elettrico qualsiasi, ed una traiettoria curvilinea (in verde); dividiamo la traiettoria in tanti spostamenti infinitesimali ds, talmente piccoli da potersi considerare rettilinei, e sui quali il campo possa considerarsi uniforme

Il lavoro infinitesimo associato allo spostamento ds è:

La d.d.p. infinitesima ai capi di ds è uguale al lavoro infinitesimo per carica unitaria:

sdEqdL

0

sdEq

dLdV

0

Lavoro e d.d.p.: definizione generale

Immaginando una traiettoria qualsiasi, calcolare lavoro e d.d.p. sembra molto difficile; in realtà, si può dimostrare che per un campo conservativo (come il campo elettrico) lavoro e d.d.p. tra due punti non dipendono dalla traiettoria specifica ma solo dagli estremi della traiettoria

Dunque possiamo sempre scegliere il percorso più conveniente possibile tra i ed f ed alla fine ottenere lo stesso risultato

Per ottenere lavoro e d.d.p. totali tra i punti i ed f è quindi necessario integrare lungo la traiettoria:

f

isdEqL

0

f

f i iV V E ds

0

f

f i iU U q E ds

Percorso d’integrazione

Seguendo la traiettoria verde curvilinea, dovremmo utilizzare la formula generale ed il calcolo sarebbe molto più complicato, ma alla fine si otterrebbe lo stesso risultato !!

Esempio: consideriamo il campo uniforme, indicato in giallo in figura; vogliamo calcolare la d.d.p. tra i punti i ed f;

scegliendo la traiettoria rossa rettilinea il calcolo è molto semplice; infatti, è chiaro che lavoro e d.d.p. nel tratto orizzontale c-f sono nulli, poiché campo e spostamento sono perpendicolari; dunque conta solo il segmento tra i e c; sia d la distanza tra i e c :

+

E

i

f

d

c

0qc iV V Ed

( ) ( )f i f c c iV V V V V V Ed

0f cV V

La d.d.p. complessiva tra i ed f; è quindi:

Esercizio #2: carica in campo elettrico uniforme

La particella gialla in figura ha carica q= 1 mC e massa M=1g; essa si muove nello spazio con velocità uniforme v0=10 m/s, diretta come indicato dalla freccia nera; all’istante t=0 quando la carica si trova nell’origine del riferimento, viene acceso un campo elettrico uniforme d’intensità E = 10 N/C, diretto verticalmente verso il basso; considerando trascurabile la forza di gravità, calcolare:

Dobbiamo risolvere un esercizio di elettrodinamica in 2 dimensioni, e dunque integrare le equazioni del moto di Newton lungo gli assi x ed y;È facile intuire che moto complessivo della particella è parabolico, risultante da una velocità uniforme lungo l’asse x, ed accelerato verso il basso lungo y; risolviamo le equazioni del moto

a) La posizione (x,y) della carica dopo un tempo t=1 s

b) il lavoro compiuto dal campo per spostare la carica dall’origine al punto finale (t=1 s)

c) la d.d.p. tra i punti iniziale (t=0) e finale (t=1 s)

d) l’energia cinetica della particella a t= 1s

45o

E

0v

y

q x

Esercizio #2: carica in campo elettrico uniforme

00

0 0

0 0

0 0 0 cos 452

' '2 2

oxx x x

t t

x

F vF a v v

M

v vx t v dt dt t

Lungo y il campo elettrico esercita forza verso il basso; la relativa accelerazione si ottiene dalla legge di Newton a=F/M

Lungo x non c’è forza, dunque l’accelerazione è nulla per la legge di Newton a=F/M; la velocità è costante ed uguale al suo valore iniziale; lo spostamento è proporzionale a t

per t= 1s:10

1 7.072

mx s m

s

yy y

F qF q E a E

M M

integrando rispetto al tempo, l’accelerazione uniforme causa una velocità proporzionale a t diretta verso il basso, a cui si aggiunge la velocità iniziale:

0 0( ) ' (0) ' (0) (0)

t t

y y y y y

q qv t a dt v E dt v E t v

M M

Esercizio #2: carica in campo elettrico uniforme

2

0 0 0

1' ' ' ' 0 ' 0

2

t t t

y y y

q qy t v t dt E t dt v dt E t v t

M M

per t= 1s:3

23

10 1010 1 1 5 7.07 2.07

2 10 2

C N my s s m m m

Kg C s

Dalla velocità si ottiene lo spostamento lungo y integrando ancora nel tempo; il termine dipendente dal campo genera uno spostamento quadratico in t, a cui si aggiunge il contributo lineare in t dovuto alla velocità iniziale:

Quindi, dopo t=1s dall’accensione del campo elettrico, la particella si trova spostata di 7.07 m lungo x e 2.07 m lungo y

45o

E

0v

y

q x

Esercizio #2: carica in campo elettrico uniforme

Il valore della d.d.p. ci dice che a t = 1s la carica raggiunge un punto dello spazio il cui potenziale è 20.7 volts più alto di quello iniziale

3 210 10 2.07 2.07 10N

L C m JC

Il calcolo del lavoro è molto semplificato dal fatto che possiamo scegliere una traiettoria qualsiasi tra istante iniziale e finale, non quella parabolica effettivamente percorsa; scegliamo quindi la traiettoria rettilinea azzurra disegnata in figura; infatti il segmento orizzontale è perpendicolare al campo, per cui il lavoro corrispondente è nullo; il lavoro si riduce a quello compiuto lungo il segmento azzurro verticale:

Attenzione al segno: il lavoro del campo è complessivamente negativo poiché a causa della velocità iniziale, la particella stava andando verso l’alto, mentre il campo spinge in basso, frenando la particella

L q E d q E d

45o

E

0v

y

qxd

20.7finale iniziale

LV V V

q

Esercizio #2: carica in campo elettrico uniforme

Lungo x la velocità è costante per cui a t= 1s:

3

3

10 1010 1 2.93

10 2y

C N m mv s

Kg C s s

Per il calcolo dell’energia cinetica nel punto finale è necessario il valore del modulo della velocità, essendo:

Quindi, dopo t=1s l’energia cinetica della carica è:

21

2K M v

0( ) sin 45oy

qv t E t v

M

0 cos 45 7.07ox

mv v

s

Lungo y la velocità è:

a t= 1s:

2

3 2 2 32

110 7.07 2.93 29.3 10

2

mK Kg J

s

Dal potenziale al campo elettrico

Ovvero la componente del campo elettrico in una direzione s è uguale alla derivata (cambiata di segno) del potenziale rispetto allo spostamento in quella direzione

s

dVE

ds

sdV E ds E ds

Invertendo si ottiene:

+

E

ds

cos( )sE E

Es è la componente del campo parallela allo spostamento infinitesimo ds

Abbiamo visto come dal campo elettrico, attraverso il calcolo del lavoro, si determina il potenziale elettrico (più precisamente la d.d.p.)

E’ possibile a volte percorrere la via inversa, ovvero determinare il campo elettrico partendo dalla conoscenza della d.d.p. in tutti i punti di una certa regione di spazio

Partiamo dalla relazione tra campo elettrico e d.d.p., basata sulla formulazione differenziale:

Dal potenziale al campo elettrico Nell’ipotesi di conoscere il potenziale V(x,y,z) in tutti i punti r=(x,y,z)

all’interno di una certa regione di spazio, possiamo ricavare il campo elettrico IN OGNI PUNTO ed OGNI DIREZIONE, calcolando le derivate del potenziale rispetto ad x, y, z

Le componenti del campo elettrico lungo gli assi principali del riferimento cartesiano sono:

z

VE

y

VE

x

VE zyx

;;

+

E

ds

NB: il potenziale è una quantità SCALARE, non un vettore !! Ricordiamo che il potenziale è sempre una d.d.p. tra 2 punti distinti

dello spazio; dunque scrivendo V(x,y,z) in realtà intendiamo DV(x,y,z) =V(x,y,z) – V0, ove V0 è un valore costante di riferimento relativo ad uno specifico punto dello spazio; chiaramente il campo non dipende da questa costante, poiché la derivata di una costante è zero

VE

r

possiamo scrivere queste formule in modo più compatto utilizzando una notazione vettoriale :

EsercizioIn una regione sferica di spazio il potenziale è dato dalla formula V(r)=C/r, ove C è una costante uguale ad 1 Voltmetro, ed r la distanza dal centro della sfera; calcolare il campo elettrico ad una distanza r=10 cm dal centro

2

dV CE r

dr r

Essendo il potenziale a simmetria sferica, anche il campo elettrico lo è; dunque il campo deve essere una funzione analitica di r

Derivando il potenziale lungo r ricaviamo l’espressione analitica del campo elettrico (ricordiamo che la derivata di 1/r è -1/r2)

Posto C = kq ritroviamo il campo elettrico generato da una carica q positiva posta nel centro della sfera; dunque V(r)= kq /r non è altro che il potenziale generato da una carica puntiforme; per r=10 cm:

2 2

1100

10

Vm VE r

m m

Le linee gialle in figura rappresentano superfici equipotenziali: per simmetria il potenziale è costante su tutti i punti di ciascuna superficie

la derivata del potenziale in direzione perpendicolare ad r è zero, dunque il campo elettrico è radiale poiché la componente perpendicolare ad r è nulla

0dV

Superfici equipotenziali

lungo una qualsiasi direzione tangenziale alla superficie, la componente del campo E|| parallela alla superficie è nulla

Essendo il campo sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale, esso non compie lavoro sulla cariche che si spostano lungo una traiettoria contenuta sulla superficie

Se in una determinata direzione il potenziale non varia (DV=0, dunque V è costante in quella direzione), ciò significa che la componente del campo in quella direzione è NULLA

il luogo dei punti nello spazio aventi uguale potenziale si dice superficie equipotenziale

Per le superfici equipotenziali valgono le seguenti regole:

In figura vediamo l’esempio del campo elettrico generato dal filo carico: il campo ha simmetria cilindrica, dunque ogni superficie cilindrica coassiale con il filo è una superficie equipotenziale

|| 0E || 0E

E

Superfici equipotenziali

Le superfici equipotenziali coincidono, in tutto o in parte, con le superfici gaussiane utilizzate per il calcolo del campo elettrico !

CAMPO UNIFORME CAMPO RADIALE CAMPO DI DIPOLO

Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e dunque alla direzione del campo elettrico: se così non fosse il campo avrebbe una direzione tangenziale alla superficie, ed il potenziale non sarebbe costante

per un campo uniforme le superfici equipotenziali sono piani perpendicolari alle linee di campo; per un campo radiale le superfici equipotenziali sono sfere concentriche

Lavoro del campo elettrico generato da una carica puntiforme Consideriamo il campo elettrico generato dalla

carica q > 0 in un punto P distante r da q Poniamo una carica di prova q0 > 0 nel punto P e

calcoliamo il lavoro compiuto dal campo generato da q per spostare q0 dal punto P a distanza infinita (in pratica distanza infinita significa così lontana da q che il campo diventa trascurabile)

Poiché il campo è conservativo, L non dipende dal percorso di q0, per cui possiamo scegliere il percorso sul quale è più semplice calcolare l’integrale; questo è chiaramente la traiettoria radiale (ds = dr’) lungo la quale spostamento e campo sono sempre paralleli

0 0 0 02 2

1' ' '

' 'P r r r

qL q E ds q E dr q k dr k q q dr

r r

2

1 1 1'

' 'rr

drr r r

0q qL k

r

+ 0qsd

P

q

r

Risolvo l’integrale:

Potenziale generato da una carica puntiforme

Possiamo assumere NULLO il potenziale a distanza infinita; ovvero l’infinito per il campo elettrico della carica puntiforme è lo ZERO del potenziale; dunque

q

r

( )q

V r kr

( ) 0V

Come PROVA che il risultato è giusto, possiamo ricavare nuovamente il campo elettrico dalla derivata del potenziale (cambiata di segno) rispetto ad r:

0

( ) ( )L q

V V r kq r

2

( )( )

dV r qE r k

dr r

OK, si ritrova il campo elettrico descritto dalla legge di Coulomb !

La d.d.p. tra l’infinito ed il punto r è:

Energia potenziale di cariche puntiformi

A differenza del potenziale, proprietà della sola carica che genera il campo, l’energia potenziale è proprietà delle cariche che interagiscono

Potenziale generato da q

Ma l’energia potenziale del SISTEMA (ovvero di entrambe le cariche) è LA STESSA:

0

00 q q

q qU q V qV k

r

r

+ q

+ 0q

q

qV k

r

0

0q

qV k

r

Potenziale generato da q0

Dal potenziale nel punto r si ricava immediatamente l’energia potenziale della carica q0 posta in r:

L’interazione tra q e q0 può essere ugualmente descritta considerando che q0 genera un campo che agisce su q; se q e q0 sono diverse, i campi ed i potenziali generati dalle due cariche sono DIVERSI:

00( ) ( )

q qU r q V r k L

r

Significato fisico dell’energia potenzialeL’energia potenziale di una coppia di cariche puntiformi q e q0, rispetto ad uno stato di potenziale nullo in cui le cariche sono infinitamente lontane, è:

0( )q q

U r k Lr

quando q e q0 hanno segni concordi, U(r) è positiva, e decresce per r che aumenta; essa corrisponde al lavoro che il campo deve compiere per separare le due cariche da distanza r all’infinito; quando U > 0 il sistema si dice non legato poiché le forze tendono ad allontanare le particelle

quando q e q0 hanno segni discordi, U(r) è negativa ed aumenta separando le cariche da rall’infinito; essa corrisponde al lavoro speso contro il campo per separare le cariche da r ad infinito; in questo caso il sistema è legato, poiché le forze tendono ad avvicinare le particelle

( ) 0U r

( ) 0U r

r

U

il campo tende sempre a ridurre l’energia potenziale del sistema: per U> 0 allontanando le cariche all’infinito, per U<0 avvicinandole ad r=0

Problema 24.3

2

91 2 3 4 2

79 10 2 89.1P

k Nm nCV q q q q V

r C m

r

Date le 4 cariche in figura, q1=6 nC, q2=-4 nC, q3=-3 nC, q4=8 nC, a distanza d=1 m,calcolare:1. il potenziale totale generato dalle cariche

nel punto P (assumendo V(∞)=0)2. L’energia potenziale totale del sistema3. L’energia necessaria a separare le cariche

ad una ad una, partendo da q4 e proseguendo con q3 e q2

1.il potenziale totale è la somma dei potenziali generati in P dalle 4 cariche:

2. L’energia potenziale totale è la somma delle energie potenziali di ciascuna coppia di cariche:

22 31 41 2 1 3 2 4 3 4

2 29

2

24 18 33.94 8.48 32 24 ( )2 2

55.6( )9 10 500.2

q qq qk kU q q q q q q q q nC

d d

Nm nCnJ

C m

/ 2r d

Problema 24.3

2 2

2 91 44 2 4 3 4 2

22.06( )33.9 32 24 ( ) 9 10 198.54

2

q qk k Nm nCU q q q q nC nJ

d d C m

3. U < 0 significa che il sistema è LEGATO e possiede un’energia potenziale immagazzinata al suo interno, per cui è necessario compiere lavoro dall’esterno se si vuole portare le particelle cariche a distanza infinita, CONTRO l’azione legante del campo elettrico; calcoliamo l’energia potenziale che lega la carica q4 alle altre 3 cariche:

Il segno – indica che dobbiamo spendere un’energia –U=198.54 nJ per separare q4 dal sistema e portarla all’infinito; dopo aver eliminato q4, calcoliamo l’energia potenziale che lega la carica q3 alle altre 2 cariche rimanenti:

2 2

2 92 33 1 3 2

9.52( )18 8.48 ( ) 9 10 85.7

2

q qk k Nm nCU q q nC nJ

d d C m

2 2

2 92 1 2 2

24( )18 12 ( ) 9 10 216

k k Nm nCU q q nC nJ

d d C m

Dobbiamo spendere un’energia –U=85.7 nJ per separare q3 dalle altre due cariche; infine, calcoliamo l’energia che lega q2 a q1:

216 nJ è l’energia necessaria per separare all’infinito q2 e q1; chiaramente la somma di U4, U3, U2 ci restituisce l’energia potenziale totale del sistema

Problema 24.4

12C

eV k

R

Le distanze da C degli elettroni sono tutte uguali, per cui anche i potenziali sono uguali; la loro somma è:

Consideriamo il potenziale nel punto C generato da 12 elettroni disposti lungo un arco di cerchio di raggio R

Il calcolo del campo elettrico in C è molto più complesso, poiché richiede di considerare la somma vettoriale dei 12 campi generati dalle singole cariche

ATTENZIONE: dalla precedente espressione del potenziale nel punto C possiamo ricavare il campo elettrico ? NO, la derivata del potenziale richiede la conoscenza del potenziale in tutti i punti di una regione attorno a C, non in un punto soltanto !!

Problema 24.6

2 14 29 2

2 2

10 109 10 10

9 10

Nm CJ

C m

Questa energia rappresenta il lavoro necessario per separare le 3 cariche all’infinito

Consideriamo le 3 cariche in figura q1=q, q2=-4q, q3=+2q, q=100 nC; d=9 cm; si calcoli l’energia potenziale del sistema. L’energia potenziale totale è la somma delle energie potenziali di ciascuna coppia di cariche:

U negativa indica che il lavoro netto per portare le cariche all’infinito è fatto non dal campo ma CONTRO il campo (infatti il campo tende ad avvicinare le coppie q1-q2 e q2-q3, e ad allontanare la sola coppia q1-q3) U negativa indica che il SISTEMA è STABILE e possiede un’energia potenziale immagazzinata al suo interno, per cui è necessario compiere lavoro dall’esterno se si vuole disgregare il sistema e portare le particelle cariche a distanza infinita CONTRO l’azione legante del campo elettrico.

21 2 1 3 2 3 4 2 8

k kU q q q q q q q

d d

Riepilogo: campo e potenziale generati dalla carica puntiforme

2( )

qE r k

r

( )q

V r kr

Una carica puntiforme qgenera a distanza r dalla carica un campo elettrico:

Il potenziale della carica puntiforme ha andamento iperbolico: Se q è positiva, il potenziale è massimo (infinito) per r=0, ovvero nel

punto dove è posta la carica generatrice, e si riduce allontanandosi da q se q è negativa, il potenziale è minimo (meno infinito) per r=0, e

aumenta allontanandosi da q

q

r

ed un potenziale elettrico (assumendo V()=0):

In generale, il potenziale diminuisce muovendosi dalle cariche positive a quelle negative

Riepilogo: energia potenziale del sistema di cariche puntiformi

0( )q q

U r kr

Il sistema di due cariche interagenti q0 e q poste a distanza r possiede un’energia potenziale:

se le cariche hanno stesso segno, dunque U > 0, il sistema tende a disgregarsi, e l’energia potenziale rappresenta il lavoro speso dal campo per separare le cariche da r ad infinito

se le cariche hanno segno opposto il sistema è LEGATO; l’energia potenziale è negativa, e rappresenta il lavoro che deve essere speso dall’esterno (dunque contro il campo elettrico) per separare le cariche all’infinito

Per il principio di stabilità, il campo tende sempre a ridurre l’energia potenziale del sistema; per due cariche di stesso segno, il campo tende a separarle all’infinito per ridurre l’energia potenziale positiva a zero; per due cariche di segno opposto il campo tende ad avvicinarle il più possibile, in modo da ridurre l’energia potenziale negativa

Potenziale all’ESTERNO di una sfera isolante uniformemente carica

Come era prevedibile, così come il campo elettrico, anche il potenziale esterno alla sfera uniformemente carica è equivalente a quello generato dalla carica puntiforme:

( )q

V r kr

2

( ) ( ) ' ( ')

1'

'

r

r

V r V dr E r

qk q dr k

r r

Similmente a quanto fatto per la carica puntiforme, calcoliamo il potenziale integrando il campo elettrico da un punto r esterno alla sfera all’infinito:

Al solito, assumendo nullo il potenziale all’infinito si ottiene:

q

r

R

Potenziale all’INTERNO di una sfera isolante uniformemente carica

( ) ( ) ( ) ' ( ')r

V r V V r dr E r

Per calcolare il potenziale in un punto r interno alla sfera, consideriamo una traiettoria radiale (verde) che va dal punto r ad infinito e calcoliamo il corrispondente lavoro del campo (al solito, si assume nullo V all’infinito):

Essendo la formula del campo differente nella regione interna ed esterna alla sfera, dobbiamo spezzare l’integrale in due porzioni:

3 2

1( ) ' ( ') ' ( ') ' ' '

'

R R

r R r R

qV r dr E r dr E r k dr r k q dr

R r

interno esternointerno

3'

qk rR 2'

qkr

r

R

Potenziale all’INTERNO di una sfera isolante uniformemente carica

3

( )dV r qk r

dr R

2

3

22 2

3 2

' 1( )

2 '

13

2 2

R

Rr

q rV r k k q

R r

q q rk R r kq k

R R R R

Come verifica del risultato, si può calcolare la derivata del potenziale cambiata di segno e riottenere l’espressione del campo:

3 2

1( ) ' ( ') ' ( ') ' ' '

'

R R

r R r R

qV r dr E r dr E r k dr r k q dr

R r

interno esternointerno

3'

qk rR 2'

qkr

Risolviamo l’integrale:r

R

Potenziale di una sfera isolante uniformemente carica

potenziale di una sfera uniformemente carica in funzione della distanza dal centro

andamento parabolico dentro la sfera, iperbolico all’esterno della sfera

Al bordo della sfera (r=R) le due formule coincidono

r

( )E r

R

3

k qr

R2

qkr

r

2

23

2

q rk

R R

qkr

( )V r

3

2

qk

R

R

( )( )

dV rE r

dr

La conoscenza di V(r) ci permette di ricavare il campo derivando rispetto ad r:

Potenziale di un conduttore carico

Se il campo è nullo in ogni punto, anche l’integrale è nullo, per cui, per qualsiasi i ed f:

Abbiamo visto che in un conduttore, sia esso pieno o contenente una cavità, il campo è sempre nullo in ogni punto interno al conduttore per il principio di equilibrio elettrostatico

Applicando Gauss, ne segue che le cariche in un conduttore possono essere posizionate soltanto sulla superficie esterna

Segue che il potenziale all’interno di un conduttore è SEMPRE costante in tutti i punti. Possiamo dimostrarlo facilmente:

Df

iif sdEVVV

if VV

Siano i ed f due punti qualsiasi all’interno di un conduttore; dalla formula generale della d.d.p. si ha:

Potenziale e campo elettrico di una sfera (o guscio sferico) conduttore

Potenziale: All’interno del conduttore il potenziale è

costante All’esterno del conduttore il potenziale è

uguale a quello di una carica puntiforme posta al centro della sfera

Campo elettrico: All’interno del conduttore il campo è nullo All’esterno del conduttore il campo è uguale a quello di una carica puntiforme posta al centro della sfera

qV k

r

2

qE k

r

NB: il campo elettrico ha una discontinuità al bordo della sfera, in corrispondenza della carica di superficie; la discontinuità si presenta sempre in corrispondenza di piani carichi

Conduttore neutro immerso in un campo esterno uniforme

Si verifica induzione elettrostatica: le linee di flusso non possono penetrare all’interno del conduttore, per cui si generano cariche positive e negative sulla superficie che schermano (ovvero compensano) il campo esterno in modo che sia E=0 e V costante in tutti i punti interni al conduttore

Le cariche positive sono i rubinetti del campo: da esse fuoriescono le linee; le cariche negative sono i lavandini, poiché assorbono le linee entranti

Dalla figura si nota che in condizioni elettrostatiche le linee di forza sono sempre PERPENDICOLARI alla superficie del conduttore. Se così non fosse ci sarebbero forze superficiali in grado di muovere le cariche sulla superficie, contravvenendo al principio di equilibrio elettrostatico

Il parafulmine Se il conduttore non è sferico, la carica tende ad

accumularsi fortemente sulle punte. Il parafulmine inventato da Benjamin Franklin nel 1700 è un’asta di metallo appuntita, collegata a terra da un filo conduttore

Durante il temporale, la carica elettrica negativa delle nuvole crea per induzione un forte accumulo di carica positiva sulla punta del parafulmine

_ __ _ _

++

+++

Quando la d.d.p. tra nuvole e suolo supera un valore massimo si generano i fulmini, ovvero scariche elettriche di carica negativa (in pratica un flusso di elettroni) dalle nuvole al suolo

I fulmini, attratti dalla carica positiva della punta, scaricano la tensione sul parafulmine. La carica attraversa il parafulmine e si disperde al suolo

La gabbia di Faraday

Un effetto protettivo si ottiene mantenendosi all’interno di un conduttore cavo

la corrente attraversa la superficie del conduttore ma nella cavità il campo è nullo (effetto gabbia di Faraday). L’automobile e la carrozza del treno sono buoni esempi di gabbia di Faraday

Potenziale di una piastra carica isolante Calcoliamo il potenziale elettrico di una piastra isolante infinita posta

in x=0 con densità di carica uniforme s, in un punto distante x Consideriamo il cammino d’integrazione rettilineo (rosso) che va da x ad d

a destra della piastra, e da –d ad x a sinistra; sia d abbastanza distante dal piano da poter assumere V(d)=V(-d)=0

0 0 0

( ) ( ) ' ' ( )2 2 2

x x

d dV d V x E dx dx x d V x d x

s s s

a destra (x>0):

0 0

( ) ( ) ' ( )2 2

d

xV x V d E dx d x V x d x

s s

+++++++

0

ˆ2

E xs

x̂

( )V x ( )V d

d

( )V x( )V d

0

ˆ2

E xs

d

a sinistra (x<0):

Potenziale di una piastra carica isolante Il potenziale è simmetrico ai due

lati della piastra, e decresce linearmente con |x|, ovvero con la distanza dalla piastra

il valore d è arbitrario, ma questo ha poca importanza; quello che conta è la d.d.p. tra 2 punti dello spazio, la quale non dipende da una costante additiva

La pendenza di V(x) (cambiata di segno) ci ridà il campo elettrico; notiamo che il campo ha segno differente ai due lati della piastra: rispetto ad x, infatti, il campo cambia verso

Ne segue che il campo elettrico ha una discontinuità in corrispondenza della piastra; la presenza di discontinuità in corrispondenza di piani carichi è caratteristica generale dei campi elettrici

0

( )

2

dV x

dx

s

x̂

( )E x

0

( )

2

dV x

dx

s

x̂

02

d xs

( )V x

d

02

ds

d

02

d xs

Potenziale di una piastra carica isolante Se la densità di carica

uniforme s è NEGATIVA, le formule del potenziale e del campo restano le stesse

Ciò significa che il potenzialecresce linearmente con |x|, ovvero con la distanza dal piano di carica

il campo elettrico adesso è negativo a destra, e positivo a sinistra della piastra; ciò è ovvio considerando che il campo ha verso opposto rispetto al caso della densità di carica positiva

0

( )

2

dV x

dx

s

x̂

( )E x

0

( )

2

dV x

dx

s

x̂

02

d xs

( )V x

dd

02

d xs

Potenziale di una piastra carica conduttivaNel caso della piastra conduttiva, possiamo ripetere esattamente lo stesso procedimento visto per la piastra isolante, con l’unica differenza che adesso la carica è distribuita ai due lati della piastra, e la densità s, che compare nel campo elettrico è quella relativa alla singola faccia

+++++++

0

ˆE xs

x̂

( )V x ( )V d

d

( )V x( )V d

0

ˆE xs

d

+++++++

x̂

0

d xs

( )V x

dd

0

d xs

x̂

0

d xs

( )V x

dd

0

d xs

carica positiva carica negativa

Problema Consideriamo una piastra isolante infinita (grigia) uniformemente carica

con s =1mC/m2, in posizione x=0; a distanza d = 5 cm è posta una piastra conduttiva infinita neutra (gialla); calcolare:

La densità di carica sc indotta sulle superfici del conduttore La d.d.p. tra i punti x=2 cm e x=4 cm La d.d.p. tra i punti x=2 cm e x=8 cm

Essendo le piastre infinite possiamo supporre che la densità indotta sia uniforme sulle facce del conduttore

inoltre, essendo neutro il conduttore avrà stessa densità ma di segno opposto sulle 2 facce

i campi generati da piastre infinite sono anch’essi uniformi

Il campo Econ generato dal conduttore è nullo al di fuori del conduttore, poiché le due facce del conduttore producono campi orientati in direzione opposta; dunque al di fuori della regione gialla vi è solo il campo dell’isolante Eiso

+++++++ x̂

d

s

02isoEs

+++++++ x̂

-

-

-

-

+

+

+

+

cscs

0conE 0conE

s

Problema Il campo totale Etot nella regione tra le due

piastre può essere calcolato applicando Gauss al cilindretto in figura; essendo nullo il campo all’interno del conduttore, il flusso è solo attraverso la base dA posizionata tra le piastre; dunque:

0 0

c ctot tot

dAE dA E

s s

totE

+++++++ x̂

-

-

-

-

+

+

+

+

cscs

poiché Econ è nullo tra le piastre, si ha0 02c

tot isoE Es s

Dunque sulle facce del conduttore si genera per induzione una densità ±sc= ± 0.5mC/m2; in questo modo all’interno del conduttore Econ è uguale in modulo ma opposto in verso ad Eiso per cui Etot =0

Poiché al di fuori del conduttore l’unico campo è quello dell’isolante, si ha:2

412 2 2

0

1 /5.6 10

2 2 8.85 10 /

C m N

C N m C

s m

40( 2 ) ( 8 ) / 2 5.6 10 / 6 3360V x cm V x cm x N C cm Vs D

40( 2 ) ( 4 ) / 2 5.6 10 / 2 1120V x cm V x cm x N C cm Vs D

Potenziale dovuto a distribuzioni continue di carica

Se abbiamo a che fare con distribuzioni continue di carica, e non conosciamo il campo elettrico da esse generato (ad esempio distribuzioni la cui simmetria non sia così alta da poter applicare la legge di Gauss), dobbiamo calcolare il potenziale utilizzando il calcolo infinitesimale

consideriamo un volumetto infinitesimo d3r’ all’interno della regione carica disegnata in verde, caratterizzata dalla densità r(r’); nel volumetto è contenuta una carica dq = r(r’)d3r’ (r’ è la posizione di dq nel riferimento cartesiano); il potenziale infinitesimo dV generato da dq in un punto P distante r da dq è:

( ') 'P

dq r drdV k k

r r

r

Il potenziale totale nel punto P è ottenuto integrando su tutta la regione verde in cui è presente la densità di carica:

3( ')'P

rV k d r

r

r

r

P

dq

r

x

y

z

'r

Potenziale dovuto ad una bacchetta isolante Data una bacchetta di plastica di lunghezza L e densità di carica lineare

uniforme l, calcolare il potenziale nel punto P Poniamo la bacchetta lungo l’asse x, con l’estremo sinistro della bacchetta

in corrispondenza dell’origine; consideriamo il potenziale dovuto al segmento infinitesimo dx (in giallo) con carica dq= ldx:

2 2P

dq dxdV k k

r x d

l

La chiave per risolvere l’integrale è la sostituzione di variabile:

2 20

L

P

dxV k

x dl

22 dxr

L 2 2

2 2

'

'

'

x x x d

dx dx

x x d

Potenziale dovuto ad una bacchetta isolante

Si noti che l’argomento del logaritmo è > 1, per cui il logaritmo è sempre > 0; dunque il potenziale è positivo se la densità di carica è positiva, negativo se la densità è negativa

22 dxr

L

2 2

2 2ln ln lnL L d

k L L d d kd

l l

2 2

0

'ln ' ln

'

L

P

dxV k k x k x x d

xl l l

Potenziale dovuto ad un disco carico isolante

22 'Rzr

Dato un disco isolante di raggio R e densità di carica uniforme s, calcolare il potenziale V(z) lungo l’asse z perpendicolare al disco e passante per il centro

2 2

0 0

2 ' '1 1

4 4 '

R dRdqdV

r z R

s pp p

2 200

' '( )

2 '

R R dRV z

z R

s

Consideriamo il potenziale nel punto P dovuto all’anello arancione, di raggio R’, spessore infinitesimo dR’, e carica dq:

''2 dRRdq ps

Lungo l’anello, la distanza r da P è costante, per cui il potenziale dovuto a tutto l’anello è dato da:

Il potenziale totale del disco richiede la somma su tutti gli anelli, ovvero l’integrale in dR’:

22 'Rzr

Potenziale dovuto ad un disco carico isolante

22 'Rzx

2 200

' '( )

2 '

R R dRV z

z R

s

operiamo la sostituzione di variabile:

22 '

''

Rz

dRRdx

2 2

00 0 0

( ) '2 2 2

R

V z dx x z Rs s s

2 2

0

( )2

V z z R zs

22 'Rzr

Campo elettrico del disco carico isolante

2 2

0

( )2

V z z R zs

Conoscendo il potenziale in tutti i punti lungo l’asse z, possiamo ricavare il campo elettrico lungo z (per simmetria, è evidente che il campo lungo l’asse è perpendicolare al piano del disco)

2 20

2( ) 1

2 2

V zE z

z z R

s

220

12 Rz

z

s

Limite di disco infinito

2

2 2

0 0 0

( ) 12 2 2

zV z z R z R z R z

R

s s s

2 2 20 0 0 0

2

1( ) 1 1 1

2 2 2 21

z zE z

Rz R Rz

s s s s

Nel limite R >> z (z/R 0) gli effetti di bordo diventano trascurabili, ed il disco si trasforma in un piano infinito uniformemente carico

Calcoliamo e potenziale per R >> z :

Ritroviamo il campo elettrico uniforme ed il potenziale lineare generato dal disco carico isolante, come era ragionevole attendersi

Si noti che il termine costante del potenziale dipende dal raggio infinitamente grande del disco; come visto in precedenza ricavando il potenziale dal lavoro del campo elettrico, questo termine costante è inessenziale, poiché in pratica ciò che conta realmente è soltanto la d.d.p. tra due punti distinti dello spazio