Fasi del Problem Posing

• Accettare il dato

• Elencare gli attributi

• E - se - non

• Elenco delle alternative

• Fare composizione

A cura di Alberta De Flora

Applicare la metodologia sopra descritta al seguente esempio: 1 X 2 X 3 = 6 2 X 3 X 4= 24 3 X 4 X 5 = 60 4 X 5 X 6 = 120 5 X 6 X 7 = 210 6 X 7 X 8 = 336

OSSERVAZIONI / DOMANDE 1. I risultati sono multipli di 6 2. Sono numeri in colonna e crescenti. 3. Come si fa a ricavare le regola che ci sta sotto? 4. A cosa serve? C'è qualche applicazione interessante? 5. Rappresenta un fenomeno naturale? 6. Sono forse catene di operatori? 7. A chi è venuto in mente? 8. Si può insegnare ai nostri allievi?

OSSERVAZIONE 1 (01) ( Fase: Accettare il dato) 0 X 1 X 2 = 13 - 1 1 X 2 X 3 = 23 - 2 2 X 3 X 4 = 33 - 3 3 X 4 X 5 = 43 - 4 4 X 5 X 6 = 53 - 5 5 X 6 X 7 = 63 - 6

…

più in generale: (n - 1 ) X n X ( n + 1 ) = n3 - n

per n = 1, 2, 3, ...

OSSERVAZIONE 2 (02) ( Fase: Accettare il dato ) 

0 X 1 X 2 = 0  

  6 = 6 X 1 = 6 X 1 X 11 X 2 X 3 = 6  

  18 = 6 X 3 = 6 X 3 X 12 X 3 X 4 = 24  

  36 = 6 X 6 = 6 X 3 X 23 X 4 X 5 = 60  

  60 = 6 X 10 = 6 X 5 X 24 X 5 X 6 = 120  

  90 = 6 X 15 = 6 X 5 X 35 X 6 X 7 = 210  

  126= 6 X 21 = 6 X 7 X 3

6 X 7 X 8 = 336  

  168 = 6 X 28 = 6 X 7 X 4

7 X 8 X 9 = 504  

E’ possibile prevedere come continuerà ? Facciamo la seguente congettura 6 X 9 X 46 X 9 X 56 x 11 X 5 6 X 11 X 66 X 13 X 66 X 13 X 7

OSSERVAZIONE 3 Nello schema lieto, ci sono configurazioni particolari ? Come si presentano all'interno bello schema i fattori uguali ?

1 X 2 X 3 = 6

2 X 3 X 4 = 24

3 X 4 X 5 = 60

4 X 5 X 6 = 120

5 X 6 X 7 = 210

6 X 7 X 8 = 336

Cosa accade se ai inverte l'ordine dei fattori ?

DOMANDA 1 C'è una configurazione particolari se i fattori si pensano come numeri pitagorici?

ELENCARE GLI ATTRIBUTI A1. Ci sono tre numeri naturali A2. I tre numeri sono consecutivi A3. I numeri sono collegati dall'operazione di moltiplicazioneA4. Il secondo e il primo fattore di ogni riga, così come i1 terzo fattore e il secondo differiscono di 1A5. I1 terzo fattore e il primo di ogni riga differiscono di 2 A6. I risultati sono multipli di 6A7. I fattori presi in colonna differiscono di 1 a partire de 1, quelli delle prima colonna: differiscono dì 1 a partire da 2 quelli della seconda, ecc.A8. Si hanno diagonali di numeri pari alternate a diagonali di numeri dispariA9. Nella prima riga ci sono due fattori dispari, nella seconda ci sono due fattori pari e così via.A10. In ogni riga c'è almeno un fattore pari. …

Quali domande, osservazioni e congetture suggeriscano gli attributi sopra elencati?

E-SE-NON (~A1)1 I numeri naturali implicati sono solo due.

 Si ha allora il seguente schema:  1 X 2 = 2 2 X 3 = 6 3 X 4 = 12 4 X 5 = 20 5 X 6 = 30 6 X 7 = 42

Vale ancora l'01? Come si modifica? 1 X 2 = 2 = 22 - 2 2 X 3 = 6 = 32 - 3 3 X 4 = 12 = 42 - 4 4 X 5 = 20 = 52 - 5 5 X 6 = 30 = 62 - 6 6 X 7 = 42 = 72 - 7

Cosa accadrà alla 02? 

0 X 1 = 0  

  2 – 0 = 21 X 2 = 2  

  6 – 2 = 42 X 3 = 6  

  12 – 6 = 63 X 4 = 12  

  20 – 12 = 84 X 5 = 20  

  30 – 20 = 105 X 6 = 30  

  42 – 30 = 126 X 7 = 42  

Si generalizzerà nella: 

[( n-1 ) X n]-[n X (n+1)] = 2n

ALTERNATIVE DI A2 (~A2)1: i fattori di ogni riga differiscono di 2 uno dall'altro

 Si ha allora:

1 X 3 X 5 = 15    

  33  

2 X 4 X 6 = 48   24 = 6 X 4  57  

3 X 5 X 7 = 105   30 = 6 X 5  87  

4 X 6 X 8 = 192   36 = 6 X 6  123  

5 X 7 X 9 = 315   42 = 6 X 7  165  

6 X 8 X 10 = 480    

     

…    

     

(n -2) X n X (n+2) ... 6 X (n-1)

(~A2)2: I fattori di ogni riga differiscono di 3 uno dell'altro:

 

1 X 4 X 7 = 28    

  52  

2 X 5 X 8 = 80   30 = 6 X 5  82  

3 X 6 X 9 = 162   36 = 6 X 6  118  

4 X 7 X 10= 280   42 = 6 X 7  160  

5 X 8 X 11 = 440   48 = 6 X 8  208  

6 X 9 X 12= 648    

Come generalizzare?…(~A2)3: 1 tre numeri sono numeri dispari consecutivi

 1 X 3 X 5 = 15      

  90    

3 X 5 X 7 = 105   120  

  210   485 X 7 X 9 = 315   168  

  378   487 X 9 X 11 = 693   216  

  594   489 X 11X13 = 1287   264  

  858    

11 X 13 X 15 = 2145      

Altri esempi di alternative. (~A1)2: I numeri implicati sono quattro.

 1 X 2 X 3 X 4 = 24 2 X 3 X 4 X 5 = 120 3 X 4 X S X 6 = 360 4 X 5 X 6 X 7 = 840 5 X 6 X 7 X 8 = 1680 6 X 7 X 8 X 9 = 3024

Analizzare le modificazioni in 01 e 02. (~AI)3: I numeri implicati sono cinque.

Si lascia da studiare al lettore. (~A3)1: L'operazione che li unisce è l'addizione

 1 + 2 + 3 = 6 2 + 3 + 4 = 9 3 + 4 + 5 = 12 4 + 5 + 6 = 15 5 + 6 + 7 = 19 6 + 7 + 8 = 21

La 01 diviene: 3 X 23 X 33 X 43 X 53 X 63 X 7 Quali congetture si possono fare sulla decima riga? E sulla n-esima ? La 02 diviene:

… = 6  

  3

… = 9  

  3

… = 12  

  3

… = 15  

  3

… = 18  

  3

… = 21  

1 + 2 + 3 + 4 = 10  

  42 + 3 + 4 + 5 = 14  

  43 + 4 + 5 + 6 = 18  

  44 + 5 + 6 + 7 = 22  

  45 + 6 + 7 + 8 = 26  

  46 + 7 + 8 + 9 = 30  

FARE COMPOSIZIONE Componiamo (~A3)1 con (~Al)2

 Si ha:

Cosa accade se gli addendi sono cinque, cioè (~Al)3 ° (~A3)1?

Quali previsioni o congetture si possono fare?Altri esempi di composizione.(~A2)3 ° (~A3)1

 1 + 3 + 5 = 9 = 3 X 32 + 4 + 6 = 12 = 3 X 43 + 5 + 9 = 15 = 3 X 54 + 6 + 8 = 18 = 3 X 65 + 7 + 9 = 21 = 3 X 76 + 8 + 10 = 24 = 3 X 8

(~A2)3 ° (~A3)1

 Sì ha allora:  1 + 4 + 7 = 12 = 3 X 42 + 5 + 8 = 15 =3 X 53 + 6 + 9 = 18 = 3 X 64 + 7 + 10 = 21 = 3 X 75 + 8 + 11 = 24 = 3 X 86 + 9 + 32 = 27 = 3 X 9