Fare scienza con il computer LE LEGGI DEL MOTO: PIANETI...

Fare scienza con il computer

LE LEGGI DEL MOTO:PIANETI, SATELLITI ...

14 gennaio 2015(G. Pastore - M. Peressi - E. Smargiassi)

http://www.laureescientifiche.units.it/

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Osservando il cielo:

2Pastore, Peressi, Smargiassi - UniTS - 14 gennaio 2015

Le osservazioni di Tycho Brahe

Tycho Brahe (1546-1601):Fece molte osservazioni sistematiche e rigorose, notte dopo notte, e tramite l'uso di strumenti i più accurati possibili. Credeva in un modello geocentrico [diceva che se la Terra fosse stata in moto, allora le stelle vicine avrebbero dovuto cambiare posizione relativamente alle stelle più lontane. In realtà questo effetto di parallasse esiste ma e’ piccolissimo; lui non poteva vederlo - seppure riuscisse ad apprezzare ad occhio nudo il minuto d’arco, cioe’ 1/60 di grado !)]

Keplero (1571-1630): ereditò dal suo maestro Brahe una gran quantità dei più precisi dati mai raccolti sulle posizioni dei pianeti. Appoggio’ un modello eliocentrico e provò a dare un senso ai dati suoi e di Brahe all’interno di questo.


http://it.wikipedia.org/wiki/Geocentrismo

http://it.wikipedia.org/wiki/Geocentrismo

http://it.wikipedia.org/wiki/Eliocentrismo

http://it.wikipedia.org/wiki/Eliocentrismo

Ogni pianeta si muove su un piano su un'orbita ellittica con il sole su uno dei fuochi.

La velocita’ di un pianeta cresce quando questo si avvicina al sole, in modo da coprire aree uguali in tempi uguali.

Se T e’ il periodo e a il semiasse maggiore dell'ellisse, il rapporto T2/a3 e’ lo stesso per tutti i pianeti che orbitano attorno al sole.

Leggi di Keplero (empiriche!)


Un po’ di geometria: L’ELLISSE

ellisse: F1, F2 punti focali (fissi); PF1+PF2 = costante

eccentricita: e =!

1 ! (b/a)2; a e b: semiassi maggiore e minore; misura lo

“schiacciamento” dell’ellisse (cerchio: e = 0 " a = b);

perielio: punto di minima distanza dal sole;

afelio: punto di massima distanza dal sole.

Ripassiamo l’ellisse...


Il nostro percorso:

data una forza agente su un corpoqual e’ il moto del corpo ?(la legge oraria e la traiettoria?)

(cammino diverso rispetto alla storia!Keplero conosceva la traiettoria e NON la forza)


Il nostro percorso

Dalla legge di Newton che collega la forza sul pianeta all' accelerazione dello stesso:

e dalla legge di gravitazione universale, cioe’ la legge di forza:

1) arriveremo numericamente alle leggi di Keplero. 2) sperimenteremo “cosa succede se” la legge di

forza fosse diversa

!F = mpianeta!a

F = |!F | = GmpianetaMsole

r2


La legge del moto in casi “facili”A volte (poche!) possiamo esplicitare facilmente la legge oraria del moto e risolverla “con carta e penna”; ad esempio:

- se F=0 => moto uniforme (velocita’ costante)

- se F=costante => moto uniformemente accelerato (accelerazione costante)


The deterministic method�

x(1) v(1) F(1) � x(2) v(2) F(2)� x(3) v(3) F(3)� ... ... …�

F1�F2�

F3�F4�

Discretization of the equation of motion and iteration: �A partire da: x(t=0), v(t=0), F(t=0) :

ricostruiamo il moto “a pezzettini”, considerando F (e quindi a) costante tra un fotogramma e l’altro:

.., come faccio, se F non e’ costante ...?

Pastore, Peressi, Smargiassi - UniTS - 14 gennaio 2015

La legge del moto in casi non facili...Calcoliamo a partire da .x(t)x(t + !t)

10

Anche se a(t) cambia nel tempo, la si puo’ considerare costante nell’intervallino di tempo e usare comunque l’equazione del moto uniformemente accelerato, con a(t) l’accelerazione all’inizio dell’intervallino.

!t

x(t + !t) = x(t) + v(t)!t +1

2a(t)!t

2

v(t + !t) = v(t) +1

2

!

a(t) + a(t + !t)"

!t


iterarex(t + !t) = x(t) + v(t)!t +

1

2a(t)!t

2

v(t + !t) = v(t) +1

2

!

a(t) + a(t + !t)"

!t

11

formula che va ripetutamente applicata da un intervallo a quello successivo (iterazione):

x(t) =! x(t + !t) =! x(t + 2!t) =! x(t + 3!t) =! . . .

v(t) =! v(t + !t) =! v(t + 2!t) =! v(t + 3!t) =! . . .

ATTENZIONE : la bonta’ dei risultati dipende 1) dallo “strumento” (algoritmo); 2) dalla “taratura” (intervallo )

algoritmo di VERLET

!t


Nota:

Questo “strumento” (algoritmo) puo’ essere applicato a diversi tipi di forza:

• forza gravitazionale => SISTEMA SOLARE (sole-terra, sole-pianeti, terra-satellite)

• forze elettriche e magnetiche => PROTONI IN LHC

• ...12


Per l’approccio numerico al problema:

un sistema di riferimento!

Sole fisso all’origine

Grandezze importanti: i vettori !r, !v, !a:

!r posizione, congiungente Sole-pianeta;!v velocita, sempre tangente all’orbita;!a accelerazione, diretta come !r, ma dal pianeta al Sole;indica la variazione della velocita in modulo (=valore) e/o verso.

Un sistema di riferimento (bidimensionale)per l’approccio numerico


Ricordiamo la scomposizione di un vettore vnelle sue componenti vx , vy nel piano cartesiano:

(vale per vettore posizione, velocita’, accelerazione, forza...)


Scomponiamo il motonelle due componenti cartesiane“Scomponiamo” il moto rispetto agli assi cartesiani

!r e !a sono sulla stessa direzione. Dalla similitudine dei triangoli MOP e MONrispetto ai triangoli QOR e QOS:

ax = !ax

r, ay = !a

y

rNB: “!” perche !a e !r hanno versi opposti.


Eguagliamo l’espressione di F = |!F | (modulo) nella legge di Newton

F = mpianetaa

e in quella di gravitazione universale:

F = GmpianetaMsole

r2

ottenendo:

a = GMsole

r2

(NB la massa del pianeta non entra nell’espressione dell’accelerazione =! il moto non

dipende dalla massa del pianeta, ma solo da quella del sole.)

Per ogni componente del moto:

ax = "GMsole

r2·x

r= "G

Msolex

r3

ay = "GMsole

r2·y

r= "G

Msoley

r3


• delta t (ad es. : circa ~1/1000 dell’anno solare, cioe’ 3.26x104

sec.)

• componenti posizione e velocita’: (x,y), (v_x,v_y)... a scelta si possono inserire ad es. per il perielio o per l’afelio:

uso codice per il sistema Terra-Sole (parametri inseriti gia’ di default)SOLE-TERRA: alcuni esercizi

1.99e30 massa Sole in Kg3.1558e7 periodo orbita Terra in secondi

Proviamo con:3.162e5 delta t = periodo/100100 (poi con 200, 400. . . ) nstep1.521e11 pos.x afelio, in m2.929e4 vel.y, in m/soppure:3.162e5 delta t100 (poi con 200, 400. . . ) nstep!1.4709e11 pos.x perielio, in m!3.029e4 vel.y, in m/soppure:1.581e5 delta t = periodo/200200 (poi con 400) nstep1.521e11 pos.x afelio, in m2.929e4 vel.y, in m/soppure:6.324e5 delta t = periodo/5050 nstepoppure:1.2648e6 delta t = periodo/2525 (poi provare 100, 200. . . ) nstep

SOLE-TERRA: alcuni esercizi



SOLE-TERRA: alcuni esercizi



Sulla base di quest’ultimo, si puo’ partire scegliendo un parametro di discretizzazione temporale:


1) costruiamo numericamente l’orbitae cosa troviamo ? (qual e’ il risultato dell’ “esperimento”)?

cosa vediamo? osservare i risultati!

a) viene un’orbita chiusa b) viene qualcosa che assomiglia a un’ellisse

NB: NESSUNO DI QUESTI RISULTATI E’ STATO IMPOSTO! sono tutti ottenuti “sperimentalmente” e sono conseguenza solo della legge di forza


1.bis) (avere un atteggiamento critico!)qual e’ l’affidabilita’ del risultato dell’esperimento?

a) fare piu’ passi o iterazioni (piu’ orbite: ad es. 5000 passi)Cosa si vede?

b) Cambiare l’intervallo di tempo (solo quello! si cambia sempre UNA cosa alla volta) e di nuovo osservare i risultati!

b.1) piu’ piccolo (di un fattore 2 , 5...) : cosa viene?

b.2) piu’ grande: ad es., il doppio, poi x10 o ancora di piu’ : cosa viene?a) viene un’orbita un po’ diversa da quella ottenuta primab) NON viene un’orbita chiusa c) vengono cose strane....

L’affidabilita’ dei risultati dipende da come uso lo strumento! dalla sua “taratura”!

!t

15

!t


SOLE-PLUTONE: alcuni esercizi

1.99e30 massa Sole in Kg8.8162e9 periodo orbita Plutone in secondi

Proviamo con:8.82e7 delta t = periodo/100100 (poi con 200, 400. . . ) nstep7.30433e12 pos.x afelio, in m0.0 pos.y afelio0.0 vel.x3.71e3 vel.y, in m/soppure:!4.443499e12 pos.x perielio, in m0.0 pos.y perielio0.0 vel.x!6.10e3 vel.y, in m/s

Cosa otteniamo?

• TRAIETTORIE: orbite ellittiche!

• ENERGIE: campo conservativo!

• MOMENTO ANGOLARE (AREA): costante!




Cosa otteniamo?







Cosa otteniamo?







Cosa otteniamo?







Cosa otteniamo?




La legge di gravitazione GIUSTA

Risolviamo numericamente

F = GmpianetaMsole

r2

In questo caso:

ax =!

GMsole

r2

"

x=

GMsolex

r3

e analogo per y.

Ad esempio proviamo a risolvere i casi:

• SOLE-TERRA

• SOLE-PLUTONE (maggiore eccentricita)

Cosa otteniamo?

2) sperimentiamo “cosa succede se” per altri pianeti

2.b) ad es. PLUTONEa) vale la legge delle aree (e’ conveniente verificare la legge delle aree con Plutone, dove l’eccentricita’ e’ maggiore; e’ poco significativa provarla nel caso di orbita poco eccentrica)b) dai risultati su piu’ pianeti : vale la legge periodi/semiassi


Il sistema solare - parametri utili

XAfelio YAfelio V Afeliox V Afelio

y

(!109m) (!109m) (!103m/s) (!103m/s)

XPerielio YPerielio V Perieliox V Perielio

y

(!109m) (!109m) (!103m/s) (!103m/s) s

!107

!109

massaterra

!

1 " (b/a)2

5.79 ! 1010 6.97 ! 1010

1.08 ! 1011 1.09 ! 1011

1.49 ! 1011 1.521 ! 1011

2.28 ! 1011 2.491 ! 1011

7.78 ! 1011 8.157 ! 1011

1.43 ! 1012 1.507 ! 1012

2.87 ! 1012 3.004 ! 1012

4.50 ! 1012 4.537 ! 1012

5.90 ! 1012 7.375 ! 1012

NASA's Solar System Exploration: Planets http://solarsystem.nasa.gov/planets/index.cfm

1 of 2 2-02-2007 1:04

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Our Solar System

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Beyond Our Solar System

What is a planet? The International Astronomical Union (IAU) said that the definition for aplanet is now officially known as "a celestial body that (a) is in orbit around the Sun, (b) hassufficient mass for its self-gravity to overcome rigid body forces so that it assumes ahydrostatic equilibrium (nearly round) shape and (c) has cleared the neighborhood around itsorbit." At the same time, new moons are also being discovered, both around existing planetsand within these mysterious new worlds. Once the existence of a moon is confirmed and itsorbit determined, the moon is given a final name by the International Astronomical Union(IAU), the organization that assumed this task since 1919.

Planet Named by the IAU Provisionally Named Total Moons

Mercury 0 0 0

Venus 0 0 0

Earth 1 0 1

Mars 2 0 2

Jupiter 38 25 63

Saturn 35 21 56

Uranus 27 0 27

Neptune 9 4 13

TOTAL MOONS 112 50 162

Body Type Named by the IAU Provisionally Named Total Objects

Known Dwarf Planets 2 1 3

Dwarf Planet Watch List 6 6 12

GRAND TOTAL 120 57 177

For more information about planetary moons, please refer to Planetary Satellite Discovery Circumstances.

Alien SafariClick the image on the left to discover some of the most extreme organisms on our planet, and find out what they are telling astrobiologists about the search for life beyond Earth.

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distances


3) sperimentiamo “cosa succede se” per un sistema terra-satellite:

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Luna: satellite naturale; RT = 6400 km circa, la distanza Terra-Luna e’ dTL = 384400 km circa, e quindi il rapporto dTL/RT e’ circa 60.

Vari tipi di satelliti artificiali (per telecomunicazioni, per monitorare lo stato della superficie terrestre...) con varie orbite, che si distinguono per la loro distanza media dalla terra. Le orbite GEO (Geostationary Earth Orbit) si trovano ad una altezza dalla Terra di 35000 Km.Le orbite “basse” o LEO (Low Earth Orbit) hanno invece un’altezza che varia dai 100 ai 1500 Km. In quel caso: dT-sat/RT e’ poco piu’ di 1 !!!

=> IPOTESI TERRA SFERICA ANCORA OK?


proviamo a usare il nostro programma Sole-pianetaper il sistema Terra-satellite con satellite in orbita “bassa”!Ad es.:h = 1000 km circa (quindi posizione x=7.5E06 metri)e poi ricordiamo che MT=5.98E24 kg

... che velocita’ devo mettere per farlo stare su un’orbita quasi circolare? quale periodo di rivoluzione avra’?(suggerimento: pensate che siamo molto vicini; ci aiuta la III legge di Keplero...)

.....

cosa vediamo ??? ma quale sarebbe la dimensione della Terra rispetto all’orbita del satellite, in scala giusta?


Per un satellite “a bassa orbita”,OK l’assunzione TERRA SFERICA ???

In realtà sappiamo (dal 1700) che assomiglia di più a un elissoide di rotazione

Rpoli = 6357kmRequatore = 6378km

... e soprattutto su orbite “basse”, questa variazione e’ significativa! FORZA F E ENERGIA POTENZIALE U diverse da quella per corpi puntiformi!

Per tener conto dell’effetto del rigonfiamento equatoriale terrestre per un satellite in orbita equatoriale:

Ueq (r) = −GMr

1+ J2

Rr

"

#$

%

&'2"

#$$

%

&''

J= 0.00108

variazione di 21 km!


Vedere programma satelliteper il sistema Terra-satellite con la correzione!

Possiamo lavorare con il parametro J2(se lo mettiamo =0, possiamo fare un confronto e vedere

quant’e’ l’effetto della correzione)

cosa vediamo ???


Riassunto risultati sperimentabili numericamente con l’uso codice per diversi

pianeti

• dalla Terra a Plutone : diverse eccentricita’

• legge aree : si apprezza meglio con eccentricita’ maggiore

• what-if (se cambiamo i parametri)? niente di qualitativamente nuovo sulla forma delle orbite...

• what-if (se cambiamo la legge di forza, ad es. nel caso dei satelliti LEO)? qualitativamente qualcosa di nuovo !


Per chi e’ ancora piu’ curioso: e’ sufficiente descrivere la Terra con un elissoide?


5

All’inizio del secolo, in considerazione del fatto che la forma effettiva della Terra presenta numerose irregolarità, si pensò di adottare, per la costruzione delle carte, una forma tale per cui su ogni punto della superficie un filo a piombo si disponesse in direzione perpendicolare. Il filo a piombo si dispone sempre secondo la verticale fisica del luogo. A questa forma fu dato il nome di geoide.

La superficie del geoide differisce sia dalla superficie sferica che dall’ellissoide in quanto è leggermente depressa nelle zone oceaniche e sopraelevata in quelle continentali a causa delle differenze nella gravità. Negli ultimi anni la forma del pianeta èstata rilevata con sempre maggior precisione grazie ai satellitiartificiali (come l’Echo II) che girano intorno alla Terra.In realtà il filo a piombo non si dispone in direzione del centro della terra (verticale geocentrica) perché la presenza di materiali di diversa densità alterano la geometria del campo gravitazionale. (verticale fisica)

(3 slides dalle dispense della prof. Pulvirenti, Liceo Oberdan)


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All’inizio del secolo, in considerazione del fatto che la forma effettiva della Terra presenta numerose irregolarità, si pensò di adottare, per la costruzione delle carte, una forma tale per cui su ogni punto della superficie un filo a piombo si disponesse in direzione perpendicolare. Il filo a piombo si dispone sempre secondo la verticale fisica del luogo. A questa forma fu dato il nome di geoide.

La superficie del geoide differisce sia dalla superficie sferica che dall’ellissoide in quanto è leggermente depressa nelle zone oceaniche e sopraelevata in quelle continentali a causa delle differenze nella gravità. Negli ultimi anni la forma del pianeta èstata rilevata con sempre maggior precisione grazie ai satellitiartificiali (come l’Echo II) che girano intorno alla Terra.In realtà il filo a piombo non si dispone in direzione del centro della terra (verticale geocentrica) perché la presenza di materiali di diversa densità alterano la geometria del campo gravitazionale. (verticale fisica) Pastore, Peressi, Smargiassi - UniTS - 14 gennaio 2015

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La forma reale della terra, dopo misure del campo gravitazionale

Ulteriori modifiche alla legge di forza?!Si’, pero’ ancora minori rispetto a quella introdotta per tener conto del rigonfiamento equatoriale (p. es.: deviazioni del geoide dall’ellissoide: al max qualche decina di metri)

(beh... “reale”... attenzione: questa e’ una ricostruzione che risulta “esagerata” in base alla

mappa della gravita' fatta dai satelliti, non e’ proprio cosi’....)


Dettagli sull’implementazione degli algoritmi (sistema di riferimento, scomposizione vettori,

implementazione nel codice java...)


// Imposta le condizioni iniziali pos_x[0] = _pos0x; pos_y[0] = _pos0y;

double r = Math.sqrt(pos_x[0]*pos_x[0]+pos_y[0]*pos_y[0]);acc_x[0] = -G*massaSole*pos_x[0]/Math.pow(r,3);acc_y[0] = -G*massaSole*pos_y[0]/Math.pow(r,3);

Eguagliamo l’espressione di F = |!F | (modulo) nella legge di Newton

F = mpianetaa

e in quella di gravitazione universale:

F = GmpianetaMsole

r2

ottenendo:

a = GMsole

r2

(NB la massa del pianeta non entra nell’espressione dell’accelerazione =! il moto non

dipende dalla massa del pianeta, ma solo da quella del sole.)

Per ogni componente del moto:

ax = "GMsole

r2·x

r= "G

Msolex

r3

ay = "GMsole

r2·y

r= "G

Msoley

r3

Cosi’ e’ implementato il calcolo dell’accelerazione in MotoPianeta.java , sia per i valori iniziali:

che per quelli nel generico istante di tempo “i” o “i+1”:

acc_x[i+1] = -G*massaSole*pos_x[i+1]/Math.pow(r,3); acc_y[i+1] = -G*massaSole*pos_y[i+1]/Math.pow(r,3);


Cosi’ e’ implementato l’algoritmo di Verlet per il calcolo di posizioni e velocita’ in MotoPianeta.java:

// Integra numericamente l'equazione del moto (Verlet)for (int i=0;i<niter-1;i++) {

pos_x[i+1] = pos_x[i] + vel_x[i]*dt + 0.5*acc_x[i]*dt*dt; pos_y[i+1] = pos_y[i] + vel_y[i]*dt + 0.5*acc_y[i]*dt*dt;

r = Math.sqrt(pos_x[i+1]*pos_x[i+1]+pos_y[i+1]*pos_y[i+1]);

acc_x[i+1] = -G*massaSole*pos_x[i+1]/Math.pow(r,3); acc_y[i+1] = -G*massaSole*pos_y[i+1]/Math.pow(r,3);

vel_x[i+1] = vel_x[i] + 0.5*(acc_x[i]+acc_x[i+1])*dt; vel_y[i+1] = vel_y[i] + 0.5*(acc_y[i]+acc_y[i+1])*dt; }


Note per l’uso:- lanciare BlueJ (doppio click)

- da “project - open project” selezionare Desktop e la cartella con “Keplero”

- (usare il pulsante “compile” se uno dei due rettangoli, Keplero o MotoPianeta, appaiono colorati a strisce)

- click sul tasto destro del mouse posizionato sull’icona “Keplero”

- selezionare “void main(Strings[] args)” e dare OK - si apre il pannello interattivo


Software necessario per poter svolgere a casa/scuola gli esperimenti di simulazione numerica autonomamente:

• Java SDK:http://www.java.com/en/download/manual.jsp

• BlueJ: http://www.bluej.org/download/download.html

• Sul sito: http://www.democritos.it/edu/index.php/Main/Gravitazione disponibile codice in Java per la simulazione numerica (.zip , da scaricare; poi fare “unzip”) (verra’ tenuto aggiornato anche il link relativo [Fisica->laboratori->Fare

scienza con il computer] sul sito del Progetto Lauree Scientifiche): http://www.laureescientifiche.units.it/fisicaLaboratoriStudenti.php#scienzaComputer


http://www.java.com/en/download/manual.jsp

http://www.java.com/en/download/manual.jsp

http://www.bluej.org/download/download.html

http://www.bluej.org/download/download.html

http://www.democritos.it/edu/index.php/Main/Gravitazione

http://www.democritos.it/edu/index.php/Main/Gravitazione

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