Fare scienza con il computer:

BILIARDI E CAOS

29 gennaio 2014(G. Pastore - M. Peressi - E. Smargiassi)

http://www.laureescientifiche.units.it/

La meccanica classica e il determinismo

• a = F/m ; posizione e velocita’ iniziale•"Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell'universo come

l'effetto del suo stato precedente e come la causa di quello che seguirà. Ammesso per un istante che una mente possa tener conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale mente fosse sufficientemente vasta da poter sottoporre questi dati ad analisi, essa abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell'universo assieme a quelli degli atomi più leggeri. Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi.”

•Pierre Simon de Laplace (1749-1827) "Essai philosophique sur les probabilites"

Se l’ evoluzione temporale di un sistema e’ caotica, pur essendo governata da equazioni deterministiche (leggi ben precise!), si parla di caos deterministico.

Caos deterministico

La fisica dei biliardi e’ legata al caos deterministico

La realta’ e’ un po’ complicata da tanti fattori...

per poterla studiare, la semplifichiamo (facciamo un MODELLO)

boccia puntiforme (nessuna rotazione)

tavolo e bordi perfettamente lisci (zero attrito)

urti perfettamente elastici (le bocce non si fermano mai!)

Biliardi veri...

...e biliardi modello

bocce sferiche (piu’ o meno...)

tavolo e bordi “quasi” lisci

urti “quasi” elastici(dopo un po’ le bocce si fermano!)

Modello di biliardo

!!

!v!v!

::::

!v

!v!

?

zero attrito =>1) tavolo liscio: velocita’ costante (moto rettilineo uniforme)tra un urto e l’altro contro le pareti

(allora: come cambia la velocita’ della biglia negli urti?)

2) bordi perfettamente lisci =>urti perfettamente elastici conservazione dell’energia(e’ solo cinetica in questo caso,quindi conservazione del modulo della velocita’: |v’| = |v| )Inoltre: v’// = v // e v’ = - v

v’// = v // e v’ = - v

implica

angolo di incidenza = angolo riflessione v//

v!

//

v!"

v!

Urti elastici e riflessione

Valgono le leggi della riflessione dell’ottica, con la differenza che: in ottica: tipicamente riflessioni in mezzi semiinfiniti;in un biliardo: spazio limitato e riflessioni successive

! !

(Uso del codice per biliardi rettangolari...:quali sono le CARATTERISTICHE DELLE TRAIETTORIEin termini di regolarita’ e di occupazione dello spazio?)

Parametri :

LATI biliardoe

CONDIZIONI INIZIALI del punto materiale(POSIZIONE e VELOCITA’)

N.B.: sono due vettori, quindi (x0,y0) e (v0x,v0y)oppure modulo e angolo;

per comodita’ possiamo considerare |v|=1 (in qualche unita’ di misura)

Cosa c’e’ “dentro” il codice che abbiamo usato?

(qualche spiegazione in piu’... e

l’algoritmo)

La fisica dei biliardi:urti

!v

corpi materiali dotati di una certa velocita’ che urtano uno contro l’altro o contro un

ostacolo“immobile”

!v! l’urto cambia la velocita’

la velocita’ negli urti elastici su pareti rettilinee cambia

secondo le leggi della riflessione

dell’ottica

come usare questo fatto per

calcolare la traiettoria della

biglia?L’algoritmo

v//

v!v!"

v!

//

v’// = v // e v’ = - v! !

Queste semplici leggi (v’// = v // e v’ = - v ) possono esserescritte in un programma e (usando x e y) si puo’ seguire il moto del punto materiale dopo ripetute riflessioni (molte!)

dati x,y, vx,vy al tempo t

calcolare :1) tempo per la prossima collisione2) punto di impatto3) velocita’ dopo l’urto (riflessione)

Iterare N volte (N collisioni)

L’algoritmo

! !

Ogni parete e’ descritta da un’equazione: esempio y=1.Consideriamo biglia con: x0=-0.5, y0=0.5, vx=2, vy=2

1) Quando avverra’ l’ urto (tempo di collisione, tc) con la parete y=1 ?

Lungo y e’ un moto rettilineo uniforme con velocita’ vy ;La collisione avviene dopo aver percorso lungo y un tratto pari a y0: Mettere a sistema le due equazioni:1) della parete : y =12) del moto rettilineo uniforme lungo y: y(t)=y0 + vy t=> soluzione: y0 + vy t = 1 ricavo tc=(1- y0)/vy=0.25

esempio per parete rettilinea

2) in che punto avverra’ l’ urto ?

La yc sara’ y=1 (quella della parete); la xc si trova considerando il corrispondente moto rettilineouniforme lungo x, che avviene a partire da x0 per un tempo tc : x(t) = x0 + vx te quindi xc = x0 + vx tc

3) velocita’ dopo l’urto:v’x = vxv’y = -vy

esempio per parete rettilinea

!v!v!

Se la velocita’ cambia (anche solo direzione, o solo verso, e non modulo),ci devono essere delle forze

altrimenti il moto sarebbe rettilineo uniforme, senza cambiamenti neppure di traiettoria.

Allora nei biliardi modello rettangolari agiscono delle forze negli urti:

ma solo forze perpendicolari ai bordi !!!

(ma qui non ci preoccupiamo di come son fatte le forze, solo del loro effetto)

Perche’ la velocita’ cambia?

!

!F = m!a =!!v

!t. . .

"

Possiamo variare il nostro modello di

biliardo...

e considerare biliardidi forma circolare

?

Come in ottica, la riflessione va considerata sul piano tangente alla superficie in quel punto, e gli angoli di incidenza e riflessione sono rispetto alla perpendicolare al piano tangente.

Le leggi son sempre quelle (v’// = v // e v’ = - v ) ma adesso un po’ piu’ complicate da scriversi in termini di vx e vy in un programma....

! !

...(...e le equazioni che descrivono le pareti non sono piu’ equazioni di rette, ma di un cerchio; dovremo mettere a sistema l’equazioni di cerchio e di rette...ma non lo vediamo qui)

Sempre diamo le CONDIZIONI INIZIALI del punto materiale

(POSIZIONE e VELOCITA’)

(Uso del codice per biliardi circolari...:quali sono le CARATTERISTICHE DELLE TRAIETTORIEin termini di regolarita’ e di occupazione dello spazio?)

Un modello “strano” di biliardo

Sempre valido il moto rettilineo uniforme:

x(t) = x0 + vx t y(t) = y0 + vy t

CHAPTER 6. THE CHAOTIC MOTION OF DYNAMICAL SYSTEMS 198

where ! is the angle of the needle with respect to a fixed axis along the field, µ is the magneticmoment of the needle, I its moment of inertia, and B0 and " are the amplitude and the angularfrequency of the magnetic field. Choose an appropriate numerical method for solving (6.53), andplot the Poincare map at time t = 2#n/". Verify that if the parameter $ =

!2B0µ/I/" > 1,

then the motion of the needle exhibits chaotic motion. Briggs (see references) discusses how toconstruct the corresponding laboratory system and other nonlinear physical systems.

r

(a)

L

L

r

(b)

Figure 6.14: (a) Geometry of the stadium billiard model. (b) Geometry of the Sinai billiard model.

Project 6.24. Billiard models Consider a two-dimensional planar geometry in which a particlemoves with constant velocity along straight line orbits until it elastically reflects o! the boundary.This straight line motion occurs in various “billiard” systems. A simple example of such a systemis a particle moving with fixed speed within a circle. For this geometry the angle between theparticle’s momentum and the tangent to the boundary at a reflection is the same for all points.

Suppose that we divide the circle into two equal parts and connect them by straight lines oflength L as shown in Figure 6.14a. This geometry is called a stadium billiard. How does the motionof a particle in the stadium compare to the motion in the circle? In both cases we can find thetrajectory of the particle by geometrical considerations. The stadium billiard model and a similargeometry known as the Sinai billiard model (see Figure 6.14b) have been used as model systemsfor exploring the foundations of statistical mechanics. There also is much interest in relating thebehavior of a classical particle in various billiard models to the solution of Schrodinger’s equationfor the same geometries.

1. Write a program to simulate the stadium billiard model. Use the radius r of the semicirclesas the unit of length. The algorithm for determining the path of the particle is as follows:

(a) Begin with an initial position (x0, y0) and momentum (px0, py0) of the particle such that|p0| = 1.

(b) Determine which of the four sides the particle will hit. The possibilities are the top andbottom line segments and the right and left semicircles.

ma ben piu’ complicato ora scrivere delle equazioni per calcolare il tempo e il punto di impatto

(suggerimento: dividere i casi: bordo rettilineo sopra, sotto, semicerchio destro, sinistro)

(Uso del codice per biliardi a stadio...:

singola traiettoria;traiettorie con condizioni iniziali leggermente diverse

quali sono le CARATTERISTICHE DELLE TRAIETTORIEin termini di regolarita’ e di occupazione dello spazio?)

biliardi rettangolari

Abbiamo provato:

(anche “troppo” regolari! se i lati stanno tra loro come due numeri interi m e n,e la biglia viene lanciata a 45o , dopo m+n-2 urti la biglia finisce in un altro angolo!)

biliardi circolari biliardi ”a stadio”

Abbiamo poi provato:

?

Electronic and Optical Billiards - Taylor Lab http://materialscience.uoregon.edu/taylor/science/taylor_lab.html

2 of 8 5-12-2005 0:59

between the layers of GaAs and AlGaAs. By shaping the gate patterns to form anenclosed region, the device becomes analogous to a billiard table (Fig. 3).

Figure 3 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Figure 4

The current project investigates billiard shapes designed to induce chaos in theclassical electron trajectories. The Sinai billiard, shown in Fig. 4, is of particular interest. The 'empty' square has been predicted to support stable (i.e., non-chaotic)trajectories. By inserting a circle at the centre of the square, the billiard is transformedinto the 'Sinai' geometry, named after the Russian chaologist who, back in 1972,predicted that this billiard would generate chaotic trajectories. Figure 5 shows the state-of-the-art multilevel gate architecture we use to investigate Sinai's proposal - thefundamental transition to chaotic behaviour in a controllable, physical environment.Whereas transitions to chaos have previously been observed in systems such as apendulum and a dripping tap, here we induce the transition in the flow of fundamental particles - electrons. In addition to addressing fundamental aspects of chaology, theresults are of interest to the electronics industry, where the ability to exploit theextreme sensitivity of chaotic behaviour is important. This work serves as a demonstration of the precision with which semiconductor technology can tuneelectronic properties of small devices.

In un biliardo di forma quadrata o rettangolare le traiettorie sono regolari.Inserendo un ostacolo circolare, la geometria del biliardo genera delle traiettorie caotiche: le superfici curve degli ostacoli sferici hanno un effetto “defocalizzante” e fanno si’ che piccole differenze nelle condizioni iniziali delle due biglie vengano amplificate... e dopo pochi rimbalzi, due traiettorie inizialmente simili hanno un’evoluzione completamente diversa

(“biliardo di Sinai”, un matematico russo che ha scoperto il fenomeno nel 1972e l’ha dimostrato in modo rigoroso - con formule!)

Modelli “strani” di biliardo

Dal caos ai sistemi complessi Dal caos ai sistemi complessi

A. RapisardaA. Rapisarda 1515

Il biliardo di SinaiIl biliardo di Sinai

Il matematico russo Sinai ha provato in maniera rigorosa che questo tipo di biliardo è caotico

Sinai

CHAPTER 6. THE CHAOTIC MOTION OF DYNAMICAL SYSTEMS 198

where ! is the angle of the needle with respect to a fixed axis along the field, µ is the magneticmoment of the needle, I its moment of inertia, and B0 and " are the amplitude and the angularfrequency of the magnetic field. Choose an appropriate numerical method for solving (6.53), andplot the Poincare map at time t = 2#n/". Verify that if the parameter $ =

!2B0µ/I/" > 1,

then the motion of the needle exhibits chaotic motion. Briggs (see references) discusses how toconstruct the corresponding laboratory system and other nonlinear physical systems.

r

(a)

L

L

r

(b)

Figure 6.14: (a) Geometry of the stadium billiard model. (b) Geometry of the Sinai billiard model.

Project 6.24. Billiard models Consider a two-dimensional planar geometry in which a particlemoves with constant velocity along straight line orbits until it elastically reflects o! the boundary.This straight line motion occurs in various “billiard” systems. A simple example of such a systemis a particle moving with fixed speed within a circle. For this geometry the angle between theparticle’s momentum and the tangent to the boundary at a reflection is the same for all points.

Suppose that we divide the circle into two equal parts and connect them by straight lines oflength L as shown in Figure 6.14a. This geometry is called a stadium billiard. How does the motionof a particle in the stadium compare to the motion in the circle? In both cases we can find thetrajectory of the particle by geometrical considerations. The stadium billiard model and a similargeometry known as the Sinai billiard model (see Figure 6.14b) have been used as model systemsfor exploring the foundations of statistical mechanics. There also is much interest in relating thebehavior of a classical particle in various billiard models to the solution of Schrodinger’s equationfor the same geometries.

1. Write a program to simulate the stadium billiard model. Use the radius r of the semicirclesas the unit of length. The algorithm for determining the path of the particle is as follows:

(a) Begin with an initial position (x0, y0) and momentum (px0, py0) of the particle such that|p0| = 1.

(b) Determine which of the four sides the particle will hit. The possibilities are the top andbottom line segments and the right and left semicircles.

“a stadio”: geometria piu’ semplice, basta una deformazione del bordo circolare per generare traiettorie caotiche

Modelli “strani” di biliardo

a stadio (Bunimovich)

(di Sinai)

Esempio dei biliardi “a stadio”:

Partiamo da due biglie con posizioni e/o velocita’ quasi identiche (differenze diciamo dell’ordine di 10−5); calcoliamo dopo ogni riflessione la differenza ∆s cosi’ definita:

Si puo’ studiare ∆s in funzione del numero di riflessioni n: ha una certa legge matematica con un parametro che dipende da L

Si puo’ “misurare” il caos?

!s =!

|!r1 ! !r2|2 + costante · |!v1 ! !v2|2

Riassumendo e per finire con qualche spunto di riflessione, piu’ in generale:

Sistemi caotici

Se l’evoluzione di un sistema dipende sensibilmente dalle condizioni iniziali, cioe’ se piccole variazioni nelle condizioni iniziali (posizioni, velocita’) causano poi differenze molto grandi, il sistema e’ caotico. (in metereologia: "effetto farfalla")

caos e impredicibilita’

caos e casualita’

....