1

Euclide e gli

Elementi

V.

L’età ellenisticaÈ il periodo che va dalla morte di Alessandro

Magno (323 a. C.) alla conquista romana dell’Oriente. Si afferma un nuovo tipo di civiltà frutto del connubio fra la civiltà greca o ellenica e quella dei popoli d’Oriente.I grandi stati ellenistici cosmopoliti favoriscono i commerci a lunga distanza e la circolazione delle idee. La lingua greca si diffonde in tre continenti e diventa lingua internazionale.Il nuovo baricentro culturale è Alessandria d’Egitto.Tolomeo I vi fonda un grande centro di ricerca scientifica internazionale il Museo.Oltre alla matematica si sviluppano le altre scienze: la meccanica, l’ottica, l’idrostatica, l’acustica, la cartografia, l’astronomia, la medicina e le tecniche. Nascono le grandi biblioteche pubbliche

2

Euclide (300 a.C.)Alessandria

Gli Elementi sono il più perfetto esempio di assiomatica antica.

uno puramente logico della dimostrazione

Due criteriuno extralogico dell’evidenza

A partire da alcune proprietà primitive (assiomi) la cui intelligibilità è garantita dall’evidenza, si ricavano deduttivamente tutte le altre proposizioni (teoremi).Visione epistemologica della matematica di stampo platonico

Gli Elementi di Euclide, Classici della scienza, Utet, Torino 1988

Platone (IV sec. a.C.), considerava la matematica razionalità pura.

Nella Repubblica distingue fra le genuine forme geometriche e i disegni materiali.

Socrate a Trasimaco:“Sai dunque pure che [i geometri] si servono di figure visibili e ragionano su di esse, ma non ad esse pensando, bensì a ciò di cui quelle sono le immagini, ragionando sul quadrato in sé, e sulla diagonale in sé, e non su quella che disegnano. Lo stesso si dice per tutte le figure, che essi modellano e disegnano, di cui si servono come immagini (a guisa di ombre e di immagini riflesse nelle acque) cercando di vedere i veri enti, che non si possono vedere se non con il pensiero”.(La Repubblica)

3

I-VI geometria piana (V teoria delle proporzioni)VII-IX teoria dei numeri

13 Libri X gli incommensurabiliXI-XIII geometria solida

Gli Elementi sono uno dei libri più studiati e riprodotti nella storia e hanno sempre avuto un ruolo

importante nell’insegnamento scolastico. Sono una raccolta, un perfezionamento e

sistemazione rigorosa di molte delle conquiste della matematica greca classica.

Iniziano con l’enunciazione dei termini, dei postulati e delle nozioni comuni su cui è costruita tutta

l’opera. I termini illustrano gli enti matematici introdotti (punto, retta, …), le nozioni comuni sono

verità generali applicabili a tutte le scienze, i postulati sono le verità base della geometria la cui validità è garantita dall’evidenza e dall’intuizione.

{

Elementi, Libro ITermini (Óroi) (sono 23)

I. un punto è ciò che non ha partiIV. la retta è la linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti XXIII. rette parallele sono quelle che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti

Postulati (aitémata)I. Si può tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasiII. Si può prolungare indefinitamente una retta finitaIII. Si può descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasiIV. Tutti gli angoli retti sono ugualiV. Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.

4

I primi tre traducono in termini geometrici le operazioni pratiche degli arpedonapti egizi:

- tendere una corda tra due punti- tracciare un cerchio usando una corda fissata ad un paletto infisso nel terreno

i postulati individuano un sistema di proprietà primitive “evidenti di per sé” e di operazioni possibili partendo dalle quali il geometra possa con il solo ragionamento logico ricavaretutto l’edificio della geometria.

Euclide parla di cerchi e di rette e ciò equivale a dire che isoli strumenti ammessi sono la riga e il compasso

Nozioni comuni (koinaì énnoiai)I. Cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra di loroII. Se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi sono ugualiIII. Se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti sono ugualiIV. Cose che coincidono l’una con l’altra sono uguali l’una con l’altraV. L’intero è maggiore della parte.

♦ A partire da queste proposizioni primitive, Euclide ricava in modo puramente deduttivo tutte le altre proposizioni (467).

♦ Le proposizioni degli Elementi, sono di due tipi:- in alcune di esse si dimostra che una certa affermazione è vera (teoremi), - nelle altre si costruisce un oggetto a partire da altri oggetti (problemi) utilizzando solo i tre postulati costruttivi che, quantunque Euclide non lo dica esplicitamente, corrispondono all'uso della riga e del compasso.Negli Elementi problemi e teoremi si alternano in una perfetta concatenazione logica.

5

Euclide, infatti, in linea di massima non introduce un oggetto geometrico se prima non ne ha data la costruzione e questo talvolta rende le dimostrazioni più complicate:Per Esempio:nella proposizione 5 del I libro relativa all'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele non si serve della bisettrice perché ne darà la costruzione solo nella successiva proposizione I. 9.

♦ La costruzione dell’oggetto geometrico viene a porsi, in certo qual modo, come una garanzia dell'esistenza dell'ente che si costruisce (Zeuthen)

• •

La differenza con l’assiomatica moderna sta nel fatto che in quest’ultima gli enti primitivi di una teoria matematica sono definiti implicitamente tramite gli assiomi che ne regolano il comportamento matematico formale e non si riferiscono alla natura degli enti stessi. Gli assiomi sono considerati unicamente come proposizioni iniziali di una teoria deduttiva con l’unica richiesta che siano non-contraddittori.

Cade il requisito dell’evidenza.

6

Sarà David Hilbert (1862-1943) a sviluppare completamente il punto di

vista formalista

Celebre è l’esordio dei suoi Grundlagen der Geometrie(1899): “Consideriamo tre diversi sistemi di oggetti: chiamiamo punti gli oggetti del primo sistema e li indichiamo con A, B, C,…; chiamiamo rette gli oggetti del secondo sistema e li indichiamo con a, b, c,..; chiamiamo piani gli oggetti del terzo sistema e li indichiamo con α, β, γ,…Noi consideriamo punti rette piani in certe relazioni reciproche ed indichiamo queste relazioni con parole come ‘giacere’, ‘fra’, ‘congruente’; la descrizione esatta e completa ai fini matematici di queste relazioni segue dagli assiomi della geometria”

.

Il V postulato negli Elementi di EuclideIl postulato delle parallele, già nella formulazione è più complesso degli altri e, andando al di là dei dati forniti dall’esperienza (che si riferiscono solo allo spazio accessibile ai nostri sensi e non all’infinito), risulta meno evidente. Euclide stesso sembra essersi reso conto di ciò, infatti lo utilizza il più tardi possibile e le prime 28 proposizioni del I libro vengono dimostrate senza farne uso. Prop. I. 29 “Una retta che cada su rette parallele, forma angoli gli angoli alterni uguali fra loro, l’angolo esterno uguale all’angolo interno ed opposto, ed angoli interni dalla stessa parte la cui somma è uguale a due retti”.

AB e CD sono rette parallele per ipotesi.Il ragionamento è condotto per assurdo. Se fosse AEF>EFD, allora EFD+BEF <AEF+BEF (=2R),che dunque risulterebbe minore di due retti e quindi,per il V postulato, le rette AB e CD si dovrebberoincontrare dalla parte di B e D e questo è in contraddizione con l’ipotesi di parallelismo.

A

C

B

D

E

F

7

Nella proposizione successiva I. 30 Euclide dimostra che le parallele ad una stessa retta sono parallele tra loro, cioè la proprietà transitiva del parallelismo.Proclo (V sec.), commentatore di Euclide, osserva che da questa proposizione si ricava immediatamente il fatto che è unica la parallela per un punto dato.

Prop. I. 32 “In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti”

Questa proposizione è molto importante perché mostra una delle conseguenze più significative del V postulato, cioè che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti.

A

B C D

α

β

E

γ

ε

δ

I commentatori di Euclide, nel corso dei secoli, produssero innumerevoli tentativi di dimostrare il V postulato - cercando di dimostrare il V postulato a partire dagli altri quattro,- modificando la definizione di rette parallele- cercando di costruire una geometria in cui valgano i primi quattro postulati, ma si neghi il V nella speranza di arrivare ad una contraddizione.

La storia delle geometrie non-euclidee inizia quando, grazie a C.F. Gauss (1777-1855), il problema fu posto in una forma tale da poter essere risolto, quando cioè ci si chiese se effettivamente il V postulato fosse dimostrabile. Furono così sviluppate geometrie sopprimendo qualcuno dei postulati alla base dell’edificio geometrico creato da Euclide. J. Bolyai (1802-1860)N. I. Lobatchevsky (1793-1856)B. Riemann (1826-1866)

8

Elementi, Libro II dimostrazione geometrica rigorosa delle identità

usate dai BabilonesiProp. II. 4“Se si divide a caso una linea retta, il quadrato di tutta la retta è uguale alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo compreso dalle parti”. Prop. II.5“Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta, insieme col quadrato della parte compresa fra i punti di divisione, è uguale al quadrato della metà della retta”. (a +b)(a - b) = a2 - b2

a b a-b

a b

(a + b)2 = a2 + b2 +2ab

II.5 R(AD, DB) + Q(CD) = Q(CB)

ADFE = ACHE + CDFH

= CBKH + FKNM = gnomone CBKNMFH = Q(CB) - Q(CD)

cioèR(AD, DB) = Q(CB) - Q(CD)

A C D B

F

M

K

N

H

LER(AD, DB) + Q(CD) = Q(CB) c.d.d.

Questa proposizione esprime anche il fatto che il massimo fra tutti i rettangoli isoperimetrici è il quadrato, infatti qualunque rettangolocostruito sulle parti disuguali in cui può essere diviso il segmento ABha area minore del quadrato costruito sulla sua metà.

9

Prop. VI.27“Di tutti i parallelogrammi applicati ad una stessa retta e che siano mancanti di parallelogrammi simili e similmente disposti rispetto a quello descritto sulla metà della retta, è massimo il parallelogramma che è applicato alla metà della retta ed è simile al parallelogramma mancante”.

A C

D

BK

F

Questa proposizione ha un significato “algebrico” importante. Riferiamoci per semplicità al caso in cui (AD) sia un quadrato.Se indichiamo con S l’area del rettangolo (AF) la VI.27 ci dice quale èil valore massimo di S e stabilisce la separazione fra i casi in cui è possibile e quelli in cui è impossibile risolvere il problema che si traduce nell’equazione 02 =+− Saxx

F

A

S

axA

F

x

Area del rettangolo (AF) : 0 )( 2 =+−→−= SaxxxxaS

2

2

2

2 cioè

02

se reali soluzioni hanno si

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤

≥−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

aS

Sa

Sa

2a

Fra tutti i rettangoli (AF) costruiti su AB e mancanti di un quadrato,quello massimo è il quadrato costruito su AC.

B

D

C

Il problema si può risolvere se S non superail quadrato costruito sulla metà di AB.

10

V libro - La teoria delle proporzioni(Eudosso di Cnido, ca. 408-355 a.C.)

Alla base della teoria stanno tre concetti grandezza meghethosrapporto logosproporzione analoghia

V.1 “Una grandezza è parte di una grandezza, la minore di quellamaggiore, quando essa misuri la maggiore” - sottomultiploV.2 “La grandezza maggiore è multipla di quella minore quando sia misurata dalla minore” - multiplo V.4 “Si dice che hanno fra loro rapporto le grandezze le quali possono, se moltiplicate superarsi reciprocamente” - postulato di Eudosso-ArchimedeL’insieme delle grandezze su cui opera Euclide è un insieme in cui è definito un ordinamento totale (la relazione > che permette, date due grandezze A e B, di dire se A>B o B>A e se nessuna delle due è verificata A=B) e da cui sono escluse quelle grandezze per cui non vale il postulato di Eudosso-Archimede (gli infiniti e gli infinitesimi)

V.3 “Rapporto fra due grandezze omogenee è un certo modo di comportarsi rispetto alla quantità”

La vera definizione operativa del V libro è quella di proporzioneV.5 “Si dice che [quattro] grandezze sono nello stesso rapporto, una prima rispetto ad una seconda ed una terza rispetto a una quarta, … quando presi equimultipli qualunque della prima grandezza e della terza, ed equimultipliqualunque della seconda e della quarta, secondo che il multiplo della prima sia maggiore, uguale o minore del multiplo della seconda, l’equimultiplo della terza è corrispondentemente maggiore, uguale o minore dell’equimultiplo della quarta”In simboli, date quattro grandezze A, B, C, D, diremo che A : B = C : D

kDmCsesoloesekBmAkm ≥≥∀ ,< <

Questa definizione vale sia per le grandezze commensurabili che per quelle incommensurabili

11

Definizione di rapporto maggioreV.7 “Quando, degli equimultipli, il multiplo della prima grandezza è maggiore del multiplo della seconda, ma il multiplo della terza non è maggiore del multiplo della quarta, si dice allora che la prima grandezza ha, rispetto alla seconda, rapporto maggiore di quello che la terza ha rispetto alla quarta”.Si ha A : B > C : D se

cioè A : B è maggiore di C : D quando è possibile fra i due rapporti inserire un numero razionale k/m : C : D k : m < A : B

kDmCkBmAchetalikm ≤>∃ ma ,

mkDCmkBA :: ma :: ≤>

≤

Le def. V.5 e V.7 individuano la struttura dell'insieme dei rapporti: un insieme totalmente ordinato in cui i rapporti razionali formano un sottoinsieme denso (dati due rapporti disuguali è possibile trovare un rapporto razionale compreso fra quelli).

Rapporti fra grandezze e numeri realiLa definizione del concetto di numero reale è relativamente recente e risale agli anni 1870-1875 in cui si ebbero tre diverse sistemazioni, sostanzialmente equivalenti dovute a G. CANTOR, C. MERAY e R. DEDEKIND. La più semplice è quella di Dedekind che in Stetigkeit und irrazionale Zahlen (1872) confronta il sistema numerico con i punti della retta per scoprire quale sia la proprietà che garantisce la continuità della retta stessa e che non è soddisfatta se ci limitiamo ai numeri razionali.

Numeri Punti della retta

1.Se a>b e b>c, allora a>c l. se p sta a destra di q e q a destra di r, allorap sta a destra di r

2. Se a è un numero distinto da c, allora 2. Se p è un punto distinto da r, alloraesistono infiniti numeri fra a e c. esistono infiniti punti fra p e r3. Se a è un numero dato, allora tutti i numeri 3. Se p è un punto dato, allora tutti i puntidel sistema si ripartiscono in due classi A1 e della retta si ripartiscono in due classi P1 e P2A2, contenenti ciascuna infiniti elementi, la contenenti ciascuna infiniti elementi, la primaprima A1 comprende tutti gli a1 che sono minori P1 comprende tutti i punti p1 che stanno adi a e la seconda classe tutti gli a2 che sono sinistra di p e la seconda P2 tutti i punti p2 chemaggiori di a. stanno a destra di p.

essere maggiore di (numeri razionali) essere a destra di (punti della retta)

12

“Se una ripartizione di tutti i punti della retta in due classi è di tale natura che ogni punto di una delle classi stia a sinistra di ogni puntodell'altra, allora esiste uno e un solo punto dal quale questa ripartizione di tutti i punti in due classi, o questa decomposizionedella retta in due parti, è prodotta.”

Ad ogni razionale corrisponde un punto della retta, invece esistono infiniti punti cui non corrisponde alcun numero razionale

• •1

2

2

Occorre ampliare il campo numerico con la considerazione di nuovinumeri in modo da ottenere la continuità come sulla retta.Bisogna dunque definire che cosa si intende per continuità cioèformulare una "proprietà caratteristica e precisa della continuità, la quale possa servire di base a deduzioni vere e proprie”:

Ogni sezione della retta è prodotta da un punto

Un tale principio non ha il corrispondente tra i numeri razionali. Occorre dunque, dice Dedekind, creare dei nuovi numeri, i numeri irrazionali:

“Orbene, ogni volta che è data una sezione (A1, A2) che non sia prodotta da nessun numero razionale, noi creiamo un nuovo numero, un numero irrazionale α che noi consideriamo completamente definito da questa sezione; noi diremo che il numero α corrisponde a questa sezione e che esso la produce”.

Il sistema numerico così ottenuto è continuo dato che ogni sezione

è prodotta da un numero.

L’analogia tra numeri reali e i rapporti euclidei fra grandezze sta

nel modo di confrontare fra loro due numeri reali Richard Dedekind ( 1831-1916)

13

Si vogliano confrontare due numeri reali α e β definiti rispettivamente dalle sezioni α = (A1,A2) e β = (B1, B2).Ci sono tre possibilità1) A1 = B1 e dunque A2= B2le sezioni sono identiche e definiscono lo stesso numero reale: α=β2) Esiste almeno un elemento a ∈ A1 che ∈B2a ∈ A1 dunque a < αma a ∈B2 dunque a > β α > β3) Esiste almeno un elemento b ∈ B1 che ∈ A2b ∈ B1 dunque b < βma b ∈A2 dunque b > α α < β

Consideriamo il punto 2). Per confrontare α e β non abbiamo operato direttamente su di essi, ma abbiamo inserito fra i due un numero razionale, proprio come per confrontare i due rapporti A:B e C:D Euclide ha inserito fra essi un rapporto razionale.

β < a < α

Differenzedi carattere operativoi numeri reali sono così versatili ed efficienti (su di essi possiamo fare non

solo operazioni aritmetiche, ma algebriche e trascendenti) da poter essere messi a fondamento dell’analisi.Questo non è possibile con i rapporti euclidei (le operazioni più elementari sono macchinose, mancano lo zero e i rapporti negativi)di carattere concettualeil numero reale è un elemento di base e non si decompone in oggetti più semplici, il rapporto invece è una relazione fra le grandezze che lo compongonoruoli diversinell’analisi moderna il concetto di numero reale ha una posizione centrale, preliminare a qualsiasi sviluppo della teoria, al contrario nella teoria delle proporzioni il rapporto non ha una posizione centrale: la nozione fondamentale è quella di proporzione o meglio di grandezze in proporzione.

14

Il metodo di esaustioneper il calcolo di aree e volumi di figure non scomponibili in

parti uguali (per cui oggi si usa il calcolo infinitesimale)

Ideato da Eudosso di Cnido fu utilizzato da Euclide e da Archimede.- Non è un metodo euristico, ma serve per dimostrare in modorigoroso risultati ottenuti per altra via.- Coinvolge solo l’infinito potenziale e non quello attuale.

Per esempio, si voglia dimostrare che una figura A è equivalente ad una figura B di area nota, bisognerà dimostrareche non può essere A>B né A<B.

- Doppia riduzione all’assurdo

L’algoritmo di EuclideProp. VII,1“Se si prendono due numeri disuguali e si procede [a sottrazioni successive], togliendo di volta in volta il minore dal maggiore, [la differenza dal minore e così via], se il numero che [ogni volta] rimane non divide mai quello che immediatamente lo precede, finché rimanga solo l’unità, i numeri dati all’inizio saranno primi fra loro” (p. 435)Prop. VII,2“Dati due numeri che non siano primi fra loro, trovare il loro massimo comun divisore (tò méghiston autón métron)” (p. 436)

2 1 3 1 4 67 24 19 5 4 148r 19 r 5 r 4 r 1 r 0 4

11

13

11

122467

++

++=

15

Numeri primiProp. IX, 20 “Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre”

Siano A, B, C numeri primi assegnati

Affermo che esiste almeno un quarto numero primo

Considero K = A·B·C +1

a se K è primo la tesi è dimostrata

a se non lo, è ammette divisore primo D (VII,31) Affermo che D ≠ A, B, C : se infatti fosse D uguale ad uno dei numeri A, B, o C, dividerebbe il loro prodotto A·B·C , ma D divide anche K = A·B·C +1, quindi D dovrebbe dividere anche la differenza tra A·B·C +1 e A·B·C , ossia l’unità: il che è assurdo.Quindi … (infinito potenziale)

Il matematicoG. Hardycita questo teorema come esempio di “bella” matematica

Il crivello di Eratostene (III sec. a. C.)

Il crivello è una specie di setaccio che scartando i numeri composti permette di determinare i numeri primi.

Volendo determinare tutti i numeri primi minori di N si procede nel seguente modo:

si scrivono tutti i numeri da 1 a N in ordine crescente

si eliminano tutti i numeri pari, tranne il 2

si eliminano tutti i multipli di 3 dopo il 3

si eliminano tutti i multipli di 5 dopo il 5

si continua così finché non sono stati eliminati tutti i numeri composti.

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 5 711 13 17 19

23 2931 3741 43 47

53 5961 6771 73 79

83 8997

...sono rimasti i numeri primi contenuti nei primi 100 naturali.Che 1 debba o meno essere considerato primo è un fatto

convenzionale, tuttavia risulta più conveniente non considerarlo primo

N= 100

Come funziona il crivello di Eratostene