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II.La matematica egizia

“Salute a te o Nilo che sei uscito dalla terrache sei venuto a far vivere l’Egitto!Occulto di natura, oscuro di giorno,

lodato dai suoi seguaci;È lui che irriga i campi, che è creato da RA per

far vivere tutto il bestiame …”Inno al Nilo

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Fonti per la matematica egizia

I testi matematici egizi di epoca pre-greca finora conosciuti sono sette e appartengono all'arco di tempo che va dal 2000 al 1600 a.C. e sono scritti in ieratico, la scrittura corsiva egizia:

Papiro Rhind (circa 1650 a.C.), Eisenlohr 1877, Peet 1923, A. Chace 1927Rotolo di Cuoio ( circa 1650 a.C.), Glanville 1927Papiro di Mosca ( circa 1850 a.C.), Struve 1930Papiro di Berlino ( circa 1800 a.C.), Schack-Schackenburg 1900Papiro di Kahun ( circa 1850 a.C.), Griffith 1898Papiro Reisner ( circa 1880 a.C.), Simpson 1963-69e due tavolette di legno risalenti al 2000 a. C., 1901, 1906

Lo studio di questi testi ebbe inizio oltre un secolo fa dopo che fu decifrata, ad opera di J.F. Champollion (1790-1832), la scrittura egizia.

Scoperta nel 1799 da un ufficiale del Genio francese P. F. Bouchard, presentava inciso un decreto di Tolomeo V scritto in geroglifico, demotico e greco.Già l’inglese T. Young ci era cimentato nella decifrazione senza ottenere risultati definitivi. La difficoltà nasceva dal fatto che la scrittura geroglifica non è semplicemente ideografica, né propriamente alfabetica, ma è in parte fonetica. Champollion fin dall’età di 14 anni aveva cominciato a interessarsi di geroglifici e aveva studiato in poco tempo oltre al latino e al greco anche l’ebraico, il siriaco, il caldeo e il copto.

La stele di Rosetta

486 parole greche per1419 geroglifici

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Caratteri della matematica egizia♦ I problemi sono generalmente pratici, connessi con l'ingegneria edile, con la distribuzione di vettovaglie tra soldati e operai,con l'attività agricola o sono problemi di tipo amministrativo relativi a contratti, elargizioni, corresponsione di paghe, censimenti, tassazione e bilanci.♦ le soluzioni sono ricette di calcolonon c’è simbolismo, non ci sono formulenon ci sono spiegazioni dei procedimenti, né dimostrazioni♦ non c’è suddivisione fra aritmetica, algebra, geometria♦ livello prescientifico♦ manuali scolastici Casa dei rotoli di papiro biblioteche, archivi

insegnamento di livello elementarescrivere e contare

Case della vita insegnamento superiorespecializzazione

Lettera dello scriba Hori ad Amenemope

“Deve essere costruita una rampa di 730 cubiti, larga 55, consistente di 120 corsi di mattoni, alta 60 cubiti alla sommità, 30 alla metà, mentre l'inclinazione è di 15 cubiti. Viene richiesta la quantità di mattoni necessari per essa”.

“Devi vuotare il magazzino che è pieno di sabbia fatto sotto l'obelisco: misura 30 per 20 cubiti in pianta e conta 100 scomparti larghi 44 e alti 50 cubiti. Calcola quanti uomini possono vuotarlo in 6 ore”.

“Ti trovi in Siria con un corpo di spedizione di 5000 uomini. Tisono portate provvigioni inferiori al fabbisogno regolare di razioni giornaliere di pane, carne e birra. Ripartiscile in proporzione a quanto è dovuto ad ognuno”.

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Sistema di numerazione e tecniche di calcolo nell’aritmetica egizia

Papiro Rhind (1800, 1650 a.C.)“Regole per scrutare la natura e per conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto”

Sistema di numerazione decimale additivo, senza lo zero

14.724

100.000+20.000+1000+20+3

100.000+10.000+1000+200

2500 a. C.

Il passaggio dalla scrittura geroglifica a quella ieratica (circa 2400 a.C.) portò spesso a raggruppare in un unico segno i simboli ripetuti producendo così un aumento del numero dei simboli numerici.

5

24) (Rhind 819

61) e 38 (Rhindfigura segno, ty.t enerica unitaria g frazione

parti due le rwy

81

412

32

21

++=

=><

>=<

L'insieme numerico su cui operano gli Egizi è l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero cui vanno aggiunte tutte le frazioni del

tipo 1/n con n intero positivo e la frazione particolare 2/3.

1/n < r > = parte

Cubito reale, circa 1550 a.C.

n

La moltiplicazione e la divisione

Il metodo di calcolo è basato su raddoppiamenti successivie si fonda sul fatto che ogni numero naturale diverso da 0 si può esprimere in uno ed un solo modo come somma di potenze distinte di 2 con esponente intero ≥ 0.

12×12= 22×12 + 23×12 = 48 + 96 = 144

(Rhind, 32)

6

“aggiungi a cominciare da 80 fino a ottenere 1120”

Non sempre nella divisione si può ottenere il dividendo come somma di multipli del divisore, per cui si ricorre ai sottomultipli

si incomincia a dividere per 2 dal momento in cui la somma dei dividendi parziali supera 19

Tavola 2: n (Rhind recto)con dispari da n=5 a n=101

- è espresso come somma di al più 4 frazioni unitarie2 : n - non compaiono termini ripetuti

- i denominatori sono in ordine crescente- i numeri che seguono il primo sono reciproci di multipli di n

Es. 2:7 non è espresso come 1/7+1/7 ma come 1/4 + 1/28 per ottenere una maggiore maneggevolezza del risultato. Infatti dovendo raddoppiare una seconda volta, si otterrebbe 1/7+1/7+1/7+1/7 nel primo caso e 1/2+1/14 nel secondo.

Tavola (Rhind 61 e 61b)“Per calcolare: 2/3 di una frazione unitaria (ty.t gbt). Se ti viene chiesto quant'è due terzi di 1/5 tu devi raddoppiarlo e prendere sei volte di esso. cioè: 2/3 di esso. Guarda che si procede allo stesso modo per qualunque frazione unitaria”

nn 61

21

32 + = n

1

n1

32

7

Papiro Papiro RhindRhind -- Problema 37Problema 37Per ottenere la misura incognita occorre effettuare la divisione

1: ( ).

La divisione è fatta applicando in successione le moltiplicazioni per

.

Per leggere il risultato della divisione, lo scriba deve ottenere 1 come somma di due o più termini della colonna di destra, precisamente il 3° e il 6°. Allora contrassegna nella prima colonna i moltiplicatori corrispondenti e La loro somma dà il quoziente cercato.

Dividi 1 per :

Aggiungi :1

/

/

5761

641

321

161

321

2881

321

161

81

161

1441

161

81

41

81

721

81

41

21

41

361

41

21

21

181

21

1

31

Totale

+++

+++

+++

+++

+++

++181

213 ++

7281

1576

1

9641

18321

36161

8721

81

41

21

Totale

+++++++

181

213 ++

321

161

81

41

21 ,,,,

41

321

8

Papiro Papiro RhindRhind -- Problema 37Problema 37Il Metodo degli ausiliari rossiIl Metodo degli ausiliari rossi

Aggiungi:

7281

15761

9641

18321

36161

8721

81

41

21 Totale+++++++

Per effettuare la somma lo scriba utilizza il procedimento di calcolo noto come metodo degli ausiliari rossi, denominazione che deriva dal fatto che scriveva certi numeri in rosso per distinguerli dagli altri scritti in nero. In sostanza lo scriba riduce allo stesso denominatore le espressioni più complesse e meno familiari (le ultime cinque frazioni):

181

81

41

21

57672

81

41

21

5761

5769

57618

57636

5768

81

41

21 =+++=+++=+++++++

Quelli che per noi sono i numeratori delle cinque frazioni ridotte a denominatore comune 576 sono scritti in rosso, ciascuno sotto la frazione corrispondente; la loro somma 72 è di 576. sommato alle tre frazioni rimanenti dà l’unità.

Il metodo illustrato si rivela dunque lo strumento più efficace per ovviare all’assenza del concetto generale di frazione.

81

81

L’occhio di Horus“Questo è l’occhio di HorusAfferralo in modo che tu sia vittorioso”(Testi delle Piramidi)

<udjat> = intero

alle sei parti dell’occhio corrispondono frazioni di hekat unità di misura per i cereali

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 + 1/64 = 63/64

9

Il tema n.79 del Papiro Rhindsi presenta come un gioco bizzarro che ricompare in epoche e luoghi diversi.

“Inventario di una proprietà1 28O1 7 case2 56O2 49 gatti 4 112O4 343 topi

24O1 chicchi di grano totale 196O7 168O7 hekat

totale 196O7 ”Somma dei primi 5 termini della progressione geometrica di ragione 7

Filastrocca per bambiniPer una strada che mena a Camoglipassava un uomo con 7 mogli, ed ogni moglie avea 7 sacche ed ogni sacca 7 gatte ed ogni gatta 7 gattini. Fra gatte e gatti , sacche e mogli, in quanti andavano dite a Camogli ?

196072801717

)17(7 1

)1( 5=⋅=

−−

=−−

= SaaaS

n

n

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I calcoli <aha>‘h’w = mucchio, cumulo, quantità incognita

Rhind 24, 25, 26, 27 metodo della falsa posizione

Rhind 24

bxn

x =+1

Traduzione del testo

1.Una quantità, cui viene aggiuntoun suo settimo, diventa 19

Prova a prendere 7. Aggiungi 1/7di esso ad esso, ottenendo 8

2. Opera su questo 8 per ottenere 19[dividi 19 per 8]

1 8 2 16 1/2 4 1/4 2 1/8 1

2+1/4+1/8 19

3. Ora moltiplica 2 + 1/4+ 1/8 per 7

1 2 +1/4 +1/8 2 4 +1/2 +1/4 4 8 + 1 +1/2

7 15+1+1/2+1/8

Allora la risposta è 16 +1/ 2 +1/8

4. Prendi 1/7 di questa quantità edaggiungilo ad essa, il risultato è ilrichiesto 19.

Interpretazione 1. x +

71 x = 19

Metodo della falsa posizione

Pongo x'= 7 7 + 71 7 = 8

2. 19 : 8 = x : 7

19 : 8 = 2+1/4 +1/8

3. 81

2116)

81

412.(7 ++=++=x

4.Verifica

19

...561

141

7122

81

216

)81

2116(

71

81

2116

=

=++++++

=+++++

Rhind24

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La geometria

Lo storico greco Erodoto (V sec. a.C.) fa risalire l'origine della geometria agli Egizi. La molla che li spinse a sviluppare certe conoscenze geometriche fu la necessità di misurare i campi dopo le periodiche inondazioni del Nilo per potere effettuare un'equatassazione, che tenesse conto delle eventuali perdite di terreno.

Quando si parla di geometria egizia però non si deve pensare ad una branca specifica della matematica:si tratta semplicemente di aritmetica applicata a risolvere problemi relativi al calcolo di aree e volumi.

Noi possiamo ricostruire lo spettro di conoscenze del popolo egizio in questo campo dai - 19 problemi geometrici del Papiro Rhind- 6 del Papiro di Mosca- dall'analisi di fonti indirette (piramidi, arti figurative).

Gli Egizi sapevano calcolare correttamente le aree del quadrato, del rettangolo, del triangolo, del trapezio e, con buona approssimazione, anche del cerchio ed inoltre i volumi del cubo, del parallelepipedo, della piramide, del tronco di piramide e del cilindro.

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La capricciosa varietà degli ornamenti delle tombe egizie rivelauna notevole sensibilità di tipo gruppale.

A Torino nel Museo Egizio

si può visitare la Cappella dello scriba Maia, 1400 a. C.

Tassellazioni del pianoSono possibili solo 3 tassellazioni regolari (poligoni regolari uguali e che si incontrano nei vertici) del piano:con triangoli equilateri, quadrati ed esagoni regolari

Le tassellazioni semiregolari (2 o più tipi di poligoni regolari disposti vertice a vertice in modo che gli stessi poligoni nello stessoordine ciclico circondino ciascun vertice) sono 8

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Tutte le tassellazioni del piano appartengono a uno di 17 gruppi di simmetria e questi esauriscono tutti i casi possibiliE.S. Fedorov 1891

A. Speiser (1956) ha dimostrato che negli ornamenti delle tombe egizie si trovano tutti i 17

gruppi di simmetria

p2 pm

pmm p1

p4

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Il problema 14 del papiro di Mosca

(1850 a. C.)

6 ,2 ,4

3

)( 22

===

++=

hba

hbabaV

Calcolo del volume di un tronco di piramide

1. Metodo di calcolo di un tronco di piramide.2. Se ti viene proposto un tronco di piramide di 6 cubiti di altezza3. con 4 di lato della faccia inferiore e 2 della faccia superiore 4. Opera tu. Calcola di questo 4 il quadrato: 16.5. Opera tu. Raddoppia 4 : 8.6. Opera tu. Calcola di questo 2 il quadrato: 4.7. Calcola la somma di questo 168. con questo 8, con questo 4:9. viene 28. Opera tu. Calcola 1/310. di 6: viene 2. opera tu11. Calcola 28 per 2: viene 5612. Vedi: esso è 56. tu hai trovato giusto.

36)2244( 22 +×+

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Alla base del procedimento risolutivo ci fu probabilmente la decomposizione del tronco di piramide in solidi più semplici.Si ipotizza che, nei secoli che intercorrono fra la costruzione delle grandi piramidi (2500 a. C.) e l’anno cui risale il papiro di Mosca, gli architetti e i tecnici egizi siano giunti dal calcolo del volume di una piramide regolare a quello del volume di un tronco di piramide, per gradi.

Piramide di Sakkara

Obelisco del Tempio solare, Abu Gurob

- piramidi a base quadrata, - piramidi a base rettangolare e per il resto generiche, - parallelepipedi a base rettangolare, - semiparallelepipedi o rampe, - particolari tetraedri - e infine tronchi di piramide a basi quadrate.(principio dell’equivalenza per equiscomposizione)

( ) 56362244

624612 uguali tetraedri2

623164

31 quadrata base a piramidi 2

22

22

=+⋅+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅

V

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Calcolo dell’area di un cerchio con un diametro d = 9 khet

Problema 50 del papiro Rhind

1.Esempio di un calcolo di un campo circolare di 9khet.2. Qual è la misura della sua area ? Sottrai 9

1 di esso: 1.3. Resto: 8. Moltiplica 8 per 8.4. Diventa 64. La misura della sua area è questo 64(setat).5. Ecco come si fa:

1 9 1/9 di esso 1Sottrailo da esso, rimane: 8

1 8 2 16 4 32 8 64

8 64La sua area è 64 (setat).

A = (d-1/9d)2

1605,3=π

Rhind 48Contiene le due sole moltiplicazioni 8×8 9×9, probabilmente il confronto fra l’area di un cerchio di diametro 9 khet e quella del quadrato circoscritto

3 3 3

3 2

3 3 8

3 3

2 3 3

8

Ricostruzionedi Gillings, 1972

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L’eredità egiziaO. Neugebauer (1974) afferma perentoriamente che la matematica egizia non diede alcun contributo positivo allo sviluppo della scienza e, se ebbe qualche influenza, questa fu negativa. Studi più recenti (Knorr 1982) portano a ridimensionare questo giudizio.

I Greci nei confronti della civiltà egizia“Questo re spartì la terra fra tutti gli egizi attribuendo loro uguali lotti quadrati di terra,... imponendo il pagamento di una tassa annuale. E ogni individuo cui il fiume straripando aveva portato via una parte della sua terra, doveva segnalare il fatto al re: Sesostrisavrebbe allora inviato degli uomini a misurare la diminuzione diterreno per accordare una riduzione delle tasse proporzionale alla perdita. Di qui, a mio avviso, i Greci impararono l'arte della geometria” [Erodoto, V sec.a.C.]

“Dopo che tutte le arti pratiche furono realizzate, vennero scoperte quelle scienze che non sono dirette al conseguimento di piacere o al soddisfacimento di necessità della vita; e questo accadde in quei luoghi dove gli uomini avevano tanto tempo libero. Questo è il motivo per cui le arti matematiche si svilupparono per la prima volta in Egitto: perché qui la casta sacerdotale poteva concedersi del tempo libero” [Aristotele, IV sec a.C.)

“Secondo la maggior parte degli storici la geometria fu per la prima volta scoperta tra gli Egizi , traendo origine dalla misurazione delle loro terre. Questo era indispensabile perché il Nilo straripandocancellava i confini tra le proprietà” [Proclo, V sec. d.C.]

Rimangono molte testimonianze di viaggi in Egitto e in Mesopotamia da parte dei matematici e filosofi greci (Talete, Pitagora, Democrito, Platone, Eudosso, …)

per imparare le scienze

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Bibliografia essenziale

Giacardi L., S. Roero, La matematica delle civiltà arcaiche (Egitto, Mesopotamia, Grecia), Stampatori, Torino, 1979, Cap. 2

Boyer C., 1980, Storia della matematica, Mondadori, Milano, Cap. 2

Kline M., 1991, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi, I, Cap. 2

Giacardi L., La matematica dell'antico Egitto, Atti del Convegno Il pensiero matematico nella ricerca storica italianaAncona 26-28 marzo 1992, Quaderni di "InnovazioneScuola" 13, Ancona, 1993, pp. 21-49

I testi Chace A. e altri The Rhind Mathematical Papyrus, 2 voll.,

Oberlin Ohio, 1927-29