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IVLa matematica grecaDa Talete a Euclide

Il pensiero greco è il vero creatore della matematicacome teoria razionale e come sistema logico

Obbedienza passiva al potere politico-religioso

Clima di libertà

Scienza strumento per i burocratipatrimonio culturale dei liberi cittadini

Appello all’autorità o alla rivelazione divina

Fiducia dell’uomo nelle sue capacità

e della filosofia come approccio razionale ai problemi della vita e del mondo

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CronologiaSCUOLA IONICA - Asia Minore, primi decenni del VI sec.a.C.- Talete di Mileto inizio di una razionalizzazione del sapere- dimostrazioni in forma embrionale SCUOLA PITAGORICA - Crotone in Italia meridionale, VI-V sec.a.C.- fondata da Pitagora di Samo (VI sec a.C.)- esigenza dimostrativa, tutto è numero, aritmogeometria- scoperta delle grandezze incommensurabili SCUOLA ELEATICA - Elea (a sud di Paestum) V sec.a.C.- entra l’infinito nella matematica greca con Zenone e i suoi famosiparadossi I SOFISTI - Atene V secolo- uso della matematica per capire l’universoI tre problemi classici, quadratura del cerchio, duplicazione delcubo, trisezione dell’angolo, furono stimolanti per lo sviluppo dellageometria e portarono alla creazione di nuove curve e di ingegnosistrumenti SCUOLA DI ATENE - Atene, fra il V e il IV sec.a.C. (il V sec. è dettosecolo d’oro)- Platone (427?-347 a.C.) che fonda l’Accademia, una sorta di università. - costruzione lenta e rigorosa di una geometria razionale che culminerànella sistemazione euclidea verso il 300 a.C.- Aristotele (384-322 a. C.) fonda la logica come scienza

PRIMA SCUOLA DI ALESSANDRIA - III sec.a.C.- 30 a.C.- EUCLIDE (300 a.C.) Elementi- ARCHIMEDE (287-212 a. C.) Metodo dei teoremi meccanici- APOLLONIO (262-190 a. C.) Coniche

SECONDA SCUOLA DI ALESSANDRIA - 30 a.C. - VII sec.

La matematica come attività speculativa nasce e si sviluppaparallelamente alla filosofia

Aristotele

Pitagora

Platone

FontiNessun manoscritto originale dei maggiori matematici greci è pervenuto fino a noi (il papiro è deperibile e le grandi biblioteche sono state distrutte)Le principali fonti per la matematica greca sono dunque codici manoscritti bizantini scritti da 500 a 1500 anni dopo la composizione delle opere originali. Vi sono anche versioni arabe e versioni latine derivate da quelle arabe.Importanti fonti di notizie sono le opere di due commentatoriPappo (III sec. d. C.) - la sua Collezione matematica offre un resoconto dell’opera dei matematici greci classici e alessandriniProclo (V sec. d. C.) - il suo Commentario al I libro degli Elementi di Euclide contiene interessanti notizie storicheFonti indirette: opere dei filosofi, in particolare Platone e Aristotele

opere dell’arte e della tecnica

Palinsesto di Archimede

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Talete di Mileto (VI sec a. C.)

Proclo: “ Fu Talete colui che, andato in Egitto, ne riportò in Grecia questo studio (la geometria); e molte scoperte fece lui stesso, di molte ricerche suggerì i principi a quelli che vennero poi, alcune cose studiando più in astratto , altre più in concreto”La tradizione attribuisce a Talete quattro teoremi:1. Il cerchio è dimezzato da un suo diametro.2. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali tra loro 3. Gli angoli opposti al vertice sono tra loro uguali. 4. Gli angoli inscritti in un semicerchio sono retti.

A Talete viene anche attribuita la soluzione di due problemi geometrici:

- determinare l’altezza di una piramide mediante l’ombra da essa proiettata.- determinare la distanza di una nave dal porto.

“misurò le piramidi dall’ombra, aspettando il momento in cui le nostre ombre sono uguali” [Diogene Laerzio]

Sotto quali condizioni Sotto quali condizioni TaleteTalete poté effettivamente eseguire questo calcolo?poté effettivamente eseguire questo calcolo?

4

GF

E

A

D

H

B C

FGEF

CDHCAH

=+

FGHDEFAH ⋅

=

Plutarco afferma che Talete usò il concetto di similitudine

Determinare la distanza di una nave dal porto.

Pitagora di Samo (circa 572- fine VI sec. a. C.)

e la sua scuolaI filoni di ricerca

♦ teoria numeri (aritmogeometria)♦ problematiche connesse con la scoperta delle grandezze incommensurabili♦ teoria delle proporzioni♦ prime dimostrazioni geometriche (teorema di Pitagora, solidi regolari)

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“I più dicono che egli apprese le cosiddette scienze matematiche dagli Egizi, dai Caldei e dai Fenici; ché già nei tempi più antichi gli Egizi si dedicarono allo studio della geometria, i Fenici allo studio dell'aritmetica e della logistica, i Caldei all'osservazione degli astri” [Porfirio]

Intorno al 520 a.C. si trasferisce da Samo a Crotone in Italia meridionale, si impegna politicamente e crea una scuola con caratteri di isolamento e segretezza “Imponeva ai suoi aspiranti cinque anni di silenzio, mettendo così alla prova la loro padronanza di sé. In questo periodo di tempo gli averi di ciascuno erano messi in comune ... Se apparivano degni di essere iniziati alle dottrine, dopo cinque anni di silenzio, diventavano per sempre esoterici, ascoltavano Pitagora dentro la tenda, e potevano anche vederlo. Prima, fuori della tenda, avevano potuto partecipare alle sue lezioni solamente ascoltando, senza mai vederlo”[Giamblico]

“Pitagora esponeva i suoi insegnamenti a chi lo frequentava o distesamente o per simboli ... e quelli che lo frequentavano si distinguevano in Matematici e Acusmatici. Matematici erano quelli che conoscevano la parte più importante e più approfondita della sua dottrina, Acusmatici quelli cui erano insegnate solo le regole sommarie senza accurate spiegazioni” [Porfirio]

La setta pitagorica si trasforma in una vera e propria oligarchia isolata dalla popolazione creando tensioni e poi un vero conflitto - risentimento degli esclusi dalla setta- carattere chiuso della comunità pitagorica- potere oligarchico esercitato su tutta la città

L’antipitagorismo porta allo sterminio di alcuni seguaci della setta e con l’esilio di altri.

Pitagora si rifugia a Metaponto dove muore alla fine del VI secolo a.C. circondato da un’aura di sacralità.

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“Tutto è numero”

“Si dedicarono alle matematiche e per primi le fecero progredire i cosiddetti Pitagorici. Questi, dediti a tale studio, credettero che i principi delle matematiche fossero anche principi di tutte le cose che sono. Ora, poiché principi delle matematiche sono i numeri, e nei numeri essi credevano di trovare, più che nel fuoco e nella terra e nell'acqua, somiglianze con le cose che sono e che divengono […] e poiché inoltre vedevano espresse dai numeri le proprietà e i rapporti degli accordi armonici, poiché insomma ogni cosa nella natura appariva loro simile ai numeri, e i numeri apparivano primi tra tutto ciò che è nella natura, pensavano che gli elementi dei numeri fossero elementi di tutte le cose che sono, e che l'intero mondo fosse armonia e numero” (Diogene Laerzio, Vite dei filosofi)

“I Pitagorici pensano che il numero sia d'un modo solo, e cioè matematico, se non che non lo considerano separato dalle cose, ma dicono che da numeri sono composte le sostanze percepibili. Di numeri infatti compongono l'intero cielo; ma non di numeri formati da unità senza grandezza, ché essi attribuiscono grandezza alle unità. Quanto alla prima unità dotata di grandezza, come essa sia composta, sembra che non sappiano dire […] Essi dicono che il numero è le cose che sono, o almeno applicano i loro teoremi ai corpi, come se i numeri fossero dei corpi” (Aristotele, Metafisica)

aritmosofia pitagorica1 ragione2 opinione, femminile3 armonia, maschile tetractys 10 = 1 + 2 + 3 + 42+3 sposalizio fonte e radice dell'eterna natura

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logistica, tecnica di calcolo legata soprattutto alle attività pratichesistema additivo in base 10 poco maneggevole (gli astronomi usavano quello sessagesimale babilonese), abachiaritmetica, scienza pura del numero, teoria dei numeri, coltivata dai matematici e dai filosofi

Platone (IV sec. a.C.) considerava la logistica come una disciplina adatta all’uomo d’affari e all’uomo di guerra, mentre il filosofo deve coltivare l’aritmetica “poiché deve emergere dal mare del mutamento e afferrare il vero essere”, “ l’aritmetica ha un grande potere nell’elevare la mente costringendola a ragionare intorno ai numeri astratti”

In Grecia l’aritmetica si sviluppa secondo due filoni

Godono dello statuto di arithmoi solo i numeri interi. Esistono anche i rapporti di interi ma non sono concepiti come numeri. Le frazioni esistono come parti dell’unità monetaria o di misura e interessano solo la logistica.

Aritmogeometriauso, finalizzato ad ottenere conoscenze di tipo aritmetico, di un algoritmo che consiste nel rappresentare i numeri naturali con configurazioni geometriche di punti (numeri figurati o poligonali)

Secondo Nicomaco di Gerasa (II sec.) i Pitagorici scoprirono, mediante l'aritmogeometriasemplici proprietà dei numeri figurati

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1. un generico numero triangolare Tn si ottiene sommando i primi n numeri naturali:

Esempio:

2. un generico numero quadrato si ottiene sommando i numeri dispari, a partire dall’unità: n2= 1+3+5+…+(2n-1)

Esempio: 32 = 1+3+5= 942 = 1+3+5+7 = 1652 = 1+3+5+7+9 = 25

nn(n 1)T 1 2 3 4 ... n

2+

= + + + + + =

4 510 1 2 3 42⋅

= + + + = 2433216 ×

=++=

,...3,2,1=n

,...3,2,1=n

=+−+=+=×

−=+=×−=+=×

)1()1( 2

,...55 442 4433222

224

223

nnnnT

TT

n

DomandeEsprimere una relazione fra numeri triangolari e numeri quadrati

Ragionare come i Pitagorici per ottenere qualche proprietà dei numeri della tavola pitagorica1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

3333

3

3

3

10...321

....32736963

28242

11

+++

==++++

==++

=

21 nTT nn =+ −

9

+++++= ...10741nP

Esempio:

P4 = 1+4+7+10 = 22P5 = 1+4+7+10+13 = 35

3. un generico numero pentagonale Pn si ottiene sommando i numeri naturali a partire dall’unità così:

La differenza tra ciascun numero La differenza tra ciascun numero e quello che lo precede è 3e quello che lo precede è 3

)23( −n,...3,2,1=n

Trovare la formula che esprime l’n-esimo numero pentagonale osservando la figura

45 35 TP +=

=+=−+++++= −13)23(...10741 nn TnnP

2)13(

2)1(32

2)1(3 −

=−+

=−

+nnnnnnnn

10

È costante la differenza fra ciascun numero e quello che lo precede immediatamentein I) la differenza è 1in II) la differenza è 2in III) la differenza è 3

1, 2, 3, 4, … progressione aritmetica di ragione 11, 3, 5, 7, … progressione aritmetica di ragione 21, 4, 7, 10, ... progressione aritmetica di ragione 3

II) 1+3+5+7+…+(2n-1)

I) 1+2+3+4+…+n

III) 1+4+7+10+…(3n-2)

TTnn

PPnn

nn22

)34(...13951 −+++++= nEn

Come posso costruire un numero esagonale?Come posso indicare il termine di posto n?

Uso una progressione aritmetica di ragione Uso una progressione aritmetica di ragione 44

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Sembra che sia stato Ipsicle (II sec. A.C.) a stabilire un parallelo tra numeri poligonali e progressioni aritmetiche, formulando così la seguente regola: il generico numero poligonale di n lati si ottiene sommando i termini di una progressione aritmetica avente come primo termine l’unità e ragione il numeron dei lati del poligono meno 2.

Lo studio dei numeri figurati appartiene a quel settore della teoria dei numeri chiamato analisi diofantea. Molti studiosi, nel corso dei secoli, cercarono di penetrare la proprietà di questi numeri: Diofanto, Fermat, Euler, Gauss e Cauchy, per citarne alcuni.

La scoperta delle grandezze incommensurabili

incommensurabilità lato e diagonale del quadrato“Una dimostrazione di questo tipo (per assurdo), ad esempio, è quella che stabilisce l’incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, che si fonda sul fatto che se si suppone che siano commensurabili, i numeri dispari risultano uguali a quelli pari “(Aristotele, Analitici primi)

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Ragionamento per assurdosupponiamo che lato e diagonale siano commensurabili, cioè abbiano un sottomultiplo comune u

q2u2+q2u2 = p2u2

p2 = 2q2

Possiamo supporre che p e q siano primi fra lorop2 è pari, dunque p è pari, allora q deve essere disparipongo p = 2s, allora4s2 = 2q2 2s2 = q2 q2 pari, dunque q è pariq dovrebbe essere contemporaneamente pari e dispari, il che è assurdo.

222

ACBCAB

quABpuAC

=+

==

Dunque il lato e la diagonale del quadrato sono incommensurabiliDunque il lato e la diagonale del quadrato sono incommensurabili

TeorTeor. di Pitagora. di Pitagora

Platone, MenoneProblema: costruire un quadrato di area doppia di

quello assegnato

““Or questa gli intendenti la chiamanoOr questa gli intendenti la chiamanodiagonale e … dalla diagonale si può diagonale e … dalla diagonale si può ottenere l’area doppia”ottenere l’area doppia”

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Scolio agli Elementi di Euclide, X.2 (Heiberg)

Dimostrazione geometrica basata sulle divisioni successive (Elementi, X.2)

Si voglia dimostrare l’incommensurabilità del lato e della diagonale del quadrato ABCD. Ragioniamo per assurdo:

supponiamo che abbiano come sottomultiplo comune il segmento ε

Continuando la costruzione otteniamo quadrati sempre più piccolitutti con lato e diagonale che hanno ε come sottomultiplo comune, ma questo è assurdo.

... )23()(2")(2'2"

quadrato nuovoun di diagonale e lato sono ' e ''''

)('' dunque ,'

εεεε

εε

εε

nmmnmCBmnCBBB

CAB'CBAABCB

mnABACCBmAB

nACmAB

−=−−=−==

==

−=−==

==

“Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici, ma che, per aver divulgato per primo la costruzione della sfera di dodici pentagoni, perisse in mare come empio... Altri dicono che anche la divinità si adirasse con i divulgatori delle dottrine di Pitagora. Perì infatti come empio in mare colui che rivelò come si inscrive nella sfera l’icosagono, cioè il dodecaedro, una delle cinque figure dette solide. Alcuni però narrano che questo accadde a colui che aveva propalato la dottrina degl’irrazionali e degl’incommensurabili”

(Giamblico, Vite dei filosofi)

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La sezione aurea di un segmento AB si ottiene dividendolo in un punto C tale che le due parti a e b stiano nella seguente proporzione

a : b = b : a+bdunque

che è il rapporto aureo2

51 cui da ,01

ricava si , Ponendo .

:ha si per dividendo cui da ,

2

22

2

2

2

222

+==−−

=+=

+=

xxx

xab

aab

aa

ab

aabab

A C Ba b

La diagonale e il lato del pentagono regolare stanno nel rapporto aureo

Conseguenze della scoperta delle grandezze incommensurabili

Nella filosofia: crollo della centralità del numero [numeri interi positivi] rivelatosi insufficiente a descrivere la complessità dell’universo

Nella matematica: l’insufficienza dei numeri nelle questioni geometriche ne determina l’espulsione dalla geometria, avviando una separazione destinata a durare 2000 anni - nuova definizione delle grandezze geometricheprima: grandezze = aggregati di monadi, aventi quindi nella monade la comune misura naturale come è l’unità per i numeridopo: poiché esistono grandezze incommensurabili non aventi un sottomultiplo comune, le grandezze geometriche non possono più essere correlate ai numeri monade, grandezza continua infinitamente divisibile- perfezionamento della teoria delle proporzioni in modo da comprendere sia i rapporti razionali che i nuovi rapporti fra grandezze incommensurabili (Euclide, Elementi, V)- classificazione degli irrazionali (Euclide, Elementi, X)

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“Prendeva infatti alcuni vasi tutti uguali, e, mentre ne lasciava uno vuoto, riempiva il secondo d'acqua fino alla metà; poi li percuoteva entrambi e otteneva il rapporto di ottava (2:1) Quindi, lasciando ancora vuoto uno dei vasi, riempiva l'altro per una quarta parte, e

poi ancora li percuoteva entrambi e otteneva l'accordo di quarta (4:3); l'accordo di quinta (3:2) l'otteneva quando riempiva il vaso per la sua terza parte” [Teone di Smirne]

Musica

22 113333

4422

Nell’affresco di Raffaello La scuola di Atene, Pitagora è riconoscibile dallatavola che un fanciullo gli regge con la mano. Questa tavola racchiude tutta la teoria musicale di Pitagora: in alto compaiono i numeri 6, 8, 9, 12. Una linea collega i numeri 12 e 6, ad indicare il rapporto 2:1, corrispondente all’ottava (diapason in greco). Allo stesso modo sono collegati i numeri 9 e 6, e 12 e 8, ad indicare il rapporto 3:2, corrispondente alla quinta(diapente in greco), ed i numeri 8 e 6, e 12 e 9, ad indicare il rapporto 4:3, corrispondente alla quarta (diatessaron in greco). Nella parte bassa della tavola è

riprodotta la tetractys.

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Il teorema di Pitagora“Se consultiamo i ricercatori di cose antiche, troveremo che essi fanno risalire questo teorema a Pitagora, e affermano che egli sacrificò anche un bue per questa scoperta” [Proclo, Commento al primo libro di Euclide]

“Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto” [Euclide, Elementi, I,47]

La dimostrazione data da Euclide è troppo complessa per essere quella pitagorica originaria.

A. Schopenauer la definì un brillante esempio di perversione

Le dimostrazioni “visive” possono trarre in inganno, pertanto occorre dimostrare che le figure che rimangono dopo aver tolto i 4 triangoli uguali sono effettivamente dei quadrati e precisamente i quadrati sui cateti nella prima figura e il quadrato sull’ipotenusa nella seconda ...

A

•

II IIII

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Occorre dimostrare che ABCD è un quadrato

•

A

D

C

B

AB = BC = CD = DAAB = BC = CD = DA

Dimostriamo che l’angolo BAD è retto: BAD + BAR + DAU = 180°Dimostriamo che l’angolo BAD è retto: BAD + BAR + DAU = 180°

RU

T S

Hp)Hp) I triangoli “rossi” sono I triangoli “rossi” sono rettangoli e uguali fra lororettangoli e uguali fra loroRSTU è un quadrato con lato RSTU è un quadrato con lato = alla somma dei cateti del = alla somma dei cateti del triangolo “rosso”triangolo “rosso”TH)TH) ABCD è un quadrato.ABCD è un quadrato.

ˆ̂ ˆ̂ˆ̂ ˆ̂

90°90°Dunque BAD è rettoDunque BAD è rettoˆ̂

forse 1200 a.C.

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Generalizzazione del teorema di Pitagora

Il teorema rimane valido seal posto dei quadrati costruiti sui cateti esull’ipotenusa mettiamo semicerchi,o altre figure purché simili fra loro.

Ippocrate di Chio (V sec. a. C.) si servì della generalizzazione del teorema di Pitagora per la “quadratura” delle lunule (regioni

piane delimitate da due archi di circonferenza)

S1 +S2 = S (teorema di Pitagora generalizzato)

SS

SS11

SS22

Eliminando le parti bianche in comune si avrà cheS1 +S2 - (segmenti circolari bianchi) = S - (segmenti circolari bianchi)area delle due lunule L1 + L2 = area triangolo T

LL22

LL11

TT90°90°

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Invertiamo il teorema di Pitagora.Invertire un teorema significa scambiare la tesi con l’ipotesi

HP) Se i lati a, b, c di un triangolo verificano la relazionea2+b2=c2

TH) allora il triangolo è rettangolo

Dimostrare questo teorema utilizzando il III criterio di congruenza dei triangoli

aa

bb

cc dd

bb

aa

I solidi regolariPitagora si dedicò allo studio della geometria, e le diede forma di educazione liberale,ricercandone i principi primi e investigandone i teoremi concettualmente e teoreticamente: per primo egli trattò poi dell'irrazionale e trovò la struttura delle figure cosmiche. [ Proclo]

I cinque solidi regolarivenivano associati agli elementi:il tetraedro al fuoco, il cubo alla terra, l'ottaedro all'aria e l'icosaedro all'acqua, mentre il dodecaedro era simbolo del cosmo.

Platone, Timeo

I 5 poliedri regolari disegnati da Leonardo da Vinci nel De divina proportione (1509)di L. Pacioli

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Perché sono solo 5?Euclide lo dimostra in Elementi, XIII, 18

La somma degli angoli che stanno attorno al vertice è minore di 360°, esiccome attorno al vertice ci sono almeno tre poligoni, questi devono avereangoli minori di 1/3 di 360°, cioè di 120°.

Ma ci sono solo tre poligoni regolari con angoli minori di 120°:il triangolo, il quadrato e il pentagono

Sono dunque possibili solo solidi regolari con facce di tre, quattro o cinque lati.

Consideriamo solo le facce che stannoattorno ad un vertice e immaginiamo di fare un taglio lungo uno spigolo

Gli angoli dell’esagono sono di 120°, e dunque tre esagoni riempiono tutto lo spazio attorno alvertice e il poliedro non si può richiudere

Facce quadrate o pentagonaliintorno a un vertice ci possono essere solo tre facce (quattro quadrati riempiono tutto lo spazio attorno al vertice, quattro pentagoni fanno più di 360°):il cubo 6 facce quadrateil dodecaedro 12 facce pentagonali

Facce triangolariintorno a un vertice ci possono essere tre, quattro o cinque facce, ma non sei, che riempirebbero tutto lo spazio disponibileil tetraedro 4 faccel'ottaedro 8 faccel'icosaedro 20 facce

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Zenone di Elea (V sec. a C.)e i suoi paradossi

“Quattro sono i ragionamenti di Zenone intorno al movimento, i quali mettono di cattivo umore quelli che tentano di risolverli. Il primo intende provare l’inesistenza del movimentoper il fatto che l’oggetto spostato deve giungere alla metà prima che al termine finale …Il secondo è il cosiddetto Achille: questo intende provare che il più lento, correndo non sarà mai sorpassato dal più veloce: infatti, necessariamente l’inseguitore dovrebbe giungere prima là donde il fuggitivo è balzato in avanti; sicché necessariamente il più lento conserva una certa precedenza …Il terzo è quello della freccia ... Se sempre ogni cosa è in quiete quando sia in un luogo uguale ad essa … la freccia nell’atto in cui è spostata è immobileIl quarto è quello delle masse uguali che si muovono nello stadio …”

[Aristotele, Physica, VI 9 239 b 9]

Achille e la

tartaruga

Zenone: Achille non raggiunge la tartaruga perché per farlodovrebbe giungere prima nel punto in cui essa nel frattempo èarrivata e così via, percorrendo infiniti spazi in un tempo finito

I paradossi di Zenone nascono dal modo eterogeneocon cui vengono concepiti spazio e tempo:

spazio continuo e sempre divisibile (scoperta delle grandezze incommensurabili)tempo composto di istanti indivisibili

questa diversa struttura si ripercuote sul movimento.

“Il ragionamento di Zenone presuppone erroneamente l’impossibilità che si possano percorrere gli infiniti spazi o che possano toccarsi ciascuno successivamente in un tempo finito.... gli infiniti che sono …. tali secondo la divisione possono toccarsi [in tempo finito]perché anche il tempo sotto questo aspetto è infinito”Aristotele, Physica

I paradossi scompaiono se si suppone l’infinita divisibilità del tempo

22

Il paradosso di Zenone "è un attentato non solo alla realtà dello spazio, bensì a quella più invulnerabile e sottile del tempo … Quella decomposizione, accade mediante la sola parola infinito, parola (e poi concetto) di spavento che abbiamo generato temerariamente e che una volta ammessa in un pensiero, esplode e lo uccide" [Borges I. 385].

uso disinvolto dell’infinitoe degli infinitesimi, accettazione

dell’infinito attuale Democrito

In Grecia Archimededuplice atteggiamentonei confronti dell’infinito

rigore, infinito potenziale,Eudosso di Cnido

Euclide

Problemi non risolubili con riga e compasso

- Problema della duplicazione del cubo: dato un cubo, determinare il lato di un cubo avente volume doppio del dato

- Problema della quadratura del cerchio: dato un cerchio, determinare il lato di un quadrato avente area uguale a quella del cerchio dato

- Problema della trisezione dell’angolo: dato un angolo qualunque, dividerlo in tre parti uguali

33 2lx =

22 Rx π=

0343

cos ,cos pongo

33

3cos4cos

trisecaredaangolol'èθ se

3

3

=−−

==

−=

gxx

xg θθ

θθθ

I Greci non scrivevano equazioni,

ma proporzioni fra segmenti

23

Ne segue che un problema geometrico si dice risolubile con riga e compasso se e solo se, tradotto algebricamente, dà luogo a equazioni di primo grado o a equazioni risolubili mediante radicali quadratici.

Un problema geometrico si dice risolubile con riga e compassose si può risolvere con un numero finito delle seguenti operazioni geometriche elementari:a) condurre una retta per due punti;b) determinare il punto comune a due rette;c) costruire una circonferenza di centro e raggio assegnati;d) determinare i punti comuni ad una retta e ad una circonferenza oa due circonferenze.

I Greci consideravano la retta e il cerchio le figure geometriche fondamentali e quindi privilegiavano le costruzioni effettuate con la riga e il compasso.

33 2lx =

22 Rx π=

034 3 =−− gxx

Perché non sono risolubili con riga e compasso

Duplicazione del cubo

L’equazione binomia x3 = a è riducibile solo se a è un cubo perfetto, dunque l’equazione della duplicazione del cubo, essendo irriducibile e di grado dispari non è risolubile mediante radicali quadratici

Quadratura del cerchio

F. Lindemann nel 1882 ha dimostrato che è un numero trascendente e dunque il problema oltre a non essere risolubile con riga e compassonon è risolubile nemmeno con curve algebriche di ordine superiore

Trisezione dell’angolo

Questa equazione in generale è irriducibile.Esistono però casi particolari in cui la trisezione è possibile.

π

24

L’importanza dei problemi della duplicazione del cubo, quadratura del cerchio e trisezione dell’angolo sta nel fatto che i

tentativi falliti di risolverli con riga e compasso condussero i Greci a creare nuove curve ( le coniche, la quadratrice di Ippia, …) e ad ampliare il campo di indagine geometrica.

L’importanza che ebbero all’epoca è testimoniata anche dai racconti leggendari collegati con essi e dai riferimenti letterari.

Ippocrate di Chio (V sec a. C.)Ippia di Elide (V-IV sec. a. C.)

Platone (427-347 a. C.)Archita di Taranto (428-347 a. C.)

Menecmo (IV sec. a. C.),Diocle (II sec. a. C.) ...

La duplicazione del cubo

Ippocrate di Chio riduce il problema della duplicazione del cubo al seguente:Dati due segmenti a, b, costruirne altri due x, yche con a e b , formino la proporzione:

a : x = x : y = y : b,ma non lo risolve.

da cui

by

yx

xa

==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

yabx

ayx2

33

23

2 2

se e

axab

bax

==

=

25

Menecmo (IV sec.) inventa le coniche:usa tre tipi di cono, rettangolo, acutangolo e ottusangolo e taglia ciascuno di essi con un piano perpendicolare a una

generatrice

parabola

ellisse

iperbole

Risolve il problema della duplicazione del cubo intersecando due parabolex2 = ay e y2 = 2axo un’iperbole e una parabola

3 2a

ay

yx

xa

2==

Duplicazione del cubo attribuita a PlatoneSi considerino tre regoli MN, PQ, NQdi cui i primi due sono perpendicolari al terzo ed hanno nella parte interna una scanalatura tale che un quarto regolo RSpossa scorrervi e muoversi parallelamenteal regolo NQ.Siano AB e BC i due segmenti di lunghezza rispettivamente a e b, per cui si vogliono costruire le due medie proporzionali.

Si dispongano tali segmenti ad angolo retto in modo tale che A e C si trovino rispettivamente sui regoli RS e NQ e i loro prolungamenti passino per i punti D e E. Consideriamo ora i due triangoli rettangoli DEA e DEC e applichiamo il secondo teorema di Euclide

BADBEB ⋅=2 , cioè BAEB

EBDB

=

BCEBDB ⋅=2 , cioè BCDB

DBEB

=BAEB

EBDB

DBBC

== a

EBEBDB

DBb

==

26

La quadratura del cerchio

Ippocrate di Chio (V secolo a.C.) studiando la quadratura del cerchio scoprì la quadratura di particolari lunule (regioni piane delimitate da due archi di cerchio)Forse Ippocrate forse giunse alla sua scoperta, osservando alcune decorazioni di ceramiche o motiviarchitettonici

Il commediografo greco Aristofane (450-385 a.C.) cita questo problema in modo scherzoso nella sua commedia Gli uccelli.

S = S1 +S2 (teorema di Pitagora generalizzato)S +ABCD = S1+S2+ABCD area ABC = area lunula

S

S1 S2

Leonardo da Vinci (1452-1519) nel Codice

Atlantico studia le lunule

Foglio 107v.a

27

La curva di Ippia di Elide (IV sec. a. C.)o quadratrice di Dinostrato

Dato un quadrato ABCD, si descriva con centro in A la circonferenza BED; si supponga che AB si muova uniformementeruotando attorno ad A e BC si muova uniformemente mantenendosi parallelo ad AD.

yθ

b

xθ/3

I due moti uniformi inizino nello stesso istante e AB e BC raggiungano contemporaneamente la posizione finale AD.Il punto G di intersezione dei segmenti mobili AB e BCdescrive la curva di Ippia.

2 dunque ma ,

2

/2 1 ππθπθ xtgyy

xytgθy

byb =====

2:: πϑ=by

ππ

2:22:2=

ππ

π

ππϑ2

2

22lim

2

limlimlim0000

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

===→→→→ ytg

y

ytg

ytg

yxAFyyyy

Per trisecare l’angolo EAD, bastatrisecare l’ordinata GH del punto Gdella quadratrice e condurre i raggi ai punti della curva corrispondenti ai punti di divisione di GH.

Il valore della circonferenza di raggio 1 rettificata ( 2 π) èil quarto proporzionale dopo i segmenti noti , 2 , 2.

π2

=AF

yθ

b

xθ/3

/2

πθ

=by

Per quadrare il cerchio

Per trisecare l’angolo

Costruita la circonferenza rettificataè immediata la quadratura del cerchio

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Riduzione della trisezione a un problema di inserzione

Si suppone che l’angolo da trisecare sia acuto: se è retto è semplice trisecarlo; se è ottuso, lo si può dividere in uno retto e in uno acuto

Sia l’angolo da trisecare. Si traccino i segmenti BC perpendicolare ad AC e BD parallelo ad AC. Si inserisca fra BC e BD un segmento

in modo che il suo prolungamento passi per A. Allora:

CAB ˆ

ABEF 2=

CABEAC ˆ31ˆ =

Infatti, detto G il punto medio di EF si hae quindi da cui

ABBGGFEG ===EACGFBAGBBAG ˆ2ˆ2ˆˆ === CABEAC ˆ

31ˆ =

Età di Pericle (443-429 a.C.), età d’ororapporti stretti fra arte e matematica

Fidia collaborò alla progettazionee alla realizzazione del Partenonee ne scolpì i fregi con l’aiuto dei suoi allievi

29

Fidia (V sec. a. C.)fregio del Partenone

Intuizione dell’equilibrioIntuizione dell’equilibrio

PolicletoV-IV sec. a. C.

““Il bello si Il bello si realizza poco a realizza poco a poco, attraverso poco, attraverso molti numerimolti numeri””DoriforoDoriforo

ττóó γαργαρ ευευ παραπαραµικρονµικρον διαδια

πολλωνπολλων αριθµωναριθµωνγγííγνεσθαιγνεσθαι

Il CanoneIl Canone