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Ettore Majorana:Appunti di Fisica Teorica

a cura di S. Esposito e E. Recami

(Riproduzione vietata)

Indice

Prefazione vii

Volumetto 1: 8 marzo 1927 1

1.1 Potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Energia mutua di due distribuzioni di masse elettriche omagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Effetto pellicolare in condutture elettriche cilindricheomogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Teoria termodinamica delle pile termoelettriche . . . . . . 10

1.6 Energia di un conduttore isolato . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Attrazione di masse lontane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Linee elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Densita di una distribuzione sferica . . . . . . . . . . . . . 19

1.11 Skineffect elettrico limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.12 Skineffect elettrico limite per sezioni particolari. Indicazioniper sezioni qualunque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.12.1 Sezioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.12.2 Influenza delle irregolarita del contorno . . . . . . . 26

1.13 Perdite per isteresi nei conduttori magnetici in regime dieffetto pellicolare limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.14 Campo prodotto nel suo piano da una distribuzione lineareomogenea circolare di masse newtoniane . . . . . . . . . . . 30

1.15 Campo prodotto nel suo piano da una corrente circolare . . 31

1.16 Effetto pellicolare debole in conduttori a sezione ellitticaaventi la stessa permeabilita del mezzo . . . . . . . . . . . 31

1.17 Scariche oscillanti nei condensatori . . . . . . . . . . . . . . 33

1.18 Autoinduzione di una bobina di grande lunghezza ad asserettilineo e sezione circolare e a parecchi strati . . . . . . . 35

i

1.19 Energia di una distribuzione circolare uniforme di masseelettriche o magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.20 Autoinduzione di una bobina ad asse rettilineo e di limitatalunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.21 Distanze medie di elementi di volume o superficiali o lineari 401.22 Somma di alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.23 Autoinduzione di una bobina rettilinea di lunghezza limi-

tata a sezione circolare e avvolgimento di piccolo spessore . 431.24 Variazione del coefficiente di autoinduzione in seguito all’effetto

pellicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.25 Errore medio nella determinazione della probabilita di un

evento mediante un numero finito di prove . . . . . . . . . 481.26 Squilibrio di un sistema trifase puro . . . . . . . . . . . . . 491.27 Tavola per il calcolo della funzione x! . . . . . . . . . . . . 501.28 Influenza di un campo magnetico sul punto di fusione . . . 521.29 Calore specifico di un oscillatore . . . . . . . . . . . . . . . 541.30 Se i figli dei medesimi genitori tendano ad appartenere allo

stesso sesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.31 Propagazione del calore posto in una sezione di una sbarra

indefinita, di cui un’altra sezione e tenuta a zero.Similitudine dei grilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.32 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.33 Energia e calore specifico del rotatore . . . . . . . . . . . . 611.34 Attrazione dell’ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.35 Casi particolari: ellissoide con un asse molto allungato;

ellissoide rotondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.36 Equilibrio di un liquido rotante . . . . . . . . . . . . . . . . 721.37 Alcuni integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.38 Propagazione del calore in un mezzo isotropo e omogeneo . 78

1.38.1 Propagazione in una dimensione . . . . . . . . . . . 781.39 Trasformazioni conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.40 Meccanica ondulatoria del punto materiale in un campo

conservativo. Variazione degli autovalori . . . . . . . . . . 851.41 Massa elettromagnetica dell’elettrone . . . . . . . . . . . . 861.42 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.43 ∆ in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

ii

Volumetto 2: 23 aprile 1928 932.1 ∆ in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.2 Sviluppo di una funzione armonica nel piano . . . . . . . . 932.3 Quantizzazione dell’oscillatore lineare armonico . . . . . . . 952.4 Riduzione a diagonale di una matrice . . . . . . . . . . . . 992.6 Quantizzazione ondulatoria di un punto attratto con forza

costante verso una parete perfettamente elastica . . . . . . 1022.7 Hamiltoniana relativista per il movimento di un elettrone . 1062.8 Funzione di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.9 Il potenziale infratomico senza statistica . . . . . . . . . . . 1152.10 Applicazione del potenziale di Fermi . . . . . . . . . . . . . 1182.11 Curva statistica dei termini fondamentali negli atomi neutri 1222.12 Quinte potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.13 Molecola biatomica a nuclei uguali . . . . . . . . . . . . . . 1242.14 Seste potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.15 Settime potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.16 Potenziale nell’atomo in seconda approssimazione . . . . . 1282.17 Polarizzabilita dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.18 Sviluppi e integrali di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302.19 Corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.20 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332.21 Momento di inerzia della Terra . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.22 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442.23 Sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.24 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.25 Moto kepleriano piano perturbato . . . . . . . . . . . . . . 1512.26 Teoria dell’irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1582.27 Integrali definiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.28 Sviluppi in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.29 Teoria dell’irraggiamento: diffusione dell’elettrone libero . . 1642.30 Onde di De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682.31 e2 ' hc ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692.32 L’equazione y′′ + Py = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.33 Indeterminazione del potenziale vettore e scalare . . . . . . 1752.34 Sulla ionizzazione spontanea di un atomo di idrogeno posto

in una regione a potenziale elevato . . . . . . . . . . . . . . 1772.35 Urto di una particella α contro un nucleo radioattivo . . . 1942.36 Potenziale ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

iii

2.37 L’equazione y′′ = xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

2.38 Degenerazione di risonanza con piu elettroni . . . . . . . . 210

2.39 Formole varie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.39.1 Formole di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.39.2 Valor massimo di variabili casuali . . . . . . . . . . 212

2.39.3 Coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.39.4 Coefficienti dello sviluppo di 1/(1− x)n . . . . . . 217

2.39.5 Relazione tra i coefficienti binomiali . . . . . . . . . 217

2.39.6 Valori medi di rn tra superfici sferiche concentriche 218

Volumetto 3: 28 giugno 1929 227

3.1 Somma di alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

3.2 L’equazione ¤H = r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

3.3 Equilibrio di una massa liquida eterogenea in rotazione(Problema di Clairaut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

3.4 Determinazione di una funzione quando sono noti i momenti 251

3.5 Curve di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

3.6 L’integrale definito

∫ π/2

0

sin kx

sin xdx . . . . . . . . . . . . . . 262

3.7 Prodotti infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

3.8 Polinomi e numeri di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 267

3.9 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

3.10 Grandezze fisiche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

3.11 Curva del cane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

3.12 Potenziale statistico nelle molecole . . . . . . . . . . . . . . 279

3.13 Gruppo delle trasformazioni unitarie in due variabili . . . . 282

3.14 Relazioni di scambio fra trasformazioni infinitesime nellerappresentazioni di gruppi continui . . . . . . . . . . . . . . 293

3.15 Formole empiriche per l’energia di atomi con due elettroni 296

3.16 Gruppo delle rotazioni O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

3.17 Gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

3.18 Matrici di Dirac e gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . 309

3.19 Elettrone rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3.20 Caratteri della Dj e riduzione di Dj×D′j . . . . . . . . . . 330

3.21 Regole di selezione e di intensita in campo centrale . . . . . 333

3.22 Effetto Zeeman anomalo (secondo la teoria di Dirac) . . . . 339

3.23 Sistemi completi di equazioni differenziali del primo ordine 345

iv

Volumetto 4: 24 aprile 1930 3514.1 Relazione fra suscettibilita e momento elettrico variabile

nello stato fondamentale di un atomo . . . . . . . . . . . . 3514.2 Probabilita di ionizzazione di un atomo di idrogeno in campo

elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3544.3 Sviluppo di un polinomio in −1 ≤ x ≤ 1 secondo i polinomi

di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3614.4 Regole di moltiplicazione dei polinomi di Legendre . . . . . 3624.5 Funzione di Green per l’equazione differenziale

y′′ + (2/x− 1) y + φ(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3634.6 Su uno sviluppo in serie del logaritmo integrale . . . . . . . 3664.7 Caratteri primitivi del gruppo delle permutazioni di f oggetti3694.8 Sviluppo dell’onda piana secondo le funzioni sferiche . . . . 3744.9 Formola di Rutherford dedotta con la meccanica classica . 3774.10 La formola di Rutherford come prima approssimazione del

metodo di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3814.11 L’equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3854.12 Forze di polarizzazione fra atomi di idrogeno . . . . . . . . 3874.13 Rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel . . . . . 3894.14 Simmetria cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3924.15 Formole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3964.16 Onde piane secondo la teoria di Dirac . . . . . . . . . . . . 3984.17 Operatori impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4084.18 Rappresentazione integrale delle autofunzioni dell’idrogeno 4114.19 Deviazione di un raggio α dovuta a un nucleo pesante

(meccanica classica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4134.20 Diffusione dovuta a un centro a/r − b/r2 . . . . . . . . . . 4144.21 Il sistema di funzioni ortogonali definito da y′′a = (x− a)ya 4164.22 Sviluppi in integrali di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 4194.23 Integrali circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.24 Frequenze d’oscillazione dell’ammoniaca . . . . . . . . . . . 4224.25 Funzioni sferiche con spin (s = 1) . . . . . . . . . . . . . . 4254.26 Diffusione di elettroni veloci (metodo di Born relativistico) 4384.27 Grandezze atomiche di uso frequente . . . . . . . . . . . . 4444.28 Stati quasi-stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4454.29 Funzioni sferiche con spin (II) . . . . . . . . . . . . . . . . 459

v

Volumetto 5 4615.1 Rappresentazioni del gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . 4615.2 Urto fra protoni e neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4675.3 Zeri delle funzioni di Bessel d’ordine mezzo . . . . . . . . . 4705.4 Statistica e termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

5.4.1 Entropia di un sistema in equilibrio termico . . . . 4705.4.2 Gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4715.4.3 Gas monoatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4725.4.4 Gas biatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4735.4.5 Formole numeriche per l’entropia dei gas . . . . . . 4755.4.6 Energia libera dei gas biatomici . . . . . . . . . . . 477

5.5 Polinomi di uso frequente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4775.5.1 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

5.6 Trasformazioni di spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4785.7 Funzioni sferiche con spin s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 4845.8 Rappresentazioni unitarie in infinite dimensioni del gruppo

di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4895.9 L’equazione (¤ + λ)A = p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4945.10 Formole varie relative ad autofunzioni atomiche . . . . . . 4995.11 Teoria classica della radiazione di multipolo . . . . . . . . . 5015.12 Autofunzioni dell’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Indice analitico 515

vi

Prefazione

Introduzione storico-biografica

La fama di Ettore Majorana puo solidamente appoggiarsi a molte testimo-nianze come la seguente, dovuta alla memore penna di Giuseppe Cocconi.Invitato da Edoardo Amaldi, dal CERN gli scrive (18 luglio 1965):

<<...Nel gennaio 1938, appena laureato, mi fu offerto, essen-zialmente da te, di venire a Roma per sei mesi nell’Istituto di Fisicadell’Universita come assistente incaricato, ed una volta lı ebbi la for-tuna di unirmi a Fermi, Bernardini (che aveva avuto una Cattedraa Camerino pochi mesi prima) ed Ageno (lui pure giovane laure-ato), nella ricerca dei prodotti di disintegrazione dei “mesoni” mu(allora chiamati mesotroni ed anche yukoni) prodotti dai raggi cos-mici. L’esistenza dei “mesoni” mu era stata proposta circa un annoprima, ed il problema del loro decadimento era gia molto attuale.

Fu proprio mentre mi trovavo con Fermi nella piccola officina delsecondo piano, intenti lui a lavorare al tornio un pezzo della cameradi Wilson che doveva servire a rivelare i mesoni in fine range, io acostruire un trabiccolo per l’illuminazione della camera, utilizzanteil flash prodotto dall’esplosione di una fettuccia di alluminio corto-circuitata su una batteria, che Ettore Majorana venne in cerca diFermi. Gli fui presentato e scambiammo poche parole. Una fac-cia scura. E fu tutto lı. Un episodio dimenticabile se dopo pochesettimane, mentre ero ancora con Fermi nella medesima officinetta,non fosse arrivata la notizia della scomparsa da Napoli del Majo-rana. Mi ricordo che Fermi si dette da fare telefonando da varieparti sinche, dopo alcuni giorni, si ebbe l’impressione che non lo sisarebbe ritrovato piu.

Fu allora che Fermi, cercando di farmi capire che cosa significassetale perdita, si espresse in modo alquanto insolito, lui che era cosıserenamente severo quando si trattava di giudicare il prossimo. Eda questo punto vorrei ripetere le sue parole, cosı come da allora mele sento risuonare nella memoria: “Perche, vede, al mondo ci sonovarie categorie di scienziati; gente di secondo e terzo rango, chefan del loro meglio ma non vanno molto lontano. C’e anche gentedi primo rango, che arriva a scoperte di grande importanza, fonda-mentali per lo sviluppo della scienza (e qui ho netta l’impressioneche in quella categoria volesse mettere se stesso). “Ma poi ci sono

Prefazione

i geni, come Galileo e Newton. Ebbene, Ettore era uno di quelli.Majorana aveva quel che nessun altro mondo ha...”>>.

Enrico Fermi [uno dei maggiori fisici della nostra epoca; per quelloche ha fatto nel 1942 a Chicago, con la costruzione della prima “pila ato-mica”, il suo nome diverra forse leggendario come quello di Prometeo...]si espresse in maniera per lui insolita anche in un’altra occasione, il 27luglio 1938 (dopo la scomparsa di Majorana, avvenuta il sabato 26 marzo1938), scrivendo da Roma al primo ministro Mussolini onde chiedere unaintensificazione delle ricerche di Ettore:

<< Io non esito a dichiararVi, e non lo dico quale espressioneiperbolica, che fra tutti gli studiosi italiani e stranieri che ho avutooccasione di avvicinare il Majorana e fra tutti quello che per pro-fondita di ingegno mi ha maggiormente colpito>>.

E un testimone diretto, Bruno Pontecorvo, aggiunge: <<Qualchetempo dopo l’ingresso nel gruppo di Fermi, Majorana possedeva gia unaerudizione tale ed aveva raggiunto un tale livello di comprensione dellaFisica da potere parlare con Fermi di problemi scientifici da pari a pari.Lo stesso Fermi lo riteneva il piu grande fisico teorico dei nostri tempi.Spesso ne rimaneva stupito [...]. Ricordo esattamente queste parole diFermi: “Se un problema e gia posto, nessuno al mondo lo puo risolveremeglio di Majorana”.>>

Ettore Majorana scomparve piuttosto misteriosamente il 26 marzo1938, e non fu mai piu ritrovato. Il mito della sua “scomparsa” ha con-tribuito a null’altro che alla notorieta che gli spettava, per essere egli ungenio e un genio molto avanzato rispetto ai suoi tempi.

Il presente volume, in traduzione, ha prima visto la luce in linguainglese per i tipi della Kluwer Academic Press, e sotto lo stimolo, in par-ticolare, del direttore della rivista “Foundations of Physics” (A. van derMerwe). Ora esce nella versione originale, scritta da Ettore Majorana inlingua italiana.

In questo libro appare finalmente una prima parte degli appuntilasciati inediti dal Nostro: e, precisamente, i quaderni (noti come i Volu-metti), che comprendono i suoi appunti di studio redatti in Roma tra il1927, anno in cui abbandono gli studi di Ingegneria per passare a quelli diFisica, e il 1931-2. Si potra verificare come tali manoscritti siano un mo-dello non solo di ordine, divisi come erano (e sono) in argomenti e persino

viii

Prefazione

muniti di indici, ma anche di originalita, scelta dell’essenziale, e sinteticita;tanto che essi potrebbero venire riguardati, da un lato, come un eccellentecomplemento —dopo oltre settanta anni— di un testo moderno di Fisicateorica, e, dall’altro, come una miniera di nuovi spunti e idee teoriche, infisica e matematica, stimolanti e utili anche per la ricerca scientifica con-temporanea. Un futuro secondo volume pubblichera almeno una frazionedi altri manoscritti inediti, ancora piu tecnici, ma ancora piu ricchi dispunti scientifici originali: i cosiddetti Quaderni, contenenti le note scritteda Majorana durante le sue ricerche scientifiche.

Ricordiamo che Majorana, passato a Fisica alla fine del ’27, si laureocon Fermi il 6 luglio 1929, e continuo a collaborare col famoso gruppo diEnrico Fermi e Franco Rasetti (nato per volonta e attiva opera di OrsoMario Corbino): i cui fisici teorici —in ordine di ingresso nel gruppo—furono Ettore Majorana, Gian Carlo Wick, Giulio Racah, Giovanni Gentilejr., Ugo Fano, Bruno Ferretti, e Piero Caldirola. Membri del sottogrupposperimentale furono Emilio Segre, Edoardo Amaldi, Bruno Pontecorvo,Eugenio Fubini, Mario Ageno, Giuseppe Cocconi, oltre all’ottimo chimicoOscar D’Agostino. Successivamente, Majorana conseguı la Libera Docenzain Fisica teorica il 12 novembre 1932; trascorse circa sei mesi a Lipsia conWerner Heisenberg durante il 1933; e quindi, per ragioni ignote, interruppela sua frequentazione del gruppo dei “ragazzi di via Panisperna”. Smiseperfino di pubblicare i risultati delle proprie ricerche (che gia in precedenzaaveva drasticamente selezionato basandosi sul suo eccezionale spirito criticoe amore per il rigore e le vere innovazioni); a parte l’articolo “Teoria simme-trica dell’elettrone e del positrone,” gia pronto fin dal 1933, e che, stimolatodai suoi colleghi, Majorana tiro fuori da un cassetto e pubblico in occasionedel Concorso nazionale del 1937 a tre posti di professore ordinario di Fisicateorica.

In relazione a quest’ultimo punto, ricordiamo che nel 1937 i concor-renti furono numerosi, e molti di essi di elevato valore; soprattutto quat-tro: Ettore Majorana, Giulio Racah (ebreo, che successivamente passera daFirenze in Israele fondandovi la Fisica teorica), GianCarlo Wick (di madretorinese e nota antifascista), e Giovanni Gentile jr. (figlio dell’omonimofilosofo, gia ministro —come si direbbe ora— della Pubblica Istruzione,e ideatore delle “parastatistiche” in meccanica quantica). La commis-sione giudicatrice era costituita da: Enrico Fermi (presidente), AntonioCarrelli, Orazio Lazzarino, Enrico Persico e Giovanni Polvani. Su rac-comandazione della commissione giudicante, il ministro dell’Educazione

ix

Prefazione

Nazionale Giuseppe Bottai nomino il Majorana professore di Fisica teoricaall’Universita di Napoli per la sua “grande e meritata fama”, al di fuoridel Concorso stesso. La Commissione, invero, aveva dichiarato per iscrittoal Ministro di esitare ad applicare a lui le normali procedure concorsuali;allegando il seguente giudizio:

<<...Senza elencarne i lavori, tutti notevolissimi per l’originalitadei metodi impiegati e per l’importanza dei risultati raggiunti, ci silimita qui alle seguenti segnalazioni:

Nelle teorie nucleari moderne il contributo portato da questoricercatore con la introduzione delle forze dette “Forze di Majo-rana” e universalmente riconosciuto, tra i piu fondamentali, comequello che permette di comprendere teoricamente le ragioni dellastabilita dei nuclei. I lavori del Majorana servono oggi di base allepiu importanti ricerche in questo campo.

Nell’atomistica spetta al Majorana il merito di aver risolto, consemplici ed eleganti considerazioni di simmetria, alcune tra le piuintricate questioni sulla struttura degli spettri.

In un recente lavoro infine ha escogitato un brillante metodoche permette di trattare in modo simmetrico l’elettrone positivo enegativo, eliminando finalmente la necessita di ricorrere all’ipotesiestremamente artificiosa ed insoddisfacente di una carica elettricainfinitamente grande diffusa in tutto lo spazio, questione che erastata invano affrontata da molti altri studiosi>>.

Uno dei lavori piu importanti di Ettore, quello in cui introduce lasua “equazione a infinite componenti” (di cui diciamo in seguito), non emenzionato: ancora non era stato capito. E interessante notare, pero,che viene dato giusto rilievo alla sua teoria simmetrica per l’elettrone el’anti-elettrone (oggi in auge, per la sua applicazione a neutrini e anti-neutrini); e a causa della capacita di eliminare l’ipotesi cosiddetta “del maredi Dirac” [P.A.M. Dirac, premio Nobel 1933]: ipotesi che viene definita“estremamente artificiosa e insoddisfacente”, nonostante che essa dai piusia sempre stata accettata in maniera acritica.

I dettagli del primo incontro di Majorana con Fermi ci illuminanocirca alcuni aspetti, scientifici e no, di Ettore. Essi sono noti da quando liha narrati Segre; ma vale la pena di rileggerli con attenzione: <<Il primolavoro importante scritto da Fermi a Roma [su alcune proprieta statistichedell’atomo]. . . e oggi noto come metodo di Thomas-Fermi . . .Quando Fermitrovo che per procedere gli occorreva la soluzione di un’equazione differen-ziale non lineare, caratterizzata da condizioni al contorno insolite, con la

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Prefazione

sua abituale energia in una settimana di assiduo lavoro calcolo la soluzionecon una piccola calcolatrice a mano. Majorana, che era entrato da pocoin Istituto e che era sempre molto scettico, decise che probabilmente lasoluzione numerica di Fermi era sbagliata e che sarebbe stato meglio ve-rificarla. Ando a casa, trasformo durante la serata e la notte l’equazioneoriginale di Fermi in una equazione del tipo di Riccati e la risolse senzal’aiuto di nessuna calcolatrice, servendosi della sua straordinaria attitudineal calcolo numerico... Quando il mattino dopo torno in Istituto confrontocon aria scettica il pezzetto di carta, su cui aveva riportato i dati ottenuti,col quaderno di Fermi, e quando trovo che i risultati coincidevano esatta-mente non pote nascondere la sua meraviglia>>.

Abbiamo indugiato sul precedente aneddoto dato che le pagine con lasoluzione in forma chiusa trovata dal Majorana per l’equazione differenzialedi Fermi —equazione che Fermi, ripetiamolo, non era riuscito a risolvereanaliticamente— sono state da noi alfine scoperte proprio nei Volumetti (etra altri fogli sparsi): si e cosı potuto recentemente mostrare che Majoranaseguı in realta due indipendenti metodi (molto originali) per giungere aimedesimi risultati, uno dei quali lo condusse ad una equazione di Abel,piuttosto che di Riccati. Il secondo cammino costituisce una novita ancheper la Matematica attuale. La comprensione dettagliata di quanto fattoda Majorana in quelle poche ore ha richiesto a uno di noi circa due mesidi intensa applicazione...

Gli articoli pubblicati da Ettore Majorana

Ettore scrisse pochi articoli scientifici: nove; oltre allo scritto semi-divul-gativo “Il valore delle leggi statistiche nella fisica e nelle scienze sociali”,pubblicato postumo su Scientia (Vol.36 (1942) p.55) a cura di G. Gentilejr.. Si ricordi che Majorana passo da Ingegneria a Fisica alla fine del 1927o agli inizi del 1928 (anno in cui pubblico gia un articolo, il primo: scrittoinsieme con l’amico Gentile), e poi si dedico alla ricerca scientifica in Fisicateorica solo per pochissimi anni. Ciononostante, anche i soli lavori da luipubblicati sono una miniera di idee e tecniche di Fisica teorica che rimanetuttora parzialmente inesplorata.

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Prefazione

Elenchiamo i suoi nove articoli pubblicati:1

(1) “Sullo sdoppiamento dei termini Roentgen ottici a causa dell’elettronerotante e sulla intensita delle righe del Cesio,” in collaborazionecon Giovanni Gentile jr., Rendiconti dell’Accademia dei Lincei Vol.8(1928) pp.229-233.

(2) “Sulla formazione dello ione molecolare di He,” Il Nuovo CimentoVol.8 (1931) pp.22-28.

(3) “I presunti termini anomali dell’Elio,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931)pp.78-83.

(4) “Reazione pseudopolare fra atomi di Idrogeno,” Rendiconti dell’Ac-cademia dei Lincei Vol.13 (1931) pp.58-61.

(5) “Teoria dei tripletti P’ incompleti,” Il Nuovo Cimento Vol.8 (1931)pp.107-113.

(6) “Atomi orientati in campo magnetico variabile,” Il Nuovo CimentoVol.9 (1932) pp.43-50.

(7) “Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario,”Il Nuovo Cimento Vol.9 (1932) pp.335-344.

(8) “Uber die Kerntheorie,” Zeitschrift fur Physik Vol.82 (1933) pp.137-145; “Sulla teoria dei nuclei,” La Ricerca Scientifica Vol.4 (1933)pp.559-565.

(9) “Teoria simmetrica dell’elettrone e del positrone,” Il Nuovo CimentoVol.14 (1937) pp.171-184.

1Nell’elenco che segue non e inclusa la comunicazione di Majorana alla XXIIAdunanza Generale della Societa Italiana di Fisica, pubblicata su Il Nuovo Ci-mento Vol.6 (1929) pp.XIV-XVI e dal titolo “Ricerca di un’espressione generaledelle correzioni di Rydberg, valevole per atomi neutri o ionizzati positivamente”.Detta comunicazione, di recente messa in evidenza da F. Guerra e N. Robotti,non fu intesa dal Majorana come una “pubblicazione”: infatti, egli non diedealle stampe nulla del molto e interessantissimo materiale da lui lasciato in formamanoscritta, il quale materiale (oltre che in importanti pagine sparse) appare nelparagrafo 2.16 del Volumetto 2 riprodotto in quest’opera. Ivi il lettore interes-sato trovera il ricco testo originale sul quale si baso la relazione scientifica delMajorana (si veda S. Esposito, preprint arXiv:physics/0512259).

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Prefazione

I primi articoli, redatti tra il 1928 e il 1931, riguardano problemi diFisica atomica e molecolare: per lo piu questioni di spettroscopia atomicao di legame chimico (sempre, s’intende, nell’ambito della meccanica quanti-stica). Come scrive E. Amaldi, un esame approfondito di questi lavori lasciacolpiti per la loro alta classe: essi rivelano sia una profonda conoscenza deidati sperimentali, anche nei piu minuti dettagli, sia una disinvoltura noncomune, soprattutto a quell’epoca, nello sfruttare le proprieta di simmetriadegli “stati quantistici” per semplificare qualitativamente i problemi e perscegliere la via piu opportuna per la risoluzione quantitativa. Tra questiprimi articoli ne scegliamo uno solo:

“Atomi orientati in campo magnetico variabile” apparso sulla ri-vista Il Nuovo Cimento. E l’articolo, famoso tra i fisici atomici, in cuiviene introdotto l’effetto ora noto come Effetto Majorana-Brossel. In essoEttore prevede e calcola la modificazione della forma delle righe spettralidovuta a un campo magnetico oscillante; e cio in connessione a un espe-rimento tentato a Firenze qualche anno prima (benche senza successo) daG. Bernardini ed E. Fermi. Questo lavoro e rimasto anche un classicodella trattazione dei processi di ribaltamento “non adiabatico” dello spin(o “spin-flip”). I suoi risultati —una volta estesi, come suggerito dallostesso Majorana, da Rabi nel 1937 e quindi, nel 1945, da Bloch e Rabi(i quali, entrambi premi Nobel [Rabi: 1944; Bloch: 1952], contribuironoa diffondere quanto trovato da Ettore tredici anni prima)— hanno costi-tuito la base teorica del metodo sperimentale usato per ribaltare anchelo spin dei neutroni con un campo a radiofrequenza: metodo impiegatoancor oggi, ad esempio, in tutti gli spettrometri a neutroni polarizzati. Inquesto articolo viene introdotta anche la cosiddetta “Sfera di Majorana”(per rappresentare spinori mediante insiemi di punti di una superficie sfe-rica), di cui ha parlato entusiasticamente —per esempio— Roger Penrosenei suoi ultimi libri semi-divulgativi (si vedano in Bibliografia le citazionidi Penrose e Zimba & Penrose, e quelle piu recenti di C. Leonardi et al.).

Gli ultimi tre articoli di Ettore sono tutti di tale importanza chenessuno di essi puo restare senza commento.

L’equazione a infinite componenti

L’articolo “Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbi-trario” e il tipico esempio di lavoro che precorre talmente i tempi da venirecompreso e valutato a fondo solo molti anni dopo.

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Prefazione

A quel tempo era opinione comune che si potessero scrivere equazioniquantistiche compatibili con la Relativita (cioe “relativisticamente inva-rianti”) solo nel caso di particelle a spin zero o un mezzo. Convintodel contrario, Ettore comincia a costruire opportune equazioni quanto-relativistiche per i successivi valori possibili dello spin (uno, tre mezzi,ecc.), arrivando a dare le regole anche per la costruzione di tale equazioneper un valore generico dello spin; finche scopre che si puo scrivere un’unicaequazione rappresentante una serie infinita di casi, cioe un’intera famigliainfinita di particelle a spin qualsiasi (si ricordi che allora le particelle note—che ora sono centinaia— si contavano sulle dita di una mano!). Tralasciaallora tutti i singoli casi studiati —senza piu pubblicarli— e si dedica soloa queste equazioni “a infinite componenti”, senza trascurare l’osservazioneche esse possono descrivere non solo particelle ordinarie ma anche tachioni.

Per realizzare questo programma, Majorana ricorre per la primavolta —inventandole— alle rappresentazioni unitarie del Gruppo di Lorentza infinite dimensioni: rappresentazioni riscoperte da Eugene Wigner (pre-mio Nobel 1963) in lavori del 1939 e 1948. Per comprendere l’importanzadi quest’ultimo aspetto, rifacciamoci a quanto Ettore stesso —pur tantoschivo— riferisce a suo padre da Lipsia il 18 febbraio 1933: <<Nell’ultimomio articolo apparso sul “Nuovo Cimento” e contenuta una importantescoperta matematica, come ho potuto accertarmi mediante un colloquiocol professor van der Waerden, olandese che insegna qui, una delle mag-giori autorita in teoria dei gruppi>>.

Questa teoria e stata reinventata da matematici sovietici (in par-ticolare Gelfand e collaboratori) in una serie di articoli del 1948-1958, efinalmente applicata dai fisici in anni ancora piu tardi. L’articolo inizialedi Ettore, anzi, rimarra in ombra per ben 34 anni, cioe fino a quandoAmaldi lo traduce e segnala al fisico americano D.Fradkin, il quale a suavolta strabilia i teorici delle alte energie rendendo finalmente di pubblicodominio, nel 1966 [D. Fradkin: American Journal of Physics Vol.34 (1966)p.314], quanto compiuto da Majorana tanti anni prima. Dalla data del1966, la fama di Ettore comincia a crescere costantemente anche tra i fisicidelle particelle fondamentali.

Le forze di scambio

Non appena, al sorgere del 1932, giunge a Roma notizia degli esperimentidei Joliot-Curie [premi Nobel 1935 per la chimica], Ettore comprende che

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Prefazione

essi avevano scoperto il “protone neutro” senza accorgersene. Prima an-cora, quindi, che ci fosse l’annuncio ufficiale della scoperta del neutrone,effettuata poco dopo da Chadwick [premio Nobel 1935 per la Fisica], Ma-jorana e in grado di spiegare la struttura e la stabilita dei nuclei atomicimediante protoni e neutroni. Ettore precorse cosı anche il lavoro pionieri-stico di D. Ivanenko. Ma non volle pubblicarne nulla, ne permise a Fermidi parlarne a Parigi agli inizi di luglio: cio e narrato da Segre e da Amaldi.I suoi colleghi ricordano che gia prima di Pasqua era giunto alle conclu-sioni piu importanti della sua teoria: che protoni e neutroni fossero legatida forze quantistiche originate semplicemente dalla loro indistinguibilita;cioe da “forze di scambio” delle rispettive posizioni spaziali (e non anchedegli spin, come invece fara Heisenberg), cosı da ottenere la particella alfa(e non il deutone) quale sistema saturato rispetto alla energia di legame.

Solo dopo che Heisenberg pubblica il proprio articolo sullo stessoargomento, Fermi riesce a indurre Majorana a recarsi a Lipsia presso ilgrande collega. E, finalmente, Heisenberg sa convincere Ettore a pubblicare(anche se tanto in ritardo) i propri risultati: “Uber die Kerntheorie”, lavoroapparso il 3 marzo 1933 sulla rivista Zeitschrift fur Physik.

Le forze “di scambio” nucleari furono chiamate forze di Heisenberg-Majorana. Ettore ne parla al padre, con grande modestia, nella stessalettera prima citata (del 18.2.1933): <<Ho scritto un articolo sulla strut-tura dei nuclei che a Heisenberg e piaciuto molto benche contenesse alcunecorrezioni a una sua teoria>>. Sempre su questo lavoro scrive pochi giornidopo, il 22 febbraio, alla madre: <<Nell’ultimo “colloquio”, riunione set-timanale a cui partecipano un centinaio tra fisici, matematici, chimici, etc.,Heisenberg ha parlato della teoria dei nuclei e mi ha fatto molta reclamea proposito di un lavoro che ho scritto qui. Siamo diventati abbastanzaamici. . . >>.

Probabilmente la pubblicazione sulla stabilita dei nuclei venne subitoriconosciuta dalla comunita scientifica (in particolare dai fisici nucleari)—evento raro, come sappiamo, per gli scritti di Ettore— anche grazie aquesta opportuna “propaganda” fattane da Heisenberg, che proprio pochimesi dopo ricevera il premio Nobel.

L’avversione a pubblicare le proprie scoperte, quando esse fosserorisultate, all’esame del suo senso ipercritico, di carattere non abbastanzagenerale o espresse in forma matematica non abbastanza stringente edelegante, divenne per Ettore anche motivo di vezzo. Racconta Amaldi:<<Talvolta nel corso di una conversazione con qualche collega diceva quasi

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Prefazione

incidentalmente di aver fatto durante la sera precedente il calcolo o lateoria di un fenomeno non chiaro che era caduto sotto l’attenzione sua o diqualcuno di noi in quei giorni. Nella discussione che seguiva, sempre moltolaconica da parte sua, Ettore a un certo punto tirava fuori dalla tasca ilpacchetto delle sigarette Macedonia (era un fumatore accanito) sul qualeerano scritte, in una calligrafia minuta ma ordinata, le formule principalidella sua teoria o una tabella di risultati numerici. Copiava sulla lavagnaparte dei risultati, quel tanto che era necessario per chiarire il problema,e poi, finita la discussione e fumata l’ultima sigaretta, accartocciava ilpacchetto nella mano e lo buttava nel cestino>>.

Estremamente interessanti sono pure due altri passi di lettera. Il14.2.1933, sempre da Lipsia, Majorana racconta alla madre: << . . . L’am-biente dell’istituto fisico e molto simpatico. Sono in ottimi rapporti conHeisenberg, con Hund e con tutti gli altri. Sto scrivendo alcuni articoliin tedesco. Il primo e gia pronto, e spero di eliminare qualche confusionelinguistica durante la correzione delle bozze>>. Il lavoro “gia pronto”e naturalmente quello sulle forze nucleari di cui si sta parlando; il quale,pero, rimase l’unico in lingua tedesca.

Ancora, nella lettera del 18 febbraio dichiara al padre: << pub-blichero in tedesco, estendendolo, anche l’ultimo mio articolo apparso sul“Nuovo Cimento”>>.

In realta Ettore non pubblico piu nulla, ne in Germania, ne al rientroin Italia, a parte l’articolo (del 1937) di cui stiamo per dire. Di notevoleimportanza e quindi sapere che Ettore stesse scrivendo altri lavori: inparticolare, che stesse estendendo il suo articolo sulla equazione a infinitecomponenti.

Il neutrino di Majorana

Dai manoscritti ritrovati pare, come si e detto, che Majorana formu-lasse in quegli stessi anni (1932-33) le linee essenziali anche della sua teoriasimmetrica per l’elettrone e l’anti-elettrone: che le formulasse, cioe, non ap-pena si diffuse la notizia della scoperta dell’anti-elettrone, o “positrone”.Anche se Ettore pubblica tale teoria solo molto piu tardi, accingendosia partecipare al Concorso a cattedra di cui sappiamo. La “Teoria sim-metrica dell’elettrone e del positrone” viene inizialmente notata quasi es-clusivamente per aver introdotto la famosa rappresentazione di Majorana

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delle “matrici di Dirac” in forma reale2. Conseguenza di tale teoria e cheun “fermione” neutro debba coincidere con la propria antiparticella: edEttore suggerisce che i neutrini possano essere particelle di questo tipo.

Ettore ci teneva molto a questa sua elaborazione teorica; cio e testi-moniato da Carrelli, che ne discusse con Ettore durante il breve periodo dilezioni a Napoli.

Come per altri scritti di Majorana, anche questo articolo ha comin-ciato ad avere fortuna solo vent’anni dopo, a partire dal 1957. Dopo di cheha goduto di fama via via crescente tra i fisici delle particelle relativistiche edelle teorie di campo3. Ora sono di gran moda espressioni come “spinori diMajorana”, “massa di Majorana”, “neutrini di Majorana” (e perfino “ma-joroni”). Le pubblicazioni di Majorana (ancora poco note, nonostantetutto) sono per la Fisica, lo si e detto, una continua fonte di ispirazione.Recentemente, ad esempio, Carlo Becchi ha osservato come nelle primepagine di questo scritto si trovi una formulazione estremamente chiara delprincipio d’azione quantistico, che in anni successivi, attraverso i lavori diSchwinger e Symanzik, ha portato agli sviluppi recenti piu importanti dellateoria dei campi quanto-relativistici.

I manoscritti inediti di Ettore Majorana

Ma Ettore ci ha lasciato anche molti manoscritti scientifici inediti, puredepositati presso la “Domus Galilaeana” di cui e stato redatto un catalogoin collaborazione con M. Baldo e R. Mignani. L’analisi di questi mano-scritti permette di rilevare: (i) come Ettore fosse estremamente diligentee preciso nel lavoro. Tutte le sue scoperte risultano precedute da una in-defessa serie di calcoli, fatti e rifatti: anche per i piu dotati, naturalmente,la scienza non puo essere solo un semplice gioco di intuizioni, come invece

2Si noti, pero, che l’algebra IR(4) ' IR3,1 cosı introdotta da Majorana e deltutto diversa dall’algebra CI (4) ' IR4,1 introdotta da Dirac. Osserviamo, enpassant, che l’algebra di Majorana e una delle due algebre associabili in manieranaturale allo spazio di Minkowski (la seconda essendo IR1,3 ' IH(2), ove IH(2) el’algebra delle matrici quaternioniche 2× 2).

3Nel 1981, ad esempio, una rivista giapponese di Fisica ha ripubblicato inlingua inglese (con traduzione a cura di Luciano Maiani) questo articolo di circaquarantacinque anni prima.

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la leggenda aveva voluto farci credere; (ii) che, fra il materiale inedito,parecchi spunti hanno ancora un interesse scientifico attuale: alcune centi-naia di pagine possono essere utili in maniera significativa per la ricercacontemporanea; ma solo poche pagine sono state da noi finora interpretatee pubblicate; (iii) che tutto il materiale noto sembra scritto entro il 1933;(iv) che quasi nulla ci e noto di cio che egli fece negli anni a seguire (1934–1937). A parte una lunga serie di 34 lettere di risposta, scritte da Ettorein quegli anni (precisamente dal 17.3.31 fino al 16.11.37) allo zio Quirino,il quale lo sollecitava a fornire una spiegazione teorica dei risultati dei pro-pri esperimenti. Queste lettere sono di carattere essenzialmente tecnico(lo zio Quirino era un fisico sperimentale di grandissima abilita, che avevaoccupato anche il ruolo di presidente della Societa Italiana di Fisica) emostrano in tal modo che pure negli ultimi anni Ettore ben sapeva tornarealla Fisica, sempre con le sue doti di eccelso teorico.

Invero la sorella Maria ricordava che anche in quegli anni Ettore —ilquale aveva diradato sempre piu le sue visite all’Istituto, a cominciare dallafine del 1933, cioe dal suo rientro da Lipsia— continuo a studiare e lavorarea casa parecchie ore al giorno; e la notte. Si diede Ettore solo a studi diletteratura e filosofia (amava particolarmente Pirandello, Schopenhauer eShakespeare), o di “teoria dei giochi” e strategia navale (sua passione findall’infanzia), nonche di economia, di politica e infine di medicina; oppurecontinuo a dedicarsi anche alla Fisica? Dalla lettera a Quirino del 16.1.1936ci viene una risposta; perche veniamo a sapere che Ettore si occupava “daqualche tempo di elettrodinamica quantistica”. Conoscendo la modestiadi Ettore nell’esprimersi, cio significa che durante l’anno 1935 Majorana siera dedicato a fondo a ricerche originali nel settore —per lo meno— dellaelettrodinamica quantistica. E ancora nel 1938, a Napoli, Carrelli avral’impressione che Ettore stesse lavorando a qualcosa di rilevante, di cui nonvoleva parlare. Ma lumi ancora piu importanti ci sono giunti dalle lettereinviate, da Lipsia, ai propri genitori, lettere che abbiamo sopra citate, e,sempre da Lipsia, al C.N.R.: delle quali diremo.

Non possiamo dimenticare, poi, gli appunti autografi di lezione re-datti da Majorana nei primi mesi del 1938 a beneficio dei propri studentidell’Universita di Napoli. Gli appunti per le lezioni da lui tenute primadella scomparsa fu consegnata dal Majorana, entro una cartelletta, il giornoprima di scomparire, all’allieva Gilda Senatore e (essendone intermediariCennamo, Carrelli e Amaldi) finirono nelle mani di G. Bernardini, proba-bilmente soltanto in parte, e quindi negli archivi della “Domus Galilaeana”.

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Prefazione

La parte cosı sopravvissuta (relativa a dieci lezioni) fu pubblicata per inte-ressamento di G. Gialanella e soprattutto B. Preziosi, in un volume conte-nente anche gli appunti per la prolusione al corso —la lezione inaugurale—rinvenuti da Recami. Recentissimamente S. Esposito, in collaborazione conA. Drago, ha scoperto gli appunti delle restanti sei lezioni: e quindi l’interaserie e ora pubblicamente disponibile.

Esistono altri manoscritti di Majorana?

Tornando alla lettera del 18 febbraio al padre, in essa abbiamo trovatola notizia molto interessante che Ettore stava per pubblicare in tedesco,estendendolo, l’ultimo suo articolo apparso sul “Nuovo Cimento”. Comesappiamo, questo progetto non verra poi realizzato; ma e importante ri-cordare ancora una volta come Ettore avesse in mente di generalizzareil lavoro in cui aveva introdotto la sua equazione a infinite componenti.Anzi, la questione diviene del massimo rilievo quando si leggano le let-tere inviate in quel periodo al Consiglio Nazionale delle Ricerche (ritrovatepresso gli archivi del C.N.R., e a noi pervenute attraverso la cortesia diG.Fioravanti e soprattutto del collega M.De Maria). Nella prima (21.1.33)Ettore specifica: <<Attendo attualmente alla elaborazione di una teoriaper la descrizione di particelle con momento intrinseco arbitrario che hoiniziata in Italia, e di cui ho dato notizia sommaria nel Nuovo Cimento(in corso di stampa)...>>. Nella seconda (3.3.33) dichiara addirittura,riferendosi al medesimo lavoro: <<Ho inviato alla Zeitschrift fur Physikun articolo sulla teoria dei nuclei. Ho pronto il manoscritto di una nuovateoria delle particelle elementari e lo inviero alla stessa rivista fra qualchegiorno...>>. Se ricordiamo che l’articolo qui considerato come “notiziasommaria” di una nuova teoria era gia di altissimo livello, si comprendecome sarebbe di enorme interesse scoprire una copia della teoria completa:la quale nel marzo 1933 aveva gia assunto la forma di un manoscritto com-piuto, forse gia dattiloscritto in lingua tedesca. Ma Ettore, ripetiamo, nonne fece piu nulla. Non dimentichiamo poi la citata lettera a Quirino del16.1.1936, la quale ci ha rivelato che successivamente Ettore continuo alavorare in Fisica teorica, occupandosi a fondo —per lo meno— di elettro-dinamica quantistica. Dove sono finiti gli appunti, gli scritti, gli articoli

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Prefazione

relativi a tutta questa attivita?Come abbiamo gia segnalato, il giorno prima di salpare da Napoli

(e successivamente sparire), Ettore Majorana consegno alla propria stu-dentessa Gilda Senatore una cartelletta di carte scientifiche: contenente,tra l’altro, gli appunti di lezione manoscritti dal Majorana per i suoi allievi;affinche lei la conservasse. Tutto cio lo si e saputo in seguito ad una ap-profondita ricerca effettuata nel 1990 da Bruno Russo, e successivamenteconfermata a voce dalla stessa Prof.ssa Senatore a chi scrive, nonche aBruno Preziosi.

La cartelletta conteneva (oltre alle “lezioni”) delle note incomplete,degli scritti conclusi, e articoli. Si hanno ragioni per credere che tale cartel-letta contenesse almeno alcuni dei risultati del lavoro svolto da Majorana,in isolamento, tra la fine del 1933 e il 1938. Tali risultati sarebbero distraordinaria importanza, come sappiamo, per la stessa Fisica teorica con-temporanea, piu ancora che per la storia della Fisica. Ma avvenne che laSig.na Senatore parlo confidenzialmente dei manoscritti avuti in pegno daMajorana a Francesco Cennamo, assistente del direttore Antonio Carrelli,quando questi divenne suo marito. Il dottor Cennamo, di propria inizia-tiva, li mostro a Carrelli, che li sequestro. E, per quanto a noi ora consta,essi si persero.

Molte altre idee di Ettore, quando non restarono nella sua mente,hanno lasciato traccia nella memoria dei colleghi. Una delle testimonianzepiu interessanti che abbiamo raccolto e di GianCarlo Wick. Da Pisa il 16ottobre 1978 scrive a Recami: <<...Il contatto scientifico tra me ed Et-tore di cui le accenno Segre avvenne a Roma in occasione del CongressoVolta (assai prima del soggiorno di Majorana a Lipsia). La conversazioneebbe luogo in un ristorante, in presenza di Heitler, e dunque senza lavagnane formule scritte; ma nonostante l’assenza di dettagli quello che Majo-rana descrisse a parole era una “teoria relativistica di particelle carichedi spin zero basata sull’idea di quantizzazione dei campi” (seconda quan-tizzazione). Quando assai piu tardi vidi il lavoro di Pauli [Premio Nobel1945] e Weisskopf [Helvetica Physica Acta Vol.7 (1934) p.709], rimasi asso-lutamente convinto che quello che Majorana aveva descritto fosse la stessacosa. . . >>.

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Prefazione

Questo volume

Nel presente libro riproduciamo (per la prima volta in originale) i cinquequaderni, accuratamente redatti e bene organizzati dal Majorana, noticome “Volumetti”. Scritti in Roma tra il 1927 e il 1931-2 (iniziati, quindi,prima ancora che Majorana passasse da Ingegneria a Fisica), essi sono at-tualmente depositati presso la citata Domus Galilaeana di Pisa. Ciascunodi essi, del formato di approssimativamente 11 cm × 18 cm, consta dicirca 100−150 pagine, ordinatamente numerate. Ogni Volumetto contieneal suo inizio un indice, che venne via via composto dal suo autore manmano che un particolare argomento risultava esaurito; e una data, eccettoper l’ultimo, e minore, Volumetto, il quale non reca data, probabilmenteperche non fu mai completato. Vi sono motivi per ritenere che la data ri-portata da Majorana su ciascun Volumetto non corrisponda, precisamente,ne alla data di inizio della stesura ne a quella di chiusura, in quanto vi sonomolte indicazioni sia in un senso (mancanza della data nel Volumetto V,ecc.) che nell’altro (riferimenti bibliografici ad articoli pubblicati dopo ladata del Volumetto in cui compare, ecc.). Majorana, infatti, probabilmentecominciava ad utilizzare un nuovo quaderno gia prima che il precedentefosse completato, ritornando su quest’ultimo successivamente. In tal casola data riportata sugli originali sarebbe solo indicativa del periodo in cuil’autore ha annotato i suoi studi.

Varie pagine bianche numerate appaiono nei manoscritti originali,in alcuni casi tra la fine di un capitolo e l’inizio del successivo: qui abbiamotralasciato tali pagine bianche.

Verosimilmente, Majorana affronto i vari argomenti seguendo ideee risultati ben definiti, quali nascevano dai suoi studi. Ogni Volumetto fuscritto durante il periodo di circa un anno, cominciando dagli anni in cuistava portando a termine i propri studi presso l’Universita di Roma. Per-tanto il contenuto passa da questioni tipiche degli usuali corsi accademici aproblemi di ricerca di frontiera. Nonostante questa variabilita di livello (cherisulta evidente esaminando i vari Volumetti, o anche all’interno dello stessoVolumetto), lo stile scientifico non e mai comune. Quale esempio, citiamolo studio da parte del Majorana del cambiamento del punto di fusione diuna sostanza quando essa viene immersa in un campo magnetico, o, ancorapiu interessante, l’esame della propagazione del calore da lui effettuato us-ando una “similitudine dei grilli”. Sempre degno di nota e il suo mododi trattare questioni di Fisica a lui contemporanea in maniera lucida ed

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Prefazione

originale: come nei casi della spiegazione, proposta da Fermi, della massadi origine elettromagnetica degli elettroni; dell’equazione di Dirac e sue ap-plicazioni; e del gruppo di Lorentz; con cio rivelando a volte la letteraturascientifica da lui preferita. In quanto alle ricerche di frontiera, citiamoqui solo due esempi illuminanti: lo studio degli stati quasi-stazionari, cheanticipa la teoria di Ugo Fano di circa 20 anni; e la teoria dell’atomo diFermi, sviluppata attraverso soluzioni analitiche dell’equazione di Thomas-Fermi con le sue opportune condizioni al contorno, in termini di sempliciquadrature: tecniche del tutto nuove e sconosciute.

Nel riprodurre questi Volumetti ci siamo attenuti per quanto pos-sibile all’originale, tranne nei pochissimi casi in cui le notazioni usate daMajorana potevano non risultare abbastanza chiare. Abbiamo percio sos-tituito il ricorrente simbolo della costante di Planck, h, con il piu comune2π~, eccetto quando si tratti di risultati della vecchia teoria quantistica.Tutte le variazioni sono messe in evidenza da note a pie pagina. Abbiamopoi introdotto delle note ogni qual volta l’interpretazione dei procedimentiseguiti, o il significato di qualche brano, richiedevano delle aggiunte esplica-tive. Le poche note a pie pagina che appaiono sul manoscritto originalesono state identificate facendole precedere dal simbolo ∗.

Il notevole sforzo fatto nel mettere in forma elettronica e controllaretutte le equazioni e le Tabelle di numeri e stato motivato dal nostro deside-rio di facilitare per quanto possibile la lettura dei Volumetti di Majorana,con la speranza di rendere accessibile la loro ricchezza intellettuale al piuvasto pubblico di lettori.

Le figure che qui appaiono sono state riprodotte senza l’uso di stru-menti fotografici o scansioni digitali, ma sono del tutto fedeli ai disegnioriginali. Lo stesso vale per le Tabelle con risultati numerici, le quali sonostate riprodotte a prescindere dall’originale: ovvero, sono state controllaterifacendo tutti i calcoli sulla base dei metodi adottati dall’autore. SvariateTabelle presentavano delle lacune, rivelando che l’autore aveva tralascia-to di calcolarle integralmente: in tali casi le abbiamo completate. Altrepiccole modifiche, relative soprattutto alla correzione di sviste, vengonoindicate con una nota.

Aggiungiamo nel seguito una breve Bibliografia. Lungi dall’esserecompleta, essa correda solo gli argomenti toccati in questa Prefazione.

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Prefazione

Ringraziamenti

I curatori di quest’opera desiderano ringraziare esplicitamente Alwyn vander Merwe ed Ettore Majorana Jr, senza il cui indefesso aiuto questo libronon avrebbe visto la luce, e Roberto Battiston per il costante interessa-mento. Sono poi riconoscenti alla famiglia Majorana (nelle persone diFabio e Pietro Majorana, e della signora Nunni Cirino, ripettivamente figlie vedova dell’Ing. Luciano, fratello del Majorana) per la affettuosa col-laborazione. Per la cortese disponibilita, essi ringraziano inoltre l’attualepresidente della Societa Italiana di Fisica, Franco Bassani, e vari colleghi(in particolare D. Ahluwalia, A. De Gregorio ed E. Giannetto) per sti-molanti discussioni.Il materiale autografo originale su cui si basa la presente edizione e attual-mente conservato presso la Domus Galilaeana di Pisa; si ringraziano C.Segnini, gia curatore della Domus, cosı come i precedenti responsabili dellastessa Istituzione. La preparazione di tale volume e stata in parte finan-ziata da due COFIN del MURST, grazie alla sollecitudine di E. Recami,e in parte dal Dipartimento di Scienze Fisiche dell’Universita di Napoli“Federico II”, per il gentile interessamento di A. Drago, B. Preziosi, M.Romano e M. La Commara.Per la realizzazione tecnica di quest’opera i curatori hanno molto benefi-ciato dell’aiuto di G. Celentano, R. De Risi, R. A. De Stefano, C. Grosso eL. Scarpone, a cui va la nostra sentita gratitudine; unitamente a Federicoe Lorenzo Enriques e allo Staff della casa editrice Zanichelli per il lorointeressamento e la fattiva collaborazione.

S. EspositoE. Recami

xxiii

Prefazione

Bibliografia

[1] Il testo inglese della presente opera si trova in Ettore Majorana -Notes on Theoretical Physics, a cura di S. Esposito, E. MajoranaJr., A. van der Merwe, e E. Recami (Kluwer Academic Publishers;Dordrecht, Boston and London, 2003).

[2] I documenti usati in questa Prefazione si possono trovare (insiemecon l’intera documentazione biografica riguardante E. Majorana, scop-erta o raccolta in 5 o 6 lustri da E. Recami) nel libro E. Recami: Ilcaso Majorana: Epistolario, Documenti, Testimonianze, 2a edizione(Mondadori; Milano, 1991), pp.230; e in particolare nella sua 4a edi-zione (Di Renzo; Roma, 2002), pp.273.Vedere anche E. Recami: “I nuovi documenti sulla scomparsa diE. Majorana”, in Scientia Vol.110 (1975) p.577; in La Stampa(Torino), 1 giugno e 29 giugno 1975; in Corriere della Sera (Mi-lano), 19 ottobre 1982 e 13 dicembre 1983; “Ricordo di Ettore Ma-jorana a sessant’anni dalla sua scomparsa: L’opera scientifica editae inedita”, in Quaderni di Storia della Fisica, Vol.5 (1999), p.19;e inoltre AA.VV.: Scienziati e tecnologi contemporanei: Enciclope-dia Biografica, 3 volumi, a cura di E. Macorini (Milano, 1974); M.Farinella: in L’Ora (Palermo), 22 e 23 luglio 1975; G.C. Graziosi:“Le lettere del mistero Majorana”, in Domenica del Corriere (Mi-lano), 28 novembre 1972; S. Ponz de Leon: “Speciale News: Majo-rana”, trasmesso il 30.9.1987 (Canale Cinque); B. Russo: “EttoreMajorana – Un giorno di marzo”, programma televisivo trasmessoil 18.12.90 (Rai Tre – Sicilia), e il libro col medesimo titolo (Flac-covio; Palermo, 1997); F. e D. Dubini: “La scomparsa di EttoreMajorana”, programma televisivo trasmesso nel 1987 (TV svizzera).

[3] Le prime opere biografiche su Majorana sono le seguenti:E. Amaldi, La Vita e l’Opera di E. Majorana (Accademia dei Lincei;Roma, 1966); “Ettore Majorana: Man and scientist,” in Strong andWeak Interactions. Present problems, a cura di A. Zichichi (Aca-demic Press; New York, 1966); “Ricordo di Ettore Majorana”, inGiornale di Fisica Vol.9 (1968) p.300; E. Amaldi: “From the dis-covery of the neutron to the discovery of nuclear fission”, in PhysicsReports Vol.111 (1984) p.1; E. Amaldi: in Il Nuovo Saggiatore Vol.4(1988) p.13.Vedere anche B.Pontecorvo: Fermi e la fisica moderna (Editori Ri-

xxiv

Prefazione

uniti; Roma, 1972); e in Proceedings of the International Confer-ence on the History of Particle Physics, Paris, July 1982, PhysiqueVol.43 (1982); G.Enriques: Via D’Azeglio 57 (Zanichelli; Bologna,1971); E.Segre: Enrico Fermi, Fisico (Zanichelli; Bologna, 1971); eAutobiografia di un Fisico (Il Mulino; Roma, 1995).

[4] La riproduzione degli originali delle lezioni svolte a Napoli da E. Ma-jorana sono pubblicate in Ettore Majorana – Lezioni all’Universita diNapoli, a cura di B. Preziosi (Bibliopolis; Napoli, 1987). L’edizionecritica completa e invece in Ettore Majorana – Lezioni di Fisica Teo-rica, a cura di S. Esposito (Bibliopolis; Napoli, 2006).Vedere anche S. Esposito: “Il corso di Fisica teorica di Ettore Majo-rana: il ritrovamento del Documento Moreno”, in Il Nuovo Saggia-tore, Vol.21 (2005) p.21.

[5] Il catalogo dei manoscritti scientifici inediti di Majorana si trovain M. Baldo, R. Mignani, e E. Recami, “Catalogo dei manoscrittiscientifici inediti di E. Majorana,” in Ettore Majorana – Lezioniall’Universita di Napoli, loc. cit.; e E. Recami, “Ettore Majorana:L’opera edita ed inedita,” loc. cit..

[6] Alcuni lavori originati da intuizioni di Majorana sono i seguenti:R. Mignani, M. Baldo e E. Recami: “About a Dirac–like equation forthe photon, according to Ettore Majorana”, in Lettere al Nuovo Ci-mento Vol.11 (1974) p.568 [interessante pure ai fini di una possibileinterpretazione fisica della funzione d’onda del fotone]. Vedere an-che S. Esposito: “Covariant Majorana formulation of Electrodynam-ics”, in Foundation of Physics Vol.28 (1998) p.231; e E. Giannetto:“Su alcuni manoscritti inediti di E.Majorana”, in Atti IX CongressoNaz.le di Storia della Fisica, a cura di F. Bevilacqua (Milano, 1988)p.173.S. Esposito: “Majorana solution of the Thomas-Fermi equation”,in American Journal of Physics Vol.70 (2002) p.852; “Majoranatransformation for differential equations”, in International Journalof Theoretical Physics Vol.41 (2002) p.2417; E. Di Grezia e S. Es-posito: “Fermi, Majorana and the statistical model of atoms”, inFoundation of Physics Vol.34 (2004) p.1431.R.Penrose, “Newton, quantum theory and reality,” in 300 Years ofGravitation, S. W. Hawking and W. Israel eds. (University Press;Cambridge, 1987); J. Zimba e R. Penrose, “On Bell Non-Locality

xxv

Prefazione

Without Probabilities: More Curious Geometry”, in Studies in theHistory and Philosophy of Modern Physics Vol.24 (1993) p.697; R.Penrose: Ombre della Mente (Rizzoli; Milano, 1996), pp.338–343e 371–375; e i successivi studi, svolti a Palermo, C. Leonardi, F.Lillo, A. Vaglica e G. Vetri: “ Quantum visibility, phase-differenceoperators, and the Majorana Sphere” (Dipartimento di Fisica, Uni-versita di Palermo; 1998); “Majorana and Fano alternatives to theHilbert space”, in Mysteries, Puzzles, and Paradoxes in QuantumMechanics, a cura di R.Bonifacio (A.I.P.; Woodbury, N.Y., 1999),p.312; F.Lillo: “Aspetti fondamentali nell’interferometria a uno edue fotoni”, Tesi di Dottorato (Dipartimento di Fisica, Universita diPalermo, 1998).

xxvi

VOLUMETTO

1 8 marzo 1927

1.1 Potenziale elettrico

E = − grad V, ∆ V = − 4πρ.

Il potenziale in un punto O dello spazio S limitato dalla superficie σ e datodalla

VO =

∫

σ

k V dσ +

∫

S

ρ

(1

r− U

)dS (1.1)

essendo r la distanza da P , k la densita della distribuzione superficialeequivalente per gli effetti esterni alla massa 1 concentrata in P , U il poten-ziale che compete a detta distribuzione. Ovvero

VO =

∫

σ

k V dσ +1

4π

∫

S

U ∆ V dS − 1

4π

∫

S

∆ V

rdS (1.2)

ed essendo in S:

U ∆ V = div (U grad V − V grad U) , (1.3)

sara:1

VO =

∫

σ

k V dσ +1

4π

∫

σ

U∂V

∂ndσ

− 1

4π

∫

σ

V

(∂U

∂n

)

i

dσ − 1

4π

∫

S

∆ V

rdS , (1.4)

ma sulla superficie abbiamo:

U =1

r, (1.5)

(∂U

∂n

)

i

= −Eni = −Ene + 4πk = − 1

r2cos ϕ + 4πk , (1.6)

1L’Autore usa i pedici i ed e per indicare le regioni interne ed esterne ad unadata superficie. Invece con n viene indicata la componente di un dato vettorelungo la normale esterna n a tale superficie.

1

Volumetto 1: 8 marzo 1927

Or

φσ

P

S

n

e sostituendo:

VO =1

4π

∫

σ

(V cos ϕ + r

∂V

∂n

)dσ

r2− 1

4π

∫

S

∆ V

rdS. (1.7)

formola valevole per una funzione arbitraria V , perche puo sempre trovarsiuna distribuzione di masse che abbia nello spazio S il potenziale V .Se in S non esistono masse:

VO =1

4π

∫

σ

(V cos ϕ + r

∂V

∂n

)dσ

r2. (1.8)

Dimostriamo direttamente la (1.7). Poniamo:

V ′O =

1

4π

∫

σ

(V cos ϕ + r

∂V

∂n

)dσ

r2− 1

4π

∫

S

∆ V

rdS. (1.9)

Supponiamo che la superficie σ subisca una variazione infinitesima man-tenendosi omotetica con se stessa, con centro di omotetia O. I campi diintegrazione S e σ si trasformano in quelli prossimi σ′ e S ′. Se facciamocorrispondere mediante la relazione di omotetia gli elementi dei primi aquelli dei secondi, e facile valutare le variazioni dei due integrali. In effetti

2


se 1+dα e il rapporto d’omotetia risultano facilmente le seguenti variazionirelative al passaggio da un elemento al corrispondente:

δV = dα · (P−O)× grad V (1.10)

δ cos ϕ = 0 (1.11)

δr = dα · r (1.12)

δdσ

r2= 0 (1.13)

δ∆ V = dα · (P−O)× grad∆ V (1.14)

δ∂V

∂n=

∂

∂n(P−O)× grad V · dα − ∂V

∂ndα (1.15)

δdS

r= 2 dα

dS

r(1.16)

onde avremo:

δV ′0 =

dα

4π

∫

σ

((P−O)× grad V cos ϕ + r

∂

∂n(P−O)× grad V

)dσ

r2

− dα

4π

∫

S

((P−O)× grad∆ V

r+ 2

∆ V

r

)dS. (1.17)

L’integrale di superficie puo considerarsi come il flusso uscente attraversoσ del vettore

M = (P−O)× grad V(P−O)

r3+

1

rgrad ((P−O)× grad V ) , (1.18)

il quale e infinito in O, ma solo del primo ordine, di modo che detto integraledi superficie puo trasformarsi nell’integrale di volume:

∫

S

div M dS.

Ma, come e agevole verificare, si ha:

div M =(P−O)× grad∆ V

r+ 2

∆ V

r, (1.19)

sicche avremo δV ′0 = 0.

3


Se la superficie σ, deformandosi con continuita nel modo anzidetto,diviene infinitesima intorno a O, l’integrale di volume della (1.9) tende azero e quello di superficie tende a 4πVO. Sara percio:

V ′O = VO c.d.d. (1.20)

1.2 Potenziale ritardato

Sia H una funzione dello spazio e del tempo e obbedisca all’equazionedifferenziale

∆ H =1

c2

∂2H

∂t2. (1.21)

Sia O un punto, r la distanza di P da O, m una funzione di P e di t,porremo

m (P, t) = m(P, t− r

c

). (1.22)

Consideriamo la funzione

H1(P, t) = H(P, t− r

c

). (1.23)

E facile trovare l’equazione differenziale a cui soddisfa HO:

∆ H1 = − 2

c

∂2H1

∂r∂t− 2

rc

∂H1

∂t. (1.24)

Se il punto O appartiene allo spazio S limitato dalla superficie σ applicandola (1.7) e notando che in O si ha HO

1 = HO, si trova:

HO =1

4π

∫

σ

(H1 cos ϕ + r

∂H1

∂n

)dσ

r2

+1

4π

∫

S

(2

rc

∂2H1

∂r∂t+

2

r2c

∂H1

∂t

)dS. (1.25)

Scomponiamo il volume S in coni elementari di vertice O. L’elemento divolume di un cono di apertura dω compreso tra due sfere di centro O e di

4


raggi r e r +dr vale: dω r2dr e quindi l’integrale esteso al volume del conosara dato da

dω

∫ r

0

2

c

(∂H1

∂t+ r

∂2H1

∂r∂t

)dr = dω

2r

c

∂H1

∂t, (1.26)

nell’ultimo membro della quale ∂H1/∂r va calcolato nella base su σ delcono; se dσ e l’area di questa base, ϕ l’angolo che l’asse del cono forma conla normale esterna, sara:

dω2r

c

∂H1

∂t=

2

rc

∂H1

∂tcos ϕ dσ, (1.27)

e l’integrale esteso a tutto lo spazio S si trasforma nell’integrale di superficie∫

σ

2

rc

∂H1

∂tcos ϕ dσ. (1.28)

Sostituendo abbiamo dunque:

HO =1

4π

∫

σ

(H1 cos ϕ + r

∂H1

∂n+ cos ϕ

2r

c

∂H1

∂t

)dσ

r2; (1.29)

e notando che:

H1 = H (1.30)

∂H1

∂n=

∂H

∂n− r

ccos ϕ

∂H

∂t(1.31)

∂H1

∂t=

∂H

∂t(1.32)

abbiamo:

HO =1

4π

∫

σ

(H cos ϕ + r

∂H

∂n+

r cos ϕ

c

∂H

∂t

)dσ

r2. (1.33)

Ponendo:m (P, t) = m

(P, t +

r

c

)(1.34)

eH2(P, t) = H

(P, t +

r

c

)(1.35)

l’equazione differenziale a cui soddisfa H2 sara:

∆ H2 =2

c

∂2H2

∂r∂t+

2

rc

∂H2

∂t. (1.36)

5


e con un calcolo perfettamente analogo al precedente troviamo:

HO =1

4π

∫

σ

(H cos ϕ + r

∂H

∂n− r cos ϕ

c

∂H

∂t

)dσ

r2. (1.37)

1.3 Energia mutua di due distribuzioni dimasse elettriche o magnetiche

Siano date due distribuzioni di masse elettriche o magnetiche in regionidistinte dello spazio. Limitiamo mediante una superficie chiusa σ (unica ono) uno spazio S che comprenda tutte le masse della prima distribuzione enessuna di quelle della seconda. Se V e il potenziale del campo E prodottodalla prima distribuzione, V ′ il potenziale del campo E′ prodotto dallaseconda, e la prima distribuzione e composta dalle masse m1, m2, . . . , mn

poste nei punti P1, P2, . . . , Pn, sara, con notazione di cui e chiaro il signi-ficato:

U =

n∑1

mi V ′i , (1.38)

ovvero, applicando la (1.8),

U =1

4π

∫

σ

(V ′

n∑1

mi

r2i

cos ϕi + E′n

n∑1

mi

ri

)dσ, (1.39)

in cui E′n la componente di E′ secondo la normale interna di σ. Ora

abbiamo:n∑1

mi

r2i

cos ϕi = En, (1.40)

n∑1

mi

ri= V, (1.41)

essendo, nella prima di queste formole, En la componente secondo la nor-male esterna a σ di En. Sostituendo troviamo la formola notevole:

U =1

4π

∫

σ

(En V ′ + E′

n V)

dσ. (1.42)

6


1.4 Effetto pellicolare in condutture elet-triche cilindriche omogenee

Supposta la sezione circolare e di piccole dimensioni rispetto alla lunghezzadel conduttore, potremo considerare il potenziale uguale in tutti i punti diuna medesima sezione e la densita di corrente funzione della sola distanzaa dall’asse. Se I = I1 + iI2 e il complesso2 che rappresenta l’intensitadella corrente attraverso un cerchio coassiale con la sezione e di raggio a,D = D1+iD2 la densita di corrente a distanza a dall’asse, µ la permeabilitamagnetica del conduttore, A il raggio della sezione, ρ la resistivita elettrica,le forze contro elettromotrici3 dovute all’effetto ohmico4 e alla variazionedell’induzione dentro la conduttura, saranno per unita di lunghezza, lungouna linea di corrente a distanza a dall’asse, rispettivamente

D ρ (1.43)

e

2 µ ω i

∫ A

a

I

xdx, (1.44)

e poiche tutte le altre forze elettromotrici sono uguali per tutte le linee dicorrente concludiamo che

D ρ + 2 µ ω i

∫ A

a

(I/x) dx = cost. (1.45)

cioe, differenziando:

ρ dD = 2 µ ω iI

ada. (1.46)

Indicando con I l’area del cerchio di raggio a, I e D come funzioni di s, etenendo conto delle uguaglianze

D =dI

ds, (1.47)

2da

a=

ds

s, (1.48)

2L’Autore considera qui un conduttore in cui scorre una corrente alternata difrequenza ω.

3Cioe le forze che bloccano il flusso di corrente.4Tale effetto e meglio noto come effetto Joule.

7


potremo scrivere:

ρ ddI

ds= µ ω i

I

sds, (1.49)

cioed2I

ds2=

µ ω i

ρ

I

s. (1.50)

Poniamop =

µ ω

ρs, (1.51)

sostituendo abbiamo:d2I

dp2= i

I

p. (1.52)

Come risulta chiaramente da questa relazione, p non dipende dalle unitafondamentali del sistema elettromagnetico. Percio, per brevita di calcolo,data la proporzionalita fra p e s, supporremo per un momento di sceglierel’unita di lunghezza in guisa che p = s, senza che per questo la p vengaalterata. Tenuto conto che per p = 0 si ha I = 0, e facile integrare perserie la (1.52). Si trova, ricordando che I = I1 + iI2.

I1 = m

(p− 1

2!2·3p3 +1

4!2·5p5 − 1

6!2·7p7 + . . .

), (1.53)

I2 = m

(1

2p2 − 1

3!2·4p4 +1

5!2·6p6 − 1

7!2·8p8 + . . .

), (1.54)

in cui m e una costante che possiamo supporre reale se spostiamo conve-nientemente l’origine dei tempi. Derivando rispetto a p, abbiamo, essendoper la convenzione fatta p = s

D1 = m

(1− 1

2!2p2 +

1

4!2p4 − 1

6!2p6 + . . .

), (1.55)

D2 = m

(p− 1

3!2p3 +

1

5!2p7 − 1

7!2p9 + . . .

). (1.56)

Il calore svolto per effetto ohmico lungo un tratto ` del conduttore sara inmedio nell’unita di tempo

Q1 =1

2m2ρ `

∫ p

0

[(1− 1

2!2p2 + . . .

)2

+

(p− 1

3!2p3 + . . .

)2]

dp. (1.57)

8


Invece il calore che si svolgerebbe se la corrente fosse distribuita uniforme-mente, e dato da

Q =1

2m2ρ

1

p

[(p− 1

2!2·3p3 + . . .

)2

+

(1

2p2 − 1

3!2·4p4 + . . .

)2]

. (1.58)

Chiamando r1 la resistenza apparente del conduttore con corrente alter-nata, r la resistenza a corrente continua, risulta:

r1

r=

Q1

Q=

∫ p

0

[(1− 1

2!2p2 + . . .

)2

+

(p− 1

3!2p3 + . . .

)2]

dp

1

p

[(p− 1

2!2·3p3 + . . .

)2

+

(1

2p2 − 1

3!2·4p4 + . . .

)2] .

(1.59)Il numeratore e il denominatore dell’ultimo membro possono svilupparsi inserie secondo le potenze di p. Eseguiti gli sviluppi si trova, dividendo perp,

r1

r=

1 +1

3!p2 +

1

2!2·5!p4 +

1

3!2·7!p6 +

1

4!2·9!p8 + . . .

1 +1

2!·3!p2 +

1

2!·3!·5!p4 +

1

3!·4!·7!p6 +

1

4!·5!·9!p8 + . . .

, (1.60)

in cui, liberandoci dai vincoli imposti sulle unita di misura, p = µωs/ρ =µ`ω/r ovvero, prendendo per unita di resistenza l’ohm e per unita dilunghezza il metro:

p =µ ω `

107 R=

2πf µ `

107 R.

Diamo alcuni valori di R1/R in corrispondenza a dati valori di p:5

5Si osservi che l’Autore usa l’equazione (1.60) per ottenere i valori nellaseguente tabella fino a p = 6, mentre per completare la tabella egli utilizza losviluppo contenuto nell’equazione (1.62).

9


[t]

p r1/r

1 1.07822 1.26463 1.47894 1.67796 2.006710 2.506924 3.727460 5.7357100 7.3277

Per piccoli valori di p (p < 1) puo adoperarsi la formola:

r1

r= 1 +

1

12p2 − 1

180p4, (1.61)

mentre per valori elevati puo servire l’altra

r1

r=

√1

2p +

1

4+

3

64

(√1

2p

)−1

(1.62)

o l’altra piu semplice

r1

r=

√1

2p +

1

4, (1.63)

la prima delle quali da risultati pressoche esatti (errore relativo < 0.0001)per p > 10.

1.5 Teoria termodinamica delle piletermoelettriche

Supponiamo che alla quantita 1 di elettricita6 sia connessa una certa en-tropia S, funzione della natura e della temperatura del conduttore. Se

6Ossia la quantita di carica elettrica (che fluisce in un conduttore) corrispon-dente alla unita di misura scelta.

10


la quantita q di elettricita percorre un elemento conduttore, la sua en-tropia passera da qS a q(S + dS), essendo dS finito o infinitesimo secondoche gli estremi dell’elemento siano o no di natura diversa. Se prescindi-amo dall’effetto Ohm, che potra valutarsi a parte, dobbiamo considerarecome reversibile il movimento dell’elettricita; allora all’incremento di en-tropia qdS deve corrispondere un assorbimento di calore qTdS, cosı dovela natura del conduttore varia, come quando varia soltanto la sua tempera-tura (effetto Thomson). Se la quantita q di elettricita percorre un circuitochiuso la quantita totale di calore assorbito sara:

q

∫T dS,

in cui l’integrale esteso a tutto il circuito sara in generale diverso da zero,purche la temperatura non sia uguale in tutti gli elementi conduttori e variinoltre almeno in due punti la loro natura. Se E e l’equivalente mecca-nico del calore dovra allora manifestarsi nel circuito, per la conservazionedell’energia, una forza elettromotrice e data da:

e = E

∫T dS. (1.64)

Seguono facilmente le leggi fondamentali della pila termoelettrica.

1.6 Energia di un conduttore isolato

Sia σ una superficie conduttrice carica della massa elettrica 1, k la den-sita superficiale dell’elettricita, ε l’energia del sistema, V il potenziale delconduttore. Supponiamo che σ si deformi e sia σ1 la deformata e, analoga-mente, k1 la densita della nuova distribuzione, ε1 l’energia e V1 il potenziale.Indichiamo con εm l’energia mutata delle due distribuzioni e con ε(k− k1)l’energia totale dell’insieme della prima distribuzione e della seconda cam-biata di segno. Avremo evidentemente:

ε(k − k1) = ε + ε1 − εm. (1.65)

Supponiamo che σ1 sia tutta esterna a σ; il potenziale del campo prodottodalla distribuzione k1 sara in tutti i punti di σ uguale a V1, avremo quindi:

11


εm = V1, e poiche ε1 = V1/2, εm = 2ε1. Sostituendo ricaviamo:

ε − ε1 = ε(k − k1). (1.66)

Se supponiamo che σ1 differisca infinitamente poco da σ, il campo prodottodalla differenza delle due distribuzioni sara nullo all’interno di σ, finito traσ e σ1, e infinitesimo fuori di σ1. Anche l’energia di detto campo sara, perunita di volume, nulla dentro σ, finita tra σ e σ1, e infinitesima del secondoordine fuori di σ1, e poiche lo spazio compreso tra σ e σ1 e infinitesimodel primo ordine, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo,dovremo tener conto solo dell’energia di volume contenuta fra σ e σ1. Ma inquesta regione il campo prodotto della seconda distribuzione e nullo, sicchepossiamo dire che per una variazione infinitesima di σ, purche la superficievariata sia tutta esterna a σ, la diminuzione di energia elettrostatica euguale all’energia primitivamente contenuta nello spazio compreso fra σ e lanuova superficie. Possiamo dare a questa proposizione un’altra forma. Siadσ un elemento di σ; l’elemento di volume compreso fra σ, σ1, e le normalial contorno di dσ vale dσ·dα, essendo dα la distanza fra σ e σ1, l’intensitadel campo nell’interno di detto elemento e, a meno di infinitesimi, 4πk = F ,percio l’energia contenuta in detti elemento di volume vale F (k/2)dσdα,ma kdσ e la massa dm distribuita su dσ onde F (k/2)dσdα = (dm/2)Fdαe integrando in tutto lo spazio fra σ e σ1,

ε − ε1 = − δε =1

2

∫F·δα dm : (1.67)

o anche, poiche ε =1

2V e ε1 =

1

2V1,

V − V1 = − δV =

∫F·δα dm. (1.68)

E assai facile constatare che questa formola vale anche senza la restrizioneche σ1 sia tutta esterna a σ, purche si intenda sempre per F la forzaesternamente a σ e si assuma dα positiva o negativa secondo che σ1 elocalmente esterna o interna a σ.

12


1.7 Attrazione di masse lontane

Sia dato un sistema di masse attiranti m1, m2, . . . , mn poste nei puntiP1, P2, . . . , Pn,. Sia O il baricentro del sistema, m la sua massa totale.Fissiamo un sistema di assi cartesiani con l’origine in 0; il potenziale in unpunto P di coordinate x, y, z sara

V =

n∑i=1

mi

[(x− xi)

2 + (y − yi)2 + (z − zi)

2]−1/2

=

n∑i=1

mi

[x2 + y2 + z2 − 2(xxi + yyi + zzi) + x2

i + y2i + z2

i

]−1/2.

Se indichiamo con r la distanza di P da O e con α, β, γ i coseni di direzionedella retta OP , avremo:

V =

n∑i=1

mi

[r2 − 2r(αxi + βyi + γzi) + x2

i + y2i + z2

i

]−1/2

=1

r

n∑i=1

mi

[1− (2/r)(αxi + βyi + γzi)− (x2

i + y2i + z2

i )/r2]−1/2.

Se r e infinitamente grande la quantita sotto radice differisce dall’unitaper un infinitesimo dello stesso ordine di 1/r; sviluppando secondo questoinfinitesimo e trascurando sotto il segno di sommatorio gli infinitesimid’ordine uguale o superiore al terzo, avremo, poiche tutto il sommatoriova moltiplicato per 1/r, a meno di infinitesimi del quarto ordine:

V =1

r

n∑i=1

mi +1

r2

n∑i=1

mi(αxi + βyi + γzi)

+1

r3

n∑i=1

mi

[3

2(αxi + βyi + γzi)

2 − 1

2

(x2

i + y2i + z2

i

)],

e trasformando l’ultimo termine e notando che∑

i mi = m e∑

i mixi =∑i miyi =

∑i mizi = 0, avremo:

V =m

r+

1

r3

n∑i=1

mi

[(x2

i + y2i + z2

i

)

13


− 3

2

(α2(y2

i + z2i ) + . . .− 2αβxiyi − . . .

)],

cioe, indicando con Ip il momento di inerzia polare rispetto al baricentrodel sistema di masse e con I il momento di inerzia dello stesso sistemarispetto alla retta OP ,

V =m

r+

1

r3

(Ip − 3

2I)

+ infinitesimi del IV ordine, (1.69)

onde il potenziale in punti lontani di un sistema di masse attiranti con lalegge di Newton e determinato, a meno di infinitesimi del quarto ordine,dalla massa e dal nocciolo centrale d’inerzia del sistema.Poiche, come risulta dalla (1.69), a meno di un infinitesimo del terzo ordine

si ha V/m = 1/r, noi potremo, nel termineIp − 3

2I

r3che figura nella (1.69)

stessa, sostituire a 1/r il valore approssimato V/m. Risolvendo rispetto a1/r, abbiamo allora, sempre a meno di un infinitesimo del quarto ordine

1

r=

V

m− V 3

m4

(Ip − 3

2I)

, (1.70)

e prendendo gli inversi dei due membri avremo a meno di infinitesimi delsecondo ordine

r =m

V+

V

m2

(Ip − 3

2I)

. (1.71)

Poiche si puo sempre trovare un omeoide che abbia la stessa massa e lostesso nocciolo centrale d’inerzia del sistema dato, concludiamo che le su-perficie equipotenziali a distanza infinitamente grande del campo prodottoda una distribuzione qualsiasi di masse sono, a meno di infinitesimi delsecondo ordine, ellissi omofocali aventi per assi gli assi principali d’inerziadella distribuzione stessa; mentre, a meno di infinitesimi del primo ordine,sono sfere aventi per centro il suo baricentro.

14


1.8 Formulario

(S, volume limitato dalla superficie σ)

(1) div (mF) = m div F + grad m × F

(2) div E ∧ F = rotE×F − E× rotF

(3) grad (m n) = m grad n + n grad m

(4) ∆ (m n) = m ∆ n + 2grad m · grad n + n ∆ m

(5) rot rotE = −∆E + grad div E

(6)

∫

σ

En dσ =

∫

S

div EdS 7

(7)

∫

σ

m En dσ =

∫

S

(m div E + grad m ·E) dS,

(8)

∫

σ

n×F dσ =

∫

S

rotF dS

(9)

∫

σ

pn dσ =

∫

S

grad p dS

(10)

∫

σ

q n dσ =

∫

S

(∂q i

∂x+

∂q j

∂y+

∂q k

∂z

)dS, [q, omografia], 8

(11) rot mF = m rotF + grad m×F,

7En indica la componente del vettore E lungo la normale esterna n alla su-perficie σ.

8i, j,k sono i versori lungo gli assi coordinati x, y, z.

15


(12)

∫

σ

(P−O) ∧ q n dσ =

∫

S

[(P−O) ∧

(∂q i

∂x+

∂q j

∂y+

∂q k

∂z

)

dS,

(13)

∫

σ

EEn dσ =

∫

S

(E div E − E ∧ rotE +

1

2grad E2

)dS

(14)

∫

σ

(EEn − 1

2E2 n

)dσ =

∫

S

(E div E − E× rotE) dS.

(15) Sia U1 = U1(x1, x2, x3) e

x1 = x1(x, y, z), x2 = x2(x, y, z), x3 = x3(x, y, z); (1.72)

posto U(x, y, z) = U1(x1, x2, x3), si deduce

∆ U =∂2U1

∂x21

|grad x1|2 + . . . +∂2U1

∂x1∂y1· 2 grad x1 × grad y1 + . . .

+∂U1

∂x1∆ x1 +

∂U1

∂y1∆ y1 +

∂U1

∂x3∆ z1. (1.73)

formole analoghe valgono per trasformazioni in spazi con un numero qua-lunque di dimensioni, ed anche fra spazi a un numero differente di dimen-sioni purche la (1.72 abbia senso univoco.

1.9 Linee elettriche

Siano r, L, C, g rispettivamente la resistenza, l’autoinduzione, la capaci-ta e la dispersione per unita di lunghezza. Supponiamo queste quattrograndezze costanti. Se la linea e percorsa da correnti di frequenza ω/2π,indicando con V e i rispettivamente il potenziale e l’intensita di corrente

16


(complessi) e con x la distanza dall’origine, le espressioni generali di V e isono:9

V = A cosip(px) + B sinip(px), (1.74)

i = −A q sinip(px) − B q cosip(px) (1.75)

nelle quali A e B sono costanti arbitrarie, mentre si e posto:

p =√

r + Lωj√

g + Cωj, q =√

g + Cωj/√

r + Lωj.

Sia ` la lunghezza della linea, V0, V1 e i0, i1, rispettivamente, i valori di Ve di i per x = 0 e per x = `. Supponiamo inoltre dato V0 e chiusa la lineasu una resistenza (complessa) R.Ponendo nella (1.74) x = 0, si ricava:

V0 = A; (1.76)

ponendo invece nelle (1.74), (1.75), x = `, e sostituendo ad A il valoretrovato abbiamo rispettivamente:

V1 = V0 cosip(p`) + B sinip(p`), (1.77)

i = −V0 q sinip(p`) − B q cosip(p`) (1.78)

e dovendo essere, per le ipotesi fatte, V1 = Ri1,

V0 cosip(p`) + B sinip(p`) + V0 R q sinip(p`) + B R q cosip(p`) = 0,(1.79)

cioe:

B = −V0cosip(p`) + Rq sinip(p`)

sinip(p`) + Rq cosip(p`). (1.80)

Sostituendo nelle (1.74) e (1.75) e dando a x valori opportuni si trovanofacilmente le espressioni:

i0 = V0 qcosip(p`) + Rq sinip(p`)

sinip(p`) + Rq cosip(p`), (1.81)

V1 =V0 R q

sinip(p`) + Rq cosip(p`), (1.82)

i1 =V0 q

sinip(p`) + Rq cosip(p`). (1.83)

9Per evitare confusioni, l’Autore indica l’unita immaginaria√−1 con j; i pedici

ip servono invece ad indicare le funzioni iperboliche sinh e cosh.

17


In particolare se R = ∞ si ha:

i0 = V0 qsinip(p`)

cosip(p`)(1.84)

V1 =V0

cosip(p`)(1.85)

i1 = 0; (1.86)

e se R = 0:

i0 = V0 qcosip(p`)

sinip(p`)(1.87)

V1 = 0 (1.88)

i1 =V0 q

sinip(p`); (1.89)

se r = g = 0:

i0 = V0

√C/L

cos√

LCω` + jR√

C/L sin√

LCω`

R√

C/L cos√

LCω` + j sin√

LCω`, (1.90)

V1 =V0 R

√C/L

R√

C/L cos√

LCω` + j sin√

LCω`; (1.91)

se r = g = 0 e R = ∞:

i0 = V0

√C/L j

sin√

LCω`

cos√

LCω`= V0

√C/L j tan

√LCω`, (1.92)

V1 =V0

cos√

LCω`, (1.93)

i1 = 0; (1.94)

se r = g = R = 0:

i0 = −V0

√C

Lj

1

tan√

LCω`, (1.95)

V1 = 0, (1.96)

i1 = −V0

√C

Lj

1

sin√

LCω`. (1.97)

18


[ ]10

1.10 Densita di una distribuzione sferica

Si abbia una distribuzione di masse newtoniane su una superficie sfericacon densita variabile K. Detti V0 e K0 rispettivamente il potenziale e ladensita nel punto O, V il potenziale nel punto generico P , d la distanzafra P0 e P , e r il raggio della sfera, vale la relazione:

K0 =1

4π

(V0

r+

∫

σ

V0 − V

πd3dσ

), (1.98)

10Nel manoscritto originale e qui riportato un inserto il cui contenuto e ilseguente:“Se Z e l’impedenza della linea, Y l’ammettenza in derivazione, V0 e i0 il poten-ziale e la corrente in arrivo, V1 e i1 quelli in partenza, si ha:

V1 = V0 cosip

√Y Z + i0

√Z

Ysinip

√Y Z,

ii = i0 cosip

√Y Z + V0

√Y

Zsinip

√Y Z.

Sviluppando in serie i primi termini sono:

aV1 = V0

(1 +

Y Z

2

)+ i0 Z

(1 +

Y Z

6

),

ii = i0

(1 +

Y Z

2

)+ V0 Y

(1 +

Y Z

6

).

Il metodo del T darebbe:

V1 = V0

(1 +

Y Z

2

)+ i0 Z

(1 +

Y Z

4

),

ii = i0

(1 +

Y Z

2

)+ V0 Y,

e quello del Π

V1 = V0

(1 +

Y Z

2

)+ i0 Z,

ii = i0

(1 +

Y Z

2

)+ V0 Y

(1 +

Y Z

4

).

19


nella quale l’integrale va esteso a tutta la superficie sferica.

1.11 Skineffect elettrico limite

Si abbia un conduttore a sezione costante (di forma qualunque) percorsoda corrente alternata. Crescendo indefinitamente la frequenza la correntetende a scorrere quasi esclusivamente in uno strato superficiale del con-duttore sempre piu sottile. Al limite potremo ritenere il fenomeno dellacorrente come puramente superficiale e potremo considerare la densita lin-eare di corrente che sara l’intensita della corrente che attraversa l’unitadi lunghezza del contorno della sezione. Per una data intensita totale dicorrente, al limite sara nulla la densita superficiale di corrente all’internodel conduttore e sara quindi, manifestamente, anche nullo il campo mag-netico. Ora il campo magnetico all’interno del conduttore e dovuto allacorrente che scorre in superficie e alla magnetizzazione del conduttore, sequesto e magnetico, nel sottile strato superficiale percorso da corrente. Ilsecondo contributo tende a zero perche tende a zero il volume dello stratosuperficiale mentre non cresce oltre ogni limite l’intensita di magnetiz-zazione. Segue che al limite e nullo, all’interno del conduttore, il campoprodotto dalla corrente. Scomponiamo la corrente che attraversa ogni ele-mento del contorno in due componenti, l’una di fase O e l’altra di fase π/2.Dovra annullarsi, all’interno del conduttore, sia il campo dovuto alle soleprime componenti, sia quello dovuto alle sole seconde. Alle correnti ele-mentari di egual fase possiamo sostituire correnti elementari continue dellastessa intensita efficace; il campo dovuto a queste sara uguale al campoefficace prodotto da quelle. Ora e noto che il campo magnetico dovuto apiu correnti continue rettilinee e parallele e ortogonale e numericamenteuguale al campo elettrico prodotto da altrettante distribuzioni lineari dielettricita con gli assi coincidenti con gli assi delle correnti e le densita lin-eari rispettivamente uguali, in valore numerico, alle intensita di correnti.Nel nostro caso, sostituendo alle correnti elementari che attraversano ilperimetro della sezione siffatte distribuzioni lineari di elettricita, veniamoad avere una distribuzione di elettricita su tutta la superficie del condut-tore e la densita superficiale di detta distribuzione e numericamente uguale

20


alla densita lineare di corrente. Ma tale distribuzione deve produrre camponullo all’interno onde essa e quella che si produrrebbe naturalmente sup-posto il conduttore isolato e carico. Ma tale distribuzione e perfettamentedeterminata a meno di un fattore costante e poiche alle densita superficialidi essa sono proporzionali le densita lineari delle correnti di fase zero, come,naturalmente, quelle di fase π/2, riassumendo si conclude

(1) Le correnti elementari che scorrono alla superficie del conduttorehanno tutte la stessa fase.

(2) La densita lineare di tali correnti e proporzionale alla densita super-ficiale, calcolata negli elementi di superficie su cui esse scorrono, diuna certa distribuzione superficiale di elettricita che e precisamentequella che si produrrebbe nel conduttore isolato e carico.

Vediamo ora come varia con la profondita la densita superficiale dellacorrente entro il sottile strato conduttore; poiche questo e infinitesimopotremo, entro una regione indefinitamente estesa rispetto al suo spessore,considerare come piena la superficie del conduttore e ritenere funzioni dellasola profondita la densita di corrente e il campo. Fissiamo un sistema diassi cartesiani destrorso con l’origine in un punto della superficie, l’assex nella direzione della corrente e l’asse z volto verso la normale interna.E chiaro che, a meno di infinitesimi la direzione (non necessariamente ilverso) del campo magnetico sara quella dell’asse y. Detta u la densita dicorrente (complessa) H il campo magnetico (complesso), ρ la resistivitaelettrica, le equazioni di Maxwell, trascurate le correnti di spostamentoche non hanno alcuna importanza, divengono:

∂H∂z

= − 4π u, (1.99)

∂u

∂z= − µ ω j

ρH; (1.100)

supposta la permeabilita costante si ottiene l’equazione:

∂2u

∂z2=

4π µ ω j

ρu (1.101)

la cui soluzione generale e:

u = a e√

2πµω/ρ (1+j) z + b e−√

2πµω/ρ (1+j) z; (1.102)

21


ma il primo termine deve essere nullo perche tende all’infinito con z.Avremo quindi:

u = u0 e−√

2πµω/ρ (1+j) z. (1.103)

Questa e l’equazione in termini simbolici di un’onda smorzata procedentedall’esterno verso l’interno; la costante di attenuazione e uguale alla costantedi spostamento, analogamente a quando avviene nelle onde di propagazionedel calore, e vale

√2πµω/ρ = 2π

√µf/ρ. La lunghezza d’onda sara:

λ =

√2πρ

µω=

√ρ

µ f. (1.104)

La velocita di propagazione:

v = f λ =

√ρ f

µ; (1.105)

e la densita lineare di corrente:

d =

∫ ∞

0

u dr =

√ρ

4π µ ω

u0√δ

(1.106)

=1

2π

√ρ

2µ f

u0√δ

=λ

2π√

2

u0√δ. (1.107)

Segue che la fase di tutta la corrente e in ritardo di 45o rispetto a quelladella corrente che scorre nello strato immediatamente prossimo alla super-ficie del conduttore. Il calore che si sviluppa per effetto Joule nell’unita ditempo e nell’unita di superficie del conduttore sara, in unita meccaniche eindicando con |u0| il modulo del complesso u0:

q =

∫ ∞

0

ρ |u|2 dz = |u0|2∫ ∞

0

ρ e−4π

√µf

ρzdz

= ρ |u20| 1

4π

√ρ

µ f= |u2

0| ρ λ

4π. (1.108)

Si dica strato equivalente uno strato di spessore s tale che se la correntecircolasse in esso con densita uniforme a qualunque profondita si svilup-perebbe la stessa quantita di calore. Avremo:

ρ|d2|s

= ρ |u20| λ

4π; (1.109)

22


da cui per la (1.107) si deduce

s =λ

2π=

1

2π

√ρ

µ f. (1.110)

Agli effetti della resistenza ohmica si puo quindi ritenere che la correntefluisca entro lo strato equivalente con densita indipendente dalla profon-dita, ma variabile da un punto all’altro del contorno del conduttore. Equindi errato il calcolare la resistenza per unita di lunghezza del condut-tore dividendo la resistivita per l’area della sezione dell’intero strato equiv-alente. Tale calcolo e esatto solo per la sezione circolare; in tutti gli altricasi da per la resistenza valori inferiori al vero.

Consideriamo ora appunto, una sezione circolare; se r e il suo raggio,la sezione equivalente ha la forma di una corona circolare di raggio esternor e spessore s. La sua area sara 2πrs − πs2; osserviamo pero che s e in-finitesimo ed e stato determinato in prima approssimazione, cioe a meno diinfinitesimi del secondo ordine, onde per provare la leggittimita del secondotermine nell’espressione ora scritta ove si intenda di attribuire a s il valoredato dalla (1.110) bisogna ricorrere ad altra via. Precisamente chiamandoA l’area della sezione equivalente risulta dalla (1.63) a meno di infinitesimi:

πr2

A=

√1

2p +

1

4=

√µ ω

2ρπr2 +

1

4= πr

√µ f

ρ+

1

4(1.111)

e moltiplicando per A che e infinitesimo di primo ordine e dividendo peril secondo membro che e infinito del primo ordine, risulta a meno di in-finitesimi del terzo ordine:

A =πr2

πr

√µf

ρ+

1

4

= r

√ρ

µ f

1

1 +1

4πr

√ρ

µf

= r

√ρ

µ f− 1

4π

ρ

µf, (1.112)

e finalmente ricordando la (1.110)

A = 2π r s − πs2 = 2π(r − s

2

)s, (1.113)

come ci eravamo proposti di dimostrare.

23


Passiamo ora alle sezioni di forma qualunque. Il procedimento cheseguiremo sara quello di ricondurre tali sezioni a sezioni circolari equi-valenti per cio che riguarda la resistenza nel caso di un effetto pellicolareinfinitamente pronunziato; notiamo una volta per sempre che prendendo lafrequenza all’infinito, tale equivalenza ha luogo in generale solo per la primaapprossimazione; onde trovato il raggio del cerchio equivalente e calcolatala sezione dello strato equivalente mediante la (1.113), si commette unerrore che e infinitesimo del secondo ordine e non del terzo come la formadella (1.113) parrebbe indicare; ma benche l’errore che si commette nelcalcolo di A con la (1.113) e dello stesso ordine di grandezza del termine−πs2, conviene tuttavia tener conto di tale termine, anziche trascurarlo,perche si ottiene in generale un’approssimazione migliore.

Se d e la densita lineare di corrente il calore sviluppato nell’unita ditempo per unita di lunghezza del conduttore e per ogni elemento d` delcontorno sara, a meno di un fattore costante, d2d`, e il calore complessivoper unita di lunghezza e di tempo:

Q = c

∫d2d`. (1.114)

L’intensita totale di corrente sara:

i =

∫d d`. (1.115)

Sostituendo alla sezione data il cerchio equivalente di perimetro p avremo:

Q = c1

p

(∫d d`

)2

, (1.116)

donde

p =

(∫d d`

)2 /∫d2d` . (1.117)

Si deduce in ogni caso:

p ≤ `. (1.118)

24


1.12 Skineffect elettrico limite per sezioniparticolari. Indicazioni per sezioniqualunque.

1.12.1 Sezioni ellittiche

d e notoriamente proporzionale alla proiezione del raggio vettore sulla nor-male; per un’ellisse di semiassi a e b avremo nel punto generico (a cos t,b sin t), essendo c una costante

d =c√

a2 sin2 t + b2 cos2 t, (1.119)

d` =√

a2 sin2 t + b2 cos2 t dt. (1.120)

Chiamando r il raggio del cerchio equivalente e sostituendo nella (1.117)abbiamo

p = 2πr = 4π2

(∫ 2π

0

dt√a2 sin2 t + b2 cos2 t

)−1

, (1.121)

cioe, limitando l’integrale a un quarto dell’ellisse:

r =π

2

(∫ 2π

0

dt√a2 sin2 t + b2 cos2 t

)−1

. (1.122)

Riportiamo alcuni valori di r:

25


a b r rA rp

1 0.9 0.949 0.949 0.9511 0.8 0.897 0.894 0.9031 0.7 0.843 0.837 0.8571 0.6 0.787 0.775 0.8131 0.5 0.728 0.707 0.7711 0.4 0.666 0.632 0.7331 0.3 0.598 0.548 0.6981 0.2 0.520 0.447 0.6691 0.1 0.425 0.316 0.6471 0 0 0 0.637

Emerge dal quadro qui sopra che il cerchio equivalente e sempre piu pros-simo a quello di ugual area che a quello di ugual perimetro, benche ilrapporto tra esso e il cerchio di uguale area sia infinito per eccentricitainfinite; tuttavia per b/a = 0.1 tale rapporto (rapporto dei raggi) nongiunge ancora a 1.35. Appare quindi errato il suggerimento dato da alcuniautori di sostituire per approssimazione a una sezione irregolare il cerchio diugual perimetro anziche quello di uguale area; e cio anche per l’osservazioneche segue.

1.12.2 Influenza delle irregolarita del contorno

Supponiamo che a una sezione a contorno regolare (cioe con il raggio dicurvatura del contorno mai troppo piccolo rispetto alle dimensioni dellasezione) se ne sostituisca un’altra quasi sovrapponibile alla prima, ma conil contorno ondulato. E chiaro che l’area della sezione non sara sensibil-mente cambiata, mentre il perimetro puo essere accresciuto sensibilmente;si tratta di vedere in che senso vari la resistenza apparente in regime diskineffect infinito.

Per necessita di calcolo supponiamo le ondulazioni infinitamente pic-cole. Consideriamo un piccolo tratto del contorno della prima sezioneparecchie volte piu lungo di ciascuna ondulazione, nella seconda sezionecorrisponde ad esso un tratto ondulato. Supponiamo di caricare il condut-tore con la quantita di elettricita q per ogni unita di lunghezza; il perimetro

26


del cerchio equivalente vale, essendo d la densita dell’elettricita (cfr. la(1.117)):

p = q2

(∫d2 d`

)−1

, (1.123)

ma d2d` non e altro, a meno del fattore 2π, che il valore numerico dellosforzo elettrostatico che si esercita sull’elemento d’onda11 d`·u; ora e chiaroche sostituendo al contorno regolare il contorno ondulato la distribuzionedell’elettricita non varia sensibilmente purche si considerino tratti del con-torno comprendenti molte ondulazioni; segue (fig) che nel tratto quasi pi-ano ABC relativo alla prima sezione, e nel tratto ondulato ABC′ si esercitapress’a poco lo stesso sforzo elettrostatico; ma mentre nel primo caso talesforzo deriva dalla composizione di sforzi elementari quasi paralleli, nelsecondo caso deriva dalla composizione di sforzi di direzione variabile.

A

B

CC’

Segue che la somma aritmetica degli sforzi e maggiore nel secondo caso.

11Con u viene indicata una generica direzione che parte da un punto del bordo.

27


Si conclude per la (1.123) che passando dal contorno regolare al contornoondulato il perimetro della sezione aumenta, mentre il raggio del cerchioequivalente diminuisce. Combinando tale risultato con quelli ottenuti in-torno alle sezioni ellittiche si conclude intuitivamente che per una sezionesensibilmente allungata e un po’ irregolare come quella di una rotaia ilraggio del cerchio equivalente e solo lievemente maggiore di quello del cer-chio di uguale area, mentre e sensibilmente minore di quello del cerchio diuguale perimetro.

1.13 Perdite per isteresi nei conduttorimagnetici in regime di effettopellicolare limite

Per trovare le formole (v. §11) relative all’effetto pellicolare limite abbiamosupposto costante il coefficiente di permeabilita e trascurata l’influenzadell’isteresi; ma di tale influenza si puo sommariamente tenere conto rite-nendo che essa si manifesti essenzialmente mediante un ritardo di fase αdell’ondulazione rispetto al campo magnetico. Con le notazioni simbolicheµ, rapporto tra grandezze alternate di fase diversa, sara immaginario eavra per argomento −α, quantita che per necessaria semplicita di calcoloriterremo costante. Poniamo µ sotto la forma

µ = µ0 e−iα. (1.124)

Tutte le formole in notazioni simboliche di (§11) saranno valide purche siintenda µ come complesso. Sostituendo poi a µ la sua espressione datadalla (1.124), le formole (1.103) e (1.106) divengono rispettivamente:

u = u0 exp−2π√

µ0f/ρ [cos(45o − α/2) + j sin(45o − α/2)] z (1.125)

e

d =u0

2π

√ρ

2µ0 f

[cos

(45o − α

2

)− j sin

(45o − α

2

)]. (1.126)

Segue che il ritardo della corrente sul campo elettrico alla superficie delconduttore vale 45o − α/2. Alle (1.104), (1.105), e (1.110) andranno sosti-

28


tuite le altre:

λ =

√ρ

2µ0 f

1

sin(45o − α/2)(1.127)

v =

√ρ f

2µ0

1

sin(45o − α/2)(1.128)

q1 = |u0|2 1

4π

√ −ρ

2µ0 f

ρ

cos(45o − α/2)(1.129)

s1 =cos(45o − α/2)

π

√ρ

2µ0 f. (1.130)

Segue dalla (1.127) che la lunghezza d’onda aumenta e dalla (1.130) chele perdite per effetto Joule diminuiscono in conseguenza dell’isteresi. Maq1 nella (1.129) e il calore perduto per solo effetto Joule e s1 nella (1.130)non e lo spessore dello strato equivalente che per cio che riguarda l’effettoJoule; chiameremo al contrario q la quantita totale di energia perduta e slo spessore dello strato equivalente vero, cioe tenuto conto delle perdite peristeresi. La quantita di energia che nell’unita di tempo attraversa l’unitadi superficie del conduttore per trasformarsi in calore, vale per il teoremadi Poynting:

q =E H

4πcos ϕ (1.131)

nella quale E e il valore efficace del campo elettrico alla superficie delconduttore, H il valore efficace del campo magnetico e ϕ la differenza difase tra campo elettrico e magnetico. Nel nostro caso avremo:

E = |u0| ρ (1.132)

H = 4π |d| = 2 u0

√ρ

2µ0 f(1.133)

ϕ = 45o − α

2(1.134)

e quindi:

q =ρ |u0|2

2π

√ρ

2µ0 fcos

(45o − α

2

)(1.135)

s =1

2π cos(45o − α/2)

√ρ

2µ0 f. (1.136)

29


Chiamando q2 il calore sviluppato per la sola isteresi abbiamo:

q2 = q − q1 =ρ |u0|2

4π

√ρ

2µ0 f

sin α

cos(45o − α/2)(1.137)

q2

q1= sin α. (1.138)

Chiamando poi q0 il calore che si svilupperebbe in assenza di isteresiper un medesimo valore della corrente, cio che e lo stesso come dimostrala (1.126), per un medesimo valore di |u0|, abbiamo:

q0 = ρ |u0|2 1

4π

√ρ

µ0 f(1.139)

q

q0= cos

α

2+ sin

α

2(1.140)

q0 − q1

q2=

sin α/2 + cos α/2 − 1

sin α. (1.141)

Si rileva da quest’ultima equazione che la perdita per isteresi e, nel casodi isteresi debole, compensata per meta dalla diminuzione di perdita pereffetto Joule; nel caso di isteresi forte tale compenso e, relativamente, unpo’ minore. Si rileva dalla (1.138) che il rapporto fra perdita di isteresi eperdita per effetto Joule e indipendente dalla frequenza.

Se su una retta si segnano i punti O, Q0, Q1, e Q, essendo OQ0 = q0,OQ1 = q1, OQ = q, si ottiene un gruppo armonico.

1.14 Campo prodotto nel suo piano dauna distribuzione lineare omogeneacircolare di masse newtoniane

Sia r il raggio del cerchio sulla cui circonferenza sono distribuite le masse,K la densita lineare della distribuzione. Detta x la distanza dall’asse, ilcampo vale nei punti interni:

E =2πK

r

(1

2·xr

+1

2·98·x

3

r3+

1

2·98·25

24·x

5

r5+ . . .

); (1.142)

30


nei punti esterni:

E =2πK

r

(r2

x2+

3

4· r

4

x4+

3

4·15

16· r

6

x6+

3

4·15

16·35

36· r

8

x8+ . . .

). (1.143)

In entrambe le serie, che sono sempre convergenti, i coefficienti a dei terminia(x/r)±n tendono, per n →∞, a 2/π.

1.15 Campo prodotto nel suo piano dauna corrente circolare

Sia i l’intensita della corrente, r il raggio del cerchio. Detta x la distanzadall’asse, il campo vale nei punti interni:

H =2πi

r

(1 +

3

4·x

2

r2+

3

4·15

16·x

4

r4+

3

4·15

16·35

36·x

6

r6+ . . .

), (1.144)

e nei punti esterni:

H = − 2πi

r

(1

2· r

3

x3+

1

2·98· r

5

x5+

1

2·98·25

24· r

7

x7+

1

2·98·25

24·49

48· r

9

x9+ . . .

).

(1.145)Queste formole si deducono facilmente da quelle del n. precedente.

1.16 Effetto pellicolare debole inconduttori a sezione ellittica aventila stessa permeabilita del mezzo

La resistenza apparente in un conduttore a corrente alternata puo porsi ingenerale nel caso di skineffect debole, sotto la forma

Ra = Rc

(1 + c p2) , (1.146)

31


dove Rc e la resistenza a corrente alternata e si e posto inoltre p = µω/ρ,essendo µ la permeabilita del conduttore e ρ la sua resistenza per unitadi lunghezza; c e un coefficiente che dipende dalla forma della sezione edalla permeabilita del conduttore e del mezzo. Per conduttori a sezionecircolare si ha sempre c= 1/12. Quando mezzo e conduttore hanno lastessa permeabilita, c diviene un coefficiente di forma. Esso si calcolain ogni caso ritenendo che la differenza di forza elettromotrice fra duelinee di corrente, dovuta alle variazioni di flusso all’interno del conduttore,sia, in prima approssimazione, uguale a quella che si avrebbe nel casodi una distribuzione uniforme della corrente. Se la sezione e ellittica, eil conduttore e il mezzo sono egualmente permeabili, la differenza di forzaelettromotrice fra linea di corrente centrale e quella che attraversa la sezionenel punto (x, y) vale, se x2/a2 + y2/b2 = 1 e l’equazione della sezione:

E = 2π µ ω u

(b

a + bx2 +

a

a + by2

), (1.147)

essendo u la densita di corrente, ed e spostata di 90o rispetto alla corrente.E allora facile calcolare il coefficiente c. Si trova:

c =3a2 − 2ab + b2

12(a + b)2, (1.148)

ovvero, ponendo k = b/a,

c =3− 2k + 3k2

12(1 + k)2. (1.149)

Riportiamo nella tabella il valore di c per diversi valori di k.

k c (c(ki)− c(ki−1))×104

1.00 0.08330.90 0.0838 50.80 0.0854 160.70 0.0885 310.60 0.09375 520.50 0.1019 820.40 0.1139 1200.30 0.1317 1780.20 0.1574 2570.10 0.1949 3750.00 0.2500 551

32


1.17 Scariche oscillanti nei condensatori

Chiudendo un condensatore di capacita C, carico della quantita di elet-tricita Q su un circuito di resistenza R e autoinduzione L, ha luogo, se laresistenza non e troppo grande, una scarica oscillante. Detto T il periododell’oscillazione, t il tempo in capo al quale la corrente raggiunge il suovalore massimo imax, k il rapporto tra l’intensita di corrente al tempo te quella al tempo t − T , si hanno per queste grandezze, al variare di r, iseguenti valori:

R/

√4L

C

T

2π√

LC

t

2π√

LC

t

Timax/

Q√LC

k

0 1.000 0.2500 0.2500 1.000 1.0000.1 1.005 0.2352 0.2341 0.863 0.5320.2 1.021 0.2224 0.2180 0.756 0.2770.3 1.048 0.2112 0.2015 0.672 0.1390.4 1.091 0.2013 0.1845 0.603 0.0640.5 1.155 0.1925 0.1667 0.546 0.0270.6 1.250 0.1845 0.1476 0.499 0.00900.7 1.400 0.1773 0.1266 0.459 0.00210.8 1.667 0.1707 0.1024 0.424 0.000230.9 2.294 0.1647 0.0718 0.394 0.0000021 ∞ 0.1592 0.0000 0.368 0.0002 0.1210 0.21810 0.0479 0.049100 0.0084 0.005

Posto R1 = Ri/√

4L/C, valgono le seguenti formole:

(a) Per R1 < 1:

T =2π√

LC√1−R2

1

(1.150)

t =

√LC√

1−R21

arccos R1 (1.151)

t

T=

arccos R1

2π(1.152)

33


imax =Q√LC

exp

−Rt

2L

=

Q√LC

exp

−R1

arccos R1√1−R2

1

=Q√LC

exp

−RT

2L

arccos R1

2π

=

Q√LC

exp

− tR1√

LC

(1.153)

k = exp

− TR1√

LC

= exp

− R12π√

1−R21

. (1.154)

(b) Per R1 > 1:

t =√

LClog

(R1 +

√R2

1 − 1)

√R2

1 − 1(1.155)

imax =Q√LC

(R1 +

√R2

1 − 1

)− R1√R2

1 − 1

=Q√LC

exp

t−R1√

LC

. (1.156)

(c) Per R1 grandissimo:

t =√

LClog 2R1

R1=

2L

rlog 2R1 (1.157)

imax =Q√LC

(1

2R1− log 2R1 − 1/2

4R31

). (1.158)

34


1.18 Autoinduzione di una bobina digrande lunghezza ad asse rettilineoe sezione circolare e a parecchi strati

Eguagliando a (1/2)Li2 l’energia elettromagnetica del sistema quando labobina e percorsa dalla corrente i si ottiene:

L = 4π2 n2 `

(1

2r21 +

1

3r1 r2 +

1

6r22

), (1.159)

essendo n il numero di spire per cm, ` la lunghezza della bobina, r1 il suoraggio interno, r2 quello esterno. Questa formola puo anche scriversi:

L = 4π n2 ` S, (1.160)

dove si e posto

S =3S1 + 2

√S1S2 + S2

8, (1.161)

essendo S1 e S2 rispettivamente la sezione interna ed esterna della bobina.Se la differenza relativa tra S2 e S1 non e molto grande si puo porre ap-prossimativamente:

S =1

3(2S1 + S2). (1.162)

La (1.160) vale naturalmente per sezioni anche diverse dalla circolare,purche gli strati di spire si succedano uniformemente ed abbiano sezioniomotetiche.

35


1.19 Energia di una distribuzionecircolare uniforme di masseelettriche o magnetiche

Detto R il raggio del cerchio α su cui sono distribuite le masse, ρ la den-sita e Q la massa totale della distribuzione, si calcola immediatamente ilpotenziale nel centro del cerchio:

V0 = 2π R ρ =2

RQ. (1.163)

Fissato un sistema d’assi Oxyz con l’origine nel centro del nostro cerchioe l’asse z normale ad esso, vale per le componenti in un punto genericoEx, Ey, Ez del campo fuori della distribuzione di masse l’equazione:

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z= 0. (1.164)

Tale equazione non e piu valida nei punti del cerchio su cui sono distribuitele masse, nei quali ∂Ez/∂z e infinito; tuttavia potremo continuare a riten-erla valida anche in tali punti a patto di sostituire a ∂Ez/∂z in uno genericodi questi punti il limite dei valori che tale quantita assume nella regioneinfinitamente prossima esterna al piano xy. Ora abbiamo in generale:

Ez = ρ ω, (1.165)

essendo ω l’angolo solido sotto cui si vede da un punto generico il cerchioα; e quindi

∂Ez

∂z= ρ

∂ω

∂z. (1.166)

Si rivela da tale espressione che ∂Er/∂r e numericamente uguale, salvo ilsegno, alla componente Hz del campo magnetico prodotto da una correntedi intensita ρ che percorra il contorno del cerchio α. E nota l’espressionedi tale componente nel piano xy, mediante sviluppi in serie (vedi paragrafo1.15). Sostituendo nella (1.166), si ricava per i punti interni ad α

∂Ez

∂z= − 2πρ

R

(1 +

3

4· r

2

R2+

3

4·15

16· r

4

R4+

3

4·15

16·35

36· r

6

R6+ . . .

), (1.167)

essendo r la distanza dal centro.

36


La componente Er del campo secondo il piano xy e diretta radialmentee dipende, nel piano xy, dalla sola r. Avremo

Ex =x

rEr, (1.168)

Ey =y

rEr. (1.169)

Derivando e sostituendo nell’equazione di Laplace12 si ricava

Er

r+

∂Er

∂r=

2πρ

R

(1 +

3

4· r

2

R2+

3

4·15

16· r

4

R4+

3

4·15

16·35

36· r

6

R6+ . . .

).

(1.170)Questa equazione permette di sviluppare in serie Er secondo le potenze dir. Si ottiene:

Er =πρ

R

(r +

1

2·34· r

3

R2+

1

3·34·15

16· r

5

R4+

1

4·34·15

16·35

36· r

7

R6+ . . .

).

(1.171)Il potenziale alla distanza r dal centro sara:

V = V0 −∫ r

0

Er dr

=Q

R

(2− 1

2· r

2

R2− 1

2· 1

22·34· r

4

R4− 1

2· 1

32·34·15

16· r

6

R6

−1

2· 1

42·34·15

16·35

36· r

8

R8+ . . .

)

=Q

R

[2− 1

2·(

r2

R2+

1

4·34· r

4

R4+

1

9·34·15

16· r

6

R6

+1

16·34·15

16·35

36· r

8

R8+ . . .

)]

=Q

R

2

π

∫ π

0

1 + (r/R) cos α√1 + 2(r/R) cos α + (r2/R2)

dα. (1.172)

Il potenziale VR alla periferia risulta:

VR =Q

R

[2 − 1

2

(4 − 8

π

)]=

Q

R

4

π= 1.2732

Q

R. (1.173)

12O, piu precisamente, nella prima equazione di Maxwell.

37


Il potenziale medio Vm sara:

Vm =

∫ R

0

V r dr/

∫ R

0

r dr

=Q

R

[2− 1

2·(

1

1·2 +1

4·3 ·3

4+

1

9·4 ·3

4·15

16+ . . .

+1

n2(n− 1)·34·15

16·35

36·63

64·s4(n− 1)2 − 1

4(n− 1)2·s + . . .

)]

=Q

R

[2 − 1

2

(4 − 32

3π

)]=

Q

R

16

3π=

16

3R ρ

=4

3VR = 1.69765

Q

R. (1.174)

L’energia della distribuzione sara dunque:

E =1

2Q Vm =

Q2

R

8

3π= 0.84883

Q2

R. (1.175)

E interessante notare, a titolo di confronto, che la quantita di elet-tricita Q, distribuita su una lamina conduttrice circolare di raggio R, as-sumerebbe, in assenza di altri conduttori, il potenziale (π/2)Q/R. Segueche l’energia inerente alla distribuzione uniforme sta all’energia inerentealla distribuzione a cui corrisponde il minimo di energia nel rapporto

Vm

πQ/2R=

16/3π

π/2=

32

3π2= 1.08076. (1.176)

1.20 Autoinduzione di una bobina ad asserettilineo e di limitata lunghezza

Qualunque sia la forma della sezione e lo spessore dell’avvolgimento, se labobina fosse di lunghezza infinita il campo in un punto generico P avrebbela direzione della bobina e il valore 4πni, essendo i l’intensita della correntee n il numero di spire esterne a P per ogni unita di lunghezza. Se invece

38


la bobina e di lunghezza limitata, al campo suddetto va aggiunto quellodovuto a due distribuzioni superficiali di masse magnetiche, σ1 e σ2, posterispettivamente sulla sezione esterna anteriore e posteriore della bobina edi densita superficiale rispettivamente ni e −ni. Supponiamo che la bobinasia percorsa dalla corrente unitaria. Le distribuzioni σ1 e σ2 avranno ladensita n e −n. Fissato un sistema d’assi con l’asse delle x nella direzionedella bobina e chiamate H ′

x, H ′y, H ′

z le componenti del campo dovuto alledistribuzioni σ1 e σ2, le componenti del campo complessivo saranno in unpunto qualunque dello spazio:

Hx = 4π n + H ′x

Hy = H ′y (1.177)

Hz = H ′z

L’energia totale del sistema sara

ε =1

8π

∫(H2

x + H2y + H2

z ) dV, (1.178)

essendo l’integrale esteso a tutto lo spazio. Ma poiche la corrente e unitariaavremo:

ε =1

2L (1.179)

e quindi

L =1

4π

∫(H2

x + H2y + H2

z ) dV

=

∫4π n2 dV +

1

4π

∫(H ′2

x + H ′2y + H ′2

z ) dV +

∫2n H ′

x dV.

(1.180)

Il primo termine del secondo membro e l’autoinduzione L1 che compe-terebbe alla bobina se le sue dimensioni trasversali fossero trascurabili difronte alla sua lunghezza, o meglio se il flusso che attraversa ogni spira fosseuguale a quello che l’attraverserebbe nel caso di una bobina infinitamentelunga. Il secondo termine e il doppio dell’energia propria ε′ che spettaall’insieme della distribuzione σ1 e σ2.

Quanto al terzo termine osserviamo che n deve ritenersi nullo non solofuori della bobina, ma anche al di la della sezioni estreme. La funzioneintegranda e quindi diversa da zero solo in un tronco di cilindro che ha per

39


basi le sezioni estreme della bobina. Integrando prima rispetto x e detta `la lunghezza della bobina e S la sua sezione avremo

∫2n H ′

x dV =

∫

S

dy dz

∫ a+`

a

2n H ′x dx, (1.181)

essendo a l’ascissa della faccia negativa della bobina. Ora∫ a+`

aH ′

xdx non eche la differenza di potenziale magnetico, dovuta alle sole distribuzioni σ1

e σ2, fra due punti corrispondenti nelle sezioni estreme della bobina. Ma,poiche, per regioni di simmetria, se E e il potenziale magnetico dovutoalle distribuzioni σ1 e σ2 in un punto della faccia positiva, il potenziale nelpunto corrispondente della faccia negativa sara −E, avremo, badando aisegni ∫

2n H ′x dV = −

∫

S

4n E dy dz. (1.182)

ed essendo ovviamente∫

SnEdydz = ε′, sostituendo nella (1.180) si ha

L = L1 + 2ε′ − 4ε′ = L1 − 2ε′, e ponendo

L = K L1 (1.183)

sara

K = 1 − 2ε′

L1. (1.184)

1.21 Distanze medie di elementi divolume o superficiali o lineari

(Si veda il paragrafo 2.39.6.)

(1) Media armonica delle distanze tra volume di una sfera di raggio R:

dm =5

6R = 0.8333 R. (1.185)

(2) Media armonica delle distanze fra gli elementi di superficie di uncerchio di raggio R:

dm =3π

16R = 0.58905 R. (1.186)

40


(3) Media geometrica delle distanze fra gli elementi di superficie di uncerchio di raggio R:

dm = R e−1/4 = 0.7788 R. (1.187)

(4) Distanza media geometrica fra gli elementi di segmento rettilineolungo a:

dm = R e−3/2 = 0.2231 a. (1.188)

(5) Media aritmetica delle distanze fra gli elementi di superficie di uncerchio di raggio R:

dm =128

45πR = 0.9054 R. (1.189)

(6) Radice quadrata della media dei quadrati delle distanze fra gli ele-menti di superficie di un cerchio di raggio R:

dm = R. (1.190)

(7) Radice n-esima della media delle potenze n-esime delle distanze fragli elementi di superficie di un cerchio di raggio R:

se n e pari

dm = 2R n

√16

(n + 2)(n + 4)

1·3·5··s·(n + 1)

2·4·6··s·(n + 2), (1.191)

se n e dispari

dm = 2R n

√32

π(n + 2)(n + 4)

2·4·6··s·(n + 1)

3·5·7··s·(n + 2). (1.192)

1.22 Somma di alcune serie

(Si vedano i paragrafi 2.28 del 2 vol.; e 3.1 del 3 vol.)

41


(1)

(1− 2

π

)+

1

2

(3

4− 2

π

)+

1

3

(3

4

15

16− 2

π

)+ . . .

=4 log 2− 2

π/2(1.193)

(2) 1 +1

4·34

+1

9·3·15

4·16+

1

16·3·15·35

4·16·36+

1

25·3·15·35·63

4·16·36·64+ . . .

= 4− 8

π(1.194)

(3)1

2· 1

12+

1

3· 1

22·34

+1

4· 1

32·3·15

4·16+

1

5· 1

42·3·15·35

4·16·36+ . . .

= 4− 32

3π(1.195)

(4) 1 +1

4+

1

9+ . . . =

π2

6= 1.64493407 (1.196)

(5) 1 +1

8+

1

27+

1

64. . . = (1.197)

(6) 1 +1

16+

1

81+

1

256+ . . . =

π4

90(1.198)

(7) 1 + x + x2 + . . . =1

1− x(1.199)

(8) x + 2x2 + 3x3 + . . . =x

(1− x)2(1.200)

(9) x + 4x2 + 9x3 + 16x4 + . . . =x(1 + x)

(1− x)3(1.201)

(10) x + 8x2 + 27x3 + 64x4 + . . . =x(1 + 4x + x2)

(1− x)4(1.202)

(11) sin x +1

3sin 3x +

1

5sin 5x + . . . =

π

4, 0 < x < π (1.203)

(12) sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x + . . . =

π − x

2, 0 < x < 2π

(1.204)

42


(13) cos x + cos 2x + cos 3x + . . . + cos nx

=sin (n + 1/2) x

2 sin x/2− 1

2(1.205)

(14)sin2 x

1+

sin2 2x

4+

sin2 3x

9+ . . . = x

π − x

2, 0 < x < π (1.206)

(15) sin2 x +sin2 3x

9+

sin2 5x

25+

sin2 7x

49+ . . . =

π

4x,

0 < x < π/2 (1.207)

(16)cos x

1+

cos 2x

4+

cos 3x

9+ . . . =

1

4x2 − π

2x +

1

6π2,

0 < x < 2π. (1.208)

1.23 Autoinduzione di una bobinarettilinea di lunghezza limitata asezione circolare e avvolgimento dipiccolo spessore

(Questo paragrafo e la continuazione del numero 1.20.)

Se N e il numero delle spire, ` la lunghezza della bobina, d il suo diametro,il coefficiente di autoinduzione puo porsi sotto la forma:

L = K π2 d2 N2

`, (1.209)

essendo K un coefficiente numerico minore di uno e tanto piu prossimoall’unita quanto piu e piccolo il rapporto d/`. Il coefficiente K puo essere

43


calcolato in base all’espressione data nel paragrafo 1.20. Per d/` ≤ 1, valelo sviluppo in serie

K = 1 − 4

3π

d

`+

1

8

(d

`

)2

− 1

64

(d

`

)4

+5

1024

(d

`

)6

− 35

16384

(d

`

)8

+147

131072

(d

`

)10

+ . . .

± 1

(n + 1)(2n− 1)

(1·3·5·s(2n− 1)

2·4·6·s2n

)2 (d

`

)2n

∓ . . . . (1.210)

Se invece si pone: p = d2/(`2 + d2) vale in ogni caso lo sviluppo in serie:

K = 1 − 4

3π

d

`+

1

8p +

7

64p2 +

101

1024p3 +

1485

16384p4

+11059

131072p5 +

83139

1048576p6 + . . . . (1.211)

Se si chiama genericamente bnpn il termine in pn di questa serie e an(d/`)2n

il termine in (d/`)2n nella serie scritta in (1.210) vale la relazione:

bn = a1 − n a2 +n(n− 1)

2a3 − n(n− 1)(n− 2)

3!a4 + . . . ±n an−1 ∓ an.

(1.212)Al limite n →∞ si ha:

limn→∞

bn − 4/3π√

πn

bn= 0. (1.213)

Con sette decimali i primi termini dello sviluppo sono:

K = 1 − 0.4244132 d/` + 0.125 p + 0.109375 p2 + 0.0986328 p3

+0.0906372 p4 + 0.0843735 p5 + 0.0792875 p6 + . . . . (1.214)

Per d/` grandissimo si puo usare la formola approssimata:

K =2

π d/`

[log

(4

d

`

)− 1

2

]=

2

π d/`

[log

(π

d

`

)− 0.258

]. (1.215)

44


che si deduce facilmente dalla nota espressione del coefficiente d’autoindu-zione per una spira circolare. Nella tabella13 sono riportati i valori di Kper d/` ≤ 10.

d/` K

0.1 0.95880.2 0.92010.3 0.88380.4 0.84990.5 0.81810.6 0.78850.7 0.76090.8 0.73510.9 0.71101 0.6884

Tornano utili le seguenti formole approssimate da usarsi successivamenteal crescere di d/ell:

K = 1 − 4

3π

d

`+

p

8− 7p,

K = 1 − 4

3π

d

`+

48p− 29p2

384− 568p + 194p2.

Se d/` supera alcune unita la serie (1.214) converge assai lentamente ede inoltre laborioso il calcolo dei coefficienti. Conviene in tal caso usare ilseguente sviluppo:14

K =

√1 +

d2

4`2− d

`

(4

3π+

1

2·4 c1 − 1·32·4·6c2 + . . .

± 1·3·(2n− 1)

2·4·s(2n + 2)cn ∓ . . .

), (1.216)

13Nel manoscritto originale questa tabella contiene 40 righe (da d/` = 0.1 ad/` = 10) ma solo per le prime 10 sono riportati i corrispondenti valori di K.Qui preferiamo non includere i restanti valori nella tabella, poiche non e chiaroquale formula l’Autore avrebbe usato per calcolare K per d/` piu grande di uno.Probabilmente i valori riportati sono stati ottenuti dalla (1.210) con n = 10.

14Si noti che l’Autore sta di nuovo usando uno sviluppo in serie di Taylor,sebbene di un particolare tipo, come puo essere dedotto dall’espressione per cn.

45


dove si e posto

cn =1

(2n)!

d2n√

1 + x2

dx2n

∣∣∣∣∣x= 2`

d

(1.217)

Calcolando i primi termini si ottiene

K =

√1 + (d/2`)2 − d

`

(4

3π+

1

16

1[1 + (2`/d)2

]3/2

+1

128

1− 4 (2`/d)2

[1 + (2`/d)2

]7/2+

5

2048

1− 12 (2`/d)2 + 8 (2`/d)4

[1 + (2`/d)2

]11/2

+7

32768

5− 120 (2`/d)2 + 240 (2`/d)4 − 64 (2`/d)6

[1 + (2`/d)2

]15/2+ . . .

).

1.24 Variazione del coefficiente diautoinduzione in seguito all’effettopellicolare

L’autoinduzione di una conduttura elettrica a sezione circolare si puodividere in due parti; l’una, generalmente piu importante, e dovuta alflusso che circola esternamente al conduttore e non dipende dalla frequenza,l’altra e dovuta alle linee di induzione che si chiudono entro il conduttore edipende dall’entita dell’effetto pellicolare e quindi, per un dato conduttore,dalla frequenza. Detta ` per unita di lunghezza questa seconda parte delcoefficiente d’autoinduzione, si ha notoriamente allorche e trascurabile loskineffect:

` =1

2µ. (1.218)

In generale se E e, in simboli complessi, il campo elettrico alla superficiedel conduttore (campo totale dovuto alla caduta di tensione e alle varia-zioni del flusso esterno), R1 la resistenza a corrente alternata dell’unita dilunghezza del conduttore, ω la frequenza angolare, i = a + bj la corrente

46


totale avremo:15

E = (a + b j) (R1 + ` ω j) . (1.219)

Ponendo p = µωS/ρ (S sezione del conduttore, ρ resistivita) ovvero inunita pratiche:

p =µ ω

1010 R, (1.220)

essendo R la resistenza in ohm a corrente continua per Km di conduttoresi avra (vedi paragrafo 1.4):

a = m

(p− 1

2!2·3p3 +1

4!2·5p5 − 1

6!2·7p7 + . . .

), (1.221)

b = m

(1

2p2 − 1

3!2·4p4 +1

5!2·6p6 − 1

7!2·8p8 + . . .

). (1.222)

Quanto a E esso si ottiene dalla densita di corrente in superficie moltipli-cando per ρ; ma nelle unita di misura usate nel paragrafo 1.4, abbiamoρ = µω, e cosı si ottiene:

E = m µ ω

(1− p2

2!2+

p4

4!2− p6

6!2+ . . .

)

+ m µ ω j

(p− p3

3!2+

p5

5!2− p7

7!2+ . . .

). (1.223)

Eliminando R1 nella (1.219), essendo gia nota (vedi paragrafo 1.4) la suaespressione, e posto E = u + vj si ottiene:

` ω =a v − b u

a2 + b2, (1.224)

da cui si puo ricavare:

` =µ

2

1 +p2

2!2·3!+

p4

3!2·5!+

p6

4!2·7!+

p8

5!2·9!+ . . .

1 +p2

2!3!+

p4

2!3!5!+

p6

3!4!7!+

p8

4!5!9!+ . . .

. (1.225)

In base a questa formola e a quella analoga del paragrafo 1.4 si sono cal-colati i seguenti valori di R1/R e `/µ in funzione di p:16 nella tabella

15L’Autore sta usando la nozione elettrotecnica j per l’unita immaginaria.16Nel testo originale i valori di questa tabella corrispondenti a p = 4.5 ÷ 100

mancano. Inoltre, alcuni valori di R1/R differiscono leggermente da quelli quiriportati, che sono stati ottenuti secondo quanto indicato nel testo.

47


p R1/R `/µ

0.1 1.0008 0.49980.2 1.0033 0.49920.3 1.0075 0.49810.4 1.0132 0.49670.5 1.0205 0.49490.6 1.0293 0.49270.7 1.0395 0.49010.8 1.0512 0.48730.9 1.0641 0.48411.0 1.0782 0.48061.1 1.0934 0.47681.2 1.1096 0.47281.3 1.1267 0.46861.4 1.1447 0.46421.5 1.1634 0.45971.6 1.1827 0.45501.7 1.2026 0.45011.8 1.2229 0.44521.9 1.2436 0.44032.0 1.2646 0.4352

p R1/R `/µ

2.5 1.372 0.41003 1.479 0.3857

3.5 1.581 0.36334 1.678 0.3432

4.5 1.768 0.32535 1.853 0.30966 2.007 0.28367 2.146 0.26308 2.274 0.24649 2.394 0.232610 2.507 0.221015 3.005 0.181420 3.427 0.158225 3.799 0.143030 4.135 0.132740 4.732 0.120350 5.256 0.113560 5.736 0.109680 6.537 0.1055100 7.328 0.1036

1.25 Errore medio nella determinazionedella probabilita di un eventomediante un numero finito di prove

Sia p la probabilita di un evento; se in una serie di n prove esso ha avutoluogo m volte assumendo come valore approssimato di p il rapporto m/n,si commette un errore e definito dalla relazione

p =m

n+ e (1.226)

di cui si tratta di valutare il valore medio quadratico. Sia X una quantitarelativa a ogni prova e ad essa si attribuisca il valore 1−p quando ha luogo

48


l’evento e il valore −p quando l’evento non ha luogo. Il valore medio di X enullo, e il valore medio del suo quadrato sara p(1−p)2+p2(1−p) = p(1−p).Considerando una serie di n prove la somma

∑i Xi delle X relative ad esse

avra per valore medio quadratico√

np(1− p). Ma se l’evento ha avutoluogo m volte sara:

∑i

Xi = m (1− p) − (n−m) p = m − n p = −n e. (1.227)

Si deduce che il valore medio di e sara√

p(1− p)/n, cioe secondo le no-tazioni usuali,

p =m

n±

√p(1− p)

n. (1.228)

Se p e incognita e se ne conosce solo l’espressione approssimata m/n esi e inoltre certi che la differenza tra p e m/n sia cosı piccola che, sosti-tuendo nell’espressione dell’errore al primo di questi valori il secondo, taleespressione non cambi sensibilmente si potra scrivere approssimativamente:

p =m

n± 1

n

√m(n−m)

n. (1.229)

Se n e molto grande rispetto a m si avra approssimativamente:

p =m

n±√

m

n

(m

npiccolo

). (1.230)

Moltiplicando per n le precedenti relazioni esse diventano

n p = m±√

m(n−m)

n, (1.231)

n p = m±√m(m

npiccolo

). (1.232)

1.26 Squilibrio di un sistema trifase puro

Siano V1, V2,V3 i valori intensivi di tre grandezze alternative costituenti unsistema trifase puro, diretto, non equilibrato. Tale sistema puo decomporsi

49


nella somma di altri due sistemi equilibrati, l’uno, diretto, di intensita A,l’altro, inverso, di intensita B. Qualora lo squilibrio non sia eccessivo, A eB possono calcolarsi con le seguenti formole approssimate:

A = (1/3) (V1 + V2 + V3) (1.233)

B =√

(2/3) [(V1 −A)2 + (V2 −A)2 + (V3 −A)2]. (1.234)

1.27 Tavola per il calcolo della funzionex! 17

x x!

0 1.00000.05 0.97350.1 0.95140.15 0.93300.2 0.91820.25 0.90640.3 0.89750.35 0.89110.4 0.88730.45 0.88570.5 0.8862

x x!

0.55 0.88890.6 0.89350.65 0.90010.7 0.90860.75 0.91910.8 0.93140.85 0.94560.9 0.96180.95 0.97991 1.0000

17Non e chiaro come l’Autore ottenga i valori nella tabella, poiche in questasezione egli considera solo il limite per grande x della funzione x!. Probabilmente,alcuni valori sono stati derivati dalla formula

x! (1− x)! =π x (1− x)

sin π x,

che appare vicino a questa tabella nel manoscritto originale.

50


La differenza log n! − n(log n − 1) − (1/2) log n tende per n = ∞ ad unlimite finito cio significa che per n grandissimo puo porsi:18

n! =√

C n(n

e

)n

. (1.235)

Determiniamo C. Sia x la probabilita che in 2n prove un evento di prob-abilita 1/2 abbia luogo t volte. Per 2n grandissimo possiamo rappre-sentare la funzione x = x(t) con una curva degli errori; questa si determinabadando che l’area da essa compresa vale 1, che il valore medio di t e n eche il quadrato medio dello spostamento di t da n deve essere n/2 (vediparagrafo 1.25). Si trova:

x =1√π n

exp

− (t− n)2

n

. (1.236)

L’ordinata massima vale: x0 = 1/√

πn. Possiamo determinare x0 diretta-mente con la teoria delle combinazioni:

x0 =1

22n

(2nn

)=

(2n)!

22n (n!)2. (1.237)

Sostituendo ai potenziali l’espressione (1.235) e confrontando con (1.236),si ha C = 2π; e quindi, al limite:

n! =√

2π n(n

e

)n

. (1.238)

Per n grande si avra anche:

22n (n!)2

(2n)!=√

π n. (1.239)

18Qui e e il numero di Nepero.

51


h

S

p

p+dp

1 2

SL

S

L

N

1.28 Influenza di un campo magnetico sulpunto di fusione

Si consideri il sistema in equilibrio rappresentato in figura. Se, con unmezzo qualunque, si trasporta l’unita di volume di solido dal recipiente 2al recipiente 1 disponendolo in strati sottili alla superficie di separazionefra solido e liquido, bisogna compiere, per vincere la gravita, un lavoro

L1 = h (γ1 − γ2) (1.240)

essendo γ1 e γ2 i pesi specifici rispettivamente del solido e del liquido. Sesi suppone, per un momento, che il solido sia magnetico e il liquido no,si trova facilmente che il campo magnetico compie sull’unita di volume disolido nell’accennato trasporto un lavoro che si calcola facilmente:

L2 =H2

8π

µ1 − 1

µ1, (1.241)

essendo µ1 la permeabilita del solido. Ad escludere la possibilita di motoperpetuo e necessario che sia:

52


L1 = L2, (1.242)

da cui si ricava

h =H2

8π

µ1 − 1

µ1

1

γ1 − γ2. (1.243)

e poiche il liquido si e supposto non magnetico e la distribuzione dellepressioni nel suo interno e quindi idrostatica, si ricava (v. fig.)

∆p = h γ2 =H2

8π

µ1 − 1

µ1

γ2

γ1 − γ2, (1.244)

e mettendo in evidenza i volumi specifici:

∆p =H2

8π

µ1 − 1

µ1

V1

V2 − V1. (1.245)

Detta T la temperatura di fusione fuori dall’azione del campo magneticoalla pressione p, e T + ∆T la temperatura di fusione alla stessa pressione,ma sotto l’azione del campo magnetico, si trova dunque che T +δT e ugualealla temperatura di fusione, in condizioni ordinarie e alla pressione p+∆p.Ma per la formola di Clapeyron

∆T =

(T

ρ

)(V2 − V1)∆p, (1.246)

Sostituendo nella (1.245) si ottiene

∆T =TH2

8π

µ1 − 1

µ1

V1

ρ. (1.247)

Le formole (1.244) e (1.247) si completano ovviamente nel caso che il liquidoabbia permeabilita qualunque µ2:

∆p =H2

8π

(µ1 − 1

µ1

γ2

γ1 − γ2+

µ2 − 1

µ2

γ1

γ2 − γ1

)(1.248)

∆T = TH2

8π

(µ1 − 1

µ1

V1

ρ− µ2 − 1

µ2

V2

ρ

). (1.249)

Se µ1 = µ2 = µ, si ottiene

∆p = − H2

8π

µ− 1

µ(1.250)

∆T =TH2

8π

µ− 1

µ

V1 − V2

ρ. (1.251)

53


In questo caso le superfici di separazione fra solido e liquido, nei due casirappresentati in figura sarebbero allo stesso livello, ma non essendo idro-statica la distribuzione delle pressioni a causa della magnetizzazione delliquido, si avrebbe ∆p 6= 0.

Formole analoghe valgono se al campo magnetico si sostituisce uncampo elettrico o al contatto solido-liquido quello liquido-vapore o solido-vapore.

1.29 Calore specifico di un oscillatore

L’energia media di un oscillatore di frequenza ν vale a temperatura T :

ε =hν

ehν/kT − 1, (1.252)

essendo h il quanto d’azione e19 k = R/N la costante di Boltzmann.Derivando rispetto alla temperatura posto per brevita p = hν/kT = T0/T ,si ottiene la seguente espressione del calore specifico:

c =dε

dT=

kp2 ep

(ep − 1)2= k

(p

ep/2 − e−p/2

)2

. (1.253)

Il rapporto c/k, sempre minore di 1, e dato nella tabella in funzione di p20. Per T grandissimo, la (1.252) diventa:

19In questo paragrafo aderiamo all’uso dell’Autore di h, piuttosto che riscriverlain termini di ~.

20Nel manoscritto originale, questa tabella e quasi completamente vuota. Aparte i valori nelle prime due colonne (che sono valori iniziali di riferimento),l’autore scrive solo il primo e l’ultimo valore nella terza colonna e il primo valorenella quarta colonna.

54


1

p=

T

T0p =

T0

T

c

k

ε

kT

ε

kT0

kT − ε

kT0

0 ∞ 0 0.0000 0.0000 0.00000.2 5 0.1707 0.0338 0.0068 0.19320.4 2.5 0.6089 0.2236 0.0894 0.31060.6 1.67 0.7967 0.3873 0.2319 0.36690.8 1.75 0.8794 0.5019 0.4016 0.39841 1 0.9207 0.5820 0.5820 0.4180

1.2 0.83 0.9445 0.6417 0.7732 0.43161.4 0.71 0.9590 0.6867 0.9671 0.44131.6 0.625 0.9681 0.7198 1.1517 0.44831.8 0.556 0.9746 0.7476 1.3447 0.45392 0.500 0.9794 0.7707 1.5415 0.4585

2.5 0.400 0.9868 0.8133 2.0332 0.46683 0.333 0.9908 0.8427 2.5307 0.47234 0.250 0.9948 0.8802 3.5208 0.47925 0.200 0.9967 0.9033 4.5167 0.483310 0.100 0.9992 0.9508 9.5083 0.4917∞ 0 1 1 ∞ 0.5000

ε = kT − 1

2hν = k

(T − 1

2T0

),

essendo T0 = hν/k cioe la temperatura per cui l’energia media, calcolatacon la meccanica classica, coincide con quella del piu basso livello energeticoquantistico.

55


1.30 Se i figli dei medesimi genitoritendano ad appartenere allo stessosesso

La probabilita a priori che in una determinata regione un nascituro siamaschio puo porsi sotto la forma:

W =1

2+ α, (1.254)

essendo α in generale positivo. La probabilita invece che da determinatigenitori nasca un figlio maschio puo essere diversa da W , la porremo sottola forma

W1 = W + β =1

2+ α + β. (1.255)

Il valor medio di β e nullo, mentre il suo valor medio quadratico fornisceuna misura della tendenza a procreare figli dello stesso sesso. Indicandocon β tale valor medio la (1.255) puo scriversi secondo notazioni usuali:

W1 = W ±β =1

2+ α±β. (1.256)

Per determinare β mediante rilievi statistici la via piu semplice e la seguente:Si consideri una determinata coppia di genitori che abbia dati alla luce nfigli. Indicando con ` il numero dei maschi e con m quello delle femmine sicalcola facilmente il valore probabile dell’espressione21 di (`−m)2 (si vedail paragrafo 1.25)

valoreprob. di (`−m)2 = n + 4(α + β)2(n2 − n). (1.257)

Se scriviamo la stessa espressione per un gran numero di famiglie, e som-miamo membro a membro, alla somma dei valori probabili di (` − m)2

possiamo, con errore relativo tendente a zero, restituire la somma dei val-ori effettivi di (`−m)2; allora otteniamo:

∑(`−m)2 =

∑n + 4

∑(α + β)2 (n2 − n) (1.258)

=∑

n + 4 α2∑

(n2 − n) + 4∑

β2 (n2 − n)

+ 8 α∑

β (n2 − n). (1.259)

21Cioe n per la probabilita che l’evento accada.

56


Poiche si e supposto implicitamente che β abbia valore medio nullo qualunquesia n, il valore medio dell’ultimo termine del secondo membro della (1.259)sara nullo; potremo quindi al limite trascurarlo e scrivere:

∑(`−m)2 =

∑n + 4 α2

∑(n2 − n) + 4

∑β2 (n2 − n) (1.260)

o anche, poiche si suppone sempre che β sia indipendente da n,

∑(`−m)2 =

∑n + 4 (α2 + β

2)

∑(n2 − n). (1.261)

α puo essere noto per piu estesi rilievi statistici, e in tal caso si determinaβ mediante la (1.261):

β =

√∑(`−m)2 −∑

n

4∑

(n2 − n)− α2. (1.262)

Se α non e noto si puo calcolare approssimativamente con la formola:

α =

∑`∑n− 1

2; (1.263)

sostituendo nella (1.262) si ha

β2

=

∑(`−m)2 −∑

n

4∑

(n2 − n)−

( ∑`∑n− 1

2

)2

. (1.264)

a cui, a rigore, deve sostituirsi un’espressione piu approssimata, ma piucomplicata, ottenuta tenendo conto che α nella (1.263) e determinato conun errore medio prossimo a 1/2

√∑n (vedi paragrafo 1.25):

β2

=

∑(`−m)2 −∑

n

4∑

(n2 − n)−

( ∑`∑n− 1

2

)2

+1

4∑

n. (1.265)

57


l

xO

P

1.31 Propagazione del calore posto in unasezione di una sbarra indefinita, dicui un’altra sezione e tenuta a zero.Similitudine dei grilli.

Si supponga che N individui siano inizialmente concentrati nel punto Odella retta x e che ognuno di essi ad intervalli di tempo infinitesimi dtsalti, con pari probabilita a destra o a sinistra, di un intervallo dx inmodo che sia finito il rapporto dx2/dt = µ2. Si supponga ancora che auna distanza ` a destra di O esista un trabocchetto mortale. Si tratta dideterminare quale sara al tempo t e nel punto di ascisse x la densita linearedei sopravviventi U(x, t). Si osservi che se non esistesse il trabocchetto siavrebbe una densita, che per distinguere da quella vera chiameremo U0,data dall’espressione:

U0(x, t) =N

µ√

2πte−x2/2µ2t. (1.266)

Si osservi inoltre che gli individui che in P vengono a mancare possiamoconsiderarli vivi e saltellanti anche dopo la morte purche, a partire daquesto istante, si leghi indissolubilmente a ognuno di essi un altro individuoaffetto da segno negativo. Allora per avere la densita vera U , basterasottrarre a U0 la densita U1 degli individui negativi. Questa si calcolafacilmente; basta osservare che per x > ` si ha evidentemente:

U1(x, t) = U0(x, t) (1.267)

e, per ragioni di simmetria, se x < `:

U1(x, t) = U1(2`− x, t) = U0(2`− x, t) (1.268)

58


e quindi:

U(x, t) = U0(x, t) − U0(2`− x, t)

=N

µ√

2πt

[e−x2/2µ2t − e−(2`− x)2/2µ2t

]; (1.269)

e per grandi valori di t si puo scrivere:

U(x, t) =2N `(`− x)

µ3 t√

2πte−(`− x)2/2µ2t e−`2/2µ2t (1.270)

da cui si deduce per un dato valore di t:

Umax = U(`− µ√

t, t) =2N ` e−1/2

µ2 t√

2πe−`2/2µ2t, (1.271)

e il numero dei sopravviventi, sempre per t grande

Nv =2N `

µ√

2πte−`2/2µ2t. (1.272)

Se se ne prende il momento rispetto a P si trova:∫

(` − x) dNv = N `, (1.273)

cioe il baricentro dei vivi e dei morti, supposti questi concentrati in P , restafisso in 0 come era evidente a priori. La curva dei soppravviventi presentain un primo tempo un flusso fra 0 e P che si sposta continuamente versodestra e scompare nell’istante t = `2/3µ2; in tale istante, in cui ha luogola mortalita massima, sono morti N/12 individui.

La U0 obbedisce all’equazione differenziale:

∂U0

∂t=

µ2

2

∂2U0

∂x2(1.274)

e quindi e atta a rappresentare come si distribuisce una certa quantita dicalore Q = N posta in una sezione di una sbarra indefinita, purche si ponga

µ2 =2c

γ δ, (1.275)

c coefficiente di trasmissione, γ calore specifico, δ la densita. Si noti cheµ2, dato dalla (1.275), rappresenta il quadrato medio dello spostamento del

59


calore nell’unita di tempo e in ogni direzione. Il quadrato dello spostamentototale nello spazio sara, nell’unita di tempo: 3µ2 = 6c/γδ.

1.32 Combinazioni

(Si veda il paragrafo 2.39.5.)La somma delle probabilita che un evento di probabilita 1/2 abbia luogon volte in n prove, o in n + 1 prove o in n + 2 prove o. . . , o in 2n provevale 1. In simboli:

n∑r=0

1

2n+r

(n + r

n

)= 1. (1.276)

Infatti:

n+1∑r=0

1

2n+1+r

(n + 1 + r

n + 1

)

=1

2

n+1∑r=0

1

2n+r

(n + r

n

)+

1

2

n+1∑r=1

1

2n+r

(n + rn + 1

)

=1

2

n∑r=0

1

2n+r

(n + r

n

)+

1

22n+2

(2n + 1

n

)

+1

2

n+2∑r=1

1

2n+r

(n + rn + 1

)− 1

22n+3

(2n + 2n + 1

);

e poiche:

1

22n+2

(2n + 1

n

)=

1

22n+3

(2n + 2n + 1

),

n+2∑r=1

1

2n+r

(n + rn + 1

)=

n+1∑r=0

1

2n+1+r

(n + 1 + r

n + 1

),

risulta:

n+1∑r=0

1

2n+1+r

(n + 1 + r

n + 1

)=

n∑r=0

1

2n+r

(n + r

n

); (1.277)

60


cioe, se la (1.276) vale per n = k, vale anche per n = k + 1; e poiche essavale per n = 1, varra qualunque sia n.

Analogamente si dimostra la relazione:

∞∑r=0

1

2n+r

(n + r

n

)= 2. (1.278)

1.33 Energia e calore specifico delrotatore

Sia I il momento d’inerzia del rotatore; le condizioni di Sommerfeld im-pongono22

I ω =nh

2π, (n = 0, 1, . . .), (1.279)

e quindi23

ε =1

2I ω2 =

n2h2

8π2I =nhν

2(1.280)

ν =ω

2π=

nh

4π2I . (1.281)

L’energia media sara alla temperatura T , per la legge di Boltzmann

ε =

∞∑n=0

n2h2

8π2I exp

− n2h2

8π2IkT

∞∑n=0

exp

− n2h2

8π2IkT

=

∞∑n=0

hν0

2n2 exp

− hν0

2kTn2

∞∑n=0

exp

− hν0

2kTn2

(1.282)essendo ν0 = h/4π2I la frequenza fondamentale. Si ponga:

p =1

2

hν0

kT=

h2

8π2IkT;


23Qui ε e ν sono l’energia e la frequenza del rotatore, mentre ω e la sua frequenzaangolare.

61


risulta

ε = kT

∞∑n=0

pn2 e−pn2

/ ∞∑n=0

e−pn2. (1.283)

Naturalmente se p → 0, T →∞, si ricava:

limp→0

ε =1

2kT. (1.284)

Derivando la (1.283) rispetto a T , tenuto conto che dp/dT = −p/T , siottiene il calore specifico:

c =dε

dT= k p2

∞∑n=0

n4 e−pn2

∞∑n=0

e−pn2−

∞∑n=0

n2 e−pn2

∞∑n=0

e−pn2

2

. (1.285)

Detta T0 la temperatura per cui l’energia del primo stato quantico conenergia diversa da zero e uguale all’energia media calcolata con la teoriaclassica, avremo:

T0 =1

2

hν0

k=

h2

8π2Ik(1.286)

p =T0

T. (1.287)

Nella tabella sono riportati il calore specifico e l’energia media a diversetemperature.24

24Nel manoscritto originale, i valori nella terza e quarta colonna mancano.

62


1

p=

T

T0p =

T0

Tε

/1

2kT c

/1

2k

0.2 5.00 1.3375 1.11180.4 2.50 1.5548 1.12350.6 1.67 1.7763 1.08670.8 1.25 2.0182 0.99551.0 1.00 2.2896 0.85251.2 0.83 2.5927 0.68291.4 0.71 2.9244 0.51691.6 0.62 3.2784 0.37401.8 0.56 3.6486 0.26132.0 0.50 4.0297 0.17763.0 0.33 6.0022 0.02004.0 0.25 8.0001 0.0018

1.34 Attrazione dell’ellissoide

Si consideri sull’ellissoide:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 (1.288)

una distribuzione di masse omeoidica, cioe tale che la densita superficiale σsia in ogni punto proporzionale alla proiezione del raggio vettore che partedal centro dell’ellissoide sulla normale alla superficie:

σ = ρ/√

x2/a4 + y2/b4 + z2/c4 . (1.289)

La massa totale m si calcola facilmente. In effetti la nostra distribuzionepuo considerarsi come il limite per α → 0 di una distribuzione spazialeuniforme di densita cubica ρ/α occupante lo spazio compreso fra l’ellissoi-de di semiassi a, b, c e quello di semiassi a(1+α), b(1+α), c(1+α). Avremoquindi:

m = limα→0

ρ

α

4

3π a b c

[(1 + α)3 − 1

]= 4π a b c ρ. (1.290)

63


L’ellissoide in (1.288) e notoriamente equipotenziale, quindi il campo enullo nel suo interno, mentre all’esterno e in prossimita della superficie enormale a questa e vale, se K e il coefficiente della formola di Newton:

F = 4π σ K = 4π K ρ[x2/a4 + y2/b4 + z2/c4]−1/2

, (1.291)

e mettendo in evidenza la massa totale:25

F =mK

abc

[x2/a2 + y2/b2 + z2/c2]−1/2

. (1.292)

In particolare, agli estremi degli assi di simmetria la forza sara rispettiva-mente:

Fa =mK

b c, Fb =

mK

c a, Fc =

mK

a b, (1.293)

Costruiamo la superficie equipotenziale infinitamente prossima al no-stro ellissoide; per far cio bastera prendere sulla normale esterna ad ognipunto P0(x0, y0, z0) un punto P distante dal primo di un segmento

ds = − dU

F= − dU

a b c

mK

√x2

a2+

y2

b2+

z2

c2.

Le coordinate del punto P saranno

x = x0 + (− dU)a b c

mK

x0

a2

y = y0 + (− dU)a b c

mK

y0

b2(1.294)

z = z0 + (− dU)a b c

mK

z0

c2.

Ovvero ponendo

dt = − 2a b c

mKdU, (1.295)

e

x = x0 +1

2

x0

a2dt

y = y0 +1

2

y0

b2dt (1.296)

z = z0 +1

2

z0

c2dt;

25Si noti che F e il campo della forza gravitazionale collegato al potenzialegravitazionale U (si veda piu avanti). L’equazione (1.291) e allora una relazioneanaloga al teorema di Coulomb per il campo elettrostatico in prossimita di unconduttore.

64


cioe a meno di infinitesimi di ordine superiore:

x√a2 + dt

=x0

ay√

b2 + dt=

y0

b(1.297)

z√c2 + dt

=z0

c.

Quadrando e sommando si ottiene l’espressione della superficie equipo-tenziale infinitamente prossima:

x2

a2 + dt+

y2

b2 + dt+

z2

c2 + dt= 1 (1.298)

che e anch’essa un ellissoide, con un errore infinitesimo d’ordine superioreal primo. Alla nuova superficie equipotenziale sono applicabili le consid-erazioni svolte sulla prima. E cosı si trova che a meno di un altro erroreinfinitesimo d’ordine maggiore del primo, la superficie

x2

a2 + 2dt+

y2

b2 + 2dt+

z2

c2 + 2dt= 1 (1.299)

e anch’essa equipotenziale. In generale a meno di n errori infinitesimid’ordine superiore al primo, la superficie

x2

a2 + ndt+

y2

b2 + ndt+

z2

c2 + ndt= 1 (1.300)

sara equipotenziale. Cio vuol dire che il rapporto fra errore e n dt permaneinfinitesimo qualunque sia n dt. Facendo tendere n all’infinito in modo chen dt = t sia finito sara equipotenziale, rigorosamente, la superficie

x2

a2 + t+

y2

b2 + t+

z2

c2 + t= 1 (1.301)

sara equipotenziale. E questa l’espressione generale delle superfici equipo-tenziali esterne all’omeoide; t puo assumere qualunque valore positivo.26

26∗ Di cio potrebbe aversi la riprova formale mostrando che e possibile costruireuna funzione U = U(t) del posto, attraverso t, che obbedisca all’equazione diLaplace ∆ U = 0 e si annulli per t = ∞.

65


Dalle (1.297) si ricava l’espressione generale delle linee di forza:

x = α√

a2 + t

y = β√

b2 + t (1.302)

z = γ√

c2 + t

(α2 +β2 +γ2 = 1). Le costanti α, β, γ sono evidentemente i coseni direttoridegli asintoti delle linee di forza, i quali sono rette passanti per il centrodell’ellissoide.

Per calcolare il potenziale U = U(t) sull’ellissoide in (1.301), si osserviche dalla (1.295) si deduce in generale la differenza di potenziale fra duesuperfici equipotenziali infinitamente vicine. Integrando tra t = ∞ e t = t0,si ottiene:

U(t0) =mK

2

∫ ∞

t0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

. (1.303)

In particolare, sull’ellissoide in (1.288) il potenziale sara

U(0) =mK

2

∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

. (1.304)

Poiche agli effetti esterni dell’ellissoide si puo sostituire alla distribuzione

omeoidica, di massa totale m, sull’ellissoidex2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1, un’altra

distribuzione omeoidica di pari massa, posta su un ellissoide omofocale, sipuo estendere ai punti esterni l’espressione (1.292) del campo:

F =mK√

(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

× 1√x2/(a2 + t)2 + y2/(b2 + t)2 + z2/(c2 + t)2

. (1.305)

Dalla (1.304) si deduce immediatamente la capacita dell’ellissoide; essa valenel moto:

C = 2

(∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

)−1

. (1.306)

Si consideri ora l’ellissoide piano

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2< 1

66


di densita cubica uniforme ρ. La forza nel suo interno e funzione linearedelle coordinate e le sue componenti secondo gli assi x, y,z valgono rispet-tivamente:

−L x, −M y, −N z; L + M + N = 4π K ρ. (1.307)

In particolare all’estremo del semiasse a, la forza, tutta diretta secondo lanormale interna, vale in valore assoluto La. Per calcolare L scomponia-mo il nostro ellissoide in omeoidi mediante una serie di infinite superficiellissoidiche e omotetiche che obbediscono all’equazione:

x2

p2a2+

y2

p2b2+

z2

p2c2= 1, (1.308)

potendo p variare tra 0 e 1. L’omeoide compreso fra i due ellissoidi disemiassi, rispettivamente, pa, pb, pc e (p +dp)a, (p +dp)b, (p +dp)c, ha lamassa:

dm = 4π a b c p2 ρ dp. (1.309)

La forza da esso esercitata sull’unita di massa posta nel punto (a, 0, 0) ediretta secondo l’asse x e vale, salvo il segno:

dF =K dm√

[a2 + p2(b2 − a2)] [a2 + p2(c2 − a2)]

=4π a b c ρ K p2 dp√

[a2 + p2(b2 − a2)] [a2 + p2(c2 − a2)]; (1.310)

ovvero ponendo

p =a√

a2 + t(1.311)

e quindi

t =

(a

p

)2

(1− p2) (1.312)

dF =4π a2 b c K ρ dt

2 (√

a2 + t)√

(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)(1.313)

dF = − 4π a2 b c K ρ dt∂

∂a2

1√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

. (1.314)

67


Per comprendere tutti gli omeoidi in cui si e diviso l’ellissoide bisogna farvariare p fra 0 e 1, o t fra 0 e ∞; si ottiene cosı l’espressione della forzatotale:

L a = − 4π a2 b c K ρ∂

∂a2

∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

(1.315)

cioe:

L = − 4π a b c K ρ∂

∂a2

∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

(1.316)

e analoghe relazioni per M e N . Cosı risulta completamente determinatala forza all’interno e sulla superficie dell’ellissoide:

F = −L x i − M y j − N z k . (1.317)

Per avere la forza nei punti esterni si osservi che se m e la massadell’ellissoide, l’equazione (1.316) puo porsi sotto la forma:

L = − 3K m∂

∂a2

∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

, (1.318)

e analogamente per M e N . Si verifica inoltre immediatamente, mediantela scomposizione in omeoidi, che un ellissoide omogeneo equivale, per glieffetti esterni, a un qualunque altro ellissoide omofocale al primo e di parimassa totale. Dato quindi un punto esterno P (x, y, z) e determinato t inmodo che sia:

x2

a2 + t+

y2

b2 + t+

z2

c2 + t= 1; (1.319)

la forza agente sull’unita di massa posta in P sara:

F = −L(t) ix − M(t) j y − N(t)k z, (1.320)

essendo

L(t) = − 4π a b c K ρ∂

∂a2

∫ ∞

t

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

. (1.321)

In particolare, per t = 0, cioe sulla superficie dell’ellissoide, si ritroval’espressione (1.316) per L, e le altre analoghe per M e N .

68


1.35 Casi particolari: ellissoide con unasse molto allungato; ellissoiderotondo

I. – Supponiamo a, b ¿ c. L’espressione:

∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

(1.322)

se si pone

t1 =1

2

(t +

√(a2 + t)(b2 + t) − a b

)(1.323)

diventa:

∫ ∞

0

dt1[(1/4)(a + b)2 + t1

] √(c2 + t1)

√c2 + t1c2 + t

. (1.324)

Ora la differenza tra t e t1 e dell’ordine a2 o b2 e, poiche c e molto maggioredi a o di b, il fattore

√(c2 + t1)/(c2 + t) che sta sotto il segno integrale al

secondo membro e sempre molto prossimo all’unita. Tenuto conto che glialtri fattori sono di segno costante, al limite, per c grandissimo, si potrascrivere

∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

=

∫ ∞

0

dt1[(1/4)(a + b)2 + t1

] √(c2 + t1)

=2√

c2 − (1/4)(a + b)2log

c +√

c2 − (1/4)(a + b)2

(1/2)(a + b), (1.325)

ovvero, poiche il procedimento seguito vale solo per formole limiti di primaapprossimazione:

∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

=2

clog

4c

a + b. (1.326)

Il potenziale dell’omeoide di massa m sara:

U0 =m K

clog

4c

a + b(1.327)

69


e la capacita dell’ellissoide:

C =c

log [4c/(a + b)]. (1.328)

Le costanti L, M, N per l’attrazione all’interno dell’ellissoide pieno e lefunzioni L(t), M(t), N(t) per l’attrazione nei punti esterni, posti a unadistanza dall’ellissoide piccola rispetto al semiasse c, risultano in primaapprossimazione:

L = 4π K ρb

a + b

M = 4π K ρa

a + b(1.329)

N = 4π K ρa b

c2

(log

4c

a + b− 1

)

L(t) = 4π K ρa√

a2 + t

b√a2 + t +

√b2 + t

M(t) = 4π K ρb√

b2 + t

a√a2 + t +

√b2 + t

(1.330)

N(t) = 4π K ρa b

c2

(log

4c√a2 + t +

√b2 + t

− 1

).

II. – Si supponga ora a = b, e c arbitrario. Avremo∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

=

∫ ∞

0

dt

(a2 + t)√

(c2 + t)

=

2√c2 − a2

logc +

√c2 − a2

a, (c > a)

2√a2 − c2

arccosc

a, (c < a)

(1.331)

Ovvero, mettendo in evidenza l’eccentricita dell’ellisse meridiana:

∫ ∞

0

dt√(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)

=

1

c elog

1 + e

1− e, (c > a)

2

a earcsin e, (c < a)

(1.332)

70


Il potenziale dell’omeoide di massa m e la capacita elettrostatica dell’ellis-soide risultano rispettivamente:

U0 =

m K

2 c elog

1 + e

1− e, (c > a)

m K

a earcsin e, (c < a)

(1.333)

e

C =

c2e

log (1 + e)/(1− e), c > a

ae

arcsin e, c < a

(1.334)

Le costanti L, M, N [e le funzioni L(t), M(t), N(t)] diventano nel caso degliellissoidi rotondi:se c > a:

L = M =2π K ρ

e2

(1 − 1− e2

2elog

1 + e

1− e

)

N =1− e2

e2

(1

2elog

1 + e

1− e− 1

)4π K ρ

(1.335)

e se c < a:

L = M = 2π K ρ

√1− e2

e2

(arcsin e

e−√

1− e2

)

N =4π K ρ

e2

(1 − arcsin e

e

√1− e2

).

(1.336)

Le funzioni L(t), M(t), N(t) in un punto esterno P si calcolano sostituendonelle espressioni precedenti i valori di ρ e di e, corrispondenti all’ellissoideomotetico di massa pari a quello dato e passante per P .

71


1.36 Equilibrio di un liquido rotante

Un liquido rotante puo assumere come posizione di equilibrio la forma diun ellissoide di rivoluzione. Perche l’ellissoide liquido di equazione:

x2 + y2

a2+

z2

c2= 1 (1.337)

rotante con velocita angolare ω intorno all’asse z sia in equilibrio e neces-sario che in tutti i punti della superficie sia costante la somma del potenzialed’attrazione e di quello della forza centrifuga; cioe che in tutti i punti dellasuperficie si abbia:

1

2ω2 (

x2 + y2) − 1

2L

(x2 + y2) − 1

2N z2 = costante, (1.338)

e anche: (L − ω2) (

x2 + y2) + N z2 = costante. (1.339)

per il che deve sussistere l’eguaglianza:

L − ω2

N=

c2

a2= 1 − e2, (1.340)

essendo e l’eccentricita della sezione meridiana. Sostituendo a L e N i lorovalori dalle equazioni (1.336), si ricava:

ε =(3− 2e2)

√1− e2 arcsin e − 3e + 3e3

e3, (1.341)

essendosi posto:

ε =ω2

2π K ρ=

2ω2

4π K ρ. (1.342)

In seguito porremo:

η =3

2ε =

ω2

(4/3) π K ρ(1.343)

s = 1 −√

1− e2; (1.344)

s e lo schiacciamento; ε e il rapporto fra la divergenza del campo delle forzedi trascinamento e la convergenza, entro l’ellissoide materiale, del campo digravitazione; η = (3/2)ε e il rapporto fra la forza centrifuga che si esercita

72


su una massa m posta a distanza r dall’asse di rotazione e la forza diattrazione che si eserciterebbe sulla stessa massa posta sulla superficie diuna sfera di raggio r e di densita ρ. Il dato del problema e in generale ε(o η). L’equazione (1.341) mostra che a ogni valore di e corrisponde unsolo valore di ε; al contrario a un dato valore di ε purche inferiore a uncerto limite, corrispondono 2 valori di e, sono cioe possibili 2 posizioni diequilibrio di cui una, a modesto schiacciamento, e stabile, l’altra a forteschiacciamento e probabilmente instabile. Aumentando ε le due soluzionivanno riavvicinandosi, finche per un certo valore di ε coincidono. Al disopra di questo limite, cioe, per una data densita, al di sopra di una certavelocita angolare, l’equilibrio non e piu possibile. Per piccoli schiacciamentisi ha:

s =1

2e2 =

15

8ε =

5

4η. (1.345)

Nella tabella27 sono riportati in funzione dello schiacciamento i valoridi ε, η e di 1000/ρT 2, essendo ρ la densita rispetto all’acqua e T il perio-do in ore; per il calcolo di tale espressione si e ritenuto K= 1/(1.5×107)(c.g.s.), di modo che 1000/ρT 2 = (432/π)ε = 137.51ε.

27Nel manoscritto originale sono riportati i soli valori di s (prima colonna). Ivalori corrispondenti per le rimanenti colonne sono stati calcolati dalle equazioni(1.341), (1.343) e (1.342).

73


s ε η1000

ρT 2

0.01 0.005322 0.07983 0.73180.02 0.01062 0.01593 1.4500.03 0.01589 0.02384 2.1850.04 0.02114 0.03171 2.9070.05 0.02636 0.03954 3.6250.06 0.03155 0.04733 4.3390.07 0.03672 0.05508 5.0490.08 0.04185 0.06278 5.7550.09 0.04696 0.07043 6.4570.10 0.05203 0.07804 7.1540.11 0.05706 0.08569 7.8470.12 0.06207 0.09310 8.5350.13 0.06703 0.1005 9.2180.14 0.07196 0.1079 9.8960.15 0.07685 0.1153 10.570.16 0.08170 0.1223 11.240.17 0.08651 0.1298 11.900.18 0.09128 0.1369 12.550.19 0.09600 0.1440 13.200.20 0.1007 0.1510 13.840.21 0.1053 0.1580 14.480.22 0.1099 0.1648 15.110.23 0.1144 0.1716 15.730.24 0.1189 0.1783 16.350.25 0.1233 0.1850 16.960.26 0.1277 0.1915 17.560.27 0.1320 0.1980 18.150.28 0.1362 0.2043 18.730.29 0.1404 0.2106 19.310.30 0.1445 0.2168 13.870.31 0.1486 0.2228 20.430.32 0.1525 0.2288 20.980.33 0.1564 0.2347 21.510.34 0.1603 0.2404 22.040.35 0.1640 0.2461 22.560.36 0.1677 0.2516 23.06

74


s ε η1000

ρT 2

0.37 0.1713 0.2570 23.560.38 0.1748 0.2622 24.040.39 0.1782 0.2674 24.510.40 0.1816 0.2724 24.970.41 0.1848 0.2772 25.410.42 0.1880 0.2819 25.850.43 0.1910 0.2865 26.260.44 0.1939 0.2909 26.670.45 0.1968 0.2952 27.060.46 0.1995 0.2992 27.430.47 0.2021 0.3031 27.790.48 0.2046 0.3069 28.130.49 0.2067 0.3104 28.460.50 0.2092 0.3138 28.770.51 0.2113 0.3170 29.060.52 0.2133 0.3199 29.330.53 0.2151 0.3227 29.580.54 0.2168 0.3252 29.810.55 0.2184 0.3275 30.030.56 0.2197 0.3296 30.220.57 0.2210 0.3315 30.390.58 0.2220 0.3330 30.530.59 0.2229 0.3344 30.650.60 0.2236 0.3354 30.750.61 0.2242 0.3362 30.830.62 0.2245 0.3367 30.870.63 0.2247 0.3370 30.890.64 0.2246 0.3369 30.890.65 0.2243 0.3365 30.850.70 0.2196 0.3294 30.200.75 0.2084 0.3126 28.660.80 0.1895 0.2842 26.060.85 0.1613 0.2419 22.180.90 0.1220 0.1830 16.770.95 0.06919 0.1038 9.5141.00 0.0000 0.0000 0.0000

75


Il massimo valore28 di ε si ha per s = 0.6 ed e εmax = 0.224. Per il calcolodi ε vale lo sviluppo:

ε = (1− s)

[8

15s +

44

105s2 +

4

15s3 +

32·17

5·7·9·11s4 +

800

7·9·11·13s5

+736

3·5·7·11·13s6 + . . . + knsn + . . .

], (1.346)

essendo kn =n(3n + 5) n!

1·3·5·7·s(2n + 3). (1.347)

1.37 Alcuni integali definiti

(Vedi paragrafo 2.27.)

(1)

∫ ∞

0

1

rsin nr e−k2r2

dr =√

π

∫ n/2k

0

e−x2dx

=π

2θ

( n

2k

)29 (1.348)

(2)

∫ +∞

−∞cos nr e−k2r2

dr =

√π

ke−n2/4k2

30 (1.349)

(3)

∫ π

0

x sin x dx = π. (1.350)

(4)

∫ π

0

x2 sin x dx = π2 − 2·2 (1.351)

(5)

∫ π

0

x3 sin x dx = π3 − 6π (1.352)

(6)

∫ π

0

x4 sin x dx = π4 − 12π2 + 2·24 (1.353)

(7)

∫ π

0

x2n+1 sin x dx = (−1)n(2n+1)!

(π − π3

3!+ . . .± π2n+1

(2n + 1)!

)(1.354)

28Piu precisamente, il massimo si raggiunge a s = 0.632, corrispondente aεmax = 0.22467.

30∗ Si noti che la quantita k al secondo membro e positiva.

76


(8)

∫ π

0

x2n sin x dx = (−1)n(2n)!

(1·1− π2

2!+

π4

4!− . . .± π2n

(2n)!

).

(1.355)n intero ≥ 0 [e (−1)0 = 1](9) Tenendo conto degli sviluppi in serie che danno sin π e cos π, la (1.354)e (1.355) si possono raccogliere in un’unica espressione:

∫ π

0

xn sin x dx = n!πn

(π2

(n + 2)!− π4

(n + 4)!+

π6

(n + 6)!− . . .

),

(1.356)che vale probabilmente per n > −1, anche non intero. Per n grandissimosi ricava in prima approssimazione:

∫ π

0

xn sin x dx =πn+2

(n + 1)(n + 2)(1.357)

(10)∫ +∞

−∞e−x2

cos nx dx = e−n2/4√π (1.358)

∫ +∞

0

e−kx2cos nx dx = e−n2/4k

√π

k(1.359)

(11)∫ +∞

−∞

x3 dx

ex − 1=

∞∑

k=1

∫ +∞

−∞x3 e−kx dx

= 6

(1 +

1

24+

1

34+ . . .

)=

π4

15(1.360)

si veda la (1.198).

(12)

∫ +∞

−∞

sin2 kx

x2dx = k π. (1.361)

77


1.38 Propagazione del calore in un mezzoisotropo e omogeneo

Sia c il coefficiente di trasmissione, γ il calore specifico, δ la densita; ilquadrato medio dello spostamento del calore (si veda la (1.275)) in unadata direzione e nell’unita di tempo, vale:

µ2 =2c

γ δ(1.362)

e l’equazione differenziale a cui obbedisce la temperatura si puo scrivere:

∂T

∂τ=

1

2µ2 ∆ T. (1.363)

Per trovare la distribuzione delle temperature giovera, a seconda dei datidel problema, o valersi del metodo delle sorgenti o ricorrere a soluzioniparticolari che danno la temperatura come prodotto di una funzione deltempo per una funzione del posto. Esaminiamo quantitativamente lapropagazione secondo una, secondo due, o secondo tutte e tre le dimen-sioni.31

1.38.1 Propagazione in una dimensione

Metodo delle sorgenti. La quantita dQ di calore posta nella sezionedi ascissa x0 di una sbarra indefinita di sezione unitaria, si distribuisce,per l’equazione (1.362), in guisa che la densita cubica di calore, un puntod’ascissa x sia al tempo τ :

ρ(x, τ) =dQ

µ√

2πτexp

− (x− x0)

2

2µ2τ

. (1.364)

Se T0 e la temperatura nell’istante iniziale e nel punto x0, fra le sezioni x0

e x0 + dx0 si trova accumulata la quantita di calore T0dx0γδ. Sostituendoquesta espressione a dQ nell’equazione (1.364) e integrando, e possibile

31In realta, nel manoscritto originale e studiato solo il caso unidimensionale.

78


ottenere la densita del calore e, dividendo per γδ, la temperatura in unpunto qualsiasi e in un istante qualsiasi:

T (x, τ) =

∫ +∞

−∞

T0

µ√

2πτexp

− (x− x0)

2

2µ2τ

dx0. (1.365)

Se la sbarra non fosse indefinita, bisognerebbe badare alle condizioni ailimiti. In alcuni casi il problema si riconduce facilmente a quello dellasbarra indefinita. Facciamo un esempio:

Sia una sbarra limitata fra le sezioni S1 e S2 di ascisse x1 e x2, essendox1 < x2; sia T0(x0) la temperatura iniziale nel punto x0, essendo x1 <x0 < x2, e si ponga la condizione che le temperature T1 e T2 delle sezioniestreme siano costanti. Si vuol determinare dopo un tempo qualsiasi τla temperatura T (x, τ) in un punto qualunque x compreso tra x1 e x2.Per far cio, si approfitti della linearita delle espressioni che reggono lapropagazione del calore, decomponendo la distribuzione delle temperature,in un istante qualsiasi, nella somma di altre due di cui una rappresentiquella distribuzione permanente nel tempo che e compatibile con le solecondizioni ai limiti; si ponga cioe :

T (x, τ) = T1 +x− x1

x2 − x1(T2 − T1) + T ′(x, τ) (1.366)

T0(x0) = T1 +x0 − x1

x2 − x1(T2 − T1) + T ′0(x0). (1.367)

Il problema e cosı ridotto alla determinazione della temperatura nei puntidi una sbarra di cui gli estremi sono tenuti a zero, essendo date le condizioniiniziali. Per determinare T ′(x, τ), si consideri una sbarra indefinita e sia T ′0la temperatura iniziale nel punto x0; la T ′0, qualunque sia la sua espressioneanalitica, deve intendersi definita, per ora soltanto per x0 compreso x1 ex2. Se x1 < x0 < x2 e n e pari, porremo:

T ′0[x0 + n(x2 − x1)] = T ′0(x0), (1.368)

e se n e dispari

T ′0[x0 + n(x2 − x1)] = −T ′0 (x1 + x2 − x0) . (1.369)

La temperatura iniziale resta cosı definita per tutte le sezioni della sbarra,salvo che per un numero discreto di esse, cio che non porta ostacolo allasoluzione del problema. Si osservi che la temperatura iniziale assume valori

79


opposti per coppie di punti simmetrici rispetto alla sezione S1 o alla sezioneS2 e quindi la temperatura di tali sezioni sara costantemente nulla. Segueche la distribuzione delle temperature nella barra indefinita e per i punticompresi fra x1 e x2, proprio la T ′(x, τ) che cerchiamo. Ora dall’equazione(1.365), si ricava:

T ′(x, τ) =

∫ +∞

−∞

T ′0µ√

2πτexp

− (x− x0)

2

2µ2τ

dx0; (1.370)

il problema e quindi risolto.

Soluzioni particolari. Ponendo T (x, τ) = X(x)Y (τ), si ricava:

1

Y

dY

dτ=

µ2

2

1

X

d2Y

dx2= λ; (1.371)

si deducono le soluzioni particolari:

T = A e−c1τ sin

(√2c1

µx − c2

)(1.372)

che, per λ < 0, si puo anche scrivere:

T = A e−ω2µ2τ/2 sin (ω x − c) (1.373)

T = A e−√

ωx/µ sin

(ω τ −

√ω

µx + c

). (1.374)

Le soluzioni nelle equazioni (1.373) e (1.374) sono casi particolari delleseguente, da cui si deducono ponendo rispettivamente α = 0 e α = β:

T = A e(α2−β2)τ/2 e−αx/µ sin

(α β τ − β

µx + c

). (1.375)

L’equazione (1.375) rappresenta nello spazio x, τ, T una superficie. Segan-dola con piani paralleli a T si ottengono in generale delle sinusoidi smorzate,salvo che per i piani paralleli a

α β τ − β

µx = 0,

che danno come sezioni delle curve esponenziali, e per i piani paralleli a

τ

2(α2 − β2) τ − α

µx = 0,

80


che forniscono sezioni sinusoidali. La particolarita geometrica delle soluzio-ni (1.373) e (1.374) sta in cio, che la (1.373) presenta le sezioni sinusoidaliparallelamente al piano τ = 0 e la (1.374) parallelamente al piano x = 0.

Il problema del raffreddamento di una sbarra limitata di cui gli estremisono tenuti a zero, che abbiamo risolto piu su con il metodo delle sorgenti,puo ben risolversi anche con soluzioni del tipo (1.373). Basta decomporrela T ′0 secondo le autofunzioni della forma (1.373), in cui si ponga τ = 0,relative all’intervallo x1 − x2, cioe secondo sinusoidi che si annullano perx = x1 e x = x2 ed hanno per periodo: 2(x2 − x1)/1, 2(x2 − x1)/2,2(x2 − x1)/3, 2(x2 − x1)/4, etc. Se lo sviluppo di T ′0 e il seguente:

T ′0 = A1 sin πx− x1

x2 − x1+ A2 sin 2π

x− x1

x2 − x1+ . . . , (1.376)

si avra evidentemente

T ′(x, τ) = A1 exp

− π2 µ2 τ

2(x2 − x1)2

sin π

x− x1

x2 − x1

+ A2 exp

− 4π2 µ2 τ

2(x2 − x1)2

sin 2π

x− x1

x2 − x1+ . . . . (1.377)

1.39 Trasformazioni conformi

Siax′1 = x′1(x1, . . . , xr, . . . , xn)

. . .

x′r = x′r(x1, . . . , xr, . . . , xn) (1.378)

. . .

x′n = x′n(x1, . . . , xr, . . . , xn)

una trasformazione tale che

∑i

dx′2i

/∑i

dx2i = f(x1, . . . , xn). (1.379)

81


Tale condizione si puo esprimere analiticamente scrivendo che i gradientidelle x′ hanno nello stesso punto lo stesso valore assoluto e che i prodottiscalari di tali gradienti, presi due a due, sono nulli; cioe:

grad x′i × grad x′j = m =

f(x1, . . . , xn), se i = j

0, se i 6= j(1.380)

Poniamo∂2x′i

∂xr∂xs= k(i, r, s).

Il teorema sulla simmetria delle derivate miste32, la condizione che lederivate dei valori assoluti dei gradienti delle x′, rispetto alla stessa va-riabile, siano tutte uguali tra loro e la condizione che tutte le derivate ditali prodotti scalari siano nulle importano le uguaglianze (purche si scel-gano gli assi delle x paralleli ai gradienti delle x′):

k(i, r, s) = k(i, s, r)

k(i1, i1, s) = k(i2, i2, s) (1.381)

k(i, r, s) = − k(r, i, s), se i 6= r.

Poniamo

pr =∂2x′r∂x2

r

.

E facile allora mostrare che tutte le derivate di x′ possono esprimersi infunzione delle pr. Infatti, dalla (1.381) si supponga

(a) i, r, s tutti diversidalle (1.381) si deduce:

k(i, r, s) = k(i, s, r) = − k(s, i, r) = − k(s, r, i)

= k(r, s, i) = k(r, i, s) = − k(i, r, s) = 0 ;

(1.382)

(b) se r = i

k(i, i, s) = k(s, s, s) =∂2x′s∂x2

s

= ps ; (1.383)

32Cioe il teorema di Schwarz.

82


(c) se s = i

k(i, r, i) = k(i, i, r) = pr ; (1.384)

(d) se r = s 6= i

k(i, r, r) = − k(r, i, r) = − pi. (1.385)

Si puo verificare che qualunque siano le n quantita p1, p2, . . ., pn, le k(i, r, s)date dalle (1.382), (1.383), (1.384) e (1.385) soddisfano l’equazione (1.381).

Se si pone nel posto r, s di una matrice la derivata k(i, r, s), si possonocostruire n matrici coordinate alle n x′. Esse hanno la forma seguente33:

[∂2x′1

∂xr∂xs

]=

p1 p2 . . . pn−1 pn

p2 −p1 . . . 0 0. . .

pn−1 0 . . . −p1 0pn 0 . . . 0 −p1

[∂2x′i

∂xr∂xs

]=

−pi 0 0 . . . p1 . . . 0 00 −pi 0 . . . p2 . . . 0 00 0 −pi p3 0 0

. . .p1 p2 p3 . . . pi . . . pk 0. . .0 0 0 . . . pk . . . pi 0

. . .0 0 0 . . . pn . . . 0 −pi

.

Si ricava:

∆ x′i = − (n− 2) pi. (1.386)

Segue che le x′ non sono in generale funzioni armoniche; perche fossero talioccorrerebbe che fosse o n = 2 oppure che le p fossero costantemente nullein modo che la (1.378) rappresentasse una semplice similitudine.

33La generica matrice indicata con i e quella la cui i-esima riga o colonna e datada (p1, p2, p3, . . . , pn), mentre gli elementi sulla diagonale sono uguali a −pi.

83


Se n = 2, le x′ sono sempre funzioni armoniche. Allora se U ′(x′, y′)e una funzione armonica, ponendo U(x, y) = U ′(x′, y′), si deduce dalla(1.380), (1.386) (1.73) che anche U(x, y) e una funzione armonica. Latrasformazione del piano xy nel piano x′y′ dicesi trasformazione conformedi un piano su un piano. Tale trasformazione conserva la forma delle figureinfinitesime; essa puo invertire o no il senso di rotazione. Per avere unatrasformazione conforme basta porre:

x′ + i y′ = f(x + iy) (1.387)oppure

x′ − i y′ = f(x + iy), (1.388)

essendo f(x+ iy) una funzione analitica qualunque; nel primo caso il sensodi rotazione e conservato, nel secondo caso viene invertito.

Dalle considerazioni analitiche svolte piu sopra puo aversi un’interes-sante conferma sintetica. Si consideri la trasformazione conforme (1.378)che a un punto dello spazio S a n dimensioni fa corrispondere un puntodello spazio S ′. La condizione (1.379) stabilisce che figure infinitesime cor-rispondenti sono simili e da il rapporto di similitudine k =

√f(x1, . . . , xn),

in generale variabile da un punto a punto. Sia U una funzione delle x eponiamo:

U ′(x′1, . . . , x′n) = U(x1, . . . , xn). (1.389)

Il flusso del gradiente di U attraverso un elemento di superficie dS puoessere scritto

dϕ = |grad U | dS cos α, (1.390)

e il flusso di grad U ′ attraverso l’elemento corrispondente:

dϕ′ =∣∣grad U ′

∣∣ dS′ cos α′. (1.391)

ma essendo la trasformazione conforme, abbiamo evidentemente:

∣∣grad U ′∣∣ =

1

k|grad U | (1.392)

ds′ = kn−1 dS (1.393)

e quindidϕ′ = kn−2 dϕ. (1.394)

Segue che se n = 2 e il flusso di U attraverso una superficie chiusa e nullo,sara nullo del pari il flusso di U ′ attraverso ogni superficie chiusa, cioe letrasformazioni conformi di un piano su un piano conservano l’armonicita

84


delle funzioni armoniche. Se n e diverso da 2, l’armonicita non e neces-sariamente conservata, salvo il caso che K sia costante. Ma in tal caso latrasformazione conforme si riduce a una semplice similitudine.

1.40 Meccanica ondulatoria del puntomateriale in un campo conservativo.Variazione degli autovalori

Sia E un autovalore dell’equazione:34

∆ ψ +8π2m

h2(E − U) ψ = 0. (1.395)

Diamo a U una variazione δU perche la (1.395) ammetta una soluzionefinita e monodroma, E dovra subire una variazione δE. Poniamo ψ1 =ψ (1 + α) la soluzione della (1.395) variata. Sostituendo nella (1.395), siricava l’equazione a cui deve soddisfare α:

ψ ∆ α + 2 grad ψ × grad α +8π2m

h2(δE − δU) ψ = 0 (1.396)

e moltiplicando per ψ: 35

div(ψ2 grad α

)+

8π2m

h2(δE − δU) ψ2 = 0. (1.397)

Poiche ψ2grad α e in generale infinitesimo d’ordine superiore al secondo,integrando in tutto lo spazio S si ricava

∫(δE − δU) ψ2 dS = 0, (1.398)

34Nel manoscritto originale si usa la vecchia notazione h/2π, mentre qui deno-tiamo la stessa quantita con ~.

35Si noti che se ψ e complesso, si deve moltiplicare per ψ∗, per cui ψ2 deveessere sostituito con |ψ|2.

85


cioe,

δE =

∫ψ2 δU dS

/∫ψ2 dS . (1.399)

1.41 Massa elettromagnetica dell’elettrone

Supponiamo 36 la carica e distribuita su una sfera di raggio a. Ammettendola contrazione di Lorentz nella direzione del movimento si ottengono leseguenti espressioni dell’energia elettrica e dell’energia magnetica:

Es =e2

6a

(2√

1− v2/c2+

√1− v2/c2

)(1.400)

Em =e2

3ac2

v2

√1− v2/c2

, (1.401)

In riposo risulta:

Eem = Es + Em =e2

6a

(2

1 + v2/c2

√1− v2/c2

+√

1− v2/c2

)(1.402)

E0s0 =

e2

2a(1.403)

Em0 = 0 (1.404)

E0 em =e2

2a. (1.405)

La quantita di movimento elettromagnetico risulta:

Q =2

vEm =

2e2

3ac2

v√1− v2/c2

, (1.406)

36E interessante leggere su questo argomento, per esempio, l’articolo di E.Fermi, “Correzione di una contraddizione tra la teoria elettrodinamica e quellarelativistica delle masse elettromagnetiche”, Nota Interna della Scuola NormaleSuperiore di Pisa (1924). Per altri articoli scritti dai membri del gruppo di Fermisi veda, per esempio, P. Caldirola, Nuovo Cimento A 4, 497 (1979).

86


e se si ammette che il sostegno della carica elettrica non abbia coefficientedi inerzia, la massa dell’elettrone sara:37

m =2

3

e2

ac2

1√1− v2/c2

=m0√

1− v2/c2, (1.407)

essendo m0 la massa di quiete che vale dunque:

m0 =2

3

e2

ac2=

4

3

Eem

c2. (1.408)

L’equivalenza, a meno del fattore c2, fra massa ed energia porta a con-cludere che nell’ipotesi fatta che il sostegno abbia inerzia nulla, esso devepossedere un’energia in quiete:38

E′0 =

1

3Eem =

e2

6a, (1.409)

e in movimento:

E′ = mc2 − Eem =2

3

e2

a

1√1− v2/c2

− e2

6a

(2

1 + v2/c2

√1− v2/c2

+√

1− v2/c2

)

=e2

6a

√1− v2/c2 = E′

0

√1− v2/c2 (1.410)

cioe, l’energia propria e proporzionale al suo volume.39

Ammettere che il nucleo dell’elettrone possiede questa energia non e incontraddizione con l’ipotesi ammessa che il suo coefficiente di inerzia sianullo; infatti esso si trova in uno stato di tensione che fa equilibrio allatensione della carica elettromagnetica, la quale per azione del campo elet-tromagnetico tenderebbe a disperdersi; questo importa che quella partedella carica che si trova piu innanzi, nel senso del movimento, risente

37Cioe, l’intera massa dell’elettrone e di natura elettromagnetica.38L’Autore considera l’energia totale E di un elettrone come formata da due

termini: quello elettromagnetico, Eem, e quello di auto-energia, E′: E = Eem +E′. L’energia E′ e ottenuta considerando che E = mc2.

39L’energia propria corrisponde all’energia del “nucleo” dell’elettrone, che vienecosı ad essere proporzionale al volume del nucleo stesso.

87


un’azione frenante da parte del sostegno, mentre quella parte della car-ica che si trova piu indietro viene accelerata per azione del sostegno. Segueche attraverso il nucleo ha luogo un flusso di energia in senso opposto almovimento dell’elettrone, la cui quantita di moto deve essere uguale e op-posta a quella dell’energia. E mobile con la stessa velocita dell’elettrone.Di cio potrebbe del resto aversi una verifica diretta, supponendo che il vin-colo sia costituito in un modo qualunque, per esempio, mediante fili chetengono le cariche distribuite su una superficie sferica a una distanza fissadel centro; in tal caso basta calcolare la tensione del filo e moltiplicarlaper la velocita dell’elettrone nel senso del filo stesso per avere il flusso dienergia attraverso ad ogni sezione; dividendo per E′ si ha la quantita dimoto per ogni unita di lunghezza. Basta allora sommare vettorialmente lequantita di moto inerenti ai singoli fili (la quantita di moto elementare inogni filo ha la direzione del filo stesso), per ottenere la quantita di motototale inerente al flusso di energia attraverso il nucleo.

Ma ad un’altra considerazione si presta la (1.410): essa mostra infattiche l’energia del sostegno diminuisce con la velocita e si annulla per ve-locita prossime a quelle della luce. Sorge allora il problema del bilancioenergetico del nucleo stesso. Si riconosce facilmente che la dissipazionedell’energia nucleare con l’aumento della velocita e dovuta alla contrazionedell’elettrone nel senso del movimento. Dividiamo infatti l’elettrone in dueparti mediante un piano yz passante per il centro in cui poniamo l’originedegli assi e normale al senso del movimento. Le cariche distribuite in og-nuno dei due elementi di superficie della sfera che si proiettino in tale pianonell’elemento dy dz valgono:

de = dy dza√

a2 − y2 − z2

e

4πa2=

e dy dz

4πa√

a2 − y2 − z2. (1.411)

Ora possiamo immaginare che il nucleo sia costituito da fili longitudinaliche rilegano a due a due le cariche elementari simmetriche rispetto al pianoyz ed equilibrano le azioni che esse subiscono da parte delle componenti delcampo elettrico secondo la direzione del movimento, e da fili traversali cheequilibrano le azioni del campo elettrico trasverso e quelle del campo mag-netico sull’elettricita in moto che risultano anche esse normali alla direzionedel movimento. La tensione del filo che lega i due elementi considerati piusopra e:

dt =1

2

e

a2

√a2 − y2 − z2

ade =

e2

8πa4dy dz, (1.412)

88


indipendente dalla velocita, e la lunghezza del filo:

` = 2√

a2 − y2 − z2√

1− v2/c2. (1.413)

Se la velocita dell’elettrone aumenta di dv, senza cambiare direzione, ifili trasversali restano di lunghezza immutata e quindi la loro energia nonsubisce variazioni; al contrario i fili longitudinali si accorciano e la vari-azione di energia dα di uno di essi si ottiene moltiplicandone la tensioneper la variazione della lunghezza:

d (dα) = dt d` = − 2e2

8πa4dy dz

√a2 − y2 − z2

(v/c2) dv√1− v2/c2

= − e2 v√

a2 − y2 − z2

4πa4 c2√

1− v2/c2dy dz dv, (1.414)

e integrando prima rispetto y e z, e notando che

∫

yz

dα = E′, (1.415)

si ottiene

dE′ = − e2 v

6a c2√

1− v2/c2dv. (1.416)

Allo stesso risultato si giunge differenziando la (1.410), cio che prova chela dissipazione dell’energia del sostegno e effettivamente dovuta alla con-trazione di Lorentz. La porzione dell’energia totale concentrata nel nucleovale:

E′

mc2=

1

4

(1− v2

c2

),

Essa e dunque 1/4 per piccole velocita. Al crescere della velocita diminui-sce per doppia ragione, cio per la diminuzione di energia concentrata e perl’aumento di energia elettromagnetica, finche alla velocita limite della lucetutta l’energia dell’elettrone ha la forma elettromagnetica.

89


1.42 Polinomi di Legendre

I polinomi di Legendre sono definiti dalla relazione:

Pn =1

2nn!

dn(x2 − 1)n

dxn(1.417)

Essi soddisfanno alle relazioni

∫ 1

−1

Pm Pn dx =

0 , per m 6= n

2

2n + 1, per m = n

. (1.418)

Inoltre, Pn(1) = 1 , Pn(−1) = (−1)n. (1.419)

I primi di tali polinomi hanno l’espressione:

P0 = 1

∫ 1

−1

P 2n dx = 2

P1 = x2

3

P2 =3

2x2 − 1

2

2

5

P3 =5

2x3 − 3

2x

2

7

P4 =35

8x4 − 15

4x2 +

3

8

2

9

P5 =63

8x5 − 35

4x3 +

15

8x

2

11

P6 =231

16x6 − 315

16x4 +

105

16x2 − 5

16

2

13

P7 =429

16x7 − 693

16x5 +

315

16x3 − 35

16x

2

15

90


1.43 ∆ in coordinate sferiche

Sia V una funzione di x, y, z, attraverso r, θ, ϕ, essendo:

r =√

x2 + y2 + z2

θ = arccos z/r (1.420)

ϕ = arctan y/r.

Poiche valgono le relazioni:

|grad r| = 1, |grad θ| = 1r, |grad ϕ| = 1

r sin θ(1.421)

grad r× grad θ = grad θ× grad ϕ = grad ϕ× grad r = 0

(1.422)

∆ r = 2r, ∆ θ = cot θ

r2 , ∆ ϕ = 0 (1.423)

si deduce dalla (1.73):

∆ V =∂2V

∂r2+

2

r

∂V

∂r+

1

r2

(1

sin2 θ

∂2V

∂ϕ2+

∂2V

∂θ2+

∂V

∂θcot θ

). (1.424)

91

VOLUMETTO

2 23 aprile 1928

2.1 ∆ in coordinate polari

Sia V una funzione di x e y attraverso r e ϕ ossia:

r =√

x2 + y2 (2.1)

ϕ = arctany

x. (2.2)

Poiche:

|grad r| = 1 , |grad ϕ| =1

r(2.3)

grad r× grad ϕ = 0 (2.4)

∆2 r =1

r, ∆2 ϕ = 0, (2.5)

allora, dalla (1.73):

∆2 V =∂2V

∂z2+

1

r

∂V

∂r+

1

r2

∂2V

∂ϕ2. (2.6)

2.2 Sviluppo di una funzione armonica nelpiano

Supponiamo di sviluppare in serie una funzione armonica V intorno alpunto O(0, 0). Avremo:

V = P0 + P1 + P2 + P3 + . . . + Pn + . . . , (2.7)

93

Volumetto 2: 23 aprile 1928

essendo Pn un polinomio intero omogeneo di grado n in x e y. Poiche∆2 V = 0, si ricava:

∆2 Pn = 0, (2.8)

cioe Pn e una funzione armonica. Ora Pn ha n+1 coefficienti, mentre ∆2 Pn

che e un polinomio di grado n − 2, ne ha n − 1, legati da relazioni linearia quelli di Pn e che devono annullarsi; segue che solo due dei coefficientidi Pn possono essere scelti in modo arbitrario, salvo P0 che e una costantearbitraria. L’espressione piu generale di Pn e dunque

Pn = an P ′n + bn P ′′n , (2.9)

essendo P ′n e P ′′n due polinomi noti, interi ed omogenei di grado n. Orapossiamo porre

Pn = rn µn(ϕ), P ′n = rn µ′n(ϕ), P ′′n = rn µ′′n(ϕ) (2.10)

e quindi

µn(ϕ) = an µ′n(ϕ) + bn µ′′n(ϕ). (2.11)

Ora nella scelta di P ′n e P ′′n esiste sufficiente arbitrarieta per supporre cheµ′n e µ′′n siano ortogonali nell’intervallo (0, 2π); e facile allora che le µ′ e leµ′′ formino un sistema ortogonale. Bastera provare che se m 6= n, si hasempre ∫ 2π

0

µm µn dϕ = 0, m 6= n. (2.12)

Per far cio, consideriamo il flusso uscente attraverso un cerchio di raggio rdel vettore

rm µm grad rn µn − rn µn grad rm µm. (2.13)

Ora dalla (2.10), segue:

∂

∂rrm µm = m rm−1µm

∂

∂rrn µn = n rn−1µn.

(2.14)

Cosı il flusso uscente e dato dall’espressione

F = (n−m) rn+m−1

∫ 2π

0

µm µn dϕ. (2.15)

94


D’altronde la divergenza del vettore in (2.13) vale:

div (rm µm grad rn µn − rn µn grad rm µm)

= rm µm ∆2 rn µn − rn µn ∆2 rm µm = 0, (2.16)

da cui segue la (2.12).

2.3 Quantizzazione dell’oscillatore linearearmonico

Se m e la massa dell’oscillatore e −Kq la forza attrattiva, l’Hamiltonianasi puo scrivere:

H(q, p) =1

2K q2 +

p2

2m= E (2.17)

e la frequenza dell’oscillatore sara:

ν =1

2π

√K

m. (2.18)

Le matrici di p e q, e delle loro funzioni, oltre alle regole di somma eprodotto soddisfanno alle condizioni:

(a) regola di derivazione rispetto al tempo: Mrs = (i/~) (Er − Es) Mrs;

(b) p q − q p = ~/i;

(c) H deve avere i suoi elementi diagonali: (E1, E2, . . .);

(d) le matrici devono essere Hermitiane.

Da tali condizioni segue che sono soddisfatte le equazioni di Hamilton:

q =∂H

∂p(2.19)

p = − ∂H

∂q. (2.20)

95


La condizione (a) combinata con le altre si puo anche scrivere

M =i

~ (H M − M H) . (2.21)

Nel nostro caso le equazioni (2.19) e (2.20) diventano:

m q = p (2.22)

p = −K q. (2.23)

Dalla (2.22), segue che tra gli elementi di p e q passa la relazione

prs = qrsim

~ (Er − Es) . (2.24)

Inoltre, poiche

m q + K q = 0, (2.25)

si ricava: [K − m

~2(Er − Es)

2]

qrs = 0. (2.26)

Segue che qrs puo essere diverso da zero soltanto se

K =m

~2(Er − Es)

2 , (2.27)

cioe se

Er − Es = ±hν. (2.28)

Calcoliamo ora l’elemento (r, r) della matrice pq−qp. Per la condizione(b) abbiamo:

~2πi

=∑

α

(prα qαr − qrα pαr) , (2.29)

o, per la (2.24):

~2πi

=∑

α

(Er − Eα)im

~ (qrα qαr + qαr qrα) . (2.30)

cioe ∑α

(Eα − Er) |qrs|2 =~2

2π2m. (2.31)

96


Tutti i termini della sommatoria si annullano, salvo al piu due per i qualisi abbia rispettivamente:

Eα = Er + hν (2.32)

Eα = Er − hν. (2.33)

Segue che se esiste un autovalore Er deve almeno esistere uno dei dueautovalori Er − hν e Er + hν. Ora a causa della forma di H esiste almenoun autovalore E0 tale che non esista l’autovalore E0 − hν. Esiste quindianche l’autovalore E1 = E0 + hν. Allora, ponendo r = 0 nella (2.31), siricava:

h ν |q01|2 =~2

2π2m, (2.34)

cioe

|q01|2 =~

4π2mν. (2.35)

Ponendo r = 1 nella (2.31) si trova che deve esistere anche l’autovaloreE2 = E1 + hν = E0 + 2hν, e si ricava:

|q12|2 =2~

4π2mν. (2.36)

Mediante l’uso ripetuto della (2.31) per induzione si prova che esiste l’auto-valore E0 + nhν, essendo n un intero qualsiasi, e si trova inoltre:

|qn−1,n|2 =n~

4πmν. (2.37)

Segue che la matrice q e, per la (2.24), anche quella della p, hanno tuttii termini nulli ad eccezione di quelli contigui agli elementi della diagonaleprincipale. Essendo ormai note le matrici di q e, per la (refv2-3-8), di p,salvo una indeterminazione inessenziale, uguale ed opposta all’argomentodei complessi coniugati qrs e qsr, prs e psr, possimao costruire la matricedi H e verificare che la condizione (c) e soddisfatta e nello stesso tempodeterminare E0. Per la (2.17) abbiamo:

Hrs =1

2K

∑α

qrα qαs +1

2m

∑α

prα pαs, (2.38)

ovvero, per la (2.24):

Hrs =∑

α

[1

2K +

m

2~2(Er − Eα) (Es − Eα)

]qrα qαs. (2.39)

97


Tutti i termini della sommatoria sono nulli salvo al piu quelli per cui αdifferisce di un’unita tanto da r che da s. Perche α possa assumere un talevalore bisogna che abbia luogo uno dei tre casi:

(I) r = s + 2

(II) r = s = n

(III) r = s − 2.

(2.40)

Nel caso I la sommatoria si riduce a un termine che si ottiene ponendoα = s + 1. Si trova:

Hs+2,s =

[1

2K +

m

2~2(Es+2 − Es+1)(Es − Es+1)

]qs+2,s+1 qs+1,s

=

(1

2K − 2π2 ν2 m

)qs+2,s+1 qs+1s = 0. (2.41)

Analogamente nel caso III, e quindi la matrice e diagonale. Nel caso IIsono diversi da zero due termini della sommatoria che si ottengono ponendoα = r−1 = s−1 = n−1 oppure α = r+1 = s+1 = n+1. Si trova allora:

Hn = En =

[1

2K +

m

2~2(En − En−1)

2

]qn,n−1 qn−1,n

+

[1

2K +

m

2~2(En − En+1)

2

]qn,n+1 qn+1,n. (2.42)

cioe, poiche per le equazioni (2.36) e (2.37):

(En − En−1)2 = (En − En+1)

2 = h2 ν2 (2.43)

qn−1,n qn,n−1 = |qn−1,n|2 =n~

4πmν(2.44)

qn,n+1 qn+1,n = |qn,n+1|2 =(n + 1)~4πmν

, (2.45)

si ricava

En =

(1

2K + 2π2 m ν2

)n~

4πmν

+

(1

2K + 2π2 m ν2

)(n + 1)~4πmν

; (2.46)

98


ed essendo1

2K + 2π2 m ν = K,

si ricava:

En =K

8π2mν(2 n + 1) h =

ν

2(2 n + 1) h = h ν

(n +

1

2

). (2.47)

In particolare:

E0 =1

2h ν. (2.48)

2.4 Riduzione a diagonale di una matrice

Sia H una matrice qualunque Hermitiana; S una matrice tale che si abbia

S S−1 = 1, (2.49)

essendo S−1 definita dalla relazione

S−1rs = S∗sr. (2.50)

La condizione (2.49) si puo allora scrivere:

∑i

Sri S−1is = δrs o

∑i

Sri S∗si = δrs, (2.51)

dove40

δrs =

1, r = s0, r 6= s.

La matrice SHS−1 e la trasformata di H. Avremo

(S H S−1)

rs=

∑i

Sri

(H S−1)

is=

∑i

Sri

∑

k

Hik S−1ks

=∑

i

∑

k

Hik Sri S∗sk; (2.52)

40Nel manoscritto originale la definizione del simbolo di Kronecker e datadall’equazione (2.53).

99


e poiche la matrice W = SHS−1 deve essere diagonale, avremo:∑

i

∑

k

Hik Sri S∗sk = Er δrs. (2.53)

Ponendo a posto di r e s rispettivamente m e l e moltiplicando per Sln siricava: ∑

i

∑

k

Hik Smi S∗lk Sln = Em Sln δml; (2.54)

e sommando rispetto a l:∑

i

∑

k

∑

l

Hik Smi S∗lk Sln = Em Smn. (2.55)

Il primo membro si puo anche scrivere:∑

i

∑

k

∑

l

Hik Smi S∗lk Sln =∑

i

∑

k

Hik Smi

∑

l

S∗lk Sln

=∑

i

∑

k

Hik Smi

∑

l

Skl S∗nl =∑

i

∑

k

Hik Smi δkn

=∑

i

Smi Hin,

e l’equazione (2.55) diventa∑

i

Smi Hin = Em δmn, (2.56)

cioe ∑i

Smi (Hin − δin Em) = 0. (2.57)

Alla formola (2.56), e quindi alla (2.57), si giungera rapidamente sfrut-tando la proprieta associativa del prodotto di matrici. Per dimostrare taleproprieta bastera provare che essendo a, b, e c tre matrici qualunque si ha

(a b) c = a b c. (2.58)

Infatti,

[(a b] c)rs =∑

i

(a b)ri cis =∑

i

∑

k

ark bki cis

=∑

k

ark

∑i

bki cis =∑

k

ark (b c)ks

= [a (b c)]rs = (a b c)rs ; c.d.d.

100


Dalla relazione

S H S−1 = W, (2.59)

si ricava allora

W S =(S H S−1) S = S H S−1 S = S H, (2.60)

da cui discende immediatamente l’equazione (2.56).

Se la matrice e finita e comprende solo N righe e colonne, variando nella(2.57) l’indice n da 1 a N , si ottengono N equazioni lineari ed omogeneetra gli N elementi della riga n-esima di S e poiche gli Smn non possonoessere tutti nulli, a causa della (2.51), dovra essere nullo il determinantedei coefficienti di tali equazioni omogenee. Dovra cioe aversi:

det

H11 − Em H12 H13 . . . H1N

H21 H22 − Em H23 . . . H2N

H31 H32 H33 − Em . . . H3N

. . .HN1 HN2 HN3 . . . HNN − Em

= 0

(2.61)Segue che la matrice W non puo contenere in diagonale che le radici della(2.61). Se le radici sono distinte si puo formare la W con tutte le Ein diagonale. La S si puo allora costruire mediante la (2.57). Infatti,risolvendo l’accennato sistema di equazioni lineari si determinano, a menodi un fattore costante, gli elementi della riga n di S; il fattore costanteviene poi fornito dalla normalizzazione imposta dalla (2.51). Si possonocosı trovare tutte le righe di S, ognuna delle quali e coordinata a una delleradici della (2.61). Si dimostra allora che la condizione di ortogonalita frale righe di S richiesta dalla (2.51), e automaticamente soddisfatta purcheH sia Hermitiana. Se q radici coincidono si puo in infiniti modi costruireq righe di S coordinate alle q radici coincidenti.41

41Nel manoscritto originale, dopo questo paragrafo, l’Autore progetto di scri-vere un paragrafo sui polinomi di Laguerre. Tuttavia, tale nuovo paragrafo nonvenne mai scritto.

101


2.6 Quantizzazione ondulatoria di unpunto attratto con forza costanteverso una parete perfettamenteelastica

Consideriamo il movimento in una sola direzione, normale alla superficieelastica. Se x e la distanza dalla parete e g l’accelerazione a cui e soggettoil punto, l’energia potenziale si puo scrivere:

U =

m g x, x > 0∞, x < 0

(2.62)

e l’equazione di Schrodinger

d2ψ

dx2+

2m

~2(E − m g x) ψ = 0, x > 0

ψ = 0, x ≤ 0

. (2.63)

Supponiamo che ψ sia una soluzione di tale equazione corrispondente all’au-tovalore E. Posto:

x1 = (m g x − E) 3√

2/(m~2g2). (2.64)

La (2.63) diventa, se si considera ψ come funzione di x1:

d2ψ

dx21

= x1 ψ

ψ(x1 = α) = 0

(2.65)

dove42

α = −E 3√

2/(m~2g2).

La funzione ψ deve inoltre essere regolare e finita per α < x1; ma questacondizione determina completamente, come vedremo, a meno di una co-stante di proporzionalita la ψ come funzione di x1. Se F (x1) e una tale

42La seconda equazione (2.65) corrisponde a ψ(x = 0) = 0; ovviamente, lafunzione d’onda si annulla anche per x < 0 o x1 < α.

102


funzione, la seconda parte delle condizioni (2.65) si esprime dicendo che αe uno zero della funzione ψ. Se dunque α e uno qualunque di tali zeri, siottengono tutti i possibili livelli energetici dalla relazione:

E = −α 3√

m~2g2/2. (2.66)

Possiamo anche calcolare il modulo di periodicita dell’azione relativaal modello puntiforme, che indicheremo semplicemente con S. Cio serviraa confrontare i risultati della meccanica ondulatoria con quelli a cui con-ducono le condizioni di Sommerfeld. Avremo

S = 2

∫ E/mg

0

m

√2

m(E −mgx) dx =

4

3g

√2

mE3/2. (2.67)

Ovvero, eliminando E mediante la (2.66):

S

h=

2

3π(−α)3/2 , (2.68)

mentre le condizioni di Sommerfeld darebbero:

S/h = n, (2.69)

(n intero positivo o nullo).Vediamo ora di costruire effettivamente la funzione F (x) = y. Due

soluzioni particolari della (2.65) sono (vedi paragrafo 2.32):

M = 1 +1

2·3 x3 +1

2·3·5·6 x6 +1

2·3·5·6·8·9 x9 + . . .

N = x +1

3·4 x4 +1

3·4·6·7 x7 +1

3·4·6·7·9·10x10 + . . .

(2.70)

La soluzione generale e una combinazione di M e di N e poiche M ed Ntendono all’infinito per x →∞, dovra essere, a meno di un fattore costante:

y = M − λ N, (2.71)

essendo

λ = limx→∞

M

N. (2.72)

Che λ sia finito lo proveremo tra poco; che poi y tenda effettivamente azero per x →∞, e con sufficiente rapidita, si dimostra nel modo seguente.Poniamo una soluzione qualunque della (2.65) sotto la forma:

y = eu. (2.73)

103


Avremo

u′′ + u′2 = x (2.74)

e al limite per x grandissimo,

u′ = ±√x. (2.75)

Il segno superiore corrisponde a soluzioni infinite d’ordine infinitamentegrande, mentre il segno inferiore corrisponde a soluzioni infinitesime d’or-dine infinitamente grande. Ora si constata facilmente che lo sviluppo di usecondo le potenze discendenti di

√x e identico, a meno di una costante

additiva, per tutte le y che tendono all’infinito; segue che il limite delrapporto tra due soluzioni che tendono all’infinito e una costante diversada zero. Ma se y ha la forma (2.71) abbiamo:

limx→∞

y

M= lim y →∞ =

M − λN

M= 0, (2.76)

e y tende quindi a zero d’ordine infinitamente grande. Per determinare λcominciamo a porre:

ϕ(0) = 1; ϕ(3) =1

2·3 ; ϕ(3n) =1

2·3·5·6·s(3n− 1)·(3n). (2.77)

Allora avremo

M = ϕ(0) + ϕ(3) x3 + ϕ(6) x6 + ϕ(9) x9 . . . (2.78)

Possiamo definire ϕ(x) per ogni x > −2 valendoci dell’equazione fun-zionale:

ϕ(x + 3) =ϕ(x)

(x + 2)(x + 3)(2.79)

e stabilendo di calcolare ϕ(x) al limite per x grandissimo mediante interpo-lazione lineare logaritmica fra ϕ(3n) e ϕ(3n + 3) essendo 3n < x < 3n + 3.Al limite avremo evidentemente:

x2/3ϕ(x + 1)

ϕ(x)= 1 (2.80)

o piu generalmente

limx2α/3ϕ(x + α)

ϕ(x)= 1, (2.81)

104


da cui si deduce facilmente:

limx→∞

ϕ(0) + ϕ(3)x3 + ϕ(6)x6 + ϕ(9)x9 + . . .

ϕ(α)xα + ϕ(α + 3)xα+3 + ϕ(α + 6)xα+6 + . . .= 1 (2.82)

(α > −2).In particolare,

limx→∞

ϕ(0) + ϕ(3)x3 + ϕ(6)x6 + ϕ(9)x9 + . . .

ϕ(1)x + ϕ(4)x4 + ϕ(7)x7 + ϕ(10)x10 + . . .

= limx→∞

M

ϕ(1) N= 1, (2.83)

da cui λ = ϕ(1). Sotto forma di prodotto infinito [vedi la voce (3) nelparagrafo 3.7]:

λ3 = [ϕ(1)]3 =1

2·4

2·753

·72·10

83·102·13

113·132·16

143·s, (2.84)

da cui si ricava

λ = ϕ(1) =3√

3Γ(2/3)

Γ(1/3)=

3√

3

2

(2/3)!

(1/3)!= 0.729. (2.85)

Abbiamo dunque

F (x) = ϕ(0) − ϕ(1) x + ϕ(3) x3 − ϕ(4) x4 + ϕ(6) x6 − ϕ(7) x7 + . . .(2.86)

Per x > 0 si ha sempre F (x) > 0; F ′(x) < 0; F ′′(x) > 0. Per x < 0 F siannulla infinite volte. Badando all’equazione differenziale di F , si dimostraovviamente che se αn e αn+1 sono due zeri consecutivi con αn > αn+1 valela relazione

αn − αn+1 =π√ξ, essendo αn+1 < − ξ < αn. (2.87)

Segue:

Sn+1 − Sn

h=

√ξ1

ξ, essendo αn+1 < − ξ1 < αn. (2.88)

Per grandi numeri quantici si avra:

(Sn+1 − Sn) /h = 1, (2.89)

105


in accordo con le condizioni di Sommerfeld. Il primo zero di F si ha per43

−α1 ' 2.33 (2.90)

a cui corrisponde:44

S1 ' 0.76 h

λ =3√

3

Γ

(2

3

)

Γ

(1

3

) =3√

3

2

2

3!

1

3!

= 0.729(2.91)

2.7 Hamiltoniana relativista per ilmovimento di un elettrone

Sia ϕ il potenziale scalare e Vx, Vy, Vz le componenti del potenziale vettore.Posto

C0 = ϕ, C1 = − i Vx, C2 = − i Vy, C3 = − i Vz,

x0 = i c t, x1 = x, x2 = y, x3 = z,

ds2 =∑

i dx2i ,

e consideriamo nello spazio-tempo l’azione45:

cP

i=

∫mc2 ds + e

∫Ci dxi. (2.92)

Avremo:

δ

(cP

i

)=

∫mc2 xi dδxi + e

∫Ci dδxi + e

∫∂Ci

∂xjδxj dxi, (2.93)

43Un calcolo piu preciso fornisce −α1 ' 2.33811.44In realta il calcolo accurato da un valore di S1 ' 7.49 h.45In questo paragrafo, l’Autore ha adottato la convenzione di somma sugli indici

ripetuti.

106


cioe:

δ

(cP

i

)=

[(mc2 xi + e Ci

)δxi

]b

a−

∫mc2 xi δxi ds

− e

∫∂Ci

∂xjδxi xj ds + e

∫∂Ci

∂xjδxj xi ds. (2.94)

La condizione perche P sia stazionaria e:

mc2 xi = e

(∂Cj

∂xi− ∂Ci

∂xj

)xj , (2.95)

che si scinde nelle quattro equazioni:

d

dt

mc2

√1− v2/c2

= − e

c

(∂Cx

∂t

∂x

∂t+

∂Cy

∂t

∂y

∂t+

∂Cz

∂t

∂z

∂t

)

− e

(∂ϕ

∂x

∂x

∂t+

∂ϕ

∂y

∂y

∂t+

∂ϕ

∂z

∂z

∂t

)

d

dt

m dx/dt√1− v2/c2

= − e∂ϕ

∂x− e

c

∂Cx

∂t+

e

c

dy

dt

(∂Cy

∂x− ∂Cx

∂y

)

− e

c

dz

dt

(∂Cx

∂z− ∂Cz

∂x

)

d

dt

m dy/dt√1− v2/c2

= − e∂ϕ

∂y− e

c

∂Cy

∂t+

e

c

dz

dt

(∂Cz

∂y− ∂Cy

∂z

)

− e

c

dx

dt

(∂Cy

∂x− ∂Cx

∂y

)

d

dt

m dz/dt√1− v2/c2

= − e∂ϕ

∂z− e

c

∂Cz

∂t+

e

c

dx

dt

(∂Cx

∂z− ∂Cz

∂x

)

− e

c

dy

dt

(∂Cz

∂y− ∂Cy

∂z

),

che sono appunto le equazioni del movimento dell’elettrone. Data una su-perficie qualunque (che puo anche ridursi a un punto), l’azione P calcolata

107


su una linea che termina in un punto determinato e parte da un puntodella superficie tale che la δP al limite inferiore sia stazionaria, e una fun-zione del posto. Spostando il limite superiore di un vettore di un vettoreinfinitesimo (dx0, dx1, dx2, dx3), la variazione di P essendo stazionariaper limiti fissi e stazionaria al limite inferiore, si riduce alla variazione allimite superiore; cioe, per la (2.94)) si riduce a:

d (cP/i) =(mc2 xi + e Ci

)dxi, (2.96)

cioe:

dP = − mc2

√1− v2/c2

dt − e ϕ dt +

(m√

1− v2/c2

dx

dt− e

cCx

)dx

+

(m√

1− v2/c2

dy

dt− e

cCy

)dy

+

(m√

1− v2/c2

dz

dt− e

cCz

)dz. (2.97)

Definiamo come momenti coniugati a t, x, y, z le espressioni

pt = − mc2

√1− v2/c2

− e ϕ = −W

px =m√

1− v2/c2

dx

dt+

e

cCx

py =m√

1− v2/c2

dy

dt+

e

cCy

pz =m√

1− v2/c2

dz

dt+

e

cCz.

(2.98)

Dalla (2.97) segue allora che

∂P

∂t= −W = pt,

∂P

∂x= px,

∂P

∂y= py,

∂P

∂z= pz. (2.99)

I quattro momenti (2.98) sono legati dalla relazione:

−(

W

c− e

cϕ

)2

+(px − e

cCx

)2

108


+(py − e

cCy

)2

+(pz − e

cCz

)2

+ m2c2 = 0. (2.100)

La (2.100) puo considerarsi, a meno del fattore 1/2m, come la Hamilto-niana del sistema. Infatti, detto τ il tempo proprio, si ha, se M e il primomembro della (2.100) diviso per 1/2m,

∂M

∂pt= − ∂M

∂W=

1√1− v2/c2

=dt

dτ= t (2.101)

∂M

∂px=

1√1− v2/c2

dx

dt=

dx

dτ= x (2.102)

∂M

∂py= y,

∂M

∂pz= z (2.103)

∂M

∂t=

e√1− v2/c2

∂ϕ

∂t− e

c

1√1− v2/c2

dCx

dt

dx

dt

− e

c

1√1− v2/c2

dCy

dt

dy

dt− e

c

1√1− v2/c2

dCz

dt

dz

dt

=e

c

1√1− v2/c2

[dϕ

dt− 1

c

(dCx

dt

dx

dt+

dCy

dt

dy

dt+

dCz

dt

dz

dt

)

− ∂ϕ

∂x

dx

dt− ∂ϕ

∂y

dy

dt− ∂ϕ

∂z

dz

dt

]

= edϕ

dτ+

d

dτ

mc2

√1− v2/c2

=dW

dτ= W = − pt (2.104)

∂M

∂x=

e√1− v2/c2

∂ϕ

∂x

− e

c

1√1− v2/c2

(∂Cx

∂x

dx

dt+

∂Cy

∂x

dy

dt+

∂Cz

∂x

dz

dt

)

=e√

1− v2/c2

∂ϕ

∂x+

e

c

1√1− v2/c2

∂Cx

∂t

− e

c

1√1− v2/c2

dy

dt

(∂Cy

∂x− ∂Cx

∂y

)

+e

c

1√1− v2/c2

dz

dt

(∂Cx

∂z− ∂Cz

∂x

)− e

c

1√1− v2/c2

dCx

dt

109


= − e√1− v2/c2

d

dt

(m√

1− v2/c2

dx

dt+

e

cCx

)

= − dpx

dτ= − px, (2.105)

e analogamente per y e z.In tutto cio che precede si e attribuito a e il suo valore algebrico; speci-

ficando che si tratta di elettroni negativi e indicando ora con e il valoreassoluto della carica, le equazioni (2.98) e (2.100) diventano

pt = − mc2

√1− v2/c2

+ e ϕ = −W

px =m√

1− v2/c2

dx

dt− e

cCx

py =m√

1− v2/c2

dy

dt− e

cCy

pz =m√

1− v2/c2

dz

dt− e

cCz;

(2.106)

−(

W

c+

e

cϕ

)2

+(px +

e

cCx

)2

+(py +

e

cCy

)2

+(pz +

e

cCz

)2

+ m2c2 = 0. (2.107)

110


2.8 Funzione di Fermi 7

x ϕ(x) −ϕ′(x)

0 1 1.580.05 0.936 1.150.1 0.882 0.9950.2 0.793 0.790.3 0.721 0.660.4 0.660 0.560.5 0.607 0.490.6 0.561 0.430.7 0.521 0.380.8 0.486 0.340.9 0.453 0.311 0.424 0.29

x ϕ(x)

1.1 0.3981.2 0.3741.3 0.3531.4 0.3331.5 0.3152 0.243

2.5 0.1933 0.157

3.5 0.1294 0.1085 0.0796 0.0597 0.0468 0.036

x ϕ(x)

9 0.02910 0.02412 0.01714 0.01216 0.00918 0.00720 0.005625 0.003430 0.002240 0.001150 0.000660 0.000480 0.0002100 0.0001

ϕ′′ =ϕ3/2

√x

, ϕ(0) = 1, ϕ(∞) = 0. (2.108)

7L’argomento di questo paragrafo e piu comunemente noto come la funzionedi Thomas-Fermi. L’Autore qui si riferisce a E. Fermi, Z. Phys. 48 (1928) 73.Come Majorana ottenga i valori numerici della funzione di Thomas-Fermi ripor-tati nella tabella che segue non e chiaro; tuttavia essi risultano molto precisi.

111


Posto:8

t = 1 − 1

12

√x3 ϕ (2.109)

ϕ = exp

∫u(t) dt

(2.110)

si trova:

du

dt=

16

3(1− t)+

(8 +

1

3(1− t)

)u

+

(7

3− 4t

)u2 − 2

3t(1− t) u3 (2.111)

u(0) = ∞ (2.112)

ϕ = exp

∫ t

1

u(t) dt

. (2.113)

Se invece si pone9

t = 144−1/6 x1/2 ϕ1/6 (2.114)

8L’Autore cerca una soluzione parametrica dell’equazione di Thomas-Ferminella forma

x = x(t), ϕ = ϕ(t),

dove t e un parametro. A questo punto, esegue il cambio di variabili rappre-sentato dalle equazioni (2.109) e (2.110). Schematicamente, il metodo e allorail seguente: Si considerino x e ϕ come funzioni di t, date rispettivamente dalleequazioni (2.109) e (2.110) (in maniera implicita). Successivamente, si calcolinoda esse le loro derivate prime e seconde rispetto a t, e si sostituiscano i risultatinell’equazione di Thomas-Fermi (2.108); si noti che questa equazione contienederivate di ϕ rispetto a x. Il risultato e un’equazione differenziale del primo-ordine(del tipo di Abel) per la funzione incognita u(t), cioe la (2.111). Le condizioni ailimiti (2.108) sono infine prese in considerazione nelle equazioni (2.112) e (2.113).

9Nel seguito di questo paragrafo vengono considerate solo le sostituzioni in(2.114) e (2.115). Si noti che il metodo usato qui dall’Autore e alquanto differenteda quello precedente, sebbene sia molto simile. L’Autore considera la descrizioneparametrica di x e ϕ:

x = x(t), ϕ = ϕ(x(t))

(si noti che ora ϕ dipende da t solo tramite x). Quindi il problema viene rifor-mulato in termini di t e u(t) usando le equazioni (2.114) e (2.115). La proceduraadottata e la seguente: si calcola la derivata rispetto a t dell’equazione (2.115)[considerando ϕ = ϕ(x(t))] e si sostituisce in essa l’equazione di Thomas-Fermi

112


u = − 3√

16/3 ϕ−4/3 ϕ′ (2.115)

vale la seguente relazione:

du

dt= 8

tu2 − 1

1− t2u. (2.116)

Per x = 0, si ha: t = 0, u(0) = − 3√

16/3 ϕ′0.Per x = ∞, dallo sviluppo asintotico di ϕ si trova u = 1, t = 1. Iltratto della u corrispondente alla ϕ e limitato fra i punti di ascissa t = 0 et = 1. Questo tratto puo essere ottenuto da uno sviluppo in serie sempreconvergente a partire dall’estremo di destra. Precisamente posto t1 = 1−t,si ha:10

u = a0 + a1 t1 + a2 t21 + a3 t31 + . . . (2.117)

(2.108). Allora dall’equazione (2.114) si ottiene x (e la sua derivata rispetto t), laquale viene sostituita nella relazione appena ottenuta. Il risultato e un’equazionedifferenziale del primo-ordine per u(t) (con le condizioni ai limiti riportate neltesto), che viene risolta mediante uno sviluppo in serie (vedi sotto). Una voltaottenuta u(t), l’Autore non deduce l’espressione per la funzione di Thomas-Fermiϕ dalle equazioni (2.114) e (2.115), ma di nuovo cerca una soluzione parametricadel tipo

x = x(t), ϕ = ϕ(t),

ponendo

ϕ(t) = exp

∫w(t)dt

,

in cui w(t) e una funzione che puo essere espressa in termini di u(t) sostituendol’espressione di sopra per ϕ(t) nelle equazioni (2.114) e (2.115). Il risultato fi-nale e espresso dalle equazioni (2.120) e (2.121), dove si tiene conto anche dellecondizioni ai limiti.

10Nel manoscritto originale gli esponenti della variabile t1 vengono dimenticati.

113


in cui a0 = 1, a1 = 9 − √73, e gli altri coefficienti si calcolano con la

relazione ricorrente lineare nell’ultimo:11

m∑n=0

1

2[(m− n + 1) am−n+1 (δn − (an − 2 an−1 + an−2))

+ (n + 1) an+1 (δm−n − (am−n − 2 am−n−1 + am−n−2))

+16 am−n an − 8 (am−n an−1 + an am−n − 1)] = 0. (2.118)

I primi coefficienti valgono:12

a0 ' 1.000000, a1 ' 0.455996 (3),a2 ' 0.304455, a3 ' 0.222180 [796],a4 ' 0.168212 (4), a5 ' 0.129804,a6 ' 0.101300, a7 ' 0.0796351,a8 ' 0.0629230, a9 ' 0.0499053,

a10 ' 0.0396962.

Se nello sviluppo (2.117) si pone t1 = 1 si ricava per la (2.115):

−ϕ′0 =

(3

16

)1/3

(1 + a1 + a2 + . . .) . (2.119)

La serie di destra e a termini positivi e a convergenza geometrica; il rap-porto di un termine e il precedente tende a circa 4/5.

11L’Autore ha risolto per serie la (2.116); sostituendo (2.117) nella (2.116), siottiene una relazione iterativa per i coefficienti a1, a2, a3, . . . (il primo coefficientea0 e dato dalla condizione al limite per x = 0). Usando questa procedura, siottiene la relazione iterativa riportata nella (2.118). Stranamente, questa risultadiversa da quella riportata nel manoscritto originale, ossia:

a1(an − 2an−1 + an−2) + 2a2(an−1 − 2an−2 + an−3)

+3a3(an−2 − 2an−3 + an−4) + . . . + nan(a1 − 2a0)

+8(a0an + a1an−1 + . . . + ana0)

−8(a0an−1 + a1an−2 + . . . + an−1a0) = 0.

Tuttavia, la restante discussione e i risultati presenti nel manoscritto sono tutticorretti; cio potrebbe indicare che l’eventuale errore di scrittura sia stato causatosemplicemente da una svista. Si noti pure che, come affermato dall’autore, leequazioni che determinano i coefficienti a2, a3, . . . sono lineari; mentre l’equazioneper a1 e quadratica, e si deve scegliere la soluzione piu piccola, cioe, a1 = 9−√73.

12Nel manoscritto originale vengono riportati solo i primi cinque coefficienti.

114


Dalla u si passa all’equazione parametrica della ϕ con sole quadrature.Si trova:

ϕ = exp

−

∫ t

0

6ut

1− t2udt

(2.120)

x = t2(

144

ϕ

)1/3

. (2.121)

Gli altri coefficienti dello sviluppo sono:13

a11 ' 0.0396962, a12 ' 0.0252838,a13 ' 0.0202322, a14 ' 0.0162136,a15 ' 0.0130101, a16 ' 0.0104518,a17 ' 0.00840558, a18 ' 0.00676660,a19 ' 0.00545216, a20 ' 0.00439678.

2.9 Il potenziale infratomico senzastatistica

A una soluzione di prima approssimazione del problema della distribuzionedegli elettroni negli atomi pesanti, si puo giungere nel modo seguente: Siprescinda dalle inversioni del sistema periodico e si supponga che tutte leorbite siano circolari; allora si avranno per il principio di Pauli 2 elettroniin orbita circolare di quanto 1, 8 elettroni in orbita di quanto 2 . . . 2n2

elettroni in orbita di quanto n. Se Z e il numero atomico sara:

Z =

n∑1

2n2 (2.122)

e limitandoci al caso limite di Z grandissimo,

Z =2

3n3. (2.123)

13Nel manoscritto originali mancano i valori numerici di tutti questi coefficienti.

115


Il p-esimo elettrone si trovera in un’orbita di quanto

Q = 3√

3p/2; (2.124)

e poiche su esso agisce la carica efficace Z − p la sua distanza dal nucleosara:

r =~2 (3p/2)2/3

m e2 (Z − p). (2.125)

Ovvero se si pone:

x1 =r

µ1=

1

2

r

µ

(π

2

)2/3

' x

1.480, (2.126)

essendo14

µ1 =~2 (3/2)2/3

m e2 Z1/3' 6.93×10−9 Z−1/3 (2.127)

e come e noto:

µ =(3π)2/3 ~2

27/3 m e2 Z1/3' 4.7×10−9 Z−1/3, (2.128)

e inoltre

V1 =Ze

rϕ1, (2.129)

si ricava:

x1 =(1− ϕ1 + xϕ′1)

2/3

ϕ1 − xϕ′1. (2.130)

Infatti,Z − p

Z= ϕ1 − x ϕ′1. (2.131)

Se si pone15

t = ϕ1 − x ϕ′1 (2.132)

e quindi

x1 =(1− t)2/3

t, (2.133)

14Il valore numerico riportato nel manoscritto originale e leggermente differente:6.96×10−9. Come gia detto, qui vengono riscritte tutte le equazioni in terminidella costante ridotta di Planck ~, invece di usare h.

15Qui l’Autore ha applicato lo stesso metodo usato nella sezione precedente(un cambio di variabile) per trovare la funzione ϕ1 (una variante di quella diThomas-Fermi).

116


si avra, tenuto conto che ϕ1(∞) = 0,16

ϕ1 = −x1

∫ x1

∞

t

x2dx (2.134)

ed eseguendo l’integrazione:

ϕ1 =9

4t

[1 − (1 − t)2/3

]− 3

2+

t

4, (2.135)

che insieme con l’altra:

x = 2

(2

π

)2/3(1− t)2/3

t, (2.136)

fornisce l’equazione parametrica della ϕ1 nelle unita introdotte da Fermi.E interessante il confronto con la ϕ di Fermi (vedi tabella).17

x ϕ ϕ1

0 1 10.1 0.883 0.8830.2 0.793 0.7930.3 0.722 0.7210.4 0.660 0.6600.5 0.607 0.6080.6 0.562 0.5640.7 0.521 0.5250.8 0.486 0.4910.9 0.453 0.4621 0.424 0.4352 0.243 0.276

Si deduce da tale confronto che il nostro metodo approssimativo da per ladensita degli elettroni in prossimita del nucleo un valore di circa un sesto

16Infatti si noti che

− t

x2= − ϕ1

x2+

ϕ′1x

=d

dx

ϕ1

x.

17Nel manoscritto originale mancano i valori numerici corrispondenti a x =0.2, 0.4, 0.5, 0.7, 0.8, 0.9. Si noti che alcuni valori numerici per ϕ sono legger-mente differenti da quelli riportati nella tabella del paragrafo precedente.

117


minore del vero e per il potenziale delle sole cariche negative in vicinanzadel nucleo un valore minore del vero per circa il 4%. Ancora il potenzialeche abbiamo determinato in via approssimativa e presso che esattamenteutilizzabile per le serie K e L e con lieve errore anche con la serie M .Esso da invece indicazioni errate per le regioni piu esterne dell’atomo. Lacausa e duplice: si sono trascurate le inversioni del sistema periodico e sisono sostituite con orbite circolari le orbite allungate che nel caso di campifortemente non coulombiani, quali si hanno nelle zone meno profonde, sono,a parita di quanti totali, essere piu interne di quelle circolari.

Sviluppo della ϕ e della ϕ1:

ϕ = 1 − 1.58 x +4

3x3/2 + . . . , (2.137)

ϕ1 = 1 − 1.52 x + 1.11 x3/2 + . . . . (2.138)

2.10 Applicazione del potenziale di Fermi

In un atomo pesante, se si assume come unita di carica quella del nucleo ecome unita di 1/µ essendo al solito

µ =(3π)2/3 ~2

27/3 m e2 Z1/3= 4.7×10−9 Z−1/3, (2.139)

il potenziale alla distanza x vale:

V =ϕ

x(2.140)

e il campo:

E =ϕ− xϕ′

x2. (2.141)

Cio significa che oltre la distanza x esiste una carica negativa ϕ− xϕ′.Vediamo ora come si possa calcolare statisticamente l’energia poten-

ziale cinetica dell’atomo. Cominciamo prima a stabilire una relazione frala tendenza iniziale della ϕ e l’energia totale; cio servira di verifica al calcolo

118


diretto dell’energia potenziale cinetica. Dall’espressione di µ, si ricava chel’energia dell’atomo e proporzionale alla potenza 7/3 del numero atomico:

ε = K Z7/3. (2.142)

Se dal numero atomico Z, passiamo al numero α = log Z il differenziale dienergia sara:

dε =7

3ε dα. (2.143)

Possiamo immaginare di compiere tale passaggio aggiungendo al nucleouna carica positiva Ze dα e aumentando il numero degli elettroni di Z dα.Nelle nostre unita perche Ze = 1 bastera supporre di portare nel nucleo unacarica dα, e di aggiungere all’esterno tanti elettroni da formare un’ugualecarica negativa. Se si suppone come e verosimile che i numeri quantici deglielettroni preesistenti non vengano alterati18 (non basta a cio il principiodelle adiabatiche) e si bada che la variazione dell’energia per introduzionedi nuovi elettroni nella regione piu esterna e infinitesima del secondo ordine,la conservazione di energia si scrivera:

dε = V ′0 dα, (2.144)

in cui V ′0 e il potenziale del nucleo dovuto alle sole cariche elettroniche.

Ora la densita lineare delle cariche negative alla distanza x e xϕ′′ e quindi:

V ′0 =

∫ ∞

0

1

xx ϕ′′ dx = ϕ′0. (2.145)

Dalle equazioni (2.143), (2.144), e (2.145) si deduce:

ε =3

7ϕ′0. (2.146)

Il calcolo dell’energia potenziale e immediato; supposto di portare glielettroni all’infinito con flusso costante da ogni punto e proporzionale alladensita iniziale, il potenziale alla distanza x variera linearmente dal valoreϕ/x al valore 1/x. L’energia potenziale e quindi:

U = −∫ ∞

0

1 + ϕ

2xxϕ′′ dx = ϕ′0 +

1

2

∫ ∞

0

ϕ′2 dx. (2.147)

18∗ Anche se questa ipotesi non fosse esatta, le conclusioni che abbiamo dedottoda essa sarebbero ancora valide perche, in ogni caso, le variazioni di energiasarebbero del secondo ordine.

119


Se invece vogliamo considerare la somma dell’energia potenziale dei singolielettroni avremo:

U1 = −∫ ∞

0

ϕ

xxϕ′′ dx = ϕ′0 +

∫ ∞

0

ϕ′2 dx. (2.148)

Meno semplice e il calcolo dell’energia cinetica; esso si fonda sul fattoche benche in un gas perfetto non si possa parlare di pressioni si puotuttavia considerare una fittizia omografia degli sforzi formalmente identicaa quella dei fluidi ordinari. Poiche tale omografia deve avere un asse disimmetria secondo la direzione radiale dovremo limitarci a considerare unapressione radiale p′ ed una pressione trasversale p′′. Le equazioni dellastatica si riducono allora all’espressione:

4π

[x2 dp′

dx+ 2x

(p′ − p′′

)]= − ϕϕ′′

x+ ϕ′ϕ′′. (2.149)

Indicando con t′ l’energia cinetica dovuta alla velocita radiale e con t′′

quella dovuta alla velocita trasversa, valgono le relazioni:

p′ = 2T ′ (2.150)

p′′ = T ′′. (2.151)

Allora la (2.149), moltiplicandone i due membri per x/2, da:

4π

(x3 dt′

dx+ 2x2 t′ − x2 t′′

)=

1

2(−ϕϕ′′ + x ϕ′ϕ′′); (2.152)

moltiplicando per dx e integrando tra 0 e ∞, si ricava l’espressione dell’e-nergia cinetica:

T =

∫ ∞

0

4π(t′ + t′′

)dx = − 1

2ϕ′0 − 1

4

∫ ∞

0

ϕ′2 dx. (2.153)

Dalle equazioni (2.147) e (2.153) si deduce:

ε = T + U =1

2ϕ′0 +

1

4

∫ ∞

0

ϕ′2 dx (2.154)

T

U= − 1

2. (2.155)

120


Confrontando la (2.146) con la (2.154) si deduce:19

∫ ∞

0

ϕ′2 dx = − 2

7ϕ′0. (2.156)

Le equazioni (2.147), (2.148), e (2.153) assumono quindi la forma sempli-cissima:

U =6

7ϕ′0 (2.157)

U1 =5

7ϕ′0 (2.158)

T = − 3

7ϕ′0 (2.159)

T

U= − 1

2(2.160)

T

U1= − 3

5. (2.161)

La somma delle energie di tutti gli elettroni considerati separatamente, cheindicheremo con ε1 = T + U1, vale i 2/3 dell’energia totale dell’atomo:

ε =3

7ϕ′0, ε =

2

7ϕ′0; (2.162)

e passando dalle nostre unita convenzionali a quelle ordinarie ed espri-mendo l’energia in unita di Rydberg (2.15×10−11 erg):

ε =48 ϕ′0

7 (6π)2/3Z7/3 ' − 1.53 Z7/3 (2.163)

ε1 =32 ϕ′0

7 (6π)2/3Z7/3 ' − 1.02 Z7/3. (2.164)

Il confronto di quest’ultima relazione con l’esperienza mostra che essa da, invalore assoluto, valori un po’ superiori al vero. Cio dipende dal fatto che la

19Il manoscritto originale contiene, a questo punto, il seguente paragrafo: “Nonho potuto dimostrare direttamente questa relazione con metodo matematico.Comunque, ho direttamente verificato che e corretta entro un’approssimazionedell’1%. Le formole che seguono sono esatte se la (2.156) e esatta; altrimentisono soltanto approssimate.” Questo paragrafo e stato successivamente cancel-lato, mentre appare la scritta “dimostrata”.

121


statistica da in prossimita del nucleo una densita infinita, mentre in realtaper Z finito si ha una densita finita. Per gli elementi meno pesanti di cui siconoscono dati sperimentali, l’errore equivale circa al termine fondamentaledi uno degli elettroni piu profondi. Per gli elementi piu pesanti l’errorerelativo e notevolmente minore anche per effetto della correzione relativistache agisce in senso opposto.

2.11 Curva statistica dei terminifondamentali negli atomi neutri

Assunte al solito come unita di lunghezza µ e come unita di carica quelladel nucleo, il numero degli elettroni compresi fra la distanza x e x+dx dalnucleo vale:

Z x ϕ′′dx, (2.165)

e l’energia potenziale di uno di essi:

U = − 1

Z

ϕ

x. (2.166)

Degli elettroni (2.165) hanno un’energia cinetica T < −kU (k < 1), unnumero:

Z x ϕ′′ k3/2 dx (2.167)

Segue che gli elettroni il cui termine e minore di T sono:

nT =

∫ ∞

0

Z x ϕ′′(

1 − x

ϕy

)3/2

dx, y =T

Z(2.168)

e posto: α = nT /Z:

α =

∫ ∞

0

x ϕ′′(

1 − x

ϕy

)3/2

dx

=

∫ ∞

0

√x (ϕ − x y)3/2 dx = F−1(y) (2.169)

y = F (α). (2.170)

122


E poiche T = Zy e manifestamente il termine del (Zα)-esimo elettrone, siricava l’espressione generale del termine dell’ennesimo elettrone, suppostodi ordinare gli elettroni secondo i termini decrescenti:

T = Z F (α), con α = n/Z; (2.171)

e passando alle unita ordinarie, esprimendo cioe i termini in unita di Ryd-berg:

T =16

(6π)2/3Z4/3 F (α) = 2.2590 Z4/3 F (α). (2.172)

α F (α) α F (α) α F (α) α F (α)

0.02 0.018 0.07 0.200.04 0.020 0.08 0.250.06 0.025 0.09 0.300.08 0.030 0.10 0.350.10 0.035 0.12 0.400.12 0.040 0.14 0.450.14 0.050 0.16 0.500.16 0.060 0.18 0.55

2.12 Quinte potenze 20

x x5

3.1 286.293.2 335.543.3 391.353.4 454.353.5 525.223.6 604.663.7 693.443.8 792.353.9 902.244.0 1024.

x x5

4.1 1158.564.2 1306.914.3 1470.084.4 1649.164.5 1845.284.6 2059.634.7 2293.454.8 2548.044.9 2824.755.0 3125.

x x5

5.1 3450.255.2 3802.045.3 4181.955.4 4591.655.5 5032.845.6 5507.325.7 6016.925.8 6563.575.9 7149.246.0 7776.

20Nel manoscritto originale mancano i numeri alla quinta potenza con secondacifra dispari, cosı come quelli da 8.5 a 10.0.

123


x x5

6.1 8445.966.2 9161.336.3 9924.366.4 10737.426.5 11602.916.6 12523.336.7 13501.256.8 14539.346.9 15640.317.0 16807.

x x5

7.1 18042.297.2 19349.187.3 20730.727.4 22190.077.5 23730.477.6 25355.257.7 27067.847.8 28871.747.9 30770.568.0 32768.

x x5

8.1 34867.848.2 37073.988.3 39390.418.4 41821.198.5 44370.538.6 47042.708.7 49842.098.8 52773.198.9 55840.599.0 59049.

x x5

9.1 62403.219.2 65908.159.3 69568.849.4 73390.409.5 77378.099.6 81537.279.7 85873.409.8 90392.089.9 95099.0010. 100000

2.13 Molecola biatomica a nuclei uguali

Sia xy una sezione meridiana, x l’asse della molecola, y, la traccia dell’equa-tore. Siano ancora V1 e V2 i potenziali che sarebbero dovuti rispettivamentea ciascuno dei due atomi se fossero isolati. Posto il potenziale effettivo sottola forma

V = V1 + V2 − α2V1V2

V1 + V2, (2.173)

α deve obbedire all’equazione

∆2 V = V 3/2, (2.174)

124


trascurando la costante di proporzionalita a causa di una conveniente sceltadelle unita. Supposto per approssimazione che il valore di α dipenda solodalla distanza dal centro della molecola e volendo che la Eq. (2.174) sisoddisfatta sul piano equatoriale, si trae l’equazione differenziale

V 3/2 = ∆2 V, (2.175)

in cui:

V = (2 − α) V1, (2.176)

∆2 V = 2 ∆2 V1 −(

∆22V1V2

V1 + V2

)α

− 2

(V1

y+

∂V1

∂y

)dα

dy− V1

d2α

dy2. (2.177)

Le costanti si determinano in modo che α(0) sia finito e sia anche finito (eprecisamente uguale a 1) il limite di α per y = ∞.

L’ipotesi che α dipenda solo dalla distanza dal centro della molecola epero eccessivamente lontana dal vero.

2.14 Seste potenze 21

x x6

1.1 1.81.2 3.1.3 4.81.4 7.51.5 11.41.6 16.81.7 24.11.8 34.1.9 47.2. 64.

x x6

2.1 85.82.2 113.42.3 148.2.4 191.12.5 244.12.6 308.92.7 387.42.8 481.92.9 594.83. 729.

x x6

3.1 887.53.2 1073.73.3 1291.53.4 1544.83.5 1838.33.6 2176.83.7 2565.73.8 3010.93.9 3518.74. 4096.

21Nel manoscritto originale mancano i numeri alla sesta potenza con secondacifra dispari, cosı come quelli da 1.1 a 2.9 e da 8.5 a 10.0.

125


x x6

4.1 4750.14.2 5489.4.3 6321.44.4 7256.34.5 8303.84.6 9474.34.7 10779.24.8 12230.64.9 13841.35. 15625.

x x6

5.1 17596.35.2 19770.65.3 22164.45.4 24794.95.5 27680.65.6 30841.5.7 34296.45.8 38068.75.9 42180.56. 46656.

x x6

6.1 51520.46.2 56800.26.3 62523.56.4 68719.56.5 75418.96.6 82654.6.7 90458.46.8 98867.56.9 107918.27. 117649.

x x6

7.1 128100.37.2 139314.17.3 151334.27.4 164206.57.5 177978.57.6 192699.97.7 208422.47.8 225199.67.9 243087.58. 262144.

x x6

8.1 282429.58.2 304006.78.3 326940.48.4 351298.8.5 377149.58.6 404567.28.7 433626.28.8 464404.18.9 496981.39. 531441.

x x6

9.1 567869.39.2 606355.9.3 646990.29.4 689869.89.5 735091.99.6 782757.89.7 832972.9.8 885842.49.9 941480.110. 1000000

126


2.15 Settime potenze 22

x x7

1.1 1.91.2 3.61.3 6.31.4 10.51.5 17.11.6 26.81.7 41.1.8 61.21.9 89.42. 128.

x x7

2.1 180.12.2 249.42.3 340.52.4 458.62.5 610.42.6 803.22.7 1046.2.8 1349.32.9 1725.3. 2187.

x x7

3.1 2751.33.2 3436.3.3 4261.83.4 5252.33.5 6433.93.6 7836.43.7 9493.23.8 11441.63.9 13723.14. 16384.

x x7

4.1 19475.44.2 23053.94.3 27181.94.4 31927.84.5 37366.94.6 43581.84.7 50662.34.8 58706.84.9 67822.35. 78125.

x x7

5.1 89741.15.2 102807.25.3 117471.15.4 133892.55.5 152243.55.6 172709.55.7 195489.75.8 220798.45.9 248865.16. 279936.

x x7

6.1 314274.36.2 352161.56.3 393898.16.4 439804.76.5 490222.86.6 545516.16.7 606071.26.8 672298.96.9 744635.37. 823543.

22Nel manoscritto originale mancano i numeri alla settima potenza con secondacifra dispari, cosı come quelli da 1.1 a 2.9 e da 8.5 a 10.0.

127


x x7

7.1 909512.7.2 1003061.37.3 1104739.97.4 1215128.7.5 1334838.97.6 1464519.57.7 1604852.37.8 1756556.97.9 1920390.98. 2097152.

x x7

8.1 2287679.28.2 2492854.78.3 2713605.18.4 2950903.58.5 3205770.98.6 3479278.28.7 3772547.98.8 4086756.8.9 4423133.59. 4782969.

x x7

9.1 5167610.29.2 5578466.9.3 6017008.79.4 6484775.99.5 6983373.9.6 7514474.89.7 8079828.49.8 8681255.39.9 9320653.510. 10000000

2.16 Potenziale nell’atomo in secondaapprossimazione

Dalla relazione statistica fra potenziale efficace e densita23

ρ = K (V − C)3/2 (2.178)

dall’equazione di Poisson a cui obbedisce il potenziale locale: :

∆22 V0 = − 4π ρ, (2.179)

e dalla relazione approssimativamente verificata, nel caso dell’atomo Z io-nizzato n volte:

∆2 V =Z − n− 1

Z − ngrad 2 V0 (2.180)

si deduce eliminando la (2.179):

∆2 V = − 4π ρZ − n− 1

Z − n(2.181)

e il potenziale nell’interno dello ione:

V =Ze

rϕ

(r

µ

)+ C, (2.182)

23Qui C e una costante di integrazione; vedi nel seguito.

128


essendo:

µ = 0.47 Z−1/3

(Z − n

Z − n− 1

)2/3o

A (2.183)

ϕ′′ =ϕ3/2

√x

, ϕ(0) = 1 (2.184)

−x0 ϕ′(x0) =n + 1

2, ϕ(x0) = 0 (2.185)

C =(n + 1)e

µx0. (2.186)

2.17 Polarizzabilita dell’atomo

Il potenziale all’interno di un atomo in prima approssimazione o in seconda(come mostrato nella sezione precedente) soddisfa a un’equazione del tipo:

∆2 V = K (V − C)3/2 . (2.187)

Poniamo l’atomo in un campo debole E. A causa della dipendenza reci-proca tra le variazioni delle grandezze atomiche e il campo,24 finche questoe debole, si deduce:

δV = − f(r) E r cos(r·E) (2.188)

δC = 0. (2.189)

Supponiamo il campo −E diretto secondo l’asse x. Avremo:

V1 = V + E x f(r) (2.190)

grad 2 V1 = grad 2 V + E(xf ′′(r) + 3

x

rf ′(r)

)(2.191)

(V1 − C) = (V − C) + E x f(r) (2.192)

(V1 − C)3/2 = (V − C)3/2 +3

2(V − C)1/2 E x f(r) + . . . (2.193)

24Il manoscritto originale e alterato, per cui la nostra interpretazione e soloplausibile.

129


f ′′(r) + 31

rf ′(r) =

3

2K (V − C)1/2 f(r) (2.194)

r3/2 f ′′(r) + 3 r1/2 f ′(r) =3

2K (V − C)1/2 r3/2 f(r) (2.195)

posto:

y = r3/2 f(r), f(r) =y

r3/2(2.196)

y′′ =3

2

(K√

V − C +1

2r2

)y (2.197)

e la (2.190) diventa:

V1 = V +x

r3/2y E. (2.198)

La condizione che sia finito f(0) permette di ottenere f o y a meno di unfattore costante. Questo si determina esprimendo che il valore medio di−∂V/∂x sulla superficie dello ione e uguale a −E, cioe, al campo esterno.Tale condizione si scrive:

f(r0) +1

3r0 f ′(r0) = 1. (2.199)

Il momento elettrico dello ione vale:

M = E r30 (1 − f(r0)) . (2.200)

2.18 Sviluppi e integrali di Fourier

(1) Per x > 0, abbiamo

e−kx =

∫ ∞

0

4k

k2 + 4πν2cos(2πνx) dν

=

∫ ∞

0

8πν

k2 + 4πν2sin(2πνx) dν

=

∫ ∞

−∞

2k

k2 + 4πν2e2πνix dν

=

∫ ∞

−∞

1

2i

8πν

k2 + 4πν2e2πνix dν;

130


invece, per x < 0, i quattro integrali valgono rispettivamente: e+kx,−e+kx, e+kx, −e+kx.Ancora, per x > −α:

e−kx = ekα

∫ ∞

−∞

2k

k2 + 4πν2e2πνi(x+α) dν

= ekα

∫ ∞

−∞

1

2i

8πν

k2 + 4πν2e2πνi(x+α) dν, etc.

facendo tendere α → ∞ si ricaccia sempre piu indietro la disconti-nuita nel punto x = −α.

(2) Abbiamo:

e−kx2= 2

√π

k

∫ ∞

0

e−π2ν2/k cos(2πνx) dν

e−x2= 2

√π

∫ ∞

0

e−π2ν2cos(2πνx) dν

=1√π

∫ ∞

0

e−w2/4 cos(wx) dw.

(3) Abbiamo:

1

π

∫ ∞

−∞

sin[2π(ν − ν0)a]

ν − ν0e2πνix dν =

e2πν0ix, x2 < a2

0, x2 > a2

1

π

∫ ∞

−∞

(sin[2π(ν − ν0)a]

ν − ν0+

sin[2π(ν + ν0)a]

ν + ν0

)cos(2πνx) dν

=

cos(2πν0x), x2 < a2

0, x2 > a2

1

π

∫ ∞

−∞

(sin[2π(ν − ν0)a]

ν − ν0− sin[2π(ν + ν0)a]

ν + ν0

)sin(2πνx) dν

=

sin(2πν0x), x2 < a2

0, x2 > a2

131


Se a = k/2ν0, essendo k intero, gli integrali diventano

(−1)k 1

π

∫ ∞

−∞

sin(kπν/ν0)

ν − ν0e2πνix dν

(−1)k 1

π

∫ ∞

−∞

2ν0 sin(kπν/ν0)

ν2 − ν20

cos(2πνx) dν

(−1)k 1

π

∫ ∞

−∞

2ν0 sin(kπν/ν0)

ν2 − ν20

sin(2πνx) dν.

2.19 Corpo nero

Sia E l’energia emessa per cm2 e per unita di tempo, e Eν e Eλ la stessaenergia per unita di frequenza o di lunghezza d’onda. Si ha25

E(T ) =

∫ ∞

0

Eν(ν, T ) dν =

∫ ∞

0

Eλ(λ, T ) dλ (2.201)

Eν =2πhν3

c2

1

ehν/kT − 1(2.202)

Eλ =2πc2h

λ5

1

ehc/λkT − 1, (2.203)

dove

Eλ =c

λ2Eν (2.204)

Eν =c

ν2Eλ. (2.205)

Allora26 (si veda la (1.360)):

E(T ) =

∫ ∞

0

2πhν3

c2

dν

ehν/kT − 1


26Il valore numerico riportato nel manoscritto originale e leggermente differente(5.55) da quello qui riportato (5.67).

132


=2πk4T 4

c2h3

∫ ∞

0

1

ehν/kT − 1

(hν

kT

)3

d

(hν

kT

)

=2πk4T 4

c2h3

π4

15=

2

15

π5

c2h3k4T 4

' 5.67× 10−5 T 4 erg

cm2s= 5.67× 10−12 T 4 W

cm2. (2.206)

Energia per unita di volume:

E′ =4

cE =

8

15

π5

c3h3k4T 4. (2.207)

Pressione di radiazione (nel caso di equilibrio termico con l’ambiente; seil corpo non si trova circondato da altri corpi neri allo zero assoluto o ingenerale in uno spazio libero da altre radiazioni, dividere per 2)27

p =1

3E′ =

4

3

E

c=

8

45

π5

c3h3k4T 4 ' 2.52× 10−15 T 4 erg

cm3. (2.208)

2.20 Teoria dell’irraggiamento

In uno spazio Ω chiuso da pareti riflettenti la radiazione esistente si puoscomporre secondo le frequenze caratteristiche. Il numero di tali frequenzecomprese fra ν e ν + dν e, tenendo conto che la radiazione di una determi-nata frequenza si puo decomporre in due componenti polarizzate rettilin-earmente

dN = Ω8πν2

c3dν. (2.209)

Cio significa che la densita delle onde nello spazio (volumi × frequenze ori-entate) vale 2/c3. Considerando un’onda stazionaria come rappresentanteun possibile stato stazionario di un quanto di luce, si ha indicando con E

27Il valore numerico riportato nel manoscritto originale (2.47) e leggermentedifferente da quello qui riportato (2.52).

133


l’energia del quanto, di modo che E = hν: 28

dN = Ω8πE2

c3h3dE. (2.210)

D’altra parte, se α1, α2, α3 sono i coseni di direzione della traiettoria delquanto, si ha:

px =E

ccos α1, py =

E

ccos α2, pz =

E

ccos α3, (2.211)

e quindi:

dN =8πΩ

h3(p2

x + p2y + p2

z) d√

p2x + p2

y + p2z, (2.212)

cioe la densita degli stati stazionari nello spazio delle fasi e, per il gas diquanti di luce 2/h3, esattamente come per un gas di elettroni. L’analogianon va piu oltre perche il primo obbedisce alla statistica di Einstein, ilsecondo a quella di Fermi. Sia:

C = C0 sin (2πνt− α) A (2.213)

in cui A e un vettore unitario, C0 una funzione del posto, e α una costante,il potenziale vettore relativo a una particolare frequenza. Avremo

C = uA, con u = C0 sin (2πνt− α) , (2.214)

Indicheremo con u e C0 i valori quadratici medi di tali grandezza nel volumeΩ. Avremo:

u = C0 sin (2πνt− α) . (2.215)

L’energia totale del campo elettrico al tempo t e:

We =Ω

8π

4π2ν2

c2C

20 cos2 (2πνt− α) =

Ω

8π

u′2

c2, (2.216)

e quindi l’energia magnetica:

Wm =Ω

8π

4π2ν2

c2C

20 sin2 (2πνt− α) =

Ω

8π

4π2ν2

c2u2. (2.217)


134


L’energia totale diventa:

W =Ω

8πc2

(4π2ν2 u2 + u′2

). (2.218)

Poniamo:

q = u

√Ω

4πc2=

u

2c

√Ω

π; (2.219)

si ricava:

W = π2ν2 q2 +1

2q2 (2.220)

e ponendo:

p =∂W

∂q= q, (2.221)

troviamo

W =1

2

(p2 + 4π2ν2 q2) . (2.222)

che puo considerarsi come l’Hamiltoniana del sistema.Ponendo:

Hs =1

2

(p2

s + 4π2ν2 q2s

),

in cui l’indice s = 1, 2, 3, . . . numera tutte le possibili onde stazionarie, eH0 = W0 essendo la Hamiltoniana di un atomo posto entro Ω, la Hamilto-niana complessiva trascurando l’interazione sara:

H =

∞∑s=0

Hs = W. (2.223)

Possiamo invece intendere che in H0 sia compresa l’interazione; perevitare confusione poniamo: H ′

0 = H0 + interazione. La forma da darea H ′

0 in prima approssimazione, e quando si consideri un solo elettroneluminoso, si deduce dall’Hamiltoniana relativistica dell’elettrone29 (si vedail paragrafo 2.6):

W0 = −e ϕ +1

2mp2

i +e

mcpi Ci = H0 +

e

mcpi Ci. (2.224)

E indifferente porre pi Ci o Ci pi perche: pi Ci−Ci pi = (h/2πi)div C = 0,essendo ϕ (potenziale interno all’atomo) costante e quindi

div C = − 1

c

∂ϕ

∂t= 0.

29Ovviamente, l’Autore ha assunto qui H′0 = W0.

135


L’Hamiltoniana totale, tenuto conto dell’interazione, diventa:

W =

∞∑s=0

Hs +

∞∑i=1

e

mcpi Ci. (2.225)

Supponiamo che all’origine dei tempi lo spazio Ω sia libero da radiazione;l’elettrone descrivera, classicamente, un movimento smorzato. Possiamoritenere in prima approssimazione che il suo movimento sia periodico; for-malmente basta introdurre nell’Hamiltoniana dei piccoli termini correttividipendenti solo dal tempo e dalle p e q dell’elettrone. Scomponiamo inarmoniche il suo movimento e consideriamone una, diretta secondo l’assex. Nello sviluppo di px , di frequenza ν0, comparira un termine:

p0x = p0 sin (2π ν0 t + β) . (2.226)

Tralasciando le altre armoniche e fissando l’attenzione sull’oscillatore elet-tromagnetico s, l’Hamiltoniana si puo scrivere:

W =1

2

(p2

s + 4π2ν2s q2

s

)+

e

mcCs

x p0x

+termini indipendenti da qs e ps. (2.227)

Csx e la componente del potenziale vettore secondo potenziale!vettore x, e

sara in un determinato punto dello spazio proporzionale a qs. Poniamo:

Cxs = bx

s qs. (2.228)

In generale, bs e funzione del posto. Ritenendo che le oscillazioni dell’e-lettrone siano di piccola ampiezza rispetto alle lunghezze d’onda emesse,si puo supporre bs costante e uguale al valore che essa assume nel centrodell’atomo. Il valore medio del suo quadrato vale statisticamente, cioequando se ne prenda la media per molte frequenze vicine:30

bx2s =

1

3

u2s

q2s

=4

3

πc2

Ω. (2.229)

Sostituendo nella (2.227) le equazioni (2.228) e (2.226):

W =1

2

(p2

s + 4π2ν2s q2

s

)+

e

mcbsx p0 sin (2πν0t + β) qs

+terminiindipendenti da qs e ps. (2.230)

30La seguente formula e ottenuta mediando il quadrato della (2.228) e us-ando le equazioni (2.215) e (2.219). Si noti che nel manoscritto originale mancal’esponente 2 della us.

136


Si deduce:

qs = ps (2.231)

ps = − 4π2 ν2s qs − e

mcbsx p0 sin (2πν0t + β) (2.232)

qs + 4π2 ν2s qs = − e

mcbsx p0 sin (2πν0t + β) , (2.233)

il cui integrale generale e:

qs = As sin 2πνst + Bs cos 2πνst

− e

mc

bsx p0 sin (2πν0t + β)

4π2(ν2s − ν2

0 ). (2.234)

Supponiamo per semplicita β = 0 e imponiamo la condizione che all’originedei tempi non esistano radiazioni:

qs(0) = qs(0) = 0. (2.235)

Cio equivale a contare i tempi dall’istante −β/2πν0 e a supporre che intale istante lo spazio Ω sia vuoto. Ponendo t1 = t + (β/2πν0) e scrivendonuovamente t al posto di t1 la (2.234) diviene:

qs = As sin 2πνst + Bs cos 2πνst

− e

mc

bsx p0 sin 2πν0t

4π2(ν2s − ν2

0 ), (2.236)

ed e rispetto alla nuova variabile indipendente che devono essere soddisfattele (2.235). Si deduce

Bs = 0, As =ν0

νs

e

mc

bsx p0

4π2(ν2s − ν2

0 ), (2.237)

qs =e

mc

bsx p0 sin 2πν0t

4π2(ν2s − ν2

0 )

(ν0

νssin 2πνst − sin 2πν0t

)

=e

mc

bsx p0 sin 2πν0t

4π2(ν2s − ν2

0 )

(sin 2πνst − sin 2πν0t

− νs − ν0

νssin 2πνst

)

=e

mc

bsx p0 sin 2πν0t

4π2(ν2s − ν2

0 )

(2 cos 2π

νs + ν0

2t sin 2π

νs − ν0

2t

− νs − ν0

νssin 2πνst

). (2.238)

137


Se Ws indica l’energia accumulata al tempo t nell’oscillatore s l’energiatotale accumulata sara:

∑s

Ws =

∫ νs=M

νs=0

Ws dN =8π

c3

∫ M

0

Ws ν2 Ωdνs. (2.239)

L’integrale va esteso fino a un limite arbitrario ma finito perche nel de-durre le formole precedenti abbiamo ammesso a priori che le lunghezzed’onda eccitate siano di grande lunghezza d’onda rispetto all’ampiezzadell’oscillazione dell’elettrone; e quindi da escludere che le frequenze pos-sano superare qualunque limite. Ora

∑s Ws tende a crescere linearmente

col tempo e quindi a superare qualunque limite; d’altra parte ogni Ws haun massimo come si deduce dalla (2.238), cio che non e in contraddizionecon quanto si e detto, perche se nell’integrale nella (2.239) si sostituisconoalle Ws i loro valori massimi, l’integrale diviene divergente; rimane invececonvergente se dal campo di integrazione si toglie un piccolo intervallo con-tenente ν0. Segue che dopo un tempo abbastanza lungo la massima partedella radiazione emessa sara concentrata in un intervallo di frequenze conte-nenti ν0 piccolo quanto si vuole. Le frequenze νs che interessano differisconodunque poco da ν0, cosı che nella (2.238) sostituiremo a (νs + ν0)/2, ν0.

31

Avremo:

qs =e

mc

b2sp0

8π2ν0(νs − ν0)

×[2 sin π(νs − ν0)t cos 2πν0t − νs − ν0

ν0sin 2πν0t

]. (2.245)

L’ultimo termine e trascurabile poiche, come si vedra, fissato t grande, ilcampo di frequenze in cui la radiazione ha un valore sensibile e dell’ordine di1/t e quindi il primo termine in parentesi e dell’ordine dell’unita in generale,mentre il secondo e piccolo quanto si vuole allorche t tende all’infinito.Segue al limite:

qs =e

mc

bxs p0

4π2ν0

sin π(νs − ν0)t

νs − ν0cos 2πν0t (2.246)

31Il manoscritto originale continua come segue: “Possiamo anche sostituiresin 2π(νs − ν0)/2 con 2π(νs − ν0)/2. Avremo

qs =e

mc

bsp0

4π2(ν2s − ν2

0 )

(2π(νs − ν0)t cos 2πν0t − νs − ν0

ν0sin 2πν0

).

(2.240)

138


ps = − 2πν0e

mc

bxs p0

4π2ν0

sin π(νs − ν0)t

νs − ν0sin 2πν0t (2.247)

Ws =1

2

(p2

s + 4π2ν2s q2

s

)

= 2π2ν20

e2

m2c2

bx2s p2

0

16π4ν20

sin2 π(νs − ν0)t

(νs − ν0)2, (2.248)

∑Ws =

∫2π2ν2

0e2

m2c2

bx2s p2

0

16π4ν20

sin2 π(νs − ν0)t

(νs − ν0)28πν2

0

c3Ωdνs

=Ω

πc3

e2ν20

m2c2p20 bx2

s

∫sin2 π(νs − ν0)

2

(νs − ν0)2dνs

=Ω

πc3

e2ν20

m2c2p20

4

3

πc2

Ωπ2t

=4

3

e2ν20

m2c3π2 p2

0 t. (2.249)

Per il moto dell’elettrone abbiamo:

px = x m, (2.250)

p2x =

m2

4π2ν20

x2 (2.251)

Possiamo supporre ν0t grande, cioe considerare un tempo lungo rispetto al pe-riodo dell’oscillazione; allora il secondo termine nella parentesi di destra e trascur-abile e otteniamo:

qs =e

mc

bsp0t

2π(νs − ν0)cos 2πν0t (2.241)

ps =e

mc

bsp0t

2π(νs − ν0)

(− 2πν0 sin 2πν0t +

cos 2πν0t

t

). (2.242)

Trascurando l’ultimo termine nell’espressione di ps per t grande,

ps = − 2πν0e

mc

bsp0t

2π(νs − ν0)sin 2πν0t; (2.243)

e quindi

Ws =1

2

(p2

s + 4π2ν2s q2

s

)= 2π2ν2

s

e2

m2c2b2sp2

0t2

4π2(ν2s − ν2

0 ). (2.244)

Comunque, le espressioni precedenti non valgono quando la quantita (νs − ν0)t egrande, poiche si e sostituito sin π(νs − ν0)t con π(νs − ν0)t.”

Tuttavia, questa parte e stata cancellata dall’Autore.

139


p20 = 2 p2

x =m2

2π2ν20

x2 (2.252)

e quindi:∑

Ws =2

3

e2x2

c3t (2.253)

e l’energia irradiata nell’unita di tempo:

E =∑

Ws =2

3

e2x2

c3, (2.254)

in accordo con la formola di Balmer. .

2.21 Momento di inerzia della Terra

Se m e la massa della terra, misurata in tali unita che il coefficiente dellaformola di Newton risulti uguale a 1, Ip il momento di inerzia polare, Ie

quello equatoriale, il potenziale della forza di gravita in un punto esternodistante R dal centro O della terra, e tale che il raggio vettore R formi unangolo θ con l’equatore, vale (si veda il paragrafo 1.7):

V =m

R+

1

R3

(I0 − 3

2Iθ

), (2.255)

dove I0 e il momento centrale di inerzia e Iθ il momento di inerzia rispettoad un asse che forma un angolo θ con l’equatore. Poiche:

I0 = Ie +1

2Ip =

3

2Ie +

1

2(Ip − Ie) , (2.256)

Iθ = Ie cos2 θ + Ip sin2 θ = Ie + (Ip − Ie) sin2 θ, (2.257)

segue:

V =m

R+

1

R3(Ip − Ie)

(1

2− 3

2sin2 θ

). (2.258)

Per calcolare Ip e Ie esprimiamo che il potenziale sulla superficie terrestre,tenendo conto della forza centrifuga, e lo stesso al polo e all’equatore. Se

140


re e rp sono il raggio equatoriale e polare il potenziale all’equatore e al polovale rispettivamente in prima approssimazione:

Ve =m

re+

1

2

Ip − Ie

r3+

β

2

m

r(2.259)

Vp =m

rp− Ip − Ie

r3(2.260)

in cui r che figura nei termini correttivi e il raggio medio della terra chesi e sostituito a re, rp o a valori prossimi a questi, poiche per la primaapprossimazione e indifferente. Uguagliando Ve e Vp e ponendo ancoraapprossimativamente:

1

rp− 1

re=

s

r, (2.261)

dove s e lo schiacciamento della terra, si trae:

m

r

(s − β

2

)=

3

2

Ip − Ie

r3(2.262)

Ip − Ie =2

3

(s − β

2

)mr2, (2.263)

e ponendo s = 1/297 e β = 1/289 si trova:

Ip − Ie =1

916mr2; (2.264)

sostituendo nella (2.258) si ricava:

V =m

R+

1

R3

[1

916mr2

(1

2− 3

2sin2 θ

)]. (2.265)

Su un corpo celeste di massa M il potenziale della forza sara:

F = M V =Mm

R+

M

R3

[1

916mr2

(1

2− 3

2sin2 θ

)]. (2.266)

Esistera allora una componente della forza normale al raggio vettore diintensita:

F = − 3

916

Mmr2

R4sin θ cos θ, (2.267)

e la terra sara sottoposta a una coppia raddrizzante:

C =3

916

Mmr2

R3sin θ cos θ. (2.268)

141


Questa coppia tende a spostare l’asse terrestre sul meridiano celeste in cuisi trova l’astro perturbante. Se questo e il sole, tendera ad avvicinare,nei solstizi, l’asse terrestre al polo dell’eclittica. In altri periodi dell’annoil meridiano in cui e contenuta la coppia fara invece un certo angolo conil meridiano normale all’eclittica. Detto ε tale angolo fra meridiano incui e contenuto l’astro e meridiano normale all’eclittica, e detti α e βrispettivamente l’inclinazione dell’asse terrestre e l’arco di eclittica percorsodal sole dopo l’equinozio di primavera, avremo:

ε = 90 + ϕ, (2.269)

dove ϕ e la longitudine misurata come si usa a partire dal meridiano nor-male a quello che contiene il polo dell’eclittica, dal meridiano cioe in cui sitrova il sole all’equinozio, e:

tan ϕ = tan β cos α. (2.270)

Assimilando la terra a un giroscopio, il suo asse si sposta approssima-tivamente in ogni istante normalmente al meridiano che contiene l’astro,con una velocita angolare: :

η =C

Ipω, (2.271)

essendo ω la velocita angolare della terra. La componente normale almeridiano che contiene il polo dell’eclittica vale:

η1 =C

Ipωcos ε = − C

Ipωsin ϕ =

C

Ipω

tan β cos α√1 + tan2 β cos2 α

(2.272)

η2 =C

Ipωsin ε =

C

Ipωcos ϕ =

C

Ipω

1√1 + tan2 β cos2 α

. (2.273)

Sostituendo a C la sua espressione (2.268) e ricordando che: sin θ =sin α sin β, troviamo

η1 =3

916

Mmr2

R3Ipωsin α cos α

tan β sin β√

1− sin2 α sin2 β√1 + tan2 β cos2 α

(2.274)

η2 =3

916

Mmr2

R3Ipωsin α

sin β√

1− sin2 α sin2 β√1 + tan2 β cos2 α

. (2.275)

142


Se si trascura l’eccentricita dell’orbita il valore di η2 e nullo, perchescambiando β in −β, η2 cambia segno.

Considerando α infinitamente piccolo le formole precedenti diventano:

ϕ = β (2.276)

θ = α sin β (2.277)

η =3

916

Mmr2

R3Ipωα sin β (2.278)

η1 =3

916

Mmr2

R3Ipωα sin2 β (2.279)

η2 =3

916

Mmr2

R3Ipωα sin β cos β. (2.280)

Ritenendo l’orbita circolare, il valore medio di η1 e η2 e

η1 =1

2

3

916

Mmr2

R3Ipωα (2.281)

η2 = 0. (2.282)

L’asse terrestre ruota intorno all’asse dell’eclittica con velocita angolaren = η1/ sin α ovvero, poiche si suppone α piccolo:

n =η1

α=

1

2

3

916

Mmr2

R3Ipω=

3

2

M

R3ω

Ip − Ie

Ip. (2.283)

Aggiungendo l’effetto della luna e trascurando la nutazione:

n =3

2

Ip − Ie

Ip

(M

R3ω+

M ′

R′3ω

)(2.284)

da cui

Ip =3

2(Ip − Ie)

(M

R3+

M ′

R′3

)1

n

1

ω. (2.285)

Misurando il tempo in anni/2π:

M

R3= 1,

M ′

R′3=∼ 2.25,

1

n=∼ 25800, ω = 366. (2.286)

Segue:Ip ' 344 (Ip − Ie) (2.287)

143


e, poiche, come si e visto, Ip − Ie = mr2/916:

Ip =344

916m r2 = 0.375 m r2, (2.288)

valore troppo alto, in quanto Ip/(Ip − Ie) = 305.


Riprendiamo l’Hamiltoniana

~i· ∂q

∂r= H0 +

∞∑s=1

(1

2p2

s + 2π2 ν2s q2

s

)+

∞∑s=1

e

mcp× ·bs qs, (2.289)

Essendo bs un vettore32 funzione del posto e tale che il valore medio

|bs|2 =4πc2

Ω. (2.290)

Indicando con ψn l’autofunzione relativa allo stato stazionario ennesimodell’atomo imperturbato, con ψrs

s quella relativa allo stato erresimo dell’oscillatores imperturbato, l’autofunzione relativa all’intero sistema sara, trascurandol’interazione:

ψ =∑

n,r1,r2,...

an,r1,r2,r3,r4,...ri... ψn ψr11 ψr2

2 . . . ψrir . . . , (2.291)

con le a costanti. A causa dell’interazione le a saranno funzioni del tempo,e obbediranno alle equazioni differenziali:

~i

an,r1,r2,... =∑

an′,r′1,r′2,... An,r1,r2,...,n′,r′1,r′2,..., (2.292)

32Si noti che qui l’Autore sta considerando una sorta di generalizzazione di cioche e stato fatto nel paragrafo 2.19. Il potenziale vettore e scritto come C = bq,trattando q come una quantita scalare (in un certo senso).

144


essendo A la matrice dell’interazione. Si ricava immediatamente che pos-sono essere diversi da zero solo quei termini che corrispondono alla vari-azione dello stato dell’atomo e alla variazione di un’unita del numero quan-tico di uno degli oscillatori. Per r′s = rs±1 avremo:

An,r1,r2,...rs...,n′,r1,r2,...r′s...

=e

c2πi (νn − νn′)

(bxsηx

nn′ + bysηy

nn′ + bzsηz

nn′)

×√~(rs + 1/2± 1/2)

4πνsexp 2πi(νn − νn′±νs)t, (2.293)

essendo ηx, ηy, ηz le matrici di polarizzazione secondo x, y, z dell’atomoimperturbato; νn i termini dell’atomo, cioe νn = En/h, ed essendosi inol-tre supposto bs costante.

Supponiamo inizialmente l’atomo nello stato n, e gli oscillatori a livellozero. Bastera supporre tutte lea nulle ad eccezione di:

an,0,0,0,... = 1. (2.294)

Per un tempo abbastanza breve avremo:

an′,0,...,0,1,0,... =i

~An′,0,...,0,1,0,...,n,0,...,0,...

= − e

c

2π

~ νnn′ bs·ηnn′

√~

4πνsexp 2πi(νnn′ − νs)t, (2.295)

essendosi posto νnn′ = νn′ − νn. E quindi:

an′,0,...,0,1,0,... =e

c

i


√~

4πνs

e2πi(νnn′−νs)t − 1

νnn′ − νs, (2.296)

cosicche:

|an′,0,...,0,1,0,...|2 =e2

c2

1

~2ν2

nn′ |bs·ηnn′ |2√

~4πνs

4 sin2 π(νnn′ − νs)t

(νnn′ − νs)2

=e2

c2

ν2nn′

π~νs|bs·ηnn′ |2

sin2 π(νnn′ − νs)t

(νnn′ − νs)2. (2.297)

Poiche il valore medio di |bs·ηnn′ |2 e

|bs·ηnn′ |2 =4

3

πc2

Ω|η|2 (2.298)

145


e il valore di νs e prossimo a νnn′ , la probabilita di trovare l’atomo nellostato n′ sara

P =4

3

e2

c2

πc2

Ω|η|2 νnn′

1

π~

∫8πν2

nn′Ω

c3

sin2 π(νnn′ − νs)t

(νnn′ − νs)2dνs

=64

3

2π5

~e2|η|2ν3

nn′

c3t, (2.299)

e la mortalita dovuta al passaggio n → n′ e:33

dP

dt=

64π4e2ν3nn′ |η|2

3hc3=

16π4e2ν4nn′ |2η|2

3c3

1

hνnn′. (2.300)

2.23 Sulle matrici

Una grandezza fisica A si puo misurare con un operatore lineare che trasformavettori in vettori, in uno spazio a infinite dimensioni. Immaginiamo di fis-sare un sistema d’assi arbitrario e indichiamo con ψ1, ψ2, . . . , ψn, . . . vet-tori unitari diretti secondo tali assi. Essi possono essere anche complessi.In questo caso scriveremo le relazioni di ortonormalita:

ψi·ψ∗k = δik. (2.301)

All’operatore A si puo associare una matrice Ars, che dipende pero dallascelta fatta degli assi coordinati. I suoi elementi34 sono definiti dalla re-lazione:35

A ψs = Ars ψr. (2.304)

33Nell’ultima formula abbiamo reintrodotto la costante di Planck h, come nelmanoscritto originale.

34Si noti che l’Autore indica con lo stesso simbolo l’operatore e la sua matricerappresentativa. Comunque, ogni confusione e evitata notando che una matriceha sempre due indici che indicano esplicitamente la riga e la colonna.

35∗ Si deduce la regola di moltiplicazione:

A B ψs = A Brs ψr = Atr Brs ψt, (2.302)

cioe:(A B)ts = Atr Brs. (2.303)

146


Assumiamo un nuovo sistema di assi e siano χ1, χ2, . . . , χn, . . . i vettoriunitari diretti secondo i nuovi assi. L’operatore S che fa passare dai vettoriψ ai vettori χ, si riduce ad una rotazione nel caso di assi reali. La suamatrice e definita dalla relazione:

χk = Sik ψi (2.305)

e, per la (2.301), che vale anche quando a ψ si sostituisce χ:

Sik S∗il = δkl. (2.306)

Se S−1 e l’operatore inverso di S, avremo:

ψj = S−1kj χk (2.307)

e, sostituendo nella (2.305):

χk = Sik S−1li χl. (2.308)

AlloraSik S−1

li = δkl, (2.309)

relazioni che sono soddisfatte se:

S−1rs = S∗sr. (2.310)

Infatti, in tal caso,Sik S−1

li = Sik S∗il. (2.311)

L’equazione (2.309) si deduce immediatamente dalla relazione

S−1 S = 1, (2.312)

che si puo scrivere appunto:

S−1li Sik = Sik S−1

li = δkl. (2.313)

Dalla condizione (2.312), segue che

Ski S−1il = Ski S∗li = δkl, (2.314)

equazione analoga alla (2.306) ma riferita alle righe anziche alle colonne.Riprendiamo la (2.304) e sostituiamo ai vettori ψ le loro espressioni

date dalla (2.307):A S−1

rs χr = Ars S−1ir χi; (2.315)

147


e ponendo36

A χs = A′rs χr (2.316)

A′ir S−1rs χi = Ars S−1

ir χi, (2.317)

cioe:

A′ir S−1rs = S−1

ir Ars (2.318)

A′ir S−1rs Ssj = S−1

ir Ars Ssj (2.319)

A′ij = S−1ir Ars Ssj . (2.320)

Analogamente, sostituendo la (2.305) nella (2.316), si troverebbe:

A Srs ψr = A′rs Sir ψi (2.321)

Air Srs ψi = A′rs Sir ψi (2.322)

Air Srs = Sir A′rs (2.323)

Aij = Sir A′rs Ssj . (2.324)

Formole simmetriche a quelle scritte piu sopra e che da quelle si deduconoimmediatamente; segue ad esempio dalla (2.320):

Sai A′ij S−1jb = Sai S−1

ir Ars Ssj S−1jb (2.325)

Ars = Sai A′ij S−1jb , (2.326)

identica alla (2.324).Indicando con [A] e con [A′] le matrici corrispondenti all’operatore A

nei due sistemi di coordinate, e con [S] e [S−1] le matrici di elementi Srs eS−1

rs , avremo:

[A] [S] = [S] [A′] (2.327)[A′

]= [S−1] [A] [S]. (2.328)

Abbiamo supposto prima che S sia l’operatore che trasforma i vettori ψnei vettori χ, abbiamo cioe immaginato di poter scrivere:

χi = S ψi. (2.329)

36Si osservi che la (2.316) definisce la matrice (A′rs) che rappresenta l’operatoreA nella base χ.

148


Cio richiede che i vettori χ e ψ siano numerati con lo stesso sistema diindici; ma una tale limitazione non e necessaria. Possiamo percio coor-dinare la matrice [S] non gia a un operatore ma a una semplice funzioneSrs di due variabili, gli indici r e s dei vettori ψr e χs, la quale soddisfialle condizioni:

χs = Srs ψr. (2.330)


Supponiamo ancora l’atomo inizialmente nello stato n e gli oscillatori ariposo. Se esiste un solo stato n′ piu profondo di n potremo in prima ap-prossimazione prescindere dall’esistenza di altri stati stazionari dell’atomo.Facendo poi tendere all’infinito il volume che racchiude il nostro atomo, laprobabilita di trovare eccitata una singola frequenza νs tende a zero; cioepossiamo supporre quasi tutti gli oscillatori a riposo per tutta la duratadell’emissione.37 Avremo per la (2.293):

an′,0,...0,1,0... = − e

c

2π

~ νnn′ bs·ηn′n

×√

~4πνs

e2πi(νnn′−νs)t an,0,...0,0,0... (2.331)

an,0,...0,0,0... =∑

s

e

c

2π


×√

~4πνs

e−2πi(νnn′−νs)t an′,0,...0,1,0.... (2.332)

Possiamo supporre ηnn′ reale e quindi ηnn′ = ηn′n. Vedremo di soddisfarea queste equazioni ponendo: an,0,...0,0,0... = exp−γt/2. Avremo:

an′,0,...0,1,0... = − e

c

2π


37∗ Piu precisamente, escludiamo quegli stati quantici che corrispondono a dueo piu oscillatori eccitati.

149


×√

~4πνs

e2πi(νnn′−νs)t e−γt/2 (2.333)

e quindi:

an′,0,...0,1,0... = − e

c

2π


×√

~4πνs

e2πi(νnn′−νs−γ/2)t − 1

2πi(νnn′ − νs)− γ/2(2.334)

an,0,...0,0,0... = −∑

s

e2

c2

4π2

~2

~4πνs

ν2nn′ |bs·ηnn′ |2

× e−γt/2 − e2πi(νnn′−νs)t

2πi(νnn′ − νs)− γ/2e−γt/2. (2.335)

Supponendo al solito che νs sia prossimo a νnn′ e che la (2.298) valga, etrasformando al limite la somma in un integrale:

an,0,...0,0,0... = − e2

c2

4π2

~2

~4πνs

ν2nn′

4

3

πc2

Ω|ηnn′ |2

× 8πν2nn′

c3Ωe−γt/2

∫e−γt/2 − e2πi(νnn′−νs)t

2πi(νnn′ − νs)− γ/2dνs

= − 32π3e2ν3nn′ |ηnn′ |2

3~c3e−γt/2


2πi(νnn′ − νs)− γ/2dνs; (2.336)

e poiche

an,0,...0,0,0... = − γ

2e−γt/2,

si ricava:

γ

2=

32π3e2ν3nn′ |ηnn′ |2

3~c3


2πi(νnn′ − νs)− γ/2dνs. (2.337)

Basta dimostrare che l’integrale di destra e uguale a 1/2, e cosı38

γ =32π3e2ν3

nn′ |ηnn′ |23~c3

. (2.338)

38Nel manoscritto originale questo paragrafo si chiude con un accenno di calcolodi questo risultato (l’esponenziale complesso e sviluppato in termini delle funzionitrigonometriche). Qui riporteremo solo la seguente parole: “La parte immaginariadell’integrale e indeterminata ma a noi interessa solo la parte reale di γ, poicheessa sola entra nell’espressione di |an|2, che ha solo significato fisico”.

150


2.25 Moto kepleriano piano perturbato

Sia un punto di massa 1 attratto con forza M/r2 verso un centro fisso O.L’equazione della traiettoria e:

r =k

1 + e cos(θ − α), (2.339)

essendo k, e e α costanti. Infatti, se si pone:

k =r2V 2

t

Me =

√(k − r)2V 2

t + k2V 2r

kM

α = θ − arctankVr

(k − r)Vt

= θ − arcsink

re

Vr

Vt= θ − arccos

k − r

re,

(2.340)

essendo Vr e Vt le velocita, radiale e trasversa, e si sostituisce in (2.339)questa risulta identicamente soddisfatta; inoltre le k, e, α date dalla (2.340)sono costanti. Infatti:

k =d

dt

r4θ2

M=

2R3θ

M

(2rθ + rθ

)=

2r3θ

Mat = 0

e =1

e

[− k

r

r2

(k

r− 1

)+

k

Mr r

]

=kr

eM

(r − r θ2 +

M

r2

)=

kr

eM

(ar +

M

r2

)= 0

α = θ − r e Vt

kr

kr

er2= θ − Vt

r= 0.

(2.341)

Si deducono l’espressione del semiasse maggiore:

a =k

1− e2=

k2M

kM − (k − r)2V 2t − k2V 2

r

=k2M

kM − k2V 2 + 2krV 2t − kM

=M

2M/r − V 2

151


=r

2− rV 2/M=

r

2− V 2/V 20

= rV 2

0

2V 20 − V 2

, (2.342)

in cui V =√

V 2r + V 2

t e la velocita totale e V0 =√

M/r e la velocitacorrispondente al moto circolare. Il semiasse minore sara:

b =k√

1− e2=√

k a =r3/2Vt√

M√

2− rV 2/M

=rVt√

2M/r − V 2= r

Vt√2V 2

0 − V 2. (2.343)

Il raggio k normale all’asse maggiore si potra anche scrivere:

k =r2V 2

t

M= r

V 2t

V 20

. (2.344)

La distanza del secondo fuoco dal punto mobile sara:

r′ = 2a − r =r2V 2/M

2 − rV 2/M= r

V 2

2V 20 − V 2

, (2.345)

e il periodo di rivoluzione:

T =2πab

rVt=

2πM(2M/r − V 2)3/2

=2π√M

a3/2. (2.346)

Supponiamo ora che al campo newtoniano si sovrapponga un altrocampo arbitrario, e siano χr e χt le componenti radiale e trasversa dellaforza aggiunta. La (2.339) sara ancora valida intendendo che k, e, α nonsiano costanti. Esse sono funzioni variabili che dipendono da r, θ, Vr e Vt,e sono definite dalle equazioni (2.340). Avremo evidentemente:

k =∂k

∂Vrχr +

∂k

∂Vtχt = 2

r2Vt

Mχt = 2k

χt

Vt(2.347)

e =∂e

∂Vrχr +

∂e

∂Vtχt

=

(2

k − r

eMV 2

t +k

eMV 2

r

)χt

Vt+

k

eMVrχr (2.348)

α =k + r

e2MVr χt − k − r

e2MVt χr, (2.349)

a =2

Ma2 (Vr χr + Vt χt) . (2.350)

152


Supponiamo dati χr e χt in funzione di r, θ e t; a causa della (2.339)potremo esprimerli in funzione di k, e, α, θ e t. Anche Vr e Vt si possonoesprimere mediante le stesse lettere:

Vt =

√kM

r= Vt(k, e, α, θ) (2.351)

Vr = Vtre

Msin (θ − α) = Vr(k, e, α, θ). (2.352)

Sostituendo nelle tre equazioni indipendenti (2.347), (2.348), (2.349) [la(2.350) deriva naturalmente dalle precedenti], si trova:

k = k(k, e, α, θ, t) (2.353)

e = e(k, e, α, θ, t) (2.354)

α = α(k, e, α, θ, t). (2.355)

Occorre quindi un’altra equazione per determinare il moto. Questa e for-nita dalla prima delle equazioni (2.340):

θ =

√kM

r2= θ(k, e, α, θ). (2.356)

Dati i valori iniziali all’istante t0 delle quattro variabili: k0, e0, α0, θ0 leequazioni (2.353)-(2.356) permettono di calcolarne i valori a un istantequalunque. Se la perturbazione e piccola il problema si risolve per succes-sive approssimazioni. Indicando con θ′ il valore che assumerebbe θ in unistante generico e in assenza di perturbazioni, quali risulta dall’equazionedel tempo di Keplero, avremo in approssimazione zero:

θ = θ′, k = k0, e = e0, α = α0. (2.357)

In prima approssimazione: k = k1, e = e1, α = α1, θ = θ1, essendo:

k1 = k0 +

∫ ∞

t0

k(k0, e0, α0, θ′, t) dt

e1 = e0 +

∫ ∞

t0

e(k0, e0, α0, θ′, t) dt (2.358)

α1 = α0 +

∫ ∞

t0

α(k0, e0, α0, θ′, t) dt.

153


Per θ non si puo scrivere una formola analoga, perche nell’espressioneesatta:

θ = θ0 +

∫ ∞

t0

θ(k, e, α, θ, t) dt (2.359)

i due termini del secondo membro sono dello stesso ordine di grandezza,cosicche ponendo a destra un valore approssimato per θ, non se ne ottieneuno piu approssimato a sinistra. Si puo pensare di trasformare la (2.356).Per cio osserviamo che la forma di θ(k, e, α, θ) non dipende dalle forzeperturbative ed e quindi la stessa che si avrebbe in assenza di perturbazioni;avremo quindi evidentemente:

θ′ = θ(k0, e0, α0, θ′); (2.360)

e posto:

θ = θ′ + γ, (2.361)

avremo:

γ = θ(k, e, α, θ) − θ(k0, e0, α0, θ′)

= θ(k, e, α, θ) − θ′ = γ(k, e, α, θ, t). (2.362)

In luogo della (2.356) si utilizzerebbe dunque l’altra:

θ = θ′ + γ(k, e, α, θ, t), (2.363)

ma neanche questa si presta al calcolo per successive approssimazioni,perche ponendo in γ(k, e, α, θ, t) un valore approssimato per θ, non si ot-tiene un valore approssimato per γ e cio perche γ non si annulla, in assenzadi forze perturbanti, se non ponendo per θ il suo valore esatto θ′.

Per calcolare θ1 occorre invece ricavarlo dall’espressione39

t = t0 +

∫ 2π

θ0

dθ1

θ(k′1, e′1, α

′1, θ1)

, (2.364)

in cui si porra

k′1 = k1[θ′(θa)], e′1 = e1[θ

′(θa)], α′1 = α1[θ

′(θa)], (2.365)

39Nel manoscritto originale il limite superiore dell’integrale non e esplicitamentedato.

154


essendo θ′ = θ′(t), t = θ′(θ′), k1 = k1(r), . . . ecc. In generale per l’appros-

simazione n (n > 1) valgono le formole:

kn = k0 +

∫ ∞

t0

k (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt

en = e0 +

∫ ∞

t0

e (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt

αn = α0 +

∫ ∞

t0

α (kn−1, en−1, αn−1, θn−1, t) dt

t = t0 +

∫ 2π

θ0

dθn

θ(k′n, e′n, α′n, θn),

(2.366)

essendo

k′n = kn

(θn−1(θn)

), e′n = en

(θn−1(θn)

), α′n = αn

(θn−1(θn)

)

kn = kn(t), en = en(t), αn = αn(t).

L’ultima delle equazioni (2.366) e giustificata dal fatto che conoscendok, e, α in funzione di t e in approssimazione n (cioe a meno di infinitesimid’ordine maggiore di n, quando le forze perturbative tendono a zero) e tin funzione di θ in approssimazione n − 1, si ricavano k, e e α in funzionedi θ in approssimazione n, in quanto dk/dt, de/dt, dα/dt sono esse stesseinfinitesimi del primo ordine.

Supponiamo ora che le forze perturbanti siano costanti nel tempo, oche si possano considerare come tali per un tratto di tempo lungo rispettoal periodo di rivoluzione; supponiamo inoltre che siano abbastanza piccolecosı che k, e e α varino poco in un periodo. Indicheremo con k, e e αle variazioni secolari di tali grandezze, cioe i valori medi k, e, α sull’interoperiodo. Avremo evidentemente:

k = k(k, e, α, t), e = e(k, e, α, t), α = α(k, e, α, t). (2.367)

La forma delle equazioni (2.367) dipende dalla forma delle funzioni

χr = χr(r, θ, t), χt = χt(r, θ, t), (2.368)

e la dipendenza dal tempo si ha solo quando χr e χt variano col tempo,con la restrizione beninteso che varino lentamente.

155


Facciamo alcuni casi particolari: χt = 0; χr = ε rn. Si deduce dalleequazioni (2.347), (2.348), (2.349),

k = 0, e =k

eMVr ε rn

α =r − k

e2MVt ε rn =

1

e2

√k

M

(rn − k rn−1) ε

(2.369)

e quindi

k = 0, e = 0, α =1

e2

√k

M

(rn − k rn−1

)ε, (2.370)

essendo ovviamente:

rn =(1− e2)3/2

2πkn

∫ 2π

0

dθ

(1 + e cos θ)n+r. (2.371)

si deduce

r−1 =(1 − e2) k−1

r−2 =(1 − e2)3/2

k−2

r−3 =(1 − e2)3/2

k−3

r−4 =(1 − e2)3/2

(1 +

1

2e2

)k−4

r−5 =(1 − e2)3/2

(1 +

3

2e2

)k−5

r−6 =(1 − e2)3/2

(1 + 3 e2 +

3

8e4

)k−6,

(2.372)

156


e40

r =(1 − e2)−1

(1 +

1

2e2

)k

r2 =(1 − e2)−2

(1 +

3

2e2

)k2

r3 =(1 − e2)−3

(1 + 3 e2 +

3

8e4

)k3

r4 =(1 − e2)−4

(1 + 5 e2 +

15

8e4

)k4

r5 =(1 − e2)−5

(1 +

15

2e2 +

45

8e4 +

5

16e6

)k5

r6 =(1 − e2)−6

(1 +

21

2e2 +

105

8e4 +

35

16e6

)k6

r7 =(1 − e2)−7

(1 + 14 e2 +

105

4e4

+35

4e6 +

35

128e8

)k7

r8 =(1 − e2)−8

(1 + 18 e2 +

189

4e4

+105

4e6 +

315

128e8

)k8.

(2.373)

40Nel manoscritto originale mancano le espressioni esplicite per r, r2, . . . , r8.

157


Segue che se

n = 0, α =

√k

Mε

n = −1, α =

√k

M

(1 − e2) 1−√1− e2

e2

ε

k

n = −2, α = 0

n = −3, α = −√

k

M

(1 − e2)3/2 1

2

ε

k3

n = −4, α = −√

k

M

(1 − e2)3/2 ε

k4

n = −5, α = −√

k

M

(1 − e2)3/2

(3

2+

3

8e2

)ε

k5.


Consideriamo due stati quantici dell’atomo di indici 1 e 2 e sia ν la fre-quenza di transizione. Sia A21 la probabilita che un atomo nello stato 2passi spontaneamente e nell’unita di tempo allo stato 1, B21U la proba-bilita che vi passi a causa della radiazione di frequenza ν, esistente nellospazio, essendo U l’energia per unita di frequenza e di volume; sia ancoraB12U la probabilita del passaggio inverso, N1 e N2 il numero degli atominello stato 1 e 2. Avremo in caso di equilibrio:

N1

N2=

A21 + B21U

B12U. (2.374)

Se la temperatura ambiente e T e ammettiamo la legge di Boltzmann si

158


ha:41

N2

N1= e−hν/kT , (2.375)

U =8π

c3

ν3h

ehν/kT − 1, (2.376)

da cui

B128π

c3

ν3h

ehν/kT − 1

= A21 e−hν/kT + B218π

c3

ν3h

ehν/kT − 1e−hν/kT , (2.377)

che e sempre soddisfatta solo se:

B12 = B21, (2.378)

A21 =8π

c3ν3 h B12. (2.379)

Vediamo di dimostrare queste formole in base alla nostra teoria dell’ir-raggiamento. Sia

ψ0 =∑

n,r1,...,rs,...

ψn,r1,...,rs,... an,r1,...,rs,... (2.380)

l’autofunzione in un istante arbitrario. Avremo (prescindendo da tutti glialtri stati quantici oltre 1 e 2)

a1,...,ns+1,... = −∑ e

c

4π2

hν bs·η12

√h(ns + 1)

8π2νs

× exp 2πi(ν − νs)t a2,...,ns−1,..., (2.381)

in quanto si puo ritenere a priori che nel passaggio 2 → 1 venga emessaenergia e di frequenza prossima a ν. Analogamente:

a2,...,ns−1,... =e

c

4π2

hν bs·η12

√hns

8π2ν

× exp 2πi(νs − ν)t a1,...,ns,.... (2.382)


159


Ora

N1 =∑

|a1,...|2 (2.383)

N2 =∑

|a2,...|2 , (2.384)

e quindi

N1 =∑ (

a1,... a∗1,... + a1,... a∗1,...

). (2.385)

Supponiamo pero per semplicita di calcolo che tutte le a1 siano inizialmentenulle. L’equazione precedente sembrerebbe dare Ni = 0, ma si tratta diun risultato illusorio, in quanto si pensa scorrettamente al limite per unnumero di frequenze infinite. Il calcolo va fatto come nel paragrafo 2.21.Ne differisce soltanto perche sotto il segno di radice si pone ns +1 in luogodi 1. Poiche nella formola finale tale radice compare a quadrato avremosolo da moltiplicare il risultato per il valore medio di ns + 1. Indicandocon n il valore medio di ns si trova:

N1 = N264π4ν3e2|η12|2

3hc3(n + 1) . (2.386)

Analogamente se si suppongono inizialmente tutti gli atomi nello stato 1si trova la stessa formola, salvo a scambiare N1 e N2, e a porre n in luogodi n + 1, perche nella (2.382) compare ns e non ns + 1:

N2 = N164π4ν3e2|η12|2

3hc3n. (2.387)

da cui derivano gli A e B di Einstein:

A21 =64π4ν3e2|η12|2

3hc3(2.388)

B21 = B12 =nA21

U=

A21

(8π/c3)ν3h, (2.389)

in accordo con le equazioni (2.378) e (2.379).

160


2.27 Integrali definiti

(Si veda il paragrafo 1.37.)

(13) ∫ 1

0

(1 − x2)n

=1

2n + 1

22nn!2

(2n)!. (2.390)

Per n grande, il primo membro e prossimo a

∫ ∞

0

e−nx2dx =

1

2

√π

n,

da cui segue per n grande:

n!222n

(2n)!=√

πn + . . . , (2.391)

come si deduce immediatamente dalla formola di Stirling (vedi ilparagrafo 1.27).

(14)∫ ∞

−∞

eix

a + ixdx =

2π e−a, a > 0

0, a < 0(2.392)

(15) ∫ ∞

−∞

cos x

a2 + x2dx =

π

ae−a (2.393)

(16) ∫ ∞

−∞

x sin x

a2 + x2dx = π e−a (2.394)

(17) ∫ ∞

−∞

eiax

1 + k2x2dx =

π

ke−a/k, k > 0, a > 0 (2.395)

(18) ∫ ∞

−∞

xeiax

1 + k2x2dx =

iπ

k2e−a/k,

a

k> 0 42 (2.396)

42Piu precisamente, questo risultato vale per a > 0 (mantenendo a/k > 0),mentre per a < 0 abbiamo semplicemente l’opposto.

161


(19) ∫ ∞

−∞eix2

dx =1 + i√

2

√π. (2.397)

(14bis)∫ ∞

−∞

eikx

1 + ixdx =

2π e−k, k > 0

0, k < 0

(2.398)

(20) Ponendo dq1 = dx1dy1dz1, e r1 =√

x21 + y2

1 + z21 , si ha:43

∫e−ar1 dq1 =

8π

a3, a > 0 (2.399)

∫1

r1e−ar1 dq1 =

8π

a3

a

2, a > 0 (2.400)

(21)

dτ = dx1dy1dz1dx2dy2dz2

r12 =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

r1 =√

x21 + y2

1 + z21 , r2 =

√x2

2 + y22 + z2

2 , a, b > 0

∫e−ar1 e−br2 dτ =

64π2

a3b3(2.401)

∫1

r1e−ar1 e−br2 dτ =

64π2

a3b3

a

2(2.402)

∫1

r12e−ar1 e−br2 dτ =

64π2

a3b3

a2 + 3ab + b2

2(a + b)3ab. (2.403)

2.28 Sviluppi in serie

(Si vedano i paragrafi 1.22 e 3.1.)

43Gli integrali che seguono sono calcolati sull’intero asse reale per ogni variabile.

162


(1) Consideriamo la seguente funzione di x:

y =

∞∑n=0

f(n)xn

n!(−1)n. (2.404)

Sotto certe condizioni, si ha:

limx→∞

xry

ex= 0 (2.405)

qualunque sia r. Se f(n) = costante, la (2.405) e sicuramente sod-disfatta. Se f(n) = n, si ha y = −xe−x e la (2.405) e ancora soddis-fatta. Analogamente si prova che e soddisfatta se f(n) = n(n − 1)oppure f(n) = n(n− 1)(n− 2), ecc. . . O anche se f(n) = 1/(n + 1) o1/(n +1)(n +2) o 1/(n +1)(n +2)(n +3), ed ecc. . . Segue allora chela (2.405) e soddisfatta se f(n) e una qualsiasi funzione razionale din o, piu in generale, una funzione di n che da un certo punto in poisia sviluppabile secondo le potenze discendenti di n a partire da unapotenza arbitraria nk (con k intero).L’equazione (2.405) e ancora valida se f(n) puo essere estesa secondole potenze discendenti di n, scalato ad esempio di un’unita, a partireda una potenza irrazionale o razionale nc. In tal caso infatti la serie

y + y′ =∑ f1(n)xn

n!

avra f1(n) sviluppabile a partire da nc−1. Allora fissato comunquer, la (2.405) sara soddisfatta quando in luogo di y si ponga:

y + k y′ +k(k − 1)

2y′′ + . . . + y(k), (2.406)

dipendendo k da r. Ora, se:

limx→∞

xr(z + z′)ex

= 0, (2.407)

cioe essendo α infinitesimo:

z + z′ = α x−r ex, (2.408)

segue:

z = e−x

∫α x−r e2x dx = e−x β x−r e2x = β x−r ex, (2.409)

163


essendo β un altro infinitesimo. Ripetendo k volte il ragionamento,si trova che la (2.405) e anche soddisfatta da y.E ancora valida la (2.405) se f(n) e il prodotto di log n e una funzionealgebrica di n, e cio puo essere provato come si e fatto sopra. Piu ingenerale se:

f(n) − k f(n− 1) +k(k − 1)

2f(n− 2)

− k(k − 1)(k − 2)

6f(n− 3) + . . . ± f(n− k), (2.410)

si puo, scegliendo k opportunamente, rendere y infinitesimo (per ngrande) di un ordine elevato quanto si vuole, e la (2.405) e ancorasoddisfatta.

(2) In prima approssimazione, per n grande e ε/n piccolo si ha:

(n

n/2 + ε

)=

n!

(n/2 + ε)! (n/2 − ε)!= 2n

√2

πne−2ε2/n.

(2.411)

(3) Per x grande, sviluppo (sempre divergente) di θ:

θ(x) =2√π

∫ x

0

e−x2dx

= 1 − 1√π

e−x2(

1

x− 1

2x3+

3

4x5− 15

8x7+

105

16x9− . . .

).

Sviluppo utilizzabile, benche divergente perche fornisce alternativa-mente valori per eccesso e per difetto.

2.29 Teoria dell’irraggiamento: diffusionedell’elettrone libero

Abbiamo considerato le onde stazionarie che si possono formare nel volumeΩ, senza fare nessuna ipotesi ne sulla forma di tale volume, ne su quella

164


delle onde. Per semplicita assumeremo che il potenziale Cs relativo allaradiazione νs sia della forma, compatibile con la (2.219):

Cs =√

4πc2/Ω qs e2πi(γ′sx+γ′′s y+γ′′′s z) As, (2.412)

in cui As e un vettore unitario normale alla direzione di propagazione, ela frequenza sara data da:

νs = c√

γ′2s + γ′′2s + γ′′′2s , (2.413)

e il numero di oscillatori relativo agli intervalli di numeri d’onde γ′s − γ′s +dγ′s, γ′′s − γ′′s + dγ′′s , e γ′′′s − γ′′′s + dγ′′′s , sara:

dN = 2 Ωdγ′s dγ′′s dγ′′′s . (2.414)

Come autofunzione per l’elettrone libero assumeremo:

Un =1√Ω

exp2πi(δ′nx + δ′′ny + δ′′′n z)

, (2.415)

e il loro numero sara:dn = Ωdδ′n dδ′′n dδ′′′n . (2.416)

I movimenti corrispondenti alla (2.415) saranno:

pnx = −h δ′n, pn

y = −hδ′′n, pnz = −hδ′′′n . (2.417)

Analogamente i movimenti dei quanti di luce sono per la (2.412):

psx = −h γ′s, ps

y = −hγ′′s , psz = −hγ′′′s . (2.418)

I termini di interazione di primo e secondo ordine nell’Hamiltoniana com-plessiva saranno (si veda il paragrafo 2.6):

∑s

e

mcp·As

√4πc2

Ωqs e2πi(γ′sx+γ′′s y+γ′′′s z)

+e2

2mc2

4πc2

Ω

∑r,s

qr qs Ar·As e2πi[(γ′r+γ′s)x+(γ′′r +γ′′s )y+(γ′′′r +γ′′′s )z]. (2.419)

Nella matrice di perturbazione hanno importanza solo i termini che derivanodal secondo termine di perturbazione, perche quelli che derivano dal primoo sono piccoli o rapidamente variabili. Trascurando i primi saranno diversi

165


da zero solo gli elementi della matrice corrispondente a un cangiamentoqualunque dell’elettrone e a un mutamento di un numero quantico in suo in giu, di due e due soli oscillatori. Poiche ci interessano solo i terminigrandi e poco rapidamente variabili dovremo ammettere che uno degli os-cillatori, e sia l’erresimo, passi dal numero quantico kr a kr + 1, e l’altro,sia l’essesimo, passi dal numero quantico ks a ks − 1. L’elemento dellamatrice corrispondente a tale passaggio sara:

Bn,kr,ks;n′,kr+1,ks−1 =4πe2

2mΩ2Ar·As

√~(r + 1)

4πνr

√~s

4πνs

×∫

e2πi[(γ′r−γ′s−δ′n+δ′n′ )x+...] dτ e2πi(νn′−νn+νr−νs)t. (2.420)

Supponiamo che il volume di Ω sia un cubo di lato a. Allora l’integralevale in valore assoluto:

sin π(γ′r − γ′s − δ′n + δ′n′)aπ(γ′r − γ′s − δ′n + δ′n′)

sin π(γ′′r − γ′′s − δ′′n + δ′′n′)aπ(γ′′r − γ′′s − δ′′n + δ′′n′)

× sin π(γ′′′r − γ′′′s − δ′′′n + δ′′′n′)a

π(γ′′′r − γ′′′s − δ′′′n + δ′′′n′). (2.421)

Supponiamo inoltre che all’istante iniziale tutti gli atomi si trovino allostato n e gli oscillatori allo stato 0, eccetto l’oscillatore s che e nellostato ks; attribuiremo all’autofunzione corrispondente a questo stato com-plessivo il coefficiente 1 e il coefficiente 0 a tutti gli altri. Per un tempobreve avremo: indicando con an′,1,ks−1 il coefficiente dell’autofunzione cor-rispondente all’atomo nello stato n′, l’oscillatore erresimo nello stato 1, el’oscillatore s nello stato ks − 1,

an′,1,ks−1 =i

~ Bn′,1,ks−1;n,0,ks , (2.422)

cioe, a meno di un fattore costante di modulo 1:

an′,1,ks−1 = Ar·Ase2

2mΩ2

√ks

νrνse2πi(νn−νn′+νs−νr)t

× sin π(γ′r − γ′s − δ′n + δ′n′)aπ(γ′r − γ′s − δ′n + δ′n′)


× sin π(γ′′′r − γ′′′s − δ′′′n + δ′′′n′)a

π(γ′′′r − γ′′′s − δ′′′n + δ′′′n′), (2.423)

166


e quindi:

|an′,1,ks−1|2 = |Ar·As|2 e4

4m2Ω4

ks

νrνs



× sin π(γ′′′r − γ′′′s − δ′′′n + δ′′′n′)a

π(γ′′′r − γ′′′s − δ′′′n + δ′′′n′)

sin π(νn − νn′ + νs − νr)t

π2(νn − νn′ + νs − νr)2. (2.424)

Sommando per tutti i valori di r e n′ e trasformando la somma in unintegrale:

∑

n′,r

|an′,1,ks−1|2 =e4

Ω2m2

ks

νs

∫dγ′sdγ′′s dγ′′′s dδ′ndδ′′n dδ′′′n

|Ar·As|2νs



× sin π(γ′′′r − γ′′′s − δ′′′n + δ′′′n′)a

π(γ′′′r − γ′′′s − δ′′′n + δ′′′n′)

sin π(νn − νn′ + νs − νr)t

π2(νn − νn′ + νs − νr)2. (2.425)

Supponiamo a molto grande. La funzione integranda avra un valore notev-ole solo per le transizioni che soddisfano sensibilmente alla conservazionedella quantita di moto, per le quali cioe:

γ′r − γ′s − δ′n + δ′n′ = 0 (2.426)

(e similmente per gli altri componenti). Integrando rispetto a dγ′r, dγ′′r edγ′′′r , avremo:

∑

n′,r

|an′,1,ks−1|2 =e4

Ω2m2

ks

νs

∫dδ′ndδ′′n dδ′′′n

× |Ar·As|2νs

Ωsin π(νn − νn′ + νs − νr)t

π2(νn − νn′ + νs − νr)2, (2.427)

essendoνr = c

√γ′2r + γ′′2r + γ′′′2r (2.428)

con la γr data dalla (2.426). Supponiamo anche t grande; dovra essere:

νn − νn′ + νs − νr ' 0. (2.429)

167


Potremo quindi limitarci a integrare rispetto a quei valori di δn′ che, at-traverso le equazioni (2.426) e (2.428), soddisfano la (2.429). Per il calcolodell’intensita, riferiamoci a quanti non troppo energici ed elettroni lenti.Sara:

νr ' νs; (2.430)

e se θ e l’angolo fra quanto incidente e quanto diffuso, sara θ sinθ

2l’angolo

che (pn′ − pn) forma con la direzione del quanto incidente. Inoltre:

|Ar·As|2 =1

2− 1

4sin2 θ

2(2.431)

1

~ |pn′ − pn| = − 4πνs

csin

θ

2, (2.432)

cosı che l’integrale nella (2.427) diviene:

∑

n′,r

|an′,1,ks−1|2 =4e4ks

m2Ωc2

∫π cos

θ

2dθ sin2 θ

2

×(

1

2− 1

4sin2 θ

2

)sin2 πcrt sin θ/2

π2c2r2 sin2 θ/2dr

= πt4e4ks

m2Ωc3

∫ π

0

cosθ

2sin

θ

2

(1

2− 1

4sin2 θ

2

)dθ

= πt4e4KS

3m2c3Ω=

4

3

πe4t

m2c3

u

hνs, (2.433)

u, energia per unita di volume.

2.30 Onde di De Broglie

L’espressione

ψ =

∫ ∞

−∞e−i2πγx ei2πνt dγ

α + i 2π(γ − γ0)(2.434)

rappresenta un gruppo d’onde, essendo la velocita di fase:

vf = ν/γ.

168


Se α tende a zero, la (2.434) si riduce a:

ψ = e−i2πγ0x ei2πν0t

∫ ∞

−∞exp i2π(γ − γ0) (t dν0/dγ0 − x)

× d(γ − γ0)

α + i 2π(γ − γ0)

= e−i2πγ0x ei2πν0t

∫ ∞

−∞

eiy dy

2π [(t dν0/dγ0 − x) α + iy]. (2.435)

Facendo tendere α verso zero, si ricava (vedi (2.392)):per α > 0:

ψ =

e−i2πγ0x ei2πν0t, per t dν0/dγ0 − x > 0,

0, per t dν0/dγ0 − x < 0.

(2.436)

che rappresenta un’onda piana limitata fra x = −∞ e x = (dν0/dγ0)t e ilcui fronte anteriore marcia con la velocita di gruppo

vgr =dν0

dγ0; (2.437)

se invece α < 0:

ψ =

0, per t dν0/dγ0 − x > 0,

e−i2πγ0x ei2πν0t, per t dν0dγ0 − x < 0

(2.438)

e rappresenta un’onda piana limitata fra x = (dν0/dγ0)t e x = +∞, il cuifronte posteriore si muovera con la velocita di gruppo (2.437).

2.31 e2 ' hc ?

Consideriamo due elettroni A e B posti a distanza `. L’etere circostante44

sara in qualche modo quantizzato. Possiamo in via d’approssimazione

44Si osservi che l’Autore sembra gia conoscere la nozione di polarizzazione delvuoto.

169


schematizzarlo come un punto materiale muoventesi con la velocita digruppo che sara uguale alla velocita della luce. Supponiamo, il che ealquanto arbitrario, che detto punto si muova perpendicolarmente da Aa B e da B ad A. Supponiamo ancora che esso sia libero durante tutto ilsuo movimento salvo agli estremi dell’intervallo AB nei quali esso invertela propria velocita per urto alternativamente contro l’elettrone A e control’elettrone B. Se esso e quantizzato avremo:

|p| = nh/2` (2.439)

e supponendo n = 1,

|p| = h/2`. (2.440)

Ad ogni urto un elettrone riceve la spinta

2 |p| = h/` (2.441)

e il numero di urti nell’unita di tempo sara:

1

T=

c

2`, (2.442)

cosicche su ogni elettrone agisce una forza continua:

F =2|p|T

=hc

2`2. (2.443)

Se identifichiamo la (2.443) con la legge di Coulomb

F =e2

`2, (2.444)

si trae

e =

√hc

2, (2.445)

valore 21 volte piu grande del vero.

170


2.32 L’equazione y′′ + Py = 0

Se nell’equazione:y′′ + P y = 0 (2.446)

si pone

y = u exp

i

∫(k/u2) dx

, (2.447)

si trae:

y′ =

(u′ + i

k

u

)exp

i

∫(k/u2) dx

(2.448)

y′′ =

(u′′ − k2

u3

)exp

i

∫(k/u2) dx

(2.449)

u′′ − k2

u3+ u P = 0. (2.450)

Dati i valori iniziali y0 e y′0 per x = x0, si ponga:

u0 = |y0|, (2.451)

con che resta fissata la costante additiva (reale) per l’integrale che figuranella (2.447) a meno di multipli di 2π. Si ponga quindi, nell’ipotesi chey0 6= 0:

y′0 =y0

|y0|(

u′0 + ik

|y0|)

. (2.452)

come prescrive la (2.448). Possiamo supporre u′0 e k reali. Allora se Pe reale, l’integrazione della (2.446) con variabili complesse viene ridottaall’integrazione della (2.450) con una variabile reale.

Si noti che, se y′0/y0 e reale, allora k = 0 e la (2.450) si riduce a (2.446).Data una soluzione qualunque della (2.450) con un valore arbitrario di

k, soddisfera non solo la funzione y nella (2.447), ma anche la sua coniugata:

y = u exp

−i

∫(k/u2) dx

, (2.453)

cosicche la soluzione generale alla (2.446) e:

y = u

[A exp

i

∫(k/u2) dx

+ B exp

−i

∫(k/u2) dx

]. (2.454)

171


Se si pone

u1 = u/√

k, (2.455)

si ricava:

u′′1 − 1

u31

+ u1 P = 0, (2.456)

e la soluzione generale sara ancora del tipo:

y = u1

[A exp

i

∫dx/u2

1

+ B exp

−i

∫dx/u2

1

]. (2.457)

Segue che possiamo sempre ridurci al caso k = 1. Quando siano dati ivalori iniziali per y e y′, si potra procedere come in principio, poiche la(2.447) diventa:

y =√

k u1

[i

∫dx/u2

1

], (2.458)

e le costanti√

k, e costanti d’integrazione nonche i valori iniziali u1 0 e u′1 0

si determineranno in base alle equazioni (2.451), (2.452), e (2.455), ovvero,piu comodamente si ricava una soluzione qualunque della (2.456), si fissain modo arbitrario la costante dell’integrale, e si determinano i coefficientiA e B in guisa da soddisfare alle condizioni iniziali per y0 e y′0.

Se P e lentamente variabile, si avra in prima approssimazione che euna soluzione della (2.456) la funzione:

u = P−1/4 (2.459)

e si otterranno le soluzioni generali di prima approssimazione:

y =1

4√

P

(A cos

∫ √Pdx + B sin

∫ √Pdx

), P > 0

y =1

4√−P

[A exp

∫ √−Pdx

+B exp

−

∫ √−Pdx

], P < 0

(2.460)

La condizione che P sia lentamente variabile si precisa dicendo che

∣∣∣∣P ′

P

∣∣∣∣ ¿ 1.

172


Per avere la seconda approssimazione possiamo sostituire a u′′ nella (2.456)il valore che si ottiene ritenendo verificata la (2.459). Cioe: si avra in se-conda approssimazione:

− 1

4P ′′ P−5/4 +

5

16P ′2 P−9/4 − 1

u3+ u P = 0. (2.461)

Ponendo in luogo di u, P−1/4 + ∆u e scrivendo per approssimazione:

1

u3' P 3/4 − 3 P ∆u, (2.462)

la (2.461) diventa

− 1

4P ′′ P−5/4 +

5

16P ′2 P−9/4 + 4 P ∆u = 0, (2.463)

da cui

∆u =1

16P ′′ P−9/4 − 5

64P ′2 P−13/4 (2.464)

u = P−1/4

(1 +

P P ′′ − (5/4) P ′2

16 P 3

). (2.465)

Sempre in via d’approssimazione segue:

1

u2= P 1/2

(1 − P P ′′ − (5/4) P ′2

8 P 3

)(2.466)

∫dx

u2= − P ′

8P 3/2+

∫ √P

(1 − P ′2

32P 3

)dx, (2.467)

e si avranno per y soluzioni del tipo:

y =1

4√

P

(1 +

P P ′′ − (5/4) P ′2

16 P 3

)

×

sincos

[− P ′

8P 3/2+

∫ √P

(1 − P ′2

32P 3

)dx

], (2.468)

corrispondenti a P > 0. Per P < 0 si avranno soluzioni analoghe:

y =1

4√−P

(1 +

P P ′′ − (5/4) P ′2

16 P 3

)

× exp

±

[− P ′

8(−P )3/2+

∫ √−P

(1 − P ′2

32P 3

)dx

](2.469)

173


ovvero ponendo P1 = −P ,

y =1

4√

P1

(1 − P1 P ′′1 − (5/4) P ′21

16 P 31

)

× exp

±

[P ′1

8P3/21

+

∫ √P1

(1 +

P ′2132P 3

1

)dx

]. (2.470)

Supponiamo P < 0 e quindi P1 > 0. La (2.446) si puo scrivere:

y′′ − P y = 0. (2.471)

Poniamo

y = z exp

∫ √P1dx

; (2.472)

avremo:

y′ =(z′ + z

√P1

)exp

∫ √P1dx

(2.473)

y′′ =

[z′′ + 2z′

√P1 + z

(P1 +

P ′12√

P1

)]exp

∫ √P1dx

(2.474)

z′′ + 2z′√

P1 + zP ′1

2√

P1

= 0 (2.475)

z′′

2√

P1 z+

z′

z+

1

4

P ′1P1

= 0. (2.476)

Per P lentamente variabile si puo porre in prima approssimazione:

z = P−1/41 ; (2.477)

e attribuendo a√

P1, il doppio segno si ricade nelle formole (2.460).

Se y1 e una soluzione della (2.447), la soluzione generale e:

y = A y1 + B y1

∫dx

y21

. (2.478)

Infatti posto

y2 = y1

∫dx

y21

,

174


sara:

y′2 = y′1

∫dx

y21

+1

y1

y′′2 = y′′1

∫dx

y21

,

e quindi

0 = y′′2 − y′′1y1

y2 = y′′2 + P y2. (2.479)

2.33 Indeterminazione del potenzialevettore e scalare

Supponiamo dati il campo elettrico e magnetico in una regime dello spazio-tempo. Il potenziale ϕ e C resta alquanto indeterminato e potremo porre:

H = rotC = rotC1 (2.480)

E = − grad ϕ − 1

c

∂C

∂t= grad ϕ1 − 1

c

∂C1

∂t, (2.481)

essendo ϕ1 6= ϕ e C1 6= C. In corrispondenza potremo scrivere dueequazioni d’onda per un elettrone:

[−

(W

c+

e

cϕ

)2

+∑

i

(pi +

e

cCi

)2

+ m2c2

]2

ψ = 0 (2.482)

[−

(W

c+

e

cϕ1

)2

+∑

i

(pi +

e

cC1 i

)2

+ m2c2

]2

ψ1 = 0. (2.483)

Si puo sempre porre:

C1 − C = grad A (2.484)

ϕ1 − ϕ = − 1

c

∂A

∂t, (2.485)

175


essendo A una funzione qualunque dello spazio e del tempo, se non siimpone la cosiddetta condizione di continuita:45

div C +1

c

∂ϕ

∂t= div C1 +

1

c

∂ϕ1

∂t= 0, (2.486)

altrimenti dovra essere

grad 2 A − 1

c2

∂2A

∂t2= 0. (2.487)

Essendo

W exp

i

~e

cA

= exp

i

~e

cA

[W + e (ϕ1 − ϕ)] (2.488)

pi exp

i

~e

cA

= exp

i

~e

cA

[pi +

e

c(C1 i − Ci)

], (2.489)

si deduce(

W

c+

e

cϕ1

)exp

i

~e

cA

= exp

i

~e

cA

(W

c+

e

cϕ

)(2.490)

(W

c+

e

cϕ1

)2

exp

i

~e

cA

= exp

i

~e

cA

(W

c+

e

cϕ

)2

(2.491)

e che(pi +

e

cC1 i

)exp

i

~e

cA

= exp

i

~e

cA

(pi +

e

cCi

)(2.492)

(pi +

e

cC1 i

)2

exp

i

~e

cA

= exp

i

~e

cA

(pi +

e

cCi

)2

. (2.493)

Segue che se ψ e una soluzione della (2.482), sara

ψ1 = ψ exp

i

~e

cA

(2.494)

una soluzione della (2.483). Con cio resta dimostrata l’equivalenza delledue Hamiltoniane, essendo lo spostamento di fase della ψ dato dalla (2.494)privo di significato fisico, in quanto e identico nello stesso punto nello stessoistante per tutte le autofunzioni.

45Questa e meglio conosciuta come la condizione di gauge di Lorentz.

176


2.34 Sulla ionizzazione spontanea di unatomo di idrogeno posto in unaregione a potenziale elevato

Sia un atomo di idrogeno posto nel centro comune di due sfere di raggiR e R + dR. Poniamo sulla prima la carica −Q′/dR e sulla seconda lacarica (Q′/dR) − e (poniamo Q′ = QR); facciamo quindi tendere dR azero. L’elettrone dell’atomo sara sottoposto al potenziale

V = e/x − A, x < R

V = 0, x > R(2.495)

essendo x la distanza dal centro, e A = Q2/R2.46 Assumiamo per sem-plicita, come unita di lunghezza il raggio del primo cerchio di Bohr, comeunita di carica e e come unita d’azione ~/2π. La nostra unita d’energiasara me4/~2 = 4πRy~, e quindi 1/(4πRy) e la nostra unita di tempo, Ry

essendo la frequenza di Rydberg. Inoltre, scegliamo la massa dell’elettronecome unita di massa. L’equazione di Schrodinger nel caso di quanti azimu-tali zero e ponendo χ = ψ/x, sara:

χ′′ + 2

(E − A +

1

x

)χ = 0, x < R

χ′′ + 2E χ = 0, x > R.

(2.496)

Poniamo E − A = E1. Se l’atomo e nello stato normale sara E1 prossimoa −1/2.47 Porremo:

−E1 =1

2+

1

2α, (2.497)

46Per ragioni dimensionali, questo valore e sbagliato. La costante A puo esserefissata richiedendo la continuita del potenziale; in questo caso abbiamo A = e/R.

47L’energia dello stato fondamentale di un atomo di idrogeno e −e2/2aB , doveaB e il raggio di Bohr. Nelle unita adottate, questa energia equivale a −1/2.

177


e le equazioni (2.496) diventano

χ′′ +

(1 − α +

2

x

)χ = 0, x < R

χ′′ + (2A − 1 − α) χ = 0, x > R.

(2.498)

Una soluzione della prima di queste equazioni per α = 0 e

χ = x e−x. (2.499)

Poniamo la soluzione per α 6= 0 sotto la forma

χ = x e−x + α y, (2.500)

e imponiamo ancora la condizione che sia y(0) = 0, y′(0) = 0. Sostituendonella (2.498), si trova

y′′ = x e−x +

(1 + α − 2

x

)y, (2.501)

che mostra come y dipenda anche da α. Essendo state assegnate le con-dizioni ai limiti la y e completamente determinata. Per grandi valori di xessa assume l’espressione asintotica:

y = kα ex√

1+α/x1/√

1+α. (2.502)

Poiche abbiamo supposto α piccolo, potremo in via d’approssimazioneporre kα = k0, e k0 si calcolera in base all’espressione asintotica dellafunzione y che si annulla insieme con la sua derivata per x = 0 e obbedisceall’equazione differenziale:

y′′ = x e−x +

(1 − 2

x

)y. (2.503)

La quale espressione asintotica dovra essere del tipo:

y = k0ex

x. (2.504)

Vediamo dunque di calcolare k0. La y si puo sviluppare secondo lapotenza ascendente di x:

y =1

6x3 − 1

9x4 + . . . + an xn + . . . , (2.505)

178


e i coefficienti dello sviluppo si calcolano dalla relazione ricorrente:

an = − (−1)n n− 2

n!+

an−2 − 2an−1

(n− 1)n. (2.506)

Essi possono allora porsi a partire da a2 sotto la forma:

a2n+1 =1

(2n)!

[n

2n + 2

2n + 1−

(1 +

1

3+

1

5+ . . . +

1

2n− 1

)](2.507)

a2n = − 1

(2n− 1)!

[n−

(1 +

1

3+

1

5+ . . . +

1

2n− 1

)]. (2.508)

Infatti, se le equazioni (2.507) e (2.508) sono valide fino a un determinatovalore di n (e si verifica direttamente che valgono per n = 1), la (2.508)sara ancora valida ponendo n+1 in luogo di n perche dalla (2.506) si ricava:

− (2n + 1)! a2n+2 =n

n + 1− n

n + 1

(1 +

1

3+

1

5+ . . . +

1

2n− 1

)

− 1

n + 1

(1 +

1

3+

1

5+ . . . +

1

2n− 1

)+

n2

n + 1+

2n

2n + 1

= n + 1−(

1 +1

3+

1

5+ . . . +

1

2n + 1

),

cioe la (2.508) e valida anche per a2n+2. Analogamente, applicando ancorala (2.506), si ha:

(2n + 2)! a2n+3 =2n + 1

2n + 3− 2n + 1

2n + 3

(1 +

1

3+

1

5+ . . . +

1

2n− 1

)

− 2

2n + 3

(1 +

1

3+

1

5+ . . . +

1

2n− 1

)+ n

2n + 2

2n + 3+

2n + 2

2n + 3

= (n + 1)2n + 2

2n + 3−

(1 +

1

3+

1

5+ . . . +

1

2n + 1

),

di modo che la (2.507) vale anche per a2n+3 e quindi le equazioni (2.507)e (2.508) sono sempre valide.

Lo sviluppo (2.505) e indefinitamente derivabile termine a termine. Sipuo quindi porre:

y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y =

∞∑0

br xr (2.509)

179


e, in generale, sara:

br = ar + 2(r + 1)ar+1 + 3(r + 1)(r + 2)ar+2

+ (r + 1)(r + 2)(r + 3)ar+3, (2.510)

ovvero, a causa delle equazioni (2.507) e (2.508):

(2n + 1)! b2n = − 2n2(2n + 1) + 3n(2n + 1)(2n + 2)

− 3(n + 1)(2n + 1)(2n + 2) + (n + 1)(2n + 1)(2n + 4)

+2n(2n + 1)

(1 +

1

3+ . . . +

1

2n− 1

)

− 3(2n + 1)2(

1 +1

3+ . . . +

1

2n− 1

)

+3(2n + 1)(2n + 2)

(1 +

1

3+ . . . +

1

2n + 1

)

− (2n + 1)(2n + 3)

(1 +

1

3+ . . . +

1

2n + 1

)= 1, (2.511)

(2n + 2)! b2n+1 = n(2n + 2)2 − 3(n + 1)(2n + 2)2

+3(n + 1)(2n + 2)(2n + 4)− (n + 2)(2n + 2)(2n + 4)

− (2n + 1)(2n + 2)

(1 +

1

3+ . . . +

1

2n− 1

)

+3(2n + 1)2(

1 +1

3+ . . . +

1

2n + 1

)

− 3(2n + 2)(2n + 3)

(1 +

1

3+ . . . +

1

2n + 1

)

+(2n + 2)(2n + 4)

(1 +

1

3+ . . . +

1

2n + 3

)= 1 − 1

2n + 3. (2.512)

Segue:

∞∑0

br xr =

∞∑1

xs−1

s!−

∞∑0

x2s+1

(2s + 3)!

=1

x

∞∑1

xs

s!− 1

x2

∞∑1

x2s+1

(2s + 1)!

180


=ex − 1

x− ex − e−x − 2x

2x2

=ex

x− ex − e−x

2x2

= ex

(1

x− 1

2x2

)+ e

− 12x2 . (2.513)

Sostituendo nella (2.509) e scrivendo il primo membro sotto altra forma:

(y′′ + 2y′ + y

)+

d

dx

(y′′ + 2y′ + y

)= ex

(1

x− 1

2x2

)+ e−x 1

2x2,

(2.514)e quindi:

y′′ + 2y′ + y = e−x

∫ [e2x

(1

x− 1

2x2

)+

1

2x2

]dx + C

. (2.515)

e tenuto conto che per x = 0, abbiamo y = 0, y′ = 0, y′′ = 0:

y′′ + 2y′ + y = ex 1

2x− e−x

(1

2x+ 1

), (2.516)

cioe:

(y′ + y

)+

d

dx

(y′ + y

)= ex 1

2x− e−x

(1

2x+ 1

), (2.517)

e quindi:

y′ + y = e−x

∫ [e2x

2x−

(1

2x+ 1

)]dx + C

. (2.518)

e tenuto conto delle condizioni ai limiti

y′ + y = −x e−x + e−x

∫ x

0

e2x − 1

2xdx (2.519)

e finalmente:

y = e−x

[∫ (−x +

∫ x

0

e2x − 1

2xdx

)dx + C

], (2.520)

e tenuto ancora conto delle condizioni ai limiti:

y = − 1

2x2 e−x + e−x

∫ x

0

dx1

∫ x1

0

e2x2 − 1

2x2dx2. (2.521)

181


A riprova calcoliamo y′ e y′′:

y′ = −x e−x +1

2x2 e−x − e−x

∫ x

0

dx1

∫ x1

0

e2x2 − 1

2x2dx2

+ e−x

∫ x

0

e2x − 1

2xdx (2.522)

y′′ = − e−x + 2x e−x − 1

2x2 e−x + e−x

∫ x

0

dx1

∫ x1

0

e2x2 − 1

2x2dx2

− 2 e−x

∫ x

0

e2x − 1

2xdx +

ex − e−x

2x. (2.523)

Ora∫ x

0

dx1

∫ x1

0

e2x2 − 1

2x2dx2 = x

∫ x

0

e2x − 1

2xdx − 1

4e2x +

1

2x +

1

4,

cosı che le formole precedenti diventano:

y = x e−x

∫ x

0

e2x − 1

2xdx − 1

4ex +

(1

4+

1

2x− 1

2x2

)e−x (2.524)

y′ = (1− x) e−x

∫ x

0

e2x − 1

2xdx +

1

4ex

+

(− 1

4− 3

2x +

1

2x2

)e−x (2.525)

y′′ = (x− 2) e−x

∫ x

0

e2x − 1

2xdx + ex

(1

2x− 1

4

)

+e−x

(− 1

2x− 3

4+

5

2x − 1

2x2

), (2.526)

segue che

y′′ =

(1 − 2

x

)y + x e−x, (2.527)

cioe l’equazione differenziale (2.503) e soddisfatta. Inoltre manifestamente:

y(0) = y′(0) = 0, (2.528)

come si desiderava. Per x →∞ si ha:∫ x

0

e2x − 1

2xdx

182


= e2x

(1

4x+

1

γx2+ infinitesimi d’ordine superiore

)(2.529)

si deduce l’espressione asintotica di y:

y =1

8

ex

x, (2.530)

da cui possiamo ottenere la costante k0 nella (2.504):

k0 =1

8. (2.531)

Avremo dunque che per grandi valori di x, la soluzione delle equazioni(2.495) e (2.496) e approssimativamente:

χ = x e−x +α

8ex√

1+α/x1/√

1+α. (2.532)

Ora noi vogliamo supporre R grande nella nostra unita, grande cioerispetto alla diminuzione atomiche. Avremo dunque:

χ(R) = R e−R +α

8

eR√

1+α

R1/√

1+α(2.533)

χ′′(R) = (1−R) e−R +α

8

eR√

1+α

R1/√

1+α

(√1 + α − 1

R√

1 + α

). (2.534)

Per ragioni che vedremo, ci interessano valori di α cosı piccoli che il se-condo termine nell’espressioni di χ(R) sia dello stesso ordine di grandez-za del primo. Cioe α deve essere dell’ordine di R2e−2R. Allora si puosostituire dovunque, anche nell’esponente, l’unita a

√1 + α; trascurando

naturalmente l’unita di fronte a R le formole superiori diventano:

χ(R) = R e−R +α

8

eR

R

χ′′(R) = −R e−R +α

8

eR

R.

(2.535)

L’equazione (2.532) prende una forma semplice per valori di x grandi, maminori di R:

χ = x e−x +α

8

ex

x. (2.536)

183


Per x > R deve essere soddisfatta la seconda equazione in (2.496). Sup-poniamo E > 0, perche altrimenti non si avrebbe ionizzazione spontanea.Poiche

E = A − 1

2− 1

2α, (2.537)

basta che sia A alquanto maggiore di 1/2. La seconda equazione in (2.496)ammette soluzioni di tipo sinusoidali. Avremo dunque per x maggiore diR:

χ =

(R e−R +

α

8

eR

R

)cos

√2E(x−R)

+1√2E

(−R e−R +

α

8

eR

R

)sin√

2E(x−R). (2.538)

Poniamo:

B = A − 1

2+ 4R2 e−2R A− 1

A. (2.539)

Le quantita E, B e A − 1/2 sono tutte molto prossime tra loro, e dovecompaiono a fattori si puo senz’altro sostituire l’una all’altra per semplifi-care le formole. Sotto i segni di seno e coseno occorre invece un’ulterioreapprossimazione; e poiche:

E = B − 4(A− 1)

AR2 e−2R − 1

2α, (2.540)

porremo:

√2E =

√2B − 1√

2B

(4(A− 1)

AR2 e−2R +

1

2α

); (2.541)

indicheremo con γ il secondo termine diviso per 2π: 48

γ = − 1

2π

1√2B

(4(A− 1)

AR2 e−2R +

1

2α

), (2.542)

da cui

α = − 4π√

2B γ − 8(A− 1)

AR2 e−2R. (2.543)

48L’Autore considera questa γ come (la correzione a) il momento del sistemapreso in considerazione (nelle unita adottate).

184


Sostituendo nella (2.538) e usando delle approssimazioni annunciate:

χ =

(1

AR e−R −

√2B

4

eR

R2πγ

)cos

(√2B + 2πγ

)(x−R)

+

(−√

2B

AR e−R − 1

4

eR

R2πγ

)sin

(√2B + 2πγ

)(x−R) (2.544)

ovvero, sempre in via approssimata:

χ =

√2

AR2 e−2R +

A

8R−2 e2R 4π2γ2

× cos[(√

2B + 2πγ)

(x−R) + z], (2.545)

essendo z un angolo che dipenda da γ. Se vogliamo le χ normalizzaterispetto a dx, occorre moltiplicarle per un fattore N :

u = N χ (2.546)

in modo che sia:

N

√2

AR2 e−2R +

A

8R−2 e2R 4π2γ2 = 2. (2.547)

In effetti

limε→0

∫ ∞

0

χ(γ) dx

∫ +ε

−ε

χ(γ + ε) dε =1

N2. (2.548)

Avremo allora rispettivamente per x < R e per x > R le autofunzioninormalizzate:

u =

√A

2

eR

R√1 +

π2A2

4

e4R

R4γ2

(2x e−x +

α

4

ex

x

)eiBt e2πi

√2Bγt

u = 2 cos[(√

2B + 2πγ)

(x−R) + z]

eiBt e2πi√

2Bγt.

(2.549)

Qui si e tenuto conto della dipendenza dal tempo e del fatto che E =B + 2π

√2Bγ. Si noti che nella prima delle (2.549) si e posto in evidenza

il fattore 2xe−x + (α/4)(ex/x) poiche:

∫ R

0

(2x e−x +

α

4

ex

x

)2

dx '∫ R

0

(2x e−x)2

dx ' 1, (2.550)

185


che rappresenta quindi per piccoli valori di x, l’autofunzione relativa allostato quasi stazionario 1s, normalizzata nel modo ordinario.

Supponiamo ora che inizialmente l’elettrone si trovi nello stato fonda-mentale. La sua autofunzione godra di simmetria sferica approssimativa-mente, cosı che possiamo scrivere:

ψ =U(x)

x, (2.551)

e per cio che si e detto sara al tempo 0:

U0 ' 2x e−x. (2.552)

Sviluppiamo U0 secondo le u al tempo t = 0, che indicheremo con u0 . . . :

U0 =

∫ ∞

−∞c u0 dγ. (2.553)

Avremo:

c =

∫ ∞

0

U0 u0 dx '

√A

2

eR

R√1 +

π2A2

4

e4R

R4γ2

; (2.554)

e poiche per t qualunque:

U =

∫ ∞

−∞c u dγ, (2.555)

sostituendo le equazioni (2.551) e (2.554), troviamo per x minore di R :

U = eiBt Ae2R

R2

(x e−x +

α

8

ex

x

) ∫ ∞

−∞

e2πi√

2Bγt dγ

1 + (π2A2e4R/4R4)γ2, (2.556)

dove e semplice dimostrare (dalla (2.543)) che

α = − A− 1

A8R2 e−2R −

√2B

A8R2 e−2R (2.557)

coincide con α relativa allo stato fondamentale stazionario considerato qui;la dimostrazione e simile a quella esposta in cio che segue, condurra alla

186


(2.564).49 Ora

∫ ∞

−∞

e2πi√

2Bγt dγ

1 + (π2A2e4R/4R4)γ2

=4

RR2 e−2R

∫ ∞

−∞

e2πi√

2Bγt d(Ae2Rγ/4R2

)

1 + 4π2(Ae2Rγ/4R2

)2

=

2

AR2 e−2R exp

4R2

√2B

Ae2Rt

, per t < 0

2

AR2 exp

−4R2

√2B

Ae2Rt

, per t > 0.

(2.558)

Solo la soluzione per t > 0 ci interessa, perche noi vogliamo fissare lecondizioni iniziali rinunziando a qualunque ipotesi sul modo con cui si sonoprodotte. Avremo quindi per t > 0 e x < R:

U =

(x e−x +

α

8

ex

x

)eiBt exp

−4R2

√2B t/Ae2R

; (2.559)

per x > R avremo invece:

U = eiBt 2

√A

2

eR

R

∫ ∞

−∞

cos[(√

2B + 2πγ)

(x−R) + z]

e2πi√

2Bγt

√1 + (π2A2e4R/4R4)γ2

dγ,

(2.560)

U = eiBt eR

R

[∫ ∞

−∞

1− (πA√

2Be2R/2R2)γ

1 + (π2A2e4R/4R4)γ2

× cos(√

2B + 2πγ)

(x−R) e2πi√

2Bγt dγ

−∫ ∞

−∞

√2B + (πAe2R/2R2)γ

1 + (π2A2e4R/4R4)γ2sin

(√2B + 2πγ

)(x−R) e2πi

√2Bγt dγ

]

= eiBt eR

R

[ei√

2B(x−R)

∫ ∞

−∞

M + Ni

2e2πi[

√2Bt+(x−R)]γ dγ

+ e−i√

2B(x−R)

∫ ∞

−∞

M −Ni

2e2πi[

√2Bt−(x−R)]γ dγ

], (2.561)

49Questa frase e aggiunta come nota posposta nel manoscritto originale.

187


essendo:

M =1− (πA

√2Be2R/2R2)γ

1 + (π2A2e4R/4R4)γ2(2.562)

N =

√2B + (πAe2R/2R2)γ

1 + (π2A2e4R/4R4)γ2; (2.563)

e poiche:

∫ ∞

−∞

e2πi[√

2Bt±(x−R)]γ dγ

1 +π2A2

4

e4R

R4γ2

=

2

A

R2

e2Rexp

+

4

A

R2

e2R[√

2Bt±(x−R)]

per√

2B t± (x−R) < 0

2

A

R2

e2Rexp

− 4

A

R2

e2R[√

2Bt±(x−R)]

per√

2B t± (x−R) > 0.

(2.564)

Inoltre:50

∫ ∞

−∞

γ e2πi[√

2Bt±(x−R)]γ dγ

1 + (π2A2e4R/4R4)γ2

=

−i4

πA2

R4

e4Rexp

+

4

A

R2

e2R[√

2Bt±(x−R)]

per√

2B t± (x−R) < 0

i4

πA2

R4

e4Rexp

− 4

A

R2

e2R[√

2Bt±(x−R)]

per√

2B t± (x−R) > 0.

(2.565)

Se ci interessano solo le soluzioni per x > R e t > 0, dovremo distingueredue casi, secondo che

√2Bt−(x−R) e positivo o negativo, essendo sempre

50Nel manoscritto originale i segni dei risultati dell’integrale sono rovesciati;qui vengono invece riportate le espressioni corrette.

188


√2Bt + (x−R). Avremo rspettivamente, tenuto conto che:

∫ ∞

−∞

M + Ni

2e2πi[

√2Bt+(x−R)]γ dγ (2.566)

e identicamente nullo a causa delle equazioni (2.564) e (2.565) quando√2B + x−R > 0:51

U =

√8

A

R

eReiBt exp

−i arcsin

√(2A− 1)/2A − i

√2B(x−R)

× exp4R2(x−R)/(Ae2R) − 4R2

√2B t/(Ae2R)

per√

2Bt− (x−R) > 0

0, per√

2Bt− (x−R) < 0,(2.567)

essendosi nuovamente usata dov’era lecito l’approssimazione 2B = 2A −1. Per

√2Bt − (x − R) > 0, indipendentemente dal piccolo fattore di

smorzamento temporale e di esaltazione spaziale, la (2.567) rappresentaun’onda piana progressiva verso gli alti valori di x. Per valori abbastanzapiccoli di t e quindi di x−R, il flusso di elettroni per unita di tempo sara:

F =8R2

√2B

Ae2R. (2.568)

D’altra parte il fattore di smorzamento nel tempo si puo mettere sotto laforma:

e−t/2T , (2.569)

essendo T la vita media;52 segue, come e naturale:

F =1

T, T =

Ae2R

8R2√

2B. (2.570)

Gamov nelle sue deduzioni sulla vita media delle particelle α nei nucleiradioattivi53 ha postulato la dipendenza esponenziale del tempo, ha sup-posto inoltre che a grande distanza dal nucleo l’autofunzione relativa alla

51Si noti che l’Autore ha omesso un fattore 2 nella seguente espressione.52Si osservi che T e una costante di tempo piuttosto che la vita media.53L’Autore si riferisce qui a G. Gamov, Zeits. f. Physik 41 (1928) 204. Egli ha

gia lavorato sulla teoria di Gamov anche in relazione alla sua tesi [E. Majorana,La teoria quantica dei nuclei radioattivi; Relatore: E. Fermi; non pubblicata].

189


particella α rappresenti un’onda sferica progressiva e ha determinato T inbase alla (2.570). Le considerazioni che precedono mostrano come il suoprocedimento sia giustificato. Cadono le obiezioni di Kudar che sentivaodor di paradosso nel fattore di esaltazione spaziale che entra in U per la(2.567). Infatti la prima delle (2.567) vale solo fino alla distanza

x − R =√

2B t, (2.571)

mentre al di la di U = 0, e quindi in tempi prossimi a t = 0, la (2.567) everificata solo in una regione vicina ai nuclei, mentre in progresso di tempovale, tenendo conto delle approssimazioni di calcolo, fino a una distanza√

2Bt = vt, poiche v e precisamente la velocita con cui vengono emessele particelle. Il fatto che il fronte dell’onda si presenti netto benche lavelocita di emissione a causa della vita finita dello stato quasi stazionarioe lievemente incerta, deriva unicamente dalle approssimazioni di calcolo.Mostreremo fra poco come spingendo oltre l’approssimazione si possa met-tere in evidenza tale incertezza di v e determinare la curva delle velocitaindipendentemente dai generali principi statistici della nuova meccanica.

Le formole ora trovate suggeriscono interessanti considerazioni.

I. Verificato che la prima delle equazioni (2.567) vale per distanze brevifin quasi dai primi istanti, possiamo cercare fin dall’inizio una soluzione dital forma senza preoccuparci di quel che accade a distanza maggiori. Eil metodo di Gamov. In altre parole supponiamo che la dipendenza daltempo sia a qualunque distanza del tipo:

e2πiνt e−t/2T = e2πit(ν−1/4πiT ), (2.572)

cosı che la ψ viene formalmente a rappresentare uno stato stazionario conautovalore complesso. Ora la soluzione generale per gli stati stazionari eper le equazioni (2.536) e (2.538) e tenendo conto della dipendenza deltempo, con un’adatta normalizzazione approssimata

U =

eiEt 2

(x e−x +

α

8

ex

x

), per x < R,

eiEt 2

[(R

eR+

α

8

eR

R

)cos

√2E(x−R)

+1√2E

(−Re−R +

α

8

eR

R

)sin√

2E(x−R)

], per x > R.

(2.573)

190


Potremo anche scrivere per x > R:

U = eiEt

[R

eR+

α

8

eR

R− i√

2E

(− R

eR+

α

8

eR

R

)]ei√

2E(x−R)

+

[R

eR+

α

8

eR

R+

i√2E

(− R

eR+

α

8

eR

R

)]e−i

√2E(x−R)

. (2.574)

Se vogliamo che manchi l’onda in arrivo dovra essere:

R

eR+

α

8

eR

R− i√

2E

(− R

eR+

α

8

eR

R

)= 0, (2.575)

da cui:

α = −√

2E + i√2E − i

8R2 e−2R, (2.576)

e ponendo in prima approssimazione√

2E =√

2A− 1:

α = − A− 1

A8R2 e−2R − i

√2A− 1

A8R2 e−2R (2.577)

e quindi:

E = A − 1

2− 1

2α = B + i

√2A− 1

A8R2 e−2R, (2.578)

oppure, nello stesso ordine di approssimazione:

E = B + i

√2B

A4R2 e−2R. (2.579)

Segue per x < R:

U = eiBt 2

[x e−x −

(A− 1

AR2 e−2R + i

√2B

AR2 e−2R

)ex

x

]

× e−√

2B

A4R2e−2R

, (2.580)

come si era gia trovato. Anche per questa via si puo quindi determinare la

191


vita media T :54

T =A√2B

e2R

8R2. (2.581)

II. L’espressione della vita media T mostra come essa sia proporzionale aA/√

2B, in cui B ricordiamo e l’energia media dell’elettrone, o cio che elo stesso, l’energia cinetica media che esso possiede quando attraversa lasfera di raggio R. E poiche, con grandissima approssimazione B ' A−1/2,avremo anche che la vita media e proporzionale a (B + 1/2)/

√2B. Se

facciamo A = 1/2, cioe uguale proprio al potenziale di ionizzazione saraB = 0, e la vita media diventa naturalmente infinita. Cio che sorprende epero che al crescere di B le probabilita di ionizzazione nell’unita di tempocrescono fino a toccare il massimo per un determinato valore di B e poidecrescono tendendo a zero per B che tende all’infinito. Si ha il massimoper B = 1/2 e quindi A = 1, cioe al doppio del potenziale di ionizzazione.La vita media minima sara dunque:

T =e2R

8R2. (2.582)

La spiegazione del paradosso risiede nel fatto generale che, se esiste unasuperficie netta di separazione fra due regioni a potenziale diverso, essa sicomporta come superficie riflettente non solo per le particelle provenientidalla regione a piu bassa energia potenziale, ma anche per quelle proveni-enti dalla parte opposta, purche l’energia cinetica, positiva o negativa, siain valore assoluto piccola rispetto al salto brusco dell’energia potenziale.

III. Abbiamo visto che l’energia E dell’elettrone non e rigorosamente de-terminata. Possiamo parlare di probabilita che essa sia compresa tra Ee E + dE o, cio che e lo stesso, di probabilita che la velocita di uscitadell’elettrone sia compresa tra v e v + dv. Avremo per la (2.541)

v =√

2E '√

2B + 2π γ (2.583)

dv ' 2π dγ, (2.584)

54∗ T si trova senza difficolta in base alla (2.543):

α =A− 1

A8R2e−2R − i

√2B

A8R2e−2R

α coincide con α relativo allo stato parzialmente stazionario considerato in questapagina. La dimostrazione e analoga a quella che richiede la (2.564).

192


ma la probabilita che γ sia compreso fra γ e γ + dγ e c2dγ ; dalla (2.554),la probabilita che v sia compreso tra v, v + dv sara:

(Ae2R/4πR2)dv

1 + (π2A2e4R/4R4)γ2' (Ae2R/4πR2)dv

1 + (A2e4R/16R4) (v −√

2B)2. (2.585)

La curva delle energie e naturalmente della stessa forma in prima approssi-mazione. La probabilita per unita d’energia e:

Ae2R/4π√

2BR2

1 + (A2e4R/32BR4) (E −B)2=

K1/π

1 + K22 (E −B)2

=1/πK

1 + (E −B)2/K2 . (2.586)

Come faremo vedere in seguito, a proposito dei fenomeni radioattivi, sitrova sempre la stessa curva quando si ha a che fare con stati quasi stazionari,qualunque sia la distribuzione (con simmetria sferica) del potenziale. Ilparametro K che ne definisce l’ampiezza, e legato alla vita media dallarelazione

K =1

2T= τ, (2.587)

e, ricordando che nelle nostre unita h = 2π, passando alle unita solite:

K =~2T

, (2.588)

conforme qualitativamente alle generali relazioni d’incertezza.

IV. Spingiamo oltre l’approssimazione per x > R. Manteniamo la definizione(2.542) di γ. Avremo:

E = B + 2π√

2B γ (2.589)

e in luogo della (2.541), in seconda approssimazione:

√2E =

√2B + 2π γ − 2π2

√2B

γ2 (2.590)

e in luogo della (2.561) dovremo scrivere:

U = eiEt eR

R

[ei√

2B(x−R)

∫ ∞

−∞

M + Ni

2

193


× exp

2πi[

√2Bt + (x−R)]γ − 2π2iγ2

√2B

(x−R)

dγ

+e−i√

2B(x−R)

∫ ∞

−∞

M −Ni

2

× exp

2πi[

√2Bt− (x−R)]γ +

2π2iγ2

√2B

(x−R)

dγ

]. (2.591)

2.35 Urto di una particella α contro unnucleo radioattivo

Consideriamo una particella α in punto di essere emessa da un nucleoradioattivo, come formante un’onda quasi stazionaria. Quest’onda, comeha mostrato Gamov, si disperde praticamente all’infinito dopo un certotempo; in altre parole la particella si trova instabilmente in prossimita delnucleo e dopo qualche tempo finisce per allontanarsene indefinitamente.Noi cominceremo a studiare minutamente i caratteri di quest’onda quasistazionaria, per poi affrontare il problema inverso a quello propostosi daGamov:55 determinare la probabilita che una particella α urtando, in datecondizioni contro un nucleo che ha subito una trasformazione radioattivaα, venga da esso catturata in modo da ricostituire un nucleo della sostanzache precede nella genealogia radioattiva. La questione e stata accennatapoco seriamente da Kudar, e si ricollega direttamente alla nota ipotesisecondo la quale in condizioni fisiche affatto differenti da quelle che siamoavvezzi a considerare, puo aver luogo un processo di reintegrazione deglielementi radioattivi; dai piu semplici ai piu complessi.

Supponiamo, seguendo Gamov, che il quanto azimutale della particellaa contatto del nucleo sia nullo, cosı che venga realizzata la simmetria sferi-ca. Prescindiamo ancora dal trascinamento del resto nucleare, e cio solo persemplicita di discorso perche il tenerne conto non presenta alcuna difficolta;anzi ai risultati esatti si perviene senz’altro con ovvie modificazioni delle

55Di nuovo l’Autore si riferisce a G. Gamov, Zeits. f. Physik 41 (1928) 204:vedi la nota precedente.

194


formole finali. Ponendo al solito ψ = χ/x, avremo per gli stati stazionaria simmetria sferica:

d2χ

dx2+

2m

~2(E − U) χ = 0. (2.592)

Oltre una distanza R, abbastanza grande che potremo supporre dell’ordi-ne delle dimensioni atomiche, U praticamente si annulla. La funzione χsara allora simmetrica per E > 0. La chiarezza delle nostre dimostrazionirichiede che per x > R si possa ritenere rigorosamente U = 0, ma sarachiaro che nessuna sostanziale causa di errore potra essere per tal via in-trodotta nei nostri calcoli. Consideriamo per ora le χ come funzioni solodel posto e le supposizioni, come e lecito, reali. Conveniamo ancora dinormalizzare in guisa che:

∫ R

0

χ2 dx = 1. (2.593)

Si immagini ora che esista uno stato quasi stazionario e parimenti che sipossa costruire una funzione u0 la quale si annulli per x > R, soddisfi allacondizione: ∫ R

0

|u0|2 dx = 1, (2.594)

e inoltre nei punti in cui u0 e grande obbedisca56 all’incirca all’equazionedifferenziale (2.592). Questa funzione u0 sara adatta a rappresentare laparticella α nell’istante iniziale. Potremo svilupparla secondo le funzioni χche si ottengono facendo variare E entro un tempo ristretto. Porremo:

E = E0 + W. (2.595)

La possibilita dello stato quasi stazionario sara rivelata dal fatto che perx < R le funzioni χ, normalizzate secondo la (2.593), e le loro derivatesono piccole quando W e piccolo.

In prima approssimazione potremo porre per x < R:

χW = χ0 + W y(x)

χ′W = χ′0 + W y′(x)(2.596)

56∗ Per un valore approssimativamente determinato di t, mentre e quasi reale.

195


e cio, per poco che U abbia un andamento ragionevole, con approssimazioneesuberante e per tutto il campo di variabilita di W che ha praticamenteinteresse. In particolare per x = R:

χW (R) = χ0(R) + W y(R)

χ′W (R) = χ′0(R) + W y′(R).(2.597)

E ricordando che per x > R la (2.592) si riduce semplicemente nella forma

d2χW

dx2+

2m

~2(E0 + W ) χW = 0 (2.598)

si avra per x > R

χW = (a + bW ) cos1

~√

2m(E0 + W )(x−R)

+ (a1 + b1W ) sin1

~√

2m(E0 + W )(x−R),

(2.599)

essendosi posto:

a = χ0(R), b = y(R)

a1 =~χ′0(R)√

2m(E0 + W ), b1 =

~ y′(R)√2m(E0 + W )

.(2.600)

Come si vede a1 e b1 non sono rigorosamente costanti; ma nell’ordined’approssimazione entro cui il nostro problema e determinato possiamoconsiderarle come tali e sostituire alle ultime dalla (2.600):

a1 =~χ′0(R)√

2mE0

, b1 =~ y′(R)√

2mE0

. (2.601)

Inoltre, poiche E0 non e completamente determinato, possiamo sceglierloin guisa da semplificare la (2.599); possiamo allo stesso scopo spostare Rdi una frazione della lunghezza d’onda h/

√2mE0. Si trovera allora che e

sempre possibile sostituire alla (2.599) l’espressione piu semplice:

χW = α cos√

2m(E0 + W ) (x−R)/~

+ βW sin√

2m(E0 + W ) (x−R)/~.(2.602)

196


Porremo:√

2m(E0 + W ) /~ =√

2mE0 /~ + 2π γ = C + 2π γ, (2.603)

e sara in prima approssimazione:

2π γ ' W

~√

2E0/m=

W

~v , (2.604)

essendo v la velocita (media) con cui le particelle vengono espulse. Sosti-tuendo nella (2.602) avremo approssimativamente:

χW = α cos(C + 2πγ)(x−R)

+ β′ γ sin(C + 2πγ)(x−R),(2.605)

essendo:β′ = β 2π~

√2E0/m. (2.606)

Le χW sono per ora normalizzate in modo che

∫ R

0

χ2W dx = 1.

Indicheremo con ηW le stesse autofunzioni normalizzate rispetto a dγ. Ot-teniamo sempre per x > R:

ηW =2√

α2 + β′2γ2[α cos(C + 2πγ)(x−R)

+ β′ γ sin(C + 2πγ)(x−R)]

=2√

α2 + β′2γ2χW .

(2.607)

Sviluppiamo ora u0, che rappresenta come si e detto la particella αnell’istante iniziale, secondo le ηW ; avremo:

u0 =

∫ ∞

−∞Kγ ηW dγ (2.608)

e poiche u0 = χW per x ≤ R e percio

Kγ =

∫ ∞

0

ηW u0 dx =2√

α2 + β′2γ2

∫ R

0

χ2W dx =

2√α2 + β′2γ2

,

(2.609)

197


sostituendo nella (2.608) otteniamo

u0 =

∫ ∞

−∞

4 χW

α2 + β′2γ2dγ. (2.610)

Ora, per piccoli valori di x, le χW coincidono tra loro e coincidono del paricon u0; dovra quindi essere:

1 =

∫ ∞

−∞

4

α2 + β′2γ2dγ = ± 4π

αβ′, (2.611)

(si riconosce senza difficolta che dovremo scegliere il segno inferiore); cioeesiste necessariamente la relazione:

β′ = − 4π

α(2.612)

A causa della (2.604), introducendo la dipendenza dal tempo avremo ap-prossimativamente:

u = eiEt/~∫ ∞

−∞

4χW exp2πi

√2E0/m γt

α2 + 16π2γ2/α2 dγ. (2.613)

Per piccoli valori di x, confondendosi le χW con u0 si avra:

u = u0 eiE0t/~ exp−α2

√2E0/m t/2

, (2.614)

ovvero

u = u0 eiE0t/~ e−t/2T , (2.615)

essendo T la vita media. Si ricava:

T =1

α2√

2E0/m=

1

α2v. (2.616)

Cosı, ricordando la (2.612), tanto α che β′ vengono espressi in funzionesoltanto di T :

α =±1√vT

=±1

4√

2(E/m)T 2(2.617)

β′ = ∓4π√

vT = ∓4π 4√

2(E/m)T 2. (2.618)

198


Si rilevera che ad uno stato stazionario corrisponde nella teoria classicaun’orbita di tipo iperbolico. Il periodo di rivoluzione, o meglio l’intervallofra i due passaggi attraverso la sfera di raggio r e data da

PW =4

(α2 + β′2γ2)v, (2.619)

e il valore massimo si ha per W = 0:

PW =4

α2v= 4T. (2.620)

La probabilita che si presentino i singoli stati stazionari sono, per la (2.609),proporzionali a detti periodi di rivoluzione, come un ragionamento pura-mente classico farebbe prevedere. Si puo ancora determinare T ragionandoclassicamente. Infatti se una particella si trova nell’orbita W e, per ipotesi,all’interno della sfera di raggio R, vi rimane ancora, in media, per un tempoTW = (1/2)PW = (2/v)/(α2 + β′2γ2), e il valore medio di TW sara:

TW =

∫ ∞

0

T 2W dγ

∫ ∞

0

TW dγ

=1

α2v= T. (2.621)

Si deve pero avvertire che se si spingesse oltre il ragionamento analogico finoa determinare la forma della curva di sopravvivenza, si andrebbe incontroa un risultato errato.

L’autofunzione u ha l’espressione nella (2.614) solo per piccoli valori dix. Trascurando cio che avviene per x non molto piccolo, ma minore di R,e venendo senz’altro al caso x > R, si ha per le (2.606) e (2.610):

u = eiE0t/~[∫ ∞

0

4α cos(C + 2πγ)(x−R)

α2 + β′2γ2e2πivγt dγ

+

∫ ∞

0

4β′γ sin(C + 2πγ)(x−R)

α2 + β′2γ2e2πivγt dγ

], (2.622)

in cui α e β′ dipendono da T secondo le equazioni (2.617), (2.618). La(2.622) si puo scrivere:

u = eiE0t/~[eiC(x−R)

∫ ∞

0

(2α− 2iβ′γ)

α2 + β′2γ2e2πi(vt+x−R)γ dγ

+e−iC(x−R)

∫ ∞

0

(2α + 2iβ′γ)

α2 + β′2γ2e2πi[vt−(x−R)]γ dγ

](2.623)

199


e ricordando che α e β′ sono di segno opposto e che per t > 0 e x > R,sara vt + x − R > 0, si trova che il primo integrale si annulla, mentre ilsecondo vale:

∫ ∞

0

(2α + 2iβ′γ)

α2 + β′2γ2e2πi[vt−(x−R)]γ dγ = 2

∫ ∞

0

e2πi[vt−(x−R)]γ

α− iβ′γdγ

=

−4π

β′e2π(α/β′)[vt−(x−R)] = −4π

β′e−(α2/2)[vt−(x−R)]

0

(2.624)

Sostituendo nella (2.625) e ricordando che per la (2.603) C = mv/~, si hainfine:

u =

α eiE0t/~ e−imv(x−R)/~ e−t/2T e(x−R)/(2vT )

0

(2.625)

per vt− (x−R) > 0 e per vt− (x−R) < 0.Vogliamo ora supporre che il nucleo abbia perduto la particella α; cio

significa che sara inizialmente u0 = 0 in prossimita del nucleo. Si trattadi valutare la probabilita che il nucleo riassorba una particella α quandovenga bombardato con un fascio parallelo di particelle. Per caratterizzare ilraggio incidente, dovremo assegnare l’intensita per unita d’area, l’energiad’ogni particella e la durata del bombardamento. Ora le sole particelleche abbiano elevata probabilita di essere assorbite sono quelle che hannoun’energia prossima a E0, con un’incertezza dell’ordine di h/T ; d’altraparte la durata τ del bombardamento, per la chiara interpretabilita deirisultati, deve essere piccola di fronte a T ; segue che l’energia delle particellerestanti non puo essere determinata, per la relazione d’incertezza, che conun errore molto piu grande di h/T . In luogo di parlare di intensita perunita d’area, dovremo dunque parlare di intensita per unita d’area e unitadi energia per valori prossimi a E0. Sia N il numero delle particelle passatein tutta la durata τ del bombardamento per unita d’area e di energia.

Sia inizialmente l’onda piana incidente compresa fra due piani parallelidi ascissa (distanza dal nucleo) d1 e d2 = d1 + `. Per l’ipotesi fatta chel’onda sia inizialmente piana sara:

u0 = u0(ξ), (2.626)

200


essendo ξ l’ascissa di un piano generico parallelo ai primi due. Per ξ < d1

oppure ξ > d2, sara u0 = 0. Vogliamo inoltre supporre d1 > R ed anche,cio che non implica nuove restrizioni,

` = ρh

m√

2E0/m= ρ

h

mv= ρ λ, (2.627)

essendo ρ un numero intero e λ la lunghezza d’onda della particella αemessa. Possiamo sviluppare ψ0 tra d1 e d2 in serie di Fourier e quindi inuna somma di termini del tipo

kσ eσ2πi(ξ−d1)/` (2.628)

con σ intero. I termini con σ negativo rappresentano, grosso modo, parti-celle che si allontanano; possiamo supporli nulli. Fissiamo l’attenzione sultermine

kρ eρ2πi(ξ−d1)/` = kρ eimv(ξ−d1)/~ (2.629)

e poniamo57

u0 = ψ0 + kρ eimv(ξ−d1)/~. (2.630)

Le autofunzioni di una particella libera, mobile in direzione normale all’ondain arrivo, sono normalizzate rispetto a dE: 58

ψσ =1√

2hE/mei√

2mE(ξ−d1)/~. (2.631)

Si deve intendere che E vari due volte tra zero e infinito attribuendo alradicale che figura all’esponente una volta il segno positivo e una volta ilnegativo; a noi interessano solo le autofunzioni al radicale positivo, le qualirappresentano particelle in marcia verso le ξ decrescenti. Possiamo porre:

ψ0 =

∫ ∞

0

cE ψρ dE (2.632)

e sara

cE =

∫ d2

d1

ψ0 ψ∗ρ dξ. (2.633)

57Si noti che l’Autore ha diviso la funzione d’onda della particella incidentein un termine corrispondente all’energia principale E0 (il secondo termine nella(2.630)) piu un altro termine che sara sviluppato a partire dalla (2.632).

58Nel manoscritto originale queste autofunzioni sono indicate con ψρ, ma qui,per chiarezza, saranno indicate con ψσ.

201


In particolare:

cE0 =

∫ d2

d1

ψ01√hv

e−imv(ξ−d1)/~ dξ

=kρ`√hv

+

∫ d2

d1

ψ01√hv

e−imv(ξ−d1)/~ dξ =kρ`√hv

. (2.634)

e poiche evidentemente:

N = c2E0 , (2.635)

si trae:

N =k2

ρ`2

hv. (2.636)

Immaginiamo ora di sviluppare u0 secondo le autofunzioni relative alcampo centrale prodotte dal resto nucleare. A noi interessa solo quellaparte dello sviluppo che si riferisce alle autofunzioni dotate di simmetriasferica con autovalore molto prossimo a E0, perche, nelle nostre ipotesi, soloesse assumono grandi valori in prossimita del nucleo. Di tali autofunzioniconosciamo l’espressione per x > R data dalle equazioni (2.607), (2.617),(2.618). In realta le ηW date dalla (2.607) sono le autofunzioni relativeal problema ridotto in una dimensione. Per avere le autofunzioni spaziali,sempre normalizzate rispetto a dγ, si dovra porre:

gW =ηW√4πx

. (2.637)

Dovremo dunque porre:

ψ0 =

∫ ∞

0

pγ gW dγ + . . . (2.638)

e sara

pγ =

∫∫∫dS gW ψ0 =

∫ d2

d1

2π x gW dx

∫ x

d1

ψ0 dξ. (2.639)

Possiamo porre:

gW =1√4πx

[Aγ ei(C+2πγ)(x−d1) + Bγ e−i(C+2πγ)(x−d1)

], (2.640)

202


essendo per la (2.607).

Aγ =α− iβ′γ√α2 + β′2γ2

ei(C+2πγ)(d1−R)

Bγ =α + iβ′γ√α2 + β′2γ2

e−i(C+2πγ)(d1−R).

(2.641)

Ora noi possiamo supporre d1, e quindi d2, grandi quanto si vuole; non cosı` = d2 − d1 perche la durata del bombardamento, che e dell’ordine di `/v,deve essere trascurabile di fronte a T . Sara allora trascurabile, in sensoassoluto, 2πγ` perche 2πγ e dell’ordine di α2, ovvero (2.616) di 1/vT . Perd1 < x < d2 allora e possibile riscrivere la (2.640) come:

gW =1√4πx

[Aγ eimv(x−d1)/~ + Bγ e−imv(x−d1)/~

], (2.642)

ferme restando le posizioni (2.641).Sostituiamo nella (2.639), e teniamo conto delle equazioni (2.630) e

(2.636). Avremo semplicemente:

pγ =2πBγ√

4π

∫ d2

d1

e−imv(x−d1)/~ dx

∫ x

d1

eimv(ξ−d1)/~ dξ

=hBγkρ`

i√

4π m v=

Bγh3/2√

N

i√

4π m√

v= q Bγ , (2.643)

essendo

q =h3/2N1/2

i m v1/2√

4π. (2.644)

Sostituendo nella (2.638),

ψ0 = q

∫ ∞

0

BγgW dγ + . . . (2.645)

e in un istante qualunque:

ψ = eiE0t/~ q

∫ ∞

0

Bγ gW e2πivγt dγ + . . . , (2.646)

e tenendo conto delle equazioni (2.637) e (2.607):

ψ = eiE0t/~ q√4πx

∫ ∞

0

2Bγ√α2 + β′2γ2

χW e2πivγt dγ + . . . (2.647)

203


Vogliamo ora indagare il comportamento di ψ in prossimita del nucleo; itermini non scritti del suo sviluppo possono dare ivi un contributo notevolesolo per un tempo breve dopo il passaggio dell’onda; almeno se escludiamoche esistano altri stati quasi stazionari oltre quello in esame. Trascurandoli,avra ψ simmetria sferica in prossimita del nucleo. Porremo:

ψ =u√4πx

, (2.648)

in modo che il numero di particelle eventualmente catturate sara espressoda ∫

|u2|dx (2.649)

(esteso fino a una distanza ragionevole, ad es. R). Sostituendo nella (2.647),avremo, badando che per x piccolo, e approssimativamente χw = χ0:

u = q χ0 eiE0t/~∫ ∞

0

2

α− iβ′γe2πi[vt−(d1−R)]γ dγ (2.650)

e poiche come si e gia notato αβ′ < 0, e ponendo d = d1−R, dalle equazioni(2.617), avremo:

u =

q α χ0 eiE0t/~ e− t− d/v

2T = q α e−iCd e− t− d/v

2T , per t >d

v

0, per t <d

v(2.651)

Il significato di queste formole e chiarissimo: il raggio di particelle α, cheabbiamo supposto di breve durata, investe il nucleo nell’istante t = d/v,e vi e la probabilita |qα|2 che una particella sia catturata (naturalmentedovra essere q2α2 ¿ 1). Dopo di cio, cessa l’azione del raggio incidentee se una particella e stata catturata, viene espulsa dopo un certo temposecondo le leggi dei fenomeni radioattivi.

Ponendo n = |qα|2, si ha dalle (2.616) e (2.644)

n =2π2~3

m2v2TN, (2.652)

cioe le probabilita d’assorbimento sono del tutto indipendenti da qualun-que ipotesi sull’andamento del potenziale in prossimita del nucleo e sono

204


legate alla vita media T . 59

Alla formola (2.652), che e stata tratta da considerazioni esclusiva-mente meccaniche, si arriva anche per via termodinamica. Si immaginiuno dei nostri nuclei radioattivi immerso in un’atmosfera di particelle α inagitazione termica. Nell’ordine d’approssimazione in cui abbiamo trattatofin qui il problema, si puo ritenere il nucleo fermo. Una particella in con-tatto con esso si trova in uno stato quantico di peso statistico semplice,essendosi supposta la simmetria sferica; il fatto che tale stato quantico, dienergia E0, non sia rigorosamente stazionario, ma abbia una vita mediafinita, deve considerarsi, come in tutti i casi analoghi, quale un effetto di

59Il manoscritto originale continua con due lunghe frasi che sono state, tuttavia,cancellate dall’Autore. La prima e la seguente:“Poiche sono assorbite solo le particelle d’energia prossima a E0, possiamo am-mettere, cadendo un po’ nella metafisica, che ad ogni energia E0 +W corrispondaun diverso coefficiente d’assorbimento `W , che `W sia proporzionale alla proba-bilita che una particella nello stato quasi stazionario abbia l’energia E0 +W ; cioeper le equazioni (2.604), (2.612), (2.616) e (2.609):

`W =D

1 + 4T 2W 2/~2 . (2.653)

e poiche le particelle incidenti per unita d’area e di energia compresa tra (E0+W )e (E0 + W ) + dW sono in numero di NdW , dovra essere:

n = N

∫ ∞

−∞`W dW = N D

π~2T

, (2.654)

da cui, confrontando con (2.652),

D =1

π

h2

m2v2=

λ2

π, (2.655)

che da in forma semplicissima la sezione di assorbimento per le particelle di energiaE0, cioe per quelle che hanno il massimo coefficiente d’assorbimento. Ponendo:

N ′ = Nπ~2T

, (2.656)

la (2.652) diventa:

n =λ2

πN ′, (2.657)

che significa che l’assorbimento di N ′ di particelle di energia E0 e equivalenteall’assorbimento di N di particelle per unita di energia.”Il secondo paragrafo non verra qui riprodotto, in quanto appare essere incompleto.

205


secondo ordine. Se la densita e temperatura del gas di particelle α e taleche ne esistono D per unita di volume e unita di energia, prossima a E0,ne esisteranno per unita di volume e in un intervallo di energia dE:

D dE (2.658)

e indicando con p la quantita di moto, sara:

p =√

2mE0 (2.659)

dp =

√m

2E0dE, (2.660)

nelle quali si e scritto sotto i segni di radice E0 in luogo di E appuntoperche dobbiamo considerare le particelle di energia prossime a E0. LeDdE particelle occupano nello spazio ordinario un volume 1 e in quello deimomenti il volume compreso tra due sfere di raggi p e p+dp; cioe occupanonello spazio delle fasi il volume:

4π p2 dp = 4π m2√

2E0/m dE = 4π m2 v dE. (2.661)

In tale volume e compreso un numero di stati quantici pari a

m2v

2π2~3dE (2.662)

Segue che in ogni stato quantico di energia prossima a E0, si trovano inmedia

D2π2~3

m2v(2.663)

particelle. Altrettanto se ne troveranno in media nel nucleo, purche l’e-spressione (2.663) abbia un valore molto piccolo di fronte all’unita, chesolo in tal senso e lecito trascurare l’interazione fra le particelle. Poiche leparticelle nel nucleo hanno una vita media T , ne saranno espulse nell’unitadi tempo

n =2π2~3D

m2vT(2.664)

e altrettante ne debbono essere assorbite per l’equilibrio. Ora D particelleper unita di volume e di energia equivalgono riguardo alla probabilita diurto con il nucleo e quindi di assorbimento da parte di esso, a un fascio

206


parallelo di N = Dv particelle per unita d’area, di energia e di tempo.Sostituendo si trova:

n =2π2~3

m2v2TN, (2.665)

che e appunto la formola (2.652).

2.36 Potenziale ritardato

(Si veda il paragrafo 1.2.)Consideriamo una soluzione periodica della (1.21) e sia:

H = u sin ωt, (2.666)

essendo u indipendente dal tempo. Varra l’equazione:

grad 2 u +ω2

c2u = 0 (2.667)

e ponendo k2 = ω2/c2, troviamo

grad 2 u + k2 u = 0. (2.668)


u sin ωt =1

4π

∫ [sin ω(t− r/c)

(u cos ϕ + r

∂u

∂n

)

+ωr

cu cos ϕ cos ω(t− r/c)

] dσ

r2, (2.669)

e quindi:

u =1

4π

∫ [cos

ωr

c

(u cos ϕ + r

∂u

∂n

)+

ωr

cu cos ϕ sin

ωr

c

]dσ

r2.

(2.670)Se le distanze che si considerano (r) sono grandi rispetto alla lunghezzad’onda si avra semplicemente:

u =1

4π

∫1

r

(∂u

∂ncos

ωr

c+ u

ω

ccos ϕ sin

ωr

c

)dσ, (2.671)

207


φ

Or

σ

ovvero, introducendo la lunghezza d’onda:

u =1

2λ

∫1

r

(λ

2π

∂u

∂ncos

2πr

λ+ u cos ϕ sin

2πr

λ

)dσ, (2.672)

in cui, si badi bene, si ha a che fare con onde stazionarie

2.37 L’equazione y′′ = xy

Di tale equazione differenziale e facile trovare soluzioni approssimate conil metodo di Wentzel (vedi il paragrafo 2.32 e anche 2.6).Tali soluzionicadono in difetto per x prossimo a zero; sorge cosı il problema del raccordotra le espressioni asintotiche valevoli per x maggiore di zero (almeno diqualche unita) e quelle valevoli per x < 0. Poiche l’equazione e omogenea,basta conoscere il raccordo per due particolari soluzioni per saperlo costru-ire, in generale, per una soluzione qualunque. Consideriamo le soluzioni

208


particolari:

M = 1 +x3

2·3 +x6

2·3·5·6 +x9

2·3·5·6·8·9 + . . .

N = x +x4

3·4 +x7

3·4·6·7 +x10

3·4·6·7·9·10+ . . .

(2.673)

Per |x| > 4 le espressioni asintotiche di prima e ancor meglio di secondaapprossimazione sono praticamente esatte. Basta quindi calcolare, in basealla (2.673), i valori di M, N, M ′, N ′ per x = ±4. I valori sono riportatinella tabella. 60

x M M ′ N N ′

−4 0.2199 −1.2082 0.5732 1.39720 1 0 0 14 68.1777 131.6581 93.5172 180.6092

L’andamento grafico nell’intervallo −4 < x < 0 e qui all’ingrosso rap-presentato.

60Si noti che i valori numerici riportati nella tabella, cosı come sono scritti nelmanoscritto originale, sono stati ottenuti dalle equazioni (2.673) prendendo glisviluppi fino al decimo termine non nullo (e lo stesso vale per le derivate), il chesignifica fino ai termini di potenza x27 e x28 per M e N (e x29, x30 per M ′ e N ′,rispettivamente).

209


2.38 Degenerazione di risonanza con piuelettroni

Consideriamo n elettroni q1, q2, . . . , qn in n orbite definite dalle autofun-zioni ψ1, ψ2, . . . , ψn con autovalori in generale diversi. Se trascuriamo inapprossimazione zero l’interazione potremo assumere come autofunzionedel sistema il prodotto delle singole autofunzioni e poiche si possono or-dinare in n! modi differenti i vari elettroni avremo n! autofunzioni indipen-denti, di cui una generica e data da:

Ψr = ψ1(qr1) ψ2(qr2) ·s ψn(qrn), (2.674)

essendo r1, r2, . . . , rn una qualunque permutazione dei primi n numeri. In-dichiamo con Pr la sostituzione:

(1 2 3 . . . na1 a2 a3 . . . an

). (2.675)

Definiamo altresı Pr come operatori su una funzione di n variabili e di ngruppi di variabili, che indichiamo brevemente con q:

Pr f(q) = f(Pr q), (2.676)

in cui Pr va inteso al primo membro come operatore e al secondo comesostituzione che altera l’ordine delle variabili indipendenti. E chiaro che ilsuo doppio significato non da mai luogo a equivoci. Conveniamo inoltreche P1 sia la permutazione identica. Segue dalla (2.674):

Ψ1 = ψ1(q1) ψ2(q2) ·s ψn(qn), (2.677)

e dalle equazioni (2.674), (2.676) e (2.677),

Ψr = Pr Ψ1. (2.678)

Introduciamo nell’Hamiltoniana, come termine di perturbazione, l’intera-zione H, che dovremo supporre simmetrica rispetto alla q, di modo che

Pr H(q) = H(q) r = 1, 2, . . . , n! (2.679)

Il termine Hrs della matrice di perturbazione sara:

Hrs =

∫Ψ∗r H Ψs dq =

∫Pr ψ∗1 H Ps ψ1 dq, (2.680)

210


essendo dq ovviamente l’elemento di volume nello spazio delle q. Osservi-amo che l’ultimo integrale va da −∞ a ∞ per tutte le variabili e nondipende quindi dalle q, cosicche l’operatore Pr si riduce all’unita quandosi applica ad esso. Avremo in particolare: (. . . )61

2.39 Formole varie

2.39.1 Formole di Schwarz

Formole di Schwarz::∣∣∣∣∣

n∑i=1

ai bi

∣∣∣∣∣

2

≤n∑

i=1

a2i ·

n∑i=1

b2i . (2.681)

Infatti:

n∑i=1

a2i ·

n∑i=1

b2i −

∣∣∣∣∣n∑

i=1

ai bi

∣∣∣∣∣

2

=1

2

n∑i,j=1

(ai bj − aj bi)2 . (2.682)

Se si intende che ogni coppia di valori i, j vada presa una volta sola per ilche, notando che i termini per cui i = j si annullano, bastera aggiungere

ad es. la condizione i < j, si puo in luogo di1

2

∑i,j

(ai bj − aj bi)2 scrivere:

∑i<j

(ai bj − aj bi)2.

Seconda formola di Schwarz:

∣∣∣∣∫ b

a

y z dx

∣∣∣∣2

≤∫ b

a

y2 dx

∫ b

a

z2 dx (2.683)

(con b > a).

61Questo paragrafo e stato evidentemente lasciato incompleto dall’Autore.

211


Infatti:

∫ b

a

y2 dx

∫ b

a

z2 dx −∣∣∣∣∫ b

a

y z dx

∣∣∣∣2

=1

2

∫ x=b

x=a

∫ ξ=b

ξ=a

[y(x) z(ξ) − y(ξ) z(x)]2 dx dξ. (2.684)

2.39.2 Valor massimo di variabili casuali

Siano x1, x2, . . . , xn n variabili casuali indipendenti che obbediscono allastessa legge normale di distribuzione:

Px =1√π

e−x2(2.685)

o, se si vuole, n determinazioni indipendenti dalla variabile normale x.Indichiamo con y la piu grande (in valore algebrico) della x. La sua leggedi distribuzione sara evidentemente:

Py =d

dy

(1− θ(y)

2

)n

(2.686)

essendo:

θ(y) =2√π

∫ y

0

e−y2dy. (2.687)

Se n e grande, saranno anche grandi i valori di x per cui Py ha un valoresensibile. Limitandoci a questa parte della curva che rappresenta Py, pos-siamo ricercarne l’andamento asintotico per n grande, in base alla formola3) del paragrafo 2.27. Avremo in prima approssimazione:

Py =d

dy

(1 − 1

2√

π

e−y2

y

)n

, (2.688)

ovvero approssimativamente:

Py =d

dyexp

−ne−y2

2√

2y

; (2.689)

212


e con una nuova approssimazione:

Py =n√π

exp

−

(ne−y2

2√

2y+ y2

). (2.690)

Indichiamo con y0 l’ascissa per cui Py e massimo. Poiche:

d

dy

(n

2√

π

e−y2

y+ y2

)= − n√

πe−y2 − n

2√

π

e−y2

y2+ 2y, (2.691)

sara in prima approssimazione:

y0 =√

log n, errore assoluto → 0

n

2√

πe−y2

0 =√

log n, errore assoluto → 0

n

2√

π

e−y20

y0= 1

e−y20 =

2√

π log n

n, errorerelativo → 0.

Segue:

Py0 =n√π

e−y20 exp

− n

2√

π

e−y20

y

=

2√

log n

e. (2.692)

cosicche di Py conosciamo l’ordinata massima e l’ascissa corrispondente:

y0 =√

log n (2.693)

Py0 =2√

log n

e=

2y0

e. (2.694)

Segue ancora che l’ampiezza di Py (intervallo in cui Py e grande) e dell’ordinedi 1/y0. Non abbiamo ancora stabilito se y0 sia data da

√log n con ap-

prossimazione d’ordine maggiore di 1/y0, come e desiderabile. Convieneprocedere per altra via. Poiche:

Py =d

dy

(1√π

∫ y

−∞e−y2

dy

)n

, (2.695)

213


se deve essere P ′y0 = 0, abbiamo:

(n− 1) e−y20 = 2y0

∫ y

−∞e−y2

dy, (2.696)

cioe con errore relativo tendente a zero

n

2√

πe−y2

0 = y0. (2.697)

Passando ai logaritmi, a meno di infinitesimi:

log n − log 2√

π − y2 = log y. (2.698)

Poniamo y0 =√

log n + ε; si avra in prima approssimazione:

− log 2√

π − 2ε√

log n = log√

log n, (2.699)

cioe

ε = − log 2√

π log n

2√

log n, (2.700)

cioe l’espressione di y0 in seconda approssimazione e:

y0 =√

log n − log 2√

π log n

2√

log n. (2.701)

Segue che il termine correttivo tende a zero meno rapidamente dell’am-piezza pratica della curva che rappresenta Py che e dell’ordine 1/

√log n;

conviene quindi tenerne conto.Un’ulteriore approssimazione non darebbe correzioni comparabili con

1/√

log n. Conviene quindi assumere come determinazioni di prima ap-prossimazione per y0 e Py0 :

y0 =√

log n− log 2√

π log n

2√

log n(2.702)

Py0 =2√

log n

e, (2.703)

oppure:

Py0 =2y0

e. (2.704)

214


2.39.3 Coefficienti binomiali

n

0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 19 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

n

11 1 11 55 165 330 462462 330 165 55 11 1

12 1 12 66 220 495 792924 792 495 220 66 121

13 1 13 78 286 715 12871716 1716 1287 715 286 7813 1

14 1 14 91 364 1001 20023003 3432 3003 2002 1001 36491 14 1

15 1 15 105 455 1365 30035005 6435 6435 5005 3003 1365455 105 15 1

215


n

16 1 16 120 560 1820 43688008 11440 12870 11440 8008 43681820 560 120 16 1

17 1 17 136 680 2380 618812376 19448 24310 24310 19448 123766188 2380 680 136 17 1

18 1 18 153 816 3060 856818564 31824 43758 48620 43758 3182418564 8568 3060 816 153 18

119 1 19 171 969 3876 11628

27132 50388 75582 92378 92378 7558250388 27132 11628 3876 969 171

19 120 1 20 190 1140 4845 15504

38760 77520 125970 167960 184756 167960125970 77520 38760 15504 4845 1140

190 20 1

216


2.39.4 Coefficienti dello sviluppo di 1/(1− x)n

Abbiamo

1

(1− x)n=

∞∑r=0

(n + r − 1

r

)xr =

∞∑r=0

(n + r − 1

n− 1

)xr. (2.705)

Segue che (n + r − 1

r

)=

r∑r=0

(n + r − 2

r

), (2.706)

cioer∑

r=0

(k − 1 + r

r

)=

(k + r

r

). (2.707)

Nella tabella riportiamo alcuni coefficienti dell’espansione di 1/(1− x)n.

r = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 1 3 6 10 15 21 28 36 45 554 1 4 10 20 35 56 84 120 165 2205 1 5 15 35 70 126 210 330 495 7156 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 20027 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 50058 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 114409 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310

10 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620

2.39.5 Relazione tra i coefficienti binomiali

(n− 1r − 1

)+

(n− 1

r

)=

(nr

)(2.708)

n∑r=0

1

2n+r

(n + r

n

)= 1 (2.709)

217


(vedi paragrafo 1.32);

∞∑r=0

1

2n+r

(n + r

n

)= 2 (2.710)

(vedi paragrafo 1.32). Segue che

∞∑r=1

1

22n+r

(2n + r

n

)= 1 (2.711)

l∑r=0

(n + r

r

)=

(n + l + 1

l

)(2.712)

(vedi il punto precedente); cioe:

l∑r=0

(n + r

n

)=

(n + l + 1

n + 1

)(2.713)

2r>n∑r=0

1

2r + 1

(n2r

)=

2n

n + 1. (2.714)

2.39.6 Valori medi di rn tra superfici sferiche con-centriche

(Si veda il paragrafo 1.21.)

Sia P un punto di coordinate α = 0, β = 0, γ = 1, e P1 un punto dellasfera di equazione

α2 + β2 + γ2 = x2 < 1. (2.715)

Detta r la distanza fra P e P1, indicheremo con Sn il valore medio62 di rn :

Sn =1

4πx2

∫ 4πx2

0

rn dσ =1

4π

∫ 4π

0

rn dω. (2.716)

62In cio che segue l’Autore indica con dσ, dω e dS, rispettivamente, l’elementodi superficie, l’elemento di angolo solido, e l’elemento di volume.

218


Segue:

dSn

dx=

1

4π

∫ 4π

0

grad rn ·u dω (2.717)

x2 dSn

dx=

1

4π

∫ 4πx2

0

grad rn ·u dσ, (2.718)

essendo u un vettore unitario normale alla sfera. Segue dalla (2.718),

x2 dSn

dx=

1

4π

∫ 4πx3

0

grad 2 rn dS

=1

4π

∫ 4πx3

0

n(n + 1) rn−2 dS (2.719)

d

dx

(x2 dSn

dx

)=

n(n + 1)

4π

∫ 4πx2

0

rn−2 dσ

= n(n + 1) x2 Sn−2. (2.720)

cioed2Sn

dx2+

2

x

dSn

dx= n(n + 1) Sn−2, (2.721)

che si puo anche scrivere:

1

x

d2(xSn)

dx2= n(n + 1) Sn−2. (2.722)

D’altra parte, la (2.717) si puo scrivere:

dSn

dx=

1

4π

∫ 4π

0

n rn−1 r2 + x2 − 1

2xrdω, (2.723)

cioe:dSn

dx=

n

2xSn − n

1− x2

2xSn−2. (2.724)

Derivando ancora rispetto a x e sostituendo nella (2.721), si ricava la re-lazione in termini finiti:

(n + 2) Sn − 2n (1 + x2) Sn−2 + (n− 2) (1− x2)2 Sn−4 = 0. (2.725)

Le equazioni (2.722) e (2.725), quando si aggiungano le ovvie relazioni:

S0 = 1, S−1 = 1, Sn(0) = 1, (2.726)

219


permettono il calcolo di tutte le Sn.Calcoliamo S1; dalle equazioni (2.722) e (2.726) segue:

d2(xS1)

dx2= 2x

d(xS1)

dx= 1 + x2

x S1 = x +1

3x3

S1 = 1 +1

3x2. (2.727)

Ponendo n = 0 nella (2.725), si ricava:

2 − 2(1− x2)2 S−4 = 0, (2.728)

da cui:

S−4 =1

(1− x2)2. (2.729)

Segue per la (2.722):

d2(xS−2)

dx2=

2x

(1− x2)2

d(xS−2)

dx=

1

1− x2

x S−2 =1

2log

1 + x

1− x

S−2 =1

2xlog

1 + x

1− x. (2.730)

Noti i valori di S1, S−4, e S−2 dalle equazioni (2.727), (2.729) e (2.730),tutte le altre Sn si calcolano mediante l’uso della sola (2.725). Per esempioponendo n = 2:

4S2 − 4(1 + x2) = 0, (2.731)

da cui

S2 = 1 + x2, (2.732)

220


come si verifica direttamente in modo immediato

S0 = 1 S0(1) = 1

S1 = 1 +1

3x2 =

(1 + x)3 − (1− x)3

6xS1(1) =

4

3

S2 = 1 + x2 =(1 + x)4 − (1− x)4

8xS2(1) = 2

S3 = 1 + 2x2 +1

5x4 = . . . S3(1) =

16

5

S4 = 1 +10

3x2 + x4 = . . . S4(1) =

16

3.

In generale, per n > −2, abbiamo

Sn(1) =2n+1

n + 2. (2.733)

In questa formola Sn(1) e evidentemente il valore medio fra le potenzen-esime delle distanze di due elementi di superficie di una sfera di raggiounitario (vedi il paragrafo 1.21 e le formole analoghe per gli elementi disuperficie di un cerchio).

Per n negativo, abbiamo invece:

S0 = 1 S0(1) = 1

S−1 = 1 S−1(1) = 1

S−2 =1

2xlog

1 + x

1− xS−2(1) = ∞

S−3 =1

1− x2=

1

2x

(1

1− x− 1

1 + x

)

S−4 =1

(1− x2)2=

1

4x

(1

(1− x)2− 1

(1 + x)2

)

S−5 =1 +

1

3x2

(1− x2)3=

1

6x

(1

(1− x)3− 1

(1 + x)3

).

221


Si noti che, con l’eccezione di S−2, le quantita Sn (con n intero) sonofunzioni razionali.

Poniamo:

Sn =

∞∑r=0

arn x2r, (2.734)

e sara sempre (vedi (2.726))

a0n = 1. (2.735)

L’equazione (2.722) si puo scrivere, piu in generale:

1

x

d2k(xSn)

dx2k= (n + 1)n(n− 1)·s(n− 2k + 2) Sn−2k. (2.736)

Segue per la (2.726)

arn (2r + 1)! = (n + 1)n(n− 1)·s(n− 2r + 2), (2.737)

da cui:

arn =

(n + 1)n(n− 1)·(n− 2r + 2)

(2r + 1)!(2.738)

Sn =

∞∑r=0

(n + 1)n(n− 1)·s(n− 2r + 2)

(2r + 1)!x2r. (2.739)

L’ultima equazione puo essere anche scritta:

Sn =

∞∑r=0

(n + 1

2r

)x2r

2r + 1. (2.740)

Per n > −2 intero, la somma si riduce a un polinomio finito. Si trova inparticolare la (2.733) (cfr. la (2.714)):

Sn(1) =

2r≥n+1∑r=0

(n + 1

2r

)1

2r + 1=

2n+1

n + 2. (2.741)

222


Segue:

S6 = 1 + 7x2 + 7x4 + x6 S6(1) = 16

S5 = 1 + 5x2 + 3x4 +1

7x6 S5(1) =

64

7

S4 = 1 +10

3x2 + x4 = . . . S4(1) =

16

3

S3 = 1 + 2x2 +1

5x4 = . . . S3(1) =

16

5

S2 = 1 + x2 =(1 + x)4 − (1− x)4

8xS2(1) = 2

S1 = 1 +1

3x2 =

(1 + x)3 − (1− x)3

6xS1(1) =

4

3

S0 = 1 S0(1) = 1

S−1 = 1 S−1(1) = 1

S−2 = 1 +1

3x2 +

1

5x4 +

1

7x6 + . . .

S−3 = 1 + x2 + x4 + x6 + . . .

S−4 = 1 + 2x2 + 3x4 + 4x6 + . . .

S−5 = 1 +2·53

x2 +3·73

x4 +4·93

x6 + . . .

S−6 = 1 +4·5·64!

x2 +6·7·84!

x4 +8·9·10

4!x6 + . . .

L’equazione (2.739) si puo scrivere nel caso n > −2 oppure n < −2:63

Sn =

2r=n+1/2±1/2∑r=0

(n + 1

2r

)x2r

2r + 1, n > −2 (2.742)

63Il segno + nel limite superiore della sommatoria si riferisce a n dispari, mentreil segno − si riferisce a n pari.

223


Sn =

∞∑r=0

1

−n− 2

( −n− 2 + 2r−n− 3

)x2r, n < −2. (2.743)

Sia y dr la probabilita che r sia compreso tra r e r + dr. Sara

y = 0, per |r − 1| > x. (2.744)

Altrimenti consideriamo il punto con coordinate α = 0, β = 0, γ = x suuna sfera interna. Centro in esso, tracciamo la sfera di raggio r

α2 + β2 + (γ − x)2 = r2 (2.745)

e intersechiamo con la sfera esterna

α2 + β2 + γ2 = 1. (2.746)

Si deduce per il cerchio comune alle due sfere:

2γ x − x2 = 1 − x2

γ =1 + x2

2x− r2

2x(2.747)

e sara:

y =1

2

∣∣∣∣dγ

dr

∣∣∣∣ =r

2x. (2.748)

Riassumendo:

y =

0, per r < 1− x

r

2x, per 1− x < r < 1 + x

0, per 1 + x < r,

(2.749)

e, in particolare:

y(1− x) =1− x

2x

y(1 + x) =1 + x

2x.

(2.750)

Si deduce:

Sn =

∫ ∞

−∞rn y dr =

∫ 1+x

1−x

rn+1

2xdr

=(1 + x)n+2 − (1− x)n−2

2(n + 2)x, (2.751)

224


che riassume le formole (2.733), (2.739), (2.742) e (2.743). L’equazione(2.751) cade in difetto per n = −2, in qual caso si ha:

S−2 =

∫ 1+x

1−x

1

2rxdr =

1

2xlog

1 + x

1− x, (2.752)

come si era gia trovato.

225

VOLUMETTO

3 28 giugno 1929

3.1 Somma di alcune serie

(17)

∞∑r=1

1

re−ry sin rx = arctan

sin x

ey − cos x

= arctantan x/2

tanh y/2− x

2, (3.1)

ovvero, ponendo K = e−y¿

∞∑r=1

Kr

rsin rx = arctan

K sin x

1 − K cos x

= arctan

(1 + K

1−Ktan

x

2

)− x

2. (3.2)

Casi particolari:

(a) K=1:∞∑

r=1

sin rx

r=

π

2− x

2; (3.3)

che e la formola (12).

(b) x = π/2:

K − 1

3K3 +

1

5K5 + . . . = arctan K. (3.4)

(c) da (a), ponendo x = π/4, si ricava con facili riduzioni:

2

3·5 − 2

7·9 +2

11·13− 2

15·17+ . . . =

π

2√

2− 1. (3.5)

227

Volumetto 3: 28 giugno 1929

(18)2

1·3 +2

3·5 +2

5·7 +2

7·9 + . . . = 1

2

1·3 +2

5·7 +2

9·11+ . . . =

π

4

2

3·5 +2

7·9 +2

11·13+

2

15·17+ . . . = 1 − π

4

2

3·5 +2

11·13+

2

19·21+

2

27·29+ . . . = π

√2− 1

8

2

7·9 +2

15·17+

2

23·25+

2

31·33+ . . . = 1 − π

√2 + 1

8.

(19)2

82(82 − 1)+

2

162(162 − 1)+

2

242(242 − 1)+ . . .

= 1 − π

√2 + 1

8− π2

192.

(20)2

84(84 − 1)+

2

164(164 − 1)+

2

244(244 − 1)+ . . .

= 1 − π

√2 + 1

8− π2

192− π4

90·2048.

(21)

∞∑r=0

(n + 1

2r

)x2r

2r + 1=

(1 + x)n+2 − (1− x)n+2

2(n + 2)x

per x ≤ 1; si veda il paragrafo 2.38.6. Se n e intero e positivo, la serie siriduce a una somma finita fino a 2r = n + 1/2± 1/2.

Casi particolari:

(a) x = 1:∞∑

r=0

(n + 1

2r

)1

2r + 1=

22n+1

n + 2; (3.6)

228


(b) la formola cade in difetto per n = −2; passando al limite:

1 +1

3x2 +

1

5x4 +

1

7x6 + . . . =

1

2xlog

1 + x

1− x; (3.7)

(c) per altre espressioni particolari relative a n intero si veda il paragrafo2.38.6.

(22)

∞∑r=1

cos rx

r= − log 2 − log sin

x

2

per 0 < x < 2π.

(23) Se nella (3.274) si scambia k, supposto non intero, in −k e si somma,notando che y(k) + y(−k) = 0, si ricava:

1

1− k2− 3

9− k2+

5

25− k2− 7

49− k2+ . . . ± 2n + 1

(2n + 1)2 − k2+ . . .

=π

4 cos kπ/2(3.8)

3.2 L’equazione ¤H = r

Prendiamo una formola relativa all’equazione piu semplice:

∆ V = p. (3.9)

Poiche 1/r e una funzione armonica avremo:

1

r∆ V =

1

r∆ V − V ∆

1

r= div

(1

rgrad V − V grad

1

r

); (3.10)

e per la (3.9):

div

(1

rgrad V − V grad

1

r

)=

p

r. (3.11)

229


Se con r intendiamo la distanza di un punto generico P dal punto P0,integrando in uno spazio S′ compreso fra una superficie σ chiusa intorno aP0 e una sferetta di raggio ε con centro in P0:

∫

S′

p

rdS =

∫

σ

(V cos α + r

∂V

∂n

)dσ

r2−

∫ 4πε2

0

(V + ε

∂V

∂n

)dσ

ε2,

(3.12)essendo n la normale esterna e α l’angolo fra detta normale e il raggiovettore. Facendo tendere ε a zero, S′ tende all’intero spazio S limitato daσ e la (3.12) diventa:

V (P0) = − 1

4π

∫

S

p

rdS +

1

4π

∫

σ

(V cos α + r

∂V

∂n

)dσ

r2. (3.13)

Premesso cio, consideriamo l’equazione differenziale:

∆ H − 1

c2

∂2H

∂t2= r, (3.14)

essendo r funzione nota dello spazio e del tempo. Indicata come prima conr la distanza da un punto fisso P0, definiamo la funzione H1:

H1(P, t) = H(P, t− r

c

), (3.15)

Segue:

H(P, t) = H1(P, t + r/c)

H ′x(P, t) = H ′

1 x(P, t + r/c) +x

rcH ′

1 t(P, t + r/c)

H ′′xx(P, t) = H ′′

1 xx(P, t + r/c)2x

rcH ′′

1 xt(P, t + r/c)

+x2

r2c2H ′′

1 tt(P, t + r/c) +r2 − x2

r3cH ′

1 t(P, t + r/c)

∆ H(P, t) = ∆ H1(P, t + r/c) +1

c2H ′′

1 tt(P, t + r/c)

+2

cH ′′

1 tr(P, t + r/c) +2

rcH ′

1 t(P, t + r/c)

1

c2H ′′

tt(P, t) =1

c2H ′′

tt(P, t + r/c).

230



r(P, t) = ∆ H1(P, t + r/c) +2

cH ′′

1 tr(P, t + r/c) +2

rcH ′

1 t(P, t + r/c),

(3.16)ovvero, ponendo t in luogo di t + r/c:

∆ H1(P, t) +2

cH ′′

1 tr(P, t) +2

rcH ′

1 t(P, t) = r(P, t− r/c). (3.17)

Se A e una funzione qualunque del posto e del tempo, porremo:

A(P, t) = A(P, t− r/c), (3.18)


∆ H1 +2

c

∂2H1

∂t∂r+

2

rc

∂H1

∂t= r. (3.19)

Poniamo:

p = r − 2

c

∂2H1

∂t∂r− 2

rc

∂H1

∂t; (3.20)

la (3.19) diventa:∆ H1 = p. (3.21)

Per un dato valore di t, H1 e p sono funzioni dello spazio e possiamoapplicare la (3.13). Risulta:

H1(P0, t) = − 1

4π

∫

S

p

rdS +

1

4π

∫

σ

(H1 cos α + r

∂H1

∂n

)dσ

r2

= − 1

4π

∫

S

r

rdS +

1

4π

2

c

∫

S

(∂2H1

∂t∂r+

1

r

∂H1

∂t

)dS

r

+1

4π

∫

σ

(H1 cos α + r

∂H1

∂n

)dσ

r2. (3.22)

D’altra parte:∫

S

(∂2H1

∂t∂r+

1

r

∂H1

∂t

)dS

r=

∫dω

∫ (r

∂2H1

∂t∂r+

∂H1

∂t

)dr

=

∫dω

∫∂

∂r

(r

∂H1

∂t

)dr

=

∫

σ

r∂H1

∂tdω

=

∫

σ

r∂H1

∂tcos α

dσ

r2. (3.23)

231


Sostituendo nella (3.22), si trova:

H1(P0, t) = − 1

4π

∫

S

r

rdS

+1

4π

∫

σ

(H1 cos α + r

∂H1

∂n+

2r

c

∂H1

∂tcos α

)dσ

r2.

(3.24)

D’altra parte:

H1(P0, t) = H(P0, t),

H1(P, t) = H(P, t− r/c) = H(P, t),

∂H1(P, t)

∂n=

∂H(P, t− r/c)

∂n=

∂H(P, t)

∂n− cos α

c

∂H(P, t)

∂t;

da cui sostituendo nella (3.24):

H(P0, t) = − 1

4π

∫

S

r

rdS

+1

4π

∫

σ

(H cos α + r

∂H

∂n+

r

c

∂H

∂tcos α

)dσ

r2,

(3.25)

che esprime manifestamente, ponendo r = 0, un principio piu generale diquello di Huygens.

Consideriamo delle soluzioni periodiche della (3.14):

H = u eiσt. (3.26)

Se si pone

k =σ

c, (3.27)

la (3.14) diventa:∆ u + k2 u = r e−iσt. (3.28)

Poniamo ancorar = y eiσt, (3.29)

e dovra essere y funzione solo di spazio segue:

∆ u + k3 u = y. (3.30)

232


Se le equazioni (3.26) e (3.29) sono soddisfatte a ogni soluzione della (3.14)corrisponde una soluzione della (3.30), e inversamente; e lo stesso dicasi sein luogo delle equazioni (3.26) e (3.29) sono soddisfatte le equazioni chesi ottengono cambiando segno a i dove compare esplicitamente. Se u euna soluzione della (3.30), si avra dunque per le equazioni (3.25), (3.26), e(3.29):

u(P0) = − 1

4π

∫

S

e−ikr

ry dS

+1

4π

∫

σ

(u (1 + ikr) cos α + r

∂u

∂n

)e−ikr dσ

r2. (3.31)

Cangiando segno all’immaginario i in −i, si ottiene una seconda espressionedi u:

u(P0) = − 1

4π

∫

S

eikr

ry dS

+1

4π

∫

σ

(u (1 − ikr) cos α + r

∂u

∂n

)eikr dσ

r2. (3.32)

Sommando e dividendo per due si ha una terza espressione di u, nella qualenon compare l’immaginario:

u(P0) = − 1

4π

∫

S

cos kr

ry dS +

1

4π

∫

σ

(u cos kr cos α

+ u kr sin kr cos α + r∂u

∂ncos kr

)dσ

r2. (3.33)

Per differenza e dividendo per 2i, si ottiene invece una notevole identita

0 = − 1

4π

∫

S

sin kr

ry dS

+1

4π

∫

σ

(u sin kr cos α − u kr cos kr cos α + r

∂u

∂nsin kr

)dσ

r2,

cioe: ∫

S

sin kr

ry dS

=

∫

σ


∂u

∂nsin kr

)dσ

r2.

(3.34)

233


Se si fa tendere k a zero, la (3.30) si riduce alla (3.9) e la (3.33) alla (3.13).Sostituendo mediante la (3.30) in (3.34), si ha:

∫

S

sin kr

r

(∆ u + k2 u

)dS

=

∫

σ


∂u

∂nsin kr

)dσ

r2,

(3.35)

che e una pura identita valevole per una funzione arbitraria u. In partico-lare supponiamo nella (3.35) k infinitesimo e sviluppiamo i singoli terminisecondo le potenze di k. Uguagliando gli infinitesimi del primo ordine sitrova: ∫

S

∆ u dS =

∫

σ

∂u

∂ndσ, (3.36)

che esprime il ben noto teorema della divergenza.. Altre identita si otten-gono eguagliando gli infinitesimi di ordine piu elevato; per esempio si haper gli infinitesimi del terzo ordine:

∫

S

(u − 1

6r2 ∆ u

)dS =

∫

σ

(1

3u r cos α − 1

6r2 ∂u

∂n

)dσ, (3.37)

formola di facile verifica diretta quando si badi che

u − 1

6r2 ∆ u =

1

6

(u ∆ r2 − r2 ∆ u

). (3.38)

Riprendiamo la (3.31) e facciamo delle approssimazioni. Supponiamoin primo luogo r grande rispetto alla lunghezza d’onda, con che si puotrascurare l’unita di fronte a ikr; supponiamo inoltre che σ sia una superfi-cie d’onda di un’onda progressiva, con raggio minimo di curvatura grandeanch’esso rispetto alla lunghezza d’onda; si potra allora considerare l’ondacome piana per un tratto breve e sara approssimativamente:

∂u

∂n= ± i k u, (3.39)

secondo che l’onda si avvicina a P0 o se ne allontana. La (3.31) si riduceallora con le fatte approssimazioni a:

u(P0) =k i

4π

∫

σ

u (cos α± 1)e−i kr

rdσ (3.40)

234


ovvero, introducendo la lunghezza d’onda in base alla relazione:

k =2π

λ, (3.41)

u(P0) =i

λ

∫

σ

cos α± 1

2

u e−2πiλ

r

rdσ. (3.42)

Se α e piccolo e l’onda si avvicina:

u(P0) =i

λ

∫

σ

e−2πiλ

r

ru dσ. (3.43)

3.3 Equilibrio di una massa liquidaeterogenea in rotazione(Problema di Clairaut)

Si suppone che la massa rotante risulti dalla sovrapposizione di stati liq-uidi incompressibili di densita differenti. La velocita angolare di rotazioneω si suppone piccola; le deformazioni che la massa subisce per effetto dellarotazione sono allora dell’ordine di ω2. Si riguardera percio ω2 come in-finitesimo principale.

Le particelle liquide si attirano secondo la legge di Newton, in cui sisupporra di ridurre il coefficiente d’attrazione, mediante una convenientescelta di unita. Finche la massa e in riposo sara la densita una funzionemai crescente della distanza dal centro:

ρ = ρ(r), ρ′ ≤ 0. (3.44)

Analogamente il potenziale newtoniano (funzione delle forze) dipendera dar:

V0 = V0(r). (3.45)

Indicheremo con D la densita media della massa che si trova a distanzaminore di r:

D =

∫ r

0

ρ r2 dr

r3/3. (3.46)

235


Segue:

r3 D = 3

∫ r

0

ρ r2 dr (3.47)

3r2 D + r3 D′ = 3 ρ r2, (3.48)

cioe:

3 ρ = 3D + r D′; (3.49)

da cui derivando:

3 ρ′ = 4D′ + r D′′, (3.50)

che servira in seguito.La forza che si esercita a distanza r su una massa unitaria sara

(1

r2

) ∫ r

0

4πr2 ρ dr =4

3π r D, (3.51)

cosicche:

V ′0 = −4

3π r D. (3.52)

Si ponga ora la massa in rotazione; una particella che si trovava in Psi portera in P ′ nella nuova configurazione di equilibrio. Poniamo:

η = PP ′ cos(r , PP ′

). (3.53)

Lo spostamento normale η si potra sviluppare secondo le funzioni sfericheY :

η =∑

H Y, (3.54)

essendo le H funzioni del raggio.Se la rotazione ha luogo intorno all’asse z compariranno nello sviluppo(3.54) solo le funzioni sferiche simmetriche intorno all’asse z, le quali sarannoesprimibili mediante i polinomi di Legendre:

Pn(cos θ). (3.55)

Inoltre scambiando z in −z, η deve rimanere inalterato. Dovremo quindilimitarci alle funzioni sferiche d’ordine pari. Inoltre sulla superficie sfericadi raggio r dovra essere: ∫

η dσ = 0. (3.56)

236


Deve quindi mancare la funzione sferica, d’ordine zero. La prima ad ap-parire sara la funzione di secondo ordine che prenderemo sotto la forma:

Y = (x2 + y2 − 2z2)/r2. (3.57)

Noi vogliamo supporre che per tutte le altre sia H = 0. Questo equivalea supporre che le superfici di egual densita sono in prima approssimazionedegli ellissoidi. Tale ipotesi e evidentemente verificata per la superficielibera.L’equazione (3.54) si riduce allora a:

η = H Y, (3.58)

con Y definita dalla (3.57).Lo schiacciamento della superficie di egual densita e di raggio medio r eevidentemente:

s = 3H/r. (3.59)

Analogamente supporremo che il potenziale newtoniano sia in prima ap-prossimazione:

V = V0 + L Y. (3.60)

Aggiungendo il potenziale della forza centrifuga si ottiene il potenzialetotale che deve essere considerato per l’equilibrio relativo:

U = V +1

2ω2 (

x2 + y2)

= V0 +1

3ω2 r2 +

(L +

1

6ω2 r2

)Y . (3.61)

La densita ρ1 del fluido in rotazione sara in prima approssimazione, a causadelle equazioni (3.53) e (3.58):

ρ1 = ρ − η ρ′ = ρ − H ρ′ Y. (3.62)

Per determinare H e L, che sono attualmente le incognite del nostroproblema, dobbiamo valerci dell’equazione di Poisson e della condizioneche le superfici di egual densita coincidano con le superficie equipotenziali.L’equazione di Poisson ci da:

∆ V = − 4π ρ1, (3.63)

237


cioe essendo

∆ V0 = 4π ρ (3.64)

V − V0 = L Y (3.65)

ρ1 − ρ = −H ρ′ Y (3.66)

semplicemente:

∆ L Y = 4π H ρ′ Y. (3.67)

Ovvero, dividendo per Y :

4π H ρ′ = L′′ +2

rL′ − 6

r2L. (3.68)

Le superfici equipotenziali (U = cost.) sono in prima approssimazione degliellissoidi di rivoluzione intorno a z. Lo schiacciamento della sezione merid-iana sara in prima approssimazione:

sU = −3L + (1/6) ω2 r2

r V ′0

= +3L + (1/6) ω2 r2

(4/3)π r2 D. (3.69)

Le superfici di egual densita sono, come si e visto, anche esse ellissoidi dirivoluzione, il cui schiacciamento e dato dalla (3.59). Perche le due famigliedi superficie coincidano dovra essere:

s = sU , (3.70)

cioe:

H =L + (1/6) ω2 r2

(4/3)π r D. (3.71)

Risolvendo la (3.71) rispetto a L si ha:

L =4

3π r D H − 1

6ω2 r2 (3.72)

L′ =4

3π D H +

4

3π r D′H +

4

3π r D H ′ − 1

3ω2 r (3.73)

L′′ =8

3π D′H +

8

3π D H ′ +

8

3π r D′H ′

+4

3π r D′′H +

4

3π r D H ′′ − 1

3ω2. (3.74)

238


Sostituendo nella (3.68), si elimina L:

3 H ρ′ = − 4 D H

r+ 4 D′H + 4 D H ′ + 2r D′H ′

+ r D′′H + r D H ′′; (3.75)

ma per la (3.50),

3 H ρ′ = 4 D′H + r D′′H, (3.76)

cosı che rimane:

0 = − 4 D H

r+ 4 D H ′ + 2r D′ + r D H ′′, (3.77)

o anche:

D

(−4 + 4r

H ′

H+ r2 H ′′

H

)+ 2r D′ r H ′

H= 0. (3.78)

Poniamo:

q = r s′/s; (3.79)

ricordando che s = 3H/r, sara:

s′

s=

H ′

H− 1

r(3.80)

q = rH ′

H− 1 (3.81)

da cui:

rH ′

H= 1 + q (3.82)

H ′

H+ r

H ′′

H− r

(H ′

H

)2

= q′ (3.83)

rH ′

H+ r2 H ′′

H− r2

(H ′

H

)2

= r q′ (3.84)

1 + q + r2 H ′′

H− (1 + q)2 = r q′ (3.85)

r2 H ′′

H= r q′ + q + q2. (3.86)

239


Sostituendo mediante (3.82) e (3.86) nella (3.78), si trova:

D(r q′ + 5 q + q2) + 2r D′ (1 + q) = 0, (3.87)

che e l’equazione di Clairaut. .Se rD′/D tende a 0 per r che tende a 0, dovra essere per r = 0

5 q + q2 = 0, (3.88)

cioe:q = 0, q = −5. (3.89)

Ora nel centro della massa rotante si avra sviluppando V :

V = V (0) + A(x2 + y2) + B z2 + . . . . (3.90)

Se si suppone ρ′(0) finito (in particolare nullo), V sara sviluppabile secondox, y, z e per ragioni di simmetria mancheranno i termini di grado dispari.Indicando con ε una funzione infinitesima con r del quarto ordine, avremo:

U = V (0) + A(x2 + y2) +

1

2ω2 (

x2 + y2) + B z2 + ε, (3.91)

e sara naturalmente:4A + 2B = − 4π ρ(0). (3.92)

Poniamo:U = cost.; (3.93)

sara (A1 = −A, B1 = −B)

(A1 − 1

2ω2

) (x2 + y2) + B1 z2 + ε = cost. (3.94)

E a meno di infinitesimi del secondo ordine sara:

s =1/

√A1 − ω2/2 − 1/

√B1

1/√

A1 − ω2/2= 1 −

√A1 − ω2/2

B1. (3.95)

Sara quindi:s′(0) = 0 (3.96)

e a fortiori,

q(0) =r s′(0)

s(0)= 0. (3.97)

240


Il punto

(r, q) = (0, 0). (3.98)

La curva integrale di (3.87) che risolve il problema passa per il punto:

r = 0 , q = 0.

Supponiamo che D possa svilupparsi secondo le potenze pari di r:

D = D(0) + ar2 + br4 + cr6 + . . . (3.99)

e analogamente:

q = q0 + αr2 + βr4 + γr6 + . . . (3.100)

ovvero, ponendo:

a0 = D0 (3.101)

a2 = a (3.102)

a4 = b (3.103)

a6 = c (3.104)

. . .

α0 = q0 = 0 (3.105)

α2 = α (3.106)

α4 = β (3.107)

α6 = γ (3.108)

. . .

D =∑

a2n r2n (3.109)

q =∑

α2n r2n; (3.110)

e sostituendo nella (3.87):

(∑a2n r2n

) [∑ (2n α2n r2n + 5α2n r2n)

+(∑

α2n r2n)2

]

+ 2∑

2n α2n r2n(1 +

∑α2n r2n

)= 0. (3.111)

241


Calcoliamo i primi coefficienti dello sviluppo di q. Avremo:

D = D0 + ar2 + br4 + cr6 + . . . (3.112)

r D′ = 2ar2 + 4br4 + 6cr6 + . . . (3.113)

q = αr2 + βr4 + γr6 + . . . (3.114)

r q′ = 2αr2 + 4βr4 + 6γr6 + . . . (3.115)

q2 = α2r4 + 2αβr6 + . . . (3.116)

r q′ + 5 q + q2 = 7αr2 + (9β + α2)r4 + . . .

+(11γ + 2αβ)r6 + . . . (3.117)

1 + q = 1 + αr2 + βr4 + γr6 + . . . (3.118)

D(r q′ + 5 q + q2) = 7α D0 r2 +

((9β + α2)D0 + 7αa

)r4

+((11γ + 2αβ)D0 + (9β + α2)a

+ 7αb) r6 + . . . (3.119)

2 r D′ (1 + q) = 4ar2 + (4αa + 8b)r4

+ (4βa + 8αb + 12c)r6 + . . . (3.120)

Segue:

7α D0 + 4a = 0 (3.121)

(9β + α2)D0 + 7αa + 4αa + 8b = 0 (3.122)

(11γ + 2αβ)D0 + (9β + α2)a + 7αb

+4βa + 8αb + 12c = 0. (3.123)

Se M e la massa del pianeta, l’attrazione in punti esterni, in particolaresulla superficie libera, ammette per potenziale in prima approssimazione:

V =M

r+I0 − 3 I/2

r3(3.124)

I e il momento d’inerzia rispetto alla retta OP 64 e I0 e il momentod’inerzia (non assiale, ma polare) rispetto al baricentro.

Sulla superficie libera sara:

U =M

r+I0 − 3 I/2

r3+

1

2ω2 (

x2 + y2) = cost. (3.125)

64Retta che unisce il centro del pianeta al punto esterno considerato.

242


Indicando con Rp il raggio polare e con Re il raggio equatoriale, sara:

M

Rp− C − A

R3p

=M

Re+

1

2

C − A

R3e

+1

2ω2 R2

e, (3.126)

essendosi indicato con C il momento d’inerzia rispetto all’asse polare e conA il momento d’inerzia65 rispetto a un asse equatoriale; di modo che

I0 = A +1

2C. (3.127)

Indichiamo con f il rapporto tra forza centrifuga e gravita all’equatore econ r1 il raggio medio del pianeta; sara in prima approssimazione

f =ω2 r3

1

M. (3.128)

Segue dalla (3.126), in prima approssimazione:

M

(1

Rp− 1

Re

)=

3

2

C − A

r31

+1

2

f

r1M ; (3.129)

e ponendo al solito:

s1 =Re − Rp

Re(3.130)

sara, sempre in prima approssimazione:

s1 =3

2

C − A

Mr21

+1

2f, (3.131)

o anche indicando con D1 la densita media dell’intero pianeta:

s1 − 1

2f =

9 (C − A)

8π r51 D1

. (3.132)

Il momento d’inerzia medio della terra sara:

I =8π

3

∫ r1

0

ρ r4 dr. (3.133)

Ora: ∫ r1

0

ρ r4 dr =

∫ r1

0

r2 ρ r2 dr =

∫ r1

0

r2 d

(1

3r3D

)

=1

3r51 D1 − 2

3

∫ r1

0

r4 D dr, (3.134)

65Piu sopra questa quantita e stata indicata con I.

243


segue:

I =8π

9

(r51 D1 − 2

∫ r1

0

r4 D dr

). (3.135)

In prima approssimazione sara:

C ' I; (3.136)

e sostituendo nella (3.132) si trova:

s1 − 1

2f =

C − A

C

(1 − 2

r51 D1

∫r4 D dr

). (3.137)

Riprendiamo l’equazione di Clairaut (3.87) e calcoliamo l’espressione:

d

dr

(r5 D

√1 + q

)= 5 r4 D

√1 + q + r5 D′√1 + q

+ r5 Dq′

2√

1 + q

=5 r4 D√1 + q

(1 + q +

rD′

5D(1 + q) +

rq′

10

)(3.138)

Poiche dalla (3.87) si trova:

rD′

5D(1 + q) = − rq′

10− q

2− q2

10, (3.139)

sostituendo nella (3.138) si ricava:

d

dr

(r5 D

√1 + q

)=

5 r4 D√1 + q

(1 +

1

2q − 1

10q2

), (3.140)

da cui:66

r51 D1

√1 + q1 =

∫ r1

0

5 r4 D√1 + q

(1 +

1

2q − 1

10q2

)dr. (3.141)

Poniamo:

K =1 + q/2 − q2/10√

1 + q(3.142)

66Nel manoscritto originale, il limite superiore dell’integrale e r; tuttavia, eevidente che il limite appropriato e r1.

244


la (3.141) diventa:67

r51 D1

√1 + q1 =

∫ r1

0

5 r4 D K dr. (3.143)

Se q e abbastanza piccolo, K e molto prossimo all’unita:68

q k

0 10.1 1.000180.2 1.000510.3 1.000720.4 1.000660.5 1.000210.6 0.999280.7 0.997820.8 0.995800.9 0.993171 0.989952 0.923763 0.8

Il valore massimo di q si ha in superficie q = q1; il valore minimo al centro:(r , q) = (0 , 0).

Calcoliamo q1; su una superficie equipotenziale all’esterno del pianetasi ha, come si e visto dalla (3.131):

s =1

2f +

3

2

C − A

Mr2. (3.144)

Il primo termine del secondo termine cresce in prima approssimazione comer3. Si ha quindi derivando:

r s′ =3

2f − 3

C − A

M r2. (3.145)

67Si veda la nota precedente.68Nella tabella, l’Autore riporta solo i valori per K = 1, 1.00074, 1.00021,

0.98995 corrispondenti rispettivamente a q = 0, 0.3, 0.5, 0.9. Un’evidenza parti-colare e data al valore di q = 0.3.

245


Confrontando con la (3.144)

r s′ + 2s =5

2f

r s′ =5

2f − 2s (3.146)

q =r s′

s=

5

2

f

s− 2.

In particolare, riferendo f alla superficie libera del pianeta:

q1 =5

2

f

s1− 2. (3.147)

Nel caso della terra si ha q1 = 0.57. Sara allora K sempre molto prossimoall’unita. Supponendo K = 1 (e tale ipotesi e lecita tutte le volte che ladensita del pianeta non sia eccessivamente disuniforme), la (3.143) diventa:

r51 D1

√5

2

f

s1− 1 '

∫5 r4 D dr, (3.148)

ovvero, confrontando con la (3.137):

√5

2

f

s1− 1 ' 5

2− 5

2

C

C − A

(s1 − 1

2f

). (3.149)

Nel caso della terra si ha:

f = 1/288 (3.150)

C

C − A= 305; (3.151)

si trova allora:

s1 = 1/297, (3.152)

in perfetto accordo con l’esperienza. Sostituendo nella (3.145) si ha:

1

297=

1

2

1

288+

3

2

C − A

Mr21

, (3.153)

da cui:

C − A =1

920M r2

1, (3.154)

246


e per la (3.151):

C = 0.332 M r21 (3.155)

mentre se la densita fosse costante si avrebbe I = 0.4Mr21.

Valori stabiliti dalla conferenza di Madrid:69

Re ' 6378 (3.156)

Rp = 6357 (3.157)

s = 1/297 (3.158)

D1 = 5.515. (3.159)

Supponiamo che la densita all’interno della terra sia esprimibile sottola forma

ρ = a + b r2 + c r4. (3.160)

Vogliamo determinare i coefficienti con le condizioni:

D1 = 5.515

ρ1 = 2.5 (3.161)

I = 0.332 M r21.

Si avra:

ρ1 = a + b r21 + c r4

1 (3.162)

1

3r31 D1 =

∫ r1

0

(a r2 + b r4 + c r6) dr

=1

3a r3

1 +1

5b r5

1 +1

7c r7

1 (3.163)

cioe:

D1 = a +3

5b r2

1 +3

7c r4

1. (3.164)

Inoltre:

I =8π

3

∫ r1

0

(a r4 + b r6 + c r8) dr

=8π

3

(1

5a r5

1 +1

7b r7

1 +1

9c r9

1

), (3.165)

69L’Autore non fornisce dettagli su questa conferenza.

247


cioe:Ir51

=8π

3

(1

5a +

1

7b r2

1 +1

9c r4

1

). (3.166)

D’altra parte

M

r31

=4

3π D1 +

4

3M

(a +

3

5b r2

1 +3

7c r4

1

), (3.167)

da cui segue:I

Mr21

=2

5

a + 57

b r21 + 5

9c r4

1

a + 35

b r21 + 3

7c r4

1

. (3.168)

I primi membri delle equazioni (3.162), (3.164), (3.168) riguardandosi comenoti, abbiamo il sistema di equazioni lineari nelle incognite a, br2

1, cr41:

a + b r21 + c r4

1 = ρ1

a (1 − δ) + br21

(5

7− δ

3

5

)+ cr4

1

(5

9− δ

3

7

)= 0 (3.169)

a +3

5b r2

1 +3

7c r4

1 = D1

nella seconda delle quali si e posto:

δ =5

2

IMr2

1

. (3.170)

Poniamo inoltre:ε = ρ1/D1. (3.171)

Segue dalle equazioni (3.169):

a (1 − δ) + br21

(5

7− δ

3

5

)+ cr4

1

(5

9− δ

3

7

)= 0

(3.172)

a (1 − ε) + br21

(1 − ε

3

5

)+ cr4

1

(1 − ε

3

7

)= 0,

da cui:

br21 = −

4

9− 4

7δ +

8

63ε

10

63− 6

35δ +

4

147ε

a (3.173)

248


cr41 =

2

7− 2

5δ +

4

35ε

10

63− 6

35δ +

4

147ε

a. (3.174)

Segue:

a = ` (175 − 189 δ + 30 ε)

br21 = − ` (490 − 630 δ + 140 ε) (3.175)

cr41 = ` (315 − 441 δ + 126 ε) .

Sostituendo nella (3.169), si ha:

16 ε ` = ρ1

0 = 0 (3.176)

16 ` = D1.

Da cui, ricordando la (3.171)

l = D1/16. (3.177)

Risulta infine:

ρ =(175 − 189 δ + 30 ε) D1

16

− (490 − 630 δ + 140 ε) D1

16

r2

r21

(3.178)

+(315 − 441 δ + 126 ε) D1

16

r4

r41

con δ e ε definite mediante l’equazioni (3.170) e (3.171). Nel caso dellaterra segue che dalle equazioni (3.175):

δ = 0.83, ε = 0.45. (3.179)

Sostituendo questi valori nella (3.178), si ha:

ρ = D1

(1.977 − 1.881

r2

r21

+ 0.354r4

r41

). (3.180)

La densita massima (al centro della terra) risulterebbe:

ρ0 = 1.977 D1 = 1.977 · 5.515 = 10.90. (3.181)

249


1.977 − 1.881 + 0.354 = 0.45 (3.182)

1.977 − 1.881 · 35

+ 0.354 · 37

= 1.000 (3.183)

1.977 · 25− 1.881 · 2

7+ 0.354 · 2

9= 0.332, (3.184)

cioe se si pone

ρ = D1

(α + β

r2

r21

+ γr4

r41

), (3.185)

i coefficienti α, β, γ soddisfanno alle equazioni:

α + β + γ =ρ1

D1,

α +3

5β +

3

7γ = 1, (3.186)

2

5α +

2

7β +

2

9γ =

IMr2

1

,

piu semplici delle equazioni (3.169).

250


3.4 Determinazione di una funzionequando sono noti i momenti

Sia y una funzione di x:y = y(x), (3.187)

e supponiamo che per x2 > a2 si abbia y = 0; supponiamo inoltre che siafinito l’integrale ∫ ∞

−∞|y| dx (3.188)

Definiamo i momenti µ0, µ1, . . ., µn rispettivamente d’ordine 0, 1, 2, . . . , n:

µ0 =

∫y dx

µ1 =

∫x y dx

. . . (3.189)

µn =

∫xn y dx

Poniamo:

z(t) =

∫y eixt dx, (3.190)

e sara:

y =1

2π

∫ ∞

−∞e−ixt z dt. (3.191)

Segue dalla (3.190):

dz

dt= i

∫x y eixt dx

. . . (3.192)

dnz

dtn= in

∫xn y eixt dx.

Per t = 0, si avra z(0) = µ0

(dnz

dtn

)

0

= in µn. (3.193)

251


Per le ipotesi fatte z e sviluppabile in serie di Mac-Laurin, assolutamenteconvergente:

z =

∞∑0

µn(it)n

n!. (3.194)

Sostituendo nella (3.191) si avra:

y =1

2π

∫ ∞

−∞e−ixt

∞∑0

µn(it)n

n!dt, (3.195)

in cui i segni dell’integrale e le serie non sono naturalmente invertibili.Si puo anche scrivere:

y =1

π

∫ ∞

0

cos xt

∞∑0

(−1)r µ2rt2r

(2r)!dt

+1

π

∫ ∞

0

sin xt

∞∑0

(−1)r µ2r+1t2r+1

(2r + 1)!dt. (3.196)

Esempio 1. Sia y = 1 per 0 < x < 1 e y = 0 per x < 0, oppure perx > 1. I momenti saranno:

µ0 = 1, µ1 =1

2, . . . µn =

1

n + 1.

Sostituiamo nella (3.196) notando che in questo caso:

∞∑0

(−1)r µ2rt2r

(2r)!=

∞∑0

(−1)r t2r

(2r + 1)!

=1

t

∞∑0

(−1)r t2r+1

(2r + 1)!=

sin t

t(3.197)

∞∑0

(−1)r µ2r+1t2r+1

(2r + 1)!=

1

t

∞∑0

(−1)r t2r+2

(2r + 2)!

=1

t

(1 −

∞∑0

(−1)r t2r

(2r)!

)=

1 − cos t

t. (3.198)

252


Si avra:

y =1

π

∫ ∞

0

cos xt sin t + sin xt (1 − cos t)

tdt

=1

π

∫ ∞

0

sin (1− x)t

tdt +

1

π

∫ ∞

0

sin xt

tdt. (3.199)

Il primo integrale vale π/2 per x < 1 e −π/2 per x > 1. Il secondo integralevale −π/2 per x < 0 e π/2 per x > 0. Si avra dunque:

per x < 0, y =1

2− 1

2= 0

per 0 < x < 1, y =1

2+

1

2= 1

per x > 1, y = − 1

2+

1

2= 0

(3.200)

come si era supposto.

Esempio 2. Sia y = 0 per x < 0 e y = e−x per x > 0. Non siamo nellecondizioni supposte e bisogna alquanto rinunciare al rigore matematico. Siavra:

µn = n! (3.201)

Sostituendo ad esempio nella (3.195), sara:

∞∑0

µn(it)n

n!=

∞∑0

(it)n =1

1 − it, (3.202)

formola in realta valida solo per t2 < 1, che altrimenti lo sviluppo nonconverge. Supporremo tuttavia che si possa sempre scrivere:

∞∑0

(it)n =1

1 − it, (3.203)

con che la (3.195) diventa:

y =1

2π

∫ ∞

−∞

e−ixt

1 − itdt. (3.204)

253


Se nella nota formola ((14bis) nel paragrafo 2.26),

∫ ∞

−∞

eix dx

a + ix=

2π e−a, a > 0

0, a < 0(3.205)

poniamo x in luogo di a e −tx in luogo di x, si ha:

∫ ∞

−∞

e−ixt x dt

x − itx=

∫ ∞

−∞

e−ixt dt

1 − it

=

2π e−x, per x > 00, per x < 0,

. (3.206)

Sostituendo otteniamo:

y =

e−x, per x > 0,

0, per x < 0,(3.207)


Esempio 3. Sia y = e−x2. Sara:

µ2r+1 = 0 (3.208)

µ2r =

(2r − 1

2

)!

=√

π · 12· 32· . . . · 2r − 1

2

=√

π(2r)!

r! · 22r. (3.209)

Segue

∞∑0

(−1)r µ2rt2r

(2r)!=√

π

∞∑0

(−1)r t2r

22r r!=√

πe−t24 . (3.210)

Sostituendo nella (3.195):

y =1

2√

π

∫ ∞

−∞e−ixt e−

t24 dt

=1

2√

πe−x2

∫ ∞

−∞e−( t

2+ix)2 dt

254


=1√π

e−x2∫ ∞

−∞e−( t

2+ix)2 d

(t

2+ ix

)

= e−x2. (3.211)


Esempio 4. Proponiamoci di trovare la funzione i cui momenti sono:

µ0 = 1 (3.212)

µ1 =1

4(3.213)

µ2 =1

9(3.214)

. . .

µn =1

(n + 1)2. (3.215)

Avremo:

z =

∞∑0

µn(it)n

n!=

∞∑0

(it)n

(n + 1)! (n + 1)(3.216)

z it =

∞∑1

(it)q

q! q(3.217)

i(z′t + z

)= i

∞∑1

(it)q−1

q!(3.218)

it(z′t + z

)=

∞∑1

(it)q

q!= eit − 1 (3.219)

z′ = − z

t+

eit − 1

it2. (3.220)

Segue, badando che per t = 0 deve essere z = 1:

z =1

t

∫ t

0

eit − 1

itdt. (3.221)

Sostituendo nella (3.195) o in (3.191):

y =1

2π

∫ ∞

−∞e−ixt dt · 1

t

∫ t

0

eit1 − 1

it1dt1

255


=1

π

(∫ ∞

0

cos xt

tdt

∫ t

0

sin t1t1

dt1

+

∫ ∞

0

sin xt

tdt

∫ t

0

1 − cos t1t1

dt1

)

=1

π

∫ π4

0

dθ

sin θ cos θ

∫ ∞

0

(1

r

)[cos (xr cos θ) sin (r sin θ)

+ sin (xr cos θ) (1 − cos (r sin θ))] dr

=1

π

∫ π4

0

dθ

sin θ cos θ·

·∫ ∞

0

1

rsin [r(sin θ − x cos θ)] + sin (rx cos θ) dr. (3.222)

Il secondo integrale vale per 0 < θ < π/4:

0, se x < 0π, se 0 < x < tan θ.

(3.223)

Per 0 < x < 1, avremo quindi

y =

∫ π4

arctan x

dθ

sin θ cos θ= [log tan θ]

π4arctan x = − log x. (3.224)

Resta cosı determinata la funzione y per tutti i valori di x:

per x < 0, y = 0per 0 < x < 1, y = − log xper x > 1, y = 0.

(3.225)

E facile verificare che la funzione y cosı definita soddisfa alle condizioniproposte.

Esempio 5. Sia y dx la probabilita che due punti (elementi di super-ficie) di un cerchio di raggio unitario abbiano distanza compresa tra x ex + dx. I momenti di y, per la formola (7) nel paragrafo 1.21, saranno:

µn =4

n + 4

(n + 1)!

(1 + n/2)! (1 + n/2)!. (3.226)

In particolare,

µ0 = 1 (3.227)

256


µ1 =128

45π(3.228)

µ2 = 1 (3.229)

. . .

Sostituendo in (3.194):

z =

∞∑0

µn(it)n

n!=

∞∑0

4n + 1

n + 4

(it)n

(1 + n/2)! (1 + n/2)!

=

∞∑0

2 (n + 1)(it)n

(1 + n/2)! (2 + n/2)!. (3.230)

Poniamo z = z1 + iz2. Si avra:

z1 =

∞∑0

(−1)r 2 (2r + 1)t2r

(r + 1)! (r + 2)!(3.231)

∫ t

0

z1 dt =

∞∑0

(−1)r 2t2r+1

(r + 1)! (r + 2)!(3.232)

t2∫ t

0

z1 dt =

∞∑0

(−1)r 2t2r+3

(r + 1)! (r + 2)!

= −∞∑1

(−1)s 2t2s+1

s! (s + 1)!

= −∞∑1

(−1)s 2(2t/2)2s+1

s! (s + 1)!

= 2t − 2I1(2t), (3.233)

da cui segue:

∫ t

0

z1 dt =2

t− 2

I1(2t)

t2(3.234)

z1 = − 2

t2− 4

I ′1(2t)

t2+

I1(2t)

t3; (3.235)

e poiche:

I ′1(2t) = I0(2t) − 1

2tI1(2t), (3.236)

257


segue:

z1 = − 2 + 4 I0(2t)

t2+ 6

I1(2t)

t3. (3.237)

Quanto a z2 si avra:

z2 =

∞∑0

(−1)r 4 (r + 1)t2r+1

(r + 3/2)! (r + 5/2)!(3.238)

∫ t

0

z2 dt =

∞∑0

(−1)r 2t2r+2

(r + 3/2)! (r + 5/2)!(3.239)

t2∫ t

0

z2 dt =

∞∑0

(−1)r 2t2r+4

(r + 3/2)! (r + 5/2)!(3.240)

ecc. .

Esempio 6. Sia y(r) dr la probabilita che la distanza tra due puntidi superfici sferiche concentriche, l’una di raggio unitario, l’altra di raggioa < 1, sia compresa fra r e r + dr. I momenti sono in questo caso:

µ0 = 1 (3.241)

µ1 = 1 +1

3a2 (3.242)

·sµn =

(1 + a)n+2 − (1− a)n+2

2(n + 2)a(3.243)

·s;(si veda il paragrafo 2.38.6).

Sostituendo nella (3.194), ricaviamo:

z =(1 + a)2

2a

∞∑0

(1 + a)n (it)n

n! (n + 2)

− (1− a)2

2a

∞∑0

(1− a)n (it)n

n! (n + 2), (3.244)

∫ t

0

z dt =1 + a

2a i

∞∑0

(1 + a)n+1 (it)n+1

(n + 2)!

− 1− a

2a i

∞∑0

(1− a)n+1 (it)n+1

(n + 2)!, (3.245)

258


t

∫ t

0

z dt = − 1

2a

∞∑0

(1 + a)n+2 (it)n+2

(n + 2)!

+1

2a

∞∑0

(1− a)n+2 (it)n+2

(n + 2)!

= − 1

2a

(ei (1+a) t − 1 − i (1 + a) t

)

+1

2a

(ei (1−a) t − 1 − i (1− a) t

)

=ei (1−a) t − ei (1+a) t

2a+ i t, (3.246)

∫ t

0

z dt =ei (1−a) t − ei (1+a) t

2at+ i, (3.247)

z =ei (1+a) t − ei (1−a) t

2at2

− i(1 + a) ei (1+a) t − (1− a) ei (1−a) t

2at. (3.248)

D’altronde:

∫ ∞

−∞z e−i r t dt =

[e−i r t

∫ t

0

z dt

]∞

−∞

−∫ ∞

−∞−i r e−i r t dt

∫ t

0

z(t1) dt1

=

[e−i r t

(ei (1−a) t − ei (1+a) t

2at+ i

)]∞

−∞

+i r

2a

∫ ∞

−∞

ei (1−a−r) t − 1

tdt

− i r

2a

∫ ∞

−∞

ei (1+a−r) t − 1

tdt

− r

∫ ∞

−∞e−i r t dt. (3.249)

Il primo e il quarto termine nel secondo membro sono indeterminati e il

259


loro valore medio e zero. Il secondo vale:

−πr

2a, per r < 1 − a,

πr

2a, per r > 1 − a.

(3.250)

Il terzo vale:π

r

2a, per r < 1 + a,

−πr

2a, per r > 1 + a.

(3.251)

Segue dalla (3.191), ponendo r in luogo di x:

y = 0, per r < 1 − a,

y =r

2a, per 1 − a < r < 1 + a,

y = 0, per r > 1 + a;

(3.252)

(si veda il paragrafo 2.38.6.)

3.5 Curve di probabilita

(1) Probabilita che 2 punti di due superfici sferiche concentriche di raggia e b < a abbiano la distanza r:y = dP/dr (densita di probabilita), si ha:

y = 0, per r < a − b

y =r

2ab, per a − b < r < a + b

y = 0, per r > a + b;

(3.253)

(si vedano i paragrafi 2.39.6 e 3.4.)

260


Seguono i momenti:

µn =

∫rn y dr =

(a + b)n+2 − (a− b)n+2

2ab(n + 2). (3.254)

In particolare:

µ−1 =1

a(3.255)

µ0 = 1 (3.256)

µ1 = a +1

3

b2

a(3.257)

µ2 = a2 + b2 (3.258)

. . .

(2) Densita della probabilita che due punti di un segmento di lunghezza` abbiano la distanza r:

y(r) =2(`− r)

`2, 0 < r < `,

y(r) = 0, altrimenti.

(3.259)

I momenti saranno:

µn =2`n

(n + 1) (n + 2). (3.260)

In particolare:

µ0 = 1 (3.261)

µ1 =`

3(3.262)

µ2 =`2

6(3.263)

. . .

(3) Densita della probabilita che due punti appartenenti a due circon-ferenze complanari e concentriche, l’una di raggio a, l’altra di raggiob < a, abbiano la distanza r:

y =2r

π√− (a2 − b2)2 + 2(a2 + b2)r2 − r4

. (3.264)

261


Se b = a, si ha semplicemente:

y =2r

π√

4a2r2 − r4. (3.265)

3.6 L’integrale definito∫ π/2

0sin kxsinx dx

Dalla relazione:

sin (k + 2) x − sin kx = 2 cos (k + 1) x sin x (3.266)

si deduce:sin (k + 2) x

sin x=

sin kx

sin x+ 2 cos (k + 1) x. (3.267)

Integrando fra 0 e π/2 e ponendo:

y(k) =

∫ π/2

0

sin kx

sin xdx, (3.268)

si ha:

y(k) − y(k + 2) = − 2

k + 1sin

(k + 1) π

2. (3.269)

Scrivendo le relazioni analoghe con k + 2, k + 4, . . ., k + 2n in luogo di Ke notando che

limk→∞

∫ π/2

0

sin kx

sin xdx = lim

k→∞

∫ ∞

0

sin kx

xdx

=

∫ ∞

0

sin x

xdx =

π

2, (3.270)

cioe:y(∞) =

π

2, (3.271)

si ricava:

y(k) =π

2−

∞∑0

2

k + 1 + 2rsin

(k + 1 + 2r) π

2, (3.272)

262


cioe:

y(k) =π

2− sin

(k + 1) π

2

∞∑0

2(−1)r

(k + 1) + 2r. (3.273)

In altre parole:

y(k) =π

2− 2

(1

k + 1− 1

k + 3+

1

k + 5− . . .

)sin

(k + 1)π

2. (3.274)

Consideriamo la funzione definita per α positivo:

φ(α) = 1 − 1

1 + α+

1

1 + 2α− 1

1 + 3α+ . . . , (3.275)

per α = 0 porremo:

φ(0) = limα→0

φ(α) =1

2. (3.276)

Tale funzione e sempre crescente e compresa fra 1/2 e 1.

Da notare l’identita:

φ(α) +1

1 + αφ

(α

1 + α

)= 1, (3.277)

che permette di determinare lo sviluppo in serie di φ(α) per α → 0. Si puoanche porre φ(α) sotto forma integrale:

φ(α) =

∫ 1

0

dx

1 + xα, (3.278)

e si deducono come casi particolari:

φ(0) = limα→0

φ(α) =1

2, φ(1) = log 2, φ(2) =

π

4. (3.279)

Per α intero si ha:

1

1 + xα=

(1

1 − x δ+

1

1 − x δ3+ . . . +

1

1 − x δ2α−1

)1

α, (3.280)

essendo δ = eiπ/α, cioe la prima radice α-esima di −1. L’equazione (3.280)si dimostra immediatamente sviluppando i due membri in serie di potenzedi x o di 1/α, secondo che α sia minore o maggiore di 1.

263


Sostituendo in (3.278) mediante (3.280), per α intero si ha:

φ(α) = − 1

α

[1

δlog (1 − δ) +

1

δ3log (1 − δ3) + . . .

+1

δ2α−1log (1 − δ2α−1)

]; (3.281)

ovvero, notando che δ2α = 1,

φ(α) = − 1

α

[δ2α−1 log (1 − δ) + δ2α−3 log (1 − δ3) + . . .

+ δ log (1 − δ2α−1)]. (3.282)

(Con l’avvertenza che la parte immaginaria in ognuno dei logaritmi chefigurano al secondo membro della (3.282) e determinata univocamente dallacondizione che sia compresa fra (−iπ/2, iπ/2)).

Se si bada che nel secondo membro della (3.282) i termini sono a duea due complessi coniugati e che

log (1 − δr) = log(2 sin

r π

2

)+ i

r π

2α− i

π

2(3.283)

δ2α−r = cosr π

α− i sin

r π

α, (3.284)

la (3.282) diventa:

φ(α) = cosπ

αlog

(2 sin

π

2α

)

+ cos3π

αlog

(2 sin

3π

2α

)+ . . .

+ cos(2α− 1)π

αlog

(2 sin

(2α− 1)π

2α

)

+π

2αsin

π

α+

3π

2αsin

3π

α+ . . .

+(2α− 1)π

αsin

(2α− 1)π

α. (3.285)

Si deducono come casi particolari:

φ(0) =1

2, φ(1) = log 2, φ(2) =

π

4,

φ(3) =1

3log 2 +

√3

9π, φ(4) = . . . .

(3.286)

264


Si puo cosı calcolare φ(α) per α intero; ma l’uso ripetuto della (3.277)permette di calcolare tale funzione per tutti i valori della variabile indipen-dente del tipo α/(1 + nα), con α e n interi. Escludendo il caso trivialeα = 0, si ha per ogni valore di n e al variare di α tra 1 e ∞, un gruppodiscreto di valori della variabile indipendente per i quali e possibile cal-colare la funzione; il piu piccolo di tali valori e 1/(n + 1), e il loro limitesuperiore e 1/n. L’insieme dei valori per i quali la funzione si puo calcolareammette quindi un insieme discreto di punti limiti della forma 1/n; none quindi possibile valutare l’intera funzione in base alle considerazioni cheprecedono e alla continuita.Se si vuol conoscere il valore di φ(α) per un valore arbitrario di α, appli-cando la (3.277) ci si puo sempre ridurre al caso α < 1, in quanto sarasempre α/(1 + α) < 1. Applicando due volte la (3.277) ci si porta al casoα < 1/2. Si puo allora utilizzare la seguente tavola:70

α φ(α)

0 0.500000.02 0.505000.04 0.510000.06 0.514980.08 0.519940.10 0.524880.12 0.529790.14 0.534670.16 0.539510.18 0.544310.20 0.549070.22 0.553780.24 0.55843

α φ(α)

0.26 0.563040.28 0.567590.30 0.572010.32 0.576520.34 0.580890.36 0.585210.38 0.589460.40 0.593660.42 0.597790.44 0.601860.46 0.605870.48 0.609820.50 0.61371

Per α piccolo, giova lo sviluppo:

φ(α) =1

2+

1

4α − 1

8α3 +

1

4α5 − 17

16α7 + . . . . (3.287)

Sostituendo la (3.275) nella (3.274), si ricava:

y(k) =π

2− φ

(2

k + 1

) (2

k + 1

)sin

(k + 1)π

2. (3.288)

70Nel manoscritto originale, nella tabella vengono riportati solo i valori cor-rispondenti a α = 0, α = 0.40, e α = 0.50.

265


Si deduce:

y(0) = 0

y(2) = 2

y(4) = 2

(1 − 1

3

)=

4

3

y(6) = 2

(1 − 1

3+

1

5

)

y(8) = 2

(1 − 1

3+

1

5− 1

7

)

y(10) = 2

(1 − 1

3+

1

5− 1

7+

1

9

)

y(1) = y(3) = y(5) = . . . = y(2n + 1) =π

2.

Questa relazione e di evidenza immediata quindi k = 1, e segue diretta-mente dalla (3.269) quando k e un intero dispari qualsiasi. Si deduce:

∫ ∞

0

sin x

xdx = lim

k→∞

∫ π/2

0

sin kx

sin xdx =

π

2. (3.289)

3.7 Prodotti infiniti

(1)2

1· 23· 43· 45· 65· 67· . . . =

π

2. (3.290)

(2)

(1 − k)

(1 − k

4

) (1 − k

9

) (1 − k

16

). . . =

sin π√

k

π√

k(3.291)

[0 < k]

266


Se si pone x = π√

k, k = x2/π2, si puo scrivere:

sin x

x= (1 − k)

(1 − k

4

) (1 − k

9

) (1 − k

16

). . . (3.292)

Per x = π/2 e quindi (k = 1/4) segue la formola 1) di Wallis. (1).

(3)

1

2· 4

2·753

· 72·10

83· 102·13

113· 132·16

143· . . . =

(lim

x→∞P1

P2

)3

= λ3

(3.293)(si veda il paragrafo 2.5), essendo

P ′′1 (x) = x P1(x), P1(0) = 1, P ′1(0) = 0,

P ′′2 (x) = x P2(x), P2(0) = 0, P ′2(0) = 1.

Ed essendo:

P2 = P1

∫ ∞

0

dx

P 21

(3.294)

segue:1

λ=

∫ ∞

0

dx

P 21

. (3.295)

3.8 Polinomi e numeri di Bernoulli

I polinomi di Bernoulli si possono far derivare dalla funzione generatrice:

ψ(x, t) =t ext

et − 1=

∞∑0

Bn(x)

n!tn. (3.296)

I numeri di Bernoulli sono i termini costanti dei polinomi di BernoulliBn(x):

Bn = Bn(0). (3.297)

Ponendo x = 0 nella (3.296), si ricava la definizione diretta dei numeri diBernoulli:

t

et − 1=

∞∑0

Bn

n!tn. (3.298)

267


Diamo l’espressione dei primi numeri e polinomi di Bernoulli:

B0 = 1, B1 = − 1

2, B2 =

1

6, B3 = 0,

B4 = − 1

30, B5 = 0, B6 =

1

42, B7 = 0,

B8 = − 1

30, B9 = 0, B10 =

5

66, B11 = 0.

B0(x) = 1,

B1(x) = x − 1

2,

B2(x) = x2 − x +1

6,

B3(x) = x3 − 3

2x2 +

1

2x,

B4(x) = x4 − 2x3 + x2 − 1

30,

B5(x) = x5 − 5

2x4 +

5

3x3 − 1

6x,

B6(x) = x6 − 3 x5 +5

2x4 − 1

2x2 +

1

42,

B7(x) = x7 − 7

2x6 +

7

2x5 − 7

6x3 +

1

6x,

B8(x) = x8 − 4 x7 +14

3x6 − 7

3x4 +

2

3x2 − 1

30,

B9(x) = x9 − 9

2x8 + 6 x7 − 21

5x5 + 2 x3 − 3

10x,

B10(x) = x10 − 5 x9 +15

2x8 − 7 x6 + 5 x4 − 3

2x2 +

5

66,

268


B11(x) = x11 − 11

2x10 +

55

6x9 − 11 x7 + 11 x5 − 11

2x3 +

5

6x.

3.9 Parentesi di Poisson

Si definisce come parentesi di Poisson di a e b, nella meccanica quantistica,l’espressione:71

[a , b] =i

~ (a b − b a) = − [b , a] . (3.299)

Se q e p sono le variabili canoniche, si avra, notando che p = −(~/i)∂/∂q,

[qi , pi] = 1 (3.300)

[a , b] =∑

i

(∂a

∂qi

∂b

∂pi− ∂a

∂pi

∂b

∂qi

)(3.301)

[x , H] =∑

i

(∂x

∂qi

∂H

∂pi− ∂x

∂pi

∂H

∂qi

)

=∑

i

(∂x

∂qiqi +

∂x

∂pipi

)= x. (3.302)

Diamo l’espressione delle parentesi di Poisson per alcune coppie di gran-dezze:

(1) Sia:

ux = qy pz − qz py (3.303)

uy = qz px − qx pz (3.304)

uz = qx py − qy px. (3.305)

71Nel manoscritto originale si usa la vecchia notazione h/2π, mentre qui deno-tiamo la stessa quantita con ~.

269


Segue:

[ux , uy] = − [uy , ux] = uz (3.306)

[uy , uz] = − [uz , uy] = ux (3.307)

[uz , ux] = − [ux , uz] = uy (3.308)

[u2

x , uy

]= ux uz + uz ux (3.309)

[u2

x , uz

]= −ux uy − uy ux, etc. (3.310)

[ux , u2

y

]= uy uz + uz uy (3.311)

[ux , u2

z

]= −ux uy − uy ux, etc. (3.312)

[u2

x + u2y + u2

z , ux

]

= 0− uyuz − uzuy + uzuy + uyuz = 0 etc. (3.313)

(2) Sia:

qx = r sin θ cos φ (3.314)

qy = r sin θ sin φ (3.315)

qz = r cos θ. (3.316)

Si avra:

[r , px] =qx

r= sin θ cos φ (3.317)

[r , py] =qy

r= sin θ sin φ (3.318)

[r , pz] =qz

r= cos θ (3.319)

[cos θ , px] = − qx qz

r3= − sin θ cos θ cos φ

r(3.320)

[cos θ , py] = − qy qz

r3= − sin θ cos θ sin φ

r(3.321)

[cos θ , pz] =r2 − q2

z

r3=

sin2 θ

r(3.322)

[sin θ , px] =cos2 θ cos φ

r(3.323)

270


[sin θ , py] =cos2 θ sin φ

r(3.324)

[sin θ , pz] = − sin θ cos θ

r(3.325)

[θ , px] =cos θ cos φ

r(3.326)

[θ , py] =cos θ sin φ

r(3.327)

[θ , pz] = − sin θ

r(3.328)

[cos φ , px] =sin2 φ

r sin θ(3.329)

[cos φ , py] = − cos φ sin φ

r sin θ(3.330)

[cos φ , pz] = 0 (3.331)

[sin φ , px] = − cos φ sin φ

r sin θ(3.332)

[sin φ , py] =cos2 φ

r sin θ(3.333)

[sin φ , pz] = 0 (3.334)

[φ , px] = − sin φ

r sin θ(3.335)

[φ , py] =cos φ

r sin θ(3.336)

[φ , pz] = 0. (3.337)

(3) Ponendo per semplicita:

X = ux (3.338)

Y = uy (3.339)

Z = uz. (3.340)

Se k e il quanto azimutale, m (o n) il quanto equatoriale, si hannoin unita ~ le matrici di degenerazione:

Zm,n = δm,n m (3.341)

Xm,n =1

2(δm+1,n + δm,n+1)

√k(k + 1)−mn (3.342)

271


Ym,n =i

2(δm+1,n − δm,n+1)

√k(k + 1)−mn. (3.343)

Ad esempio per k = 2

Z =

2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 −1 00 0 0 0 −2

(3.344)

X =

0 1 0 0 0

1 0√

32

0 0

0√

32

0√

32

0

0 0√

32

0 1

0 0 0 1 0

(3.345)

Y =

0 i 0 0 0

−i 0 i√

32

0 0

0 −i√

32

0 i√

32

0

0 0 −i√

32

0 i

0 0 0 −i 0

(3.346)

Z2 =

4 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 −1 00 0 0 0 4

(3.347)

X2 =

1 0√

32

0 0

0 52

0 32

0√32

0 3 0√

32

0 32

0 52

0

0 0√

32

0 1

(3.348)

272


Y 2 =

1 0 −√

32

0 0

0 52

0 − 32

0

−√

32

0 3 0 −√

32

0 − 32

0 52

0

0 0 −√

32

0 1

(3.349)

X2 + Y 2 + Z2 =

6 0 0 0 00 6 0 0 00 0 6 0 00 0 0 6 00 0 0 0 6

(3.350)

X Y =

−i 0 i√

32

0 0

0 − 12i 0 3

2i 0

−i√

32

0 0 0 i√

32

0 − 32i 0 1

2i 0

0 0 −i√

32

0 i

(3.351)

Y X =

i 0 i√

32

0 0

0 12i 0 3

2i 0

−i√

32

0 0 0 i√

32

0 − 32i 0 − 1

2i 0

0 0 −i√

32

0 −i

(3.352)

X Z =

0 1 0 0 02 0 0 0 0

0√

32

0 −√

32

0

0 0 0 0 −20 0 0 −1 0

(3.353)

Z X =

0 2 0 0 0

1 0√

32

0 0

0 0 0 0 0

0 0 −√

32

0 −1

0 0 0 −2 0

(3.354)

273


Y Z =

0 i 0 0 0−2i 0 0 0 0

0 −i√

32

0 −i√

32

0

0 0 0 0 −2i0 0 0 i 0

(3.355)

Z Y =

0 2i 0 0 0

−i 0 i√

32

0 0

0 0 0 0 0

0 0 i√

32

0 −i

0 0 0 2i 0

(3.356)

[X , Y ] = i (X Y − Y X) =

2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 −1 00 0 0 0 −2

= Z

(3.357)

[Y , Z] = i (Y Z − Z Y ) =

0 1 0 0 0

1 0√

32

0 0

0√

32

0√

32

0

0 0√

32

0 1

0 0 0 1 0

= X

(3.358)

[Z , X] = i (Z X − X Z) =

0 i 0 0 0

−i 0 i√

32

0 0

0 −i√

32

0 i√

32

0

0 0 −i√

32

0 i

0 0 0 −i 0

(3.359)

274


3.10 Grandezze fisiche elementari

Le grandezze sono date in unita assolute. Sono segnate con asterisco legrandezze sperimentali che sono servite di base per il calcolo di tutte lealtre.72

Grandezze Valori

e (carica dell’elettrone) 4.774×10−10 *

m (massa di riposo dell’elettrone) 0.90017×10−27

h (quanto d’azione) 6.5463×10−27

h/2π 1.04188×10−27

k = R/N (costante di Boltzmann)

R (costante dei gas perfetti) 8.25×107 *

N (numero di Avogadro) 6.0597×1023

MH = 1/N (massa di O/16) 1.65025×10−24

e/mc 1.769×107 *

c (velocita della luce) 2.998×1010 *

F = eN/c (costante di Faraday) 9649.4 *

R/c = (2π2me4)/(h3c)(Rydberg in numero d’onda) 109737.1 *

R = (2π2me4)/h3 (frequenza di Rydberg) 3.2899×1015

72L’Autore misura la lunghezza in m, la massa in g, il tempo in s e la caricaelettrica in esu. Altre unita sono derivate da queste. Si osservi che i valorisperimentali attualmente accettati differiscono leggermente da quelli riportati.

275


Grandezze Valori

Rh = (2π2me4)/h2 (energia di Rydberg)

r = h2/(4π2me2) (primo raggio di Bohr)

µ = (eh)/(4πmc) (magnetone di Bohr)

ν = e/(4πmc)(frequenza di Larmor in un campo unitario)

e/(4πmc2)(idem in numero d’onda in un campo unitario)

(hc2)/(104e) (volts corrispondenti a 1µ)

(Rhc)/(108e) (volts corrispondenti a 1Rydberg)

(mc3)/(108e) (volts corrispondenti a m)

(108e)/(ck) (temperatura corrispondente a 1V )

(104ch)/k (temperatura corrispondente a 1µ)

3.11 Curva del cane

Un punto Q si muove sull’asse x con velocita costante u in modo che lesue coordinate rettangolari sono: Q(ut, 0). Un punto P (x, y) si muove convelocita costante v in direzione di Q; si tratta di determinare la traiettoriadi P . La tangente a detta traiettoria per P in un istante qualunque passaper Q; l’inviluppo delle rette PQ rappresenta quindi la curva percorsadall’inseguitore. Introduciamo come parametro l’angolo tra PQ e l’asse x,

276


che chiameremo α. Le coordinate di P soddisferanno all’equazione dellaretta passante per P e Q:

y = (u t − x) tan α; (3.360)

e poiche P appartiene all’inviluppo di tali rette, x e y soddisfanno anchela densita della (3.360) rispetto al tempo:73

(u t − x)(1 + tan2 α

) dα

dt+ u tan α = 0; (3.361)

da cui segue:

x = u t + udt

dαsin α cos α (3.362)

y = −udt

dαsin2 α (3.363)

e derivando:

x = 2 u cos2 α + ud2t

dα2

dα

dtsin α cos α (3.364)

y = − 2 u sin α cos α − ud2t

dα2

dα

dtsin2 α. (3.365)

D’altra parte dev’essere:

x = v cos α, y = − v sin α, (3.366)

da cui confrontando con la (3.364) o con (3.365):

2 cos α +d2t

dα2

dα

dtsin α =

v

u, (3.367)

cioe:

d

dαlog

dt

dα=

v

u sin α− 2

cos α

sin α

logdt

dα=

v

ulog tan

α

2− 2 log sin α + cost.

dt

dα= c1

(tan α/2)v/u

sin2 α(3.368)

t = c1

∫(tan α/2)v/u

sin2 αdα + c2 , (3.369)

73Si veda anche la (3.366).

277


e confrontando con le equazioni (3.362) e (3.363):

x = u c1

[∫(tan α/2)v/u

sin2 αdα +

cos α

sin α(tan α/2)v/u

]+ u c2 (3.370)

y = −u c1 (tan α/2)v/u . (3.371)

La forma delle curve dipende, come e naturale, solo dal rapporto v/u.Supponiamo per esempio u = v; avremo:

∫tan α/2

sin2 αdα +

1

2log tan

α

2+

1

4tan2 α

2− 1

4(3.372)

e ponendo

u = v = 1, c1 = −1, c2 = 0, (3.373)

si ha:

t = − 1

2log tan

α

2− 1

4tan2 α

2+

1

4(3.374)

x = t − tan α/2

tan α(3.375)

y = tanα

2; (3.376)

eliminando α mediante quest’ultima:

t = − 1

2log y − 1

4y2 +

1

4(3.377)

x = − 1

2log y +

1

4y2 − 1

4. (3.378)

Poiche per t = 0, si ha x = 0, y = 1, t misura l’arco di curva tra il punto(0, 1) e il punto generico (x, y). Dalle equazioni (3.377) e (3.378), segue:

t = x +1

2− 1

2y2. (3.379)

Segue dalla (3.378) che il valore minimo di x e 0 (per y = 1); il punto(0, 1), preso come origine degli archi, e dunque il punto in cui la tangentealla curva e verticale.

278


3.12 Potenziale statistico nelle molecole

Il potenziale entro un gas di elettroni soddisfa staticamente all’equazionedifferenziale:

∆ V = − kV 3/2. (3.380)

La determinazione approssimata di V , quando si conoscano approssi-mativamente le superfici equipotenziali, puo farsi nel modo seguente. Sia

f(x, y, z) = p (3.381)

l’espressione approssimata della superficie equipotenziale in funzione di unparametro p. Poniamo:

V = V (p), (3.382)

avremo:

grad V =dV

dpgrad p (3.383)

e indicando con n la normale esterna alla superficie∫

σ

∂V

∂ndσ =

dV

dp

∫

σ

∂p

∂ndσ = y1(p)

dV

dp, (3.384)

in cui y1(p) e una funzione nota. Integrando poi la (3.380) nello spazio fradue superfici equipotenziali corrispondenti a p e p + dp, V 3/2 viene fuoridall’integrale:

∫

∆S

∆ V dS = − k V 3/2

∫

σ

(∂p

∂n

)−1

dp dσ = − k V 3/2 y2(p) dp,

(3.385)in cui

y2(p) =

∫

σ

(∂p

∂n

)−1

dσ (3.386)

e ancora una funzione nota di p. D’altra parte per la formola della diver-genza:

∫

∆S

∆ V dS =

∫

σ(p+dp)

∂V

∂ndσ(p + dp) −

∫

σ(p)

∂V

∂ndσ(p)

= y1(p + dp) V ′(p + dp) − y1(p) V ′(p)

=(y1 V ′′ + y′1 V ′) dp,

279


e confrontando con la formola (3.385):

y1 V ′′ + y′1 V ′ = − k V 3/2 y2 (3.387)

che permette la determinazione di V (p) quando siano assegnate le con-dizioni ai limiti. Consideriamo per esempio la molecola biatomica connuclei uguali e assumiamo come approssimate superfici equipotenziali:

p =r1 r2

r1 + r2=

(1

r1+

1

r2

)−1

; (3.388)

avremo:

grad p = − p2 grad1

p= − p2 grad

1

r1− p2 grad

1

r2(3.389)

e indicando rispettivamente con u e v due vettori unitari diretti secondor1 e r2:

grad p =p2

r21

u +p2

r22

v (3.390)

∂p

∂n= |grad p| , (3.391)

da cui si puo calcolare y1 e y2. Ma conviene eseguire il calcolo in coordinateellittiche, badando anche che

y2 =∂S

∂p, (3.392)

essendo S il volume racchiuso dalla superficie equipotenziale p. Inoltre y1

e il flusso uscente di grad p = −p2grad (1/p); e poiche 1/p e armonica conle singolarita del tipo 1/r1 e 1/r2 nei nuclei il flusso uscente di grad (1/p)vale −8π; segue:

y1(p) = 8π p2. (3.393)

Consideriamo una sezione meridiana del volume racchiuso dalla super-ficie p; in coordinate cartesiane x e z, siano i nuclei sull’asse x nei punti(a, 0) e (−a, 0). Introducendo le coordinate ellittiche:

u = (r1 + r2) /2, v = (r1 − r2) /2, (3.394)

280


sara:

r1 = u + v, r2 = u − v, x =u v

a

y2 =(u2 − a2)(a2 − v2)

a2, S = π

∫

s

y2 dx, (3.395)

l’integrale essendo esteso al contorno della semisezione meridiana (y > 0).L’equazione (3.388) che deve essere soddisfatta al contorno diventa:

p =(u2 − v2)/ 2u, (3.396)

con

v2 = u2 − 2 u p, v = ±√

u2 − 2 u p, u = p +√

p2 + v2, u > 0.(3.397)

Si ha y = 0 nei punti:

u = p +√

p2 + a2, v = a

u = p +√

p2 + a2, v = − a

u = a, v =√

a2 − 2ap

u = a, v = −√

a2 − 2ap.

I primi due sono sempre reali; gli ultimi due sono reali e distinti solo sep < a/2, coincidono in (u , v) = (a , 0) se p = a/2.Introduciamo la variabile:

t =v

u, (3.398)

u e v si esprimono razionalmente in funzione di t:

u =2p

1− t2, v =

2pt

1− t2; (3.399)

e poiche x = uv/a, segue:

dx =1

ad (uv) =

2p

ad

t

(1− t2)2=

2p

a

1 + 3t2

(1− t2)3dt. (3.400)

Segue, se estendiamo l’integrale ai soli valori positivi permessi di t:

S =4πp

a3

∫ (4p2

(1− t2)2− a2

) (a2 − 4p2t2

(1− t2)2

)1 + 3t2

(1− t2)3dt, (3.401)

in cui il limite inferiore dell’integrale e zero se p ≥ a/2, mentre vale√a2 − 2ap/a se p < a/2; il limite superiore e in ogni caso a/(p+

√p2 + a2).

281


3.13 Gruppo delle trasformazioni unitariein due variabili

Consideriamo il gruppo U(2) delle trasformazioni unitarie in due variabiliξ e η, con determinante 1. Se

(α βγ δ

)

e la matrice appartenente a una singola trasformazione, se cioe:

ξ′ = α ξ + β η, η′ = γ ξ + δ η, (3.402)

dovranno valere le relazioni:

α∗ α + β∗ β = 1, α∗ γ + β∗ δ = 0,γ∗ γ + δ∗ δ = 1, α δ − β γ = 1.

(3.403)

Posto:

α = α1 + i α2, β = β1 + i β2,

γ = γ1 + i γ2, δ = δ1 + i δ2,

sostituendo nella (3.403) dovranno valere le relazioni, fra grandezze reali:

α21 + α2

2 + β21 + β2

2 = 1

γ21 + γ2

2 + δ21 + δ2

2 = 1

α1 γ1 + α2 γ2 + β1 δ1 + β2 δ2 = 0

α1 γ2 − α2 γ1 + β1 δ2 − β2 δ1 = 0

α1 δ1 − α2 δ2 − β1 γ1 + β2 γ2 = 1

α1 δ2 + α2 δ1 − β1 γ2 − β2 γ1 = 0.

Moltiplicando la terza equazione per α, la quarta per −α2, la quinta per−β1, la sesta per −β2, e sommando si ha, tenuto conto della prima:

γ1 = −β1.

282


Analogamente si trova:

γ2 = β2, δ1 = α1, δ2 = −α2.

si possono dunque scegliere ad arbitrio α1, α2, β1, β2 in modo che sod-disfacciano alla prima equazione e determinare le altre incognite in basealle relazioni ora scritte: tutte le altre equazioni, compresa la seconda dicui non si e tenuto espressamente conto, saranno allora automaticamentesoddisfatte. Porremo:

α1 = x, α2 = λ, β1 = −µ, β2 = ν,

in cui x, λ, µ, ν sono numeri reali qualunque soddisfacenti all’equazione:

x2 + λ2 + µ2 + ν2 = 1, (3.404)

e le componenti della piu generale matrice unitaria con determinante 1saranno:

α = x + i λ, β = −µ + i ν,γ = −β∗ = µ + i ν, δ = α∗ = x − i λ.

(3.405)

Ogni trasformazione del gruppo e definita dai quattro numeri reali x, λ, µ,ν; la indicheremo brevemente con

(x , λ , µ , ν) .

Consideriamo due trasformazioni del gruppo e il loro prodotto:

A =

(x + i λ −µ + i νµ + i ν x − i λ

), B =

(x′ + i λ′ −µ′ + i ν′

µ′ + i ν′ x′ − i λ′

),

A B =

(x′′ + i λ′′ −µ′′ + i ν′′

µ′′ + i ν′′ x′′ − i λ′′

),

cioe, posto:x′′ = xx′ − λλ′ − µµ′ − νν′

λ′′ = xλ′ + λx′ − µν′ + νµ′

µ′′ = xµ′ + λν′ + µx′ − νλ′

ν′′ = xν′ − λµ′ + µλ′ + νx′;

(3.406)

segue:

(x , λ , µ , ν)(x′ , λ′ , µ′ , ν′

)=

(x′′ , λ′′ , µ′′ , ν′′

), (3.407)

283


che coincide con la regola di moltiplicazione dei quaternioni.Consideriamo nello spazio a v + 1 = 2j + 1 dimensioni il vettore di

componentiξr ηv−r

f(v, r), r = 0, 1, ..., v. (3.408)

Una trasformazione del nostro gruppo cangi tale vettore nel vettore dicomponenti:

ξ′ r η′ v−r

f(v, r), r = 0, 1, ..., v. (3.409)

A causa delle equazioni (3.402), le componenti del vettore trasformate siottengono come combinazioni lineari di quelle del primo, e in verita in modounico perche i v + 1 monomi ξr ηv−r (r = 0, 1, . . . , v) sono linearmenteindipendenti. Si ha cosı una rappresentazione Dj a (2j + 1) dimensionidel nostro gruppo. La stessa rappresentazione vale naturalmente ancheper il gruppo di tutte le trasformazioni del tipo (3.402), cioe per tutte letrasformazioni lineari affini in due dimensioni, o per il sottogruppo O(2) ditutte le trasformazioni lineari con determinante 1, di cui il nostro gruppoU(2) e a sua volta sottogruppo. La funzione f(v, r) puo determinarsi inmodo che le trasformazioni unitarie del gruppo U(2) siano rappresentatecon trasformazioni unitarie. A tal fine e necessario che:

∑r

|ξr ηv−r|2f2(v, r)

(3.410)

(supponiamo f reale) dipenda soltanto da |ξ|2 + |η|2; cioe, posto: |ξ|2 = ae |η|2 = b, che

∑r

ar bv−r

f2(v, r)(3.411)

sia una funzione di a + b. Bastera per cio porre la prima quantita ugualealla potenza v-esima della seconda, con che:74

f(v, r) =

(vr

)−1/2

=√

r!(v − r)!/v! (3.412)

o piu semplicemente, poiche e sempre lecito moltiplicare f(v, r) per unaquantita costante (rispetto a r):

f(v, r) =√

r!(v − r)!. (3.413)

74L’Autore vuole ottenere la formula per la potenza di un binomio.

284


E cosı ξ e η definiscono un vettore nello spazio a 2j + 1 dimensioni dicomponenti:

ξr ηv−r

√r!(v − r)!

, r = 0, 1, . . . , v. (3.414)

Consideriamo la trasformazione:

(x, εa, εb, εc) . (3.415)

Dati εa, εb, εc resta determinato x a meno del segno che conveniamo discegliere positivo. Supponiamo che ε sia infinitesimo; x differira dall’unitaper un infinitesimo di secondo ordine, onde

limε→0

(x, εa, εb, εc) − (1, 0, 0, 0)

ε= (0, a, b, c) . (3.416)

La trasformazione (0, a, b, c), la cui definizione risulta dalle equazioni (3.405),e una “trasformazione infinitesima”. Essa non fa parte in generale di U(2),ma e sempre multipla reale di una trasformazione unitaria con determi-nante 1. Al contrario apparterra a U(2) la trasformazione:

(x, λ, µ, ν) = e(0,a,b,c) t (3.417)

dove t e un numero reale qualsiasi; si avra cioe necessariamente: x2 + λ2 +µ2 + ν2 = 1. Dati a, b, c, le quantita x, λ, µ, ν sono, a causa della (3.417)),funzioni di t. E si avra:

(dx

dt,dλ

dt,dµ

dt,dν

dt

)= (x, λ, µ, ν) (0, a, b, c)

= (0, a, b, c) (x, λ, µ, ν) , (3.418)

cioe:

dx

dt= − a λ − b µ − c ν

dλ

dt= a x − c µ + b ν = a x + c µ − b ν = a x (3.419)

dµ

dt= b x,

dν

dt= c x.

Derivando la prima rispetto a t:

d2x

dt2= − (

a2 + b2 + c2) x, (3.420)

285


da cui:

x = cos t√

a2 + b2 + c2 (3.421)

λ =a√

a2 + b2 + c2sin t

√a2 + b2 + c2

µ =b√

a2 + b2 + c2sin t

√a2 + b2 + c2 (3.422)

ν =c√

a2 + b2 + c2sin t

√a2 + b2 + c2.

Segue, facendo t = 1, che dalla trasformazione infinitesima (0, a, b, c) sideduce la trasformazione:

(x, λ, µ, ν) = e(0,a,b,c) (3.423)

ponendo:

x = cos√

a2 + b2 + c2

λ =a√

a2 + b2 + c2sin

√a2 + b2 + c2

µ =b√

a2 + b2 + c2sin

√a2 + b2 + c2

ν =c√

a2 + b2 + c2sin

√a2 + b2 + c2.

(3.424)

Segue dalle equazioni (3.424) che qualunque trasformazione di U(2) puoporsi sotto la forma della (3.423), e le costanti a, b, c si possono determinareunivocamente con le condizioni:

a , b , c ≥ 0, 0 ≤√

a2 + b2 + c2 ≤ 2π. (3.425)

Consideriamo una rappresentazione qualunque del gruppo U(2). Po-niamo:

limε→0

U(x, εa, εb, εc) − 1

ε= a P1 + b P2 + c P3. (3.426)

286


Sara in conseguenza:

ea P1 + b P2 + c P3 = limε→0

(1 + ε (a P1 + b P2 + c P3))1/ε

= limε→0

(U(x, εa, εb, εc))1/ε = limε→0

U(x, εa, εb, εc)1/ε

= limε→0

U ((1, 0, 0, 0) + ε(0, a, b, c))1/ε = U(e(0,a,b,c)

)

e a causa della (3.423),

U(x, λ, µ, ν) = U(

e(0,a,b,c))

= ea P1 + b P2 + c P3 , (3.427)

ferme restando le (3.424). Segue che basta conoscere le matrici P1, P2, P3

per avere la rappresentazione di tutto il gruppo U(2). Le matrici P1, P2, P3

non possono tuttavia scegliersi ad arbitrio; in primo luogo perche toglien-do, per ragioni di continuita, la limitazione (3.425) uno stesso elemento diU(2) puo essere rappresentato con differenti terne (a, b, c), (a′, b′, c′), . . ., edeve essere identicamente, per l’univocita della rappresentazione:

ea P1 + b P2 + c P3 = ea′ P1 + b′ P2 + c′ P3 = . . . . (3.428)

e in secondo luogo occorre che al prodotto di due elementi corrisponda ilprodotto delle trasformazioni corrispondenti. Supponiamo la prima con-dizione soddisfatta, sara allora per t = 0:

U(e(0,at,bt,ct) e(0,a′t,b′t,c′t)

)= e(a P1 + b P2 + c P3)t e(a′ P1 + b′ P2 + c′ P3)t.

(3.429)Poniamo:

e(0,at,bt,ct) e(0,a′t,b′t,c′t) = e(0,x,y,z). (3.430)

Le x, y, z saranno funzioni di t che possono determinarsi in infiniti modimediante (3.423) e (3.424); ma a cui imporremo la condizione della con-tinuita e x = y = z = 0 per t = 0. La (3.429) diventa a causa della(3.427):

ex P1 + y P2 + z P3 = e(a P1 + b P2 + c P3)t e(a′ P1 + b′ P2 + c′ P3)t. (3.431)

Sviluppando la (3.430) in serie si ricava:

1 + xP1 + yP2 + zP3 +1

2

[x2P 2

1 + y2P 22 + z2P 2

3

287


+xy (P1P2 + P2P1) + yz (P2P3 + P3P2) + zx (P1P3 + P3P1)]

+1

6

[x3P 3

1 + y3P 32 + z3P 3

3 + x2y(P 2

1 P2 + P1P2P1 + P2P21

)

+xy2 (P1P

22 + P2P1P2 + P 2

2 P1

)+ y2z

(P 2

2 P2 + P2P3P2 + P3P22

)

+yz2 (P2P

23 + P3P2P3 + P 2

3 P2

)+ z2z

(P 2

3 P1 + P3P1P3 + P1P23

)

+x2z(P3P

21 + P1P3P1 + P 2

1 P3

)+ xyz (P1P2P3 + P2P3P1

+P3P1P2 + P1P3P2 + P2P1P3 + P3P2P1)] + . . .

= 1 + t(aP1 + bP2 + cP3 + a′P1 + b′P2 + c′P3

)

+t2

2

[a2P 2

1 + b2P 22 + c2P 2

3 + ab (P1P2 + P2P1) + bc (P2P3 + P3P2)

+ca (P1P3 + P3P1) + a′2P 21 + b′2P 2

2 + c′2P 23 + a′b′ (P1P2 + P2P1)

+b′c′ (P2P3 + P3P2) + c′a′ (P1P3 + P3P1) + 2aa′P 21 + 2bb′P 2

2

+2cc′P 23 + 2ab′P1P2 + 2bc′P2P3 + 2ca′P3P1

+2ac′P1P3 + 2ba′P2P1 + 2cb′P3P2

]+ . . . . (3.432)

Poiche x, y, z sono infinitesimi con t e a, b, c, a′, b′, c′ sono costanti ar-bitrarie, uguagliando i termini dello stesso grado nei due membri della(3.432), si trovano successive relazioni a cui devono soddisfare P1, P2, P3.Vogliamo trovare effettivamente i primi termini dello sviluppo di x, y, zsecondo t; per far cio sviluppiamo (3.430) in serie fino agli infinitesimi disecondo ordine. Troviamo:

1 + (0, at, bt, ct) + (0, a′t, b′t, c′t) +1

2(0, at, bt, ct)2

+1

2(0, a′t, b′t, c′t)2 + (0, at, bt, ct)(0, a′t, b′t, c′t) + . . .

= (1, 0, 0, 0) + (0, x, y, z) +1

2(0, x, y, z)2 + . . .

da cui uguagliando separatamente le quattro componenti dei quaternioni:

1− 1

2t2

[(a + a′)2 + (b + b′)2 + (c + c′)2

]+ . . .

= 1− 1

2

(x2 + y2 + z2) + . . . (3.433)

(a + a′)t + (cb′ − bc′)t2 + . . . = x + 0t + . . . (3.434)

(b + b′)t + (ac′ − ca′)t2 + . . . = y + 0t + . . . (3.435)

(c + c′)t + (ba′ − ab′)t2 + . . . = z + 0t + . . . (3.436)

288


Dalle ultime tre (la prima ne e naturalmente conseguenza), si deduconogli sviluppi fino al secondo ordine di x, y, z. Sostituendo nella (3.432), sitrova che fino agli infinitesimi di primo ordine e identicamente soddisfatta,mentre uguagliando gli infinitesimi di secondo ordine si ha:

(cb′ − bc′)P1 + (ac′ − ca′)P2 + (ba′ − ab′)P3

+1

2

[(a + a′)2P 2

1 + (b + b′)2P 22 + (c + c′)2P 2

3

+(a + a′)(b + b′)(P1P2 + P2P1) + (b + b′)(c + c′)(P2P3 + P3P2)

+(c + c′)(a + a′)(P3P1 + P1P3)]

=1

2

[(a + a′)2P 2

1 + (b + b′)2P 22 + (c + c′)2P 2

3

+(a + a′)(b + b′)(P1P2 + P2P1) + (b + b′)(c + c′)(P2P3 + P3P2)

+(c + c′)(a + a′)(P3P1 + P1P3) + (ab′ − ba′)(P1P2 − P2P1)

+(bc′ − cb′)(P2P3 − P3P2) + (ca′ − ac′)(P3P1 − P1P3)]. (3.437)

Poiche queste relazioni devono essere soddisfatte per valori arbitrari dellecostanti, si deducono le relazioni di scambio:

P1P2 − P2P1 = −2P3

P2P3 − P3P2 = −2P1 (3.438)

P3P1 − P1P3 = −2P2.

Consideriamo le rappresentazioni Dj del gruppo U(2) le quali con-sistono in trasformazioni agenti sul vettore (3.414). Il vettore di com-ponenti:

ξr ηv−r

√r!(v − r)!

e trasformato da P3 nel vettore di componenti

[d

dε

(ξ − iεη)r (η + iεξ)v−r

√r!(v − r)!

]

ε=0

=r i ξr−1 ηv−r+1

√r!(v − r)!

+(v − r)ξr+1 ηv−r−1

√r!(v − r)!

= i√

r(v − r + 1)ξr−1 ηv−r+1

√(r − 1)!(v − r + 1)!

+ i√

(r + 1)(v − r)ξr+1 ηv−r−1

√(r + 1)!(v − r − 1)!

,

289


cosı che ponendo m = v/2− r = j − r, si ha la matrice P3:

(P3)m,m−1 = i√

(j + m)(j −m + 1) = i√

j(j + 1)−m(m− 1)

(P3)m,m+1 = i√

(j + m + 1)(j −m) = i√

j(j + 1)−m(m + 1)

(3.439)(con m = −j,−j + 1, . . .), essendo tutte le altre componenti nulle; la ma-trice e naturalmente emisimmetrica, cioe moltiplicata per i da luogo a unamatrice Hermitiana. In altre parole P3 e, come tutte le trasformazioniunitarie infinitesime, una grandezza immaginaria pura.

Lo stesso vettore (3.414) e trasformato da P2 nel vettore di componenti:

[d

dε

(ξ − εη)r (η + εξ)v−r

√r!(v − r)!

]

ε=0

=− r ξr−1 ηv−r+1

√r!(v − r)!

+(v − r)ξr+1 ηv−r−1

√r!(v − r)!

= −√

r(v − r + 1)ξr−1 ηv−r+1

√(r − 1)!(v − r + 1)!

+√

(r + 1)(v − r)ξr+1 ηv−r−1

√(r + 1)!(v − r − 1)!

.

Segue che le sole componenti diverse da zero nella matrice P2 sono:

(P2)m,m−1 = −√

(j + m)(j −m + 1) = −√

j(j + 1)−m(m− 1)

(P2)m,m+1 =√

(j + m + 1)(j −m) =√

j(j + 1)−m(m + 1).

(3.440)La matrice P1 trasforma il vettore (3.414) nel vettore di componenti:

[d

dε

(ξ + iεξ)r (η − iεη)v−r

√r!(v − r)!

]

ε=0

=r i ξr ηv−r

√r!(v − r)!

− (v − r) i ξr ηv−r

√r!(v − r)!

.

Segue che in P1 sono diversi da zero i soli elementi diagonali, essendo:

(P1)m,m = 2 m i. (3.441)

Si hanno cosı le rappresentazioni:

290


• j = 0

P1 = 0, P2 = 0, P3 = 0.

• j =1

2

P1 =

(i 00 −i

), P2 =

(0 −11 0

), P3 =

(0 ii 0

).

• j = 1

P1 =

2i 0 00 0 00 0 −2i

, P2 =

0 −√2 0√2 0 −√2

0√

2 0

,

P3 =

0 i√

2 0

i√

2 0 i√

2

0 i√

2 0

.

• j =3

2

P1 =

3i 0 0 00 i 0 00 0 −i 00 0 0 −3i

, P2 =

0 −√3 0 0√3 0 −2 0

0 2 0 −√3

0 0√

3 0

,

P3 =

0 i√

3 0 0

i√

3 0 2i 0

0 2i 0 i√

3

0 0 i√

3 0

.

291


• j = 2

P1 =

4i 0 0 0 00 2i 0 0 00 0 0 0 00 0 0 −2i 00 0 0 0 −4i

,

P2 =

0 −2 0 0 0

2 0 −√6 0 0

0√

6 0 −√6 0

0 0√

6 0 −20 0 0 2 0

,

P3 =

0 2i 0 0 0

2i 0 i√

6 0 0

0 i√

6 0 i√

6 0

0 0 i√

6 0 2i0 0 0 2i 0

.

Si constata facilmente che sono soddisfatte le relazioni di scambio. Ineffetti le componenti delle tre matrici si possono scrivere, senza esclusionedi quelle nulle:

(P1)m,n = 2 m i δm,n

(P2)m,n =√

j(j + 1)−mn (δm,n−1 − δm,n+1) (3.442)

(P3)m,n =√

j(j + 1)−mn (iδm,n−1 + iδm,n+1) .

Segue:

(P1P2)m,n = 2 m i√

j(j + 1)−mn (δm,n−1 − δm,n+1)

(P2P1)m,n = 2 n i√

j(j + 1)−mn (δm,n−1 − δm,n+1)

(P1P2 − P2P1)m,n =√

j(j + 1)−mn (− 2 i δm,n−1 − 2 i δm,n+1)

= − 2 (P3)m,n

(P2P3)m,n = i√

j(j + 1)−m(m + 1)

292


×√

j(j + 1)− (m + 1)(m + 2) δm+2,n

− 2 m i δm,m − i√

j(j + 1)−m(m− 1)

×√

j(j + 1)− (m− 1)(m− 2) δm−2,n,

(P3P2)m,n = i√

j(j + 1)−m(m + 1)

×√

j(j + 1)− (m + 1)(m + 2) δm+2,n

+ 2 m i δm,m − i√

j(j + 1)−m(m− 1)

×√

j(j + 1)− (m− 1)(m− 2) δm−2,n,

(P2P3 − P3P2)m,n = − 4 m iδm,m = − 2 (P1))m, n

(P3P1)m,n = 2 n i√

j(j + 1)−mn (i δm,n−1 + i δm,n+1)

(P1P3)m,n = 2 m i√

j(j + 1)−mn (i δm,n−1 + i δm,n+1)

(P3P1 − P1P3)m,n =√

j(j + 1)−mn (− 2 δm,n−1 + 2 δm,n+1)

= − 2 (P2)m,n .

3.14 Relazioni di scambio fratrasformazioni infinitesime nellerappresentazioni di gruppi continui

Sia dato un gruppo continuo a n parametri:

s = (q1, q2, . . . , qn) . (3.443)

Conveniamo di scegliere i parametri in modo che le coordinate dell’elemen-to unita siano tutte nulle:

1 = (0, 0, . . . , 0) . (3.444)

Sia assegnata una rappresentazione del gruppo:

U(s) = U (q1, q2, . . . , qn) . (3.445)

293


Una trasformazione infinitesima e definita da

limε→0

U(εa1, εa2, . . . , εan)− 1

ε= a1P1 + a2P2 + . . . + anPn, (3.446)

cioe le trasformazioni infinitesime si esprimono come combinazioni linea-ri di n particolari. Tra le matrici P1, P2, ..., Pn passano certe relazionialgebriche che sono indipendenti dal numero di dimensioni e dalla naturadella rappresentazione, ma dipendono dalla natura del gruppo astratto.Tra queste sono le relazioni di scambio. Consideriamo il “commutatore”:

c = (x1, x2, . . . , xn) = (α, 0, 0, . . . , 0) (0, β, 0, . . . , 0)

× (α, 0, 0, . . . , 0)−1 (0, β, 0, . . . , 0)−1 , (3.447)

cioe posto:

s = (α, 0, 0, . . . , 0) , t = (0, β, 0, . . . , 0) , (3.448)

c = s t s−1 t−1, (3.449)

avremo:

s t = c t s (3.450)

U(s)U(t) = U(c)U(t)U(s). (3.451)

Derivando rispetto ad α:

dU(s)

dαU(t) =

∑i

∂xi

∂α

∂U(s)

∂xiU(t)U(s)

+ U(c)U(t)dU(s)

dα. (3.452)

Derivando ancora rispetto a β:

dU(s)

dα

dU(t)

dβ=

∑i

∂2xi

∂α∂β

∂U(s)

∂xiU(t)U(s)

+∑

i,k

∂xi

∂α

∂xk

∂β

∂2U(c)

∂xi∂xkU(t)U(s)

+∑

i

∂xi

∂α

∂U(c)

∂xi

∂U(t)

∂βU(s) +

∑i

∂xi

∂β

∂U(c)

∂xiU(t)

∂U(s)

∂α

+U(c)∂U(t)

∂β

∂U(s)

∂α. (3.453)

294


Annullando separatamente α o β, il commutatore coincide con l’elementounita. Per α = β = 0 sara dunque: i = 1, 2, . . . , n,

U(c) = 1 (3.454)

∂xi

∂α=

∂xi

∂β= 0 (3.455)

∂2xi

∂α∂β= a1,2

i (3.456)

(gli indici 1 e 2 nella (3.456) significano che α e β sono rispettivamente laprima coordinata, tutte le altre essendo nulle, dell’elemento s e la secondacoordinata, tutte le altre essendo nulle, dell’elemento t; formole analoghevalgono per una coppia qualunque r, s di coordinate e le ar,s

i sono manifes-tamente antisimmetriche negli indici superiori)

∂U(c)

∂xi= Ri (3.457)

∂U(s)

∂α= P1 (3.458)

∂U(t)

∂β= P2 (3.459)

U(s) = U(t) = 1, (3.460)

e la formola precedente (3.453) diventa:

P1 P2 =∑

i

a1,2i Pi + P2 P1, (3.461)

cioe:

P1 P2 − P2 P1 =∑

i

a1,2i Pi (3.462)

o piu in generale:

Pr Ps − Ps Pr =∑

i

ar,si Pi, (3.463)

che sono le cosiddette relazioni di scambio.

295


3.15 Formole empiriche per l’energia diatomi con due elettroni

Sia un atomo di carica Z con due elettroni nello stato fondamentale. Poni-amo: a = < 1/r1 > = < 1/r2 > il valore medio dell’inverso della distanzadi ciascuno dei due elettroni dal nucleo, b =< 1/r12 > il valore mediodell’inverso della distanza dei due elettroni fra loro. Se esprimiamo le dis-tanze nelle unita elettroniche e l’energia in Ry, sara:

E = −2 a Z + b, (3.464)

poiche l’energia e uguale alla meta del valore medio dell’energia potenziale.Passiamo dall’atomo di numero Z a quello di numero Z + dZ; il metododelle perturbazioni da:

dE = − 4 a dZ, (3.465)

e abbiamo cosı due equazioni fra le tre funzioni incognite di Z: E, a, b. Ag-giungiamo un’ulteriore relazione empirica, presumibilmente ben approssi-mata, fra a e b:

b = (2Z − 2a) (2a − Z). (3.466)

che si giustifica cosı: per Z grande il metodo delle perturbazioni da:

E = −2 Z2 +5

4Z + . . . ; (3.467)

d’altra parte:

b =5

8Z + . . . , (3.468)

da cui per la (3.464):

a = Z − 5

16+ . . . , (3.469)

onde la (3.466) e in prima approssimazione soddisfatta. Per Z molto piccolouno degli elettroni e in prossimita del nucleo mentre l’altro e praticamentea distanza infinita, onde si ha: a ' Z/2, b ' 0, onde la (3.466) e ancorasoddisfatta. Per valori intermedi di Z la proponiamo come verosimilmentebene approssimata.

Sostituendo la (3.466) nella (3.464), si ha:

E = −2 a Z + (2Z − 2a) (2a − Z)

= − 2 Z2 + 4 a Z − 4 a2. (3.470)

296


Differenziando si ricava:

dE = − 4 Z dZ + 4 a dZ + 4 Z da − 8 a da; (3.471)

e confrontando con la (3.465):

dZ = da, (3.472)

da cui, poiche conosciamo il valore di a per Z infinito:

a = Z − 5

16, (3.473)

cioe, sostituendo in (3.470):

E = −2 Z2 +5

4Z − 25

64. (3.474)

formola utilizzabile per Z ≥ 5/8, poiche per Z = 5/8 risulta b = 0. Perl’elio (Z = 2), si trova: E = −5.89, di fronte al valore sperimentale 5.807,con un errore per eccesso, nel potenziale di ionizzazione, di 1.13V (25.59Vin luogo di 24.46V). Per l’idrogeno (Z = 1) E = −1.141, onde risul-terebbe un potenziale di ionizzazione di 1.91 (affinita elettronica).75 Ilprocedimento indicato e pero soddisfacente perche per Z molto piccolo bdeve tendere a zero come infinitesimo di ordine superiore al primo e nondiventare negativo.

Scegliamo come terza relazione approssimata in luogo della (3.466):

b =5

8

√k2 + Z2 − 5

8k, (3.475)

riservandoci di determinare k. Sostituendo in (3.464), si ha:

E = −2 a Z +5

8

√k2 + Z2 − 5

8k; (3.476)

e differenziando:

dE = −2 a dZ − 2 Z da +5Z dZ

8√

k2 + Z2, (3.477)

75Si noti che gli attuali valori sperimentali per il potenziale di ionizzazionedell’idrogeno, dell’atomo di elio neutro e ionizzato una volta sono rispettivamente13.5984 V, 24.5874 V, e 54.4178 V, corrispondenti ad un’energia di ionizzazionedi 0.9995, 1.8072, e 3.9998 (misurata in Ry, come usato nel testo). L’affinitaelettronica dell’idrogeno (cioe, la differenza tra le energie dello stato fondamentaledell’atomo neutro e ionizzato una volta) e 0.7542 eV.

297


da cui, confrontando con (3.465):

− 4 a dZ = −2 a dZ − 2 Z da +5Z dZ

8√

k2 + Z2

2 Z da = 2 a dZ +5Z dZ

8√

k2 + Z2

da

dZ=

a

Z+

5

16√

k2 + Z2, (3.478)

onde, badando che per Z →∞, a/Z deve tendere a 1:

a = Z

(1 +

∫ ∞

0

5 dZ

16 Z√

k2 + Z2

), (3.479)

con che si va incontro all’inconveniente che per Z piccolo a diventa negativo;per eliminare siffatto inconveniente e necessario che b tenda a zero, per Zpiccolo, come infinitesimo d’ordine superiore al secondo. Scegliamo per b,in luogo di (3.475), la forma:

b =5

8Z e−k/Z , (3.480)


E = −2 a Z +5

8Z e−k/Z (3.481)

e differenziando:

dE = −2 a dZ − 2 Z da +5

8e−k/Z dZ +

5k

8Ze−k/ZdZ; (3.482)


da

dZ=

a

Z+

5

16 Ze−k/Z +

5k

16 Z2e−k/Z , (3.483)

da cui

a = Z

(1 +

∫ ∞

0

5Z + 5k

16 Z3e−k/Z dZ

). (3.484)

Poiche per Z piccolo deve essere, come si e gia notato, a ' Z/2, si puodeterminare k in modo che:

∫ ∞

0

5Z + 5k

16 Z3e−k/Z dZ =

1

2, (3.485)

298


con che si avrebbe k = 5/4, ma si giunge per questa via a un’approssima-zione insufficiente. Si avrebbe:

a =Z

2+

(Z

2+

5

16

)e−1.25/Z (3.486)

b =5

8Z e−1.25/Z (3.487)

E = −Z2 − Z2 e−1.25/Z , (3.488)

che per l’elio (Z = 2) darebbe: E = −6.14, troppo disforme dal valoresperimentale.

Poniamo:

b =5

8

(3√

k3 + Z3 − k)

. (3.489)

La (3.464) diventa:

E = − 2 a Z +5

83√

k3 + Z3 − 5

8k, (3.490)

e differenziando:

dE = − 2 a dZ − 2 Z da − 5Z2dZ

8 (k3 + Z3)2/3(3.491)


da

dZ=

a

Z+

5Z

16 (k3 + Z3)2/3, (3.492)

da cui:

a = Z

(1 +

∫ ∞

0

5 dZ

16 (k3 + Z3)2/3

), (3.493)

in cui k si potrebbe determinare con condizione analoga alla (3.485). Maformole analoghe alla (3.489) se ne possono scrivere infinite senza che visia alcun mezzo per preferire a priori l’una o l’altra.

299


3.16 Gruppo delle rotazioni O(3) 13

Proiettando un punto (x, y, z) di una sfera unitaria dal polo sud (0, 0,−1)sul piano equatoriale z = 0, le sue coordinate sono legate a quelle del puntoimmagine (x, y, z) dalle relazioni:

x =2x′

1 + x′2 + y′2, y =

2y′

1 + x′2 + y′2, z =

1− x′2 − y′2

1 + x′2 + y′2. (3.494)

Ponendo:x′ + i y′ = η/ξ, (3.495)

le relazioni (3.494) diventano:

x + i y =2 ηξ∗

ξξ∗ + ηη∗, x − i y =

2 η∗ξξξ∗ + ηη∗

, z =ξξ∗ − ηη∗

ξξ∗ + ηη∗.

(3.496)Consideriamo una trasformazione unitaria con determinante 1 del gruppoSU(2) applicata a ξ e η; essa porta questa variabile in:

ξ1 = x ξ + i λ ξ − µ η + i ν η

η1 = µ ξ + i ν ξ + x η − i λ η

(con x2 + λ2 + µ2 + ν2), e in conseguenza il punto (x, y, z) nel punto(x1, y1, z1):

x1 + iy1 = 2(xµ + λν + ixν − iλµ)(ξξ∗ − ηη∗)

ξξ∗ + ηη∗

+2(x2 − λ2 − 2ixλ)ηξ∗ + (−µ2 + ν2 − 2iµν)ξη∗

ξξ∗ + ηη∗

x1 − iy1 = 2(xµ + λν − ixν + iλµ)(ξξ∗ − ηη∗)

ξξ∗ + ηη∗

+2(x2 − λ2 + 2ixλ)ηξ∗ + (−µ2 + ν2 + 2iµν)ξη∗

ξξ∗ + ηη∗

13Nel manoscritto originale, questo gruppo e indicato con δ3; tuttavia qui usi-amo la notazione moderna O(3). Si noti anche che a volte l’Autore usa la stessanotazione per un gruppo e per la sua restrizione alle trasformazioni con determi-nante uguale a 1 (che, nelle moderne notazioni, e indicata con una S che precedeil nome del gruppo; per esempio O(3) e SO(3)).

300


z1 =(x2 + λ2 − µ2 − ν2)(ξξ∗ − ηη∗)

ξξ∗ + ηη∗

+2(−xµ + λν + ixν + iλµ)ηξ∗ + (−xµ + λν − ixν − iλµ)ξη∗

ξξ∗ + ηη∗,

cioe:

x1 + iy1 = 2 (xµ + λν + ixν − iλµ) z

+(x2 − λ2 − 2ixλ)(x + iy) + (−µ2 + ν2 − 2iµν)(x− iy)

x1 − iy1 = 2 (xµ + λν − ixν + iλµ) z

+(x2 − λ2 + 2ixλ)(x− iy) + (−µ2 + ν2 + 2iµν)(x + iy)

z1 = (x2 + λ2 − µ2 − ν2) z + 2 (−xµ + λν + ixν + iλµ)(x + iy)

+ (−xµ + λν − ixν − iλµ)(x− iy),

cioe:

x1 = (x2 − λ2 − µ2 + ν2)x + 2(xλ− µν)y + 2(xµ + λν)z

y1 = −2(xλ + µν)x + (x2 − λ2 + µ2 − ν2)y + 2(xν − λµ)z

z1 = 2(−xµ + λν)x + 2(−xν − λµ)y + (x2 + λ2 − µ2 − ν2)z.

(3.497)

che rappresenta una rotazione nello spazio a tre dimensioni e in verita la piugenerale rotazione; anzi per ogni rotazione nello spazio si possono sceglierein due modi le costanti x, λ, µ, ν che si deducono l’uno dall’altro medi-ante cambiamenti di segni delle componenti del quaternione. Le equazioni(3.497) non sono altro che la rappresentazione D1 del gruppo SU(2). In-vertendola (con che perde l’univocita) si possono considerare Dj come rap-presentazioni di O(3); e saranno univoche quelle con j intero perche in talirappresentazioni a due quaternioni uguali e opposti corrisponde la stessatrasformazione, duplici quelle con j non intero. In queste ultime, tra lequali Dj , che deriva dall’inversione di (3.497), a ogni rotazione nello spaziotridimensionale corrispondono due matrici uguali e opposte. Una rotazionedi un angolo infinitesimo ε intorno all’asse z corrisponde (scegliendo dei duequaternioni possibili, uguali e opposti, quello prossimo all’unita) il quater-nione: (

1,−1

2ε, 0, 0

).

301


Analogamente alla rotazione di un angolo infinitesimo ε intorno all’asse xcorrisponde il quaternione:

(1, 0, 0,−1

2ε

),

e alla rotazione dell’angolo ε intorno all’asse y, il quaternione:

(1, 0,

1

2ε, 0

).

Segue che in una rappresentazione qualunque di U(2) considerata come rap-presentazione (univoca o duplice) del gruppo O(3), le rotazioni infinitesimeintorno agli assi x, y, e z, si esprimono mediante le trasformazioni infinites-ime fondamentali P1, P2, e P3 in base alle semplici relazioni:

Rz = − 1

2P1, Rx = − 1

2P3, Ry =

1

2P2. (3.498)

Seguono a causa delle equazioni (3.438), le relazioni di scambio:

RxRy −RyRx = Rz

RyRz −RzRy = Rx (3.499)

RzRx −RxRz = Ry.

Seguono dalle equazioni (3.442) le espressioni delle matrici Rx, Ry, Rz nellerappresentazioni Dj (cangiando il segno di m e n, cioe ponendo m = j−r):

(Rz

i

)

m,n

= m δm,n

(Rx

i

)

m,n

= − i

2

√j(j + 1)−mn (δm+1,n + δm−1,n) (3.500)

(Ry

i

)

m,n

=i

2

√j(j + 1)−mn (δm+1,n − iδm−1,n) .

Si hanno cosı le matrici:

302


• j = 0

Rz

i= 0,

Rx

i= 0,

Ry

i= 0.

• j =1

2

Rz

i=

(12

00 − 1

2

),

Rx

i=

(0 − 1

212

0

),

Ry

i=

(0 − i

2i2

0

).

• j = 1

Rz

i=

1 0 00 0 00 0 −1

,

Rx

i=

0 −√

22

0

−√

22

0 −√

22

0 −√

22

0

,

Ry

i=

0 −i√

22

0

i√

22

0 −i√

22

0 i√

22

0

.

• j =3

2

Rz

i=

32

0 0 00 1

20 0

0 0 − 12

00 0 0 − 3

2

,

Rx

i=

0 −√

32

0 0

−√

32

0 −1 0

0 −1 0 −√

32

0 0 −√

32

0

,

Ry

i=

0 −i√

32

0 0

i√

32

0 −i 0

0 i 0 −i√

32

0 0 i√

32

0

.

303


• j = 2

Rz

i=

2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 −1 00 0 0 0 −2

,

Rx

i=

0 −1 0 0 0

−1 0 −√

62

0 0

0 −√

62

0 −√

62

0

0 0 −√

62

0 −10 0 0 −1 0

,

Ry

i=

0 −i 0 0 0

i 0 −i√

62

0 0

0 i√

62

0 −i√

62

0

0 0 i√

62

0 −i0 0 0 i 0

.

• j =5

2

Rz

i=

52

0 0 0 0 00 3

20 0 0 0

0 0 12

0 0 00 0 0 − 1

20 0

0 0 0 0 − 32

00 0 0 0 0 − 5

2

,

Rx

i=

0 −√

52

0 0 0 0

−√

52

0 −√2 0 0 0

0 −√2 0 − 32

0 0

0 0 − 32

0 −√2 0

0 0 0 −√2 0 −√

52

0 0 0 0 −√

52

0

,

304


Ry

i=

0 −i√

52

0 0 0 0

i√

52

0 −i√

2 0 0 0

0 i√

2 0 −i 32

0 0

0 0 i 32

0 −i√

2 0

0 0 0 i√

2 0 −i√

52

0 0 0 0 i√

52

0

.

• j = 3

Rz

i=

3 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 −2 00 0 0 0 0 0 −3

,

Rx

i=

0 −√

62

0 0 0 0 0

−√

62

0 −√

102

0 0 0 0

0 −√

102

0 −√3 0 0 0

0 0 −√3 0 −√3 0 0

0 0 0 −√3 0 −√

102

0

0 0 0 0 −√

102

0 −√

62

0 0 0 0 0 −√

62

0

,

Ry

i=

0 −i√

62

0 0 0 0 0

i√

62

0 −i√

102

0 0 0 0

0 i√

102

0 −i√

3 0 0 0

0 0 i√

3 0 −i√

3 0 0

0 0 0 i√

3 0 −i√

102

0

0 0 0 0 i√

102

0 −i√

62

0 0 0 0 0 i√

62

0

.

305


3.17 Gruppo di Lorentz

E costituito dalle trasformazioni ortogonali delle variabili

ct,x

i,

y

i,

z

i.

Limitandoci alle trasformazioni ortogonali con determinante 1 (escludendoquindi quelle con determinante −1) si ha il gruppo delle rotazioni proprie(reali o complesse) SO(4) nello spazio a quattro dimensioni.

Consideriamo le variabili x1, x2, x3, x4 nello spazio a quattro dimen-sioni e siano ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 le variabili dello spazio duale da trasformarsi inmodo controgradiente. Siano cioe le x mediante una trasformazione lineareportate in x′1, x

′2, x

′3, x

′4; le ξ debbono allora intendersi trasformate in modo

che sia identicamente

x1 ξ1 + x2 ξ2 + x3 ξ3 + x4 ξ4 = x′1 ξ′1 + x′2 ξ′2 + x′3 ξ′3 + x′4 ξ′4. (3.501)

Sia

x′i =∑

k

aik xk. (3.502)

Sostituendo nella (3.501), si ricava:

∑i

xi ξi =∑

i,k

aik ξ′i xk =∑

k

xk

∑i

aik ξ′i, (3.503)

la quale dovendo valere per valori arbitrari cosı delle x come delle ξ sideduce:

ξk =∑

i

aik ξ′i (3.504)

che esprime la legge di variazione controgradiente delle ξ. Una trasfor-mazione che trasforma tra loro solo alcune delle x, per esempio su x1 ex2, agisce del pari nello spazio duale solo sulle ξ corrispondenti, nel nostrocaso ξ1 e ξ2 reciprocamente. Cio segue dalle equazioni (3.502) e (3.504).

Si sottopongano x1 e x2 tra loro a una trasformazione σ12 del gruppoSL(2, C) 14 cioe delle trasformazioni lineari omogenee di determinante 1 in

14Nel manoscritto originale questo gruppo e indicato con c2; tuttavia, qui usi-amo la notazione moderna SL(2, C).

306


due variabili, e x3 e x4 tra loro a un’altra trasformazione dello stesso gruppoσ34. La trasformazione che subiscono le quattro variabili x1, x2, x3, x4:

σ = (σ12, σ34) , (3.505)

costituisce una rappresentazione del gruppo astratto (SL(2, C))2 i cui ele-menti sono coppie (σ, τ) di elementi di SL(2, C) e soddisfano alla regola dicomposizione:

(σ, τ)(σ′, τ ′

)=

(σ σ′, τ τ ′

). (3.506)

Consideriamo le espressioni:

z1 = x1 ξ3, z2 = x2 ξ3, z3 = x1 ξ4, z4 = x2 ξ4, (3.507)

le quali annullano la forma quadratica:

z1 z4 − z2 z3. (3.508)

Sotto l’influsso di σ si trasformano le x e le ξ in:

x′1 = αx1 + βx2, x′2 = γx1 + δx2,x′3 = α1x3 + β1x4, x′4 = γ1x3 + δ1x4,

(3.509)

con αδ − βγ = α1δ1 − β1γ1 = 1, e

ξ′1 = δξ1 − γξ2, ξ′2 = −βξ1 + αξ2,ξ′3 = δ1ξ3 − γ1ξ4, ξ′4 = −β1ξ3 + α1ξ4.

(3.510)

Sostituendo nelle equazioni (3.507), si ricava:

z′1 = αδ1z1 + βδ1z2 + αγ1z3 − βγ1z4

z′2 = γδ1z1 + δδ1z2 − γγ1z3 − δγ1z4

z′3 = −αβ1z1 − ββ1z2 + αα1z3 + βα1z4

z′4 = −γβ1z1 − δβ1z2 + γα1z3 + δα1z4,

(3.511)

si deduce:z′1 z′4 − z′2 z′3 = z1 z4 − z2 z3, (3.512)

cioe la forma (3.508) e invariante rispetto a (3.511). La matrice di (3.511)deriva dal prodotto (commutabile) delle matrici:

α β 0 0γ δ 0 00 0 α β0 0 γ δ

·

δ1 0 −γ1 00 δ1 0 −γ1

−β1 0 α1 00 −β1 0 α1

, (3.513)

307


onde il suo determinante e 1, e le equazioni (3.511) costituiscono una rap-presentazione di (SL(2, C))2.

Ogni trasformazione omogenea, con determinante 1, che lasci invarian-te la forma (3.508) puo porsi nella forma (3.511) esattamente in due modi(potendosi cambiare il segno delle otto costanti α, β, γ, δ, α1, β1, γ1, δ1).Le quattro grandezze

z′1 = x4 ξ2, z′2 = −x4 ξ1, z′3 = −x3 ξ2, z′4 = x3 ξ1 (3.514)

si trasformano come le zi, perche, data l’unimodularita di σ12 e σ34, legrandezze x1 e x2 si trasformano come ξ2 e −ξ1, e le grandezze ξ3 e ξ4

come x4 e −x3.Allo stesso modo si trasformera qualsiasi combinazione lineare, in par-

ticolare la somma, dei vettori z e z′ che ha per componenti:

z′′1 = z1 + z′1, z′′2 = z2 + z′2, z′′3 = z3 + z′3, z′′4 = z4 + z′4. (3.515)

Introduciamo le grandezze ct, x/i, y/i, z/i intendendo che la loro legge ditrasformazione sia definita da

ct ∼ z1 + z4 ∼ z′′1 + z′′4x/i ∼ (z2 + z3)/i ∼ (z′′2 + z′′3 )/iy/i ∼ z3 − z2 ∼ z′′3 − z′′2z/i ∼ (z1 − z4)/i ∼ (z′′1 − z′′4 )/i.

(3.516)

Segue dalla (3.516):

c2t2 − x2 − y2 − z2 ∼ 4(z′′1 z′′4 − z′′2 z′′3

); (3.517)

e poiche il secondo membro e invariante, segue che le variabili spazio-temporali x, y, z, t subiscono sotto l’influsso di σ una trasformazione diLorentz.In luogo di (3.516) si puo scrivere:

ct ∼ ξ1x3 + ξ2x4 + ξ3x1 + ξ4x2

x/i ∼ iξ1x4 + iξ2x3 − iξ3x2 − iξ4x1

y/i ∼ ξ1x4 − ξ2x3 − ξ3x2 + ξ4x1

z/i ∼ iξ1x3 − iξ2x4 − iξ3x1 + iξ4x2.

(3.518)

Posti i secondi membri della (3.518) sotto la forma∑

ik

γαik ξi xk, α = 1, 2, 3, 4 (3.519)

308


le matrici γαik godono delle seguenti proprieta: sono Hermitiane e soddis-

fano la relazione1

2(γα γβ + γβ γα) = δαβ (3.520)

e inoltre, se σ e una matrice definita dalle equazioni (3.511), le matricitrasformate σ−1γασ corrispondenti a ct′, x′/i, y′/i, z′/i sono combinazionilineari di quelle corrispondenti a ct, x/i, y/i, z/i (si veda la prossimasezione).

3.18 Matrici di Dirac e gruppo di Lorentz

Si debbano costruire in uno spazio a n dimensioni p operatori Hermitiani

α1, α2, . . . , αp (3.521)

con le condizioni:αiαk + αkαi

2= δik. (3.522)

Dati n e p puo darsi che il problema non ammetta soluzioni, o che neammetta una sola fondamentale (che cioe tutte le possibili serie di matriciα1, α2, . . . , αp; α′1, α

′2, . . . , α

′p; . . . si ottengono l’una dall’altra per trasfor-

mazione unitaria) e puo darsi che ammetta parecchie soluzioni fondamen-tali non riducibili l’una all’altra per trasformazione unitaria.

1) Supponiamo p = 1; una unica condizione da soddisfare e allora

α21 = 1, (3.523)

per il che basta e occorre che gli autovalori di α1 siano tutti 1 oppure −1.Lo spazio Rn si spezza cosı nella somma R′r +R′′n−r; il primo a r dimensioni(0 ≤ r ≤ n), corrisponde all’autovalore positivo +1, r−1 volte degenerato,il secondo all’autovalore negativo−1, n−r−1 volte degenerato. Assumendocome primi r vettori fondamentali r vettori unitari e ortogonali qualsiasidi R′r e come ultimi n − r vettori fondamentali, n − r vettori unitari eortogonali di R′′n−r, la matrice di α1, sara diagonale, con i primi r elementidiagonali uguali a 1, e gli ultimi n−r uguali a −1. Facendo variare r, da n

309


a 0, si ottengono le n + 1 soluzioni fondamentali che il problema ammettein questo caso speciale.

2) Supponiamo p = 2. Le condizioni da soddisfare sono

α21 = 1, α2

2 = 1, α1α2 + α2α1 = 0. (3.524)

Sia R′r lo spazio corrispondente all’autovalore +1 di α1, e R′′n−r quellocorrispondente all’autovalore −1. Sia a un vettore di R′r; per l’ultima delle(3.524) dovra essere:

(α1α2 + α2α1) a = 0, (3.525)

cioe:

(α1 + 1) α2 a = 0. (3.526)

Segue che α2a appartiene a R′′n−r, e perche α2 ha determinante diverso dazero, sara:

n − r ≥ r. (3.527)

Sia b un vettore di R′′n−r; dall’ultima equazione del (3.524), sara:

(α1 − 1) α2b = 0, (3.528)

cioe α2b appartiene a R′r; segue:

r ≥ n− r. (3.529)

e combinando con (3.527):

r = n/2. (3.530)

Segue che il caso p = 2 ammette soluzione solo se n e pari. Supposton = 2r pari in modo che r risulti intero, scegliamo come primi r vettorifondamentali r vettori unitari ortogonali qualsiasi di R′r e come ultimi rvettori fondamentali i vettori trasformati15 α2 ≤ 1, α2 ≤ 2, . . ., α2 ≤ r chesaranno naturalmente ortogonali ai primi perche appartengono a R′′r chee ortogonale a R′r), ma anche unitari e ortogonali tra loro perche essendoα2 Hermitiana e uguale alla sua inversa appartiene a un particolare tipo

15Cioe, i vettori α2a.

310


di trasformazioni unitarie. Le matrici α1 e α2 assumono allora l’aspetto:

α1 =

1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ...0 0 ... 1

0 0 ... 00 0 ... 0... ... ... ...0 0 ... 0

0 0 ... 00 0 ... 0... ... ... ...0 0 ... 0

−1 0 ... 00 −1 ... 0... ... ... ...0 0 ... −1

,

α2 =

0 0 ... 00 0 ... 0... ... ... ...0 0 ... 0

1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ...0 0 ... 1

1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ...0 0 ... 1

0 0 ... 00 0 ... 0... ... ... ...0 0 ... 0

.

(3.531)Per p = 2 e n pari il problema ammette cosı una sola soluzione fondamen-tale, mentre per n dispari non ne ammette.

3) Si supponga p > 2. Avremo le p matrici

α1, α2, α3, . . . , αp. (3.532)

Scegliamo come prima i primi r = n/2 vettori fondamentali nello spazioR′r corrispondente all’autovalore positivo +1 di α1, e gli ultimi n− r nellospazio R′′r li otteniamo trasformando i primi mediante α2. Unica differenzarispetto al caso precedente e che invece di scegliere ad arbitrio i primi rvettori fondamentali nello spazio R′r, ne adatteremo la scelta alla rappre-sentazione di α3, α4, . . . , αp. Per far cio poniamo:

α2α3 = iβ1 α3 = iα2β1

α2α4 = iβ2 α4 = iα2β2

· · ·α2αp = iβp−2 αp = iα2βp−2.

(3.533)

311


Gli operatori β1, β2, . . . , βp−2 trasformano vettori di R′r in vettori di R′r, evettori di R′′r in vettori di R′′r . Le loro matrici avranno quindi l’aspetto:

αi+2 =

(0 iγi

iδi 0

), (3.534)

βi =

(δi 00 γi

), i = 1, 2, . . . , p− 2, (3.535)

essendo γi e δi matrici di ordine n/2. Inoltre, da

αi+2αk+2 + αk+2αi+2

2= δik (3.536)

si deduce per le ultime delle equazioni (3.533):

1

2(α2βiα2βk + α2βkα2βi) = − δik; (3.537)

e poiche deve essere per le prime delle (3.533)

iβ1α2 = α2αi+2α2 = α2 (αi+2α2)

= −α2 (α2αi+2) = −αi+2 = −i α2 βi,

segue:βiα2 = −α2βi, βkα2 = −α2βk (3.538)

e le (3.537) diventano:

− α2βiα2βk + α2βkα2βi = −α2 (βiα2) βk + α2 (βkα2) βi

= α2 (α2βi) βk + α2 (α2βk) βi = β1βk + βkβi = 2 δik, (3.539)

cioe le β soddisfanno a condizioni analoghe alle equazioni (3.522). Concio tutte le condizioni non sono ancora riempite. Resta precisamente dasoddisfare quella delle (3.522) in cui una delle α e α2 e l’altra αi+2 (i +1, 2, . . . , p− 2). Cioe, per le equazioni (3.533), la (3.538), sulla cui validitasono del resto fondate le (3.539). Ora data la forma (3.531) di α2, la(3.538) importa solamente che fra le matrici parziali a n/2 dimensioni γi,δi sussista l’equazione:

γi = − δi, (3.540)

e perche siano soddisfatte le (3.539) basta ancora che sia

γi γk + γk γi = 2 δik, i, k = 1, 2, . . . , p− 2. (3.541)

312


Perche le αi+2 siano Hermitiane si richiede solo che lo siano le γi, e con cioil nostro problema e pienamente ricondotto a quello analogo con n′ = n/2e p′ = p − 2. Se ancora p′ > 2, si puo procedere finche si ricade in unodei casi gia noti: n dispari in cui si hanno n + 1 soluzioni fondamentali secontemporaneamente e p = 1, mentre altrimenti non se ne hanno, oppurep′ ≤ 2 che abbiamo risolto sotto 1) e 2).

Abbiamo cosı risolto il problema ottenendo un procedimento che per-mette di costruire tutte le possibili soluzioni fondamentali. La rispostagenerale sulla possibilita e numero delle soluzioni suona ovviamente:

Posto p sotto la forma p = 2k oppure p = 2k + 1, il problema ammettesoluzioni solo se n e divisibile per 2k e precisamente ne ammette una sola sep e pari mentre se p e dispari ne ammette (n/2k)+1. Come casi particolarisi hanno le conclusioni gia segnalate per p = 1 e p = 2.

Come caso particolare possiamo considerare quello in cui p ha il valoremassimo possibile, essendo dato n. La risposta suona: sia t l’esponentedi 2 nella scomposizione in fattori primi di n; si avra: pmax = 2t + 1 e ilnumero delle soluzioni fondamentali e (n/2t) + 1 ≥ 2, (valendo il segno diuguaglianza solo se n e potenza intera di 2).

Operatori non Hermitiani. Togliamo la restrizione che α1, α2, . . . , αp

siano operatori Hermitiani. Ascriveremo allora a un’unica soluzione fon-damentale tutte le soluzioni che si ottengono l’una dall’altra, per trasfor-mazione qualunque di coordinate. Cioe data una soluzione αi riguardere-mo come equivalente la soluzione α′i = SαiS

−1, in cui S e un operatorequalunque con determinante diverso da zero. Per la rappresentazione delleαi scegliamo un sistema non normale di coordinate procedendo esattamentecome nel caso precedente, tolta dove occorre la condizione di ortonormalitadei vettori fondamentali e sostituita con quella di “indipendenza”. Giun-giamo allora alle stesse matrici Hermitiane che abbiamo ottenuto prima:soltanto non essendo normale il sistema di coordinate, esse non rappresen-tano in generale operatori Hermitiani. Tornando alle coordinate normali, lematrici degli operatori Hermitiani si ottengono per trasformazione unitariada certe fondamentali, mentre le matrici degli operatori non Hermitiani siottengono per trasformazione non unitaria delle stesse fondamentali; talimatrici non saranno in generale Hermitiane.

Esempi. Diamo alcuni esempi di matrici fondamentali limitatamente alcaso: n = 2t, p = 2t + 1 in cui p ha dunque il valore massimo possi-

313


bile. Avremo sempre due soluzioni fondamentali che differiscono tra lorounicamente per il segno dell’ultima matrice.

• n = 1, p = 1

αi = ± 1

• n = 2, p = 3

α1 =

(1 00 −1

), α2 =

(0 11 0

), α3 = ±

(0 i−i 0

).

• n = 4, p = 5

α1 =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, α2 =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

,

α3 =

0 0 i 00 0 0 −1−i 0 0 00 i 0 0

, α4 =

0 0 0 i0 0 i 00 −i 0 0−i 0 0 0

,

α5 = ±

0 0 0 −10 0 1 00 1 0 0−1 0 0 0

.

• n = 8, p = 7

α1 =

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 0 −1

,

314


α2 =

0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0

,

α3 =

0 0 0 0 i 0 0 00 0 0 0 0 i 0 00 0 0 0 0 0 −i 00 0 0 0 0 0 0 −i−i 0 0 0 0 0 0 00 −i 0 0 0 0 0 00 0 i 0 0 0 0 00 0 0 i 0 0 0 0

,

α4 =

0 0 0 0 0 0 i 00 0 0 0 0 0 0 i0 0 0 0 i 0 0 00 0 0 0 0 i 0 00 0 −i 0 0 0 0 00 0 0 −i 0 0 0 0−i 0 0 0 0 0 0 00 −i 0 0 0 0 0 0

,

α5 =

0 0 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 0−1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0

,

315


α6 =

0 0 0 0 0 0 0 −10 0 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 0 0−1 0 0 0 0 0 0 0

,

α7 = ±

0 0 0 0 0 0 0 −i0 0 0 0 0 0 i 00 0 0 0 0 i 0 00 0 0 0 −i 0 0 00 0 0 i 0 0 0 00 0 −i 0 0 0 0 00 −i 0 0 0 0 0 0i 0 0 0 0 0 0 0

.

Interpretazione secondo la teoria dei gruppi. Consideriamo piu op-eratori

α1, α2, . . . , αp, (3.542)

soddisfacenti alle solite condizioni

αiαk + αkαi = 2 δik, (3.543)

e gli operatori composti che si ottengono moltiplicando quante si voglianodelle α in un ordine qualsiasi. Essi formano gruppo e in realta un gruppofinito g perche a causa delle (3.543) possono sempre ricondursi al tipo:

g : ±αε11 αε2

2 . . . αεpp , (3.544)

in cui le εi sono capaci dei valori 0 e 1. Gli operatori (3.544) possonoriguardarsi in astratto come elementi di un gruppo contenente 2p+1 ele-menti. Per avere una rappresentazione del gruppo basta trovare p matricisoddisfacenti alla (3.543); esse corrispondono a p elementi fondamentali delgruppo (3.544), cioe alle α stesse che si ottengono da (3.544) scegliendo ilsegno + e ponendo tutte le ε tranne una uguali a zero. Da queste matricifondamentali per prodotto si ottengono quelle che corrispondono a tuttigli altri elementi del gruppo. Il problema di determinare p matrici soddis-facenti alle (3.543) lo abbiamo gia risolto per tutti i valori di n per cui e

316


possibile risolverlo e in tutti i modi possibili per un dato n. Abbiamo cosıaltrettante rappresentazioni del gruppo g. Esse non sono tuttavia tuttele rappresentazioni possibili. In realta la regola di composizione per glielementi del gruppo e stata dedotta dalle (3.543), ma queste a loro voltanon si deducono dalla regola di composizione se non nel caso speciale che aelementi del gruppo contrassegnati dalle stesse ε ma da segno opposto, cor-rispandono matrici opposte. Badiamo in particolare alle rappresentazioniirriducibili. L’elemento

−α01 α0

2 . . . α0p (3.545)

e commutabile con tutti gli elementi del gruppo e poiche il suo quadratoe l’elemento unita, nelle rappresentazioni irriducibili corrispondera ad essoo la matrice unita, o la matrice unita cambiata di segno. Solo nel secondocaso le (3.543) saranno soddisfatte dalle matrici fondamentali e perchesiano soddisfatte in una rappresentazione qualunque occorre e basta chequesta si scomponga in rappresentazioni irriducibili del secondo tipo. Lerappresentazioni irriducibili del primo tipo sono necessariamente unidimen-sionali perche sono rappresentazioni abbreviate di g, o rappresentazioni delgruppo Abeliano g′ che si ottiene identificando in (3.544) gli elementi chedifferiscono solo per il segno, cioe elementi equivalenti rispetto al sottogruppo invariante formato dall’elemento unita e dall’elemento in (3.545).Poiche il gruppo g′ contiene 2p elementi, le rappresentazioni irriducibili uni-dimensionali del primo tipo sono in numero di 2p. I caratteri irriducibilisono ovviamente:

ηε11 ηε2

2 . . . ηεpp . (3.546)

Supponiamo inoltre che esistano s rappresentazioni irriducibili del secondotipo. Per il teorema di “completezza” dovra essere:

n21 + n2

2 + . . . + n2s = 2p+1 − 2p = 2p. (3.547)

Si supponga che le ni siano disposte in ordine non decrescente; sara alloran1, il piu piccolo valore di n per cui e possibile trovare p matrici soddisfa-centi alla (3.543). Se p = 2k e pari supponiamo che detto valor minimoe n = 2k = 2p/2; onde per la (3.547) esiste una sola rappresentazioneirriducibile del secondo tipo con

n = 2p/2 = 2k, p = 2k. (3.548)

Se invece p = 2k + 1 e dispari sara ancora n1 = 2k, ma dovra esistere unaseconda rappresentazione irriducibile dello stesso ordine. Si hanno cosı per

317


p dispari due rappresentazioni irriducibili del secondo tipo con

n1 = n2 = 2p−12 = 2k, p = 2k + 1. (3.549)

Poiche una rappresentazione in cui sono soddisfatte le (3.543) si scomponein rappresentazioni irriducibili del secondo tipo si comprende l’affermazio-ne del teorema (si veda il paragrafo Operatori non Hermitiani), che cioeil problema di trovare p matrici di ordine n soddisfacenti alla (3.543) am-mette soluzioni solo se n e divisibile per 2k; si comprende inoltre comequesta soluzione e unica (a meno di trasformazioni) se p e pari, percheunica e la scomposizione possibile in matrici irriducibili, mentre vi sonon/2k + 1 soluzioni fondamentali se p e dispari perche nella scomposizionedella rappresentazione di ordine n in rappresentazioni irriducibili di secon-do tipo, essendo queste due dello stesso ordine 2k, una di esse puo entrareun numero intero di volte da 0 a n/2k.Quando n e multiplo di 2k, si possono adattare le coordinate alla scompo-sizione in rappresentazioni irriducibili e si ottengono allora per le α matriciche sono piu semplici di quelle considerate nella trattazione diretta perchesi spezzano in matrici parziali di ordine 2k che con opportuna scelta dellecoordinate si riconducono a quelle gia considerate per il caso n = 2k. (Vediper la connessione delle matrici di Dirac con il gruppo di Lorentz, al luogo:Invarianza delle equazioni di Dirac.)16

3.19 Elettrone rotante

Scriviamo le equazioni di Dirac sotto la forma:

Hψ ≡[α1

i

(mc +

W

c+

e

cφ

)+ α2

(px +

e

cAx

)

+ α3

(py +

e

cAy

)+ α4

(pz +

e

cAz

)+

mc

i

]ψ = 0, (3.550)

in cui le α sono le prime quattro delle α considerate nel paragrafo 3.18sotto n = 4, p = 5. Sia H1 l’operatore che si ottiene da H scambiando

16Nonostante il riferimento con cui l’Autore chiude questo paragrafo, nei cinqueVolumetti non v’e alcuna sezione che tratti questo argomento.

318


l’ultimo termine mc/i in −mc/i, e formiamoci la quantita H1Hψ 17:

[−

(mc +

W

c+

e

cφ

)2

+(px +

e

cAx

)2

+(py +

e

cAy

)2

+(pz +

e

cAz

)2

+ m2c2

+ α1α2e~c

Ex + α1α3e~c

Ey + α1α4e~c

Ez

− e~ci

α2α3Hz − e~ci

α3α4Hx − e~ci

α4α2Hy

]ψ = 0. (3.551)

I primi cinque termini danno l’Hamiltoniana relativistica senza elettronerotante, gli altri rappresentano la correzione di elettrone rotante. Notandoche le matrici α1α2, α1α3, α1α4, α2α3, α3α4, α4α2 hanno per quadrato −1,e quindi per autovalori ±i, e inoltre che l’Hamiltoniana classica e, in primaapprossimazione, H1H/2m, si deduce che l’elettrone appare provvisto diun momento magnetico e~/2mc e di un momento elettrico immaginariopari a e~/2mci.

Scriviamo in luogo delle (3.550) le equazioni equivalenti ma piu comode:

[−

(mc +

W

c+

e

cφ

)+ α1 mc + α2

(px +

e

cAx

)

+ α3

(py +

e

cAy

)+ + α4

(pz +

e

cAz

)]ψ = 0, (3.552)

che si possono portare nella forma:

Hψ ≡[(α1 − 1) mc2 − e

cφ + α2 c

(px +

e

cAx

)

+ α3 c(py +

e

cAy

)+ α4 c

(pz +

e

cAz

)]ψ = W ψ. (3.553)

Supponiamo che il campo magnetico sia costante di intensita H e direttosecondo l’asse z. Potremo porre:

Ax = − 1

2y H, Ay =

1

2x H, Az = 0, (3.554)

17Nel manoscritto originale viene usata la vecchia notazione h/2π per la quan-tita qui denotata con ~. Si noti anche che φ e A sono rispettivamente il potenzialescalare e vettore del campo elettromagnetico, mentre nel seguito con E e H siindicano rispettivamente il campo elettrico e magnetico.

319


e le (3.553) diventano:

Hψ ≡[(α1 − 1) mc2 − e

cφ + α2 c

(px − e

2cyH

)

+ α3 c(py +

e

2cxH

)+ α4 c pz

]ψ = W ψ. (3.555)

Indichiamo con ψn le soluzioni scalari dell’equazione di Schrodinger

− ~2

2m∆ ψn − e φ ψn − Wn ψn = 0 (3.556)

e conxnn′ , ynn′ , znn′ (3.557)

le matrici di polarizzazione. Scriviamo per disteso le (3.555):

−e φ ψ1 + c(px − e

2cyH

)ψ3 + c i

(py +

e

2cxH

)ψ3

+ c i pz ψ4 = W ψ1 (3.558)

−e φ ψ2 + c(px − e

2cyH

)ψ4 − c i

(py +

e

2cxH

)ψ4

+ c i pz ψ3 = W ψ2 (3.559)

−2mc2 ψ3 − e φ ψ3 + c(px − e

2cyH

)ψ1

− c i(py +

e

2cxH

)ψ1 − c i pz ψ2 = W ψ3 (3.560)

−2mc2 ψ4 − e φ ψ4 + c(px − e

2cyH

)ψ2

+ c i(py +

e

2cxH

)ψ2 − c i pz ψ1 = W ψ4. (3.561)

In prima approssimazione risolve le equazioni di Dirac il duplice sistemadi funzioni vettoriali ψn1 e ψn2 le cui componenti sono:

1a comp. 2a comp. 3a comp. 4a comp.

ψn1 ψn 0 (2mc)−1(px − ipy)ψn −(2mc)−1ipzψn

ψn2 0 ψn −(2mc)−1ipzψn (2mc)−1(px + ipy)ψn

(3.562)

320


Tali funzioni sono ortogonali e, in prima approssimazione, normalizzate.Per la determinazione degli controvalori in seconda approssimazione (cioetenendo conto in prima approssimazione degli effetti di relativita, elettronerotante e campo magnetico) sostituiamo nelle (3.558)-(3.561) tenuto contodelle (3.556). Avremo rispettivamente per i singoli tipi ψn1 e ψn2:

(a) Tipo ψn1 : (3.563)

−e φ ψ1 + c(px − e

2cy H

)ψ3 + c i

(py +

e

2cx H

)ψ3

+ c i pz ψ4 − Wn ψ1 ≡ (δH ψ)1

=e H

4mc(x py − y px) ψn +

i e H

4mc(x px + y py) ψn;

−e φ ψ2 + c(px − e

2cyH

)ψ4 − c i

(py − e

2cxH

)ψ4

+ c i pz ψ3 − Wn ψ2 ≡ (δH ψ)2

= − eH

4mc(x − i y) pz ψn;

−2mc2 ψ3 − e φ ψ3 + c(px − e

2cyH

)ψ1

− c i(py +

e

2cxH

)ψ1 − c i pz ψ2 − Wn ψ3 ≡ (δH ψ)3

= − 1

2mc(Wn + e φ) (px − i py) ψn − ieH

2(x − i y) ψn;

−2mc2 ψ4 − e φ ψ4 + c(px − e

2cyH

)ψ2

+ c i(py +

e

2cxH

)ψ2 − c i pz ψ1 − Wn ψ4 ≡ (δH ψ)4

=i

2mc(Wn + e φ) pz ψn.

(b) Tipo ψn2 : (3.564)

−e φ ψ1 + c(px − e

2cy H

)ψ3 + c i

(py +

e

2cx H

)ψ3

321


+ c i pz ψ4 − Wn ψ1 ≡ (δH ψ)1

=eH

4mc(x + i y) pz ψn;

−e φ ψ2 + c(px − e

2cyH

)ψ4 + c i

(py +

e

2cxH

)ψ4

+ c i pz ψ3 − Wn ψ2 ≡ (δH ψ)2

=e H

4mc(x py − y px) ψn − i e H

4mc(x px + y py) ψn;

−2mc2 ψ3 − e φ ψ3 + c(px − e

2cyH

)ψ1

− c i(py +

e

2cxH

)ψ1 − c i pz ψ2 − Wn ψ3 ≡ (δH ψ)3

=i

2mc(Wn + e φ) pz ψn

= −2mc2 ψ4 − e φ ψ4 + c(px − e

2cyH

)ψ2

+ c i(py +

e

2cxH

)ψ2 − c i pz ψ1 − Wn ψ4 ≡ (δH ψ)4

= − 1

2mc(Wn + e φ) (px + i py) ψn +

ieH

2(x + i y) ψn.

Supponiamo che Wn sia multiplo q volte e siano

y1, y2, . . . , yq (3.565)

le autofunzioni ortonormalizzate di Schrodinger corrispondenti all’autova-lore Wn. A causa dell’elettrone rotante si avranno invece 2q autofunzionivettoriali con autovalore prossimo a Wn. In prima approssimazione essesi ottengono come combinazioni lineari delle 2q autofunzioni approssimatey11, y21, . . . , yq1, y12, y22, . . . , yq2 che risultano da (3.562) quando in luogodi ψn si ponga successivamente y1, y2, . . . , yq. Abbiamo posto generica-mente yn1 = ψn1, yn2 = ψn2. Le variazioni dell’autovalore si avranno cosı,in prima approssimazione, come autovalori della matrice a 2s dimensionedi δH. Calcoleremo anche questa in prima approssimazione (maggioreesattezza essendo illusoria) ponendo:

δHri,sk =

4∑γ=1

∫yri∗

γ

(δH ysk

)γ

dτ (3.566)

322


(i, k = 1, 2 e r, s = 1, 2, . . . , q), l’approssimazione consistendo in cio checonsideriamo le yr1 (o ysk) espresse mediante (3.562) come normalizzate,benche siano tali solo in prima approssimazione. Potremo spezzare la ma-trice di perturbazione δHri,sk nella somma di due di cui la prima indipen-dente dal campo magnetico e la seconda proporzionale a questa:

δHri,sk = Ari,sk + H Bri,sk. (3.567)

Cominciamo da un caso particolare; supponiamo cioe il campo magne-tico assente e Wn semplice come autovalore dell’equazione di Schrodin-ger.18 Poiche q = 1, le funzioni base si riducono a 2:y11 e y12, essendoy1 l’autofunzione di Schrodinger. Trascurando gli indici r e s, che sonocostantemente uguali a 1, le (3.566) diventano, quando si tenga conto del-l’espressione (δH y1)γ e (δH y2)γ (γ = 1, 2, 3, 4) nelle (3.563) e (3.564),dalla (3.566):

δH11 = − 1

4m2c2

[∫ (p∗x + ip∗y

)y1∗ · (Wn + eφ) (px − ipy) y1 dτ

+

∫p∗z y1∗ · (Wn + eφ) pz y1 dτ

]

= − 1

4m2c2

[∫y1∗ (px + ipy) (Wn + eφ) (px − ipy) y1 dτ

+

∫y1∗ pz (Wn + eφ) pz y1 dτ

]

= − 1

4m2c2

∫y1∗ (Wn + eφ)

(p2

x + p2y

)y1 dτ

− 1

4m2c2

∫− 4e

2πiy1∗

(∂φ

∂x+ i

∂φ

∂y

)(px − ipy) y1 dτ

− 1

4m2c2

∫y1∗ (Wn + eφ) p2

z y1 dτ

− 1

4m2c2

∫− 4e

2πiy1∗ ∂φ

∂zpz y1 dτ,

ovvero ponendo V = −eφ e notando che per l’equazione di Schrodinger(p2

x + p2y + p2

z

)y1 = 2m (Wn − V ) y1, (3.568)

18Si noti che l’Autore considera solo la degenerazione non indotta dallo spin;come discusso piu avanti (si veda la discussione che porta alla (3.575)), lo spinrende tutti i livelli energetici doppiamente degeneri.

323


si ha:

δH11 = − 1

2mc2

∫y1∗ (Wn − V )2 y1 dτ

− ~2

4m2c2

∫y1∗ (

grad V × grad y1) dτ (3.569)

+i~2

4m2c2

∫y1∗

(∂V

∂x

∂y1

∂y− ∂V

∂y

∂y1

∂x

)dτ. (3.570)

Uscendo dall’ipotesi che non esista degenerazione, y1 dovra essere realeonde si confonde con y1∗; allora in (3.569) il secondo integrale si semplificamediante integrazione per parti mentre il terzo va a zero; e si ha semplice-mente:

δH11 = − 1

2mc2

∫(Wn − V )2 (y1)2 dτ +

~2

8m2c2

∫(y1)2 ∆ V dτ,

(3.571)intendendo naturalmente che dove V ha una singolarita di tipo −k/r,∫

∆τ

(y1)2 ∆ V dτ estesa a uno spazio infinitesimo ∆τ intorno alla singo-

larita sia uguale a 4π k (y1)2(P0). L’espressione di δH22 si ottiene da(3.569) cangiando i in −i nel terzo integrale e poiche questo e nullo co-incide con quella (3.571) di δH11.

Calcoliamo δH12. Avremo:

δH12 =i

4m2c2

[∫ (p∗x + ip∗y

)y1∗ (Wn − V ) pz y1 dτ

−∫

p∗z y1∗ (Wn − V ) (px + ipy) y1 dτ

]

=i

4m2c2

[∫y1∗ (px + ipy) (Wn − V ) pz y1 dτ

−∫

y1∗ pz (Wn − V ) (px + ipy) y1 dτ

]

=i~2

4m2c2

∫y1∗

[(∂V

∂x+ i

∂V

∂y

)∂y1

∂z

− ∂V

∂z

(∂y1

∂x+ i

∂y1

∂y

)]dτ . (3.572)

324


(δH21 si ottiene da δH12 cangiando i in −i solo sotto il segno dell’integrale),mentre naturalmente

δH21 = δH12. (3.573)

Nel nostro caso essendo y1 reale, si ha δH12 = δH21 = 0. Gli autovaloridella matrice di perturbazione coincidono allora e si ha semplicemente

δWn = δH11 = δH22. (3.574)

L’elettrone rotante non spezza il termine originariamente semplice. I duelivelli degenerati sono tuttavia separati dal campo magnetico. Senza campomagnetico tutti i livelli sono almeno doppi, non solo in prima approssi-mazione, ma esattamente perche in tal caso da una soluzione delle (3.558)-(3.561) se ne ottiene un’altra ponendo

ψ′1 = −ψ∗2 , ψ′2 = ψ∗1 , ψ′3 = ψ∗4 , ψ′4 = −ψ∗3 . (3.575)

Poiche δWn senza campo e senza degenerazione e uguale a δH11, la suaespressione data dalla (3.571) consta di due termini di cui il primo rappre-senta la correzione relativistica e il secondo rappresenta la correzione perl’elettrone rotante.

Come esempio calcoliamo la correzione in seconda approssimazione perl’energia dello stato fondamentale di un atomo di carica Z con un soloelettrone; si avra:

Wn = −Z2 R h = − me4Z2

2~2(3.576)

y1 = c e−Zr/a =(e3mZ/~3)√πmZ e−me2Zr/~2

(3.577)

δWn = − 5

2

W 2n

mc2+ 2

W 2n

mc2= − 1

2

W 2n

mc2. (3.578)

L’effetto di relativita e ridotto a un quinto a causa dell’elettrone rotante.Deduciamo la (3.578) dalla nota formola della struttura fina: struttura fina

W

mc2=

[1 +

α2Z2

(n− j − 1/2 +√

(j + 1/2)2 − α2Z2)2

]−1/2

− 1 (3.579)

essendo n il quanto principale e α = e2/~c la costante di struttura fina.Sviluppando in serie e fermandosi alla seconda approssimazione e indicandocon Wn = −R hZ2/n2 il termine Balmeriano:

W = Wn −(

2n

j + 1/2− 3

2

)W 2

n

mc2, (3.580)

325


e poiche nel nostro caso n = 1, j = 1/2, segue la (3.578). La correzionerelativistica (falsa) senza elettrone rotante si avrebbe ponendo in (3.579) ein (3.580) il quanto azimutale k in luogo di j. Nel nostro caso k = 0 e siavrebbe in prima approssimazione δWn = −(5/2)Wn/mc2, come si e giatrovato. La (3.580) si puo scrivere, poiche

Wn =RhZ2

n2=

1

2n2α2mc2Z2

sotto la forma:

W = − R hZ2

n2− Z2α2

n3

(1

j + 1/2− 3

4n

)R h. (3.581)

Passiamo al caso del campo centrale e sia Wn degenerato per rotazionee precisamente multiplo 2k + 1 volte se k > 0 e il quanto azimutale. Leautofunzioni degenerate di prima approssimazione saranno

y11, y21, . . . , y(2k+1)1, y12, y22, . . . , y(2k+1)2,

o piu comodamente distinguendo le 2kr′ autofunzioni di Schrodinger me-diante il quanto equatoriale:

ym1, ym2, con m = k, k − 1, . . . ,−k + 1,−k. (3.582)

La matrice di perturbazione si spezza nella somma di due, di cui la primacontenente il solo termine diagonale

δH′m1,m1 = δH′m2,m2 = − 1

2mc2

∫(Wn − V )2 ψ ψ∗ dτ

+~2

4m2c2

∫ (1

r

dV

dr+

1

2

d2V

dr2

)ψ ψ∗ dτ , (3.583)

e dipendente da m e una costante assoluta da aggiungersi agli autovaloridella seconda matrice δH′′. Gli elementi di questa sono:

δH′′m1,n1 =~

4m2c2uz mn

∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ, (3.584)

essendo uz l’impulso orbitale intorno all’asse z. Analogamente

δH′′m1,n2 =~

4m2c2(−uy mn + iux mn)

∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ (3.585)

326


=~

4m2c2

(−u∗y nm + iu∗x nm

) ∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ = δH′′n2,m1

δH′′m2,n1 =~

4m2c2(−uy mn − iux mn)

∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ (3.586)

=~

4m2c2

(−u∗y nm − iu∗x nm

) ∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ = δH′′n1,m2

δH′′m2,n2 = − ~4m2c2

uz mn

∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ . (3.587)

Come matrici (2k + 1) dimensionali per uz, ux, uy potremo assumere, ameno del fattore ~, le matrici Rz/i, Rx/i, Ry/i delle (3.500), in cui inluogo di j si ponga k. Ma per evitare immaginari porremo, come e lecito:

uz = ~ Rz

i= ~Tz

ux = −~ Ry

i= −~Ty (3.588)

uy = ~ Rx

i= ~Tx.

Poniamo inoltre: Tz =Rz

i, Tx =

Rx

i, Ty =

Ry

i

δH′′mr,ns =~2

4m2c2Qmr,ns

∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ. (3.589)

La matrice (4k + 2) dimensionale assume l’aspetto:

Q =

(Tz −Tx − iTy

−Tx + iTy −Tz

), (3.590)

ovvero per le formole (3.500):

Qm1,n1 = m δm,n (3.591)

Qm2,n2 = −m δm,n (3.592)

Qm1,n2 =√

k(k + 1)−mn δm+1,n = Qn2,m1 (3.593)

Qm2,n1 =√

k(k + 1)−mn δm−1,n = Qn1,m2. (3.594)

Segue che la matrice Q si spezza nelle 2k + 1 matrici parziali compostedalle righe e colonne:

k, 1; k − 1, 1 e k, 2; k − 2, 1 e k − 1, 2; . . . ;

327


k − r, 1 e k − r + 1, 2; . . . ; (3.595)

−k, 1 e − k + 1, 2; −k, 2.

la prima e l’ultima di un solo elemento |k| hanno per autovalore k. Le 2kintermedie (r = 1, 2, . . . , 2k) hanno la forma:

(k − r

√k(k + 1)− (k − r)(k − r + 1)√

k(k + 1)− (k − r)(k − r + 1) −k + r − 1

),

(3.596)i cui autovalori sono k e −(k + 1). Si hanno cosı in tutto 2k + 2 auto-funzioni corrispondenti all’autovalore k di Q e 2k autofunzioni corrispon-denti all’autovalore −(k + 1) di Q; alle prime compete il quanto internoj = k + 1/2; alle seconde il quanto interno j = k − 1/2. Il termine e cosısdoppiato dall’elettrone rotante ma la degenerazione persiste per entrambii termini, poiche anche nel migliore dei casi, cioe per k = 1, il termine piuelevato e quadruplo e il piu profondo e doppio. Cio e in armonia con quantosi e rilevato (3.575) e cioe che senza campo magnetico tutti i termini sonoalmeno doppi.

Se in (3.596) poniamo

` = k +1

2− r, (3.597)

detta matrice assume la forma

(`− 1/2

√(k + 1/2)2 − `2√

(k + 1/2)2 − `2 −(` + 1/2)

). (3.598)

` rappresenta l’impulso totale intorno all’asse z che e comune alle duesoluzioni di (3.598). Le autofunzioni corrispondenti a j = k + 1/2 sono inprima approssimazione:

ψ′` =1√

2k + 1

(√k + ` + 1/2 y`−1/2,1 −

√k − ` + 1/2 y`+1/2,2

).

(3.599)Facendo variare ` fra j (= k + 1/2) e −j (= −k − 1/2), si ottengono oltrealle soluzioni che derivano dalle (3.596) anche quelle contrassegnate dal = ±(k + 1/2) che derivano dalla prima e dall’ultima matrice (3.595) conun solo elemento. A tali soluzioni estreme competendo un impulso intornoall’asse z pari a j2 = k− 1/2 esse non trovano riscontro nelle soluzioni con

328


j2 = k − 1/2. Queste ultime in numero di 2j2 + 1 = 2k sono in primaapprossimazione:

ψ′′` =1√

2k + 1

(√k − ` + 1/2 y`−1/2,1 +

√k + ` + 1/2 y`+1/2,2

),

(3.600)in cui ` varia per salti di un’unita fra j2 e −j2. Malgrado l’apparente sim-metria di (3.599) e (3.600), si hanno 2k+2 soluzioni del primo tipo e 2k delsecondo. In realta se si ponesse nelle (3.600) ` = ±(k +1/2) esse perdereb-bero significato, essendo le ys1 e ys2 definite solo per |s| < k; cio non haluogo per le (3.598) perche in queste le autofunzioni soprannumerarie diSchrodinger sono affette dal coefficiente 0.

A causa di (3.583) e (3.589), le variazioni dell’autovalore per effettirelativistici e di elettrone rotante sono, in prima approssimazione:

per j = k + 1/2:

δW ′n = − 1

2mc2

∫(Wn − V )2 ψ ψ∗ dτ

+~2

4m2c2

∫ (k + 1

r

dV

dr+

1

2

d2V

dr2

)ψ ψ∗ dτ (3.601)

per j = k − 1/2:

δW ′′n = − 1

2mc2

∫(Wn − V )2 ψ ψ∗ dτ

+~2

4m2c2

∫ (−k

r

dV

dr+

1

2

d2V

dr2

)ψ ψ∗ dτ . (3.602)

Lo sdoppiamento del termine sara in prima approssimazione:

δW ′n − δW ′′

n =(2k + 1)~2

4m2c2

∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ, (3.603)

ovvero, in numero d’onde:

∆n =(2k + 1)~

4m2c3

∫1

r

dV

drψ ψ∗ dτ. (3.604)

329


3.20 Caratteri della Dj e riduzionedi Dj×D′

j19

Le rappresentazioni Dj di O(3), univoche e duplici, possono sempre ri-guardarsi come rappresentazioni irriducibili, univoche del gruppo SU(2)delle trasformazioni unitarie con determinante 1 in due dimensioni. Inparticolare O(3), come equivalente a Dj , e una rappresentazione irriducibiledi SU(2). La legge di rappresentazione e espressa dalla formola (3.497).

Ogni elemento di SU(2) puo ricondursi a forma diagonale(

ε 00 ε−1

), (3.605)

con |ε| = 1, mediante trasformazione unitaria. La matrice (3.605) e ancoraun elemento di SU(2), e poiche possiamo sempre richiedere che la trasfor-matrice unitaria abbia determinante 1 e faccia quindi parte di SU(2), ilnostro elemento sara coniugato all’elemento principale (3.605). Tutti gli el-ementi coniugati a (3.605) costituiscono una classe e precisamente, facendovariare ε con la condizione |ε| = 1, la piu generale classe di elementi co-niugati. Ogni classe e cosı distinta dagli autovalori ε e 1/ε, determinati ameno del loro ordine, di un suo qualunque elemento. Ponendo:

ε = eiω,1

ε= e−iω, (3.606)

l’angolo ω, determinato a meno del segno, definisce una classe.Poiche il carattere e una funzione di classe, possiamo limitarci ai carat-

teri degli elementi principali della forma (3.605).Nella rappresentazione Dj (di grado 2j+1 = v+1) di SU(2) la matrice

corrispondente all’elemento (3.605) trasforma il vettore di componenti:

ξr ηv−r

√r!(v − r)!

, v = 2j, r = 0, 1, . . . , v, (3.607)

nel vettore di componenti:

ξ′r η′v−r

√r!(v − r)!

=ξr ηv−r

√r!(v − r)!

ε2r−v, r = 0, 1, . . . , v. (3.608)

19Nella consueta terminologia moderna, il termine “carattere” e sinonimo di“traccia.”

330


Detta matrice e quindi diagonale con gli elementi diagonali:

ε2r−2j , r = v, v − 1, . . . , 0 (3.609)

cioe:ε2j , ε2j−2, . . . , ε−2j . (3.610)

Il carattere e cosı dato da:

χi = ε2j + ε2j−2 + . . . + ε−2j =ε2j+1 − ε−(2j+1)

ε − ε−1. (3.611)

Di un gruppo astratto h siano date due rappresentazioni G e G′, laprima a n dimensioni e la seconda a n′ dimensioni. All’elemento σ delgruppo corrisponde in G la matrice S che agisce sulle variabili x:

x′i =∑

k

Sik xk, i, k = 1, 2, . . . , n, (3.612)

e in G′ la matrice S′ che agisce sulle variabili y:

y′r =∑

s

S′rs xs, r, s = 1, 2, . . . , n′. (3.613)

Le matrici S×S′ a nn′ dimensioni sono definite come quelle che trasfor-mano i prodotti xiyr nei prodotti x′iy

′r. Esse costituiscono evidentemente

una rappresentazione, che indicheremo con S×S′, dello stesso gruppo as-tratto. A causa di (3.612) e (3.613), sara:

x′i y′r =∑

k,s

Sik S′rs xk ys, (3.614)

da cui risulta la definizione esplicita delle S×S′:(S×S′

)ir,ks

= Sik S′rs. (3.615)

Ponendo k = i e s = r, si ottengono gli elementi diagonali di S×S′:(S×S′

)ir,ir

= Sii S′rr, i = 1, 2, . . . , n; r = 1, 2, . . . , n′, (3.616)

da cui risulta semplicemente:

χ(S×S′) = χS χS′ . (3.617)

331


Consideriamo le rappresentazioni Dj×D′j del gruppo SU(2). Il lorocarattere sara dato da χjχj′ . Scomponiamo Dj×D′j nelle rappresentazioniirriducibili Dτ ; avremo:

χj χj′ =∑

χτ . (3.618)

Cioe a causa di (3.611) e moltiplicando per ε− ε−1:

(ε2j + ε2j−2 + . . . + ε−2j

) (ε2j′+1 − ε−(2j′+1)

)

=∑ (

ε2τ+1 − ε−(2τ+1))

(3.619)

e poiche il primo membro di (3.619) si puo scrivere:20

ε1+2j′+2j − ε−(1+2j′+2j) + ε1+2j′+2j−2 − ε−(1+2j′+2j−2)

+ . . . + ε1+2j′−2j − ε−(1+2j′−2j), (3.620)

segue che la (3.619) puo essere identicamente soddisfatta solo se compaiono,e ciascuno una sola volta, i soli valori di τ :

j′ + j, j′ + j − 1, . . . , j′ − j, se j′ ≥ jj + j′, j + j′ − 1, . . . , j − j′ se j ≥ j′

(3.621)

derivando la seconda parte di (3.621) da evidenti ragioni di simmetria,poiche in (3.619) e quindi in (3.620) si possono scambiare j e j′.

Si noti che al principale elemento della (3.605) corrisponde una ro-tazione nello spazio ordinario. Tale rotazione, secondo la formola (3.497)in cui si ponga:

x = cos ω, λ = sin ω, µ = ν = 0 (3.622)

e data da:x′ = x cos 2ω + y sin 2ωy′ = −x sin 2ω + y cos 2ωz′ = z,

(3.623)

che esprimono una rotazione intorno all’asse z dell’angolo −2ω.

20La (3.620) puo essere ottenuta dalla (3.619) moltiplicando il primo terminenella prima parentesi con il primo termine nella seconda parentesi e l’ultimo nellaprima parentesi con il secondo nella seconda parentesi e cosı via.

332


3.21 Regole di selezione e di intensita incampo centrale

Consideriamo un termine con quanto interno j e quindi multiplo di 2j + 1volte per rotazione e supponiamo che non esista ulteriore degenerazione. Sifaccia agire una perturbazione simmetrica intorno all’asse z; distinguendo2j + 1 stati quantici indipendenti mediante il quanto magnetico m (=j, j − 1, . . . ,−j) la matrice di perturbazione W (m, m′) e necessariamentediagonale perche la forma Hermitiana

∑W (m, m′) x∗m x′m′ (3.624)

deve restare inalterata quando si opera una rotazione intorno all’asse z,cioe (si veda la sezione precedente), quando si passa dalle xm alle

ym = ε2m xm. (3.625)

Segue che la perturbazione simmetrica intorno all’asse z spezza in generaleil termine degenerato in 2j+1 termini vicini distinti dal quanto magnetico.Esiste un secondo termine j′, anch’esso spezzato dalla perturbazione in2j′+1 termini distinti dal quanto magnetico m′. Sia q il momento elettricodell’atomo che ha per componenti qx, qy, qz:

qx = − e (x1 + x2 + . . .) , etc. (3.626)

L’intensita della linea jm− j′m′ e proporzionale al quadrato dell’elemento(m, m′) di quella parte della matrice di q:

q(m, m′) (3.627)

che corrisponde al passaggio Rj−Rj′ . Operiamo nel sistema una rotaziones, la funzione Hermitiana

∑q(m, m′) x∗m x′m′ . (3.628)

subisce la trasformazione corrispondente a s nella rappresentazioneDj×D′j .D’altra parte le componenti qx, qy, qz della forma vettoriale (3.628)

sotto l’influsso di detta trasformazione devono scambiarsi tra loro come

333


x, y, z sotto l’influsso di s; cio segue dalle (3.626) ed esprime che q e un vet-tore. La grandezza (3.628) dicesi una grandezza vettoriale nello spazio rap-presentativo di Dj×D′j e di Dj×D′j , (poiche le Dj sono definite a meno diuna trasformazione [unitaria] e D e Dj sono equivalenti in senso [ristretto]).A sua volta la trasformazione s che subiscono qx, qy, qz e equivalente a Dj .La questione se i quanti linearmente indipendenti di siffatte grandezze vet-toriali possono esistere, si puo ricondurre a una regola generale: sia d unagrandezza vettoriale, cioe definita da r componenti:

d1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1rxr

d2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2rxr

·sdr = ar1x1 + ar2x2 + . . . + arrxr,

(3.629)

che siano combinazioni lineari di m (≥ r) variabili xj , e siano date duerappresentazioni di un gruppo g, l’una h a r dimensione sia irriducibile el’altra H sia a n dimensioni. A un elemento σ del gruppo corrispondonole matrici:

s in h e S in H. (3.630)

Assoggettando le x alla trasformazione S potra accadere che le di espressemediante (3.629) si trasformino tra loro come sotto l’influsso di s; in talcaso la grandezza vettoriale d dicesi covariante della specie h. Si domandaquante di siffatte grandezze covarianti linearmente indipendenti esistano.Per risolvere il quesito, adottiamo le coordinate, nello spazio rappresenta-tivo di H, alla scomposizione in rappresentazioni irriducibili di y e sia larappresentazione irriducibile h presente k volte. Delle nuove n variabili neavremo (k r) che formano la base delle rappresentazioni irriducibili h:

x11, x1

2, . . . , x1r; x2

1, x22, . . . , x2

r; . . . ; xk1 , xk

2 , . . . , xkr (3.631)

piu eventualmente altre su cui operano le restanti rappresentazioni ir-riducibili. Le componenti y di una grandezza covariante del nostro tiposi potranno esprimere con le formole:

y = A1x1 + A2x2 + . . . + Akxk + . . . + Ak+lxx+l + . . . , (3.632)

essendo le A1, A2, Ak matrici quadrate d’ordine kr, mentre le Ak+l sonomatrici con r righe e pl colonne, se pl e il numero delle variabili xk+l

(xk+l1 , xk+l

2 , . . . , xk+lpl

) su cui opera una delle rappresentazioni irriducibili

334


inequivalenti a h, presenti nella scomposizione di H. Per la definizione digrandezza covariante dello spazio h dovremo avere:

A1sx1 + A2sx2 + . . . + Aksxk + . . . + Ak+lslxx+l + . . . = sy

= sA1x1 + sA2x2 + . . . + sAkxk + . . . + Ak+lsxx+l + . . . , (3.633)

da cui essendo x arbitrarie:

sA1 = A1s; sA2 = A2s; . . . ; sAk = Aks; . . . ;

sAk+l = Ak+lsl; . . . . (3.634)

Per il teorema fondamentale sulla rappresentazioni irriducibili,21 badandoche s e sl sono rappresentazioni irriducibili inequivalenti del gruppo g, sideduce:

A1, A2, . . . , Ak sono multipli della matrice unita ,

Ak+l, . . . sono nulle.(3.635)

Segue che tutte le grandezze covarianti del nostro tipo sono combinazionilineari di k indipendenti; infatti dovendo essere:

di = a1x1i + a2x

2i + akxk

i (3.636)

(con a costante), si puo porre:

d = α1 d1 + α2 d2 + . . . + αk dk, (3.637)

essendo dγ (γ = 1, 2, . . . , k) le componenti:

dγi = xγ

i , γ = 1, 2, . . . , k; i = 1, 2, . . . , r, (3.638)

ed essendo quindi tra loro linearmente indipendenti. Il numero delle dγ epari al numero di volte che la rappresentazione irriducibile h e contenutain H, e cio risolve il nostro quesito.

Tornando alla nostra grandezza (3.628), covariante della specie Dj nellospazio della rappresentazione Dj×Dj′ del gruppo SU(2), la questione di

21Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si vedaW. pagina 124. Molto probabilmente l’Autore si riferisce alla p. 124 di Grup-pentheorie und Quantenmechanik di H. Weyl (Hirzel, Leipzig, 1928). Per laversione inglese si veda p.153 di H. Weyl, The Theory of Groups and QuantumMechanics (Dover, New York, 1931).

335


sapere quante sono siffatte grandezze linearmente indipendenti si riduceall’altra: quante volte Dj e contenuta in Dj×Dj′ . In base alla regolastabilita precedentemente non esisteranno grandezze del tipo (3.628) nonidenticamente nulle che nei tre casi:

j′ = j − 1, j′ = j 6= 0, j′ = j + 1, (3.639)

cio che esprime la regola di selezione per il quanto interno. Nei casi (3.639)poi la (3.628) e determinata, a meno di un fattore costante, in base aconsiderazioni ricavate dalla teoria dei gruppi.22 La regola di selezione peril quanto magnetico e altrettanto semplice. La componente qz deve restareinvariata di fronte a una rotazione intorno all’asse z onde qz(m, m′) deveessere diagonale; qx + iqy mediante la rotazione viene moltiplicato perε−2 e qx − iqy per ε2. A sua volta, il prodotto x∗mx′m′ sotto l’influsso

della rotazione viene moltiplicato ε−2(m′−m). Si hanno cosı i soli passaggipermessi:

per qz, m → mper qx + iqy, m → m + 1per qx − iqy, m → m − 1.

(3.640)

Determiniamo23 la forma vettoriale (3.628), a meno di un fattore costante,nei casi (3.628) in cui e diversa da zero. A tal fine consideriamo l’espres-sione:

1

k!

(ξ∗ξ′ + η∗η′

)k, (3.641)

che e invariante se si sottopongono ξ,η e ξ′,η′ a una trasformazione unitariadel gruppo SU(2). Dalle formole (3.496), risulta che x + iy, x − iy e z sitrasformano come ηξ∗, η∗ξ, e ξξ∗ − ηη∗. D’altra parte una trasformazionedel gruppo SU(2) si puo porre sotto la forma:

ξ1 = α ξ + β η, η1 = −β∗ ξ + α∗ η, (3.642)

da cui:ξ∗1 = α∗ ξ∗ + β∗ η∗, η∗1 = −β ξ∗ + α η∗, (3.643)

22Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si vedaW. pagina 158. Molto probabilmente l’Autore si riferisce di nuovo al libro diWeyl (p. 158 nella versione tedesca, o p. 199 nella edizione inglese).

23Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si vedaW. p. 154. Molto probabilmente l’autore si riferisce ancora al libro di Weyl (p.154 della versione tedesca, o p. 197 e seguente della edizione inglese.)

336


cioe:

η∗1 = α η∗ + β (− ξ∗) , − ξ∗1 = −β∗ η∗ + α∗ (− ξ∗) , (3.644)

cioe (ξ, η) si trasformano come (η∗,−ξ∗). Cambiando segno alla primadelle (3.642), si ha:

η1 = α∗ η + β∗ (− ξ) , − ξ∗1 = −β η + α (− ξ) , (3.645)

cioe inversamente, a causa di (3.643), (ξ∗, η∗) si trasformano come (η,−ξ).Segue che (x+ iy, x− iy, z) si trasformano come (η2,−ξ2, ξη) o (−ξ∗2, η∗2,ξ∗η∗):

x + i y ∼ η2, x − i y ∼ − ξ2, z ∼ ξη (3.646)

x + i y ∼ − ξ∗2, x − i y ∼ − η∗2, z ∼ ξ∗η∗. (3.647)

Se (ξ′, η′) si trasformano come (ξ, η), si avra anche:

x + i y ∼ 2η′ξ∗, x − i y ∼ 2ξ′η∗, z ∼ ξ′ξ∗ − η′η∗ (3.648)

x + i y ∼ η′2, x − i y ∼ − ξ′2, z ∼ ξ′η′. (3.649)

Moltiplicando l’invariante (3.631) per i secondi membri delle (3.647), o(3.648), o (3.649), si ottengono ogni volta la componenti di una grandezzavettoriale, le quali si trasformano come x + iy, x− iy, z.

Poniamo dapprima in (3.641) k = 2j − 2 = 2j′, con cui ci riferiamo alprimo dei casi (3.639) e moltiplichiamo per (3.647); ne risultano le formoleHermitiane:

(qx + i qy) (m, m′) x∗m x′m′(qx − i qy) (m, m′) x∗m x′m′

qz(m, m′), x∗m x′m′(3.650)

essendo:

xm =ξj−mηj+m

√(j −m)!(j + m)!

, m = j, j − 1, . . . ,−j (3.651)

x′m′ =ξ′j

′−m′η′j′+m′

√(j′ −m′)!(j′ + m′)!

, m′ = j′, j′ − 1, . . . ,−j′, (3.652)

e trasformandosi quindi i monomi x∗mx′m′ secondo Dj×Dj′ . Segue che le(3.650) sono, a meno di un fattore costante, le componenti del vettore(3.628) nel caso j → j′ = j − 1. Eseguendo effettivamente i prodotti

337


di (3.641) per i secondi membri delle (3.647) si ottengono le matrici dipolarizzazione relative al passaggio: j → j′ = j − 1:

(qx + i qy) (m, m′) =√

(j −m)(j −m′) δm+1,m′

(qx − i qy) (m, m′) =√

(j + m)(j + m′) δm−1,m′ (3.653)

qz(m, m′) =√

(j + m)(j −m) δm,m′ .

Per il secondo dei casi (3.639) si ottiene con procedimento analogo, molti-plicando (3.641) con k = 2j − 1 = 2j′ − 1, per i secondi membri delle(3.648): j → j′ = j 6= 0,

(qx + i qy) (m, m′) =√

(j −m)(j + m′) δm+1,m′

(qx − i qy) (m, m′) =√

(j + m)(j −m′) δm−1,m′

qz(m, m′) = −m δm,m′ .

Queste formole coincidono con quelle (3.500) delle rotazioni elementari−(Rx+iRy)/i, −(Rx−iRy)/i, −Rz/i nella rappresentazione Dj ; e cosı deveessere perche siffatte rotazioni elementari possono anche esse riguardarsicome componenti di una grandezza vettoriale nello spazio delle rappresen-tazioni Dj×Dj .

Nell’ultimo dei casi (3.639) occorre moltiplicare con k = 2j = 2j′ − 2per i secondi membri di (3.649); e si trova: j → j′ = j + 1:

(qx + i qy) (m, m′) =√

(j + m + 1)(j + m′ + 1) δm+1,m′

(qx − i qy) (m, m′) = −√

(j −m + 1)(j −m′ + 1) δm−1,m′

qz(m, m′) =√

(j + m + 1)(j −m + 1) δm,m′ .

Si osservera che risultano soddisfatte le regole di selezione (3.640) per ilquanto magnetico. Allargando SO(3) in O(3) con l’inclusione delle ro-tazioni improprie, si hanno le rappresentazioni irriducibili D+

j e D−j . Unvettore polare quale e per esempio il momento elettrico e covariante dellaspecie D−j e nelle sua matrice mancano le componenti nell’incrocio di due

spazi irriducibili R+j e R+

j′ oppure R−j e R−j′ ; si ha cosı la regola di selezioneper la segnatura: j → −j e +j sono i soli passaggi permessi. La teoriaondulatoria scalare dell’elettrone da solo le rappresentazioni irriducibili uni-voche (con j intero) per il gruppo O(3) e la segnatura (per la proprieta disimmetria delle funzioni sferiche) e +1 per j pari e −1 per j dispari; coss-icche la regola di soluzione per le segnature esclude il passaggio j → j′ = j;

338


con l’elettrone rotante tale restrizione e tolta, o meglio rimane, in modoapprossimato, sotto forma di divieto del passaggio k → k′ = k, essendok l’impulso orbitale, e non piu il quanto interno, per il quale valgono ap-prossimativamente le regole di selezione da aggiungersi a quelle rigorose(3.639):

k → k′ = k + 1, k → k′ = k − 1. (3.654)

3.22 Effetto Zeeman anomalo(secondo la teoria di Dirac)

(Si veda paragrafo 3.19.)Riprendiamo le equazioni di Dirac (3.558)-(3.561) e le soluzioni di primaapprossimazione, appartenenti a uno stesso autovalore dell’equazione diSchrodinger, considerate in (3.563), (3.564). Ci poniamo ancora nel casodel campo centrale, ma supponiamo che inoltre esista un campo magneticocostante nella direzione dell’asse z. Della matrice di perturbazione (3.567)abbiamo calcolato solo la parte indipendente dal campo, che consta a suavolta della somma del termine diagonale costante δH′ data da (3.583) edella matrice

δH′′ =~2

4m2c2Q

∫r−1 dV

drψψ∗ dτ,

essendo Q descritta da (3.591)-(3.594). Calcoliamo la matrice Bri,sk cheentra in (3.567). Avremo:

Br1,s1 =e~

2mc(r + 1) δrs (3.655)

Br2,s2 =e~

2mc(r − 1) δrs (3.656)

Br1,s2 = Br2,s1 = 0. (3.657)

Si tratta di rendere diagonale δH′′ + HB od anche ponendo

ε =2emcH

~∫

r−1 (dV/dr) ψψ∗ dτ

(3.658)

B =e~

2mcT , (3.659)

339


cosı che, a causa delle (3.655)-(3.657),

Tr1,s1 = (r + 1) δrs

Tr2,s2 = (r − 1) δrs (3.660)

Tr1,s2 = Tr2,s1 = 0,

di rendere diagonale

~2

4m2c2

∫1

r

dV

drψψ∗ dτ (Q + ε T ) (3.661)

o semplicementeQ + ε T = S. (3.662)

Dalle formole (3.591)-(3.594) e (3.660) risulta:

Sm1,m′1 = (m + ε m + ε) δmm′ (3.663)

Sm2,m′2 = (−m + ε m − ε) δmm′ (3.664)

Sm1,m′2 =√

k(k + 1)−mm′ δm+1,m′ (3.665)

Sm2,m′1 =√

k(k + 1)−mm′ δm−1,m′ . (3.666)

La matrice S si spezza in 2k + 2 matrici la prima e l’ultima di un soloelemento, le altre di due righe e colonne, precisamente come in (3.595) sispezzava la Q da sola. In realta il termine εT che si aggiunge a Q non alterale condizioni di riducibilita poiche esso e diagonale quando le coordinatesono adattate allo spezzamento di Q nel modo anzidetto. La prima matriceformata dall’unico elemento k1, k1, ha per autovalore:

k1, k1 : k + ε (k + 1) , ` = k +1

2. (3.667)

L’ultima formata dall’unico elemento −k2,−k2, ha per autovalore:

−k2,−k2 : k − ε (k + 1) , ` = − k − 1

2. (3.668)

Le altre 2k matrici quadrate con due righe le distingueremo, come (3.597)e (3.598)), mediante l’impulso totale ` intorno all’asse z (` = k − 1/2, k −3/2, . . . ,−k + 1/2). Esse hanno la forma:

(`− 1/2 + ε(` + 1/2)

√(k + 1/2)2 − `2√

(k + 1/2)2 − `2 −(` + 1/2) + ε(`− 1/2)

). (3.669)

340


Gli autovalori di (3.669) sono:

− 1

2+ ` ε ±

√(k +

1

2

)2

+ ε ` +1

4ε2. (3.670)

Prendendo per unita di energia il fattore di Q+εT = S in (3.661) e per unitadi frequenza la frequenza corrispondente secondo la legge di Einstein24,la separazione del doppietto senza campo sara espressa da 2k + 1 e lafrequenza di Larmor da ε. Onde per ε ¿ 2k + 1, varranno le formolerelative a campi deboli e per ε À 2k + 1 le formole relative a campo forte(effetto Paschen–Back). Supponiamo ε piccolo e sviluppiamo gli autovalorisecondo ε fino alla prima potenza; i due autovalori particolari (3.667) e(3.668) sono rappresentati esattamente con tale sviluppo; per gli autovalori(3.670) avremo invece, secondo il segno del radicale:

k + ε `2k + 2

2k + 1= k + ε g′ `, g′ =

2k + 2

2k + 1(3.671)

− k − 1 + ε `2k

2k + 1= k + ε g′′ `, g′′ =

2k

2k + 1. (3.672)

Gli autovalori del primo tipo, come anche i due autovalori particolari(3.667) e (3.668), corrispondono per H → O al quanto interno j = k+1/2;poiche anche gli autovalori particolari possono porsi sotto la forma (3.671)con ` = k + 1/2 e, rispettivamente, ` = −k− 1/2 e lo stesso valore di g′, siottengono le formole riassuntive per il campo debole:

j = k +1

2

autovalori : k + ε g′ ` (3.673)(` = k +

1

2, k − 1

2, . . . , − k − 1

2

),

j = k − 1

2

24Questa e piu conosciuta come legge di Planck E = hν.

341


autovalori : − k − 1 + ε g′′ ` (3.674)(` = k − 1

2, k − 3

2, . . . , − k +

1

2

).

Le costanti di separazione g′ e g′′ date da (3.671) e (3.672) si possonoraccogliere nell’unica espressione

g =2j + 1

2k + 1(3.675)

e si avra sempre

g′ > 1, g′′ < 1, g′ + g′′ = 2. (3.676)

Per esempio, per k = 1 si ha g′ = 4/3, g′′ = 2/3. Si possono anche porre g′

e g′′ sotto la forma generale valevole per un numero qualunque di elettroni:

g = 1 +j(j + 1) + s(s + 1)− k(k + 1)

2j(j + 1). (3.677)

Segue infatti da (3.677),

g′ = 1 +(k + 1/2)(k + 3/2) + 3/4− k(k + 1)

(2k + 1)(k + 3/2)

=2k + 2

2k + 1(3.678)

g′′ = 1 +(k − 1/2)(k + 1/2) + 3/4− k(k + 1)

2(k − 1/2)(k + 1/2)

=2k

2k + 1, (3.679)

in accordo con (3.671) e (3.672).Consideriamo l’altro caso limite ε → ∞. Gli autovalori di S sono

infiniti del primo ordine; li svilupperemo fino al termine indipendente daε. Anche qui i due autovalori privilegiati (3.667) e (3.668) sono espressiesattamente dallo sviluppo arrestato al secondo termine. Per gli autovalori(3.670), avremo secondo il segno del radicale:

(` +

1

2

)ε + ` − 1

2(3.680)

(` − 1

2

)ε −

(` +

1

2

). (3.681)

342


L’autovalore (3.667) rientra nel tipo (3.680), e l’autovalore (3.668) nel tipo(3.681), onde abbiamo in tutto due sistemi di autovalori ciascuno di 2k +1elementi: (

` +1

2

)ε + ` − 1

2(3.682)

(per ` = k + 1/2, k − 1/2, . . . , − k + 1/2),

(` − 1

2

)ε −

(` +

1

2

)(3.683)

(per ` = k − 1/2, k − 3/2, . . . , − k − 1/2) tra i quali al limite non vie approssimativamente transizione perche il primo corrisponde allo “spin”dell’elettrone orientato secondo il campo; e il secondo allo “spin” orientatocontro il campo. Segue l’effetto Zeeman normale (effetto Paschen–Back).Poiche per ε grande predomina il secondo termine nel primo membro di(3.662) e T e diagonale insieme (approssimativamente) con l’impulso or-bitale intorno all’asse z, segue che in prima approssimazione, oltre a `anche l’impulso orbitale m e costante. Distinguendo gli autovalori secondom, avremo allora in luogo di (3.682) e (3.683):

(m + 1) ε + m, m = k, k − 1, . . . , − k (3.684)

(m − 1) ε − m, m = k, k − 1, . . . , − k. (3.685)

La somma degli autovalori e uguale alla somma dei termini diagonali di S,ed e quindi costantemente nulla.

Lo schema seguente mostra il passaggio dall’effetto Zeeman anomaloall’effetto Paschen–Back per k = 1.25 Al limite, per campi forti, i terminidel primo tipo sono distanziati tra loro di ε + 1, essendo ε la frequenza diLarmor in tali unita che sia 2k + 1 la separazione del doppietto, mentre itermini del secondo tipo sono distanziati fra loro di ε− 1.

25La figura riproduce qualitativamente lo schema riportato nel manoscrittooriginale. E interessante sottolineare il fatto che l’analisi fatta nel testo si applicasolo nel limite di campo debole (ε < 1) o in quello di campo forte (ε À 1), mentrela regione intermedia deve essere studiata necessariamente risolvendo numerica-mente l’equazione di Dirac. Si osservi, allora, che nella figura l’Autore riporta lospettro anche per la regione intermedia.

343


ε = 1.0

-2

ε = 0.2

-8

-6

-4

0

2

4

6

8

ε = 2.0ε = 1.5ε = 0.5ε = 0.0 ε = 4.0ε = 3.0

344


3.23 Sistemi completi di equazionidifferenziali del primo ordine 26

Siano A1, A2, . . . , Aj , . . . , Ar operatori differenziali lineari omogenei su 2nvariabili:

Aj =

2n∑

k=1

akj

∂

∂xk, (3.686)

essendo le akj funzioni di x1, x2, . . . , x2n. Si tratta di trovare le soluzioni

comuni del sistema di equazioni:

Aj y = 0, j = 1, 2, . . . , r. (3.687)

Supponiamo le Aj linearmente indipendenti (i coefficienti delle combi-nazioni lineari potendo essere in generale funzioni del posto), onde saranecessariamente r ≤ 2n. Dalle (3.687) si possono dedurre altre equazionidifferenziali lineari omogenee a cui deve soddisfare y, nel modo che segue:si applichino a y gli operatori Aj e Aj′ , una volta in un certo ordine e unavolta nell’ordine inverso; a causa di (3.687) sara:

(Aj Aj′ − Aj′ Aj) y = 0. (3.688)

Poniamo:Bjj′ = Aj Aj′ − Aj′ Aj ; Bjj′ y = 0, (3.689)

segue a causa di (3.686):

Bjj′ =

(2n∑

k=1

akj

∂

∂xk

) (2n∑

k′=1

ak′j′

∂

∂xk′

)

−(

2n∑

k′=1

ak′j′

∂

∂xk′

) (2n∑

k=1

akj

∂

∂xk

)

=∑

k,k′ak

j ak′j′

∂2

∂xk∂xk′+

∑

k,k′ak

j

∂ak′j′

∂xk

∂

∂xk′

26Nel manoscritto originale compare qui un riferimento bibliografico: si vedaFranck, Physikal. 15, April 1929. Molto probabilmente l’Autore si riferisce alseguente articolo (in tedesco): Philipp Franck, Phys. Z. 30 (8), 209 (15 April1929).

345


−∑

k,k′ak′

j′ akj

∂2

∂xk′∂xk−

∑

k,k′ak′

j′∂ak

j

∂xk′

∂

∂xk

=∑

k

∑

k′

(ak′

j

∂akj′

∂xk′− ak′

j′∂ak

j

∂xk′

)∂

∂xk

=∑

k

(Aj ak

j′ − Aj′ akj

) ∂

∂xk≡

∑

k

bkjj′

∂

∂xk, (3.690)

essendobkjj′ = Aj ak

j′ − Aj′ akj . (3.691)

Segue che la (3.688) potendosi scrivere sotto la forma:

Bjj′ y =∑

k

bkjj′

∂y

∂xky = 0, (3.692)

e ancora un’equazione del tipo (3.687), a cui deve soddisfare la y. Ripe-tendo il procedimento per tutte le coppie di operatori Aj e Aj′ indi pertutte le nuove coppie di operatori A, B e B, B′ che sono a nostra dispo-sizione, otteniamo sempre nuove equazioni differenziali lineari a cui y devesoddisfare. Ma se portiamo in conto solo le equazioni linearmente indipen-denti, dovendo il loro numero essere ≤ 2n, il procedimento deve a uncerto momento cessare di fornire equazioni nuove. Il sistema di equazionidifferenziali lineari a cui si perviene, dicesi allora completo.

Supponiamo per semplicita che il sistema (3.687) sia gia completo; lecondizioni perche cio avvenga saranno:

Aj Aj′ − Aj′ Aj =∑

r

crjj′ Ar, (3.693)

con le c funzioni del posto. Vale allora il teorema27 che il sistema com-pleto (3.687) ammette esattamente 2n − r soluzioni indipendenti. Tuttele possibili soluzioni sono allora funzioni arbitrarie della detta 2n− r par-entesi di Poisson. Dividiamo le variabili indipendenti, finora designate conx1, x2, . . ., in due gruppi:

q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn. (3.694)

27Nel manoscritto originale, compare qui un riferimento bibliografico: si vedaper esempio Goursat, Vorlesungen uber die Integration. . . . Tuttavia, non e chiaroa quale testo l’Autore si riferisca.

346


Siano F e G due funzioni qualunque delle q e p; definiamo come parentesidi Poisson di F e G l’espressione

[F, G] =

n∑i=1

(∂F

∂qi

∂G

∂pi− ∂F

∂pi

∂G

∂qi

). (3.695)

Seguono le proprieta:

[F, G] = − [G, F ] , [F, F ] = 0 (3.696)

[qi, qk] = 0, [pi, pk] = 0, [qi, pk] = δik. (3.697)

A causa delle (3.697) la (3.695) si puo scrivere:

[F, G] =∑s>r

∂(F, G)

∂(xr, xs)[xr, xs] , (3.698)

essendosi posto:

x1 = q1, x2 = q2, . . . , xn = qn

xn+1 = p1, . . . , x2n = pn.(3.699)

In (3.698) puo estendersi la sommatoria a tutte le coppie di indici percui sia s < r, che il sistema non cambia; l’essenziale e evidentemente cheogni coppia di variabili xr e xs sia portata in conto una volta sola, in unordine qualsiasi. Supponiamo G assegnata; si puo allora riguardare [F, G]come il risultato di una operazione eseguita su F . Tale operazione presentastretta analogia con quella di derivazione, come risulta dal fatto che se Fe funzione di f , vale la regola:

[F, G] =dF

df[f, G] ; (3.700)

e piu in generale se F e funzione di a funzioni f1, f2, . . . , fa, vale la regola:

[F, G] =

a∑i=1

dF

dfi[fi, G] (3.701)

perfettamente analoga alla regola di derivazione delle funzioni composte.La (3.698) e suscettibile di un’ampia generalizzazione che comprende

anche, come caso particolare, la (3.701). Supponiamo che F e G sianofunzioni di b funzioni del posto: g1, g2, . . . , gb. Segue allora da (3.695):

[F, G] =∑s>r

∂(F, G)

∂(gr, gs)[gr, gs] , (3.702)

347


da cui seguono come casi particolari tanto la (3.698) che la (3.701). Peravere quest’ultima basta porre b = a + 1, f1 = g1, f2 = g2, . . . , fa = ga,F = F (g1, g2, . . . , ga), G = fb.

Date tre funzioni arbitrarie del posto: F, G, H, vale l’identita di Jacobi:

[F, [G, H]] + [G, [H, F ]] + [H, [F, G]] = 0. (3.703)

Notare anche la regola seguente, che e caso particolare della (3.701):

[a b, F ] = a [b, F ] + b [a, F ] . (3.704)

Due funzioni f e g si dicono in involuzione se [f, g] = 0; piu in generale,molte funzioni sono chiamate involute quando ogni coppia di funzioni einvoluta, cosı le q e le p separatamente sono, a causa della (3.697) in in-voluzione. Si dice invece che f e g sono coniugate se [f, g] = 1; cosı qi

e pi sono coniugate. Siano assegnate r funzioni del posto F1, F2, . . . , Fr

e si tratti di trovare le funzioni in involuzione con tutte le F . Sia g unasoluzione (se esiste) del problema; saranno soddisfatte le equazioni:

[g, F1] = [g, F2] = . . . = [g, Fr] = 0. (3.705)

Nel caso particolare r = 1 e F1 = H, il nostro problema si riduce al prob-lema generale della meccanica classica: trovare gli integrali di un sistemameccanico definito dall’Hamiltoniana H. Infatti la condizione [g, H] = 0quando si scriva esplicitamente e si tenga conto dell’equazione di Hamiltonesprime appunto che g e costante nel tempo. In questo caso particolareavendosi 2n funzioni (q e p) del tempo le quali soddisfanno a un sistemadi 2n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, si avranno anche2n costanti arbitrarie a disposizione per fissare i valori iniziali delle q ep; onde esisteranno 2n funzioni indipendenti soddisfacenti alla condizione[g, H] = 0.

Torniamo al caso generale (3.705). Scrivendo esplicitamente, ad esem-pio, j-esima in (3.705) avremo:

∑i

∂Fj

∂pi

∂g

∂qi−

∑i

∂Fj

∂qi

∂g

∂pi= Aj g = 0, (3.706)

essendo Aj un operatore differenziale lineare omogeneo del primo ordine.Facendo variare j da 1 a r, si ottiene un sistema di r equazioni. A quali con-dizioni devono soddisfare le F perche il sistema risulti completo? Bastera

348


sostituire in (3.693) le espressioni delle Aj in funzione delle F . Badandoalle equazioni (3.689) e (3.690) segue:

− ∂

∂ps[Fj , Fj′ ] =

∑r

crjj′

∂Fr

∂ps,

∂

∂qs[Fj , Fj′ ] = −

∑r

crjj′

∂Fr

∂qs,

(3.707)

o raccogliendo in un’unica equazione vettoriale:

grad [Fj , Fj′ ] = −∑

r

crjj′ grad Fr. (3.708)

Poiche le crjj′ sono funzioni arbitrarie del posto, il contenuto della (3.708)

si riduce a questo, che spostandosi in un sottospazio a 2n−r dimensioni incui tutte le F sono costanti, sono altresı costanti anche tutte le parentesidi Poisson [Fi, Fj ], cioe queste ultime sono funzioni delle F :

[Fj , Fj′ ] = fjj′ (F1, F2, . . . Fr) . (3.709)

Se sono soddisfatte le (3.709) il sistema di equazioni differenziali (3.705)e dunque completo. Esso ammette allora esattamente 2n− r soluzioni in-dipendenti. Le r funzioni F1, F2, . . . , Fr, soddisfacenti a (3.709), formanola base di un gruppo costituito da tutte le funzioni delle F . La parentesidi Poisson di due funzioni del gruppo, a causa di (3.702) e di (3.709) ap-partiene ancora al gruppo.

Lie ha dimostrato che la 2n − r soluzioni di (3.705) che sono presentinel caso (3.709) costituiscono anche esse gruppo, valgono cioe per esseequazioni analoghe alle (3.709). Come caso particolare si ha il noto teoremache la parentesi di Poisson di due integrali di un problema meccanico eanche essa un integrale.

349

VOLUMETTO

4 24 aprile 1930

4.1 Relazione fra suscettibilita emomento elettrico variabile nellostato fondamentale di un atomo

Sia un atomo con n elettroni nello stato fondamentale, che supponiamo untermine s, descritto dalla autofunzione ψ0 appartenente all’autovalore E0.La componente del momento elettrico secondo l’asse z sara data da:

M = − e (z1 + z2 + . . . + zn) = − e z, (4.1)

con z = z1 + z2 + . . . + zn.Un campo elettrico di intensita E agente secondo l’asse z provoca unaperturbazione che dipende dal potenziale EM = H. Se, come vogliamosupporre, lo stato fondamentale non e degenerato o, piu esattamente, nonesistono termini p appartenenti all’autovalore E0, l’elemento M00 della ma-trice di perturbazione e certamente nullo, onde la variazione dell’autovaloreper campi deboli si ricavera dalla formola di seconda approssimazione:

δE0 =

∞∑1

|M0k|2E0 − Ek

=

∞∑1

e2 E2 |zk|2E0 − Ek

, (4.2)

essendo

z ψ0 =∑

k

zk ψk. (4.3)

D’altra parte se α e la suscettibilita elettrica dell’atomo la variazione dienergia e data in prima approssimazione da

δE0 = − 1

2E2 α, (4.4)

351


da cui confrontando con (4.2):

α = 2 e2∑

k

|zk|2Ek − E0

. (4.5)

Inoltre da (4.3) si deduce:

∑

k

|zk|2 =

∫z2 ψ2

0 dτ = z2. (4.6)

Il numero degli elettroni di dispersione f = n (per un noto teorema) e datoda:28

n =

∞∑1

(2m/~2)(Ek − E0) |zk|2. (4.7)

Consideriamo le espressioni:

A =∑

k

(Ek − E0) |zk|2 =n~2

2m

B =∑

k

|zk|2 = z2 (4.8)

C =∑

k

|zk|2Ek − E0

=α

2e2; (4.9)

sara necessariamente:B ≤

√A C (4.10)

cioe (il segno di uguaglianza non intervenendo che nel caso irrealizzabile incui zk sia diverso da zero solo per un determinato valore di Ek − E0):

z2 <

√nα~2

4me2=

√nαa0

2, (4.11)

essendo a0 = ~2/me2 il raggio dell’orbita di Bohr nello stato fondamentaledell’idrogeno. Finche si suppone che le differenze Ek −E0 che entrano neitermini piu importanti delle espressioni A, B e C non sono molto differentitra loro (ed e questo il caso per gli atomi di tipo H e He ma non piu perquelli di tipo Li), la (4.11) si puo precisare in:

z2 <∼√

nαa0

2. (4.12)

28Nel manoscritto originale e utilizzata la vecchia notazione h/2π invece di ~.

352


Cosı per l’idrogeno: n = 1; α dedotta dalle formole dell’effetto Stark vale4.5 a3

0, onde:z2 < 1.06 a2

0 (4.13)

(in realta il calcolo diretto da z2 = a20).

Per l’elio n = 2, α ' 1.44 a30 (dedotto in base al valore della costante

dielettrica), segue:z2 < 0.85 a2

0. (4.14)

Essendo lo stato fondamentale dell’elio conosciuto con buona approssi-mazione, si puo calcolare direttamente z2. Ci limitiamo a una valutazionesommaria in base alla nota autofunzione

c exp

−27

16

z1 + z2

a0

,

che corrisponde a movimenti indipendenti dei due elettroni, con che z2 =z21 + z2

2 , mentre dovrebbe essere z2 < z21 + z2

2 ; d’altra parte essa da per z21

e z22 valori certamente minori del vero, onde, essendo i due errori di segno

opposto, si puo presumere una buona approssimazione per z2. Si trova:

z2 = 2

(16

27

)2

a20 = 0.70 a2

0, (4.15)

che conferma ancora la (4.12). L’approssimazione e naturalmente un po’meno buona che nel caso dell’idrogeno.

Consideriamo infine un atomo di tipo He con z infinito. Sara

α = 2 · 4.5 a30/Z

4 = 9a30/Z

4

(volendo ottenere α = 1.44a30 per l’elio da questa formola limite bisogna

porre in essa Z4 = 1.58) e, per la (4.12),

z2 <3√2

a20

Z2= 1.06

2a20

Z2, (4.16)

mentre il calcolo diretto da z2 = 2a20/Z

2.L’errore della (4.12) torna cosı ad essere identico a quello che si aveva nelcaso dell’idrogeno.29

29Nel manoscritto originale questo paragrafo termina con la seguente osser-vazione: “Una valutazione piu esatta di z2 ridurrebbe forse l’errore per l’elio,

353


4.2 Probabilita di ionizzazione di un atomodi idrogeno in campo elettrico

Sia un atomo di tipo idrogeno di carica Z. Convenendo di usare le unitaelettroniche (e = 1, ~ = 1, raggio della prima orbita di Bohr dell’idrogenoa0 = 1; unita di energia risulta allora e2/a0 = 2Ry), l’autofunzione dell’e-lettrone soddisfa l’equazione differenziale

∆ ψ + 2

(E +

Z

r

)ψ = 0. (4.17)

Aggiungendo un campo elettrico F (F = −dV/da) secondo l’asse x, la(4.17) diventa:

∆ ψ + 2

(E +

Z

r− F x

)ψ = 0. (4.18)

Introduciamo le coordinate paraboliche

ξ = r + x, η = r − x, tan φ =x

y;

x =1

2(ξ − η), y =

√ξ η cos φ, z =

√ξ η sin φ;

(4.19)

sara

∆ ψ =∂ψ

∂ξ∆ ξ +

∂ψ

∂η∆ η +

∂ψ

∂φ∆ φ

+∂2ψ

∂ξ2|grad ξ|2 +

∂2ψ

∂η2|grad η|2 +

∂2ψ

∂φ2|grad φ|2

+2∂2ψ

∂ξ∂ηgrad ξ · grad η + 2

∂2ψ

∂ξ∂φgrad ξ · grad φ

+2∂2ψ

∂η∂φgrad η · grad φ; (4.20)

che deve tuttavia restare sensibilmente piu grande che nel caso limite z = ∞,perche nell’elio sono consentiti salti estemporanei dei due elettroni a causadell’interdipendenza dei loro movimenti e con cio il campo pratico di variabilitadi Ek − E0 resta alquanto accresciuto”. Tale annotazione e seguita da un puntointerrogativo, a conferma del suo significato poco chiaro.

354


e poiche:

∆ ξ =2

r, ∆ η =

2

r, ∆ φ = 0,

|grad ξ|2 =2ξ

r, |grad η|2 =

2η

r, |grad φ|2 =

1

r2 − x2,

grad ξ · grad η = 0, grad ξ · grad φ = 0, grad η · grad φ = 0,

risulta

∆ ψ =2

r

(∂ψ

∂ξ+

∂ψ

∂η+ ξ

∂2ψ

∂ξ2+ η

∂2ψ

∂η2+

r

2(r2 − x2)

∂2ψ

∂φ2

). (4.21)

Ponendoψ = eimφ y(ξ, η) (4.22)

e sostituendo in (4.17):

ξ∂2y

∂ξ2+

∂y

∂ξ+ η

∂2y

∂η2+

∂y

∂η− m2

4ξη(ξ + η) y +

1

2(ξ + η) E y

+ Z y − F

4

(ξ2 − η2) y = 0, (4.23)

che permette l’ulteriore separazione:

y = P (ξ) Q(η), (4.24)

essendo30

ξ P ′′ + P ′ − m2

4ξP +

1

2ξ E P +

1

2(Z + λ) P − F

4ξ2 P = 0

η Q′′ + Q′ − m2

4ηQ +

1

2η E Q +

1

2(Z − λ) Q +

F

4η2 Q = 0.

(4.25)Le (4.25) sono autoaggiunte. Rinunziando a tale condizione si puo scriverepiu semplicemente:

P ′′ +1

ξP ′ +

(− m2

4ξ2+

1

2E +

Z + λ

2ξ− F

4ξ

)P = 0

Q′′ +1

ηQ′ +

(− m2

4η2+

1

2E +

Z − λ

2η+

F

4η

)Q = 0.

(4.26)

30Si noti che λ e un parametro arbitrario.

355


Lo stato fondamentale e determinato dalle condizioni m = 0 e mancanzadi nodi in P e Q. Avremo quindi, ponendo 2ε in luogo di F per indicareche il campo e piccolo:

F = 2 ε (4.27)

P ′′ +1

ξP ′ +

1

2

(E +

Z + λ

ξ− ε ξ

)P = 0

Q′′ +1

ηQ′ +

1

2

(E +

Z − λ

η+ ε η

)Q = 0.

(4.28)

Poniamo:

P = u e−√−E/2 ξ, Q = v e−

√−E/2 η. (4.29)

La prima delle (4.28) diventa

u′′ + u′(

1

ξ− 2

√−E

2

)+ u

Z + λ− 2

√−E

22ξ

− ε

2ξ

= 0, (4.30)

e un’equazione analoga che deriva dalla seconda delle (4.28) si ottienesostituendo u e ξ rispettivamente con v e η e cangiando segno a λ e ε.Dalle conseguenze che tireremo dalla (4.30) se ne deducono quindi altreoperando le dette sostituzioni. Nello stato fondamentale e in assenza dicampo (ε = 0), si ha λ = 0, E = −Z2/2, u = 1 (a meno di un fattore dinormalizzazione). Quando e presente il campo porremo

u = 1 + a1 ξ + a2 ξ2 + a3 ξ3 + . . . ; (4.31)

e a causa della (4.30) i coefficienti si determinano dalla relazione:

an =1

2n2

[(2n− 1)

√−2E − (Z + λ)]

an−1 +ε

2n2an−3. (4.32)

Ma non possiamo piu imporre la condizione che u sia un polinomio finito,anche perche in campo elettrico non esistono stati discreti rigorosamentestazionari. Occorre percio seguire un metodo di successive approssimazionisoddisfacendo alla condizione che u sia un polinomio finito a meno di ter-mini che tendono a zero con ε piu rapidamente di εn; cio significa trascurarenon quantita assolutamente piccole ma quantita che divengono apprezz-abili a distanza tanto maggiore dal nucleo quanto piu e piccolo ε. Porremodunque

an = a(0)n + ε a(1)

n + ε2 a(2)n + ε3 a(3)

n + . . . , (4.33)

356


e ogni serie i di costanti a(i)n dovra interrompersi per un determinato n.

Cosı per le costanti a(0) abbiamo

a(0)0 = 1, a

(0)1 = a

(0)2 = . . . = a(0)

n = 0. (4.34)

Porremo inoltre

λ = ε λ1 + ε2 λ2 + ε3 λ3 + . . . (4.35)√−2E = Z + ε k1 + ε2 k2 + ε3 k3 + . . . . (4.36)

Ricordiamo inoltre che valendo a0 = a(0)0 = 1, dovra essere per r > 1

a(r)0 = 0, r > 1. (4.37)

Sostituiamo in (4.32) mediante le precedenti relazioni e abbiamo per laparte indipendente da ε:

a(0)n =

n− 1

n2Z a

(0)n−1, (4.38)

che sono soddisfatte dalle (4.34). Considerando invece gli infinitesimi diprimo ordine giungiamo alla relazione:

a(1)n =

n− 1

n2Z a

(1)n−1 +

1

2n2[(2n− 1) k1 − λ1] a

(0)n−1 +

1

2n2a(0)n−3. (4.39)

La condizione che la serie delle costanti a(1) si interrompa a un certopunto impone che a

(1)3 = 0; sara allora identicamente a

(1)3+r = 0. D’altra

parte abbiamo

a(1)0 = 0 (4.40)

a(1)1 =

1

2(k1 − λ1) (4.41)

a(1)2 =

1

8(k1 − λ1) Z (4.42)

a(1)3 =

k1 − λ1

36Z2 +

1

18= 0, (4.43)

da cuik1 − λ1 + 2/Z2 = 0. (4.44)

Per passare da s a q dobbiamo lasciare inalterato√−2E e cangiar segno

a λ e ε onde dalle (4.29) e dalle relazioni analoghe se ne ottengono altre

357


cangiando il segno di ki o di an se i e dispari e lasciando inalterato se i epari e inoltre cangiando il segno di λi se i e pari e lasciandolo inalterato sei e dispari. Alla (4.44) va quindi aggiunto

− k1 − λ1 +2

Z2= 0, (4.45)

da cui

K1 = 0, λ1 =2

Z2, a

(1)1 = − 1

Z2, a

(1)2 = − 1

4Z. (4.46)

Riassumendo, la prima approssimazione fornisce

u = 1 − ε

(1

Z2ξ +

1

4Zξ2

)

v = 1 − ε

(1

Z2ξ +

1

4Zξ2

)

√−2E = Z + ε · 0

λ =2

Z2ε, F = 2 ε.

(4.47)

La terza delle (4.47) attesta la mancanza dell’effetto Stark di primo or-dine nello stato fondamentale. Passiamo alla seconda approssimazione.Eguagliando i termini in ε2 nei due membri di (4.32), si ottiene

a(2)n =

n− 1

n2Z a

(2)n−1 +

1

2n2[(2n− 1) k1 − λ1] a

(1)n−1 (4.48)

+1

2n2[(2n− 1) k2 − λ2] a

(0)n−1 +

1

2n2a(1)n−3. (4.49)

Perche la serie delle a(2) sia finita, si verifica facilmente che deve esserea(2)5 = 0, da cui segue a

(2)5+r = 0. Badando a (4.34), (4.37), e (4.47),

abbiamo

a(2)0 = 0 (4.50)

a(2)1 =

1

2(k2 − λ2) (4.51)

a(2)2 =

k2 − λ2

8Z +

1

4Z4(4.52)

358


a(2)3 =

k2 − λ2

36Z2 +

1

18Z3+

1

36Z3

=k2 − λ2

36Z2 +

1

12Z3(4.53)

a(2)4 =

k2 − λ2

192Z3 +

1

64Z2− 1

32Z2

=k2 − λ2

192Z3 − 1

64Z2(4.54)

a(2)5 =

k2 − λ2

1200Z4 − 1

400Z− 1

200Z

=k2 − λ2

1200Z4 − 3

400Z= 0, (4.55)

da cui

k2 − λ2 − 9

25= 0, (4.56)

che deve valere insieme a quella che si ottiene lasciando inalterato k2 ecangiando segno a λ2:

k2 + λ2 − 9/25 = 0, (4.57)

da cuiλ2 = 0, k2 = 9/25, (4.58)

e

a(2)1 =

9

2Z5, a

(2)2 =

11

8Z4, a

(2)3 =

1

3Z3, a

(2)1 =

1

32Z2. (4.59)

I risultati della seconda approssimazione si riassumono ricordando cheε = F/2

u = 1 − F

(1

2Z2ξ +

1

8Zξ2

)

+ F 2

(9

8Z5ξ +

11

32Z4ξ2 +

1

12Z3ξ3 +

1

128Z2ξ4

)

v = 1 + F

(1

2Z2η +

1

8Zη2

)

+ F 2

(9

8Z5η +

11

32Z4η2 +

1

12Z3η3 +

1

128Z2η4

)(4.60)

√−2E = Z + F 2 9

4Z5

359


E = − 1

2Z2 − 9

4Z4F 2

λ =1

Z2F + 0 F 2.

L’autofunzione completa di seconda approssimazione sara per (4.24) e(4.29):

ψ = exp

−

(Z +

9

4Z5F 2

)ξ + η

r

u(ξ) v(η), (4.61)

essendo u e v date da (4.60). Ripassando alle coordinate cartesiane medi-ante (4.19) si ha, trascurando termini in F 3:

ψ = exp

−

(Z +

9

4Z5F 2

)r

[1 − F

(1

Z2x +

1

2Zrx

)

+ F 2

(9

4Z5r +

1

16Z4

) (7r2 + 15x2) +

1

24Z3

(r3 + 15rx2)

+1

8Z2r2x2

)]. (4.62)

Conviene sviluppare ψ secondo le funzioni sferiche. Se θ e l’angolo r · xsi trova (vedi il paragrafo che segue):

ψ = exp

−

(Z +

9

4Z5F 2

)r

×[1 + F 2

(9r

4Z5+

3r2

4Z4+

r3

4Z3+

r4

24Z2

)

−F

(r

Z2+

r2

2Z

)P1(cos θ)

+ F 2

(5r2

8Z4+

5r3

12Z3+

r4

12Z2

)P2(cos θ)

], (4.63)

o, cio che e lo stesso quando si trascurano termini in F 3

ψ = e−Zr

[1 + F 2

(3r2

4Z4+

r3

4Z3+

r4

24Z2

)

−F

(r

Z2+

r2

2Z

)P1(cos θ)

+ F 2

(5r2

8Z4+

5r3

12Z3+

r4

12Z2

)P2(cos θ)

]. (4.64)

360


Facilmente (vedi nel prossimo paragrafo) si puo costruire ψ2 in secondaapprossimazione:

ψ2 = e−2Zr

[1 + F 2

(11r2

6Z4+

5r3

6Z3+

r4

6Z2

)

−F

(2r

Z2+

r2

Z

)P1(cos θ)

+ F 2

(23r2

12Z4+

3r3

2Z3+

r4

3Z2

)P2(cos θ)

]. (4.65)

4.3 Sviluppo di un polinomio in−1 ≤ x ≤ 1 secondo i polinomi diLegendre

(Si veda Vol.1, §1.42.)

1 = P0

x = P1

x2 =2

3P2 +

1

3P0

x3 =2

5P3 +

3

5P1

x4 =8

35P4 +

4

7P2 +

1

5P0

. . .

xn =

2α≤n∑α=0

2n−2α (2n− 4α + 1)(n− α)! n!

α! (2n− 2α + 1)!Pn−2α(x).

361


4.4 Regole di moltiplicazione dei polinomidi Legendre

Si ha31

P0 P1 P2 P3 P4

P0 P0 P1 P2 P3 P4

P1 P11

3P0 +

2

3P2

2

5P1 +

3

5P3

3

7P2 +

4

7P4

4

9P3 +

5

9P5

P2 P22

5P1 +

3

5P3

1

5P0 +

2

7P2 +

18

35P4 P2P3 P2P4

P3 P3 P3P1 P3P2 P3P3 P3P4

P4 P4 P4P1 P4P2 P4P3 P4P4

31Nel manoscritto originale la forma esplicita dei prodotti P2P3, P2P4, P3P1,P3P2, P3P3, P3P4, P4P1, P4P2, P4P3, P4P4 non e riportata. La si ripropone quidi seguito:

P2P3 = P3P2 =9

35P1 +

4

15P3 +

10

21P5

P2P4 = P4P2 =2

7P2 +

20

77P4 +

5

11P6

P3P1 = P1P3

P3P3 =1

7P0 +

4

21P2 +

18

77P4 +

100

231P6

P3P4 = P4P3 =4

21P1 +

2

11P3 +

20

91P5

175

429P7

P4P4 =1

9P0 +

100

693P2 +

162

1081P4 +

20

99P6 +

490

1287P8.

362


4.5 Funzione di Green per l’equazionedifferenziale y′′ + (2/x− 1) y + φ(x) = 0

L’equazione differenziale

y′′ +

(2

x− 1

)y = −φ(x), (4.66)

con le condizioni ai limiti

y(0) = y(∞) = 0, (4.67)

ammette soluzioni nel campo [0,∞) solo se−φ(x) e ortogonale alla soluzioneχ dell’equazione (resa) omogenea:

χ′′ +

(2

x− 1

)χ = 0, (4.68)

con la condizione ai limiti (4.67). Una soluzione non nulla di (4.68) esisteed e, normalizzata,

χ = 2x e−x. (4.69)

Segue che se φ(x) e una qualsiasi funzione continua, l’equazione differen-ziale:

y′′ +

(2

x− 1

)y = −φ(x) + 4x e−x

∫ ∞

0

φ(x) x e−x dx (4.70)

ammette soluzioni soddisfacenti a (4.67). Possiamo porre

y(x) =

∫G(x, ξ) φ(ξ) dξ. (4.71)

Tanto y che G(x, ξ), quest’ultima riguardata come funzione di x per ognivalore di ξ, sono definite a meno di una funzione proporzionale a χ. Toglier-emo ogni arbitrarieta imponendo che G, e di conseguenza y, sia ortogonalea χ. Allora la funzione di Green G(x, ξ) e necessariamente simmetrica inx e ξ. Ponendo

L =d2

dx2+

(2

x− 1

), (4.72)

363


la funzione di Green soddisfa all’equazione differenziale

L G(x, ξ) = 4x e−x ξ e−ξ, (4.73)

ed inoltre deve avere una discontinuita nella derivata prima per x = ξ inmodo che sia:

[d

dxG(x, ξ)

]

x=ξ+0

−[

d

dxG(x, ξ)

]

x=ξ−0

= − 1. (4.74)

PoniamoG(x, ξ) = 4ξ e−ξ p(x, ξ) (4.75)

e riguardiamo per il momento p come funzione di x essendo ξ costante.Avremo per la (4.74):

L p = x e−x. (4.76)

La soluzione generale di (4.76) si ottiene aggiungendo a una soluzione par-ticolare la soluzione generale dell’equazione omogenea

L p = 0. (4.77)

La soluzione generale di (4.76) e a sua volta combinazione lineare di due(soluzioni) indipendenti di cui l’una e la stessa χ data da (4.69) e l’altrapuo essere notoriamente:

χ1 = χ

∫dx

χ2= − ex + 2x e−x

∫e2x

xdx (4.78)

od anche, poiche possiamo fissare arbitrariamente il limite inferiore dell’in-tegrale:

χ1 = 2x e−x

∫ x

0

e2x − 1

xdx + 2x e−x log x − ex. (4.79)

Una soluzione particolare di (4.76), e precisamente quella che si annullainsieme con la sua prima derivata per x = 0 (vedi tesi) e la seguente:

p0 =1

2x e−x

∫ x

0

e2x − 1

xdx − 1

4ex +

(1

4+

1

2x − 1

2x2

)e−x. (4.80)

Segue per la (4.75) che la funzione di Green puo porsi sotto la forma:

G(x, ξ) = 4ξ e−ξ p0(x) + ai(ξ) χ(x) + bi(ξ)χ1(x), (4.81)

364


intendendo che l’indice i assuma il valore 1 per x < ξ e il valore 2 per x > ξ,cosicche il problema e ormai ridotto alla determinazione delle grandezzea1(ξ), b1(ξ), a2(ξ), b2(ξ) costanti rispetto a x. Esse si determinano me-diante le condizioni ai limiti G = 0 per x = 0 e x = ∞, la condizione didiscontinuita (4.74) per x = ξ e la condizione di ortogonalita fra la fun-zione di Green e la soluzione χ dell’equazione omogenea che soddisfa allecondizioni ai limiti. La condizione G(0, ξ) = 0 importa:

b1 = 0. (4.82)

La condizione G(∞, ξ) = 0 e soddisfatta se:

b2 = − ξ e−ξ. (4.83)

Dalla condizione (4.74) segue

(a1 − a2) χ′(ξ) + (b1 − b2) χ′1(ξ) = 1, (4.84)

cioe, tenuto conto di (4.82) e (4.83):

a2 = a1 + ξ e−ξ χ′1(ξ)χ′(ξ)

− 1

χ′(ξ); (4.85)

ed eseguiti i calcoli:

a2 = a1 + ξ e−ξ

∫ ξ

0

e2ξ − 1

ξdξ + ξ e−ξ log ξ − eξ

2. (4.86)

Lasciando ancora indeterminata a1, abbiamo cosı le seguenti espressioniper la funzione di Green secondo che x < ξ o x > ξ:

G(x, ξ) = ξ e−ξ

[2x e−x

∫ x

0

e2x − 1

xdx − ex

+(1 + 2x − 2x2) e−x]

+ 2 a1(ξ) x e−x, x < ξ; (4.87)

G(x, ξ) = x e−x

(2ξ e−ξ

∫ ξ

0

e2ξ − 1

ξdξ − eξ

)

+ ξ e−ξ (1 + 2x − 2x2) + 2ξ e−ξ x e−x (log ξ − log x)

+ 2 a1(ξ) x e−x, x > ξ. (4.88)

365


Resta da determinare a1 in base alla condizione di ortogonalita:∫

χ(x) G(x, ξ) dx = 0.

Si trova:

a1 =

(1

2+

5

2ξ − ξ2

)e−ξ − C ξ e−ξ − ξ e−ξ log 2ξ, (4.89)

con C costante di Eulero.Sostituendo in (4.87) e in (4.88) si hanno le espressioni definitive per lafunzione di Green:

G(x, ξ) = e−ξ e−x (ξ + x + (7− 2C) ξ x − 2 ξ2 x − 2 ξ x2)

+ 2ξ e−ξ xe−x

∫ x

0

e2x − 1

xdx

− ξ e−ξ ex − 2ξ e−ξ x e−x log 2ξ, x < ξ; (4.90)

G(x, ξ) = e−ξ e−x (ξ + x + (7− 2C) ξ x − 2 ξ2 x − 2 ξ x2)

+ 2ξ e−ξ xe−x

∫ ξ

0

e2ξ − 1

ξdξ

− x e−x eξ − 2ξ e−ξ x e−x log 2x, x > ξ. (4.91)

La G(x, ξ) e, come deve essere, simmetrica in x e ξ, poiche (4.91) si ottieneda (4.90) scambiando x e ξ.

4.6 Su uno sviluppo in serie del logaritmointegrale

Il logaritmo integrale e definito dalla relazione

Ei(−x) = −A(x), (4.92)

essendo:32

A(x) =

∫ ∞

x

e−ξ

ξdξ. (4.93)

32Questa funzione e anche nota come funzione gamma incompleta Γ(0, x).

366


Possiamo sviluppare 1/ξ per ξ > x in serie di polinomi secondo le formoledel calcolo alle differenze finite richiedendo che i primi n termini dellosviluppo diano il valore esatto di 1/ξ per ξ = x, x + 1, . . . , x + n − 1. Sitrova ponendo:

ξ = x + y, (4.94)

la formola:

1

ξ=

1

x− y

x(x + 1)+

y(y − 1)

x(x + 1)(x + 2)− . . . , (4.95)

e la (4.93) diventa

A(x) =e−x

x

1 −

∫ ∞

0

y e−y dy

x + 1+

∫ ∞

0

y (y − 1) e−y dy

(x + 1)(x + 2)− . . .

. . . ± In

(x + 1)(x + 2)· · ·(x + n)∓ . . .

, (4.96)

essendosi posto:

In =

∫ ∞

0

y (y − 1) · · · (y − n + 1) e−y dy. (4.97)

Si trova

I1 = 1, I2 = 1, I3 = 2, I4 = 4, I5 = 14,

I6 = 38, I7 = 216, I8 = 600, . . . . (4.98)

Sostituendo la (4.96) diventa:

∫ ∞

x

e−ξ

ξdξ =

e−x

x

(1 − 1

x + 1+

1

(x + 1)(x + 2)

− 2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)+

4

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

− 14

(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 5)+

38

(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 6)

− 216

(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 7)+

600

(x + 1)(x + 2)· · ·(x + 8)− . . .

). (4.99)

367


Se in (4.94) facciamo x = 1, la (4.95) diventa:

1

1 + y= 1− y

2!+

y(y − 1)

3!− y(y − 1)(y − 2)

4!

+ . . .± y − (y − 1) · · · (y − n + 2)

n!∓ . . . (4.100)

Si deduce lo sviluppo del logaritmo di (1 + y):

log (1 + y) = y − y2

4+

2y3 − 3y2

36− y4 − 4y3 + 4y2

96+ . . . (4.101)

Lasciando x indeterminato in (4.94) si ottiene la generalizzazione della(4.101):

log(1 +

y

x

)=

y

x− y2

2x(x + 1)+

2y3 − 3y2

6x(x + 1)(x + 2)

− y4 − 4y3 + 4y2

4x(x + 1)(x + 2)(x + 3)+ . . . (4.102)

Poniamo t = y/x e conveniamo di usare n termini dello sviluppo (4.102)ponendo y = n − 1 e in conseguenza x = (n − 1)/t salvo che per n = 1,nel qual caso lasciamo y arbitrario; si ottengono allora successivamente leseguenti formole di approssimazione per log (1 + t):

n = 1 : log (1 + t) = t (4.103)

n = 2 : log (1 + t) = t − t2

2(1 + t)(4.104)

n = 3 : log (1 + t) = t − t2

2 + t+

t3

3(2 + t)(2 + 2t)(4.105)

n = 4 : log (1 + t) = t − 3t2

2(3 + t)+

3t3

2(3 + t)(3 + 2t)

− 3t4

4(3 + t)(3 + 2t)(3 + 3t). (4.106)

368


Ad esempio, le dette espressioni diventano per log 2 (t = 1) e log 10 (t = 9):

n log 2 log 10

1 1.0000 9.002 0.7500 4.953 0.6944 2.744 0.6937 2.56

4.7 Caratteri primitivi del gruppo dellepermutazioni di f oggetti

Si ha33

f = 1 (P.N. = 1)

nkPartitio →Classe ↓ 1

1 + (1) 1

f = 2 (P.N. = 2)

Partitio → 1+nk Classe ↓ 2 1

1+ (1)(2) 1 11− (12) 1 -1

33In quel che segue, la notazione P.N. indica la “Partitio Numerorum”, cioe ilnumero di modi in cui si possono collocare f oggetti. Nelle tabelle, ogni “partitio”e definita nella prima riga dalla terza colonna in poi. Nella seconda colonna sonoinvece definite le classi dei cicli di permutazioni degli f oggetti. Nella primacolonna e infine indicato il numero di cicli della classe considerata. In ciascunatabella - dalla terza colonna in avanti e dalla seconda riga in poi - sono mostratii caratteri corrispondenti ad una data classe e “partitio”.

369


f = 3 (P.N. = 3)1+

Partitio → 2+ 1+nk Classe ↓ 3 1 1

1+ (1)(2)(3) 1 2 13− (12)(3) 1 0 -12+ (123) 1 -1 1

f = 4 (P.N. = 5)1+

2+ 1+Partitio → 3+ 2+ 1+ 1+

nk Classe ↓ 4 1 2 1 1

1+ (1) . . . 1 3 2 3 16− (12) . . . 1 1 0 -1 -13+ (12)(34) 1 -1 2 -1 18+ (123) . . . 1 0 -1 0 16− (1234) 1 -1 0 1 -1

f = 5 (P.N. = 7)1+

2+ 1+3+ 2+ 1+ 1+

Partitio → 4+ 3+ 1+ 2+ 1+ 1+nk Classe ↓ 5 1 2 1 1 1 1

1+ (1) . . . 1 4 5 6 5 4 110− (12) . . . 1 2 1 0 -1 -2 -115+ (12)(34) . . . 1 0 1 -2 1 0 120+ (123) . . . 1 1 -1 0 -1 1 120− (123)(45) 1 -1 1 0 -1 1 -130− (1234) . . . 1 0 -1 0 1 0 -124+ (12345) 1 -1 0 1 0 -1 1

370


f = 6 (P.N. = 11)

3+4+ 3+ 1+

Partitio → 5+ 4+ 1+ 3+ 2+ 1+nk Classe ↓ 6 1 2 1 3 1 1

1+ (1) . . . 1 5 9 10 5 16 1015− (12) . . . 1 3 3 2 1 0 -245+ (12)(34) . . . 1 1 1 -2 1 0 -215− (12)(34)(56) 1 -1 3 -2 -3 0 240+ (123) . . . 1 2 0 1 -1 -2 1120− (123)(45) . . . 1 0 0 -1 1 0 140+ (123)(456) 1 -1 0 1 2 -2 190− (1234) . . . 1 1 -1 0 -1 0 090+ (1234)(56) 1 -1 1 0 -1 0 0144+ (12345) . . . 1 0 -1 0 0 1 0120− (123456) 1 -1 0 1 0 0 -1

1+2+ 1+

2+ 1+ 1+2+ 1+ 1+

Partitio → 2+ 1+ 1+ 1+nk Classe ↓ 2 1 1 1

1+ (1) . . . 5 9 5 115− (12) . . . -1 -3 -3 -145+ (12)(34) . . . 1 1 1 115− (12)(34)(56) 3 -3 1 -140+ (123) . . . -1 0 2 1120− (123)(45) . . . -1 0 0 -140+ (123)(456) 2 0 -1 190− (1234) . . . 1 1 -1 -190+ (1234)(56) -1 1 -1 1144+ (12345) . . . 0 -1 0 1120− (123456) 0 0 1 -1

371


Partitio numerorum

f P.N.

1 12 23 34 55 76 117 1589

1011

Gradi delle rappresentazioni irriducibili esistemi reciproci34

f = 2

2 1+1

1+1 2

1 1

f = 3

3 2+1 1+1+1

1+1+1 2+1 3

1 2 1

f = 4

34Nelle tabelle che seguono, nella prima riga e riportata la rappresentazioneirriducibile considerata, la seconda riga indica il sistema reciproco corrispondente,mentre la terza specifica il grado della rappresentazione considerata.

372


4 3+1 2+2 2+1+1 1+1+1+1

1+1+1+1 2+1+1 2+2 3+1 4

1 3 2 3 1

f = 5

5 4+1 3+2 3+1+1

1+1+1+1+1 2+1+1+1 2+2+1 3+1+1

1 4 5 6

2+2+1 2+1+1+1 1+1+1+1+1

3+2 4+1 5

5 4 1

f = 6

6 5+1 4+2 4+1+1

1+1+1+1+1+1 2+1+1+1+1 2+2+1+1 3+1+1+1

1 5 9 10

3+3 3+2+1 3+1+1+1 2+2+2

2+2+2 3+2+1 4+1+1 3+3

5 16 10 5

2+2+1+1 2+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1

4+2 5+1 6

9 5 1

373


f = 7

7 6+1 5+2 5+1+1

1+1+1+1+1+1+1 2+1+1+1+1+1 2+2+1+1+1 3+1+1+1+1

1 6 14 15

4+3 4+2+1 4+1+1+1 3+3+1 3+2+2 3+2+1+1

2+2+1 3+2+1+1 4+1+1+1 3+2+2 3+3+1 4+2+1

14 35 20 21 21 35

3+1+1+1+1 2+2+2+1 2+2+1+1+1

5+1+1 4+3 5+2

15 14 14

2+1+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1+1

6+1 7

6 1

4.8 Sviluppo dell’onda piana secondo lefunzioni sferiche

L’onda piana

u = eikz = eikr cos θ (4.107)

obbedisce all’equazione differenziale

∆ u + k2 u = 0. (4.108)

374


Ogni soluzione di (4.108) si puo esprimere come combinazioni lineari dellesoluzioni particolari

1√ρ

In+1/2(ρ) ϕin(θ, φ) (4.109)

(ρ = kr; n = 0, 1, 2, . . .; i = −n,−n + 1, . . . , n), essendo In+1/2 la funzionedi Bessel di ordine n + 1/2 e ϕi

n una generica funzione sferica superficialedi ordine n. La u data dalla (4.107) e simmetrica intorno all’asse z ondenel suo sviluppo compariranno solo termini che portano a fattore funzionisferiche zonali:

u = eikz = eiρ cos θ =

∞∑n=0

an√ρ

In+1/2(ρ) Pn(cos θ), (4.110)

essendo Pn i polinomi di Legendre. Per determinare le costanti an molti-plichiamo i due membri di (4.110) per Pn(cos θ) e integriamo su una sferadi raggio r = ρ/k; dividendo quindi i due membri per 2πr2 troviamo

∫ 1

−1

eiρt Pn(t) dt =2

2n + 1

an√ρ

In+1/2(ρ). (4.111)

Facciamo tendere ρ a zero e sviluppiamo secondo le potenze di ρ. Al primomembro otteniamo come primo termine differente da zero (vedi §4.3):

inρn

n!

∫ 1

−1

tn Pn(t) dt =inρn

n!

2

3·35· · · n

2n− 1· 2

2n + 1

=2n+1n!

(2n + 1)!in ρn, (4.112)

mentre al secondo membro otteniamo:

2

2n + 1

an√ρ

1

(n + 1/2)!

(ρ

r

)n + 1/2=

2

2n + 1

√2

π

an

1·3· · ·(2n + 1)ρn

=an

2n + 1

√2

π

2n+1 n!

(2n + 1)!ρn (4.113)

da cui, confrontando con l’espressione precedente:

an = (2n + 1)

√π

2in. (4.114)

375


Sostituendo in (4.111), si ricava la relazione notevole:

In+1/2(ρ) =

√ρ

2 π(−i)n

∫ 1

−1

eiρt Pn(t) dt. (4.115)

Esempi:

I1/2(ρ) =

√2

π ρsin ρ, kz = ρ cos θ (4.116)

I3/2(ρ) =

√2

π ρ

(− cos ρ +

1

ρsin ρ

). (4.117)

Sostituendo invece con (4.114) in (4.110) si ha lo sviluppo dell’onda piana:

eikz =

∞∑n=0

2n + 1

ρ

√πρ

2in In+1/2(ρ) Pn(cos θ). (4.118)

Scriviamo la (4.115) sotto la forma analoga a (4.111):

∫ 1

−1

eiρt Pn(t) dt =

√2π

ρin In+1/2(ρ) (4.119)

e sviluppiamo i due membri secondo le potenze di ρ. E facile convincersi chesono differenti da 0 solo i termini in ρn+2α (α = 0, 1, 2, . . .) . Uguagliandonei due membri i coefficienti di ρn+2α si ha:

in+2α

(n + 2α)!

∫ 1

−1

tn+2α Pn(t) dt =

√2π in (−1)α

α! (n + α + 1/2)! 2n+2α+1/2, (4.120)

cioe semplificando:

1

(n + 2α)!

∫ 1

−1

tn+2α Pn(t) dt =

√π

α! (n + α + 1/2)! 2n+2α (4.121)

e badando che(

n + α +1

2

)! =

√π

2·32·52· · ·

(n + α +

1

2

)

=

√π

2

1

2n+α·3·5·7· · · (2n + 2α + 1)

=

√π

2

(2n + 2α + 1)!

(n + α)! 22n+2α, (4.122)

376


si ha infine:∫ 1

−1

tn+2α Pn(t) dt = 2n+1 (n + α)! (n + 2α)!

α! (2n + 2α + 1)!. (4.123)

Ponendo in (4.123) n in luogo di n− 2α si ha:∫ 1

−1

tn Pn−2α(t) dt = 2n−2α+1 (n− α)! n!

α! (2n− 2α + 1)!(4.124)

(con 2α ≤ n); da cui, badando alla condizione di normalizzazione deipolinomi di Legendre

∫ 1

−1

P 2n(t) dt =

2

2n + 1,

si ricava lo sviluppo di tn (n− 1 ≤ t ≤ 1) secondo i polinomi di Legendre:

tn =

2α≤n∑α=0

2n−2α (2n− 4α + 1)(n− α)! n!

α! (2n− 2α + 1)!Pn−2α(t). (4.125)

4.9 Formola di Rutherford dedotta con lameccanica classica

Si abbia una corrente uniforme di particelle di carica Z′e e di massa m,muoventisi secondo l’asse z con velocita v. Sia io/v il numero di particelleper unita di volume e quindi io il flusso per unita di superficie normaleall’asse z nell’unita di tempo. Si supponga inoltre che nell’origine delle co-ordinate sia posto un corpo diffondente di carica Ze; si domanda il numerodi particelle che vengono deviate di un angolo θ per unita di tempo e diangolo solido. Tale numero puo porsi sotto la forma f(θ) io, e avra f(θ)le dimensioni di una superficie (sezione d’urto). Per risolvere il problemaosserviamo che ogni particella si muove in un piano passante per l’asse z.Scegliendo in questo coordinate polari avremo

ρ − ρ θ2 =k

ρ2, k =

ZZ′e2

m;

ρ2θ = c.(4.126)

377


Eliminando θ:

ρ =k

ρ2+

c2

ρ3. (4.127)

Assumendo come nuova variabile y = 1/ρ, troviamo

ρ =1

y(4.128)

ρ = − 1

y2y = − dy

dθρ2 θ = − c

dy

dθ(4.129)

ρ = − cd2y

dθ2θ = − c2 y2 d2y

dθ2, (4.130)

da cui sostituendo in (4.127)

d2y

dθ2+ y +

k

c2= 0, (4.131)

che ammette come soluzione generale:

1

ρ= y = − k

c2+ a cos θ + b sin θ. (4.132)

Determiniamo le costanti in base alle condizioni ai limiti. Per θ = πdeve essere ρ = ∞, poiche noi immaginiamo che le particelle provenganodall’infinito nella direzione negativa dell’asse z. Questo importa:

a = − k/c2. (4.133)

Ancora, per θ = π dev’essere, secondo l’ipotesi, ρ = −v e poiche per la(4.129) ρ = −c dy/dθ, segue

c b = − v cioe b = − v/c, (4.134)

cosicche la (4.132) diventa

1

ρ= − k

c2− k

c2cos θ − v

csin θ, (4.135)

che rappresenta un’iperbole i cui asintoti hanno le direzioni θ1 = π e θ2 =−2 arctan (k/vc). Resta da esplicitare il significato geometrico di c, che sipuo dedurre dalla seconda delle (4.126), ma preferiamo partire dalla (4.135)

378


introducendo le coordinate cartesiane nel piano dell’orbita: z = ρ cos θ eξ = ρ sin θ con che la (4.135) diventa

1 − k

c2

√z2 + ξ2 +

k

c2z +

v

cξ = 0, (4.136)

ovvero, in forma intera:

z2 + ξ2 =

(z +

vc

kξ +

c2

k

)2

, (4.137)

cioe

(1 − v2c2

k2

)ξ2 − 2

vc

kξ z − 2

c2

kz − 2

vc3

k2ξ − c4

k2= 0, (4.138)

da cui si deduce l’equazione del primo asintoto:

ξ = − c/v. (4.139)

Il valore assoluto di ξ e uguale alla distanza iniziale della particella dall’assez parallelamente al quale si muove; scegliendo il verso dell’asse ξ in modoche ξ sia inizialmente [e quindi durante tutto il moto, se ZZ′ > 0] positiva,avremo:

c = − v δ. (4.140)

La deviazione angolare della particella sara quindi per quanto si e dettosopra sulla direzione del secondo asintoto:

θ = 2 arctan(k/v2 δ). (4.141)

L’angolo di diffusione θ cresce al diminuire di δ e le particelle deviate diun angolo maggiore di θ sono quelle che per grandi valori negativi di zattraversano un cerchio di raggio δ normale all’asse z, cioe, nell’unita ditempo

n = π δ2 io, (4.142)

cioe, essendo per la (4.141) δ =k

v2 tan θ/2

n =π k2 io

v4 tan2 θ/2. (4.143)

379


Il numero delle particelle diffuse per unita di angolo solido sara

dn

dω=

dn

−2π sin θ dθ

e notando che dn/dω = f(θ) io, avremo, differenziando la (4.135) e divi-dendo per −2πio sin θdθ:

f(θ) =Z2 Z′2 e4

4m2 v4 sin4 θ/2=

Z2 Z′2 e4

16W 2 sin4 θ/2, (4.144)

essendo W l’energia cinetica della particella libera. Ponendo:

W =Z Z′ e2

l, (4.145)

sara l una lunghezza, positiva o negativa secondo che Z e Z′ hanno o nonhanno lo stesso segno. Sostituendo in (4.144) si ha la formola espressivaper la sezione di urti:

f(θ) =l2

16 sin4 θ/2. (4.146)

Possiamo definire una seconda sezione d’urto F (θ) come rapporto fra ilnumero n di particelle deviate di un angolo maggiore di θ nell’unita ditempo e io. Tale numero e per la (4.143):

n =π Z2 Z′2 e4 io

m2 v4 tan2 θ/2=

π Z2 Z′2 e4 io4W 2 tan2 θ/2

=π l2 io

4 tan2 θ/2, (4.147)

da cui segue:

F (θ) =π l2

4 tan2 θ/2. (4.148)

Fra f(θ) e F (θ) passa l’ovvia relazione:

F ′(θ) = − 2π sin θ f(θ). (4.149)

La relazione fra θ e δ espressa da (4.141) si puo porre sotto la forma:

tanθ

2=

ε

2, (4.150)

essendo ε = l/δ.

380


ε θ

0 01 arctan 4/32 π/23 π − arctan 12/54 π − arctan 4/35 π − arctan 21/20

4.10 La formola di Rutherford comeprima approssimazione delmetodo di Born

Consideriamo l’onda piana35

ψ0 = e+iγz, (4.151)

che rappresenta un flusso uniforme di particelle nella direzione dell’asse z.Se m e la loro massa, ad ognuna compete l’energia cinetica

W =~2

2mγ2. (4.152)

Nell’origine delle coordinate sia il punto diffondente di carica Ze, mentrela carica delle particelle diffuse sia Z′e. L’equazione differenziale a cuisoddisfa la funzione d’onda se l’energia e espressa dalla (4.152) sara:

∆ ψ +

(γ2 − 2m2 k

~2 r

)ψ = 0, k =

ZZ′e2

m. (4.153)

Riguardando il potenziale dovuto al punto diffondente come piccolo, potremoconsiderare la (4.151) come autofunzione imperturbata e porre

ψ = ψ0 + ψ1, (4.154)

35Nel manoscritto originale viene riportata la relazione di commutazione fon-damentale pq − qp = ~/i vicino l’equazione (4.151). Come in precedenza, qui enel seguito si e preferito adottare la notazione moderna ~ in luogo di h/2π.

381


essendo ψ1 un piccolo termine correttivo. Sostituendo in (4.153) e trascu-rando quantita di secondo ordine avremo in prima approssimazione:

∆ ψ1 + γ2 ψ1 =2m2 k

~2 reiγz. (4.155)

Per rendere unica la soluzione di (4.155) richiediamo: 1) che ψ1 si annulliall’infinito, cio che significa che a grande distanza dal corpo diffondenteψ deve tendere all’onda imperturbata ψ0; 2) che ψ1 rappresenti un’ondasferica divergente, e cio per il suo significato fenomenologico. La soluzionedella forma desiderata si ottiene con il metodo di Green usando come fun-zione caratteristica - eiγr/4πr. Si presentano tuttavia difficolta di conver-genza per evitare le quali supporremo che il campo diffondente agisce finoalla distanza R, salvo in seguito a far tendere R all’infinito. La (4.155) vaallora modificata nel modo seguente:

∆ ψ1 + γ2 ψ1 =2m2 k

~2

(1

r− 1

R

)eiγz, per r < R,

∆ ψ1 + γ2 ψ1 = 0, per r > R.

(4.156)

Vogliamo scrivere le (4.156) in una forma un po’ differente introducendola velocita delle particelle libere:

v = γ~m

, (4.157)

con che le (4.156) diventano:

∆ ψ1 + γ2 ψ1 =2γ2 k

v2

(1

r− 1

R

)eiγz, per r < R,

∆ ψ1 + γ2 ψ1 = 0, per r > R;

(4.158)

e per cio che si e detto sara:

ψi(P1) =1

4π

∫

S

2γ2 k

v2

(1

r− 1

R

)1

|r1 − r| eiγ(|r1 − r|+ z) dτ, (4.159)

l’integrale essendo esteso entro una sfera di raggio R. (Siano r1, θ1, φ1 lecoordinate di P1, mentre r, θ, φ sono le coordinate di un punto genericodel campo di integrazione). Vogliamo supporre r1 À R e trascurare in

382


ψ1 termini dell’ordine di 1/r2; possiamo allora sostituire al denominatore1/|r1 − r| semplicemente 1/r1, e la (4.159) diventa

ψ1(P1) =γ2 k

2π v2 r1

∫

S

(1

r− 1

R

)eiγ(|r1 − r|+ z) dτ. (4.160)

e badando che entro l’integrale possiamo trascurare termini dell’ordine di1/r possiamo porre:

|r1 − r| ' r1 − r (cos θ1 cos θ + sin θ1 sin θ cos(φ1 − φ)) (4.161)

[e, d’altra parte: z = r cos θ, con che l’integrale che comparisce in (4.160)diventa

eiγr1

∫

s

(1

r− 1

R

)eiγr ((1− cos θ1) cos θ − sin θ1 sin θ cos(φ1 − φ)) dτ.

(4.162)Possiamo supporre senza restrizione φ1 = 0, ma cio l’integrale non

resta essenzialmente semplificato]. Conviene scegliere un nuovo sistema dicoordinate polari - nel verso che forma angolo acuto con δ1ϕ1 - assumendocome nuovo asse polare la bisettrice esterna dell’angolo (rr1). Se comepiano meridiano (Φ = 0) assumiamo quello che passa per l’asse z e per P1,le coordinate polari di quest’ultimo punto saranno:

r1, Θ1 =π

2− θ1

2, Φ1 = 0, (4.163)

e sara inoltre

cos θ = − sin(θ1/2) cosΘ + cos(θ1/2) cosΦ sinΘ, (4.164)

di modo che

z = − r sin(θ1/2) cosΘ + r cos(θ1/2) cos Φ sin Θ (4.165)

|r1 − r| ' r1 − r (sin(θ1/2) cosΘ + cos(θ1/2) cosΦ sinΘ) (4.166)

z + |r1 − r| ' r1 − 2 sin(θ1/2) r cosΘ. (4.167)

Sostituendo l’integrale che figura in (4.160) diventa

eiγr1

∫

S

(1

r− 1

R

)e−2iγr sin(θ1/2) cos θ dτ. (4.168)

383


Integrando rispetto a Φ quando si scriva dτ = r2dr d cos ΘdΦ abbiamo

2π eiγr1

∫ R

0

r2

(1

r− 1

R

)dr

∫ 1

−1

e−2iγr sin(θ1/2) cos θ d cos Θ

=2π eiγr1

γ sin(θ1/2)

∫ R

0

r

(1

r− 1

R

)sin (2 γ r sin(θ1/2)) dr

=2π eiγr1

γ sin(θ1/2)

[1

2γ sin(θ1/2)

(1 − sin (2 γ R sin(θ1/2))

2 γ R sin(θ1/2)

)]. (4.169)

Facendo tendere R a infinito, il termine con R al denominatore si annulla(purche θ1 6= 0); si ha allora sostituendo in (4.160) e scrivendo θ in luogodi θ1:

ψ1(P1) =k eiγr1

2 v2 r1 sin2(θ/2). (4.170)

Cio che interessa e il rapporto

i1i0

=|ψ1|2|ψ0|2

fra onda diffusa e onda incidente. Ricordando l’espressione (4.151) di ψ0 eintroducendo l’energia della particella in luogo della velocita, si trova

i1 =Z2 Z′2 e4 i0

16 W 2 r21 sin4(θ/2)

, (4.171)

che coincide con la formola (4.144), se si bada che sezione d’urto colaintrodotta e per definizione:

f(θ) = r21

i1i0

. (4.172)

384


4.11 L’equazione di Laplace

Intendiamo l’equazione differenziale:

u′′ +

(δ0 +

δ1

r

)u′ +

(ε0 +

ε1r

)u = 0. (4.173)

Applichiamo la trasformazione di Laplace:

u =

∫

L

f(z) ezr dz. (4.174)

Sara:

u′ =

∫

L

z f(z) ezr dz (4.175)

u′′ =

∫

L

z2 f(z) ezr dz. (4.176)

Sostituendo in (4.173) si ricava

0 =

∫

L

[z2 f(z) ezr +

(δ0 +

δ1

r

)z f(z) ezr

+(ε0 +

ε1r

)f(z) ezr

]dz; (4.177)

ovvero, moltiplicando per r l’equazione precedente e tenendo presente che

r ezr =d

dzezr,

si trova:

0 =

∫

L

[δ1 z f(z) ezr + ε1 f(z) ezr + z2 f(z)

d

dzezr

+ δ0 z f(z)d

dzezr + ε0 f(z)

d

dzezr

]dz

=

∫

L

[δ1 z f(z) + ε1 f(z)

− d

dz

(z2 f(z) + δ0 z f(z) + ε0 f(z)

)]ezr dz

+

∫

L

d

dz

(z2 f(z) ezr + δ0 z f(z) ezr + ε0 f(z) ezr)

dz.

385


Scegliendo un cammino di integrazione tale che agli estremi l’espressio-ne: (

z2 f(z) + δ0 z f(z) + ε0 f(z))

ezr (4.178)

acquisti lo stesso valore, basta per la validita di (4.174) che sia soddisfattal’equazione differenziale:

δ1 z f(z) + ε1 f(z) − d

dz

(z2 f(z) + δ0 z f(z) + ε0 f(z)

)= 0. (4.179)

La (4.179) si puo scrivere

f ′(z)

f(z)=

(δ1 − 2)z + ε1 − δ0

z2 + δ0z + ε0=

β1

z − c1+

β2

z − c2, (4.180)

essendo c1 e c2 le radici dell’equazione

z2 + δ0 z + ε0 = 0. (4.181)

Dal confronto fra il secondo e il terzo membro di (4.180) segue

β1 + β2 = δ1 − 2, (4.182)

β1 c2 + β2 c1 = δ0 − ε1, (4.183)

da cui

β1 =c1δ1 − 2c1 − δ0 + ε1

c1 − c2,

β2 =c2δ1 − 2c2 − δ0 + ε1

c2 − c1,

(4.184)

e badando che, per la (4.181), δ0 = −(c1 + c2):

β1 =ε1 + δ1c1

c1 − c2− 1, β2 =

ε1 + δ1c2

c2 − c1− 1, (4.185)

ovvero ponendo per comodita:

β1 = α1 − 1, β2 = α2 − 1, (4.186)

con che:

α1 =ε1 + δ1c1

c1 − c2, α2 =

ε1 + δ1c2

c2 − c1. (4.187)

386


si ha, integrando la (4.180) e contentandoci di una soluzione particolare:

f(z) = (z − c1)α1 − 1 (z − c2)

α2 − 1 . (4.188)

La rappresentazione integrale (4.174) assume allora la forma

u =

∫

L

ezr (z − c1)α1 − 1 (z − c2)

α2 − 1 dz, (4.189)

e la condizione a cui il cammino di integrazione L deve soddisfare perche la(4.189) sia valida, che cioe l’espressione (4.178) riacquisti il valore inizialealla fine dell’intervallo di integrazione, si pone nella forma semplice:

∫

L

d

dz

(ezr (z − c1)

α1 (z − c2)α2

)dz = 0. (4.190)

quando si badi che r2 + δ0z + ε0 = (z − c1)(z − c2)

4.12 Forze di polarizzazione fra atomi diidrogeno

Usiamo le consuete unita elettroniche (~ = e = m = 1; unita di energiae2/a0 = 2Ry). Consideriamo i due atomi alla distanza R, che supporremogrande (R misura la distanza in raggi di Bohr). Poiche le autofunzioni deisingoli atomi diminuiscono esponenzialmente con il raggio, sara lecito - perlo studio di un’interazione che tende a zero secondo una potenza finita neg-ativa di R - supporre gli atomi perfettamente separati e di piccole dimen-sioni rispetto a R. In particolare non ha luogo la distinzione fra soluzionesimmetrica negli elettroni o antisimmetrica negli stessi (riguardiamo i pro-toni come fissi per riguardo alla loro massa). In realta la separazionedi risonanza fra ortoidrogeno e paraidrogeno diminuisce esponenzialmentecon R. Gli atomi essendo neutri l’interazione e nulla in prima approssi-mazione. Noi vogliamo calcolare “approssimativamente” la seconda ap-prossimazione valendoci del cosiddetto metodo di Ritz. L’autofunzioneimperturbata negli elettroni e (a meno del fattore di normalizzazione):

ψ0 = e−(r1 + r2), (4.191)

387


essendo r1 la distanza del primo elettrone dal primo nucleo e r2 quella delsecondo elettrone dal secondo nucleo; ψ0 e cosı semplicemente il prodottodell’autofunzione del primo elettrone per l’autofunzione del secondo e cioe lecito per la trascurabilita della risonanza in questo caso limite. Le aut-ofunzioni imperturbate corrette si otterrebbero notoriamente da ψ0 scam-biando l’ufficio dei due elettroni e quindi sommando (soluzione simmetrica)o sottraendo (soluzione antisimmetrica). L’espressione dell’Hamiltonianaimperturbata e nelle nostre unita:

H = − 1

2∆′

2 − 1

2∆′′

2 − 1

r1− 1

r2. (4.192)

La perturbazione dovuta alla mutua presenza di 2 atomi deriva dai dipolivariabili degli atomi stessi e vale per grandi R:

δH = − 2x1x2 − y1y2 − z1z2

R3, (4.193)

con ovvio significato delle lettere. Noi ci proponiamo di determinare ap-prossimativamente l’autofunzione perturbata con la posizione

ψ = ψ0 + c δH ψ0, (4.194)

essendo c una costante per ora arbitraria. Per calcolare c consideriamol’energia media

W =

∫ψ (H + δH) ψ dτ

/∫ψ2 dτ (4.195)

e badando che Hψ0 = −ψ0; inoltre che∫

ψ20 δH dτ = 0 (4.196)

∫(δH)2 ψ2

0 dτ =6

R6

∫ψ2

0 dτ (4.197)

∫(δH)3 ψ2

0 dτ = 0 (4.198)

e infine che:∫

ψ0 (δH) H (δH) ψ0 dτ = −∫

(δH)2 ψ20 dτ

+

∫ψ0 (δH) (H (δH) − (δH) H) ψ0 dτ = 0, (4.199)

388


segue con facili calcoli:

W = − 1 − 12c/R6

1 + 6c2/R6, (4.200)

ovvero, poiche ci siamo posti nel caso limite R →∞

W = − 1 +12

R6c +

6

R6c2 (4.201)

la condizione dW/dc = 0 importa c = −1; in conseguenza

W = − 1 − 6/R6. (4.202)

Il metodo da dunque, nelle ordinarie unita, −6e2/a0R6 come potenziale

delle forze di polarizzazione; questo risultato e abbastanza vicino a quelloesatto ottenuto da Landau per altra via (−6.47e2/a0R

6) e il senso dell’errorequale deve essere per una nota proprieta dei metodi di minimo applicatiallo stato fondamentale di un sistema. Per le autofunzioni perturbate siavra approssimativamente, ponendo c = −1 in (4.194):

ψ = e−(r1 + r2) + (1/R3)(2x1x2 − y1y2 − z1z2) e−(r1 + r2). (4.203)

L’approssimazione per l’autofunzione sara naturalmente meno soddisfacenteche per l’autovalore.

4.13 Rappresentazione integrale dellefunzioni di Bessel

L’equazione differenziale delle funzioni di Bessel:

y′′ +1

xy′ +

(1 − λ2

x2

)y = 0, (4.204)

si semplifica ponendo

y = xλ u. (4.205)

389


Infatti, sostituendo in (4.204) e dividendo per xλ, si ottiene

u′′ +2λ + 1

xu′ + u = 0. (4.206)

che e un caso particolare dell’equazione di Laplace (4.173) con i valori dellecostanti: δ0 = 0, δ1 = 2λ + 1, ε0 = 1, ε1 = 0. E quindi trasportabile alnostro caso lo sviluppo (4.189). Le costanti che ivi appariscono sarannonel nostro caso per le (4.181) e (4.187) del §11:

c1 = i, c2 = −i, α1 = α2 =2λ + 1

2, (4.207)

con che, disponendo di un’arbitraria costante moltiplicativa:

u = k

∫

L

ezx (z2 + 1

)λ− 1/2dz, (4.208)

con la condizione complementare:

[ezx (

z2 + 1)λ + 1/2

]B

A

= 0, (4.209)

essendo A e B gli estremi del campo di integrazione. Punti di diramazionedella funzione integranda sono i punti +i e −i. Ponendo z = it, punti didiramazione saranno i punti ±1 e in luogo di (4.208) e (4.209) dovremoporre:

u = k

∫

C

eitx (t2 − 1

)λ− 1/2dt, (4.210)

[eitx (

t2 − 1)λ + 1/2

]

C

= 0. (4.211)

Per definire(t2 − 1

)λ+1/2nel piano complesso dobbiamo dare una defini-

zione univoca di log(t2 − 1).Dividiamo pertanto il piano complesso mediante due semirette che par-tono dai punti di diramazione ±1, verso l’asse positivo degli immaginari,e definiamo log(t2 − 1) positivo (e reale) per t > 1, mentre negli altri casiassume i valori che si deducono per continuita senza attraversare le lineedi diramazione. Definiamo poi la funzione di Hankel H1

λ:

H1λ =

Γ (1/2− λ) (1/2x)λ

π i Γ (1/2)

∫eitx (

t2 − 1)λ− 1/2

dt. (4.212)

390


- 1

H2

λ

+ 1

H1

λ

La condizione (4.211) essendo riempita, sara H1λ una soluzione di (4.204).

In modo analogo si definisce H2λ sul cammino di sinistra. Per x reale si ha

H1λ = H1∗

λ e in generale, come si deduce dal comportamento per x → 0:

Iλ =1

2(H1

λ + H2λ), Nλ =

1

2i(H1

λ − H2λ), (4.213)

essendo Iλ e Nλ funzioni rispettivamente di Bessel e di Neumann. Segueper x reale:

H1λ(x) = Iλ(x) + i Nλ(x); (4.214)

e saranno Iλ e Nλ due soluzioni reali di (4.204), la prima regolare per x = 0e la seconda in quadratura con la prima, per x →∞.

Vogliamo ora calcolare l’andamento asintotico di H1λ(x) per x →∞ (x

reale). Poniamo

t = 1 + is

x, (4.215)

t2 − 1 = 2is

x− s2

x2, (4.216)

s andra da ∞ a 0 e poi da 0 a ∞; giusta le convenzioni fatte log(t2 − 1)avra nel primo tratto il suo valore principale diminuito di 2π, e nel secondotratto il suo valore principale (cioe parte immaginaria in valore assolutoπ). Segue, dopo varie trasformazioni

H1λ(x) =

√2

πx

exp i (x− λπ/2− π/4)Γ (λ + 1/2)

391


×∫ ∞

0

e−s sλ− 1/2(

1 +is

2x

)λ− 1/2ds. (4.217)

Segue asintoticamente per x →∞:

H1λ(x) ∼

√2

πxexp i (x− λπ/2− π/4) . (4.218)

4.14 Simmetria cubica

Le 24 rotazioni (proprie) che trasportano gli assi x, y, z negli stessi assi,astrazion fatta dall’ordine e dal verso, costituiscono un gruppo olomorfo algruppo delle permutazioni di 4 oggetti. La corrispondenza olomorfa puostabilirsi nel modo seguente:

I - Classe identica (1+)

rotazioni permutazionicoseni direttori angolodella rotazione di rotazione

0 permutazione identica

II - Classe 21 (6−)


0 1/√

2 1/√

2

1/√

2 0 1/√

2

1/√

2 1/√

2 0

0 1/√

2 −1/√

2

−1/√

2 0 1/√

2

1/√

2 −1/√

2 0

180o

180o

180o

180o

180o

180o

(14)(24)(34)(23)(31)(12)

392


III - Classe 02 (3+)


1 0 00 1 00 0 1

180o

180o

180o

(14) (23)(24) (31)(34) (12)

IV - Classe 101 (8+)


1/√

3 1/√

3 1/√

3

1/√

3 1/√

3 1/√

3

120o

240o

(123)(321)(234)(314)(124)(324)(134)(214)

V - Classe 0001 (6−)


(1234)(2314)(3124)(3214)(1324)(2134)

Per la dimostrata identita del nostro gruppo con quello delle per-mutazioni di 4 oggetti, esso ammette 5 rappresentazioni irriducibili χs

(s = 1, 2, 3, 4, 5), i cui caratteri sono dati nel §4.7 (f = 4). Una rap-presentazione irriducibile Dj (j intero) del gruppo totale delle rotazionispaziali e altresı una rappresentazione, in generale riducibile, del nostro

393


gruppo. Riducendo questa si otterra ns volte la rappresentazione χs, se ns

e il valor medio di χj ·χ∗s preso negli elementi del nostro gruppo. I carat-teri Dj valgono sin(2j + 1)ω/ sin ω, se ω = α/2 e la meta dell’angolo dirotazione. Per le 5 classi del nostro gruppo avremo quindi ordinatamentecome valori di χj

2 j + 1, (−1)j , (−1)j ;

1 − resto dij

3, 1 + resto di

j

2− resto di

j

4.

Abbiamo cosı tutti gli elementi per il calcolo delle frequenze ns delle singolerappresentazioni irriducibili; considerando queste nell’ordine che risultadalla tabella del §4.7, per f = 4, si trova

n1 =j

12+ 1 − 1

2

(resto di

j

2

)− 1

3

(resto di

j

3

)

− 1

4

(resto di

j

4

)(4.219)

n2 =j

4− 1

2

(resto di

j

2

)+

1

4

(resto di

j

4

)(4.220)

n3 =j

6− 1

2

(resto di

j

2

)+

1

3

(resto di

j

3

)(4.221)

n4 =j

4+

(resto di

j

2

)− 1

4

(resto di

j

4

)(4.222)

n5 =j

12− 1

3

(resto di

j

3

)+

1

4

(resto di

j

4

). (4.223)

Badando che i gradi delle rappresentazioni irriducibili sono ordinatamente1,3,2,3,1, si ha naturalmente

n1 + 3 n2 + 2 n3 + 3 n4 + n5 = 2 j + 1. (4.224)

Si constatera che al limite per grandi valori di j la frequenza con cui sipresentano le varie irriducibili e proporzionale ai loro gradi, come nellarappresentazione normale. Noti i valori ns per un certo valore di j si passaimmediatamente a quelli corrispondenti a j + 12q mediante la tabella:

394


j′ = j + 12 q

n′1 = n1 + 1·qn′2 = n2 + 3·qn′3 = n3 + 2·qn′4 = n4 + 3·qn′5 = n5 + 1·q

in cui i fattori di q sono precisamente i gradi delle rappresentazioni ir-riducibili. Bastera quindi calcolare gli ns da j = 0 a j = 11. La seguentetabella riassume i risultati:

j n1 n2 n3 n4 n5

0 1 0 0 0 01 0 0 0 1 02 0 1 1 0 03 0 1 0 1 14 1 1 1 1 05 0 1 1 2 06 1 2 1 1 17 0 2 1 2 18 1 2 2 2 09 1 2 1 3 110 1 3 2 2 111 0 3 2 3 112 1+1 0+3 0+2 0+3 0+113 0+1 0+3 0+2 1+3 0+1. . . . . . . . . . . . . . . . . .

395


4.15 Formole

(1) Volume e superficie di una sfera a n dimensioni di raggio R:

Vn =πn/2

(n/2)!Rn,

Sn =n

RVn = n

πn/2

(n/2)!Rn−1 =

2π

RVn−2.

(4.225)

Vn =R

2πSn+2, Sn =

2π

RVn−2 (4.226)

Vn =R

nSn, Sn =

n

RVn (4.227)

Vn =2π

nVn−2, Sn =

2π

n− 2Sn−2. (4.228)

n Vn/Rn Vn/Vn−1 Sn/Rn−1 Sn/Sn−1

1 2 2

2 π1

2π 2π π

34

3π

4

34π 2

41

2π2 3

8π 2π2 1

2π

58

15π2 16

15

8

3π2 4

3

61

6π3 5

16π π3 3

8π

(2) Siano a e b numeri positivi o nulli interi o mezzi e c uno dei numeri:

c = a + b, a + b − 1, a + b− 2, . . . , |a − b|. (4.229)

396


Vale l’identita:

a+b−c∑s=0

(c + a− b + s)! (2b− s)!

s! (a + b− c− s)!

=(a + b + c + 1)! (c + a− b)! (c + b− a)!

(2c + 1)! (a + b− c)!. (4.230)

Il primo membro della (4.230) e, come il secondo, simmetrico in a eb; per verificarlo basta porre in luogo di s: a + b− c− s.Poniamo per semplicita f(a, b, c) in luogo del primo membro della(4.230) e supponiamo l’identita dimostrata fino a un certo valore dia; dimostriamo allora che vale anche per a + 1/2. Infatti:

f (a + 1/2, b, c + 1/2)

=

a+b−c∑s=0

(c + a− b + s + 1)(c + a− b + s)! (2b− s)!

s! (a + b− c− s)!

= (c + a− b + s) f(a, b, c)

+

a+b−c−1∑s=0

(c + a− b + 1 + s)! (2b− 1− s)!

s! (a + b− 1− 1− s)!

= (c + a− b + s) f(a, b, c) + f (a, b− 1/2, c + 1/2) . (4.231)

Sostituendo nei secondi membri, mediante (4.230) troviamo immedi-atamente che l’identita e soddisfatta anche per f(a+1/2, b, c+1/2).Quando la condizione α non e soddisfatta in uno dei termini del sec-ondo membro si puo porre f(a, b, c) = 0, e la (4.231) e ancora valida.Per completare la dimostrazione dell’identita (4.230) bastera quindiprovare che essa regge per a = 0 e, necessariamente, b = c. In questocaso la sommatoria si riduce a un termine solo: (2c)!, e tale e ancheil valore del secondo membro.

397


4.16 Onde piane secondo la teoria di Dirac

Scegliendo le componenti in modo che sia soddisfatta l’equazione [prima eseconda coppia di ψ invarianti relativisticamente]

(W

c+ ρ3 (σ·p) + ρ1 m c

)ψ = 0 (4.232)

si hanno, per dati valori di px, py, pz due onde positive

W/c =√

p2 + m2c2

e due onde negativeW/c = −

√p2 + m2c2.

In un punto dato possiamo porre:

ψ′ = 1·ψ1 + 0·ψ2 − 1

mc

(W

c+ pz

)ψ3 − 1

mc(px + ipy) ψ4

ψ′′ =1

mc(px − ipy) ψ1 − 1

mc

(W

c+ pz

)ψ2 + 0·ψ3 + 1·ψ4,

(4.233)avendosi per W > 0 le onde positive e per W < 0 le onde negative; lequattro onde sono ortogonali e inoltre fra le due onde positive, oppure frale due onde negative, si annulla la corrente di transizione.

Scegliamo le componenti di ψ in modo che in luogo della (4.232) valgal’equazione (originale di Dirac)36:

(W

c+ ρ1 (σ·p) + ρ3 m c

)ψ = 0 (4.234)

(ψ1 e ψ2 componenti piccole per piccole velocita; ψ3 e ψ4 componentigrandi). In un punto e in un istante dato si puo porre:

ψ′ = − pz

W/c + mcψ1 − px + ipy

W/c + mcψ2 + 1·ψ3 + 0·ψ4

ψ′′ = − px − ipy

W/c + mcψ1 +

pz

W/c + mcψ2 + 0·ψ3 + 1·ψ4;

(4.235)

36∗ Per p = 0, la prima coppia di componenti di ψ rappresenta gli stati negativi,la seconda coppia gli stati positivi.

398


per W/c = ±√

p2 + m2c2 onde positive e negative, rispettivamente.

Ponendo

φ1 = (1 , 0 , 0 , 0), φ2 = (0 , 1 , 0 , 0)

φ3 = (0 , 0 , 1 , 0), φ4 = (0 , 0 , 0 , 1)

e quindi

ψ = (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4) = ψ1 φ1 + ψ2 φ2 + ψ3 φ3 + ψ4 φ4,

nella rappresentazione in cui vale l’equazione (4.232), e analogamente

ψ =(ψ1, ψ2, ψ3, ψ4

)= ψ1 φ1 + ψ2 φ2 + ψ3 φ3 + ψ4 φ4,

nella rappresentazione in cui vale l’equazione (4.234), fra le autofunzioni φe φ passano, a meno di un arbitrario fattore di fase, le relazioni:

φ1 =1√2

(φ1 + φ3), φ1 =1√2

(φ1 + φ3)

φ2 =1√2

(φ2 + φ4), φ2 =1√2

(φ2 + φ4)

φ3 =1√2

(φ1 − φ3), φ3 =1√2

(φ1 − φ3)

φ4 =1√2

(φ2 − φ4), φ4 =1√2

(φ2 − φ4).

(4.236)

Seguono le relazioni ψ = εψ e ψ = ε−1ψ = εψ, con

ε =

1/√

2 0 1/√

2 0

0 1/√

2 0 1/√

2

1/√

2 0 −1/√

2 0

0 1/√

2 0 −1/√

2

= ε−1 =

1√2

(ρ1 + ρ3) .

(4.237)

Dati i valori di (px, py, pz) = p, indichiamo con y1p e y2

p le onde pianepositive (4.233) e con y3

p e y4p le onde piane negative che si ottengono

399


scambiando W in −W ; analogamente, indichiamo con z1p e z2

p le ondepositive (4.235) e con z3

p e z4p le onde negative. Intendiamo che tutte siano

normalizzate con densita 1 (ψ∗ψ = 1). In un certo istante fra le y e le zpassano le relazioni:

z∗p =∑

i

Sik yip, (4.238)

y∗p =∑

i

S−1ik zi

p, (4.239)

essendo

S = S−1 =

A +pz

mc√2AB

px + ipy

mc√2AB

0 0

px − ipy

mc√2AB

−A +

pz

mc√2AB

0 0

0 0 −A′ − pz

mc√2A′B′

px + ipy

mc√2A′B′

0 0

px − ipy

mc√2A′B′

A′ − pz

mc√2A′B′

(4.240)con

A =

√p2 + m2c2 + mc

mc, A′ =

√p2 + m2c2 −mc

mc

B =

√p2 + m2c2 + pz

mc, B′ =

√p2 + m2c2 − pz

mc

(4.241)

(segue: A + A′ = B + B′. Per p = 0 si ha: A = 2, A′ = 0, B = 1, B′ = 1.)

Chiameremo brevemente rappresentazione R1 quella in cui vale l’equa-zione (4.232) e rappresentazione R2 quella in cui vale l’equazione (4.234).Le matrici σx, σy, σz descrivono ovviamente gli stessi operatori Sx, Sy, Sz

sia nella rappresentazione R1 che nella rappresentazione R2 a causa della

400


proprieta:

σρ1 + ρ3√

2=

ρ1 + ρ3√2

σ. (4.242)

Al contrario, uno stesso operatore γ, e rappresentato da ρ3 in R1 e da ρ1

in R2 e un secondo operatore γ1 e rappresentato d ρ1 in R1 e da ρ3 in R2.L’equazione di Dirac puo cosı scriversi in entrambe le rappresentazioni:

(W

c+ γ (ξ·p) + γ1 m c

)ψ = 0. (4.243)

Gli operatori ξ e γ trasformano fra loro le combinazioni delle quattro ondepiane corrispondenti a dai valori di p. Le matrici che li rappresentano sononaturalmente diverse secondo che si considerino come vettori unitari ortog-onali le onde piane normalizzate (4.233), cioe le yi

p, ovvero le onde pianenormalizzate (4.235), cioe le zi

p, le matrici corrispondenti al secondo casoottenendosi da quelle corrispondenti al primo per trasformazione medianteS [da non confondere con lo spin (4.240) S = (Sx, Sy, Sz)].

Nel primo caso (onde piane yip) abbiamo:

(i) Sz =

saz sb

z

sb †z sc

z

, Sx =

sax sb

x

sb †x sc

x

, Sy =

say sb

y

sb †y sc

y

(4.244)in cui le sotto-matrici sono date da [(aij)

† = (aji)∗]

saz =

2 + B2 −BB′

B(B + B′)2

px − ipy

mcB(B + B′)

2

px + ipy

mcB(B + B′)

2 + B2 −BB′

B(B + B′)

sbz =

−2BB′ − 1

(B + B′)√

BB′ 2

px − ipy

mc(B + B′)

√BB′

2

px + ipy

mc(B + B′)

√BB′ 2

BB′ − 1

(B + B′)√

BB′

401


scz =

2 + B′2 −BB′

B′(B + B′)2

px − ipy

mcB′(B + B′)

2

px + ipy

mcB′(B + B′)

2 + B′2 −BB′

B′(B + B′)

sax =

2

px

mcB + B′ − 2

B + B′

− 2

B + B′ −2

px

mcB + B′

sbx =

2pzpx

m2c2

(B + B′)√

BB′ +ipy

mc√BB′ −

2pz

mc(B + B′)

√BB′

−2

pz

mc(B + B′)

√BB′

2pzpx

m2c2

(B + B′)√

BB′ +ipy

mc√BB′

scx =

−2

px

mcB + B′

2

B + B′

2

B + B′ 2

px

mcB + B′

say =

2

py

mcB + B′ i

2

B + B′

−i2

B + B′ −2

py

mcB + B′

402


sby =

2pzpy

m2c2

(B + B′)√

BB′ −ipx

mc√BB′ i

2pz

mc(B + B′)

√BB′

−i2

pz

mc(B + B′)

√BB′ −

2pzpy

m2c2

(B + B′)√

BB′ −ipx

mc√BB′

scy =

−2

py

mcB + B′ −i

2

B + B′

i2

B + B′ 2

py

mcB + B′

(ii) γ =

γa γb

γb † γc

, γ1 =

γa1 γb

1

γb †1 γc

1

(4.245)

con

γa =

2

B(B + B′)− 1 2

px − ipy

mcB(B + B′)

2

px + ipy

mcB(B + B′)

1 − 2

B(B + B′)

γb =

2

(B + B′)√

BB′ 2

px − ipy

mc(B + B′)

√BB′

2

px + ipy

mc(B + B′)

√BB′ − 2

(B + B′)√

BB′

γc =

2

B′(B + B′)− 1 2

px − ipy

mcB′(B + B′)

2

px + ipy

mcB(B + B′)

1 − 2

B′(B + B′)

403


γa1 =

− 2

B + B′ 0

0 − 2

B + B′

γb1 =

−2

pz

mc(B + B′)

√BB′ −

px − ipy

mc√BB′

px + ipy

mc√BB′ −

2pz

mc(B + B′)

√BB′

γc1 =

2

B + B′ 0

02

B + B′

(iii) γ Sz =

γaz γb

z

γb †z γc

z

, γ Sx =

γax γb

x

γb †x γc

x

,

γ Sy =

γay γb

y

γb †y γc

y

,

(4.246)

con

γaz =

−2

pz

mcB + B′ 0

0 −2

pz

mcB + B′

γbz =

2√

BB′

B + B′ 0

02√

BB′

B + B′

404


γcz =

2pz

mcB + B′ 0

02

pz

mcB + B′

γax =

−2

px

mcB + B′ 0

0 −2

px

mcB + B′

γbx =

−2

pzpx

m2c2

(B + B′)√

BB′ −ipy

mc√BB′

1√BB′

− 1√BB′ −

2pzpx

m2c2

(B + B′)√

BB′ +ipy

mc√BB′

γcx =

2px

mcB + B′ 0

02

px

mcB + B′

γay =

−2

py

mcB + B′ 0

0 −2

py

mcB + B′

γby =

−2

pzpy

m2c2

(B + B′)√

BB′ +ipx

mc√BB′ − i√

BB′

− i√BB′ −

2pzpy

m2c2

(B + B′)√

BB′ −ipx

mc√BB′

405


γcy =

2py

mcB + B′ 0

02

py

mcB + B′

.

Se assumiamo come vettori unitari le onde piane (4.234) normalizzateall’unita di densita (ψ∗ψ = 1), le matrici che rappresentano gli operatoriSz, Sx, Sy, γ, γ1, γSz, γSx, γSy si ottengono dalle precedenti per trasfor-mazione mediante S [(v. (4.240)]. E piu comodo calcolarle direttamente;esse hanno la forma seguente:

β =v

c=

p√p2 + m2c2

βx =vx

c=

px√p2 + m2c2

βy =vy

c=

py√p2 + m2c2

βz =vz

c=

pz√p2 + m2c2

[velocita dell’elettrone positivo: (vx, vy, vz); velocita dell’elettrone nega-tivo: (−vx,−vy,−vz); velocita assoluta nei due casi v]

Sz =

saz sb

z

sb †z sc

z

, Sx =

sax sb

x

sb †x sc

x

, Sy =

say sb

y

sb †y sc

y

(4.247)con

saz =

1 − β2x + β2

y

1 +√

1− β2

βz(βx − iβy)

1 +√

1− β2

βz(βx + iβy)

1 +√

1− β2−1 +

β2x + β2

y

1 +√

1− β2

406


sbz =

β2x + β2

y

β−βz(βx − iβy)

β

−βz(βx + iβy)

β−β2

x + β2y

β

scz =

1 − β2x + β2

y

1−√

1− β2

βz(βx − iβy)

1−√

1− β2

βz(βx + iβy)

1−√

1− β2−1 +

β2x + β2

y

1−√

1− β2

,

sax =

βzβx

1 +√

1− β21 − β2 − βx(βx − iβy)

1 +√

1− β2

1 − β2 − βx(βx + iβy)

1 +√

1− β2

βzβx

1 +√

1− β2

sbx =

−βzβx

β

β2 − βx(βx − iβy)

β

β2 − βx(βx + iβy)

β

βzβx

β

scx =

βzβx

1−√

1− β21 − β2 − βx(βx − iβy)

1−√

1− β2

1 − β2 − βx(βx + iβy)

1−√

1− β2− βzβx

1−√

1− β2

e cosı via.

Scriviamo l’equazione di Dirac senza campo:

(W

c+ (α·p) + β m c

)ψ = 0. (4.248)

Le funzioni di spin di un’onda piana con momenti px, py, pz si ottengono daquelle pertinenti alle onde con momento nullo mediante una trasformazione

407


relativistica (rotazione nel piano tp). Si trova in base alle note leggi ditrasformazione degli spinori:

up =

√1 +

√1 + (p/mc)2

2∓ α·p/mc√

2(1 +

√1 + (p/mc)2

)

u0, (4.249)

il segno superiore valendo per le onde positive, quello inferiore per le ondenegative. Le funzioni di spin cosı ottenute sono normalizzate nel sensoinvariante:

(u†pup

)2

−(u†pαxup

)2

−(u†pαyup

)2

−(u†pαzup

)2

= 1. (4.250)

Le funzioni di spin normalizzate nel modo ordinario (u′†p u′p = 1) sarannoinvece date da:

u′p =up

4√

1 + (p/mc)2(4.251)

=

(√1 +

√1 + (p/mc)2

2√

1 + (p/mc)2∓

√−1 +

√1 + (p/mc)2

2√

1 + (p/mc)2α·pp

)u0.

(4.252)

4.17 Operatori impropri

Sia u(x, y, z) una funzione arbitraria di x, y, z che potremo sviluppare incomponenti armoniche:

u(γ1, γ2, γ3) =

∫α(x, y, z) e2πi (γ1x + γ2y + γ3z) dγ1 dγ2 dγ3, (4.253)

essendo

α(γ1, γ2, γ3) =

∫u(x, y, z) e−2πi (γ1x + γ2y + γ3z) dx dy dz. (4.254)

408


Chiameremo F r l’operatore che trasforma u in una funzione v:

v(x, y, z) = F r u(x, y, z) (4.255)

definita dallo sviluppo in integrale di Fourier:

v(γ1, γ2, γ3) =

∫λr α(x, y, z) e2πi (γ1x + γ2y + γ3z) dγ1 dγ2 dγ3,

(4.256)essendo:

λ =1

γ=

1√γ21 + γ2

2 + γ23

(4.257)

la lunghezza d’onda di ogni componente armonica (γ1, γ2, γ3). Valgonoevidentemente le proprieta

F r F s = F s F r = F r+s, F 0 = 1. (4.258)

Salvo eventuali difficolta di convergenza potremo porre

v(x, y, z) =

∫Kr(x, y, z; x′, y′, z′) u(x′, y′, z′) dx′ dy′ dz′. (4.259)

Sostituendo nell’espressione (4.256) di v(x, y, z) il coefficiente a(γ1, γ2, γ3)mediante la sua espressione (4.254) troviamo:

v(x, y, z) =

∫ ∫λr e2πi

[γ1(x− x′) + γ2(y − y′) + γ3(z − z′)

]

× u(x′, y′, z′) dγ1 dγ2 dγ3 dx′ dy′ dz′, (4.260)

da cui

Kr(x, y, z, x′, y′, z′) =

∫λr e2πi (γ1ξ + γ2η + γ3ζ) dγ1 dγ2 dγ3, (4.261)

essendo

ξ = x − x′, η = y − y′, ζ = z − z′. (4.262)

Eseguendo l’integrale (4.261) dapprima su una sfera di raggio D = 1/λ =√γ21 + γ2

2 + γ23 e ponendo

R =√

ξ2 + η2 + ζ2 =√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2, (4.263)

409


troviamo

Kr(x, y, z, x′, y′, z′) = Kr(R)

=

∫ ∞

0

2 sin 2πsR

R sr−1ds =

(2πR)r−1

πR2

∫ ∞

0

sin t

tr−1dt. (4.264)

Questa formola e utilizzabile per 1 ≤ r < 3; l’espressione valida per r = 1si otterra passando al limite da r = 1 + ε per ε → 0 o, cio che e lo stesso,assumendo il valor medio dell’integrale a secondo membro quando il limitesuperiore si lascia indeterminato. Troviamo cosı:

K1 = 1/πR2 (4.265)

K2 = π/R (4.266)

cioe

F 1 u(x, y, z) =

∫(1/πR2) u(x′, y′, z′) dx′ dy′ dz′ (4.267)

F 2 u(x, y, z) =

∫(π/R) u(x′, y′, z′) dx′ dy′ dz′. (4.268)

Applicando l’operatore Laplaciano ai due membri della (4.268), trovi-amo

∆ F 2 = − 4π2 (4.269)

da cui, essendo F 2 invertibile,

∆ = − 4π2 F−2; (4.270)

relazione che segue immediatamente dalla (4.256). Possiamo definire l’o-peratore

√∆ ponendo: √

∆ = 2πi F−1, (4.271)

che in virtu della (4.270) e della (4.260) potremo scrivere:

√∆ = 2πi F 1 F−2 =

1

2πiF 1 ∆ . (4.272)

Segue allora dalla (4.267)

√∆ u(x, y, z) =

∫1

2π2R2i∆ u(x′, y′, z′) dx′ dy′ dz′. (4.273)

410


Inoltre da (4.271) ricaviamo:

1√∆

=1

2πiF 1, (4.274)

da cui:

1√∆

u(x, y, z) =

∫1

2π2R2iu(x′, y′, z′) dx′ dy′ dz′. (4.275)

4.18 Rappresentazione integrale delleautofunzioni dell’idrogeno

Unita elettroniche (e = m = ~ = 1); χ(r) parte radiale delle autofunzionimoltiplicata per r; ` quanti azimutali, unita di energia 2Rh. Segue:

χ′′ +

(2E +

2

r− `(` + 1)

r2

)χ = 0. (4.276)

Poniamo

χ = rl+1 u. (4.277)

Segue per u l’equazione differenziale:

u′′ + 2` + 1

ru′ +

(2E +

2

r

)u = 0 (4.278)

che e del tipo di Laplace (vedi §4.11) con i seguenti valori delle costanti:

δ0 = 0, δ1 = 2 (` + 1), ε0 = 2E, ε1 = 2. (4.279)

Le costanti definite nella (4.189) e di cui si ha bisogno per la rappresen-tazione integrale di u sono, nel nostro caso (supponiamo E > 0):

c1 = i√

2E, c2 = −i√

2E, (4.280)

α1 = ` + 1 − i/√

2E, α2 = ` + 1 + i/√

2E. (4.281)

411


2 Ei - 2 Ei I

2 Ei-2 Ei -- II

Sostituendo nelle ultime formole (4.189), avremo, a meno di un fattorecostante:

u ∼∫

C

et r(t− i

√2E

)`− i/√

2E (t + i

√2E

)` + i/√

2Edt, (4.282)

purche sia soddisfatta la condizione:

∫

C

d

dt

[et r

(t− i

√2E

)` + 1− i/√

2E (t + i

√2E

)` + 1 + i/√

2E]

dt

= 0. (4.283)

Per r reale e positivo la condizione (4.283) e soddisfatta se gli estremidel campo di integrazione giacciono all’infinito nella direzione negativadell’asse reale.Fissato il campo C di integrazione, dobbiamo ancora dare una definizioneunivoca di log(t− i

√2E) e log(t + i

√2E) per determinare la funzione in-

tegranda.Stabiliamo che sia la parte immaginaria del logaritmo, cosı di (t − i

√2E)

come di (t+ i√

2e), minore o uguale di π. Avremo allora come linee di dis-continuita due semirette passanti dai punti ±i

√2E e parallele al semiasse

reale negativo. Indichiamo con u1 l’integrale (4.282) esteso al cammino I(vedi figura); analogamente definiamo u2 e χ1 in relazione al campo II.Introduciamo una variabile di integrazione piu conveniente ponendo t =i√

2Et1. Scrivendo nuovamente t in luogo di t1 avremo:

u = k

∫ei√

2Etr (t− 1)l − i/√

2E (t + 1)l + i/√

2E dt. (4.284)

I cammini di integrazione I e II risultano dalla figura. Il logaritmo dit− 1 e t + 1 si intende reale rispettivamente per t− 1 > 0 e t + 1 > 0, linee

412


-1 + i

II

-1

1 + i

I

+1

di discontinuita essendo rispettivamente le semirette 1 + ai e 1 − ai, cona > 0.

4.19 Deviazione di un raggio α

dovuta a un nucleo pesante(meccanica classica)

(Si veda il §4.9.)

Sostituendo nella (4.135) mediante la (4.140), troviamo

1

ρ= − k

v2δ2− k

v2δ2cos θ +

1

δsin θ. (4.285)

L’inviluppo delle iperboli (4.285) soddisfa alla (4.285) e all’equazione che siottiene differenziando rispetto a δ; introducendo la distanza l di massimoavvicinamento [formola (4.146)], e badando che ivi W = Mv2/2, e datal’espressione (4.126) di k avremo:

k

v2=

l

2,

413



1

ρ= − l

2δ2− l

2δ2cos θ +

1

δsin θ. (4.286)

Differenziando rispetto a δ e uguagliando a 0 troviamo:

l

δ+

l

δcos θ − sin θ = 0, (4.287)

da cuiδ

l=

1 + cos θ

sin θ. (4.288)

4.20 Diffusione dovuta a un centroa/r − b/r2

Una particella di massa 1 e velocita k attraversa un campo di potenziale

1

r

(1 − r0

r

), (4.289)

repulsivo per r > 2r0, attrattivo per r < 2r0. Si domanda la sezione d’urtoper la diffusione sotto un angolo θ. Nella meccanica classica le equazionidel movimento in coordinate polari saranno:

r2 θ = c (4.290)

r − r θ2 =1

r2− 2r0

r3=

1

r2

(1 − 2r0

r

). (4.291)

Avremo

r = − c2

r2

d2

dθ2

1

r, (4.292)

r θ2 = c2/r3, (4.293)

da cuid2

dθ2

1

r+

1

r+

1

c2

(1 − 2r0

r

)= 0, (4.294)

414


cioed2

dθ2

1

r+

(1 − 2r0

c2

)1

r+

1

c2= 0. (4.295)

Segue:

1

r= − 1

c2γ2+ A cos γθ + B sin γθ |c| > √

2r0, (4.296)

con

γ =

√1 − 2r0

c2, (4.297)

purche sia c <√

2r0. Altrimenti, se c <√

2r0:

1

r=

1

c2ε2+ C eεθ + D e−εθ, con |c| < √

2r0 (4.298)

essendo

ε =

√2r0

c2− 1. (4.299)

Infine, se c =√

2r0:

1

r= − 1

4r0θ2 + f θ + G. (4.300)

Poniamo: z = r cos θ , ξ = r sin θ e supponiamo che le particelleprovengano dall’infinito negativo dell’asse z a una distanza δ dall’asse stessoe con velocita k; supponiamo quindi che la retta ξ = δ sia un asintoto dellatraiettoria (supporremo, ovvero δ positivo). Sara evidentemente c = −kδ.Dovra essere inoltre per θ = π:

r = ∞ ; r =dr

dθθ = − r2 θ

d

dθ

1

r= − c

d

dθ

1

r= − k, (4.301)

cioe,d

dθ

1

r= − 1

δ, θ = π. (4.302)

Segue di qua, secondo il valore di δ:

(1) δ >

√2r0

k:

1

r=

−1

k2δ2 − 2r0+

cos γ(π − θ)

k2δ2 − 2r0+

sin γ(π − θ)

δ γ(4.303)

γ =

√1 − 2r0

k2δ2(4.304)

415


(2) δ =

√2r0

k:

1

r= − 1

4r0(π − θ)2 +

1

δ(π − θ) (4.305)

(3) δ <

√2r0

k:

1

r=

−1

2r0 − k2δ2− cosh ε(π − θ)

2r0 − k2δ2+

sinh ε(π − θ)

δ ε(4.306)

ε =

√2r0

k2δ2− 1. (4.307)

La particella verra diffusa nella direzione θ del secondo asintoto:

(1) θ = π − 2

γarctan γk2δ =

2

γarctan

1

γk2δ− π

(1

γ− 1

).

(2) θ = π − 2k2δ = π − 4r0

δ.

4.21 Il sistema di funzioni ortogonalidefinito da y′′a = (x− a)ya

Ponendo: ξ = x− a; y′′(ξ) = ξy, le soluzioni secolari di

y′′a = (x − a) ya (4.308)

potranno mettersi nella forma:

ya(x) = y(x− a) = y(ξ) (4.309)

cioe:ya(ξ + a) = y(ξ), (4.310)

cosicche la determinazione di tutte le soluzioni regolari di (4.308), cor-rispondenti a tutti gli autovalori di a, si riduce alla determinazione dell’unicasoluzione regolare di

y′′(ξ) = ξ y(ξ). (4.311)

416


Se vogliamo che le ya siano normalizzate rispetto a da dovra essere:∫ ∞

−∞y∗a(x) dx

∫ a+∆

a−∆

ya(x) da = 1, (4.312)

cioe, per le (4.309):∫ +∞

−∞y∗(ξ) dξ

∫ ∆

−∆

y(ξ + ε) dε = 1. (4.313)

Poiche y tende a 0 esponenzialmente per ξ → ∞, il grosso dell’integraleper ∆ → 0 proverra dai grandi valori negativi di ξ. L’espressione asintoticaper ξ →∞ di y sara della forma:

ξ → −∞ : y ∼ A4√−ξ

sin

(2

3(−ξ)3/2 + α

). (4.314)

Per (ε piccolo) e ξ → −∞ avremo:

(− ξ − ε)3/2 ∼ (− ξ )3/2 − 3

2ε (− ε)1/2 + . . . , (4.315)

e quindi:

ξ → −∞ : y(−ξ + ε) ∼ A4√−ξ

sin

(2

3(−ξ)3/2 − ε (− ξ)1/2 + α

)

(4.316)e cosı:

∫ ∆

−∆

y(ξ + ε) dε ∼ (− ξ)−3/4

[cos

(2

3(−ξ)3/2 − ∆ (− ξ)1/2 + α

)

− cos

(2

3(−ξ)3/2 + ∆ (− ξ)1/2 + α

)]. (4.317)

Poniamo:− ξ = ζ2, dξ = − 2 ζ dζ. (4.318)

Avremo, per ξ → −∞:

y ∼ A√ζ

sin

(2

3ζ3 + α

), (4.319)

∫ ∆

−∆

y(ξ + ε) dε ∼ 1

ζ3/2

[cos

(2

3ζ3 − ∆ ζ + α

)

− cos

(2

3ζ3 + ∆ ζ + α

)]. (4.320)

417


Da questo segue facilmente, per ∆ → 0:

∫ ∞

−∞y∗(ξ) dξ

∫ ∆

−∆

y(ξ + ε) dε = π A∗A. (4.321)

Per avere la soluzione normalizzata secondo la (4.312) possiamo quindiassumere:

A = 1/√

π. (4.322)

Applicando la trasformazione di Laplace a (4.311) otteniamo facilmenteper ξ la rappresentazione integrale:

y =i

2π

∫ ∞ eiφ2

∞ eiφ1e−t3/3 etξ dt, (4.323)

π

2< φ1 <

5

6π,

7

6π < φ2 <

3

2π. (4.324)

Specializzando il cammino di integrazione in (4.323), si possono avere rap-presentazioni adatte per il calcolo di y e y′ nel punto zero (I); o dellosviluppo asintotico per ξ →∞ (II); o dello sviluppo asintotico per ξ → −∞(III) 37:

(I) y =1

π

∫ ∞

0

e−p3/3 − pξ/2

×(√

3

2cos

√3

2pξ − 1

2sin

√3

2pξ

)dp.

(II) y =

√ξ

2πe−2ξ3/2/3

∫ ∞

−∞e−p2ξ3/2

cos

(1

3p3 ξ3/2

)dξ.

(III) y =

√−2ξ

π

∫ ∞

−1

e−(2p2 + 2p3/3

)(−ξ)3/2

× sin

[(2

3+

2

3p3

)(− ξ)3/2 +

π

4

]dp.

37Nel manoscritto originale questo paragrafo e incompleto. Esso si conclude conla seguente frase: “Per ξ prossimo a zero, sviluppiamo in I la funzione integranda

secondo le potenze ascendenti di ξ; avremo: e−13 p3

(√3

2. . . . . .”

418


4.22 Sviluppi in integrali di Fourier

(1)1

r=

∫1

πγ2e2πi γ·r dγ (4.325)

con dγ = dγ1dγ2dγ3.

(2)

eikr

r=

∫ [π

(γ2 −

(k + εi

2π

)2)]−1

e2πi γ·r dγ (4.326)

e−ikr

r=

∫ [π

(γ2 −

(k − εi

2π

)2)]−1

e2πi γ·r dγ (4.327)

(con ε > 0, ε → 0).

Segue:

sin kr

r=

∫8π k ε

(4π2γ2 − k2 + ε2)2 + 4k2ε2e2πi γ·r dγ (4.328)

(con ε > 0, ε → 0), cioe:

sin kr

r=

∫1

2γδ

(|γ| − k

2π

)e2πi γ·r dγ

=

∫k

4πγδ

(|γ| − k

2π

)e2πi γ·r dγ. (4.329)

(3)1

r2=

∫π

γe2πi γ·r dγ (4.330)

(si deduce da (4.325) invertendo l’integrale di Fourier).

(4)

F =

0, per r < R,

1/r, per r > R,(4.331)

< F > =

∫cos 2πγR

πγ2e2πi γ·r dγ. (4.332)

419


(5)

F =

1, per r < R,0, per r > R,

(4.333)

< F > =

∫(1/2π2γ3)(sin 2πγR − 2πγR cos 2πγR) e2πi γ·r dγ.

(4.334)

(6)

F = e−αr2=

∫ (π

α

)3/2

e−π2γ2/α e2πi γ·r dγ. (4.335)

(7)

e−kr =

∫8πk

(k2 + 4π2γ2)e2πi γ·r dγ. (4.336)

(8) Sia

f(q) =

∫φ(γ) e2πi γ·q dγ, (4.337)

f ′(q) =

∫U(|γ|) φ(γ) e2πi γ·q dγ, (4.338)

con q = (q1, q2.q3), γ = (γ1, γ2.γ3), Q =√

q21 + q2

2 + q23 , Γ =√

γ21 + γ2

2 + γ23 , allora e:

f ′(q) =

∫U(Γ) φ(γ) e2πi γ·r dγ

=

∫ ∫U(Γ) e2πi γ·q f(q′) e−2πi γ·q′ dγ dq′

=

∫f(q′) dq′

∫U(Γ) e−2πi γ·(q′−q) dγ. (4.339)

e se

U(Γ) =

∫Y (q) e2πi q·γ dq, (4.340)

Y (q) =

∫U(Γ) e−2πi γ·q dγ, (4.341)

risulta:

f ′(q) =

∫Y (q′ − q) f(q′) dq′. (4.342)

420


Ponendo Y (q′ − q) = y(|q′ − q|) (come e lecito), si ha infine:

f ′(q) =

∫y(|q− q′|) f(q′) dq′. (4.343)

4.23 Integrali circolari

I seguenti integrali si estendono da 0 a 2π

∫ 2π

0

dφ

a + b cos φ=

2π√a2 − b2

, [a > |b| > 0] (4.344)

∫ 2π

0

dφ

a2 − b2 cos2 φ=

2π

a√

a2 − b2, [a > b > 0] (4.345)

∫ 2π

0

dφ

a2 cos2 φ + b2 sin2 φ=

2π

ab, [a , b > 0] (4.346)

∫ 2π

0

dφ

(a + b cos φ)n=

2π

(a2 − b2)n/2

×n−1∑r=0

(n− 1

r

) ( −nr

) (−a +√

a2 − b2

2√

a2 − b2

)r

, (4.347)

con a > |b| > 0.Esempi:

∫ 2π

0

dφ

a + b cos φ=

2π√a2 − b2

,

∫ 2π

0

dφ

(a + b cos φ)2=

2π

a2 − b2

(1 +

a−√a2 − b2

√a2 − b2

)

=2πa

(a2 − b2)3/2. (4.348)

421


4.24 Frequenze d’oscillazionedell’ammoniaca

I tre atomi H occupano i vertici di un triangolo equilatero; l’atomo Ne sull’asse fuori del piano. Gli spostamenti linearmente indipendenti chedanno origine a forze elastiche di richiamo sono sei e si ottengono dai dodicispostamenti dei quattro atomi con la condizione che la risultante dei vettoriapplicati in δPi nei punti di riposo P ′i sia nulla.

Definiamo lo spostamento q1 = 1, q2 = q3 = . . . = q6 = 0 come quelloin cui l’atomo H1 si sposta nella direzione NH1 di MN/(MN + MH) el’atomo N nella direzione opposta di una lunghezza MH/(MN + MH).Analogamente, definiamo gli spostamenti qi = δi2 e qi = δi3. Definiamopoi come spostamento qi = δi4 quello in cui l’atomo H3 si sposta di 1/2nella direzione H2H3 e l’atomo H2 di 1/2 nella direzione opposta; perpermutazione circolare definiamo infine gli spostamenti qi = δi5 e qi = δi6.

Indichiamo con α l’angolo (nella posizione di equilibrio) NH1H2 e con

β l’angolo H1NH2. Se D e la distanza di equilibrio NH e d la distanzaH1H2, sara:

cos α =d

2D, cos β = 1 − d2

2D2

(sin

1

2β =

d

2D

). (4.349)

L’energia cinetica e espressa da:

T =1

2

[M2

HMN

(MN + MH)2(q21 + q2

2 + q23 + 2q1q2 cos β + 2q2q3 cos β

+ 2q3q1 cos β) +M2

NMH

(MN + MH)2(q21 + q2

2 + q23

)

+MNMH

MN + MH

cos α

2(q1q5 + q1q6 + q2q6 + q2q4 + q3q4 + q3q5)

+1

2MH

(q4 + q5 + q6 +

1

2q4q5 +

1

2q5q6 +

1

2q6q4

)]. (4.350)

Assumiamo per semplicita MH = 1 e MN = 14; allora ponendo:

T =1

2

∑

i,k

bik q1qk, (bik = bki), (4.351)

422


avremo:

b11 = b22 = b33 = 14/15 (4.352)

b44 = b55 = b66 = 1/2 (4.353)

b12 = b23 = b31 = b21 = b32 = b23 = 14/225 cos β (4.354)

b45 = b56 = b64 = b54 = b65 = b46 = 1/8 (4.355)

b14 = b25 = b36 = b41 = b52 = b63 = 0 (4.356)

b15 = b26 = b34 = b16 = b24 = b35 = b51

= b62 = b43 = b61 = b42 = b53 = 7/15 cos α. (4.357)

La coincidenza di molti elementi della matrice hik e dovuta ad ovvie ragionidi simmetria; basta quindi conoscere sei elementi tipici:

b11 = B1 = 14/15, b44 = B2 = 1/2, b12 = B3 = 14/225 cos β

b45 = B4 = 1/8, b14 = B5 = 0, b15 = B6 = 7/15 cos α.

Analogamente, la matrice che definisce l’energia potenziale

V =1

2

∑

ik

aik q1qk (4.358)

dipendera da sei elementi tipici:

a11 = A1, a44 = A2, a12 = A3

a45 = A4, a14 = A5, a15 = A6. (4.359)

Eseguiamo la trasformazione:

q1 =

√1

3Q1 +

√2

3Q3 (4.360)

q2 =

√1

3Q1 −

√1

6Q3 +

√1

2Q′3 (4.361)

q3 =

√1

3Q1 −

√1

6Q3 −

√1

2Q′3 (4.362)

q4 =

√1

3Q2 +

√2

3Q4 (4.363)

q5 =

√1

3Q2 −

√1

6Q4 +

√1

2Q′4 (4.364)

q6 =

√1

3Q2 −

√1

6Q4 −

√1

2Q′4. (4.365)

423


Avremo allora:

q21 + q2

2 + q23 = Q2

1 + Q23 + Q′23 (4.366)

q24 + q2

5 + q26 = Q2

2 + Q24 + Q′24 (4.367)

q1q2 + q2q3 + q3q1 = Q21 − 1

2Q2

3 − 1

2Q′23 (4.368)

q4q5 + q5q6 + q6q4 = Q22 − 1

2Q2

4 − 1

2Q′24 (4.369)

q1q4 + q2q5 + q3q6 = Q1Q2 + Q3Q4 + Q′3Q′4 (4.370)

q1q5 + q2q6 + q3q4 + q1q6 + q2q4 + q3q5

= 2Q1Q2 − Q3Q4 − Q′3Q′4. (4.371)

L’espressione dell’energia cinetica nelle nuove coordinate sara data quindida:

2T = B1

(Q2

1 + Q23 + Q′23

)+ B2

(Q2

1 + Q24 + Q′24

)

+ 2B3

(Q2

1 − 1

2Q2

3 − 1

2Q′23

)+ 2B4

(Q2

2 − 1

2Q2

4 − 1

2Q′24

)

+ 2B5

(Q1Q2 + Q3Q4 + Q′3Q

′4

)

+ 2B6

(2Q1Q2 − Q3Q4 − Q′3Q

′4

)

= (B1 + 2B3) Q21 + 2 (B5 + 2B6) Q1Q2 + (B2 + 2B4) Q2

2

+ (B1 −B3) Q23 + 2 (B5 −B6) Q3Q4 + (B2 −B4) Q2

4

+ (B1 −B3) Q′23 + 2 (B5 −B6) Q′3Q′4 + (B2 −B4) Q′24 .

(4.372)

Analogamente:

2V = (A1 + 2A3) Q21 + 2 (A5 + 2A6) Q1Q2 + (A2 + 2A4) Q2

2

+ (A1 −A3) Q23 + 2 (A5 −A6) Q3Q4 + (A2 −A4) Q2

4

+ (A1 −A3) Q′23 + 2 (A5 −A6) Q′3Q′4 + (A2 −A4) Q′24 . (4.373)

Avremo quindi due vibrazioni semplici che riguardano le coordinate Q1 eQ2 e due vibrazioni doppie che coinvolgono le coordinate Q3 e Q4, oppureQ′3 e Q′4. I quadrati delle velocita angolari:

λ = 4π2 ν2 (4.374)

424


delle vibrazioni semplici si otterranno dall’equazione secolare:

det

(A1 + 2A3 − λ(B1 + 2B3) A5 + 2A6 − λ(B5 + 2B6)A5 + 2A6 − λ(B5 + 2B6) A2 + 2A4 − λ(B2 + 2B4)

)= 0,

(4.375)mentre le grandezze corrispondenti relative alle vibrazioni degeneri risul-tano da:

det

(A1 −A3 − λ(B1 −B3) A5 −A6 − λ(B5 −B6)A5 −A6 − λ(B5 −B6) A2 −A4 − λ(B2 −B4)

)= 0. (4.376)

4.25 Funzioni sferiche con spin (s = 1)

Sono funzioni di θ e φ a tre componenti che si trasformano secondo D1 eappartengono a determinati valori di j, l, m; il momento angolare totalej puo assumere i valori 0, 1, 2, . . .; il momento orbitale l puo avere i valorij − 1, j, j + 1. Solo per j = 0 la variabilita di l e limitata all’unico valorel = 1.

Si puo porre:

ϕmj,j−1 =

(√(j + m)(j + m− 1)

2j(2j − 1)ϕm−1

j−1 ,

√(j + m)(j −m)

j(2j − 1)ϕm

j−1,

√(j −m)(j −m− 1)

2j(2j − 1)ϕm+1

j−1

),

ϕmj,j =

(√(j + m)(j −m + 1)

2j(2j + 1)ϕm−1

j ,

− m√j(j + 1)

ϕmj , (4.377)

−√

(j + m + 1)(j −m)

2j(2j + 1)ϕm+1

j

),

425


ϕmj,j+1 =

(√(j −m + 1)(j −m + 2)

2(j + 1)(2j + 3)ϕm−1

j+1 ,

−√

(j + m + 1)(j −m + 1)

(j + 1)(2j + 3)ϕm

j+1,

√(j + m + 1)(j + m + 2)

2(j + 1)(2j + 3)ϕm+1

j+1

).

Le funzioni cosı ottenute sono normalizzate e danno luogo alle rappresen-tazioni ordinarie dei momenti angolari. Le ϕm

l sono qui le ordinarie funzionisferiche normalizzate:

ϕml =

1

2l l!

√(2l + 1)(l + m)!

4π(l −m)!(sin θ)−m dl−m

(cos2 θ − 1

)l

(d cos θ)l−meimφ.

(4.378)Fra le funzioni sferiche con spin ϕm

j,l appartenenti a determinati valoridi j e m e a l = j − 1, j, j + 1 passano relazioni di frequente uso.Consideriamo ad esempio l’operatore:

sr =x

rsx +

y

rsy +

z

rsz

=1

2

x− iy

r(sx + isy) +

1

2

x + iy

r(sx − isy) +

z

rsz, (4.379)

essendo al solito

sx =

0 1/√

2 0

1/√

2 0 1/√

2

0 1/√

2 0

, sy =

0 −i/√

2 0

i/√

2 0 −i/√

2

0 i/√

2 0

,

sz =

1 0 00 0 00 0 −1

.

(4.380)Questo operatore e evidentemente scalare e quindi commutabile con j e m.Si verificano le seguenti relazioni:

sr ϕmj,j−1 =

√j + 1

2j + 1ϕm

j,j

426


sr ϕmj,j =

√j + 1

2j + 1ϕm

j,j−1 +

√j

2j + 1ϕm

j,j+1 (4.381)

sr ϕmj,j+1 =

√j

2j + 1ϕm

j,j .

Gli autovalori di sr, cioe gli autovalori di matrici della forma:

0

√j + 1

2j + 10

√j + 1

2j + 10

√j

2j + 1

0

√j

2j + 10

(4.382)

sono naturalmente ±1, 0, come quelli della componente dello spin in unadirezione fissa. Per j = 0 l’unico stato rotazionale permesso (j = 1) cor-risponde a sr = 0.Consideriamo ora funzioni a tre valori di θ, φ e r e introduciamo l’operatore

1

is·grad =

1

2i(sx + isy)

(∂

∂x− i

∂

∂y

)+

1

2i(sx − isy)

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)

+1

isz

∂

∂z. (4.383)

Ponendo, per brevita,

px =1

i

∂

∂x, py =

1

i

∂

∂y, pz =

1

i

∂

∂z,

avremo (1/i)s·grad = s·p. Notando che

(x

rpx +

y

rpy +

z

rpz

)ϕm

j,l = 0, (4.384)

sara:

(s·p) ϕmj,l =

[x2 + y2 + z2

r2(s·p) − 1

r

(x

rpx +

y

rpy +

z

rpz

)sr

]ϕm

j,l

=1

r

[(x

rsy − y

rsx

)(xpy − ypx) +

(y

rsz − x

rsy

)(ypz − zpy)

+(z

rsx − x

rsz

)(zpx − xpz)

]ϕm

j,l,

427


(s·p) ϕmj,l =

1

r

[(x

rsy − y

rsx

)lz +

(y

rsz − x

rsy

)lx

+(z

rsx − x

rsz

)ly

]ϕm

j,l, (4.385)

che si puo anche scrivere

(s·p) ϕmj,l =

1

ir

sz

[1

2

x + iy

r(lx − ily) − 1

2

x− iy

r(lx + ily)

]

+1

2(sx + isy)

[x− iy

rlz − z

r(lx − ily)

](4.386)

+1

2(sx − isy)

[z

r(lx + ily) − x + iy

rlz

]ϕm

j,l,

forma piu conveniente per il calcolo: lx, ly, lz sono le componenti del mo-mento angolare orbitale in unita h/2π. Si trova cosı:

1

i(s·grad ) ϕm

j,j−1 =i

r(j − 1)

√j + i

2j + 1ϕm

j,j ,

1

i(s·grad ) ϕm

j,j = − i

r(j + 1)

√j + i

2j + 1ϕm

j,j−1

+i

rj

√j

2j + 1ϕm

j,j+1,

1

i(s·grad ) ϕm

j,j+1 = − i

r(j + 2)

√j

2j + 1ϕm

j,j .

(4.387)

Le formole (4.381) e (4.387) si possono generalizzare applicando gli opera-tori sr e (1/i)s·grad a funzioni del tipo f(r)ϕm

j,l, poiche si ha evidentemente:

sr f(r) ϕmj,l = f(r) sr ϕm

j,l,

1

i(s·grad ) f(r) ϕm

j,l = f(r)1

i(s·grad ) ϕm

j,l +1

if ′(r) sr ϕm

j,l.

(4.388)Passiamo a una applicazione delle funzioni sferiche con spin. Noi

vogliamo trovare le autofunzioni definite dalla equazione differenziale

1

i(s·grad ) ψ + k ψ = 0. (4.389)

428


Se poniamo

ψ1 =−ψx + iψy√

2, ψx =

ψ3 − ψ1√2

,

ψ2 = ψz, ψy =ψ1 + ψ3√

2,

ψ3 =ψx + iψy√

2, ψz = ψ2,

(4.390)

e riguardiamo ψx, ψy, ψz come componenti di ψ; si ha

1

i(s·grad ) ≡ rot , (4.391)

e la (4.389) si scrive semplicemente:

rot ψ + k ψ = 0. (4.392)

Le soluzioni di (4.392) sono di due tipi: per k 6= 0 si ha div ψ = 0, perk = 0 rot ψ = 0 e quindi ψ = gradΦ, essendo Φ completamente arbitrario.Nel primo caso, badando che:

rot rot = grad (div) − ∆ , (4.393)

sara

∆ ψ + k2 ψ = 0, (4.394)

con la condizione aggiunta div ψ = 0. Le soluzioni di (4.394) ortogonalialle soluzioni precedenti si pongono nella forma ψk = grad Φk, essendo

∆Φk + k2 Φk = 0, (4.395)

e tutte insieme soddisfano alla (4.392) corrispondentemente all’unico auto-valore k = 0. [Considerando soluzioni di (4.394) relative a un determinatok 6= 0, si ha infatti (grad (div))2 = k2grad (div), cosicche gli autovaloridi grad (div) possono essere k2 e 0; nel secondo caso sara (rot)2 = k2 equindi rot = ±k, abbiamo cioe soluzioni di (4.392) per k 6= 0 e quindisara divψ = 0. Nel primo caso sara (rot)2 = 0 e quindi rot ψk = 0, e cosıψk = gradΦk.]

Ritorniamo ora alla rappresentazione originaria delle componenti di ψe riprendiamo la (4.389) supponendo k diverso da zero. Da quanto si e

429


detto nella precedente digressione risulta che dovra essere div ψ = 0, cioenella nostra rappresentazione:

− 1√2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)ψ1 +

∂

∂zψ2 +

1√2

(∂

∂x− i

∂

∂y

)ψ3 = 0. (4.396)

Una soluzione di (4.389) appartenente a dati valori di j e m potra porsinella forma

ψ =u

rϕm

j,j−1 + iv

rϕm

j,j +w

rϕm

j,j+1. (4.397)

A causa di (4.394), possiamo prevedere che u, v, w sono, a meno delfattore comune

√r e a meno di fattori costanti, funzioni di Bessel o di

Hankel di ordine rispettivamente j − 1/2, j + 1/2, j + 3/2. In realta sosti-tuendo mediante (4.397) in (4.389) e tenendo conto di (4.388), (4.387), e(4.381), troviamo:38

k u +

√j + 1

2j + 1

(v′ +

j

rv

)= 0

k v −√

j + 1

2j + 1

(u′ − j

ru

)−

√j

2j + 1

(w′ +

j + 1

rw

)= 0 (4.398)

k w +

√j

2j + 1

(v′ − j + 1

rv

)= 0.

Da questo segue, per k 6= 0 (combinando la prima e la terza delle (4.398)e le loro derivate)

√j

(u′ − j

ru

)−

√j + 1

(w′ +

j + 1

rw

)= 0, (4.399)

che e una traduzione nel nostro caso particolare della (4.396). Dati i valoriiniziali di u e v, ad esempio, restano determinate algebricamente da (4.398)e (4.399) w, u′, v′, w′, cosicche il sistema (4.398) ammette due sole soluzioni,indipendenti. Possiamo eliminare w′ + (w/r)(j+1) mediante la (4.399).Troviamo

k u +

√j + 1

2j + 1

(v′ +

j

rv

)= 0

k v −√

2j + 1

j + 1

(u′ +

j

ru

)= 0.

(4.400)

38∗ Per j = 0, u e v non esistono e si ha semplicemente kw = 0 o, per k 6= 0,w = 0.

430


Eliminando finalmente u, abbiamo:

v′′ +

(k2 − j(j + 1)

r2

)v = 0. (4.401)

Unica soluzione regolare di (4.401) e√

r Jj+1/2(|k|r); sostituendo nellaprima e nell’ultima delle (4.398), otteniamo immediatamente u e w. Bastaricordare le relazioni:

I ′n(x) +n

xIn(x) = In−1(x)

I ′n(x) − n

xIn(x) = − In+1(x),

(4.402)

o, ponendo F =√

x I,

F ′n(x) +

(n− 1

2

)Fn(x)

x= Fn−1(x)

F ′n(x) −(

n +1

2

)Fn(x)

x= −Fn+1(x).

(4.403)

Segue che l’unica soluzione regolare per r = 0 del sistema (4.398) e data,a meno di un fattore costante, da

u = −√

j + 1

2j + 1

√r Ij−1/2(|k|r) · k

|k|v =

√r Ij+1/2(|k|r) (4.404)

w =

√j

2j + 1

√r Ij+3/2(|k|r) · k

|k| .

Due soluzioni singolari indipendenti delle (4.398) si otterranno natural-mente sostituendo alle funzioni di Bessel le funzioni di Hankel di prima edi seconda specie

u1,2 = −√

j + 1

2j + 1

√r H1,2

j−1/2(|k|r) ·k

|k|v1,2 =

√r H1,2

j+1/2(|k|r) (4.405)

w1,2 =

√j

2j + 1

√r H1,2

j+3/2(|k|r) ·k

|k| .

431


Consideriamo il caso piu semplice: j = 1 (per j = 0 non esistonosoluzioni di (4.389) con k 6= 0). Nell’espressione (4.397) di ψ entrano leϕm

1,0, ϕm1,1 e ϕm

1,2, e le funzioni di Bessel e di Hankel di ordine 1/2, 3/2, 5/2.Raccogliamo qui le espressioni esplicite di tali funzioni:

ϕ11,0 =

√1

4π(1 , 0 , 0) (4.406)

ϕ01,0 =

√1

4π(0 , 1 , 0) (4.407)

ϕ−11,0 =

√1

4π(0 , 0 , 1) (4.408)

ϕ11,1 =

√1

4π

(√3

2cos θ ,

√3

4sin θ eiφ , 0

)(4.409)

ϕ01,1 =

√1

4π

(√3

4sin θ e−iφ , 0 ,

√3

4sin θ eiφ

)(4.410)

ϕ−11,1 =

√1

4π

(0 ,

√3

4sin θ e−iφ , −

√3

2cos θ

)(4.411)

ϕ11,2 =

√1

4π

(√9

8cos2 θ −

√1

8,

3

2sin θ cos θ eiφ ,

√9

8sin2 θ e2iφ

)(4.412)

ϕ01,2 =

√1

4π

(3

2sin θ cos θ e−iφ , −

√9

2cos2 θ +

√1

2,

− 3

2sin θ cos θ eiφ

)(4.413)

ϕ−11,2 =

√1

4π

(√9

8sin2 θ e−2iφ , − 3

2sin θ cos θ e−iφ ,

√9

8cos2 θ −

√1

8

)(4.414)

I1/2(x) =

√2

πxsin x (4.415)

432


I3/2(x) =

√2

πx

(− cos x +

sin x

x

)(4.416)

I5/2(x) =

√2

πx

(− sin x − 3

cos x

x+ 3

sin x

x2

)(4.417)

H11/2(x) = − i

√2

πxeix (4.418)

H13/2(x) =

√2

πxeix

(− 1 − i

x

)(4.419)

H15/2(x) =

√2

πxeix

(i− 3

x− 3i

x2

)(4.420)

H21/2(x) = i

√2

πxe−ix, (4.421)

H23/2(x) =

√2

πxe−ix

(− 1 +

i

x

)(4.422)

H25/2(x) =

√2

πxe−ix

(− i− 3

x+

3i

x2

). (4.423)

Sostituiamo con queste in (4.397) trascurando un fattore costante; abbiamoper la soluzione regolare all’origine:

soluzione regolaresegno superiore per k > 0, inferiore per k < 0

ξ = |kr| 39

(a) m = 1:

ψ1 =sin ξ

r

[∓

√3

8

(1 + cos2 θ

)+

i

ξ

√3

2cos θ

± 1

ξ2

√3

2

(3

2cos2 θ − 1

2

)]+

cos ξ

r

[−i

√3

2cos θ

∓ 1

ξ

√3

2

(3

2cos2 θ − 1

2

)](4.424)

39Nel manoscritto originale compare l’annotazione: “(sopprimere dovunque un

fattore ±√

3

8per semplificare le formole).”

433


ψ2 =sin ξ

r

[∓

√3

4sin θ cos θ eiφ +

i

ξ

√3

4sin θ eiφ

± 1

ξ2

√27

4sin θ cos θ eiφ

]+

cos ξ

r

[−i

√3

4sin θ eiφ

∓ 1

ξ

√27

4sin θ cos θ eiφ

](4.425)

ψ3 =sin ξ

r

[∓

√3

8sin2 θ e2iφ± 1

ξ2

√27

8sin2 θ e2iφ

]

+cos ξ

r

[∓1

ξ

√27

8sin2 θ e2iφ

]. (4.426)

(b) m = 0:

ψ1 =sin ξ

r

[∓

√3

4sin θ cos θ e−iφ +

i

ξ

√3

4sin θ e−iφ

± 1

ξ2

√27

4sin θ cos θe−iφ

]+

cos ξ

r

[−i

√3

4sin θ e−iφ

∓ 1

ξ

√27

4sin θ cos θ e−iφ

](4.427)

ψ2 =sin ξ

r

[∓

√3

2

(1− cos2 θ

) ∓ 1

ξ2

√6

(√3

2cos2 θ − 1

2

)]

+cos ξ

r

[±1

ξ

√6

(3

2cos2 θ − 1

2

)](4.428)

ψ3 =sin ξ

r

[±

√3

4sin θ cos θ eiφ +

i

ξ

√3

4sin θ eiφ

∓ 1

ξ2

√27

4sin θ cos θeiφ

]+

cos ξ

r

[−i

√3

4sin θ eiφ

± 1

ξ

√27

4sin θ cos θ eiφ

]. (4.429)

434


(c) m = − 1:

ψ1 =sin ξ

r

[∓

√3

8sin2 θ e−2iφ± 1

ξ2

√27

8sin2 θ e−2iφ

]

+cos ξ

r

[∓1

ξ

√27

8sin2 θ e−2iφ

](4.430)

ψ2 =sin ξ

r

[±

√3

4sin θ cos θ e−iφ +

i

ξ

√3

4sin θ e−iφ

∓ 1

ξ2

√27

4sin θ cos θe−iφ

]+

cos ξ

r

[−i

√3

4sin θ eiφ

± 1

ξ

√27

4sin θ cos θ e−iφ

]

ψ3 =sin ξ

r

[∓

√3

8

(1 + cos2 θ

) − i

ξ

√3

2cos θ

± 1

ξ2

√3

2

(3

2cos2 θ − 1

2

)]+

cos ξ

r

[i

√3

2cos θ

∓ 1

ξ

√3

2

(3

2cos2 θ − 1

2

)]. (4.431)

La funzione d’onda ψ definisce due campi di vettori reali nello spazio or-dinario. Possiamo infatti passare mediante le (4.390) alle componenti di ψsecondo gli assi cartesiani x, y, z e porre

ψ = A + iB, (4.432)

essendo A e B vettori reali. Cioe:

ψx = Ax + i Bx (4.433)

ψy = Ay + i By (4.434)

ψz = Az + i Bz. (4.435)

Sostituendo nelle espressioni precedenti attraverso (4.390) troviamo a menodi un fattore costante (±

√3/4):

435


soluzione regolareξ = |kr|; segno superiore k > 0; segno inferiore k < 0

(a) m = 1:

Ax =sin ξ

r

[1− sin2 θ cos2 φ− 1

ξ2

(1− 3 sin2 θ cos2 φ

)]

+cos ξ

ξr

(1− 3 sin2 θ cos2 φ

),

Ay =sin ξ

r

(− sin2 θ sin φ cos φ±1

ξcos θ

+3

ξ2· sin2 θ sin φ cos φ

)+

cos ξ

r

(∓ cos θ − 3

ξ· sin2 θ sin φ cos φ

),

Az =sin ξ

r

(− sin θ cos θ cos φ∓ 1

ξsin θ sin φ

+3

ξ2· sin θ cos θ cos φ

)+

cos ξ

r

(± sin θ sin φ− 3

ξ· sin θ cos θ cos φ

);

Bx =sin ξ

r

(− sin2 θ sin φ cos φ∓ 1

ξcos θ

+3

ξ2· sin2 θ sin φ cos φ

)+

cos ξ

r

(± cos θ − 3

ξ· sin2 θ sin φ cos φ

),

By =sin ξ

r

[1− sin2 θ sin2 φ− 1

ξ2

(1− 3 sin2 θ sin2 φ

)]

+cos ξ

ξr

(1− 3 sin2 θ sin2 φ

),

Bz =sin ξ

r

(− sin θ cos θ sin φ±1

ξsin θ cos φ

+3

ξ2· sin θ cos θ sin φ

)+

cos ξ

r

(∓ sin θ cos φ− 3

ξ· sin θ cos θ sin φ

).

(b) m = 0

Una formola sulle funzioni sferiche ordinarie:(∂

∂x− i

∂

∂y

)f(r) ϕm

l

= −(

f ′(r) +l + 1

rf(r)

) √(l + m)(l + m− 1)

(2l + 1)(2l − 1)ϕm−1

l−1

436


+

(f ′(r)− l

rf(r)

) √(l −m + 1)(l −m + 2)

(2l + 1)(2l + 3)ϕm−1

l+1 ,

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)f(r) ϕm

l

=

(f ′(r) +

l + 1

rf(r)

) √(l −m)(l −m− 1)

(2l + 1)(2l − 1)ϕm+1

l−1 ,

−(

f ′(r)− l

rf(r)

) √(l + m + 1)(l + m + 2)

(2l + 1)(2l + 3)ϕm+1

l+1 ,

∂

∂zf(r) ϕm

l

=

(f ′(r) +

l + 1

rf(r)

) √(l + m)(l −m)

(2l + 1)(2l − 1)ϕm

l−1

+

(f ′(r)− l

rf(r)

) √(l + m + 1)(l −m + 1)

(2l + 1)(2l + 3)ϕm

l+1.

(4.436)

Se u e una funzione a un valore, poniamo ψ = (ψ1, ψ2, ψ3) = grad u, se

ψ1 = − 1√2

(∂u

∂x− i

∂u

∂y

)

ψ2 =∂u

∂z(4.437)

ψ3 =1√2

(∂u

∂x+ i

∂u

∂y

).

Segue dalle formole precedenti e dalle (4.377):

grad f(r) ϕml =

√l

2l + 1

(f ′(r) +

l + 1

rf(r)

)ϕm

l,l−1

−√

l + 1

2l + 1

(f ′(r)

l

rf(r)

)ϕm

l,l+1 (4.438)

(continua nel §4.29).

437


4.26 Diffusione di elettroni veloci(metodo di Born relativistico)

Consideriamo l’equazione di Dirac senza campo:(

W

c+ ρ1 σ·p + ρ3 mc

)ψ = 0 (4.439)

e risolviamo anzitutto il problema seguente: data una funzione a 4 valoriP (q), che si annulla all’infinito, determinare una soluzione dell’equazionedifferenziale: (

W


)ψ = P (4.440)

(W = costante), con la condizione ai limiti che ψ rappresenti al’infinitoun’onda divergente. Applichiamo ai due membri di (4.440) l’operatoreW

c− ρ1 σ·p− ρ3 mc troviamo:

(W 2

c2− m2c2 − p2

)ψ =

(W

c− ρ1 σ·p − ρ3 mc

)P. (4.441)

Esplicitando l’operatore p e introducendo la costante

k =1

~√

W 2/c2 − m2c2 =1

~ |p|, (4.442)

si ha:

∆ ψ + k2 ψ =

[1

~2

(W

c− ρ3 mc

)+

i

~ ρ1 σ·grad

]P. (4.443)

Da questa segue, come e noto, che la soluzione di (4.443) soddisfacente alladetta condizione ai limiti ha la forma:

ψ(q) = − 1

4π

∫eik|q−q′|

|q− q′|[

1

~2

(W

c− ρ3 mc

)+

i

~ ρ1 σ·grad

]

×P (q′) dq′, (4.444)

che puo essere semplificata mediante integrazione per parti; troviamo cosı,tenendo conto che grad e una variabile sulla variabile indipendente q′:

gradeik|q−q′|

|q− q′| = − q− q′

|q− q′|(

ik − 1

|q− q′|)

eik|q−q′|

|q− q′| , (4.445)

438


la soluzione desiderata:

r = |q − q′|

ψ(q) = − 1

4π

∫eikr

r

[1

~2

(W

c− ρ3 mc

)

− 1

~k + i/r

rρ1 σ·(q− q′)

]P (q′) dq′. (4.446)

Cambiando il segno di k si avrebbe la soluzione di (4.440) che all’infinitorappresenta un’onda convergente.

Supponiamo ora che un’onda piana di elettroni incontri un campo dipotenziale V (se questo deriva da un potenziale scalare sara V = −eφ).L’equazione di Dirac si puo scrivere

(W


)ψ =

V

cψ. (4.447)

Questa equazione puo essere risolta per successive approssimazioni medi-ante il metodo di Born, ponendo

ψ = ψ0 + ψ1 + ψ2 + . . . , (4.448)

dove ψ0 e l’onda piana imperturbata e ψ1, ψ2, . . . si calcolano successiva-mente risolvendo l’equazione differenziale

(W


)ψn =

V

cψn−1 (4.449)

nel modo che si e detto.Limitiamoci alla prima approssimazione e sia ψ0 un’onda piana diretta

secondo l’asse z:

ψ0 = u eikz, k =p

~ , (4.450)

dove u e una funzione di spin che supponiamo normalizzata. Vogliamodeterminare ψ1, a grande distanza R dal punto 0, in prossimita del qualesi trova il campo diffondente, e nella direzione θ, φ. Indichiamo con tun vettore unitario diretto secondo z e con t1 un vettore unitario direttosecondo θ, φ. Avremo ψ0(q

′) = u expikq′·t e, per R →∞:

|q − q′| = R − q′·t1, (R →∞). (4.451)

439


Sostituendo in (4.446) con ψ1 in luogo di ψ e (V/c) ψ0 in luogo di P ,troviamo per R →∞

ψ1(R; θ, φ) = − eikR

4πR

∫e−iq′·(kt1−kt)

[1

~2

(W

c− ρ3 mc

)

− 1

~ k ρ1 σ·t1

]V (q′)

cu dq′. (4.452)

Supponiamo per semplicita che nel campo diffondente sia diverso da zerosolo il potenziale scalare φ. Allora V = −eφ e non contiene le variabili dispin. Possiamo cosı scrivere uV (q′) in luogo di V (q′)u e portare fuori da(4.452) la parte costante. Ricaviamo allora:

ψ1(R; θ, φ) = − eikR

4πR

∫e−iq′·(kt1−kt) V (q′) dq′

×[

1

~2

(W

c2− ρ3 m

)− 1

~k

cρ1 σ·t1

]u. (4.453)

Ora dobbiamo ricordare che u e la funzione di spin di un’onda piana conmomento px = py = 0, pz = ~k. Cosicche avremo

(W

c+ ~k ρ1 σz + ρ3 mc

)u = 0. (4.454)

Poniamo u = (a, b), essendo a e b rispettivamente la prima e la secondacoppia di valori di u. Allora la (4.454) si scrive:

(W

c+ mc

)a + ~k σz b = 0,

(W

c− mc

)b + ~k σz a. = 0.

(4.455)

Dalla prima o dalla seconda ricaviamo:

a = −~ k σz

W/c + mcb, b = −~ k σz

W/c−mca. (4.456)

Avremo inoltre:[

1

~2

(W

c2− ρ3 m

)− 1

~k

cρ1 σ·t1

]u

440


=

(1

~2

W −mc2

c2a − 1

~k σ·t1

cb,

1

~2

W + mc2

c2b − 1

~k σ·t1

ca

)

=1

~2

(W −mc2 + (W + mc2)σ·t1 σz

c2a,

W + mc2 + (W −mc2)σ·t1 σz

c2b

); (4.457)

e ponendo per semplicita σ·t1 = σR e

a′ =W −mc2 + (W + mc2)σR σz

~2 c2a,

b′ =W + mc2 + (W −mc2)σR σz

~2 c2b,

(4.458)

sara:

[1

~2

(W

c2− ρ3 m

)− 1

~k

cρ1 σR

]u =

(a′, b′

). (4.459)

Avremo ancora, badando che σRσz + σzσR = 2 cos θ:

a′†a′ =1

~4

[(W −mc2

c2

)2

+

(W + mc2

c2

)2

+2W 2 −m2c4

c4cos θ

]a†a

=2m2

~4

[W 2

m2c4(1 + cos θ) + (1 − cos θ)

]a†a. (4.460)

Analogamente:

b′†b′ =2m2

~4

[W 2

m2c4(1 + cos θ) + (1 − cos θ)

]b†b. (4.461)

La sezione efficace per la diffusione entro l’unita di angolo nella direzioneθ, φ e data da

S(θ, φ) = R2 |ψ1|2|ψ0|2 , R →∞. (4.462)

441


Sostituendo in (4.453) troviamo:

S(θ, φ) =m2

8π2~4

[W 2

m2c4(1 + cos θ) + (1 − cos θ)

]

·∣∣∣∣∫

e−iq·(kt1−kt) V (q) dq

∣∣∣∣2

. (4.463)

Questa formola assume nel caso non relativistico la forma elementare bennota:

S(θ, φ) =m2

4π2~4

∣∣∣∣∫

e−iq·(kt1−kt) V (q) dq

∣∣∣∣2

, k =p

~ . (4.464)

Torniamo alla (4.463) e supponiamo il campo coulombiano:

V = − Ze2

r. (4.465)

Allora e notoriamente:∫

e−ikq·(t1−t) V (q) dq = − 4π Ze2

k2|t1 − t|2 = − 4π Ze2

k2 · 4 sin2 θ/2

=−π Ze2

k2 sin2 (θ/2). (4.466)

Introduciamo il momento dell’elettrone libero p = ~k e la velocita da

v =c2

Wp, con W 2 =

m2c4

1− v2/c2; (4.467)

ricaviamo infine:

S(θ) =Z2e4

4p2v2 sin4 (θ/2)

(2c2 − v2

2c2+

v2

2c2cos θ

)(4.468)

da confrontare con l’espressione classica:

Scl(θ) =Z2e4

4p2v2 sin4 θ/2. (4.469)

Cosı per piccole deviazioni la diffusione relativistica e uguale a quella diun elettrone classico avente lo stesso valore di pv, ma per ampie deviazioni

442


e alquanto minore. Possiamo meglio confrontare le diffusioni classiche erelativistiche (queste ultime sono date dal metodo di Born solo in primaapprossimazione) per elettroni di data energia. Indicando con E l’energiadiminuita dell’energia di riposo:

E = W − mc2 =mc2

√1− v2/c2

− mc2, (4.470)

e ponendo, per brevita

s =√

1 − v2/c2 =mc2

mc2 + E, (4.471)

avremo

p v = E (1 + s) ; (4.472)


S(θ) =Z2e4

16E2 sin4 θ/2

(2 + 2s2

(1 + s)2+

2− 2s2

(1 + s)2cos θ

), (4.473)

da confrontare con l’espressione classica (s = 1)

Scl(θ) =Z2e4

16E2 sin4 (θ/2). (4.474)

A parita di energia la diffusione relativistica e dunque maggiore diquella classica per le piccole deviazioni e minore per le grandi deviazioni.Poiche:

S

Scl=

2 + 2s2

(1 + s)2+

2− 2s2

(1 + s)2cos θ, (4.475)

la deviazione θ per cui la formola classica e relativistica coincidono e datada:

cos θ0 = − 1− s

2(1 + s), (4.476)

cosı θ0 = 90o per s → 1 e θ0 = 120o per s → 0.

Diamo per alcuni valori di s il rapporto fra la diffusione relativistica eclassica S(θ)/Scl(θ) calcolata per alcuni valori di θ:

443


s = 1 s = 1/2 s = 1/3 s = 0

θ = 0o 1 1.78 2.25 4.00θ = 30o 1 1.69 2.12 3.73θ = 60o 1 1.44 1.75 3.00θ = 90o 1 1.11 1.25 2.00θ = 120o 1 0.78 0.75 1.00θ = 150o 1 0.53 0.38 0.27θ = 180o 1 0.44 0.25 0.00

4.27 Grandezze atomiche di uso frequente

(1) Oscillatori armonici.ν frequenza di oscillazioni in cm−1, A/N massa della particella os-cillante (N numero di Avogadro), a elongazione massima classica inun’orbita di quanto n:

a =

√n

A

√N ~π c ν

=

√n

A

6.7

ν· 10−8 cm. (4.477)

Esempio: per la molecola di idrogeno, massa ridotta A = 1/2, ν ∼4400, segue a ∼ 0.175

√n·10−8 (valida per valori di n assai piccoli)

(2) Relazioni fra energie e lunghezze d’onda40

Energia di una particella α di lunghezza d’onda: λ0 = 10−12cm:

E0 =300·Nπ2~2

2λ20·e

V = 2.05·106 V. (4.478)

Energia di un elettrone di lunghezza d’onda λ0 = 10−8cm:

E0 =2π2~2·300

mλ20·e

V = 150V. (4.479)

40Si osservi che il valore numerico attualmente accettato (2.09·106, 153 e2.108·106, rispettivamente) per le energie qui di seguito considerate differisceleggermente da quelli riportati dall’Autore.

444


(3) Relazioni fra velocita ed energia.Energia di una particella α di velocita v = 109cm/s:

E0 =3.3·10−6

1.59·10−12= 2.08·106 V. (4.480)

4.28 Stati quasi-stazionari

In un sistema imperturbato esista uno stato finito ψ0 di energia E0 e unospettro continuo ψW di energia E0 + W . Introduciamo una perturbazioneche collega lo stato finito ψ0 e gli stati continui definita da:

IW =

∫ψ0 Hp ψW dτ. (4.481)

Per effetto della perturbazione lo stato finito ψ0 viene assorbito nello spet-tro continuo. Si tratta di trovare le autofunzioni perturbate ψ′W . Se H el’Hamiltoniana totale dovremo avere:

H ψ0 = E0 ψ0 +

∫IW ψW dW

H ψW = (E0 + W ) ψW + IW ψ0

(4.482)

H ψ′W = (E0 + W ) ψ′W . (4.483)

Il problema puo essere risolto esattamente; le autofunzioni perturbate ψ′W ,normalizzate rispetto a dW , come abbiamo supposto le ψW , sono:

ψ′W =1√

|a|2 + |b|2 ψ0 +a√

|a|2 + |b|2 ψW

− 1√|a|2 + |b|2

∫IW ′

ψW ′

W ′ −WdW ′, (4.484)

l’integrale avendo il suo valore principale ed essendo inoltre

a = I−1W

(W +

∫|IW ′ |2 dW ′

W ′ −W

); b = π IW (4.485)

445


L’integrale in a ha ancora il valore principale. Poniamo

Nw =√|a|2 + |b|2, (4.486)


ψ′W =1

NW

(ψ0 −

∫IW ′

ψW ′

W ′ −WdW ′ + a ψW

). (4.487)

Possiamo sviluppare lo stato finito ψ0 secondo le ψ′W ; avremo

ψ0 =

∫1

NWψ′W dW. (4.488)

Procediamo ormai a qualche approssimazione trascurando termini d’ordinemaggiore del secondo in IW . Poiche i valori di W che interessano, cioequelli che entrano in modo essenziale in (4.488), tendono a zero come I2,possiamo considerare come costanti nelle formole precedenti

IW = I,

∫|IW ′ |2 dW ′

W ′ −W= k. (4.489)

Ponendo ancora:W = ε − k, ε = W + k, (4.490)

sara in questa approssimazione:

a =ε

I, b = π I, N =

√ε2/|I|2 + π2|I|2,

ψ′W =1√

ε2/|I|2 + π2|I|2(

ψ0 − I

∫ψW ′

W ′ −WdW ′ +

ε

IψW

)

ψ0 =

∫ψ′W√

ε2/|I|2 + π2|I|2 dε.

(4.491)Sostituendo nell’ultima delle (4.491) mediante la penultima, vale a direeliminando le ψ′W , otteniamo naturalmente una identita.Consideriamo ora la dipendenza dal tempo delle autofunzioni, intendendoche le relazioni precedenti valgono per t = 0. Assumiamo quindi comefattore che descrive la dipendenza dal tempo di ψ′W :

e−iEt/~ = e−i(E0−k)t/~ e−iεt/~ (4.492)

446


e supponiamo che nell’istante t = 0 lo stato del sistema sia ψ0. Mettendoin evidenza il fattore di dipendenza dal tempo delle ψ′ avremo in un istantegenerico, per l’ultima delle (4.491) e la (4.492):

ψ = e−i(E0−k)t/~∫

e−iεt/~√

ε2/|I|2 + π2|I|2 ψ′W dε, (4.493)

da cui, sostituendo mediante la penultima delle (4.491),

ψ = e−i(E0−k)t/~[e−t/2T ψ0

+

∫I

ε + iπ|I|2(e−iεt/~ − e−t/2T

)ψW dε

], (4.494)

(con 1/T = (2π/~)|I|2). E naturale chiedersi se la (4.494) puo dedursidirettamente dalle (4.482) senza passare attraverso gli stati stazionari ψ′We ponendo fin dal principio IW = I = costante. Poiche con questa po-sizione k diviene indeterminata (vedi formola (4.489)), possiamo sperare inquesto modo di giungere alla (4.494) salvo un’indeterminazione che dipendedall’incognito valore di k.41 In realta questa si puo scrivere (ε = W +k) 42

ψ = e−iE0t/~ eikt/~e−t/2T ψ0

+

∫IψW

(W + k) + iπ|I|2 e−iEt/~(1 − ei(W+k)t/~ e−t/2T

)dW ; (4.495)

e se poniamo

ψ = c ψ0 e−iE0t/~∫

cW ψW e−iEt/~ dW (4.496)

segue dalle (4.482) con I in luogo di IW :

c = − i

~ I

∫e−iWt/~ cW dW, cW = − i

~ I e−iWt/~ c. (4.497)

41In altri termini, adoperando il metodo “diretto”, gli autovalori (perturbati)dell’energia restano indeterminati.

42Nel manoscritto originale, nella seguente equazione l’integrazione e eseguitarispetto a dε; e pero evidente che dovrebbe invece essere eseguita rispetto a dW .

447


Possiamo trovare soluzioni di queste equazioni della forma

c = eixt/~ e−t/2T ,

(1

T=

4π2

h|I2|

)

cW =I

W + x + iπ|I|2(1 − ei(W+x)t/~ e−t/2T

),

(4.498)

con x arbitrario, benche le condizioni iniziali siano determinate (c = 1,cW = 0), questa arbitrarieta dipendendo dalla non convergenza dell’in-tegrale nella prima delle (4.497). Le (4.498) danno per ψ al tempo tun’espressione identica a (4.495), salvo la sostituzione della quantita ar-bitraria x alla grandezza determinata k.

Supponiamo ora che nel sistema imperturbato esista uno stato finitoψ0 di energia E0 e due serie di stati infiniti ψW e φW di energia E0 + W , eimmaginiamo che una perturbazione colleghi lo stato ψ0 con entrambe leserie di stati infiniti ψW e φW :

IW =

∫ψ0 Hp ψW dτ, LW =

∫ψ0 Hp φW dτ. (4.499)

In luogo delle (4.482) avremo:

H ψ0 = E0 ψ0 +

∫IW ψW dW +

∫LW φW dW

H ψW = (E0 + W ) ψW + IW ψ0

H φW = (E0 + W ) φW + LW ψ0.

(4.500)

Anche qui, per effetto della perturbazione, lo stato finito ψ0 verra assorbitonello spettro continuo, ma ora per ogni valore di W avremo due statistazionari Z1

W e Z2W :

H Z1W = (E0 + W ) Z1

W , H Z2W = (E0 + W ) Z2

W . (4.501)

448


Possiamo scegliere Z1W e Z2

W ortogonali e normalizzati nel modo seguente:

Z1W =

1

N ′W

(ψ0 + a ψW + A φW −

∫IW ′ψW ′

W ′ −WdW ′

−∫

LW ′φW ′

W ′ −WdW ′

)

Z2W =

LW ψW√|IW |2 + |LW |2

− IW φW√|IW |2 + |LW |2

,

(4.502)

gli integrali avendo, al solito, i loro valori principali ed essendo ora:

a =IW

|IW |2 + |LW |2(

W +

∫|IW ′ |2 dW ′

W ′ −W

+

∫|LW ′ |2 dW ′

W ′ −W

)(4.503)

A =LW

|IW |2 + |LW |2(

W +

∫|IW ′ |2 dW ′

W ′ −W

+

∫|LW ′ |2 dW ′

W ′ −W

)(4.504)

N ′W =

√|a|2 + |A|2 + π2|IW |2 + π2|LW |2. (4.505)

Gli stati Z2W sono ortogonali a ψ0, cosicche ψ0 e sviluppabile in modo

analogo a (4.488), secondo i soli stati Z1W :

ψ0 =

∫Z1

W /N ′W dW. (4.506)

Facciamo ora approssimazioni analoghe a (4.489), (4.490), e (4.491)ponendo:

IW = I, LW = L,

∫|IW ′ |2 dW ′

W ′ −W+

∫|LW ′ |2 dW ′

W ′ −W= k,

(4.507)

W = ε − k, ε = W + k, (4.508)

449


da cui:

a =Iε

|I|2 + |L|2 , A =Lε

|I|2 + |L|2

N ′W =

√ε2

|I|2 + |L|2 + π2(|I|2 + |L|2)(4.509)

Z1W =

1

N ′W

(ψ0 +

ε I

|I|2 + |L|2 ψW − I

∫ψW ′

W ′ −WdW ′

+ε L

|I|2 + |L|2 φW − L

∫φW ′

W ′ −WdW ′

)

Z2W =

L ψW − I φW√|I|2 + |L|2 ,

(4.510)

ψ0 =

∫1√

ε2/(|I|2 + |L|2) + π2(|I|2 + |L|2) Z1W dε. (4.511)

Le (4.510) e (4.511) sono strettamente analoghe alle (4.491); possiamodedurne subito che se il sistema e rappresentato inizialmente da ψ0, la suaautofunzione al tempo t sara espressa in modo analogo a (4.495) da:

ψ = e−i(E0−k)t/~ e−t/2T ψ0

+ I

∫ψW e−iEt/~

W + k + iπ(|I|2 + |L|2)(1 − ei(W+k)t/~ e−t/2T

)dW (4.512)

+ L

∫φW e−iEt/~

W + k + iπ(|I|2 + |L|2)(1 − ei(W+k)t/~ e−t/2T

)dW,

essendo ora1

T=

2π

~(|I|2 + |L|2) . (4.513)

La probabilita di transizione nell’unita di tempo dallo stato ψ0 agli statiψW e cosı 2π|I|2/~ e quella da ψ0 agli stati φW : 2π|I|2/~, come era daaspettarsi.

Vogliamo ora considerare un altro problema. Supponiamo che inizial-mente il sistema sia nello stato infinito ψW e vogliamo calcolare la proba-bilita relativa (intesa nel modo usuale, fatta cioe uguale a 1 la probabilita

che il sistema sia in un generico stato se Y se

∣∣∣∣∫

Y ψ dτ

∣∣∣∣2

= 1, cosicche

|ψ|2 e la densita di probabilita nello spazio delle configurazioni τ) che il

450


sistema si trovi al tempo t nello stato ψ0 o negli stati ψW , o in stati ψW ′ ,con W ′ differente da W . In luogo di probabilita relativa che il sistema sitrovi in un certo stato, parleremo di “numero di sistemi” in quello stato.Ora, benche lo stato infinito ψW non sia rigorosamente stazionario e rap-presenti un numero infinito di sistemi, solo un numero finito di questi haenergia differente da E0+W per una quantita finita, cosicche dobbiamo as-pettarci che crescano indefinitamente, e possiamo presumere linearmente,nel tempo, solo transizioni a stati infinitamente prossimi a ψW e φW . Trat-teremo il problema servendoci degli stati stazionari Z1

W e Z2W e usando

delle approssimazioni (4.507) e (4.509). Sviluppando ψW secondo Z1W e

Z2W , abbiamo:

ψW =1

N ′W

ε I

|I|2 + |L|2 Z1W + I

∫Z1

W ′

N ′W ′(W ′ −W )

dW ′

+L

|I|2 + |L|2 Z2W . (4.514)

L’integrale ha al solito il suo valore principale. Se al tempo t = 0 ψ = ψW ,possiamo calcolare immediatamente ψ al tempo t servendoci dello sviluppo(4.514):

ψ =1

N ′W

ε I

|I|2 + |L|2 e−iEt/~ Z1W + I

∫e−iE′t/~ Z1

W ′

N ′W ′(W ′ −W )

dW ′

+L

|I|2 + |L|2 e−iEt/~ Z2W , (4.515)

essendo E = E0 + W , E′ = E0 + W ′. Sostituendo in (4.515) mediante(4.510) possiamo ottenere l’espressione di ψ a mezzo degli stati impertur-bati ψ0, ψW , φW . Ad evitare difficolta derivanti dalle singolarita degliintegrali, giova sostituire dovunque ad espressioni del tipo (1/W ′ − W )altre della forma

W ′ − W

(W ′ − W )2 + α2

e per quindi α → 0. Per t > 0 conviene rappresentare ψ come somma di duesoluzioni particolari: ψ = ψ1 +ψ2, tali che per t = 0 ψ1 +ψ2 = ψW , e dellequali ψ1 descrive essenzialmente il fenomeno per tempi sufficientementelunghi, mentre ψ2 e uno stato finito della forma (4.512). Si trova cosı

t > 0, ψ = ψ1 + ψ2,

451


ψ1 = e−iEt/~ ψW +I

ε + iπQ2e−iEt/~ ψ0

− I

ε + iπQ2

∫IψW ′ + LφW ′

ε′ − εe−iEt/~

(1 − ei(E−E′)t/~

)dE′

ψ2 = − I

ε + iπQ2

[ei(E0−k)t/~ e−t/2T ψ0

+

∫IψW ′ + LφW ′

ε′ + iπQ2e−iE′t/~

(1 − ei(E′−E0+k)t/~ e−t/2T

)dE′

],

(4.516)

con

Q =√|I|2 + |L|2, 1

T=

2π

~ Q2,

ε = E − E0 + k, ε′ = E′ − E0 + k.

Il numero di transizioni nell’unita di tempo dallo stato ψW a stati ψW ′ eφW ′ di energia prossima a E dipende per tempi sufficientemente lunghi daldenominatore di risonanza 1/(ε′ − ε) nell’espressione di ψ1. Indicando conA il numero di transizioni nell’unita di tempo a stati ψW ′ (W ′ 6= W ) e conB il numero di transizioni a stati φW ′ , troviamo:

A =2π

~ |I|2 |I|2ε2 + π2Q4

, B =2π

~ |L|2 |I|2ε2 + π2Q4

. (4.517)

Riprendiamo le equazioni esatte (4.502) e introduciamo alcune notazionisemplificanti. Poniamo

εW = W +

∫|IW ′ |2 dW ′

W ′ −W+

∫|LW ′ |2 dW ′

W ′ −W

= W + kW , (4.518)

QW =√|IW |2 + |LW |2, (4.519)

con che (4.503), (4.504), e (4.505) diventano:

a = εWIW

Q2W

, A = εWLW

Q2W

, N ′W =

√ε2WQ2

W

+ π2Q2W , (4.520)

452


e le (4.502):

Z1W =

1

N ′W

(ψ0 + εW

IW

Q2W

ψW + εWLW

Q2W

φW

−∫

IW ′ψW ′

W ′ −WdW ′ −

∫LW ′

φW ′

W ′ −WdW ′

)

Z2W =

LW

QWψW − IW

QWφW .

(4.521)

Conviene introdurre certe combinazioni degli stati ψW e φW che in varieapplicazioni hanno un significato fisico speciale. Porremo:

ψW = u1W + u2

W , φW = v1W + v2

W , (4.522)

essendo:

u1W =

1

2ψW − i

2π

∫IW ′

IW

ψW ′

W ′ −WdW ′

u2W =

1

2ψW +

i

2π

∫IW ′

IW

ψW ′

W ′ −WdW ′;

(4.523)

v1W =

1

2φW − i

2π

∫LW ′

LW

φW ′

W ′ −WdW ′

v2W =

1

2φW +

i

2π

∫LW ′

LW

φW ′

W ′ −WdW ′.

(4.524)

Oltre alle (4.522), varranno le relazioni:

∫IW ′

ψW ′

W ′ −WdW ′ = iπ IW

(u1

W − u2W

)

∫LW ′

φW ′

W ′ −WdW ′ = iπ LW

(v1

W − v2W

).

(4.525)

Sostituendo mediante queste e le (4.522), le (4.521) diventano:

Z1W =

1

N ′W

ψ0 +IW

N ′W

(εW

Q2W

− iπ

)u1

W +IW

N ′W

(εW

Q2W

+ iπ

)u2

W

453


+LW

N ′W

(εW

Q2W

− iπ

)v1

W +LW

N ′W

(εW

Q2W

+ iπ

)v2

W , (4.526)

Z2W =

LW

QWu1

W +LW

QWu2

W − IW

QWv1

W − IW

QWv2

W .

Il piu generale stato stazionario appartenente all’energia E0 + W e unacombinazione di Z1

W e Z2W :

ZW = λ Z1W + µ Z2

W . (4.527)

Potremo quindi porre:

ZW = c ψ0 + c1 u1W + c2 u2

W + C1 v1W + C2 v2

W , (4.528)

essendo:

c =λ

N ′W

c1 = λIW

N ′W

(εW

Q2W

− iπ

)+ µ

LW

QW

c2 = λIW

N ′W

(εW

Q2W

+ iπ

)+ µ

LW

QW(4.529)

C1 = λLW

N ′W

(εW

Q2W

− iπ

)− µ

IW

QW

C2 = λLW

N ′W

(εW

Q2W

+ iπ

)− µ

IW

QW.

Da notare l’identita:

|c1|2 + |C1|2 = |c2|2 + |C2|2 = |λ|2 + |µ|2. (4.530)

Vogliamo trovare stati stazionari della forma (4.528) con C2 = 0. Bastaper cio porre nelle (4.529):

λ =IW

QW, µ =

LW

N ′W

(εW

Q2W

+ iπ

). (4.531)

Notiamo per l’applicazione della (4.530) che essendo∣∣∣∣εW

Q2W

+ iπ

∣∣∣∣ =N ′

W

QW,

454


segue dalle (4.531):

|λ| =|IW |QW

, |µ| =|LW |QW

, |λ|2 + |µ|2 = 1, (4.532)

cosicche le (4.530) divengono, essendo C2 = 0:

|c1|2 + |C1|2 = 1, |c2|2 = 1. (4.533)

L’espressione dello stato che consideriamo sara della forma:

ZW = c ψ0 + c1 u1W + c2 u2

W + C1 v1W , (4.534)

e i valori delle costanti si otterranno sostituendo in (4.529) con (4.531):

c =IW

N ′W QW

c1 =1

N ′W QW

[εW − iπ

(|IW |2 − |LW |2)]

C1 = − 2iπIW LW

N ′W QW

c2 =1

N ′W QW

(εW + iπ Q2

W

).

(4.535)

Segue

|c1|2 =ε2W + π2(|IW |2 − |LW |2)2

ε2W + π2Q4W

|C1|2 =4π2|IW |2|LW |2ε2W + π2Q4

W

|c2|2 = 1, |c1|2 + |C1|2 = 1.

(4.536)

Nell’approssimazione in cui si possono ritenere costanti IW = I e LW = Lil rapporto |C1|2/|c2|2 ha il suo valore massimo per εW = 0. Tale valoremassimo e dato da:

( |C1|2|c2|2

)

0

=4|I|2|L|2

Q4=

4|I|2|L|2(|I|2 + |L|2)2 = 1 −

( |I|2 − |L|2|I|2 + |L|2

)2

(4.537)

455


cosı vale 1 se |I|2 = |L|2, altrimenti e minore d’uno. Poniamo:

p0 =

( |C1|2|c2|2

)

0

, k =|I|2|L|2 . (4.538)

k p0

1 12 ; 1/2 0.8893 ; 1/3 0.7506 ; 1/6 0.490

10 ; 1/10 0.331100 ; 1/100 0.039

sara allora:

p0 =4k

(k + 1)2=

4

(1 + k)(1 + 1/k)=

4

k + 2 + 1/k, (4.539)

e cosı p0(k) = p0(1/k).Riguardiamo |C1|2/|c2|2 come funzione di ε e poniamo

p = p(ε) =|C1|2|c2|2 . (4.540)

Nella solita approssimazione IW = I, LW = L, sara:

p =4π2|I|2|L|2ε2 + π2Q4

. (4.541)

L’integrale∫

p(ε)dε ha una speciale importanza nelle applicazioni. Si trovaimmediatamente:

∫p(ε) dε =

4π2|I|2|L|2Q2

= 4π2 |I|2|L|2Q4

Q2. (4.542)

Introducendo la probabilita di disintegrazione

1

T=

2π

~ Q2

dello stato instabile ψ0 e le probabilita parziali di disintegrazione per pas-saggio negli stati ψW e φW :

1

T1=

2π

~ |I|2, 1

T2=

2π

~ |L|2

456


avremo:

1

T=

1

T1+

1

T2,

1

T1=

k

k + 1

1

T,

1

T2=

1

k + 1

1

T, (4.543)

e la (4.542) si puo scrivere:∫

p(ε) dε =2π~T

p0

4=

2π~T

k

(k + 1)2

=2π~T1

1

k + 1=

2π~T2

k

k + 1. (4.544)

Passiamo a un’applicazione delle formole precedenti al problema delladisintegrazione di risonanza dei nuclei leggeri con cattura della particella αincidente ed emissione di un protone.43 Vogliamo considerare percio il casopiu semplice che esista uno stato instabile del sistema nucleo + particella α(ψ0) il quale dia luogo spontaneamente a transizioni in cui viene espulsa unaparticella α, oppure a transizioni in cui sia espulso un protone e supponiamoper semplicita che il protone o la particella α risultanti dalla disintegrazionedi ψ0 siano messi in orbita s e inoltre che il nucleo residuo sia lasciatosempre nello stato fondamentale. Per la posizione matematica del problemadobbiamo considerare, oltre allo stato instabile ψ0, certi stati ψW che rap-presentano il nucleo originario e una particella α in un’orbita iperbolicas, e certi stati ψW che rappresentano il nucleo trasformato e un protonelibero in un’orbita s. Lo stato ψ0 e accoppiato cosı agli stati ψW come aglistati φW da una perturbazione Hp definita dalle (4.499). Se intendiamoψW normalizzata rispetto a dW (e trascuriamo la mobilita del nucleo) efacile convincersi che esso rappresenta un flusso convergente o divergente diparticelle α pari a 1/2π~ (particelle nell’unita di tempo) e cosı pure44 φW

rappresenta un flusso entrante o uscente di protoni pari 1/2π~. Al contrariogli stati non stazionari u1

W e u2W definiti dalle (4.523) rappresentano a

grande distanza solo flusso uscente [rispettivamente, entrante] di particelleα sempre di intensita 1/2π~. Analogamente, v1

W e v2W definiti da (4.524)

rappresentano flusso uscente o entrambi di protoni.Supponiamo ora che un’onda piana di particelle di determinata en-

ergia rappresentante un flusso unitario per unita d’area cada sul nucleonon disintegrato e vogliamo determinare come vengono diffuse le particelleα e quante di esse diano luogo a processi di disintegrazione. Basta per

43In linguaggio moderno, cio significa una reazione (α, p): N + α → p + N ′.44Questo punto e alquanto oscuro nel manoscritto originale.

457


cio costruire uno stato stazionario che rappresenti l’onda piana incidentepiu un’onda sferica divergente di protoni. Un tale stato puo aversi comesomma di soluzioni particolari. Le soluzioni particolari corrispondenti alnucleo originario piu particelle α con quanti azimutali differenti da zerorappresentano ordinari processi di diffusione e hanno la forma ben notadalla teoria della diffusione in campo coulombiano. Ma nel nostro statodeve entrare anche una soluzione particolare che rappresenti particelle αincidenti con l = 0 e non solo un’onda divergente di particelle α con l = 0ma, anche a causa dell’accoppiamento con ψ0 e di questo con gli stati φW ,lo stesso stato eccitato in un certo grado nonche un’onda divergente di pro-toni. Una tale soluzione particolare avra la forma (4.534), ed i valori dellecostanti sono dati dalla (4.535) a meno di un fattore di proporzionalita.Ora c2 puo essere determinato dalla condizione che il flusso entrante di par-ticelle α sia quello dovuto all’onda piana incidente. Questo flusso entrantevale |c2|2/2π~; d’altra parte il numero di particelle α con l = 0 che passanoin prossimita del nucleo nell’unita di tempo e uguale al flusso attraversouna sezione circolare normale alla direzione di propagazione dell’onda e diraggio λ/2π (λ = lunghezza d’onda delle particelle α). Poiche la nostraonda incidente rappresenta un flusso unitario per unita di area, sara:

|c2|22π~ = π

(λ

2π

)2

=λ2

4π=

π~2

M2v2, (4.545)

da cui, a meno di una costante di fase:

c2 =√

2π2~ λ

2π. (4.546)

Attraverso (4.535) potremo ottenere c, c1 e C1 moltiplicando per il valore(4.546) di c2 diviso il valore di c2 nel caso (4.535). A noi interessano qui soloi moduli delle quantita c1 e C1, poiche ci occupiamo solo della frequenzadei processi di disintegrazione e non delle anomalie della diffusione, chedipendono anche dalla fase di c1. Segue dalle (4.536) e da (4.546)

|c1|2 =~λ2

2

ε2 + π2(|IW |2 − |LW |2)2ε2 + π2Q4

W

|C1|2 =~λ2

2

4π2|IW |2|LW |2ε2 + π2Q4

W

(4.547)

|c2|2 =~λ2

2, λ = 2π~/Mv.

458


Il flusso uscente di protoni e dato da |C1|2/2π~, e misura la sezioneefficace per la disintegrazione S(ε):

S(ε) =λ2

4π

4π2|IW |2|LW |2ε2 + π2Q4

W

. (4.548)

In prima approssimazione potremo supporre λ, IW e LW indipendenti daε e la (4.548) diventa:

S(ε) =λ2

4π

4π2|I|2|L|2ε2 + π2Q4

, (4.549)

ovvero introducendo p(ε) mediante (4.541):

S(ε) =λ2

4πp(ε). (4.550)

Poiche λ2/4π da la sezione efficace per particelle α di quanto azimutalenullo, p(ε) e la probabilita che una di tali particelle provochi la disinte-grazione. Per ε = 0, cioe per il valore piu favorevole dell’energia, questaprobabilita e massima; l’espressione di p(0) e data come si e visto da(4.539). E interessante che p(0) puo giungere al valore 1 quando k = 1.Cioe se lo stato ψ0 ha la stessa probabilita di risolversi nell’emissione diun protone o di una particella α e l’energia delle particelle α incidentiha il valore piu favorevole, allora tutte le particelle incidenti con quantoazimutale nullo danno luogo a disintegrazione. La sezione S(ε) corrispon-dente a particelle di energia determinata E0 + k + ε e spesso inaccessibileall’osservazione e solo

∫S(ε)dε e misurabile. Sostituendo in (4.544) si ha:

∫S(ε) dε =

~λ2

2T

p(0)

4=~λ2

2T

k

(k + 1)2=

λ2

4π

π~2T

p(0). (4.551)

4.29 Funzioni sferiche con spin (II)

Data una funzione a tre valori che si trasformano secondo D1, le formole(4.390) permettono di passare alle ordinarie coordinate cartesiane. Giova

459


talvolta conoscere le componenti secondo il raggio vettore r, secondo ilmeridiano (verso θ crescente, cioe congruente a −r) e secondo il parallelo(φ crescente). Si ha evidentemente, tenendo presenti le formole (4.390),

ψr =x

rψx +

y

rψy +

z

rψz

= − 1√2

x + iy

rψ1 +

z

rψ2 +

1√2

x− iy

rψ3

ψθ = cos θ cos φ ψx + cos θ sin φ ψy − sin θψz

= − 1√2

x

r

x + iy√x2 + y2

ψ1 −√

x2 + y2

rψ2 +

1√2

z

r

x− iy√x2 + y2

ψ3

ψφ = − sin φ ψx + cos φ ψy

= − i√2

x + iy√x2 + y2

ψ1 − i√2

x− iy√x2 + y2

ψ3.

(4.552)Vogliamo trovare le componenti (r, θ, φ) delle funzioni sferiche (4.377). Perapplicare comodamente le formole (5.163) poniamo le (4.552) nella forma:

ψr = − 1√2

x + iy

rψ1 +

z

rψ2 +

1√2

x− iy

rψ3

ψθ =1

sin θ

(− 1√

2

z

r

x + iy

rψ1 − x2 + y2

r2ψ2 +

1√2

z

r

x− iy

rψ3

)

ψφ =1

sin θ

(− i√

2

x + iy

rψ1 − i√

2

x− iy

rψ3

).

(4.553)

460

VOLUMETTO

55.1 Rappresentazioni del gruppo di

Lorentz

Il gruppo delle trasformazioni reali di Lorentz agenti sulle variabili ct, x, y, zpuo essere costruito per composizione delle trasformazioni infinitesime

Sx =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

, Sy =

0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 −1 0 0

,

Sz =

0 0 0 00 0 −1 00 1 0 00 0 0 0

,

Tx =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

, Ty =

0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

,

Tz =

0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

.

Esse soddisfano alle seguenti relazioni di scambio, quelle che si deduconoper permutazioni circolari di x, y, z da una gia scritta essendo indicate conpuntini:

Sx Sy − Sy Sx = Sz,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

461

Volumetto 5

Tx Ty − Ty Tx = −Sz,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sx Tx − Tx Sx = 0, (5.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sx Ty − Ty Sx = Tz,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sx Tz − Tz Sx = −Ty,

etc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Del gruppo di Lorentz possono darsi due rappresentazioni irriducibili in-equivalenti mediante matrici del secondo ordine di determinante 1: le chi-ameremo D1/2 e D′1/2, rispettivamente. Una rappresentazione irriducibileDj delle matrici appartenenti a D1/2 e ancora una rappresentazione ir-riducibile del gruppo di Lorentz; analogamente si possono costruire le rapp-resentazioni irriducibili D′1/2. La piu generale rappresentazione irriducibiledel gruppo di Lorentz e data probabilmente da:

Djj′ = Dj×D′j′ , j, j′ = 0,1

2, 1,

3

2, . . . . (5.2)

(se j + j′ e intero rappresentazioni univoche, altrimenti a due valori).Vediamo ora come si possano costruire D1/2 e D′1/2. Consideriamo unvettore p = (p0, px, py, pz) le cui componenti si intende che si trasforminocome ct, x, y, z, e coordiniamo ad esso una matrice del secondo ordine cheindichiamo ancora con p:

p = p0 + pxσx + pyσy + pzσz =

(p0 + pz px − i py

px + i py p0 − pz

). (5.3)

E chiaro che inversamente a ogni matrice del secondo ordine corrispondeun determinato quadrivettore p. Avremo

det p = p20 − p2

x − p2y − p2

z. (5.4)

Siano ora S e T due matrici arbitrarie del secondo ordine di determinante1:45

S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz, S20 − S2

x − S2y − S2

z = 1,

T = T0 + Txσx + Tyσy + Tzσz, T 20 − T 2

x − T 2y − T 2

z = 1.(5.5)

45Nel manoscritto originale e annotato: “in luogo di S e T , usare altre lettere,

462

Volumetto 5

La trasformazione p → p′ e una trasformazione di Lorentz se per le matricicorrispondenti vale la relazione:

p′ = S p T . (5.6)

Si ha infatti:det p′ = det S det p det T = det p, (5.7)

cioe:p′20 − p′2x − p′2y − p′2z = p2

0 − p2x − p2

y − p2z. (5.8)

Si puo dimostrare che mediante (5.6) si ottiene la piu generale trasfor-mazione di Lorentz e ognuna esattamente due volte poiche alla stessatrasformazione si arriva cambiando segno simultaneamente a S e T . Letrasformazioni (5.6) sono tutte le trasformazioni proprie soddisfacenti a(5.8), dunque tutte le trasformazioni reali o immaginarie di Lorentz. Sevogliamo limitarci alle trasformazioni reali dobbiamo imporre certe re-lazioni fra S e T . Al piu generale quadrivettore reale p corrisponde lapiu generale matrice Hamiltoniana del secondo ordine; se vogliamo dunqueche la (5.6) definisca una trasformazione reale dovra essere p′ Hermitianase tale e p. Dovra quindi essere per p Hamiltoniana arbitraria:

S p T = (S p T )† = T † p† S† = T † p S†, (5.9)

cioe: (T †

)−1

S p = p S† T−1, (5.10)

e ponendo R = S† T−1, R† =(T †

)−1S:

R† p = p R. (5.11)

Ponendo p = 1, ricaviamo R = R†, cioe R e essa stessa Hermitiana.Sara quindi Rp = pR qualunque sia la matrice Hermitiana p e questoimporta che p sia multipla della matrice unita. Inoltre deve essere det R =det S/ det T = 1, e quindi infine R = ±1. Abbiamo quindi trasformazionireali di Lorentz nei due casi:

T = S† (5.12)

T = −S†. (5.13)

ad esempio P e Q.” Sebbene la notazione adottata nel testo possa ingenerare con-fusione, si e preferito non modificarla, dal momento che le matrici qui consideratesono del tipo 2× 2, laddove quelle all’inizio del paragrafo sono 4× 4.

463

Volumetto 5

Nel secondo caso tuttavia si giunge a trasformazioni che non hanno sensofisico perche invertono l’asse del tempo. La piu generale trasformazioneavente senso fisico e data quindi da:

p′ = S p S†, (5.14)

essendo S soggetta all’unica condizione det S = 1. Si ha il sottogruppodelle rotazioni reali o immaginarie se T = S−1 poiche allora e identicamentep′0 = p0. Nelle rotazioni reali dovendo essere inoltre T = S†, sara S unamatrice unitaria di determinante 1 e precisamente la piu generale matricedi questo tipo.

Una trasformazione reale di Lorentz determina dunque (a meno delsegno) una matrice S del gruppo SU(2).46 Le matrici S costituisconoovviamente una rappresentazione irriducibile (a due valori) del gruppo diLorentz che chiameremo D′1/2; una seconda rappresentazione irriducibile

inequivalente di grado 2 e data dalle matrici (S†)−1, e chiameremo questaD1/2. Come rappresentazioni del sottogruppo d3 le due rappresentazioni

coincidono poiche allora S = (S†)−1, essendo le S unitarie. E facile derivarele espressioni delle trasformazioni infinitesime in D1/2 e D′1/2. Si trova:

(a) rappresentazione D1/2:

Sx =1

2i

(0 11 0

), Sy =

1

2i

(0 −ii 0

), Sz =

1

2i

(1 00 −1

),

Tx = − 1

2

(0 11 0

), Ty = − 1

2

(0 −ii 0

), Tz = − 1

2

(1 00 −1

).

(5.15)

(b) rappresentazione D′1/2:

Sx =1

2i

(0 11 0

), Sy =

1

2i

(0 −ii 0

), Sz =

1

2i

(1 00 −1

),

Tx = +1

2

(0 11 0

), Ty = +

1

2

(0 −ii 0

), Tz = +

1

2

(1 00 −1

).

(5.16)

46Nel manoscritto originale questo gruppo e indicato con u2: abbiamo quipreferito adottare la notazione moderna SU(2).

464

Volumetto 5

[non confondere le rotazioni infinitesime con le componenti delle trasfor-mazioni S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz . . .]Fra le rotazioni infinitesime spaziali e quelle spazio temporali passanodunque le seguenti relazioni:

D1/2 : (Tx, Ty, Tz) = −i (Sx, Sy, Sz) ,

D′1/2 : (Tx, Ty, Tz) = +i (Sx, Sy, Sz) .(5.17)

Sia ψ = (ψ1, ψ2) un vettore che si trasforma secondo D1/2, cioe ψ′ =(S†)−1ψ. Poniamo:

φ = σy ψ∗, ψ∗ = σy φ (5.18)

sara:φ′ = σy (ST )−1 ψ∗ = σy (ST )−1 σy φ ; (5.19)

ora, essendo det S = 1

S = S0 + Sxσx + Syσy + Szσz, (5.20)

segue

S−1 = S0 − Sxσx − Syσy − Szσz (5.21)

(ST )−1 = S0 − Sxσx + Syσy − Szσz (5.22)

σy (ST )−1 σy = S (5.23)

e quindiφ′ = S φ, (5.24)

cioe φ si trasforma secondo D′1/2. Inversamente, se φ si trasforma secondoD′1/2, σyφ∗ si trasforma secondo D1/2.

Poniamo

p = φ φ† =1

2

(φ†φ + φ†σxφ σx + φ†σyφ σy + φ†σzφ σz

), (5.25)

sara:p′ = Sφ φ†S† = SpS†. (5.26)

Segue per la (5.14) che i quadrivettori coordinati a p e p′ si ottengono ilsecondo dal primo per trasformazione di Lorentz. Badando che φ†φ=ψ†ψ,φ†σxφ=−ψ†σxψ, φ†σyφ=−ψ†σyψ, φ†σzφ=−ψ†σzψ, avremo:

ψ†ψ, −ψ†σxψ, −ψ†σyψ, −ψ†σzψ,

φ†ψ, φ†σxφ, φ†σyφ, φ†σzφ,ct, x, y, z,

(5.27)

465

Volumetto 5

in cui, ricordiamo, ψ e un generico vettore che si trasforma secondo D1/2

(ψ′ = (S†)−1ψ) e φ un vettore che si trasforma secondo D′1/2 (φ′ = Sφ).Si trasformi ψ secondo D1/2, e sia inoltre funzione di ct, x, y, z; allora

φ =

(1

c

∂

∂t− ∂

∂xσx − ∂

∂yσy − ∂

∂zσz

)ψ (5.28)

si trasforma secondo D′1/2. Infatti sia χ un vettore costante del tipo D1/2.

Moltiplicando a sinistra i due membri di (5.28) per χ† ricaviamo:

χ†φ =1

c

∂

∂t

(χ†φ

)+

∂

∂x

(−χ†σxψ

)(5.29)

+∂

∂y

(−χ†σyψ

)+

∂

∂z

(−χ†σzψ

). (5.30)

Per la prima delle (5.27) (che valgono naturalmente anche se a ψ† o φ†

si sostituiscono vettori che si trasformino allo stesso modo), il secondomembro della (5.30) e la divergenza di un vettore, quindi un invariante.Segue che e invariante χ†φ, cioe

χ† S−1 φ′ = χ† φ (5.31)

qualunque sia χ, donde:φ′ = S φ, (5.32)

come si voleva dimostrare.Analogamente, se φ si trasforma secondo D′1/2, allora

ψ =

(1

c

∂

∂t+

∂

∂xσx +

∂

∂yσy +

∂

∂zσz

)φ (5.33)

si trasforma secondo D1/2.Nelle equazioni di Dirac

(W

c+

e

cA0

)ψ + σ·

(p +

e

cA

)ψ + mc φ = 0,

(W

c+

e

cA0

)φ − σ·

(p +

e

cA

)φ + mc ψ = 0,

(5.34)

la prima coppia ψ si trasforma secondo D1/2, e la seconda coppia φ secondoD′1/2. Le (5.34) si scrivono compendiosamente:

(W

c+

e

cA0

)ψ + ρ3 σ·

(p +

e

cA

)ψ + ρ1 mc ψ = 0. (5.35)

466

Volumetto 5

(continua nel §5.6).

5.2 Urto fra protoni e neutroni

Consideriamo il moto relativo di un protone e di un neutrone e supponiamoche si possa prescindere dallo spin del protone e, se esiste, da quello del neu-trone. Indichiamo con m la massa ridotta del sistema (m ∼ 1/2MN ), e sup-poniamo che l’interazione delle due particelle sia rappresentabile medianteun potenziale V (r) funzione della distanza. L’equazione di Schrodinger perquanti azimutali ` e per la parte radiale dell’autofunzione sara:47

u′′ +2

ru′ +

(2m

~2(E − V ) − `(` + 1)

r2

)u = 0. (5.36)

Facciamo per V un’ipotesi eccessivamente semplice:

V = −A, per r < R,V = 0, per r > R.

(5.37)

Soluzione di (5.36) regolare all’origine e allora per r < R

u =1√rI`+1/2

(√2m

~2(E + A) r

), (5.38)

mentre per r > R dobbiamo cercare fra le combinazioni lineari di

1√rI`+1/2

(√2m

~2E r

)

1√rN`+1/2

(√2m

~2E r

) (5.39)

la soluzione che si raccorda in R con (5.38). Ponendo per brevita:

k2 =2m

~2E, k2

0 =2m

~2(E + A) (5.40)


467

Volumetto 5

e disponendo di un’arbitraria costante moltiplicativa perveniamo quindialla seguente soluzione di (5.36), regolare all’origine:

u` =C`√

rI`+1/2(k0r), r < R,

u` =C`√

r

(a I`+1/2(kr) + bN`+1/2(kr)

), r > R,

(5.41)

con i seguenti valori delle costanti a e b

a =πx

2

(I`+1/2(k0r)N ′

`+1/2(kr) − k0

kI′`+1/2(k0r)N`+1/2(kr)

)

b =πx

2

(k

k0I`+1/2(kr) I′`+1/2(k0r) − I′`+1/2(kr) I`+1/2(k0r)

).

(5.42)Le costanti C` vogliamo determinarle in modo che

u =

∞∑

`=0

u` P`(cos θ) (5.43)

rappresenti a grande distanza l’onda piana (I) eikz = eikr cos θ piu un’ondadivergente (S). Notoriamente si ha:

I =

∞∑

`=0

i` (2` + 1)

√π

2krI`+1/2(kr) P`(cos θ), (5.44)

e S = u− I, per r > R, deve avere la forma:

S =

∞∑

`=0

ε`√r

H1`+1/2(kr) P`(cos θ), (5.45)

essendo H1`+1/2 = I`+1/2 + iN`+1/2.

Ricaviamo di qua:

C` =i`

a + ib(2` + 1)

√π

2k

ε` = − 2ibi`

a + ib

2` + 1

2

√π

2k.

(5.46)

468

Volumetto 5

L’effetto del diffusore sull’onda sferica d’ordine ` e interamente determinatodall’angolo θ` che segna l’anticipo di fase di u` rispetto a I`+1/2 per grandidistanze:

tan θ` = − b`/a`, (5.47)

poiche l’ultima delle (5.46) si puo scrivere:

ε` =(e2iθ` − 1

)i`

2` + 1

2

√π

2k. (5.48)

Riportiamo per comodo l’espressione delle prime funzioni di Bessel e Neu-mann d’ordine mezzo :

I1/2(x) =

√2

πxsin x

I3/2(x) =

√2

πx

(− cos x +

sin x

x

)(5.49)

I5/2(x) =

√2

πx

(− sin x − 3

cos x

x+ 3

sin x

x2

);

N1/2(x) = −√

2

πxcos x

N3/2(x) =

√2

πx

(− sin x − cos x

x

)(5.50)

N5/2(x) =

√2

πx

(cos x − 3

sin x

x− 3

cos x

x2

);

H1,21/2 = ∓ i

√2

πxe±ix

H1,23/2 =

√2

πxe±ix

(−1 ∓ i

x

)(5.51)

H1,25/2 =

√2

πxe±ix

(±i − 3

x∓ 3i

x2

),

valendo in queste ultime il segno superiore per le funzioni di Hankel diprima specie e il segno inferiore per le funzioni di seconda specie.

469

Volumetto 5

5.3 Zeri delle funzioni di Bessel d’ordinemezzo

Ponendo I`+1/2(πxi) = 0 si hanno i seguenti valori numerici di xi, astra-endo da xi = 0:

I1/2 : 1.000, 2.000, 3.000, 4.000;

I3/2 :4.494

π,

7.726

π,

10.904

π,

14.066

π;

I5/2 :5.763

π,

9.095

π,

12.324

π;

I7/2 :6.985

π,

10.416

π.

5.4 Statistica e termodinamica

5.4.1 Entropia di un sistema in equilibrio termico

Siano E0, E1, E2, · · · le energie degli stati stazionari; indichiamo con El’energia media. Sara:

E = Σ′/Σ, (5.52)

essendo

Σ =∑

i

e−Ei/kT , (5.53)

Σ′ =∑

i

Ei e−Ei/kT , (5.54)

dove k e la costante di Boltzmann. La probabilita che il sistema sia nellostato i sara:

Pi = A e−Ei/kT = P (Ei), (5.55)

470

Volumetto 5

essendo ovviamenteA = 1/Σ. (5.56)

Definiamo l’entropia da:

S =

∫ T

0

1

T

dE

dTdT. (5.57)

L’integrale si effettua facilmente badando che

Σ′ = kT 2 dΣ

dT, (5.58)

si trova infatti:

S =

∫1

T

dE

dTdT =

E

T+

∫1

T 2E dT =

E

T+

∫1

T 2

Σ′

ΣdT

=E

T+ k

∫dΣ

Σ= k log Σ +

E

T(5.59)

e poiche questa espressione si annulla per T = 0, come e facile verificare,si ha semplicemente:

S = k log Σ +E

T= k log

1

AeE/kT

= k log1

P (E); (5.60)

si ha cosı che S/k e il logaritmo del numero di stati quantici differenti chesi alternano nella vita del sistema in equilibrio termico.

5.4.2 Gas perfetti

Il numero di particelle che si trovano in uno stato di energia Es e datosecondo la statistica di Fermi o di Bose da:

ns

1− ns= A e−Es/kT , ns =

11

Ae−Es/kT + 1

(Fermi) (5.61)

ns

1 + ns= A e−Es/kT , ns =

11

Ae−Es/kT − 1

(Bose). (5.62)

471

Volumetto 5

L’entropia del gas risulta:

S = k∑

s

(log

1

1− ns− ns log

ns

1− ns

)(Fermi) (5.63)

S = k∑

s

(log

1 + ns

1+ ns log

1 + ns

ns

)(Bose). (5.64)

Per temperature elevate e densita piccole (ns → 0), e riferendosi a ungrammomolecola (N particelle, R = Nk, U =

∑s nsEs energia del gas),

entrambe le statistiche danno:

S = R (1 − log A) +U

T. (5.65)

In questo caso limite le particelle possono considerarsi come indipendentie cosı l’entropia del gas deve essere semplicemente la somma delle entropiedelle singole particelle diminuita di k log N ! a causa della riduzione di statiquantici dovuta all’identita delle particelle. L’entropia di una particellasingola e a causa di (5.60):

S′ = − k logA

Ne−U/NkT = k (log N − log A) +

U

NT, (5.66)

e l’entropia del gas risulta, se si tiene conto delle quantita dell’ordine di Nche sole hanno importanza per la definizione di entropia:

S = N S′ − k log N ! = R (log N − log A) +U

T− R log N + R

= R (1 − log A) +U

T, (5.67)

che coincide appunto con la (5.65).

5.4.3 Gas monoatomico

Supponiamo lo stato fondamentale distanziato dagli altri livelli e sia g lasua molteplicita [g = (2j + 1) oppure g = (2j + 1)(2i + 1) se esiste unospin nucleare debolmente accoppiato]. Per temperature elevate e densitamodeste si ha notoriamente:

A =N h3

g v (2π m kT )3/2(5.68)

472

Volumetto 5

e

U =3

2R T. (5.69)


S = R

(3

2log T + log v + log g +

5

2

+3

2log (2π m k) − log N − 3 log h

). (5.70)

5.4.4 Gas biatomico

Supponiamo nullo il momento elettronico, mentre teniamo conto dell’even-tuale spin nucleare. Si ha in questo caso, per temperature sufficientementeelevate, o densita sufficientemente piccole (ns → 0),

A =N h3

v (2π m kT )3/2 (g0Σ0 + g1Σ1)(5.71)

U =g0Σ0U

R0 + g1Σ1U

R1

g0Σ0 + g1Σ1+

3

2R T = UR +

3

2R T (5.72)

in cui Σ0 e Σ1 sono le somme di stato relative agli stati rotazionali parie dispari rispettivamente; UR

0 e UR1 sono le energie rotazionali quali risul-

terebbero se esistessero soltanto i livelli pari o dispari rispettivamente; in-fine g0 e g1 sono i pesi dei livelli pari o dispari in dipendenza dello spinnucleare. Per nuclei differenti si ha quindi:

g0 = g1 = (2i + 1)(2i′ + 1), (5.73)

mentre per nuclei uguali si ha l’uno o l’altro dei casi:

g0 = i(2i + 1),g1 = (i + 1)(2i + 1),

oppure

g0 = (i + 1)(2i + 1),g1 = i(2i + 1),

(5.74)a seconda della statistica dei nuclei e della parita del termine elettronico.Le quantita Σ0 e Σ1, e cosı pure UR

0 /RT e UR1 /RT , sono funzioni di

ε = T0/T, (5.75)

473

Volumetto 5

essendo T0 definita da

k T0 = h2/8π2I, (5.76)

la temperatura corrispondente alla semidifferenza seconda dei livelli ro-tazionali. I dati approssimativi della tabella danno un’idea dell’andamentodi dette grandezze per valori piuttosto grandi ε (basse temperature).

ε =T0

TΣ0 Σ1 Σ0 + Σ1

UR0

RT

UR1

RT

Σ0UR0 + Σ1U

R1

(Σ0 + Σ1)RT∞ 1 0 1 0 ∞ 01 1.01 0.41 1.42 0.08 2.00 0.63

0.8 1.04 0.61 1.65 0.19 1.60 0.710.6 1.14 0.91 2.05 0.44 1.23 0.790.4 1.46 1.41 3.87 0.77 0.96 0.860.2 2.68 2.67 5.35 0.93 0.94 0.93

Per alte temperature si calcolano (ε → 0) senza difficolta le espressioni asin-totiche delle stesse grandezze. Arrestandoci ai primi termini degli sviluppitroviamo:

Σ0 =1

2ε+

1

6+ . . .

Σ1 =1

2ε+

1

6+ . . .

Σ = Σ0 + Σ1 =1

ε+

1

3+ . . .

(5.77)

UR0 = RT

(1 − ε

3− . . .

)

UR1 = RT

(1 − ε

3+ . . .

) (5.78)

e cosı a meno di quantita infinitesime per T →∞:

UR = RT − 1

3RT0, (5.79)

e l’energia totale:

U = RT

(5

2− ε

3

)+ . . . . (5.80)

474

Volumetto 5

L’entropia risulta per la (5.65), a meno di quantita che si annullano piurapidamente di T0/T :

S = R

(3

2log T + log

T

T0+ log v + log g

+7

2+

3

2log (2π m K) − log N − 3 log h

), (5.81)

in cui

g = (2i + 1)(2i′ + 1), per nuclei differenti,

g =1

2(2i + 1)2, per nuclei uguali.

(5.82)

5.4.5 Formole numeriche per l’entropia dei gas

L’entropia (5.70) di un grammomolecola di gas monoatomici si puo scrivere:

S = R

(3

2log T + log v + B

). (5.83)

La costante R vale 1.97 calmol−1 K−1, 48 mentre la costante numerica Bdipende da g e dal peso atomico P = Nm. Introducendo in (5.70) i valorinumerici si ha:49

B = − 5.575 + log g +3

2log P. (5.84)

Per l’idrogeno atomico (H), ad esempio:

g = 4, P = 1, B = −4.189. (5.85)

Per l’elio (He):g = 1, P = 4, B = −3.496. (5.86)

48Nel manoscritto originale le unita di misura di R sono genericamente definitecome cal/grado.

49Si noti che il valore numerico −5.575 della (5.84) e ottenuto ponendo R =8.31·107 erg mol−1 K−1, N = 6.022·1023, e h = 6.626·10−27 erg s.

475

Volumetto 5

Per il sodio atomico (Na), prescindendo dallo spin nucleare:

g = 2, P = 23, B = −0.179. (5.87)

L’entropia di un gas biatomico per temperatura elevata (5.81) puo anchescriversi:

S = R

(5

2log T + log v + B

). (5.88)

La costante B dipende ora da g (5.82), dal peso molecolare P = NM =M/MH , e dalla temperatura T0 che segna il disgelo dei gradi di libertarotazionali:

B = − 4.575 − log T0 + log g +3

2log P. (5.89)

Per la molecola di idrogeno, ad esempio:

g = 2, P = 2, T0 ' 85 K, B = −7.28. (5.90)

La costante A, che entra nella funzione di distribuzione us = Ae−Es/KT

segna, nella nostra normalizzazione dell’energia, il coefficiente di occu-pazione degli stati (individuali) di minima energia. La condizione per lavalidita delle formole precedenti, in quanto fondate sulla statistica classica,e quindi A ¿ 1.Per il gas monoatomico si ha, sostituendo in (5.68) i valori numerici:

A =3212

g P 3/2 v T 3/2, (5.91)

con P peso atomico. E per il gas biatomico si ha la stessa espressione,con g0 in luogo di g, per le temperature estremamente basse, in cui A puodivenire dell’ordine dell’unita poiche allora i gradi di liberta rotazionalisono gelati. Da notare per la precisione che per molecole biatomiche anuclei uguali in cui fosse g0 = 0, il coefficiente d’occupazione degli stati piuprofondi non sarebbe dato da A ma da

A exp(−2h2/8π2IkT

), (5.92)

e avrebbe ancora l’espressione (5.91) con g1 in luogo di g. Da notare ancorache per temperature assai basse il momento nucleare puo essere accoppiatocon il momento elettronico. Se p′ e la pressione in atmosfere (1 atmosfera= 1.013 dyne/cm2), ed eliminiamo v in (5.91) mediante la relazione deigas perfetti, troviamo:

A =39.5

g P 3/2

p′

T 5/2. (5.93)

476

Volumetto 5

5.4.6 Energia libera dei gas biatomici

Energia libera dei gas biatomici

u − T s =∂

∂N(U − T S) =

1

N(U − T S + P V )

= − kT

(5

2log

T

T0+ ε log

T

T1− log P

). (5.94)

(P e la pressione, in atmosfere; T0 = 4.31·M−3/5, essendo M il peso moleco-lare; ε = 0, 1, 3/2 per molecole monoatomiche, biatomiche o poliatomiche).Per le molecole biatomiche

kT1 =h2

8π2 I . (5.95)

Per gran numero di molecole sono da aggiungere a (5.94), gia a temperaturaordinaria, termini correttivi dipendenti dalle oscillazioni.

5.5 Polinomi di uso frequente

5.5.1 Polinomi di Legendre

Pn(x) =1

2nn!

dn(x2 − 1)n

dxn, (5.96)

P0(x) = 1 (5.97)

P1(x) = x (5.98)

P2(x) =3

2x2 − 1

2(5.99)

P3(x) =5

2x3 − 3

2x (5.100)

P4(x) =35

8x4 − 15

4x2 +

3

8(5.101)

477

Volumetto 5

P5(x) =63

8x5 − 35

4x3 +

15

8x (5.102)

P6(x) =231

16x6 − 315

16x4 +

105

16x2 − 5

16(5.103)

P7(x) =429

16x7 − 693

16x5 +

315

16x3 − 35

16x (5.104)

P8(x) =6435

128x8 − 3003

32x6 +

3465

64x4 − 315

32x2 +

35

128. (5.105)

5.6 Trasformazioni di spinori

Riprendiamo le formole del §5.1 per completarle. Al quadrivettore

p = (p0, px, py, pz) (5.106)

coordiniamo la matrice del secondo ordine

p = p0 + px σx + py σy + pz σz. (5.107)

La piu generale trasformazione reale di Lorentz otteniamo facendo cor-rispondere al vettore p il vettore p′ tale che per la matrice corrispondente:

p′ = S p S†, det S = 1. (5.108)

Intendiamo che sia p un vettore contravariante:

(p0, px, py, pz) ∼ (ct, x, y, z) . (5.109)

Se q e un vettore covariante

(q0, qx, qy, qz) ∼ (ct,−x,−y,−z) , (5.110)

possiamo porre

q0 = p0, qx = − px, qy = − py, qz = − pz, (5.111)

e per le matrici corrispondenti:

q = q0 + qx σx + qy σy + qz σz = p−1/ det p ∼ p−1, (5.112)

478

Volumetto 5

poiche det p e invariante. Eseguendo una trasformazione di Lorentz abbi-amo per la (5.108):

p′−1 = S−1† p−1 S−1, (5.113)

e cosı, per la (5.112):

q′ = S−1† q S−1, det S = 1 (5.114)

Le matrici S−1† costituiscono la rappresentazione D1/2 e le matrici S la rap-presentazione D′1/2. Se ψ e una grandezza del tipo D1/2 e φ una grandezzadel tipo D′1/2:

ψ′ = S†−1 ψ, φ′ = S φ, (5.115)

si ha (v §5.1):σy ψ∗ ∼ φ, σy φ∗ ∼ ψ, (5.116)

cioe:φ1, φ2 ∼ ψ∗2 , −ψ∗1 ,

ψ1, ψ2 ∼ φ∗2, −φ∗1.(5.117)

Siano a = (a1, a2) e b = (b1, b2) grandezze a due componenti. Si ha:

a b∗ =1

2(b∗a + b∗σxa σx + b∗σya σy + b∗σza σz) , (5.118)

cosı alla matrice ab∗ e coordinato il quadrivettore:

1

2(b∗a, b∗σxa, b∗σya, b∗σza) . (5.119)

Indichiamo con ψ, Ψ, . . . grandezze del tipo D1/2 e con φ, Φ, . . . grandezzedel tipo D′1/2. Si ha allora:

ψ′Ψ′† = S−1† ψ Ψ† S−1

φ′Φ′† = S φ Φ† S†,(5.120)

e cosı per (5.108), (5.114), (5.118), e (5.116):

Ψ†ψ, −Ψ†σxψ, −Ψ†σyψ, −Ψ†σzψ;

∼ Φ†φ, Φ†σxφ, Φ†σyφ, Φ†σzφ;

∼ ct, x, y, z;

∼ i ψ∗σyφ, ψ∗σzφ, iψ∗φ, −ψ∗σxφ.

(5.121)

479

Volumetto 5

Segue che i quadrivettori si trasformano secondo D1/2×D′1/2 = D1/2,1/2

(a meno di un cambiamento di coordinate). Le componenti dei tensori diordine piu elevato non si trasformano secondo rappresentazioni irriducibilinemmeno se si considerano tensori aventi speciali caratteri di simmetria.Cosı delle 10 componenti del tensore simmetria di secondo ordine una einvariante e nove si trasformano secondo D1,1, mentre delle sei componentidel tensore emisimmetrico di secondo ordine se ne trasformano tre secondoD1,0 ≡ D1, e tre secondo D0,1 ≡ D′1.

Le formole (5.121) considerano in alcuni casi tipici come si trasfor-mano i prodotti delle componenti di una grandezza ψ per le componentidi una grandezza φ. Essi danno luogo a una rappresentazione irriducibileD1/2,1/2. Vogliamo ora considerare la legge di trasformazione di prodottidi grandezze dello stesso tipo ψ (o φ). Avremo rappresentazioni non piuirriducibili equivalenti a:

D1/2×D1/2 = D0 +D1 oppure D′1/2×D′1/2 = D0 +D′1,e potremo quindi costruire da combinazioni di detti prodotti un invarian-te e tre variabili che si trasformano come certe tre (o le altre tre) dellecomponenti del tensore emisimmetrico di secondo ordine. Gli invarian-ti nei casi tipici precedentemente considerati si trovano immediatamente;infatti da

ψ′ = S−1† ψ e φ′ = S φ,

segueψ′†φ′ = ψ† S−1S φ = ψ†φ.

Facendo uso, al solito, di (5.116), abbiamo cosı che sono invarianti:

ψ†φ =(φ†ψ

)†= ψ†1φ1 + ψ†2φ2

i Ψ∗σyψ = Ψ1ψ2 − Ψ2ψ1 (5.122)

i Φ∗σyφ = Φ1φ2 − Φ2φ1.

A causa di (5.122) sara:

ψiΨk ∼ ψiΨk (φ1Φ2 − φ2Φ1) . (5.123)

Notando che l’ultima delle (5.121) si puo scrivere

ψ1φ1, ψ1φ2, ψ2φ1, ψ2φ2,

∼ x− iy, ct− z, −ct− z, −x− iy,(5.124)

480

Volumetto 5

e sostituendo nel secondo membro di (5.123), dove figurano prodotti deltipo (ψiφ`)(ΨkΦm), ricaviamo, dopo eliminazione dell’invariante ψ1Ψ2 −ψ2Ψ1 (che risulta nel fatto tale poiche si trasforma come: c2tt1 − xx1 −yy1 − zz1, che e invariante)

ψ1Ψ1 ∼ −c(tx1 − xt1) + i(yz1 − zy1) + ic(ty1 − yt1)

+(zx1 − xz1),

1

2(ψ1Ψ2 + ψ2Ψ1) ∼ c(tz1 − zt1)− i(xy1 − yx1), (5.125)

ψ2Ψ2 ∼ c(tx1 − xt1)− i(yz1 − zy1) + ic(ty1 − yt1)

+(zx1 − xz1).

I vari termini del secondo membro si trasformano come le componenti delcampo elettromagnetico; precisamente:

Ex, Ey, Ez ∼ c(tx1 − xt1), c(ty1 − yt1), c(tz1 − zt1);

Hx, Hy, Hz ∼ yz1 − zy1, zx1 − xz1, xy1 − yx1,(5.126)

cosicche le (5.125) si possono scrivere:

ψ1Ψ1 ∼ −(Ex − iHx) + i(Ey − iHy)

1

2(ψ1Ψ2 + ψ2Ψ1) ∼ Ez − iHz (5.127)

ψ2Ψ2 ∼ (Ex − iHx) + i(Ey − iHy).

Facendo uso di (5.116), ricaviamo le formole analoghe:

φ1Φ1 ∼ −(Ex + iHx) + i(Ey + iHy)

1

2(φ1Φ2 + φ2Φ1) ∼ Ez + iHz (5.128)

φ2Φ2 ∼ (Ex + iHx) + i(Ey + iHy);

φ†σxψ ∼ Ex − iHx

φ†σyψ ∼ Ey − iHy (5.129)

φ†σzψ ∼ Ez − iHz;

ψ†σxφ ∼ Ex + iHx

481

Volumetto 5

ψ†σyφ ∼ Ey + iHy (5.130)

ψ†σzφ ∼ Ez + iHz.

Ponendo Ψ = (ψ, φ), segue da (5.129) e (5.130):

Ψ†ρ1σxΨ ∼ Ex ∼ −Hx

Ψ†ρ1σyΨ ∼ Ey ∼ −Hy

Ψ†ρ1σzΨ ∼ Ez ∼ −Hz

Ψ†ρ2σxΨ ∼ Hx ∼ Ex

Ψ†ρ2σyΨ ∼ Hy ∼ Ey

Ψ†ρ2σzΨ ∼ Hz ∼ Ez.

(5.131)

Nella nostra rappresentazione si ha:

α = ρ3 σ, β = ρ1. (5.132)

Per passare a una rappresentazione generica corrispondente alle equazioni

(W

c+ α·p + β mc

)Ψ = 0, (5.133)

basta eseguire nelle formole precedenti le sostituzioni:

ρ1 → β, σx → − i αy αz,

ρ2 → β αx αy αz, σy → − i αz αx,

ρ3 → − i αx αy αz, σz → − i αx αy.

(5.134)

Si trovano cosı in generale le seguenti leggi di trasformazione per tutte lecombinazioni di prodotti Ψ∗rΨs:

Ψ†Ψ ∼ −iΨ†αxαyαzΨ ∼ ct

−Ψ†αxΨ ∼ iΨ†αyαzΨ ∼ x

−Ψ†αyΨ ∼ iΨ†αzαxΨ ∼ y

−Ψ†αzΨ ∼ iΨ†αxαyΨ ∼ z.

(5.135)

482

Volumetto 5

iΨ†βαxΨ ∼ Ex, iΨ†βαyΨ ∼ Ey, iΨ†βαzΨ ∼ Ez,

iΨ†βαyαzΨ ∼ Hx, iΨ†βαzαxΨ ∼ Hy, iΨ†βαxαyΨ ∼ Hz,

(5.136)

Ψ†βΨ ∼ Ψ†βαxαyαzΨ ∼ 1. (5.137)

Poniamo

F 1 = Ψ†Ψ, F 9 = iΨ†βαxΨ

F 2 = −Ψ†αxΨ, F 10 = iΨ†βαyΨ

F 3 = −Ψ†αyΨ, F 11 = iΨ†βαzΨ

F 4 = −Ψ†αzΨ, F 12 = +iΨ†βαyαzΨ

F 5 = −iΨ†αxαyαzΨ, F 13 = +iΨ†βαzαxΨ

F 6 = iΨ†αyαzΨ, F 14 = +iΨ†βαxαyΨ

F 7 = iΨ†αzαxΨ, F 15 = Ψ†βΨ

F 8 = iΨ†αxαyΨ, F 16 = Ψ†βαxαyαzΨ.

Ponendo, in generale

F p =∑r,s

F prs Ψ∗r Ψs, (5.138)

le matrici Hermitiane Frs risultano unitarie e dalla considerazione delgruppo delle 32 matrici distinte della forma

±βn0 αn1x αn2

y αn3

z , (5.139)

seguono le relazioni di ortogonalita:

16∑p=1

F p∗rs F p

r′s′ = 4 δrr′ δss′ (5.140)

483

Volumetto 5

da cui segue:

Ψ∗r Ψs =1

4

16∑p=1

F prs F p. (5.141)

5.7 Funzioni sferiche con spin s = 1/2

Siano ϕm` le funzioni sferiche ordinarie normalizzate e con le costanti di

fase cosı scelte da dar luogo alla rappresentazione ordinaria del momentoangolare rispetto agli assi x, y, z. Per esempio:

ϕm` = (−1)m

√2` + 1

4π

(`−m)!

(` + m)!P m

` (cos θ) eimφ, (5.142)

essendo P m` i polinomi di Legendre:

P m` (t) =

1

2` `!

(1− t2

)m/2 d`+m(t2 − 1)`

dt`+m. (5.143)

Si haϕm

` = (−1)m ϕ−m∗` , (5.144)

e in luogo di (5.142) si puo anche scrivere

ϕm` =

√2` + 1

4π

(` + m)!

(`−m)!P−m

` (cos θ) eimφ. (5.145)

Le funzioni sferiche con spin s = 1/2 a due valori che si trasformano secon-do Dj (j = 1/2, 3/2, 5/2, . . .) con determinata segnatura e appartengonoquindi a valori fissati di j e di ` = j ∓ 1/2) sono definite da:

Smk =

(√k + m− 1/2

2k − 1ϕ

m−1/2` , (−1)k+`+1

√k −m− 1/2

2k − 1ϕ

m+1/2`

).

(5.146)Il numero intero, positivo o negativo, k (k = ±1,±2,±3, . . .) definisce j e` mediante la relazione:

k = j(j + 1) − `(` + 1) +1

4=

` + 1, per j = ` + 1/2,

− `, per j = `− 1/2.(5.147)

484

Volumetto 5

(a) relazioni varie fra `, j, k:

σ·L = k − 1

`(` + 1) = (k − 1)k

(j + m)(j −m + 1) = (k + m− 1/2) (k −m + 1/2) (5.148)

(` + m + 1/2) (`−m + 1/2) = (k + m− 1/2) (k −m− 1/2)

(`− a)(` + 1 + a) = (k − 1− a)(k + a);

(b) matrici di momenti angolari:

(Jx − i Jy) Smk =

√(k + m− 1/2) (k −m + 1/2) Sm−1

k

(Jx + i Jy) Smk =

√(k + m + 1/2) (k −m− 1/2) Sm+1

k (5.149)

Jz Smk = m Sm

k ;

(c) legame fra Smk , Sm

−k, e S−mk :

Sm−k = σz Sm

k (5.150)

S−mk = i σy (−1)k+`+m−1/2 Sm ∗

k ; (5.151)

(d) sull’operatore (σ · p):50

σ·p f(r) Smk =

~i

(d

dr− k − 1

r

)f(r) Sm

−k

σ·p f(r) Sm−k =

~i

(d

dr+

k + 1

r

)f(r) Sm

k ;

(5.152)

(e) le funzioni sferiche con spin di ordine piu basso:

k = 1; j =1

2, ` = 0

S1/21 =

(ϕ0

0, 0)

=

(1√4π

, 0

)

S−1/21 =

(0, ϕ0

0

)=

(0,

1√4π

);


485

Volumetto 5

k = −1; j =1

2, ` = 1

S1/2−1 =

(√1

3ϕ0

1, −√

2

3ϕ1

1

)=

(1√4π

cos θ,1√4π

sin θ eiφ

)

S−1/2−1 =

(√2

3ϕ−1

1 , −√

1

3ϕ0

1

)=

(1√4π

sin θ e−iφ, − 1√4π

cos θ

);

k = 2; j =3

2, ` = 1

S3/22 =

(ϕ1

1, 0)

=

(−

√3

8πsin θ eiφ, 0

)

S1/22 =

(√2

3ϕ0

1,

√1

3ϕ1

1

)=

(1√2π

cos θ, − 1√8π

sin θ eiφ

)

S−1/22 =

(√1

3ϕ−1

1 ,

√2

3ϕ0

1

)=

(1√8π

sin θ e−iφ,1√2π

cos θ

)

S−3/22 =

(0, ϕ−1

1

)=

(0,

√3

8πsin θ e−iφ

);

k = −2; j =3

2, ` = 2

S3/2−2 =

(√1

5ϕ1

2, −√

4

5ϕ2

2

)

=

(−

√3

8πsin θ cos θ eiφ, −

√3

8πsin2 θ e2iφ

)

S1/2−2 =

(√2

5ϕ0

2, −√

3

5ϕ1

2

)

486

Volumetto 5

=

(√1

2π

(3

2cos2 θ − 1

2

), −

√9

8πsin θ cos θ eiφ

)

S−1/2−2 =

(√3

5ϕ−1

2 , −√

2

5ϕ0

2

)

=

(√9

8πsin θ cos θ e−iφ, −

√1

2π

(3

2cos2 θ − 1

2

))

S−3/2−2 =

(√4

5ϕ−2

2 , −√

1

5ϕ−1

2

)

=

(√3

8πsin2 θ e−2iφ, −

√3

8πsin θ cos θ e−iφ

);

(f) matrici di x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche ordinarie:

x− iy

rϕm

` = sin θ e−iφ ϕm` = −

√(` + m)(` + m− 1)

(2` + 1)(2`− 1)ϕm−1

`−1

+

√(`−m + 1)(`−m + 2)

(2` + 1)(2` + 3)ϕm−1

`+1

x + iy

rϕm

` = sin θ eiφ ϕm` =

√(`−m)(`−m− 1)

(2`− 1)(2` + 1)ϕm+1

`−1

−√

(` + m + 1)(` + m + 2)

(2` + 1)(2` + 3)ϕm+1

`+1

z

rϕm

` = cos θ ϕm` =

√(`−m)(` + m)

(2`− 1)(2` + 1)ϕm

`−1

+

√(`−m + 1)(` + m + 1)

(2` + 1)(2` + 3)ϕm

`+1;

(g) matrici x/r, y/r, z/r rispetto alle funzioni sferiche con spin:

x− iy

rSm

k = − 1

2k − 1

√(k + m− 1

2

) (k + m− 3

2

)Sm−1

k−1

487

Volumetto 5

+1

2k + 1

√(k −m +

1

2

) (k −m +

3

2

)Sm−1

k+1

+2

(2k − 1)(2k + 1)

√(k −m +

1

2

) (k + m− 1

2

)Sm−1−k

x + iy

rSm

k =1

2k − 1

√(k −m− 1

2

) (k −m− 3

2

)Sm+1

k−1

− 1

2k + 1

√(k + m +

1

2

) (k + m +

3

2

)Sm+1

k+1

+2

(2k − 1)(2k + 1)

√(k −m− 1

2

) (k + m +

1

2

)Sm+1−k

z

rSm

k =(−1)k+`+1

2k − 1

√(k + m− 1

2

) (k −m− 1

2

)Sm

k−1

+(−1)k+`+1

2k + 1

√(k + m +

1

2

) (k −m +

1

2

)Sm

k+1

+2

(2k − 1)(2k + 1)m Sm

−k;

(h) matrici di Lx, Ly, Lz (si noti che |2k − 1| = 2` + 1):

(Lx − iLy) Smk =

2k − 2

2k − 1

√(k + m− 1

2

) (k −m +

1

2

)Sm−1

k

+1

|2k − 1|

√(k + m− 1

2

) (k + m− 3

2

)Sm−1−k+1

(Lx + iLy) Smk =

2k − 2

2k − 1

√(k + m +

1

2

) (k −m− 1

2

)Sm+1

k

− 1

|2k − 1|

√(k −m− 1

2

) (k −m− 3

2

)Sm+1−k+1

Lz Smk =

2k − 2

2k − 1m Sm

k

488

Volumetto 5

− 1

|2k − 1|

√(k + m− 1

2

) (k −m− 1

2

)Sm−k+1;

(i) matrici di σx, σy, σz:

(σx − iσy) Smk =

2

2k − 1

√(k + m− 1

2

) (k −m +

1

2

)Sm−1

k

− 2

|2k − 1|

√(k + m− 1

2

) (k + m− 3

2

)Sm−1−k+1

(σx + iσy) Smk =

2

|2k − 1|

√(k + m +

1

2

) (k −m− 1

2

)Sm+1

k

+1

|2k − 1|

√(k −m− 1

2

) (k −m− 3

2

)Sm+1−k+1

σz Smk =

2

2k − 1m Sm

k

− 1

|2k − 1|

√(k + m− 1

2

) (k −m− 1

2

)Sm−k+1.

5.8 Rappresentazioni unitarie in infinitedimensioni del gruppo di Lorentz

Le rappresentazioni del gruppo di Lorentz considerate nel §5.1 sono, ad ec-cezione della rappresentazione identica, essenzialmente non unitarie, cioenon possono rendersi tali per trasformazione. L’impossibilita di avere rap-presentazioni unitarie fedeli del gruppo di Lorentz deriva dall’essere questogruppo aperto. I gruppi aperti pero possono avere, a differenza dei gruppichiusi, rappresentazioni irriducibili, anche unitarie, in infinite dimensioni.Per cio che riguarda il gruppo di Lorentz diamo piu sotto due classi di talirappresentazioni unitarie. Una rappresentazione puo essere definita dalle

489

Volumetto 5

trasformazioni infinitesime soddisfacenti alle relazioni di scambio (5.1). Inluogo di Sx, Sy, Sz, Tx, Ty, Tz possiamo introdurre le matrici:

ax = i Sx, bx = −i Tx, . . . . (5.153)

Queste saranno Hermitiane in una rappresentazione unitaria e viceversa.Obbediranno inoltre alle relazioni51

[ax, ay] = i az

[bx, by] = −i az

[ax, bx] = 0 (5.154)

[ax, by] = i bz

[bx, ay] = i bz

etc.

Ognuna delle nostre rappresentazioni opera in uno spazio a infinite dimen-sioni i cui vettori unitari sono distinti da due numeri j e m (nelle rappresen-tazioni della prima classe j = 1/2, 3/2, 5/2, . . ., m = j, j − 1, . . . ,−j; nellerappresentazioni della seconda classe j = 0, 1, 2, . . ., m = j, j − 1, . . . ,−j).Oltre a cio ogni rappresentazione e contrassegnata da un numero reale Z0

suscettibile di tutti i valori positivi o negativi e di cui vedremo appresso ilsignificato. Le componenti diverse da zero di ax−iay, ax +iay, az, bx−iby,bx + iby, bz si deducono dallo schema seguente52:

< j, m | ax − iay | j, m + 1 > =√

(j + m + 1)(j −m)

< j, m | ax + iay | j, m− 1 > =√

(j + m)(j −m + 1)

< j, m | az | j, m > = m

< j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = − 1

2

√(j + m + 1)(j + m + 2)

51Negli appunti originali il commutatore e indicato con parentesi tonde: (a, b).Anche in questo caso abbiamo preferito adottare la notazione moderna [a, b].A margine del manoscritto sono anche riportate le proprieta di trasformazionedelle matrici a, b (che sono in relazione con le proprieta di trasformazione delcampo elettromagnetico): (ax, ay , az , bx, by , bz) ∼ (Ex, Ey, Ez , Hx, Hy, Hz) ∼(−Hx,−Hy,−Hz , Ex, Ey , Ez).

52Nell’originale, questi prodotti scalari sono indicati mediante parentesi tonde:(. . . | . . . | . . .). Seguendo la notazione di Dirac, si e preferito invece scrivere:< . . . | . . . | . . . >.

490

Volumetto 5

< j, m | bx − iby | j − 1, m + 1 > =1

2

√(j −m)(j −m− 1) (5.155)

< j, m | bx + iby | j + 1, m− 1 > =1

2

√(j −m + 1)(j −m + 2)

< j, m | bx + iby | j − 1, m− 1 > = − 1

2

√(j + m)(j + m− 1)

< j, m | bz | j + 1, m > =1

2

√(j + m + 1)(j −m + 1)

< j, m | bz | j − 1, m > =1

2

√(j + m)(j −m).

Notare le relazioni:

a2x + a2

y + a2z = j (j + 1)

b2x + b2

y + b2z = j (j + 1) + 3/4;

(5.156)

ax bx + ay by + az bz = 0

b2x + b2

y + b2z − a2

x − a2y − a2

z = 3/4.(5.157)

Noi vogliamo ora determinare le matrici α0, αx, αy, αz in un modo chele equazioni:

[α0

(W0

c+

e

cφ

)+ α·

(p +

e

cC

)− mc

]ψ = 0 (5.158)

siano invarianti. Per cio e necessario che gli operatori α0, αx, αy, αz o leforme Hermitiane ad essi collegate (si tratta di trasformazioni unitarie!) sitrasformino come le componenti di un vettore covariante (α0, αx, αy, αz ∼ct, −x, −y, −z). Per cio occorre e basta che siano soddisfatte le relazioni

491

Volumetto 5

di scambio:[α0, ax] = 0

[α0, bx] = i αx

[αx, ax] = 0

[αx, ay] = i αz

[αx, az] = −i αy

[αx, bx] = i α0

[αx, by] = 0

[αx, bz] = 0

etc.

(5.159)

Dalle prime delle (5.159) segue che α0 e funzione di j:

α0 = cj , (5.160)

e dalle seconde e quinte:

[[α0, bx] , bx] = −α0, etc., (5.161)

cioe:−α0 = b2

x α0 − 2 bx α0 bx + α0 b2x. (5.162)

Considerando, ad esempio, bz, segue da (5.162):

cj − 2cj+1 + cj+2 = 0,

cj =1

2

(j2 − m2 + 2j + 1

)(cj+1 − cj) − 1

2

(j2 − m2) (cj − cj−1) ,

da cui a meno di un fattore costante:

cj = j + 1/2, (5.163)

da cui, per (5.160), la seconda delle (5.159) e delle (5.155) segue comeunica determinazione per le matrici α0, αx, αy, αz, a meno di un fattore

492

Volumetto 5

costante:

α0 = j +1

2

< j, m |αx − iαy | j + 1, m + 1 > = − i

2

√(j + m + 1)(j + m + 2)

< j, m |αx − iαy | j − 1, m + 1 > = − i

2

√(j −m)(j −m− 1)

< j, m |αx + iαy | j + 1, m− 1 > =i

2

√(j −m + 1)(j −m + 2)

< j, m |αx + iαy | j − 1, m− 1 > =i

2

√(j + m)(j + m− 1)

< j, m |αz | j + 1, m > =i

2

√(j + m + 1)(j −m + 1)

< j, m |αz | j − 1, m > = − i

2

√(j + m)(j −m),

le componenti non indicate essendo nulle.Nelle rappresentazioni con Z0 = axbx + ayby + azbz reale e arbitrario

le ax, ay, az hanno ancora l’espressione (5.155) come nel caso particolareZ0 = 0, mentre le componenti diverse da zero di bx, by, bz sono date nelcaso generale da:

< j, m | bx − iby | j + 1, m + 1 > = −√

4Z20 + (j + 1)2

2(j + 1)

×√

(j + m + 1)(j + m + 2)

< j, m | bx − iby | j, m + 1 > =Z0

j(j + 1)

√(j + m + 1)(j −m)

< j, m | bx − iby | j − 1, m + 1 > =

√4Z2

0 + j2

2j

√(j −m)(j −m− 1)

< j, m | bx + iby | j + 1, m− 1 > =

√4Z2

0 + (j + 1)2

2(j + 1)

×√

(j −m + 1)(j −m + 2)

< j, m | bx + iby | j, m− 1 > =Z0

j(j + 1)(5.164)

×√

(j + m)(j −m + 1)

< j, m | bx + iby | j − 1, m− 1 > = −√

4Z20 + j2

2j

√(j + m)(j + m− 1)

493

Volumetto 5

< j, m | bz | j + 1, m > =

√4Z2

0 + (j + 1)2

2(j + 1)

×√

(j + m + 1)(j −m + 1)

< j, m | bz | j, m > =Z0

j(j + 1)m

< j, m | bz | j − 1, m > =

√4Z2

0 + j2

2j

√(j + m)(j −m).

5.9 L’equazione (¤ + λ)A = p

Definiamo il simbolo ¤ da

¤ ≡ 1

c2

∂2

∂t2− ∂2

∂x2− ∂2

∂y2− ∂2

∂z2(5.165)

e supponiamo λ una costante positiva (dimensionalmente [L]−2), mentrep = p(x, y, z, t) e una funzione arbitraria del posto. La soluzione generaledell’equazione:

(¤ + λ) A = p(x, y, z, t) (5.166)

si otterra da una soluzione particolare aggiungendo la soluzione generaledell’equazione resa omogenea ponendo p = 0. Una soluzione particolare sipuo porre nella forma:

A(q, t) =

∫F (q, t; q′, t′) p(q′, t′) dq′ dt′, (5.167)

e si puo richiedere per simmetria che sia:

F (q, t; q′, t′) = F (R, T ), (5.168)

se R =√

X2 + Y 2 + Z2 e X = x− x′, Y = y − y′, Z = z − z′, T = t− t′.Si puo inoltre esigere che F (R, T ) sia diversa da zero solo per T ≥ R/c.

F deve soddisfare all’equazione (5.166) resa omogenea (consideratacome funzione di q e t, o di q′ e t′) salvo che per T = 0 e quindi R = 0,nel qual punto deve avere una appropriata singolarita. La funzione che

494

Volumetto 5

soddisfa alle condizioni volute presenta singolarita anche al contorno delcampo di integrazione, cioe per T = R/c, e cosı l’integrale (5.167) si spezzanella somma di un integrale preso sul cono ottico negativo, e di un integralequadridimensionale preso all’interno del detto semicono ottico. Si trova laformola seguente che verificheremo piu avanti:

A(q, t) =1

4π

∫1

Rp

(q′, t− R

c

)dq′ − cλ

4π

∫

T>R/c

I1(ω)

ωp(q′, t′) dq′ dt′,

(5.169)essendo I1 la funzione di Bessel d’ordine 1 e

ω =√

λ (c2T 2 − R2). (5.170)

Per λ = 0 sopravvive in (5.169) solo il primo integrale che da la consuetaespressione dei potenziali ritardati.

Per verificare la (5.169), poniamo per q e t fissi:

A(q, t) =

∫ t

−∞u(t′) dt′, (5.171)

essendo u(t′)dt′ il contributo dato nei due integrali a secondo membro di(5.169) da tutti i punti dei due campi di integrazione appartenenti a t′

compreso fra t′ e t′ + dt′. Vogliamo dimostrare che u(t′) puo porsi nellaforma:

u(t′) =dv(t′)dt′

, (5.172)

la funzione v(t′) potendosi esprimere come somma di due integrali presinello spazio t′ = costante, l’uno sulla superficie sferica |q−q′| = R = cT =c(t− t′) e l’altro all’interno della stessa sfera. Precisamente, si puo porre:

v(t′) =1

4π

∫ 4πc2T2

0

[1

cR

∂A(q′, t′)∂t′

+1

R

∂A(q′, t′)∂R

+

(1

R2− λ

2

)A(q′, t′)

]dσ − λ

4π

∫ 43 πc3T3

0

[1

c

∂A(q′, t′)∂t′

I1(ω)

ω

− λ cT A(q′, t′)I1(ω)− ωI′1(ω)

ω3

]dq′; (5.173)

[∂/∂R significa derivata secondo la normale esterna!]Per dimostrare questa formola bisogna provare che u(t′) ottenuta per

derivazione di v(t′) secondo la (5.172) coincide con il vettore calcolato

495

Volumetto 5

in base alla sua definizione (5.171). Per il calcolo diretto di u(t′) bastasostituire in (5.169) a p(q′, t′) la sua espressione (¤ + λ)A(q′, t′) in baseall’equazione differenziale (5.166).

Sostituendo in (5.172) mediante (5.173), troviamo che anche u(t′) siesprime come somma di un integrale esteso sulla sfera |q − q′| = R = cT edi un altro integrale preso all’interno della sfera:

u(t′) =1

4π

∫ 4πc2T2

0

[1

cR

∂2A(q′, t′)∂t′2

− c

R

∂2A(q′, t′)∂R2

− 2c

R2

∂A(q′, t′)∂R

+

(1

R− λR

8

)c λA(q′, t′) +

cλ

2

∂A(q′, t′)∂R

]dσ

− cλ

4π

∫ 43 πc3T3

0

[I1(ω)

ω(¤ + λ) A(q′, t′)

+∑

(x,y,z)

∂

∂x′

(I1(ω)

ω

∂A(q′, t′)∂x′

+ λ×A(q′, t′)I1(ω)− ωI′1(ω)

ω3

)]dq′

=1

4πT

∫ 4πc2T2

0

(¤ + λ) A(q′, t′) dσ

− cλ

4π

∫ 43 πc3T3

0

I1(ω)

ω(¤ + λ) A(q′, t′) dq′. (5.174)

Per la deduzione di questa relazione si e tenuto conto dell’equazione dif-ferenziale a cui soddisfa I1(ω),

I′′1 (ω) +1

ωI′1(ω) +

(1 − 1

ω2

)I1(ω) = 0, (5.175)

come anche della (5.170) e delle relazioni:

limω→0

I1(ω)

ω=

1

2, lim

ω→0

I1(ω)− ωI′1(ω)

ω3=

1

8. (5.176)

Si verifica immediatamente che u(t′) e precisamente la funzione che ab-biamo introdotto piu sopra per dedurre (5.171) da (5.169); basta per ciointrodurre nella (5.169) in luogo di p la sua espressione (¤ + λ)A, secondol’equazione differenziale (5.166). Resta cosı provato che il secondo membrodi (5.169) vale:

A′(q, t) = limt′→t

v(t′) − limt′→−∞

v(t′). (5.177)

496

Volumetto 5

Segue da (5.173):limt′→t

v(t′) = A(q, t), (5.178)

mentre se ammettiamo che A(q, t) per t → −∞ si annulli con sufficienterapidita:

limt′→−∞

v(t′) = 0 . (5.179)

SegueA′(q, t) = A(q, t), (5.180)

e cosı la (5.169) resta dimostrata, poiche verifichiamo a posteriori che lacondizione supposta e verificata se A(q, t) e definita da (5.169) e p(q, t) siannulla per valori sufficientemente piccoli di t. Ma anche se p permanediversa per valori comunque piccoli di t la (5.169) sara ancora nella forma(5.171), purche non sorgano difficolta di convergenza.

In luogo di (5.169) si puo usare quando occorre un’altra soluzione par-ticolare di (5.166) che si ottiene invertendo l’asse del tempo:

B(q, t) =1

4π

∫1

Rp

(q′, t +

R

c

)dq′ − cλ

4π

∫

T<R/c

I1(ω)

ωp(q′, t′) dq′ dt′

(5.181)e sara naturalmente in generale B 6= A, mentre la differenza B − A obbe-disce all’equazione differenziale (5.166) resa omogenea ponendo p = 0.

Le soluzioni (5.169) e (5.181) della (5.166) possono servire anche perdeterminare l’integrale generale dell’equazione omogenea:

(¤ + λ) A = 0. (5.182)

La soluzione piu generale delle (5.182) si ha assegnando ad arbitrio pert = 0 i valori della funzione e della sua derivata temporale:

A(q, 0), A(q, 0). (5.183)

Introduciamo una funzione singolare A1(q, t) tale che:

A1(q, t) =

A(q, t), per t > 0,0, per t < 0,

(5.184)

cosı che la conoscenza di A1 permette di determinare A per t > 0. Se oraponiamo:

(¤ + λ) A1 = p(q, t), (5.185)

497

Volumetto 5

sara p una funzione singolare per t = 0 e che si annulla per t > 0 e t < 0.La funzione A1 e precisamente quella soluzione particolare di (5.185) chesi lascia porre nella forma (5.169). Quanto alla funzione singolare p(q, t)essa e costituita da uno strato semplice giacente in t = 0 di densita:

s0 =1

c2A(q, 0) (5.186)

e da un doppio strato giacente nello stesso spazio t = 0 di densita:

s1 = − 1

c2A(q, 0). (5.187)

Sostituendo in (5.169) e badando a (5.184), si avra per t > 0

A(q, t) =1

4πt

∫ 4πc2t2

0

s0(q′) dσ − cλ

4π

∫ 43 πc3t3

0

I1(ε)

εs0(q

′) dq′

− ∂

∂t

[1

4πt

∫ 4πc2t2

0

s1(q′) dσ − cλ

4π

∫ 43 πc3t3

0

I1(ε)

εs1(q

′) dq′]

, (5.188)

essendoε =

√λ(c2t2 − R2), (5.189)

mentre gli integrali sono estesi sulla superficie sferica o all’interno dellasfera di raggio ct e centro q.

Sostituendo a s0(q) e s1(q), le loro espressioni (5.186) e (5.187) si trovadopo qualche trasformazione:

A(q, t) =1

4πc2t2

∫ 4πc2t2

0

[t A(q′, 0) +

(1 − λR2

2

)A(q′, 0)

+ R∂A(q′, 0)

∂R

]dσ +

λ2ct

4π

∫ 43 πc3t3

0

[I1(ε)− εI′1(ε)ε3

A(q′, 0)

− 1

λc2t

I1(ε)

εA(q′, 0)

]dq′ (t > 0). (5.190)

In questa espressione ∂/∂R significa derivata secondo la normale esternaalla sfera di raggio ct.

In modo analogo si puo ottenere A per t < 0 utilizzando le soluzioniparticolari (5.181) della (5.166). Il risultato si puo prevedere senz’altrodata l’invarianza della (5.182) rispetto all’inversione dell’asse temporale; si

498

Volumetto 5

otterra la stessa espressione (5.190), in cui gli integrali saranno ora estesisulla superficie o all’interno della sfera di raggio −ct e centro q e dovrainoltre cambiarsi segno nei termini delle funzioni integrande che portano afattore A(q′, 0).

5.10 Formole varie relative adautofunzioni atomiche

(1) Equazioni di Dirac in campo centrale:

[W − V


]ψ = 0; (5.191)

k = (2j + 1)(j − `) =

` + 1, per j = ` + 1/2,−`, per j = `− 1/2;

(5.192)

(ψ3, ψ4) =u(r)

rSm

k (5.193)

(ψ1, ψ2) = iv(r)

rSm−k (5.194)

(si veda nel §5.7);53

∫ (u2 + v2) dr = 1, (5.195)

(d

dr− k

r

)u =

1

~c(W − V + mc2) v, (5.196)

(d

dr+

k

r

)u = − 1

~c(W − V − mc2) u. (5.197)


499

Volumetto 5

(2) Soluzione di

y′′ +

(2Z

x− `(` + 1)

x2

)y = 0; (5.198)

condizioni ai limiti:

y(0) = 0, limx→0

y

x`+1= 1, (5.199)

e

y =(2` + 1)!

(2Z)`+1

√2Zx I2`+1

(2√

2Zx)

. (5.200)

(3) Formola della struttura fina:

E = mc2

(1 +

Z2α2

(S +√

k2 − Z2α2)2

)−1/2

− mc2, (5.201)

con

S = 0, 1, 2, . . . , per k > 0,S = 1, 2, 3, . . . , per k < 0.

(5.202)

1a approssimazione:

E = −Z2

n2Rh − Z4

n3

(1

|k| −3

4n

)α2 Rh (5.203)

(α2Rh = 5.82 cm−1).

Separazione dei doppietti:

∆E =Z4

n3`(` + 1)α2 Rh = Z a3

0

(` +

1

2

)r−3 α2 Rh, (5.204)

con

r−3 =Z3

a30

1

n3`(` + 1/2)(` + 1). (5.205)

500

Volumetto 5

5.11 Teoria classica della radiazione dimultipolo

Consideriamo un sistema elettrico oscillante con frequenza ν, tale cioe chela densita di carica e di corrente possa essere espressa mediante le formole:

ρ = ρ0 e−2πνit + ρ∗0 e2πνit,

I = I0 e−2πνit + I∗0 e2πνit.

(5.206)

Conveniamo, una volta per tutte, di misurare le correnti in unita elettro-magnetiche. Dall’equazione di continuita segue:

ρ0 =c

2πνidiv I0, (5.207)

cosicche il sistema e interamente definito dalla funzione vettoriale arbitrariaI0. L’irradiazione di tale sistema puo calcolarsi o cercando una soluzionedelle equazioni:

¤ φ = 4π ρ,

¤A = 4π I,(5.208)

con la “condizione di continuita” 54

1

c

∂φ

∂t+ div A = 0, (5.209)

che si lasci porre in forma analoga a (5.206) e soddisfi inoltre alla condizioneai limiti di rappresentare a grande distanza un’onda divergente (metododegli stati stazionari); ovvero supponendo che nell’istante iniziale lo spaziosia libero da radiazione e calcolando la distribuzione di questa sulle variefrequenze dopo un certo tempo t (metodo della variazione delle costanti).

In ogni caso la conoscenza delle correnti basta a definire il sistemairradiante e quella del potenziale vettore a calcolare l’energia irradiata.Bastera quindi limitarsi a considerare le relazioni che passano fra I e A chesono grandezze vettoriali che si trasformano secondo una rappresentazioneequivalente a D1. Scegliendo opportune combinazioni lineari delle ordinarie

54Con terminologia moderna si direbbe “condizione di gauge”; in particolare,l’Autore sta considerando la gauge di Lorentz.

501

Volumetto 5

componenti vettoriali giova introdurre grandezze I = (I1, I2, I3) e A =(A1, A2, A3), che si trasformano esattamente secondo D1:

I1 =(1/√

2)

(−Ix + iIy) , A1 =(1/√

2)

(−Ax + iAy) ,

I2 = Iz, A2 = Az,

I3 =(1/√

2)

(Ix + iIy) , A3 =(1/√

2)

(Ax + iAy) .

(5.210)Conviene stabilire un opportuno sistema completo di funzioni ortogo-

nali rispetto a cui una generica funzione vettoriale V = (V1, V2, V3) siasviluppabile. Scegliamo percio le soluzioni regolari di:

∆V + k2 V = 0, k > 0, (5.211)

e le numeriamo oltre che con l’indice continuo k con gli indici discreti j e m,che hanno il significato consueto. E facile vedere che per ogni valore di k efissato j (intero) e m esistono tre soluzioni regolari indipendenti di (5.211)tranne per j = 0, nel qual caso se ne ha una sola. Introducendo infatti ilmomento “orbitale” ` (in unita ~), si hanno evidentemente per ogni valoredi k, 3·(2`+1) soluzioni indipendenti di (5.211), regolari nell’origine che siottengono ponendo una delle componenti di V uguale a

Vi =1√rI`+1/2(kr) ϕ

m`` , i = 1, 2, 3; m` = `, `− 1, . . . ,−`, (5.212)

e le altre due uguali a zero:

Vi′ = 0, i′ 6= i. (5.213)

Queste 3·(2` + 1) funzioni vettoriali si trasformano secondo D`×D1 e silasciano quindi esprimere come combinazioni di tre sistemi di funzioni in-dipendenti che si trasformano secondo:

D`−1, D`, D`+1 (5.214)

escluso il caso ` = 0, in cui sopravvive, dei sistemi (5.214), quello indicatocon D`+1. Ogni rappresentazione irriducibile Dj , con soluzioni regolari di(5.211) appartenenti a un dato valore di k, si presenta quindi in generale trevolte, potendo essa derivare da ` = j +1, j, j− 1, tranne nel caso j = 0, in

502

Volumetto 5

cui se ne ha una sola che deriva da ` = 1. Fissati k, j, e m si hanno dunquetre soluzioni di (5.211), nel caso generale, e dobbiamo ancora stabilire uncriterio per distinguerle se vogliamo giungere alla numerazione completa ditutte le soluzioni indipendenti di (5.211). Il criterio piu semplice e quelloche deriva dalla dimostrazione precedente e consiste nell’assegnare oltre a je a m anche il momento “orbitale” `, che puo assumere i valori j+1, j, j−1(per j = 0 solo ` = 1), ma non e il piu conveniente perche non rispetta ladistinzione assai importante dal punto di vista applicativo fra onde longi-tudinali e onde trasversali. Le soluzioni regolari di (5.211) possono infattiesprimersi, come e noto, come combinazioni di soluzioni particolari ap-partenenti a due sistemi differenti: il sistema delle onde longitudinali chesoddisfanno alla condizione aggiunta

rotV ≡ 1

i· gradV = 0, (5.215)

da cui segue

V = grad v, (5.216)

e il sistema delle onde trasversali che soddisfanno alla condizione

div V = 0. (5.217)

Onde dei due sistemi sono ortogonali. Ora e facile vedere che per ogni valoredi k, j, e m (anche per j = 0) si ha una e una sola onda longitudinale che siottiene evidentemente da (5.216) ponendo a meno di un fattore costante:

v =1√krIj+1/2(kr) ϕm

j . (5.218)

Dalle proprieta di simmetria per riflessione nel centro segue che l’ondalongitudinale e una combinazione delle soluzioni di (5.211) appartenenti a` = j + 1 e ` = j − 1; l’altra combinazione delle stesse soluzioni ortogonaleall’onda longitudinale (esiste per j > 0) sara invece un’onda trasversale chechiameremo, per ragioni da spiegare in seguito, “onda di multipolo elettricodi ordine j”. Infine la soluzione appartenente a ` = j (esiste anche essasolo per j > 0) costituira un’altra onda trasversale che vogliamo chiamare“onda di multipolo magnetico di ordine j”. Eseguendo i calcoli implicitinella dimostrazione precedente troviamo come espressione esplicita per itre tipi di onde:

503

Volumetto 5

(a) onde longitudinali:

VLk,j,m =

√k

r

[√j

2j + 1Ij−1/2(kr) ϕm

j,j−1

+

√j + 1

2j + 1Ij+3/2(kr) ϕm

j,j+1

]; (5.219)

(b) onde di multipolo elettrico:

VEk,j,m =

√k

r

[√j + 1

2j + 1Ij−1/2(kr) ϕm

j,j−1

−√

j

2j + 1Ij+3/2(kr) ϕm

j,j+1

]; (5.220)

(c) onde di multipolo magnetico:

VMk,j,m =

√k

rIj+1/2(kr) ϕm

j,j . (5.221)

Come si e detto, e come e chiaro anche dalle espressioni precedenti, le ondetrasversali esistono solo per j > 0. Il sistema di funzioni vettoriali ortog-onali composto da (5.219), (5.220), e (5.221) e completo e normalizzatorispetto a dk. Quest’ultima proprieta risulta facilmente dall’espressioneasintotica delle funzioni di Bessel.

Sviluppiamo in (5.206) I0 secondo detto sistema di funzioni ortogonali:

I0 =∑j,m

∫ ∞

0

[IL

k,j,m VLk,j,m + IE

k,j,m VEk,j,m + IM

k,j,m VMk,j,m

]dk,

(5.222)

essendo le Ik,j,m delle costanti, e analogamente immaginiamo di porre inogni istante:

A =∑j,m

∫ ∞

0

∑χ=L,E,M

(Aχ

k,j,m e−ikct + A′χk,j,m eikct)

Vχk,j,m dk,

(5.223)

A =∑j,m

∫ ∞

0

∑χ=L,E,M

ikc(A′χk,j,m eikct − Aχ

k,j,m e−ikct)

Vχk,j,m dk.

(5.224)

504

Volumetto 5

La condizione di realita delle componenti (cartesiane) di A importa:

A′χk,j,m = ± (−1)m Aχ∗k,j,−m, + per χ = L, E, − per χ = M.

(5.225)Con la stessa regola si puo ottenere da (5.222) lo sviluppo di I∗0 .

Poniamo

VLk,j,m = grad vk,j,m. (5.226)

La funzione scalare v e data da (5.218). Le vk,j,m non sono normaliz-zate rispetto a dk, tali sono invece le stesse funzioni moltiplicate per k:pk,j,m = kvk,j,m. Sviluppiamo il potenziale scalare e la sua derivata tem-porale secondo le vk,j,m, ponendo

φ =∑j,m

∫ ∞

0

(φk,j,m e−ikct + φ′k,j,m eikct

)vk,j,m dk, (5.227)

φ =∑j,m

∫ ∞

0

ikc(φ′k,j,m eikct − φk,j,m e−ikct

)vk,j,m dk. (5.228)

La condizione di realita impone

φ′k,j,m = (−1)m φ∗k,j,m. (5.229)

Dalla condizione di gauge55 φ = −c div A, osservando che le onde trasver-sali sono prive di divergenza e che div grad vk,j,m = ∆ vk,j,m = −k2vk,j,m,ricaviamo:

φk,j,m e−ikct − φ′k,j,meikct = ik(AL

k,j,m e−ikct + A′Lk,j,m eikct)

. (5.230)

Poniamo inoltre

ρ =∑j,m

∫ ∞

0

ρk,j,m vk,j,m dk, (5.231)

e badiamo che la prima delle (5.208) puo scriversi per la condizione digauge:

¤ φ ≡ − 1

cdiv A − ∆ φ = 4π ρ, (5.232)

55Per chiarezza, qui e nel seguito la (5.209) verra indicata come “condizione digauge”, laddove nel testo originale essa viene definita “equazione di continuita”(per i potenziali).

505

Volumetto 5

da cui segue, sviluppando secondo le soluzioni scalari di (5.211):

φk,j,m e−ikct + φ′k,j,m eikct

= ik(AL

k,j,m e−ikct − A′Lk,j,m eikct)

+4π

k2ρk,j,m. (5.233)

Combinando (5.230) e (5.233), ricaviamo

φk,j,m = ik ALk,j,m +

2π

k2eikct ρk,j,m. (5.234)

Vogliamo ora trovare l’espressione dell’energia totale del campo elet-tromagnetico quando sia noto lo sviluppo (5.223) del potenziale vettore e,attraverso (5.234), del potenziale scalare. Poniamo percio

E =∑

χ

∑j,m

∫ ∞

0

Eχk,j,m Vχ

k,j,m dk (5.235)

H =∑

χ

∑j,m

∫ ∞

0

Hχk,j,m Vχ

k,j,m dk. (5.236)

Badando a (5.233) e alle formole

rotVLk,j,m = 0

rotVEk,j,m = + i k VM

k,j,m (5.237)

rotVMk,j,m = − i k VE

k,j,m

troviamo facilmente:

ELk,j,m = − 4π

k2ρk,j,m

EEk,j,m = i k

(AE

k,j,m e−ikct − A′Ek,j,m eikct)

(5.238)

EMk,j,m = i k

(AM

k,j,m e−ikct − A′Mk,j,m eikct)

;

HLk,j,m = 0

HEk,j,m = − i k

(AM

k,j,m e−ikct + A′Mk,j,m eikct)

(5.239)

HMk,j,m = i k

(AE

k,j,m e−ikct + A′Ek,j,m eikct)

.

506

Volumetto 5

L’energia totale si puo quindi scomporre in due parti:

W = Wels + WR, (5.240)

essendo l’energia elettrostatica data da:

Wels =∑j,m

∫ ∞

0

2π

k4|ρk,j,m|2 dk

=1

2

∫1

|q − q′| ρ(q) ρ(q′) dq dq′, (5.241)

mentre l’energia raggiante risulta da

WR =1

2π

∑j,m

∫ ∞

0

k2

(∣∣∣AEk,j,m

∣∣∣2

+∣∣∣AM

k,j,m

∣∣∣2)

dk. (5.242)

Riprendiamo ora il nostro sistema oscillante (5.206) e calcoliamo l’e-nergia da esso irraggiata con il metodo della variazione delle costanti. L’e-nergia elettrostatica oscilla periodicamente con frequenza ν limiti finiti epossiamo trascurarla. Quanto all’energia raggiante, supponiamo che essasi annulli nell’istante iniziale e che quindi sia inizialmente AE

k,j,m = AMk,j,m

per tutti i valori di k, j, m. Dalla seconda delle (5.208) e dalle (5.223) e(5.224), segue

AYk,j,m e−ikct − A′Yk,j,m eikct

= (4π ic/k)(IY

k,j,m e−2πνit + I ′Yk,j,m e2πνit)

,

AYk,j,m e−ikct + A′Yk,j,m eikct = 0, Y = E, M,

(5.243)

essendo, in analogia con (5.225),

I ′Yk,j,m = ± (−1)m IY ∗k,j,−m; + per Y = E, − per Y = M. (5.244)

Di qui ricaviamo:

AYk,j,m =

2π ic

k

(IY

k,j,m ei(kc−2πν)t + I ′Yk,j,m ei(kc+2πν)t)

(5.245)

AYk,j,m =

2π c

k

(IY

k,j,mei(kc−2πν)t − 1

kc− 2πν+ I ′Yk,j,m

ei(kc+2πν)t − 1

kc + 2πν

)(5.246)

507

Volumetto 5

Per t → ∞ tutto l’integrale (5.242) proviene, a meno di quantita che nonsuperano limiti costanti, da valori di k prossimi a k0 = 2πv/c. Ma per kprossimi a k0 segue da (5.246):

∣∣∣AYk,j,m

∣∣∣ =4π

k0

sin(k − k0)ct/2

k − k0

∣∣∣IYk0,j,m

∣∣∣ , (5.247)

da cui sostituendo in (5.242) e integrando, come e lecito, al limite, da −∞a +∞, anziche da 0 a ∞:

WR = 4π2 c t∑j,m

(∣∣∣IEk0,j,m

∣∣∣2

+∣∣∣IM

k0,j,m

∣∣∣2)

. (5.248)

Segue per l’energia irraggiata nell’unita di tempo:

wR =WR

t= 4π2 c

∑j,m

(∣∣∣IEk0,j,m

∣∣∣2

+∣∣∣IM

k0,j,m

∣∣∣2)

. (5.249)

L’energia irraggiata si puo quindi calcolare scomponendo il sistema oscil-lante in multipoli trasversali, elettrici e magnetici, dei vari ordini, e sup-ponendo che essi irradino senza interferire. I multipoli longitudinali nonirradiano naturalmente energia. Ad ogni multipolo corrisponde un’ondasferica con una determinata distribuzione di intensita e polarizzazione se-condo le varie direzioni. I numeri j e m rappresentano nell’interpretazionequantistica il momento angolare totale e nella direzione z (in unita ~) delquanto emesso. La loro conoscenza non e sufficiente a determinare com-pletamente il tipo dell’onda emessa potendosi ancora trattare di onda dimultipolo elettrico e magnetico, e questa doppia possibilita va intesa comeun’alternativa nel tipo di accoppiamento fra momento orbitale e momentointrinseco del quanto emesso. Il momento intrinseco, come e noto, vale ±~nella direzione del movimento, mentre il valore 0 e escluso.

L’intensita di un determinato multipolo e per la (5.249):

wYj,m = 4π2 c

∣∣∣IYk0,j,m

∣∣∣2

, Y = E, M, (5.250)

cioe calcolando il coefficiente IYk0,j,m con la solita regola dei coefficienti dello

sviluppo secondo un sistema di funzioni ortogonali:

wYj,m = 4π2 c

∣∣∣∣∫

VY †k0,j,m · I0 dq

∣∣∣∣2

. (5.251)

508

Volumetto 5

Presenta un grande interesse pratico il caso che il sistema irradiante sia didimensioni atomiche e assai piccolo rispetto alla lunghezza d’onda irradiata(2π/k0). Si puo allora calcolare in prima approssimazione la wY

j,m sosti-tuendo sotto l’integrale le funzioni di Bessel che figurano nelle espressionidella wY

j,m) con il primo termine del loro sviluppo in serie, purche si intendabeninteso che il sistema irradiante sia posto in prossimita dell’origine. Nelcaso dei multipli elettrici figurano sotto l’integrale delle funzioni di Bessel diordine j+3/2 accanto ad altre di ordine j−1/2; si possono allora trascurarele prime e conservare il primo termine dello sviluppo delle seconde. Ciinteressano solo funzioni di Bessel di ordine n + 1/2 con n intero. Perqueste si ha in prima approssimazione:

In+1/2 =

√2

π

2n·n!

(2n + 1)!xn+1/2 + . . .

=

√2

π

(1 · 1

3· 15· · · 1

2n + 1

)xn+1/2 + . . . . (5.252)

Ricaviamo cosı le formole di prima approssimazione:

wEj,m = 1 · 1

32· 1

52· · · 1

(2j − 1)2j + 1

2j + 1· 8π c

×(

2πν

c

)2j ∣∣∣∣∫

rj−1 ϕm†j,j−1 · I0 dq

∣∣∣∣2

, (5.253)

wMj,m = 1 · 1

32· 1

52· · · 1

(2j + 1)2· 8π c

×(

2πν

c

)2j+2 ∣∣∣∣∫

rj ϕm†j,j · I0 dq

∣∣∣∣2

. (5.254)

La (5.253) puo porsi in una forma diversa, che e in generale piu comoda peril calcolo e in cui figura solo la densita di carica ρ0 in luogo della densita dicorrente. Passando infatti alle coordinate cartesiane la funzione integrandain (5.253) puo scriversi:

rj−1 ϕm†j,j−1 · I0 = rj−1 ϕm∗

j,j−1 · I0 (5.255)

ed osservando che per una formola generale [v. (4.436)] si ha:

grad rj ϕmj =

√j(2j + 1) rj−1 ϕm

j,j−1, (5.256)

509

Volumetto 5

e tenendo conto della (5.207)∫

rj−1 ϕm†j,j−1 · I0 dq =

∫rj−1 ϕm∗

j,j−1 · I0 dq

=1√

j(2j + 1)

∫grad rj ϕm∗

j · I0 dq

= − 1√j(2j + 1)

∫rj ϕm∗

j div I0 dq

= − 1√j(2j + 1)

2π ν i

c

∫rj ϕm∗

j ρ0 dq. (5.257)

Sostituendo con questa in (5.253), abbiamo infine:

wEj,m = 1 · 1

32· 1

52· · · 1

(2j + 1)2j + 1

j· 8π c

×(

2πν

c

)2j+2 ∣∣∣∣∫

rj ϕm∗j ρ0 dq

∣∣∣∣2

. (5.258)

Vogliamo ora studiare l’irraggiamento del nostro sistema oscillante conil metodo delle onde stazionarie, o meglio delle soluzioni periodiche. Ricer-chiamo percio una soluzione della (5.208) che in analogia a (5.206), abbiala forma

φ = φ0 e−2πνit + φ∗0 e2πνit,

A = A0 e−2πνit + A∗0 e2πνit,

(5.259)

con la condizione aggiunta che il potenziale scalare e vettore rappresentinoall’infinito un’onda divergente. Poniamo:

A0 =∑

χ

∑j,m

Aχj,m(r)Uχ

k0,j,m, (5.260)

φ0 =∑j,m

φj,m(r) uk0,j,m, χ = L, E, M. (5.261)

Le Uχk0,j,m e uk0,j,m si ottengono dalle Vχ

k0,j,m [formole (5.219), (5.220), e(5.221)] e dalle vk0,j,m [formola (5.226)] sostituendo dovunque alle funzionidi Bessel le funzioni di Hankel di prima specie. La condizione che all’infinitoesista solo un’onda divergente importa allora che esistano i limiti:

Aχj,m(∞) = Bχ

j,m (5.262)

φj,m(∞) = Φj,m. (5.263)

510

Volumetto 5

Dall’equazione di continuita (5.209), ricaviamo in analogia a (5.207):

φ0 =c

2π ν idiv A0. (5.264)

5.12 Autofunzioni dell’idrogeno

Nelle unita elettroniche si ha:

∆ ψ +

(2E +

2

r

)ψ = 0, (5.265)

e posto ψ = (y/r) ϕm` :

y′′ +

(2E +

2

r− `(` + 1)

r2

)y = 0. (5.266)

A) Spettro discreto:

E = − 1

2

1

n2, n = ` + 1, ` + 2, . . . , (5.267)

N y = A r`+1

∫

C

(t +

1

n

)`−n (t − 1

n

)`+n

etr dt, (5.268)

essendo

A = −(n

2

)2`+1/

2πi

(n + `2` + 1

). (5.269)

Ed eseguendo l’integrazione con il metodo dei residui

N y =

n−`−1∑p=0

(−1)p (n− `− 1)(n− `− 2)· · ·(n− `− p)

(2` + 2)(2` + 3)· · ·(2` + 1 + p)

(2

n

)p

× r`+1+p

p!e−r/n. (5.270)

La costante di normalizzazione e data da:

N2 =

((2` + 1)!

2`+1

)(n− `− 1)! n2`+4

(n + `)!. (5.271)

511

Volumetto 5

1n

1n

C

O

Per ` = 0, si ha ad esempio:

N2 =1

4n3. (5.272)

Per ` = 1:

N2 =9

4

n5

n2 − 1. (5.273)

Per ` = 2:

N2 = 225n7

(n2 − 1)(n2 − 4). (5.274)

Esempi di autofunzioni

1s : N y = r e−r

(N =

1

2

)

2s : N y =

(r − 1

2r2

)e−r/2

(N =

√2)

3s : N y =

(r − 2

3r2 +

2

27r3

)e−r/3

(N =

√27

2

)

2p : N y = r2 e−r/2(N =

√24

)

512

Volumetto 5

3p : N y =

(r2 − 1

6r3

)e−r/3

(N =

√2187

32

)

3d : N y = r3 e−r/3

(N = 81

√15

8

).

Espressione asintotica di r →∞:

y ∼ (−1)n−`−1 2n

nn+1√

(n + `)!(n− `− 1)!rn e−r/n. (5.275)

513

Indice analitico

ammoniaca, frequenze di oscillazione,422

asse di rotazione della Terra, 143atomo

con due elettroni, 296con molti elettroni, 210in un campo elettromagnetico,

146polarizzabilita, 129potenziale locale, 115, 118,

128suscettibilita elettrica, 351termini fondamentali, 122

atomo di idrogenoautofunzioni, 411forze di polarizzazione, 387in un campo elettrico, 354ionizzazione spontanea, 177

autofunzioni atomiche, 499autofunzioni dell’idrogeno, 511autoinduzione

variazione del coefficiente dovutoall’effetto pellicolare, 46

in una bobina con lunghezzafinita, 43

Balmer, formula di, 140Balmer, termine di, 325Bernoulli

numeri di, 267polinomi di, 267

bobinaautoinduzione, 35, 38, 43

lunghezza finita, 43Bohr

magnetone, 276raggio, 276

Boltzmanncostante, 275legge, 158

calore specifico, 54, 61campo centrale, regole di selezione,

333campo elettromagnetico

energia, 506energia raggiante, 507Hamiltoniana, 135spin, 508

campo magneticoinfluenza sul punto di fusione,

52carica elettrica, 169Clairaut

equazione di, 240problema di, 235

coefficienti binomiali, 164, 215, 217commutatore, 294commutatori, 269condensatori, 33conduttore elettrico, 11, 16

autoinduzione, 46coordinate paraboliche, 354corpo nero, 132costante di Boltzmann, 275costante di Eulero, 366

515

Indice analitico

costante di Faraday, 275costante gravitazionale di New-

ton, 140Coulomb, legge di, 170curva del cane, 276

De Broglie, onde di, 168densita di carica, 501densita di corrente, 501diffusione

da un potenziale, 414particelle α su un nucleo, 194

disintegrazione di risonanza deinuclei leggeri, 457

distanze medietra elementi di linea, 40, 41tra elementi di superficie, 40,

41tra elementi di volume, 40,

41

effetto pellicolare, 7debole, 31limite, 20, 25, 28

effetto Stark, 353, 358effetto Zeeman

anomalo, 339normale, 343

elettronecarica, 275diffusione sulla radiazione, 164Hamiltoniana relativistica, 106,

135massa, 86, 275spin, 318

energia di Rydberg, 276energia elettrica della radiazione,

134energia elettrostatica, 507

energia libera di un gas biatomico,477

energia magnetica della radiazione,134

entropia di un sistema in equilib-rio, 470

equazione di Bessel, 496

equazione di continuita, 501

equazione di Dirac, 318, 466, 482

campo centrale, 499

soluzione per l’onda piana,398

equazione di Laplace, 65, 385, 390,411

equazione di Poisson, 128, 237

equazione di Schrodinger, 85, 320,467

equazioni della statica per un flu-ido perfetto carico, 120

equazioni differenziali, 171, 208,229, 363, 385, 389, 416,494

insieme completo, 345

Faraday, costante di, 275

fattoriale, 50

formula di Rutherford

Meccanica Classica, 377, 413

metodo di Born, 381

forza centrifuga, 140

fotone, spin, 508

frequenza di Larmor, 276

frequenza di Rydberg, 275

fronte d’onda, 169

funzione degli errori, sviluppo inserie, 164

funzioni armoniche, 93

516

Indice analitico

funzioni di Bessel, 375, 391, 430,504

di ordine mezzo, 469di ordine mezzo (zeri), 470rappresentazione integrale, 389

funzioni di Green, 363funzioni di Hankel, 390, 430

di ordine mezzo, 469funzioni di Neumann, 391

di ordine mezzo, 469funzioni di spin, 407funzioni ortogonali, 416funzioni sferiche, 360, 374

con spin, 425, 459, 484

gas di elettroni, 279gas perfetto, 471

biatomico, 473costante R, 475monoatomico, 472

gaugecondizione, 501Lorentz, 176, 501trasformazioni, 175

gruppiO(3), 300, 330SU(2), 330, 464continui, 293Lorentz, 306, 309, 461, 489permutazioni, 369, 392rotazioni, 300, 392, 464trasformazioni infinitesime, 293

Hamiltonianaper il campo elettromagnetico,

135per l’elettrone, 106, 135

Huygens, principio di, 232

integrali circolari, 421integrali definiti, 76, 161, 262

laplacianoin coordinate paraboliche, 354in coordinate polari, 93in coordinate sferiche, 91

linee di forza, 66logaritmo integrale, sviluppo in

serie, 366Lorentz

gauge, 176, 501gruppo, 306, 309trasformazione reale, 478

magnetone di Bohr, 276matrici di Dirac e gruppo di Lorentz,

309metodo degli stati stazionari, 501metodo dei residui, 511metodo del Π, 19metodo del T, 19metodo della variazione delle

costanti, 501, 507metodo delle onde stazionarie, 510metodo delle soluzioni periodiche,

510metodo di Born, 381

limite relativistico, 438metodo di Ritz, 387molecola

biatomica, 124potenziale, 279

momenti di una funzione, 251momento angolare, 484momento di dipolo elettrico, per

un atomo nel suo statofondamentale, 351

momento di inerzia, 140, 242

517

Indice analitico

momento di inerzia della Terra,140, 144, 243

momento elettronico, 473moto kepleriano

cinematica, 151periodo di rivoluzione, 152perturbato, 151perturbato (approssimazione

adiabatica), 155multipoli

longitudinali, 508trasversali, 508

neutrone, 467Newton, legge di, 235numero quantico

azimutale, 271, 467equatoriale, 271

onda piana, 169sviluppo in funzioni sferiche,

374teoria di Dirac, 398

ondelongitudinali, 503trasversali, 503

operatore di D’Alembert, 494operatori impropri, 408oscillatore armonico, 444

quantizzazione, 95oscillatori elettromagnetici, 135osservabili e matrici, 146

pacchetto d’onde, 168parentesi di Poisson, 269, 346permutazioni, 369

circolari, 461pesi (statistici), 473peso atomico, 475

peso molecolare, 476pile termoelettriche, 10Planck, relazione di, 133, 341polarizzabilita atomica, 129polinomi di Legendre, 90, 361, 375,

477, 484regole di moltiplicazione, 362

potenzialeelettrico, 1gravitazionale, 140in un atomo, 115, 118, 128in una molecola, 279newtoniano, 235ritardato, 4, 207, 495vettore, 134, 136

principio d’indeterminazione, 193probabilita, 48

curve di, 260prodotti infiniti, 266propagazione del calore, 58, 78protone, 467

quaternioni, 284, 301

radiazioneenergia elettrica, 134energia magnetica, 134multipolo (teoria classica), 501

rappresentazioni unitarie delgruppo di Lorentz, 489

regole di selezione, 333Rydberg

energia, 276frequenza, 275numero d’onda, 275

schiacciamento della Terra, 141Schwarz, formula di, 211Schwarz, teorema di, 82

518

Indice analitico

skineffect limite, 20, 25

spin, 318

fotone, 508

nucleare, 473

spinori, trasformazioni di, 478

stati quasi-stazionari, 445

statistica di Bose–Einstein, 471

statistica di Fermi–Dirac, 471

Stirling, formula di, 161

struttura fina, 325, 500

superfici equipotenziali, 237, 279

suscettibilita elettrica, per unatomo nel suo stato fon-damentale, 351

sviluppi in serie, 42, 163, 227

sviluppo in integrali di Fourier,130, 419

tasso di mortalita per un atomoin un campo elettromag-netico, 146

teorema del rotore, 15

teorema della divergenza, 15, 234

teorema di Schwarz, 82

teoremi di Green, 15

teoria dell’irraggiamento, 133, 144,149, 158, 164

coefficienti di Einstein, 158

termodinamica, teoria statistica,470

Terra

asse di rotazione, 143

momento di inerzia, 140, 144,243

schiacciamento della, 141

velocita angolare, 142

Thomas-Fermi, funzione di, 111

applicazione ad atomi pesanti,118

seconda approssimazione peril potenziale in un atomo,128

trasformazione di Laplace, 385,418

trasformazioniconformi, 81infinitesime, 464Lorentz, 461, 478ortogonali, 306spinori, 478unitarie in due variabili, 282

urto fra protoni e neutroni, 467

variabili casuali, 212velocita angolare della Terra, 142velocita di fase, 168velocita di gruppo, 169velocita della luce, 275

Wallis, formula di, 267

519

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