Estensione_flessione_0809

1

UNIVERSITA’ DELL’AQUILA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELLE STRUTTURE, DELLE ACQUE E DEL TERRENO

Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni

sul problema di De Saint Venant - Prof. Angelo Luongo

28 Maggio 2009

CASTEL DI SANGRO

L’ESTENSIONE E LA FLESSIONE UNIFORMI

Francesco D’Annibale [email protected]

2

RICHIAMO DELLE RELAZIONI FONDAMENTALI

Estensione uniforme:

Si ha estensione uniforme del solido di De Saint Venant quando l’unica deformazione generalizzata

diversa da zero è la dilatazione longitudinale G .

L’estensione uniforme si verifica, quindi, quando il solido di De Saint Venant è sollecitato alle basi da

forze superficiali staticamente equivalenti a forze assiali aN applicate al baricentro.

La dilatazione longitudinale media è fornita da:

GNEA

Il campo di tensione (scalare) è descritto da:

NA

A questa distribuzione si associano le seguenti componenti non nulle di E: esse descrivono una

dilatazione uniforme delle fibre longitudinali, insieme ad una contrazione uniforme delle fibre trasversali. , G x y G

3

Flessione uniforme:

Si ha flessione uniforme del solido di De Saint Venant quando l’unica deformazione generalizzata diversa da zero è la curvatura flessionale . Se è collineare ad uno degli assi centrali di inerzia si ha

flessione retta; se è diretto in modo arbitrario nel piano della sezione si ha flessione deviata.

- Flessione retta secondo x:

assumendo ax x , l’asse neutro è a an x , l’asse di inflessione è a a a ai x y .

La curvatura x è funzione della coppia flettente ed è fornita da:

xx

x

MEI

Il campo di tensione è descritto dalla formula di Navier:

x

x

M yI

A questa distribuzione si associano le seguenti componenti non nulle di E:

, x x y xy y

4

esse descrivono una dilatazione uniforme delle fibre longitudinali secondo l’asse z, in misura

proporzionale alla loro distanza dall’asse y. Le fibre trasversali subiscono una contrazione (in zona

longitudinalmente tesa) o una dilatazione (in zona longitudinalmente compressa) per effetto Poisson .

- Flessione retta secondo y:

assumendo ay y , l’asse neutro è a an y ,l’asse di inflessione è a a a ai y x .

La curvatura y è funzione della coppia flettente ed è fornita da:

yy

y

MEI

Il campo di tensione è descritto dalla formula di Navier:

y

y

Mx

I


, y x y yx x

5

- Flessione deviata:

La flessione deviata si verifica quando il solido di De Saint Venant è sollecitato sulle basi da forze

staticamente equivalenti a due coppie m a ax x y yM M .

a ax x y y , l’asse neutro è a a , a an x n y e l’asse di inflessione è a a ai n .

Le curvature , x y sono fornite da:

x , yx y

x y

MMEI EI

Il campo di tensione è descritto dalla formula binomia di Navier:

x y

x y

MM y xI I


, x y x y x yy x y x

Queste descrivono una dilatazione (o contrazione) delle fibre longitudinali, funzione della distanza

dall’asse neutro, e una corrispondente contrazione (o dilatazione) delle fibre trasversali.

6

Estensione e flessione uniformi:

Il solido di De Saint Venant è soggetto simultaneamente ad estensione e flessione uniformi. Questo

problema è una combinazione (sovrapposizione degli effetti) dei problemi di estensione e flessione.

Lo stato di deformazione è fornito da:

G x yy x

Il campo di tensione è descritto dalla formula trinomia di Navier:

x y

x y

MMN y xA I I

Essa esprime lo stato tensionale come somma degli effetti di una estensione uniforme e due flessioni

rette.

7

ESERCIZIO N1. TENSIONI NORMALI NEL PROFILO - IPE

Data la sezione dell’esercizio G1 (in figura) determinare:

1) i momenti di inerzia Ix0, Iy0, Ix0y0;

2) lo stato di sollecitazione e l’equazione dell’asse neutro;

3) diagrammare l’andamento delle tensioni normali e calcolare le grandezze di deformazione , , G x y ,

nei seguenti casi:

- N baricentrico (estensione uniforme);

- N eccentrico rispetto all’asse x (flessione uniforme);

- N eccentrico rispetto ad entrambi gli assi principali di inerzia (flessione deviata).

Siano:

1

2

200 mm100 mm5,6 mm8,5 mm

hbss

8

N baricentrico

2

100 kN (di trazione)206000 N/mm

NE

1)

Le caratteristiche geometriche della sezione sono (es. G1): 2

4I x0

4II y0

2724,80 mm ; 0;

I I 18455902, 27 mm ;

I I 1419344,81 mm .

A

9

2)

Lo stato di sollecitazione è: 3

x0

y0

100 10 N ;0 N mm; 0 N mm.

NMM

L’asse neutro si trova in una posizione infinitamente lontana dalla sezione.

3)

Il diagramma delle tensioni normali è rappresentato in figura. Esso è costante e vale:

236,7 N/mm . N

A

Inoltre, le grandezze di deformazione , , G x y assumono i seguenti valori:

4

1

1

1,78 10 ;

0 mm ;

0 mm .

G

x

y

NEA

10

N eccentrico rispetto all’asse x

2

100 kN (di trazione)206000 N/mm 80 mmC

NEy

2)


6x0

y0

100 10 N ;8 10 N mm;

0 N mm. C

NM N yM

Equazione asse neutro:

x0

x0

84,67 mm.INyA M

11

3)

Il diagramma delle tensioni normali è rappresentato in figura. Esso, nelle zone più sollecitate, vale:

2x0sup

x0

2x0inf

x0

100 80,04 N/mm ;

100 6,65 N/mm .

MNA I

MNA I


4

6 1x0

x0

1

1,78 10 ;

2,1 10 mm ;

0 mm .

G

x

y

NEAMEI

12

N eccentrico rispetto ad entrambi gli assi principali di inerzia

2

100 kN (di trazione)206000 N/mm 50 mm100 mm

C

C

NExy

2)


6x0

6y0

100 10 N ;8 10 N mm;

5 10 N mm. C

C

NM N y

M N x

13


3,52 0,54 36,7 0;0 67,73 mm;0 10, 42 mm.

n

n

x yx yy x

3)

Il diagramma delle tensioni normali è rappresentato in figura. In corrispondenza dei punti più sollecitati P1 e P2 esso vale:

1 2

21

22

: 50;100 : 50; 100

267 N/mm ;

193 N/mm .

P P

P

P


4

6 1x0

x0

y0 5 1

y0

1,78 10 ;

2,63 10 mm ;

1,71 10 mm .

G

x

y

NEAMEIMEI

14

ESERCIZIO N2. TENSIONI NORMALI NEL PROFILO - T




3) diagrammare l’andamento delle tensioni normali e calcolare le grandezze di deformazione , , G x y .

Siano:

1

2

100 mm80 mm6 mm8 mm

hbss

15

7

2

10 N mm

206000 N/mm

m

E

1)


4I x0

4II y0

1192 mm ; 0;

I I 1133696,93 mm ;

I I 342989,33 mm .

A

2)

Lo stato di sollecitazione è:

16

6x0

6y0

cos 8,66 10 N mm; 6

sin 5 10 N mm. 6

M m

M m


y0x0

y0 x0

14,57 7,64 0;

Iarctan 62,34I

x y

MM

3)


1 2

21

22

: 40;27,15 : 3; 72,15

790,54 N/mm ;

600, 2 N/mm .

P P

P

P

Inoltre, le grandezze di deformazione , , G x y , assumono i seguenti valori:

5 1x0

x0

y0 5 1

y0

0;

3,7 10 mm ;

7,1 10 mm .

G

x

y

NEAMEIMEI

17

ESERCIZIO N3. TENSIONI NORMALI NEL PROFILO - L


1) i momenti di inerzia II, III;



Siano:

1

2

300 mm350 mm50 mm75 mm

hbss

18

8

2

10 N mm

206000 N/mm

m

E

1)


4I

4II

36250 mm ; 40,91 ;

I 143161640,8 mm ;

I 520373290,9 mm .

A

2)


7I

7II

cos 7,56 10 N mm;

sin 6,55 10 N mm.

M m

M m

19


I II

II I

0,126 0,528 0;

Iarctan 13, 41I

x y

MM

3)

Il diagramma delle tensioni normali è rappresentato in figura. In corrispondenza dei punti più sollecitati P1 e P2 (le cui

coordinate sono espresse nel sistema di riferimento I, II), esso vale:

1 2

21

22

: 151,11;130, 28 : 11,32; 145,56

87,8 N/mm ;

75,41 N/mm .

P P

P

P


6 1x0

x0

y0 7 1

y0

0;

2,6 10 mm ;

6,1 10 mm .

G

x

y

NEAMEIMEI

20

ESERCIZIO N4

Data la sezione in figura determinare:

1) i momenti di inerzia II, III;



Siano:

380 mm90 mm80 mm20 mm

abcs

21

2

70 kN (di compressione)206000 N/mm

NE

1)

Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2

4I

4II

22000 mm ; 45 ;140,18 mm;140,18 mm;84,59 mm;282,84 mm;

I 671773333.34 mm ;

I 216651878.78 mm .

G

G

C

C

A

xyxy

22

2)


I

II

70 10 N ;19799 N mm; 5922 N mm.

C

C

NM N yM N x


3,182 0,029 0,027 0;0 107,96 mm;0 116, 41 mm.

n

n

x y xx yy x

3)

Il diagramma delle tensioni normali è rappresentato in figura. In corrispondenza dei punti più sollecitati P1 e P2 (le cui

coordinate sono espresse nel sistema di riferimento I, II), esso vale:

1 2

21

22

: 84,6;282,8 : 84,6; 282,8

13,83 N/mm ;

2,84 N/mm .

P P

P

P


6

7 1x0

x0

y0 7 1

y0

1,5 10 ;

1, 43 10 mm ;

1,32 10 mm .

G

x

y

NEAMEIMEI

23

ESERCIZIO N5

Data la sezione dell’esercizio in figura determinare:




Siano:

200 mm20 mm20 mm

abs

24

2


NE

25

1)


4I x0

4II y0

39600 mm ; 0;0 mm;111.01 mm;

410 mm;1.01 mm;

I I 219679595,96 mm ;

I I 2610920000 mm .

G

G

C

C

A

xyxy

2)


3

x0

5y0

50 10 N ;50000 N mm;

205 10 N mm. C

C

NM N y

M N x

Equazione asse neutro: 4 31, 263 2,3 10 7,8 10 0;

0 5492,5 mm;0 160,81 mm.

n

n

y xx yy x

26

L’asse neutro è pressoché verticale. Lo stato di tensione può essere considerato un caso di flessione retta.

3)


1 2

21

22

: 410;0 : 410;0

4, 48 N/mm ;

1,96 N/mm .

P P

P

P


6

9 1x0

x0

y0 8 1

y0

6,13 10 ;

1,12 10 mm ;

3,81 10 mm .

G

x

y

NEAMEIMEI

27

ESERCIZIO N6

Data la sezione in figura determinare:




Siano:

200 mm300 mm10 mm

abs

28

2


NE

29

1)


4I x0

4II y0

33800 mm ; 0;0 mm;154,92 mm;205 mm;355,08 mm;

I I 1177628942.9 mm ;

I I 1939281666.7 mm .

G

G

C

C

A

xyxy

2)


3

6x0

6y0

10 10 N ;3,55 10 N mm;

2,05 10 N mm. C

C

NM N y

M N x

Equazione asse neutro: 3 30, 296 3,01 10 10 0;

0 98,12 mm;0 279,88 mm.

n

n

y xx yy x

30

3)


1 2

21

22

: 405; 154,92 : 205;360,08

0,6 N/mm ;

1,6 N/mm .

P P

P

P


6

8 1x0

x0

y0 9 1

y0

1, 43 10 ;

1, 46 10 mm ;

5,13 10 mm .

G

x

y

NEAMEIMEI

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