Esercizio di diagonalizzazione

18 ottobre 2015

Supponiamo di avere la seguente forma bilineare:

A(x,x) = au1u1 + 2du1u2 + 2eu1u3 + bu2u2 + 2fu2u3 + cu3u3

dove chiaramente x = uiei. Riscrivendo la forma bilineare in notazione

matriciale abbiamo dunque che nella base {ei} la forma assume:

A =

a d ed b fe f c

Adesso procediamo nel nostro cambio di coordinate x = uiei = vifi. Faccia-

mo in modo di scegliere la nuova base di modo tale che :

v1 = au1 + du2 + eu3

v2 = u2

v3 = u3

Con questo cambio di base adesso dobbiamo esplicitare il termine au1u1 e

lo facciamo calcolando:

v1v1 = a2u1u1 + 2adu1u2 + 2aeu1u3 + d2u2u2 + 2deu2u3 + e2u3u3

da cui si ottiene:

1

av1v1 = au1u1 + 2du1u2 + 2aeuu3 +

d2

au2u2 + 2

de

au2u3 +

e

a

2u3u3

e dunque

1

av1v1 − 2dv1v2 − 2aev1v3 − d2

av2v2 − 2

de

av2v3 − e

a

2v3v3 = au1u1

Da cui nelle nuove coordinate

A(x,x) =1

av1v1 +

ab− d2

av2v2 + 2(

fa− de

a)v2v3 +

ca− e2

av3v3

A questo punto siamo pronti per l'ultimo cambio di coordinate x = uiei =vifi = wigi in cui scegliamo la nuova base di modo che

1

w1 = v1

w2 = pv2 +qv3

w3 = v3dove

p = ab−d2

a

q = fa−dea

Con questo cambio di coordinate abbiamo

1

pw2w2 = pv2v2 + 2qv2v3 +

q

p

2v3v3

ovvero1

pw2w2 − 2qw2w3 − q

p

2w3w3 = pv2v2

e dunque nelle nuove coordinate abbiamo la diagonalizzazione

A(x,x) =1

aw1w1 +

1

pw2w2 + (

ca− e2

a− q2

p)w3w3

ovvero

A(x,x) =1

aw1w1 +

a

ab− d2w2w2 + (

(ca− e2)(ab− d2)− (fa− de)2

a2(ab− d2))w3w3

cioé:

A =

1a 0 00 a

ab−d2 0

0 0 (ca−e2)(ab−d2)−(fa−de)2

a2(ab−d2)

A questo punto se siamo interessati al cambio di base dobbiamo notare che

w1 = v1 = au1 +du2 +eu3

w2 = pv2 +qv3 = +ab−d2

a u2 + fa−dea u3

w3 = v3 = u3

Da qui abbiamo dunque

C =

a d e

0 ab−d2

afa−de

a0 0 1

Calcolando dunque l'inversa per operare il cambio di base sulla forma bili-

neare otteniamo:

U = C−1 =

1a

−dab−d2

be−dfab−d2

0 aab−d2

de−afab−d2

0 0 1

Per cui abbiamo

1a 0 00 a

ab−d2 0

0 0 (ca−e2)(ab−d2)−(fa−de)2

a2(ab−d2)

= UT

a d ed b fe f c

U

2