Corso di Geometria 2010-11

BIAR, BSIR

Esercizi 5: soluzioni

1 Applicazioni lineari

Esercizio 1. Sono date le seguenti applicazioni lineari da R3 a R2:

f1

xyz

=(

x− yx + z

), f2

xyz

=(

x + y − 2z−x− y + 2z

).

a) Scrivere la matrice associata a fi rispetto alle basi canoniche di R3 e R2.

b) Determinare una base di Kerfi e una base di Imfi.

c) Verificare che il vettore(

10

)appartiene all’immagine di f1, e trovare tutti i vettori v ∈ R3

tali che f(v) =(

10

).

d) Stabilire se il vettore(

10

)appartiene all’immagine di f2 oppure no.

Soluzione. a) Rispettivamente A1 =(

1 −1 01 0 1

), A2 =

(1 1 −2−1 −1 2

).

b) Base di Kerf1 =

11−1

mentre Imf1 = R2 quindi f1 e suriettiva.

Base di Kerf2 =

1−10

,

201

; base di Imf2 =(

1−1

).

1

c) Siccome f1 e suriettiva, sicuramente(

10

)∈ Imf1. Per trovare i vettori v tali che f(v) =

(10

)basta risolvere il sistema: {

x− y = 1x + z = 0

Tale sistema ammette ∞1 soluzioni, del tipo

−t−t− 1

t

con t ∈ R: tutti questi vettori avranno

immagine(

10

).

d) No. �

Esercizio 2. Sono date le matrici:

A1 =(−1 22 −4

), A2 =

1 1 32 −1 1−1 5 7

, A3 =

1 2 1 −11 2 1 −11 2 1 −1

.

a) Per ciascun i = 1, 2, 3 scrivere esplicitamente l’applicazione lineare fi : Rn → Rm rappre-sentata da Ai rispetto alle basi canoniche.b) Trovare una base di Kerfi e una base di Imfi.

Soluzione. a) Osserviamo innanzitutto che f1 : R2 → R2, f2 : R3 → R3 e f3 : R4 → R3. Si haquindi

f1

(xy

)=(−x + 2y2x− 4y

), f2

xyz

=

x + y + 3z2x− y + z−x + 5y + 7z

, f

xyzw

=

x + 2y + z − wx + 2y + z − wx + 2y + z − w

.

b) rkA1 = 1 dunque dim Imf1 = 1 e, per il teorema della dimensione, dim Kerf1 = 1. Impo-

nendo f1

(xy

)=(

00

)e risolvendo otteniamo la base

(21

)per Kerf1. Ora Imf1 ha base data

dalle colonne linearmente indipendenti di A1, cioe il vettore(−12

).

Si ha rkA2 = 2 dunque dim Imf2 = 2 e dim Kerf2 = 1. Si trova la base

45−3

per Kerf2 e

la base

12−1

,

1−15

per Imf2.

2

Infine rkA3 = 1 da cui dim Imf3 = 1 e dim Kerf3 = 3. Si trova la base

111

per Imf3 e la

base

2−100

,

10−10

,

1001

per Kerf3 (ovviamente, le basi trovate non sono uniche). �

Esercizio 3. Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare definita da:

f

xyz

=

kx + 3y + zx + 3y + kzx + 3ky + z

dove k e un parametro reale. Determinare la dimensione di Kerf al variare di k, e stabilire ivalori di k per i quali f e iniettiva.

Soluzione. La matrice associata rispetto alle basi canoniche e A =

k 3 11 3 k1 3k 1

e si ha dim Imf =

rkA. Ora det A = −3(k − 1)2(k + 2) che si annulla per k = 1 e k = −2. Dunque se k 6= 1 ek 6= −2 si ha rkA = 3. Si verifica che per k = 1 il rango vale 1 mentre per k = −2 il rango vale2. Dunque:

dim Imf = rkA =

3 se k 6= 1 e k 6= −22 se k = −21 se k = 1

.

Dal teorema della dimensione (dim Kerf + dim Imf = 3), otteniamo:

dim Kerf =

0 se k 6= 1 e k 6= −21 se k = −22 se k = 1

.

In particolare, f e iniettiva se e solo se k 6= 1 e k 6= −2. �

Esercizio 4. Sia f l’applicazione lineare da R4 a R3 definita da:

f

xyzw

=

x + 2y + z − 3w−y + z + 2w2x + y + 5z

3

a) Trovare una base di Kerf e una base di Imf .

b) Stabilire se

7−111

∈ Imf .

c) Trovare, se possibile, un vettore v ∈ R3 tale che v /∈ Imf .

Soluzione. a) Base di Kerf : (−3, 1, 1, 0)t, (−1, 2, 0, 1)t. Base di Imf : (1, 0, 2)t, (2,−1, 1)t. b)

Si ha: (7,−1, 11)t = 5(1, 0, 2)t + (2,−1, 1)t = f((5, 1, 0, 0)t) dunque la risposta e affermativa. c)Il vettore (3,−1, 0)t /∈ Imf poiche non e combinazione lineare dei vettori della base di Imf . �

Esercizio 5. Sia (e1, e2, e3) la base canonica di R3, e si consideri l’unica applicazione linearef : R3 → R2 tale che:

f(e1) =(

10

)f(e2) =

(2−1

)f(e3) =

(11

).

a) Determinare i vettori f

120

e f

3−1−1

.

b) Determinare f

xyz

per ogni

xyz

∈ R3.

c) Determinare la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche di R3 e R2 (detta anchematrice canonica di f).

Soluzione. a) f

120

= f(e1) + 2f(e2) =(

5−2

). Si trova quindi f

3−1−1

=(

00

).

b) f

xyz

= xf(e1) + yf(e2) + zf(e3) =(

x + 2y + z−y + z

).

c) Matrice associata rispetto alle basi canoniche(

1 2 10 −1 1

). �

4

Esercizio 6. Calcolare f

(xy

), dove f e l’unica applicazione lineare da R2 a R2 che verifica le

seguenti condizioni: f

(10

)=(

21

)e(

11

)∈ Kerf . (Suggerimento: usare il fatto che la generica

applicazione lineare da R2 a R2 si scrive f

(xy

)=(

ax + bycx + dy

)con a, b, c, d ∈ R).

Soluzione. Si ha f

(10

)=(

ac

)e f

(11

)=(

a + bc + d

). Imponendo f

(10

)=(

21

)e f

(11

)=(

00

)otteniamo: (

ac

)=(

21

),

(a + bc + d

)=(

00

),

da cui a = 2, b = −2, c = 1, d = −1 e quindi

f

(xy

)=(

2x− 2yx− y

).

�

Esercizio 7. Sia f : Mat(2× 2)→ R2 l’applicazione lineare definita dalla legge:

f

(a bc d

)=(

a + db + c

).

a) Scrivere la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche di Mat(2× 2) e R2.b) Determinare una base di Kerf e una base di Imf .

Soluzione. a) Siano (E1, E2, E3, E4) la base canonica di Mat(2× 2) e (e1, e2) la base canonicadi R2. Allora:

f(E1) = e1

f(E2) = e2

f(E3) = e2

f(E4) = e1

da cui la matrice associata(

1 0 0 10 1 1 0

).

b) Il nucleo si ottiene imponendo f

(a bc d

)=(

00

); la matrice generica del nucleo si scrive(

a b−b −a

)e una sua base e

((1 00 −1

),

(0 1−1 0

)). Per il teorema della dimensione, l’immagine

ha dimensione 2, dunque Imf = R2 e f risulta suriettiva. �

5

Esercizio 8. Siano V uno spazio vettoriale con base B = (v1, v2, v3, v4) e W un secondo spaziovettoriale con base B′ = (w1, w2, w3). Si consideri l’unica applicazione lineare f : V → W taleche:

f(v1) = w1 + w2 + w3

f(v2) = 2w1 − w3

f(v3) = 3w1 + w2

f(v4) = 0

a) Scrivere la matrice associata a f rispetto alle basi B,B′.b) Determinare la dimensione e una base di Kerf .c) Determinare la dimensione e una base di Imf .

Soluzione. a) Matrice associata rispetto a B,B′:

A =

1 2 3 01 0 1 01 −1 0 0

.

b) Le coordinate dei vettori del nucleo si ottengono risolvendo il sistema AX = 0. Tale sistemaammette ∞2 soluzioni, con base (1, 1,−1, 0), (0, 0, 0, 1). Dunque la dimensione e 2 con base:

(v1 + v2 − v3, v4).

c) Il rango di A e 2, dunque dim Imf = 2. Prendendo il minore di ordine due in alto a sinistra,una base di Imf e formata da f(v1), f(v2) cioe’ (w1 + w2 + w3, 2w1 − w3). �

Esercizio 9. Siano V uno spazio vettoriale con base B = (v1, v2, v3) e W un secondo spaziovettoriale con base B′ = (w1, w2, w3). Si consideri l’unica applicazione lineare f : V → W taleche:

f(v1) = w1 + w3

f(v2) = 2w1 + w2 + 3w3

f(v3) = w1 + w2 + 2w3

a) Scrivere la matrice associata a f rispetto alle basi B,B′.

b) Determinare la dimensione e una base di Kerf .c) Determinare la dimensione e una base di Imf .

Soluzione. Matrice associata A =

1 2 10 1 11 3 2

con rango 2. Dimensione di Imf = 2 con base

f(v1), f(v2). Dimensione di Kerf = 1 con base v1 − v2 + v3. �

6

Esercizio 10. Siano v1 =

111

, v2 =

1−10

, v3 =

110

vettori di R3.

a) Dimostrare che esiste un unica applicazione lineare (omomorfismo) f : R3 → R3 tale che:

f(v1) = f(v2) =

211

, f(v3) =

422

.

b) Determinare la dimensione e una base di Imf .

c) Determinare la dimensione e una base di Kerf .

Soluzione. a) I tre vettori v1, v2, v3 formano una base di R3: dunque f esiste ed e unica.

b) Imf e il sottospazio generato da f(v1), f(v2), f(v3), dunque una base e data dal vettore

211

.

c) Sappiamo che la dimensione del nucleo e 2. I vettori v1 − v2 e 2v1 − v3 sono nel nucleo, esono linearmente indipendenti, dunque formano una base.

Si poteva anche procedere considerando la matrice associata a f rispetto alle basi (v1, v2, v3)

e (e1, e2, e3) (canonica): A =

2 2 41 1 21 1 2

. �

Esercizio 11. Sia f l’applicazione lineare di Mat(2× 2) in se stesso definita da:

f

(a bc d

)=(

a b + cb + c d

)Trovare una base di Kerf e una base di Imf .

Soluzione. Imponendo f

(a bc d

)=(

0 00 0

)otteniamo a = b+c = d = 0; il nucleo ha dimensione

1 con base(

0 1−1 0

). Per il teorema della dimensione, l’immagine avra’ dimensione 3. Essa

e generata dai vettori f(E1), f(E2), f(E3), f(E4) (dove E1, E2, E3, E4 sono i vettori della basecanonica di Mat(2× 2)), da cui possiamo estrarre la base((

1 00 0

),

(0 11 0

),

(0 00 1

)).

�

7

Esercizio 12. Scrivere esplicitamente f

(xy

), se f e l’unica applicazione lineare f : R2 → R2

tale che:

f

(12

)=(

2−2

), f

(10

)=(

1−1

).

Determinare inoltre una base di Kerf e una base di Imf .

Soluzione. La generica applicazione lineare f : R2 → R2 si scrive f

(xy

)=(

ax + bycx + dy

). Impo-

nendo le condizioni troviamo a = 1, b = 12 , c = −1, d = −1

2 . Dunque:

f

(xy

)=(

x + 12y

−x− 12y

).

Si trova poi che una base del nucleo e(

1−2

)e una base dell’immagine e

(1−1

). �

Esercizio 13. Siano v1 =

10−1

, v2 =

213

, v3 =

015

.

a) Dimostrare che i tre vettori sono linearmente dipendenti, e trovare una relazione di dipen-denza lineare tra v1, v2, v3.b) Stabilire se esiste un’applicazione lineare f : R3 → R3 tale che:

f(v1) = f(v2) =

111

, f(v3) =

100

.

Se tale f esiste, e unica?c) Stabilire se esiste un’applicazione lineare g : R3 → R3 tale che:

g(v1) = g(v2) =

101

, g(v3) =

−10−1

.

Se tale g esiste, e unica?

Soluzione. a) v3 = −2v1 + v2.

b) Non esiste. Infatti v3 = −2v1 +v2, quindi f(v3) = −2f(v1) +f(v2) =

−1−1−1

, incompatibile.

8

c) Tale g esiste perche g(v3) = g(−2v1 + v2), ma non e unica. �

Esercizio 14. Sia N =(

1 1−1 −1

)e si consideri l’applicazione T : Mat(2× 2)→Mat(2× 2)

definita da T (A) = AN per ogni A ∈Mat(2× 2).a) Verificare che T e lineare.b) Trovare la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche.c) Trovare basi di KerT e ImT .

Soluzione. a) Si ha T (A1 + A2) = (A1 + A2)N = A1N + A2N = T (A1) + T (A2). Inoltre, sek ∈ R, si ha T (kA) = (kA)N = k(AN) = kT (A). Dunque T e lineare.

Esplicitamente, si ha

T

(x yz w

)=(

x yz w

)(1 1−1 −1

)=(

x− y x− yz − w z − w

).

b) Detta (E1, E2, E3, E4) la base canonica di Mat(2× 2) si ha:T (E1) = E1 + E2

T (E2) = −E1 − E2

T (E3) = E3 + E4

T (E4) = −E3 − E4

da cui la matrice associata 1 −1 0 01 −1 0 00 0 1 −10 0 1 −1

.

La matrice associata ha rango 2 dunque dim ImT = 2 e dal teorema della dimensione dim KerT =2. Due colonne linearmente indipendenti sono, ad esempio, la prima e la terza, da cui una basedell’immagine e formata dalle matrici

T (E1) = E1 + E2 =(

1 10 0

), T (E3) = E3 + E4 =

(0 01 1

).

Una base del nucleo si ottiene risolvendo T

(x yz w

)=(

0 00 0

), e si trova la base

((1 10 0

),

(0 01 1

)).

In conclusione

KerT = L[(

1 10 0

),

(0 01 1

)] = ImT

9

e quindi, in questo caso: KerT = ImT . �

Esercizio 15. Sia f : R3[x] → R4[x] l’applicazione definita da: f(p(x)) = p′(x) + 2xp(x) perogni polinomio p(x) ∈ R3[x].a) Verificare che f e lineare e scrivere la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche.b) Stabilire se f e iniettiva.c) Stabilire se f e suriettiva.

Soluzione. La base canonica di R3[x] e (1, x, x2) mentre la base canonica di R4[x] e (1, x, x2, x3).Un calcolo mostra che:

f(1) = 2x

f(x) = 1 + 2x2

f(x2) = 2x + 2x3

da cui la matrice associata

A =

0 1 02 0 20 2 00 0 2

.

Si ha dim Imf = rkA = 3 e poiche lo spazio di arrivo ha dimensione 4 si ha che f non esuriettiva. Dal teorema della dimensione otteniamo dim Kerf = 0 quindi f e iniettiva. �

2 Rango e sottospazi

Esercizio 16. Si consideri la matrice

A =

a b ab a b

a + b a + b a + b

.

Determinare il rango di A al variare dei parametri non nulli a, b.

Soluzione. Il rango e 1 se a2 = b2 altrimenti e 2. �

Esercizio 17. Trovare un sistema omogeneo S : AX = O di due equazioni nelle quattro

incognite X =

xyzw

il cui insieme delle soluzioni e il sottospazio di R4 generato dai vettori

10

1120

,

0131

.

Soluzione. I generatori formano una base. Detto (x1, x2, x3, x4)t il vettore generico di R4, dob-biamo imporre la condizione

rk

1 0 x1

1 1 x2

2 3 x3

0 1 x4

= 2.

Considerando gli orlati del minore(

1 01 1

), che ha determinante non nullo, otteniamo le con-

dizioni: ∣∣∣∣∣∣1 0 x1

1 1 x2

2 3 x3

∣∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣∣1 0 x1

1 1 x2

0 1 x4

∣∣∣∣∣∣ = 0,

e dunque il sistema cercato e {x1 − 3x2 + x3 = 0x1 − x2 + x4 = 0.

�

Esercizio 18. Sia A una matrice di tipo 3× 4 avente rango 3.a) Aggiungiamo ad A un vettore colonna v ∈ R3. Possiamo scegliere v in modo tale che nonsia combinazione lineare delle colonne precedenti?b) Ora aggiungiamo ad A un vettore riga u ∈ R4. Possiamo scegliere u in modo tale che nonsia combinazione lineare delle righe precedenti?

Soluzione. a) No: poiche il rango e 3 le quattro colonne generano R3. b) Si’: le righe generano

un sottospazio di R4 di dimensione pari al rango, cioe 3: dunque possiamo sempre trovare unvettore di R4 che non sia combinazione lineare delle righe di A.�

Esercizio 19. Nello spazio R3 sono dati il sottospazio E di equazione x − y + 2z = 0 e il

sottospazio F generato dai vettori

231

,

462

.

a) Determinare una base e la dimensione di ciascuno dei due sottospazi.

11

b) Dimostrare che R3 = E ⊕ F .

c) Decomporre il vettore

100

nella somma di un vettore di E e di un vettore di F .

Soluzione. a) E ha dimensione 2 con base, ad esempio,

110

,

201

(ma ci sono altre basi

possibili). I generatori di F sono linearmente dipendenti e una base di F e data, ad esempio,

da

231

.

b) E + F e generato dai vettori

110

,

201

,

231

: tali vettori sono linearmente indipendenti

dunque dim(E +F ) = 3 e risulta E +F = R3. Dalla formula di Grassmann otteniamo dim(E∩F ) = 0 da cui E ∩ F = {O}: questo dimostra che la somma e diretta: R3 = E ⊕ F .c) Si ha 1

00

= −3

110

+

20−1

+

231

.

I primi due vettori sono in E e il terzo e in F , dunque possiamo scrivere100

=

−1−3−1

+

231

,

dove il primo vettore e in E e il secondo e in F . Tale decomposizione e unica, perche sappiamoche la somma e diretta. �

Esercizio 20. In uno spazio vettoriale di dimensione 8 sono dati due sottospazi E,F didimensione 4 e 6, rispettivamente. Quali valori possono assumere dim(E + F ) e dim(E ∩ F )?

Soluzione. Si ha che dim(E + F ) puo valere 6, 7, 8. Applicando la formula di Grassmann si ha

dim(E + F ) + dim(E ∩ F ) = dim E + dim F = 10,

dunque dim(E ∩ F ) = 4, 3, 2, rispettivamente. �

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Esercizio 21. Sia A una matrice 3× 4. Stabilire, in ciascun caso, se la data situazione si puo’verificare oppure no.a) Le righe sono linearmente indipendenti, le colonne sono linearmente indipendenti.b) Le righe sono linearmente indipendenti, le colonne sono linearmente dipendenti.c) Le righe sono linearmente dipendenti, le colonne sono linearmente indipendenti.d) Le righe sono linearmente dipendenti, le colonne sono linearmente dipendenti.

Soluzione. a) Mai. b) Si verifica se il rango vale 3. c) Mai. d) Si verifica se il rango e

minore o uguale a 2. �

Esercizio 22. Sia E il sottospazio di R4[x] formato dai polinomi che si annullano in 0 e 1, valea dire:

E = {p(x) ∈ R4[x] : p(0) = p(1) = 0}.Determinare una base e la dimensione di E.

Soluzione. Primo metodo. Per ipotesi 0 e 1 sono radici di un qualunque polinomio di E. Dunqueil polinomio generico di E sara divisibile per x e per x− 1, e si scrive

x(x− 1)(a + bx).

con a, b ∈ R. La dimensione di E vale 2 e una base e x(x− 1), x2(x− 1).

Secondo metodo. Partiamo dal polinomio generico di R4[x]:

p(x) = a + bx + cx2 + dx3.

La condizione p(0) = 0 da a = 0, mentre la condizione p(1) = 0 da a + b + c + d = 0. Otteniamoil sistema {

a = 0a + b + c + d = 0

Risolvendo, otteniamo le ∞2 soluzioni a = 0b = −t− s

c = t

d = s

con t, s ∈ R e il polinomio generico di E si scrive

p(x) = −(t + s)x + tx2 + sx3 = t(−x + x2) + s(−x + x3).

Una base e formata dai due polinomi −x + x2,−x + x3.�

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