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Maurizio Orlando, Lorenzo R. Piscitelli ‐ Soluzione dei compiti del Corso di Tecnica delle Costruzioni

Corso di Laurea CEA – Curricula Ambiente ed Infrastrutture

Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 1

Corso di Laurea CEA

Curricula Ambiente ed Infrastrutture

Soluzione dei compiti del

Corso di Tecnica delle Costruzioni

Maurizio Orlando

Lorenzo R. Piscitelli

Versione 1.0

aggiornamento 30 OTTOBRE 2017




Versioni e modifiche

Versione Modifiche rispetto alla versione precedente

15 gennaio 2017 ‐‐‐‐‐‐

5 febbraio 2017

1. compito 21.07.2015 – Modificato lo schema di carico dell’asta 3‐

6 ed il diagramma del momento flettente della stessa asta

2. aggiunta soluzione del compito del 31.01.2017

30 ottobre 2017 1. corretto refuso nella formula 3N‐V=l‐i

corretto refuso esercizio del 21.07.2015

2. aggiunti due casi di aste con vincoli inclinati

3. aggiunta soluzione di due compiti del 03.07.17

segnalazione errori

[email protected]

[email protected]

(indicare versione del documento, numero di pagina, breve descrizione)




Indice

PARTE I

1 Soluzione di alcuni schemi elementari di aste ...................................................................... 7

1.1 Mensola ................................................................................................................................ 8

1.2 Asta semplicemente appoggiata ...................................................................................... 9

1.2.1 Studio di un’ asta semplicemente appoggiata come due mensole ............................................... 10

1.3 Asta doppiamente incastrata .......................................................................................... 11

1.3.1 Soluzione dell’asta doppiamente incastrata con il metodo della congruenza ............................ 12

1.4 Asta incastro – appoggio ................................................................................................. 13

1.4.1 Soluzione dell’asta incastro‐appoggio con il metodo dei vincoli ausiliari .................................. 14

1.4.2 Soluzione dell’asta incastro‐appoggio con il metodo della congruenza ...................................... 15

1.5 Asta incastro ‐ bipendolo ................................................................................................ 17

1.5.1 Studio di un’asta incastro ‐ bipendolo come metà di asta doppiamente incastrata ................... 18

1.5.2 Soluzione dell’asta incastro ‐ bipendolo con il metodo dei vincoli ausiliari ............................... 19

1.5.3 Soluzione dell’asta incastro ‐ bipendolo con il metodo della congruenza ................................... 20

2 Rigidezze delle sezioni di estremità di aste elementari ..................................................... 21

2.1 Rigidezze alla rotazione .................................................................................................. 21

1.1 Rigidezze alla traslazione ................................................................................................ 22

3 Aste con vincoli inclinati ........................................................................................................ 23

3.1 Asta bipendolo‐appoggio inclinato (infinitamente rigida assialmente) ................... 23

3.2 Asta bipendolo‐appoggio inclinato (deformabile assialmente) ................................ 25

PARTE II

4 Compito del 14.07.2014 .......................................................................................................... 29

5 Compito del 13.10.2014 .......................................................................................................... 43

6 Compito del 25.06.2015 .......................................................................................................... 53

7 Compito del 21.07.2015 .......................................................................................................... 63

8 Compito del 28.11.2016 .......................................................................................................... 77

9 Compito del 31.01.2017 .......................................................................................................... 87

10 Compito A del 03.07.2017 ...................................................................................................... 97

11 Compito B del 03.07.2017 ..................................................................................................... 107




12 Esercizi da svolgere .............................................................................................................. 115




PARTE I




1 SOLUZIONE DI ALCUNI SCHEMI ELEMENTARI DI ASTE

Si riportano di seguito alcuni schemi elementari di aste ricorrenti nella soluzione di sistemi

iperstatici di aste snelle.

Legenda

Tutti gli esempi riportati in questa raccolta sono svolti assumendo le seguenti ipotesi:

comportamento elastico lineare dei materiali

sezione costante e materiale omogeneo (EJ costante) indeformabilità a taglio (GA′ ∞) e a sforzo normale1 ( ∞)

salvo dove diversamente indicato.

1 Per aste snelle, la deformazione a taglio è trascurabile rispetto alla deformazione flessionale, mentre la

deformazione a sforzo normale è trascurabile se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: la curva delle

pressioni è molto discosta dall’asse della trave ed è poco intrecciata con lo stesso asse della trave.




1.1 MENSOLA




1.2 ASTA SEMPLICEMENTE APPOGGIATA




1.2.1 Studio di un’ asta semplicemente appoggiata come due mensole

Un’asta semplicemente appoggiata agli estremi di lunghezza L e soggetta ad una condizione

di carico simmetrica, può essere studiata come due mensole di lunghezza pari a L/2. Di

seguito si considera il caso di un carico concentrato P nella sezione di mezzeria.

Per la simmetria della struttura (geometria e condizioni di vincolo) e dello schema di carico,

la sezione di mezzeria (che è sezione di simmetria) può solo spostarsi nella direzione

dell’asse di simmetria, ossia in direzione verticale; è possibile pertanto dividere l’asta in

corrispondenza della sezione di mezzeria ed inserirvi un bipendolo.

Lo studio dell’asta si riduce così a quello di due aste appoggio ‐ bipendolo di lunghezza L/2,

sulle quali il carico concentrato si ripartisce in parti uguali. Peraltro lo schema

appoggio ‐ bipendolo è a sua volta equivalente a quello di una mensola. Si possono pertanto

utilizzare i risultati noti di una mensola soggetta ad un carico concentrato applicato

all’estremo libero, come indicato nelle figure sottostanti.

Lo stesso ragionamento può essere ripetuto per un’asta semplicemente appoggiata soggetta

ad una qualunque distribuzione simmetrica di carico.




1.3 ASTA DOPPIAMENTE INCASTRATA




1.3.1 Soluzione dell’asta doppiamente incastrata con il metodo della congruenza

L’asta doppiamente incastrata è tre volte iperstatica. In assenza di carichi assiali, la reazione

orizzontale è nulla agli estremi e lʹasta essa risulta due volte iperstatica. In presenza di una

distribuzione simmetrica di carico, le reazioni verticali ad entrambi gli estremi sono note,

ciascuna uguale alla metà della risultante del carico applicato. Soggetta ad un carico

concentrato P nella sezione di mezzeria, lʹasta è pertanto una volta iperstatica.

La soluzione può essere cercata con il metodo della congruenza, presa come struttura

principale una trave in semplice appoggio, eliminando i vincoli alla rotazione agli estremi.

L’incognita iperstatica è rappresentata dalla coppia dʹincastro in A e B (uguali e contrarie),

che si ricava imponendo la congruenza nei nodi, condizione espressa dalla richiesta che le

rotazioni in A e in B siano nulle. Gli effetti sono dati dalla somma del sistema “0” (struttura

principale con carichi esterni) e di quella nel sistema “X” (struttura principale con incognita

iperstatica X).

La rotazione nel nodo A, sia nel sistema “0” che nel sistema “X”, può essere ricavata con

vari metodi (integrazione dell’equazione della linea elastica, Principio dei lavori virtuali,

teorema di Clapeyron, ricorrendo a formulari come quelli presentati nel §0).

Qui si utilizza il risultato noto per cui la rotazione relativa tra due sezioni e di un’asta

qualunque è data dall’integrale del diagramma delle curvature, il quale è dato dalla somma

del diagramma delle curvature del sistema “0” con quello del sistema “1”:

Posto e (sezione di mezzeria dell’asta), si ha che la rotazione relativa tra

queste due sezioni è nulla, perché la sezione A non può ruotare per la presenza dell’incastro

mentre la sezione di mezzeria non può ruotare per simmetria:

0con: 0

l’integrale della curvatura K(z) tra le sezioni A e M è nullo se i due triangoli simili ACD e

DME (il prima di area negativa e il secondo di area positiva) hanno la stessa area, ossia se

hanno la stessa altezza:

dacui:X PL

4X → X

PL8




1.4 ASTA INCASTRO – APPOGGIO




1.4.1 Soluzione dell’asta incastro-appoggio con il metodo dei vincoli ausiliari

Nella prima fase si inserisce un morsetto che blocca la rotazione della sezione di appoggio

B, trasformando così l’asta in un’asta doppiamente incastrata; nella seconda fase si elimina

il morsetto, riapplicando la sua reazione vincolare con il verso cambiato.

La soluzione si ottiene sovrapponendo gli effetti della prima e della seconda fase.

La rotazione della sezione B, essendo essa bloccata nella fase I, si ottiene dalla sola fase II

(proprietà dell’equivalenza2).

2 “cfr. Pozzati, vol. I pag. 253 – Proprietà dell’equivalenza: il valore dei movimenti dei nodi bloccati dai vincoli

ausiliari è dato dalla sola fase II, essendo evidentemente nullo quello che compete alla fase I.




1.4.2 Soluzione dell’asta incastro-appoggio con il metodo della congruenza

L’asta incastro‐appoggio è una volta iperstatica. La soluzione può essere ricercata con il

metodo della congruenza considerando come struttura principale un’asta semplicemente

appoggiata, ottenuta sopprimendo il vincolo alla rotazione nel nodo A.

L’incognita iperstatica è rappresentata dalla coppia di incastro in A; il suo valore si ricava

imponendo la congruenza nel nodo, condizione espressa dalla richiesta che la rotazione sia

nulla. Gli effetti sono dati dalla somma del sistema “0” (struttura principale, soggetta ai

carichi esterni) e di quella nel sistema “X” (struttura principale soggetta alla sola incognita

iperstatica X).

La rotazione nel nodo A, sia nel sistema “0” che nel sistema “X”, può essere ricavata con



Qui si utilizzano i risultati degli schemi noti della mensola riportati nel § 1.1; assumendo le

rotazioni orarie positive, nel presente caso si ha:

, 16 ; , 3

La condizione di congruenza è espressa dalla relazione:

, , 0

Sostituendo le espressioni delle due rotazioni si ottiene:

16 30 →

316

Il fatto che X abbia segno positivo significa che la coppia iperstatica ha il verso prefissato

all’inizio in figura, ossi antiorario.

Le reazioni verticali si ricavano imponendo l’equilibrio alla rotazione.

Sommando la soluzione del sistema “0” e del sistema “X”, si ottengono le reazioni vincolari

cercate.

Sistema “X” Sistema “0”




L’andamento qualitativo del diagramma del momento flettente è noto dalla distribuzione

dei carichi applicati (forze o coppie concentrate, carichi distribuiti uniformi o variabili, ecc.).

In questo caso, per la presenza di un solo carico concentrato in mezzeria, sappiamo che il

diagramma del momento flettente è di tipo bilineare; il momento flettente è nullo in B, per

la presenza della cerniera, e vale 3 /16 in A. Per tracciare il diagramma è sufficiente

calcolare il momento in mezzeria, che può essere ottenuto moltiplicando la reazione

verticale in B, unica azione a destra della sezione, per il braccio /2. Il momento è positivo

per le convenzioni utilizzate.

/2516

⋅2

532




1.5 ASTA INCASTRO ‐ BIPENDOLO




1.5.1 Studio di un’asta incastro - bipendolo come metà di asta doppiamente incastrata

Un’asta AB incastro ‐ bipendolo di lunghezza L può essere vista come la metà di un’asta

doppiamente incastrata AC, lunga 2L, caricata simmetricamente. Per la simmetria dell’asta

AC (geometria e condizioni di vincolo) e dello schema di carico, la sezione B, può solo

spostarsi nella direzione dell’asse di simmetria, ossia in direzione verticale. Si può pertanto

dividere l’asta AC in due parti (AB e BC) di lunghezza L in corrispondenza della sezione B,

inserendovi un bipendolo. Il caso di un carico concentrato applicato nella sezione di

mezzeria B e quello di un carico uniformemente distribuito sono rappresentati nelle figure

sottostanti. I risultati relativi alla trave doppiamente incastrata sono quelli riportati nel § 1.3.




1.5.2 Soluzione dell’asta incastro - bipendolo con il metodo dei vincoli ausiliari

Si considera un’asta incastro‐appoggio AB soggetta ad una distribuzione di carico

simmetrica. La soluzione viene sviluppata applicando il metodo dei incoli ausiliari.

Nella prima fase si inserisce un appoggio ausiliario che blocca la traslazione verticale della

sezione B, trasformando così l’asta in un’asta doppiamente incastrata; nella seconda fase si

elimina l’appoggio, riapplicando la sua reazione vincolare cambiata di segno.

La soluzione si ottiene sovrapponendo gli effetti della prima e della seconda fase.




1.5.3 Soluzione dell’asta incastro - bipendolo con il metodo della congruenza

L’asta incastro ‐ bipendolo AB è due volte iperstatica, ma in assenza di carichi assiali essa

risulta una volta iperstatica, essendo identicamente nulla la reazione orizzontale ad

entrambi gli estremi. La soluzione può essere ricercata con il metodo della congruenza

considerando come struttura principale una mensola, ottenuta sopprimendo il vincolo alla

rotazione nell’estremo B.

L’incognita iperstatica è rappresentata dalla coppia di incastro X in B; il suo valore si ricava

imponendo la congruenza nel nodo, condizione espressa dalla richiesta che la rotazione sia

nulla. Gli effetti sono dati dalla somma del sistema “0” (struttura principale, soggetta ai

carichi esterni) e di quella nel sistema “X” (struttura principale soggetta alla sola incognita

iperstatica X),

La rotazione nel nodo B, sia nel sistema “0” che nel sistema “X”, può essere ricavata con



Qui si utilizzano i risultati degli schemi noti della mensola riportati nel § 1.1; assumendo le

rotazioni orarie positive, nel presente caso si ha:

, 6 ; ,

La condizione di congruenza è espressa dalla relazione:

, , 0

Sostituendo le espressioni delle due rotazioni si ottiene:

60 →

q6

In fatto che X abbia segno positivo significa che la coppia iperstatica ha il verso prefissato

all’inizio in figura, ossi antiorario.

La coppia di incastro in A si ricava scrivendo l’equazione di equilibrio alla rotazione,

essendo già nota la reazione vincolare in A dall’equilibrio alla traslazione (VA = qL). Si

ottiene: MA = ‐ qL2/3.




2 RIGIDEZZE DELLE SEZIONI DI ESTREMITÀ DI ASTE ELEMENTARI

Aste a sezione costante, di materiale omogeneo elastico lineare, posto che sia / , dove

è il modulo elastico del materiale (Modulo di Young), è il momento di inerzia della sezione

e la lunghezza dell’asta.

2.1 RIGIDEZZE ALLA ROTAZIONE




1.1 RIGIDEZZE ALLA TRASLAZIONE

NOTA. La rigidezza alla rotazione è inversamente proporzionale alla lunghezza, mentre

quella alla traslazione è inversamente proporzionale al cubo della lunghezza. Pertanto, a

parità di condizioni di vincolo, di sezione e di materiale, raddoppiando la lunghezza

dell’asta (da L a 2L), le rigidezze alla rotazione di cui agli schemi sopra si dimezzano, mentre

quelle alla traslazione divengono otto volte più piccole.




3 ASTE CON VINCOLI INCLINATI

Si riportano di seguito alcuni schemi elementari di aste con vincoli inclinati ricorrenti nella

soluzione di sistemi iperstatici di aste snelle.

3.1 ASTA BIPENDOLO‐APPOGGIO INCLINATO (INFINITAMENTE RIGIDA ASSIALMENTE)

Sia data l’asta di lunghezza L rappresentata in figura, vincolata con un bipendolo

nell’estremo sinistro e un appoggio scorrevole inclinato dell’angolo rispetto alla verticale.

Si voglia calcolare la rigidezza alla traslazione del nodo 1 nella direzione dell’asta. Come

già visto per gli altri casi, la rigidezza può essere calcolata valutando lo spostamento

orizzontale w in funzione della forza F e ponendo poi questo spostamento pari a 1.

La forza produce uno spostamento orizzontale w del nodo 1 ed uno spostamento d del

nodo 2 sul piano inclinato dell’angolo rispetto all’orizzontale. Per l’ipotesi di

indeformabilità assiale dell’asta, la componente orizzontale dello spostamento inclinato d

del nodo 2 coincide con lo spostamento orizzontale w del nodo 1.

Per quanto riguarda le reazioni vincolari che fanno equilibrio alla forza F si hanno:

una reazione inclinata R dell’appoggio in 2,

una reazione verticale V e una coppia di incastro del bipendolo in 1.

Si può osservare come, a meno del moto di traslazione orizzontale, l’asta è assimilabile ad

una mensola caricata all’estremo libero da un’azione inclinata R, la cui componente assiale

N non produce deformazioni per l’ipotesi di indeformabilità assiale dell’asta ( ∞) e la

cui componente tagliante V produce la deformata rappresentata in figura.




Da semplici considerazioni trigonometriche risulta:

tan ; tan

e sostituendo le espressioni di V e di v nella relazione 3⁄ (cfr. schemi noti), si

ricava la relazione cercata tra la forza e lo spostamento orizzontale :

3→

3tan

3 tan 3cotg

Posto infine 1 si ricava la rigidezza alla traslazione cercata, che risulta funzione di :

3tan




Come si evince dalla formula, la rigidezza è nulla se l’angolo è pari a zero, condizione per

la quale l’asta è labile in direzione orizzontale, mentre la rigidezza tende all’infinito per

pari a 90 gradi, sempre per l’ipotesi di indeformabilità assiale.

3.2 ASTA BIPENDOLO‐APPOGGIO INCLINATO (DEFORMABILE ASSIALMENTE)

Si considera la stessa asta del problema precedente, rimuovendo l’ipotesi di indeformabilità

assiale.

Oltre al contributo flessionale, lo spostamento orizzontale del nodo 1 risente in questo caso

anche di una quota relativa alla deformazione assiale per effetto dello sforzo normale

costante N= . Siano e i due contributi allo spostamento orizzontale del nodo 1, dovuti

rispettivamente alla flessione e allo sforzo normale, si ha:

3cot

dove l’espressione di wf è ripresa dall’esempio precedente.

Posto 1 ed esplicitando si ricava la rigidezza:

tan3 tan

Nel grafico seguente viene rappresentata la rigidezza alla traslazione calcolata nei due casi

sopra riportati. Il calcolo è fatto per il caso di un’asta particolarmente tozza, scelta

appositamente per evidenziare l’effetto della deformabilità per sforzo normale che per aste

snelle è generalmente trascurabile.




Per angoli modesti, la deformabilità assiale produce una variazione di rigidezza

trascurabile.

Per 0, come si evince dalla formula sopra, la rigidezza dell’asta è nulla, perché l’asta è

labile in direzione orizzontale, mentre al tendere dell’angolo a 90 gradi, ossia al tendere ad infinito della tan , la rigidezza tende al valore della rigidezza assiale dell’asta (EA/L):

lim→

lim→

tan3 tan

come è lecito aspettarsi.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000K

w [k

Nm

m]

indeformabile assialmentedeformabile assialmente

asta HEA200L = 500 mm

A = 7808 mm2

J = 5.696E+07 mm4




PARTE II




4 COMPITO DEL 14.07.2014

Tracciare il diagramma del momento flettente e la deformata qualitativa del sistema di aste

rappresentato in figura; trascurare la deformazione a taglio e a sforzo normale.

CONVENZIONI SUI SEGNI

segno positivo delle reazioni vincolari e delle azioni agli estremi delle aste:

segno positivo delle caratteristiche della sollecitazione delle aste:

IPOTESI

A) indeformabilità delle aste a sforzo normale ( ∞)

B) indeformabilità delle aste a taglio ( ∞)




GRADO DI LABILITÀ/IPERSTATICITÀ

Struttura 3 volte iperstatica: 3 → 3 ⋅ 1 2 1 3 0 3

dove N è il numero di aste di cui è composta la struttura, V il numero di vincoli interni ed

esterni, l il grado di labilità della struttura ed i il grado di iperstaticità.

MOVIMENTI POSSIBILI

Per la presenza dell’asta 2‐3 infinitamente rigida e per l’ipotesi A) di indeformabilità assiale

delle aste 1‐2 e 3‐5, le rotazioni delle sezioni connesse ai nodi 2 e 3 risultano nulle e quindi

non indipendenti: 0.

Sempre per l’ipotesi A) risultano nulle, quindi non indipendenti, le traslazioni verticali e

.

Ancora per l’ipotesi A), risultano tra loro identiche le traslazioni orizzontali

.

Rotazioni: ,

Traslazioni:

MOVIMENTI INDIPENDENTI

Per la identificazione dei movimenti indipendenti si prescinde dai carichi applicati e si

immagina la struttura priva di carichi.

La conoscenza del momento flettente in 1 e in 4, per la presenza delle rispettive cerniere,

permette di stabilire che i movimenti correlativi e possono essere determinati in

funzione degli altri movimenti della struttura; tali movimenti risultano quindi dipendenti.

Rotazioni: ,

Traslazioni:

FASE I : BLOCCO DEL MOVIMENTO INDIPENDENTE

Si blocca il movimento indipendente inserendo un vincolo ausiliario alla traslazione

orizzontale nel nodo 2.

Si studiano quindi separatamente gli effetti dei carichi applicati sulle aste 1‐2, 3‐4 e 3‐5.




È possibile studiare l’asta 1‐2 con il metodo dei vincoli ausiliari (sfruttando la proprietà

dell’equivalenza) e ricorrendo a schemi elementari.

Si calcola il momento agli estremi dell’asta doppiamente incastrata, ottenuto bloccando la

rotazione del nodo 1 (aggiungendo un morsetto ad una cerniera, si realizza un vincolo di

incastro perfetto); si sblocca quindi la rotazione del nodo 1 e si applica la reazione fornita

dal morsetto cambiata di segno.




Risolvendo separatamente le due aste e sommando gli effetti si ottiene la soluzione dell’asta

originale.

L’asta 3‐5 presenta uno schema di più immediata soluzione.

Nello studio dell’asta 3‐4, per l’ipotesi di indeformabilità assiale è possibile, senza

modificare la soluzione del problema, sostituire al vincolo di appoggio una cerniera.




Anche questa volta, è possibile studiare l’asta con il metodo dei vincoli ausiliari come

somma degli schemi a* e b* illustrati di seguito.

Il momento nell’estremo destro nello schema b* deve essere opposto a quello ricavato nello

schema a*, in modo che la somma sia nulla e sia garantito l’equilibrio del nodo.

Sfruttando la simmetria dell’asta a* e l’antisimmetria del carico, si ha:




L’asta b* rappresenta uno schema noto (vedi soluzione al § 1.4).

La somma delle azioni sulle aste a* e b* fornisce la soluzione cercata:

Si riportano in una tabella i momenti agli estremi delle aste in fase I.

Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII

M ‐3/16

M 3/16

M ‐1/3

M 1/4

M 1/12

M ‐1/12

unità qL2

I momenti M e M sono stati ricavati dall’equilibrio alla rotazione dei nodi 2 e 3.

La reazione del vincolo ausiliario vale:

H2

1116

1916




FASE 2 : ELIMINAZIONE DEI VINCOLI AUSILIARI

La reazione orizzontale fornita in fase I dal vincolo ausiliario, viene ora cambiata di segno e

ripartita sulle aste della struttura.

H1916

Le sole aste che si oppongono alla traslazione orizzontale del traverso 2‐3‐4 sono le aste 1‐2

e 3‐5; queste si ripartiscono la forza applicata 19 /16 in proporzione alla rigidezza alla traslazione orizzontale delle sezioni 2 e 3. Si studiano quindi gli schemi:




La rigidezza alla traslazione totale del traverso vale:

U 3 12 27RL

Per cui la forza H si ripartisce in base ai coefficienti di ripartizione :

3RL

L15R

15

12RL

L27R

45

ovvero:

H H1980

; H H1920

Noto il taglio nelle sezioni 2‐1 e 3‐5, l’equilibrio alla traslazione orizzontale e alla rotazione

delle singole aste forniscono i valori delle azioni agli estremi di entrambe le aste.




La tabella riassuntiva può essere quindi completata e, sommando i risultati delle due fasi,

può essere ricavato il valore dei momenti finali agli estremi di ogni asta.


M ‐3/16 19/80 1/20 ≅ 0.05

M 3/16 ‐19/80 ‐1/20 ≅ ‐0.05

M ‐1/3 19/40 17/120 ≅ 0.14

M 1/4 0 1/4 ≅ 0.25

M 1/12 ‐19/40 ‐47/120 ≅ ‐0.39

M ‐1/12 ‐19/40 ‐67/120 ≅ ‐0.56

unità qL2

I momenti M e M in fase II presenti agli estremi del traverso infinitamente rigido sono

stati ricavati imponendo l’equilibrio alla rotazione dei nodi 2 e 3, rispettivamente.

Noti i momenti agli estremi di ogni asta, i tagli agli estremi delle aste si ricavano scrivendo

l’equilibrio alla rotazione delle stesse aste, tenendo conto degli eventuali carichi interni,

mentre gli sforzi normali si ottengono dall’equilibrio alla traslazione dei nodi.




DIAGRAMMI DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE

Note le azioni agli estremi di tutte le aste ed i carichi applicati, possono essere calcolate le

caratteristiche della sollecitazione in tutte le sezioni delle aste.

Un’analisi preliminare, allo scopo di tracciare i diagrammi qualitativi di sforzo normale,

taglio e momento flettente, può essere fatta anche senza passare per la ricerca delle

equazioni rigorose che governano le caratteristiche della sollecitazione delle aste.




e.g. 1) Momento flettente asta 1‐2

Per la presenza del carico concentrato al centro dell’asta, il momento avrà andamento

bilineare. Essendo noto il momento flettente agli estremi dalla soluzione precedentemente

discussa, il diagramma può essere tracciato una volta noto il momento flettente in mezzeria;

il momento flettente vale:

1120

⋅2

1140


Il momento è noto agli estremi, e sarebbe lineare in assenza di carichi applicati lungo l’asse

(linea tratteggiata nera). Per effetto del carico distribuito orizzontale, il diagramma sarà di

tipo parabolico. La posizione esatta del punto di momento flettente nullo richiede la

soluzione rigorosa dell’equazione del momento flettente.


Il momento è noto agli estremi ed avrà una discontinuità di prima specie pari a 2 in

mezzeria, per effetto del momento concentrato. I valori prima e dopo il salto possono essere

ricavati analizzando il lato destro e sinistro della trave dalla sezione di mezzeria:

,14

94

⋅2

78

; ,94

⋅2

98

Si procede in modo analogo per le altre aste della struttura.




FUNZIONI DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE


Percorrendo lʹasta da 1 a 2, il momento iniziale nella sezione 1 è nullo per la presenza della

cerniera e la mancanza di coppie concentrate. Per la presenza delle azioni trasversali in testa

e a metà dellʹasta, il diagramma avrà andamento bilineare. Posto che sia z un asse orientato

da 1 a 2 con origine in 1 si ha:

1120

⋅ 02

1120

⋅2 2

Da cui in mezzeria si trova:

,1120

⋅2

1140

e.g. 2) Taglio nellʹasta 3‐5

Il taglio ha andamento lineare per la presenza dl carico distribuito. Percorrendo lʹasta da 5

a 3 e posto che zia z un asse orientato nella stessa direzione con origine in 5 si ha:

2920

dacuiin3siha:920

Si fa osservare che l’asta 3‐4 non riceve azioni in fase II, pertanto le sollecitazioni finali

coincidono con quelle ricavate in fase I.


Partendo dal nodo 5 con un sistema di riferimento orientato verso l’alto in direzione

verticale, il momento flettente si valuta considerando il momento d’incastro, il taglio

all’incastro e il carico distribuito agente fino alla generica sezione :

67120

2920

⋅ ⋅2

da cui imponendo 0 si ricava l’ascissa della sezione dove si annulla il momento

flettente:

2920

13 73

20≅ 0.46










IPOTESI







Struttura 4 volte iperstatica: 3 → 3 ⋅ 3 3 3 3 2 2 0 4



MOVIMENTI POSSIBILI

Essendo l’asta 3‐4 infinitamente rigida a flessione, le rotazioni dei nodi 3 e 4 del traverso 3‐

4 devono essere uguali. Unendo a questa prima considerazione l’ipotesi A) di

indeformabilità assiale delle aste 3‐6 e 4‐5, si deduce che le rotazioni , , e sono tutte nulle.

Sempre per l’ipotesi A) sono nulle anche le traslazioni verticali , e , mentre per lo

stesso motivo le traslazioni orizzontali . sono tra loro identiche e verranno

indicate semplicemente con il simbolo .

Rimangono come movimenti possibili della struttura:

Rotazioni: , , ,

Traslazioni:




Per la presenza delle cerniere, è noto il valore del momento flettente nei nodi 2 e 3, pertanto

le rotazioni , , sono movimenti dipendenti dagli altri3.

In definitiva, dall’analisi dei movimenti della struttura, si ricava che l’unico movimento

indipendente della è la traslazione orizzontale dei traversi:

Rotazioni: , , ,

Traslazioni:

3 Se è nota una caratteristica della sollecitazione in una sezione di un’asta, il movimento correlativo (il

movimento che compie lavoro con la caratteristica della sollecitazione considerata) può essere calcolato in

funzione degli altri movimenti della struttura.




FASE I: BLOCCO DEI MOVIMENTI INDIPENDENTI CON VINCOLI AUSILIARI

Viene bloccato il movimento indipendente con un vincolo ausiliario alla traslazione

orizzontale nel nodo 4.

ASTE 1‐2, 2‐3, 4‐5

Si calcolano le reazioni vincolari per i carichi presenti sulle aste 1‐2, 2‐3 e 4‐5.




Si fa osservare che i momenti di incastro M36 e M45, nel nodo 3 dell’asta 3‐6 e nel nodo 4

dell’asta 4‐5, entrambi di valore pari a /8, non sono forniti da vincoli ausiliari o da vincoli esterni, ma dall’asta 3‐4 infinitamente rigida a flessione ed impedita di ruotare dalla

indeformabilità assiale delle aste 3‐6 e 4‐5. Agli estremi dell’asta 3‐4 si registrano pertanto

momenti uguali e contrari, come indicato in tabella.


M ‐1/8

M ‐1/8

M 1/8

M ‐1/8

M 1/8

M ‐1/8

M ‐1/8

unità qL2


H38

12

12

118

FASE II: ELIMINAZIONE DEI VINCOLI AUSILIARI

Si applica la reazione del vincolo ausiliario cambiata di segno, essa viene assorbita dalle aste

verticali 2‐1, 3‐6 e 4‐5 sulle quali si ripartisce in proporzione alle rigidezze alla traslazione

delle sezioni 2, 3 e 4 di sommità.




RIPARTIZIONE DELLA REAZIONE DEL VINCOLO AUSILIARIO

La rigidezza alla traslazione orizzontale totale del traverso 2‐3‐4 è data dalla somma della

rigidezza alla traslazione rispettivamente delle sezioni 2‐1, 3‐6, 4‐5:

La rigidezza alla traslazione totale del traverso vale:

U 3 12 12 27RL


3RL

L27R

19

12RL

L27R

1227

ovvero:

H H ; H H ; H H




H1172

perl′asta1 2

H H1118

perleaste3 6e4 5

Noto il valore del taglio in sommità e alla base delle aste verticali, il valore dei momenti agli

estremi delle aste si ricava imponendo l’equilibrio alla rotazione delle stesse aste.

Le azioni agli estremi del traverso infinitamente rigido si deducono imponendo l’equilibrio

alla traslazione e alla rotazione dei nodi 3 e 4.

RISULTATI DELLA FASE II E CALCOLO DELLA SOLUZIONE FINALE


M ‐1/8 ‐11/72 ‐5/18 ≅ ‐0.28

M ‐1/8 11/36 13/72 ≅ 0.18

M 1/8 ‐11/36 ‐13/72 ≅ ‐0.18

M ‐1/8 11/36 13/72 ≅ 0.18

M 1/8 ‐11/36 ‐13/72 ≅ ‐0.18

M ‐1/8 ‐11/36 ‐31/72 ≅ ‐0.43

M ‐1/8 ‐11/36 31/72 ≅ 0.43

unità qL2









caratteristiche della sollecitazione delle aste.





Analizzando l’asta verticale 1‐2, sappiamo che il momento è nullo in 2 e che il taglio sempre

nel nodo 2 produce un momento positivo procedendo da 2 verso 1, ciò significa che il

diagramma del momento flettente parte con tangente positiva. Il diagramma ha in seguito

un andamento parabolico per effetto del carico distribuito, passando prima da valori

positivi, poi a valori negativi, fino al valore minimo di 5 /18 nel nodo 1. La ricerca del punto esatto in cui si annulla il momento flettente richiede tuttavia la soluzione rigorosa

dell’equazione 0 (vedi seguito).





Il taglio è costante e il diagramma del momento flettente ha dunque andamento lineare.

Noti i valori ed i versi dei momenti agli estremi dell’asta, il tracciamento del diagramma è

immediato.


Il diagramma del momento è bilineare per la presenza del carico concentrato. Noto il

momento agli estremi, il momento al centro dell’asta può essere calcolato se è anche noto il

taglio nel nodo 4 o nel nodo 5. Considerando ad esempio il taglio in 4, il momento al centro

vale:

1372 9

⋅2 8




Momento iniziale nel nodo 1: 5 /18 negativo, andamento parabolico dovuto al carico

distribuito. Lʹespressione analitica può essere ricavata immaginando un sistema di

riferimento dal punto 1 al punto 2 e ponendosi in una sezione generica:

518

79

⋅

⋅2

0


Momento iniziale nel nodo 5: 31 /72 negativo, andamento lineare a tratti per la

presenza di sole azioni concentrate. Lʹespressione analitica può essere ricavate per tratti

immaginando un sistema di riferimento dal punto 5 al punto 4 e ponendosi in una sezione ∗ generica:




3172

109

⋅ 02

3172

109

⋅ ⋅2 /2


Taglio iniziale nel nodo 1 7 /9 positivo perché crea un differenziale positivo del momento

sullʹasta 1‐2. Lʹandamento è lineare per la presenza di un carico uniforme agente in direzione

orizzontale, il taglio nell’estremo 2 vale:

2 79

29










IPOTESI










MOVIMENTI POSSIBILI


delle aste 1‐2 e 6‐3, le rotazioni dei nodi 2 e 3 sono entrambe nulle e quindi non indipendenti:

0.

Per l’ipotesi A) risultano nulle, quindi non indipendenti, le traslazioni verticali , , ;

per la stessa ipotesi, risultano tra loro identiche le traslazioni orizzontali

Rotazioni: , ,

Traslazioni: ,




Il taglio sull’asta 4‐5 è noto, pertanto il movimento correlativo è un movimento

dipendente.

Come è noto il taglio nell’asta 4‐5, è noto anche il momento nel nodo 4, per cui il movimento

correlativo, la rotazione , è un movimento dipendente.

Il momento flettente è noto nei nodi 5 e 6 per la presenza delle cerniere, quindi le rotazioni

correlative e sono dipendenti.

I movimenti indipendenti della struttura sono quindi:

Rotazioni: , ,

Traslazioni: ,

NOTA: Il sistema di aste 3‐4‐5 può essere studiato preliminarmente al resto della struttura.




STUDIO PRELIMINARE DELLE ASTE 3‐4‐5

Senza modificare le condizioni di vincolo, noto il taglio sull’asta verticale 4‐5, il sistema di

aste 3‐4‐5 può essere studiato separatamente dal resto della struttura:

M ⋅2 2

Nello schema semplificato rappresentato sotto, le aste sono state divise nel nodo 4, e sono

state indicate le forze che le aste ivi si scambiano.

I moduli della forza orizzontale (qL) e della coppia (qL2/2) si ricavano immediatamente

dall’equilibrio alla traslazione orizzontale e alla rotazione dell’asta 4‐5.

Il modulo della forza verticale si ricava invece dall’equilibrio alla rotazione dell’asta 3‐4,

considerata la presenza nel nodo 4 di un appoggio verticale, dovuto alla indeformabilità

assiale dell’asta 4‐5 ed al vincolo di appoggio presente in 5.

Le reazioni nel nodo 3, in verde, sono fornite dalla struttura a sinistra del nodo 3, formata

da un portale con il traverso infinitamente rigido; di queste, la reazione verticale va sull’asta

3‐6, mentre l’azione orizzontale viene assorbita dal vincolo ausiliario.

La soluzione del problema iniziale può così essere ridotta alla soluzione di un problema più

semplice come mostrato nella figura seguente, dove le suddette azioni sono applicate alla

struttura di destra con il verso cambiato.





Viene bloccato il movimento indipendente inserendo un vincolo ausiliario nel nodo 3.

Si osserva che:

1. in virtù dell’infinita rigidezza flessionale del traverso 2‐3, la coppia applicata in 3 non

si trasferisce nell’asta 3‐6 ma rimane nell’asta orizzontale,

2. l’azione verticale in 3 dà solo sforzo normale in 3‐6,

3. l’azione orizzontale applicata in 3 dalla sottostruttura 3‐4‐5 vincolo finisce

direttamente nel vincolo ausiliario appena inserito e non viene trasmessa in questa

fase alle aste struttura del portale (ma lo sarà necessariamente in fase II).





M ‐1/8

M 1/8

M ‐1/8

M 1/8

M 1/8

unità qL2


H2

58

178


Per l’indeformabilità assiale del traverso 2‐3‐4, la reazione del vincolo ausiliario in 3

cambiata di segno viene ripartita sulle tre aste 2‐1 e 3‐6 in proporzione alle rigidezze alla

traslazione delle loro sezioni di sommità. La forza da ripartire è (di segno opposto alla

reazione in rosso della figura precedente):

H178





La rigidezza alla traslazione orizzontale totale del traverso 2‐3 vale:

U 3 12 15L


12RL

L15

45 ;

3RL

L15

15

da cui:

H H1710

; H H1740

Noto il valore del taglio nelle sezioni di sommità delle aste verticali, le coppie agli estremi

di tali aste si ricavano dal loro equilibrio alla rotazione, mente l’equilibrio alla traslazione e




quello alla rotazione dei nodi forniscono, rispettivamente, gli sforzi normali e le coppie agli

estremi del traverso 2‐3.

Si omette di riportare il calcolo esteso dei tagli e degli sforzi normali di tutte le aste in fase

II, rimandando questo calcolo una volta determinati i momenti finali agli estremi di tutte le

aste dalla somma delle due fasi.


M ‐1/8 ‐17/20 ‐39/40 ≅ ‐0.97

M 1/8 ‐17/20 ‐29/40 ≅ ‐0.72

M ‐1/8 17/20 29/40 ≅ 0.72

M 1/8 17/40 11/20 ≅ 0.55

M 1/8 ‐17/40 ‐3/10 ≅ ‐0.30

unità qL2

Come riprova, si verifica l’equilibrio alla rotazione del nodo 3, controllando che la somma

dei momenti M3‐2, M3‐6 e M34 sia identicamente nulla:

1120

310

14

11 6 520

0

Noti i momenti agli estremi di tutte le aste, è possibile ricavare i tagli ai loro estremi

dall’equilibrio alla rotazione delle stesse aste; successivamente imponendo l’equilibrio alla

traslazione dei nodi si ricavano gli sforzi normali.











Il diagramma del momento sarà bilineare per la presenza del carico concentrato in mezzeria.

Noto il momento agli estremi così come il taglio, il momento al centro dell’asta può essere

calcolato partendo ad esempio dal nodo 2 come:

2940

65

⋅2 8

oppure partendo dal nodo 1 come:

3940

115

⋅2 8

A testimonianza di come il risultato non dipenda dal lato scelto.





Il momento vale zero nel nodo 6 ed è noto nel nodo di sommità. Lungo l’asta, il diagramma

sarà di tipo parabolico per la presenza del carico distribuito. Il diagramma rigoroso richiede

la definizione della funzione che definisce l’andamento del momento flettente lungo l’asse

dell’asta.


Il momento è noto nei nodi di estremità, per l’assenza di azioni applicate lungo l’asta il

diagramma è necessariamente lineare.




Momento iniziale nel nodo 1 negativo, andamento bilineare per la presenza del carico

concentrato a metà dellʹasta. Posto che zia un sistema di riferimento orientato con origine

in 1 e verso positivo da 1 a 2, si ha:

3940

115

⋅ 02

3940

115

⋅ ⋅2 /2

Da questa equazione è possibile ricavare anche il valore del momento in mezzeria e nel nodo

2:

/23940

115

⋅2 8

≅ 0.125

3940

115

⋅ ⋅2

2940





Lʹasta fa parte della sottostruttura studiata allʹinizio del problema. Il taglio è nullo nel tratto

compreso tra il nodo 5 e la mezzeria, dove per la presenza del carico concentrato di intensità

assume un valore diverso da zero per poi rimanere costante (negativo) fino al nodo 4.

e.g. 3) Sforzo normale nellʹasta 2‐3‐4

In 2 lo sforzo normale sullʹasta 2‐3 equivale al taglio nellʹasta 2‐1. Nel nodo 3 si somma il

contributo del taglio trasmesso dalla sezione 3‐6, lo sforzo normale rimane quindi costante

fino al nodo 4.










IPOTESI










MOVIMENTI POSSIBILI


delle aste 3‐6 e 4‐5, le rotazioni delle sezioni connesse ai nodi 3 e 4 risultano nulle e quindi

non indipendenti: 0.

Per l’ipotesi A) risultano nulle, quindi non indipendenti, le traslazioni verticali , , e

per la stessa ipotesi, sono tra loro identiche le traslazioni orizzontali .

Rotazioni: ,

Traslazioni: ,




La rotazione in 5 e la traslazione orizzontale in 6 possono essere ricavate essendo note le

condizioni statiche corrispondenti: momento noto in 5 e taglio noto in 6. I movimenti

correlativi e sono quindi dipendenti.

Rotazioni: ,

Traslazioni: ,

CONSIDERAZIONI PRELIMINARI

La struttura ha 2 movimenti indipendenti, si sceglie di studiarla tramite lo studio della

matrice delle rigidezze definita per i movimenti indipendenti e individuati.

Mentre la rotazione deve essere necessariamente bloccata nel nodo 2, per l’ipotesi di

indeformabilità assiale del traverso 2‐3‐4, la traslazione orizzontale potrebbe essere bloccata

in qualunque punto del traverso. Si sceglie arbitrariamente di bloccare il movimento in

corrispondenza del punto 4. L’arbitrarietà di questa scelta non ha influenza sulla soluzione

finale della struttura.





Vengono bloccati i movimenti indipendenti inserendo vincoli ausiliari nei nodi 2 e 4: un

morsetto nel nodo 2 e un vincolo alla traslazione orizzontale nel nodo 4.

Si procede con lo studio delle aste soggette a carichi interni.

I momenti agli estremi delle aste vengono raccolti in una tabella riassuntiva.





M 0

M 0

M ‐1/12

M 1/12

M ‐5/12

M 1/3

M 3/16

M ‐3/16

M 1/6

unità qL2

Si fa osservare che i momenti agli estremi del traverso infinitamente rigido sono stati ricavati

dall’equilibrio alla rotazione dei nodi 3 e 4.

Le reazioni dei vincoli ausiliari si ricavano considerando le corrispondenti reazioni agli

estremi delle varie aste. La reazione del morsetto coincide con la coppia di incastro nel nodo

2 dell’asta 2‐3, mentre la reazione del vincolo alla traslazione in 4 è data dalla somma delle

reazioni orizzontali in testa alle aste 3‐6 e 4‐5:

12

H1116

516




FASE II: MATRICE DELLE RIGIDEZZE E SBLOCCO DEI MOVIMENTI INDIPENDENTI

Si applicano le reazioni dei vincoli cambiate di segno:

12

H516

Posto che sia la rotazione in 2 il primo movimento indipendente e la traslazione orizzontale

del traverso 2‐3‐4 il secondo, si definiscono il vettore delle forze applicate ed il vettore

degli spostamenti incogniti :

12

516

Si procede quindi alla costruzione della matrice delle rigidezze della struttura.

La matrice delle rigidezze si costruisce per colonne: la colonna j‐esima si ricava facendo

avvenire il j‐esimo movimento indipendente con valore unitario, essendo tutti gli altri

movimenti indipendenti nulli (bloccati da vincoli ausiliari).

1a Colonna della matrice delle rigidezze (1 =1; 2 = 0)

Il coefficiente diagonale è dato dalla reazione del morsetto correlativo al 1° movimento

indipendente (rotazione del nodo 2) corrispondente ad una rotazione imposta del nodo 2 di

valore unitario, essendo nullo l’altro movimento indipendente. Questa reazione è data dalla

somma delle due coppie necessarie per far ruotare di un angolo unitario le sezioni 2 delle

aste 2‐1 e 2‐3, ossia dalle rigidezze alla rotazione K21 e K23.

Il coefficiente è dato dalla reazione del vincolo ausiliario correlativo al 2° movimento

indipendente, necessaria per mantenere nullo lo spostamento orizzontale del traverso 2‐3‐

4, mentre si fa avvenire la rotazione unitaria del nodo 2.




4 4 momento da applicare in 2 per far avvenire la rotazione unitaria 1=1 di 2, essendo 2 = 0

/

reazione del vincolo di appoggio orizzontale che tiene bloccato e uguale

a zero lo spostamento orizzontale 2, mentre si fa avvenire la rotazione 1=1

2a Colonna della matrice delle rigidezze (1 =0; 2 = 1)

La seconda colonna della matrice delle rigidezze si costruisce in modo analogo, imponendo

questa volta uno spostamento unitario del traverso 2‐3‐4 e tenendo bloccata la rotazione del

nodo 2.

Il coefficiente K22 è dato dalla reazione del vincolo di appoggio correlativa ad uno

spostamento orizzontale imposto del traverso di valore unitario, mentre si tiene bloccato e

uguale a zero l’altro movimento indipendente. Questa reazione è data dalla somma delle

tre forze necessarie per far traslare di uno spostamento orizzontale unitario la sezione 2

dell’asta 2‐1, la sezione 3 dell’asta 3‐6 e la sezione 4 dell’asta 4‐5, ossia dalle rigidezze alla




traslazione K21, K36 e K45. La rigidezza K36 è evidentemente nulla per la presenza del

bipendolo nel nodo 6.

Il coefficiente è dato dalla reazione del vincolo ausiliario (morsetto) correlativo al 1°

movimento indipendente, necessaria per mantenere nulla la rotazione del nodo 2, mentre si

fa avvenire lo spostamento orizzontale unitario del traverso 2‐3‐4.

3 / 12 //

forza orizzontale da applicare al traverso 2‐3‐4 per far

avvenire la traslazione unitaria 2=1 di 2‐3‐4, essendo 1 = 0

/ reazione del morsetto che tiene bloccata e uguale a zero la

rotazione 1, mentre si fa avvenire lo spostamento 2=1

La matrice delle rigidezze è la seguente:




86

615

8 66 15/

Nota la matrice ed i vettori e , è possibile risolvere il sistema lineare associato alla fase

2 nelle incognite e :

→ 8 6

615

12

516

Ovvero:

86

126 15 5

16

25672

; 128

Noti gli spostamenti in fase II, le caratteristiche della sollecitazione possono essere ricavate

sfruttando la sovrapposizione degli effetti (ossia considerando prima soltanto il movimento

con w=0, poi soltanto il movimento con 0 .

Vengono ora calcolati i soli momenti agli estremi delle aste, visto che i tagli e gli sforzi

normali agli estremi delle aste possono essere calcolati alla fine del procedimento, dopo

avere calcolato i momenti finali come somma di quelli della fase I e di quelli della fase II.

La soluzione della fase II si ricava facendo avvenire uno alla volta i due movimenti

indipendenti.

Dapprima si fa avvenire la sola rotazione del nodo 2 tenendo bloccata la traslazione w e si

ottengono i seguenti momenti M21 e M23 agli estremi delle aste 2‐1 e 2‐3:

⋅25672

⋅ 425168

, ⋅25672

⋅ 425168




successivamente si fa avvenire la traslazione w tenendo bloccata la rotazione del nodo 2 e si

ottengono i seguenti tagli T21 e T45 in testa alle aste 2‐1 e 4‐5:

⋅128

⋅12 3

7, ⋅

128

⋅3 3

28

Anche questa volta, dopo avere equilibrato le aste alla traslazione orizzontale, vengono

calcolate le coppie agli estremi imponendo l’equilibrio alla rotazione delle stesse aste.




Sovrapponendo gli effetti, si completa la fase II della struttura e quindi i valori finali come

somma dei risultati delle due fasi.


M 0 25/336 ‐ 3/14 ‐47/336 ≅ ‐0.14

M 0 25/168 – 3/14 ‐11/168 ≅ ‐0.06

M ‐1/12 25/168 11/168 ≅ 0.06

M 1/12 25/336 53/336 ≅ 0.16

M ‐5/12 ‐25/336 ‐55/112 ≅ ‐0.49

M 1/3 0 1/3 ≅ 0.33

M 3/16 3/28 33/112 ≅ 0.29

M ‐3/16 ‐3/28 ‐33/112 ≅ ‐0.29

M 1/6 0 1/6 ≅ 0.17

unità qL2








Note le azioni agli estremi di tutte le aste e i carichi applicati, possono essere calcolate le




equazioni rigorose che governano le caratteristiche della sollecitazione di tutte le aste.


Il momento è noto agli estremi e, se non ci fosse il carico distribuito lungo l’asta, avrebbe un

andamento lineare (linea nera tratteggiata). Per effetto del carico distribuito invece,

l’andamento sarà necessariamente di tipo parabolico. La posizione esatta del punto in cui si

annulla il momento flettente richiede tuttavia la scrittura della funzione M(z) che fornisce il

valore del momento flettente lungo l’asta al variare dell’ascissa z.


E’ noto il momento agli estremi. Essendo nullo il taglio in 6, il diagramma del momento

flettente partirà con tangente verticale da un valore di qL /6. Per la presenza del carico distribuito lungo l’asta, il diagramma del momento avrà andamento parabolico. Con queste

indicazioni di massima, il diagramma qualitativo può essere tracciato come nella figura

sottostante, mentre la ricerca del punto esatto in cui sia annulla il momento, ossia della

posizione del flesso in cui cambia la curvatura dell’asta, deve passare attraverso la soluzione

rigorosa dell’equazione del momento posto pari a zero.


Il momento avrà andamento bilineare per la presenza del carico concentrato, noto il

momento agli estremi, è da calcolare solo il momento in mezzeria. Nella sezione di mezzeria

il momento flettente risulta pari a:

23112

⋅2

23224






Noto il momento flettente e il taglio agli estremi, sommando l’effetto del carico distribuito

lungo l’asta, posto che sia un’ascissa orientata da 2 a 3 con origine in 2:

11168

31112

⋅ ⋅ ⋅2

11168

31112

⋅12

Il massimo momento flettente si trova in al punto di ascissa corrispondente alla radice

della derivata (ossia il punto in cui il Taglio cambia di segno):

′ 0 → 31112

0 → 31112

Sostituendo trovo il momento massimo:

,11168

⋅31112

⋅

311122

31112

⋅31112

781175264

≅ 0.10

e.g. 2) Taglio sullʹasta 4‐5

Percorrendo l’asta da 5 a 4, il taglio in 5 è pari alla reazione orizzontale del vincolo in 5, il

segno del taglio è negativo perché crea un differenziale negativo del momento flettente. Il

taglio è costante fino a metà altezza dove entra in gioco anche il carico applicato che

crea un differenziale positivo del momento.

23112

02

23112 2










IPOTESI







Struttura 2 volte iperstatica: 3 → 3 ⋅ 2 1 3 2 2 0 2



MOVIMENTI POSSIBILI

Per l’ipotesi A) di indeformabilità assiale delle aste 1‐2, 3‐6 e 4‐5, sono nulli gli spostamenti

verticali dei nodi 2, 3 e 4 rispettivamente , , .

Per la stessa ipotesi, risultano tra loro identiche le traslazioni orizzontali

Rotazioni: , , , , ,

Traslazioni: ,




Il taglio sull’asta 1‐2 è noto per la particolare condizione di vincolo in 1, pertanto il

movimento correlativo è un movimento dipendente.

Come è noto il taglio nell’asta 1‐2, è noto anche il momento nei nodi 1 e 2, per cui i movimenti

correlativi, le rotazioni e , sono movimenti dipendenti.

Il momento flettente è noto nei nodi 4 e 5 per la presenza delle cerniere, quindi le rotazioni

correlative , e non sono movimenti indipendenti.

Per la presenza del carrello in 1 e della biella 4‐5, si ha che il vincolo alla traslazione

orizzontale in 6 deve fare necessariamente equilibrio a tutti i carichi orizzontali presenti sul

tratto rigido compreso tra i nodi 1‐2‐3‐4‐6. Per questo motivo, è nota la reazione orizzontale

in 6 e quindi il taglio sull’asta 3‐6; noto il taglio, lo spostamento correlativo, ossia la

traslazione orizzontale, è nota nel nodo 3 e non è quindi un movimento indipendente.

I movimenti indipendenti della struttura sono quindi:

Rotazioni: , , , , ,

Traslazioni: ,

NOTA: Studiando preliminarmente la biella 4‐5 e l’asta verticale 1‐2, sulla quale sono noti a

priori il taglio e il momento, la struttura può essere ridotta a un sistema simmetrico di aste.

Tuttavia, le condizioni di carico non evidenziano particolari simmetrie o altimetrie, per cui

si sceglierà comunque di risolvere la struttura in modo classico.




STUDIO PRELIMINARE DELLE ASTE 1‐2 E 4‐5 E SEMPLIFICAZIONE DELLA STRUTTURA

Senza modificare le condizioni di vincolo, noto il taglio sull’asta verticale 1‐2, è possibile

effettuare uno studio delle caratteristiche della sollecitazione senza coinvolgere il resto della

struttura.

Per il carico orizzontale in 1, e siccome il taglio sull’asta 1‐2 è costante per l’assenza di altre

azioni esterne, il taglio è pari a in tutta l’asta. Siccome il taglio è costante, il momento

cresce in modo lineare; siccome il momento è nullo in 1 per la presenza della cerniera, può

essere calcolato per equilibrio in ogni sezione.

L’unica caratteristica della sollecitazione non ancora definita è lo sforzo normale. L’effetto

dell’asta 1‐2 sul resto della struttura può essere riprodotto inserendo un carrello in 2 insieme

a azioni che facciano equilibrio a quelle calcolate nello stesso nodo per l’asta 2‐1.

L’asta 4‐5 è una biella caricata nella sezione di mezzeria, la soluzione è quindi:

L’effetto dell’asta 4‐5 sul resto della struttura può essere riprodotto con un carrello in 4 e,

per equilibrio, da una azione orizzontale verso destra pari a /2, sempre nello stesso nodo.

In base alle considerazioni di cui sopra, la struttura semplificata è la seguente:




Da cui risulta più evidente il fatto che l’unico vincolo alla traslazione orizzontale per il

sistema di aste è nell’incastro al nodo 6, come prima anticipato in sede di determinazione

dei movimenti indipendenti.


Viene bloccato il movimento indipendente inserendo un vincolo ausiliario nel nodo 3.

Si studiano separatamente le aste 2‐3, 3‐4 e 3‐5.

In questa fase l’asta 3‐4 è tesa, trasferisce una sollecitazione di taglio in 3 all’asta 3‐6 e non ci

sono altre azioni da considerare.

La compressione nell’asta 2‐3 trasferisce un taglio, sempre nel nodo 3, in cima all’asta

verticale 3‐6. Per effetto di questa reazione di taglio, che per l’asta 2‐3 corrisponde a uno

sforzo normale di compressione, la struttura è equilibrata in direzione orizzontale ed è lecito

considerare il nodo 3 come incastrato, evidenziando tuttavia come eventuali atti di moto

rigido dipenderanno dallo spostamento orizzontale del nodo 3 dell’asta 3‐6.




L’effetto del carico concentrato e del momento in 2 possono essere studiati per

sovrapposizione degli effetti delle strutture ∗ e ∗.

_____________________________

** salvo atti di moto rigido e trascurando la deformabilità dell’asta per sforzo normale.




Per l’asta verticale 3‐6, si ha che l’azione orizzontale direttamente applicata nel nodo 3 è pari

alla somma delle azioni trasmesse dalle aste orizzontali 2‐3 e 3‐4, e che sull’asta grava anche

il carico concentrato in mezzeria.

L’asta può essere studiata con il metodo dei vincoli ausiliari, aggiungendo un vincolo alla

traslazione orizzontale nel nodo 3. Così facendo, si ha che la reazione del vincolo è pari a:

32

12

2

Sbloccando il vincolo e applicando all’asta la relativa reazione cambiata di segno è quindi

possibile studiare l’asta sovrapponendo gli effetti calcolati per a* e b*. Si noti come la

soluzione di a* è in sostanza un’asta doppiamente incastrata con un carico concentrato in

mezzeria e un carico aggiuntivo 3 /2 applicato direttamente nell’incastro nel nodo 3.




É possibile compilare una tabella riassuntiva con i momenti agli estremi delle aste in fase I.


M ‐5/16

M 0

M ‐7/8

M ‐9/8

unità PL

La reazione del morsetto ausiliario nel nodo 3 è pari alla somma delle reazioni vincolari nel

nodo in fase I:

78

516

1916

FASE II : ELIMINAZIONE DEI VINCOLI AUSILIARI

Si applica la reazione del morsetto cambiata di segno:

1916


Come illustrato nella figura seguente, la rigidezza alla rotazione totale del nodo 3 vale:

3 3 1 7

Per cui il momento si ripartisce in base ai coefficienti di ripartizione :

3R7R

37 ;

R7R

17

da cui:

M371916

57112

; M171916

19112




Noto come si ripartisce il momento tra le aste concorrenti nel nodo 3, è possibile risolvere

separatamente ogni asta e concludere la fase II completando la tabella riassuntiva.

Sommando gli effetti delle due fasi, si trova la soluzione della struttura relativamente ai

momenti agli estremi delle aste.


M ‐5/16 57/112 11/56 ≅ 0,20

M 0 57/112 57/112 ≅ 0,51

M ‐7/8 19/112 ‐79/112 ≅ ‐0,71

M ‐9/8 ‐19/112 ‐145/112 ≅ ‐1,29

unità PL

Noto il momento agli estremi di ogni asta, è possibile ricavare le altre caratteristiche della

sollecitazione imponendo prima l’equilibrio alla rotazione delle singole aste (si ricavano i

tagli agli estremi), quindi l’equilibrio alla traslazione dei nodi (si ricavano gli sforzi normali).




Per facilitare la lettura dei risultati, in rosso sono stati evidenziati i momenti riassunti in

tabella, ottenuti sommando i risultati delle due fasi, mentre in blu sono rappresentate le

azioni esterne applicate alle aste.




Non essendo presenti carichi distribuiti lungo le aste, sappiamo che il diagramma del

momento flettente ha andamento lineare a tratti in tutte le aste.

e.g. 1) Momento flettente aste 1‐2 e 3‐4

Il momento è noto agli estremi e varia linearmente tra un estremo e l’altro.


Il momento in mezzeria può essere calcolato per equilibrio noto il taglio agli estremi; ad

esempio, guardando il lato sinistro dell’asta abbiamo che:

,7356

⋅2

39112

≅ 0.35





Il momento flettente in mezzeria può essere calcolato per equilibrio noto il taglio agli

estremi; ad esempio, guardando la metà inferiore dell’asta abbiamo che:

,145112

52⋅2

5112

≅ 0.04


Il momento in mezzeria di una trave semplicemente appoggiata con un carico P al centro

vale /4.










IPOTESI







Struttura 3 volte iperstatica: 3 → 3 ⋅ 2 3 3 2 1 0 3



La struttura presenta al proprio interno alcuni elementi isostatici. Per questi elementi,

individuati nella mensola 10‐2 e nel tratto 6‐7‐8‐9, è possibile uno studio preliminare

(separato dalla soluzione della restante parte iperstatica) per la determinazione delle

caratteristiche della sollecitazione e delle azioni agli estremi di tali elementi.

STUDIO DEI TRATTI ISOSTATICI E SEMPLIFICAZIONE DELLA STRUTTURA

Si studiano i tratti isostatici sopra menzionati. Le azioni rappresentate in verde sono

assorbite nei nodi 2 e 6 dal resto della struttura e, per equilibrio, devono essere riportate sul

portale 1‐2‐3‐4 cambiate di segno.

La struttura semplificata risulta quindi




MOVIMENTI POSSIBILI

Per l’ipotesi A) di indeformabilità assiale delle aste 1‐2 e 3‐4, sono nulli gli spostamenti

verticali dei nodi 2 e 3.

Per la stessa ipotesi, risultano tra loro identiche le traslazioni orizzontali dei nodi 2 e 3:

).

I movimenti possibili dei nodi si riducono pertanto a:

Rotazioni: ,

Traslazioni:




Si osserva come non siano note a priori i valori delle caratteristiche della sollecitazione in

nessun punto della struttura (portale) 1‐2‐3‐4. Tutti i movimenti possibili sono quindi da

includere nel conto dei movimenti indipendenti della struttura:

Rotazioni: ,

Traslazioni:

AZIONI CHE NON GENERANO MOMENTO FLETTENTE

Per l’infinita rigidezza assiale ipotizzata per le aste della struttura, le azioni verticali

applicate in 2 ed in 6 sono equilibrate da reazioni verticali uguali e contrarie rispettivamente

nei nodi 1 e 4 dove sono presenti vincoli di incastro.

Queste azioni comprimono le aste senza generare momento flettente in alcuna parte della

struttura. Essendo lo scopo dell’esercizio quello di ricavare il diagramma del momento e la

deformata qualitativa, si sceglie di rappresentare queste azioni ed il loro effetto sulla

struttura nella figura sottostante e di non riportarle in seguito nello svolgimento

dell’esercizio.




SIMMETRIA DELLA STRUTTURA

Si nota come la struttura sia simmetrica rispetto ad un asse verticale che passa per la

mezzeria dell’asta 2‐3. Dal momento che sfruttare la simmetria consente di ridurre il numero

dei movimenti indipendenti, si sceglie di seguire questa strada.

I carichi non sono né simmetrici né antisimmetrici, ma è possibile scomporli in una parte

simmetrica ed una antisimmetrica in modo da sfruttare la simmetria della struttura.

Il taglio nello schema simmetrico (a sinistra in figura) è nullo, così come sono nulli il

momento e lo sforzo normale nella sezione di simmetria della struttura caricata in maniera

antisimmetrica (a destra).




Sfruttando queste considerazioni, si osserva come di entrambe le strutture si possa studiare

solo metà4, introducendo appropriati vincoli nella sezione di simmetria (individuata con il

nodo 11 nei due schemi sottostanti).

SIMM. ANTISIMM.

MOVIMENTI INDIPENDENTI DELLA STRUTTURE SIMMETRICA ED ANTISIMMETRICA

Per lo schema simmetrico, essendo noto il taglio in 11, lo spostamento verticale del nodo

non è un movimento indipendente; per lo schema antisimmetrico, lo spostamento

orizzontale e la rotazione del nodo 11 non sono movimenti indipendenti perché lo sforzo

normale ed il momento in 11 sono noti.

Per entrambi gli schemi, simmetrico ed antisimmetrico, l’unico movimento indipendente è

la rotazione del nodo 2.

Movimenti indipendenti: rotazione:


Si blocca per entrambi gli schemi la rotazione e si risolvono le aste caricate. La soluzione

delle aste, non riportata nel dettaglio in questo esempio, può essere ricavata ricorrendo a

schemi elementari e/o metodi descritti nella prima parte, come già esposto nella soluzione

degli esercizi precedenti.

4 Lo studio degli schemi simmetrico ad antisimmetrico può essere condotto anche senza suddividere la

struttura in due metà; questo modo di procedere sarà illustrato nella soluzione di un altro compito.




SIMM. ANTISIMM.

Per facilitare la lettura sono state divise per colori le azioni applicate e le corrispondenti

reazioni vincolari prodotte. Sovrapponendo gli effetti del carico concentrato e della coppia

concentrata applicati nella mezzeria di entrambi gli schemi, si ha:

SIMM. ANTISIMM.

dove in rosso sono indicate le reazioni dei vincoli ausiliari.





M ‐5/32 ‐3/8

M ‐1/32 ‐1/4

M 0

M 0

M 1/32 ‐1/4

M 5/32 ‐3/8

unità PL


Si applica la reazione del morsetto cambiata di segno, sommata all’azione che era già

presente nel nodo 2 in Fase I (in blu nella pagina precedente):

4732

; 4

0

Il momento da ripartire nella Fase II dello schema antisimmetrico risulta nullo, per cui non

è necessario proseguire ulteriormente, pertanto la Fase I rappresenta già il risultato finale.

Per lo schema simmetrico si procede allo studio della rigidezza alla rotazione delle sezioni

connesse al nodo 2 e alla ripartizione del momento .


Come illustrato nella figura seguente, la rigidezza alla rotazione totale del nodo 2 vale:

4 2 6

i coefficienti di ripartizione sono pari a:

4R6R

23 ;

2R6R

13

(si osservi che la somma dei coefficienti di ripartizione è uguale a uno)

per cui il momento si ripartisce nelle due aliquote seguenti:

23

732

748

13

732

796

Si riporta il momento ripartito sulle aste ed i momenti trasmessi nelle altre sezioni.





M ‐5/32 ‐3/8 ‐7/96 ‐29/48 ≅ ‐0,60

M ‐1/32 ‐1/4 ‐7/48 ‐41/96 ≅ ‐0,43

M 0 ‐7/96 ‐7/96 ≅ ‐0,07

M 0 7/96 7/96 ≅ 0,07

M 1/32 ‐1/4 7/48 ‐7/96 ≅ ‐0,07

M 5/32 ‐3/8 7/96 ‐7/48 ≅ ‐0,15

unità PL

Per facilitare la lettura dei risultati, in rosso sono stati evidenziati i momenti ottenuti

sommando i risultati delle due fasi (vedi tabella), mentre in blu sono rappresentate le azioni

esterne applicate alle aste ed in verde lo sforzo normale.




Noto il momento agli estremi di tutte le aste, il valore del taglio è ottenuto imponendo

l’equilibrio alla rotazione delle aste.

I risultati nei tratti isostatici 10‐2, 6‐7‐8 e 8‐9 sono ripresi dalla fase preliminare.


Note le azioni agenti agli estremi di tutte le aste ed i carichi applicati, possono essere

determinate le caratteristiche della sollecitazione.

Non essendo presenti carichi distribuiti lungo le aste, il diagramma del momento flettente

ha andamento lineare nelle aste prive di carichi interni, lineare a tratti in quelle soggette a

carichi concentrati e/o coppie concentrate (in quest’ultimo caso il diagramma presenta anche

una discontinuità di intensità pari alla coppia applicata).


Il momento è noto agli estremi e per effetto del carico concentrato in mezzeria ha un

andamento bilineare. Il momento in mezzeria può essere calcolato considerando ad esempio

i carichi presenti sul tratto inferiore dell’asta:

2948

4932

⋅2

31192

≅ 0,16


Il momento è noto agli estremi e non cono presenti carichi interni all’asta, per cui varia

linearmente da 2 a 3; in particolare in questo caso il momento risulta costante.


Il momento è noto agli estremi 3 e 4 e per effetto del momento concentrato al centro dell’asta

è lineare a tratti con una discontinuità in mezzeria. Considerando i carichi sopra la mezzeria

per il calcolo di M3‐6 e quelli sotto la mezzeria per il calcolo di M6‐4, le coppie agenti

nell’estremo inferiore del tratto 3‐6 e nell’estremo superiore del tratto 6‐4 valgono:

796

1732

⋅2

65192

≅ 0,34

748

1732

⋅2

79192

≅ 0,41

NOTA: i segni delle coppie fanno riferimento alla convenzione sui segni fissata all’inizio e

valida per le azioni agenti agli estremi delle aste; la somma delle coppie e fa

equilibrio al momento prodotto nel nodo 6 dall’asta 6‐7:

65192

79192

34

0,75


Il momento è noto in 6 ed è nullo in 7, tra i due punti il diagramma varia in modo lineare.


Il momento in mezzeria di una trave semplicemente appoggiata lunga L/2 con un carico P

al centro vale /8. Il momento ha andamento bilineare per effetto del carico concentrato.




10 COMPITO A DEL 03.07.2017






IPOTESI










MOVIMENTI POSSIBILI


orizzontali dei nodi 2 e 5, rispettivamente , .

Per la stessa ipotesi relativa alle aste 1‐2 e 2‐3, risulta nulla la traslazione verticale del nodo

2; mentre per l’indeformabilità assiale delle aste 4‐5 e 5‐6 risultano uguali le traslazioni

verticali dei nodi 4, 5 e 6: .

Per l’infinita rigidezza alla rotazione dell’asta 2‐5, risultano uguali le rotazioni dei nodi 2 e

5:

Rotazioni:

Traslazioni:


La rotazione e lo spostamento verticale dei nodi 4‐5‐6 sono dipendenti l’uno dall’altro,

essendo legati dalla relazione cinematica:

.

Si sceglie come movimento indipendente la rotazione , pertanto in fase I si inserisce un

morsetto nel nodo 2 che blocca la rotazione del traverso infinitamente rigido.





La soluzione delle aste in fase I non è riportata nel dettaglio in questo esempio, ma si

rimanda agli schemi elementari e/o ai metodi descritti nella prima parte.

Nota. Essendo bloccata in fase I la rotazione dell’asta infinitamente rigida 2‐5, il nodo 5 non

può né traslare verticalmente né ruotare; questa condizione aggiunta all’impossibilità di 5

di spostarsi orizzontalmente equivale a considerare un vincolo di incastro nel nodo 5

dell’asta 5‐7. Al contrario, le aste connesse in 5 al tratto infinitamente rigido 2‐5, avendo una

rigidezza flessionale infinitamente più piccola di quella del tratto 2‐5, non costituiscono per

il nodo 5 di quest’ultimo né un vincolo allo spostamento né un vincolo alla rotazione.

Pertanto, in fase I lo schema dell’asta 2‐5 è quello di una mensola, soggetta nell’estremo

libero alle reazioni vincolari (cambiate di segno) nel nodo 5 delle altre aste.

La coppia di reazione del vincolo ausiliario in 2 vale:

316

158

3316




FASE II : ELIMINAZIONE DEI VINCOLI AUSILIARI

Si applica la reazione del morsetto cambiata di segno:

3316

Sbloccando la rotazione in 2, tutte le sezioni connesse all’asta 2‐5 infinitamente rigida

ruotano della stessa quantità .

La rigidezza delle sezioni in 2 e 5 delle quattro aste verticali è nota dagli schemi elementari

descritti nella prima parte, mentre non è nota la rigidezza alla rotazione in 2 dell’asta semi‐

rigida 2‐5‐7.

Per la soluzione di quest’asta si riportano due metodi alternativi: il primo usando il P.L.V.,

il secondo adattando uno schema elementare noto con una costruzione geometrica.

Applicando il P.L.V. alla ricerca della rigidezza alla rotazione della sezione 2‐7 si ha:

⋅ 1 ⋅

Sostituendo e osservando che la curvatura è nulla tra 0 e L si ha:




12

⋅1

12

12

14

2 12 2

42

82 2 12

⋅12

Posto 1 si trova la rigidezza cercata esplicitando C tra il primo e ultimo membro della

precedente equazione:

1212

In maniera alternativa, analizzando la geometria della deformata è possibile osservare come

la parte destra deformabile dell’asta sia equivalente ad un’asta in semplice appoggio lunga

L con un momento applicato M/2 a sinistra la cui sezione 5 ruota di 2 rispetto alla

configurazione indeformata. La rotazione 2 è ottenuta tramite la costruzione geometrica

indicata in figura: congiungendo il nodo 5 con un segmento al nodo 7, si ottiene in per

simmetria una angolo rispetto all’orizzontale pari all’angolo con cui è stato ruotato il tratto

rigido.




Adattando la ‐ nota ‐ formula che correla rotazione e il momento applicato all’estremità di

un’asta in semplice appoggio si ottiene:

∗ 3 ∗dacui2

32

Posto 1 e esplicitando M si trova la rigidezza cercata:

1212

Note le rigidezze di tutte le sezioni connesse all’asta 2‐5, è possibile ripartire sulla struttura

l’azione 33 /16 assorbita dal vincolo ausiliario in 2 durante la Fase I.

La rigidezza alla rotazione totale del nodo 2 vale:

3 3 12 4 4 26

i coefficienti di ripartizione sono pari a:

3R26R

326 ;

12R26R

613 ;

4R26R

213

(si osservi che la somma dei coefficienti di ripartizione è sempre uguale a uno)

per cui il momento si ripartisce nelle due aliquote seguenti:

3263316

99416




10133316

165104

2133316

33104

Il momento M in questa fase può essere calcolato noto lʹandamento del momento

sullʹasta semirigida 2‐5‐7, sottraendo la quota assorbita in 5 dalle sezioni 5‐4 e 5‐6:

MM M M

299208

Mentre il momento M può essere ottenuto imponendo lʹequilibrio alla rotazione in 5:

M M M M 0

M231208

PL


M ‐3/16 99/416 21/416 ≅ 0.05

M 0 99/416 99/416 ≅ 0.24

M ‐15/8 165/104 ‐15/52 ≅ ‐0.29

M 3/16 ‐231/208 ‐12/13 ≅ ‐0.93

M 0 33/104 33/104 ≅ 0.32

M 0 33/104 33/104 ≅ 0.32

M ‐3/16 99/208 15/52 ≅ 0.29

unità PL

Come controllo, è possibile osservare che lʹequilibrio alla rotazione è soddisfatto sia nel

nodo 2 che nel nodo 5.

Per facilitare la lettura dei risultati, in rosso sono stati evidenziati i momenti ottenuti

sommando i risultati delle due fasi (vedi tabella), mentre in blu sono rappresentate le azioni

esterne applicate alle aste ed in verde lo sforzo normale.

Noto il momento agli estremi di tutte le aste, il valore del taglio è ottenuto imponendo

l’equilibrio alla rotazione delle aste.

Il valore dello sforzo normale è quindi calcolato imponendo l’equilibrio nelle due direzioni,

verticale e orizzontale, nei nodi 2 e 5. Per il calcolo dello sforzo normale nelle aste 1‐2 e 2‐3,

essendo entrambe ugualmente rigide rispetto allo sforzo normale, il valore dello sforzo

normale proveniente dal taglio in 2 dell’asta 2‐5 è stato diviso in parti uguali.


Note le azioni agenti agli estremi di tutte le aste ed i carichi applicati, possono essere

determinate le caratteristiche della sollecitazione (per esempi sul procedimento risolutivo

vedi esercizi precedenti).




Non essendo presenti carichi distribuiti lungo le aste, il diagramma del momento flettente

ha andamento lineare nelle aste prive di carichi interni, lineare a tratti in quelle soggette a

carichi concentrati.




Nota: al fine di tracciare il diagramma del momento flettente e costruire la deformata

qualitativa, non è necessario risolvere per intero tutte le aste; è sufficiente calcolare il taglio

agli estremi delle aste 1‐2 e 5‐7, per poi trovare il valore del momento in mezzeria.




11 COMPITO B DEL 03.07.2017






IPOTESI










MOVIMENTI POSSIBILI


verticali dei nodi 2 e 4, rispettivamente e . Per la stessa ipotesi relativa all’ asta 1‐2,

risulta nulla la traslazione orizzontale del nodo 2; mentre per l’indeformabilità assiale delle

aste 3‐4 e 4‐5 risultano uguali le traslazioni orizzontali dei nodi 3, 4 e 5: .

Per l’infinita rigidezza alla rotazione dell’asta 2‐4, risultano uguali le rotazioni dei nodi 2 e

4:

Rotazioni:

Traslazioni:


La rotazione e lo spostamento orizzontale w dei nodi 3‐4‐5 sono dipendenti l’uno

dall’altro, essendo legati dalla relazione cinematica:

Si sceglie come movimento indipendente la rotazione , pertanto in fase I si inserisce un

morsetto nel nodo 2 che blocca la rotazione del traverso infinitamente rigido.

In alternativa si potrebbe scegliere di bloccare la rotazione di un punto qualsiasi dell’asta 2‐

4, oppure lo spostamento orizzontale di un punto qualunque dell’asta 3‐4‐5 (data la

supposta indeformabilità assiale delle aste).




SOLUZIONE DELLA STRUTTURA

Fase I: si blocca con un morsetto la rotazione in 2 (e quindi la rotazione del tratto 2‐4

infinitamente rigido) e si calcolano le forze agli estremi delle aste e la reazione del morsetto




Nella fase II si riapplica la reazione del vincolo ausiliario cambiata di segno.

I momenti agli estremi delle aste in fase II si trovano dividendo il momento 18PL/8 applicato

in 2 agli estremi delle aste connesse alla sezione infinitamente rigida, in funzione delle

rispettive rigidezze alla rotazione.




I momenti agli estremi delle aste in fase I e in fase II sono raccolti nella tabella seguente,

consentendo di calcolare le azioni finali sulla struttura.


M ‐1/8 ‐13/44 ‐37/88 ≅ 0.42

M 1/8 ‐13/22 ‐41/88 ≅ 0.47

M 3/2 ‐91/88 41/88 ≅ 0.47

M 0 ‐13/44 ‐13/44 ≅ ‐0.30

M 0 91/88 91/88 ≅ 1.03

M 0 ‐13/22 ‐13/22 ≅ ‐0.59

M 0 ‐39/88 ‐39/88 ≅ ‐0.44

unità PL

Per determinare il momento nella sezione di mezzeria delle due aste è sufficiente trovare il

taglio nelle aste 1‐2 e 4‐6.




da cui il momento nella mezzeria delle aste:

,3788

6144

⋅2

311

≅ 0.27

, 2⋅2 4

0.25




12 ESERCIZI DA SVOLGERE

Tracciare il diagramma del momento flettente e la deformata qualitativa dei sistemi di aste

rappresentati nelle figure sottostanti; trascurare la deformazione a taglio e a sforzo normale.

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