7/25/2019 Esercizi Spazi L^p

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Esercizi sugli spazi Lp

1 ) Studiare la convergenza in Lp((0, 1), m), 1 p +, della successione difunzioni

fn(x) =cos(nx) enx

3

x .

2 ) Per quali valori di 1 p + appartiene ad Lp((1, +), m) la funzione

f(x) =+k=0

1

2k[3k,3k+2)(x) ?

3

) Per quali valori di 1

p

+

appartiene ad Lp((1, +

), m) la funzione

f(x) =+n=1

1

3nsen

x4n+1

[4n,4n+1)(x) ?

4 ) Calcolare, giustificando i passaggi,

limn+

B1(0)

max

n, min

x2 y

(x2 +y2)2, n

dx dy .

5 ) Studiare la convergenza inLp(R2, m), 1 p +, della successione di funzioni

fn(x, y) =

1

1 +x2 +y2Dn(x, y) ,

dove

Dn= {(x, y) R2 : (x n)2 +y2 n2} .6 ) Studiare la convergenza inLp(R2, m), 1 p + della successione di funzioni

fn(x, y) = 1

1 +n 4

x2 +y2.

7 ) Sia la misura definita suMda

(E) =E|x| dm , E M .

Per quali p 1 appartiene ad Lp((0, 1), ) la funzione f(x) = 1x

? Ed a Lp(R, )?

8 ) Sia la misura definita suMda

(E) =

E

|x| dm , E M .1

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Se f appartiene ad L([0, 1], ), puo essere

limx0+

f(x) = +

?

9 ) Sia la misura definita suMda

(E) =

E

1

|x| dm , E M ,

e sia f in L1([1, 1], ). Dimostrare che se esiste il limite L di|f| nellorigine, allora siha L= 0.

10 ) Siala misura definita suMda

(E) = E

1

|x|dm ,

E

M.

Per quali p 1 appartiene a Lp((0, 1), ) la funzione f(x) = 14x? Ed a Lp((1, +), )?11 ) Siaf in L1(R, m). Dimostrare che se esiste il limiteL di|f| per x tendente

ad infinito, allora L= 0; dimostrare che

lim infx+

|f(x)| = 0 ,

e trovare una funzione g in L1(R, m) tale che

lim supx+

|g(x)| = + .

12 ) Siala misura definita suMda(E) =

E

min 1

x2, x2

dm , E M .

Per quali Re p 1 appartiene ad Lp(R, ) la funzione f(x) = |x|?13 ) Siadefinita suMda

(E) =

E

g(x) dm , E M ,

cong una funzione positiva in Lp(R, m) (1 p +). Dimostrare che si ha

Lr q

(R, m) Lr

(R, ) ,dove q e il coniugato di Holder di p. Se

g(x) = min 1

x2, 1

,

si dimostri chege inL(R, m), e si dimostri con un esempio che Lr(R, ) non e contenutoin Lr(R, m).

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14 ) Sia{ak}una successione di numeri reali positivi, e sia

(E) =

+k=1

{k}(E) , E P(N) .Si dimostri che e una misura; successivamente, data una successione{yk} di numerireali positivi, si dimostri che

N

{yk} d=+k=1

akyk.

15 ) Siadefinita suP(N) da

(E) =+

k=1

1

k

2{k}(E) ,

E

P(N) .

Dimostrare che se 1 < p < q