ESERCIZI DI ELETTROMAGNETISMO E OTTICA

A. LavagnoDipartimento di Scienza Applicata e Tecnologia (DISAT), Politecnico di Torino

II. FORZE E CAMPI MAGNETICI

1. Si consideri un fascio formato da protoni (carica qp = e, massa mp) e da altri ioni positivi di natura sconosciuta.Gli ioni, inizialmente fermi, vengono accelerati mediante una differenza di potenziale V = 105 V e, dopo

opportuna collimazione, penetrano in un campo magnetico uniforme B = 0.2 T diretto perperdicolarmente alfoglio e con verso uscente. Si osservi che dopo aver subito una deviazione di 180o rispetto alla direzione iniziale,le particelle formano due distinti fascetti distanti d = 10 cm l’uno dall’altro e i protoni descrivono l’orbita diraggio minore. Determinare il rapporto q/M degli ioni incogniti sapendo che per i protoni vale e/mp = 9.6 · 107C/kg.

Br

d

r 2

pr 2

In assenza di forze dissipative, i protoni, inizialmente allo stato di quiete, vengono accelerati con una differenzadi potenziale V , per cui raggiungeranno una velocita vp tale da soddisfare la seguente legge di conservazionedell’energia:

1

2mp v

2p = e V . (1)

I protoni entrando nella regione con campo B uniforme avranno una traettoria circolare di raggio rp pari a

mp v2p

rp= e vp B . (2)

Dalle due equazioni (1) e (2) otteniamo

rp =1

B

√2mp V

e= 23 cm . (3)

Gli ioni sconosciuti di massa M e carica q, saranno soggetti alle stesse equazioni del moto; di conseguenza,analogamente all’Eq.(3), la loro traettoria circolare sara caratterizzata da un raggio

r =1

B

√2M V

q. (4)

2

Dalla precedente equazione possiamo ricavare la carica per unita di massa

q

M=

2V

B2 r2. (5)

Poiche in uscita dalla regione con campo magnetico non nullo i due fascetti di protoni e ioni sono separati dauna distanza d, i due raggi rp e r saranno legati dalla relazione

r = rp +d

2. (6)

Sostituendo la precedente relazione nell’Eq.(5) troviamo

q

M= 6.5 · 107 C/kg . (7)

2. Il tratto di circuito rappresentato in figura, percorso da una corrente i, consta di due tratti rettilinei di lunghezza

L e di una semicirconferenza di raggio R. Il conduttore si trova in una regione con un campo magnetico Bcostante e perpendicolare al piano, con verso uscente. Determinare la forza totale agente sul tratto di circuito.

i

R

L L

B

ry

x

(1) (2) (3)

La forza magnetica su un filo conduttore percorso da corrente i e data dalla seguente legge

F =

∫i dl × B . (8)

Essendo il campo magnetico esterno costante, nei tratti rettilinei la forza sara costante in modulo, direzione,verso e sara orientata sul piano del foglio dall’alto verso il basso (concorde con l’asse y del sistema di riferimentoscelto in figura). Nei due tratti rettilinei di lunghezza L avremo quindi una forza in modulo pari a

F1 = F3 = i LB uy . (9)

Nel tratto di semicirconferenza, la forza sara complessivamente orientata anch’essa lungo l’asse y poiche lecomponenti orizzontali lungo l’asse x si elidono a vicenda per simmetria. Nell’effetturare la somma vettorialebisognera considerare solo le componenti lungo l’asse y e quindi, detto ϑ l’angolo formato dalla forza con l’asseorizzontale, avremo

3

F2 =

∫ π

0

dF sinϑ = i B

∫ π

0

sinϑ dl = i B R

∫ π

0

sinϑdϑ = 2R iB , (10)

dove si e sfruttata la relazione dl = Rdϑ, valida per la semicirconferenza di raggio R.

In definitiva, la forza totale sara

F = F1 + F2 + F3 = (2L iB + 2R iB) uy = 2 (L+R) i B uy . (11)

3. Una corrente i fluisce in senso orario nel circuito rappresentato in figura con φ = π/6. Determinare l’intensita

del campo B (modulo, direzione e verso), nell’origine O.

i

2aaϕ

ox

y

L’intensita del campo magnetico generata da un filo percorso da corrente e data da

B =µ0

4π

∮idl × ur

r2, (12)

dove la regione di integrazione ricopre tutto il filo conduttore percorso da corrente. Nell’origine O del sistema

di riferimento scelto in figura, i tratti rettilinei non contribuiscono alla determinazione di B in quanto dl risultaessere parallelo a ur. I tratti di circonferenza di raggio a e 2a generano in O un campo magnetico perpendicolareal foglio e con verso entrante. Sfruttando la relazione dl = r dϑ, che lega un generico tratto di arco di ampiezzadl sotteso da un angolo dϑ in una circonferenza di raggio r, possiamo riscrivere l’Eq.(12) nel seguente modo

B = −µ0

4πi

(∫ π/6

0

1

adϑ+

∫ π

π/6

1

2 adϑ+

∫ 2π

π

1

adϑ

)uz

= −19

48

µ0 i

auz . (13)

4

4. Il circuito rappresentato in figura consiste in fili di conduttori che formano due semicirconferenze concentrichedi raggio a e 2a connesse da due tratti rettilinei di lunghezza a. Il filo e percorso da una corrente i con verso

antiorario. Determinare il campo B nel punto O, centro delle due semicirconferenze.

Successivamente si supponga che la stessa spira venga immersa in un campo esterno costante Be diretto lungol’asse x del sistema di riferimento scelto in figura. Calcolare: a) la forza magnetica complessiva che agisce sulsistema; b) il momento della forza magnetica sul sistema.

a

2a

x

y

Oi

i

i

L’intensita del campo magnetico generato dalla spira percorsa da corrente e dato dalla legge

B =µ0

4π

∮idl × ur

r2. (14)

I tratti rettilinei non contribuisco alla generazione di B nel punto O, essendo paralleli al versore ur diretto

nella direzione del punto O. Il campo B nel punto O e generato dalla due semicirconferenze. Entrambe infattigenerano nel punto O un campo magnetico perpendicolare al foglio ma con verso opposto, essendo le correntinelle due semicirconferenze dirette con verso orario (semicirconferenza di raggio a, campo entrante) e versoantirorario (semicirconfernza di raggio 2a, verso uscente). Assumendo il sistema di riferimento indicato infigura, possiamo scrivere l’Eq.(14) nel seguente modo

B =µ0

4πi

(∫ π

0

1

2 adϑ−

∫ π

0

1

adϑ

)uz

= − µ0

8 ai uz , (15)

perpendicolare al foglio e con verso entrante.

Successivamente la stessa spira viene immersa in un campo magnetico esterno Be diretto lungo l’asse x. Es-

sendo Be costante, complessivamente la forza magnetica sul circuito chiuso risulta essere nulla. Per renderceneconto possiamo andare a considerare la somma vettoriale lungo ogni singolo tratto del circuito, oppure, piusemplicemente, osservare che

F =

∮i dl × Be ≡ i

(∮dl

)× Be = 0 , (16)

essendo Be costante e∮dl = 0 per un circuito chiuso.

Il momento della forza τ risulta essere invece non nullo ed e pari a

τ = µ× Be , (17)

5

dove µ rappresenta il momento di dipolo magnetico della spira di superficie A:

µ = i A uz = iπ (2a)2 − π a2

2uz =

3π a2 i

2uz . (18)

In definitiva, il momento della forza magnetica sara pari a

τ =3π a2 i

2uz × Be =

3π a2 i

2Be uy , (19)

essendo uz × ux = uy.

5. Si consideri un tratto di filo rettilineo di lunghezza L percorso da corrente i. Determinare l’intensita del campomagnetico (modulo, direzione e verso) generato dal filo in un punto P , ad una distanza d, lungo la normale alpunto medio del filo.

L

L/2

d

i

P

y

x

rdl

ϑ

Il campo magnetico generato da un filo percorso da corrente i e dato dalla legge

B =µ0

4π

∫idl × ur

r2. (20)

Nel punto P il campo B ha verso entrante (opposto al verso dell’asse z del sistema di riferimento scelto infigura). Detto ϑ l’angolo formato con l’asse orizzontale dalla congiungente del generico elemento di filo dl conil punto P (vedi figura), possiamo scrivere

B = −µ0

4πi 2

∫ L/2

0

cosϑ

r2dl uz , (21)

dove il fattore 2 segue dal fatto che, per simmetria, l’integrazione viene effettuata solamente sulla meta superioredel filo e r rappresenta la distanza tra il generico elemento infinitesimo di filo dl e il punto P , esprimibile come

r =d

cosϑ. (22)

Per risolvere il precedente integrale e conveniente passare a variabili angolari sfruttando la seguente relazione

tanϑ =l

d→ d

dϑ

cos2 ϑ= dl . (23)

6

Di conseguenza, l’Eq.(21) diventa

B = − µ0

2π di

∫ ϑM

0

cosϑdϑ uz = − µ0

2π di sinϑM uz , (24)

dove ϑM individua l’angolo massimo corrispondente all’estremita superiore del filo, pari a

sinϑM =L/2√

d2 + (L/2)2. (25)

In definitiva, abbiamo

B = − µ0

2π di

L√4d2 + L2

uz . (26)

Si noti che nel limite L ≫ d, ritroviamo la ben nota espressione del campo magnetico generato da un filoindefinito percorso da corrente

B = − µ0

2π di uz , (27)

facilmente ottenibile sfruttando il teorema di Ampere.

6. Determinare l’intensita del campo magnetico nel centro O di una spira quadrata di lato a e percorsa da unacorrente i.

O

i

a y

x

Ogni lato a della spira quadrata genera nel punto O un campo magnetico Ba pari a (si veda il risultatodell’esercizio precedente ponendo d → a/2 e L → a):

Ba = − µ0 i

2π a/2

a√4 (a/2)2 + a2

uz = − µ0 i

π a√2uz . (28)

Il campo magnetico totale sara quindi pari a

B = 4 Ba = −µ0 i

π a2√2 uz . (29)

7

7. Un disco sottile di raggio R e carica q uniformemente distribuita ruota attorno al suo asse di simmetria con

velocita angolare ω. Calcolare l’intensita del campo magnetico B nel centro del disco.

R

q R

dr

dq

ω

y

x

La rotazione del disco carico genera un campo magnetico conseguente al moto di cariche. Ogni corona circolaredi larghezza dr in rotazione puo essere vista come una corona circolare percorsa da corrente di pari a

di = ν dq =ω

2πdq , (30)

dove dq rappresenta la frazione di carica contenuta nella corona circolare di ampiezza dr e superficie dA (vedifigura a destra):

dq = qdA

πR2= q

2π r dr

π R2= 2 q

r

R2dr , (31)

dove r individua la posizione della corona circolare rispetto al centro del disco. Di conseguenza, la corrente dinella generica corona circolare sara pari a

di =ω

π

q

R2r dr . (32)

Il campo magnetico generato dalla sopra scritta corrente infinitesima di sara

dB =µ0

4πdi

∫ 2π

0

dϑ

ruy =

µ0 di

2 ruy , (33)

nel cui integrale si e fatto uso della relazione dl = r dϑ. Il campo magnetico totale nel centro del disco sara dato

dalla somma vettoriale dei campi dB generati da ogni corona circolare del disco di raggio R, per cui avremo

B =

∫dB =

ω

2πµ0

q

R2

∫ R

0

dr uy =ω

2πµ0

q

Ruy . (34)

8

8. Tre fili rettilinei indefiniti sono percorsi da corrente come in figura. Il filo percorso da una corrente I1 = 10 Ae perpendicolare al piano del foglio e verso entrante; il secondo filo e percorso da una corrente I2 = 10 A ed eanch’esso perpendicolare al piano del foglio ma verso uscente; il terzo filo con I3 = 5 A giace sul piano del foglio.

Nota la distanza a = 1 m, determinare l’intensita del campo magnetico B nel punto P indicato in figura.

a

a aPϑ

ϑ

1I

2I

3I

1Br

2Br

x

y

Nel punto P bisogna considerare la somma vettoriale dei tre campi magnetici generati dai tre fili indefiniti

B(P ) = B1 + B2 + B3

≡ Bx ux +By uy +Bz uz . (35)

Ricordando che il campo magnetico generato da un filo indefinito percorso da una corrente i ad una distanza rha modulo (legge di Biot-Savart)

B =µ0 i

2π r, (36)

possiamo scrivere la risultanza delle tre componenti nel seguente modo

Bx = B1 sinϑ =µ0

2π

I1√a2 + 4a2

a√a2 + 4a2

,

By = B2 −B1 cosϑ =µ0

2π

I22 a

− µ0

2π

I1√a2 + 4a2

2 a√a2 + 4a2

,

Bz =µ0

2π

I3a.

Sfruttando i dati del problema: I1 = I2 = 2I3 ed effettuando le opportune semplificazioni, abbiamo:

Bx =µ0

2π

I15 a

,

By =µ0

2π

I110 a

,

Bz =µ0

2π

I12 a

.

Per cui il modulo dell’intensita del campo magnetico risultera essere

B =√B2

x +B2y +B2

z = 1.1 · 10−6 T . (37)

9

9. Un filo conduttore viene piegato nella forma mostrata in figura, dove R e il raggio della sezione circolare.

• Determinare l’intensita di B (modulo, direzione e verso) nel centro O della spira circolare quando la correntei scorre nel verso indicato.

• Supponendo di ruotare senza deformazione la parte circolare del filo fino a che il piano del cerchio sia

perpendicolare al tratto di filo rettilineo, determinare B nel punto O.

R

O

i

i

i

x

y

Il campo B generato dal filo conduttore percorso da corrente i puo essere visto come la somma vettoriale del

campo Bf generato dal tratto di filo rettilineo indefinito e del campo Bs corrispondente alla spira circolare diraggio R:

B = Bf + Bs . (38)

Adottando la terna di assi cartesiani rappresentata in figura (asse z perpendicolare al foglio e verso uscente),

nel primo caso (superficie della spira sul piano del foglio) entrambi i campi Bf e Bs sono diretti lungo l’asse z,per cui potremo scrivere

B =

(µ0 i

2π R+

µ0 i

2R

)uz . (39)

Nel secondo caso, quando la spira viene ruotata di π/2 rispetto la posizione precedente, il campo della spira eorientato lungo l’asse x e il campo totale nel punto O sara quindi esprimibile nel seguente modo

B =µ0 i

2π Ruz +

µ0 i

2Rux . (40)

In questo caso il modulo del campo nel punto O sara dato dalla seguente espressione

|B| = µ0 i

2π R

√1 + π2 . (41)

10

10. In figura viene rappresentata la sezione di un cavo coassiale caratterizzato dai raggi a, b e c. Le due regionitratteggiate rappresentano le sezioni del cavo percorse da corrente i, distribuita in maniera uniforme, uguale inmodulo ma di verso opposto (verso uscente nella sezione centrale di raggio r = a e verso entrante nella sezioneesterna di raggio b < r < c). Determinare il modulo dell’intensita del campo magnetico nelle diverse regioniinterne ed esterne al cavo.

a

b

c

i

i

1) Regione r < a.Applicando il teorema di Ampere

∮l1

B1 · dl = µ0 i1 , (42)

dove l1 rappresenta una linea chiusa passante per il punto in cui si vuole calcolare il campo B1 e i1 rappresentala corrente interna alla linea chiusa l1. Scegliendo per l1 una circonferenza di raggio r centrata nella sezionecentrale, la precedente equazione diventa

B1 2π r = µ0 i1 , (43)

dove

i1 = iπ r2

π a2, (44)

e la frazione di corrente interna alla circonferenza di raggio r, essendo i la corrente totale che fluisce unifornementenel cavo di raggio a. In definitiva abbiamo

B1 =µ0 i r

2π a2. (45)

2) Regione a < r < b.Nella regione considerata non c’e passaggio di corrente, per cui il teorema di Ampere∮

l2

B2 · dl = µ0 i2 , (46)

diventa semplicemente

B2 2π r = µ0 i , (47)

essendo i2 = i, la corrente che fluisce nella sezione centrale di raggio a. Per cui, abbiamo

B2 =µ0 i

2π r. (48)

11

3) Regione b < r < c.In questa regione valgono gli stessi ragionamenti fatti per la regione 1) solo che questa volta la corrente i3,interna alla circonferenza l3 di raggio r, sara pari a

i3 = i

[1− π (r2 − b2)

π (c2 − b2)

]; (49)

il segno negativo deriva dal fatto che nella sezione esterna la corrente fluisce con verso opposto alla sezionecentrale interna. In questa regione l’intensita del campo magnetico sara quindi

B3 =µ0 i

2π r

(1− r2 − b2

c2 − b2

). (50)

4) Regione r > c.In questa regione i due campi magnetici, generati dalle due correnti opposte del cavo, hanno verso opposto e ilcampo magnetico B4 sara nullo.

11. Si consideri un solenoide cilindrico di lunghezza L = 1 m con N = 8000 avvolgimenti e percorso da una correntei = 4 A. All’interno del solenoide si trova un filo rettangolare di lati d1 = 5 cm, d2 = 10 cm e percorso dacorrente if = 1 A. Determinare la forza risultante e il momento della forza sul filo interno al solenoide.

i

i

y

x

fi

1d

2d

Il campo all’interno del solenoide risulta essere approssimativamente costante e diretto lungo l’asse y del sistemadi riferimento adottato in figura, per cui

B = µ0N

Li uy = 4 · 10−2 T uy . (51)

Per quanto riguarda la spira interna, i tratti verticali di lunghezza d2 non sono soggetti a forza magnetica inquanto paralleli al campo magnetico del solenoide, mentre i tratti orizzontali di lunghezza d1 sono singolarmentesoggetti ad una forza magnetica di modulo

F = if B d1 = 2 · 10−3 N , (52)

con direzione perpendicolare al foglio e verso opposto (uscente sul tratto orizzontale superiore ed entrante sultratto inferiore).

12

Di conseguenza, la spira sara soggetta ad un momento della forza

τ = µ× B = if AB ux = if d1 d2 B ux = 2 · 10−4 Nm ux , (53)

dove A = d1 d2 e la superficie della spira interna. Equivalentemente, si poteva scrivere

τ = r × F = d2 F ux = if d1 d2 B ux , (54)

dove nell’ultima equazione si e utilizzata l’espressione della forza F precedentemente determinata nell’Eq.(52).