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Magnetismo
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La magnetite
In natura esiste un materiale dalla caratteristiche peculiari, la magnetite.Si tratta di un minerale ad alto contenuto ferroso noto sin dall’antichità e che era presente in grosse quantità nei pressi della città di Magnesia in Asia Minore.La sua caratteristica è di attrarre tutti i materiali ferrosi.Studiando con attenzione questo fenomeno si osserva che in ogni pezzo di magnetite si possono individuare due opposte quantità, che per il momento chiameremo poli magnetici, di segno opposto.Quando si avvicina ad un pezzo di magnetite un materiale ferroso su questo si induce una coppia di cariche magnetiche con la stessa caratteristica. A questo punto le cariche di segno opposto si attraggono e quelle di ugual segno si respingono.
N
N
N
S
S
S
N
N
S
SSi dice che tra i due oggetti si è sviluppata una
forza di interazione magnetica
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Il campo magnetico
Quanto descritto nella diapositiva precedente appare del tutto simile al comportamento di un dipolo elettrico.Studiando l’andamento delle forze di attrazione magnetiche si possono costruire le linee di forza esattamente corrispondenti alle linee di forza elettrostatiche prodotte da un dipolo elettrico.Possiamo allora, usando la stessa tecnica adoperata per definire il campo elettrico, definire un nuovo ente fisico che chiameremo.
campo magneticoche viene solitamente indicato col simbolo B.Nel Sistema MKS viene misurata in
Tesla (T)
Un’altra unità di misura molto utilizzata è il
Gauss (G)
Tale che
1 T = 104 G
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La carica magnetica
Molto di quanto detto per il campo elettrico può essere applicato anche al campo magnetico ma in questo caso esiste una particolarità molto importante.Mentre nel caso elettrico è possibile separare gli elementi di un dipolo in modo da avere i singoli monopoli, nel caso magnetico ciò non è possibile.Se comunque frammentiamo un pezzo di magnetite i pezzi saranno sempre e soltanto dipoli magneticiUna seconda caratteristica delle cariche magnetiche è legata alla loro generazione.Se prendiamo un pezzo di ferro esso normalmente non presenta alcuna caratteristica magnetica ma se lo sottoponiamo ad un campo magnetico esterno essi si magnetizza, ovvero acquisisce una struttura di dipolo magnetico.Allontanando il campo magnetico il pezzo di ferro perde le sue caratteristiche magnetiche solo se il campo di magnetizzazione iniziale era molto debole.Una ulteriore caratteristica del magnetismo è che essa ha effetto significativo solo su alcuni materiali, principalmente il ferro.
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Forza di Lorentz
Consideriamo ora un magnete permanente, ovvero un pezzo di magnetite. Questo magnete genera nello spazio circostante un campo magnetico.Se all’interno di questo spazio poniamo una carica elettrica q si osserva che il campo magnetico non ha nessun effetto sulla carica.Se ora, invece di tener ferma la carica elettrica la poniamo in moto con velocitàv si osserva che sul corpo viene ad agire una forza che è perpendicolare al vettore velocità.Studiano con attenzione l’andamento della forza si ricava che
ovvero la forza agente è perpendicolare sia al campo che alla velocità.
Unendo a questa forza dovuta al campo magnetico anche quella dovuta al campo elettrico si ottiene la forza di Lorentz:
BvqFrrr
∧=
( )BvEqFrrrr
∧+=
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Campo magnetico e corrente
Consideriamo di nuovo un magnete permanente.
Se nelle vicinanze del magnete poniamo un filo percorso da corrente osserviamo che sull’intero filo agisce una forza che ancora una volta èperpendicolare al filo.Possiamo interpretare questa forza come l’azione combinata della forza di Lorentz su ognuno degli elettroni in moto che costituiscono la corrente
Preso un elemento dl di filo su di esso agirà una forza data da
La forza totale si ottiene con un processo di integrazione.
Possiamo concludere affermando che un filo percorso da corrente risente l’effetto del campo magnetico.
BldIFdrrr
∧=
Ma vale anche l’opposto?Ovvero un campo magnetico risente l’effetto di una corrente che circola in un filo?
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Campo magnetico da un filo
( ) ∫∧=
γπµ
30
4 r
rldirB
sr
Consideriamo ora un filo nel quale circola una corrente i.Se avviciniamo un magnete, ad esempio l’ago di una bussola, possiamo osservare che il magnete si orienta in una direzione perpendicolare all’asse del filo.Di conseguenza possiamo affermare che un filo rettilineo nel quale circola corrente produce intorno a sé un campo magnetico.Si può sperimentalmente verificare che vale la
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto, r la distanza dal punto in cui si calcola il campo rispetto all’elemento di filo, dl l’elemento di filo ed i la corrente che circola nel filo.
legge di Biot-Savart
dl
P
ri
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Filo rettilineo
I( ) I
rrB
πµ
20=
Consideriamo ora un filo rettilineo (supposto di lunghezza infinita) nel quale circola una corrente I.Possiamo applicare la legge di Biot Savart e mostrare che filo rettilineo nel quale circola corrente produce intorno a sé un campo magnetico le cui linee di forza sono circonferenze con centro nel filo e giacenti in un piano perpendicolare al filo.
Si può sperimentalmente verificare che
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto, r la distanza dal filo ed I la corrente che circola nel filo.Se invece il filo ha lunghezza L allora il campo magnetico, per un punto a distanza a dal filo ha intensità
( )22
0
2 La
L
a
IPB
+=
πµ
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Il teorema di Ampere
i1 i2 i3
B
∫ ⋅ ldBrr
Il risultato appena descritto può essere generalizzato enunciando il Teorema di Ampere
Consideriamo una linea chiusa qualsiasi. Si può definire
l’integrale
Enunciamo ora il teorema di Ampere
circuitazione del vettore B
La circuitazione del campo magnetico B è pari al prodotto della permeabilitàmagnetica del vuoto per la somma delle correnti che attraversano la superficie
delimitata dalla linea chiusaIn formula
∑∫ =⋅i
iildB 0µrr
dove la somma algebrica va estesa a tutte le correnti che attraversano la superficie delimitata dalla linea chiusa su cui è calcolata la circuitazione
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Forza magnetica tra due fili
Abbiamo visto che un filo percorso da corrente genera un campo magnetico e che d’altra parte subisce anche l’azione di una forza a causa del campo magnetico. Vediamo allora cosa accade tra due fili percorsi da corrente.Il primo conduttore, percorso da corrente i1, produce nello spazio circostante un campo magnetico B1. Il secondo conduttore, percorso da corrente i2, produce nello spazio circostante un secondo campo B2.
Tendendo conto delle formule per determinare il campo magnetico prodotto da una corrente e quella che fornisce la forza agente su una corrente si ha
210
21 2ii
d
LFF
πµ==
i2i1
B2
B1Di conseguenza sul primo filo agirà una forza F1 dovuta a B2 e su secondo filo agirà una forza F2 dovuta a B1.
Queste forze sono attrattive se le correnti scorrono nello stesso verso e repulsive nel caso opposto.
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La spira circolare
3
20
2 z
RiB
µ=
Consideriamo un filo arrotolato sino a formare un circuito circolare. Viene dettospira
Vogliamo calcolare il campo magnetico prodotto da una corrente i che circola in questa spira di raggio r.Possiamo applicare la legge di Biot Savart e mostrare che il campo magnetico ha un andamento piuttosto complesso con linee di flusso che transitano all’interno della spira e si chiudono all’esterno.Il campo viene prodotto in tutto lo spazio circostante ma è particolarmente significativo lungo la direzione perpendicolare alla spira dove il campo è parallelo a tale direzione e vale, a grande distanza dalla spira,
avendo indicato con z la distanza del punto dal piano della spira e con R il raggio della spira stessa
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Momento di dipolo
SIpH
rr =
Abbiamo visto che una spira circolare produce un campo magnetico il cui andamento è esattamente uguale a quello prodotto da un dipolo elettrico.Definiamo allora una nuova grandezza:
dove I è la corrente che circola nella spira ed S è il vettore perpendicolare alla superficie e di intensità pari all’area racchiusa dalla spira. Questa grandezza prende il nome di
Con questa definizione il campo elettrico prodotto da una spira circolare a grande distanza dalla spira e lungo l’asse di questa assume una forma molto simile a quella che si ha nel caso elettrico
momento di dipolo magnetico
30
2 z
pB H
rr
πµ=
Il vettore momento di dipolo magnetico è quindi perpendicolare alla spira e di verso tale da rispettare la regola del prodotto vettoriale
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Il solenoide
Partiamo ora dal caso di una spira ma supponiamo ora di avere molte spire avvolte strettamente in modo da creare un cilindro che prende il nome di
solenoide
Se supponiamo che il solenoide sia di lunghezza infinita possiamo immediatamente dedurre che il campo magnetico, dovendosi le sue linee di forza chiudersi, si trova solo all’interno del solenoide ed ha una direzione parallela all’asse del solenoide stesso.
Per determinare il campo magnetico possiamo allora, invece che partire dalla legge di Biot Savart, far uso più semplicemente del teorema di Ampere.
Come vedremo in questo caso il teorema di Ampere gioca, per il campo magnetico, lo stesso ruolo che il teorema di Gauss gioca nel caso del campo elettrico: è, tra l’altro, un utile strumento per la determinazione del campo.
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Campo magnetico di un solenoide
L
h
inB 0µ=
∑∫ =⋅i
iildB 0µrr
Ricordiamo che il teorema di Ampere afferma che la circuitazione del campo magnetico dipende solo dalla somma delle correnti che circolano all’interno della linea chiusa
Preso un solenoide alla consideriamo una linea chiusa come indicata in figura e notiamo che il campo èdiverso da zero solo all’interno ed ha direzione parallelo all’asse, Ne consegue che solo il tratto in blu della linea contribuisce alla circuitazione.
∑=i
iiLB 0µ
Ma la corrente i circola in ognuna delle spire e pertanto, detto n il numero di spire per unità di lunghezza, si ha
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Forza magnetica su un dipolo
BiA=τ
Per studiare l’effetto del campo magnetico su un dipolo prendiamo in considerazione una spira, che per semplicità, supporremo di forma rettangolare, immersa in un campo magnetico costante, parallelo al piano della spira.Su ognuno dei 4 rami della spira il campo magnetico genera una forza. Se ora supponiamo che la spira possa ruotare rispetto ad un asse verticale possiamo osservare che le due forze agenti sui rami orizzontali non producono effetto (correnti parallele al campo) mentre quelle agenti sui rami verticali producono un momento torcente di intensità
dove con A si è indicata l’area racchiusa dalla spira.
i B
Questo momento torcente tende ad orientare la spira in senso perpendicolare al campo magnetico esterno, in modo che il campo magnetico prodotto dalle correnti abbia una direzione opposta a quella del campo magnetico esterno.
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Il magnetismo nei materiali
Prendiamo in considerazione un atomo di un materiale generico.Il nucleo è costituito da neutroni e protoni. Questi ultimi posseggono un momento magnetico intrinseco detto spin che può assumere solo due valori. Accade allora che se il numero di protoni è pari il momento magnetico totale ènullo mentre se il numero di protoni è dispari si ha un piccolissimo spin totale.L’effetto dominante è però quello elettronico.Ogni singolo elettrone “ruota” intorno al nucleo e quindi è equivalente ad una corrente che circola in una spira. Esso pertanto possiede un momento magnetico, collegato al suo momento angolare. A questo momento magnetico si aggiunge quello di spin.
Quando si prendono in considerazione tutti gli elettroni di un atomo il momento totale di spin si annulla (se il numero di elettroni è positivo) oppure assume un valore piccolissimo. Per quanto riguarda l’altro termine del momento magnetico, possiamo notare la sua orientazione, per ogni elettrone, è di regola casuale e pertanto il totale è nullo.
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Diamagnetismo
Prendiamo in considerazione un materiale con numero pari di elettroni.Per quanto abbiamo detto ogni atomo possiede allora un momento magnetico complessibo pari a zero.In presenza di un campo magnetico esterno gli elettroni subiscono la forza di Lorentz e quindi vengono accelerati generando un effetto che prende il nome di
Si viene a generare pertanto un momento di dipolo magnetico complessivo che produce un effetto debolmente repulsivo.I materiali che hanno questo comportamento sono detti:
diamagnetici
precessione di Larmor
Tutti i materiali sono soggetti a questo effetto ma in alcuni predomina un effetto diverso.
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Paramagnetismo
Prendiamo in considerazione un materiale con numero dispari di elettroni.Per quanto abbiamo detto ogni atomo possiede allora un piccolissimo momento magnetico.In assenza di campo magnetico esterno i singoli atomi hanno una orientazione casuale del momento magnetico e pertanto l’effetto totale è nullo.In presenza di un campo magnetico esterno, invece, questo tende a far allineare i singoli momenti magnetici di spin atomici ed inoltre si ha una orientazione privilegiata per quanto riguarda i momenti magnetici associata al moto di rivoluzione degli elettroni. Ciò genera un effetto complessivo, contrastato dall’agitazione termica, che è molto superiore a quello generato dalla precessione di Larmor.Questo momento magnetico totale genera una forza attrattiva agente sul materiale che quindi tende a spostarsi secondo la direzione del campo magnetico esterno.I materiali che hanno questo comportamento sono detti
Paramagnetici
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Ferromagnetismo
Alcuni materiali hanno un comportamento simile ai paramagneti maestremamente più intenso. Sono i
In questo caso i singoli momenti magnetici atomici non sono scorrelati tra di loro ma interagiscono in modo che si generano zone con momento magnetico diverso da zero, dette.
Di regola, in assenza di campo magnetico esterno, i diversi domini sono orientati casualmente e l’effetto macroscopico è pertanto nullo.
La magnetite ha la sua caratteristica poiché è un minerale che è solidificato sotto l’azione del campo magnetico terrestre che ha indotto una orientazione privilegiata e quindi la formazione del magnete permanente.
ferromagneti
domini
Sotto l’azione di un campo magnetico, invece, i diversi domini si orientano preferenzialmente lungo la direzione del campo e l’effetto è di generare un forte momento di dipolo magnetico.
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Campo magnetico nella materia
VM mµ=
Come abbiamo visto quando il campo magnetico interagisce con la materia crea (ex novo o preesistente) un momento di dipolo nel materiale. Questo momento di dipolo genera a sua volta un campo magnetico all’interno del materiale.Di conseguenza all’interno del materiale si viene a creare la sovrapposizione di un campo magnetico esterno e di uno interno.Questo campo magnetico interno può essere espresso in termini di
intensità di magnetizzazione
definito come momento magnetico delle molecole per unità di volume:
Si può allora scrivere il campo magnetico totale come
( )MHBrrv
+= 0µdove H è detto intensità magnetica
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Suscettività magnetica
HM m
rrχ=
Nella diapositiva precedente abbiamo definito l’intensità di magnetizzazione M. Sperimentalmente si nota che questo vettore dipende dalla intensità magnetica H secondo la relazione
suscettività magneticadove χm prende il nome di
Per i diversi tipi di sostanze abbiamo
dove il costante o variabile è riferito al valore di H.
Sostanze diamagnetiche χm negativo costante tra -10-4 e -10-9
Sostanze paramagnetiche χm positivo costante tra +10-6 e +10-3
Sostanze paramagnetiche χm grandemente positivo variabile
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Permeabilità magnetica
Con la definizione della suscettività possiamo scrivere
permeabilità magnetica
dove µ prende il nome di
Per i diversi tipi di sostanze abbiamo
Sostanze diamagnetiche µ lievemente maggiore di µ0
Sostanze paramagnetiche µ lievemente maggiore di µ0
Sostanze paramagnetiche µ fortemente maggiore di µ0
( ) ( ) HHHHB mm
rrrrvµχµχµ =+=+= 100
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Isteresi magnetica
Come abbiamo detto precedentemente la suscettività di un materiale ferromagnetica cambia al variare della intensità magnetica.
H
BConsideriamo un materiale ferromagnetico mai magnetizzato in precedenza. Quando l’intensitàmagnetica è nulla lo sarà anche il campo magnetico ma al crescere dell’intensità magnetica crescerà anche il campo magnetico, come indicato dalla curva nera, sino a raggiungere un valore di saturazione..Se ora iniziamo a ridurre l’intensità magnetica anche il campo magnetico diminuirà ma secondo una curva diversa, quella indicata in rosso.Raggiunta la nuova saturazione (ma col verso invertito) riprendiamo ad aumentare l’intensità magnetica. Di nuovo il campo magnetico aumenterà ma ancora una volta lungo una nuova curva, quella in bleu.Ne consegue che il materiale, anche ad intensità magnetica nulla genererà un campo magnetico diverso da zero. Il corpo si è magnetizzato ovvero è divenuto un magnete permanente.
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Induzione elettromagnetica
Abbiamo già visto che se un circuito percorso da corrente viene investito da un campo magnetico su di esso viene ad agire un momento della forza.Ma cosa accade se nel circuito, inizialmente, non circola corrente?
Ciò che accade è che durante il movimento si genera, ai capi del circuito, una forza elettromotrice ε.
Supponiamo che in regione dello spazio vi sia un campo magnetico non uniforme ed all’interno di questa regione facciamo muovere con velocità v un circuito nel quale inizialmente non vi sia circolazione di corrente.
+
+
+
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+
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+
+
+
+
+
+
+
+
vQuesto fenomeno prende il nome di
Induzione elettromagnetica
ed obbedisce alla
Legge di Faraday - Neumann
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Legge di Faraday - Neumann
∫ ⋅=ΦS
B sdBrr
Supponiamo una regione dello spazio in cui vi sia un campo magnetico B ed un circuito di forma qualsiasi ma ricoprente una superficie S. Si definisce
flusso di campo magnetico concatenato con un circuito
la grandezza
dove l’integrale va esteso a tutta la superficie racchiusa dal circuito e per ds si è indicato il vettore perpendicolare alla superficie ed uscente da questa.Se il campo magnetico è uniforme dovunque si ponga il circuito il flusso concatenato è sempre lo stesso ma se il campo è disuniforme il posizionamento del circuito in diverse posizioni implica un flusso concatenato diverso.Sperimentalmente vale la relazione
dtd BΦ−=ε
Il segno negativo viene anche detto legge di Lenz.
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Significato della legge di Faraday-Neumann
Nel caso descritto precedentemente si è considerato un campo magnetico costante nel tempo ma disuniforme nello spazio ed un circuito in motoIn questo caso la variazione di flusso concatenato è legato alla variazione di posizione del circuito. Possiamo però immaginare anche una situazione diversa nella quale la posizione del circuito resta invariata ma il campo magnetico èvariabile nel tempo.Anche in questo caso il flusso di campo magnetico concatenato col circuito varia nel tempo e quindi nel circuito viene indotta una forza elettromotrice.
In ogni caso vale la Legge di Faraday-Neumann
Questa legge può essere compresa notando che la fem indotta tende a far circolare corrente nel circuito. Tale corrente produce a sua volta un campo magnetico nello spazio circostante.Possiamo interpretare il tutto, allora, dicendo che il circuito reagisce alla variazione di campo magnetico creando un controcampo (il segno –dell’equazione) che bilancia la variazione del campo esterno.
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Induzione tra circuiti
i1Bε
Abbiamo visto che un circuito percorso da corrente produce un campo magnetico e che d’altra parte un circuito soggetto ad un campo magnetico può produrre una fem indotta.Consideriamo un circuito nel quale transita una corrente i1 e pertanto viene prodotto un campo magnetico Bproporzionale alla corrente i.
In formula possiamo scrivere che
Questo campo magnetico si concatena con una seconda spira e, per la legge di Faraday-Neumann, produce una fem indotta.
dtdi
dtd B 1∝−= Φε
Il coefficiente di proporzionalità dipende dal tipo di circuito che crea il campo e dal modo in cui il campo magnetico viene trasferito dal primo circuito al secondo
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Autoinduzione
inB 0µ=
dt
diL
dt
didSn
dt
d B −=−=Φ−= 02 µε
Un circuito percorso da corrente produce un campo magnetico che si concatena con il circuito stesso per cui esso genera ai capi del circuito una fem.Per descrivere analiticamente il fenomeno prendiamo allora un solenoide.Sappiamo che il solenoide, di lunghezza d molto grande rispetto al suo diametro, produce al suo interno un campo magnetico
Il flusso di campo magnetico concatenato con tutto il solenoide è allora
( ) SidnSindnsdBS
B 02
0 µµ ==⋅=Φ ∫rr
e quindi la fem indotta è
dove con L abbiamo indicato una nuova grandezza detta induttanza.
L’induttanza si misura, nel sistema MKS, in
Henry (H)
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Induttanza
L’elemento circuitale appena descritto prende il nome di induttanza e possiamo vedere come si comporta all’interno di un circuitoRicordiamo che abbiamo precedentemente studiato altri due elementi circuitali
a) la resistenzab) il condensatore
Anche se questi tre elementi circuitali sono stati descritti separatamente, qualunque elemento possiede, in realtà, tutti e tre gli aspetti, ovvero un semplice filo è sia una resistenza elettrica, sia un condensatore che una induttanza.Nella pratica si costruiscono tre tipi di elementi, la resistenza, il condensatore e l’induttanza ma nel trattarli si deve tener presente che essi hanno anche gli altri due elementi, come termini parassiti.
Precedentemente abbiamo studiato il circuito Resistenza + Condensatore, detto circuito RC. Ora dobbiamo inserire anche una induttanza, cioè dobbiamo studiare i circuiti LR, LC e LCR.
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Circuito LR
R
Lε
Consideriamo o un circuito costituito da un generatore, un interruttore, una resistenza ed una induttanza.Consideriamo o un circuito costituito da un generatore, un interruttore, una resistenza ed una induttanza.Poiché l’induttanza ha effetto solo quando le correnti variano la situazione finale deve prevedere una corrente dipendente solo dalla resistenza, ovvero
RI
ε=0
L’induttanza entra in funzione solo durante il transiente iniziale. Infatti mentre la corrente passa dal valore iniziale nullo al valore finale I0 la sua variazione induce una controtensione ai capi dell’induttanza che fa appunto variare la corrente in maniera non improvvisa ma graduale.
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Corrente in un circuito LR
dt
diLiR +=ε
dt
diLiR L −=+= εεε
( )τ/0 1 teIi −−=
Determiniamo ora l’andamento della corrente nel circuito LR.La corrente circola nella resistenza, ove la legge di Ohm ci fornisce la caduta di potenziale, a causa dell’azione combinata del generatore e dell’induttanza.In formula
Possiamo allora scrivere
Integrando e ricordando il valore della corrente finale si ha C
orre
nte
Tempo
ε/Rτ
dove τ è la costante di tempo ed è data da
R
L=τ
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Circuito LC
dt
diLCq −=
( ) CLtQq =+= 200 consin ωϕω
L
C
Studiamo ora un circuito costituito da un condensatore ed una induttanza.Anche se non vi è un generatore possibili disturbi esterno possono far sì che in un qualunque istante si generi una corrente i il cui valor medio su lungo tempo ènullo ma che istantaneamente può essere anche diversa da zero.L’insorgere di questa corrente crea di conseguenza una fem indotta nella induttanza e quindi la carica del condensatore
Questa equazione è già stata incontrata in meccanica e prende il nome diequazione armonica
La sua soluzione è
Dalla definizione della corrente ricaviamo allora
02
2
=+dt
qdCLq
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Circuito risonante
CL=ω
Quello che accade in un circuito LC, pertanto, è che automaticamente un segnale esterno generi un segnale sinusoidale di pulsazione.
Quello che accade è che un disturbo esterno induce un segnale nel circuito RLC. La risposta del circuito alla frequenza del disturbo, però, è tale che solo una piccola frazione delle frequenze vengono “sentite” dal circuito che in corrispondenza di queste si comporta come
Nel circuito che abbiamo descritto manca qualunque perdita di energia per cui tale segnale persisterebbe sempre. Nella realtà, però, vi è sempre un elemento resistivo, almeno con parassita, per cui si ha una perdita di energia che dopo un certo tempo fa annullare il segnale.
Circuito risonante
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Energia associata al campo magnetico
dt
diLiR +=ε
diiLdtiRdL += 2
22
2
1iLtiRL +∆=
Vediamo quanto lavoro occorre compiere per generare un campo magnetico. Tale energia corrisponderà a quella accumulata nel campo magnetico.
e il lavoro fatto dal generatore è dato da
Prendiamo in considerazione un circuito costituito da una induttanza, una resistenza ed un generatore. L’equazione che regola il circuito è
che, integrata, fornisce
Il primo termine sappiamo essere l’energia dissipata per effetto Joule nella resistenza mentre il secondo termine rappresenta l’energia spesa per creare il campo magnetico nell’induttanza. Se si fa riferimento alla formula dell’induttanza di un solenoide, risulta che la densità di energia è
202
1BuB µ=
