Esercizi: funzioni elementari e metodo grafico

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 1 / 18

Esercizio 1Associare ad ogni grafico la sua equazione, motivando la scelta.

(a) y = x2, (b) y = x5, (c) y = x8

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 2 / 18

Esercizio 2

Associare ad ogni grafico la sua equazione, motivando la scelta.

(a) y = 3x , (b) y = 3x

(c) y = x3, (d) y = 3√

x

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 3 / 18

Esercizio 3

(a) Scrivere l’equazione della famiglia delle rette conpendenza 2, e disegnarne alcuni rappresentanti.

(b) Trovare l’equazione della famiglia di funzioni lineari taliche f (2) = 1, e disegnarne alcuni rappresentanti.

(c) Quale funzione appartiene ad entrambe le famiglie?

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 4 / 18

Esercizio 3

(a) Scrivere l’equazione della famiglia delle rette conpendenza 2, e disegnarne alcuni rappresentanti.

(b) Trovare l’equazione della famiglia di funzioni lineari taliche f (2) = 1, e disegnarne alcuni rappresentanti.

(c) Quale funzione appartiene ad entrambe le famiglie?

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 4 / 18

Esercizio 3

(a) Scrivere l’equazione della famiglia delle rette conpendenza 2, e disegnarne alcuni rappresentanti.

(b) Trovare l’equazione della famiglia di funzioni lineari taliche f (2) = 1, e disegnarne alcuni rappresentanti.

(c) Quale funzione appartiene ad entrambe le famiglie?

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 4 / 18

Esercizio 4

Determinare f + g, f − g, fg e fg e i loro domini.

(a) f (x) = x3 + 2x2, g(x) = 3x2 − 1;(b) f (x) =

√x + 1, g(x) =

√x − 1.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 5 / 18

Esercizio 4

Determinare f + g, f − g, fg e fg e i loro domini.

(a) f (x) = x3 + 2x2, g(x) = 3x2 − 1;(b) f (x) =

√x + 1, g(x) =

√x − 1.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 5 / 18

Esercizio 5

Determinare le funzioni f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g precisando i loro domini

(a) f (x) = sin x , g(x) = 1−√

x ;(b) f (x) = 1− 3x , g(x) = 5x2 + 3x + 2;(c) f (x) = x + 1

x , g(x) = x+1x+2 ;

(d) f (x) =√

2x + 3, g(x) = x2 + 1.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 6 / 18

Esercizio 5

Determinare le funzioni f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g precisando i loro domini

(a) f (x) = sin x , g(x) = 1−√

x ;(b) f (x) = 1− 3x , g(x) = 5x2 + 3x + 2;(c) f (x) = x + 1

x , g(x) = x+1x+2 ;

(d) f (x) =√

2x + 3, g(x) = x2 + 1.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 6 / 18

Esercizio 5

Determinare le funzioni f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g precisando i loro domini

(a) f (x) = sin x , g(x) = 1−√

x ;(b) f (x) = 1− 3x , g(x) = 5x2 + 3x + 2;(c) f (x) = x + 1

x , g(x) = x+1x+2 ;

(d) f (x) =√

2x + 3, g(x) = x2 + 1.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 6 / 18

Esercizio 5

Determinare le funzioni f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g precisando i loro domini

(a) f (x) = sin x , g(x) = 1−√

x ;(b) f (x) = 1− 3x , g(x) = 5x2 + 3x + 2;(c) f (x) = x + 1

x , g(x) = x+1x+2 ;

(d) f (x) =√

2x + 3, g(x) = x2 + 1.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 6 / 18

Esercizio 6

Usare la tabella seguente per valutare l’espressioni:

(a) f (g(1)), (b) g(f (1)), (c) f (f (1));

(d) g(g(1)), (e) (g ◦ f )(3), (f ) (f ◦ g)(6).

x 1 2 3 4 5 6f (x) 3 1 4 2 2 5g(x) 6 3 2 1 2 3

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 7 / 18

Esercizio 6

Usare la tabella seguente per valutare l’espressioni:

(a) f (g(1)), (b) g(f (1)), (c) f (f (1));

(d) g(g(1)), (e) (g ◦ f )(3), (f ) (f ◦ g)(6).

x 1 2 3 4 5 6f (x) 3 1 4 2 2 5g(x) 6 3 2 1 2 3

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 7 / 18

Esercizio 7Usando i grafici assegnati di f e di g, valutare ognuna delle seguentiespressioni e nel caso spiegare perche non e definito.

(a) f (g(2)), (b) g(f (0)), (c) (f ◦ g)(0);

(d) (g ◦ f )(6), (e) (g ◦ g)(−2), (f ) (f ◦ f )(4).

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 8 / 18

Esercizio 7Usando i grafici assegnati di f e di g, valutare ognuna delle seguentiespressioni e nel caso spiegare perche non e definito.

(a) f (g(2)), (b) g(f (0)), (c) (f ◦ g)(0);

(d) (g ◦ f )(6), (e) (g ◦ g)(−2), (f ) (f ◦ f )(4).

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 8 / 18

Esercizio 8

Usare il metodo grafico per disegnare le seguenti funzioni:

a) y = 4x − 3; y = 4x−3;b) y = −2−x ; y = 1 + 2ex ;c) y = 3− ex ; y = 2 + 5(1− e−x).

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 9 / 18

Esercizio 8

Usare il metodo grafico per disegnare le seguenti funzioni:

a) y = 4x − 3; y = 4x−3;b) y = −2−x ; y = 1 + 2ex ;c) y = 3− ex ; y = 2 + 5(1− e−x).

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 9 / 18

Esercizio 8

Usare il metodo grafico per disegnare le seguenti funzioni:

a) y = 4x − 3; y = 4x−3;b) y = −2−x ; y = 1 + 2ex ;c) y = 3− ex ; y = 2 + 5(1− e−x).

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 9 / 18

Esercizio 9

Determinare la funzione esponenziale del tipo f (x) = Cax il cui graficoe il seguente:

a)

b)

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 10 / 18

Esercizio 10

Sia f (x) = 5x , verificare che

f (x + h)− f (x)h

= 5x(

5h − 1h

).

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 11 / 18

Esercizio 11

Determinare la funzione inversa per le seguenti funzioni:

f (x) =√

10− 3x , f (x) =4x − 12x + 3

;

f (x) = ex3, f (x) = 2x3 + 3;

f (x) = ln(x + 3), f (x) =1 + ex

1− ex .

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 12 / 18

Esercizio 11

Determinare la funzione inversa per le seguenti funzioni:

f (x) =√

10− 3x , f (x) =4x − 12x + 3

;

f (x) = ex3, f (x) = 2x3 + 3;

f (x) = ln(x + 3), f (x) =1 + ex

1− ex .

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 12 / 18

Esercizio 11

Determinare la funzione inversa per le seguenti funzioni:

f (x) =√

10− 3x , f (x) =4x − 12x + 3

;

f (x) = ex3, f (x) = 2x3 + 3;

f (x) = ln(x + 3), f (x) =1 + ex

1− ex .

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 12 / 18

Esercizio 12

Sia dato il grafico di f (x). Scrivere l’equazione della funzione ottenutada f , operando una:

(a) traslazione verso l’alto di tre unita;(b) traslazione verso il basso di tre unita;(c) traslazione verso destra di tre unita;(d) traslazione verso sinistra di tre unita;(e) riflessione rispetto all’asse x ;(f) riflessione rispetto all’asse y ;

(g) dilatazione verticale di un fattore 3;(h) contrazione verticale di un fattore 3;

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 18

Esercizio 12

Sia dato il grafico di f (x). Scrivere l’equazione della funzione ottenutada f , operando una:

(a) traslazione verso l’alto di tre unita;(b) traslazione verso il basso di tre unita;(c) traslazione verso destra di tre unita;(d) traslazione verso sinistra di tre unita;(e) riflessione rispetto all’asse x ;(f) riflessione rispetto all’asse y ;

(g) dilatazione verticale di un fattore 3;(h) contrazione verticale di un fattore 3;

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 18

Esercizio 12

Sia dato il grafico di f (x). Scrivere l’equazione della funzione ottenutada f , operando una:

(a) traslazione verso l’alto di tre unita;(b) traslazione verso il basso di tre unita;(c) traslazione verso destra di tre unita;(d) traslazione verso sinistra di tre unita;(e) riflessione rispetto all’asse x ;(f) riflessione rispetto all’asse y ;

(g) dilatazione verticale di un fattore 3;(h) contrazione verticale di un fattore 3;

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 18

Esercizio 12

Sia dato il grafico di f (x). Scrivere l’equazione della funzione ottenutada f , operando una:

(a) traslazione verso l’alto di tre unita;(b) traslazione verso il basso di tre unita;(c) traslazione verso destra di tre unita;(d) traslazione verso sinistra di tre unita;(e) riflessione rispetto all’asse x ;(f) riflessione rispetto all’asse y ;

(g) dilatazione verticale di un fattore 3;(h) contrazione verticale di un fattore 3;

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 18

Esercizio 12

Sia dato il grafico di f (x). Scrivere l’equazione della funzione ottenutada f , operando una:

(a) traslazione verso l’alto di tre unita;(b) traslazione verso il basso di tre unita;(c) traslazione verso destra di tre unita;(d) traslazione verso sinistra di tre unita;(e) riflessione rispetto all’asse x ;(f) riflessione rispetto all’asse y ;

(g) dilatazione verticale di un fattore 3;(h) contrazione verticale di un fattore 3;

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 18

Esercizio 12

Sia dato il grafico di f (x). Scrivere l’equazione della funzione ottenutada f , operando una:

(a) traslazione verso l’alto di tre unita;(b) traslazione verso il basso di tre unita;(c) traslazione verso destra di tre unita;(d) traslazione verso sinistra di tre unita;(e) riflessione rispetto all’asse x ;(f) riflessione rispetto all’asse y ;

(g) dilatazione verticale di un fattore 3;(h) contrazione verticale di un fattore 3;

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 18

Esercizio 12

Sia dato il grafico di f (x). Scrivere l’equazione della funzione ottenutada f , operando una:

(a) traslazione verso l’alto di tre unita;(b) traslazione verso il basso di tre unita;(c) traslazione verso destra di tre unita;(d) traslazione verso sinistra di tre unita;(e) riflessione rispetto all’asse x ;(f) riflessione rispetto all’asse y ;

(g) dilatazione verticale di un fattore 3;(h) contrazione verticale di un fattore 3;

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 18

Esercizio 12

Sia dato il grafico di f (x). Scrivere l’equazione della funzione ottenutada f , operando una:

(a) traslazione verso l’alto di tre unita;(b) traslazione verso il basso di tre unita;(c) traslazione verso destra di tre unita;(d) traslazione verso sinistra di tre unita;(e) riflessione rispetto all’asse x ;(f) riflessione rispetto all’asse y ;

(g) dilatazione verticale di un fattore 3;(h) contrazione verticale di un fattore 3;

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 13 / 18

Esercizio 13

Spiegare come ciascuno dei seguenti grafici puo essere ottenuto daquello di y = f (x).

(a) y = 5f (x);(b) y = f (x − 5);(c) y = −f (x);(d) y = −5f (x);(e) y = f (5x);(f) y = 5f (x)− 3.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 14 / 18

Esercizio 13

Spiegare come ciascuno dei seguenti grafici puo essere ottenuto daquello di y = f (x).

(a) y = 5f (x);(b) y = f (x − 5);(c) y = −f (x);(d) y = −5f (x);(e) y = f (5x);(f) y = 5f (x)− 3.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 14 / 18

Esercizio 13

Spiegare come ciascuno dei seguenti grafici puo essere ottenuto daquello di y = f (x).

(a) y = 5f (x);(b) y = f (x − 5);(c) y = −f (x);(d) y = −5f (x);(e) y = f (5x);(f) y = 5f (x)− 3.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 14 / 18

Esercizio 13

Spiegare come ciascuno dei seguenti grafici puo essere ottenuto daquello di y = f (x).

(a) y = 5f (x);(b) y = f (x − 5);(c) y = −f (x);(d) y = −5f (x);(e) y = f (5x);(f) y = 5f (x)− 3.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 14 / 18

Esercizio 13

Spiegare come ciascuno dei seguenti grafici puo essere ottenuto daquello di y = f (x).

(a) y = 5f (x);(b) y = f (x − 5);(c) y = −f (x);(d) y = −5f (x);(e) y = f (5x);(f) y = 5f (x)− 3.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 14 / 18

Esercizio 13

Spiegare come ciascuno dei seguenti grafici puo essere ottenuto daquello di y = f (x).

(a) y = 5f (x);(b) y = f (x − 5);(c) y = −f (x);(d) y = −5f (x);(e) y = f (5x);(f) y = 5f (x)− 3.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 14 / 18

Esercizio 14

E dato il grafico di f ; disegnare il grafico delle seguenti funzioni:

(a) y = f (x + 4);(b) y = f (x) + 4;(c) y = 2f (x);(d) y = −1

2 f (x) + 3:

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 15 / 18

Esercizio 14

E dato il grafico di f ; disegnare il grafico delle seguenti funzioni:

(a) y = f (x + 4);(b) y = f (x) + 4;(c) y = 2f (x);(d) y = −1

2 f (x) + 3:

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 15 / 18

Esercizio 14

E dato il grafico di f ; disegnare il grafico delle seguenti funzioni:

(a) y = f (x + 4);(b) y = f (x) + 4;(c) y = 2f (x);(d) y = −1

2 f (x) + 3:

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 15 / 18

Esercizio 14

E dato il grafico di f ; disegnare il grafico delle seguenti funzioni:

(a) y = f (x + 4);(b) y = f (x) + 4;(c) y = 2f (x);(d) y = −1

2 f (x) + 3:

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 15 / 18

Esercizio 15E dato il grafico di y =

√3x − x2:

a) Usare le trasformazioni per avere una funzione che abbia ilseguente grafico:

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 16 / 18

Esercizio 15E dato il grafico di y =

√3x − x2:

b) Usare le trasformazioni per avere una funzione che abbia ilseguente grafico:

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 17 / 18

Esercizio 16

(a) Come e legato il grafico di y = f (|x |) al quello di f?(b) Disegnare il grafico di f (x) = sin(|x |).(c) Disegnare il grafico di f (x) =

√|x |.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 18 / 18

Esercizio 16

(a) Come e legato il grafico di y = f (|x |) al quello di f?(b) Disegnare il grafico di f (x) = sin(|x |).(c) Disegnare il grafico di f (x) =

√|x |.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 18 / 18

Esercizio 16

(a) Come e legato il grafico di y = f (|x |) al quello di f?(b) Disegnare il grafico di f (x) = sin(|x |).(c) Disegnare il grafico di f (x) =

√|x |.

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 18 / 18