Esercizi di matematica finanziaria

1 Rate e ammortamenti

Esercizio 1.1. Un finanziamento di 10000 euro deve essere rimborsato con tre rateannue costanti dammontare R. Il tasso contrattuale e 12% annuo (composto).

1. Calcolare R.

2. Scomporre la seconda rata in quota di capitale e quota dinteresse.

3. Qualora il finanziatore effettuasse una ritenuta di 100 euro allerogazione emaggiorasse le rate di rimborso dell1% per spese dincasso, il tasso effettivoglobale del finanziamento x salirebbe oltre 12%. Senza calcolare x ma soloesplorando il segno in un punto opportuno del DCF G(x) delloperazione,accessori inclusi, dire se x e sopra il taglio-soglia della normativa anti-usura,pari a 15%.

Soluzione:

1. La rata dammortamento sottiene dallequazione:

10000 = R(

11.12

+1

1.122+

11.123

)e risulta:

R = 4163.5

2. La prima quota interessi e:

I1 = 10000 0.12 = 1200

quindi la prima quota capitale e:

R I1 = 4163.5 1200 = 2963.5

Il debito residuo dopo un anno e allora:

D1 = 10000 2963.5 = 7036.5

La seconda quota interessi e:

I2 = 7036.5 0.12 = 814.38

e la seconda quota capitali, pertanto, e:

C2 = R I2 = 4163.5 844.38 = 3319.1

1

3. Poiche lammontare effettivo erogato:

S = 9900

e la rata maggiorata per spese dincasso e

R = 4163.5 1.01 = 4205.1

il DCF delloperazione dal punto di vista del finanziatore, accessori inclusi, e:

G(x) = 9900 + 4205.1(

11 + x

+1

(1 + x)2+

1(1 + x)3

)Il suo valore in corrispondenza al tasso-soglia e:

G(0.15) = 9900 + 4205.1(

11.15

+1

1.152+

11.153

)= 298.81

Poiche la funzione G(x) e decrescente sul tratto finanziariamente rilevante e ilsuo valore in 0.15 e di segno negativo, allora

x < 15%

Esercizio 1.2. Unimpresa riceve un finanziamento di ammontare S = 10000. Sim-pegna a rimborsarlo con due versamenti annui posticipati duguale ammontare R.Il saggio annuo dinteresse cui il finanziamento e concesso e i = 10%.

- Si calcoli lammontare R della rata dammortamento.

- Si determini il debito residuo D1, immediatamente dopo il pagamento dellaprima rata di ammortamento.

- Qualora, da tale momento, il saggio dinteresse del finanziamento fosse aumen-tato di un punto percentuale, quale ammonatare R limpresa dovrebbe pagareun anno piu tardi per estinguere il finanziamento alle nuove condizioni?

Soluzione:

- Lammontare della rata dammortamento e:

R =S

11i +

1(1i)2

=10000

11.1 +

11.12

= 5761.9

- Il debito residuo immediatamente dopo il pagamento della prima rata dam-mortamento e:

D1 = S(1 + i)R = 10000 1.1 5761.9 = 5238.1

2

- Qualora da tale momento il saggio dinteresse del finanziamento fosse aumen-tato di un punto percentuale, lammontare che limpresa dovrebbe un annopiu tardi per estinguere il finanziamento alle nuove condizioni sarebbe:

R = D1(1 + i + 1%) = 5238.1 1.11 = 5814.3

Esercizio 1.3. Un mutuo di euro S = 100000.00 sara ammortizzato mediante treversamenti costanti semestrali dammontare R. Il saggio dinteresse annuo effettivoe i = 21%.

1. Calcolare il tasso semestrale i2 equivalente a i.

2. Determinare R.

3. Calcolare D1, il debito residuo dopo un periodo.

Soluzione:

1. Si ha:i2 = (1 + 21%)1/2 1 = 10%

2. Si ha:R = 100000 0.1

1 1.13= 40211.00

3. Poiche la prima quota interessi e:

I1 = Si2 = 100000.00 0.1 = 10000.00

la prima quota di capitali e:

C1 = R I1 = 40211.00 10000.00 = 30211.00

e, quindi, il primo debito residuo e:

D1 = S C1 = 100000.00 30211.00 = 69789.00

Esercizio 1.4. Unazienda vende a rate un bene che ha prezzo di listino A = 10000euro. Lacquirente sborsa subito un anticipo B pari al 20% del prezzo del bene esimpegna a pagare tre rate annue posticipate di cui la terza e doppia rispetto alleprime due. La rateazione e fatta a tasso annuo composto i = 12%.

1. Calcolare lammontare delle tre rate R1, R2, R3, e lammontare I del monteinteressi complessivo.

3

2. Calcolare il debito residuo dellacquirente dopo il pagamento della prima rata.

3. Scomporre la prima rata in quota di capitale C1 e quota interessi I1.

Soluzione:

1. Il netto finanziato S e:

S = 10000 2000 = 8000

2. La prima rata R1 risolve lequazione in R:

8000 =R

1.12+

R

1.122+

2R1.123

onde:R1 = R2 = 2569.4 e R3 = 2 2569.4 = 5138.8

e:

I =3

s=1

R3 S = 10277.6 8000 = 2277.6

3. Il debito residuo D1 dopo il pagamento della prima rata e:

D1 = 8000 1.12 2569.4 = 6390.6

4. La prima quota interessi e:

I1 = 8000 0.12 = 960

e la prima quota di capitale C1 e:

C1 = R1 I1 = 2569.4 960 = 1609.4

Esercizio 1.5. Un contratto di leasing riguarda un bene con valore di fornituraA = 10000. La quota in contanti B e pari al 15% del valore del bene. I canoni, innumero di 5 sono semestrali posticipati e costanti, dammontare C, e il contrattodura m = 36 mesi. Il valore di riscatto del bene E e pari al 3% del valore di fornitura.Il tasso contrattuale e j2 = 20% annuo nominale convertibile semestralmente.

1. Calcolare B, E, C.

2. Calcolare il costo-leasing (la differenza tra ammontare complessivo dei paga-menti del conduttore e valore di fornitura) sia in termini assoluti L sia inpercentuale sul valore di fornitura l.

3. Calcolare il debito residuo D, dopo il pagamento del primo canone.

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Soluzione:

1. Il tasso semestrale equivalente e:

i2 = 10%

e lannuo effettivo equivalente:

i = 21%

Si ha poi:

B = 10000 0.15 = 1500; E = 10000 0.03 = 300

e:

C =10000 1500 300/1.213

11.150.1

= 2197.6

2. Il costo-leasing in termini assoluti e:

L = 1500 + 5 2197.6 + 300 10000 = 2788.00

in percentuale sul valore di fornitura e:

l =L

A=

2788.0010000

= 27.88%

3. Il debito residuo D, dopo il pagamento del primo canone si ottiene come segue:

D = 8500 1.1 2197.60 = 7152.4

Esercizio 1.6. Una societa prende in leasing un impianto che ha valore di fornituraA = 10000 euro. La societa di leasing chiede una quota in contanti pari al 20%del valore di fornitura. I canoni costanti dammontare C sono dovuti alla fine diciascuno di n = 3 semestri. La scadenza del contratto e un semestre dopo la scadenzadellultimo canone. Il valore di riscatto e pari all1% del valore di fornitura. Il tassoannuo contrattuale e i = 15%.

1. Calcolare C.

2. Calcolare il debito residuo D1, subito dopo il pagamento del primo canone.

3. Calcolare il costo-leasing, ossia il totale I degli interessi pagati dalla societa.

Soluzione:

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1. Si ha:

C =10000 2000 100/(1 + 0.15)2

1/1.150.5 + 1/1.15 + 1/1.151.5= 3032.7

2. Si ha:D1 = 8000 1.15.05 3032.7 = 5546.3

3. Si ha:I = 3 3032.7 + 100 + 2000 10000 = 1198.1

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