Esercizi di Geometria eAlgebraLineareI Corso di Studi in ... Esercizi Di... · 4 E. Abbena, G.M....

Universita di Torino

QUADERNI DIDATTICI

del

Dipartimento di Matematica

E. Abbena, G. M. Gianella

Esercizi di Geometria

e Algebra Lineare I

Corso di Studi in Fisica

Quaderno # 16 - Aprile 2003

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Gli esercizi proposti in questa raccolta sono stati assegnati come temi d’esame dei corsi di Geometria tenuti negliultimi anni presso il Corso di Laurea in Fisica dell’Universita di Torino. Essi sono indirizzati ai Corsi di Geometriae Algebra Lineare I e di Complementi di Geoemtria e Algebra Lineare I, per Studenti di Fisica; la suddivisione incapitoli rispetta l’andamento dei programmi.

Negli ultimi capitoli sono riportate alcune soluzioni e qualche svolgimento ottenuto per lo piu usando il pacchettodi calcolo simbolico Mathematica, versione 4.0.

Si ringraziano i Proff. P.M. Gandini, S. Garbiero e A. Zucco per aver permesso l’inserimento in questa raccoltadegli esercizi da loro assegnati e svolti negli anni in cui essi tenevano l’insegnamento del Corso di Geometriapresso il Corso di Laurea in Fisica e grazie a Simon M. Salamon per i suoi preziosi consigli.

iii

Disegno realizzato (con Mathematica) dallo studente del primo anno: Federico Crepaldi

iv

Indice

1 Sistemi lineari 1

2 Matrici e determinanti 6

3 Calcolo vettoriale 11

4 Sottospazi vettoriali 16

5 Spazi vettoriali euclidei 27

6 Applicazioni lineari 30

7 Diagonalizzazione di matrici 52

8 Coniche nel piano 62

9 Geometria analitica nello spazio 68

10 Soluzioni - Sistemi lineari 91

11 Soluzioni - Matrici e determinanti 102

12 Soluzioni - Calcolo vettoriale 111

13 Soluzioni - Sottospazi vettoriali 127

14 Soluzioni - Spazi vettoriali euclidei 145

15 Soluzioni - Applicazioni lineari 150

16 Soluzioni - Diagonalizzazione di matrici 189

17 Soluzioni - Coniche nel piano 209

18 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 270

v

Capitolo 1

Sistemi lineari

Risolvere e discutere, al variare degli eventuali parametri reali, i seguenti sistemi lineari:

[1]ìïïíïïî

x1 + x2 - x3 = 12x1 + 2x2 + x3 = 0x1 + x2 + 2x3 = -1.

[2]ìïïíïïî

-2x1 + x2 + x3 = 1x1 - 2x2 + x3 = -2x1 + x2 - 2x3 = 4.

[3]ìïïíïïî

2x1 - x2 - x3 - 4x4 = 94x1 - 3x3 - x4 = 08x1 - 2x2 - 5x3 - 9x4 = 18.

[4]

ìïïïïíïïïïî

2x - 2y + z + 4t = 0x - y - 4z + 2t = 0-x + y + 3z - 2t = 03x - 3y + z + 6t = 0.

[5]ìïïíïïî

x + y + az = 1x + 2y + bz = 3y + cz = 2.

[6]


2x + y - z = 1x + 2y - 2z = 03x - y + 2z = -1x - y + z = k.

[7]ìïïíïïî

ax - y + z = 2x - ay + z = 3 - a2

x - y + az = a + 1.

1

2 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I

[8]ìïïíïïî

x + y + z = ax - ay - z = 12x + y + az = a + 1.

[9]ìïïíïïî

x + y + Λz = 2Λ - 1x + Λy + z = ΛΛx + y + z = 1.

[10]ìïïíïïî

2x + az = 13x + ay - 2z = 2ax + 2z = 1.

[11]ìïïíïïî

x + y - z = 12x + 3y + kz = 3x + ky + 3z = h.

[12]ìïïíïïî

kx + y + z = 1x + ky + z = 1x + y + kz = h.

[13]ìïïíïïî

x - y + z = 52x + y + 2z = b-3x - 3y + az = 1.

[14]ìïïíïïî

2x - 3y + 2z = 1x + y - 2z = 24x - y + az = b.

[15]ìïïíïïî

(3 - k)x - y - z = a2x - (4 - k)y - 2z = b3x - 3y - (5 - k)z = c.

[16]ìïïíïïî

(2 - k)x - ky + (1 - k)z = 1 - 2k(4 - 2k)x - 3ky + (1 - 2k)z = 1 - k(2 - k)x - 2ky + kz = -5k.

[17]ìïïíïïî

(h + 1)x - hy + (2h + 1)z = 3 + 2h(h + 1)x - hy + 2hz = 1 + 3h(-h - 1)x - (2h + 1)z = -3(h + 1).

[18]ìïïíïïî

(m - 1)x + y + mz = 0m(1 - m)x + (1 - m)y - 2m2z = 2(m - 1)x + 2y - 2z = m + 3.


Capitolo 1 – Sistemi lineari 3

[19]ìïïíïïî

(k + 1)x + (k + 1)y + 2z = 1x + ky + z = 1(1 - k)x + (k - 1)z = 0.

[20]ìïïíïïî

kx - 2(k + 1)y + z = 4 - 2k(k + 1)y + z = k + 32kx - 5(k + 1)y + 2z = 8 - 9k.

[21]ìïïíïïî

kx + 2y + 2kz = 1kx + (3 - k)y + 3kz = 1kx + (k + 1)y + 2kz = 2.

[22]ìïïíïïî

x1 + x2 + x3 = aax1 + x2 + 2x3 = 2x1 + ax2 + x3 = 4.

[23]ìïïíïïî

x - y + z - t = a2

2x + y + 5z + 4t = ax + 2z + t = 2.

[24]ìïïíïïî

2x1 + ax2 + x3 = 2x1 + x2 + ax3 = 4x1 + x2 + x3 = a.

[25]ìïïíïïî

x + z + 2t = 2-x - y + z + t = a2

4x + y + 2z + 5t = a.

[26]ìïïíïïî

2x - y + 3z + t = 04x + y - 2z - t = 02x + 5y + az - 5t = 0.

[27]


x1 + 2x2 - x3 + Λx4 = 0-x1 + (Λ - 2)x2 + x3 = 02x2 + x3 = 0-x1 - 2x2 + x3 + Λx4 = 0.

[28]ìïïíïïî

x + y - z = 0x + (2Λ + 1)y - (Λ + 1)z = 2Λ + 1x + Λy - z = Λ - 1.

[29]ìïïíïïî

x - y - z = 03x + y + 2z = 04x + Λy = 0.

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica


[30]


3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 27x + 4y + 5z = 3x + y - z = 0.

[31]ìïïíïïî

x + y + hz = 2hx + y + 2z = -12x - hy + 4z = -2.

[32]ìïïíïïî

hx + y + hz = -12x - y + 2z = -h - 13x + 3y + (h + 2)z = -h - 2.

[33]ìïïíïïî

x - ay + z = aax - 2y + 3z = -13x - 2y + az = 5a.

[34]ìïïíïïî

2x + ay = 1x + y - z = -2ax - y + z = 2.

[35]ìïïíïïî

x + y + (h - 1)z = 2h - 2x + y + 2z = -12x + (-h + 1)y + (h - 1)2z = -2.

[36] Verificare che per a = -1 il seguente sistema lineare e incompatibile:

ìïïíïïî

x + 2y - z = 0-x + z = 1x + 4y + az = 0.

[37] Discutere la compatibilita del seguente sistema lineare, al variare dei parametrih, k Î — . Determinare esplicitamente le soluzioni (quando e possibile) usando anche (quando e possibile) ilteorema di Cramer:

ìïïíïïî

-hx + y + z = 2x - y = -1hx - 2y - 2z = k.


ìïïíïïî

x1 + 2x2 + x3 = 1x1 + (2 - h)x2 + (2 + h)x3 = 2x1 + (2 + 3h)x2 - 2hx3 = k.


Capitolo 1 – Sistemi lineari 5


ìïïíïïî

2x1 - x2 - x3 = 0(2 - h)x1 + (2 + h)x2 - x3 = 1(2 + 3h)x1 - 2hx2 - x3 = k.

[40] Dato il sistema lineare:ìïïíïïî

2x1 - x2 - x3 = 0(2 - h)x1 + (2 + h)x2 - x3 = 0(2 + 3h)x1 - 2hx2 - x3 = k, h, k Î —,

i) determinare tutte le soluzioni nel caso di h = k = 0;

ii) discutere l’esistenza delle soluzioni e determinarle (quando e possibile) al variare di h, k Î — .

[41] Dato il sistema lineare:ìïïíïïî

x1 + x2 + x3 = kx1 - kx2 + x3 = -1-x1 + kx2 + x3 = k, k Î —,

i) determinare tutte le soluzioni nel caso di k = -1.

ii) Discutere l’esistenza delle soluzioni, al variare di k Î — .


Capitolo 2

Matrici e determinanti

[1] Dopo aver verificato che la matrice:

A =æççççççè

1 2 0-1 2 21 -1 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

e invertibile, calcolare A-1 .

[2] Dopo aver verificato che la matrice:

A =æççççççè

1 3 -12 1 -12 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

e invertibile, calcolare A-1 .

[3] Data la matrice:

A =æççççççè

1 2 30 1 2

-1 4 h

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

al variare del parametro reale h discutere l’esistenza della matrice A-1 e calcolarla, quando e possibile, usandodue metodi diversi.


A =

æçççççççççè

1 -3 1 2h 0 0 01 -1 0 00 0 0 h

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,

determinare i valori di h per cui A e invertibile, e in questi casi, scrivere A-1 .

[5] i) Stabilire per quali valori di h Î — la matrice:

A =


1 2 1 12 1 0 00 1 1 h3 2 1 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

6

Capitolo 2 – Matrici e determinanti 7

e invertibile.

ii) Posto h = 0, determinare l’inversa di A .

[6] Stabilire per quali valori di h Î — la matrice:

A =


0 h 1 00 1 2 1

h + 1 0 0 00 2 1 3

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

e invertibile.

Calcolare il determinante delle seguenti matrici, riducendole, eventualmente, a forma triangolare superiore.

[7] A =


0 2 -1 -34 1 0 02 -1 1 01 0 -2 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[8] A =

æçççççççççççççè

1 2 3 4 -15 -2 6 0 -12 -3 4 -1 70 1 2 3 41 -1 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[9] A =


0 0 0 1 21 3 2 -1 04 3 2 1 51 -1 2 1 30 2 3 -1 4

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[10] A =


1 -2 3 -4-2 3 -4 13 -4 1 -2

-4 1 -2 3

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[11] A =æççççççè

k + 1 k + 2 k + 31 2 3

1 - 2k 2 - 2k 3 - 2k

ö÷÷÷÷÷÷ø

.


x x - 1 x - 21 - x 2 - x 3 - x

4 5 6

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[13] Date le matrici:

A =æççççççè

1 1 01 0 -10 -1 a2 - 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, X =æççççççè

x1

x2

x2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, B =æççççççè

23a

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

determinare le soluzioni del sistema lineare AX = B , al variare di a in — .


A =æççççççè

2 -3 11 a2 - 14 4

-1 5 3

ö÷÷÷÷÷÷ø


x1

x2

x2

ö÷÷÷÷÷÷ø


4a + 2

2

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

determinare le soluzioni del sistema lineare AX = B , al variare di a in — .


A =æççççççè

2 -3 -2 14 -6 1 -26 -9 -1 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, X =


x1

x2

x3

x4

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,

B1 =æççççççè

120

ö÷÷÷÷÷÷ø

, B2 =æççççççè

123

ö÷÷÷÷÷÷ø

, B3 =æççççççè

000

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

determinare le soluzioni dei sistemi lineari AX = B1, AX = B2, AX = B3 .

[16] Determinare le soluzioni del seguente sistema lineare, al variare di h in campo reale:

æççççççè

-1 2h 3 - 2h2

1 h 2-1 h 1 - h2

ö÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

x1

x2

x3

ö÷÷÷÷÷÷ø

=æççççççè

2h1h

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —.

[17] Al variare dei parametri reali h e k , determinare, quando esiste, una matrice X tale che:

XA = B,

dove:

A =


1 20 13 50 h

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø


3 1-1 2k 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[18] Al variare dei parametri reali h e k , determinare, quando esiste, una matrice X tale che:

XA = B,

dove:

A = K 1 2 3-1 h 2h O , B =


0 1 -1-2 1 0-3 0 k0 0 k

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.


Capitolo 2 – Matrici e determinanti 9

[19] Si considerino le seguenti matrici:

A =æççççççè

5 1 03 0 14 -1 3

ö÷÷÷÷÷÷ø


2 12 0h k

ö÷÷÷÷÷÷ø

h, k Î —,

stabilire per quali valori di h, k Î — l’equazione matriciale AX = B e compatibile e determinare, quando epossibile, le soluzioni di tale equazione.

[20] Al variare del parametro Λ Î — , discutere e risolvere, quando e possibile, l’equazione matriciale AX = B ,dove:

A =æççççççè

Λ 1 -10 2 10 1 Λ

ö÷÷÷÷÷÷ø


Λ 10 1

Λ + 2 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[21] Al variare del parametro Λ Î — , discutere e risolvere, quando e possibile, l’equazione matriciale AX = B ,dove:

A =æççççççè

Λ 11 2

-1 Λ

ö÷÷÷÷÷÷ø


Λ 10 0

Λ + 2 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[22] Stabilire per quali valori di h e k in — le seguenti equazioni matriciali:

AX = B, X ¢A = B,

dove:

A =æççççççè

3 -11 22 h

ö÷÷÷÷÷÷ø


1 1 -10 1 30 k h + k

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

sono compatibili. Determinare, quando e possibile, le loro soluzioni.


A =æççççççè

2 -1h 21 0

ö÷÷÷÷÷÷ø


3 -1 k-2 0 -34 -k 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

determinare, al variare di h, k Î — , le soluzioni dell’equazione matriciale AX = B .

[24] Al variare di Λ, Μ Î — , discutere e risolvere, quando possibile, l’equazione matriciale:

AX = B,

dove:

A =æççççççè

1 2 1 -30 3 1 51 Λ 0 -8

ö÷÷÷÷÷÷ø


2 10 1

Μ - 3 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.




A =æççççççè

1 -1 2 3-1 0 5 63 h -1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø


1 -15 -3k -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

determinare, al variare di h, k Î — , le soluzioni dell’equazione AX = B .

[26] Risolvere la seguente equazione matriciale: AX = B , dove:

A =æççççççè

1 12 k

-1 h

ö÷÷÷÷÷÷ø


0 -11 10 k

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h, k Î —.

[27] Risolvere la seguente equazione matriciale: AX = B , dove:

A =æççççççè

1 1h -1

1 + k 3

ö÷÷÷÷÷÷ø


-1 0k 00 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h, k Î —.

[28] Stabilire per quali valori di h e k in — le seguenti equazioni matriciali:

AX = B, X ¢A = B,

dove:

A =æççççççè

1 0 -12 1 3

-4 h k

ö÷÷÷÷÷÷ø


1 -31 0

3h -6

ö÷÷÷÷÷÷ø

sono compatibili. Determinare, quando e possibile, le loro soluzioni.

[29] Risolvere, in campo reale, l’equazione matriciale AX = B , dove:

A = K 2 1 -1-1 0 5 O , B = K -2 5 -8 -1

6 -7 7 9 O .


Capitolo 3

Calcolo vettoriale

Tutti gli esercizi, a meno di esplicita dichiarazione contraria, sono da considerarsi nello spazio vettoriale realeV3 dei vettori ordinari, riferito ad una base ortonormale positiva B = (

�, � , � ) . I simboli: “ × ”, “ß”indicano,

rispettivamente, il prodotto scalare e il prodotto vettoriale (esterno) tra due vettori.

[1] Dati i vettori: �= h

�- � + 3 � , � =

�- h� + k � , � = -2

�+ k � , h, k Î —,

trovare per quali valori di h, k Î — esistono dei vettori � Î V3 tali che:�ß � + � ß � = �

e determinare, quando e possibile, le componenti di � .

[2] Se�

e � sono vettori non nulli, ortogonali, calcolare:�ß (

�ß � );�

× (

�ß � ).

[3] Dati i vettori:�

= (1, 2, 0) e � = (0, 1, 1) , determinare una base ortogonale positiva di V3 contenente�

e unvettore complanare ad

�e a � .

[4] i) I vettori:�

= (1, 2, 0) e � = (0, 1, 1) possono rappresentare i lati di un rettangolo?

ii) Determinare i vettori � che rappresentano le altezze del parallelogramma individuato da�

e da � .

[5] i) I vettori:�

= (1, 1, 0) e � = (2, 0, 1) possono rappresentare i lati di un rombo?

ii) Determinare le rette vettoriali bisettrici degli angoli individuati da�

e da � .

[6] Dati i vettori:�

= (1, 0, -2) e � = (0, 1, -1) , determinare una base ortogonale positiva contenente�

e unvettore � ortogonale sia ad

�sia a � .

11


[7] Dati i vettori: �= (1, 3, h), � = (-1, 5, 0), � = (1, -2, -1),

determinare per quali valori di h Î — , esiste un vettore � di V3 che verifica tutte le seguenti condizioni:

i) � sia complanare ad�

e a � ;

ii) � sia perpendicolare a � ß � ;

iii) il vettore proiezione ortogonale di � su � sia - � .

[8] Dati i vettori: � = (2, 1, 3) e � = (0, 2, 3) , determinare il vettore � simmetrico di � rispetto a � .

[9] Dati i vettori: � = (2, 1, 3) e � = (0, 2, 3) , determinare i vettori bisettori degli angoli individuati da � e � .

[10] Dati i vettori: �= (1, 2, 3), � = (-1, 3, -1), � = (0, 1, 1),

determinare, se esistono, i vettori � tali che:

2( � ×

�) � + � ß � = � .

[11] Calcolare il valore della seguente espressione:

(

�+ � - � ) × (

�- � + � ) ß (-

�+ � + � ),

dove�

, � , � sono vettori qualsiasi dello spazio vettoriale reale V3 .

[12] Dati i vettori: � = (1, 1, 1) e � = (1, 0, 0) , scomporre il vettore � nella somma di un vettore parallelo ad � edi un vettore ortogonale ad � .

[13] Siano � , � vettori di V3 , provare che:

ü � ß � ü2 = ( � × � )( � × � ) - ( � × � )2.

[14] Verificare che i vettori: � = 2(�+ � - � ) e � =

�+ � sono ortogonali e determinare le componenti del vettore

� =�- 3� + 2 � rispetto alla base B¢ = ( � , � , � ß � ) .

[15] Dati i vettori: � =�- � e � =

�+ � , determinare i vettori � di V3 , complanari a � e a � , ortogonali a � + �

e di norma 1.

[16] Dati i vettori: � =�- 2� - � e � =

�+ � - � ,

i) verificare che � e ortogonale a � ;

ii) determinare i vettori � tali che � ß � = � .


Capitolo 3 – Calcolo vettoriale 13

[17] Dati i vettori: � = (1, 1, 0) e � = (0, 1, 1) , determinare i vettori � di V3 tali che la loro proiezione ortogonalesul piano individuato da � e � sia il vettore

�= 3 � + 4 � .

[18] Dati i vettori:� = (1, -1, h), � = (2, 0, h), � = (-2, 1, 0),

determinare per quali valori di h Î — esistono uno o piu vettori � Î V3 che verificano simultaneamente le seguenticondizioni:

i) � e perpendicolare ad � ;

ii) il vettore proiezione ortogonale di � su � e 2 � ;

iii) il volume con segno del tetraedro individuato dai vettori � , � , � vale 8.

[19] i) Dati i vettori:�

= (1, 0, -1) e � = (2, 1, 2) , si determini il vettore � tale che:

a) l’area del parallelogramma individuato da�

e da � sia 6.

b) B¢ = (

�, � , � ) sia una base ortogonale positiva.

ii) Si determinino le componenti del vettore � = 4�- � + 3 � rispetto alla base B¢ .

[20] i) Dati i vettori:�

= (2, 1, 1) e � = (0, 1, 1) , si determinino tutti i vettori � tali che la proiezione ortogonaledi � sul piano vettoriale generato da

�e da � sia il vettore

�+ � .

ii) Scelto un vettore � particolare, si determinino le componenti del vettore � = 4�- � + 3 � rispetto alla base

B¢ = (

�, � , � ) .

[21] Dati i vettori: � =�- � + 2Λ � ,

� = Λ�+ Λ� - 2 � ,

� =�,

i) esistono dei valori di Λ Î — per cui i tre vettori risultino complanari?

ii) Esistono dei valori di Λ Î — per cui il vettore � bisechi l’angolo formato da � e da � ?

[22] Dati i seguenti vettori: �1 = (1, 3, -2),�2 = (-2, a - 6, a + 4),�3 = (-1, a - 3, a2 + a + 1),� = (0, -2, a - 1), a Î —,

i) determinare i valori del parametro a per cui i vettori�

1,�

2,�

3 sono linearmente indipendenti.

ii) Posto a = 2, determinare le componenti del vettore � rispetto alla base�

1,�

2,�

3 .

[23] Dati i vettori: �

1 = (1, 1, 2), �

2 = (2, -1, 3), �

3 = (3, 0, h) , dire per quali valori di h i vettori �

1, �

2, �

3 sonolinearmente indipendenti.

[24] Dati i vettori: � = (1, 3, 2), � = (-2, 1, 1) , verificare che V = L( � , � ) ha dimensione 2. Trovare per qualivalori di t il vettore � = (t, 0, -1) appartiene allo spazio V e, per tali valori, determinare le sue componentirispetto ai vettori � e � .



[25] Siano E1 il sottospazio di V3 generato dai vettori: �

1 =�+ � - � e �

2 = 2�- � + � , E ¢

1 il sottospazio di V3

generato dai vettori: � 1 =�+ 2� - � e � 2 = -

�- � + 2 � . Determinare una base e la dimensione di E1 È E ¢

1 .

[26] Dati i vettori�

= (0, 1, 2), � = (3, -1, 1), � = (-1, 2, 2) , determinare la proiezione ortogonale di � sul pianoindividuato da

�e � .

[27] Dati i vettori: � 1 = (-1, -2 - 2k, -2), � 2 = (1, -2 + 2k, 16), � 3 = (4, -7 - k, 8), k Î — ,

i) per quali valori di k i vettori � 1, � 2, � 3 sono linearmente dipendenti?

ii) Per tali valori provare che B = ( � 1, � 2) e una base e trovare le componenti di � 3 rispetto a B .

[28] Dati i vettori: �=

�+ 2� + � , � = 2

�- � + � , � =

�- � ,

i) verificare che (

�, � , � ) e una base di V3 .

ii) Costruire una base ortonormale ( �

1, �

2, �

3) di V3 tale che �

1 sia parallelo ad�

ed �

2 sia complanare ad�

ea � . (Si puo usare indifferentemente il calcolo vettoriale elementare o il procedimento di ortonormalizzazione diGram-Schmidt).

[29] Dati i vettori:� =

�- h � , � = h� - � , � = h

�+ 2h� - � , h Î —,

i) determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori � , � , � siano complanari.

ii) Determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori � e � siano paralleli.

iii) Determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori � , � , � costituiscano una base ortogonale.

iv) Posto h = 2, determinare il vettore proiezione ortogonale di � sul piano generato da � e da � .

[30] Determinare un vettore unitario perpendicolare a � =�- � e a � =

�+ � , con componente positiva lungo � .

[31] Dati i vettori:� = 2h

�- � + h � , � = h

�- � , � =

�- h� , h Î —,

i) determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori � , � , � siano complanari.

ii) Determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori � e � siano paralleli.

[32] Dati i vettori: �= 2

�+ 2� + h � , � =

�- � + 2h � , h Î —,

i) determinare h in modo che ü�

ß � ü2 = 56.

ii) E possibile determinare h in modo che�

sia ortogonale a � ? E in modo che�

sia parallelo a � ? Giustificarele risposte.

[33] Dati i vettori: � = (1, 0, 1) e � = (0, 1, 1) ,

i) determinare i vettori complanari a � e a � , ortogonali ad � e aventi norma0

2 .

ii) Determinare le componenti del vettore�

rispetto alla base formata da � , � , � ß � .


Capitolo 3 – Calcolo vettoriale 15

[34] Dati i vettori: � = (1, 2, -1) , � = (1, 0, 2), � = (-t, t, t + 2), t Î — ,

i) determinare il valore di t in modo tale che � , � , � siano complanari ed esprimere � come combinazione linearedi � e di � .

ii) Posto t = -1, determinare il vettore � ¢ perpendicolare a � , a � , avente norma uguale alla norma di � eformante un angolo ottuso con � .

[35] Utilizzando il prodotto scalare, dimostrare che:

un parallelogramma ha quattro lati uguali se e solo se le diagonali sono perpendicolari.

[36] Utilizzando il prodotto scalare, dimostrare che le diagonali del rombo sono bisettrici degli angoli.

[37] Dati i vettori:� = (Λ, -Λ, 1), � = (1, 2, 1), � = (Λ, -1, Λ), Λ Î —,

i) determinare, se esistono, dei valori di Λ per cui il volume del tetraedro individuato da � , � , � sia 5.

ii) Determinare, se esistono, dei valori di Λ per cui � , � , � siano complanari e l’angolo tra � e � sia ottuso.

iii) Posto Λ = 2, dopo aver verificato che C = ( � , � , � ) e una base non ortogonale, determinare le componenti di� rispetto a C .

[38] Dati i vettori: �= Α

�- � + 3 � , � =

�- 2� + � , � =

�- � - � ,

�=

�+ 3� - Α � ,

stabilire per quali valori di Α Î — esistono dei vettori � complanari con�

e � e tali che:

� ß � =�

.

Determinare, quando e possibile, le componenti di � .


Capitolo 4

Sottospazi vettoriali

In tutti gli esercizi di questo capitolo si sono adottate notazioni standard, in particolare si e indicato con:

- —n lo spazio vettoriale delle n-uple di numeri reali, di dimensione n , riferito alla base canonica ( �

1 = (1, 0, . . . , 0),�

2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , �

n = (0, 0, . . . , 1)) ;

- —m,n lo spazio vettoriale delle matrici di tipo (m, n) , ad elementi reali, riferito alla base canonica:

æççççççè

æççççççè

1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

, . . . ,æççççççè

0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

- —n,n lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n , ad elementi reali, riferito alla base canonica standard(il caso particolare della precedente);

- S(—n,n) lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche di ordine n ad elementi reali rispetto alla base canonica:



1 0 . . . 00 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 1 . . . 01 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, . . . ,


0 0 . . . 10 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .1 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 . . . 00 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, . . . . . . ,


0 0 . . . 00 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .0 . . . 0 10 . . . 1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 . . . 00 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

- A(—n,n) lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche di ordine n ad elementi reali rispetto alla base canonica:



0 1 0 . . . 0-1 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 1 . . . 00 0 0 . . . 0

-1 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, . . . ,


0 0 . . . 0 00 0 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 10 0 . . . -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

- tr(A) indica la traccia della matrice A Î —n,n , vale a dire la somma degli elementi della diagonale principale.

16

Capitolo 4 – Sottospazi vettoriali 17

[1] In —3 sono dati i vettori �

1 = (1, 1, 2) , �

2 = (2, -1, 3) , �

3 = (3, 0, h) ; dire per quali valori di h i vettori�

1, �

2, �

3 sono linearmente indipendenti.

[2] In —4 sono dati i vettori �

1 = (1, -1, 0, 1) , �

2 = (2, 1, 1, 0) , �

3 = (3, 0, 1, 1) , �

4 = (0, 1, -1, 0) ; trovare unabase del sottospazio di —4 , generato dai vettori �

1, �

2, �

3, �

4 .

Verificato che i vettori �

1, �

2, �

4 sono linearmente indipendenti, determinare per quali valori di t il vettore � =(1, -1, 2t - 8, t + 1) Î L( �

1, �

2, �

4) .

Per i valori di t trovati, determinare le componenti di � rispetto ai vettori �

1, �

2, �

4 .

[3] Dati i vettori: � = (1, 3, 2) , � = (-2, 1, 1) in —3 , verificare che V = L( � , � ) ha dimensione 2. Trovare perquali valori di t , il vettore � = (t, 0, -1) appartiene allo spazio V e, per tali valori, determinare le sue componentirispetto ai vettori � e � .

[4] Siano W1 il sottospazio di —3 generato dai vettori: �

1 = (1, 1, -1) , �

2 = (2, -1, 1) , W2 il sottospazio di —3

generato dai vettori: � 1 = (1, 2, -1) , � 2 = (-1, -1, 2) . Trovare W1 È W2 , dim(W1 È W2) ed una sua base.

[5] Nello spazio vettoriale —4 si considerino i sottospazi: W1 = L(

�, � , � ) , dove:�

= (2, 0, 1, 0), � = (-1, 1, 0, 1), � = (0, 3, -1, -1) ; W2 = L( � ,�, � ) , dove � = (-1, 1, 5, 4) ,

�= (0, 3, -2, 1), � = (2, 7, -16, -5) .

i) Verificato che l’insieme B = (

�, � , � ) e una base di W1 , stabilire per quale valore di h Î — il vettore � =

(5, -h, 1, h) appartiene a W1 e, per tale valore, decomporlo rispetto alla base B .

ii) Trovare un sottospazio W3 di —4 tale che W3 Å W2 = —4 .

[6] In —4 , scrivere le equazioni di due iperpiani vettoriali, diversi, ma entrambi supplementari della retta vettorialeH = L((2, 0, 4, 3)) .

[7] Sono dati, in —4 , i sottospazi vettoriali:

H = {(x, y, z, t) Î —4/ x + 2y = 2t = 0},K = L((1, 2, 0, 1), (2, 4, -1, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 2, 4, 5), (1, -1, 0, 5)).

i) Determinare la dimensione e una base sia di H sia di K .

ii) Determinare la dimensione e una base sia di H È K sia di H + K .

iii) Il vettore � = (1, 2, 3, 4) appartiene a H + K? In caso affermativo decomporlo nella somma di un vettore di H

e di un vettore di K , in tutti i modi possibili (a meno di un cambiamento di variabile libera).

[8] In —2,2 si considerino i sottoinsiemi:

S = ;K x1 x2

x3 x4O / x2 = x3?

delle matrici simmetriche e:

T = ;K x1 x2

x3 x4O / x1 + x4 = 0?

delle matrici a traccia nulla. Si dimostri che S e T sono sottospazi vettoriali di —2,2 ; si determinino le lorodimensioni ed una base per ciascuno di essi.



[9] Dire se i seguenti sottoinsiemi di —2,2 :

H = ;K x yz t O /2x - y - z = x + 3y - 2t = 0? ,

K = ;K x yz t O / x - y + 2 = t = 0?

sono sottospazi vettoriali. In caso affermativo determinarne una base e la dimensione.

[10] Nello spazio vettoriale —4 sono dati i sottospazi:

H = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/2x1 - x2 + x3 = x1 + x2 - x4 = 0},K = L((0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0)).

i) Calcolare la dimensione e una base di H .

ii) Calcolare la dimensione e una base di H + K . Si tratta di una somma diretta?

[11] i) Verificare che le matrici:

A1 = K 1 2-1 0 O , A2 = K 1 0

2 -1 O , A3 = K 0 2-2 1 O , A4 = K 4 1

-2 3 Ocostituiscono una base di —2,2 e determinare le componenti della matrice A = K 1 0

0 1 O rispetto a tale base.

ii) Dati i sottospazi vettoriali di —2,2 :

A = ;K x1 x2

x3 x4O / x1 + 2x2 = 0? ,

B = ;K x1 x2

x3 x4O / x1 + x4 = x2 + 2x3 = 0? ,

determinare una base e la dimensione di A e di B . Determinare una base e la dimensione di A È B e di A + B .

[12] Sono dati in —4 i sottospazi vettoriali:

H = {(x, y, z, t) Î —4/ x - 2z = 2y = 0},K = L((0, 2, 1, -1), (1, -2, 1, 1), (1, 2, 3, -1), (1, 2, 7, 1)).

i) Determinare la dimensione e una base sia di H sia di K .

ii) Determinare la dimensione e una base di H + K .

[13] In —5 i sottospazi:

A = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/ x1 + x2 = x3 = 0},B = L((1, 2, 1, 2, 1), (0, 1, 1, 1, 1), (1, 0, -1, 0, -1), (2, 3, 1, 3, 1))

sono supplementari?



[14] In —4 si considerino i vettori:�= (1, 1, 1, 0), � = (0, 1, 1, 1), � = (1, 1, 0, 0).

i) Verificare che�

, � , � sono linearmente indipendenti.

ii) Determinare un vettore�

in modo che�

, � , � ,�

siano linearmente indipendenti.

iii) Dire se il sottospazio H = {(x, y, z, t) Î —4/ y = z + t = 0} e contenuto in K = L(

�, � , � ) .

[15] In —3 si consideri il sottospazio vettoriale:

W = {(x, y, z) Î —3/ x + y + z = x + hy + (2 - h)z = -x - h2y + (3h - 4)z = 0}.

i) Al variare di h Î — , determinare la dimensione e una base di W .

ii) Al variare di h Î — , determinare un sottospazio supplementare di W in —3 .

[16] In S(—3,3) completare l’insieme libero:

I =ìïïíïïî

æççççççè

1 0 30 0 23 2 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 -1 2-1 1 02 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 5 20 2 -6

ö÷÷÷÷÷÷ø

üïïýïïþ

fino ad ottenere una base.


A = K 6 -94 -6 O ,

i) provare che i sottoinsiemi:

F = {X Î —2,2/AX = XA}, G = {X Î —2,2/AX = -XA}

sono sottospazi vettoriali e trovare una base per ciascuno di essi.

ii) Determinare una base per i sottospazi vettoriali F È G e F + G .

iii) Data la matrice:

C = K 0 h - 20 h - 3 O , h Î —,

stabilire per quale valore di h la matrice C appartiene al sottospazio vettoriale F + G .

Assegnato ad h tale valore, trovare due matrici C1 Î F e C2 Î G in modo tale che C = C1 + C2 .

[18] In —4 si consideri il sottoinsieme:

W1 = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/ x1 + 2x3 + x4 = x3 - x4 = 0}.

i) Verificare che W1 e un sottospazio vettoriale di —4 e determinarne una base e la dimensione.

Si considerino, inoltre, i sottospazi:

W2 = L(

�, � , � ), dove

�= (1, 0, 2, 0), � = (0, 1, -1, 1), � = (3, -2, 8, -2),

W3 = L( � ,�, � ), dove � = (0, 1, 2, 1),

�= (2, 1, 3, 1), � = (1, -2, 4, -2).

ii) Si determinino una base e la dimensione di W2 e di W3 .

iii) Si determinino una base e la dimensione di W1 È (W2 + W3) .



[19] Si considerino gli insiemi:

H =ìïïíïïî

æççççççè

1 0 0a 1 0b c 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a, b, c Î —

üïïýïïþ

;

K =ìïïíïïî

æççççççè

a 0 0b c 0d e f

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a, b, c, d, e, f Î —

üïïýïïþ

.

H e K sono sottospazi vettoriali di —3,3 ? In caso affermativo se ne determini una base e la dimensione.

[20] I sottospazi:

H = L(

�= (1, 2, 0, 0), � = (0, 1, 3, 0), � = (2, 1, 0, 0),

�= (5, 4, 0, 0)),

K = {(x, y, z, t) Î —4/2x + 3y - z = x - z = 0}

sono supplementari in —4 ?

[21] In —4 si considerino i sottospazi vettoriali:

W1 = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/ x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0},W2 = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/ x1 + x2 = x1 + x3 = x1 - x2 + x3 = 0};

provare che W1 Å W2 = —4 .

[22] In —5 , determinare una base e la dimensione dell’intersezione e della somma dei due sottospazi:

W1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/2x1 - x2 - x3 = x4 - 3x5 = 0},W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/2x1 - x2 + x3 + 4x4 + 4x5 = 0}.

[23] In —5 , determinare una base e la dimensione dell’intersezione e della somma dei due sottospazi:

W1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/ x1 = 3x2 + 2x3 - 3x4 - 3x5 = 0},W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/13x1 - 26x2 + 6x3 - 9x4 - 9x5 = 0}.

[24] In —5 si consideri l’insieme:

W1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/2x1 + x2 = x3 = 0}.

i) Si verifichi che W1 e un sottospazio vettoriale di —5 , se ne determini una base e la dimensione.

ii) Sia W2 = L(

�, � , � ,

�) , dove:�

= (0, 3, 1, -2, 0), � = (0, 0, 2, 1, 1), � = (0, 6, -10, -10, -6),�

= (0, 3, 7, 1, 3),

se ne determini una base e la dimensione.

iii) Si provi che W1 Å W2 = —5 .

iv) Si determini un sottospazio W3 di —5 tale che dim(W1 È W3) = 1 e dim W3 = 3.



[25] In —2,2 si considerino le matrici:

A1 = K 1 2-1 0 O , A2 = K 0 3

-1 -2 O , A3 = K 1 -10 1 O , A4 = K 3 2

-1 1 O .

Si verifichi che l’insieme B = (A1, A2, A3, A4) e una base di —2,2 e si esprima la matrice A = K 2 -1-1 2 O nella

base B .

[26] i) Date le seguenti matrici dello spazio vettoriale A(—3,3) :

A =æççççççè

0 1 2-1 0 0-2 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø


0 0 20 0 1

-2 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

si completi l’insieme {A, B} in modo da ottenere una base B¢ di A(—3,3) .

ii) Si determinino le componenti della matrice:

C =æççççççè

0 1 2-1 0 3-2 -3 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

rispetto alla base B¢ .

[27] Siano U e V due sottospazi vettoriali di dimensione 2 di —3 .

i) Provare che U È V ¹ { � } .

ii) Determinare tutte le possibili dimensioni di U È V e costruire un esempio in ciascuno dei casi.

[28] i) Verificare che B¢ = KK 1 -2-2 1 O , K 2 1

1 3 O , K 4 -1-1 -5 OO e una base di S(—2,2) .

ii) Trovare le componenti della matrice A = K 4 -11-11 -7 O rispetto alla base B¢ .

[29] i) Si verifichi che:

B =



0 x1 x2 x3

-x1 0 x4 x5

-x2 -x4 0 x6

-x3 -x5 -x6 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

/ x1 + x2 + x3 = 2x2 + x4 = x5 - x6 = 0

üïïïïýïïïïþ

,

e un sottospazio vettoriale di A(—4,4) , se ne calcoli una base e la dimensione.

ii) Si determini una base e la dimensione dei seguenti sottospazi di A(—4,4) :

C = L



0 1 2 3-1 0 -2 -3-2 2 0 1-3 3 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 1 20 0 0 1

-1 0 0 7-2 -1 -7 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 1 -1 2-1 0 2 31 -2 0 1

-2 -3 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 2 -1 1-2 0 0 -21 0 0 -12

-1 2 12 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

;

D = L



0 0 2 -10 0 0 1

-2 0 0 01 -1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 1 -20 0 0 0

-1 0 0 12 0 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



iii) E’ vero che B Å C = A(—4,4) ?

iv) Si determini una base e la dimensione di D È (B + C) .

v) Si determini un sottospazio vettoriale E supplementare a D .

vi) Si decomponga la matrice:

A =


0 -1 -1 -11 0 2 11 -2 0 11 -1 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

nella somma di una matrice di E e di una matrice di D .

vii) A e invertibile? Se sı, si determini A-1 .

[30] Data la matrice A = K 0 10 2 O,

i) determinare una base per il sottospazio W Í —2,2 generato da A, tA, A + tA .

ii) Dimostrare che il sottoinsieme:

U = ;K a b0 2b O , a, b Î —?

e un sottospazio di —2,2 e determinarne una base.

iii) Determinare una base per i sottospazi W + U e W È U .

[31] i) In S(—3,3) si consideri l’insieme:

A =ìïïíïïî

æççççççè

x1 x2 x3

x2 x4 x5

x3 x5 x6

ö÷÷÷÷÷÷ø

/ x1 + 2x4 - x6 = 2x6 - x2 = x3 + 3x5 = 0üïïýïïþ

e si verifichi che A e un sottospazio vettoriale, se ne calcoli una base e la dimensione.

ii) Si determini un sottospazio vettoriale B supplementare a A .

iii) Si decomponga la matrice:

A =æççççççè

0 1 21 3 12 1 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

nella somma di una matrice di A e di una matrice di B .

iv) A e invertibile? Se sı, si determini A-1 .

v) Si determini una base e la dimensione dei seguenti sottospazi di S(—3,3) :

C = L

æççççççè

æççççççè

1 2 12 -1 31 3 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 2 12 1 31 3 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

-1 0 10 0 11 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

1 2 22 -3 42 4 -2

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

D = L

æççççççè

æççççççè

0 1 -11 0 1

-1 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

1 -1 0-1 0 10 1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

-2 0 10 0 11 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

vi) E vero che A Å C = S(—3,3) ?

vii) Si determini una base e la dimensione di D È (A + C) .



[32] Dato U = ;K a b0 a O , a, b Î —? , sottospazio vettoriale di —2,2 ,

i) si determini un altro sottospazio V tale che U Å V = —2,2 .

ii) Data la matrice A = K 1 2-3 0 O, si scomponga A nella somma di una matrice A1 Î U e di una matrice A2 Î V .

[33] In —4 si consideri il sottospazio vettoriale:

W = L((1, 3, 0, -1), (2, 5, 1, 2), (1, 2, 1, 0)).

i) Si verifichi che W e un iperpiano vettoriale di —4 e se ne determini la sua equazione.

ii) Si determinino due sottospazi vettoriali di —4 , diversi, entrambi supplementari di W .

[34] In —5 si considerino i sottospazi:

U = L((1, 3, -2, 2, 3), (1, 4, -3, 4, 2), (2, 3, -1, -2, 9)),V = L((1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, -6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1)),

determinare una base U + V e una base di U È V .

[35] Si provi che i seguenti sottospazi di —4 :

U = L((1, 2, -1, 3), (2, 4, 1, -2), (3, 6, 3, -7))V = L((1, 2, -4, 11), (2, 4, -5, 14))

sono uguali.

[36] i) Determinare l’insieme C di tutte le matrici di —3,3 che commutano (rispetto al prodotto) con la matrice:

A =æççççççè

0 1 00 0 10 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) Verificare che C e un sottospazio vettoriale di —3,3 , determinarne una base e la sua dimensione.

iii) Determinare due sottospazi diversi, entrambi supplementari di C in —3,3 .

[37] Sono dati i seguenti sottospazi vettoriali di —5 :

W1 = L((1, -1, 0, 1, 1), (1, -2, -2, 1, 2), (0, 1, 2, 0, -1), (-1, 3, 4, -1, -3));W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/ x1 - x4 + 2x5 = x2 + x3 = 0},

i) provare che —5 = W1 Å W2 .

ii) Decomporre il vettore�

= (0, 2, 0, 0, 0) nella somma di un vettore�

1 Î W1 e di un vettore�

2 Î W2 .

[38] Si considerino i sottospazi vettoriali di —4 :

W1 = L((1, -1, 0, 2), (0, 2, 1, 3), (2, 0, 1, 7), (3, -5 - 1, 3)),W2 = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/ x1 + x2 - 2x3 = 3x3 - x4 = 0}.

i) Trovare una base per ciascuno dei sottospazi W1, W2, W1 È W2, W1 + W2 .

ii) Verificare che il vettore�

= (0, -2, -1, 3) appartiene a W1 + W2 determinando esplicitamente due vettori�1 Î W1 e

�2 Î W2 tali che

�=

�1 +

�2 .



[39] Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di —2,2 :

W1 = ;X Î —2,2/AX = XA, dove A = K 1 30 -1 O? ,

W2 = {X Î —2,2/ tr(X) = 0}.

i) Determinare una base per i sottospazi W1, W2, W1 È W2 e W1 + W2 .

ii) Trovare un sottospazio vettoriale W3 che sia supplementare a W1 .

[40] Si determinino almeno due sottospazi vettoriali diversi ma entrambi supplementari di:

W = {(x1, x2, x3) Î —3/3x1 - x3 = x2 + 5x3 = 0}.

[41] In S(R3,3) completare l’insieme libero:

I =ìïïíïïî

æççççççè

1 2 02 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

1 0 00 -1 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 1 -11 0 0

-1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

üïïýïïþ

fino ad ottenere una base.

[42] Dati i sottospazi vettoriali di —5 :

W1 = L((1, 0, -2, 0, 1), (0, 1, 0, -1, 0), (0, 1, -1, -1, 3), (-1, 0, 1, 0, 2)),W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/ x1 + 3x3 - x5 = x2 - 2x3 + x4 + x5 = 0},

i) determinare una base per ciascuno dei sottospazi vettoriali W1, W2, W1 È W2, W1 + W2 ;

ii) stabilire per quali valori di h Î — il vettore (1, 2, h, -2, 1) appartiene a W1 .

[43] In —5 sono dati i seguenti sottoinsiemi:

W1 = L((2, 1, 1, 0, 2), (-1, 1, 0, 0, 2), (0, 2, 0, 1, 1)),W2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/ x1 - x2 - x3 - x4 = x1 - x5 = x4 = 0}.

i) Provare che W2 e un sottospazio vettoriale di —5 .

ii) Determinare la dimensione e una base per W1 e W2 rispettivamente.

iii) Trovare W1 + W2 e W1 È W2 .

[44] Completare il seguente insieme:

ìïïíïïî

æççççççè

1 -1 1-1 2 01 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 2 02 1 10 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

1 0 00 1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

üïïýïïþ

in modo da ottenere una base di S(—3,3) .



[45] Discutere, al variare di h Î — , le soluzioni della seguente equazione vettoriale di —4 :

x1

�1 + x2

�2 + x3

�3 = � ,

dove: �1 = (2, -1, 0, 4),

�2 = (-3, 2, 4, h),

�3 = (5, -3, h, -1), � = (14, -8, h, -1).

[46] In —3 sono dati i vettori:�

1 = (1, 1, 0),�

2 = (0, 1, -1), � = (2, 3, -1) . Considerata l’equazione vettoriale:

x1

�1 + x2

�2 + x3

�3 = � ,

determinare, se possibile, un vettore�

3 = (x, y, z) nei seguenti casi:

i) l’equazione vettoriale non ammette soluzioni;

ii) l’equazione vettoriale ammette una sola soluzione;

iii) l’equazione vettoriale ammette infinite soluzioni.

In ii) e iii) (se possibile) determinare le soluzioni dell’equazione vettoriale considerata.

[47] Dati i seguenti vettori di —4 :�1 = (1, -1, 1, 1),

�2 = (1, 1, -1, 1),

�3 = (-1, 1, 1, 1), � = (8, 2, 0, 10),

si risolva, se e possibile, l’equazione vettoriale:�1x1 +

�2x2 +

�3x3 = � .

[48] Dati i seguenti vettori di —4 :�1 = (1, 0, 1, 1),

�2 = (-1, 1, 0, 3),

�3 = (-1, 1, 1, 4), � = (2, 0, 2, 3),

si risolva, se e possibile, l’equazione vettoriale:�1x1 +

�2x2 +

�3x3 = � .

[49] Determinare, al variare dei parametri reali h e k le soluzioni dell’equazione vettoriale:�x + � y + � z =

�,

dove: �= (h, -k, -h - 2k), � = (1, 2, h - k), � = (-2, -4, k - 4),

�= (1, 2, 4 - h).



[50] In —4 sia dato il sottospazio vettoriale:

H = {(x, y, z, t) Î —4/2x + y - z = x + 3t = 0},

determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale K di —4 tale che H Å K = —4 .

[51] Dati i seguenti sottospazi vettoriali di —4 :

W = L((0, 1, 0, -1), (1, -2, 2, 1), (1, 0, 2, -1)),Z = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/ x1 - x2 - x3 = 2x2 + x3 = 0},

i) trovare una base per W , Z , W + Z e W È Z ;

ii) stabilire per quale valore di h Î — il vettore (1, h, h + 1, -h) appartiene a W + Z .

iii) per il valore di h ricavato nel punto precedente, decomporre il vettore � cosı ottenuto nella somma di un vettoredi W e di un vettore di Z .

[52] In —4 si consideri il sottoinsieme:

W1 = {(x1, x2, x3, x4) Î —4 / 2x1 + x2 + x4 = x1 - x4 = 0}.

i) Verificare che W1 e un sottospazio vettoriale di —4 e determinarne una base e la dimensione.

Si considerino, inoltre, i sottospazi:

W2 = {(x1, x2, x3, x4) Î —4 / x1 + x2 - x3 + 2x4 = x1 = 0},

e W3 = L(

�, � , � ) , dove: �

= (1, -1, 2, 3), � = (-1, -2, 0, 1), � = (1, -7, 6, 11).

ii) Trovare una base e la dimensione di W2 e di W3 .

iii) Individuare una base e la dimensione di W2 + W3 e di W1 È (W2 + W3) .

[53] Si determinino le equazioni di due sottospazi vettoriali diversi ma entrambi supplementari di:

W = {(x1, x2, x3) Î —3/ x1 + 3x3 = 4x2 + x3 = 0}.


Capitolo 5

Spazi vettoriali euclidei

In tutti gli esercizi di questo capitolo, salvo esplicita dichiarazione, si sono adottate notazioni standard, in partico-lare si e indicato con:

- —n lo spazio vettoriale euclideo delle n-uple di numeri reali, di dimensione n , dotato del prodotto scalarestandard, che rende ortonormale la base canonica ( �

1 = (1, 0, . . . , 0), �

2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , �

n = (0, 0, . . . , 1)).

- V3 lo spazio vettoriale euclideo reale, di dimensione 3, dei vettori ordinari, riferito alla base ortonormale positivaB = (

�, � , � ) . In quest’ambito: “ß”indica il prodotto vettoriale o esterno e “ ×”il prodotto scalare.

[1] Nello spazio vettoriale euclideo ordinario V3 , e dato il piano vettoriale:

V = L(

�1 =

�+ � ,

�2 =

�- � + � )

.

i) Si determini il complemento ortogonale V^ di V .

ii) Si scrivano tutti i vettori � di V3 tali che il volume del tetraedro generato da�

1,�

2, � sia 2. L’insieme deivettori � cosı individuato e un sottospazio vettoriale di V3 ?

iii) Dato il vettore�

=�+ � - � si calcolino le proiezioni ortogonali di

�su V e su V^ .

[2] Nello spazio vettoriale euclideo —4 si verifichi che i due vettori:�1 = (1, -2, 1, 3),

�2 = (2, 1, -3, 1)

sono ortogonali. Si completi l’insieme {

�1,

�2} fino ad ottenere una base ortogonale di —4 .

[3] Dato:

W = ;X Î —2,2 / AX = XA, dove A = K 1 30 -1 O ? ,

sottospazio vettoriale di —2,2 , determinare il suo complemento ortogonale (rispetto al prodotto scalare X × Y =tr( tXY ), X,Y Î —2,2 ).

[4] Nello spazio vettoriale euclideo —3 sono dati i vettori:

� 1 = (3, 0, 4), � 2 = (1, 2, 0), � 3 = (2, -2, 4), � 4 = (4, 2, 4)

27


e sia W = L( � 1, � 2, � 3, � 4) .

i) Trovare una base ortonormale B di W .

ii) Completare B fino ad ottenere una base ortonormale D di —3 .

iii) Determinare la matrice del cambiamento di base dalla base canonica C di —3 alla base D e viceversa.

[5] Dato il sottospazio H = L((1, -1, 3, 1)) dello spazio vettoriale euclideo —4 , trovare una base ortonormale peril sottospazio H^ .

[6] Sia:

A =


1 -2 4 12 -3 9 -11 0 6 -52 -5 7 5

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

Î —4,4.

Indicati con R(A) e C(A) gli spazi vettoriali generati dalle righe e dalle colonne di A , rispettivamente, si deter-minino:

i) base e dimensione di R(A) È C(A) e di R(A) + C(A) ;

ii) il complemento ortogonale di C(A) in —4 , rispetto al prodotto scalare standard di —4 .

[7] Dati i seguenti sottospazi di —4 :

U = {(x, y, z, t) Î —4/2x - y + t = z - t = 0},V = {(x, y, z, t) Î —4/ x + y = y - z = x + t = 0},

i) verificare che la somma di U e di V e diretta;

ii) trovare una base ortonormale di U^ .

[8] Dato il sottospazio:W = {(x, y, z) Î —3/ x - 2y + z = 2x - y - z = 0}

determinare una base ortonormale di W Å W^ .

[9] i) In —5 , i sottospazi:

A = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/ x1 + x2 = x3 = 0},B = L((1, 2, 1, 2, 1), (0, 1, 1, 1, 1), (1, 0, -1, 0, -1), (2, 3, 1, 3, 1)),

sono supplementari?

ii) Determinare le equazioni del complemento ortogonale di A rispetto al prodotto scalare standard di —5 e unasua base ortonormale.

[10] Data la base:B = (

�= (1, 0, 1), � = (0, 1, 1), � = (2, 1, 2))

di —3 , determinare una base ortonormale, a partire da B , utilizzando il procedimento di ortonormalizzazione diGram–Schmidt.


Capitolo 5 – Spazi vettoriali euclidei 29

[11] In V3 e dato il vettore � =�+ � - � . Determinare una base ortonormale del piano vettoriale ortogonale a � .

[12] Nello spazio euclideo —4 sono dati i vettori:

� 1 = (1, 0, 1, -1), � 2 = (1, -1, 0, 0), � 3 = (0, 0, 1, 1).

i) Verificare che � 1, � 2, � 3 formano una base B di W = L( � 1, � 2, � 3) .

ii) Trovare una base ortonormale di W a partire dalla base B .

[13] Determinare una matrice ortogonale in modo tale che la sua prima riga sia data da:

æçççè0,

02

2, -

02

2

ö÷÷÷ø

.

[14] Determinare una base ortonormale per il complemento ortogonale F ^ del sottospazio:

F = {(x, y, z, t) Î —4 / x - y = z - t = y + z = 0}.


Capitolo 6

Applicazioni lineari

In tutti gli esercizi di questo capitolo si sono adottate notazioni standard, in particolare si e indicato con:

- —n lo spazio vettoriale delle n-uple di numeri reali, di dimensione n , riferito alla base canonica ( �

1 = (1, 0, . . . , 0),�

2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , �

n = (0, 0, . . . , 1)) ;

- —m,n lo spazio vettoriale delle matrici di tipo (m, n) , ad elementi reali, riferito alla base canonica:

æççççççè

æççççççè

1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

, . . . ,æççççççè

0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

- —n,n lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n , ad elementi reali, riferito alla base canonica standard(il caso particolare della precedente);

- S(—n,n) lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche di ordine n ad elementi reali rispetto alla base canonica:



1 0 . . . 00 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 1 . . . 01 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, . . . ,


0 0 . . . 10 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .1 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 . . . 00 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, . . . . . . ,


0 0 . . . 00 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .0 . . . 0 10 . . . 1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 . . . 00 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

- A(—n,n) lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche di ordine n ad elementi reali rispetto alla base canonica:



0 1 0 . . . 0-1 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 1 . . . 00 0 0 . . . 0

-1 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . . . . 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, . . . ,


0 0 . . . 0 00 0 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 10 0 . . . -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

- V3 lo spazio vettoriale reale, di dimensione 3, dei vettori ordinari, riferito alla base ortonormale positiva B =(

�, � , � ) . In quest’ambito: “ß”indica il prodotto vettoriale o esterno e “ ×”il prodotto scalare.

30

Capitolo 6 – Applicazioni lineari 31

- tA indica la trasposta della matrice A Î —m,n .

- tr(A) indica la traccia della matrice A Î —n,n , vale a dire la somma degli elementi della diagonale principale.

[1] In —3 si consideri l’endomorfismo f dato da:

f ( �

1) = 2 �

1 - �

2,f ( �

2) = �

1 + �

3,f ( �

3) = - �

1 + �

2 - �

3.

Trovare una base di ker f .

[2] E data l’applicazione lineare f : —4 � —3 , la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, e:

A =æççççççè

1 0 1 12 1 1 31 1 0 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

Trovare una base di ker f e una base di im f .

[3] Sia f l’endomorfismo di —4 , la cui matrice, rispetto alla base canonica, e:

A =


2 1 0 -10 1 0 11 0 -1 02 1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

Calcolare dim ker f e dim im f .

[4] In V3 , si consideri un vettore � = (u1, u2, u3) ¹ (0, 0, 0) . Determinare il nucleo e l’immagine degli omomor-fismi:

f1 : V3 � —, f1( � ) = � × � ,f2 : V3 � V3, f2( � ) = � ß � .

[5] Sia f l’applicazione lineare di —3 che, rispetto alla base canonica, e associata alla matrice:

A =æççççççè

2 1 -11 2 1

-1 1 h

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —,

trovato il valore di h per cui f non e suriettiva:

i) determinare im f ;

ii) determinare per quali valori di k Î — il vettore (1, k2 - k, k) Î im f ;

iii) trovare un vettore di —3 privo di controimmagini;

iv) determinare ker f ;

v) verificare che ker f È im f = { � } ;

vi) esistono dei vettori � Î —3 tali che f ( � ) = (3, 2, -2)?

vii) Trovare i vettori � Î —3 tali che f ( � ) = f ( � ) , dove � = (1, 2, -1) .




f ( �

1) - f ( �

2) - f ( �

3) = � ,2 f ( �

1) - f ( �

2) = 3 �

1 + 2 �

2 - �

3,- f ( �

1) + f ( �

2) = 3 �

1 - �

2 + 2 �

3.

i) f e iniettivo? f e suriettivo?

ii) Trovare ker f e im f .

iii) Determinare t Î — tale che � = (t + 1, 2t, -1) Î im f .

iv) Per il valore di t ottenuto, calcolare le componenti del vettore � rispetto alla base di im f .

v) Trovare un vettore � /Î im f .

vi) ker f e im f sono in somma diretta?

vii) Determinare le controimmagini del vettore � = (3, 4, -1) .


f (2 �

1 + �

3) = 3 �

1 + 6 �

2 - 3 �

3,�

1 + �

2 - 2 �

3 e 3 �

1 - �

2 - 2 �

3 Î ker f .

i) Trovare la matrice di f rispetto alla base B .

ii) Trovare ker f , im f e le rispettive basi.

iii) Verificare che ker f È im f = { � } .

[8] E dato l’endomorfismo f di —3 la cui matrice, rispetto alla base canonica di —3 , e:

A =æççççççè

4 2 24 a2 + 1 a + 18 4 a2 + 3

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a Î —.

i) Per quali valori di a f e iniettivo?

ii) Per i restanti valori di a determinare ker f e la sua dimensione.

iii) Posto a = -1, trovare le controimmagini del vettore (1, -2, 0) .

Posto a = 1:

iv) dire se esiste una base di —3 che contenga una base di ker f .

v) ker f e im f sono in somma diretta?

vi) Esiste g Î End(—3) tale che ker g = im f e img = ker f ?

vii) Per quali valori di h, k, l Î — il vettore (h, k, l) ammette controimmagini?


A =æççççççè

1 x 22 y -3

-1 z t

ö÷÷÷÷÷÷ø

, x, y, z, t Î —,

associata ad un endomorfismo f di —3 , e possibile completare A sapendo che:

f ( �

1 + �

2 + �

3) = 2( �

1 + �

2),ker f ¹ { � }?



[10] In —4 sono dati i vettori � 1 = (1, 2, 0, 1), � 2 = (1, 0, 1, 0), � 3 = (-1, 0, 0, -2) .

i) Verificare che � 1, � 2, � 3 sono linearmente indipendenti.

ii) Dire se esiste un endomorfismo f di —4 tale che:

f ( � 1) = � 1,f ( � 2) = 2 � 1 + � 2,f ( � 3) = - � 2 + � 3,f ( � 1 + � 2 + � 3) = (2, 2, 1, 1),f ( � 1 + 3 � 2 + � 3) = (2, 6, 0, 1).

[11] In —4 sono dati i vettori: �

1 = (1, -2, 0, 4), �

2 = (-1, 1, 1, 0), �

3 = (0, 0, 1, 2) .

i) Verificare che �

1, �

2, �

3 sono linearmente indipendenti e trovare una base che li contiene.

ii) Dire se esiste un’applicazione lineare f non nulla di —4 in —3 tale che:

f ( �

1) = � , f ( �

2) = � , f ( �

3) = � .

[12] Sono assegnati l’endomorfismo f di —3 individuato dalla matrice:

A =æççççççè

1 0 20 1 12 1 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

ed i vettori � = (1, -2, k), � = (1, 0, 2), � = (0, 1, 0) .

i) Provare che per nessun valore di k Î — � Î ker f .

ii) Determinare per quali valori di k i vettori � , � , � formano una base C di —3 .

iii) Posto k = 1, determinare le componenti dei vettori della base B rispetto alla base C .

iv) Posto k = 0 e considerati i sottospazi vettoriali: U = L( � , � , � ) e V = L( f ( �

1), f ( �

2), �

3) , trovareun’isomorfismo g : U � V .

v) Scrivere la matrice associata a g rispetto alla base B .

[13] Sia f l’endomorfismo di —3 definito da:

f (x, y, z) = (2x + 2y, x + z, x + 3y - 2z).

i) Dire se f e suriettivo. In caso negativo, determinare un vettore privo di controimmagine.

ii) Dire se f e iniettivo. In caso negativo, determinare due vettori che abbiano la stessa immagine.

iii) Sia E = L(

�, � ) , dove

�= (1, 0, 1), � = (0, 1, 1) . Dire se il vettore � = (4, 3, -2) appartiene a f (E) .

[14] Sia f : —4 � —3 l’applicazione lineare la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, e:

A =

æçççççççççççççççè

1 232

0

t -t 0 0

1 1 1 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, t Î —.



i) Calcolare ker f e im f al variare di t Î — .

ii) Posto t = 0, esiste k Î — tale che il vettore (k + 3, k, 1, 2k) Î ker f ?

iii) Determinare una base di —4 contenente una base di ker f .

iv) Determinare le controimmagini del vettore (1, 0, -1) .

[15] In —4 sono dati i vettori�

= (1, 0, 1, 2), � = (2, 3, 2, 1), � = (1, 3, 1, -1),�

= (1, -3, 1, 5) .

i) Trovare una base per il sottospazio vettoriale F = L(

�, � , � ,

�) .

ii) Scrivere la matrice dell’endomorfismo f di —4 tale che:

f ( �

1) =

�, f ( �

2) = � , f ( �

3) = � , f (

�) = 2

�.

[16] In —3 , rispetto alla base canonica B , sono dati i vettori � 1 = (1, 2, 0), � 2 = (1, 0, 1), � 3 = (-1, 0, -2) .

i) Verificare che tali vettori sono linearmente indipendenti e formano una base C di —3 .

ii) Scrivere la matrice, rispetto alla base C , dell’endomorfismo f di —3 tale che:

f ( � 1) = � 1 + � 2,f ( � 2) = 2 � 1 - � 2,f ( � 3) = - � 2 + � 3.

iii) Scrivere la matrice di f rispetto alla base B .

[17] Sia f l’applicazione lineare da —3 in —2,2 cosı definita:

f (x, y, z) = K 3y - z 2zx - y y O .

i) Trovare una base di im f .

ii) Dire se f e iniettiva.

iii) Trovare i vettori � di —3 tali che f ( � ) = 3 f (1, 2, 1) .

iv) Dire se la matrice K 1 23 4 O ammette controimmagine.

[18] In —4 , rispetto alla base canonica B , si consideri il sottospazio V = L( � , � , � ) , dove:

� = (2, 0, 1, 1), � = (0, 1, 3, 1), � = (0, 1, 0, 1).

i) Provare che C = ( � , � , � ) e una base di V .

ii) Trovare una base di —4 contenente C .

Sia f l’applicazione lineare di V in —4 tale che:

f ( � ) = � + 2 � ,f ( � ) = �

1 + 2 �

2 + 7 �

3 + 3 �

4,f ( � ) = - � .

iii) Scrivere MC,B( f ) .

iv) L’applicazione lineare f e iniettiva?



[19] Sia f : —3 � —2,2 l’applicazione lineare cosı definita:

f (a, b, c) = K a a + ba + b + c 0 O .

i) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di —3 e di —2,2 .

ii) Determinare im f .

[20] Si consideri l’applicazione lineare f : —5 � —3 cosı definita:

f (x1, x2, x3, x4, x5) = (x1 + x3, 2x1 + x2 - x4 + x5, 3x2 - x3 + x4 + 2x5).

i) Trovare ker f e dire se f e suriettiva.

ii) Dato V = L( � , � , � ) , dove � = (1, -1, 0, 0, 0), � = (0, 1, 0, 1, 1), � = (0, 0, 3, 0, 0) , determinare la dimensionedell’immagine di V .

iii) Verificare che, "

�Î —5 e "s, t Î — , il vettore � =

�+ s(-1, -3, 1, 0, 5) + t(0, -3, 0, 1, 4) e controimmagine di

f (

�) .

[21] i) Dire se la funzione che ad ogni matrice di —3,3 associa il suo determinante e un’applicazione lineare di—3,3 in — .

ii) Dire se la funzione di —3,3 in — che ad ogni matrice associa la sua traccia e un’applicazione lineare. In casopositivo, stabilire se e suriettiva e determinare il suo nucleo.

[22] Si consideri l’endomorfismo f di R2,2 associato alla matrice:

A =


1 0 h 00 1 0 h3 0 h - 2 00 3 0 h - 2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —.

i) Determinare una base per ker f e una base per im f , al variare di h in R .

ii) Posto h = -1, determinare una base di autovettori per ciascun autospazio e stabilire se f e semplice.

iii) Posto h = -1, trovare una base per f -1(G) , dove G e il sottospazio vettoriale definito da:

G = ;K x1 x2

x3 x4O /4x1 + x2 - x3 = 3x2 - 3x3 - 4x4 = 0? .

[23] Data la funzione:f : —2,2 � —2,2

cosı definita:

f K x1 x2

x3 x4O = K x1 + 17x2 + 10x3 + 9x4 x2

11x2 + 8x3 + 6x4 -13x2 - 8x3 - 6x4O ,

i) si verifichi che f e un’applicazione lineare e si determini la matrice A associata ad f .

ii) Si determini una base di ker f e una base di im f .



iii) Si determinino f (H) , dove:

H = ;K x1 x2

x3 x4O /4x1 + 2x3 - x4 = 0? ,

e f -1(K) , dove:

K = ;K x1 x2

x3 x4O / x1 + x4 = x3 = 0? .

iv) Si calcolino gli autovalori di f e una base per ciascun autospazio.

v) f e semplice? Se la risposta e affermativa, si scriva una matrice diagonale A¢ a cui f e associata e si determinila matrice del cambiamento di base B tale che A¢ = B-1AB .

[24] Sia V il sottoinsieme di —2,2 formato dalle matrici aventi traccia nulla.

i) Verificare che V e un sottospazio vettoriale di —2,2 e che B = (A1, A2, A3) , dove:

A1 = K 0 10 0 O , A2 = K 0 0

1 0 O , A3 = K 1 00 -1 O ,

e una base di V .

ii) Trovare, rispetto alla base B , la matrice dell’endomorfismo f di V tale che:

f (A1 + A2) = K -h - 1 12 + h h + 1 O ,

f (2A2 + A3) = K 0 13 0 O ,

f (A1 - A2 + A3) = K 3 - h -2h - 3 h - 3 O .

iii) Stabilire per quali valori di h Î — f e, rispettivamente:

a) un isomorfismo,

b) diagonalizzabile.

[25] i) Si provi che esiste un unico endomorfismo f di S(—2,2) tale che:

f K 1 00 1 O = K 1 -2

-2 3 O ,

f K 0 11 1 O = K h 0

0 2 - h O , h Î —,

f K 2 00 -1 O = K 2 -1

-1 0 O .

ii) Determinare, per ogni valore di h Î — , una base per gli autospazi di f e stabilire per quali valori di h Î — f ediagonalizzabile.

iii) Posto h = 0, trovare una base per il sottospazio vettoriale f -1(G) , dove:

G = ;K x1 x2

x2 x3O Î S(—2,2) / x1 + x2 - x3 = 2x2 + x3 = 0? .



[26] i) Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3, riferito ad una base B = ( � 1, � 2, � 3) ; si determini lamatrice associata all’applicazione lineare f : V � V tale che:

ker f = L((0, 1, -1)),f (3, 1, -1) = (9, 0, 0), f (1, 1, 1) = (3, 2, 4).

ii) f e semplice?

[27] Si considerino le matrici associate, rispetto alla base canonica, alle applicazioni lineari f : —3 � —3 taliche:

ker f = {(x1, x2, x3) Î —3/ x1 + x2 + x3 = 0},f (H) Í H, dove H = {(x1, x2, x3) Î —3/ x3 = 0}.

Determinare quali tra queste matrici sono diagonalizzabili, quindi individuare una base di autovettori di —3 .

[28] In V3 e data la funzione f : V3 � V3 cosı definita:

f ( � ) =� ß � + 2� ß � - � ß � .

i) Provare che f e lineare.

ii) Determinare una base per ker f e una base per im f .

iii) f e semplice?

[29] In V3 e data la funzione f : V3 � V3 cosı definita:

f ( � ) = (�+ � ) ß � + 2(� × � )

�- ( � × � )� .

i) Provare che f e lineare.

ii) Determinare una base per ker f e una base per im f .

iii) f e semplice?

[30] Si considerino gli spazi vettoriali —2 , —3 , —4 riferiti alle rispettive basi canoniche B , B¢ , B¢¢ . Date leapplicazioni lineari:

f : —3 � —2, A = MB¢,B( f ) = K 1 -1 21 -2 3 O ,

g : —4 � —2, B = MB¢¢ ,B(g) = K -3 -4 3 0-5 -9 4 -1 O ,

determinare, se esiste, un’applicazione lineare h : —4 � —3 tale che f ë h = g .

[31] Si considerino gli spazi vettoriali —2 , —3 , —4 riferiti alle rispettive basi canoniche B , B¢ , B¢¢ . Date leapplicazioni lineari:

f : —2 � —3, A = MB,B¢( f ) =

æççççççè

1 0-1 20 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

g : —4 � —3, B = MB¢¢ ,B¢(g) =

æççççççè

1 2 -1 0-1 -8 11 00 -3 5 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

determinare, se esiste, un’applicazione lineare h : —4 � —2 tale che f ë h = g .



[32] Si consideri la funzione:

f : —2,2 ® —2,2, f (A) =12

(A + tA), A Î —2,2.

i) Verificare che f e un’applicazione lineare.

ii) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di —2,2 .

iii) Determinare una base per ker f e una base per im f .

iv) f e semplice? In caso affermativo, determinare una base di —2,2 di autovettori e la matrice a cui f e associata,rispetto a tale base.

[33] Verificare che le seguenti matrici:

A =æççççççè

2 14 -70 -2 20 -6 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

e:

A¢ =æççççççè

1 0 00 2 00 0 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

sono associate allo stesso endomorfismo f : —3 � —3 . Se A e riferita alla base canonica di —3 , determinare labase a cui e riferita la matrice A¢ .

[34] Si consideri l’applicazione lineare f : —4 � —4 tale che:

a) l’autospazio relativo all’autovalore 1 e:

H = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = x2 - x3 - 2x4 = 0}.

b) L’autospazio relativo all’autovalore -1 e:

K = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 - 2x2 = x2 + x3 = x4 = 0}.

c) Il nucleo e dato da:ker f = {(x1, x2, x3, x4)/ x2 = x3 = x4 = 0}.

i)) Determinare la matrice A associata ad f , rispetto alla base canonica di —4 .

ii) f e semplice? In caso affermativo, scrivere una matrice diagonale A¢ simile ad A e la matrice B tale cheA¢ = B-1AB .

[35] In V3 sono dati i vettori�

=�+ 2� , � = � + � , � =

�+ � + � .

i) Determinare la matrice associata (rispetto alla base B = (�, � , � )) all’applicazione lineare f : V3 ® V3 tale che:

f (

�) =

� ß�

+ � ß � , f ( � ) = 2(

�× � ) � , f ( � ) = � .

ii) Determinare una base e la dimensione di ker f e di im f .

iii) Determinare una base e la dimensione di f (H) dove H = L(�+ � ,

�- � ) e di f -1(K) , dove K = L(

�- � ) .

iv) f e semplice?

v) Si scelga un autovalore di f e si determini un sottospazio supplementare dell’autospazio ad esso relativo.



[36] Si consideri l’applicazione lineare f : —2,2 � —2,2 cosı definita:

f K 2 0-1 1 O = K 2h -2

-1 -1 O , f K 1 20 -1 O = K h -2h

4 1 O ,

f K 0 -13 1 O = K 0 h + 6

1 -1 O , f K 1 21 -2 O = K h -2h + 2

5 2 O , h Î —.

i) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di —2,2 .

ii) Al variare di h Î — , determinare una base e la dimensione di ker f e una base e la dimensione di im f .

iii) Per quali valori di h esiste f -1 ? Determinare, in questi casi, la matrice associata ad f -1 .

iv) Per quali valori di h f e semplice?

[37] Determinare, se esiste, un’opportuna applicazione lineare g tale che:

g ë f = h,

dove f : —4 � —3 e cosı definita:ìïïïíïïïî

x¢1 = x1 + x2 + x3 + x4

x¢2 = x2 - x3 + 3x4

x¢3 = 2x1 + 2x2 - x3 - x4

e h : —4 � —2 e definita da:

; x¢1 = x1 + 2x2 - 3x3

x¢2 = x1 + x2 + x3 - 2x4.

[38] i) Determinare un’applicazione lineare f : —3 � —4 tale che:

im f = L((1, 2, 0, -4), (2, 0, -1, -3)).

ii) Determinare un’applicazione lineare f : —3 � —4 tale che:

ker f = L((1, 0, 1)).

iii) Determinare tutte le applicazioni lineari f : —4 � —3 iniettive.

[39] Si consideri la matrice:

C =æççççççè

4 1 -12 5 -21 1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

Î —3,3.

i) Determinare il suo polinomio caratteristico.

ii) Calcolare gli autovalori dell’endomorfismo f : —3 � —3 associato a C .

iii) La matrice C e diagonalizzabile? Se sı, si determini una matrice P tale che P-1CP sia una matrice diagonale.



[40] Sia:

T = ;K x1 x2

0 x3O Î —2,2, x1, x2, x3 Î —?

il sottospazio vettoriale di —2,2 delle matrici triangolari superiori. Si consideri l’endomorfismo f : T � T taleche:

f KK 1 20 -1 OO = K -8 -10

0 -10 O ,

f KK 0 10 -1 OO = K -6 -8

0 -10 O ,

f KK 1 20 0 OO = K -5 -7

0 -6 O .

i) f e ben definito?

ii) Scrivere la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica di T .

iii) Determinare una base e la dimensione di ker f e di im f .

iv) Dato H = ;K x1 x2

0 x3O Î T / x1 + 3x2 = 0?, determinare una base e la dimensione di f (H) e di f -1(H) .

v) f e semplice?

vi) In caso affermativo si scriva una matrice A¢ diagonale simile ad A e la base di T a cui A¢ e riferita.

[41] Sia f : —3 � —3 l’endomorfismo associato alla matrice:

A =æççççççè

1 2 10 1 32 5 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

Si determinino una base e la dimensione di f (H) e di f -1(H) , dove H = L((1, 0, 1), (-1, 0, 1)).

[42] Scrivere tutte le applicazioni lineari f : —3 � —3 tali che:

i) ker f = L((1, -1, 0), (0, 1, 1)),

ii) im f = L((0, 0, 1)) .

[43] Sia f : V3 � V3 la funzione cosı definita:

f ( � ) =

�ß � + ( � ×

�)( � ß � ), � Î V3,

dove�

=�- � + � , � =

�+ � .


ii) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base B = (�, � , � ) .

iii) Determinare una base per ker f e una base per im f .

iv) Determinare f (W) , dove W = { � Î V3/ � ×

�= 0} e f -1(U) , dove:



U = { � Î V3/ � ß � = � } .

v) Verificare che C = (�+ � ,

�- � + � , 2 � ) e una base di V3 e scrivere la matrice A¢ associata ad f rispetto alla base

C .

vi) f e semplice?

[44] In uno spazio vettoriale V di dimensione 2, rispetto alla base B = ( � 1, � 2) , si considerino gli endomorfismif e g individuati dalle matrici:

A = MB,B( f ) = K 1 21 0 O , B = MB,B(g) = K 3 1

-1 1 O .

i) Si determinino le componenti del vettore ( f ë g)( � 1 + � 2) .

ii) Si scrivano le componenti dei vettori � di V tali che:

f ( � ) = g( � )

e dei vettori � di V tali che:( f ë g)( � ) = (g ë f )( � ).

[45] Sia data l’applicazione lineare f : —3 � —3 cosı definita:

f (x, y, z) = (x + y, 2y - z, 2x - 4y + 3z), (x, y, z) Î —3.

Determinare un’applicazione lineare g : —3 � —3 tale che im f = img e ker f È ker g = { � } .

[46] Sia f : —3 � —3 l’applicazione lineare associata alla matrice:

A =æççççççè

1 0 0-14 8 242 -21 -5

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

i) Si provi che f e semplice, si determini una base di autovettori di —3 e la matrice associata ad f rispetto a talebase.

ii) Si determini almeno un sottospazio W di —3 , di dimensione 2, tale che f (W) Í W .

[47] In —2,2 si consideri la funzione:

f : —2,2 � —2,2 / f (A) = tA, A Î —2,2.


ii) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di —2,2 .

iii) f e invertibile? In caso positivo, determinare una matrice associata a f -1 .

iv) f e semplice? In caso positivo, scrivere una matrice diagonale simile ad f e determinare una base rispetto allaquale tale matrice e data.



[48] Si consideri l’endomorfismo:

f : —2,2 � —2,2, A S� A - 2 tA, A Î —2,2.

i) Trovare una base per i sottospazi f (W) e f -1(W) , dove W = 9 A Î —2,2 / tr(A) = 0 =.

ii) Stabilire se f e semplice. In caso affermativo, trovare una base di —2,2 formata da autovettori e scrivere lamatrice di f rispetto a tale base.

[49] Si consideri l’applicazione lineare f : —4 � S(—2,2) tale che:

f ( �

1) = K 1 22 3 O ,

f ( �

3) = K 1 00 1 O ,

f ( �

2) = K -1 11 0 O ,

f ( �

4) = K 1 11 k O , k Î — .

Trovare, per ogni k Î — , una base per ker f e im f .

[50] Sia f l’endomorfismo di —3 di matrice:

A =æççççççè

1 0 2-1 2 21 -1 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

i) Stabilire se f e semplice.

ii) Trovare, se esiste, il valore di h Î — in modo tale che il vettore � = (2, h, 1) sia un autovettore di f .

[51] i) Verificare che esiste un’unica applicazione lineare f : —4 � S(—2,2) tale che:

f (1, 0, -1, 0) = K 2 -1-1 -3 O , f (0, 1, 0, 1) = K 0 2

2 2 O ,

f (0, 0, 0, 1) = K 1 -1-1 -2 O , f (1, 0, 0, -1) = K 1 3

3 2 O .

ii) Trovare una base per ker f ed im f (precisare le basi scelte per scrivere la matrice di f ).

iii) Determinare una base per il sottospazio vettoriale f -1(W) , dove:

W = ;K y1 y2

y2 y3O Î —2,2/ y1 + 2y3 = y2 + y3 = 0? .

[52] i) In V3 , fissato il vettore � =�- � + � , verificare che la funzione:

f : V3 � V3, � S� f ( � ) = ( � × � ) � - 3 � ,

e un endomorfismo di V3 .

ii) Trovare una base per ker f e im f .

iii) Stabilire se f e semplice e, in caso affermativo, trovare una base di V3 formata da autovettori. Scrivere lamatrice di f rispetto a tale base, precisando la relativa matrice di passaggio.



[53] Si consideri l’endomorfismo:

f : —2,2 � —2,2, X S� f (X) = AX - XA,

dove:

A = K 1 h1 -1 O , h Î —.

i) Determinare, per ogni h Î — , una base di ker f .

ii) Stabilire per quali valori di h Î — f e semplice.

iii) Posto h = 3, trovare una base di —2,2 formata da autovettori di f .

iv) Posto h = 0, determinare una base per il sottospazio vettoriale im f È W , dove:

W = ;K x1 x2

x3 x4O Î —2,2/2x1 + x3 = 2x2 - 3x3 + 2x4 = 0? .

[54] Sia f : —5 � —3 un’applicazione lineare la cui matrice e:

A =æççççççè

1 0 -1 2 32 -1 0 1 2

-3 1 1 -3 -5

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

i) Determinare una base per ker f e im f .

ii) Stabilire per quali valori di h Î — il vettore (-2, h, h2) appartiene a im f .

iii) Rappresentare mediante equazioni il sottospazio vettoriale f (W) , dove:

W = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/ x1 - x3 = 2x1 - x2 + x4 - x5 = 0}.

[55] In V3 si considerino i vettori�

= (1, -1, 0) e � = (0, 1, 1) . Sia f : V3 � V3 la funzione cosı definita:

f ( � ) = � - K � ×

�ß �

ü�

ß � ü2 O�

ß � , � Î V3.

i) Provare che f e un’applicazione lineare e precisare il suo significato geometrico.

ii) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base B = (�, � , � ) .

iii) Dopo aver verificato che B¢ = (

�, � ,

�ß � ) e una base di V3 , scrivere la matrice associata ad f rispetto alla

base B¢ .

iv) Determinare ker f e im f . Stabilire se f e semplice e, in caso affermativo, trovare una base di V3 formata daautovettori di f . (Questo punto non richiede calcoli se le risposte vengono adeguatamente giustificate).

[56] Si consideri l’endomorfismo f di S(—2,2) tale che:

f K 1 00 0 O = K 1 0

0 h O , f K 0 11 0 O = K 0 2

2 1 O ,

f K 1 00 1 O = K 1 + h 0

0 1 + h O .



i) Stabilire per quali valori di h Î — , f e semplice.

ii) Posto h = 1, trovare una base per il sottospazio vettoriale f (W) , dove:

W = ;K a bb c O Î S(—2,2) / a - b + c = 0? .

[57] Si consideri il seguente endomorfismo di —2,2 :

f : —2,2 � —2,2, X S� B-1XB, dove B = K 1 0h -1 O .

i) Trovare per quali valori di h Î — f e un isomorfismo.

ii) Stabilire per quali valori di h Î — f e semplice.

iii) Posto h = 1, trovare una base di —2,2 formata da autovettori di f .

[58] Sia f l’endomorfismo di —3 che verifica le seguenti condizioni:

a) ker f = {(x1, x2, x3) Î —3/ x1 + x3 = x2 + x3 = 0} ;

b) f (1, 0, 1) = (1, 2, -3) ;

c) (1, -1, 0) e un autovettore di f relativo all’autovalore -1.

i) Trovare la matrice di f rispetto alla base canonica di —3 .

ii) Stabilire se f e semplice e, in caso positivo, trovare una base di —3 formata da autovettori.

[59] Si consideri il seguente endomorfismo di —2,2 :

f : —2,2 � —2,2, X S� XB, dove B = K -1 2h -6 O .

i) Determinare ker f e im f , per ogni valore di h Î — .

ii) Scelto l’unico valore di h per cui f non e un isomorfismo, stabilire se f e semplice.

iii) Trovare una base per f (W) , dove:W = {X Î —2,2/ tX = -X},

(usare il valore di h determinato nel punto ii).

[60] Si considerino le seguenti matrici ad elementi reali:

A =æççççççè

2 0 00 1 0

-1 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø


1 0 01 2 0

-1 -1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

i) Stabilire se tali matrici sono diagonalizzabili. In ciascun caso affermativo, determinare una matrice diagonalesimile alla data, precisando la relativa matrice di passaggio.

ii) Dire se A e B sono matrici associate ad uno stesso endomorfismo f : —3 � —3 , rispetto a basi diverse(giustificare la risposta).



[61] i) Provare che esiste un’unico endomorfismo f : —3 � —3 tale che:

f (2, 1, 0) = (h, 2, 0), f (1, 0, -1) = (0, 1, -h), f (1, 0, 1) = (0, 1, h).

ii) Stabilire per quali valori di h Î — l’endomorfismo f e semplice.

[62] Negli spazi vettoriali —3 e —4 si considerino, rispettivamente, i vettori:

�

1 = (1, 3, 2), �

2 = (-1, 1, 1), �

3 = (1, 0, 2),� 1 = (1, 0, 1, 0), � 2 = (-1, 1, 0, 2), � 3 = (1, 2, 1, 0), � 4 = (2, 0, 1, 2).

i) Verificare, giustificando la risposta, che le condizioni:

f ( �

1) = � 1 - � 3, f ( �

2) = � 2 + � 4, f ( �

3) = � 2 - � 4

permettono di definire un’unica applicazione lineare f : —3 � —4 .

ii) Determinare ker f e im f e stabilire se f e un monomorfismo o un epimorfismo.

iii) Trovare una base per im f È W , dove:

W = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/ x1 + x2 - 2x3 = x4 = 0}.

[63] Dato l’endomorfismo:

f : —2,2 � —2,2

tale che f (A) = tA, A Î —2,2 :

i) scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di —2,2 ;

ii) determinare ker f e im f ;

iii) determinare f (S) e f (A) , dove S e il sottospazio vettoriale delle matrici simmetriche e A e il sottospaziovettoriale delle matrici antisimmetriche;

iv) determinare gli autospazi di f ;

v) f e semplice? (Giustificare la risposta).

[64] Si consideri la funzione f : —3 � —3 tale che:

f (0, 1, 2) = (8, -2 + 2k, 16)f (2, 0, -1) = (-1, -2 - k, -2)f (1, 3, -1) = (4, -7 - k, 8).

i) Al variare del parametro k in campo reale, verificare che le relazioni precedenti definiscono un’applicazionelineare.

ii) Per ogni valore di k Î — , calcolare la dimensione e una base di ker f e di im f .

iii) Posto k = -3, verificare che f e semplice, scrivere una matrice diagonale ad essa associata e una base di —3

rispetto alla quale questa matrice e data.



[65] In —2,2 si considerino i sottoinsiemi:

S = ;K x1 x2

x3 x4O Î —2,2/ x2 = x3?

delle matrici simmetriche, e:

T = ;K x1 x2

x3 x4O Î —2,2/ x1 + x4 = 0?

delle matrici a traccia nulla.

i) Si dimostri che S e T sono sottospazi vettoriali di —2,2 , si determinino le loro dimensioni e una base perciascuno.

ii) Data l’applicazione lineare:f : S � T

cosı definita:

f K x1 x2

x2 x3O = K -2x2 - 2x3 2x1 + 4x2 + 2x3

-2x1 - 2x2 2x2 + 2x3O ,

calcolare la dimensioni e una base sia di ker f sia di im f .

iii) Determinare f (H) , dove:

H = ;K x1 x2

x2 x3O Î S/ x1 + x2 + x3 = 0?

e f -1(K) , dove:

K = ;K x¢1 x¢

2

x¢3 -x¢

1O Î T / x¢

1 + 3x¢3 = 0? .

iv) Detta A la matrice associata a f rispetto ad una base di S e ad una base di T , si stabilisca se A e diagonalizz-abile e, in caso affermativo, si determini una matrice diagonale A¢ simile ad A .

[66] Considerata l’applicazione lineare:f : —3 � —4

tale che:f (x1, x2, x3) = (x1 + x2, 2x1 + x2 + x3, x1 + x3, x2 - x3),

si determini f -1(H) , dove H e il sottospazio vettoriale di —4 dato da:

H = {(y1, y2, y3, y4) Î —4/ y1 + y2 = 0}.

[67] Nello spazio vettoriale —4 , rispetto alla base canonica, sono dati i vettori � = (1, 0, -1, 1) , � = (0, 0, 2, -1)e � = (2, 0, 4, -1) .

i) Provare che L( � , � ) = L( � , � ) .

ii) Stabilire se esiste un endomorfismo di —4 tale che � e � sono autovettori di autovalore 2 e � e autovettore diautovalore 3. Giustificare la risposta.

iii) Si consideri l’applicazione lineare f : —4 � —4 tale che:

f (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2) � + (2x3 - x4) � .

Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di —4 e determinare la dimensione del nucleo di f .



[68] Sia f : —3 � —4 l’applicazione lineare di equazioni:


x¢1 = x1 + x2 + x3

x¢2 = x2 + x3

x¢3 = 2x1 + x2 + x3

x¢4 = x1 + 2x2 + 2x3.

i) Determinare la dimensione e una base sia di ker f sia di im f .

ii) Determinare la dimensione e una base di f (H) , dove:

H = {(x1, x2, x3) Î —3/ x1 + 2x2 = 0}.

iii) Determinare la dimensione e una base di f -1(K) , dove:

K = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/ x1 + 2x2 = 0}.

[69] Sia f : —3 � —3 l’applicazione lineare cosı definita:

f (x, y, z) = (-x + y + 6z, -y, 2z).

i) f e invertibile? In caso affermativo determinare le equazioni di f -1 .

ii) Calcolare dimensioni e basi dei sottospazi vettoriali f (H) e f -1(H) , dove:

H = {(x, y, z) Î —3/ x + y = 0}.

iii) f e semplice? Giustificare accuratamente la risposta.

[70] Sia f : —2 � —3 l’omomorfismo cosı definito:

f (x, y) = (ax + y, x + ay, x - y), a Î —.

i) Scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche di —2 e di —3 .

ii) Per quali valori di a , f e un monomorfismo?

iii) Posto a = -1, determinare ker f e im f .

[71] Sia f l’endomorfismo di —3 associato, rispetto alla base canonica di —3 , alla matrice:

A =æççççççè

3 2 1-3 -2 h + 16 4 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —.

i) Determinare ker f e im f , al variare di h Î — .

ii) Trovare il valore di h per il quale la matrice A ha un autovalore uguale a 3.

iii) Posto h = -2, provare che h e diagonalizzabile, trovare una matrice diagonale D e il cambiamento di base chela realizza.



[72] Data l’applicazione lineare f : —3 � —3 definita, relativamente alla base canonica di —3 , dalla matrice:

A =æççççççè

0 h h1 h2 - h 1

h - 1 0 h - 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —,

i) trovare il valore di h per cui ker f abbia dimensione 2 e determinarne una base;

ii) posto h = 1, determinare autovalori e autovettori di f ;

iii) f e semplice?

[73] Sia f : —3 � —3 l’endomorfismo di equazioni:

ìïïïíïïïî

x¢1 = -x2 - x3

x¢2 = -x1 + x3

x¢3 = x1 - x2 - 2x3.

i) Determinare una base e la dimensione sia di ker f sia di im f .

ii) Determinare una base e la dimensione di f (H) e di f -1(H) , dove:

H = {(x1, x2, x3) Î —3/2x1 - x2 = 0}.

iii) Dire se f e semplice, giustificando la risposta e, in caso affermativo, individuare una base di autovettori di —3 .

[74] Sia f : —3 � —3 la funzione cosı definita:

f ( �

2 - �

3) = �

2 - �

3

f ( �

1 - �

2 + �

3) = �

f (- �

1 - �

2) = �

1 + �

2.

i) Analizzando le relazioni precedenti dire, giustificando le risposte, se f cosı definita sia un’applicazione linearee, in caso positivo, se f sia diagonalizzabile.

ii) Determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica B di —3 .

iii) Calcolare basi e dimensioni di ker f e di im f .

iv) Determinare analiticamente gli autovalori e gli autovettori di f .

[75] Dato l’endomorfismo f : —4 � —4 definito da:

f (x, y, z, t) = (0, 0, x, y),

i) determinare una base di ker f e una base di im f .

ii) Calcolare f (H) e f -1(H) , dove:

H = {(x, y, z, t) Î —4/ x + y - z - t = 0}.

iii) Determinare autovalori e autospazi di f . f e semplice?



[76] Considerata l’applicazione lineare f : —4 � —3 individuata dalla matrice:

A =æççççççè

0 1 1 h1 -1 0 -11 0 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

h Î —,

i) trovare una base di ker f ed una base di im f , al variare di h Î — .

ii) Posto h = 1, trovare f (H) ed f -1(K) , dove:

H = L((1, 1, -1, 0), (0, 1, 0, -1), (1, 2, -1, 0)),K = L((1, 0, -1)).

iii) Posto h = 1, trovare autovalori e autospazi della matrice B = AtA e scrivere una matrice P che diagonalizziortogonalmente B .

[77] Sia f : —4 � —3 un’applicazione lineare la cui matrice e:

A =æççççççè

2 0 1 -31 -1 0 1

-3 1 -1 2h

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —

i) trovare una base per ker f e una base per im f al variare di h Î — .

Posto h = 1:

ii) stabilire per quali valori di k Î — , il vettore (k2 - 2, k - 2, 2k) appartiene a im f ;

iii) determinare f (H) e f -1(K) , dove:

H = {(x1, x2, x3, x4) Î —4 / x1 - x2 = x3 + x4 = 0},

K = {(x1, x2, x3) Î —3 / 2x1 + x2 - 2x3 = 0}.

iv) Dire se l’endomorfismo di matrice tAA e semplice.


ìïïïíïïïî

x¢1 = x1 + x2 + x3

x¢2 = x1 + x2

x¢3 = hx1 + x2 + x3, h Î —.

i) Al variare di h Î — , determinare una base e la dimensione sia per ker f sia per im f .

ii) Posto h = 1, calcolare f -1(H) , dove H = L((1, 2, -1 + a)) , con a Î — .

iii) Posto h = 1, calcolare autovalori e autospazi di f . f e semplice?

[79] Dato il vettore�

= 2�- � + � , si consideri la funzione f : V3 � V3 cosı definita: f ( � ) = 2 � ß

�,

i) verificare che f e un’applicazione lineare;

ii) scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base B ;

iii) determinare una base di ker f e una base di im f ;

iv) determinare una base sia di f (W) sia di f -1(W) , dove W e il sottospazio vettoriale di V3 costituito da tutti ivettori ortogonali ad

�;

v) determinare gli autovalori di f e una base per ciascun autospazio. f e semplice?




ìïïïíïïïî

x¢1 = x1 + x2 + x3

x¢2 = 2x1 + x2

x¢3 = hx1 + x3, h Î —,

i) al variare di h in — , determinare una base e la dimensione sia per ker f sia per im f ;

ii) posto h = -1, determinare f (H) ed f -1(H) , dove:

H = L((1, 2, -2), (1, 0, -1));

iii) trovare per quali valori di h , f e diagonalizzabile;

iv) posto h = 2, calcolare autovalori ed autospazi di f . f e diagonalizzabile?

[81] In —2, —3, —4 si considerino le applicazioni lineari:

f : —4 � —2, g : —2 � —3,

associate, rispettivamente, alle matrici:

A = M( f ) = K 2 -1 0 -10 3 -1 2 O , B = M(g) =

æççççççè

1 20 1

-2 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

i) Determinare la dimensione e una base sia per ker(g ë f ) sia per im(g ë f ) .

ii) Sia H l’iperpiano vettoriale di —4 di equazione x4 = 0. Determinare la dimensione e una base del sottospazioG = H È ker(g ë f ) .

iii) Calcolare (g ë f )(H) e (g ë f )-1(K) dove K e l’iperpiano di —3 di equazione y2 = 0.

[82] In —3 determinare la base duale di ciascuna delle seguenti basi:

i) � 1 = (1, -1, 3), � 2 = (0, 1, 1), � 3 = (0, 3, -1) ;

ii) � 1 = (1, -2, 3), � 2 = (1, -1, 1), � 3 = (2, -2, 7) ;

[83] In —3 si considerino le basi:

B1 = ((1, 1, 1), (0, 2, 3), (1, 0, 3)), B2 = ((4, 3, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)).

i) Determinare la matrice P del cambiamento di base da B1 a B2 .

ii) Calcolare le basi duali B*1 e B

*2 .

ii) Determinare la matrice Q del cambiamento di base da B*1 a B

*2 .

[84] In (—2)* si consideri la forma lineare f (x, y) = 3x - y . Sia F : —3 � —2 l’applicazione lineare associataalla matrice:

A = K 1 1 00 1 1 O ;

determinare la funzione tF( f ) .



[85] In —4 si considerino i sottospazi vettoriali:

H = {(x1, x2, x3, x4) Î —4/ x1 + 2x2 + 3x3 = 0},K = L(

�= (1, 1, 2, 0), � = (0, 0, 1, 2), � = (3, 3, 5, -2),

�= (2, 2, -1, -10)).

i) Determinare H È K e H + K .

ii) Scrivere le equazioni di una forma lineare f : —4 � — tale che ker f = H .

[86] Sia B = ( � 1, � 2, � 3) una base dello spazio vettoriale reale V3 e sia B* = ( f1, f2, f3) la base di V*3 , duale di

B . Date le forme lineari su V3 :f = 2 f1 + f2, g = f1 - f3,

i) trovare una base per ker f È ker g ;

ii) determinare i valori dei numeri Λ e Μ in modo tale che (Λ f + Μg)( � 1 + � 2) = 3.

[87] Sia B = ( � 1, � 2, � 3) una base dello spazio vettoriale V3 (su —) e sia B* = ( f1, f2, f3) la base di V*3 , duale di

B .

i) Calcolare le componenti, rispetto a B* , della forma lineare f su V3 tale che:

f ( � 1 + � 2) = 1, f ( � 2 + � 3) = 2, f ( � 1 + � 3) = 0.

ii) Trovare una base di ker f .

[88] In (—3)* si considerino le basi:

B*1 = ((1, 1, 1), (0, -2, 3), (1, 0, 3)), B*

2 = ((-2, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)).

i) Determinare la matrice del cambiamento di base da B*1 a B

*2 .

ii) Calcolare le basi B1 e B2 di —3 delle quali B*1 e B

*2 sono duali, rispettivamente.

iii) Determinare la matrice del cambiamento di base da B1 a B2 .


Capitolo 7

Diagonalizzazione di matrici

Trovare gli autovalori e gli autovettori delle seguenti matrici:


2 1 01 2 10 1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

.


2 1 -11 1 1

-1 1 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

.


2 0 20 1 02 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.


1 -2 -1-2 0 2-1 2 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.


2 1 11 -2 33 4 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.


0 -2 -22 4 2

-2 -2 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[7] A =


1 -1 0 0-1 2 -1 00 -1 1 00 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

52

Capitolo 7 – Diagonalizzazione di matrici 53

[8] A =


1 0 0 00 1 -1 00 -1 1 00 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[9] A =


3 -1 0 0-1 3 0 00 0 4 10 0 1 4

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[10] A =


1 0 0 00 0 0 00 1 1 00 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[11] A =


1 -4 3 0-4 1 0 03 0 1 00 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[12] A =


2 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[13] A =


0 0 0 00 1 -1 00 -1 1 00 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[14] A =


1 0 0 20 1 0 20 0 1 22 2 2 3

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[15] A =


2 -1 0 0-1 -2 0 00 0 2 -10 0 -1 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.


A =æççççççè

a 2 a - 1-3 5 -2-4 4 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a Î —,

i) determinare per quali valori del parametro a la matrice A ammette l’autovalore Λ = 1.

ii) Posto a = 0, esistono 3 autovettori di A linearmente indipendenti?



[17] Si considerino le seguenti matrici:

A =æççççççè

1 0 01 -1 02 3 2

ö÷÷÷÷÷÷ø


1 0 00 -1 00 0 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

i) Determinare (se esiste) una matrice P tale che P-1AP = B .

ii) Esiste una matrice ortogonale Q tale che Q-1AQ = B?

[18] Data la seguente matrice:

A =æççççççè

0 h h1 h2 - h 1

h - 1 0 h - 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —,

i) trovare il valore di h per cui A abbia rango minore di 3.

Posto h = 1 nella matrice A :

ii) determinare autovalori ed autovettori di A ;

iii) A e diagonalizzabile?


A =æççççççè

1 2 -42 -2 -2

-4 -2 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

trovare:

i) gli autovalori e gli autospazi di A ;

ii) una base ortonormale di V3 costituita da autovettori di A ;

iii) una matrice ortogonale P tale che P-1AP sia una matrice diagonale.

[20] Sia data la matrice:

A =æççççççè

3 2 1-3 -2 h + 16 4 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —,

i) trovare il valore di h per il quale la matrice A ha un autovalore eguale a 3.

ii) Posto h = -2, provare che A e diagonalizzabile, trovare una matrice diagonale D ed il cambiamento di baseche la realizzi.

[21] Dire se la matrice:

A =


1 -2 4 12 -3 9 -11 0 6 -52 -5 7 5

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,

ammette l’autovalore Λ = 0.



[22] Al variare di a Î — , discutere e risolvere il sistema lineare omogeneo AX = 0, dove:

A =æççççççè

1 -1 a + 22a + 1 -1 0

0 0 a

ö÷÷÷÷÷÷ø


x1

x2

x3

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

Posto a = -1, scrivere la matrice B = tA + A e trovare gli autovalori di B .

[23] E assegnata la matrice:

A =


0 a -1 0a 0 1 0

-1 1 -1 00 0 0 a

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, a Î —.

i) Dire per quali valori del parametro a , la matrice ha rango massimo.

ii) Posto a = 0, trovare autovalori ed autovettori di A .


A =æççççççè

2 1 a1 1 -1a -1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a Î —,

i) trovare i valori di a per i quali il rango di A e 2.



A =æççççççè

0 2 a2 1 1a 1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a Î —,

i) trovare i valori di a per i quali il rango di A e 2.


[26] Sono date le seguenti matrici:

A =æççççççè

1 0 11 h 2

-1 h 1 - h2

ö÷÷÷÷÷÷ø


xyz

ö÷÷÷÷÷÷ø


01h

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —.

i) Discutere, al variare del parametro h , le soluzioni dell’equazione AX = B .

Posto h = 0 nella matrice A :

ii) scrivere la matrice C = AtA e ridurla a forma diagonale;

iii) dire se i vettori rappresentati dalle righe della matrice A costituiscono una base ortonormale dello spazio V3 .

[27] E data la matrice:

A =æççççççè

0 -1 k-1 h -1k -1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h, k Î —.



i) Determinare per quali valori di h, k Î — A e invertibile.

Posto h = 0, k = 1,

ii) verificato che A e diagonalizzabile, determinare una matrice diagonale D e una matrice invertibile P tale cheD = P-1AP.

iii) Dire perche la matrice A e ortogonalmente diagonalizzabile e trovare una matrice ortogonale che la diagonal-izzi.

[28] Sia A Î —n,n una matrice invertibile.

i) Stabilire la relazione che intercorre tra gli autovalori di A e gli autovalori di A-1 .

ii) Supponendo che A sia diagonalizzabile, vale a dire che esistano una matrice invertibile P e una matrice diago-nale D tali che P-1AP = D , verificare che A-1 e diagonalizzabile e determinare una matrice P¢ e una matrice D¢

tali che (P¢)-1A-1P¢ = D¢ .

[29] Sia A Î —n,n . Si consideri A2 = AA .

i) Stabilire la relazione che intercorre tra gli autovalori di A e gli autovalori di A2 .

ii) Supponendo che A sia diagonalizzabile, vale a dire che esistano una matrice invertibile P e una matrice diago-nale D tali che P-1AP = D , verificare che A2 e diagonalizzabile e determinare una matrice P¢ e una matrice D¢

tali che (P¢)-1A2P¢ = D¢ .


A =


0 1 0 01 0 0 00 0 1 20 0 2 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,

determinarne autovalori e autospazi e dire se e diagonalizzabile.


A =æççççççè

1 1 1-1 0 12 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

i) determinarne gli autovalori.

ii) A diagonalizzabile? In caso affermativo, determinare una matrice B in —3,3 tale che B-1AB sia una matricediagonale.

[32] i) Per quali valori del parametro h il sistema:

ìïïíïïî

x - hy + z = 1x + hy - z = 03x - y + z = 2, h Î —,

ammette infinite soluzioni?

Detta A la matrice dei coefficienti del sistema:

ii) trovare per quali valori di h esiste A-1 ;

iii) posto h = 1, dire se A e diagonalizzabile.



[33] Sia A Î —n,n , dimostrare, oppure dare un controesempio alle seguenti implicazioni:

i) A diagonalizzabile Þ A invertibile;

ii) A invertibile Þ A diagonalizzabile.

[34] Sia:

A =æççççççè

1 -3 53 2 1

-5 -4 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

determinare la matrice B = A + tA . Verificare che B e diagonalizzabile e scrivere una matrice B¢ diagonale, similea B .

[35] Sia:

A =


1 0 -1 00 -1 1 00 0 1 10 0 k 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, k Î —.

i) Per quali valori di k A e invertibile?

ii) Per quali valori di k A e diagonalizzabile?

[36] Si consideri la matrice simmetrica:

A =æççççççè

2 -2 -1-2 5 2-1 2 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

i) Decidere se A e invertibile e, in caso affermativo, determinare A-1 .

ii) Calcolare gli autovalori e gli autospazi di A .

iii) Determinare una matrice P (non ortogonale) tale che P-1AP = D , dove D e una matrice diagonale.

iv) Determinare una matrice ortogonale Q tale che Q-1AQ = D .

[37] Determinare, al variare del parametro reale h , i casi in cui la seguente matrice A Î —3,3 e diagonalizzabile:

A =æççççççè

1 0 10 1 h

-2 2 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[38] Verificare che la matrice:

A =


4 0 2 20 -1 -1 1

-2 -1 0 02 1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

e diagonalizzabile e determinare una matrice A¢ diagonale, simile ad A .




A =


1 2 -1 02 3 -2 0

-1 -2 1 00 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

e diagonalizzabile e determinare una matrice A¢ diagonale, simile ad A .


A =æççççççè

-2 -10 02 7 0

-3 -6 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

e diagonalizzabile e determinare una matrice B Î —3,3 tale che B-1AB sia diagonale.


A =æççççççè

-10 -14 06 9 0

-9 -18 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

e diagonalizzabile e determinare una matrice B Î —3,3 tale che B-1AB sia diagonale.

[42] Determinare per quali valori del parametro reale k la matrice:

A =


1 0 0 0k2 - 1 1 0 0

k30 - 2k5 + 3k3 0 1 05k + 5 k2 + k k3 - k 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

e:

i) invertibile,

ii) diagonalizzabile.

[43] i) Data la matrice:

A =æççççççè

0 1 1 h1 -1 0 -11 0 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —,

determinare il rango di A , al variare di h Î — .

ii) Posto h = 1, trovare autovalori e autospazi della matrice B = AtA e scrivere una matrice P che diagonalizziortogonalmente B .

[44] Data la matrice

A =


-1 0 4 00 1 0 -11 0 2 00 h 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, h Î —,

stabilire per quali valori di h Î — la matrice A e, rispettivamente:

i) invertibile,

ii) diagonalizzabile.



[45] Sia A una matrice quadrata qualsiasi.

i) Provare che A e la matrice trasposta tA hanno gli stessi autovalori.

ii) Trovare gli autospazi da A e tA , dove:

A =


2 -3 0 33 -4 0 30 3 2 -33 -3 0 2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

e stabilire se coincidono oppure no (ricordare il punto i).


A =æççççççè

2 3 1-2 -3 h4 6 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

e diagonalizzabile.

[47] Si consideri la matrice:

A =æççççççè

1 0 00 1 a0 0 b

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

Determinare per quali valori di a, b Î — A e diagonalizzabile, e, in questi casi, determinare una matrice diagonaleA¢ simile ad A e una matrice B tale che A¢ = B-1AB .

[48] Si considerino le matrici:

A =æççççççè

1 0 01 -1 02 3 2

ö÷÷÷÷÷÷ø


1 0 00 -1 00 0 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

i) Dire se A e B sono matrici simili, giustificando la risposta.

ii) Determinare (se esiste) una matrice invertibile P tale che P-1AP = B .


A =æççççççè

1 0 h0 2 0h 1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

e diagonalizzabile.


A =æççççççè

2 0 02 - h -1 + h -1

-2 + h 0 h

ö÷÷÷÷÷÷ø

e diagonalizzabile.



[51] Sia A Î —4,4 una matrice simmetrica di rango 2 e sia V = L((1, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0)) l’autospazio relativoall’autovalore 2 di A .

i) Determinare una base di autovettori di A .

ii) Scrivere una matrice D simile ad A .

[52] Sia A Î —4,4 una matrice simmetrica con due autovalori distinti: Λ1 = 1, Λ2 = 3 e sia U = L((0, 1, 0, 1)) unautospazio.

i) Determinare una base ortonormale di autovettori di A .

ii) Scrivere una matrice diagonale simile ad A .

[53] E data la matrice:

A =æççççççè

0 2h 2h2 2 02 k 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h, k Î —.

Posto k = 0:

i) trovare per quale valore di h la matrice A ha autovalore 2.

ii) Scelto h = 1 e verificato che A e diagonalizzabile, determinare una sua forma diagonale e la relativa matrice Pdel cambiamento di base.

iii) Perche P puo essere ortogonale?

iv) Posto invece h = 0, stabilire per quali valori di k la matrice A e diagonalizzabile.

[54] Sia data la matrice:

A =æççççççè

0 2 2a2 2 02 0 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a Î —.

i) Posto a = -1, trovare autovalori e autospazi di A . A e diagonalizzabile?

Posto a = 0:

ii) verificato che la matrice A ha rango massimo, determinare una base ortonormale B dei vettori riga di A ed unabase ortonormale C dei vettori colonna di A .

iii) Scrivere la matrice del cambiamento di base tra B e C e dire di che tipo di matrice si tratta.

[55] i) Data la matrice:

A =


1 -3 1 2h 0 0 01 -1 0 00 0 0 h

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

Î —4,4, h Î —,

determinare i valori di h per cui A e invertibile, e in questi casi, calcolare A-1 .

ii) Posto h = 0, trovare gli autovalori e gli autovettori di A .

iii) Stabilire, in questo caso, se A e diagonalizzabile, giustificando accuratamente la risposta.

[56] Per ciascuna delle seguenti coppie di matrici verificare che sono simultaneamente diagonalizzabili e deter-minare le loro forme diagonali. Trovare, inoltre, una base comune di autovettori.

i) A =æççççççè

2 0 00 2 0

-1 0 3

ö÷÷÷÷÷÷ø


1 0 0-2 3 0-2 0 3

ö÷÷÷÷÷÷ø

;



ii) A =æççççççè

3 -2 -20 2 00 -1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø


-2 1 10 0 00 -1 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

;

iii) A =æççççççè

-66 190 68-4 13 4-53 148 55

ö÷÷÷÷÷÷ø


-30 96 32-2 8 2-25 75 27

ö÷÷÷÷÷÷ø

;

iv) A =


1 0 2 0-24 1 48 6

0 0 2 08 0 -16 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, B =


-2 0 8 0-12 3 24 3

0 0 2 0-16 0 32 2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

;

v) A =


16 -16 4 160 0 0 0

-48 48 -12 -480 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, B =


-9 12 -3 -123 -3 1 3

12 -12 4 129 -12 3 12

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

vi) A =


1 0 2 0-2 -1 -2 20 0 -1 00 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, B =


1 0 0 0-1 0 -1 10 0 1 00 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

vii) A =æççççççè

3 3 0-2 -2 01 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø


6 4 -4-4 -2 42 2 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.


Capitolo 8

Coniche nel piano

Tutti gli esercizi di questo capitolo sono assegnati nel piano ordinario, rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O, x, y) .

Ridurre a forma canonica le seguenti coniche, studiarle e scrivere esplicitamente il cambiamento di riferimentousato:

[1] 2x2 - y2 - 4x + 2y - 3 = 0.

[2] 3x2 + y2 - 6x + 1 = 0.

[3] x2 + y2 + 1 = 0.

[4] 2x2 - 2xy + 2y2 + 2x - 1 = 0.

[5] x2 + y2 - 2x + 4y - 2 = 0.

[6] x2 - y2 = 0.

[7] x2 + 4xy - 2y2 - 2x + 4y + 1 = 0.

[8] x2 + y2 = 0.

[9] x2 + 3y2 - 4x + 6y + 1 = 0.

[10] x2 + 2xy + x - y = 0.

[11] y2 - xy + 1 = 0.

62

Capitolo 8 – Coniche nel piano 63

[12] x2 - 3xy + y2 - 40

2(x - y) + 6 = 0.

[13] x2 + y2 - 1 = 0.

[14] 4(x2 + y2) - 3x + 4 = 0.

[15] x2 + 6xy - 7y2 - 2x - 6y - 19 = 0.

[16] 3x2 + 4xy + 3y2 + 2x - 2y - 3 = 0.

[17] 3x2 + 4xy + 3y2 - 2x + 2y - 3 = 0.

[18] 3x2 + 2xy + 3y2 + 6x + 2y + 1 = 0.

[19] x2 - 2xy + y2 - 2x - 2y = 0.

[20] x2 - 2xy - y2 + 2y + 1 = 0.

[21] x2 - 2xy - 2y2 + 1 = 0.

[22] x2 - xy -14

y2 - 2x + 6y + 6 = 0.

[23] 7x2 + 8xy + y2 + 9x - 1 = 0.

[24] x2 + 4y2 - 4x - 8y + 7 = 0.

[25] 4x2 + y2 - 8x - 4y + 7 = 0.

[26] x2 - 4xy + 4y2 + 5y - 9 = 0.

[27] 7x2 + 8xy + y2 + 9x + 6y - 1 = 0.

[28] 2x2 + 4xy - y2 + 6y - 8 = 0.

[29] 3x2 + 2xy + 3y2 + 10x - 2y + 9 = 0.

[30] x2 - xy + 4y2 - 1 = 0.



[31] 2x2 - 3xy - 2y2 - 5x + 10y - 5 = 0.

[32] 2x2 - 5xy - 3y2 + 7y - 2 = 0.

[33] 3x2 + 2xy + 3y2 - 4x + 4y + 2 = 0.

[34] 2x2 + 4xy + 5y2 - 4x - 2y + 2 = 0.

[35] 5x2 + 4xy + 2y2 - 2x - 4y + 2 = 0.

[36] (2x + 3y)x + 4x + 6y = 0.

[37] x2 - 4y2 - 4x + 8y - 1 = 0.

[38] 2x2 - 2xy + 7x - y + 3 = 0.

[39] x2 - 4xy + y2 + 2x = 0.

[40] 2x2 + 8y2 - 8xy - 80

5x +0

5y - 5 = 0.

[41] Data la famiglia di curve:

Γa : (a2 - 1)x2 + 2axy + 2x + 2xy - 1 = 0, a Î —,

i) determinare per quali valori del parametro a Γa e degenere.

ii) Posto a = 1, verificare che Γ1 e un’iperbole. Determinare la sua forma canonica e scrivere le equazioni delcambiamento di riferimento usato.

[42] Per quali valori di h Î — la conica:

(h - 1)x2 + (h + 1)y2 - 20

3xy + 2x -

03(h - 2)

6y = 0

e una parabola non degenere del piano?

Determinare, rispetto ad un opportuno riferimento cartesiano, la forma canonica di tale parabola.

Scrivere, inoltre, esplicitamente il cambiamento di riferimento usato.


A = K 2 22 -1 O ,



i) determinare, se esiste, una matrice ortogonale P (con determinante positivo) in modo tale che P-1AP sia unamatrice diagonale.

ii) Considerata la conica:2x2 + 4xy - y2 - 1 = 0

classificarla, ridurla a forma canonica e scrivere le equazioni del cambiamento di riferimento usato.

[44] Data la conica:5x2 + 24xy - 5y2 - 6x - 4y + 2 = 0,

i) riconoscere che si tratta di un’iperbole e scrivere esplicitamente le equazioni del cambiamento di riferimento chepermettono di rappresentarla in forma canonica.

ii) Determinarne (nel riferimento R = (0, x, y)) le coordinate del centro, le equazioni degli assi e degli asintoti.

[45] Determinare vertice, asse e forma canonica della parabola Γ di equazione:

4x2 - 4xy + y2 - y = 0.

[46] Ridurre a forma canonica l’equazione della conica:

5x2 + 4xy + 2y2 - 6x + 1 = 0

e scrivere le equazioni dei suoi assi.

[47] Ridurre a forma canonica l’equazione della conica:

7x2 - 8xy + y2 - 6x + 6y + 1 = 0,

e determinarne le equazioni degli assi.

[48] Si consideri il fascio di coniche:

(x2 - y2 - 2x + 2y + 1) + t(x2 + y2 - 2x - 2y) = 0, t Î —.

i) Per quali valori di t si ottengono coniche degeneri?

ii) Verificare che tutte le coniche non degeneri del fascio hanno lo stesso centro.

iii) Ridurre a forma canonica la conica del fascio passante per il punto P = (0, 1) .

[49] Data la famiglia di coniche:

3x2 + 2axy + 3y2 + 2x - 2y - 3 = 0, a Î —,

i) si studi il tipo di conica, al variare di a .

ii) Si trovi l’equazione in forma canonica della conica corrispondente al valore a = 1 del parametro ed il relativocambiamento di riferimento.



[50] Data la famiglia di coniche:Ct : tx2 + txy - y2 - y - t = 0, t Î —,

i) classificare le coniche di Ct , al variare di t Î — .

ii) Scrivere in forma canonica le equazioni delle parabole (non degeneri) appartenenti a Ct .

iii) Posto t = -4, scrivere in forma canonica la conica appartenente a Ct cosı ottenuta.


CΛ : x2 - Λxy - Λy2 + x + 2Λ = 0, Λ Î —,

i) classificare le coniche di CΛ , al variare di Λ Î — .

ii) Scrivere in forma canonica le equazioni delle parabole appartenenti a CΛ .

iii) Posto Λ = -4, scrivere in forma canonica la conica appartenente a CΛ cosı ottenuta.

[52] Sono date le coniche di equazione:

x2 + 2hxy + y2 + 2x + h = 0, h Î —,

i) riconoscere il tipo di conica al variare del parametro h .

ii) Trovare per quali valori di h la conica ha il centro sulla retta di equazione x = 1.

[53] Data la conica:

x2 - xy +14

y2 - 2x + 6y + 6 = 0,

i) verificare che non e riducibile;

ii) verificare che e una parabola;

iii) sapendo che il vertice e V = K 95

, -65

O, trovare l’asse e la tangente nel vertice;

iv) verificare che e la parabola di fuoco F = (1, -2) e direttrice d : x + 2y - 1 = 0.

[54] Classificare e scrivere in forma canonica la conica:

x2 - 2y2 + 4x - 4y - 2 = 0,

determinare centro, assi ed eventuali asintoti.

[55] Data la conica:3x2 - 2xy + 3y2 + 2x + 2y = 0,

i) e reale?

ii) E riducibile?

iii) Ha centro?

iv) Di che conica si tratta?

v) Ricavarne l’equazione canonica.



[56] Data la conica:2xy - x - y + 1 = 0,

i) verificare che non e riducibile;

ii) verificare che e un’iperbole equilatera;

iii) trovarne il centro;

iv) determinarne gli asintoti;

v) verificare che la conica passa per P = (0, 1) e trovarne la tangente in P .

[57] Studiare la conica di equazione:4xy - 3y2 - 8 = 0,

ridurla a forma canonica e determinare le equazioni degli assi e degli asintoti.

[58] Riconoscere che, nel piano, l’equazione:

x2 - 2xy + y2 + 10x + 2y + 7 = 0

rappresenta una parabola di cui si chiedono le coordinate del vertice e l’equazione dell’asse.

[59] Riconoscere che, nel piano, l’equazione:

7x2 - 2xy + 7y2 + 34x + 2y + 31 = 0

rappresenta un’ellisse di cui si chiedono le coordinate dei vertici.

[60] Classificare, al variare del parametro h Î — , la conica:

x2 + 2hxy + 4y2 + 8x - 6y = 0.

Posto h = 0, ridurre la conica cosı ottenuta a forma canonica e determinare il cambiamento di riferimento usatoper tale riduzione.


C : 8x2 + 2hxy + 2y2 - 2x - 4y + 1 = 0, h Î —.

i) stabilire per quali valori di h C e una parabola.

ii) Scelto uno di tali valori, scrivere l’equazione di C in forma canonica.


Capitolo 9

Geometria analitica nello spazio

Tutti gli esercizi di questo capitolo sono assegnati nello spazio ordinario, rispetto ad un riferimento cartesianoR = (O, x, y, z) = R = (O,

�, � , � ) .

[1] Date le rette: r : x - y = 2x - z + 5 = 0, s : x - y - 6 = x - 2y + z - 6 = 0 e t : 3x - 2z + 2 = 3y + z - 4 = 0,

i) scrivere le equazioni della retta l incidente r ed s e parallela a t .

ii) Trovare l’equazione della sfera S passante per i punti A = (1, 1, 2) e B = (2, 1, 1) e tangente alla retta t nelpunto C = (0, 1, 1) .

iii) Determinare le equazioni delle circonferenze contenute nella sfera S , aventi raggio r =

2143

e tangenti alla

retta t .

[2] Determinare le equazioni della circonferenza tangente nell’origine alla retta:

r :ìïïíïïî

x = 2ty = 3tz = -t, t Î —

e passante per il punto A = (1, 0, 1) .

[3] Dati i piani:

Π1 : x + y + z - h = 0, Π2 : x + ky = 0, Π3 : x + y - z - 1 = 0, h, k Î —,

i) studiare, al variare di h e k in campo reale, la loro posizione reciproca.

ii) Posto h = 1, k = -1, si consideri la retta r = Π1 È Π2 . Determinare le equazioni della retta s , simmetrica di rrispetto al piano Π3 , e scrivere l’equazione del piano che contiene r ed s .

iii) Trovare l’equazione della sfera passante per il punto A = (3, 1, 1) e tangente al piano Π3 nel punto B = (1, 1, 1) .

[4] Dati i punti: C = K 12

,-12

,32

O , P = (-1, 0, 0), Q = (0, 1, 3), R = (0, 0, 1) ed il piano Π : x - y = 0,

i) determinare l’equazione della sfera S1 di centro C e raggio

07

2.

ii) Trovare l’equazione del piano Α passante per i punti P, Q e R .

iii) Determinare l’equazione della sfera S2 avente il centro sul piano Π , e contenente la circonferenza Γ intersezionedella sfera S1 con il piano Α .

68

Capitolo 9 – Geometria analitica nello spazio 69

[5] Dati il punto A = (3, -3, 1) e le rette:

r : ; 2x - y + 3z + 5 = 0x - y + 2z + 1 = 0,

s : ; x + 2y - 1 = 03y - z - 2 = 0,

i) determinare l’equazione del piano Π passante per A , parallelo a r e a s .

ii) Scrivere l’equazione della sfera tangente a Π in A e avente il centro sul piano xy .

[6] Date le rette: r : x - 2 = y - 5 = 0 ed s : passante per l’origine, parallela al piano: 3x + 2y + z + 5 = 0 ecomplanare con la retta di equazioni: x - y + z = y - 3 = 0, verificare che r e s sono sghembe e determinare laloro minima distanza.

[7] Determinare le equazioni della circonferenza passante per i punti A = (1, -2, 1) , B = (0, 2, 4) , C = (2, -1, 3) .

[8] Dati il piano Π : kx - y + hz - 1 = 0 e la retta

r : ; x - hz - 2 = 03x + y = 0, h, k Î —,

i) stabilire per quali valori di h e k Î — :

a) la retta ed il piano sono incidenti;

b) la retta e parallela al piano;

c) la retta e contenuta nel piano;

d) la retta ed il piano sono perpendicolari.

ii) Si ponga h = k = 1 e si considerino i punti A = (2, 1, 0) e B = (0, 2, 2) . Si verifichi che le rette s , passante perA e perpendicolare a Π , e t , passante per B e parallela a r , sono sghembe.

[9] Determinare tutte le circonferenze del piano y = 0 tangenti all’asse z nel punto P = (0, 0, 1) .

[10] Dati il piano Π : 2x + y = 0 e i punti A = (0, 0, 2), B = (1, -2, 0) di Π , determinare il luogo dei punti C di Πtali che l’area del triangolo ABC sia 6.

[11] Dati i punti: A = (1, 2, 0), B = (0, 0, 4),C = (-1, -2, 2) , determinare le equazioni della circonferenzacircoscritta al triangolo ABC .

[12] Dati il punto A = (9, 0, 0) e il vettore � = 2�- � ,

i) si trovi l’equazione del piano Π passante per A e ortogonale ad � .

ii) Si determini l’equazione della sfera S tangente al piano Π nel punto P = (7, 1, -4) e avente il centro sul pianoΑ : x - y + z = 0.

iii) Si trovino, infine, le equazioni della retta tangente a S in P e parallela al piano coordinato yz .

[13] i) Si determini il piano Π contenente la retta:

r :ìïïíïïî

x = ty = 2t - 1z = -t + 1, t Î —



e passante per l’origine.

ii) Dopo aver verificato che l’intersezione della sfera S : x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 con il piano Π e unacirconferenza reale Γ , si trovi l’equazione della sfera S¢ contenente Γ e avente il centro sul piano Α : x+2y-1 = 0.

[14] Date le rette:

r :ìïïíïïî

x = at + 1y = 2t + 2z = 3t + 3, t Î —,

s : ; bx - y + 2 = 03x - z + 1 = 0,

al variare dei parametri a e b in campo reale, si studi la posizione reciproca di r ed s .

[15] i) Determinare l’equazione del piano passante per il punto A = (2, -3, 0) , parallelo alla retta r : x = y = -z eperpendicolare al piano Π : x + y + z = 2.

ii) Tra tutte le sfere tangenti al piano Π nel punto B = (1, -1, 2) , determinare quella tangente alla sfera S :x2 + y2 + z2 = 16.

[16] Nello spazio vettoriale reale V3 , rispetto ad una base ortonormale positiva B = (�, � , � ) , sono dati i vettori:

� = (1, 2, 3), � = (-1, 0, -2), � = (3, 1, 0).

i) Determinare, se esiste, un vettore � di V3 tale che: � sia ortogonale a � , � sia complanare a � e a � , laproiezione ortogonale di � su � sia -2 � .

ii) Determinare le equazioni delle rette a e b tali che: a passa per il punto A = (0, 1, -1) ed e parallela al vettore� , b passa per il punto B = (-3, 0, 2) , e complanare ad a ed e ortogonale a � .

iii) Calcolare la distanza dell’origine dalla retta a .

iv) Scrivere l’equazione della sfera avente centro in B e tangente alla retta a .

[17] Data la circonferenza Γ del piano z + 1 = 0, di centro Q = (2, 3, -1) e raggio Ρ =0

3, determinare leequazioni delle sfere passanti per Γ e tangenti alla retta t : x = y - 3 = 0.

[18] Scrivere le equazioni della retta s , perpendicolare al piano Π : 2x + 2y - z + 1 = 0 e incidente le rettea : x - 3 = y - 3z = 0 e b : x = -2t, y = -2, z = t .

[19] i) Determinare le equazioni della retta r , passante per l’origine, incidente la retta

s :ìïïíïïî

x = ty = -3tz = 2 - t, t Î —

e ortogonale al vettore � = (0, 1, 2) .

ii) Scrivere l’equazione della sfera S avente il centro sulla retta r e passante per i punti A = (1, 0, 0) e B = (0, 0, 1) .

iii) Determinare l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze appartenenti a S e aventi raggio12

.



[20] Date le rette:

r :ìïïíïïî

x = 2 + ty = -1 - tz = 4 + 3t, t Î —

e s :ìïïíïïî

x = 3 + uy = 2 + uz = 4 + u, u Î —,

i) verificare che sono sghembe e determinare le equazioni della loro perpendicolare comune.

ii) Scrivere le equazioni della circonferenza tangente ad r nel punto P = (2, -1, 4) e passante per il punto A =(0, 0, 1) .

[21] Data la sfera:S : x2 + y2 + z2 - 24x + 3y + 4z + 4 = 0,

i) determinare le equazioni della retta a parallela al piano xy e tangente a S nel punto A = (0, 0, -2) , e le equazionidella retta b parallela al piano xz e tangente a S nel punto B = (24, -3, -2) .

ii) Verificare che le rette a e b sono sghembe e determinare la loro minima distanza.

[22] Dati il punto P = (1, 2, -1) e le rette:

a :2 - x

2=

y - 13

= 1 - 2z, b : ; z = 03x - y - 2 = 0,

i) determinare le equazioni della retta c passante per P, perpendicolare alla retta b e incidente la retta a .

ii) Scrivere l’equazione della sfera S , passante per il punto P , che interseca il piano xy secondo la circonferenzaΓ : x2 + y2 - 2(x + y) - 2 = 0 (scritta in tale piano).

[23] Determinare le equazioni dei piani Α e Β passanti per la retta r : 2x + 1 = y - 4 = z e aventi distanza (invalore assoluto) 2

02 dal punto P = (1, -1, -1) .

[24] Date le rette:

r : ; x - y + z = 0y + 3z = 0,

s : ; x + y - 1 = 0y + 3z - 2 = 0,

i) verificare che r e s sono sghembe e determinare la loro minima distanza.

ii) Determinare le equazioni delle sfere aventi il centro sulla retta s e tangenti al piano: z = 0. Tali sfereappartengono ad un fascio?

[25] i) Scrivere le equazioni delle rette appartenenti al piano Α : x - y + 3 = 0, parallele al piano Β : x - z + 1 = 0e aventi distanza d =

014 dal punto A = (1, -1, 0) .

ii) Determinare centro e raggio della circonferenza intersezione del piano Α con la sfera di centro l’origine e raggioΡ = 4.

[26] Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza:

Γ : ; x2 + y2 + z2 - 9 = 02x + 4y + 4z - 9 = 0,

determinare quelle tangenti al piano x = 3.



[27] Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza:

Γ : ; x2 + y2 + z2 - 9 = 02x + 4y + 4z - 9 = 0,

determinare quelle aventi raggio Ρ = 30

3.

[28] Determinare la lunghezza della proiezione ortogonale del segmento AB , con A = (0, 0, 1) e B = (1, 2, 3) ,sulla retta:

r : ; x - y + z = 0x + y - z = 0.

[29] Determinare le equazioni della retta tangente nell’origine O = (0, 0, 0) alla circonferenza:

Γ : ; x2 + y2 + z2 + x + y = 0x2 + y2 + z2 - y + z = 0.

[30] Determinare le coordinate del punto simmetrico dell’origine O = (0, 0, 0) rispetto alla retta:

r : ; x + y + z = 0x + y - 1 = 0.

[31] Fra tutte le sfere tangenti al piano Π : x + y + z = 2 nel punto P = (1, -1, 2) , determinare quelle secanti ilpiano xy secondo una circonferenza di raggio

02.

[32] Dati il piano Π : x + y + z = 0 e il punto P = (0, 0, 1) , determinare le equazioni delle rette di Π , parallele alpiano coordinato xy e aventi distanza d =

02 (in valore assoluto) da P.

[33] Determinare le equazioni delle sfere tangenti ai piani coordinati yz e xz e passanti per i punti A = (1, 3, 2) eB = (3, 1, -2) .

[34] Data la circonferenza:

Γ : ; x2 + y2 + z2 - 9 = 02x + 5y + 6z = 0,

i) verificare che il punto A = (3, 0, -1) del piano Π : 2x + 5y + 6z = 0 e esterno alla circonferenza Γ .

ii) Determinare le equazioni delle rette del piano Π uscenti da A e tangenti alla circonferenza Γ .

[35] Determinare le equazioni delle sfere tangenti al piano Α : x - y + 2z - 1 = 0 nel punto P = (1, 0, 0) e tangentiall’asse z .



[36] Determinare, al variare dei parametri reali h e k , la posizione reciproca delle rette:

a : ; x + hy + z = 02x - y + 3z + k = 0,

b : ; x - y + hz - 1 = 02x - y + z + k = 0.

[37] Determinare l’equazione della sfera passante per il punto A = (1, 1, -1) e per la circonferenza di centro

C = K2,32

, 2O e raggio Ρ =12

del piano Π : x + 2y + z - 7 = 0.

[38] Determinare le coordinate del punto P¢ simmetrico del punto P = (1, -2, 4) rispetto al piano Π di equazionex + y - 2z - 3 = 0.

[39] Determinare le equazioni delle sfere tangenti al piano Α : 2x + y - 2z - 6 = 0 nel punto P(2, 2, 0) e tangentialla retta r : x + z + 2 = y - 2 = 0.

[40] Determinare, al variare dei parametri reali h e k , la posizione reciproca dei 3 piani:

Π1 : x + hy + z = 0, Π2 : x - y + hz - 1 = 0, Π3 : 2x + hy + z + k = 0.

[41] Dati il punto P = (1, 2, -1) e le rette:

r :2 - x

2=

y - 13

= 1 - 2z, s : ; z = 03x - y - 2 = 0,

determinare:

i) l’equazione della sfera S passante per il punto H = (0, 0, 20

33) che interseca il piano xy secondo la circon-ferenza:

Γ : x2 + y2 - 24(x + y) - 132 = 0,

(scritta nel piano xy);

ii) le equazioni della retta t passante per P, perpendicolare alla retta s e incidente la retta r ;

iii) l’area del triangolo MNP dove M e N sono i punti di intersezione della retta r con la sfera S .

[42] Dati i punti: P1 = (2, 0, 0), P2 = (3, 2, -1), P3 = (-2, 1, 1), P4 = (0, 0, 2) ,

i) detta H la proiezione ortogonale di P1 su P3P4 e detta K la proiezione ortogonale di P3 su P1P2 , determinare leequazioni delle rette P1H e P3K e studiarne la loro posizione reciproca.

ii) Scrivere le equazioni della circonferenza circoscritta al triangolo P1P2P3 .

[43] Date le rette:

s1 : ; x + y + 2z - 1 = 02x + 2y + z + 1 = 0

e s2 : ; x - 2y + z + 1 = 02x - 4y + 1 = 0,

i) verificare che s1 e s2 sono sghembe.

ii) Scrivere le equazioni della retta n perpendicolare comune a s1 e a s2 .

iii) Determinare le coordinate dei punti di intersezione P1 = s1 È n e P2 = s2 È n .

iv) Determinare l’equazione della sfera tangente a s1 e a s2 nei punti P1 e P2 .



[44] Determinare le equazioni della retta tangente in P = (0, 0, 1) alla sfera di equazione:

x2 + y2 + z2 - 2x + y - z = 0

e che interseca la retta:

s :


x - 12

= y

z - 2 = 0.

[45] Assegnati il punto A = K 12

, -1, -2O sul piano Π : 2x - y + z = 0 e la retta s di equazioni:

; x - 1 = 03y - z + 1 = 0,

determinare:

i) le equazioni delle rette di Π , che passano per A e che formano con s un angolo j tale che cos j =35

02;

ii) l’equazione della sfera di centro A e tangente alla retta s .

[46] Dati la sfera:

S : x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 2z = 0,

e il piano:

Π : x + y - z = 0,

determinare:

i) le coordinate del centro ed il raggio della circonferenza Γ intersezione di S con Π ;

ii) le equazioni della retta tangente a Γ nell’origine O = (0, 0, 0) .

[47] Dati il piano:

Α : x - y + 2z = 0

e la retta:

r : x = 2y = -z,

determinare:

i) le equazioni della retta r¢ simmetrica di r rispetto ad Α ;

ii) l’equazione del piano individuato da r e da r¢ ;

iii) le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r e da r¢ ;

iv) le equazioni delle sfere aventi il centro sulla retta r , tangenti al piano Α e passanti per il punto A = (2, 0, -2) .



[48] Dati la retta:

r : ; x - y + z = 02x + y + z - 1 = 0,

il punto A = K1, 2, -12

O e h =

0172

, determinare:

i) i punti di r che hanno distanza h da A ;

ii) l’equazione della sfera tangente in A al piano passante per A e per r e avente il centro sul piano: y = 0.

[49] i) Discutere, al variare dei parametri h e k in — , la posizione reciproca dei tre piani:

Π1 : x - 2y + hz = 1,Π2 : 2x - 4y - kz = 2,Π3 : (h - k)x + (k - 4)y - (h + 2k)z = 4 - h.

ii) Posto h = 1, k = 2, i piani Π1 e Π2 si incontrano in una retta. Scrivere le equazioni delle sfere tangenti a Π1 e aΠ2 (contemporaneamente) e passanti per il punto P = (2, 0, 0) .

[50] Determinare le equazioni delle rette parallele al piano xy e tangenti alla circonferenza:

Γ : ; x2 + y2 + z2 - 2x + 3y = 0x + 2y + z + 2 = 0.

[51] Dati il piano: Π : x + hy + 4z + k = 0, (h, k Î —) e la retta:

r : ; 2x - y + z - 1 = 05x - z + 2 = 0,

i) studiare la loro posizione reciproca al variare dei parametri h, k Î — .

ii) Trovare le equazioni della circonferenza Γ di centro C = (2, 0, 3) che stacca su r una corda di lunghezza 20

3.

iii) Scrivere le equazioni delle rette tangenti a Γ parallele al vettore�

= 2�- � + � .

[52] Scrivere le equazioni delle rette passanti per il punto M = (0, 0, 1) , parallele al piano Π : x + z = 0 e tangentialla superficie sferica di centro C = (0, 4, 2) e raggio r = 2.

[53] Date le rette:

r : ; x + az + 1 = 0ax + y - 7 = 0,

s : ; x + y - a = 0y - 1 = 0,

i) studiare la loro posizione reciproca stabilendo per quali valori di a Î — le rette sono: sghembe, incidenti,parallele, coincidenti.

ii) Posto a = -2, trovare il piano che contiene le due rette.

iii) Posto a = 1, trovare l’equazione della sfera tangente ad entrambe le rette ed avente diametro di lunghezza parialla distanza tra r ed s .



[54] Dati il piano Π : 2x - 3y + hz + 1 = 0 e le rette:

r : ; x - y - z + k = 0x + z - 1 = 0,

s :ìïïíïïî

x = -1 + ty = 4 - tz = t, t Î —,

i) stabilire per quali valori di h, k Î — :

a) la retta r e il piano Π sono incidenti;

b) la retta r e il piano Π sono paralleli;

c) la retta r e contenuta nel piano Π .

ii) Posto h = -2 e k = -3, trovare le equazioni della retta perpendicolare a Π ed incidente sia r sia s .

iii) Posto h = 0, determinare il centro e il raggio della circonferenza Γ = S È Π , dove S e la sfera di centroC = (3, -2, -2) tangente al piano Π¢ : x + y + z - 8 = 0.

[55] Date le rette:

p : ; x + y - 2 = 0x + z - 4 = 0,

q : ; x - y - z = 04x - 2y - z - 4 = 0,

i) determinare l’equazione del piano contenente p e perpendicolare a q .

ii) Determinare la retta passante per P0 = (1, 0, -1) , perpendicolare a p ed incidente la retta s : x - y + z =3x + y - 7 = 0.

iii) Scrivere le equazioni delle sfere di raggio0

2, aventi centro su p e tangenti al piano Π : x - z + 2 = 0.

[56] Date le rette:

r : ; 2x + 2y + z = 0y + z - 2 = 0,

s : ; 2x + y + 5 = 02x - z + 10 = 0,

i) verificare che le rette r ed s sono parallele e trovare l’equazione del piano che le contiene.

ii) Calcolare la distanza tra le rette r ed s .

iii) Determinare le equazioni delle sfere aventi centro su r e tangenti sia al piano

Π : 2x - 2y + z - 1 = 0 sia alla retta s .

[57] Dati i piani:

Π1 : x - hy + z - 1 = 0, Π2 : 2x + y + (1 - h)z + 1 - h = 0, Π3 : (h - 1)x + 3y - 2z = 0,

i) determinare, per ogni h Î — , la loro posizione reciproca.

ii) Posto h = 0, si considerino la retta r = Π1 È Π2 ed il punto A = r È Π3 . Scrivere le equazioni della retta passanteper A , perpendicolare ad r e parallela al piano Π3 .

iii) Trovare l’equazione della sfera tangente in A al piano Π3 ed avente centro sulla retta s : x+2y-5 = y+z-8 = 0.

[58] Dati i punti P0 = (-1, 0, 0) , P1 = (0, 0, 3) e la retta s : x = y = z ,

i) trovare le equazioni della retta r passante per P0 , perpendicolare ed incidente la retta s .

ii) Scrivere le equazioni delle sfere tangenti all’asse x nel punto P0 , passanti per il punto P1 e tangenti alla retta s .



[59] Dati il piano Π : x + 2y - 2z + 1 = 0 e la retta r : 2x + y + z = 2x - y - 3z = 0,

i) scrivere l’equazione del piano contenente r e perpendicolare a Π .

ii) Determinare i punti della retta s : x + y = x - z = 0 che hanno distanza d =

232

dalla retta r .

iii) Sia Γ la circonferenza intersezione del piano Π con la sfera S : x2 + y2 + z2 - 2x - 2y + h = 0. Trovare il valoredi h Î — in modo tale che il raggio di Γ sia 1.

[60] Dati il punto A = (-1, 0, 1) e i piani:

Α : x - z - 3 = 0, Β : y - z - 1 = 0,

i) scrivere le equazioni delle rette contenute nel piano Α , parallele al piano Β ed aventi distanza0

13 dal punto A .

ii) Sia Γ la circonferenza intersezione del piano Β con la sfera di centro A e raggio0

6. Stabilire se il puntoB = (2, 1, 0) del piano Β e interno o esterno a Γ .

iii) Trovare le rette tangenti a Σ parallele al piano Α .

[61] Dati i punti A = (3, -2, 0) , B = (-3, 1, -3) e la retta:

r : ; 2y - z + 1 = 0x - 3y + z - 3 = 0,

i) dopo aver verificato che le rette AB ed r sono incidenti, trovare il punto comune ed il piano che le contieneentrambe.

ii) Scrivere l’equazione della sfera S passante per A e B ed avente centro sulla retta r .

iii) Determinare l’equazione del piano tangente a S nel punto A .

iv) Trovare l’equazione della circonferenza Γ contenuta nella sfera S e tale che A , B siano estremi di un diametrodi Γ .

[62] Date la sfera S : x2 + y2 + z2 - 2x + y = 0 e la retta:

p : ; 2x + z - 5 = 0y + z = 0,

i) trovare le equazioni dei piani tangenti a S che contengono la retta p .

ii) Determinare l’equazione della sfera S¢ tangente a S nell’origine ed avente centro sul piano Π : x-2y-z+2 = 0.

iii) Trovare le circonferenze contenute nella sfera S , che stanno su piani perpendicolari a p ed hanno raggio r =12

.

[63] Dati i piani:

Π1 : x + ky + z - k = 0, Π2 : kx + y + z - 1 = 0, Π3 : x + y + kz - k2 = 0,

i) determinare, per ogni k Î — , la posizione reciproca dei tre piani.

ii) Posto k = 0, trovare le equazioni della retta passante per il punto A = (1, 1, 2) , parallela a Π1 e complanare conla retta r = Π2 È Π3 .

iii) Posto k = -1, si consideri la circonferenza Γ di centro B = (0, 0, -1) e raggio0

2 contenuta nel piano Π3 .Trovare l’equazione della sfera contenente la circonferenza Γ e tangente alla retta t = Π1 È Π2 .



[64] Si consideri la retta:

r : ; x - 2z - 4 = 0y - 3z - 1 = 0,

i) determinare il piano Π passante per r e parallelo all’asse z . Calcolare la distanza tra Π e l’asse z .

ii) Trovare il centro e il raggio della circonferenza Γ di equazioni:

; x2 + y2 + z2 + 2x - 2y - 1 = 0x - y = 0

e scrivere le equazioni della retta tangente a Γ nel punto P = (0, 0, 1) .

[65] Determinare le equazioni della retta tangente alla sfera:

S : x2 + y2 + z2 - 6y + 5 = 0

nel punto A = (0, 1, 0) e ortogonale alla retta:

r : ; x + y + z + 2 = 0x - y + z = 0.

[66] Determinare l’equazione del cilindro che contiene la parabola Γ : x = z - y2 = 0 e che ha le generatriciparallele alla retta r : z = x - y = 0.

[67] Determinare l’equazione della superficie generata dalla rotazione intorno alla retta a : x = y = z - 1 dellacurva Γ : z = xy - x - y = 0.

[68] Dato l’iperboloide:

I :x2

4+

y2

9- z2 = 1,

i) ricavare le equazioni delle rette r ed s , dell’iperboloide, che passano per il punto P = (2, 3, 1) Î I .

ii) Scrivere l’equazione del piano contenente r ed s .

iii) Determinare i punti della retta r che hanno distanza dal punto P uguale alla loro distanza dal piano xy .

[69] i) Si descriva la quadrica:

P :x2

4-

y2

9= 2z.

ii) Si verifichi che la retta:

r : ; 3x - 2y + 6 = 03x + 2y + 12z = 0

appartiene a P .



[70] Data la superficie:S : x2 - 2xy + 4yz + 2xz + y2 + z2 + 1 = 0,

i) stabilire se S e simmetrica rispetto all’origine.

ii) Indicata con Γ la curva intersezione di S con il piano z = 1, riconoscere che Γ e una conica e ridurla a formacanonica, determinando esplicitamente le equazioni del cambiamento di riferimento necessarie per tale riduzione.

[71] Date le rette:

r : ; x + y + 1 = 02x - y - z = 0,

s : ; x + y + 2z - 5 = 0x - y + 1 = 0,

t :ìïïíïïî

x = u + 1y = -2uz = u + 1, u Î —,

i) determinare le equazioni della retta parallela ad r e complanare sia con s sia con t .

ii) Dopo aver verificato che s e t sono sghembe, trovare la retta perpendicolare ed incidente entrambe.

iii) Determinare le equazioni della circonferenza di centro C = (1, 2, -1) tangente alla retta t .

iv) Trovare l’equazione della superficie generata dalla rotazione della retta t intorno alla retta s .

[72] i) Scrivere l’equazione del cono G di vertice V = (0, 2, 1) le cui generatrici formano un angolo diΠ

4con

l’asse z .

ii) Scrivere le equazioni delle generatrici del cono G appartenenti al piano: x - y + 2 = 0.

[73] Scrivere l’equazione del cilindro circoscritto alla sfera di centro C = (1, 1, 0) e raggio r = 2, avente legeneratrici parallele alla retta:

m :ìïïíïïî

x = ty = -tz = 2t + 1, t Î —.

[74] Determinare la superficie generata dalla rotazione dell’asse z intorno alla retta r : x = y = z e verificare chesi tratta di un cono con vertice nell’origine.

[75] Determinare l’equazione del cono di vertice V = (0, 0, 2) e di direttrice la circonferenza Γ passante per ipunti A = (1, -1, 0) , B = (0, 1, 1) e C = (2, 0, 2) .

[76] Dati il piano Π : x - z = 0 e il punto P = (2, 0, 1) ,

i) determinare il luogo Γ dei punti di Π aventi distanza d = 3 da P.

ii) Scrivere l’equazione del cilindro con direttrice Γ e generatrici parallele all’asse z .

[77] Determinare la superficie di rotazione che ha come asse la retta r : x = y + z = 0 e che contiene la retta:

s : ; x = 2z - 1y = 3z + 5.



[78] Determinare l’equazione del cono di vertice O = (0, 0, 0) e che contiene la circonferenza del piano Π : z = 4,di centro C = (2, 0, 4) , raggio r = 2.


Γ : ; y2 + z2 - 4y + 3 = 0x = 0,

determinare l’equazione della superficie S generata dalla rotazione completa di Γ intorno all’asse z .

[80] Si consideri la superficie:

S :ìïïíïïî

x = 1 + uvy = u2v + uz = (u2 + 1)v, u, v Î —.

i) Stabilire se S e una rigata.

ii) Decidere se esistono rette appartenenti ad S parallele al piano: y - 2x = 0.

iii) Posto v = 1, scrivere la proiezione ortogonale della curva Γ di S , cosı ottenuta, sul piano: z = 0. Provare cheΓ e una conica e ridurla a forma canonica.

[81] Provare che la superficie:

S :ìïïíïïî

x = u3 + uv + vy = cos u + u + vu2

z = u(v + 1), u, v Î —

e una rigata. Determinare, inoltre, il vettore direzionale della generica retta di S .

[82] Date le rette:

r :ìïïíïïî

x = 1 + ty = 1 - tz = 1, t Î —,

s : ; x + y - 2z = 02x - 3y + z = 0

e il punto P0 = (1, 2, 3) ,

i) scrivere le equazioni della retta r¢ , passante per P0 , perpendicolare alla retta r e complanare con la retta s .

ii) Determinare la mutua posizione di r e s .

iii) Dopo aver verificato che:

Γ : ; x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 4z = 0x2 + y2 + z2 - 9 = 0

e una circonferenza di cui si richiedono il centro e il raggio, determinare le equazioni della sua proiezione sul pianocoordinato xy parallelamente alla direzione di s .

[83] Dati il punto C = (1, 0, -2) e la retta:

r :ìïïíïïî

x = t + 4y = tz = -3, t Î —,

i) scrivere le equazioni della circonferenza di centro C e tangente ad r .

ii) Trovare i punti A e B di r tali che il triangolo ABC sia rettangolo in A e abbia area 3.

iii) Scrivere l’equazione della superficie generata dalla rotazione della retta r intorno alla retta s di equazionix = 0, z = -3. Dire di che superficie si tratta.



[84] Dati il piano Α : x - z - 2 = 0 e la sfera S : x2 + y2 + z2 - 2x = 0,

i) scrivere le equazioni della retta tangente a S in P = (1, 0, 1) e parallela al piano Α .

ii) Determinare l’equazione cartesiana del cilindro avente per direttrice la circonferenza S È Α e le generatriciparallele alla retta r : 2x = y = 2 - 2z .

[85] Dati la retta:

r : ; x - y = 0y + z = 1,

il vettore � = (-1, 0, 1) e la superficie S di equazione x2 + y2 + z2 - 2xz - 2x + 2z = 0,

i) scrivere l’equazione del piano Π parallelo ad r , al vettore � e passante per l’origine.

ii) Verificare che S e un cilindro con generatrici perpendicolari al piano Π .

iii) Sia C = S È Π , verificato che O Î C , scrivere l’equazione della retta tangente a C in O .


Γ : ; x2 + y2 + z2 - 2y - 6z + 1 = 0x + y - z - 1 = 0,

i) determinare le coordinate del centro ed il raggio di Γ .

ii) Scrivere le equazioni della retta tangente a Γ nel punto A = (2, 0, 1) .

iii) Scrivere l’equazione del cilindro di direttrice Γ e generatrici ortogonali al piano che la contiene.

[87] Data la sfera S : x2 + y2 + z2 - 4x - 2y + 4z - 16 = 0,

i) trovare i piani paralleli al piano Α : x - 2y - 2z + 12 = 0 che tagliano S secondo una circonferenza di raggio 4.

ii) Scrivere l’equazione cartesiana del cilindro circoscritto a S ed avente le generatrici ortogonali ad Α .

[88] Dati la circonferenza Γ di equazioni:

; (x - 2)2 + (y - 1)2 + z2 = 5z = 0

ed il vettore � = 3�- 6� ,

i) utilizzando il calcolo vettoriale, calcolare l’area del triangolo individuato dai vettori � e � .

ii) Verificare che la retta per l’origine e parallela a � e tangente alla circonferenza Γ .

iii) Determinare le sfere passanti per Γ , aventi centro sul piano Π : z = 0 e raggio105

.


Γ : ; (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 3y - 1 = 0,

i) determinare le coordinate del centro ed il raggio di Γ .

ii) Scrivere le equazioni del cono S di vertice V = (0, 0, 1) che proietta Γ .

iii) Verificato che la curva Γ¢ , intersezione di S con il piano: z = 0 ha equazione: x2 - 2xy - 2y2 + 1 = 0, studiareΓ¢ .



[90] Date le rette:

r : ; 2x - y + z - 4 = 0y + z - 2 = 0,

s : ; x + Λy - 1 = 0x + z + Μ - 1 = 0,

i) al variare dei parametri Λ, Μ in campo reale, discuterne la loro posizione reciproca.

Posto Λ = Μ = 0,

ii) dopo avere verificato che r ed s risultano sghembe, determinare le equazioni della loro perpendicolare comune.

iii) Scrivere l’equazione della superficie generata dalla rotazione di r intorno ad s , decidere di quale superficie sitratta e scrivere la sua equazione in forma canonica.

[91] Si considerino la sfera S : x2 + y2 + z2 - 2x - 2z - 2 = 0 e i vettori � = 2�- � , � =

�- � + 3 � ,

i) determinare centro e raggio di S , scrivere le componenti del raggio vettore per P = (1, 2, 1) .

ii) Determinare i piani paralleli ai vettori � e � che tagliano S lungo circonferenze di raggio 1.

iii) Scrivere l’equazione cartesiana del cono circoscritto a S con vertice V = (0, 3, 0) .

[92] Data la curva:

Γ :

ìïïïïïïíïïïïïïî

x = 0

y = -t1+t

z = t, t Î —,

i) scrivere l’equazione cartesiana del cono G con vertice V = (1, -1, -1) che proietta Γ .

ii) Verificato che G ha equazione: (y+1)(z+1) = (1-x)2 ; sia Γ¢ la curva sezione di G con il piano xy , si determinila superficie S generata dalla rotazione di Γ¢ attorno alla retta r : x = 1, z = 0. Che tipo di superficie e S?

[93] Si considerino la retta:

r : ; x + y - z = 1x - 2y = 0,

il vettore � = ( � + � ) ß �e la curva:

Γ :ìïïíïïî

x = ty = t2

z = t2 + t, t Î —;

i) scrivere l’equazione della retta incidente r e l’asse z e parallela a � .

ii) Scrivere l’equazione cartesiana del cilindro con direttrice Γ e generatrici parallele a � .

[94] Si considerino le rette:

r : ; 3x + 2y + 2z - 1 = 0x + 2y = 0

s : ; x - y + 1 = 0x + y + z = 0

t :x3

=y - 2

2= z.

i) Determinare le equazioni della retta incidente r ed s e parallela a t .

ii) Scrivere l’equazione della superficie ottenuta ruotando la retta r intorno alla retta s e precisare di quale superficiesi tratti.



[95] Dati la sfera S : x2 + y2 + z2 - 4x + 6y = 0 ed il vettore � = 2�- � + 3 � ,

i) determinare le equazioni della retta tangente a S in O = (0, 0, 0) ed ortogonale a � .

ii) Verificare che S interseca il piano y = 0; trovare il centro ed il raggio della circonferenza intersezione.

iii) Scrivere l’equazione del cilindro circoscritto a S ed avente le generatrici parallele a � .

[96] Dati i punti: A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 2), C = (-1, -2, 0), D = (3, 0, 2) ,

i) verificare che A, B,C, D non sono complanari.

ii) Determinare il piano Π contenente A, B e C .

iii) Scrivere l’equazione della sfera S di centro D e tangente a Π .

iv) Scrivere l’equazione del cono di vertice A e circoscritto a S .

[97] Dati i punti A = (0, -1, 1), B = (4, 1, -3) e la retta:

r : ; y - 2 = 0x + z - 2 = 0,

i) determinare un punto P di r tale che il triangolo A, B, P abbia area 3.

ii) Scrivere le equazioni della circonferenza avente centro nel punto medio del segmento AB e tangente la retta r .

[98] Dati i punti A = (1, 2, -1) e B = (2, -1, 1) ,

i) determinare il punto P dell’asse x equidistante da A e da B .

ii) Verificare che i punti A, B e P non sono allineati e calcolare l’area del triangolo APB .

iii) Scrivere le equazioni della circonferenza passante per A, B e di centro P .

iv) Scrivere l’equazione del cilindro circoscritto alla sfera di centro il punto medio del segmento AB , passante perA ed avente le generatrici parallele all’asse x .

[99] i) Scrivere le equazioni della retta r passante per il punto A = (1, -1, 3) e parallela al vettore di componenti(-1, 1, 0) ;

ii) determinare le equazioni dei piani passanti per r e aventi distanza (in valore assoluto) pari a 2 dal puntoB(1, 1, 1) ;

iii) scrivere le equazioni della circonferenza di centro B e tangente alla retta r ;

iv) determinare l’equazione del cono di vertice l’origine, circoscritto alla sfera di centro C(-4, -3, 2) e raggio 2.

[100] Si determinino le equazioni della circonferenza Γ di diametro OB , con O = (0, 0, 0) e B = (0, 0, 1) ,appartenenti al piano di distanza 1 (in valore assoluto) dal punto D = (1, -1, 1) .

[101] Si determinino le equazioni della circonferenza Γ di centro C = (1, 0, 1) che taglia la retta:

r : ; x - z = 02x - y + 1 = 0

secondo una corda di lunghezza 2.

[102] Date le rette:

r : ; x - y + 1 = 0x + y + z = 0

e s : ; x + 3y = 0x + y = 0,



i) verificare che r e s sono sghembe.

ii) Scrivere le equazioni della retta incidente r e s e parallela al vettore � = (�- � ) ß � .

iii) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie S generata dalla rotazione di r attorno ad s . Riconoscere S .

iv) Verificare che il punto P = (0, -0

5, 3) Î S . Determinare centro e raggio del parallelo passante per P .

[103] Sono date le rette:

r :x - 1

2= y = z - 2, s : ; 4x + 3z - 19 = 0

y + 1 = 0

ed il punto P = (1, 2, 0) ;

i) trovare la retta passante per P ed incidente sia r sia s ;

ii) determinare le equazioni della circonferenza tangente in Q = (1, 0, 2) alla retta r e passante per il punto P.

[104] Date le sfere:

S1 : x2 + y2 + z2 = 6 e S2 : (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 3,

i) verificare che S1 È S2 e una circonferenza Γ .

ii) Determinare il raggio, il centro di Γ e l’equazione del piano che la contiene.

iii) Trovare le sfere contenenti Γ e tangenti al piano z = 0.

iv) Scrivere l’equazione del cono di vertice V = (3, 0, -3) , circoscritto alla sfera S1 .

[105] Assegnati i punti A = (-1, 0, -1), B = (0, 1, -1),C = (1, 3, 0), D = (0, 7, 5) ,

i) verificare che sono complanari;

ii) scrivere le equazioni delle rette AC e BD e verificare che si intersecano;

iii) determinare la sfera passante per A, B e C ed avente il centro sulla retta r : x = y = 0.

[106] Dati i punti A = (0, 1, 3), B = (1, 1, 0),C = (4, -5, 1) ,

i) trovare il piano passante per i tre punti;

ii) verificare che il triangolo ABC e rettangolo in B ;

iii) trovare le equazioni della retta BC ;

iv) determinare la distanza di A dalla retta BC ;

v) scrivere l’equazione della sfera S di centro A e raggio la distanza di B da C ;

vi) calcolare se l’origine e interna o esterna a tale sfera.

[107] Data la sfera:S : x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 4 = 0,

verificare se:

i) il punto P = (1, 1, 1) e interno alla sfera;

ii) se il piano: x + 2y + 2z + 1 = 0 interseca la sfera;

iii) se la retta: x - 2y - 2 = y - z + 2 = 0 interseca la sfera;

iv) se la sfera di centro C = (-1, -1, 2) e raggio 1 ha punti in comune con S .



[108] Data la sfera:S : x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z = 0,

i) scrivere le equazioni della retta tangente a S nell’origine e parallela al piano Π : x - y + z - 2 = 0.

ii) Verificare che l’intersezione tra la sfera S e il piano Π e una circonferenza di cui si chiedono le coordinate delcentro e la lunghezza del raggio.

iii) Scrivere l’equazione del cono circoscritto a S con vertice nel punto B = (0, 0, 1) .

[109] i) Scrivere le equazioni della retta t passante per il punto P = (1, 2, 0) e incidente le rette :

r : ; x - z - 1 = 0y = 0,

s : ; x + y + z - 1 = 02x - 3y - z + 3 = 0.

ii) Studiare la posizione reciproca di r e s .

[110] i) Dati il punto P = (1, -1, 2) , il piano Π : x + y + z - 2 = 0 e la retta r : x - y = z = 0,

i) verificare che il punto P appartiene a Π .

ii) Scrivere le equazioni della retta s giacente sul piano Π , passante per P e incidente la retta r .

iii) Calcolare la distanza del punto P dalla retta r .

[111] i) Dati il punto P = (2, -2, 2) e i piani Α : x + y + z - 2 = 0 e Β : 2x + 3y - z = 0,

i) verificare che il punto P appartiene al piano Α .

ii) Scrivere le equazioni della retta s giacente sul piano Α , passante per P e parallela al piano Β .

iii) Calcolare la distanza tra r e il piano Β .


r : ; x + y - z = 02x - y = 0,

s : ; 2x - z = 1x - y = 0

i) Studiare la posizione reciproca di r ed s .

ii) Scrivere l’equazione della superficie generata dalla rotazione di s attorno ad r e dire di che superficie si tratta.

[113] Determinare l’area e il perimetro del triangolo di vertici A = (0, 1, 2), B = (1, 1, 1) e C = (2, 1, 2) .

[114] Dati il piano Α : x - y + z - 3 = 0 e la retta:

r : ; x + y - z = 0x + ky + z = 0,

i) studiare, al variare di k Î — , la posizione reciproca di Α e di r .

Posto k = -1:

ii) Scrivere le equazioni della retta s simmetrica di r rispetto ad Α .

iii) Determinare l’equazione della sfera S tangente ad r in O = (0, 0, 0) ed avente centro nel punto proiezioneortogonale di O sul piano Α .

iv) Verificato che S ha equazione: (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 1)2 = 3, scrivere l’equazione del cilindro rotondocircoscritto a S , con generatrici parallele a r .




r :ìïïíïïî

x = ty = -2z = -12t - 1, t Î —,

a : ; y = 1z = 2,

i) verificare che sono sghembe.

ii) Determinare l’equazione del piano passante per r e per l’origine del sistema di riferimento.

iii) Scrivere l’equazione della sfera di centro l’origine che interseca a in un segmento di lunghezza 2.

iv) Scrivere l’equazione della superficie generata dalla rotazione di r attorno all’asse a . Calcolare la lunghezza delraggio del parallelo situato sul piano: x = -2.

[116] Dati il punto A = (1, 3, -1) e la retta:

r :ìïïíïïî

x = 2ty = tz = -t + 1, t Î —,

determinare:

i) la distanza di A da r ;

ii) il punto del piano per A e per r che ha distanza minima dall’origine;

iii) Determinare l’equazione cartesiana del cono avente vertice nell’origine e circoscritto alla sfera di centro A eraggio 1.

[117] Dato il punto P = (1, 2, 1) , determinare:

i) il simmetrico di P rispetto al punto Q = (0, -1, 2) ;

ii) il simmetrico di P rispetto al piano Π : x + y - z = 0;

iii) la distanza di P da Π ;

iv) le equazioni della circonferenza appartenente al piano: x = z , con centro in P e raggio 1;

v) il piano passante per P, Q e per l’origine.

[118] Dati i punti: A = (1, 1, 5), B = (2, 2, 1),C = (1, -2, 2) e D = (-2, 1, 2) ,

i) verificare che A, B,C e D sono i vertici di un tetraedro e calcolarne il volume.

ii) Scrivere le equazioni della circonferenza Γ circoscritta al triangolo ABC .

iii) Determinare l’equazione del cono di vertice D e direttrice Γ .


r : ; x - 2 = 0y + z = 0,

s : ; x - 3y + 5 = 0y + z - 4 = 0,

i) determinare la loro posizione reciproca.

ii) Scrivere l’equazione della superficie generata dalla rotazione completa di r intorno a s e dire di quale superficiesi tratta.

iii) Determinare l’equazione del piano passante per r e parallelo a s .

iv) Determinare la posizione reciproca tra la sfera:

S : x2 + y2 + z2 - 24x + 3y + 4z + 4 = 0

e la retta r .



[120] Scrivere l’equazione cartesiana del cono che proietta la curva:

Γ : ; x2 + y2 + z2 - 2y + z + 2 = 0x - 2y = 0

dal punto V = (1, 0, -1) .

[121] Data la matrice simmetrica:

A =æççççççè

5 2 -22 5 -2

-2 -2 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

i) Determinare una matrice ortogonale Q tale che tQAQ = D con D matrice diagonale.

ii) Studiare la quadrica di equazione:

I x y z 1 Mæçççççççççè

5 2 -2 02 5 -2 0

-2 -2 5 00 0 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø


xyz1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

= 0.

[122] Scrivere l’equazione dell’ellissoide avente centro nel punto C = (1, 2, 3) , assi paralleli agli assi coordinati esemiassi di lunghezza 2, 3, 7, rispettivamente, rispetto agli assi x, y, z .

[123] Scrivere l’equazione del cono G di vertice V = (2, 1, 1) circoscritto alla sfera:

S : x2 + y2 + z2 - 2z = 0.

[124] Scrivere l’equazione cartesiana del cilindro che proietta la curva:

Γ : ; x2 + y2 + z2 - 2x - 3y + 1 = 0x - z - 1 = 0

secondo la direzione della retta:

r : ; x + 3y - z - 1 = 02x + y - z + 2 = 0.

[125] Al variare di k Î — si descriva la quadrica:

x2 + y2 + kz2 - 2x = 0.

[126] Dati i punti: A = (1, 0, -1) , B = (2, 1, 0),C = (1, -2, -1) e la retta s : 3x - 1 = 2y + 1 = z ,

i) determinare la posizione reciproca delle rette AB ed s .

ii) Calcolare il centro ed il raggio della circonferenza passante per A, B e C .

iii) Trovare l’equazione della supeficie generata dalla rotazione della retta AB intorno alla retta s e dire di qualesuperficie si tratta.

iv) Trovare il luogo dei punti P = (x, y, z) tali che il triangolo ABP abbia area0

3.



[127] Date le sfere:S1 : x2 + y2 + z2 - 2x - 99 = 0,S2 : x2 + y2 + z2 - 4x + 1 = 0,

determinare la loro posizione reciproca.

[128] Data la retta:

r : ; x + 2y + kz = 02x - 5y + z = 1,

i) determinare, se esiste, un valore di k Î — per cui r passa per il punto A = (0, 0, 1) ;

ii) determinare, se esiste, un valore di k Î — per cui r e incidente la retta:

s : ; 2x - 5y + z = 0x - 3z = 0;

iii) determinare, se esiste, un valore di k Î — per cui r e parallela al piano Π : -x + 2y = 0;

iv) determinare, se esiste, un valore di k Î — per cui r e l’asse z sono sghembe.

[129] i) Determinare centro e raggio della circonferenza ottenuta dall’intersezione della sfera: S : x2 + y2 + z2 -2x + 2y + 4z - 4 = 0 con il piano Π : x - 2y + z + 1 = 0.

ii) Determinare l’equazione del cono di vertice V = (0, 0, 2) circoscritto alla sfera S .

[130] Dati la sfera:S : x2 + y2 + z2 - 4x + 8y + 6z + 2 = 0

e il piano Π : z - 1 = 0,

i) verificare che S È Π e una circonferenza Γ di cui si chiedono il centro e il raggio.

ii) Determinare le equazioni dei piani tangenti a S e paralleli a Π .

iii) Scrivere l’equazione del cono di vertice l’origine e direttrice la circonferenza Γ .

[131] Si consideri il piano Π : x + y + z = 0.

i) Trovare le equazioni delle superfici sferiche tangenti a Π nell’origine O(0, 0, 0) ed aventi raggio0

3.

ii) Verificato che tali sfere hanno equazioni: x2 + y2 + z2 ± 2(x + y + z) = 0, determinare i piani tangenti alle sfere,paralleli a Π e non passanti per l’origine.

iii) Scrivere l’equazione del cono di vertice V (0, 1, 1) e circoscritto ad una delle due sfere, verificando che si trattadi un cono reale.

[132] Descrivere la quadrica rigata di equazione:

x2 + 4y2 - z2 - 1 = 0,

determinare le equazioni delle due schiere di rette ad essa appartenenti e calcolarne i parametri direttori.



[133] Sono date le rette:

r : ; x + y - z + 1 = 05x - y - z + 1 = 0,

s :ìïïíïïî

x = t - 4y = 2t + 1z = 3t - 3, t Î —

e il piano Π : x + y + z + 40 = 0.

i) Determinare la posizione reciproca delle rette r e s e, nel caso in cui cio abbia senso, trovarne la distanza.

ii) Data la sfera S : x2 + y2 + z2 - 2x - 4z = 0, scrivere le equazioni dei piani tangenti a S e paralleli a Π .

iii) Dire se Π È S e una circonferenza e, in caso affermativo, determinarne il centro e il raggio.

iv) Scrivere l’equazione del cilindro che proietta la circonferenza del piano y = 0 di centro C(2, 0, 1) e raggio 2,secondo la direzione della retta r .

[134] Dati i punti: P = (0, 0, 1), Q = (1, -1, 1), R = (-1, 2, 1) :

i) scrivere le equazioni della retta t passante per l’origine e per il punto P;

ii) determinare l’equazione della sfera S passante per Q , per R e tangente nell’origine alla retta t ;

iii) verificato che S ha equazione: x2 + y2 + z2 - 12x - 9y = 0, trovare il centro e il raggio della circonferenzaintersezione di S con il piano z = 1

2 ;

iv) scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione completa della retta, passante per Q e per R ,intorno all’asse x e dire di quale superficie si tratta.

[135] Descrivere la superficie di equazione:xy = 2z.

[136] Date le rette:r : x - 4 = z = 0,s : 2x + y + z + 3 = 2x - 2y + z = 0,

determinare:

i) l’equazione del piano passante per il punto A = (0, -2, 3) e parallelo a r e a s ;

ii) le equazioni della retta t incidente e perpendicolare sia a r sia a s ;

iii) l’equazione del cono di vertice V = (4, 0, 0) circoscritto alla sfera di centro C = (1, 1, 1) e raggio 3.

[137] Descrivere le seguenti superficie:

1) x2 + z2 = y ;

2) x2 + (y - 1)2 = z2 ;

3) z = 4 - x2 - y2 ;

4) z = sin x ;

5) z =0

x2 + y2 ;

6) x2 + y2 = 2y ;

7) z = -1 + x2 + y2 ;



8) z =x2

4+

y2

9;

9) z = x2 - y2 + 2;

10) z4 = x2 + y2 .


Capitolo 10

Soluzioni - Sistemi lineari

[1]

A = {{1,1,-1},{2,2,1},{1,1,2}}; X = {x1,x2,x3}; B = {1,0,-1};

Solve[A.X == B,X]

��::¢¢ svars¢¢ : Equations may not give solutions for all solve variables.

::x1 ®1

3- x2,x3 ® -

2

3>>

x1 = -Λ +13

, x2 = Λ, x3 = -23

, Λ Î —.

[2]

A = {{-2,1,1},{1,-2,1},{1,1,-2}};

X = {x1,x2,x3}; B = {1,-2,4};

Reduce[A.X == B,X]

False

Il sistema e incompatibile.

[3]

A = {{2,-1,-1,-4},{4,0,-3,-1},{8,-2,-5,-9}};

X = {x1,x2,x3,x4}; B = {9,0,18};

Solve[A.X == B,X]


::x1 ®3 x3

4+x4

4,x2 ® -9 +

x3

2-7 x4

2>>

x1 =34

Λ1 +14

Λ2, x2 = -9 +12

Λ1 -72

Λ2, x3 = Λ1, x4 = Λ2, Λ1, Λ2 Î —.

[4]

A = {{2,-2,1,4},{1,-1,-4,2},{-1,1,3,-2},{3,-3,1,6}};

NullSpace[A]

{{-2,0,0,1},{1,1,0,0}}

x = Λ1 - 2Λ2, y = Λ1, z = 0, t = Λ2, Λ1, Λ2 Î —.

91


[5]

A = {{1,1,a},{1,2,b},{0,1,c}}; X = {x,y,z}; B = {1,3,2};

Reduce[A.X == B,X]

a == b - c&&x == -1 - b z + 2 c z&&y == 2 - c z||x == -1&&y == 2&&z == 0&&a - b + c ¹ 0

Se a ¹ b - c : x = -1, y = 2, z = 0;

se a = b - c : x = -1 + (2c - b)Λ, y = 2 - cΛ, z = Λ, Λ Î — .

[6]

A = {{2,1,-1},{1,2,-2},{3,-1,2},{1,-1,1}};

X = {x,y,z}; B = {1,0,-1,k};

Reduce[A.X == B,X]

k == 1&&x ==2

3&&y == -

11

3&&z == -

10

3

Se k ¹ 1: non esistono soluzioni;

se k = 1 : x =23

, y = -113

, z = -103

.

[7]

A = {{a,-1,1},{1,-a,1},{1,-1,a}};

X = {x,y,z}; B = {2,3 - aˆ2,a + 1};

Reduce[A.X == B,X]

a == 1&&x == 2 + y - z||a == -2&&x == -1 + z&&y == -z||x == 1&&y == a&&z == 2&& - 1 + a ¹ 0&&2 + a ¹ 0

Se a /Î {-2, 1} : x = 1, y = a, z = 2;

se a = -2 : x = -1 + t, y = -t, z = t, t Î — ;

se a = 1 : x = 2 + Λ - Μ, y = Λ, z = Μ, Λ, Μ Î — .

[8]

A = {{1,1,1},{1,-a,-1},{2,1,a}}; X = {x,y,z}; B = {a,1,a + 1};

Reduce[A.X == B,X]

a == 0&&x == 1 + z&&y == -1 - 2 z||a == 1&&x == 1&&y == -z||x == a&&y == 1&&z == -1&& - 1 + a ¹ 0&&a ¹ 0

Se a /Î {0, 1} : x = a, y = 1, z = -1;

se a = 0 : x = 1 + t, y = -1 - 2t, z = t, t Î — ;

se a = 1 : x = 1, y = -t, z = t, t Î — .

[9]

A = {{1,1,a},{1,a,1},{a,1,1}}; X = {x,y,z}; B = {2a - 1,a,1};

Reduce[A.X == B,X]

a == 1&&x == 1 - y - z||

x == -2

2 + a&&y ==

a

2 + a&&z ==

2 (1 + a)

2 + a&& - 1 + a ¹ 0&&2 + a ¹ 0

Se Λ /Î {1, -2} : x = -2

Λ + 2, y =

Λ

Λ + 2, z =

2(Λ + 1)

Λ + 2;

se Λ = -2: non esistono soluzioni;


Capitolo 10 – Soluzioni - Sistemi lineari 93

se Λ = 1 : x = -h - k + 1, y = h, z = k, h, k Î — .

[10]

A = {{2,0,a},{3,a,-2},{a,0,2}}; X = {x,y,z}; B = {1,2,1};

Reduce[A.X == B,X]

a == 2&&x ==1

2(1 - 2 z)&&y ==

1

4(1 + 10 z)||

x ==1

2 + a&&y ==

3 + 2 a

a (2 + a)&&z ==

1

2 + a&& - 2 + a ¹ 0&&a ¹ 0&&2 + a ¹ 0

Se a /Î {-2, 0, 2} : x =1

2 + a, y =

2a + 3a(2 + a)

, z =1

2 + a;

se a = 0, a = -2: il sistema e incompatibile;

se a = 2: x =12

- t, y =14

+52

t, z = t, t Î — .

[11]

A = {{1,1,-1},{2,3,k},{1,k,3}}; X = {x,y,z}; B = {1,3,h};

Reduce[A.X == B,X]

h == -3&&k == -3&&x == 0&&y == 1 + z||h == 2&&k == 2&&x == 5 z&&y == 1 - 4 z||

x == 1 -6

6 - k - k2+

3 h

6 - k - k2-

2 k

6 - k - k2+

h k

6 - k - k2&&

y ==-6 + 2 h - k + h k

-6 + k + k2&&z ==

-h + k

-6 + k + k2&& - 2 + k ¹ 0&&3 + k ¹ 0

Se k /Î {-3, 2}, "h Î — : esiste una sola soluzione;

se k = -3, h = -3: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se k = -3, h ¹ -3: non esistono soluzioni;

se k = 2, h = 2: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se k = 2, h ¹ 2: non esistono soluzioni.

[12]

A = {{k,1,1},{1,k,1},{1,1,k}}; X = {x,y,z}; B = {1,1,h};

Reduce[A.X == B,X]

h == 1&&k == 1&&x == 1 - y - z||

h == -2&&k == -2&&x == -1 + z&&y == -1 + z||x ==-h + k

-2 + k + k2&&

y ==-h + k

-2 + k + k2&&z ==

-2 + h + h k

-2 + k + k2&& - 1 + k ¹ 0&&2 + k ¹ 0

Se k /Î {1, -2}, "h Î — : esiste una sola soluzione;

se k = -2, h = -2: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se k = -2, h ¹ -2: non esistono soluzioni;

se k = 1, h = 1: esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere;

se k = 1, h ¹ 1: non esistono soluzioni.



[13]

A = {{1,-1,1},{2,1,2},{-3,-3,a}}; X = {x,y,z}; B = {5,b,1};

Reduce[A.X == B,X]

a == -3&&b == 2&&x ==1

3(7 - 3 z)&&y == -

8

3||

x ==27 + 5 a - 3 b + a b

3 (3 + a)&&y ==

1

3(-10 + b)&&z ==

2 (-2 + b)

3 + a&&3 + a ¹ 0

Se a ¹ -3, "b Î — : esiste una sola soluzione;

se a = -3, b = 2: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se a = -3, b ¹ 2: non esistono soluzioni.

[14]

A = {{2,-3,2},{1,1,-2},{4,-1,a}}; X = {x,y,z}; B = {1,2,b};

Reduce[A.X == B,X]

a == -2&&b == 5&&x ==1

5(7 + 4 z)&&y ==

3

5(1 + 2 z)||

x ==-6 + 7 a + 4 b

5 (2 + a)&&y ==

3 (-8 + a + 2 b)

5 (2 + a)&&z ==

-5 + b

2 + a&&2 + a ¹ 0

Se a ¹ -2, "b Î — : esiste una sola soluzione;

se a = -2, b = 5: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se a = -2, b ¹ 5: non esistono soluzioni.

[15]

A = {{3 - k,-1,-1},{2,-4 + k,-2},{3,-3,-5 + k}};

X = {x,y,z}; B = {a,b,c};

Reduce[A.X == B,X]

3 a == c&&3 b == 2 c&&k == 2&&x ==1

3(c + 3 y + 3 z)||

b == -a - c&&k == 8&&x ==1

18(-3 a + c - 6 z)&&

y ==1

18(-3 a - 5 c + 12 z)||x ==

7 a - b - c - a k

16 - 10 k + k2&&

y ==2 a - 6 b + 2 c + b k

16 - 10 k + k2&&z ==

3 a + 3 b - 5 c + c k

16 - 10 k + k2&& - 8 + k ¹ 0&& - 2 + k ¹ 0

Se k /Î {2, 8}, "a, b, c Î — : esiste una sola soluzione;

se k = 2, b = 2a e c = 3a : esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere;

se k = 2, b ¹ 2a , o c ¹ 3a : non esistono soluzioni;

se k = 8, a + b + c = 0: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se k = 8, a + b + c ¹ 0: non esistono soluzioni.

[16]

A = {{2 - k,-k,1 - k},{4 - 2k,-3k,1 - 2k},{2 - k,-2k,k}};

X = {x,y,z}; B = {1 - 2k,1 - k,-5k};

Reduce[A.X == B,X]

k == 0&&x == 0&&z == 1||

x ==8 (-1 + k)

-2 + k&&y ==

4 - 3 k

k&&z == -3&& - 2 + k ¹ 0&&k ¹ 0

Se k /Î {0, 2} : esiste una sola soluzione;

se k = 0 : x = 0, y = t, z = 1, t Î — ;

se k = 2: non esistono soluzioni.



[17]

A = {{h + 1,-h,2h + 1},{h + 1,-h,2h},{-h - 1,0,-2h - 1}};

X = {x,y,z}; B = {3 + 2h,1 + 3h,-3h - 3};

Reduce[A.X == B,X]

h == 0&&x == 1&&z == 2||

x ==1 + 2 h2

1 + h&&y == 1&&z == 2 - h&&h ¹ 0&&1 + h ¹ 0

Se h /Î {-1, 0} : esiste una sola soluzione;

se h = -1: non esistono soluzioni;

se h = 0 : x = 1, y = t, z = 2, t Î — .

[18]

A = {{m - 1,1,m},{m(1 - m),1 - m,-2mˆ2},{m - 1,2,-2}};

X = {x,y,z}; B = {0,2,m + 3};

Reduce[A.X == B,X]

m == -1&&x == 1&&y == 2 + z||m == 1&&y == 1&&z == -1||1

2 - 3 m + m2==

1

1 - m-

1

2 - m&&x ==

-4 - m

-2 + m&&

y ==-4 + 2 m + m2

-2 + m&&z ==

1

-2 + m&& - 2 + m ¹ 0&& - 1 + m ¹ 0&&1 + m ¹ 0

Se m /Î {-1, 1, 2} : esiste una sola soluzione;

se m = -1, m = 1: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se m = 2: non esistono soluzioni.

[19]

A = {{k + 1,k + 1,2},{1,k,1},{1 - k,0,k - 1}};

X = {x,y,z}; B = {1,1,0};

Reduce[A.X == B,X]

x == -1

-2 + k + k2&&y ==

1 + k

-2 + k + k2&&

z == -1

-2 + k + k2&& - 1 + k ¹ 0&&2 + k ¹ 0

Se k /Î {-2, 1} : esiste una sola soluzione;

se k = -2, k = 1: non esistono soluzioni.

[20]

A = {{k,-2(k + 1),1},{0,k + 1,1},{2k,-5(k + 1),2}};

X = {x,y,z}; B = {4 - 2k,k + 3,8 - 9k};

Reduce[A.X == B,X]

x ==1 + 12 k

k&&y ==

5 k

1 + k&&z == 3 - 4 k&&k ¹ 0&&1 + k ¹ 0

Se k /Î {-1, 0} : esiste una sola soluzione;

se k = -1, k = 0: non esistono soluzioni.

[21]

A = {{k,2,2k},{k,3 - k,3k},{k,k + 1,2k}};

X = {x,y,z}; B = {1,1,2};

Reduce[A.X == B,X]

x == -2

-1 + k+1

k&&y ==

1

-1 + k&&z ==

1

k&& - 1 + k ¹ 0&&k ¹ 0

Se k /Î {0, 1} : esiste una sola soluzione;



se k = 0, k = 1: non esistono soluzioni.

[22]

A = {{1,1,1},{a,1,2},{1,a,1}}; X = {x,y,z}; B = {a,2,4};

Reduce[A.X == B,X]

a == 2&&y == 2&&z == -x||

x ==-1 - 2 a

-1 + a&&y ==

4 - a

-1 + a&&z == 3 + a&& - 2 + a ¹ 0&& - 1 + a ¹ 0

Se a /Î {1, 2} : esiste una sola soluzione;

se a = 1: non esistono soluzioni;

se a = 2: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera.

[23]

A = {{1,-1,1,-1},{2,1,5,4},{1,0,2,1}};

X = {x,y,z,t}; B = {aˆ2,a,2};

Reduce[A.X == B,X]

a == -3&&x == 2 - t - 2 z&&y == -7 - 2 t - z||a == 2&&x == 2 - t - 2 z&&y == -2 - 2 t - z

Se a /Î {-3, 2} : non esistono soluzioni;

se a Î {-3, 2} : esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere.

[24]

A = {{2,a,1},{1,1,a},{1,1,1}}; X = {x1,x2,x3}; B = {2,4,a};

Reduce[A.X == B,X]

a == 2&&x1 == -x2&&x3 == 2||

x1 == 3 + a&&x2 ==-1 - 2 a

-1 + a&&x3 ==

4 - a

-1 + a&& - 2 + a ¹ 0&& - 1 + a ¹ 0

Se a /Î {1, 2} : esiste una sola soluzione;

se a = 1: non esistono soluzioni;


[25]

A = {{1,0,1,2},{-1,-1,1,1},{4,1,2,5}};

X = {x,y,z,t}; B = {2,aˆ2,a};

Reduce[A.X == B,X]

a == -3&&x == 2 - 2 t - z&&y == -11 + 3 t + 2 z||a == 2&&x == 2 - 2 t - z&&y == -6 + 3 t + 2 z

Se a /Î {-3, 2} : non esistono soluzioni;

se a Î {-3, 2} : esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere.

[26]

A = {{2,-1,3,1},{4,1,-2,-1},{2,5,a,-5}};

X = {x,y,z,t}; B = {0,0,0};

Reduce[A.X == B,X]

a == -13&&x == -z

6&&y ==

1

3(3 t + 8 z)||

x == 0&&y == t&&z == 0&&13 + a ¹ 0

Se a ¹ -13: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;



se a = -13: esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere.

[27]

A = {{1,2,-1,a},{-1,a - 2,1,0},{0,2,1,0},{-1,-2,1,a}};

Solve[Det[A] == 0]

{{a ® 0},{a ® 0}}

NullSpace[A/.a ® 0]

{{0,0,0,1},{4,-1,2,0}}

Se a ¹ 0: esiste solo la soluzione nulla;

se a = 0: esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere.

[28]

A = {{1,1,-1},{1,2a + 1,-a - 1},{1,a,-1}};

X = {x,y,z}; B = {0,2a + 1,a - 1};

Reduce[A.X == B,X]

a == 1&&x == -3 + y&&z == -3 + 2 y||

x ==-1 - a

a&&y == 1&&z == -

1

a&& - 1 + a ¹ 0&&a ¹ 0

Se Λ /Î {0, 1} : esiste una sola soluzione;

se Λ = 0: non esistono soluzioni;

se Λ = 1: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera.

[29]

A = {{1,-1,-1},{3,1,2},{4,a,0}};

Solve[Det[A] == 0]

::a ® -4

5>>

NullSpace[A/.a ® -4/5]

:: -1

4,-

5

4,1>>

Se Λ ¹ -45

: x = y = z = 0;

se Λ = -45

: x = -14

t, y = -54

t, z = t, t Î — .

[30]

A = {{3,2,1},{5,3,3},{7,4,5},{1,1,-1}};

X = {x,y,z}; B = {1,2,3,0};

Solve[A.X == B,X]


{{x ® 1 - 3 z,y ® -1 + 4 z}}

x = -3t + 1, y = 4t - 1, z = t, t Î — .



[31]

A = {{1,1,h},{1,1,2},{2,-h,4}}; X = {x,y,z}; B = {2h,-1,-2};

Reduce[A.X == B,X]

h == -2&&x ==1

2(-5 - 2 y)&&z ==

3

4||

x == -5 h

-2 + h&&y == 0&&z ==

1 + 2 h

-2 + h&& - 2 + h ¹ 0&&2 + h ¹ 0

Se h /Î {-2, 2} : x =5h

2 - h, y = 0, z =

-1 - 2h2 - h

;

se h = -2: x = -52

- t, y = t, z =34

, t Î — ;

se h = 2: il sistema e incompatibile.

[32]

A = {{h,1,h},{2,-1,2},{3,3,h + 2}};

X = {x,y,z}; B = {-1,-h - 1,-h - 2};

Reduce[A.X == B,X]

h == -2&&x ==1

3(1 - 2 z)&&y ==

1

3(-1 + 2 z)||

h == 1&&x == -1 - z&&y == 0||x == 3&&y == -1 + h&&z == -4&& - 1 + h ¹ 0&&2 + h ¹ 0

Se h /Î {-2, 1} : x = 3, y = -1 + h, z = -4;

se h = -2: x = t, y = -t, z =1 - 3t

2, t Î — ;

se h = 1: x = -1 - Λ, y = 0, z = Λ, Λ Î — .

[33]

A = {{1,-a,1},{a,-2,3},{3,-2,a}}; B = {a,-1,5a}; X = {x,y,z};

Reduce[A.X == B,X]

a == 1&&x == 3 + z&&y == 2 (1 + z)||x == -2 (1 + 9 a)

-12 + a + a2&&

y == -1 +15

12 - 13 a + a3-

20 a

12 - 13 a + a3+

5 a2

12 - 13 a + a3&&

z == 5 -62

12 - 13 a + a3+

64 a

12 - 13 a + a3-

2 a2

12 - 13 a + a3&&

- 3 + a ¹ 0&& - 1 + a ¹ 0&&4 + a ¹ 0

Se a /Î {-4, 1, 3} : esiste una sola soluzione;

se a = -4: non esistono soluzioni;

se a = 1: x = 3 + t, y = 2(1 + t), z = t, t Î — ;

se a = 3: non esistono soluzioni.

[34]

A = {{2,a,0},{1,1,-1},{a,-1,1}}; B = {1,-2,2}; X = {x,y,z};

Reduce[A.X == B,X]

a == -1&&x ==1 + y

2&&z ==

1

2(5 + 3 y)||

x == 0&&y ==1

a&&z ==

1 + 2 a

a&&a ¹ 0&&1 + a ¹ 0

Se a /Î {-1, 0} : x = 0, y =1a

, z =1 + 2a

a;



se a = -1: x =1 + t

2, y = t, z =

12

(5 + 3t), t Î — ;

se a = 0: il sistema e incompatibile.

[35]

A = {{1,1,h - 1},{1,1,2},{2,-h + 1,(h - 1)ˆ2}};

B = {2h - 2,-1,-2}; X = {x,y,z};

Reduce[A.X == B,X]

h == -1&&x ==1

2(-5 - 2 y)&&z ==

3

4||

x == -2 (-1 - h + h2)

-3 + h&&y == -1 + 2 h&&z ==

-1 + 2 h

-3 + h&& - 3 + h ¹ 0&&1 + h ¹ 0

Se h /Î {-1, 3} : x = -2(-1 - h + h2)

-3 + h, y = -1 + 2h, z =

-1 + 2h-3 + h

;

se h = -1: x =12

(-5 - 2t), y = t, z =34

, t Î — ;

se h = 3: il sistema e incompatibile.

[36]

A = {{1,2,-1},{-1,0,1},{1,4,-1}}; X = {x,y,z}; B = {0,1,0};

Reduce[A.X == B,X]

False

[37]

A = {{-h,1,1},{1,-1,0},{h,-2,-2}}; X = {x,y,z}; B = {2,-1,k};

Reduce[A.X == B,X]

h == 0&&k == -4&&y == 1 + x&&z == 1 - x||

x ==-4 - k

h&&y ==

-4 + h - k

h&&z ==

4 - 3 h + k - h k

h&&h ¹ 0

Se h ¹ 0, "k Î — : esiste una sola soluzione;

se h = 0, k ¹ -4: non esistono soluzioni;

se h = 0, k = -4: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera.



[38]

A = {{1,2,1},{1,2 - h,2 + h},{1,2 + 3h,-2h}};

X = {x1,x2,x3}; B = {1,2,k};

Reduce[A.X == B,X]

h == -2&&k == -2&&x1 == -2 (-1 + 2 x2)&&x3 == -1 + 2 x2||

h == 0&&k == 0&&x1 == -2 x2&&x3 == 1||x1 ==-2 h + h2 - 2 k - 3 h k

2 h + h2&&

x2 ==h + k + h k

h (2 + h)&&x3 ==

2 + k

2 + h&&h ¹ 0&&2 + h ¹ 0

Se h /Î {-2, 0}, "k Î — : esiste una sola soluzione;

se h = k = -2: esitono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se h = -2, k ¹ -2: non esistono soluzioni;

se h = k = 0: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se h = 0, k ¹ 0: non esistono soluzioni.

[39]

A = {{2,-1,-1},{2 - h,2 + h,-1},{2 + 3h,-2h,-1}};

X = {x1,x2,x3}; B = {0,1,k};

Reduce[A.X == B,X]

h == -10&&k == -3&&x2 ==1

7(-1 + 10 x1)&&x3 ==

1

7(1 + 4 x1)||

h == 0&&k ==1

3&&x2 ==

1

3&&x3 ==

1

3(-1 + 6 x1)||

x1 ==-1 + 2 h + 3 k + h k

h (10 + h)&&x2 ==

3 + k

10 + h&&

x3 ==-2 + h + 6 k + h k

h (10 + h)&&h ¹ 0&&10 + h ¹ 0


se h = -10, k = -3: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se h = -10, k ¹ -3: non esistono soluzioni;

se h = 0, k =13

: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se h = 0, k ¹13

: non esistono soluzioni.

[40]

A = {{2,-1,-1},{2 - h,2 + h,-1},{2 + 3h,-2h,-1}};

X = {x1,x2,x3}; B = {0,0,k};

Reduce[A.X == B,X]

h == -10&&k == 0&&x2 ==10 x1

7&&x3 ==

4 x1

7||

h == 0&&k == 0&&x2 == 0&&x3 == 2 x1||

x1 ==(3 + h) k

10 h + h2&&x2 ==

k

10 + h&&x3 ==

(6 + h) k

10 h + h2&&h ¹ 0&&10 + h ¹ 0


se h = -10, k = 0: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se h = -10, k ¹ 0: non esistono soluzioni;

se h = 0, k = 0: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se h = 0, k ¹ 0: non esistono soluzioni.



[41]

A = {{1,1,1},{1,-k,1},{-1,k,1}}; X = {x1,x2,x3}; B = {k,-1,k};

Reduce[A.X == B,X]

k == -1&&x1 == -x2&&x3 == -1||

x1 ==1

2(-1 + k)&&x2 == 1&&x3 ==

1

2(-1 + k)&&1 + k ¹ 0

Se k ¹ -1: x1 =12

(-1 + k), x2 = 1, x3 =12

(-1 + k) ;

se k = -1: x1 = -t, x2 = t, x3 = -1, t Î — .


Capitolo 11

Soluzioni - Matrici e determinanti

[1]

A = {{1,2,0},{-1,2,2},{1,-1,-1}};

Det[A]

2

MatrixForm[Inverse[A]]

æçççççççè

0 1 21

2-1

2-1

-1

2

3

22

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

det A = 2, A-1 =

æççççççççççççççççççè

0 1 2

12

-12

-1

-12

32

2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[2]

A = {{1,3,-1},{2,1,-1},{2,-1,0}};

Det[A]

-3


æçççççççè

1

3-1

3

2

32

3-2

3

1

34

3-7

3

5

3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

det A = -3, A-1 =

æçççççççççççççççççççççè

13

-13

23

23

-23

13

43

-73

53

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

102

Capitolo 11 – Soluzioni - Matrici e determinanti 103

[3]

A = {{1,2,3},{0,1,2},{-1,4,h}};

Solve[Det[A] == 0]

{{h ® 9}}


æçççççççè

-8 + h

-9 + h

12 - 2 h

-9 + h

1

-9 + h-

2

-9 + h

3 + h

-9 + h-

2

-9 + h1

-9 + h-

6

-9 + h

1

-9 + h

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Esiste A-1 per ogni h ¹ 9;

A-1 =


-8 + h-9 + h

12 - 2h-9 + h

1-9 + h

-2-9 + h

3 + h-9 + h

-2-9 + h

1-9 + h

-6-9 + h

1-9 + h

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[4]

A = {{1,-3,1,2},{h,0,0,0},{1,-1,0,0},{0,0,0,h}};

Solve[Det[A] == 0]

{{h ® 0},{h ® 0}}


æçççççççè

01

h0 0

01

h-1 0

12

h-3 -

2

h0 0 0

1

h

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Esiste A-1 per ogni h ¹ 0;

A-1 =

æçççççççççççççççççççççççççççççççè

01h

0 0

01h

-1 0

12h

-3-2h

0 0 01h

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[5]

A = {{1,2,1,1},{2,1,0,0},{0,1,1,h},{3,2,1,1}};

Solve[Det[A] == 0]

{{h ® 1}}

MatrixForm[Inverse[A/.h ® 0]]

æçççççççè

-1

20 0

1

21 1 0 -1

-1 -1 1 11

2-1 -1

1

2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) Esiste A-1 per ogni h ¹ 1;

ii) A-1 =

æççççççççççççççççççççççççççè

-12

0 012

1 1 0 -1

-1 -1 1 1

12

-1 -112

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[6]

A = {{0,h,1,0},{0,1,2,1},{h + 1,0,0,0},{0,2,1,3}};

Solve[Det[A] == 0]

:{h ® -1},:h ®1

5>>

A e invertibile per h /Î ;-1,15

?.

[7]

A = {{0,2,-1,-3},{4,1,0,0},{2,-1,1,0},{1,0,-2,0}};

Det[A]

39

det A = 39.

[8]

A = {{1,2,3,4,-1},{5,-2,6,0,-1},{2,-3,4,-1,7},{0,1,2,3,4},{1,-1,0,0,0}};

Det[A]

93

det A = 93.

[9]

A = {{0,0,0,1,2},{1,3,2,-1,0},{4,3,2,1,5},{1,-1,2,1,3},{0,2,3,-1,4}};

Det[A]

99

det A = 99.



[10]

A = {{1,-2,3,-4},{-2,3,-4,1},{3,-4,1,-2},{-4,1,-2,3}};

Det[A]

160

det A = 160.

[11]

A = {{k + 1,k + 2,k + 3},{1,2,3},{1 - 2k,2 - 2k,3 - 2k}};

Det[A]

0

det A = 0.

[12]

A = {{x,x - 1,x - 2},{1 - x,2 - x,3 - x},{4,5,6}};

Det[A]

0

det A = 0.

[13]

A = {{1,1,0},{1,0,-1},{0,-1,aˆ2 - 2}};

X = {x1,x2,x3}; B = {2,3,a};

Reduce[A.X == B,X]

a == 1&&x1 == 3 + x3&&x2 == -1 - x3||

x1 ==4 + 3 a

1 + a&&x2 ==

-2 - a

1 + a&&x3 ==

1

1 + a&& - 1 + a ¹ 0&&1 + a ¹ 0

Se a /Î {-1, 1} : esiste una sola soluzione;



[14]

A = {{2,-3,1},{1,aˆ2 - 14,4},{-1,5,3}};

X = {x1,x2,x3}; B = {4,a + 2,2};

Reduce[A.X == B,X]

a == 4&&x1 ==2

7(5 + 7 x2)&&x3 ==

1

7(8 - 7 x2)||

x1 ==2 (27 + 5 a)

7 (4 + a)&&x2 ==

1

4 + a&&x3 ==

25 + 8 a

7 (4 + a)&& - 4 + a ¹ 0&&4 + a ¹ 0

Se a ¹ ±4: esiste una sola soluzione;





[15]

A = {{2,-3,-2,1},{4,-6,1,-2},{6,-9,-1,-1}};

X = {x1,x2,x3,x4}; B1 = {1,2,0};B2 = {1,2,3}; B3 = {0,0,0};

Reduce[A.X == B1,X]

False

Reduce[A.X == B2,X]

x1 ==1

10(5 + 15 x2 + 3 x4)&&x3 ==

4 x4

5

Reduce[A.X == B3,X]

x1 ==3

10(5 x2 + x4)&&x3 ==

4 x4

5

AX = B1 e incompatibile, AX = B2 ammette infinite soluzioni (non nulle) che dipendono da due incognite libere:

X =


32

1

0

0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

Λ1 +

æçççççççççççççççççççççççè

310

0

45

1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

Λ2 +


12

0

0

0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, Λ1, Λ2 Î —.

AX = B3 ammette infinite soluzioni (compresa la soluzione nulla) che dipendono da due incognite libere:

X =


32

1

0

0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

Λ1 +


310

0

45

1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

Λ2, Λ1, Λ2 Î —.

[16]

Reduce[{{-1,2h,3 - 2hˆ2},{1,h,2},{-1,h,1 - hˆ2}}.{x1,x2,x3} ==

{2h,1,h},{x1,x2,x3}]

h == 1&&x1 == -x3&&x2 == 1 - x3||

x1 ==1

1 + h&&x2 ==

2 + h

h (1 + h)&&x3 ==

1

-1 - h&& - 1 + h ¹ 0&&h ¹ 0&&1 + h ¹ 0

Se h /Î {-1, 0, 1} : x1 =1

1 + h, x2 =

2 + hh(1 + h)

, x3 =1

-1 - h;

se h = 1: x1 = -t, x2 = 1 - t, x3 = t, t Î — .

se h = -1 e h = 0 il sistema e incompatibile.

[17]

a = {{1,2},{0,1},{3,5},{0,h}}; b = {{3,1},{-1,2},{k,0}};

x = {{x1,x2,x3,x4},{x5,x6,x7,x8},{x9,x10,x11,x12}};

Reduce[Transpose[a].Transpose[x] == Transpose[b]]

k == 3 x11 + x9&&x1 == -3 (-1 + x3)&&x10 == -5 x11 - h x12 - 2 x9&&x2 == -5 + x3 - h x4&&x5 == -1 - 3 x7&&x6 == 4 + x7 - h x8



X =æççççççè

3 - 3a -5 + a - hd a d-1 - 3b 4 + b - he b ek - 3c -2k + c - h f c f

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a, b, c, d, e, f , h, k Î — .

[18]

a = {{1,2,3},{-1,h,2h}};

b = {{0,1,-1},{-2,1,0},{-3,0,k},{0,0,k}};

x = {{x1,x2},{x3,x4},{x5,x6}};

Reduce[Transpose[a].Transpose[x] == Transpose[b]]

False

L’equazione matriciale e incompatibile, per ogni h, k Î — .

[19]

a = {{5,1,0},{3,0,1},{4,-1,3}};

b = {{2,1},{2,0},{h,k}}; x = {{x1,x2},{x3,x4},{x5,x6}};

Reduce[a.x == b]

h == 4&&k == -1&&x3 == 2 - 5 x1&&x4 == 1 - 5 x2&&x5 == 2 - 3 x1&&x6 == -3 x2

Se h ¹ 4 o k ¹ -1: non esistono soluzioni;

se h = 4 e k = -1: l’equazione matriciale ha infinite soluzioni che dipendono da un vettore libero:

X =æççççççè

a b2 - 5a 1 - 5b2 - 3a -3b

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a, b Î — .

[20]

a = {{l,1,-1},{0,2,1},{0,1,l}};

b = {{l,1},{0,1},{l + 2,0}};x = {{x1,x2},{x3,x4},{x5,x6}};

Reduce[a.x == b]

x1 ==2 (3 + l + l2)

l (-1 + 2 l)&&x2 ==

-2 + l

l (-1 + 2 l)&&

x3 ==-2 - l

-1 + 2 l&&x4 ==

l

-1 + 2 l&&x5 ==

2 (2 + l)

-1 + 2 l&&x6 ==

1

1 - 2 l

Se Λ Î ;0,12

? : non esistono soluzioni;

se Λ /Î ;0,12

?: allora X =

æççççççççççççççççççççççè

-2(Λ2 + Λ + 3)

Λ(1 - 2Λ)

2 - Λ

Λ(1 - 2Λ)

Λ + 21 - 2Λ

-Λ

1 - 2Λ

-2(Λ + 2)

1 - 2Λ

11 - 2Λ

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[21]

a = {{l,1},{1,2},{-1,l}};

b = {{l,1},{0,0},{l + 2,0}}; x = {{x1,x2},{x3,x4}};

Reduce[a.x == b]

l == -2&&x1 ==4

5&&x2 == -

2

5&&x3 == -

2

5&&x4 ==

1

5

Se Λ ¹ -2: non esistono soluzioni;



se Λ = -2: X =

æçççççççççççè

45

-25

-25

15

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[22]

a = {{3,-1},{1,2},{2,h}}; b = {{1,1,-1},{0,1,3},{0,k,h + k}};

x = {{x1,x2,x3},{x4,x5,x6}};

Reduce[a.x == b]

h == 4&&k == 2&&x1 ==2

7&&x2 ==

3

7&&

x3 ==1

7&&x4 == -

1

7&&x5 ==

2

7&&x6 ==

10

7

Se h ¹ 4 o k ¹ 2: l’equazione matriciale AX = B e incompatibile;

se h = 4 e k = 2: X =17

K 2 3 1-1 2 10 O.

L’equazione X ¢A = B e priva di significato.

[23]

a = {{2,-1},{h,2},{1,0}}; b = {{3,-1,k},{-2,0,-3},{4,-k,1}};

x = {{x1,x2,x3},{x4,x5,x6}};

Reduce[a.x == b]

h == -3&&k == 2&&x1 == 4&&x2 == -2&&x3 == 1&&x4 == 5&&x5 == -3&&x6 == 0

Se h ¹ -3 o k ¹ 2: l’equazione matriciale e incompatibile;

se h = -3 e k = 2: X = K 4 -2 15 -3 0 O .

[24]

a = {{1,2,1,-3},{0,3,1,5},{1,l,0,-8}};

b = {{2,1},{0,1},{m - 3,0}};

x = {{x1,x2},{x3,x4},{x5,x6},{x7,x8}};

Reduce[a.x == b]

l == -1&&m == 5&&x1 == 2 + x3 + 8 x7&&x2 == x4 + 8 x8&&x5 == -3 x3 - 5 x7&&x6 == 1 - 3 x4 - 5 x8||

m == 5 + x3 + l x3&&x1 == 2 + x3 + 8 x7&&x2 == 8 x8&&x4 == 0&&x5 == -3 x3 - 5 x7&&x6 == 1 - 5 x8&&1 + l ¹ 0

Se Λ ¹ -1: l’equazione matriciale ammette infinite soluzioni che dipendono da un vettore libero:

X4 = (a, b), a, b Î — ;

se Λ = -1, Μ ¹ 5: non esistono soluzioni;

se Λ = -1, Μ = 5: esistono infinite soluzioni che dipendono da due vettori liberi:

X4 = (a, b), X3 = (c, d), a, b, c, d Î — .



[25]

a = {{1,-1,2,3},{-1,0,5,6},{3,h,-1,0}};

b = {{1,-1},{5,-3},{k,-1}};

x = {{x1,x2},{x3,x4},{x5,x6},{x7,x8}};

Reduce[a.x == b]

k == -3 + 2 x3 + h x3&&x1 ==1

3(-3 + 2 x3 + x5)&&x2 ==

1

3J1 -

4

2 + h+ x6N&&

x4 == -2

2 + h&&x7 ==

1

9(6 + x3 - 7 x5)&&x8 ==

1

9J - 4 -

2

2 + h- 7 x6N

Se h = -2: non esistono soluzioni; se h ¹ -2: esistono infinite soluzioni che dipendono da un vettore libero:X4 = (a, b), a, b Î — .

[26]

A = {{1,1},{2,k},{-1,h}};

B = {{0,-1},{1,1},{0,k}}; X = {{x1,x2},{x3,x4}};

Reduce[A.X == B]

h == -1&&k == 1&&x1 == 1&&x2 == 2&&x3 == -1&&x4 == -3

Se h = -1 e k = 1: X = K 1 2-1 -3 O; in tutti gli altri casi non esistono soluzioni.

[27]

A = {{1,1},{h,-1},{1 + k,3}};

B = {{-1,0},{k,0},{0,1}}; X = {{x1,x2},{x3,x4}};

Reduce[A.X == B,{x1,x2,x3,x4}]

h == -1&&k == 1&&x1 == -3&&x2 == -1&&x3 == 2&&x4 == 1

Se h = -1 e k = 1: X = K -3 -12 1 O; in tutti gli altri casi non esistono soluzioni.

[28]

A = {{1,0,-1},{2,1,3},{-4,h,k}};

B = {{1,-3},{1,0},{3h,-6}}; X = {{x1,x2},{x3,x4},{x5,x6}};

Reduce[A.X == B,{x1,x2,x3,x4,x5,x6}]

x1 ==h - k

4 + 5 h - k&&x2 == -

3 (-2 + 3 h - k)

4 + 5 h - k&&

x3 ==16 + 15 h + k

4 + 5 h - k&&x4 == -

6 (11 + k)

4 + 5 h - k&&x5 == -

4 (1 + h)

4 + 5 h - k&&

x6 ==6 (3 + h)

4 + 5 h - k&&3 + h ¹ 0&& - 4 - 5 h + k ¹ 0||

h == -3&&x1 ==3 + k

11 + k&&x2 == -3&&x3 ==

29 - k

11 + k&&x4 == 6&&

x5 == -8

11 + k&&x6 == 0&&11 + k ¹ 0&& - 4 - 5 h + k ¹ 0

X ¢A = B non ha senso.

AX = B ammette una soluzione se -4 - 5h + k ¹ 0, allora:

X =


h - k4 + 5h - k

-3(-2 + 3h - k)

4 + 5h - k

16 + 15h + k4 + 5h - k

-6(11 + k)

4 + 5h - k

-4(1 + h)

4 + 5h - k6(3 + h)

4 + 5h - k

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



In tutti gli altri casi l’equazione e incompatibile.

[29] X =æççççççè

5Λ1 - 6 5Λ2 + 7 5Λ3 - 7 5Λ4 - 9-9Λ1 - 14 -9Λ2 - 9 -9Λ3 - 22 -9Λ4 - 19

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4

ö÷÷÷÷÷÷ø

, Λ1, Λ2, Λ3, Λ4 Î — .


Capitolo 12

Soluzioni - Calcolo vettoriale

<<Graphics‘Shapes‘;

ConeRadius=0.1;

Arrow3D[

{x1_,y1_,z1_},

{x2_,y2_,z2_},

nome_String]:=

Block[

{dx,dy,dz,rho,rhoxy,g,g1,g2,g3,l,theta,psi},

CompoundExpression[

dx =x2-x1;

dy =y2-y1;

dz =z2-z1;

rho = Sqrt[dxˆ2+dyˆ2+dzˆ2];

rhoxy = Sqrt[dxˆ2+dyˆ2];

(* Calcoliamo ora gli angoli di Eulero *)

theta = If[rho==0,0,ArcCos[dz/rho]];

psi = If[rhoxy==0,

0,

If[dx>=0,

ArcCos[dy/rhoxy],

2Pi-ArcCos[dy/rhoxy]]];

g =Graphics3D[Cone[ConeRadius,ConeRadius,10]];

g1 = TranslateShape[g,{0,0,rho-ConeRadius}];

g2=RotateShape[g1,0,theta,psi];

g3 = TranslateShape[g2,{x1,y1,z1}];

l = Graphics3D[{Thickness[0.005],

Text[StyleForm[nome,

FontSize->24,

FontWeight->"Bold"],

{x2,y2,z2}],

Line[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2}}]}];

{l,g3}]];

Arrow3D[{x1_,y1_,z1_},{x2_,y2_,z2_}]:=Arrow3D[{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},""];

Arrow3D[{x2_,y2_,z2_},nome_String]:=Arrow3D[{0,0,0},{x2,y2,z2},nome];

Arrow3D[{x2_,y2_,z2_}]:=Arrow3D[{0,0,0},{x2,y2,z2},""];

Programma scritto dal prof. Stefano Berardi per la rappresentazionne grafica dei vettori nello spazio.

111


[1]

a = {h,-1,3}; b = {1,-h,k}; c = {-2,0,k}; X = {x,y,z};

Reduce[Cross[a,X] + Cross[X,b] == c,X]

h == 1&&k == 0&&x == 0&&y ==2

3||

- 3 k + k2 == 2 - 2 h&&x ==k z

2&&y ==

1

2k J 2

-1 + h+ zN&& - 1 + h ¹ 0

Se k = h - 1: � = K h - 12

Λ, 1 +h - 1

2Λ, ΛO , Λ Î — ;

se k ¹ h - 1: non esistono soluzioni.

[2]�

ß (

�ß � ) = -ü

�ü2 � ;

�× (

�ß � ) = � .

[3]

a = {1,2,0}; b = {0,1,1};

ab = Cross[a,b]

{2,-1,1}

c = Cross[a,Cross[a,b]]

{2,-1,-5}

Show[Arrow3D[a,a],Arrow3D[b,b],Arrow3D[ab,aˆb],Arrow3D[c,aˆ(aˆb)]]

ab

a^b

a^Ha^bL-Graphics3D-


Capitolo 12 – Soluzioni - Calcolo vettoriale 113

B¢ = (

�,

�ß � ,

�ß (

�ß � ) , per esempio.

[4]

a = {1,2,0}; b = {0,1,1};

a.b

2

<< LinearAlgebra‘Orthogonalization‘

v1 = b - Projection[b,a]

: -2

5,1

5,1>

v2 = a - Projection[a,b]

{1,1,-1}

Show[Arrow3D[a,a],Arrow3D[b,b],Arrow3D[v1,v1],Arrow3D[v2,v2]]

a

bv1

v2

-Graphics3D-

i) No;

ii) � 1 = (±1, ±1, ¡1), � 2 = K¡ 25

, ±15

, ±1O.



[5]

a = {1,1,0}; b = {2,0,1};

a.a - b.b

-3


b1 = Normalize[a] + Normalize[b]

: 102

+205,

102,

105

>b2 = Normalize[a] - Normalize[b]

: 102

-205,

102,-

105

>

Show[Arrow3D[a,a],Arrow3D[b,b],Arrow3D[b1,b1],Arrow3D[b2,b2],ViewPoint- > {0.499, -2.226, 0.084}]

a

b

b1

b2

-Graphics3D-

i) No;

ii) K 102

±205

,102

, ±105

O.

[6]

a = {1,0,-2}; b = {0,1,-1};

c = Cross[a,b]

{2,1,1}

Cross[a,c]

{2,-5,1}

B = (

�, � = (2, 1, 1),

�ß � ) .



[7]

a = {1,3,h};b = {-1,5,0}; c = {1,-2,-1}; X = {x,y,z};

Reduce[{Cross[a,c].X == 0,Cross[b,c].X == 0,X.c/c.c == -1},X]

h == -8

3&&x ==

1

8(-18 + 5 y)&&z ==

1

8(30 - 11 y)||

x == -1&&y == 2&&z == 1&&8 + 3 h ¹ 0

Se h ¹ -83

esiste una sola soluzione;

se h = -83

esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera.

[8]

u = {2,1,3};v = {0,2,3};


x = 2Projection[u,v] - u

: - 2,31

13,27

13>

Show[Arrow3D[u,u],Arrow3D[v,v],Arrow3D[x,x]]

u

vx

-Graphics3D-

� = K-2,3113

,2713

O .



[9]

u = {2,1,3}; v = {0,2,3};


Normalize[u] + Normalize[v]

:2

2

7,

2013

+1014

,3013

+3014

>Normalize[u] - Normalize[v]

:2

2

7,-

2013

+1014

,-3013

+3014

>

� =æçççè

0147

,13

014 ± 28

013

182,

390

14 ± 420

13182

ö÷÷÷ø

.



[10]

a = {1,2,3}; b = {-1,3,-1}; c = {0,1,1}; x = {x1,x2,x3};

Solve[2 (x.a) b + Cross[x,b] == c, x]

::x1 ®5

11,x2 ® -

2

11,x3 ® 0>>

Show[Arrow3D[a,a],Arrow3D[b,b],Arrow3D[c,c],Arrow3D[{5/11,-2/11,0},x],ViewPoint- > {0.09, -2.28, -0.02}]

a

b

c

x

-Graphics3D-

� = K 511

, -211

, 0O .

[11] (

�+ � - � ) × (

�- � + � ) ß (-

�+ � + � ) = -4

�× � ß � .



[12]

Show[Arrow3D[{1,1,1},u],Arrow3D[{1,0,0},v],Arrow3D[{1/3,1/3,1/3}],Arrow3D[{2/3,-1/3,-1/3}]]

u

v

-Graphics3D-

� =13

� + K 23

, -13

, -13

O .

[13] Usare le definizioni e le identita trigonometriche.

[14]

u = {2,2,-2}; v = {1,0,1};

m = {u,v,Cross[u,v]}

{{2,2,-2},{1,0,1},{2,-4,-2}}

LinearSolve[Transpose[m],{1,-3,2}]

: -2

3,3

2,

5

12>

� = -23

� +32

� +512

( � ß � ).

[15]

u = {1,0,-1}; v = {1,1,0};x = {x1,x2,x3};

Solve[{Det[{u,v,x}] == 0,x.(u + v) == 0,x.x == 1},x]

::x1 ® 0,x2 ® -102,x3 ® -

102

>,:x1 ® 0,x2 ®102,x3 ®

102

>>

� =æçççè0, ±

02

2, ±

02

2

ö÷÷÷ø.



[16]

u = {1,-2,-1}; v = {1,1,-1}; x = {x1,x2,x3};

u.v

0

Solve[{Cross[u,x] == v},x]


{{x1 ® -1 - x3,x2 ® 1 + 2 x3}}

Show[Arrow3D[u,u],Arrow3D[v,v],Arrow3D[{-1,1,0},x],Arrow3D[{-2,3,1},x],Arrow3D[{0,-1,-1},x],Arrow3D[{-3,5,2},x],ViewPoint- > {1.88, 0.09, -0.02}]

u v

x

x

x

x

-Graphics3D-

� = (-1 - Λ, 1 + 2Λ, Λ), Λ Î — .



[17]

Show[Arrow3D[{1,1,0},u],Arrow3D[{0,1,1},v],Arrow3D[{3,7,4},a],Arrow3D[{4,6,5},x],Arrow3D[{2,8,3},x],Arrow3D[{6,4,7},x]]

uv

axx x

-Graphics3D-

� = (3 + Λ, 7 - Λ, 4 + Λ), Λ Î — .

[18]

u = {1,-1,h}; v = {2,0,h}; w = {-2,1,0}; x = {x1,x2,x3};

Reduce[{x.u == 0,x.v/v.v == 2, Det[{x,v,w}] == 48}, x]

h == -2&&x1 == 8 + x3&&x2 == 8 - x3||

x1 ==4 (-2 + 7 h - 2 h2 + h3)

-2 + h&&x2 == -

2 (4 + 10 h - 2 h2 + h3)

-2 + h&&

x3 == -6 (8 - 2 h + h2)

-2 + h&& - 2 + h ¹ 0&&2 + h ¹ 0&&4 + h2 ¹ 0

Se h ¹ ±2 esiste un solo vettore � ,

se h = 2 non esistono vettori � ,

se h = -2 esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera.



[19]

a = {1,0,-1}; b = {2,1,2};X = {x,y,z};

Solve[{Cross[a,X] .Cross[a,X] == 36,Cross[a,b] == X},X]

{{y ® -4,x ® 1,z ® 1}}

LinearSolve[Transpose[{a,b,{1,-4,1}}],{4,-1,3}]

:12,13

9,11

18>

i) � = (1, -4, 1) . ii) � = K 12

,139

,1118

O.

[20]

a = {2,1,1}; b = {0,1,1};x = {2,0,4};

LinearSolve[Transpose[{a,b,x}],{4,-1,3}]

{1,-2,1}

i) � =

�+ � + Λ(

�ß � ), Λ Î — .

ii) � =

�- 2 � + � , se � = (2, 0, 4) .

[21]

x = {1,-1,2l}; y = {l,l,-2}; z = {1,0,0};

Solve[Det[{x,y,z}] == 0,l]

{{l ® -1},{l ® 1}}


Solve[Cross[Normalize[y] + Normalize[z], x] == {0,0,0},l]

{}

Solve[Cross[Normalize[y] - Normalize[z], x] == {0,0,0},l]

{}

i) Λ = ±1. ii) No.

[22]

a1 = {1,3,-2};a2 = {-2,a - 6,a + 4};

a3 = {-1,a - 3,aˆ2 + a + 1};b = {0,-2,a - 1};

Solve[Det[{a1,a2,a3}] == 0,a]

{{a ® -1},{a ® 0},{a ® 1}}

LinearSolve[Transpose[{a1,a2,a3}/. a ® 2],b/. a ® 2]

{-3,-2,1}

i) a /Î {-1, 0, 1} ; ii) � = -3�

1 - 2�

2 +

�3 .

[23]

u1 = {1,1,2};u2 = {2,-1,3}; u3 = {3,0,h};

Solve[Det[{u1,u2,u3}] == 0]

{{h ® 5}}

h ¹ 5.



[24]

u = {1,3,2};v = {-2,1,1};w = {t,0,-1};

RowReduce[{u,v}]

::1,0,-1

7>,:0,1, 5

7>>

Solve[Det[{u,v,w}] == 0]

{{t ® 7}}

Solve[(w/.t ® 7) == a u + b v,{a,b}]

{{a ® 1,b ® -3}}

t = 7; � = � - 3 � .

[25] dim(E1 È E ¢1) = 1, E1 È E ¢

1 = L(2�+ 3� - 3 � ) .

[26]

a = {0,1,2};b = {3,-1,1}; c = {-1,2,2};

p = c - (c. Cross[a,b])/(Cross[a,b].Cross[a,b]) Cross[a,b]

: -7

6,5

3,13

6>

Show[Arrow3D[a,a],Arrow3D[b,b],Arrow3D[c,c],Arrow3D[p,p],ViewPoint- > {1.63, 0.09, 3.59}]

a

b

cp

-Graphics3D-

-76

�+

53

� +136

� .



[27]

v1 = {-1,-2 - 2k,-2};v2 = {1,-2 + 2k,-2}; v3 = {4,-7 - k,8};

Solve[v3 == a v1 + b v2]

::a ® -4,b ® 0,k ® -5

3>>

i) k = -53

. ii) � 3 = -4 � 1 .

[28]

a = {1,2,1}; b = {2,-1,1}; c = {1,-1,0};

Det[{a,b,c}]

2


g = GramSchmidt[{a,b,c}]

:: 106,

22

3,

106

>,

: 110210

,-4

22

105,

25

42>,: 30

35,

1035

,-

25

7>>

Show[Arrow3D[a, a],Arrow3D[b,b],Arrow3D[c,c],Arrow3D[g[[1]]],Arrow3D[g[[2]]],Arrow3D[g[[3]]]]

a

b

c

-Graphics3D-

ii) Per esempio: �

1 =æçççè

06

6,

06

3,

06

6

ö÷÷÷ø

; �

2 =10210

(-11, 8, -5), �

3 = �

1 ß �

2 .



[29]

u = {1,0,-h}; v = {0,h,-1}; w = {h,2h,-1};


{{h ® 0},{h ® -ä},{h ® ä}}

Solve[Cross[u,v] == {0,0,0}]

{}

Solve[{u.v == 0,u.w == 0,v.w == 0}]

{}

(u - (u.Cross[v,w])/(Cross[v,w].Cross[v,w])Cross[v,w])/.h ® 2

:16,5

6,-

1

3>

i) h = 0. ii) No. iii) No. iv) K 16

,56

, -13

O.

[30]

u = {1,-1,0}; v = {1,0,1}; X = {x,y,z};

Solve[{X.u == 0,X.v == 0, X.X == 1},X]

::y ® -103,z ®

103,x ® -

103

>,:y ®103,z ® -

103,x ®

103

>>

103

(-�- � + � ) .

[31]

u = {2h,-1,h}; v = {h,-1,0}; w = {1,-h,0};


{{h ® -1},{h ® 0},{h ® 1}}

Solve[Cross[u,v] == 0]

{{h ® 0},{h ® 0}}

i) h = 0, h = ±1. ii) h = 0.

[32]

a = {2,2,h}; b = {1,-1,2h};

Solve[Cross[a,b].Cross[a,b] == 56]

::h ® -2

25

17>,:h ® 2

25

17>>

Solve[a.b == 0]

{{h ® 0},{h ® 0}}

Solve[Cross[a,b] == 0]

{}

i) h = ±2

25

17.

ii) Si per h = 0, no perche le loro proiezioni ortogonali sul piano vettoriale individuato da�

e da � sono ortogonali.



[33]

u = {1,0,1}; v = {0,1,1}; X = {x,y,z};

Solve[{X.Cross[u,v] == 0, X.u == 0, X.X == 2},X]

::y ® -203,x ®

103,z ® -

103

>,:y ®203,x ® -

103,z ®

103

>>LinearSolve[Transpose[{u,v,Cross[u,v]}],{1,0,0}]

:23,-

1

3,-

1

3>

i) ±

03

3(1, -2, -1) . ii) K 2

3, -

13

, -13

O.

[34]

u = {1,2,-1}; v = {1,0,2}; w = {-t,t,t + 2};w¢= {x,y,z};


::t ® -4

9>>

Solve[w == a u + b v]

::a ® -2

9,b ®

2

3,t ® -

4

9>>

Solve[{t == -1,w¢.u == 0,w¢.v == 0,w¢.w¢== w.w},w¢

]

::y ® -3

23

29,x ® 4

23

29,z ® -2

23

29>,

:y ® 3

23

29,x ® -4

23

29,z ® 2

23

29>>

i) t = -49

, � = -29

� +23

� .

ii) � ¢ =æçççè

40

3029

, -30

3029

, -20

3029

ö÷÷÷ø

[35] Se ü � ü2 = ü � ü2 , dalla definizione di norma e dalle proprieta del prodotto scalare, segue:

( � + � ) × ( � - � ) = 0. Il viceversa si ottiene in modo analogo.

[36] Si assume che ü � ü2 = ü � ü2 . Dalla formula del prodotto scalare, segue:

cos( � , � + � ) = cos( � , � + � ) e cos( � , � - � ) = cos( � , � - � ) .



[37]

u = {l,-l,1};v = {1,2,1};w = {l,-1,l};


::l ®1

4J1 -

0249N>,:l ®

1

4J1 +

0249N>>

A = Solve[Det[{u,v,w}] == 0]

::l ® -1

2>,{l ® 1}>

v.w/.A[[1]]

-3

v.w/.A[[2]]

0

l = 2;

Det[{u,v,w}]

5

LinearSolve[Transpose[{u,v,w}],{0,1,0}]

:0, 2

5,-

1

5>

i) Λ =1 ±

0249

4.

ii) Λ = -12

.

iii) � =25

� -15

� .

[38]

a = {t,-1,3}; b = {1,-2,1};c = {1,-1,-1};

d = {1,3,-t};x = {x1,x2,x3};

Reduce[{Det[{x,a,b}] == 0,Cross[x,c] == d},x]

t == 2&&x1 == 1&&x2 == 1&&x3 == 2

Α = 2, � = (1, 1, 2) .


Capitolo 13

Soluzioni - Sottospazi vettoriali

Base[L ] :=

If[Not[MatrixQ[L]],Print[

L¢argomento non e una lista di vettori di uguale dimensione],base = {};

{l,dim} = Dimensions[L];

zeros = Table[0,{dim}];

Print[Vett.Base];

Do[ {nuovabase = Append[base,L[[i]]],If[Last[RowReduce[nuovabase]] ¹ zeros,base = nuovabase],

Print[i, ,base] },{i,l}];

Print[Risultato];base]

Questo programma, scritto dal prof. Stefano Berardi, permette, dato un insieme di vettori dello stesso spaziovettoriale, di estrarne una base, usando il metodo degli scarti successivi.

[1]

m = {{1,1,2},{2,-1,3},{3,0,h}};

Solve[Det[m] == 0, h]

{{h ® 5}}

h ¹ 5.

127


[2]

u1 = {1,-1,0,1};u2 = {2,1,1,0};u3 = {3,0,1,1};u4 = {0,1,-1,0};

L = {u1,u2,u3,u4};

B = Base[L]

Vett.Base

1 {{1,-1,0,1}}

2 {{1,-1,0,1},{2,1,1,0}}

3 {{1,-1,0,1},{2,1,1,0}}

4 {{1,-1,0,1},{2,1,1,0},{0,1,-1,0}}

Risultato

{{1,-1,0,1},{2,1,1,0},{0,1,-1,0}}

Solve[Det[A = {u1,u2,u4,{1,-1,2t - 8,t + 1}}] == 0]

{{t ® 2}}

v = A[[4]]/.t ® 2

{1,-1,-4,3}

LinearSolve[Transpose[{u1,u2,u4}], v]

{3,-1,3}

( �

1, �

2, �

4) , t = 2, (3, -1, 3) .

[3]

u = {1,3,2};v = {-2,1,1};w = {t,0,-1};

RowReduce[{u,v}]

::1,0,-1

7>,:0,1, 5

7>>

Solve[w == a u + b v,{t,a,b}]

{{t ® 7,a ® 1,b ® -3}}

t = 7, (1, -3) .

[4]

u1 = {1,1,-1};u2 = {2,-1,1};v1 = {1,2,-1};v2 = {-1,-1,2};

Reduce[x u1 + y u2 == z v1 + w v2,{x,y,z,w}]

x == -8 w

3&&y ==

w

3&&z == -w

-w v1 + w v2

{-2 w,-3 w,3 w}

dim(W1 È W2) = 1, W1 È W2 = L((2, 3, -3)) .


Capitolo 13 – Soluzioni - Sottospazi vettoriali 129

[5]

a = {2,0,1,0};b = {-1,1,0,1};c = {0,3,-1,-1};e = {1,1,5,4};

f = {0,3,-2,1};g = {2,7,-16,-5};v = {5,-h,1,h};

L = {a,b,c};

B = Base[L]

Vett.Base

1 {{2,0,1,0}}

2 {{2,0,1,0},{-1,1,0,1}}

3 {{2,0,1,0},{-1,1,0,1},{0,3,-1,-1}}

Risultato

{{2,0,1,0},{-1,1,0,1},{0,3,-1,-1}}

Solve[Det[{a,b,c,v}] == 0]

{{h ® -2}}

h = -2

Solve[v == x a + y b + z c,{x,y,z}]

-2

{{x ® 2,y ® -1,z ® 1}}

i) h = -2, (2, -1, 1) . ii) Per esempio: W3 = L((0, 1, 5, 0), (0, 0, 2, 0)).

[6] Per esempio: x + 2y - z + t = 0, y + z - t = 0.



[7]

Solve[{x + 2y == 0,2t == 0},{x,y,z,t}]


{{x ® -2 y,t ® 0}}

L =

{{1,2,0,1},{2,4,-1,1},{0,0,1,1},{1,2,4,5},{1,-1,0,5}};

B = Base[L]

Vett.Base

1 {{1,2,0,1}}

2 {{1,2,0,1},{2,4,-1,1}}

3 {{1,2,0,1},{2,4,-1,1}}

4 {{1,2,0,1},{2,4,-1,1}}

5 {{1,2,0,1},{2,4,-1,1},{1,-1,0,5}}

Risultato

{{1,2,0,1},{2,4,-1,1},{1,-1,0,5}}

A = {L[[1]],L[[2]],L[[5]],{-2,1,0,0},{0,0,1,0}};

RowReduce[A]

{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1},{0,0,0,0}}

B = x A[[1]] + y A[[2]] + z A[[3]]; F = t A[[4]] + w A[[5]];

Solve[B == F,{x,y,z,t,w}]


::x ®51 w

26,y ® -w,z ® -

5 w

26,t ®

3 w

26>>

F/.%

:: -3 w

13,3 w

26,w,0>>

Solve[{1,2,3,4} == B + F,{x,y,z,t}][[1]]

:x ®1

26(182 - 51 w),y ® -3 + w,z ®

5 w

26,t ®

3 w

26>

Simplify[B/.%]

:1 +3 w

13,2 -

3 w

26,3 - w,4>

Simplify[F/.%%]

: -3 w

13,3 w

26,w,0>

i) dim H = 2, H = L((-2, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 0)), dim K = 3,

K = L((1, 2, 0, 1), (2, 4, -1, 1), (1, -1, 0, 5)).

ii) H + K = —4 , dim(H È K) = 1, H È K = L((-6, 3, 26, 0)) .

iii) (1, 2, 3, 4) = K1 +3

13k, 2 -

326

k, 3 - k, 4O + K- 313

k,326

k, k, 0O , k Î — .

[8] dim S = 3, S = L KK 1 00 0 O , K 0 1

1 0 O , K 0 00 1 OO;

dim T = 3, T = L KK 1 00 -1 O , K 0 1

0 0 O , K 0 01 0 OO.



[9] K non e un sottospazio vettoriale. dim H = 2;

H = Læçççççè

æçççççè

1 0

212

ö÷÷÷÷÷ø

,æçççççè

0 1

-132

ö÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷ø

.

[10]

A := {{1,2,0,3},{-1,1,3,0},{0,0,1,1},{1,1,0,0}}

Det[A]

-9

i) dim H = 2, H = L((1, 2, 0, 3), (-1, 1, 3, 0)) .

ii) dim(H + K) = 4, H Å K .

[11]

m = {{1,2,-1,0},{1,0,2,-1},{0,2,-2,1},{4,1,-2,3}};

Det[m]

-13

LinearSolve[Transpose[m],{1,0,0,1}]

: -10

13,

7

13,

8

13,

4

13>

Solve[{x1 + 2x2 == 0,x1 + x4 == 0,x2 + 2x3 == 0},{x1,x2,x3,x4}]


::x1 ® -x4,x2 ®x4

2,x3 ® -

x4

4>>

i) A = -1013

A1 +7

13A2 +

813

A3 +4

13A4 .

ii) dim A = 3, A = L KK -2 10 0 O , K 0 0

1 0 O , K 0 00 1 OO;

dim B = 2, B = L KK -1 00 1 O , K 0 -2

1 0 OO ;

dim(A + B) = 4, A + B = L KK -2 10 0 O , K 0 0

1 0 O , K 0 00 1 O , K -1 0

0 1 OO ;

dim(A È B) = 1, A È B = L KK 4 -21 -4 OO .

[12] i) dim H = 2, H = L((2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1));

dim K = 3, K = L((0, 2, 1, -1), (1, -2, 1, 1), (1, 2, 7, 1)).

ii) dim(H + K) = 4, H + K = L((2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 2, 1, -1), (1, -2, 1, 1)).

[13] Sı.

[14] ii)�

= (0, 0, 0, 1) per esempio. iii) H �Í K .



[15]

Reduce[{x + y + z == 0,x + h y + (2 - h) z == 0,- x - hˆ2 y + (3h - 4) z == 0},{x,y,z}]

h == 1&&x == -y - z||h == 2&&x == -2 z&&y == z||x == 0&&y == 0&&z == 0&& - 2 + h ¹ 0&& - 1 + h ¹ 0

Se h /Î {1, 2} : W = {�} ;

se h = 1: W = L((-1, 1, 0), (-1, 0, 1)) ;

se h = 2, W = L((-2, 1, 1)) .

ii) Se h /Î {1, 2} : —3 ; se h = 1: L((1, 0, 0)) per esempio; se h = 2 L((0, 1, 2), (0, 0, 1)) per esempio.

[16] B =æççççççè

æççççççè

1 0 30 0 23 2 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 -1 2-1 1 02 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 5 20 2 -6

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 10 0 01 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 10 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[17]

A = {{6,-9},{4,-6}}; X = {{x1,x2},{x3,x4}};

Solve[A.X == X.A,{x1,x2,x3,x4}]


::x1 ® 3 x3 + x4,x2 ® -9 x3

4>>

Solve[A.X == -X.A,{x1,x2,x3,x4}]


::x1 ® -x4,x2 ®9 x3

4+ 3 x4>>

Solve[{A.X == X.A,A.X == -X.A},{x1,x2,x3,x4}]


::x1 ® -x4,x2 ®3 x4

2,x3 ® -

2 x4

3>>

A1 = {12,-9,4,0};A2 = {1,0,0,1};A3 = {0,9,4,0};

A4 = {-1,3,0,1};c = {0,h - 2,0,h - 3};

d = Solve[c == x A1 + y A2 + z A3 + w A4,{x,y,z,w,h}][[1]]


:x ® -1

6+w

6,y ® 2 - w,z ®

1

6-w

6,h ® 5>

Simplify[(x/.d[[1]]) A1 + (y/.d[[2]] )A2]

:w,-3

2(-1 + w),

2

3(-1 + w),2 - w>

Simplify[(z/.d[[3]])A3 + (w/.d[[4]])A4]

: - w,3 (1 + w)

2,-

2

3(-1 + w),w>

i) F = L KK 12 -94 0 O , K 1 0

0 1 OO , G = L KK 0 94 0 O , K -1 3

0 1 OO.

ii) F È G = L KK 6 -94 -6 OO,

F + G = L KK 12 -94 0 O , K 1 0

0 1 O , K -2 30 0 OO .



iii) h = -5, C1 =

æçççççççè

w -32

(-1 + w)

23

(-1 + w) 2 - w

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, C2 =

æçççççççè

-w32

(1 + w)

-23

(-1 + w) w

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, w Î — .

[18]

Solve[{x1 + 2x3 + x4 == 0,x3 - x4 == 0},{x1,x2,x3,x4}]


{{x1 ® -3 x4,x3 ® x4}}

a = {1,0,2,0}; b = {0,1,-1,1};c = {3,-2,8,-2};

L = {a,b,c}

B = Base[L]

{{1,0,2,0},{0,1,-1,1},{3,-2,8,-2}}

Vett.Base

1 {{1,0,2,0}}

2 {{1,0,2,0},{0,1,-1,1}}

3 {{1,0,2,0},{0,1,-1,1}}

Risultato

{{1,0,2,0},{0,1,-1,1}}

e = {0,1,2,1};f = {2,1,3,1};g = {1,-2,4,-2};

L1 = {e,f,g};

B1 = Base[L1]

Vett.Base

1 {{0,1,2,1}}

2 {{0,1,2,1},{2,1,3,1}}

3 {{0,1,2,1},{2,1,3,1},{1,-2,4,-2}}

Risultato

{{0,1,2,1},{2,1,3,1},{1,-2,4,-2}}

L2 = {a,b,e,f,g}

B2 = Base[L2]

{{1,0,2,0},{0,1,-1,1},{0,1,2,1},{2,1,3,1},{1,-2,4,-2}}

Vett.Base

1 {{1,0,2,0}}

2 {{1,0,2,0},{0,1,-1,1}}

3 {{1,0,2,0},{0,1,-1,1},{0,1,2,1}}

4 {{1,0,2,0},{0,1,-1,1},{0,1,2,1}}

5 {{1,0,2,0},{0,1,-1,1},{0,1,2,1}}

Risultato

{{1,0,2,0},{0,1,-1,1},{0,1,2,1}}

A = x {0,1,0,0} + y {-3,0,1,1} ;B = z e + t f + w g;

Solve[A == B,{x,y,z,t,w}]


{{x ® 15 w,y ® 15 w,z ® 40 w,t ® -23 w}}

A/.%

{{-45 w,15 w,15 w,15 w}}



i) W1 = L((0, 1, 0, 0), (-3, 0, 1, 1)), dim W1 = 2.

ii) W2 = L((1, 0, 2, 0), (0, 1, -1, 1)), dim W2 = 2;

W3 = L((0, 1, 2, 1), (2, 1, 3, 1), (1, -2, 4, -2)), dim W3 = 3.

iii) W2 + W3 = W3 , W1 È (W2 + W3) = L((-3, 1, 1, 1)), dim(W1 È (W2 + W3)) = 1;

[19] H non e un sottospazio vettoriale;

K = L

æççççççè

æççççççè

1 0 00 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 01 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 01 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 00 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

dim K = 6.

[20] No.

[21] W1 = {(-2t3 - 3t2 - t1, t3, t2, t1), t1, t2, t3 Î —} e W2 = {(0, 0, 0, Λ), Λ Î —} da cui segue la tesi.

[22] dim(W1 È W2) = 2, W1 È W2 = L((1, 2, 0, 0, 0), (0, 8, -8, 3, 1)),

dim(W1 + W2) = 5.

[23] dim(W1 È W2) = 2, W1 È W2 = L((0, 0, 3, 2, 0), (0, 0, 3, 0, 2)),

dim(W1 + W2) = 5.

[24] i) dim W1 = 3, W1 = L((1, -2, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1));

ii) dim W2 = 2, W2 = L(

�, � ) .

iv) W3 = L((1, -2, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0)).

[25]

m = {{1,2,-1,0},{0,3,-1,-2},{1,-1,0,1},{3,2,-1,1}};

a = {2,-1,-1,2};

LinearSolve[Transpose[m], a]

{2,0,3,-1}

K 2 -1-1 2 O = 2A1 + 3A3 - A4 .



[26]

a = {1,2,0}; b = {0,2,1};d = {0,1,0}; c = {1,2,3};

LinearSolve[Transpose[{a,b,d}],c]

{1,3,-6}

i) B¢ =æççççççè

A, B,æççççççè

0 0 10 0 0

-1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) C = A + 3B - 6æççççççè

0 0 10 0 0

-1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[27] i) Poiche dim U + dim V = 4 > 3 = dim —3 , dalla relazione di Grassmann segue che dim(U È V) ³ 1.

ii) Si possono avere solo i seguenti casi:

1. dim(U È V) = 1 se dim(U + V) = 3, per esempio: U = L((1, 0, 0), (0, 1, 0)) ,

V = L((0, 1, 0), (0, 0, 1)), quindi U + V = L((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)).

2. dim(U È V) = 2 se dim(U + V) = 2 = dim U = dim V , per esempio:

U = V = L((1, 0, 0), (0, 1, 0)).

[28]

a1 = {1,-2,1}; a2 = {2,1,3}; a3 = {4,-1,-5}; a = {4,-11,-7};

Det[{a1,a2,a3}]

-52

LinearSolve[Transpose[{a1,a2,a3}],a]

{4,-2,1}

ii) A = (4, -2, 1) rispetto alla base B¢ .



[29]

Solve[{x1 + x2 + x3 == 0,2x2 + x4 == 0,x5 - x6 == 0},{x1,x2,x3,x4,x5,x6}]


::x1 ® -x3 +x4

2,x2 ® -

x4

2,x5 ® x6>>

c = {{1,2,3,-2,-3,1},{0,1,2,0,1,7},{1,-1,2,2,3,1},{2,-1,1,0,-2,-12}};

B = Base[c]

Vett.Base

1 {{1,2,3,-2,-3,1}}

2 {{1,2,3,-2,-3,1},{0,1,2,0,1,7}}

3 {{1,2,3,-2,-3,1},{0,1,2,0,1,7},{1,-1,2,2,3,1}}

4 {{1,2,3,-2,-3,1},{0,1,2,0,1,7},{1,-1,2,2,3,1}}

Risultato

{{1,2,3,-2,-3,1},{0,1,2,0,1,7},{1,-1,2,2,3,1}}

A = x{0,2,-1,0,1,0} + y{0,1,-2,0,0,1};

B = z{1,0,0,0,0,0} + t{0,0,1,0,0,0}+

w{0,0,0,1,0,0} + u{0,0,0,0,0,1};

Solve[{-1,-1,-1,2,1,1} == A + B,{x,y,z,t,w,u}][[1]]

{x ® 1,y ® -3,z ® -1,t ® -6,w ® 2,u ® 4}

A/.%

{0,-1,5,0,1,-3}

B/.%%

{-1,0,-6,2,0,4}

a = {{0,-1,-1,-1},{1,0,2,1},{1,-2,0,1},{1,-1,-1,0}};

Det[a]

4

MatrixForm[Inverse[a]]

æçççççççè

01

2-1

21

-1

20 -

1

2

1

21

2

1

20 -

1

2-1 -

1

2

1

20

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) B = L



0 -1 1 01 0 -2 0

-1 2 0 00 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 -1 0 11 0 0 00 0 0 0

-1 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 0 00 0 0 10 0 0 10 -1 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, dim B = 3.

ii) C = L



0 1 2 3-1 0 -2 -3-2 2 0 1-3 3 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 1 20 0 0 1

-1 0 0 7-2 -1 -7 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 1 -1 2-1 0 2 31 -2 0 1

-2 -3 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,

dim C = 3.



D = L



0 0 2 -10 0 0 1

-2 0 0 01 -1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 1 -20 0 0 0

-1 0 0 12 0 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, dim D = 2.

iii) B + C = A(—4,4) , non si tratta di somma diretta.

iv) D = D È (B + C) .

v) E = L



0 1 0 0-1 0 0 00 0 0 00 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 0 10 0 0 00 0 0 0

-1 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 0 00 0 1 00 -1 0 00 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

,


0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

vi)


0 -1 -1 -11 0 2 11 -2 0 11 -1 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

=


0 -1 0 -61 0 2 00 -2 0 4

-6 0 -4 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

+


0 0 -1 50 0 0 11 0 0 -3

-5 -1 3 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

vii) det A = 4, A-1 =


012

-12

1

-12

0 -12

12

12

12

0 -12

-1 -12

12

0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[30] i) W = L(A,tA) . ii) U = L KK 1 00 0 O , K 0 1

0 2 OO .

iii) U + V = L KK 1 00 0 O , K 0 1

0 2 O , K 0 01 2 OO , U È V = L KK 0 1

0 2 OO .

[31]

a = {{0,1,2},{1,3,1},{2,1,5}};

Det[a]

-13

MatrixForm[Inverse[a]]

æçççççççè

-14

13

3

13

5

133

13

4

13-2

135

13-2

13

1

13

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) A = L

æççççççè

æççççççè

-2 0 00 1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

1 2 02 0 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 -30 0 1

-3 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

, dim A = 3.



ii) B = L

æççççççè

æççççççè

1 0 00 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 10 0 01 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iii)æççççççè

0 1 21 3 12 1 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

=

æççççççççççè

-112

1 -3

1 3 1

-3 112

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

+


112

0 5

0 0 0

5 092

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

iv) A-1 =


-1413

313

513

313

413

-2

13

513

-2

131

13

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

v) C = L

æççççççè

æççççççè

1 2 12 -1 31 3 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 2 12 1 31 3 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

-1 0 10 0 11 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

; dim C = 3.

D = L

æççççççè

æççççççè

0 1 -11 0 1

-1 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

1 -1 0-1 0 10 1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

-2 0 10 0 11 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

; dim D = 3.

vi) Sı, vii) D = D È (A Å C) .

[32] i) V = L KK 0 01 0 O , K 0 0

0 1 OO.

ii) A1 = K 1 20 1 O , A2 = K 0 0

-3 -1 O .

[33] ii) Per esempio: L((1, 0, 0, 0)), L((0, 1, 0, 0)) .

[34] U + V = L((1, 3, -2, 2, 3), (0, 1, -1, 2, -1), (0, 0, 1, 0, -1)); U È V = L((1, 4, -3, 4, 2)) .

[35] U = V = L((1, 2, -1, 3), (0, 0, 3, -8)).

[36]

X = {{x1,x2,x3},{x4,x5,x6},{x7,x8,x9}};

A = {{0,1,0},{0,0,1},{0,0,0}};

Reduce[A.X == X.A, {x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}]

x1 == x5&&x2 == x6&&x4 == 0&&x7 == 0&&x8 == 0&&x9 == x5

i)æççççççè

x1 x2 x3

0 x1 x2

0 0 x1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, x1, x2, x3 Î — .



ii)æççççççè

æççççççè

1 0 00 1 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 1 00 0 10 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 10 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iii) Per esempio:

L

æççççççè

æççççççè

0 0 00 0 01 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 01 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 00 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 1 00 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

L

æççççççè

æççççççè

0 0 00 0 01 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 01 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 00 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 10 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

1 0 00 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[37]

L = {{1,-1,0,1,1},{1,-2,-2,1,2},{0,1,2,0,-1},{-1,3,4,-1,-3}};

B = Base[L]

Vett.Base

1 {{1,-1,0,1,1}}

2 {{1,-1,0,1,1},{1,-2,-2,1,2}}

3 {{1,-1,0,1,1},{1,-2,-2,1,2}}

4 {{1,-1,0,1,1},{1,-2,-2,1,2}}

Risultato

{{1,-1,0,1,1},{1,-2,-2,1,2}}

Solve[{x1 - x4 + 2x5 == 0,x2 + x3 == 0},{x1,x2,x3,x4,x5}]


{{x1 ® x4 - 2 x5,x2 ® -x3}}

RowReduce[{a = {1,-1,0,1,1},b = {1,-2,-2,1,2},c = {1,0,0,1,0},d = {-2,0,0,0,1},e = {0,-1,1,0,0}}]

{{1,0,0,0,0},{0,1,0,0,0},{0,0,1,0,0},{0,0,0,1,0},{0,0,0,0,1}}

A = x a + y b; B = z c + t d + w e;

Solve[{0,2,0,0,0} == A + B,{x,y,z,t,w}]

{{x ® 2,y ® -1,z ® -1,t ® 0,w ® -2}}

A/.%

{{1,0,2,1,0}}

B/.%%

{{-1,2,-2,-1,0}}

i) W1 = L((1, -1, 0, 1, 1), (1, -2, -2, 1, 2)) ,

W2 = L((1, 0, 0, 1, 0), (-2, 0, 0, 0, 1), (0, -1, 1, 0, 0)), da cui W1 Å W2 = —5 ;

ii) (0, 2, 0, 0, 0) = (1, 0, 2, 1, 0) + (-1, 2, -2, -1, 0) .

[38] i) W1 = L((1, -1, 0, 2), (0, 2, 1, 3)), W2 = L((2, 0, 1, 3), (-1, 1, 0, 0)),

W1 + W2 = L((1, -1, 0, 2), (0, 2, 1, 3), (0, 0, 0, 1)), W1 È W2 = L((0, 2, 1, 3)) .

ii)�

1 = 3(1, -1, 0, 2),�

2 = (-3, 1, -1, -3) .



[39]

A = {{1,3},{0,-1}};X = {{x1,x2},{x3,x4}};

Solve[A.X == X.A]


::x3 ® 0,x1 ®2 x2

3+ x4>>

a = {1,0,0,1};b = {2,3,0,0};c = {1,0,0,-1};

d = {0,1,0,0};e = {0,0,1,0};

B = x a + y b; F = z c + t d + w e;

Solve[B == F,{x,y,z,t,w}]


::x ® -t

3,y ®

t

3,z ®

t

3,w ® 0>>

B/.%

::t3,t,0,-

t

3>>

i) W1 = L KK 1 00 1 O , K 2 3

0 0 OO , W2 = L KK 1 00 -1 O , K 0 1

0 0 O , K 0 01 0 OO ,

W1 È W2 = L KK 1 30 -1 OO , W1 + W2 = —2,2 .

ii) Per esempio: W3 = L KK 0 01 0 O , K 0 0

0 1 OO.

[40] Per esempio: L((0, 1, 0), (1, 0, 0)); L((0, 1, 0), (0, 0, 1)).

[41] B =æççççççè

æççççççè

1 2 02 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

1 0 00 -1 00 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 1 -11 0 0

-1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 1 01 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 10 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[42]

a1 = {1,0,-2,0,1};a2 = {0,1,0,-1,0};

a3 = {0,0,-1,0,3}; x = {1,2,h,-2,1};

Solve[x == x1 a1 + x2 a2 + x3 a3,h]

{{h ® -2}}

i) W1 = L((1, 0, -2, 0, 1), (0, 1, 0, -1, 0), (0, 0, -1, 0, 3)),

W2 = L((1, 0, 0, -2, 1), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, -1, 1));

W1 È W2 = L((-2, -1, 3, 1)) , W1 + W2 = —5 .

ii) h = -2.

[43] i) W2 e un sottospazio vettoriale di —5 perche i suoi elementi sono soluzioni di un sistema lineare omogeneo;si puo direttamente dimostrare che W2 e chiuso rispetto alla somma e al prodotto per numeri reali.

ii) dim W1 = 3, ((2, 1, 1, 0, 2), (-1, 1, 0, 0, 2), (0, 2, 0, 1, 1)) e una base di W1 .

dim W2 = 2, W2 = L((1, 1, 0, 0, 1), (0, -1, 1, 0, 0)).



iii) dim(W1 + W2) = 4, W1 + W2 = L((1, 1, 0, 0, 1), (0, 2, 0, 0, 3), (0, 0, 2, 0, 3), (0, 0, 0, 1, -2)) ;

dim(W1 È W2) = 1, W1 È W2 = L((2, 1, 1, 0, 2)) .

[44] Per esempio:ìïïíïïî

æççççççè

1 0 00 0 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,æççççççè

0 0 00 0 10 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

üïïýïïþ

.

[45]

a1 = {2,-1,0,4};a2 = {-3,2,4,h};

a3 = {5,-3,h,-1}; b = {14,-8,h,-1};

Reduce[x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 == b,{x1,x2,x3}]

h == -2&&x1 == 1&&x2 == 1&&x3 == 3||

h == 14&&x1 ==25

9&&x2 == -

7

9&&x3 ==

11

9

Se h /Î {-2, 14} : non esistono soluzioni; se h = -2 o h = 14: esiste una sola soluzione.

[46]

a1 = {1,1,0};a2 = {0,1,-1};a3 = {x,y,z};b = {2,3,-1};

Reduce[x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 == b,{x1,x2,x3}]

x == y + z&&x1 == 2 - x3 y - x3 z&&x2 == 1 + x3 z||x1 == 2&&x2 == 1&&x3 == 0&&x - y - z ¹ 0

i) "x, y, z Î — : l’equazione vettoriale ha sempre soluzioni;

ii) "x, y, z Î —/ x ¹ y + z : esiste una sola soluzione;

iii) "x, y, z Î —/ x = y + z : esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera.

[47]

m = {{1,-1,1,1},{1,1,-1,1},{-1,1,1,1}};

Solve[Transpose[m].{x1,x2,x3} == {8,2,0,10},{x1,x2,x3}]

{{x1 ® 4,x2 ® 5,x3 ® 1}}

x1 = 4, x2 = 5, x3 = 1.

[48]

m = {{1,0,1,1},{-1,1,0,3},{-1,1,1,4}};

Solve[Transpose[m].{x,x2,x3} == {2,0,2,3}, {x1,x2,x3}]

{}

L’equazione e incompatibile.

[49]

a = {h,-k,-h - 2k}; b = {1,2,h - k};

c = {-2,-4,k - 4}; d = {1,2,4 - h};

Reduce[a x + b y + c z == d, {x,y,z}]

h == 1&&k == -2&&z ==1

2(-1 + x + y)||

2 h == -k&&y ==1

4(-4 - k x)&&z ==

1

8(-8 - 3 k x)&&2 + k ¹ 0||

k == -4 + 2 h&&x == 0&&z ==1

2(-1 + y)&& - 1 + h ¹ 0||

x == 0&&y == -1&&z == -1&& - 4 + 2 h - k ¹ 0&&2 h + k ¹ 0



Se h = 1, k = -2: esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere;

se h = -12

k, k ¹ -2: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se k = 2h - 4, h ¹ 1: esistono infinite soluzioni che dipendono da un’incognita libera;

se h ¹ 1, k ¹ -2: esiste una sola soluzione.

[50] H = L((-3, -6, 0, 1), (0, 1, 1, 0)), per esempio: K = L((0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)).



[51]

L = {a = {0,1,0,-1},b = {1,-2,2,1},c = {1,0,2,-1}};

Base[L]

Vett.Base

1 {{0,1,0,-1}}

2 {{0,1,0,-1},{1,-2,2,1}}

3 {{0,1,0,-1},{1,-2,2,1}}

Risultato

{{0,1,0,-1},{1,-2,2,1}}

Solve[{x1 - x2 - x3 == 0,2x2 + x3 == 0},{x1,x2,x3,x4}]


::x1 ®x3

2,x2 ® -

x3

2>>

d = {1,-1,2,0};e = {0,0,0,1};

L1 = {a,b,d,e};

Base[L1]

Vett.Base

1 {{0,1,0,-1}}

2 {{0,1,0,-1},{1,-2,2,1}}

3 {{0,1,0,-1},{1,-2,2,1}}

4 {{0,1,0,-1},{1,-2,2,1},{0,0,0,1}}

Risultato

{{0,1,0,-1},{1,-2,2,1},{0,0,0,1}}

A = x a + y b; B = z d + w e;

Solve[A == B,{x,y,z,w}]


{{x ® z,y ® z,w ® 0}}

A/.%

{{z,-z,2 z,0}}

F = Solve[{1,h,h + 1,-h} == A + B]


{{h ® 1,w ® 1,x ® 3 - z,y ® 1 - z}}

Simplify[A/.F]

{{1 - z,1 + z,2 - 2 z,-2}}

Simplify[B/.F]

{{z,-z,2 z,1}}

i) W = L((0, 1, 0, -1), (1, -2, 2, 1)); Z = L((1, -1, 2, 0), (0, 0, 0, 1));

W + Z = L((0, 1, 0, -1), (1, -2, 2, 1), (0, 0, 0, 1)), W È Z = L((1, -1, 2, 0))

ii) h = 1; iii) (1, 1, 2, -1) = (1 - z, 1 + z, 2 - 2z, -2) + (z, -z, 2z, 1), z Î — .



[52]

Solve[{2x1 + x2 + x4 == 0,x1 - x4 == 0}]


::x1 ® -x2

3,x4 ® -

x2

3>>

Solve[{x1 + x2 - x3 + 2x4 == 0,x1 == 0}]


{{x1 ® 0,x2 ® x3 - 2 x4}}

L = {a = {1,-1,2,3},b = {-1,-2,0,1},c = {1,-7,6,11}};

B = Base[L]

Vett.Base

1 {{1,-1,2,3}}

2 {{1,-1,2,3},{-1,-2,0,1}}

3 {{1,-1,2,3},{-1,-2,0,1}}

Risultato

{{1,-1,2,3},{-1,-2,0,1}}

x = {0,1,1,0};y = {0,-2,0,1};

RowReduce[{x,y,a,b}]

{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}

i) W1 e un sottospazio vettoriale di —4 perche formato dalle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in 4incognite. dim W1 = 2, W1 = L((1, -3, 0, 1), (0, 0, 1, 0)) .

ii) W2 = L((0, 1, 1, 0), (0, -2, 0, 1)); W3 = L(

�, � ) .

iii) W2 Å W3 = —4 , quindi W1 È (W2 Å W3) = W1 .

[53] W = L((-12, -1, 4)) ; se W Å W¢ = —3 , allora per esempio:

W¢ = {(x1, x2, x3) Î —3/ x1 = 0} oppure W¢ = {(x1, x2, x3) Î —3/ x3 = 0} .


Capitolo 14

Soluzioni - Spazi vettoriali euclidei

[1]

a1 = {1,1,0};a2 = {1,-1,1};

NullSpace[{a1,a2}]

{{-1,1,2}}

v = {x,y,z};

Solve[Det[{a1,a2,v}] == 12,v]


{{x ® 12 + y + 2 z}}

i) V^ = L(

�3 =

�- � - 2 � ) .

ii) � = (12 + x2 + 2x3)�+ x2� + x3 � , x2, x3 Î V3 ; l’insieme di tali vettori non costituisce un sottospazio vettoriale

di V3 .

iii)�

=13

(2�+ 4� - � ) +

13

(�- � - 2 � ) .

[2]


a1 = {1,-2,1,3}; a2 = {2,1,-3,1};

a1.a2

0

GramSchmidt[{a1,a2,{0,0,1,0},{0,0,0,1}},Normalized ® False]

:{1,-2,1,3},{2,1,-3,1},:13,1

3,1

3,0>,: -

1

3,1

3,0,

1

3>>

K�

1,�

2, K 13

,13

,13

, 0O , K- 13

,13

, 0,13

OO.

145


[3]

A = {{1,3},{0,-1}}; X = {{x1,x2},{x3,x4}};

Solve[A.X == X.A]


::x3 ® 0,x1 ®2 x2

3+ x4>>

a = Tr[Transpose[X].{{2,3},{0,0}}];

b = Tr[Transpose[X]];

Solve[{a == 0,b == 0}]


::x1 ® -x4,x2 ®2 x4

3>>

W = L KK 2 30 0 O , K 1 0

0 1 OO , W^ = L KK -3 20 3 O , K 0 0

1 0 OO.

[4]

m = {{3,0,4},{1,2,0},{2,-2,4},{4,2,4}};

b = RowReduce[m]

::1,0, 4

3>,:0,1,-

2

3>,{0,0,0},{0,0,0}>


GramSchmidt[{b[[1]],b[[2]]}]

::35,0,

4

5>,: 8

5029

,5029

,-6

5029

>>A = GramSchmidt[{%[[1]],%[[2]],{0,0,1}}]

::35,0,

4

5>,: 8

5029

,5029

,-6

5029

>,: -4029

,2029

,3029

>>MatrixForm[Transpose[A]]

æçççççççè

3

5

8

5029

-4029

05029

2029

4

5-

6

5029

3029

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

A.Transpose[A]

{{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}

i) B = KK 35

, 0,45

O , K 8

50

29,

5029

, -6

50

29OO.

ii) C = KK 35

, 0,45

O , K 8

50

29,

5029

, -6

50

29O , K-

4029

,2029

,3029

OO.

iii) A =

æççççççççççççççççççççççççè

35

8

50

29-

4029

05029

2029

45

-6

50

29

3029

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

e la matrice del cambiamento di base da C a D ;


Capitolo 14 – Soluzioni - Spazi vettoriali euclidei 147

tA = A-1 e la matrice del cambiamento di base da D a C .

[5]æçççççè

K 102

,102

, 0, 0, O ,æçççççè

-3022

,3022

,

22

11, 0

ö÷÷÷÷÷ø

,æçççè-

1

20

33,

1

20

33,

03

20

11,

011

20

3

ö÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷ø

.

[6] i) La somma R(A) + C(A) e diretta, quindi la loro intersezione e { � } ;

ii) C(A)^ = L((3, -2, 1, 0), (-4, 1, 0, 1)).

[7]


GramSchmidt[{{2,-1,0,1},{2,-1,1,0} }]

::2

2

3,-

106,0,

106

>,:2

2

33,-

1066

,

26

11,-

5066

>>

ii) U^ = Læçççççè

æçççççè

223

, -106

, 0,106

ö÷÷÷÷÷ø

,æçççççè

22

33, -

1066

,

26

11, -

5066

ö÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷ø

.

[8]


GramSchmidt[{{1,1,1},{-1,1,0},{-1,0,1}}]

:: 103,

103,

103

>,: -102,

102,0>,: -

106,-

106,

22

3>>

æçççççè

K 103

,103

,103

O , K-102

,102

, 0O ,æçççççè

-106

, -106

,

223

ö÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷ø

.

[9] i) Sı;

ii) A^ = {(x1, x2, x3, x4, x5) Î —5/ x1 - x2 = x4 = x5 = 0} = KK 102

,102

, 0, 0, 0O , (0, 0, 1, 0, 0)O.

[10]


GramSchmidt[{{1,0,1},{0,1,1},{2,1,2}}]

:: 102,0,

102

>,: -106,

22

3,

106

>,: 103,

103,-

103

>>

æçççççè

K 102

, 0,102

O ,æçççççè

-106

,

223

,106

ö÷÷÷÷÷ø

, K 103

,103

, -103

Oö÷÷÷÷÷ø

.



[11]


GramSchmidt[{{-1,1,0},{1,0,1}}]

:: -102,

102,0>,: 10

6,

106,

22

3>>

æçççççè

K-102

,102

, 0O ,æçççççè

106

,106

,

223

ö÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷ø

.

[12]


m = {{1,0,1,-1},{1,-1,0,0},{0,0,1,1}};

RowReduce[m]

{{1,0,0,-2},{0,1,0,-2},{0,0,1,1}}

GramSchmidt[m]

:: 103,0,

103,-

103

>,

: 2015

,-

23

5,-

1015

,1015

>,:0,0, 102,

102

>>

ii)æçççççè

K 103

, 0,103

, -103

O ,æçççççè

2015

, -

235

, -1015

,1015

ö÷÷÷÷÷ø

, K0, 0,102

,102

Oö÷÷÷÷÷ø

.

[13]


MatrixForm[

GramSchmidt[{{0,Sqrt[2]/2,-Sqrt[2]/2},{1,0,0},{0,0,1}}]]

æçççççççè

0102

-102

1 0 0

0102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Per esempio: A =

æççççççççççççççççççççè

0

02

2-

02

2

1 0 0

0

02

2

02

2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[14]


GramSchmidt[{{-1,1,0,0},{1,0,1,0},{-1,0,0,1}}]

:: -102,

102,0,0>,: 10

6,

106,

22

3,0>,

: -1

203,-

1

203,

1

203,

03

2>>


Capitolo 14 – Soluzioni - Spazi vettoriali euclidei 149

F ^ = Læçççççè

K-102

,102

, 0, 0O ,æçççççè

106

,106

,

223

, 0ö÷÷÷÷÷ø

,æçççè-

1

20

3, -

1

20

3,

1

20

3,

03

2

ö÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷ø

.


Capitolo 15

Soluzioni - Applicazioni lineari

[1]

A = {{2,-1,1},{1,0,1},{-1,1,-1}};

NullSpace[Transpose[A]]

{}

ker f = { � } .

[2]

A = {{1,0,1,1},{2,1,1,3},{1,1,0,2}};

NullSpace[A]

{{-1,-1,0,1},{-1,1,1,0}}

RowReduce[Transpose[A]]

{{1,0,-1},{0,1,1},{0,0,0},{0,0,0}}

ker f = L((-1, -1, 0, 1), (-1, 1, 1, 0)), im f = L((1, 2, 1), (0, 1, 1)).

[3]

A = {{2,1,0,-1},{0,1,0,1},{1,0,-1,0},{2,1,0,0}};

Det[A]

-2

dim ker f = 0, dim im f = 4.

[4] M( f1) = I u1 u2 u3 M;

ker f1 = { � Î V3 / � ^ � }; im f1 = — ;

M( f2) =æççççççè

0 -u3 u2

u3 0 -u1

-u2 u1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

;

ker f2 = { � Î V3 / � // � }, im f = { � Î V3 / � ^ � } .

150

Capitolo 15 – Soluzioni - Applicazioni lineari 151

[5]

A = {{2,1,-1},{1,2,1},{-1,1,h}};

Solve[Det[A] == O,h]

::h ®6 + O

3>>

n = {{1,kˆ2 - k,k},{1,2,1},{-1,1,2}};

Solve[Det[n] == 0]

::k ® 1 -02>,:k ® 1 +

02>>

Det[{{1,0,0},{1,2,1},{-1,1,2}}]

3

h = 2;

NullSpace[A]

{{1,-1,1}}

Det[{{1,-1,1},{1,2,1},{-1,1,2}}]

9

LinearSolve[A,{3,2,-2}]

�� ::¢¢ nosol¢¢ : Linear equation encountered which has no solution.

LinearSolve[{{2,1,-1},{1,2,1},{-1,1,2}},{3,2,-2}]

Solve[(A).{x,y,z} == (A).{1,2,-1},{x,y,z}]


{{x ® 2 + z,y ® 1 - z}}

i) h = 2, im f = L((1, 2, 1), (-1, 1, 2));

ii) k = 1 ±0

2; iii) (1, 0, 0) per esempio;

iv) ker f = L((1, -1, 1)) ;

v)

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ1 -1 11 2 11 1 2

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ= 9; vi) no; vii) � = (2 + t, 1 - t, t), t Î — .



[6]

a = LinearSolve[{{1,-1,-1},{2,-1,0},{-1,1,0}},{{0,0,0},{3,2,-1},{3,-1,2}}]

{{6,1,1},{9,0,3},{-3,1,-2}}

MatrixForm[A = Transpose[a]]

æçççççççè

6 9 -31 0 11 3 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Det[A]

0

NullSpace[A]

{{-1,1,1}}

Solve[{t + 1,2t,-1} == x{6,1,1} + y{3,0,1},{t,x,y}]

::t ®4

5,x ®

8

5,y ® -

13

5>>

Det[{{1,0,0},{6,1,1},{3,0,1}}]

1

Det[{{1,-1,1},{6,1,1},{3,0,1}}]

1

LinearSolve[A,{3,4,-1}]


LinearSolve[{{6,9,3},{1,0,-1},{1,3,2}},{3,4,-1}]

i) A = M( f ) =æççççççè

6 9 -31 0 11 3 -2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, det A = 0, quindi f non e ne iniettiva ne suriettiva.

ii) ker f = L((-1, 1, 1)), im f = L((6, 1, 1), (3, 0, 1)) . iii) t =45

.

iv) � = K 85

, -135

O. v) (1, 0, 0) per esempio.

vi) Sı. vii) Non esistono.

[7]

A = LinearSolve[{{2,0,1},{1,1,-2},{3,-1,-2}},{{3,6,-3},{0,0,0},{0,0,0}}]

{{1,2,-1},{1,2,-1},{1,2,-1}}

MatrixForm[Transpose[A]]

æçççççççè

1 1 12 2 2

-1 -1 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Det[{{1,1,-2},{3,-1,-2},{1,2,-1}}]

-8

i) M( f ) =æççççççè

1 1 12 2 2

-1 -1 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) ker f = L((1, 1, -2), (3, -1, -2)), im f = L((1, 2, -1)) .



iii)

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ1 2 -11 1 -23 -1 -2

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ= -8.

[8]

A = {{4,2,2},{4,aˆ2 + 1,a + 1},{8,4,aˆ2 + 3}};

Solve[Det[A] == 0]

{{a ® -1},{a ® -1},{a ® 1},{a ® 1}}

NullSpace[A/.a ® -1]

{{-1,2,0}}

NullSpace[A/. a ® 1]

{{-1,0,2},{-1,2,0}}

Solve[{A/.a ® -1 }.{x,y,z} == {1,-2,0},{x,y,z}]

{}

Det[{{-1,0,2},{-1,2,0},{1,1,2}}]

-10

B := {{-1,-1,1},{0,2,-1},{2,0,-1}}

NullSpace[B]

{{1,1,2}}

Reduce[(A/.a ® 1).{x,y,z} == {h,k,l},{x,y,z}]

2 h == l&&2 k == l&&x ==1

8(l - 4 y - 4 z)

i) a ¹ ±1.

ii) Se a = -1: ker f = L((-1, 2, 0)), im f = L((1, 1, 2), (1, 0, 2)) ;

se a = 1: ker f = L((-1, 0, 2), (-1, 2, 0)), im f = L((1, 1, 2)) .

iii) Non esistono. iv) Sı (teorema del completamento della base). v) Sı.

vi) Per esempio: M(g) =æççççççè

-1 -1 10 2 -12 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

vii) Se l = 2h = 2k , allora f -1(h, k, l) = ;K 18

l -12

t -12

t ¢, t, t ¢O , l, t, t ¢ Î —? .

[9]

Solve[{1,2,-1} + {x,y,z} + {2,-3,t} == {2,2,0},{x,y,z,t}]


{{x ® -1,y ® 3,z ® 1 - t}}

Solve[Det[{{1,-1,2},{2,3,-3},{-1,1 - t,t}}] == 0]

{{t ® 5}}

A =æççççççè

1 -1 22 3 -3

-1 -4 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[10]

v1 = {1,2,0,1};v2 = {1,0,1,0}; v3 = {-1,0,0,2};

RowReduce[{v1,v2,v3}]

:{1,0,0,-2},:0,1,0, 3

2>,{0,0,1,2}>

LinearSolve[{v1,v2,v3,v1 + v2 + v3,v1 + v2 + v3},{v1,2v1 + v2,-v2 + v3,{2,2,1,1},{2,6,0,1}}]


LinearSolve[{{1,2,0,1},{1,0,1,0},{-1,0,0,2},{1,2,1,3},{1,2,1,3}},{{1,2,0,1},{3,4,1,2},{-2,0,-1,2},{2,2,1,1},{2,6,0,1}}]

ii) No.

[11]

u1 = {1,-2,0,4}; u2 = {-1,1,1,0};u3 = {0,0,1,2};

RowReduce[{u1,u2,u3}]

{{1,0,0,0},{0,1,0,-2},{0,0,1,2}}

ii) M( f ) =æççççççè

0 2Λ1 -2Λ1 Λ1

0 2Λ2 -2Λ2 Λ2

0 2Λ3 -2Λ3 Λ3

ö÷÷÷÷÷÷ø

, Λ1, Λ2, Λ3 Î — .

[12]

A = {{1,0,2},{0,1,1},{2,1,5}};

NullSpace[A]

{{-2,-1,1}}

u = {1,-2,k}; v = {1,0,2}; w = {0,1,0};


{{k ® 2}}

k = 1;

p = Transpose[{u,v,w}];

MatrixForm[Inverse[p]]

æçççççççè

2 0 -1-1 0 14 1 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

k = 0;

m = LinearSolve[{u,v,w},{{1,0,2},{0,1,1},{0,0,1}}]

:{1,0,4},{0,0,1},: -1

2,1

2,-

3

2>>

MatrixForm[Transpose[m]]

æçççççççè

1 0 -1

20 0

1

24 1 -

3

2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) ker f = L((-2, -1, 1)) da cui segue la tesi. ii) k ¹ 2.



iii) �

1 = 2 � - � + 4 � , �

2 = � , �

3 = - � + � - 2 � .

iv) Per esempio: MC,B( f ) =æççççççè

1 0 00 1 02 1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

v) MB,B( f ) =


1 0 -12

0 012

4 1 -32

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[13]

A = {{2,2,0},{1,0,1},{1,3,-2}};

NullSpace[A]

{{-1,1,1}}

LinearSolve[A,{0,0,1}]


LinearSolve[{{2,2,0},{1,0,1},{1,3,-2}},{0,0,1}]

Det[{A.{1,0,1},A.{0,1,1},{4,3,-2}}]

4

{}

i), ii) f non e ne iniettiva ne suriettiva: ker f = L((-1, 1, 1)), im f = L((2, 0, 3), (0, 1, -2)) ,

per esempio �

3 non ha controimmagine, f (-1, 1, 1) = � e f (-2, 2, 2) = � .

iii) No.

[14]

A = {{1,2,3/2,0},{t,-t,0,0},{1,1,1,-1}};

Reduce[A.{x,y,z,w} == {0,0,0},{x,y,z,w}]

t == 0&&w ==1

2(-2 y - z)&&x ==

1

2(-4 y - 3 z)||w == 0&&x == y&&z == -2 y

Solve[a{-2,1,-1,0} + b{-3,0,2,-2} == {k + 3,k,1,2k}]

{}

Reduce[A.{x,y,z,w} == {1,0,-1},{x,y,z,w}]

t == 0&&w ==1

2(4 - 2 y - z)&&x ==

1

2(2 - 4 y - 3 z)||

w ==5

3&&x == y&&z == -

2

3(-1 + 3 y)

i) Se t = 0: ker f = L((-2, 1, 0, -1), (-3, 0, 2, -1)), im f = L((1, 0, 1), (2, 0, 1));

se t ¹ 0: ker f = L((1, 1, -2, 0)), im f = —3 .

ii) No; iii) se t = 0: ((-2, 1, 0, -1), (-3, 0, 2, -1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)) ;

se t ¹ 0: ((1, 1, -2, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)).



iv) Se t = 0: f -1((1, 0, -1)) = K1 - 2t1 -32

t2, t1, t2, 2 - t1 -12

t2O , t1, t2 Î — ;

se t ¹ 0: f -1((1, 0, -1)) = Kt, t,23

- 2t,53

O , t Î — .

[15]

a = {1,0,1,2};b = {2,3,2,1};c = {1,3,1,-1};d = {1,-3,1,5};

RowReduce[{a,b,c,d}]

{{1,0,1,2},{0,1,0,-1},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}

Transpose[LinearSolve[

{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},a},{a,b,c,2a}]]

:{1,2,1,0},:0,3,3,-3

2>,{1,2,1,0},:2,1,-1,

3

2>>

i) F = L(

�, � ) .

ii) MB,B( f ) =

æççççççççççççççè

1 2 1 0

0 3 3 -32

1 2 1 0

2 1 -132

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[16]

v1 = {1,2,0};v2 = {1,0,1};v3 = {-1,0,-2};

RowReduce[{v1,v2,v3}]

{{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}

Transpose[{v1,v2,v3}].{{1,2,0},{1,-1,-1},{0,0,1}}.Inverse[Transpose[{v1,v2,v3}]]

{{0,1,1},{8,-3,-4},{-5,3,4}}

{}

ii) MC,C( f ) =æççççççè

1 2 01 -1 -10 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iii) MB,B( f ) =æççççççè

0 1 18 -3 -4

-5 3 4

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[17]

A = {{0,3,1},{0,0,2},{1,-1,0},{0,1,0}};

NullSpace[A]

{}

Solve[A.{x,y,z} == 3A.{1,2,1},{x,y,z}]

{{x ® 3,y ® 6,z ® 3}}

Solve[A.{x,y,z} == {1,2,3,4},{x,y,z}]

{}

i) im f = L KK 0 01 0 O , K 3 0

-1 1 O , K -1 20 0 OO .



ii) Sı; iii) � = (3, 6, 3) . iv) No.

[18]

u = {2,0,1,1};v = {0,1,3,1};w = {0,1,0,1};

RowReduce[{u,v,w}]

::1,0,0, 1

2>,{0,1,0,1},{0,0,1,0}>

u + 2w

{2,2,1,3}

NullSpace[{{2,1,0},{2,2,-1},{1,7,-3},{3,3,-1}}]

{}

ii) Per esempio: ( � , � , � , (0, 0, 0, 1)) .

iii) MC,B( f ) =


2 1 02 2 -11 7 -33 3 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

. iv) Sı.

[19] i) M( f ) =


1 0 01 1 01 1 10 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) im f = L KK 1 11 0 O , K 0 1

1 0 O , K 0 01 0 OO .

[20]

A = {{1,0,1,0,0},{2,1,0,-1,1},{0,3,-1,1,2}};

NullSpace[A]

{{-1,-3,1,0,5},{4,-3,-4,5,0}}

RowReduce[{A.{1,-1,0,0,0},A.{0,1,0,1,1},A.{0,0,3,0,0}}]

{{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}

b = {x1,x2,x3,x4,x5} + s {-1,-3,1,0,5} + t {0,-3,0,1,4};

Simplify[A.b == A.{x1,x2,x3,x4,x5}]

True

i) ker f = L((-1, -3, 1, 0, 5), (4, -3, -4, 5, 0)), im f = —3 . ii) f (V) = —3 .

[21] i) No. ii) Sı, e suriettiva, quindi il nucleo ha dimensione 8 ed e costituito da tutte le matrici aventi traccianulla.



[22]

A = {{1,0,h,0},{0,1,0,h},{3,0,h - 2,0},{0,3,0,h - 2}};

Reduce[A.{x1,x2,x3,x4} == {0,0,0,0}, {x1,x2,x3,x4}]

h == -1&&x1 == x3&&x2 == x4||x1 == 0&&x2 == 0&&x3 == 0&&x4 == 0&&1 + h ¹ 0

B = A/. h ® -1;

Eigensystem[B]

{{-2,-2,0,0},{{0,1,0,3},{1,0,3,0},{0,1,0,1},{1,0,1,0}}}

Solve[{4x1 + x2 - x3 == 0, 3x2 - 3x3 - 4x4 == 0}, {x1,x2,x3,x4}]


::x1 ® -x4

3,x2 ® x3 +

4 x4

3>>

Reduce[B . {x1,x2,x3,x4} == {-t/3,4t/3 + z,z,t}, {x1,x2,x3,x4}]

x1 ==1

3(-t + 3 x3)&&x2 ==

1

3(t + 3 x4)&&z == -t

i) Se h ¹ -1: ker f = { � }, im f = —2,2 ,

se h = -1: ker f = L KK 1 01 0 O , K 0 1

0 1 OO , im f = KK 1 03 0 O , K 0 1

0 3 OO.

ii) Λ1 = -2, mΛ1 = 2, VΛ1 = im f , Λ2 = 0, mΛ2 = 2, VΛ2 = ker f , f e semplice.

iii) f -1(G) = L KK 1 01 0 O , K 0 1

0 1 O , K -1 10 0 OO.

[23]

A = {{1,17,10,9},{0,1,0,0},{0,11,8,6},{0,-13,-8,-6}};

NullSpace[A]

{{-6,0,-3,4}}

A.{1,0,0,4}

{37,0,24,-24}

A.{0,0,1,2}

{28,0,20,-20}

Reduce[A.{x1,x2,x3,x4} == {-t1,t2,0,t1},{x1,x2,x3,x4}]

2 t2 == -t1&&x1 ==1

8(5 t1 - 12 x4)&&x2 == -

t1

2&&x3 ==

1

16(11 t1 - 12 x4)

Eigensystem[A]

{{0,1,1,2},{{-6,0,-3,4},{0,-1,-1,3},{1,0,0,0},{-1,0,-1,1}}}

i) A =


1 17 10 90 1 0 00 11 8 60 -13 -8 -6

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) ker f = L KK -6 0-3 4 OO , im f = L KK 1 0

0 0 O , K 17 111 -13 O , K 10 0

8 -8 OO .

iii) f (H) = L KK 37 024 -24 O , K 17 1

11 -13 O , K 7 05 -5 OO ,



f -1(K) = KK -10 8-11 0 O , K -6 0

-3 4 OO .

iv) Λ1 = 0; Λ2 = 1, mΛ2 = 2; Λ3 = 2.

v) f e semplice, A¢ =


0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, B =


-6 0 1 -10 -1 0 0

-3 -1 0 -14 3 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[24]

LinearSolve[{{1,1,0},{0,2,1},{1,-1,1}},{{1,2 + h,-h - 1},{1,3,0},{-2,h - 3,3 - h}}]

{{0,h,-h},{1,2,-1},{-1,-1,2}}

MatrixForm[c = Transpose[%]]

æçççççççè

0 1 -1h 2 -1

-h -1 2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Solve[Det[c] == 0]

{{h ® 0}}

b = Eigenvalues[c]

:1, 1

2J3 -

09 + 8 hN, 1

2J3 +

09 + 8 hN>

Flatten[Table[b[[i]] == b[[j]], {i,3},{j,3}]];

Map[Solve,%]

��::¢¢ ifun¢¢ : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be

found


found

:{{}},{{h ® -1}},{},{{h ® -1}},

{{}},::h ® -9

8>>,{},::h ® -

9

8>>,{{}}>

Eigensystem[c/.h ® -1]

{{1,1,2},{{-1,0,1},{1,1,0},{-1,-1,1}}}

Eigensystem[c/.h ® -9/8]

::1, 3

2,3

2>,:{0,1,1},: -

4

3,-1,1>,{0,0,0}>>

ii) MB,B( f ) =æççççççè

0 1 -1h 2 -1

-h -1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — ; iii) a) h ¹ 0; b) h > -98

.



[25]

a = {{1,0,1},{0,1,1},{2,0,-1}};

b = {{1,-2,3},{h,0,2 - h},{2,-1,0}};

LinearSolve[a,b]

{{1,-1,1},{h,1,-h},{0,-1,2}}

MatrixForm[m = Transpose[%]]

æçççççççè

1 h 0-1 1 -11 -h 2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Eigensystem[m]

:{1,1,2},:{-1,0,1},{0,0,0},: -h

1 + h,-

1

1 + h,1>>>

Eigensystem[m/.h ® -1]

{{1,1,2},{{-1,0,1},{0,0,0},{-1,1,0}}}

Eigensystem[m/.h ® 0]

{{1,1,2},{{-1,0,1},{0,1,0},{0,-1,1}}}

Reduce[(m/.h ® 0) .{x1,x2,x3} == {-3t,t,-2t},{x1,x2,x3}]

x1 == -3 t&&x2 == -3 t

2&&x3 ==

t

2


1 h 0-1 1 -11 -h 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — .

ii) Se h = 0: f e semplice, se h ¹ 0: f non e semplice.

iii) f -1(G) = L KK 6 33 -1 OO .

[26]

m1 = {{0,1,-1},{3,1,-1},{1,1,1}};

m2 = {{0,0,0},{9,0,0},{3,2,4}};

LinearSolve[m1,m2]

{{3,0,0},{0,1,2},{0,1,2}}

MatrixForm[a = Transpose[%]]

æçççççççè

3 0 00 1 10 2 2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Eigensystem[a]

{{0,3,3},{{0,-1,1},{0,1,2},{1,0,0}}}

MB,B( f ) =æççççççè

3 0 00 1 10 2 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

. ii) Sı.

[27]

m = {{a,a,a},{b,b,b},{0,0,0}};

Eigensystem[m]

:{0,0,a + b},:{-1,0,1},{-1,1,0},:ab,1,0>>>



A = M( f ) =æççççççè

a a ab b b0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a, b Î — ;

A e diagonalizzabile se a + b ¹ 0, oppure se a = b = 0. Nel primo caso una base di autovettori e data da:((-1, 0, 1), (-1, 1, 0), (a, b, 0)).

[28]

i = {1,0,0}; j = {0,1,0}; k = {0,0,1};x = {x1,x2,x3};

Cross[i,x] + Cross[2j,x] - Cross[k,x]

{x2 + 2 x3,-x1 - x3,-2 x1 + x2}

m = {{0,1,2},{-1,0,-1},{-2,1,0}};

NullSpace[m]

{{-1,-2,1}}

Eigensystem[m]

::0,-ä06,ä

06>,

:{-1,-2,1},:15

ä J - ä + 206N,-

1

5ä J2 ä +

06N,1>,

: -1

5ä Jä + 2

06N, 1

5ä J - 2 ä +

06N,1>>>

i) La linearita segue dalle proprieta del prodotto vettoriale.


0 1 2-1 0 -1-2 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

;

ker f = L(-�- 2� + � ), im f = L(� + 2 � ,

�+ � ) . iii) No.

[29]

i = {1,0,0}; j = {0,1,0}; k = {0,0,1}; x = {x1,x2,x3};s

Cross[(i + j),x] + 2( j.x) i - (k.x)j

{2 x2 + x3,-2 x3,-x1 + x2}

m = {{0,2,1},{0,0,-2},{-1,1,0}};

NullSpace[m]

{}

Eigensystem[m]

::1,-1

2ä J - ä +

015N, 1

2ä Jä +

015N>,:{-3,-2,1},

: --3 ä -

015

-ä +015

,-4 ä

-ä +015

,1>,: -3 ä -

015

ä +015

,4 ä

ä +015

,1>>>

i) La linearita segue dalle proprieta del prodotto scalare e vettoriale.


0 2 10 0 -2

-1 1 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

ker f = { � }, im f = V3 . iii) No.



[30]

a = {{1,-1,2},{1,-2,3}}; b = {{-3,-4,3,0},{-5,-9,4,-1}};

x = {{x1,x2,x3,x4},{x5,x6,x7,x8},{x9,x10,x11,x12}};

Reduce[a.x == b]

x1 == -1 - x9&&x10 == -5 + x6&&x11 == 1 + x7&&x12 == -1 + x8&&x2 == 6 - x6&&x3 == 1 - x7&&x4 == 2 - x8&&x5 == 2 + x9

MB¢¢ ,B¢=

æççççççè

-Λ1 - 1 -Λ2 + 1 -Λ3 + 2 -Λ4 + 1Λ1 + 2 Λ2 + 5 Λ3 - 1 Λ4 + 1

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4

ö÷÷÷÷÷÷ø

, Λ1Λ2, Λ3, Λ4 Î — .

[31]

a = {{1,0},{-1,2},{0,1}};

b = {{1,2,-1,0},{-1,-8,11,0},{0,-3,5,0}};

LinearSolve[a,b]

{{1,2,-1,0},{0,-3,5,0}}

MB¢¢ ,B(h) = K 1 2 -1 00 -3 5 0 O .

[32]

x = {{x1,x2},{x3,x4}};

1/2 {x + Transpose[x]}

:::x1, x2 + x3

2>,:x2 + x3

2,x4>>>

a = {{1,0,0,0},{0,1/2,1/2,0},{0,1/2,1/2,0},{0,0,0,1}};

NullSpace[a]

{{0,-1,1,0}}

Eigensystem[a]

{{0,1,1,1},{{0,-1,1,0},{0,0,0,1},{0,1,1,0},{1,0,0,0}}}

i) La linearita segue dalle proprieta della matrice trasposta.

ii) M( f ) =


1 0 0 0

012

12

0

012

12

0

0 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

iii) ker f = L KK 0 1-1 0 OO, im f = L KK 1 0

0 0 O , K 0 11 0 O , K 0 0

0 1 OO.

iv) A =


1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, B = KK 1 00 0 O , K 0 1

1 0 O , K 0 00 1 O , K 0 1

-1 0 OO.



[33]

a = {{2,14,-7},{0,-2,2},{0,-6,5}};

Eigensystem[a]

{{1,2,2},{{-7,2,3},{0,1,2},{1,0,0}}}

A¢ = P-1AP, P =æççççççè

-7 0 12 1 03 2 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[34]

a¢= {{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,-1,0},{0,0,0,0}};

b = {{0,0,2,1},{2,1,1,0},{0,1,-1,0},{1,0,0,0}};

MatrixForm[b.a¢.Inverse[b]]

æçççççççè

0 -1 1 20 0 1 20 1 0 -20 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) A =


0 -1 1 20 0 1 20 1 0 -20 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) A¢ =


1 0 0 00 1 0 00 0 -1 00 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, B =


0 0 2 12 1 1 00 1 -1 01 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, A = BA¢B-1 .

[35]

a = {1,2,0};b = {0,1,1};c = {1,1,1};i = {1,0,0}; j = {0,1,0};

LinearSolve[{a,b,c},{Cross[i,a] + Cross[j,b], 2 a. b b,{0,0,0}}]

:{0,-4,-4},:12,2,3>,: -

1

2,2,1>>

NullSpace[A = Transpose[%]]

{{1,1,1}}

A.{1,1,0}

:12,-2,-1>

A.{1,-1,0}

: -1

2,-6,-7>

Reduce[A.{x1,x2,x3} == {l,0,-l},{x1,x2,x3}]

l == 0&&x1 == x3&&x2 == x3

Eigensystem[A]

:{-1,0,4},::12,0,1>,{1,1,1},{0,1,1}>>

i) M( f ) =


012

-12

-4 2 2

-4 3 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



ii) im f = L K-4� - 4 � ,12

�+ 2� + 3 � O , ker f = L(

�+ � + � ) .

iii) f (H) = L K 12

�- 2� - � , -

12

�- 6� - 7 � O , f -1(K) = ker f .

iv) Sı; v) Λ1 = 0, ker f Å L(� , � ) = V3 .

[36]

m1 = {{2,0,-1,1},{1,2,0,-1},{0,-1,3,1},{1,2,1,-2}};

m2 = {{2h,-2,-1,-1},{h,-2h,4,1},{0,h + 6,1,-1},{h,-2h + 2,5,2}};

MatrixForm[M = Transpose[LinearSolve[m1,m2]]]

æçççççççè

h 0 0 00 -h 2 00 2 1 00 0 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Reduce[M.{x,y,z,t} == {0,0,0,0},{x,y,z,t}]

h == -4&&t == 0&&x == 0&&z == -2 y||h == 0&&t == 0&&y == 0&&z == 0||t == 0&&x == 0&&y == 0&&z == 0&&4 + h ¹ 0

Solve[Det[M] == 0]

{{h ® -4},{h ® 0}}

MatrixForm[Simplify[Inverse[M]]]

æçççççççè

1

h0 0 0

0 -1

4 + h

2

4 + h0

02

4 + h

h

4 + h0

0 0 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

b = Eigenvalues[M]

: - 1,h,1

2J1 - h -

017 + 2 h + h2N, 1

2J1 - h +

017 + 2 h + h2N>


Map[Solve,%]

{{{}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{},{{h ® -1}},{{}},{{h ® -1}},{{h ® 2}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{{}},{{h ® -1 - 4 ä},{h ® -1 + 4 ä}},{},{{h ® 2}},{{h ® -1 - 4 ä},{h ® -1 + 4 ä}},{{}}}

Eigensystem[M/.h ® -1]

{{-1,-1,-1,3},{{0,0,0,1},{0,-1,1,0},{1,0,0,0},{0,1,1,0}}}

Eigensystem[M/.h ® 2]

{{-3,-1,2,2},{{0,-2,1,0},{0,0,0,1},{0,1,2,0},{1,0,0,0}}}

i) M( f ) =


h 0 0 00 -h 2 00 2 1 00 0 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — .

ii) Se h ¹ 0, h ¹ -4: ker f = { � }, im f = —2,2 ;

se h = 0: ker f = L KK 1 00 0 OO , im f = L KK 0 0

1 0 O , K 0 21 0 O K 0 0

0 1 OO;

se h = -4: ker f = L KK 0 1-2 0 OO , im f = L KK 1 0

0 0 O , K 0 00 1 O K 0 2

1 0 OO.



iii) Se h ¹ 0, h ¹ -4: esiste f -1 , M( f -1) =

æçççççççççççççççççççççççççççççè

1h

0 0 0

0 -1

4 + h2

4 + h0

02

4 + hh

4 + h0

0 0 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — .

iv) f e semplice per ogni h Î — .

[37]

a = {{1,1,1,1},{0,1,-1,3},{2,2,-1,-1}};

b = {{1,2,-3,0},{1,1,1,-2}};

LinearSolve[Transpose[a],Transpose[b]]


LinearSolve[{{1,0,2},{1,1,2},{1,-1,-1},{1,3,-1}},{{1,1},{2,1},{-3,1},{0,-2}}]

Non esiste g .

[38] i) M( f ) =


1 2 02 0 00 -1 0

-4 -3 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

. ii) M( f ) =


1 1 -11 0 -1

-2 0 21 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

iii) Non ne esistono.

[39]

c = {{4,1,-1},{2,5,-2},{1,1,2}};

CharacteristicPolynomial[c,x]

45 - 39 x + 11 x2 - x3

Eigensystem[c]

{{3,3,5},{{1,0,1},{-1,1,0},{1,2,1}}}

{}

i) P(Λ) = -Λ3 + 11Λ2 - 39Λ + 45. ii) Λ1 = 3, mΛ1 = 2; Λ2 = 5, mΛ2 = 1.

iii) Sı, P =æççççççè

1 -1 10 1 21 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[40]

m1 = {{1,2,-1},{0,1,-1},{1,2,0}};

m2 = {{-8,-10,-10},{-6,-8,-10},{-5,-7,-6}};

a = Transpose[LinearSolve[m1,m2]]

{{1,-3,3},{3,-5,3},{6,-6,4}}

MatrixForm[a]

æçççççççè

1 -3 33 -5 36 -6 4

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

NullSpace[a]

{}

a.{-3,1,0}

{-6,-14,-24}

Inverse[a].{-3,1,0}

{0,-2,-3}

Inverse[a].{0,0,1}

:38,3

8,1

4>

Eigensystem[a]

{{-2,-2,4},{{-1,0,1},{1,1,0},{1,1,2}}}

ii) A =æççççççè

1 -3 33 -5 36 -6 4

ö÷÷÷÷÷÷ø

. iii) ker f = { � }, im f = T .

iv) f (H) = L KK 3 70 12 O , K 3 3

0 4 OO , f -1(H) = L KK 3 30 2 O , K 0 2

0 3 OO .

v) Sı (la molteplicita degli autovalori coincide con la dimensione degli autospazi);

vi) A¢ =æççççççè

-2 0 00 -2 00 0 4

ö÷÷÷÷÷÷ø

, B = KK 1 10 0 O , K -1 0

0 1 O , K 1 10 2 OO .

[41]

a = {{1,2,1},{0,1,3},{2,5,5}};

a.{1,0,1}

{2,3,7}

a.{-1,0,1}

{0,3,3}

Reduce[a .{x,y,z} == {l - m,0,l + m},{x,y,z}]

l == 3 m&&x == 2 m + 5 z&&y == -3 z

f (H) = L((2, 3, 7), (0, 1, 1)), f -1(H) = L((5, -3, 1), (1, 0, 0)).

[42] M( f ) =æççççççè

0 0 00 0 0Λ Λ -Λ

ö÷÷÷÷÷÷ø

, Λ Î —, Λ ¹ 0.



[43]

x = {x1,x2,x3};a = {1,-1,1}; b = {1,0,1};

Simplify[Cross[a,x] + b.a Cross[b,x]]

{-3 x2 - x3,3 (x1 - x3),x1 + 3 x2}

a = {{0,-3,-1},{3,0,-3},{1,3,0}};

NullSpace[a]

{{3,-1,3}}

a.{-1,0,1}

{-1,-6,-1}

a.{1,1,0}

{-3,3,4}

Reduce[a.x == l b, x]

l == 0&&x1 == x3&&x2 == -x3

3

p = {{1,1,0},{1,-1,0},{0,1,2}};

MatrixForm[Inverse[p].a.p]

æçççççççè

0 1 -4-3 1 27

2-3

2-1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Eigensystem[a]

::0,-ä019,ä

019>,

:{3,-1,3},: 1

10J - 9 - ä

019N,-

3

10ä Jä +

019N,1>,

: 1

10J - 9 + ä

019N, 3

10ä J - ä +

019N,1>>>

i) La linearita di f segue dalle proprieta del prodotto vettoriale.

ii) A = MB,B( f ) =æççççççè

0 -3 -13 0 -31 3 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iii) ker f = L(3�- � + 3 � ), im f = L(3� + � , -

�+ � ) .

iv) f (W) = L(�+ 6� + � , -3

�+ 3� + 4 � ), f -1(U) = ker f .

v) P =æççççççè

1 1 01 -1 00 1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, A¢ = P-1AP =

æççççççççè

0 1 -4-3 1 272

-32

-1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø

. vi) No.



[44]

a = {{1,2},{1,0}}; b = {{3,1},{-1,1}};

(a.b) .{1,1}

{4,4}

Solve[a.{x,y} == b.{x,y},{x,y}]


::x ®y

2>>

Solve[(a.b).{x,y} == (b.a).{x,y},{x,y}]


{{x ® -y}}

i) ( f ë g)( � 1 + � 2) = 4 � 1 + 4 � 2 . ii) � = (Λ, 2Λ), Λ Î — , � = (t, -t), t Î — .

[45] M( f ) =æççççççè

1 1 00 2 -12 -4 3

ö÷÷÷÷÷÷ø

, ker f = L((-1, 1, 2)), im f = L((1, 0, 2), (1, 2, -4)) ,

per esempio: M(g) =æççççççè

1 1 00 2 02 -4 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

, ker g = L((0, 0, 1)), img = im f .

[46]

a = {{1,0,0},{-14,8,2},{42,-21,-5}};

Eigensystem[a]

{{1,1,2},{{1,0,7},{1,2,0},{0,-1,3}}}

i) MB¢ ,B¢( f ) =

æççççççè

1 0 00 1 00 0 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, B¢ = ((1, 0, 7), (1, 2, 0), (0, 1, -3)).

ii) W = VΛ=1 = L((1, 0, 7), (1, 2, 0)).

[47]

a = {{1,0,0,0},{0,0,1,0},{0,1,0,0},{0,0,0,1}};

Inverse[a]

{{1,0,0,0},{0,0,1,0},{0,1,0,0},{0,0,0,1}}

NullSpace[a]

{}

Eigensystem[a]

{{-1,1,1,1},{{0,-1,1,0},{0,0,0,1},{0,1,1,0},{1,0,0,0}}}

i) La linearita di f segue dalle proprieta della matrice trasposta.

ii) M( f ) =


1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

. iii) M( f -1) = M( f ) .



iv) f e semplice; B¢ =


1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

B = KK 1 00 0 O , K 0 1

1 0 O , K 0 00 1 O , K 0 1

-1 0 OO.

[48]

a = {{x1,x2},{x3,x4}};

MatrixForm[a - 2Transpose[a]]

J -x1 x2 - 2 x3-2 x2 + x3 -x4

NA = {{-1,0,0,0},{0,1,-2,0},{0,-2,1,0},{0,0,0,-1}};

A.{1,0,0,-1}

{-1,0,0,1}

Reduce[A.{x1,x2,x3,x4} == {t1,t2,t3,-t1},{x1,x2,x3,x4}]

x1 == -t1&&x2 ==1

3(-t2 - 2 t3)&&x3 ==

1

3(-2 t2 - t3)&&x4 == t1

Eigensystem[A]

{{-1,-1,-1,3},{{0,0,0,1},{0,1,1,0},{1,0,0,0},{0,-1,1,0}}}

M( f ) =


-1 0 0 00 1 -2 00 -2 1 00 0 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

;

i) f (W) = W , f -1(W) = W .

ii) f e semplice, D =


-1 0 0 00 -1 0 00 0 -1 00 0 0 3

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

e riferita alla base:

B¢ = KK 0 00 1 O , K 0 1

1 0 O , K 1 00 0 O , K 0 -1

1 0 OO .

[49]

m = {{1,-1,1,1},{2,1,0,1},{3,0,1,k}};

Reduce[m.{x1,x2,x3,x4} == {0,0,0},{x1,x2,x3,x4}]

k == 2&&x2 == -2 x1 - x4&&x3 == -3 x1 - 2 x4||x2 == -2 x1&&x3 == -3 x1&&x4 == 0&& - 2 + k ¹ 0

M( f ) =æççççççè

1 -1 1 12 1 0 13 0 1 k

ö÷÷÷÷÷÷ø

, k Î — ;

se k ¹ 2: im f = S(—2,2) , ker f = L((-1, 2, 3, 0)) ;

se k = 2: im f = L KK -1 11 0 O , K 1 0

0 1 OO, ker f = L((-2, 1, 0, 3), (1, 0, 1, -2)).



[50]

a = {{1,0,2},{-1,2,2},{1,-1,-1}};

Eigensystem[a]

{{-1,1,2},{{-1,-1,1},{1,1,0},{2,-1,1}}}

i) Sı. ii) h = -1.

[51]

a = {{1,0,-1,0},{0,1,0,1},{0,0,0,1},{1,0,0,-1}};

b = {{2,-1,-3},{0,2,2},{1,-1,-2},{1,3,2}};

m = Transpose[LinearSolve[a,b]]

{{2,-1,0,1},{2,3,3,-1},{0,4,3,-2}}

NullSpace[m]

{{-1,2,0,4},{-3,-6,8,0}}

Solve[m.{x1,x2,x3,x4} == {-2t,-t,t}, {x1,x2,x3,x4}]


::x1 ® -7 t

8-3 x3

8-x4

4,x2 ®

t

4-3 x3

4+x4

2>>

i) Esiste una sola f perche i vettori: (1, 0, -1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, -1) costituiscono una base di —4 .

MB,B¢( f ) =

æççççççè

2 -1 0 12 3 3 -10 4 3 -2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, dove B e la base canonica di —4 e B¢ e la base canonica di S(—2,2) .

ii) ker f = L((3, 6, -8, 0), (1, -2, 0, -4)), im f = L KK 0 11 1 O , K 1 -1

-1 -2 OO.

iii) f -1(W) = ker f Å L((-7, 2, 0, 0)) .

[52]

x = {x1,x2,x3}; u = {1,-1,1};

(u.x) u - 3x

{-2 x1 - x2 + x3,-x1 - 2 x2 - x3,x1 - x2 - 2 x3}

m = {{-2,-1,1},{-1,-2,-1},{1,-1,-2}};

NullSpace[m]

{{1,-1,1}}

Eigensystem[m]

{{-3,-3,0},{{-1,0,1},{1,1,0},{1,-1,1}}}

i) La linearita di f segue dalle proprieta del prodotto scalare.

MB,B( f ) =æççççççè

-2 -1 1-1 -2 -11 -1 -2

ö÷÷÷÷÷÷ø

;

ii) ker f = L(�- � + � ), im f = L(2

�+ � - � ,

�+ 2� + � ) .

iii) D =æççççççè

-3 0 00 -3 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

, P =æççççççè

-1 1 10 1 -11 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[53]

a = {{1,h},{1,-1}}; x = {{x1,x2},{x3,x4}};

b = a . x - x . a

{{-x2 + h x3,-h x1 + 2 x2 + h x4},{x1 - 2 x3 - x4,x2 - h x3}}

Reduce[b == {{0,0},{0,0}}, {x1,x2,x3,x4}]

x1 == 2 x3 + x4&&x2 == h x3

m = {{0,-1,h,0},{-h,2,0,h},{1,0,-2,-1},{0,1,-h,0}};

c = Eigenvalues[m]

:0,0,-201 + h,2

01 + h>

Flatten[Table[c[[i]] == c[[j]], {i,4},{j,4}]];

Map[Solve,%]

{{{}},{{}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{{}},{{}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{{}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{{h ® -1}},{{}}}

Eigensystem[m/.h ® -1]

{{0,0,0,0},{{1,0,0,1},{2,-1,1,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}}

Eigensystem[m/.h ® 3]

{{-4,0,0,4},{{-1,-1,1,1},{1,0,0,1},{2,3,1,0},{-3,9,-1,3}}}

i) M( f ) =


0 -1 h 0-h 2 0 h1 0 -2 -10 1 -h 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — .

ker f = L KK 1 00 1 O , K 2 h

1 0 OO . ii) h > -1.

iii) B = KK -1 -11 1 O , K 1 0

0 1 O , K 2 31 0 O , K -3 9

-1 3 OO .

iv) im f È W = L KK -1 22 1 OO.

[54]

A = {{1,0,-1,2,3},{2,-1,0,1,2},{-3,1,1,-3,-5}};

NullSpace[A]

{{-3,-4,0,0,1},{-2,-3,0,1,0},{1,2,1,0,0}}

m = {{0,-1,1},{-1,0,1},{-2,h,hˆ2}};

Solve[Det[m] == 0]

{{h ® -2},{h ® 1}}

i) ker f = L((-3, -4, 0, 0, 1), (-2, -3, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 0, 0)), im f = L((0, -1, 1), (-1, 0, 1)).

ii) h = -2, h = 1. iii) f (W) = {(x1, x2, x3) Î —3/ x1 + x2 + x3 = 0} .



[55]

a = {1,-1,0}; b = {0,1,1}; X = {x,y,z};

Simplify[X - ((X.Cross[a,b])/(Cross[a,b].Cross[a,b]))Cross[a,b]]

:13

(2 x - y + z),1

3(-x + 2 y + z),

1

3(x + y + 2 z)>

m = {{2/3,-1/3,1/3},{-1/3,2/3,1/3},{1/3,1/3,2/3}};

NullSpace[m]

{{-1,-1,1}}

Eigensystem[m]

{{0,1,1},{{-1,-1,1},{1,0,1},{-1,1,0}}}

i) f associa ad ogni vettore � Î V3 la sua proiezione ortogonale sul piano vettoriale individuato da�

e da � .

ii) MB,B( f ) =


23

-13

13

-13

23

13

13

13

23

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

iii) MB¢,B¢=

æççççççè

1 0 00 1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iv) ker f = L(�+ � - � ) , im f = L(2

�- � + � ,

�- 2� - � ) .

f e semplice, B = (-�

- � + � ,�

+ � , -�

+ � ) . I risultati conseguiti nel punto iv) si possono ottenere tenendoconto del significato geometrico di f ; infatti gli autospazi di f sono, rispettivamente, generati dai vettori parallelie ortogonali a

�ß � .

[56]

B = LinearSolve[{{1,0,0},{0,1,0},{1,0,1}},{{1,0,h},{0,2,1},{1 + h,0,1 + h}}];

A = Transpose[B]

{{1,0,h},{0,2,0},{h,1,1}}

b = Eigenvalues[A]

{2,1 - h,1 + h}


Map[Solve,%]

{{{}},{{h ® -1}},{{h ® 1}},{{h ® -1}},{{}},{{h ® 0}},{{h ® 1}},{{h ® 0}},{{}}}

Eigensystem[A/.h ® -1]

{{0,2,2},{{1,0,1},{-1,0,1},{0,0,0}}}

Eigensystem[A/.h ® 1]

{{0,2,2},{{-1,0,1},{1,0,1},{0,0,0}}}


{{1,1,2},{{0,0,1},{1,0,0},{0,1,1}}}

(A/.h ® 1).{1,0,-1}

{0,0,0}

(A/.h ® 1).{0,1,1}

{1,2,2}




1 0 h0 2 0h 1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — ;

f e semplice per h /Î {-1, 1} ; ii) f (W) = L KK 1 22 2 OO.

[57]

X = {{x1,x2},{x3,x4}};B = {{1,0},{h,-1}};

Simplify[Inverse[B].X.B]

{{x1 + h x2,-x2},{h2 x2 - x3 + h (x1 - x4),-h x2 + x4}}

A := {{1,h,0,0},{0,-1,0,0},{h,hˆ2,-1,-h},{0,-h,0,1}}

Solve[Det[A] == 0]

{}

Eigensystem[A]

:{-1,-1,1,1},

:: - 1,2

h,0,1>,{0,0,1,0},{1,0,0,1},:2

h,0,1,0>>>


{{-1,-1,1,1},{{0,0,1,0},{0,1,0,0},{0,0,0,1},{1,0,0,0}}}

i) M( f ) =


1 h 0 00 -1 0 0h h2 -1 -h0 -h 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — ;

f e un isomorfismo per ogni valore di h Î — .

ii) f e semplice per ogni valore di h Î — .

iii) B = KK -1 20 -1 O , K 0 0

1 0 O , K 1 00 1 O , K 2 0

1 0 OO.

[58]

a = {{-1,-1,1},{1,0,1},{1,-1,0}};

b = {{0,0,0},{1,2,-3},{-1,1,0}};

LinearSolve[a,b]

{{0,1,-1},{1,0,-1},{1,1,-2}}

MatrixForm[A = Transpose[%]]

æçççççççè

0 1 11 0 1

-1 -1 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Eigensystem[A]

{{-1,-1,0},{{-1,0,1},{-1,1,0},{-1,-1,1}}}

i) A =æççççççè

0 1 11 0 1

-1 -1 -2

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) f e semplice, B = ((1, 1, -1), (-1, 1, 0), (-1, 0, 1)).



[59]

X = {{x1,x2},{x3,x4}}; B = {{-1,2},{h,-6}};

X.B

{{-x1 + h x2,2 x1 - 6 x2},{-x3 + h x4,2 x3 - 6 x4}}

A = {{-1,h,0,0},{2,-6,0,0},{0,0,-1,h},{0,0,2,-6}};

Reduce[A.{x1,x2,x3,x4} == {0,0,0,0}]

h == 3&&x1 == 3 x2&&x3 == 3 x4||x1 == 0&&x2 == 0&&x3 == 0&&x4 == 0&& - 3 + h ¹ 0

(A/.h ® 3).{0,1,-1,0}

{3,-6,1,-2}


{{-7,-7,0,0},{{0,0,-1,2},{-1,2,0,0},{0,0,3,1},{3,1,0,0}}}

i) M( f ) =


-1 h 0 02 -6 0 00 0 -1 h0 0 2 -6

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — :

se h ¹ 3: f e un isomorfismo,

se h = 3: ker f = L KK 3 10 0 O , K 0 0

3 1 OO, im f = L = KK -1 20 0 O , K 0 0

-1 2 OO.

ii) h = 3: f e semplice. iii) f (W) = L KK 3 -61 -2 OO.

[60]

A = {{2,0,0},{0,1,0},{-1,0,1}};

B = {{1,0,0},{1,2,0},{-1,-1,1}};

Eigensystem[A]

{{1,1,2},{{0,0,1},{0,1,0},{-1,0,1}}}

Eigensystem[B]

{{1,1,2},{{0,0,1},{-1,1,0},{0,-1,1}}}

i) A¢ = C-1AC, A¢ =æççççççè

2 0 00 1 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, C =æççççççè

1 0 00 1 0

-1 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

;

B¢ = D-1BD, B¢ =æççççççè

2 0 00 1 00 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, D =æççççççè

0 1 01 -1 0

-1 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) A e B sono associate allo stesso endomorfismo perche A¢ = B¢ , quindi

B = (CD-1)-1A(CD-1) .



[61]

a = {{2,1,0},{1,0,-1},{1,0,1}};

b = {{h,2,0},{0,1,-h},{0,1,h}};

LinearSolve[a,b]

{{0,1,0},{h,0,0},{0,0,h}}


æçççççççè

0 h 01 0 00 0 h

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Eigensystem[A]

:: -0h,

0h,h>,:: -

0h,1,0>,:0

h,1,0>,{0,0,1}>>

i) Esiste una sola f perche i vettori (2, 1, 0), (1, 0, -1), (1, 0, 1) costituiscono una base di —3 .


0 h 01 0 00 0 h

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — ; f e semplice se h > 0.

[62]

u1 = {1,3,2}; u2 = {-1,1,1};u3 = {1,0,2};v1 = {1,0,1,0};

v2 = {-1,1,0,2}; v3 = {1,2,1,0};v4 = {2,0,1,2};

LinearSolve[{u1,u2,u3},{v1 - v3,v2 + v4,v2 - v4}]

:: - 1,-1,-7

9,-

8

3>,:1,-1,

1

3,0>,: - 1,1,-

1

9,4

3>>


æçççççççè

-1 1 -1-1 -1 1

-7

9

1

3-1

9

-8

30

4

3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

NullSpace[A]

{}

i) ( �

1, �

2, �

3) e una base di —3 .

ii) M( f ) =


-1 1 -1

-1 -1 1

-79

13

-19

-83

043

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

; f e un monomorfismo.

iii) im f È W = L((3, -5, -1, 0)) .

[63] i) M( f ) =


1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

; ii) ker f = { � }, im f = —2,2 ;

iii) f (S) = S, f (A) = A ; iv) S, A ; v) sı perche S Å A = —2,2 .



[64]

a = {{0,1,2},{2,0,-1},{1,3,-1}};

b = {{8,-2 + 2k,16},{-1,-2 - k,-2},{4,-7 - k,8}};

LinearSolve[a,b]

{{1,-1,2},{2,-2,4},{3,k,6}}


æçççççççè

1 2 3-1 -2 k2 4 6

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Reduce[A.{x1,x2,x3} == {0,0,0}]

x1 == -2 x2&&x3 == 0||k == -3&&x1 == -2 x2 - 3 x3&&x3 ¹ 0

Eigensystem[A/.k ® -3]

{{0,0,5},{{-3,0,1},{-2,1,0},{1,-1,2}}}

i) f e lineare ("k Î —) perche ((0, 1, 2), (2, 0, -1), (1, 3, -1)) e una base di —3 .

ii) A = M( f ) =æççççççè

1 2 3-1 -2 k2 4 6

ö÷÷÷÷÷÷ø

, h Î — ;

se k ¹ -3: ker f = L((-2, 1, 0)), im f = L((1, -1, 2), (3, k, 6)) ;

se k = -3: ker f = L((-2, 1, 0), (-3, 0, 1)), im f = L((1, -1, 2)) .

iii) A¢ =æççççççè

0 0 00 0 00 0 5

ö÷÷÷÷÷÷ø

, B = ((-2, 1, 0), (-3, 0, 1), (-1, 1, -2)) .

[65]

A = {{0,-2,-2},{2,4,2},{-2,-2,0}};

NullSpace[A]

{{1,-1,1}}

A.{-1,0,1}

{-2,0,2}

A.{-1,1,0}

{-2,2,0}

Reduce[A.{x1,x2,x3} == {-3t1,t2,t1},{x1,x2,x3}]

t2 == 2 t1&&x1 ==1

2(-t1 - 2 x2)&&x3 ==

1

2(3 t1 - 2 x2)

Eigensystem[A]

{{0,2,2},{{1,-1,1},{-1,0,1},{-1,1,0}}}

i) B = KK 1 00 0 O , K 0 1

1 0 O , K 0 00 1 OO base di S ,

B¢ = KK 1 00 -1 O , K 0 1

0 0 O , K 0 01 0 OO base di T .

ii) A = MB,B¢( f ) =

æççççççè

0 -2 -22 4 2

-2 -2 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

,



ker f = L KK -1 11 -1 OO, im f = L KK 0 1

-1 0 O , K -1 10 1 OO.

iii) f (H) = L KK -1 10 1 O , K -1 0

1 1 OO,

f -1(K) = L KK 1 -1-1 1 O , K -4 3

3 0 OO .

iv) A¢ =æççççççè

2 0 00 2 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[66]

A = {{1,1,0},{2,1,1},{1,0,1},{0,1,-1}};

Reduce[A.{x1,x2,x3} == {t1,-t1,t2,t3},{x1,x2,x3}]

t2 == -2 t1&&t3 == 3 t1&&x1 == -2 t1 - x3&&x2 == 3 t1 + x3

M( f ) =


1 1 02 1 11 0 10 1 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

;

f -1(H) = L((-2, 3, 0), (-1, 1, 1)).

[67]

u = {1,0,-1,1};v = {0,0,2,-1};w = {2,0,4,-1};

RowReduce[{v,w,u}]

::1,0,0, 1

2>,:0,0,1,-

1

2>,{0,0,0,0}>

RowReduce[{u,v,w}]

::1,0,0, 1

2>,:0,0,1,-

1

2>,{0,0,0,0}>

A = {{1,1,0,0},{0,0,0,0},{-1,-1,4,-2},{1,1,-2,1}};

NullSpace[A]

{{0,0,1,2},{-1,1,0,0}}

i) � Î L( � , � ), � Î L( � , � ) .

ii) No perche � Î L( � , � ) Í VΛ=2 quindi � deve essere autovettore di autovalore 2.

iii) M( f ) =


1 1 0 00 0 0 0

-1 -1 4 -21 1 -2 1

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, dim ker f = 2.



[68]

A = {{1,1,1},{0,1,1},{2,1,1},{1,2,2}};

NullSpace[A]

{{0,-1,1}}

A.{-2,1,0}

{-1,1,-3,0}

Reduce[A.{y1,y2,y3} == {-2x2,x2,x3,x4},{y1,y2,y3}]

x3 == -5 x2&&x4 == -x2&&y1 == -3 x2&&y2 == x2 - y3

i) M( f ) =


1 1 10 1 12 1 11 2 2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

ker f = L((0, -1, 1)), im f = L((1, 0, 2, 1), (1, 1, 1, 2)).

ii) f (H) = L((1, 1, 1, 2), (-1, 1, -3, 0)) .

iii) f -1(K) = L((0, -1, 1), (-3, 1, 0)).

[69]

A = {{-1,1,6},{0,-1,0},{0,0,2}};

MatrixForm[B = Inverse[A]]

æçççççççè

-1 -1 30 -1 0

0 01

2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

A.{-1,1,0}

{2,-1,0}

B.{-1,1,0}

{0,-1,0}

Eigensystem[A]

{{-1,-1,2},{{1,0,0},{0,0,0},{2,0,1}}}

i) Equazioni di f -1 :

ìïïïïïïïíïïïïïïïî

x = -x¢ - y¢ + 3z¢

y = -y¢

z =12

z¢.

ii) f (H) = L((-2, 1, 0), (6, 0, 2)), f -1(H) = L K(0, 1, 0), K3, 0,12

OO .

iii) f non e semplice.



[70]

A = {{a,1},{1,a},{1,-1}};

Reduce[A.{x1,x2} == {0,0,0},{x1,x2}]

a == -1&&x1 == x2||x1 == 0&&x2 == 0&&1 + a ¹ 0

NullSpace[A/.a ® -1]

{{1,1}}


a 11 a1 -1

ö÷÷÷÷÷÷ø

, a Î — . ii) a ¹ -1.

iii) ker f = L((1, 1)), im f = L((-1, 1, 1)) .

[71]

A = {{3,2,1},{-3,-2,h + 1},{6,4,2}};

Reduce[A.{x1,x2,x3} == {0,0,0},{x1,x2,x3}]

h == -2&&x1 ==1

3(-2 x2 - x3)||x1 == -

2 x2

3&&x3 == 0&&2 + h ¹ 0

Eigenvalues[A]

:0, 1

2J3 -

041 + 16 hN, 1

2J3 +

041 + 16 hN>

Solve[%[[3]] == 3]

{{h ® -2}}

Eigensystem[A/.h ® -2]

{{0,0,3},{{-1,0,3},{-2,3,0},{1,-1,2}}}

i) Se h = -2: ker f = L((-1, 0, 3), (-2, 3, 0)), im f = L((1, -1, 2)) ,

se h ¹ -2: ker f = L((2, -3, 0)) , im f = L((1, -1, 2), (1, h + 1, 2)) . ii) h = -2.

iii) D =æççççççè

0 0 00 0 00 0 3

ö÷÷÷÷÷÷ø


-1 -2 -10 3 13 0 -2

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[72]

A = {{0,h,h},{1,hˆ2 - h,1},{h - 1,0,h - 1}};

Reduce[A.{x1,x2,x3} == {0,0,0},{x1,x2,x3}]

h == 0&&x1 == -x3||h == 0&&x1 == x2&&x3 == -x2||h == 1&&x1 == x2&&x3 == -x2||x1 == 0&&x2 == 0&&x3 == 0&& - 1 + h ¹ 0&&h ¹ 0


{{-1,0,1},{{-1,1,0},{-1,-1,1},{1,1,0}}}

i) h = 0, ker f = L((-1, 0, 1), (0, 1, 0)).

ii) Λ1 = -1, VΛ1 = L((-1, 1, 0)) , Λ2 = 0, VΛ2 = L((-1, -1, 1)) , Λ3 = 1, VΛ3 = L((1, 1, 0)) .

iii) f e semplice.



[73]

A = {{0,-1,-1},{-1,0,1},{1,-1,-2}};

NullSpace[A]

{{1,-1,1}}

A.{1,2,0}

{-2,-1,-1}

Reduce[A.{x1,x2,x3} == {a,2a,b},{x1,x2,x3}]

b == -a&&x1 == -2 a + x3&&x2 == -a - x3

Eigensystem[A]

{{-1,-1,0},{{1,0,1},{1,1,0},{1,-1,1}}}


0 -1 -1-1 0 11 -1 -2

ö÷÷÷÷÷÷ø

;

ker f = L((1, -1, 1)), im f = L((0, -1, 1), (1, 0, 1)) .

ii) f (H) = L((2, 1, 1), (-1, 1, -2)); f -1(H) = L((1, -1, 1), (2, 1, 0)) .

iii) f e semplice, B = ((1, -1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)).

[74]

a = {{0,1,-1},{1,-1,1},{-1,-1,0}};

b = {{0,1,-1},{0,0,0},{1,1,0}};

LinearSolve[a,b]

{{0,1,-1},{-1,-2,1},{-1,-3,2}}


æçççççççè

0 -1 -11 -2 -3

-1 1 2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

NullSpace[A]

{{1,-1,1}}

Eigensystem[A]

{{-1,0,1},{{1,1,0},{1,-1,1},{0,-1,1}}}

i) f e un’applicazione lineare perche e definita mediante l’immagine dei vettori di una base di —3 , inoltre, dalladefinizione, e chiaro che ammette tre autovalori distinti: (-1, 0, 1) , quindi e semplice.

ii) MB,B( f ) =æççççççè

0 -1 -11 -2 -3

-1 1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iii) ker f = L((1, -1, 1)), im f = L((0, 1, -1), (-1, -2, 1)) .

[75] i) ker f = im f = L((0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)).

ii) f (H) = im f , f -1(H) = {(x, y, z, t) Î —4/ x + y = 0} .

iii) Λ = 0, mΛ = 4, VΛ = ker f , f non e semplice.



[76]

A = {{0,1,1,h},{1,-1,0,-1},{1,0,1,0}};X = {x1,x2,x3,x4};

Reduce[A.X == {0,0,0},X]

h == 1&&x1 == -x3&&x2 == -x3 - x4||x1 == -x3&&x2 == -x3&&x4 == 0&& - 1 + h ¹ 0

h = 1;

A.{1,1,-1,0}

{0,0,0}

A.{0,1,0,-1}

{0,0,0}

A.{1,2,-1,0}

{1,-1,0}

Reduce[A.X == {l,0,-l},X]

l == 0&&x1 == -x3&&x2 == -x3 - x4

B = A.Transpose[A];

MatrixForm[B]

æçççççççè

3 -2 1-2 3 11 1 2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Q = Eigensystem[B]

{{0,3,5},{{-1,-1,1},{1,1,2},{-1,1,0}}}


P = GramSchmidt[Q[[2]]]

:: -103,-

103,

103

>,: 106,

106,

22

3>,: -

102,

102,0>>

MatrixForm[Transpose[P]]

æçççççççè

-103

106

-102

-103

106

102

103

22

30

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) Se h ¹ 1: ker f = L((1, 1, -1, 0)), im f = —3 ;

se h = 1: ker f = L((-1, -1, 1, 0), (0, -1, 0, 1)), im f = L((-1, 1, 0), (0, 1, 1)).

ii) f (H) = L((1, -1, 0)), f -1(K) = ker f .

iii) Λ1 = 0,VΛ1 = L((-1, -1, 1)), Λ2 = 3,VΛ2 = L((1, 1, 2)), Λ3 = 5,VΛ3 = L((-1, 1, 0)) ;

P =


-103

106

-102

-103

106

102

103

223

0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[77]

A = {{2,0,1,-3},{1,-1,0,1},{-3,1,-1,2h}};X = {x1,x2,x3,x4};

Reduce[A.X == {0,0,0},X]

h == 1&&x2 == x1 + x4&&x3 == -2 x1 + 3 x4||x2 == x1&&x3 == -2 x1&&x4 == 0&& - 1 + h ¹ 0

h = 1;

Solve[{kˆ2 - 2,k - 2,2k} == x{2,1,-3} + y{0,-1,1}]

::y ®1

2,x ® -

1

2,k ® 1>,{y ® 13,x ® 7,k ® -4}>

Solve[{x1 - x2 == 0,x3 + x4 == 0},X]


{{x1 ® x2,x3 ® -x4}}

A.{1,1,0,0}

{2,0,-2}

A.{0,0,-1,1}

{-4,1,3}

Reduce[A.X == x{1,-2,0} + y{0,2,1},X]

x == 3 y&&x2 == x1 + x4 + 4 y&&x3 == -2 x1 + 3 x4 + 3 y

i) Se h = 1: ker f = L((1, 1, -2, 0), (0, 1, 3, 1)) , im f = L((2, 1, -3), (0, -1, 1));

se h ¹ 1: ker f = L((1, 1, -2, 0)) , im f = —3 .

ii) k = -4 e k = 1.

iii) f (H) = L((2, 0, -2), (4, -1, -3)) e f -1(K) = L((1, 1, -2, 0), (0, 4, 3, 0), (0, 1, 3, 1)).

iv) Sı perche la matrice tAA e simmetrica.

[78]

A = {{1,1,1},{1,1,0},{h,1,1}};X = {x1,x2,x3};

Reduce[A.X == {0,0,0},X]

h == 1&&x2 == -x1&&x3 == 0||x1 == 0&&x2 == 0&&x3 == 0&& - 1 + h ¹ 0

h = 1;

Reduce[A.X == {1,2,-1 + a},X]

a == 2&&x1 == 2 - x2&&x3 == -1

Eigensystem[A]

::0, 1

2J3 -

05N, 1

2J3 +

05N>,

:{-1,1,0},:1,-1 -

05

-3 +05,1>,:1,-

-1 -05

3 +05,1>>>

i) Se h ¹ 1: ker f = { � }, im f = —3 ;

se h = 1: ker f = L((1, -1, 0)), im f = L((1, 1, 1), (1, 0, 1)) .

ii) Se a ¹ 2: non esiste f -1(H) ;

se a = 2: f -1(H) = {(2 - Λ, Λ, -1), Λ Î —} .



iii) Λ1 = 0, Λ2 =12

(3-0

5), Λ3 =12

(3+0

5) ; VΛ1 = ker f , VΛ2 = Læçççè

æçççè1, -

1 -0

5

-3 +0

5, 1

ö÷÷÷ø

ö÷÷÷ø

,VΛ2 = Læçççè

æçççè1, -

-1 -0

5

3 +0

5, 1

ö÷÷÷ø

ö÷÷÷ø.

[79]

a = {2,-1,1};X = {x1,x2,x3};

Cross[2X,a]

{2 x2 + 2 x3,-2 x1 + 4 x3,-2 x1 - 4 x2}

A = {{0,2,2},{-2,0,4},{-2,-4,0}};

NullSpace[A]

{{2,-1,1}}

A.{1,2,0}

{4,-2,-10}

A.{0,1,1}

{4,4,-4}

Reduce[A.X == l{1,2,0} + m{0,1,1},X]

x1 ==1

2(-2 l - m + 4 x3)&&x2 ==

1

2(l - 2 x3)

Eigensystem[A]

::0,-2 ä06,2 ä

06>,

:{2,-1,1},:15

J - 2 + ä06N, 1

5ä J - ä + 2

06N,1>,

:15

J - 2 - ä06N,-

1

5ä Jä + 2

06N,1>>>

i) La linearita di f segue dalle proprieta del prodotto vettoriale.

ii) A = MB,B( f ) =æççççççè

0 2 2-2 0 4-2 -4 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iii) ker f = L((2, -1, 1)), im f = L((0, 1, 1), (1, 0, -2)).

iv) f (W) = L((4, -2, -10), (4, 4, -4)), f -1(W) = ;K-a -12

b + 2z,12

a - z, zO , a, b, z Î —?.

v) Λ1 = 0, VΛ1 = ker f , f non e semplice.



[80]

A = {{1,1,1},{2,1,0},{h,0,1}};X = {x1,x2,x3};

Reduce[A.X == {0,0,0}, X]

h == -1&&x2 == -2 x1&&x3 == x1||x1 == 0&&x2 == 0&&x3 == 0&&1 + h ¹ 0

Eigenvalues[A]

:1,1 -02 + h,1 +

02 + h>

h = -2;

Eigensystem[A]

{{1,1,1},{{0,-1,1},{0,0,0},{0,0,0}}}

h = -1;

A.{1,2,-2}

{1,4,-3}

A.{1,0,-1}

{0,2,-2}

Reduce[A.X == {t + w,2t,-2t - w},X]

2 w == -t&&x2 == 2 (t - x1)&&x3 ==1

2(-3 t + 2 x1)

h = 2;

Eigensystem[A]

{{-1,1,3},{{-1,1,1},{0,-1,1},{1,1,1}}}

i) h ¹ -1, ker f = { � }, im f = —3 ;

h = -1, ker f = L((1, -2, 1)), im f = L((1, 2, -1), (1, 0, 1));

ii) f (H) = L((1, 4, -3), (0, 2, -2)); f -1(H) = L((1, -2, 1), (-3, 2, 0));

iii) h > -2;

iv) Λ1 = -1, Λ2 = 1, Λ3 = 3; VΛ1 = L((-1, 1, 1)), VΛ2 = L((0, 1, -1)), VΛ3 = L((1, 1, 1)) .

f e diagonalizzabile.



[81]

A = {{2,-1,0,-1},{0,3,-1,2}};B = {{1,2},{0,1},{-2,1}};

MatrixForm[B.A]

æçççççççè

2 5 -2 30 3 -1 2

-4 5 -1 4

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

P = NullSpace[B.A]

{{1,-4,0,6},{1,2,6,0}}

RowReduce[Transpose[B.A]]

{{1,0,-2},{0,1,5},{0,0,0},{0,0,0}}

Solve[x{1,0,0,0} + y{0,1,0,0} + z{0,0,1,0} == t P[[1]] + w P[[2]],{x,y,z,t,w}]


{{x ® w,y ® 2 w,z ® 6 w,t ® 0}}

Reduce[B.A.{x1,x2,x3,x4} == {t1,0,t2},{x1,x2,x3,x4}]

2 t1 == -t2&&x1 ==1

12(-3 t2 + 2 x3 + 2 x4)&&x2 ==

1

3(x3 - 2 x4)

i) ker(g ë f ) = L((1, -4, 0, 6), (1, 2, 6, 0)), im(g ë f ) = L((1, 0, -2), (0, 1, 5));

ii) G = L((1, 2, 6, 0)) ;

iii) (g ë f )(H) = im(g ë f ), (g ë f )-1(K) = L((1, -4, 0, 6), (1, 2, 6, 0), (1, 0, 0, 0)).

[82]

A = {{1,-1,3},{0,1,1},{0,3,-1}};

P = Inverse[A]

:{1,-2,1},:0, 1

4,1

4>,:0, 3

4,-

1

4>>

MatrixForm[Transpose[P]]

æçççççççè

1 0 0

-21

4

3

41

1

4-1

4

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

B = {{1,-2,3},{1,-1,1},{2,-2,7}};

Q = Inverse[B]

:: - 1,8

5,1

5>,: - 1,

1

5,2

5>,:0,-

2

5,1

5>>

MatrixForm[Transpose[Q]]

æçççççççè

-1 -1 08

5

1

5-2

51

5

2

5

1

5

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) f1 = x, f2 = -2x +14

y +34

z, f3 = x +14

y -14

z .

ii) f1 = -x - y, f2 =85

x +15

y -25

z, f3 =15

x +25

y +15

z .



[83]

A = {{1,0,1},{1,2,0},{1,3,3}};

B = {{4,0,1},{3,1,0},{1,2,1}};

P = LinearSolve[A,B]

::317,-

1

7,4

7>,: -

5

7,4

7,-

2

7>,: -

3

7,1

7,3

7>>

MatrixForm[P]

æçççççççè

31

7-1

7

4

7-5

7

4

7-2

7-3

7

1

7

3

7

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

X = Inverse[Transpose[A]]

::67,-

3

7,1

7>,:3

7,2

7,-

3

7>,: -

2

7,1

7,2

7>>

Y = Inverse[Transpose[B]]

::19,-

1

3,5

9>,:2

9,1

3,-

8

9>,: -

1

9,1

3,4

9>>

Q = LinearSolve[X,Y]

::29,1

3,1

9>,:1

9,5

3,-

4

9>,: -

2

9,2

3,17

9>>

Inverse[Transpose[P]]

::29,1

3,1

9>,:1

9,5

3,-

4

9>,: -

2

9,2

3,17

9>>

MatrixForm[Q]

æçççççççè

2

9

1

3

1

91

9

5

3-4

9-2

9

2

3

17

9

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) P =


317

-17

47

-57

47

-27

-37

17

37

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) B*1 = K 6

7x +

37

y -27

z, -37

x +27

y +17

z,17

x -37

y +27

zO ;

B*2 = K 1

9x +

29

y -19

z, -13

x +13

y +13

z,59

x -89

y +49

zO.

iii) Q = tP-1 =


29

13

19

19

53

-49

-29

23

179

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[84]

A = {{1,1,0},{0,1,1}};

Transpose[A].{3,-1}

{3,2,-1}

tF( f ) = 3x + 2y - z .

[85] i) H = L((-2, 1, 0, 0), (-3, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)), K = L((

�, � ) ,

H + K = —4, H È K = L((1, 1, -1, -6)) .

ii) f = Λx1 + 2Λx2 + 3Λx3, Λ Î —, Λ ¹ 0.

[86] i) ker f È ker g = L((1, -2, 1) ;

ii) Μ = 3 - 3Λ .

[87]

LinearSolve[{{1,1,0},{0,1,1},{1,0,1}},{1,2,0}]

: -1

2,3

2,1

2>

NullSpace[{%}]

{{1,0,1},{3,1,0}}

i) ;-12

,32

,12

?;

ii) ker f = L((1, 0, 1), (3, 1, 0)).

[88]

A = {{1,0,1},{1,-2,0},{1,3,3}};

B = {{-2,0,1},{2,1,0},{1,2,1}};

MatrixForm[Inverse[A].B]

æçççççççè

-20 -7 4-11 -4 218 7 -3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Inverse[A]

{{6,-3,-2},{3,-2,-1},{-5,3,2}}

Inverse[B]

{{1,2,-1},{-2,-3,2},{3,4,-2}}

MatrixForm[Transpose[Inverse[B].A]]

æçççççççè

2 -3 5-7 12 -14-2 4 -3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) Sia B* la base canonica di (—3)* , la matrice del cambiamento di base da B* a B*1 e:

A =æççççççè

1 0 11 -2 01 3 3

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



La matrice del cambiamento di base da B* a B*2 e:

B =æççççççè

-2 0 12 1 01 2 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

Pertanto la matrice del cambiamento di base da B*1 a B

*2 e:

A-1B =æççççççè

-20 -7 4-11 -4 218 7 -3

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) B1 = ((6, -3, -2), (3, -2, -1), (-5, 3, 2)), B2 = ((1, 2, -1), (-2, -3, 2), (3, 4, -2)).

iii) La matrice richiesta e: t(B-1A) .


Capitolo 16

Soluzioni - Diagonalizzazione di matrici

[1]

A = {{2,1,0},{1,2,1},{0,1,2}};

Eigensystem[A]

::2,2 -02,2 +

02>,:{-1,0,1},:1,-

02,1>,:1,0

2,1>>>

Λ1 = 2, Λ2 = 2 -0

2, Λ3 = 2 +0

2.

VΛ1 = L((-1, 0, 1)), VΛ2 = L((1, -0

2, 1)), VΛ3 = L((1,0

2, 1)).

[2]

A = {{2,1,-1},{1,1,1},{-1,1,5}};

FullSimplify[Eigensystem[A]]

::0,4 -02,4 +

02>,

:{2,-3,1},:4 + 302,3 + 2

02,1>,:4 - 3

02,3 - 2

02,1>>>

Λ1 = 0, Λ2 = 4 -0

2, Λ3 = 4 +0

2.

VΛ1 = L((2, -3, 1)), VΛ2 = L((4 + 30

2, 3 + 20

2, 1)),

VΛ3 = L((4 - 30

2, 3 - 20

2, 1)).

[3]

A = {{2,0,2},{0,1,0},{2,0,-1}};

Eigensystem[A]

{{-2,1,3},{{-1,0,2},{0,1,0},{2,0,1}}}

Λ1 = -2, Λ2 = 1, Λ3 = 3.

VΛ1 = L((-1, 0, 2)), VΛ2 = L((0, 1, 0)), VΛ3 = L((2, 0, 1)) .

[4]

A = {{1,-2,-1},{-2,0,2},{-1,2,1}};

Eigensystem[A]

{{-2,0,4},{{-1,-2,1},{1,0,1},{-1,1,1}}}

Λ1 = -2, Λ2 = 0, Λ3 = 4.

189


VΛ1 = L((-1, -2, 1)), VΛ2 = L((1, 0, 1)), VΛ3 = L((-1, 1, 1)) .

[5]

A = {{2,1,1},{1,-2,3},{3,4,-1}};

Eigensystem[A]

{{-5,0,4},{{0,-1,1},{-1,1,1},{9,7,11}}}

Λ1 = -5, Λ2 = 0, Λ3 = 4.

VΛ1 = L((0, -1, 1)), VΛ2 = L((-1, 1, 1)), VΛ3 = L((9, 7, 11)) .

[6]

A = {{0,-2,-2},{2,4,2},{-2,-2,0}};

Eigensystem[A]

{{0,2,2},{{1,-1,1},{-1,0,1},{-1,1,0}}}

Λ1 = 0, Λ2 = 2 (doppio).

VΛ1 = L((1, -1, 1)), VΛ2 = L((-1, 0, 1), (-1, 1, 0)) .

[7]

A = {{1,-1,0,0},{-1,2,-1,0},{0,-1,1,0},{0,0,0,1}};

Eigensystem[A]

{{0,1,1,3},{{1,1,1,0},{0,0,0,1},{-1,0,1,0},{1,-2,1,0}}}

Λ1 = 0, Λ2 = 1 (doppio), Λ3 = 3.

VΛ1 = L((1, 1, 1, 0)), VΛ2 = L((0, 0, 0, 1), (-1, 0, 1, 0)), VΛ3 = L((1, -2, 1, 0)) .

[8]

A = {{1,0,0,0},{0,1,-1,0},{0,-1,1,0},{0,0,0,1}};

Eigensystem[A]

{{0,1,1,2},{{0,1,1,0},{0,0,0,1},{1,0,0,0},{0,-1,1,0}}}

Λ1 = 0, Λ2 = 1 (doppio), Λ3 = 2.

VΛ1 = L((0, 1, 1, 0)), VΛ2 = L((0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0)), VΛ3 = L((0, -1, 1, 0)) .

[9]

A = {{3,-1,0,0},{-1,3,0,0},{0,0,4,1},{0,0,1,4}};

Eigensystem[A]

{{2,3,4,5},{{1,1,0,0},{0,0,-1,1},{-1,1,0,0},{0,0,1,1}}}

Λ1 = 2, Λ2 = 3, Λ3 = 4, Λ4 = 5.

VΛ1 = L((1, 1, 0, 0)), VΛ2 = L((0, 0, -1, 1)),

VΛ3 = L((-1, 1, 0, 0)), VΛ4 = L((0, 0, 1, 1)) .


Capitolo 16 – Soluzioni - Diagonalizzazione di matrici 191

[10]

A = { {1,0,0,0},{0,0,0,0},{0,1,1,0},{0,0,0,1}};

Eigensystem[A]

{{0,1,1,1},{{0,-1,1,0},{0,0,0,1},{0,0,1,0},{1,0,0,0}}}

Λ1 = 0, Λ2 = 1 (triplo).

VΛ1 = L((0, -1, 1, 0)), VΛ2 = L((0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0)).

[11]

A = {{1,-4,3,0},{-4,1,0,0},{3,0,1,0},{0,0,0,1}};

Eigensystem[A]

{{-4,1,1,6},{{-5,-4,3,0},{0,0,0,1},{0,3,4,0},{5,-4,3,0}}}

Λ1 = -4, Λ2 = 1 (doppio), Λ3 = 6.

VΛ1 = L((-5, -4, 3, 0)), VΛ2 = L((0, 0, 0, 1), (0, 3, 4, 0)), VΛ3 = L((5, -4, 3, 0)) .

[12]

A = {{2,0,0,0},{0,1,1,0},{0,1,1,0},{0,0,0,2}};

Eigensystem[A]

{{0,2,2,2},{{0,-1,1,0},{0,0,0,1},{0,1,1,0},{1,0,0,0}}}

Λ1 = 0, Λ2 = 2 (triplo).

VΛ1 = L((0, -1, 1, 0)), VΛ2 = L((0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)).

[13]

A = {{0,0,0,0},{0,1,-1,0},{0,-1,1,0},{0,0,0,0}};

Eigensystem[A]

{{0,0,0,2},{{0,0,0,1},{0,1,1,0},{1,0,0,0},{0,-1,1,0}}}

Λ1 = 0 (triplo), Λ2 = 2.

VΛ1 = L((0, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)), VΛ2 = L((0, -1, 1, 0)) .

[14]

A = {{1,0,0,2},{0,1,0,2},{0,0,1,2},{2,2,2,3}};

RootReduce[Eigensystem[A]]

::1,1,2 -013,2 +

013>,:{-1,0,1,0},{-1,1,0,0},

:16

J - 1 -013N, 1

6J - 1 -

013N, 1

6J - 1 -

013N,1>,

:16

J - 1 +013N, 1

6J - 1 +

013N, 1

6J - 1 +

013N,1>>>

Λ1 = 1 (doppio), Λ2 = 2 -0

13, Λ3 = 2 +0

13.

VΛ1 = L((-1, 0, 1, 0), (-1, 1, 0, 0)) ,

VΛ2 = L((1 +0

13, 1 +0

13, 1 +0

13, -6)) ,



VΛ3 = L((1 -0

13, 1 -0

13, 1 -0

13, -6)) .

[15]

A = {{2,-1,0,0},{-1,-2,0,0},{0,0,2,-1},{0,0,-1,-2}};

Eigensystem[A]

:: -05,-

05,

05,

05>,::0,0,-2 +

05,1>,

: - 2 +05,1,0,0>,:0,0,-2 -

05,1>,: - 2 -

05,1,0,0>>>

Λ1 = -0

5 (doppio), Λ2 =0

5 (doppio).

VΛ1 = L((0, 0, -2 +0

5, 1), (-2 +0

5, 1, 0, 0)) ,

VΛ2 = L((0, 0, -2 -0

5, 1), (-2 -0

5, 1, 0, 0)) .

[16]

A = {{a,2,a - 1},{-3,5,-2},{-4,4,-1}};

Solve[{CharacteristicPolynomial[A,x]/. x ® 1} == 0][[1]]

{a ® 0}

Eigensystem[A/.%]

{{1,1,2},{{0,1,2},{0,0,0},{1,1,0}}}

i) a = 0. ii) No.

[17]

A = {{1,0,0},{1,-1,0},{2,3,2}};

Eigensystem[A]

{{-1,1,2},{{0,-1,1},{-2,-1,7},{0,0,1}}}

i) P =æççççççè

0 -2 0-1 -1 01 7 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

. ii) No.

[18]

A = {{0,h,h},{1,hˆ2 - h,1},{h - 1,0,h - 1}};

Solve[Det[A] == 0]

{{h ® 0},{h ® 0},{h ® 1},{h ® 1}}


{{-1,0,1},{{-1,1,0},{-1,-1,1},{1,1,0}}}

i) h Î {0, 1} . ii) Λ1 = -1, Λ2 = 0, Λ3 = 1.

VΛ1 = L((-1, 1, 0)), VΛ2 = L((-1, -1, 1)), VΛ3 = L((1, 1, 0)) . iii) Sı



[19]

A = {{1,2,-4},{2,-2,-2},{-4,-2,1}};

m = Eigensystem[A]

{{-3,-3,6},{{1,0,1},{-1,2,0},{-2,-1,2}}}


GramSchmidt[m[[2]]]

:: 102,0,

102

>,: -1

302,2

02

3,

1

302

>,: -2

3,-

1

3,2

3>>

i) Λ1 = -3 (doppio), Λ2 = 6.

VΛ1 = L((1, 0, 1), (-1, 2, 0)), VΛ2 = L((-2, -1, 2)) .

ii) B =æçççèK 10

2, 0,

102

O ,æçççè-

1

30

2,

20

23

,1

30

2

ö÷÷÷ø

, K 23

,13

,-23

Oö÷÷÷ø

.

iii) P =


102

-1

30

2

23

020

23

13

102

1

30

2

-23

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[20]

A = {{3,2,1},{-3,-2,h + 1},{6,4,2}};

Solve[{CharacteristicPolynomial[A,x]/.x ® 3} == 0][[1]]

{h ® -2}

Eigensystem[A/. %]

{{0,0,3},{{-1,0,3},{-2,3,0},{1,-1,2}}}

i) h = -2. ii) Λ1 = 0 (doppio), Λ2 = 3.

VΛ1 = L((-1, 0, 3), (-2, 3, 0)), VΛ2 = L((1, -1, 2)) .

D =æççççççè

0 0 00 0 00 0 3

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

B = ((-1, 0, 3), (-2, 3, 0), (1, -1, 2)) .

[21]

A = {{1,-2,4,1},{2,-3,9,-1},{1,0,6,-5},{2,-5,7,5}};

Det[A]

0

Sı.



[22]

A = {{1,-1,a + 2},{2a + 1,-1,0},{0,0,a}};

X = {x1,x2,x3}; B = {0,0,0};

Reduce[A.X == B,X]

a == 0&&x2 == x1&&x3 == 0||x1 == 0&&x2 == 0&&x3 == 0&&a ¹ 0

c = A/.a ® -1;

MatrixForm[b = Transpose[c] + c]

æçççççççè

2 -2 1-2 -2 01 0 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Eigenvalues[b]

{-3,-2,3}

a ¹ 0: una soluzione (la soluzione nulla);

a = 0: infinite soluzioni dipendenti da un’incognita libera.

B = tA + A =æççççççè

2 -2 1-2 -2 01 0 -2

ö÷÷÷÷÷÷ø

, Λ1 = -3, Λ2 = -2, Λ3 = 3.

[23]

A = {{0,a,-1,0},{a,0,1,0},{-1,1,-1,0}, {0,0,0,a}};

Solve[Det[A] == 0]

{{a ® 0},{a ® 0},{a ® 2}}

Eigensystem[A/.%[[1]]]

{{-2,0,0,1},{{1,-1,2,0},{0,0,0,1},{1,1,0,0},{-1,1,1,0}}}

i) a /Î {0, 2} . ii) Λ1 = -2, Λ2 = 0 (doppio), Λ2 = 1.

VΛ1 = L((1, -1, 2, 0)), VΛ2 = L((0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0)), VΛ3 = L((-1, 1, 1, 0)) .

[24]

A = {{2,1,a},{1,1,-1},{a,-1,2}};

Solve[Det[A] == 0]

{{a ® -2},{a ® 0}}

Eigensystem[A/.a ® 0]

{{0,2,3},{{-1,2,1},{1,0,1},{-1,-1,1}}}

i) a Î {-2, 0} . ii) Λ1 = 0, Λ2 = 2, Λ3 = 3.

VΛ1 = L((-1, 2, 1)), VΛ2 = L((1, 0, 1)), VΛ3 = L((-1, -1, 1)) .

[25]

A = {{0,2,a},{2,1,1},{a,1,1}};

Solve[Det[A] == 0]

{{a ® 2},{a ® 2}}

Eigensystem[A/.a ® 2]

{{-2,0,4},{{-2,1,1},{0,-1,1},{1,1,1}}}

i) a = 2; ii) Λ1 = -2, Λ2 = 0, Λ3 = 4.



VΛ1 = L((-2, 1, 1)), VΛ2 = L((0, -1, 1)), VΛ3 = L((1, 1, 1)) .

[26]

A = {{1,0,1},{1,h,2},{-1,h,1 - hˆ2}}; X = {x,y,z}; B = {0,1,h};

Reduce[A.X == B,X]

h == 1&&x == -z&&y == 1 - z||

x ==1

1 + h&&y ==

2 + h

h (1 + h)&&z ==

1

-1 - h&& - 1 + h ¹ 0&&h ¹ 0&&1 + h ¹ 0

m = A/.h ® 0;

MatrixForm[c = m.Transpose[m]]

æçççççççè

2 3 03 5 10 1 2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Eigensystem[c]

{{0,2,7},{{3,-2,1},{-1,0,3},{3,5,1}}}

i) Se h /Î {-1, 0, 1} : esiste una sola soluzione;

se h Î {-1, 0} : non esistono soluzioni;

se h = 1: esistono infinite soluzioni dipendenti da un’incognita libera.

ii) C =æççççççè

2 3 03 5 10 1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

; D =æççççççè

0 0 00 2 00 0 7

ö÷÷÷÷÷÷ø

; iii) no.

[27]

A = {{0,-1,k},{-1,h,-1},{k,-1,0}};

Solve[ Det[A] == 0]


::h ®2

k>,{k ® 0}>

a = A/.{h ® 0,k ® 1};

b = Eigensystem[a]

{{-1,-1,2},{{-1,0,1},{1,1,0},{1,-1,1}}}

MatrixForm[Transpose[b[[2]]]]

æçççççççè

-1 1 10 1 -11 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø


MatrixForm[Transpose[GramSchmidt[b[[2]]]]]

æçççççççè

-102

106

103

0

22

3-103

102

106

103

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) k ¹ 0 e h ¹2k

.

ii) D =æççççççè

-1 0 00 -1 00 0 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

; P =æççççççè

-1 1 10 1 -11 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



iii) A e simmetrica, Q =

æçççççççççççççççççè

-102

106

103

0

0203

-103

102

106

103

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[28] i) Se Λ1, Λ2, . . . , Λk sono gli autovalori di A con molteplicita m1, m2, . . . , mk , rispettivamente, allora

Λ-11 , Λ

-12 , . . . , Λ

-1k sono gli autovalori di A-1 , con le stesse molteplicita m1, m2, . . . , mk .

ii) D¢ = D-1, P¢ = P.

[29] i) Se Λ1, Λ2, . . . , Λk sono gli autovalori di A con molteplicita m1, m2, . . . , mk , rispettivamente, allora

Λ21, Λ

22, . . . , Λ

2k sono gli autovalori di A2 , con le stesse molteplicita m1, m2, . . . , mk .

ii) D¢ = D2, P¢ = P.

[30]

A = {{0,1,0,0},{1,0,0,0},{0,0,1,2},{0,0,2,1}};

Eigensystem[A]

{{-1,-1,1,3},{{0,0,-1,1},{-1,1,0,0},{1,1,0,0},{0,0,1,1}}}

i) Λ1 = -1 (doppio), Λ2 = 1, Λ3 = 3.

VΛ1 = L((0, 0, -1, 1), (-1, 1, 0, 0)), VΛ2 = L((1, 1, 0, 0)), VΛ3 = L((0, 0, 1, 1)) .

[31]

A = {{1,1,1},{-1,0,1},{2,1,0}};

Eigensystem[A]

{{-1,0,2},{{0,-1,1},{1,-2,1},{1,0,1}}}

Λ1 = -1, Λ2 = 0, Λ3 = 2.

ii) A e simmetrica, B =æççççççè

0 1 1-1 -2 01 1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[32]

A = {{1,-h,1},{1,h,-1},{3,-1,1}}; X = {x,y,z}; B = {1,0,2};

Reduce[A.X == B,X]

h == 1&&x ==1

2&&z ==

1

2(1 + 2 y)||x ==

1

2&&y == 0&&z ==

1

2&& - 1 + h ¹ 0


{{0,0,3},{{0,1,1},{0,0,0},{3,-1,5}}}

i) h = 1, ii) h ¹ 1; iii) A non e diagonalizzabile.

[33] i) Falso, per esempio: O = K 0 00 0 O e diagonalizzabile ma non invertibile;



ii) falso, per esempio: A = K 1 10 1 O e invertibile ma non diagonalizzabile.

[34]

A = {{1,-3,5},{3,2,1},{-5,-4,0}};

MatrixForm[B = A + Transpose[A]]

æçççççççè

2 0 00 4 -30 -3 0

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

Eigensystem[B]

::2,2 -013,2 +

013>,

:{1,0,0},:0, 1

3J - 2 +

013N,1>,:0, 1

3J - 2 -

013N,1>>>

B =æççççççè

2 0 00 4 -30 -3 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

, B¢ =æççççççè

2 0 00 2 +

013 0

0 0 2 -0

13

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[35]

A = {{1,0,-1,0},{0,-1,1,0},{0,0,1,1},{0,0,k,0}};

Solve[Det[A] == 0]

{{k ® 0}}

b = Eigenvalues[A]

: - 1,1,1

2J1 -

01 + 4 kN, 1

2J1 +

01 + 4 kN>


Map[Solve,%]


found


found

:{{}},{},{{k ® 2}},{},{},{{}},{},{{k ® 0}},{{k ® 2}},

{},{{}},::k ® -1

4>>,{},{{k ® 0}},::k ® -

1

4>>,{{}}>

Eigensystem[A/.k ® 2]

{{-1,-1,1,2},{{0,1,0,0},{0,0,0,0},{1,0,0,0},{-3,1,3,3}}}

Eigensystem[A/.k ® 0]

{{-1,0,1,1},{{0,1,0,0},{-1,-1,-1,1},{1,0,0,0},{0,0,0,0}}}

Eigensystem[A/.k ® -1/4]

:: - 1,1

2,1

2,1>,

:{0,1,0,0},: - 4,-4

3,-2,1>,{0,0,0,0},{1,0,0,0}>>

{}

i) k ¹ 0. ii) k > -14

, k ¹ 0, k ¹ 2.



[36]

A = {{2,-2,-1},{-2,5,2},{-1,2,2}};

Det[A]

7


æçççççççè

6

7

2

7

1

72

7

3

7-2

71

7-2

7

6

7

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

b = Eigensystem[A]

{{1,1,7},{{1,0,1},{2,1,0},{-1,2,1}}}

MatrixForm[Transpose[b[[2]]]]

æçççççççè

1 2 -10 1 21 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø



æçççççççè

102

103

-106

0103

22

3102

-103

106

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) det A = 7

A-1 =


67

27

17

27

37 - 2

7

17 - 2

767

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) Λ1 = 1 di molteplicita 2, Λ2 = 7 di molteplicita 1.

VΛ1 = L((1, 0, 1), (2, 1, 0)) , VΛ2 = L((-1, 2, 1)) .

iii) P =æççççççè

1 2 -10 1 21 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iv) Q =


102

103

- 106

0 103

206

102

- 103

106

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[37]

A = {{1,0,1},{0,1,h},{-2,2,1}};

b = Eigenvalues[A]

:1,1 -02

0-1 + h,1 +

02

0-1 + h>


Map[Solve,%]

{{{}},{{h ® 1}},{{h ® 1}},{{h ® 1}},{{}},{{h ® 1}},{{h ® 1}},{{h ® 1}},{{}}}


{{1,1,1},{{1,1,0},{0,0,0},{0,0,0}}}

h > 1.

[38]

A = {{4,0,2,2},{0,-1,-1,1},{-2,-1,0,0},{2,1,0,0}};

Eigensystem[A]

{{-2,0,1,4},{{0,-2,-1,1},{-1,2,0,2},{0,1,-1,1},{9,2,-5,5}}}

A¢ =


-2 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 4

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[39]

A = {{1,2,-1,0},{2,3,-2,0},{-1,-2,1,0},{0,0,0,0}};

RootReduce[Eigensystem[A]]

::0,0, 1

2J5 -

033N, 1

2J5 +

033N>,:{0,0,0,1},{1,0,1,0},

: - 1,1

4J - 1 +

033N,1,0>,: - 1,

1

4J - 1 -

033N,1,0>>>

A¢ =

æççççççççççççççççè

0 0 0 00 0 0 0

0 05 -

033

20

0 0 05 +

033

2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[40]

A = {{-2,-10,0},{2,7,0},{-3,-6,1}};

Eigensystem[A]

{{1,2,3},{{0,0,1},{-5,2,3},{-2,1,0}}}


1 0 00 2 00 0 3

ö÷÷÷÷÷÷ø


0 -5 -20 2 11 3 0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[41]

A = {{-10,-14,0},{6,9,0},{-9,-18,-1}};

Eigensystem[A]

{{-3,-1,2},{{-2,1,0},{0,0,1},{7,-6,15}}}


-3 0 00 -1 00 0 2

ö÷÷÷÷÷÷ø


-2 0 -71 0 60 1 -15

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[42]

A = {{1,0,0,0},{kˆ2 - 1,1,0,0},{kˆ30 - 2kˆ5 + 3kˆ3,0,1,0},{5k + 5,kˆ2 + k,kˆ3 - k,1}};

Solve[Det[A] == 0]

{}

Eigensystem[A]

{{1,1,1,1},{{0,0,0,1},{0,1 - k,1,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}}

k = 1;

Eigensystem[A]

{{1,1,1,1},{{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}}

k = -1;

Eigensystem[A]

{{1,1,1,1},{{0,0,0,1},{0,0,1,0},{0,1,0,0},{1,0,0,0}}}

i) A e invertibile "k Î — . ii) A e diagonalizzabile se k = -1.

[43]

A = {{0,1,1,h},{1,-1,0,-1},{1,0,1,0}};

X = {x1,x2,x3,x4}; B = {0,0,0};

Reduce[A.X == B,X]

h == 1&&x1 == -x3&&x2 == -x3 - x4||x1 == -x3&&x2 == -x3&&x4 == 0&& - 1 + h ¹ 0

h = 1;

B = A.Transpose[A];

MatrixForm[B]

æçççççççè

3 -2 1-2 3 11 1 2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

b = Eigensystem[B]

{{0,3,5},{{-1,-1,1},{1,1,2},{-1,1,0}}}



æçççççççè

-103

106

-102

-103

106

102

103

22

30

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

i) Se h = 1: il rango di A e 2, se h ¹ 1: il rango di A e 3.



ii) B =æççççççè

3 -2 1-2 3 11 1 2

ö÷÷÷÷÷÷ø

,

autovalori di B : Λ1 = 0, Λ2 = 3, Λ3 = 5;

autospazi di B : VΛ1 = L((-1, -1, 1)) , VΛ2 = L((1, 1, 2)) , VΛ3 = L((1, -1, 0)) ;

P =


-103

106

-102

-103

106

102

103

206

0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[44]

A = {{-1,0,4,0},{0,1,0,-1},{1,0,2,0},{0,h,0,1}};

Solve[Det[A] == 0]

{{h ® -1}}

b = Eigenvalues[A]

: - 2,3,ä J - ä +0hN,-ä Jä +

0hN>

Flatten[Table[b[[i]] == b[[j]],{i,4},{j,4}]];

Map[Solve,%]

{{{}},{},{{h ® -9}},{},{},{{}},{},{{h ® -4}},{{h ® -9}},{},{{}},{{h ® 0}},{},{{h ® -4}},{{h ® 0}},{{}}}

h = -9;

Eigensystem[A]

{{-2,-2,3,4},{{0,1,0,3},{-4,0,1,0},{1,0,1,0},{0,-1,0,3}}}

h = -4;

Eigensystem[A]

{{-2,-1,3,3},{{-4,0,1,0},{0,1,0,2},{0,-1,0,2},{1,0,1,0}}}

h = 0;

Eigensystem[A]

{{-2,1,1,3},{{-4,0,1,0},{0,1,0,0},{0,0,0,0},{1,0,1,0}}}

i) h ¹ -1; ii) h < 0.

[45]

A = {{2,-3,0,3},{3,-4,0,3},{0,3,2,-3},{3,-3,0,2}};

Eigensystem[A]

{{-1,-1,2,2},{{0,1,0,1},{-1,-1,1,0},{1,1,0,1},{0,0,1,0}}}

Eigensystem[Transpose[A]]

{{-1,-1,2,2},{{-1,0,0,1},{-1,1,0,0},{1,-1,0,1},{1,0,1,0}}}



i) A e tA hanno gli stessi autovalori in quanto hanno lo stesso polinomio caratteristico.

ii) Gli autovalori di A sono Λ1 = -1, Λ2 = 2 entrambi con molteplicita 2, gli autospazi ad essi relativi sonorispettivamente generati da ((0, 1, 0, 1), (-1, -1, 1, 0)) e da ((1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)); gli autovalori di tA coincidonocon gli autovalori di A ma i rispettivi autospazi sono diversi, infatti sono generati da ((-1, 0, 0, 1), (-1, 1, 0, 0)) eda ((1, -1, 0, 1), (1, 0, 1, 0)), rispettivamente.

[46]

A = {{2,3,1},{-2,-3,h},{4,6,2}};

b = Eigenvalues[A]

:0, 1

2J1 -

025 + 24 hN, 1

2J1 +

025 + 24 hN>


Map[Solve,%]


found


found

:{{}},{{h ® -1}},{},{{h ® -1}},

{{}},::h ® -25

24>>,{},::h ® -

25

24>>,{{}}>

h = -1;

Eigensystem[A]

{{0,0,1},{{-1,0,2},{-3,2,0},{1,-1,2}}}

h = -25/24;

Eigensystem[A]

::0, 1

2,1

2>,:: -

3

2,1,0>,:1

2,-

7

12,1>,{0,0,0}>>

h > -2524

.

[47] Se b = 1, allora a = 0, A = I e A¢ = I ;

se b ¹ 1 allora a = Λ(b - 1), Λ Î — ,


1 0 00 1 00 0 b

ö÷÷÷÷÷÷ø


1 0 00 1 Λ0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

[48]

A = {{1,0,0},{1,-1,0},{2,3,2}};

Eigensystem[A]

{{-1,1,2},{{0,-1,1},{-2,-1,7},{0,0,1}}}

i) A e B sono simili perche hanno gli stessi autovalori con la stessa molteplicita.

ii) P =æççççççè

2 0 01 1 0

-7 -1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[49]

A = {{1,0,h},{0,2,0},{h,1,1}};

b = Eigenvalues[A]

{2,1 - h,1 + h}


Map[Solve,%]

{{{}},{{h ® -1}},{{h ® 1}},{{h ® -1}},{{}},{{h ® 0}},{{h ® 1}},{{h ® 0}},{{}}}

h = -1;

Eigensystem[A]

{{0,2,2},{{1,0,1},{-1,0,1},{0,0,0}}}

h = 1;

Eigensystem[A]

{{0,2,2},{{-1,0,1},{1,0,1},{0,0,0}}}

h = 0;

Eigensystem[A]

{{1,1,2},{{0,0,1},{1,0,0},{0,1,1}}}

h ¹ ±1.

[50]

A = {{2,0,0},{2 - h,-1 + h,-1},{-2 + h,0,h}};

b = Eigenvalues[A]

{2,-1 + h,h}


Map[Solve,%]

{{{}},{{h ® 3}},{{h ® 2}},{{h ® 3}},{{}},{},{{h ® 2}},{},{{}}}

h = 3;

Eigensystem[A]

{{2,2,3},{{-1,0,1},{0,1,0},{0,-1,1}}}

h = 2;

Eigensystem[A]

{{1,2,2},{{0,1,0},{0,-1,1},{1,0,0}}}

La matrice A e diagonalizzabile per ogni h Î — .

[51] i) V^ = L((2, -1, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)), quindi una base di autovettori e:

B = ((1, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (2, -1, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)).

ii) La matrice D simile ad A e relativa alla base B e:

D =


2 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[52] i) Per esempio: B = KK0,102

, 0,102

O , (1, 0, 0, 0), K0,102

, 0, -102

O , (0, 0, 1, 0)O.

ii) Per esempio: D =


1 0 0 00 3 0 00 0 3 00 0 0 3

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[53]

A = {{0,2h,2h},{2,2,0},{2,k,2}};X = {x1,x2,x3};

k = 0;

Reduce[A.X == 2 X,X]

x1 == 0

h = 1;

Eigensystem[A]

{{-2,2,4},{{-2,1,1},{0,-1,1},{1,1,1}}}

Clear[h,k]

h = 0;

Eigenvalues[A]

{0,2,2}

Reduce[A.X == 2X,k]

k == 0&&x1 == 0||x1 == 0&&x2 == 0

i) A ammette l’autovalore 2, per ogni h Î — .

ii) D =æççççççè

-2 0 00 2 00 0 4

ö÷÷÷÷÷÷ø


-2 0 11 -1 11 1 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

iii) A e simmetrica pertanto si puo ottenere una base ortonormale di autovettori.

iv) A e diagonalizzabile per k = 0.



[54]

A = {{0,2,2a},{2,2,0},{2,0,2}};

a = -1;

Eigensystem[A]

{{0,2,2},{{-1,1,1},{0,1,1},{0,0,0}}}

a = 0;

Det[A]

-8


GramSchmidt[A]

{{0,1,0},{1,0,0},{0,0,1}}

GramSchmidt[Transpose[A]]

::0, 102,

102

>,:2

2

3,

106,-

106

>,: 103,-

103,

103

>>

i) A non e diagonalizzabile.

ii) Per esempio:

B = ((0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1)), C = JJ0, 102, 10

2N , J 20

6, 10

6, - 10

6N , J 10

3, - 10

3, 10

3NN .

iii) P =

æççççççççççççççççè

102

106

- 103

00

203

103

12 - 10

6103

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

e una matrice ortogonale.

[55]

A = {{1,-3,1,2},{h,0,0,0},{1,-1,0,0},{0,0,0,h}};

Solve[Det[A] == 0]

{{h ® 0},{h ® 0}}


æçççççççè

01

h0 0

01

h-1 0

12

h-3 -

2

h0 0 0

1

h

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

h = 0;

Eigensystem[A]

::0,0, 1

2J1 -

05N, 1

2J1 +

05N>,:{1,1,0,1},

{1,1,2,0},:12

J1 -05N,0,1,0>,:1

2J1 +

05N,0,1,0>>>



i) Se h ¹ 0, la matrice A e invertibile e:

A-1 =


01h

0 0

01h

-1 0

12h

-3 -2h

0 0 01h

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) Λ1 = 0, mΛ1 = 2; Λ2 =12

(1 -0

5), mΛ2 = 1; Λ3 =12

(1 +0

5), mΛ3 = 1.

VΛ1 = L((1, 1, 0, 1), (1, 1, 2, 0)), VΛ2 = L KK 12

(1 -0

5), 0, 1, 0OO ; VΛ3 = L KK 12

(1 +0

5), 0, 1, 0OO.

iii) La matrice A e diagonalizzabile perche la dimensione degli autospazi coincide con la molteplicita dei relativiautovalori.

[56] i)

A = {{2,0,0},{0,2,0},{-1,0,3}};

B = {{1,0,0},{-2,3,0},{-2,0,3}};

A.B - B.A

{{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}}

Eigensystem[A]

{{2,2,3},{{1,0,1},{0,1,0},{0,0,1}}}

Eigensystem[B]

{{1,3,3},{{1,1,1},{0,0,1},{0,1,0}}}

B = ((1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)).

ii)

A = {{3,-2,-2},{0,2,0},{0,-1,1}};

B = {{-2,1,1},{0,0,0},{0,-1,-1}};

A.B - B.A

{{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}}

Eigensystem[A]

{{1,2,3},{{1,0,1},{0,-1,1},{1,0,0}}}

Eigensystem[B]

{{-2,-1,0},{{1,0,0},{1,0,1},{0,-1,1}}}

B = ((1, 0, 1), (0, -1, 1), (1, 0, 0)) .



iii)

A = {{-66,190,68},{-4,13,4},{-53,148,55}};

B = {{-30,96,32},{-2,8,2},{-25,75,27}};

A.B - B.A

{{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}}

Eigensystem[A]

{{-1,1,2},{{32,2,25},{14,1,11},{1,0,1}}}

Eigensystem[B]

{{1,2,2},{{32,2,25},{1,0,1},{3,1,0}}}

B.{14,1,11}

{28,2,22}

B = ((32, 2, 25), (14, 1, 11), (-1, 0, -1)).

iv)

A = {{1,0,2,0},{-24,1,48,6},{0,0,2,0},{8,0,-16,-1}};

B = {{-2,0,8,0},{-12,3,24,3},{0,0,2,0},{-16,0,32,2}};

A.B - B.A

{{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}

Eigensystem[A]

{{-1,1,1,2},{{0,-3,0,1},{1,0,0,4},{0,1,0,0},{2,0,1,0}}}

Eigensystem[B]

{{-2,2,2,3},{{1,0,0,4},{0,-3,0,1},{2,0,1,0},{0,1,0,0}}}

B = ((1, 0, 0, 4), (0, 1, 0, 0), (2, 0, 1, 0), (0, -3, 0, 1)) .

v)

A = {{16,-16,4,16},{0,0,0,0},{-48,48,-12,-48},{0,0,0,0}};

B = {{-9,12,-3,-12},{3,-3,1,3},{12,-12,4,12},{9,-12,3,12}};

A.B - B.A

{{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}

Eigensystem[A]

{{0,0,0,4},{{-1,0,0,1},{-1,0,4,0},{1,1,0,0},{-1,0,3,0}}}

Eigensystem[B]

{{0,0,1,3},{{0,1,0,1},{-1,0,3,0},{0,1,4,0},{-1,0,0,1}}}

A.{0,1,4,0}

{0,0,0,0}

A.{0,1,0,1}

{0,0,0,0}

B = ((0, 1, 4, 0), (1, 0, 0, -1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, -3, 0)).



vi)

A = {{1,0,2,0},{-2,-1,-2,2},{0,0,-1,0},{0,0,0,1}};

B = {{1,0,0,0},{-1,0,-1,1},{0,0,1,0},{0,0,0,1}};

A.B - B.A

{{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,0}}

Eigensystem[A]

{{-1,-1,1,1},{{-1,0,1,0},{0,1,0,0},{1,0,0,1},{-1,1,0,0}}}

Eigensystem[B]

{{0,1,1,1},{{0,1,0,0},{1,0,0,1},{-1,0,1,0},{-1,1,0,0}}}

B = ((-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0)).

vii)

A = {{3,3,0},{-2,-2,0},{1,1,0}};

B = {{6,4,-4},{-4,-2,4},{2,2,0}};

A.B - B.A

{{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}}

Eigensystem[A]

{{0,0,1},{{0,0,1},{-1,1,0},{3,-2,1}}}

Eigensystem[B]

{{0,2,2},{{2,-2,1},{1,0,1},{-1,1,0}}}

B.{3,-2,1}

{6,-4,2}

A.{2,-2,1}

{0,0,0}

B = ((1, -1, 0), (2, -2, 1), (3, -2, 1)) .


Capitolo 17

Soluzioni - Coniche nel piano(* NOTES

The program uses the eigenvector av2 of A of greatest numericalvalue and uses this to construct a rotation sos1. The choice ofav2 depends on the overallsign of the quadratic polynomial g thatis defined so that in the final plot(i) ellipses ‘lie¢ horizontally,

(ii) hyperbolas cut the x - axis,(iii) parabolas are ‘vertical¢.

The transformation sos2 places the centre or vertex of the conicat the origin. ImplicitPlot fails to plot yˆ2 =

0 or equations involving only x.*)

<< Graphics‘ImplicitPlot‘

Co[x ,y ] := Coefficient[x,y]

FS[x ] := FullSimplify[x]

Mat[f ] := Do[e := Expand[f];

a11 := Co[e,xˆ2]; a12 := Co[e,x y]/2; a22 := Co[e,yˆ2];

a13 := Co[e/.{y ® 0},x]/2;

a23 := Co[e/.{x ® 0},y]/2; a33 := e/.{x ® 0,y ® 0};

A := {{a11,a12},{a12,a22}};

B := {{a11,a12,a13},{a12,a22,a23},{a13,a23,a33}}]

Conic[f ] := Do[Mat[f];

g := If[Det[A] == 0,If[Tr[A] < 0,-f,f],If[Det[A] > 0 || a33 > 0,-f,f]]; Mat[g];

Print[A = ,MatrixForm[A],, det A = ,Det[A]];

Print[B = ,MatrixForm[B],, det B = ,Det[B]];

Print[Autovalori di A = ,Eigenvalues[A]];

av2 := Eigenvectors[A][[2]];

P := RootReduce[av2/Sqrt[av2.av2]];

sos1 := {x ® P[[1]]x - P[[2]]y,y ® P[[2]]x + P[[1]]y};

Print[Prima sostituzione : ,FS[sos1]];

h = FS[g/.sos1 ]; Mat[h];

sos2 :=

{x ® If[a11 == 0,If[a13 == 0,x,x - a33/(2a13)],x - a13/a11],y ® If[a22 == 0,If[a23 == 0,x,y - a33/(2a23)],

y - a23/a22]};

Print[Seconda sostituzione : ,FS[sos2]];

k = FS[h/.sos2]; Print[Equazione finale : ,k, = 0];

ImplicitPlot[{g == 0,h == 0,k == 0},{x,-10,10},PlotStyle ® {{Thickness[0.005],Hue[0.3]},

{Thickness[0.005],Hue[0.7]},{Thickness[0.01],Hue[0]}},PlotPoints ® 200]

]

Questo programma (scritto dal Prof. S.M. Salamon) consente, data l’equazione di una conica in generale, di ridurla

209


a forma canonica evidenziando i passaggi algebrici necessari.

[1]

Conic[2xˆ2 - yˆ2 - 4x + 2y - 3]

A = J2 00 -1

N, det A = -2

B =æçççççççè

2 0 -20 -1 1

-2 1 -3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 8

Autovalori di A = {-1,2}

Prima sostituzione : {x ® x,y ® y}

Seconda sostituzione : {x ® 1 + x,y ® 1 + y}

Equazione finale : - 4 + 2 x2 - y2 = 0

-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

15

X2

4-

Y 2

2= 1; K x

y O = K 1 00 1 O K X

Y O + K 11 O .


Capitolo 17 – Soluzioni - Coniche nel piano 211

[2]

Conic[3xˆ2 + yˆ2 - 6x + 1]

A = J-3 00 -1

N, det A = 3


-3 0 30 -1 03 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 6

Autovalori di A = {-3,-1}

Prima sostituzione : {x ® -y,y ® x}

Seconda sostituzione : {x ® x,y ® -1 + y}

Equazione finale : 2 - x2 - 3 y2 = 0

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

32

X2 +Y 2

2= 1; K x

y O = K 1 00 1 O K X

Y O + K 10 O.

[3] Non si tratta di una conica reale.



[4]

Conic[2xˆ2 - 2x y + 2yˆ2 + 2x - 1]

A = J-2 11 -2

N, det A = 3


-2 1 -11 -2 0

-1 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 5


Prima sostituzione : :x ®x - y0

2,y ®

x + y02

>Seconda sostituzione : :x ® -

102

+ x,y ®1

302

+ y>Equazione finale :

5

3- x2 - 3 y2 = 0

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

X2 + 3Y 2 =53

;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=

æççççççççççççè

02

2-

02

20

22

02

2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


-23

-13

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[5]

Conic[xˆ2 + yˆ2 - 2x + 4y - 2]

A = J-1 00 -1

N, det A = 1


-1 0 10 -1 -21 -2 2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 7



Seconda sostituzione : {x ® 1 + x,y ® -2 + y}

Equazione finale : 7 - x2 - y2 = 0

-2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

E la circonferenza di centro C = (1, -2) e raggio0

7.



[6]

Conic[xˆ2 - yˆ2]

A = J1 00 -1

N, det A = -1


1 0 00 -1 00 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 0



Seconda sostituzione : {x ® x,y ® y}

Equazione finale : (x - y) (x + y) = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

E la conica degenere data dal prodotto delle rette x - y = 0 e x + y = 0.



[7]

Conic[xˆ2 + 4x y - 2yˆ2 - 2x + 4y + 1]

A = J-1 -2-2 2

N, det A = -6


-1 -2 1-2 2 -21 -2 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 16


Prima sostituzione : :x ® -x + 2 y0

5,y ®

2 x - y05

>

Seconda sostituzione : :x ®

05

3+ x,y ® y>

Equazione finale :8

3- 3 x2 + 2 y2 = 0

-10 -5 5 10

-20

-10

10

20

2X2 - 3Y 2 = -83

;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


20

55

-

05

50

55

20

55

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


23

-13

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[8] L’unico punto reale di tale conica e l’origine O = (0, 0) .



[9]

Conic[xˆ2 + 3yˆ2 - 4x + 6y + 1]

A = J-1 00 -3

N, det A = 3


-1 0 20 -3 -32 -3 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 18





-2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

X2

6+

Y 2

2= 1;

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

2

-1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[10]

Conic[xˆ2 + 2 x y + x - y]

A = J1 11 0

N, det A = -1


1 11

21 0 -

1

21

2-1

20

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -3

4

Autovalori di A = :12

J1 -05N, 1

2J1 +

05N>

Prima sostituzione :

:x ®

15 +

05 x -

15 -

05 y0

10,y ®

15 -

05 x +

15 +

05 y0

10>

Seconda sostituzione :

:x ® -1

2

25

2-

11

205

+ x,y ® -1

2

25

2+

11

205

+ y>

Equazione finale :1

4J3 + 2 J1 +

05N x2 - 2 J - 1 +

05N y2N = 0

-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

15



2(1 +0

5)

3X2 -

2(-1 +0

5)

3Y 2 = 1;

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=

æçççççççççççççççççè

15 +

050

10-

15 +

050

10

15 +

050

10

15 +

050

10

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


205

12

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[11]

Conic[yˆ2 - x y + 1]

A =æçççççççè

01

21

2-1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det A = -1

4


01

20

1

2-1 0

0 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B =1

4


J - 1 -02N, 1

2J - 1 +

02N>


:x ®1

2J

12 +

02 x -

12 -

02 yN,y ®

1

2J

12 -

02 x +

12 +

02 yN>

Seconda sostituzione : {x ® x,y ® y}

Equazione finale :1

2J2 + x2 + y2 -

02 (x - y) (x + y)N = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

02 - 12

X2 -

02 + 12

Y 2 = 1;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


12 +

02

2-

12 -

02

21

2 -0

2

2

12 +

02

2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[12]

Conic[xˆ2 - 3 x y + yˆ2 - 4 Sqrt[2](x - y) + 6]


-13

23

2-1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det A = -5

4


-13

22

02

3

2-1 -2

02

202 -2

02 -6

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -1

2

Autovalori di A = : -5

2,1

2>


2,y ®

x + y02

>Seconda sostituzione : :x ® x,y ® -

8

5+ y>

Equazione finale :1

10(-4 - 5 x2 + 25 y2) = 0

-10 -5 5 10

-10

10

20

-12

X2 +52

Y 2 =25

;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

-102

102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


8

50

2

-8

50

2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[13] Si tratta della circonferenza di centro O = (0, 0) e raggio 1.

[14] Non e una circonferenza reale.



[15]

Conic[xˆ2 + 6 x y - 7 yˆ2 - 2x - 6y - 19]

A = J1 33 -7

N, det A = -16


1 3 -13 -7 -3

-1 -3 -19

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 320


Prima sostituzione : :x ®3 x - y0

10,y ®

x + 3 y010

>Seconda sostituzione : :x ®

3010

+ x,y ® -1010

+ y>Equazione finale : 2 (-10 + x2 - 4 y2) = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

110

X2 -25


x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


3010

-1010

1010

3010

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


0

25

ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[16]

Conic[3xˆ2 + 4x y + 3yˆ2 + 2x - 2y - 3]

A = J-3 -2-2 -3

N, det A = 5


-3 -2 -1-2 -3 1-1 1 3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 25


Prima sostituzione : :x ® -x + y0

2,y ®

x - y02


02 + x,y ® y>


-2 -1 1 2 3

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

X2

5+ Y 2 = 1;

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

102

-102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

1

-1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[17]

Conic[3xˆ2 + 4 x y + 3 yˆ2 - 2x + 2y - 3]

A = J-3 -2-2 -3

N, det A = 5


-3 -2 1-2 -3 -11 -1 3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 25



2,y ®

x - y02


02 + x,y ® y>


-3 -2 -1 1 2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

X2

5+ Y 2 = 1;

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

102

-102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

-1

1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[18]

Conic[3xˆ2 + 2 x y + 3 yˆ2 + 6x + 2y + 1]

A = J-3 -1-1 -3

N, det A = 8


-3 -1 -3-1 -3 -1-3 -1 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 16



2,y ®

x - y02


102

+ x,y ®102

+ y>Equazione finale : - 2 (-1 + x2 + 2 y2) = 0

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.5

0.5

1

-

X2 + 2Y 2 = 1;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

102

-102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

-1

0

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[19]

Conic[xˆ2 - 2 x y + yˆ2 - 2x - 2 y]

A = J 1 -1-1 1

N, det A = 0


1 -1 -1-1 1 -1-1 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -4

Autovalori di A = {0,2}


2,y ®

x - y02

>Seconda sostituzione : {x ® x,y ® y}

Equazione finale : 2 Jx2 +02 yN = 0

-10 -5 5 10

-60

-40

-20

Y 2 -0

2X = 0;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


02

2-

02

20

22

02

2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[20]

Conic[xˆ2 - 2 x y - yˆ2 + 2y + 1]

A = J-1 11 1

N, det A = -2


-1 1 01 1 -10 -1 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 3

Autovalori di A = : -02,

02>


:x ®1

2J

12 -

02 x -

12 +

02 yN,y ®

1

2J

12 +

02 x +

12 -

02 yN>

Seconda sostituzione : :x ®1

4

14 + 2

02 + x,y ® -

1

2

21 -

102

+ y>

Equazione finale :3

2-

02 (x - y) (x + y) = 0

-10 -5 5 10

-20

-10

10

20



20

23

Y 2 -20

23

X2 = 1.

[21]

Conic[xˆ2 - 2 x y - 2 yˆ2 + 1]

A = J-1 11 2

N, det A = -3


-1 1 01 2 00 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 3


J1 -013N, 1

2J1 +

013N>

Prima sostituzione : :x ®

21

2-

3

2013

x -

21

2+

3

2013

y,

y ®

21

2+

3

2013

x +

21

2-

3

2013

y>Seconda sostituzione : {x ® x,y ® y}

Equazione finale :1

2J2 - J1 +

013N x2 + J - 1 +

013N y2N = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

1 +0

132

X2 -1 -

013

2Y 2 = 1.



[22]

Conic[xˆ2 - x y - 1/4 yˆ2 - 2x + 6y + 6]


-11

21

2

1

4

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det A = -1

2


-11

21

1

2

1

4-3

1 -3 -6

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B =35

4


J - 3 -041N, 1

8J - 3 +

041N>


21

2-

5

2041

x -

21

2+

5

2041

y,

y ®

21

2+

5

2041

x +

21

2-

5

2041

y>Seconda sostituzione :

:x ®

2149

8+

815

8041

+ x,y ® -

2149

8-

815

8041

+ y>

Equazione finale :1

8J140 - J - 3 +

041N x2 + J3 +

041N y2N = 0

-10 -5 5 10

-20

-10

10

20

(-3 +0

41)X2 - (3 +0

41)Y 2 = 140.



[23]

Conic[7xˆ2 + 8 x y + yˆ2 + 9x - 1]

A = J7 44 1

N, det A = -9


7 49

24 1 09

20 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -45

4



5,y ®

x + 2 y05


105

+ x,y ® -9

205


5

4+ 9 x2 - y2 = 0



-10-5 5 10

-60

-40

-20

20

40

60

45

X2 -365


x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


205

-105

105

205

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


12

-2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[24]

Conic[xˆ2 + 4yˆ2 - 4x - 8y + 7]

A = J-1 00 -4

N, det A = 4


-1 0 20 -4 42 4 -7

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 4





-1 1 2 3

-0.5

0.5

1

1.5

X2 + 4Y 2 = 1; K xy O = K X

Y O + K 21 O .



[25]

Conic[4xˆ2 + yˆ2 - 8x - 4y + 7]

A = J-4 00 -1

N, det A = 4


-4 0 40 -1 24 2 -7

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 4





-1 1 2 3

-1

1

2

3

X2 + 4Y 2 = 1; K xy O = K X

Y O + K 21 O.

[26]

Conic[xˆ2 - 4x y + 4yˆ2 + 5y - 9]

A = J 1 -2-2 4

N, det A = 0


1 -2 0

-2 45

20

5

2-9

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -25

4



5,y ®

2 x - y05


105

+ x,y ® -905

+ y>Equazione finale : - 1 + 5 x2 -

05 y = 0



-10-5 510

50

100

150

200

Y 2 = -105

X ;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


205

-105

105

205

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


215

85

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[27]

Conic[7xˆ2 + 8x y + yˆ2 + 9x + 6y - 1]

A = J7 44 1

N, det A = -9


7 49

24 1 39

23 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B =135

4



5,y ®

x + 2 y05


4

305

+ x,y ®3

205

+ y>Equazione finale : -

15

4+ 9 x2 - y2 = 0



-10-5 5 10

-60

-40

-20

20

40

60

125

X2 -4

15Y 2 = 1;

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


205

-105

105

205

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


2615

-2315

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[28]

Conic[2xˆ2 + 4x y - yˆ2 + 6y - 8]

A = J2 22 -1

N, det A = -6


2 2 02 -1 30 3 -8

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 30



5,y ®

x + 2 y05


105

+ x,y ®305

+ y>Equazione finale : - 5 + 3 x2 - 2 y2 = 0

-10-5 5 10

-40

-20

20

40

3X2 - 2Y 2 = 5;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


205

-105

105

205

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

1

-1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[29]

Conic[3xˆ2 + 2 x y + 3 yˆ2 + 10 x - 2 y + 9]

A = J-3 -1-1 -3

N, det A = 8


-3 -1 -5-1 -3 1-5 1 -9

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 16



2,y ®

x - y02


302

+ x,y ®102

+ y>Equazione finale : - 2 (-1 + x2 + 2 y2) = 0

-3 -2 -1 1 2 3-0.5

0.5

1

1.5


x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

-102

102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

-2

1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[30]

Conic[xˆ2 - x y + 4yˆ2 - 1]


-11

21

2-4

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det A =15

4


-11

20

1

2-4 0

0 0 1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B =15

4


J - 5 -010N, 1

2J - 5 +

010N>


21

2+

3

2010

x -

21

2-

3

2010

y,

y ®

21

2-

3

2010

x +

21

2+

3

2010


Equazione finale :1

2J2 + J - 5 +

010N x2 - J5 +

010N y2N = 0

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

5 +0

102

X2 +5 -

010

2Y 2 = 1.



[31]

Conic[2xˆ2 - 3 x y - 2yˆ2 - 5x + 10y - 5]


2 -3

2-3

2-2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det A = -25

4


2 -3

2-5

2-3

2-2 5

-5

25 -5

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B =125

4

Autovalori di A = : -5

2,5

2>

Prima sostituzione : :x ® -3 x + y0

10,y ®

x - 3 y010

>

Seconda sostituzione : :x ® -

25

2+ x,y ® -

25

2+ y>

Equazione finale :5

2(-2 + x2 - y2) = 0

-10 -5 5 10

-10

10

20

X2 - Y 2 = 2;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


1010

-3010

3010

1010

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

2

1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[32]

Conic[2xˆ2 - 5 x y - 3 yˆ2 + 7 y - 2]


2 -5

2-5

2-3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det A = -49

4


2 -5

20

-5

2-3

7

20

7

2-2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 0


J - 1 - 502N, 1

2J - 1 + 5

02N>


:x ®1

2J -

12 +

02 x -

12 -

02 yN,y ®

1

2J

12 -

02 x -

12 +

02 yN>

Seconda sostituzione :

:x ® -1

14

182 - 31

02 + x,y ® -

1

14

182 + 31

02 + y>

Equazione finale :1

2JJ - 1 + 5

02N x2 - J1 + 5

02N y2N = 0

-10 -5 5 10

-10

10

20

Si tratta della conica degenere: (2x + y - 2)(x - 3y + 1) = 0.



[33]

Conic[3xˆ2 + 2 x y + 3yˆ2 - 4 x + 4 y + 2]

A = J-3 -1-1 -3

N, det A = 8


-3 -1 2-1 -3 -22 -2 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 16



2,y ®

x - y02


02 + x,y ® y>

Equazione finale : - 2 (-1 + x2 + 2 y2) = 0

-2 -1 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

X2

12

+ Y 2 = 1;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

-102

102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

1

-1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.



[34]

Conic[2xˆ2 + 4 x y + 5 yˆ2 - 4 x - 2 y + 2]

A = J-2 -2-2 -5

N, det A = 6


-2 -2 2-2 -5 12 1 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 2



5,y ®

x - 2 y05


305

+ x,y ® -2

305


1

3- x2 - 6 y2 = 0

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

X2

13

+Y 2

118

= 1;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


105

-205

205

105

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


43

-13

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[35]

Conic[5xˆ2 + 4 x y + 2 yˆ2 - 2 x - 4 y + 2]

A = J-5 -2-2 -2

N, det A = 6


-5 -2 1-2 -2 21 2 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 2



5,y ®

2 x - y05


305

+ x,y ® -2

305


1

3- x2 - 6 y2 = 0

-0.5 0.5 1 1.5

-0.5

0.5

1

1.5

X2

13

+Y 2

118

= 1;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


105

205

-205

105

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


-13

43

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[36]

Conic[(2x + 3y) x + 4x + 6y]


23

23

20

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det A = -9

4


23

22

3

20 3

2 3 0

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 0


J2 -013N, 1

2J2 +

013N>


:x ®

21

2+

1013

x -

21

2-

1013

y,y ®

21

2-

1013

x +

21

2+

1013

y>

Seconda sostituzione : :x ® -1

3

126 - 4

013 + x,y ®

1

3

126 + 4

013 + y>

Equazione finale :

1

1014

æçççççè

J1338 + 52

013 x -

1338 - 52

013 yN æççççç

è

77

21

2-

1013

x-

9

22 +

4013

x + 8

126 - 4

013 x + 4

126 + 4

013 (3 x - 2 y)+

9

22 -

4013

y + 77

21

2+

1013

y + 12

126 - 4

013 y

ö÷÷÷÷÷ø

ö÷÷÷÷÷ø

= 0


-10 -5 5 10

-10

10

20



Si tratta della conica degenere: (2x + 3y)(x + 2) = 0.

[37]

Conic[xˆ2 - 4yˆ2 - 4x + 8y - 1]

A = J1 00 -4

N, det A = -4


1 0 -20 -4 4

-2 4 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 4




Equazione finale : - 1 + x2 - 4 y2 = 0

-10 -5 5 10

-4

-2

2

4

6

4X2 - Y 2 = 1; K xy O = K X

Y O + K 12 O.



[38]

Conic[2xˆ2 - 2x y + 7x - y + 3]

A = J-2 11 0

N, det A = -1


-2 1 -7

21 0

1

2-7

2

1

2-3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 0

Autovalori di A = : - 1 -02,-1 +

02>


:x ®1

2J

12 -

02 x -

12 +

02 yN,y ®

1

2J

12 +

02 x +

12 -

02 yN>

Seconda sostituzione : :x ®

213

4+

7

402

+ x,y ®

213

4-

7

402

+ y>Equazione finale : x2 + y2 -

02 (x - y) (x + y) = 0


-10 -5 5 10

-5

5

10

Si tratta della conica degenere: (1 +0

2)Y 2 - (0

2 - 1)2x2 = 0.



[39]

Conic[xˆ2 - 4x y + yˆ2 + 2x]

A = J 1 -2-2 1

N, det A = -3


1 -2 1-2 1 01 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -1



2,y ®

x - y02


1

302

+ x,y ® -102


1

3+ 3 x2 - y2 = 0

-10-5 510

-30

-20

-10

10

20

30

13

- X2 + 3Y 2 = 0;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

-102

102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


13

23

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[40]

Conic[2xˆ2 + 8yˆ2 - 8 x y - 8Sqrt[5] x + Sqrt[5] y - 5]

A = J 2 -4-4 8

N, det A = 0


2 -4 -405

-4 8

05

2

-405

05

2-5

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -1125

2



5,y ®

2 x - y05


1

2+ x,y ®

1

3+ y>

Equazione finale :5

2(-1 + 4 x2 + 6 y) = 0

-10 -5 5 10

-60

-40

-20

2Y 2 - 3X = 0;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


205

-105

105

205

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


-1

20

5

-3

20

5

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[41]

B = {{aˆ2 - 1,a + 1,1},{a + 1,0,0},{1,0,1}};

Solve[Det[%] == 0,a]

{{a ® -1},{a ® -1}}

Conic[2 x y + 2 x + 2 x y - 1]

A = J0 22 0

N, det A = -4


0 2 12 0 01 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 4



2,y ®

x + y02


1

202

+ x,y ® -1

202

+ y>Equazione finale : - 1 + 2 x2 - 2 y2 = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

i) a = -1. ii) 2X2 - 2Y 2 = 1.

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

-102

102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


0

-12

ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[42]

B = {{h - 1,-Sqrt[3],1},{-Sqrt[3],h + 1,-Sqrt[3](h - 2)/12},{1,-Sqrt[3](h - 2)/12,0}};

Solve[Det[B] == 0,h]

:{h ® -2},:h ®1

2J7 - 3 ä

015N>,:h ®

1

2J7 + 3 ä

015N>>

A = B[[{1,2},{1,2}]]

:: - 1 + h,-03>,: -

03,1 + h>>

Solve[Det[A] == 0,h]

{{h ® -2},{h ® 2}}

Conic[xˆ2 + 3yˆ2 - 2 Sqrt[3] x y + 2x ]

A =æçççççè

1 -03

-03 3

ö÷÷÷÷÷ø

, det A = 0


1 -03 1

-03 3 0

1 0 0

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -3


Prima sostituzione : :x ®1

2J - x -

03 yN,y ®

1

2J0

3 x - yN>Seconda sostituzione : :x ®

1

8+ x,y ® y>

Equazione finale : -1

16+ 4 x2 -

03 y = 0



-10-5 510

50

100

150

200

h = 2. 4Y 2 +0

3X = 0.



æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


03

2-

12

12

03

2

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


116

70

396

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[43]

Eigensystem[{{2,2},{2,-1}}]

{{-2,3},{{-1,2},{2,1}}}


GramSchmidt[{{-1,2},{2,1}}]

:: -105,

205

>,: 205,

105

>>Conic[2xˆ2 + 4 x y - yˆ2 - 1]

A = J2 22 -1

N, det A = -6


2 2 02 -1 00 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 6



5,y ®

x + 2 y05


Equazione finale : - 1 + 3 x2 - 2 y2 = 0

-10-5 5 10

-40

-20

20

40



i) P =


205

-105

105

205

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

ii)X2

13

-Y 2

12

= 1; K xy O = P K X

Y O .

[44]

Conic[5xˆ2 + 24 x y - 5yˆ2 - 6x - 4y + 2]

A = J -5 -12-12 5

N, det A = -169


-5 -12 3-12 5 23 2 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 169


Prima sostituzione : :x ® -2 x + 3 y0

13,y ®

3 x - 2 y013


1013

+ y>Equazione finale : 1 - 13 x2 + 13 y2 = 0

-10-5 5 10

-30

-20

-10

10

20

30

13X2 - 13Y 2 = 1.

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


3013

-2013

2013

3013

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


313

213

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

Centro: K 313

,213

O, asintoti: y = 5x - 1, y = -x +15

; assi: 2x - 3y = 0, 3x + 2y - 1 = 0.



[45]

Conic[4xˆ2 - 4 x y + yˆ2 - y]

A = J 4 -2-2 1

N, det A = 0


4 -2 0

-2 1 -1

20 -

1

20

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -1



5,y ®

x - 2 y05


1

1005

+ x,y ® y>Equazione finale : -

1

100+ 5 x2 +

2 y05

= 0

Vertice: V = K- 9100

,1

100O,

asse:


x =105

t -9

100

y =205

t +1

100, t Î —;

5Y 2 =20

55

X ;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


105

-205

205

105

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


-9

100

1100

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[46]

Conic[5xˆ2 + 4 x y + 2yˆ2 - 6x + 1]

A = J-5 -2-2 -2

N, det A = 6


-5 -2 3-2 -2 03 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 12



5,y ®

2 x - y05


305

+ x,y ® -105

+ y>Equazione finale : 2 - x2 - 6 y2 = 0

-2 -1 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5


x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


205

-105

105

205

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

-1

1

ö÷÷÷÷÷÷ø

.

Assi: x - 2y - 3 = 0, 2x + y - 1 = 0;



[47]

Conic[7xˆ2 - 8 x y + yˆ2 - 6x + 6y + 1]

A = J-7 44 -1

N, det A = -9


-7 4 34 -1 -33 -3 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 9


Prima sostituzione : :x ®x - 2 y0

5,y ®

2 x + y05


305

+ x,y ® -105

+ y>Equazione finale : 1 - x2 + 9 y2 = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

X2 - 9Y 2 = 1; assi: 2x - y - 1 = 0, x + 2y - 3 = 0.



[48]

a = {{1 + t,0},{0,-1 + t}};

b := {{1 + t,0,-1 - t},{0,-1 + t,1 - t},{-1 - t,1 - t,1}};

Solve[Det[b] == 0]

:{t ® -1},:t ®1

2>,{t ® 1}>

Eigensystem[a]

{{-1 + t,1 + t},{{0,1},{1,0}}}

Conic[3 xˆ2 + yˆ2 - 6 x - 2 y + 1]

A = J-3 00 -1

N, det A = 3


-3 0 30 -1 13 1 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 9





-1 1 2

-2

-1

1

2

i) t = 1, t = -1, t =12

. ii) C = (1, 1) . iii) X2 +Y 2

3= 1.



[49]

B = {{3,a,1},{a,3,-1},{1,-1,-3}};

Solve[Det[B] == 0,a]

:{a ® -3},:a ®11

3>>

A = B[[{1,2},{1,2}]]

{{3,a},{a,3}}

Solve[Det[A] == 0,a]

{{a ® -3},{a ® 3}}

Conic[3xˆ2 + 2 x y + 3yˆ2 + 2x - 2y - 3]

A = J-3 -1-1 -3

N, det A = 8


-3 -1 -1-1 -3 1-1 1 3

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 32



2,y ®

x - y02


102

+ x,y ® y>Equazione finale : - 2 (-2 + x2 + 2 y2) = 0

-1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

i) a < -3, a > 3: iperboli; -3 < a < 3: ellissi;

a = -3: parabola degenere; a = 3: parabola; a =113

: iperbole degenere.

ii)X2

2+ Y 2 = 1,

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

102

-102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


-12

12

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[50]

B = {{t,t/2,0},{t/2,-1,-1},{0,-1,-t}};

Solve[Det[B] == 0,t]

:{t ® 0},:t ® 2 J - 1 -02N>,:t ® 2 J - 1 +

02N>>

A = B[[{1,2},{1,2}]]

::t, t

2>,:t

2,-1>>

Solve[Det[A] == 0,t]

{{t ® -4},{t ® 0}}

Conic[-4xˆ2 - 4 x y - yˆ2 - y + 4]

A = J4 22 1

N, det A = 0


4 2 0

2 11

20

1

2-4

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -1



5,y ®

x + 2 y05


1

1005

+ x,y ® 205 + y>

Equazione finale :1

100- 5 x2 -

2 y05

= 0

i) Se t < -4, t > 0: iperboli; se -4 < t < 0: ellissi;

t = -4: parabola, t = 0: parabola degenere, t = -2 ±0

5: iperboli degeneri.

ii) Y 2 =2

50

5X ; iii) coincide con ii).

[51]

B = {{1,-t/2,1/2},{-t/2,-t,0},{1/2,0,2t}};

Solve[Det[B] == 0,t]

:{t ® 0},:t ®1

2J - 4 - 3

02N>,:t ®

1

2J - 4 + 3

02N>>

A = B[[{1,2},{1,2}]]

::1,-t

2>,: -

t

2,-t>>

Solve[Det[A] == 0,t]

{{t ® -4},{t ® 0}}

Conic[xˆ2 + 4 x y + 4yˆ2 + x - 8]

A = J1 22 4

N, det A = 0


1 21

22 4 01

20 -8

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -1


Prima sostituzione : :x ®x - 2 y0

5,y ®

2 x + y05


1

1005

+ x,y ® -405 + y>


100+ 5 x2 -

2 y05

= 0

i) Se Λ < -4, Λ > 0: iperboli; se -4 < Λ < 0: ellissi;



Λ = -4: parabola, Λ = 0: parabola degenere,

Λ =-4 ± 3

02

2: iperboli degeneri.

ii) Y 2 = -2

50

5X . iii) coincide con ii).

[52]

A = {{1,h},{h,1}}; B = {{1,h,1},{h,1,0},{1,0,h}};

Solve[Det[B] == 0]

::h ® -æçççççççè

2

3 J9 -069N

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

1/3

-J 12 J9 -

069NN1/3

32/3>,

:h ®J1 + ä

03N J 1

2 J9 -069NN1/3

2 32/3+

1 - ä03

22/3 J3 J9 -069NN1/3

>,

:h ®J1 - ä

03N J 1

2 J9 -069NN1/3

2 32/3+

1 + ä03

22/3 J3 J9 -069NN1/3

>>

Eigensystem[A]

{{1 - h,1 + h},{{-1,1},{1,1}}}

i) -1 < h < 1: ellissi; h = ±1: parabole; h < -1, h > 1: iperboli; ii) h = ±0

2.



[53]

Conic[xˆ2 - x y + 1/4yˆ2 - 2x + 6y + 6]


1 -1

2-1

2

1

4

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det A = 0


1 -1

2-1

-1

2

1

43

-1 3 6

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -25

4

Autovalori di A = :0, 5

4>


5,y ®

x - 2 y05


405

+ x,y ®305

+ y>

Equazione finale : - 4 +5 x2

4- 2

05 y = 0

-10 -5 5 10

-40

-20

20

40



54

Y 2 = -20

5X ;æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


105

-205

205

105

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


95

-65

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

;

asse: 10x - 5y - 24 = 0, tangente nel vertice: 5x + 10y + 3 = 0.

[54]

Conic[xˆ2 - 2yˆ2 + 4x - 4y - 2]

A = J1 00 -2

N, det A = -2


1 0 20 -2 -22 -2 -2

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 8



Seconda sostituzione : {x ® -2 + x,y ® -1 + y}

Equazione finale : x2 - 2 (2 + y2) = 0

-10 -5 5 10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

X2

4-

Y 2

2= 1; K x

y O = K XY O + K -2

-1 O ;

C = (-2, -1) ; assi: x = -2, y = -1; asintoti: y + 1 = ±

02

2(x + 2) .



[55]

Conic[3xˆ2 - 2 x y + 3 yˆ2 + 2x + 2y]

A = J-3 11 -3

N, det A = 8


-3 1 -11 -3 -1

-1 -1 0

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 8



2,y ®

x + y02


102

+ x,y ® y>Equazione finale : 1 - 2 x2 - 4 y2 = 0

-1 -0.5 0.5

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

i) Sı. ii) No. iii) Sı. iv) E un’ellisse. v) 2x2 + 4y2 = 1.



[56]

Conic[2 x y - x - y + 1]

A = J 0 -1-1 0

N, det A = -1


0 -11

2-1 0

1

21

2

1

2-1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B =1

2



2,y ®

x - y02


102


1

2- x2 + y2 = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

ii) 2X2 - 2Y 2 = 1,æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


-102

102

102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


12

12

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

;

iii) centro: K 12

,12

O ; iv) asintoti: x =12

, y =12

; v) tangente: x - y + 1 = 0.



[57]

Conic[4 x y - 3 yˆ2 - 8]

A = J0 22 -3

N, det A = -4


0 2 02 -3 00 0 -8

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 32



5,y ®

x + 2 y05


Equazione finale : x2 - 4 (2 + y2) = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

X2

8-

Y 2

2= 1; assi: 2x + y = 0, x - 2y = 0; asintoti: 4x - 3y = 0, y = 0.



[58]

Conic[xˆ2 - 2 x y + yˆ2 + 10 x + 2 y + 7]

A = J 1 -1-1 1

N, det A = 0


1 -1 5-1 1 15 1 7

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -36



2,y ®

x - y02


02 + x,y ®

7

602

+ y>Equazione finale : 2 J - 2 + x2 - 3

02 yN = 0

-10 -5 5 10

-20

-10

10

20

30

Y 2 = -30

2X , vertice: V =æçççè

-5 - 60

212

,-5 + 6

02

12

ö÷÷÷ø, asse: x - y +

02 = 0.



[59]

Conic[7xˆ2 - 2 x y + 7 y ˆ2 + 34 x + 2 y + 31]

A = J-7 11 -7

N, det A = 48


-7 1 -171 -7 -1

-17 -1 -31

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 576



2,y ®

x + y02


302

+ x,y ®02 + y>

Equazione finale : - 2 (-6 + 3 x2 + 4 y2) = 0

-3 -2 -1 1

-1

1

2

X2

2+

Y 2

32

= 1;

vertici: A1 =æçççè

-1 -0

22

,-1 +

02

2

ö÷÷÷ø

, A2 =æçççè

-5 -0

22

,-5 +

02

2

ö÷÷÷ø,

B1 =æçççè

-3 -0

3 -0

22

,-3 +

03 +

02

2

ö÷÷÷ø

, B2 =æçççè

-3 +0

3 -0

22

,-3 -

03 +

02

2

ö÷÷÷ø.



[60]

A = {{1,h},{h,4}}; B = {{1,h,4},{h,4,-3},{4,-3,0}};

Solve[Det[B] == 0]

::h ® -73

24>>

e = Eigenvalues[A]

:12

J5 -09 + 4 h2N, 1

2J5 +

09 + 4 h2N>

Solve[e[[1]] == 0]

{{h ® -2},{h ® 2}}

Solve[e[[2]] == 0]

{}

Conic[xˆ2 + 4 yˆ2 + 8 x - 6 y]

A = J-1 00 -4

N, det A = 4


-1 0 -40 -4 3

-4 3 0

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 73



Seconda sostituzione : :x ® -4 + x,y ®3

4+ y>

Equazione finale :73

4- x2 - 4 y2 = 0

-8 -6 -4 -2 2 4

-2

-1

1

2

3

Se h = -7324

la conica e degenere; altrimenti e non degenere.

Se -2 < h < 2 la conica e un’ellisse, se h < -2 e h > 2 la conica e un’iperbole, se h = ±2 la conica e unaparabola.

Se h = 0:X2

734

+Y 2

7316

= 1,æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


-4

34

ö÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.



[61]

A = {{8, h},{h,2}};

Solve[Det[A] == 0]

{{h ® -4},{h ® 4}}

Conic[8xˆ2 + 8x y + 2yˆ2 - 2x - 4y + 1]

A = J8 44 2

N, det A = 0


8 4 -14 2 -2

-1 -2 1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -18



5,y ®

x + 2 y05

>

Seconda sostituzione : :x ®2

505

+ x,y ®

05

6+ y>


25+ 10 x2 -

6 y05

= 0

Conic[8xˆ2 - 8x y + 2yˆ2 - 2x - 4y + 1]

A = J 8 -4-4 2

N, det A = 0


8 -4 -1-4 2 -2-1 -2 1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = -50



5,y ®

x - 2 y05


1

205

+ y>Equazione finale : 2 J5 x2 +

05 yN = 0

i) h = ±4.

ii) Se h = 4, allora C : 10Y 2 + 605X = 0;

se h = -4, allora C : 10Y 2 - 20

5X = 0.


Capitolo 18

Soluzioni - Geometria analitica nellospazio

[1]

<< Graphics‘ParametricPlot3D‘Show[ParametricPlot3D[{t,t,2t + 5},{t,-30,20}],Graphics3D[Text[r,{17,15,35}]],ParametricPlot3D[{t + 6,t,t},{t,-40,20}],Graphics3D[Text[s,{23,15,15}]],ParametricPlot3D[{-2t + 2,t,-3t + 4,Hue[0]},{t,-15,15}],Graphics3D[Text[t,{-20,10,-22}]],ParametricPlot3D[{2/3 t + 1,-1/3 t - 20,t,Hue[.6]},{t,-50,50}],Graphics3D[Text[l,{20,-30,25}]],ViewPoint ® {1.5,4,-4},Boxed ® False,BoxRatios ® {1,1,1}]

-200

20

-40

-20

0

20-50

-25

0

25

50r

s

tl

-200

20

-40

-20

0

20

270

Capitolo 18 – Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 271

i) l : ; 5x + y - 3z + 15 = 04x - y - 3z - 24 = 0.

ii) S : (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 5.

iii) ; (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 5x + y - z + 2 = 0, ; (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 5

21x - 3y - 15z + 18 = 0.

[2]

<< Graphics‘ParametricPlot3D‘

Show[ParametricPlot3D[{2t,3t,-t},{t,-0.5,0.5}],ParametricPlot3D[{u + v,u,v},{u,-1,1},{v,-1,1}],ParametricPlot3D[{4/9 + Sqrt[42]/9Sin[u] Cos[v],

- 1/9 + Sqrt[42]/9Sin[u] Sin[v],5/9 + Sqrt[42]/9 Cos[u]},{u,0,Π},{v,0,2Π}],ViewPoint ® {0,1,0}]

-2-1012

-10

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-2-1012

-Graphics3D-


x2 + y2 + z2 -89

x +29

y -109

z = 0

x - y - z = 0.

[3]

A := {{1,1,1},{1,k,0},{1,1,-1}}; B := {h,0,1}; X := {x,y,z};

Reduce[A.X == B,X]

h == -1&&k == 1&&x == -y&&z == -1||

x ==k + h k

2 (-1 + k)&&y ==

-1 - h

2 (-1 + k)&&z ==

1

2(-1 + h)&& - 1 + k ¹ 0

i) Se k ¹ 1, "h Î — : i tre piani si intersecano in un punto;

se k = 1, h = -1: i tre piani appartengono allo stesso fascio proprio;

se k = 1, h ¹ -1: un piano e parallelo alla retta intersezione degli altri due.



ii) s :

ìïïïïïïïïïíïïïïïïïïïî

x =12

+ 5t

y =12

+ 5t

z = -2t, t Î —,

Π : x - y = 0;

iii) x2 + y2 + z2 - 4x - 4y + 5 = 0.

[4] i) S1 : x2 + y2 + z2 - x + y - 3z + 1 = 0. ii) Α : x + 2y - z + 1 = 0.

iii) S2 : x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - z - 1 = 0.

[5] i) Π : 2x + y + z - 4 = 0. ii) (x - 1)2 + (y + 4)2 + z2 = 6.

[6] d(r, s) =19013

.

[7]


Kx +15

O2

+ Ky -15

O2

+ (z - 2)2 =18225

x + y - z + 2 = 0.

[8] i) a) h ¹ 0, k ¹ -4; b) h = 0 e k = -4; c) h = 0, k = -52

;

d) h = ±

213

, k =13

. ii) detæççççççè

-2 1 21 -1 11 -3 1

ö÷÷÷÷÷÷ø

¹ 0.

[9] ; x2 + y2 + z2 - 2z + 1 - 2Αx = 0y = 0, Α Î —.

[10] ; 2x + y = 02x - 4y + 5z - 10 ± 12

05 = 0.

[11]


Kx -1

10O2

+ Ky -15

O2

+ Kz -32

O2

=6310

2x - y = 0.

[12] i) Π : 2x - z - 18 = 0. ii) S : x2 + y2 + z2 - 6x - 2y + 4z - 6 = 0.

iii) ; 2x - z - 18 = 0x - 7 = 0.



[13] i) x - y - z = 0. ii) S¢ = S .

[14] Se a = 1, b = 2: le due rette sono parallele non coincidenti; se 2ab - 3b + 2 = 0: le due rette sono incidenti,altrimenti sono sghembe.

[15] i) x - y - 5 = 0; ii) (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 +5 ± 10

03

11(x + y + z - 2) = 0.

[16] i) � = (-20, 40, -20) .

ii) a : ; 2x - y + 1 = 03x - z - 1 = 0;

b : ; 9x - 12y + 5z + 17 = 0x + 2z - 1 = 0.

iii) d(0, a) =30

3014

. iv) S : (x + 3)3 + y2 + (z - 2)2 =2714

.

[17] x2 + y2 + z2 - 4x - 6y + 4z + 13 = 0, x2 + y2 + z2 - 4x - 6y + 9 = 0.

[18] s : ; 5x - 2y + 6z - 15 = 0x + 2z = 0.

[19] i) ; 3x + y = 0y + 2z = 0

. ii) S : x2 + y2 + z2 - 1 = 0. iii) x2 + y2 + z2 -34

= 0.

[20] i) ; y - z + 2 = 04x + 7y + z - 5 = 0.

ii) ; x2 + y2 + z2 + 10x + 16y - 8z + 7 = 03y + z - 1 = 0.

[21] i) a : ; 8x - y = 0z + 2 = 0;

b : ; y + 3 = 08x - y - 195 = 0;

ii) d(a, b) =1950

65.

[22] i) c : ; 8x + 5y - 2z - 20 = 0x + 3y - 7 = 0.

ii) S : x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z - 2 = 0.

[23] Α : y - z - 4 = 0, Β : 4x - y - z + 6 = 0.

[24] i) d =2010

.

ii) x2 + y2 + z2 + 2(-3t + 1)x + 2(3t - 2)y - 2tz + (-3t + 1)2 + (3t - 2)2 = 0, Α Î — , non e un fascio di sfere.



[25] i) ; x - y + 3 = 0x - z = 0, ; x - y + 3 = 0

x - z + 3 = 0.

ii) C = K- 32

,32

, 0O , r =

0462

.

[26] x2 + y2 + z2 - 9 = 0, x2 + y2 + z2 -34

x -32

y -32

z -458

= 0.

[27] x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 4z - 18 = 0, x2 + y2 + z2 - 4x - 8y - 8z + 9 = 0.

[28] 20

2.

[29] ; x + 2y - z = 0x + y = 0.

[30] (1, 1, -2) .

[31] S1 : x2 + y2 + z2 + 4y - 2z + 2 = 0, S2 : x2 + y2 + z2 - 8x - 4y - 10z + 18 = 0.

[32]ìïïíïïî

x + y + z = 0

z =2 +

010

3,

ìïïíïïî

x + y + z = 0

z =2 -

010

3.

[33] [x - (4 ±0

2)]2 + [y - (4 ±0

2)]2 + z2 = (4 ±0

2)2 .

[34] ii) ; 2x + 5y + 6z = 0(61 + 5

065)x - 2(5 +

065)y - 12z - 195 - 15

065 = 0,

; 2x + 5y + 6z = 0(61 - 5

065)x - 2(5 -

065)y - 12z - 195 + 15

065 = 0.

[35] (x2 + y2 + z2 - 2x + 1) +-1 +

05

2(x - y + 2z - 1) = 0,

(x2 + y2 + z2 - 2x + 1) +-1 -

05

2(x - y + 2z - 1) = 0.

[36] Se k =-1 - 2h

1 + h, h ¹ -1 le rette sono incidenti, altrimenti sono sghembe; non sono mai parallele.

[37] x2 + y2 + z2 - 2x + y - 2z - 4 = 0.



[38] P¢ = (5, 2, -4) .

[39] x2 + y2 + z2 - 2y - 4z - 4 = 0, x2 + y2 + z2 - 8x - 6y + 4z + 20 = 0.

[40] Per ogni h, k Î — Π1, Π2, Π3 si intersecano in un punto.

[41] i) x2 + y2 + z2 - 24x - 24y - 132 = 0;

ii) t : ; 8x + 5y - 2z - 20 = 0x + 3y - 7 = 0;

iii) A = 20

93.

[42] i) P1H :ìïïíïïî

x = 2 + 4ty = tz = -7t, t Î —,

P3K :ìïïíïïî

x = -2 - 7t ¢

y = 1 + 4t ¢

z = 1 + t ¢, t ¢ Î —,

le due rette sono sghembe.

ii)


Kx -3

11O2

+ Ky -2511

O2

+ Kz +4

11O2

=9011

x + y + 3z - 2 = 0.

[43] ii) n : ; 6y + 1 = 0x + y + 1 = 0.

iii) P1 = K- 56

, -16

, 1O , P2 = K- 56

, -16

, -12

O.

iv) Kx +56

O2

+ Ky +16

O2

+ Kz -14

O2

=9

16.

[44] ; 2x - y - z + 1 = 0x - 2y - z + 1 = 0.

[45] i) r1 :


x =12

+ t

y = -1

z = -2 - 2t, t Î —,

r2 :


x =12

+12

t ¢

y = -1 + 6t ¢

z = -2 + 5t ¢, t ¢ Î —;

ii) Kx -12

O2

+ (y + 1)2 + (z + 2)2 =14

.

[46] i) C = K 13

,43

,53

O , r =

2143

;

ii); x + y - z = 0x + 2y + z = 0.

.



[47] i) y = z = 0; ii) 2y + z = 0;

iii)ìïïíïïî

x = 5ty = tz = -2t, t Î —,

ìïïíïïî

x = t ¢

y = -t ¢

z = 2t ¢, t ¢ Î —;

iv) Kx -85

O2

+ Ky -45

O2

+ Kz +85

O2

=2425

, Kx -83

O2

+ Ky -43

O2

+ Kz +83

O2

=83

.

[48] i) A1 = (1, 0, -1), A2 = K0,12

,12

O; ii) x2 + y2 + z2 - 24x - 15z +454

= 0.

[49]

A := {{1,-2,h},{2,-4,-k},{h - k,k - 4,-h - 2k}};

B := {1,2,4 - h}; X := {x,y,z};

Reduce[A.X == B,X]

h == 1&&k == -2&&y ==1

2(-1 + x + z)||

2 h == -k&&x ==1

4(-4 - k z)&&y ==

1

8(-8 - 3 k z)&&2 + k ¹ 0||

k == -4 + 2 h&&y ==1

2(-1 + x)&&z == 0&& - 1 + h ¹ 0||

x == -1&&y == -1&&z == 0&& - 4 + 2 h - k ¹ 0&&2 h + k ¹ 0

i) Per k ¹ -2h si ottiene un punto di intersezione;

per k = -2h esistono infinite soluzioni: se h = -1 dipendono da un parametro, se h ¹ -1 dipendono da dueparametri.

ii) (x - Α)2 + (y - Β)2 + z2 =(Α - 2Β - 1)2

6, Α, Β Î — , P(Α, Β) descrive un’ellisse su z = 0.

[50]

ìïïïïïíïïïïïî

x + 2y + z + 2 = 0

z = -

2134

,


x + 2y + z + 2 = 0

z =

2134

.

[51] i) Se h ¹ -3 "k Î — : la retta e il piano sono incidenti;

se h = -3, k = -5: la retta giace sul piano;

se h = -3, k ¹ -5: la retta e parallela al piano.

ii) Γ : ; 4x + 3y - 5z + 7 = 0x2 + y2 + z2 - 4x - 6z + 4 = 0.

iii) ; 4x + 3y - 5z + 7 = 0x + 7y + 5z - 17 ± 15

03 = 0.

[52]

ìïïïïïïïïíïïïïïïïïî

x = t

y =4 +

091

3t

z = 1 - t, t Î —,

ìïïïïïïïïíïïïïïïïïî

x = t ¢

y =4 -

091

3t ¢

z = 1 - t ¢, t ¢ Î —.



[53] i) Se a = 0: le due rette sono parallele ma non coincidenti;

se a Î {-2, 3} : le rette sono incidenti; in tutti gli altri casi le due rette sono sghembe.

ii) 2x - y + 7 = 0. iii) x2 + y2 + z2 - 3x - 5y + 8z + 20 = 0.

[54] i) a) h ¹ -4, "k Î — : r e Π sono incidenti; b) h = -4, k ¹ 0: r e Π sono paralleli;

c) h = -4, k = 0: r e contenuta in Π .

ii) ; x + z - 1 = 05x + 4y - z - 11 = 0.

iii) C = (1, 1, -2) , r =0

14.

[55] i) x + 3y - 2z + 2 = 0. ii) r : ; x - y - 1 = 0z + 1 = 0.

iii) S1 : (x - 2)2 + y2 + (z - 2)2 = 2, S2 : x2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 2.

[56] i) 2x + 2y + z = 0. ii) d(r, s) = 3.

iii) S1 : Kx -14

O2

+ Ky +52

O2

+ Kz -92

O2

= 9, S2 : (x + 2)2 + (y - 2)2 + z2 = 9.

[57]

A := {{1,-h,1},{2,1,1 - h},{h - 1,3,-2}};

B := {1,-1 + h,0}; X := {x,y,z};

Reduce[A.X == B,X]

h == 2&&x ==3 + z

5&&y ==

1

5(-1 + 3 z)||x == -

2 (-2 + h)

-1 + h2&&

y == -2

-1 + h&&z ==

-5 - h2

-1 + h2&& - 2 + h ¹ 0&& - 1 + h ¹ 0&&1 + h ¹ 0

i) Se h /Î {1, 2} : l’intersezione di Π1, Π2, Π3 e un punto;

se h = ±1: un piano e parallelo alla retta intersezione degli altri due;

se h = 2: i tre piani appartengono allo stesso fascio proprio.

ii)ìïïíïïî

x = -4 + 5ty = 2 + 3tz = 5 + 2t, t Î —.

iii) x2 + y2 + z2 + 10x - 10y - 6z + 45 = 0.

[58] i) r : ; x + 2y + 1 = 0y - z = 0.

ii)x2 + y2 + z2 + 2x + 2 K 23

±0

3O y -103

z + 1 = 0.

[59] i) 2x + 2y + 3z = 0; ii) P1 = K 32

, -32

,32

O , P2 = K- 32

,32

, -32

O; iii) h = -79

.

[60] i) ; x - z - 3 = 02y - 2z - 3 +

02 = 0,

; x - z - 3 = 02y - 2z - 3 -

02 = 0.

ii) B esterno a Γ . iii) ; y - z - 1 = 02x - y - z + 3 ± 2

03 = 0.



[61] i) P = (1, -1, -1) , x + y - z - 1 = 0. ii)x2 + y2 + z2 + 4y + 6z - 5 = 0.

iii) x + z - 3 = 0. iv) ; x2 + y2 + z2 + 4y + 6z - 5 = 0y + z + 2 = 0.

[62] i) 2x - y - 5 = 0, 18x + 11y + 20z - 45 = 0.

ii) S¢ : x2 + y2 + z2 + 2x - y = 0.

iii) ; x2 + y2 + z2 - 2x + y = 0x + 2y - 2z + 3 = 0, ; x2 + y2 + z2 - 2x + y = 0

x + 2y - 2z - 3 = 0.

[63]

A := {{1,k,1},{k,1,1},{1,1,k}}; B := {k,1,kˆ2}; X := {x,y,z};

Reduce[A.X == B,X]

k == 1&&x == 1 - y - z||

x ==-1 - k

2 + k&&y ==

1

2 + k&&z ==

1 + 2 k + k2

2 + k&& - 1 + k ¹ 0&&2 + k ¹ 0

i) Se k /Î {-2, 1} : i tre piani si incontrano in un punto;

se k = 1: i tre piani sono paralleli ma non coincidenti;

se k = -2: due piani si incontrano in una retta e il terzo piano e parallelo a tale retta.

ii) ; x - z + 1 = 0x + z - 3 = 0.

iii) Γ : ; x2 + y2 + z2 + 2z - 1 = 0x + y - z - 1 = 0;

x2 + y2 + z2 - x - y + 3z = 0.

[64] i) 3x - 2y - 10 = 0, d(Π, z) =10013

.

ii) C = (0, 0, 0) , r = 1; ; z - 1 = 0x - y = 0.

[65] ; y - 1 = 0x - z = 0.



[66]


Show[ParametricPlot3D[{0,t,tˆ2},{t,-5,5}],ParametricPlot3D[

{u,t + u,tˆ2},{t,-5,5},{u,-5,5},PlotPoints ® 50]]

-5-2.5

02.5

5

-10

-5

0

5

10

0

10

20

-10

-5

0

5

10

-Graphics3D-

z = (y - x)2 .

[67] xy + (x + y)(z - 1) = 0.



[68]


iperboloide[a ,b ,c ][u ,v ] := {a Cosh[v] Cos[u],b Cosh[v]Sin[u],c Sinh[v]}

Show[ParametricPlot3D[Evaluate[iperboloide[2,3,1][u,v],{u,0,2Π},{v,-1,1}]],Plot3D[1/2 x + 1/3 y + 1, {x,-5,5},{y,-5,5}],ViewPoint ® {1,0,1}]

-5

-2.5

0

2.5

5

-5 -2.5 0 2.5 5-2

0

2

4

-2

0

2

4

i)


x2

- z = 0

1 -y3

= 0,


x2

- z = 1 -y3

1 +y3

=x2

+ z.

ii) 3x + 2y - 6z - 6 = 0. iii)P1,2 =æçççè

5 ±0

52

, 3,5 ±

05

4

ö÷÷÷ø.



[69]


Show[ParametricPlot3D[{-2 + 2/3 t,t,1/2 - 1/3 t},{t,-15,15}],Plot3D[xˆ2/8 - yˆ2/18, {x,-15,15},{y,-15,15}]]

-100

10

-10

0

10

-10

0

10

20

-10

0

10

-Graphics3D-

i) Paraboloide iperbolico.

ii) r :


x = -2 +23

t

y = t

z =12

-13

t, t Î —

verifica l’equazione del paraboloide.

[70] i) Sı. ii) Γ : x2 - 2xy + y2 + 2x + 4y + 2 = 0, 2Y 2 + 30

2X = 0, parabola;

æççççççè

x

y

ö÷÷÷÷÷÷ø

=


102

-102

102

102

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

æççççççè

X

Y

ö÷÷÷÷÷÷ø

+


-1

24

1324

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[71] i) ; x - 2y - z + 4 = 05x + 2y - z - 4 = 0.



ii)


x =37

+ t

y =87

+ 2t

z =37

+ 3t, t Î —.

iii) Γ : ; x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 2z + 4 = 0x + y + z - 2 = 0.

iv) (x + 1)2 + y2 + (z - 3)2 = 6 K x + y - z2

O2

+ 8.

[72] i) 2(z - 1)2 - [x2 + (y - 2)2 + (z - 1)2] = 0. ii)

ìïïïíïïïî

x = ty = 2 + tz = 1 ±

02t, t Î —.

[73] (x - y + 2z)2 - 6(x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2) = 0.

[74] x2 + y2 + z2 - (x + y + z)2 = 0.

[75] K 2xx + y - z + 2

O2

+ K 2yx + y - z + 2

O2

+ K 2(x + y)

x + y - z + 2O2

- K 4xx + y - z + 2

O - K 4(x + y)

x + y - z + 2O = 0.

[76] i) ; (x - 2)2 + y2 + (z - 1)2 = 9x - z = 0.

ii) (x - 2)2 + y2 + (x - 1)2 = 9.

[77] x2 + y2 + z2 - 7(y - z - 5)2 - 13(y - z - 5) - 26 = 0.



[78]


Show[ParametricPlot3D[{2 + 2Cos[t],2Sin[t],4},{t,0,2Π}],ParametricPlot3D[{(2 + 2Cos[t])u,2Sin[t] u,4u},

{t,0,2Π},{u,-5,5}]]

-20-10

0

10

20-10-5

05

10

-20

-10

0

10

20

-10-5

05

10

-20

-10

0

10

20

-Graphics3D-

K 4xz

- 2O2

+4yz

- 4 = 0.

[79] (x2 + y2 + z2 + 3)2 - 16(x2 + y2) = 0.



[80]


ParametricPlot3D[

{1 + u v ,uˆ2 v + u, (uˆ2 + 1)v},{u,-2,2},{v,-2,2}]

-20

24

-5

0

5

-10

-5

0

5

10

-5

0

5

-Graphics3D-

i) S e una superficie rigata.

ii) r1 :ìïïíïïî

x = 0y = 0z = t, t Î —,

r2 :ìïïíïïî

x = 1 + 2ty = 2 + 4tz = 5t, t Î —.

iii) y = (x - 1)2 + x - 1: parabola X2 = Y .



[81]

<< Graphics‘ParametricPlot3D‘ParametricPlot3D[{uˆ3 + u v + v ,Cos[u] + u + v uˆ2, u(v + 1)},{u,-Π,Π}, {v,-5,5},ViewPoint ® {1,1,1},Boxed ® False]

-40

-20

0

20

40

-20

0

20

-10

0

10

-40

-20

0

20

40

-10

0

10

-Graphics3D-

ii) (t + 1, t2, t) .

[82] i) r¢ : ; x - y + 1 = 0x - 2y + z = 0.

ii) r ed s si incontrano nel punto P(1, 1, 1) .

iii) CΓ = K 12

, -1, 1O , rΓ =32

03;

ìïïíïïî

Cx - Kx - 2y + 2z -92

OG2

+ Cy - Kx - 2y + 2z -92

OG2

+ Cz - Kx - 2y + 2z -92

OG2

- 9 = 0

z = 0.

[83] i)ìïïíïïî

x2 + y2 + z2 - 2x + 4z -12

= 0

x - y + 3z + 5 = 0



ii) A = K 52

, -32

, -3O , B =æçççè

-30

11 ± 12

20

11+ 4,

-30

11 ± 12

20

11, -3

ö÷÷÷ø.

iii) x2 - (y + 4)2 + (z + 3)2 = 0.

[84] i) r : ; x = 1z = 1.

ii)(x + z + 2)2

4+ (-x + y + z + 2)2 +

(x + z - 2)2

4- (x + z + 2) = 0.

[85] i) Π : x + z = 0. iii) r : ; x = 0z = 0

.

[86] i) C = (1, 2, 2), r =0

6.

ii) r : ; 2x - y - 2z - 2 = 0x + y - z - 1 = 0.

iii) x2 + y2 + z2 - xy + xz + yz - 2x - 5y - 7z + 4 = 0.

[87] i) Β1 : x - 2y - 2z - 13 = 0, Β2 : x - 2y - 2z + 5 = 0.

ii) (x - 2y - 2z - 4)2 - 9(x2 + y2 + z2 - 4x - 2y + 4z - 16) = 0.

[88] i) A =32

. iii) Γ1 : x2 + y2 + z2 +25

(y + 2x) = 0, Γ2 : x2 + y2 + z2 -25

(y + 2x) = 0.



[89]

Conic[xˆ2 - 2 x y - 2 yˆ2 + 1]

A = J-1 11 2

N, det A = -3


-1 1 01 2 00 0 -1

ö÷÷÷÷÷÷÷ø

, det B = 3


J1 -013N, 1

2J1 +

013N>


21

2-

3

2013

x -

21

2+

3

2013

y,

y ®

21

2+

3

2013

x +

21

2-

3

2013


Equazione finale :1

2J2 - J1 +

013N x2 + J - 1 +

013N y2N = 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

i) C = (1, 1, 1), r =0

3. ii) (x - y)2 + (z - 1)2 = 3y2 .

iii) Γ¢ : x2 - 2y2 - 2xy + 1 = 0,X2

2

-1 +0

13

-Y 2

2

1 +0

13

= 1.

[90] i) Λ = -1, Μ = -2: rette parallele coincidenti; Λ = -1, Μ ¹ -2: rette parallele; Λ ¹ -1, Μ = -2: retteincidenti; Λ ¹ -1, Μ ¹ -2: rette sghembe.

ii) ; x - 2y - z + 1 = 0x - z - 1 = 0.

iii) x2 - 2y2 + z2 - 2x + 4y - 3 = 0: iperboloide di rotazione ad una falda;X2

2+

Z2

2- Y 2 = 1.

[91] i) C = (1, 0, 1), r = 2, CP = (0, 2, 0) .



ii) Π1 : 3x + 6y + z - 4 +0

138 = 0, Π2 : 3x + 6y + z - 4 -0

138 = 0.

iii) 2(y - 3)2 - 6x2 - 6z2 - 6x(y - 3) - 6z(y - 3) + 2xz = 0.



[92]


ParametricPlot3D[{-u + 1,(-t/(1 + t) + 1)u - 1,(t + 1)u - 1},{u,-2,2},{t,0,3},PlotPoints ® 40]

-10

12

3

-3

-2-1

01

-5

0

5

-3

-2-1

01

-Graphics3D-

i) (y + 1)(z + 1) = (1 - x)2 . ii) (x - 1)2 + z2 = 1 + y : paraboloide di rotazione.



[93]


ParametricPlot3D[{t, tˆ2 + u,tˆ2 + t - u},{t,-5,5},{u,-5,5}, ViewPoint ® {0,1,0},PlotPoints ® 40]

-5-2.502.55

0

10

20

30

0

10

20

30

-5-2.502.55

-Graphics3D-



i) ; 2x - y - z = 1x = 0.

ii) 2x2 + x - y - z = 0.

[94] i) ; 6x - 16y + 14z - 7 = 05x - 7y - z + 6 = 0.

ii) (x + 1)2 + y2 + (z - 1)2 = K 2x + 2y - 4z + 75

O2

+ K -1 - x - y + 2z5

O2

+ K 4x + 4y - 8z - 910

O2

.

[95] i) ; 2x - 3y = 02x - y + 3z = 0.

ii) C = (2, 0, 0), r = 2.

iii) (2x - y + 3z - 7)2 - 14(x2 + y2 + z2 - 4x + 6y) = 0.

[96] ii) Π : x - y + z = 1; iii) 3(x - 3)2 + 3y2 + 3(z - 2)2 = 16.

iv) 3(x - 1 + z)2 - 2[(x - 1)2 + y2 + z2] = 0.

[97] i) P1 = (5, 2, -3), P2 = (8, 2, -6) .

ii)ìïïíïïî

(x - 2)2 + y2 + (z + 1)2 =92

2x - y + 2z - 2 = 0.

[98] i) P = (0, 0, 0) ; ii) A =

0352

.

iii) ; x2 + y2 + z2 = 6x - 3y - 5z = 0.

iv) Ky -12

O2

+ z2 -72

= 0.

[99] i) r : ; x + y = 0z - 3 = 0;

ii) Π1 : z - 3 = 0, Π2 : 2x + 2y - z + 3 = 0;

iii) ; (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 6x + y + z - 3 = 0;

iv) (4x + 3y - 2z)2 - 25(x2 + y2 + z2) = 0.

[100] ; x2 + y2 + z2 - z = 0y = 0;

; x2 + y2 + z2 - z = 0x = 0.



[101] ; (x - 1)2 + y2 + (z - 1)2 = 0x - z = 0.

[102] ii) ; x - z + 2 = 0y = 0;

iii) 2x2 + 2y2 - z2 = 1: iperboloide di rotazione ad una falda.

iv) C = (0, 0, 3), r =0

5.

[103] i) ; x - y - z + 1 = 04x + 5y + 3z - 14 = 0;

ii) ; x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z + 1 = 0x - y - z + 1 = 0.

[104] ii) CΓ = K 23

,43

, -43

O, rΓ =0

2, x + 2y - 2z - 6 = 0.

iii) S1, S2 : x2 + y2 + z2 - 6 +æçççè

-6 ±0

65

ö÷÷÷ø

(2x + 4y - 4z - 12) = 0.

iii) (x - 3)2 + 4y2 + 6(x - 3)(z + 3) + (z + 3)2 = 0.

[105] ii)x + 1

2=

y3

= z + 1, x = 0, y - z - 2 = 0, P = K0,32

, -12

O;

iii) x2 + y2 + z2 - 8z - 10 = 0.

[106] i) 9x + 5y + 3z - 14 = 0; iii) ; y + 6z - 1 = 0x - 3z - 1 = 0;

iv)0

10; v) x2 + y2 + z2 - 2y - 6z - 36 = 0; vi) O = (0, 0, 0) interno a S .

[107] i) P e interno a S ; ii) il piano interseca la sfera;

iii) la retta interseca la sfera; iv) le due sfere non hanno punti in comuni.

[108] i) ; x + y + z = 0x - y + z = 0.

ii) C = K 43

,23

,43

O, r =

283

;

iii) 2x2 + 2y2 + (z - 1)2 + 2xy = 0.

[109] i) t : ; x - z - 1 = 05x - 5y - z - 5 = 0.

ii) r e s sono sghembe.

[110] ii) s : ; x + y + z - 2 = 0x - y - z = 0.

iii) d(P, r) =0

6.



[111] ii) s : ; x + y + z = 22x + 3y - z + 4 = 0.

iii) d(P, Β) =4014

.

[112] i) r ed s sono sghembe.

ii) x2 + y2 + z2 =6

81(x + 2y + 3z + 3)2 -

49

(x + 2y + 3z + 3) + 1.

[113] A = 1, p = 2 + 20

2.

[114] i) Se k = -1: la retta e il piano sono paralleli, ma non hanno punti in comune.

Se k ¹ -1: la retta e il piano sono incidenti.

ii) s :ìïïíïïî

x = 2y = -2 + tz = 2 + t, t Î —.

iii) S : (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 1)2 = 3.

iv) (y + z)2 - 2(x2 + y2 + z2 - 2x + 2y - 2z) = 0.

[115] ii) 24x - y + 2z = 0. iii) x2 + y2 + z2 = 6.

iv) (12x + 3)2 - (y - 1)2 - (z - 2)2 + 9 = 0, r = 150

2.

[116] i)

02106

; ii) K 17

,37

,57

O;

iii) 9x2 + y2 + 9z2 - 6xy + 2xz + 6yz = 0.

[117] i) P¢ = (-1, -4, 3) ; ii) P¢¢ = K- 13

,23

,73

O; iii) d(P, Π) =203

;

iv) ; x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 2z + 5 = 0x - z = 0;

v) 5x - 2y - z = 0.

[118] i) V = 9. ii) Γ : ; (x + 12)2 + (y - 3)2 + z2 = 65x - y + z - 9 = 0.

iii) [10(5x-y+z+9)+18(x+2)]2+[-2(5x-y+z+9)+18(y-1)]2+[2(5x-y+z+9)+18(z-2)]2-6(5x-y+z+9)2 = 0.

[119] i) r e s sono sghembe.

ii) (x + 5)2 + y2 + (z - 4)2 = 65 + 4(3x + y - z - 6) + 2 K 3x + y - z - 62

O2

: iperboloide di rotazione.

iii) y + z = 0; S interseca r .



[120] 5y2 + (x - 2y + z)2 + (2y - z - 1)(x - 2y - 1) + (x - 2y - 1)2 = 0.

[121]

m := {{5,2,-2},{2,5,-2},{-2,-2,5}}

es = Eigensystem[m]

{{3,3,9},{{1,0,1},{-1,1,0},{-1,-1,1}}}


MatrixForm[Transpose[GramSchmidt[es[[2]]]]]

æçççççççè

102

-106

-103

0

22

3-103

102

106

103

ö÷÷÷÷÷÷÷ø


ellissoide[a ,b ,c ][u ,v ] :=

{a Cos[v]Cos[u],b Cos[v] Sin [u], c Sin [v]}

ParametricPlot3D[Evaluate[ellissoide[1/3,1/3,1/9][u,v]],{u,-2.8,2.8},{v,-2.8,2.8},Boxed ® False,ViewPoint ® {1,1,1},PlotPoints ® 20]

-0.2

0

0.2

-0.2

0

0.2

-0.1-0.0500.050.1

-0.2

0

0.2

-Graphics3D-

i) D =


3 0 0

0 3 0

0 0 9

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

, Q =


02

2-

06

6

03

3

0

06

3

03

30

22

06

6-

03

3

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

ii) Dalla matrice D e chiaro che si tratta di un ellissoide di rotazione di equazione:

3X2 + 3Y 2 + 9Z2 = 1,

nel riferimento:




x

y

z

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

=


02

2-

06

6

03

3

0

06

3

03

30

22

06

6-

03

3

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø


X

Y

Z

ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø

.

[122]


ellissoide[a ,b ,c ][u ,v ] :=

{a Cos[v]Cos[u] + 1,b Cos[v] Sin [u] + 2, c Sin [v] + 3}

ParametricPlot3D[Evaluate[ellissoide[2,3,7][u,v]],{u,-2.8,2.8},{v,-2.8,2.8},Boxed ® False,ViewPoint ® {-2,2,-2},PlotPoints ® 20]

012302

4

0

5

10

02

4

-Graphics3D-

(x - 1)2

4+

(y - 2)2

9+

(z - 3)2

49= 1.

[123] 4(x - 2)2 + 4(y - 1)2 + 4(z - 1)2 - (2x + y - 5)2 = 0.

[124] Cx +23

(x - z - 1)G2

+ Cy +13

(x - z - 1)G2

+ Cz +53

(x - z - 1)G2

-2 Cx +23

(x - z - 1)G - 3 Cy +13

(x - z - 1)G + 1 = 0.

[125] Mediante la traslazioneæççççççè

xyz

ö÷÷÷÷÷÷ø

=æççççççè

XYZ

ö÷÷÷÷÷÷ø

+æççççççè

100

ö÷÷÷÷÷÷ø

, si ottiene la quadrica ridotta a forma canonica di equazione:



X2 + Y 2 + kZ2 = 1, k Î — . Pertanto:

per k = 1 si ha la sfera di centro l’origine (del nuovo sistema di riferimento ) e raggio 1;

per k = 0 si ha un cilindro rotondo con asse parallelo all’asse Z ;

per k > 0, k ¹ 1 si ha un’ellissoide di rotazione;

per k < 0 si ha un’iperboloide, di rotazione, ad una falda.

[126] i) Le rette AB ed s sono sghembe.

ii) C¢ = K 94

, -1,14

O , r =

2338

.

iii) si tratta di un iperboloide, di rotazione, ad una falda la cui equazione e:

x2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 3 K 2x + 3y + 6z + 411

O2

+ 4 K 2x + 3y + 6z + 411

O + 2.

iv) Si tratta di un cilindro rotondo di asse AB e di equazione ü(P - A) ß (P - B)ü = 20

3, ossia:

(y - z - 1)2 + (x - z - 2)2 + (x - y - 1)2 = 12.



[127]


Show[

ParametricPlot3D[{1 + 10Sin[u]Cos[v],10Sin[u]Sin[v],10Cos[u]},{u,0,Π},{v,0,Π}],

ParametricPlot3D[{2 + Sqrt[3]Sin[u]Cos[v],Sqrt[3]Sin[u]Sin[v],Sqrt[3]Cos[u]},{u,0,Π},{v,0,2Π}]]

-5

0

5

100

2.5

57.5

10

-10

-5

0

5

10

0

2.5

57.5

10

-Graphics3D-

S1 ha centro nel punto C1 = (1, 0, 0) e raggio r1 = 10; S2 ha centro in C2 = (2, 0, 0) e raggio

r2 =0

3, quindi S2 e all’interno di S1 senza punti in comune.

[128] i) k = 0; ii) non esiste alcun k che verifica la condizione richiesta;

iii) k = -4; iv) k ¹ 0.



[129] i) CΓ = K 23

, -13

, -73

O , rΓ =20

213

.

ii) [x - y - 4(z - 2)]2 - 8[x2 + y2 + (z - 2)2] = 0.

[130]


Show[ParametricPlot3D[

{2 + Sqrt[27]Sin[u]Cos[v],-4 + Sqrt[27]Sin[u]Sin[v],- 3 + Sqrt[27]Cos[u]},{u,0,2Π},{v,0,Π}],

ParametricPlot3D[{t,s,1},{t,-10,10},{s,-10,10}],ParametricPlot3D[{t,s,-3 - 3Sqrt[3]},{t,-10,10},{s,-10,10}],ParametricPlot3D[{t,s,-3 + 3Sqrt[3]},{t,-10,10},{s,-10,10}],ViewPoint ® {2,1,0}]

-10-5

05

10

-10 -5 0 510

-7.5

-5

-2.5

0

-10-5

05

10

-7.5

-5

-2.5

0

-Graphics3D-

i) C = (2, -4, 1), r =0

11. ii) Α1 : z + 3 + 30

3 = 0, Α2 : z + 3 - 30

3 = 0.

iii) x2 + y2 + 9z2 - 4xz + 8yz = 0.

[131] i) x2 + y2 + z2 ± 2(x + y + z) = 0.

ii) x + y + z ± 6 = 0.

iii) [x + 2(y - 1) + 2(z - 1)]2 - 6[x2 + (y - 1)2 + (z - 1)2] = 0.

[132] Si tratta dell’iperboloide ad una falda la cui forma canonica e:

x2 +y2

14

- z2 = 1.

Le due schiere di rette hanno equazioni:

; x + 2Λ1y + z = Λ1

Λ1x - 2y - Λ1z = 1, Λ1 Î —;; x + 2Λ2y - z = Λ2

Λ2x - 2y + Λ2z = 1, Λ2 Î —;



quindi hanno parametri direttori: (1 - Λ21, Λ1, -1 - Λ

21) e (1 - Λ

22, Λ2, 1 + Λ

22) , rispettivamente.

[133] i) Le rette r e s sono parallele, la loro distanza e0

19.

ii) I piani richiesti hanno equazioni: x + y + z - 3 ±0

15 = 0.

iii) Π È S non e una circonferenza reale.

iv) Il cilindro ha equazione: (2x - y - 4)2 + (2z - 3y - 2)2 = 16.

[134] i) t : x = y = 0;

ii) S : x2 + y2 + z2 - 12x - 9y = 0;

iii) C = I6, 92 , 1

2 M; r = 20

14;

iv) 4y2 + 4z2 - (3x - 1)2 - 4 = 0, iperboloide ad una falda.

[135]12

x2 -12

y2 = 2z , paraboloide a sella.

[136] i) 2x + z - 3 = 0;

ii) t : x - 2z - 4 = y + 1 = 0;

iii) 7(x - 4)2 - y2 - z2 - 6(x - 4)y - 6(x - 4)z + 2yz = 0.



[137] 1)


ParametricPlot3D[{u,uˆ2 + vˆ2,v},{u,-4,4},{v,-4,4},PlotPoints ® 40]

-4-2

02

4

0

10

20

30

-4

-2

0

2

4

-4-2

02

4

0

10

20

30

-Graphics3D-

Paraboloide di rotazione di asse l’asse y .



2)

Show[Plot3D[Sqrt[xˆ2 + (y - 1)ˆ2],{x,-4,4},{y,-4,4},PlotPoints ® 80,ViewPoint ® {1,1,0}],

Plot3D[-Sqrt[xˆ2 + (y - 1)ˆ2],{x,-4,4},{y,-4,4},PlotPoints ® 80,ViewPoint ® {1,1,0}]]

-4-2

0

2

4

-4-2

0

2

4

-5

0

5

-4-2

0

2

4

-5

0

5

-Graphics3D-

Cono rotondo di vertice V = (0, 1, 0) e con asse l’asse z .



3)

Plot3D[4 - xˆ2 - yˆ2,{x,-5,5},{y,-5,5},PlotPoints ® 40]

-4-2

02

4-4

-2

0

2

4

-40

-20

0

-4-2

02

4

-SurfaceGraphics-

Paraboloide di rotazione, con concavita verso il basso, di vertice V = (0, 0, 4) e asse l’asse z .



4)


ParametricPlot3D[{u,v,Sin[u]},{u,-2Π,3Π},{v,-10,10},PlotPoints ® 40]

-5

0

5

-10

-5

0

5

10

-1-0.5

00.51

-5

0

5

-Graphics3D-

Cilindro di direttrice la curva z = sin x del piano coordinato xz e con generatrici parallele all’asse y .



5)

Plot3D[Sqrt[xˆ2 + yˆ2],{x,-4,4},{y,-4,4},BoxRatios ® {1,1,1},PlotRange ® {0,3},PlotPoints ® 80]

-4-2

02

4

-4

-2

02

4

0

1

2

3

-4-2

02

4

-4

-2

02

4

-SurfaceGraphics-

Si tratta della meta (rivolta verso l’alto) di un cono rotondo di vertice l’origine e asse l’asse z .



6)


ParametricPlot3D[{Cos[t],1 + Sin[t],u},{u,-4,4},{t,0,2Π}]

-1-0.500.51

00.511.52

-4

-2

0

2

400.511.52

-Graphics3D-

Cilindro rotondo di direttrice la circonferenza del piano xy di equazione x2 + (y - 1)2 = 1 e generatrici paralleleall’asse z .

7)

Plot3D[-1 + xˆ2 + yˆ2,{x,-4,4},{y,-4,4},PlotPoints ® 40]

-4-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

0

10

20

30

-4-2

0

2

4

-SurfaceGraphics-

Paraboloide di rotazione, rivolto verso l’alto, di vertice V = (0, 0, 1) .



8)

Plot3D[xˆ2/4 + yˆ2/9,{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints ® 40]

-2-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

0

0.5

1

-2-1

0

1

2

-SurfaceGraphics-

Paraboloide ellittico, con vertice nell’origine.



9)

Plot3D[xˆ2 - yˆ2 + 2,{x,-10,10},{y,-10,10},PlotPoints ® 40]

-10

-5

0

5

10-10

-5

0

5

10

-100-500

50

100

-10

-5

0

5

10

-SurfaceGraphics-

Plot3D[xˆ2 - yˆ2 + 2,{x,-10,10},{y,-10,10},ViewPoint ® {0,1,0},PlotPoints ® 40]

-10-50510

-10-505

10-100

-50

0

50

100

-10-50510

-SurfaceGraphics-

Plot3D[xˆ2 - yˆ2 + 2,{x,-10,10},{y,-10,10},ViewPoint ® {1,1,0},PlotPoints ® 40]

-10-505

10

-10-50

510

-100

-50

0

50

100-10-50

510

-100

-50

0

50

100

-SurfaceGraphics-



Paraboloide iperbolico.

10)

<< Graphics‘SurfaceOfRevolution‘

Show[SurfaceOfRevolution[Sqrt[x],{x,0,2}],SurfaceOfRevolution[-Sqrt[x],{x,0,2}], BoxRatios ® {1,1,1}]

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-Graphics3D-

Superficie ottenuta dalla rotazione della parabola z2 = x del piano xz intorno all’asse z .



Show[ParametricPlot3D[

{2 Cos[t] Sin[u],2 Sin[t] Sin[u],2 Cos[u]},{u,0,Π},{t,0,2 Π}],ParametricPlot3D[{Cos[t] Sin[u] - 2,Sin[t] Sin[u], Cos[u] + 1},

{u,0,Π},{t,0,2 Π}],ParametricPlot3D[{Cos[t] Sin[u] + 2,Sin[t] Sin[u],Cos[u] + 1},

{u,0,Π},{t,0,2 Π}],ParametricPlot3D[{2.5 Cos[t] Sin[u],2.5Sin[t] Sin[u],3Cos[u] - 3},

{u,0,Π},{t,0,2 Π}],ParametricPlot3D[{Cos[t] Sin[u] + 2,Sin[t] Sin[u],2 Cos[u] - 6},

{u,0,Π},{t,0,2 Π}],ParametricPlot3D[{Cos[t] Sin[u] - 2,Sin[t] Sin[u],2 Cos[u] - 6},

{u,0,Π},{t,0,2 Π}],ParametricPlot3D[{2 Cos[t] Sin[u] - 1.5,Sin[t] Sin[u],Cos[u] - 2},

{u,0,Π},{t,0,2 Π}],ParametricPlot3D[{2 Cos[t] Sin[u] + 1.5, Sin[t] Sin[u],Cos[u] - 2},

{u,0,Π},{t,0,2 Π}],Axes ® False,Boxed ® False]

Programma per realizzare il disegno presentato a pag. iv.


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