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Capitolo 3Matrici

Esercizi svolti

Tutorato di geometria e algebra lineare

Marco Robutti

5 Ottobre 2017

1

IntroduzioneGli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti argomenti:

Date due matrici, determinarne la somma (vedi esercizio nella paginaseguente).

Data una matrice e un vettore determinarne, se possibile, il prodotto (vediesercizio a pagina 4).

Date due matrici determinarne, se possibile, il prodotto (vedi esercizio apagina 5).

Data una matrice, calcolarne il determinante (vedi esercizio a pagina 6).

Data una matrice determinarne, se possibile, linversa (vedi esercizio apagina 8).

Data una matrice, determinarne il rango (vedi esercizio a pagina 13).

Data una matrice dipendente da un parametro h, determinarne il rangoal variare di h (vedi esercizio a pagina 15).

Date due basi e un vettore scritto in coordinate rispetto ad una di es-se, determinare le coordinate del vettore nellaltra base (vedi esercizio apagina 17).

Esercizio di riepilogo (vedi esercizio a pagina 25).

2

Esercizio 1Date le matrici:

A =

3 2 11 1 13 2 1

, B =2 0 12 0 1

1 2 1

,determinare la matrice A+B.

SoluzionePer sommare due matrici basta sommare algebricamente ciascuna entrata dellamatrice A con la corrispondente entrata della matrice B. E pi facile farlo chedirlo:

A+B =

(3 2) (2 + 0) (1 + 1)(1 +2) (1 + 0) (1 + 1)(3 + 1) (2 + 2) (1 1)

= 1 2 22 1 1 2

4 0 0

3

Esercizio 2Data la matrice A MR (3) e il vettore X R3:

A =

3 2 11 1 13 2 1

, X = 311

determinare, se possibile, qual il risultato del prodotto AX.

SoluzioneInnanzitutto, prima di incominciare a fare qualsiasi tipo di operazione, neces-sario verificare che vi siano le condizioni necessarie affinch ci sia possibile. Perpoter moltiplicare una matrice ad un vettore infatti necessario che la matriceabbia un numero di colonne pari al numero di righe del vettore.In questo caso la matrice A ha 3 colonne e il vettore X ha 3 righe; pertantola moltiplicazione AX possibile. Per effettuarla basta che ci ricordiamo cheil prodotto tra una matrice e un vettore non nientaltro che il vettore che siottiene dalla combinazione lineare delle colonne della matrice, dove i coefficientidella combinazione lineare non sono nientaltro che i singoli elementi del vettore.In altre parole:

AX =(A1 | A2 | A3

) 311

= 3

313

1 212

111

1

=

939

+21

2

+111

=

9 2 13 1 19 + 2 1

=

6510

4

Esercizio 3Date le matrici A MR (3, 4) , B MR (4, 2):

A =

3 1 1 10 7 2 01 1 2 0

34

, B =

2 01 13 11 2

42

,

determinare, se possibile, il risultato del prodotto AB.

SoluzioneInnanzitutto, prima di incominciare a fare qualsiasi tipo di operazione, ne-cessario verificare che vi siano le condizioni necessarie affinch ci sia possibile.Per poter moltiplicare la matrice A alla matrice B infatti necessario che lamatrice A abbia un numero di colonne pari al numero di righe della matriceB; possiamo facilmente constatare che ci pienamente verificato, in quanto lamatrice A ha 4 colonne mentre la matrice B ha 4 righe.Notiamo tuttavia che se il prodotto da fare fosse BA, non sarebbe possibile pro-cedere, in quanto la matrice B ha 2 colonne mentre la matrice A ha 3 righe...Tornando a noi quindi otteniamo:

AB =(AB1 | AB2

)=

(3 2 + 1 1 1 3 + 1 (1)) (3 0 + 1 1 1 1 + 1 (2))(0 2 + 7 1 + 2 3 + 0 (1)) (0 0 + 7 1 + 2 1 + 0 (2))(1 2 + 1 1 2 3 + 0 (1)) (1 0 + 1 1 2 1 + 0 (2))

=

(6 + 1 3 1) (1 1 2)(7 + 6) (7 + 2)(2 + 1 6) (1 2)

=

3 213 93 1

Abbiamo quindi ottenuto una matrice appartenente a MR(3, 2).

5

Esercizio 4Data la matrice A MR (4):

A =

1 1 2 11 1 2 23 2 3 15 3 4 2

calcolarne il determinante.

SoluzioneProviamo dapprima a calcolare il determinante ignorando lesistenza delle nu-merose propriet che possono essere sfruttate per semplificare i calcoli e delfatto che il Teorema di Laplace permette di sviluppare il determinante lungouna colonna o riga scelta: sviluppiamo quindi il determinante come da primadefinizione, cio lungo la prima colonna:

1 1 2 11 1 2 23 2 3 15 3 4 2

= 1

1 2 22 3 13 4 2

(1)1 2 12 3 13 4 2

++3

1 2 11 2 23 4 2

51 2 11 2 22 3 1

= 1 [(6 6 + 16) (8 + 4 18)] +

+1 [(6 6 8) (8 4 + 9)] +3 [(4 + 12 + 4) (4 + 8 6)]5 [(2 8 + 3) (2 + 6 + 4)]

= [4 + 22] + [8 + 3] + 3 [12 6] 5 (3 8)= = 26 5 + 18 + 55= 94

Come si pu notare, per il determinante delle matrici 3 3 abbiamo usato laregola di Sarrus. Calcolare il determinante in questo modo molto dispendiosodal punto di vista computazionale, e la probabilit di sbagliare qualche molti-plicazione davvero molto alta.Quello che conviene fare calcolare il determinante facendo uso di tutte le suepropriet conosciute. Per esempio una propriet molto utile che se si sostitui-sce una colonna (o una riga) con una combinazione lineare delle altre colonne

6

(o righe) allora il determinante non cambia.Possiamo quindi procedere nel modo seguente:

det (A) =

1 1 2 11 1 2 23 2 3 15 3 4 2

A3=A3A1

1 1 2 11 1 2 22 1 5 05 3 4 2

=

1 1 2 11 1 2 22 1 5 05 3 4 2

A4=A4A2

1 1 2 11 1 2 22 1 5 06 2 6 0

=

1 1 2 11 1 2 22 1 5 06 2 6 0

A2=A2+2A1

1 1 2 11 1 6 02 1 5 06 2 6 0

Possiamo quindi ora sviluppare il determinante lungo la quarta colonna e otte-nere in un solo passaggio:

det (A) =

1 1 2 11 1 6 02 1 5 06 2 6 0

= 11 1 62 1 56 2 6

Se ora non vogliamo usare la regola di Sarrus, possiamo rifare il ragionamentodi prima e sfruttare le propriet del determinante:

det (A) = 1

1 1 62 1 56 2 6

A2=A2A111 1 61 0 116 2 6

= 1

1 1 61 0 116 2 6

A3=A3+2A111 1 61 0 118 0 6

Quindi, sviluppando lungo la seconda colonna:

det (A) = 1 11 118 6

= 94

Siamo quindi giunti allo stesso risultato di prima: tuttavia in questo caso abbia-mo dovuto fare delle semplici addizioni e moltiplicazioni e ci siamo semplificatidi molto i calcoli.Quindi sempre bene ricordare le propriet del determinante perch in alcunicasi come questo smettono di essere solo teoria, diventando piuttosto un ancoradi salvezza...

7

Esercizio 5Data la matrice A MR (3):

A =

1 0 31 2 10 3 3

,determinarne linversa.

SoluzioneCome mostrato sulle slide di teoria relative al capitolo 3, esistono due modiper poter calcolare linversa di una matrice invertibile. A scopo didattico noiutilizzeremo entrambi i modi.Tuttavia, prima di procedere con uno dei due metodi citati, prima necessarioverificare che la matrice sia invertibile, ovvero che abbia determinante non nullo:

det (A) =

1 0 31 2 10 3 3

= 1

2 13 3 1 0 33 3

= 6 + 3 (9)= 9 + 9= 18

Siccome il determinante diverso da 0, possiamo concludere che la matrice invertibile.Procediamo quindi con il primo dei metodi citati.

8

Metodo 1

Possiamo trovare la matrice inversa A1 trovando le coordinate della basecanonica di R3 nella base determinata dalle colonne della matrice A. Quindi:

[e1]BA =

100

= 11

0

+ 02

3

+ 31

3

1 = + 30 = + 2 0 = 3 + 31 = + 30 = 2 = 1 = 3 + 3 = 3 = = 16 = 12 = 16

[e1]BA =

1/21/61/6

[e2]BA =

010

= 11

0

+ 02

3

+ 31

3

0 = + 31 = + 2 0 = 3 + 3

9

0 = + 31 = 2 = 0 = 3 + 1 + 3 = 3 + 1 = = 16 = 12 = 16

[e2]BA =

1/21/61/6

[e3]BA =

001

= 11

0

+ 02

3

+ 31

3

0 = + 30 = + 2 1 = 3 + 3 = 30 = 3 + 2 = + 13 = 30 = 3 2 + 23 = + 13 = 36 = 23 = + 13 = 13 = 19 = 19 +

13 =

29

10

[e3]BA =

001

= 11

0

+ 02

3

+ 31

3

Quindi:

A1 =([e1]BA | [e2]BA | [e3]BA

)

=

1/2 1/2 1/31/6 1/6 2/91/6 1/6 1/9

Metodo 2 (Metodo di Cramer)

Il metodo di Cramer permette di calcolare linversa di una matrice secondo laseguente formula.

A1 = 1det (A) (ij)

con:ij = (1)i+j det

(A[j,i]

)Quindi, avendo:

A =

1 0 31 2 10 3 3

,

11

abbiamo che:

11 = (1)2 det(A[1,1]

)=2 13 3

= 6 + 3 = 912 = (1)3 det

(A[2,1]

)=

0 33 3 = (9) = 9

13 = (1)4 det(A[3,1]

)=0 32 1

= 621 = (1)3 det

(A[1,2]

)=

1 10 3 = 3

22 = (1)4 det(A[2,2]

)=1 30 3

= 323 = (1)5 det

(A[3,2]

)=

1 31 1 = (1 3) = 4

31 = (1)4 det(A[1,3]

)=1 20 3

= 332 = (1)5 det

(A[2,3]

)=

1 00 3 = 3

33 = (1)6 det(A[3,3]

)=1 01 2

= 2Quindi, avendo gi calcolato il determinante, possiamo scrivere:

A1 = 118

9 9 63 3 43 3 2

= 1/2 1/2 1/31/6 1/6 2/9

1/6 1/6 1/9

12

Esercizio 6Data la matrice:

A =

1 1 0 5 20 0 0 0 11 0 3 3 30 1 2 2 1

MR (4, 5) ,determinarne il rango.

SoluzioneLa matrice non contiene parametri: possiamo quindi utilizzare il metodo diKronecker. Scegliamo una sottomatrice di ordine 2x2 con minore non nullo.Scegliamo per esempio quella formata dalle quattro entrate in basso a sinistra: