Esercizi di Geometria

Esercizi di Algebra Lineare eGeometria

Prof. Ernesto DedòDipartimento di Matematica

Politecnico di [email protected]

II edizione,gennaio 2012

1

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Indice

Indice i

Elenco delle figure iv

Elenco delle tabelle vi

Prefazione vii

1 Introduzione 11.1 Esercizi di ripasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 I sistemi lineari, introduzione 11

I Algebra lineare 15

3 Matrici 173.1 Definizione di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Operazioni sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici . . . . . . . . . . . 21

4 Spazi vettoriali 254.1 Sottospazi e basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Determinante e rango di una matrice. Matrice inversa 375.1 Determinante e rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Teoria dei sistemi 456.1 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Applicazioni lineari, prodotti scalari 57

i

ii Indice

7.1 Applicazioni lineari e matrice rappresentativa . . . . . . . . . 577.2 Prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3 Basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.4 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Autovalori ed autovettori 718.1 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9 Diagonalizzazione, matrici ortogonali 839.1 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

10 Teorema di Cayley–Hamilton. Polinomio minimo 9510.1 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

II Geometria piana 101

11 La retta nel piano 10311.1 Coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.2 La retta, esercizi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411.3 Esercizi vari sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12 La circonferenza nel piano 111

13 Le coniche 11713.1 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

14 Fasci di coniche 125

15 Luoghi geometrici 133

16 Proiettività ed involuzioni 139

17 Polarità piana 145

18 Centro 15318.1 centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15318.2 Triangoli autopolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

III Geometria dello spazio 163

19 Generalità sulllo spazio 165

20 Rette e piani nello spazio 16920.1 Piani e rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Indice iii

20.2 Esercizi vari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17520.3 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17920.4 Vero o Falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17920.5 A risposta multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

21 Sfera e circonferenza nello spazio 18121.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18121.2 Circonferenza nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18421.3 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

22 Cilindri, coni e proiezioni 18922.1 Cilindro e cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18922.2 Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19422.3 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

23 Superfici rigate e di rotazione 19923.1 Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

24 Quadriche 207

25 Luoghi nello spazio 213

Esercizi di ricapitolazione 217Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Temi esame dell’ultimo anno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Elenco delle figure

1.1 Il cubo dell’esercizio 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Triangolo con tre semicerchi dell’esercizio 1.25 . . . . . . . . . . . 41.3 Esercizio 24.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 finestra: esercizio 1.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

11.1 Esercizio 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12.1 I triangoli simili dell’Esercizio 12.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11312.2 Esercizio 12.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11713.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11813.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

14.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12814.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

15.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13415.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13515.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13515.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13615.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

16.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

17.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14717.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14817.3 Esercizio 17.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

18.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15418.2 Esercizio 18.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15818.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

19.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

iv

Elenco delle figure v

20.1 Distanza di due rette sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

21.1 Circonferenza nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

22.1 Proiezione sul piano xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

23.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20323.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Elenco delle tabelle

1 Lettere greche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix2 Simboli usati nell’eserciziario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

vi

Prefazione

If you can’t solve a problem, you can always look up theanswer. But please, try first to solve it by yourself; thenyou’ll learn more and you’ll learn faster.Se non sai risolvere un problema, puoi sempre andare avedere la risposta. Ma per favore, tenta prima di risolverlo dasolo: imparerai di più e più alla svelta.

Donald E. Knuth1

The TEXbook (1983)

Questa raccolta di esercizi è soprattutto rivolta agli studenti del corso diGeometria ed algebra lineare. Le notazioni sono quelle presenti nelle dispensedel corso.

Di molti esercizi è dato un esempio di risoluzione, a volte in più modi, cheè bene confrontare tra loro. Di qualcuno è dato solo un suggerimento per larisoluzione, di quasi tutti il risultato finale.

Gli esercizi contrassegnati con un ∗ presentano maggiori difficoltà op-pure contengono spunti particolari od ancora costituiscono veri e propricomplementi, per esempio sono contrassegnati tutti quelli svolti in più di unmodo.

Il primo capitolo contiene una sessantina di esercizi di ripasso, cioè eserciziche chi inizia questo genere di studi dovrebbe saper affrontare con disinvoltu-ra. Essi sono volutamente in ordine sparso, per allenare lo studente a passarecon disinvoltura e sicurezza da un argomento all’altro, e costituiscono unbuon test per verificare la propria preparazione.

In ogni altro capitolo, dopo i primi esercizi introduttivi, vi sono esercizi didifficoltà paragonabile a quella dei temi d’esame, molti di essi, infatti sonoaddirittura stati proposti come temi d’esame negli anni passati.

In alcuni capitoli sono anche presenti quesiti a risposta chiusa.Il testo è seguito da due appendici, la prima delle quali contiene una

raccolta di esercizi vari, in ordine sparso, tratti spesso da temi d’esame, chedovrebbero servire a misurare la preparazione dell’allievo. Di questi esercizio quesiti non è data nè la risposta nè una traccia di soluzione, in modo che

1Matematico ed informatico americano nato nel 1938, autore, tra l’altro di The TEXbook.

vii

viii Prefazione

l’allievo possa allenarsi a verificare i risultati ottenuti, mentre la seconda contienei testi dei temi d’esame dello scorso anno.

Questo testo non è un eserciziario, cioè non è un testo in cui ogni capitolocontiene un numero di esercizi sufficiente a garantire la preparazione su quelparticolare argomento, ma piuttosto una raccolta di esercizi a partire dai qualisi può formare un adeguato allenamento.

Consigli per la risoluzione degli esercizi2

Come si risolve un esercizio di Matematica? Ecco una domanda che mi è statarivolta centinaia di volte. Questa domanda ha una sola risposta Non esiste unmetodo, una ricetta, una regola generale per risolvere un esercizio di Matematica.Quasi ogni quesito, esercizio, problema può essere affrontato da vari punti divista e svolto, di conseguenza, in molti modi, anche significativamente diversi.Tuttavia qualche consiglio di carattere generale si può sempre dare.

Per imparare a risolvere un esercizio di Matematica, soprattutto un pro-blema di tipo nuovo, mai visto, occorre abituarsi prima ancora di procederematerialmente alla risoluzione a:

1. leggere attentamente l’enunciato dell’esercizio, se necessario anche piùvolte: molto spesso si possono evitare gravi ma banali errori se si leggee si medita sulla formulazione dell’esercizio;

2. cercare di cogliere a quali argomenti della teoria l’esercizio si riferisce e,per ciascuno di essi, identificare le condizioni necessarie e sufficienti arisolvere l’esercizio;

3. richiamare le nozioni che servono allo svolgimento dell’esercizio daquanto si è imparato, oppure andando sui libri a ripassarle

e dopo, ma solo dopo questo lavoro impostare la risoluzione.Spesso molti studenti, soprattutto i migliori, si rendono conto che uno

stesso esercizio si può risolvere in più modi e chiedono quale si deve usare. Iocredo che la cosa migliore sia di usare quello con cui ci si sente più a proprioagio. Per poter fare ciò occorre quindi provare a risolvere gli esercizi in piùmodi, alcuni dei quali saranno più lunghi, altri più rapidi, altri più eleganti(non sempre gli ultimi due coincidono).

Siccome in Matematica è fin troppo facile sbagliare e l’errore è sempre inagguato, è importantissimo abituarsi fin dal principio a verificare i risultatiottenuti: è sempre necessaria (ed in molti casi sufficiente) una verifica “a buonsenso” della ragionevolezza dei risultati ottenuti: per esempio se si chiede“. . . l’equazione dell’ellisse che. . . ” e si ottiene l’equazione di una parabola,significa, ovviamente, che c’è qualcosa di sbagliato3. In caso di errore si

2Da leggere con attenzione e non saltare a pie’ pari3L’esempio scelto è volutamente provocatorio, ma non è assurdo: capita spesso di trovare

errori analoghi nella correzione dei temi di esami, errori che con un minimo di attenzione sipotevano evitare.

ix

può verificare passaggio per passaggio tutta la risoluzione dell’esercizio allaricerca dell’errore, ma spesso è più utile rifare l’esercizio in un modo diversoperché, verificando passaggio per passaggio, è facile rifare lo stesso errorenello stesso punto. Altre volte si possono usare i risultati ottenuti per uncontrollo, ad esempio se si deve risolvere un sistema arrivati alla soluzione sipuò controllare sostituendo i valori trovati nel sistema dato.

In ogni caso la cosa più importante è quella di abituarsi sempre a fare una,almeno sommaria, verifica.

Sarò grato a chi mi segnalerà eventuali errori od omissioni.

La tabella 1 fornisce un elenco di tutte le lettere greche, maiuscole e mi-nuscole, con il loro nome in italiano. Mentre la tabella 2 a pagina x elenca isimboli maggiormente usati nel testo con il loro significato.

Tabella 1: Lettere greche

Lettere greche

minuscole maiuscole nomeα A alfaβ B betaγ Γ gammaδ ∆ delta

ε o ε E epsilonζ Z zetaη H eta

θ o ϑ Θ thetaι I iotaκ K kappaλ Λ lambdaµ M miν N niξ Ξ csio O omicronπ Π pi

ρ o $ R roσ o ς Σ sigma

τ T tauυ Υ ipsilon

φ o ϕ Φ fiχ X chiψ Ψ psiω Ω omega

x Prefazione

Tabella 2: Simboli usati nell’eserciziario

N insieme dei numeri naturaliZ insieme dei numeri interiQ insieme dei numeri razionaliR insieme dei numeri realiC insieme dei numeri complessi∀ per ogni∃ esiste∃! esiste un unico∈ appartiene ad un insieme∪ unione di insiemi∩ intersezione di insiemi∑ somma∏ prodotto⊥ perpendicolare〈·, ·〉 prodotto scalare

∞ infinito℘ insieme delle parti< minore> maggiore≤ minore o uguale≥ maggiore o uguale⊂ sottoinsieme proprio⊆ sottoinsieme⊕ somma diretta di insiemiØ insieme vuoto

< #»v 1, . . . , #»v n > spazio vettoriale generato dai vettori #»v 1, . . . , #»v nPn(x) Insieme dei polinomi di grado n nella variabile x

Mn Insieme delle matrici quadrate di ordine nMm,n Insieme delle matrici di tipo m× n

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Esercizi di ripasso

Questi esercizi introduttivi costituiscono un utile ripasso di argomenti fondamentaliappartenenti al programma della Scuola Superiore: alcuni sono praticamente imme-diati, altri necessitano di qualche riflessione, comunque vanno svolti tutti e con moltacura, soprattutto nell’intento di utilizzarli come un “test” della propria preparazione.Volutamente non sono nè in ordine di difficoltà nè in ordine di argomento.

1.1 Enunciare un teorema vero il cui inverso sia falso.

1.2 Si considerino nel piano 8 rette delle quali 4 parallele tra loro; quantisono, al massimo, i loro punti di intersezione?

1.3 Dire quali delle seguenti terne di numeri possono rappresentare le lun-ghezze dei lati di un triangolo non degenere:

a 3; 4; 5 b 2; 8; 8 c 1; 5; 7 d 2; 10; 12 e 3; 10; 15

.

1.4 Perché la retta r sia perpendicolare al piano α, a quante rette di α occorree basta che sia perpendicolare? Tali rette possono essere in posizionegenerica o devono sottostare a qualche vincolo?

1.5 Senza far conti inutili, risolvere l’equazione:

23−(

37

)2

(12

)3

− 37

(x− 5

4

)= 0.

1.6 Per quanti valori del parametro a le equazioni

x3 + ax + 2 = 0 e x3 + x + 2a = 0

hanno almeno una radice in comune?

1

2 Capitolo 1. Introduzione

1.7 Scrivere un’equazione di primo grado che abbia come radice 3.

1.8 Enunciare un teorema falso il cui inverso sia vero.

1.9 Un quadrato di lato 20cm ha un vertice nel centro di un altro quadratodi lato 10cm; calcolare l’area della regione comune.

1.10 Scrivere un’equazione di primo grado in due incognite che abbia comesoluzione la coppia ordinata (−3, 4).

1.11 Enunciare un inverso del Teorema di Pitagora.

1.12 Senza far conti inutili, risolvere l’equazione:

23−(

37

)2

(12

)3

− 37

(x− 5

4

)(3x− 3

7

)= 0

1.13 Quale delle seguenti proposizioni è la negazione della proposizione”Ogni numero è pari”:

a Tutti i numeri sono dispari b esiste un numero dispari c esiste un numeromultiplo di 3

1.14 Si considerino nello spazio un piano α ed un punto P tale che P 6∈ α. Perciascuno dei seguenti quesiti scegliere una tra le risposte: nessuno, unoed uno solo, infiniti.

i) Quante sono le rette passanti per P e parallele ad α?

ii) Quante sono le rette passanti per P e perpendicolari ad α?

iii) Quanti sono i piani passanti per P e paralleli ad α?

iv) Quanti sono i piani passanti per P e perpendicolari ad α?

1.15 Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false e, perciascuna, dire quale delle rimanenti ne costituisce la negazione:

a Ogni quadrato è un parallelogrammo b Ogni parallelogrammo è un quadrato

c Esiste un quadrato che è un parallelogrammo d Esiste un parallelogrammo che

è un quadrato e Nessun quadrato è un parallelogrammo f Nessun parallelo-

grammo è un quadrato g Esiste un parallelogrammo che non è un quadrato hEsiste un quadrato che non è un parallelogrammo.

1.16 Scrivere tre equazioni di secondo grado in una incognita che abbianocome radici (−2, 7).

1.17 L’espressione 2−x(

2 + 2x2+ 2−3x

)è equivalente a:

a 2−x + 2−x3+ 23x2

b 2−x+1 + 2−x+x2+ 2−4x c 2

1x + 2x + 2−3

d 4−x + 4−x3+ 43x2

.

1.1. Esercizi di ripasso 3

1.18 Se a e b sono numeri reali positivi tali che ab = ba e b = 9a, il valore di aè:

a 9 b 19 c 9

√9 d 3

√9 e 4

√3.

1.19 Siano a e b due numeri interi positivi tali che il loro prodotto sia multiplodi 10. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?

a a e b sono entrambi multipli di 10 b a è multiplo di 10 oppure b è multiplo di

10 c a è un numero pari oppure b è un numero pari d a è pari e b è multiplo di 5e a e b sono entrambi pari

.

1.20 Nel cubo di figura 1.1 si consideri il triangolo ABC dove AC è unospigolo, AB la diagonale di una faccia e BC la diagonale del cubo. Allora:

AB = AC 2 vero 2 falso

Il triangolo ABC è rettangolo 2 vero 2 falso

BC è il lato più lungo 2 vero 2 falso

l’angolo ABC è di 45 2 vero 2 falso

Figura 1.1: Il cubo dell’esercizio 1.20

1.21 Sia x un numero reale; indichiamo con bxc il più grande intero relativominore o uguale a x. Quale delle seguenti affermazioni è vera qualunquesiano i numeri reali x e y?

a bxc = −bxc b bx2c = bxc2 c b2xc = 2 · bxc d bx + 1c = bxc+ 1 ese x < y; allora bxc < byc

1.22 Si considerino i numeri interi multipli di 6.a quelli compresi tra 1 e 100 sono meno di quelli compresi tra 12001 e 12100 b

quelli compresi tra 1 e 100 sono tanti quanti quelli compresi tra 12001 e 12100 c quelli


compresi tra 1 e 100 sono più di quelli compresi tra 12001 e 12100 d quelli compresitra 1 e 100 sono la metà di quelli compresi tra 12001 e 12100 e quelli compresi tra 1 e100 sono il doppio di quelli compresi tra 12001 e 12100

1.23 Siano m, n e p tre numeri interi positivi; se m > n > p si può dedurreche:

a m− p ≥ 2 b p−m > 2 c m > 1 e n > 1 e p > 1 d m− n > n− p em + p > 4

1.24 Siano x ed y due numeri reali; se x > y si può dedurre che:a 2x > y b x > 2y c x + y > 0 d y− x < 0 e x > y + 1

1.25 Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AC; siano C1 e C2 i semi-cerchi aventi per diametri i cateti e sia C3 quello avente per diametroAC (vedi figura 1.2). Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?

a L’area di C3 è minore della somma delle aree di C1 e C2 b L’area di C3 è ugualealla somma delle aree di C1 e C2 c L’area di C3 è maggiore della somma delle areedi C1 e C2

Figura 1.2: Triangolo con tre semicerchi dell’esercizio 1.25

1.26 Quante terne ordinate di numeri reali non nulli hanno la proprietà checiascuno di essi è il prodotto degli altri due?

a 1 b 2 c 3 d 4 e 5

1.27 Un triangolo ha un lato lungo 6cm ed uno lungo 10cm. Quale delleseguenti non può essere la misura del terzo lato?

a 6.5cm b 10cm c 15.5cm d 17cm

1.28 Siano S la somma dei numeri interi da 1 a 100 e Σ la somma degli interipari da 2 a 200. Allora:

a S > Σ b Σ = 2100S c S = 2Σ d Σ = 2S e S = Σ


1.29 Affinché un poligono di n lati sia regolare. . .a è necessario che sia circoscrivibile ad una circonferenza b è sufficiente che sia

circoscrivibile ad una circonferenza c è necessario e sufficiente che sia circoscrivibile

ad una circonferenza d non è nè necessario nè sufficiente che sia circoscrivibile aduna circonferenza

1.30 Un trapezio ABCD circoscritto ad una circonferenza di raggio 5cm hal’area di 150cm2. Allora la somma dei lati obliqui AD e BC è:

a 30cm solo se il trapezio è rettangolo b sempre 30cm c 30cm solo se il

trapezio è isoscele d è sempre diversa da 30cm

1.31 Si considerino le seguenti affermazioni riguardanti due numeri reali a eb

α) Se ab = 0 allora a = 0 e b = 0

β) Se ab = 0 allora o a = 0 oppure b = 0

γ) Se ab = 1 allora o a = 1 oppure b = 1

δ) Se ab = 1 allora a = 1 e b = 1

Dire quali sono vere:a Solo la β b sia la α che la β c solo la γ d sia la γ che la δ e sia la α che

la δ

1.32 Un esagono regolare ha lo stesso perimetro di un triangolo equilatero;qual è il rapporto tra l’area dell’esagono e quella del triangolo?

a 1 b 43 c 3

2 d√

3 e 2

1.33 Siano a, b e c tre numeri interi con massimo comun divisore uguale a 1.Allora:

a due di essi sono primi fra loro b il prodotto dei tre numeri è il loro minimo

comune multiplo c fra i tre numeri non ce ne sono due pari d almeno uno deitre numeri è multiplo di 3 e nessuna delle precedenti risposte è vera

1.34 Considera l’affermazione: Per ogni numero naturale n il numero 2n + 1 èprimo. Mostrare con un esempio che è falsa.

1.35 P è un punto interno al triangolo acutangolo ABC tale che i tre triangoliAPB, APC e BPC hanno la stessa area. Questo accade sicuramente se Pcoincide con:

a il baricentro b l’ortocentro c l’incentro d il circocentro e nessunadelle precedenti risposte è vera

1.36 Siano m ed n due numeri interi positivi qualsiasi, e p e q così definiti:p = MCD(m, n) e q = MCD(2m, 4n); quale delle seguenti affermazioniè vera?

a È sempre p = q b È sempre q = 2p c È sempre q = 4p d se m è disparie allora è q = 2p


1.37 La metà di(

12

)80

è:

a(

14

)80b(

12

)40c(

12

)81d(

12

)79

1.38 Risolvere l’equazione x√

x =√

xx.

1.39 Sommando i numeri 2n+ 1, 2n+ 3, 2n+ 5, dove n è un numero naturale,si ottiene sempre

a un numero dispari b un multiplo di 3 c il triplo di uno dei tre numeri dtutte e tre le risposte precedenti sono corrette

1.40 Determinare k in modo che l’equazione

3kx2 + (2k + 9)x + k− 1 = 0

ammetta come soluzioni due numeri che siano la tangente e la cotangen-te di uno stesso angolo.

1.41 Costruire una circonferenza passante per due punti A e B e tangente aduna retta non passante per alcun punto interno al segmento AB.

1.42 Dividere un numero per 0, 2 equivale a moltiplicarlo pera

15

b12

c 2 d 5

1.43 Risolvere l’equazione xx =(√

x)x+2 .

1.44 Costruire un triangolo ABC conoscendo il lato AB e le due altezze hBHe hCK.

1.45 Le lunghezze delle diagonali d1 e d2 e di un lato a di un parallelogrammoABCD sono espressi rispettivamente dalle formule: d1 = 4uv, d2 =2(u2 − v2) ed a = u2 + v2. Dimostrare che ABCD è un rombo.

1.46 Dimostrare che ogni numero naturale dispari è la somma di due naturaliconsecutivi.

1.47 Dimostrare che se si aumenta di 1 il prodotto di quattro numeri naturaliconsecutivi si ottiene un quadrato.

1.48 Se in un triangolo denotiamo i lati con a, b e c e gli angoli ad essirelativamente opposti con α, β, γ, verificare che vale l’identità:

a(sin β− sin γ) + b(sin γ− sin α) + c(sin α− sin β) = 0

1.49 Se aggiungiamo 1 al numeratore ed al denominatore di una frazionepositiva minore di 1 otteniamo

a Una frazione equivalente alla precedente b Una frazione minore della prece-

dente c Una frazione maggiore della precedente d Non si può dire in generale


1.50 Nella figura 1.3 sono rappresentati il quadrato ABCD ed il rettangoloARST. Sapendo che il lato del quadrato è di 10cm, che PC = PS e che lalunghezza del segmento PC è la metà della lunghezza della diagonaledel quadrato, calcolare l’area del rettangolo ARST

Figura 1.3: Esercizio 24.1

1.51 Esistono due triangoli non congruenti aventi due lati ed un angolorispettivamente congruenti? Se no dimostrarlo, se sì esibire un esempio.

1.52 Se h e k sono due numeri interi positivi legati dalla relazione 3k = 2h,allora possiamo affermare che:

a La loro somma è un multiplo di 5 b La loro somma è un numero dispari

c Il loro prodotto è pari e non è mai multiplo di 4 d Uno dei due è dispari eNessuno dei precedenti asserti è necessariamente verificato

1.53 Mostrare che l’equazione

5√

x +√

x = 3√

x

non ammette soluzioni positive.

1.54 Se x e y sono due numeri reali che assumono tutti i valori nell’intervallo(−2, 3) escluso lo zero, dire quali sono i valori massimi e minimi che

possono assumere le espressioni x + y, x− y, x · y,xy

.

1.55 Senza usare strumenti di calcolo automatico, confrontare i numeri 3√

81e√

27.


1.56 Discutere e risolvere l’equazione

x1− a2 −

xa− 1

+x

a + 1= 1.

1.57 Sapendo che è log10 7 = 0.845 . . . determinare il numero delle cifre di7100

1.58 Quanti sono gli assi di simmetria di un triangolo equilatero?

1.59 Risolvere a mente l’equazione

(x− 5)2 = 25

1.60 Una popolazione di 1000 stelle marine aumenta del 20% all’anno. Qualè l’aumento, in percentuale, ogni due anni?

Figura 1.4: finestra: esercizio 1.61

1.61 Una finestra ha la forma di un rettangolo sormontato da un semicerchioavente per diametro un lato del rettangolo, come mostrato in figura 1.4.Sapendo che l’altezza complessiva della finestra è di 6m e l’area dellaparte rettangolare è 18m2 calcolare l’area della finestra.

1.2 Calcolo combinatorio

Alcuni semplici esercizi di calcolo combinatorio per risolvere i quali basta poco piùdella definizione delle nozioni viste

1.62 Scrivere tutte le possibili permutazioni dei seguenti insiemi:

A = 1; B = 5, 6; C = a, b, c

1.2. Calcolo combinatorio 9

1.63 Calcolare

i) 5! + 6!

ii)52!50!

[ i) 5! = 2 · 3 · 4 · 5 = 120; 6! = 5! · 6 = 120 · 6 = 720 quindi 5! + 6! = 840

ii)52!50!

=52 · 51 · 50!

50!= 52 · 51 = 2652 ]

1.64 Trovare il numero delle disposizioni di 10 elementi a 4 a 4.

1.65 Trovare il numero delle disposizioni di n + 4 elementi presi a n− 2 allavolta.

[ Essendo Dnk = n(n− 1) · · · (n− k + 1) si ha:

(n + 4)(n + 3) · · · [n + 4− (n− 2) + 1] = (n− 4)(n− 3) · · · 8 · 7 ]

1.66 Risolvere l’equazione Dn,5 = 30Dn−2,4

[ Ricordando l’espressione di Dnk si ha:

n(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4) =

= 30(n− 2)(n− 3)(n− 4)(n− 5)

ed osservando che dev’essere n ≥ 6 si ha, dividendo ambo i membri per(n− 2)(n− 3)(n− 4) che è: n(n− 1) = 30(n− 5) da cui le due soluzionin1 = 6 e n2 = 25 ]

1.67 Calcolare C15,13 e C6,4 + C5,0 [ 105; 16]

1.68 Risolvere il sistema Cx,y = Cx,y+2

Cx,2 = 66

[ Risolviamo la seconda equazione: si ha x(x−1)2 = 66 da cui le due soluzioni

x1 = −11 e x2 = 12. La prima, essendo x > 2 è da scartare, sostituendola seconda nella prima equazione si ha C12,y = C12,y+2 ma dalle propriete. icoefficienti binomiali sappiamo anche che Cm,n = Cm,m−n qundi C12,y =

C12,12−y da cui 12− y = y + 2 e quindi y = 5. ]

1.69 Risolvere le seguenti equazioni:

Dn−2,3 = 4Dn−3,2 20Dn−2,3 = Dn,5 Dn,4 = 15Dn−2,3[6; 5; 10; 6]


1.70 Verificare le seguenti uguaglianze:

i) Cn,6 =Dn,n−6

Pn−6C15,6 = C15,9 C10,5 + C10,6 = C11,6

1.71 Il numero delle combinazioni di n elementi a 3 a 3 è un quinto delnumero delle combinazioni di n + 2 elementi a 4 a 4. Trovare n.

[n = 14 oppure n = 3]

1.72 Qual è il massimo numero n di elementi di un insieme I tale che ilnumero delle permutazioni di I sia inferiore a 100? e a 200?

1.73 Risolvere i seguenti sistemi di equazioni:

a)

Cn,m = Cn,m+2

Cn,2 = 153b)

Cm,n = Cm,n+1

Dm,2 = 20.

[a) m = 8, n = 18 b) m = 5 n = 2]

Capitolo 2

I sistemi lineari, introduzione

In questo capitolo vengono proposti alcuni sistemi da risolvere con metodi elementari,cioè quelli imparati nelle Scuole Superiori. È importante provare a risolverli conmetodi diversi e verificare sempre i risultati trovati.

2.1 x = 7

3x + 5y = 1

x + y = 5x− y = 9

[ x = 7, y = −4; x = 7, y = −2]

2.2 x + y = 0x− y = 4

x− y = 1

x + 2y = 3

[ x = 2, y = −2; x =53

, y =23

]

2.3 4y− x = y− 4x

x + y− 1 = 1− x− y

[ non ha soluzioni]

2.4

x + y(x + 1) = (x− 1)(y− 1)

3x + 2y =13

[[−2

3,

76

]]

2.5

x + y11

+y + 1

6= 2

x2=

2y− 13

[[6, 5]]

11

12 Capitolo 2. I sistemi lineari, introduzione

2.6

12

x +23

y− 4 = 4x− 32

y + 1

(x− 1)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y− 1)2

[[−15

4;−15

4

]]

Risolvere i seguenti sistemi letterali, verificare le soluzioni ed eventual-mente discuterle1:

2.7 x + y = ax− y = b

ax + by = ac

x = by

[[

a + b2

;a− b

2

];[

aca + 1

;ac

b(a + 1)

]con b 6= 0 e a 6= −1. . . ]

2.8 ax + by = abbx + ay = ab

ax− by = b2 − 2a2

ax + 2by = a2 − 2b2

[[

aba + b

;ab

a + b

]con a 6= ±b. . . ;

[−a;

a2 − b2

b

]con a 6= 0 e b 6= 0. . . ]

2.9

nxm2 − n2 +

pyn2 −m2 =

1m + n

nx + py = m + n

[[

mn

;np

]]

Risolvere i seguenti sistemi di più di due equazioni in più di dueincognite

2.10

x + y = 8y + z = 28z + x = 14

3x− 5y = 14x + 3z = 23y− 2z = 7

[[−3, 11, 17] ; [2, 1,−2]]

2.11

x− 1 = 3z1− z = y

2(1− 4x)− 3z = 9y + 3

x + y + z = 14x + z = 6y

3x− 4y− 4z = 0

[ [−2, 2,−1] [8, 2, 4]]

1 Discutere un sistema lineare dipendente da uno o più parametri significa trovare perquali valori del o dei parametri il sistema ammette soluzioni e per ciascuno di essi quante neammette.

13

2.12* Determinare i valori di a in modo che risultino impossibili i sistemi

x + y = 12x + ay = 3

3ax− y = 3

x + 2y = 6

[a = 2; a = − 16 ]

2.13 Consideriamo gli stessi sistemi dell’esercizio precedente; determinare seesistono valori del parametro a per cui essi ammettono infinite soluzioni.

[ No, No]

2.14 Trovare due soluzioni distinte di ciascuno dei seguenti sistemi (chehanno ciascuno infinite soluzioni)

x + y + z = 1

x + 2y + 3z = 4

12

x− y− 2z =23

x +12

y− 13

z = 1

[Ad esempio x = −1, y = 1, z = 1; x = −2, y = 3, z = 0 e x = 0, y =43 , z = −1; x = 16

15 , y = − 215 , z = 0 . . . ]

2.15 La seguente uguaglianza di rapporti dà luogo ad un certo numero diequazioni indipendenti, quante? quali?

3x− y3

=z + 2y

4=

3x− z

.

2.16 Indicare quale o quali dei seguenti sistemi può ammettere soluzionenel campo dei numeri reali. (Si richiede di escludere quelli impossibilisenza risolvere i sistemi)

a

x + y = 1

x2 + y2 = −2b

x + y = 2

3x− y = 2

c

2x + 2y = 5

x + y = 3d

x + y = 1x + y = 2

e

x + y = 5x− y = 5

Parte I

Algebra lineare

15

Capitolo 3

Matrici

3.1 Definizione di matrice

3.1 Data la matrice A =

1 3 22 3 13 1 22 1 3

, determinare gli elementi a31, a13

[a31 = 3, a13 = 2]

3.2 Verificare che per qualunque valore del parametro k la matrice

A =

[2 04 3

]

soddisfa la disuguaglianza

A2 + kA + I 6= 0

3.3 Scrivere la trasposta di ciascuna delle seguenti matrici:

A =

−1

03

; B =

[3 0 −4

]; C =

[1 2 33 2 1

];

D =

1 23 45 60 0

; E =

1 0 10 1 22 3 1

; F =

1 2 32 5 73 7 2005

.

3.4 Calcolare la traccia delle matrici

[1 30 −1

]

1 0 10 −1 33 2 1

a b cb a cc a b

[0, 1, 2a + b]

17

18 Capitolo 3. Matrici

3.2 Operazioni sulle matrici

3.5 Se A e B sono, rispettivamente, le matrici sottoelencate, calcolare, quan-do è posssibile, la matrice C = A + B

i) A =

[1 23 4

]B =

[−2 13 5

][[−1 3

6 9

]]

ii) A =

[1 2 33 4 5

]B =

[3 2 00 1 3

][[

4 4 33 5 8

]]

iii) A =

[1 23 4

]B =

[3 2 00 1 3

][Non sono dello stesso tipo]

3.6 Se A e B sono, rispettivamente, le matrici sottoelencate, calcolare, quan-do è posssibile, la matrice C = A · B

i) A =

[1 23 4

]B =

[−2 13 5

][[

4 116 23

]]

ii) A =

[1 2 33 4 5

]B =

[3 2 00 1 3

][A non è conformabile con B]

iii) A =

[1 23 4

]B =

[3 2 00 1 3

][[

3 4 69 10 12

]]

3.7 Sia A una matrice quadrata di ordine n; verificare che risulta A2 = −Ase e solo se è (I + A)2 = A.

3.8 Siano A una matrice quadrata di ordine m emisimmetrica e P una matri-ce di tipo (m, n). Verificare che la matrice B = PT AP è emisimmetrica.

3.9 Date le matrici A =[1 3 2

]e B =

01−3

, determinare AB e BA.

[[−3

];

0 0 01 3 2−3 −9 −6

]

.

3.10 Si considerino le matrici A =

[h h− 1k k− 1

]e B =

[h− 1 h− 1

k k− 2

]determi-

nare i valori di k e h in modo che sia verificata la relazione A · B = 0.[h = k = 1]

3.11 Si consideri la matrice A =

[a bc 1− a

]. Determinare gli eventuali valori

dei parametri in modo che A sia idempotente (cioè sia A2 = A).[bc = a− a2]

3.2. Operazioni sulle matrici 19

3.12 Siano date le matrici

A =

[0 k 1k −2 0

]e B =

[k −1 0k 0 2

].

Verificare che non esiste alcun valore di k per cui sia BAT = I.

[ Se poniamo C = BAT l’elemento c21è:

c21 = b21a11 + b22a21 + b23a31 = k · 0 + 0 · k + 2 · 1 = 2 6= 0

e quindi C non può essere la matrice unità. ]


[k 02 k + 1

], determinare k in modo che la matrice

B = A2 + A− 2I sia simmetrica. [k = −1]

3.14 Determinare per quali valori di a, b, c e d sono non nulle e permutabili

le matrici A =

[a 0b a

]e B =

[c d0 c

]. [b · d = 0 e a 6= 0 oppure c 6= 0]

3.15 Verificare che ogni matrice simmetrica permutabile con la matrice A =[1 02 3

]è permutabile con qualunque matrice di ordine 2.

3.16 Determinare tutte le matrici quadrate di ordine 2 triangolari inferiorinon simmetriche per cui si abbia A2 + A = 0

[[

0 0b −2

],[−2 0

b 0

]con b 6= 0]

3.17 Determinare tutte le matrici permutabili con A =

[−1 1−1 2

].

[ Le matrici cercate devono, ovviamente, essere quadrate e di ordine 2: sia

X =

[a bc d

]si ha AX =

[c− a d− b

2c− a 2c− b

]e XA =

[−a− b a + 2b−c− d c + 2d

]ugua-

gliando gli elementi di ugual posto si ottiene il sistema

c− a = −a− bd− b = a + 2b

2c− a = −c− d2d− b = c + 2d

che ammette la soluzione c = −b e d = 3b+ a da qui le matrici[

a b−b a + 3b

].

]


3.18 Trovare tutte le matrici quadrate X di ordine 2 tali che

X2 = I =[

1 00 1

]

[[±1 0

k ±1

] [±1 k0 ±1

] [±√

1− hk hk ±

√1− hk

]]

3.19 Si considerino le matrici A =

[1 10 h

]e B =

[−1 20 1

]. Verificare che le

relazioni (AB)2 = A2B2 e AB 6= BA sono incompatibili per qualsiasivalore di h.

3.20 Determinare due matrici non nulle A e B di ordine 2 tali che sia BA =2AB. [Ad esempio A =

[0 x0 y

]e B =

[a b0 0

]con ax + by = 0.]

3.21 Sia A =

[1 02 1

]. Dimostrare, per induzione, che An =

[1 0

2n 1

].

3.22 Dimostrare che non esiste nessuna matrice per cui valgano simultanea-mente le relazioni

X2 + 2X− 2I = 0

X2 − X− 6I = 0.

3.23 Siano A(2, 3), B(3, 4) C(4, 1), esiste la matrice D = A · B · C? se si di chetipo è? [ Si, di tipo (2, 1)]

3.24 Siano A(2, 3) B(3, 3) e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di cheordine? [Sì, di ordine 2]

3.25 Scrivere tre matrici A , B e C tali che non esista ABC ma esistano AB edAC.

3.26 Scrivere due matrici A e B di tipi rispettivamente (2, 3) e (3, 2) tali cheAB = 0 e BA 6= 0

3.27 Sia A =

1 0 10 1 01 1 1

; calcolare A3. [A3 =

4 3 40 1 04 3 4

]

3.28 Facendo riferimento alla matrice dell’esercizio 3.27 ed al risultato trovato,

calcolare A5 [A5 =

16 15 160 1 04 3 4

]

3.29 Date le matrici A =

[1 0a b

]e B =

[2 x3 y

], calcolare A2 · B2 e (AB)2 e

osservare i risultati.

3.3. Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici 21

3.30 Risolvere, quando è possibile, i seguenti sistemi matriciali:

X− 2Y = IX + Y = 2Y

X2 + X− 2I = 0

X2 − 3X + 2I = 0

X− 2I = XT

X + 2XT = 0

[X = 53 I, Y = 1

3 I; X = I; impossibile]

3.31 Determinare per quali valori di k il sistema matriciale

X2 = kXX−Y = 0

(X− I)Y + YX = 0

ammette soluzioni non nulle. [k = 12 ]

3.32 Risolvere il sistema matriciale

X = −YT

2X + 2Y = 0[X = −Y con X ed Y emisimmetriche]

3.3 Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici

3.33 Ripartire le seguenti matrici in quattro blocchi conformabili ed eseguireil prodotto a blocchi

A =

1 2 10 0 20 0 3

B =

0 a b0 c d1 e f


1 2 33 2 12 1 3

. Trovare una matrice equivalente

alla A che sia triangolare superiore. [

1 2 30 −4 −80 0 3

]

3.35 Sia A la matrice dell’esercizio 3.34. Trovare una matrice equivalente ad

A che sia triangolare bassa. [

− 12

5 0 073

53 0

2 1 3

]

3.36 Se A è ancora la matrice dell’esercizio 3.34, esiste una matrice diagonaleequivalente ad A?


3.37 Trovare il rango delle seguenti matrici:

A =

1 2 02 1 13 3 1

B =

1 2 31 2 60 0 33 0 1

C =

0 0 0 11 1 1 01 1 1 1

[r(A) = 3, r(B) = 3, r(C) = 2]

3.38 Sia

A =

0 0 1 00 0 0 10 0 1 00 0 0 1

.

Se B è una matrice 4× 4 divisa in blocchi B =

[B1B2

]dove B1 e B2 sono

matrici 2× 4, mostrare che AB =

[B2B2

]con una opportuna partizione in

blocchi di A. Verificare il risultato con B =

2 3 −2 −31 −1 1 −1−2 1 2 −11 2 −1 −2

3.39 Ripartire le seguenti matrici in quattro blocchi conformabili ed eseguireil prodotto a blocchi

A =

1 2 10 0 20 0 3

B =

0 a b0 c d1 e f

3.40* Se A è una matrice m× n e B è una matrice p× q chiamiamo somma

diretta di A e B la matrice a blocchi A ⊕ B =

[A 00 B

]. In generale

A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ An =

A1 0 . . . 00 A2 . . . 0· · · · · · · · · · · ·0 0 . . . An

. Siano ora

A1 =

[1 2−1 1

]A2 =

[0 11 0

]

B1 =

[3 −11 −2

]B2 =

[1 23 4

]

Mostrare che:

3.3. Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici 23

i) (A1 ⊕ A2) + (B1 ⊕ B2) = (A1 + B1)⊕ (A2 + B2)

ii) (A1 ⊕ A2) · (B1 ⊕ B2) = (A1B1)⊕ (A2B2)

3.41 Tenendo conto della definizione data nell’esercizio 3.40, se Ai e Bi sonomatrici quadrate di ordine ni (i = 1, . . . , m), mostrare che

(A1 ⊕ · · · ⊕ Am)(B1 ⊕ · · · ⊕ Bm) = (A1B1 ⊕ · · · ⊕ AmBm)

3.42 Se Ai è quadrata di ordine ni (i = 1, . . . , l) e se A = A1 ⊕ · · · ⊕ Almostrare che

m

∑k=1

ck Ak =

(m

∑k=1

ck Ak1

)⊕ · · · ⊕

(m

∑k=1

ck Akl

)

3.43* Sia z = a + ib un numero complesso. Definiamo la matrice reale M(z) =[a −bb a

]. Verificare che per ogni coppia di numeri complessi z e w si ha

M(z + w) = M(z) + M(w); M(zw) = M(z)M(w).

Capitolo 4

Spazi vettoriali

La scrittura < ~v1, . . . ,~vn > indica lo spazio vettoriale generato dai vettori ~v1, . . . ,~vncioè l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di questi vettori. Indicheremoda qui in avanti con Pn(x) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado non maggioredi n nella variabile x, e con Mm,n(K) quello delle matrici di tipo n×m sul campoK; dove non esplicitamente precisato si sottintende K = R.

4.1 Sottospazi e basi

4.1 Fornire esempi di leggi di composizione in insiemi numerici che noncorrispondano ad operazioni dell’aritmetica elementare.

4.2 Fornire esempi di insiemi non chiusi rispetto ad opportune leggi dicomposizione.

4.3 Scrivere due differenti combinazioni lineari dei vettori

~v =[1 0 −1

]~w =

[−1 0 2

]~u =

[0 2 1

]~z =

[0 0 3

]

4.4 Scrivere 3 vettori di R4 linearmente indipendenti

4.5 Scrivere tre vettori di R4 linearmente dipendenti ma non proporzionalia due a due.

4.6 Riferendosi ai vettori dell’esercizio 4.3 dire:

i) se sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti[4 vettori in R3 sono sempre dipendenti]

ii) dire se ~v, ~w e ~u sono linearmente indipendenti [Si]

iii) dire se ~v, ~w e~z sono linearmente dipendenti o indipendenti.

25

26 Capitolo 4. Spazi vettoriali

[Da a[1, 0,−1] + b[−1, 0, 2] + c[0, 0, 3] = 0 si ottiene a = b = −3c equindi ~v, ~w e ~z sono linearmente dipendenti perché esiste una lorocombinazione lineare, ad esempio 3~v + 3~w −~z, che coincide con ilvettore nullo senza che siano nulli tutti i coefficienti.]

4.7 Dati i seguenti 4 vettori di R3 : ~e1 = [1, 0, 0], ~e2 = [0, 1, 0], ~u = [3, 4, 2] e~v = [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra ~u e ~v in modo che i rimanenti 3formino una base. [~v = 2~e1 + 5~e2. . . ]

4.8 Trovare una base ~e1, ~e2 di R2 tale che

[1, 0] = ~e1 + ~e2

[0, 1] = ~e1 − ~e2.

[~e1 =[

12 , 1

2

], ~e2 =

[12 ,− 1

2

]]

4.9 Sia V = R2+ l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali strettamente

positivi. Definiamo in V le seguenti operazioni come somma e prodottoper uno scalare:

[a, b]⊕ [c, d] = [ac, bd] e α⊗ [a, b] = [aα, bα]

Verificare che:

i) Rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalareV non è uno spazio vettoriale.

ii) Rispetto a queste operazioni, V è uno spazio vettoriale su R edeterminare il vettore nullo e l’opposto del vettore [a, b].

[. . . 0 = [1, 1],−[a, b] =[

1a , 1

b

]; . . . ]

4.10 Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e rispettivamente ~v e ~w duevettori di V e λ e µ due scalari di K; dimostrare che

i) λ~v = λ~w, λ 6= 0 =⇒ ~v = ~w

ii) λ~v = µ~v,~v 6= 0 =⇒ λ = µ

4.11* Verificare che l’insieme

V ≡[

a 2b3b a

]: a, b ∈ R

è un sottospazio dello spazio vettoriale M2 delle matrici quadrate diordine 2.

4.1. Sottospazi e basi 27

[ Dobbiamo controllare che l’operazione di combinazione lineare sia interna

ad V . Consideriamo due matrici generiche di I A1 =

[a1 2b1

3b1 a1

]ed

A2 =

[a2 2b2

3b2 a2

]e due scalari λ1 e λ2; si ha:

λ1 A1 + λ2 A2 =

=

[λ1a1 + λ2a2 λ1 · 2b2 + λ2 · 2b2

λ1 · 3b1 + λ2 · 3b2 λ1a1 + λ2a

]=

=

[λ1a1 + λ2a2 2(λ1b1 + λ2b2)

3(λ1b1 + λ2b2) λ1a1 + λ2a2

]=

=

[α 2β

3β α

]∈ V

con α = λ1a1 + λ2a2 e β = λ1b1 + λ2b2. ]

4.12 Stabilire se l’insieme R2 delle coppie ordinate di numeri reali è unospazio vettoriale rispetto alle operazioni

i) [x, y] + [x′, y′] = [x + x′, y + y′] e α[x, y] = [1, αy]. [No]

ii) [x, y] + [x′, y′] = [xy′.yx′] e α[x, y] = [xα, yα] [Sì]

4.13 Stabilire se l’insieme R3 delle terne ordinate di numeri reali è uno spaziovettoriale rispetto alle operazioni

i) [x, y, z] + [x′, y′, z′] = [x′, y′, z + z′] e α[x, y, z] = [αx, αy, αz].ii) [x, y, z] + [x′, y′, z′] = [x′ + y′, y′, z + z′] e α[x, y, z] = [αx, y, z]

4.14 Sia R il campo reale e V l’insieme di tutte le funzioni che assumonovalore positivo sull’intervallo [a, b]. Definiamo la somma di due funzionie la moltiplicazione di una funzione per uno scalare con le seguentiuguaglianze:

f ⊕ g = f g; α f = f α f , g ∈ V α ∈ R.

Verificare se, con le operazioni indicate, V è uno spazio vettoriale su R.

4.15* Verificare che le progressioni aritmetiche reali, rispetto alla somma ter-mine a termine ed al prodotto per uno scalare definiti in modo naturale,formano uno spazio vettoriale su R.

4.16* Verificare che l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneodi p equazioni in q incognite, rispetto alle usuali operazioni forma unospazio vettoriale sul campo a cui appartengono i coefficienti.

4.17 Sia W l’insieme ~v1,~v2,~v3,~v4 dove

~v1 = [1, 2, 1] ~v2 = [2, 1, 2]~v3 = [0, 0, 1] ~v4 = [1, 0, 0]


i) verificare che sono linearmente dipendenti e per ciascuno di essitrovare la combinazione lineare degli altri tre da cui è formato.

[ Ad esempio v1 = 2v2 − 3v3 − 3v4]

ii) elencare tutti i sottoinsiemi di W linearmente indipendenti.

4.18 Delle seguenti terne di vettori di R3, dire quali sono linearmente dipen-denti e quali linearmente indipendenti.

i) ~v1 = [2, 1, 0], ~v2 = [0,−1, 1] e ~v3 = [1, 1, 0]

ii) ~v1 = [1, 1, 1], ~v2 = [−2,−2,−2] e ~v3 = [0, 1, 1]

iii) ~v1 = [0, 1, 0], ~v2 = [1,−1, 2] e ~v3 = [2, 1, 3]

[ Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna ii).]

4.19 Trovare due sottoinsiemi di R2, uno dei quali sia chiuso rispetto allasomma ma non rispetto al prodotto per uno scalare e l’altro, viceversa,sia chiuso rispetto al prodotto per uno scalare ma non rispetto allasomma.

[Ad esempio [a, b] con a e b interi pari su R è chiuso rispetto alla sommama non rispetto al prodotto per uno scalare. . . ]

4.20 Verificare che l’insieme delle matrici quadrate di ordine fissato è unospazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di somma tra matrici edi prodotto di una matrice per uno scalare.

4.21 Mostrare che l’intersezione insiemistica V = W ∩U di due spazi vetto-riali è uno spazio vettoriale.

4.22 Verificare, su esempi, che invece l’unione V = W ∪U non è, in generale,uno spazio vettoriale.

4.23 Scrivere 3 basi per R3.

4.24 Trovare 2 basi per lo spazio vettoriale M2 delle matrici quadrate diordine 2 .

4.25 Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono unsottospazio di M2 e determinarne una base.

4.26 Dei seguenti sottoinsiemi di R3, stabilire quali sono sottospazi rispettoalle usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare:

i) S1 = [x, y, z]|x + 2y + 2z = 0;ii) S2 = [x, y, z]|x = y, z = 2;


iii) S3 = [x, y, z]|x = 2y, z = 0;iv) S4 = [x, y, z]|x2 + y2 + z2 = 1;v) S5 = [x, y, z]|x2 + y = 0;

vi) S6 =

[x, y, z]| x

y= 1, y 6= 0

.

[i); iii); v) e vi).]

4.27 Per ciascuno dei seguenti insiemi di vettori stabilire se si tratta di unsottospazio di un appropriato spazio vettoriale.

i) Tutti i vettori di Rn le cui componenti sono numeri interi.

ii) Tutti i vettori del piano ciascuno dei quali giace su uno degli assicoordinati.

iii) Tutti i vettori del piano il cui secondo estremo giace su una dataretta (considerando come primo estremo l’origine).

iv) Tutti i vettori del piano i cui estremi giacciono su una data retta.

v) Tutti i vettori dello spazio i cui secondi estremi non giacciono suuna data retta.

vi) Tutti i vettori del piano i cui secondi estremi giacciono nel primoquadrante.

vii) Tutti i vettori di Rn le cui componenti xi sono tali chen

∑1

xi = 0.

viii) Tutti i vettori di Rn le cui componenti xi sono tali chen

∑1

xi = 1.

ix) Tutti i vettori che si ottengono come combinazioni lineari dei vettoriv1, v2, . . . , vk in Rn.

4.28 In R3 sono dati i seguenti insiemi di vettori:

i) S1 = [1, 1, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0];ii) S2 = [2, 1, 0], [0, 1, 0], [−1, 0, 1];

iii) S3 = [1, 1, 2], [−1, 0,−1], [0, 1, 0], [0, 0, 1].

Stabilire, per ciascuno di essi, se costituiscono un sistema di generatorie, in particolare, se sono delle basi per R3.

[ S1 ed S2 sono delle basi, S3 è un sistema di generatori.]

4.29 Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica

B = ~e1 = [1, 0, 0],~e2 = [0, 1, 0],~e3 = [0, 0, 1]

ed i seguenti sottospazi


i) W1 generato da ~e1 + 2~e3,~e3,~e1 +~e3,ii) W2 generato da ~e1,~e1 −~e2,~e1 +~e3,

iii) W3 generato da ~e2, 2~e2,~e1 − e3,~e1 + 2~e2 −~e3.Per ciascuno di essi determinare una base e la dimensione.

[W1 =< [1, 0, 2], [0, 0, 1], [1, 0, 1] > quindi dimW1 = 3;W2 =< [1, 0, 0][1,−1, 0], [1, 0, 1] > quindi dimW2 = 3;

W3 =< [0, 1, 0], [1, 0,−1] > quindi dimW3 = 2.]

4.30* Determinare una base e la dimensione del sottospazio V di R4 formatodai vettori del tipo [a, a + b, b− a, b] e del sottospazio U di R3 costituitoda vettori del tipo [a + c, b− a, b + c].

[Sia ~v il generico vettore di V, si ha:

~v = [a, a + b, b− a, b] = a[1, 1,−1, 0] + b[0, 1, 1, 1]

questo significa che i vettori ~v1 = [1, 1,−1, 0] e ~v2 = [0, 1, 1, 1] sono unsistema di generatori per V; non essendo proporzionali sono indipendenti,quindi formano una base per V, che ha dunque dimensione 2.Analogamente sia ~u = [a + c, b− a, b + c] il generico vettore di U sarà:

~u = a[1,−1, 0] + b[0, 1, 1] + c[1, 0, 1]

cioè i tre vettori ~u1 = [1,−1, 0], ~u2 = [0, 1, 1] e ~u3 = [1, 0, 1] costituisco-no un sistema di generatori. Si osserva però che non sono linearmenteindipendenti perché ~u3 = ~u1 + ~u2 quindi non formano una base per U.Una qualsiasi coppia di questi tre vettori forma un insieme indipendente equindi una base, da cui dimU = 2.]

OSSERVAZIONE 4.1. La traccia di soluzione della seconda parte di questoesercizio mette in luce come non sempre la dimensione di un sottospazio coincidecon il numero dei parametri presenti nell’espressione del generico vettore.

La traccia di soluzione della seconda parte di questo esercizio mette inluce come non sempre la dimensione di un sottospazio coincide con ilnumero dei parametri presenti nell’espressione del generico vettore.

4.31* In V = P3(x) si considerino i sottoinsiemi

S ≡ p(x) ∈ V|p(0) = 1 e p(1) = 0e

T = p(x) ∈ V|p(0) = p(1) = 0.Stabilire se rispetto alle usuali operazioni di somma e di prodotto peruno scalare nello spazio dei polinomi S e T sono sottospazi e, qualoralo siano, determinare una base per ciascuno di essi.


[S è l’insieme dei polinomi p(x) = ax3 + bx2 + cx + d per cui p(0) = 1e p(1) = 0, quindi, dato che p(0) = d e p(1) = a + b + c + d il genericopolinomio di S è del tipo ax3 + bx2 − (a + b + 1)x + 1; si vede subito cheS non è chiuso né rispetto alla somma né rispetto al prodotto per unoscalare infatti, per esempio, x + 1 ∈ S ma il suo prodotto 2(x + 1) = 2x + 2non vi appartiene, in quanto il termine noto è diverso da 1.

Il generico vettore di T è il polinomio ax3 + bx2− (a+ b)x; valutiamo se T

è chiuso rispetto alle operazioni definite in V: per la somma consideriamodue generici elementi di T , ax3 + bx2 − (a + b)x e a′x3 + b′x2 − (a′ + b′)xsommandoli si ottiene (a + a′)x3 + (b + b′)x2 − [(a + a′) + (b + b′)]x cheè ancora un elemento di T , inoltre α[x3 + bx2 − (a + b)] = αax3 + αbx2 −(αa + αb)x che a sua volta è elemento di T , il quale, quindi è sottospazio diV. Osservando che ax3 + bx2 − (a + b)x = a(x3 − x) + b(x2 − x) possiamoaffermare che i polinomi x3 − x e x2 − x generano T ; essendo poi essilinearmente indipendenti, infatti sono di gradi diversi, formano una baseper T quindi possiamo concludere che T ha dimensione 2.]

4.32 Sia Vc = p ∈P7(x)|p(1) = c. Determinare per quali valori di c ∈ R

Vc è sottospazio di P7(x). [ c = 0]

4.33 Si considerino i polinomi p1(x) = 3, p2(x) = 2 + x3, p3(x) = x− x2 −4x3, p4(x) = x2 − x3 e p5(x) = x + 2x2. Dall’insieme p1, p2, p3, p4, p5estrarre, se possibile, una base per P3(x).

[dim (P3(x)) = 4, basta estrarre quattro polinomi indipendenti, per esem-pio p1, p2, p3, p4]

4.34 Se ~e1,~e2,~e3 è una base di R3 si considerino gli insiemi B1 = ~e1,~e1 +~e2,~e1 +~e3 e B2 = ~e1 +~e2,~e1 + 2~e2 +~e3, 2~e1 + 3~e2 +~e3; dimostrare cheB1 è una base di R3, mentre B2 non lo è.

[ I vettori di B2 non sono indipendenti, infatti. . . ]

4.35 Trovare le componenti del vettore ~v = 2~e1 +~e2 + 7~e3 rispetto alla baseB1 dell’esercizio 4.34 [ [−5, 1, 7]]

4.36 Mostrare che l’insieme [a, c], [b, d] è una base di R2 se e solo se ad−bc 6= 0.

4.37 Per quali valori del parametro t l’insieme B = [2, t], [t, 2] è una basedi R2? [ ∀t 6= ±2]

4.38 Si considerino i polinomi p1 = t + 1, p2 = t2 + 2t + 1 e p3 = t2 − t.Dimostrare che p1, p2, p3 è una base di P2(t) e trovare le componentidi q1 = t2 − t− 2 e q2 = t2 + 3 rispetto a questa base.


[p1, p2, p3 sono linearmente indipendenti, infatti α(1 + t) + β(t2 + 2t + 1) +γ(t2 − t) = 0⇒ (β + γ)t2 + (α + 2β− γ)t + α + β = 0. . . si perviene ad unsistema lineare omogeneo che ha solo la soluzione banale. . . q1 = −3p1 + p2;q2 = 4p1 − p2 + 2p3]

4.39* Siano, in V = P2(t), p1(t) = t2 − 2t , p2(t) = 1 + 2t, p3(t) = 2− t2,q1(t) = −1 + t, q2(t) = −1 + t− t2, q3(t) = 2t + 2t2. Dimostrare cheB = p1, p2, p3 e C = q1, q2, q3 sono due basi di V. Trovare lamatrice di passaggio da B a C .

[

i) Scriviamo ciascun vettore di B come combinazione lineare dei vettoridi C , in seguito costruiremo la matrice che ha per righe i coefficientidi tali combinazioni1. . .

p1 = 3q1 − 3q2 − q3

p2 = −4q1 + 3q2 +32

q3

p3 = −5q1 + 3q2 + q3

da cui la matrice richiesta

3 −3 −1

−4 332

−5 3 1

;

ii) Ricorrendo alle basi canoniche, moltiplichiamo la matrice H di pas-saggio dalla base B a quella canonica per la matrice che trasformala base canonica in C ovvero la matrice inversa (Si veda capitolo 6)della matrice K di passaggio dalla base C a quella canonica. Poichéle coordinate di un vettore rispetto alle basi canoniche coincidonoproprio con le sue componenti, è semplice costruire queste matrici:

H =

0 −2 11 2 02 0 −1

, K =

−1 1 0−1 1 −1

0 2 2

,

calcolando poi HK−1 si perviene al risultato precedente.

]

4.40 Siano ~v1 = [0, 2, 0], ~v2 = [1,−1, 0] e ~v3 = [3, 1, 5]. Dimostrare cheB = ~v1,~v2,~v3 è una base di R3 e trovare la matrice del cambiamentodi base dalla base B alla base canonica.

[ ~v1,~v2 e ~v3 sono indipendenti. . .

0 2 01 −1 03 1 5

.]

1Qualora non sia semplice trovare tale combinazione, basta risolvere il sistema di treequazioni nelle tre incognite a, b e c che si ottiene uguagliando, componente per componente, ivettori p e aq1 + bq2 + cq3.


4.41 Trovare la matrice di passaggio dalla base 1− α, x− α, (x− α)2, . . . , (x−α)n alla base 1, x, x2, . . . , xn nello spazio vettoriale dei polinomi digrado non maggiore di n.

4.42 Come varia la matrice di passaggio da una base ad un’altra

i) se si scambiano due vettori della prima base

ii) se si scambiano due vettori della seconda base

iii) se in entrambe le basi i vettori sono dati in ordine inverso


[1 2−2 −4

]si consideri l’insieme

W = X ∈M2(R)|AX = 0.

Dimostrare che W è sottospazio di M2(R), calcolarne la dimensione edeterminarne una base. [ dimW = 2. . . ]

4.44 Sia V = Mn,m lo spazio vettoriale delle matrici di tipo (n, m). Indichiamocon Eij la matrice di V che ha l’elemento di posto i, j uguale a 1 e tuttigli altri elementi nulli. Dimostrare che E11 . . . Enm è una base di V eche la dimensione di V è m · n.

4.45 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia ~v1, . . . ,~vn un sistemadi n generatori di V. Dimostrare che esso è una base.

[ Occorre e basta mostrare che sono indipendenti...]

4.46* Siano V e W due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale; dimostrareche

i) V ∪W ⊆ V + W;

ii) V + W è il più piccolo sottospazio contenente V ∪W.

[i) Sia ~u ∈ V ∪W, ciò significa che ~u ∈ V oppure ~u ∈W, in entrambi i casi~u si può esprimere come elemento di V + W, come ~u = ~u + 0W se ~u ∈ Voppure come ~u = ~u + 0V se u ∈W.

ii) Supponiamo che esista un sottospazio V′ contenente l’unione V ∪W,dimostriamo che esso contiene necessariamente anche la somma, cioè cheV + W ⊆ V′: sia ~u ∈ V + W cioè ~u = ~v + ~w con ~v ∈ V e ~w ∈W; ~v e ~w sonoanche elementi di V ∪W e quindi di V′ dato che V ∪W ⊆ V′; poiché V′ èuno spazio vettoriale, contiene, oltre a ~v e ~w, anche la loro somma ~v + ~w,cioè ~u.]


4.47 Siano U e W due sottospazi dello spazio vettoriale V tali che V = U +W.Indichiamo con B e C , rispettivamente una base di U ed una di W.Mostrare che se la somma è diretta, cioè se U ∩W = 0 allora B ∪ C èuna base di V, e trovare un esempio per cui U ∩W 6= 0 e B ∪ C nonè una base di V.

4.48 Indichiamo con Sn e S ′n rispettivamente l’insieme delle matrici simme-

triche ed emisimmetriche di ordine n. Dimostrare che sono entrambisottospazi di Mn e calcolarne le rispettive dimensioni.

[Basta verificare la chiusura rispetto alle combinazioni lineari. . . le dimen-

sioni sono rispettivamenten(n + 1)

2e

n(n− 1)2

]

4.49 Dimostrare che Mn = Sn ⊕S ′n dove Mn, Sn, S ′

n sono quelli definitinell’esercizio 4.48.

4.50 Dimostra che se P(t) è l’insieme di tutti i polinomi in una variabile(quindi se non si precisa il grado) non esiste un sistema di generatorifinito.

4.2 Quesiti

Q.4.1 I vettori [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] e [10, 11, 12] sono linearmente indipen-denti. 2 vero 2 falso

Q.4.2 Se B = ~u,~v, ~w è una base per lo spazio vettoriale V, allora B′ =~u, 3~v, 3~v + ~w è un’altra base per V. 2 vero 2 falso

Q.4.3 Il sottospazio vettoriale generato da tre vettori linearmente indipendenti~u,~v, ~w è uguale al sottospazio generato da ~u−~v,~v− ~w, ~w− ~u.

2 vero 2 falso

Q.4.4 Il sottospazio vettoriale generato da tre vettori linearmente indipendenti~u,~v, ~w è uguale al sottospazio generato da ~u +~v,~v + ~w, ~w + ~u.

2 vero 2 falso

Q.4.5 Nello spazio vettoriale delle funzioni continue su R la dimensione delsottospazio generato da 1, cos2 x, sin2 x è: a 0; b 1; c 2; d 3.

Q.4.6 I vettori [1, 2, 1], [2, a, a + 1], [a, 0, 1] sono lineramente indipendenti pera infiniti valori di a ma non tutti b a 6= 1 e a 6= −4 c ogni valore

di a d a = 1.

4.2. Quesiti 35

Q.4.7 La dimensione dello spazio vettoriale intersezione tra quello delle matri-ci triangolari alte e quello delle matrici triangolari basse è: a 2n;b n2 c 0 d n.

Q.4.8 Dire quali delle seguenti implicazioni sono vere, dove V è uno spaziovettoriale e ~u,~v, ~w sono vettori di V.

a ~u,~v, ~w generano V ⇒ ~u,~v generano V b ~u,~v, ~w sono li-nearmente indipendenti⇒ ~u,~v sono linearmente indipendenti c~u,~v generano V ⇒ ~u,~v, ~w generano V d ~u,~v, ~w sono linear-mente dipendenti⇒ almeno due tra i vettori ~u,~v, ~w sono linearmentedipendenti.

Q.4.9 In uno spazio vettoriale V di dimensione n a n + 1 vettori sono sem-pre linearmente dipendenti; b n− 1 vettori sono sempre linearmenteindipendenti; c se n vettori qualsiasi sono linearmente indipendenti,allora essi formano una base; d esistono n− 1 vettori che generanoV.

Q.4.10 Siano U e W due sottospazi di un medesimo spazio vettoriale V. Qualeo quali dei seguenti non è , in generale, sottospazio di V? a U ∪W;b U ∩W; c U + W; d (U + W) ∪ (U ∩W).

Q.4.11 Siano U e V due sottospazi di Rn. Indicare le proprietere: a dim(U +

V) ≥ dimU + dimV b dim(U ∩ V) < dimU; c se U ∩ V = 0allora dim(U + V) = dimU + dimV d se U + V = Rn allora U ∩V =0.

Q.4.12 Sia W il sottospazio di R4 generato dai vettori

~w1 = [0, k, k, 1] e ~w2 = [1, k, k, 0].

Allora a dimW = 1 se k = 1; b dimW = 0 se e solo se k = 0; cdimW > 0 se e solo se k 6= 0; d dimW = 2 ∀k.

Q.4.13 Sia ~v1,~v2,~v3,~v4 una base dello spazio vettoriale V e si considerino ivettori:

~u1 = ~v1 −~v2

~u2 = ~v1 −~v3

~u1 = ~v1 +~v3.

Indicare le proprietà vere a ~u1,~u2,~u3 sono linearmente indipendenti;b ~u1,~u2,~u3 generano un sottospazio di dimensione 2; c ~u1,~u2,~u3

generano un sottospazio di dimensione 3 d ~u1,~u2,~u3 formano unabase per V.

Capitolo 5

Determinante e rango di unamatrice. Matrice inversa

5.1 Determinante e rango

5.1 Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A =

[1 −32 5

]B =

1 0 −12 3 −14 0 −2

C =

1 0 33 5 81 0 3

D =

1 0 02 6 03 4 5

.

[Rispettivamente 11, 6, 0, 30]

5.2 Date le matrici A =

[1 23 4

]e A =

[5 67 8

], calcolare det(AB), det(A2B),

det(3A). [4, 16, −18]

5.3 Calcolare il determinante

∣∣∣∣∣∣

1 a b + c1 b a + c1 c a + b

∣∣∣∣∣∣. [0]

5.4 Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A =

1 2 1 2 10 0 1 1 11 1 0 0 00 0 1 1 21 2 2 1 1

B

1 2 3 42 1 2 10 0 −1 13 4 1 2

. [det A = 2; det B = −32]

5.5 Calcolare i seguenti determinanti:

37

38 Capitolo 5. Determinante e rango di una matrice. Matrice inversa

∣∣∣∣∣∣∣∣

a b 0 00 a b 00 0 a bc 0 0 a

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1a 1 1 1b a 1 1c b a 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 0 a0 0 b 00 c 0 0d 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣.

[−b(a3 + b3); −a3 + 3a2 − 3a + 1; abcd]

5.6 Verificare che è nullo il seguente determinante di ordine n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1− n 1 1 . . . 11 1− n 1 . . . 11 1 1− n . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1− n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

[Ogni riga è la somma delle altre. . . ]

5.7 Per quali valori del parametro si annulla il determinante di ciascunadelle seguenti matrici:

A =

1 1 −h1 −h 1−h 1 1

, B =

1 k 11 −1 k + 1−k −1 0

,

C =

1 2 −5 h3 −1 h 02 3 −9 01 −1 2 0

, D =

1 2k 4 + k3 −2 −k1 k 1

.

[2, −1; 0, −1; 0, 45 ; −3, −1]

5.8 Date le matrici

A =

[1 1 2 22 2 −1 −1

]e B =

[−2 k −3 33 −3 2 2

]

determinare gli eventuali valori del parametro k per i quali la matriceABT è singolare. [2]

5.9 Trovare due matrici non singolari A e B per cui det(A + B) = det A +

det B [Ad esempio A =

[0 1−1 1

]e B =

[2 −11 0

]]

5.10 È vero che det(AT) = (det A)T?

5.11 Verificare che ogni matrice emisimmetrica di ordine dispari è singolare.

5.12 Siano rispettivamente S e E una matrice simmetrica ed emisimmetrica,entrambe di ordine 2. Verificare che si ha det(S + E) = det S + det E.

5.1. Determinante e rango 39

5.13 Si può estendere il risultato precedente all’ordine 3?

5.14 Verificare, senza sviluppare il determinante, che l’equazione∣∣∣∣∣∣

0 x− a x− bx + a 0 x− cx + b x + c 0

∣∣∣∣∣∣= 0

ammette una radice x = 0. [Per x = 0 la matrice è emisimmetrica di ordine 3]

5.15 Verificare che l’equazione∣∣∣∣∣∣

x −a a− 1a 2x 0

1− a 0 3x

∣∣∣∣∣∣= 0

ha una soluzione nulla qualunque sia a. [Come l’esercizio 5.14]

5.16 Verificare che l’equazione∣∣∣∣∣∣

1 2x x + 12 a −x1 x 1

∣∣∣∣∣∣= 0

ammette una radice nulla per ogni valore di a. Determinare poi a inmodo che anche l’altra radice sia nulla.

[Per x = 0 la matrice ha due righe uguali. . . a = −2]

5.17* Risolvere la seguente equazione nella variabile x:∣∣∣∣∣∣∣∣

2x −1 −1 −1−1 2x −1 −1−1 −1 2x −1−1 −1 −1 2x

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

[ Sommando alla prima colonna tutte le altre si ha l’equazione equivalente∣∣∣∣∣∣∣∣

2x− 3 −1 −1 −12x− 3 2x −1 −12x− 3 −1 2x −12x− 3 −1 −1 2x

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0,

che a sua volta equivale alla

(2x− 3)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 −1 −11 2x −1 −11 −1 2x −11 −1 −1 2x

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

A questo punto sommando la prima colonna a tutte le altre si ottiene:

(2x− 2)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 01 2x + 1 0 01 0 2x + 1 01 0 0 2x + 1

∣∣∣∣∣∣∣∣,


infine, tenendo conto che il determinante di una matrice triangolare è ilprodotto degli elementi principali, si perviene all’equazione (2x− 3)(2x +

1)3 = 0 che ha la radice semplice x = 32 e la radice x = − 1

2 di molteplicità3. ]

5.18 Date le matrici

A =

1 0 −2−2 1 1

3 −2 0

, B =

−2 −1 4

4 3 −2−6 1 0

,

C =

−2 −1 4

4 1 −2−6 5 0

verificare che si ha det C = det B− 8 det A senza calcolare esplicitamente ideterminanti.

[ Ponendo D = −2A si osserva che la matrice D ha la prima e la terzacolonna uguali a quelle di B e che la seconda colonna di C è la somma diquelle di D e di B. Si ha quindi det C = det B + det D = det B + det(−2A)

da cui ricordando che A è di ordine 3, si ha det C = det B + (−2)3 det A. . . ]

5.19 Determinare i valori del parametro per i quali si annullano i seguentideterminanti

∣∣∣∣∣∣

1 a + 1 a2

3 2a + 4 4− a−1 a− 3 −1

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −5 h3 −1 h 02 3 −9 01 −1 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

1 −2k 10 1 −k1 2 1

∣∣∣∣∣∣.

[a = 1,− 75 ; h = 0,−8; k = 0,−1]

5.20 Determinare tutte le matrici reali per cui si ha I = det A · A.

5.21 Determinare tutte le matrici reali per cui si ha A = det A · A.

5.22 Siano A e B due matrici non singolari di ordine n verificare che seAB = kBA, allora k è radice n–esima dell’unità.

5.23 Verificare che se A, B, C sono matrici di ordine dispari per cui valeABC + BCA = 0 una di esse è singolare.

5.24 Determinare due matrici di ordine 2 linearmente indipendenti tali cheogni loro combinazione lineare sia singolare.

5.1. Determinante e rango 41

5.25 Determinare i valori di α e β in corrispondenza dei quali le matrici

a =

tan α√3

30

, B =

0tan β

1 + tan β

e C =

√3

3tan α

0

sono linearmente indipendenti[α = ±π

6 + kπ oppure β = −π4 + kπ con π ∈ Z]

5.26 È sempre vero che det(AB) = det(BA)?[Sì se A e B sono quadrate dello stesso ordine]

5.27* Calcolare, al variare del parametro reale, il rango di ciascuna delleseguenti matrici:

A =

k 0 −10 k −1−2 1 k

B =

1 1 h1 0 11 1 h3

C =

t 2t 2 02 t− 1 1 t3t 2 3 t

[

i) A è una matrice quadrata di ordine 3, quindi ha rango 3 per tutti e solii valori di k per cui è det A 6= 0. det A = k(k− 1)(k + 1))⇒ r(A) = 3

per k 6= −1, 0, 1. Per k = −1, 0, 1 r(A) = 2 perché∣∣∣∣k −11 k

∣∣∣∣ = k2 + 1 è

sempre diverso da 0 in R.

ii) B è una matrice di tipo (4, 3), quindi il suo rango è al massimo 3,

inoltre è almeno 2 perché, per esempio, la sottomatrice[

1 11 0

]è non

singolare. Utilizzando il teorema di Kroneker orliamo questa sottoma-

trice in tutti i modi possibili, ottenendo le matrici B1 =

1 1 h1 0 11 1 h3

e B2 =

1 1 h1 0 11 1 1

i cui determinanti sono, rispettivamente, h− h3

e h − 1; il rango sarà allora >2 per tutti i valori di h che annullanoentrambi i determinanti, cioè per h = 1. Per tutti gli altri valori si avràr(B) = 3

iii) C Per poter applicare il teorema di kroneker consideriamo, ad esempio,

la sottomatrice[

2 01 t

]formata dalle prime due righe e dalle ultime

due colonne e supponiamo, per il momento, che t 6= 0 in modo che sianon singolare (Naturalmente dovremo poi esaminare a parte il casot = 0)

]


5.28* Si consideri la matrice

A =

2h− 2 8 0 41 0 3 2h + 1

h + 2 h + 2 0 h3 3h 0 2h− 1

Determinare i valori di h per cui la prima riga di A è combinazionelineare delle altre.

[ La matrice A dev’essere singolare, quindi, essendo

det A = −6(h− 2)(h− 1)(h + 1) = 0,

i possibili valori di h vanno cercati tra h = 2 e h = ±1.

Per h = 2 si ha la matrice

2 8 0 41 0 3 54 4 0 23 6 0 3

in cui la prima riga è il doppio della

quarta meno la terza e quindi, poiché il rango di A non cambia aggiungendola prima riga, essa è combinazione lineare delle altre. Considerazionianaloghe ci permettono di asserire che anche h = −1 va bene.

Se invece h = 1, si ha la matrice

0 8 0 41 0 3 33 3 1 13 3 1 1

; le ultime due righe sono

uguali, quindi la prima riga dovrebbe essere combinazione lineare delleprime due, ma si osserva subito che le prime tre righe sono indipendenti: èdiverso da zero il determinante formato dalle prime tre righe e dalle primetre colonne, quindi tale valore è da scartare. In conclusione la prima riga ècombinazione lineare delle altre solo per h = −1 ed h = 2. ]

5.29* Se ω è una radice immaginaria di -1, mostrare che∣∣∣∣∣∣∣∣

1 ω ω2 ω3

ω ω2 ω3 1ω2 ω3 1 ωω3 1 ω ω2

∣∣∣∣∣∣∣∣= ±3i

√3.

[Il determinante è (ω4 − 1)3. . . ]

5.30 Sia A =

2 1 21 1 1α 2 3

. Senza sviluppare il determinante, determinare α in

modo che det A = 0. [α = 3]

5.31 Trovare sotto quali condizioni l’equazione nell’incognita x

det[

a + x bb c + x

]= 0

ammette radici coincidenti. [(a + c)2 − 4ac + 4b2 = 0]

5.2. Matrice inversa 43

5.2 Matrice inversa

5.32 Sia A = A−1. Che valori può assumere il determinante di A?[det A = ±1]

5.33 Mostrare che se A è non singolare, allora anche A−1 è non singolare eche (A−1)−1 = A.

5.34 Sia A =

[1 24 −1

]. Verificare che A−1 =

19

A.

5.35 Sia A =

1 0 12 3 4−1 0 −2

. Verificare che si ha:

A−1 = −13(A2 − 2A− 4I).

5.36 Determinare tutte le matrici X quadrate, non singolari, del second’ordineche soddisfano la relazione X3 = X.

[ Dovendo X essere non singolare si ha X2 = I, da cui X =

[a 1−a2

cc −a

]

oppure X =

[±1 b0 ±1

]]

5.37 Siano date le matrici

A =

[−1 h0 h

]e B =

[1 k0 2

].

Determinare i valori di h e k per cui sussiste la relazione

AB−1 + B = 0

[B2 = −A da cui h = −4, k = − 43 ]

5.38 Sia T una matrice triangolare superiore di ordine n. Verificare che

(I − T)n = I + T + T2 + · · ·+ Tn−1

[Si può procedere per induzione su n. . . ]

5.39 Mostrare che l’inversa di una matrice diagonale D non singolare è a suavolta diagonale. [Se D è non singolare, allora ∀i aii 6= 0. . . ]

5.40 Mostrare che:


i) Una matrice triangolare è non singolare se e solo se tutti i suoielementi principali sono diversi da 0;

ii) l’inversa di una matrice triangolare non singolare è a sua voltatriangolare.

5.41 Mostrare che se A e B sono quadrate non singolari permutabili, alloraanche A−1 e B−1 sono permutabili.

5.42* Nel campo complesso si consideri la matrice

A =

[1 + i 2 + 2i

3 + 3i 7 + 7i

].

Verificare che A−1 =12

[7− 7i −2 + 2i−3 + 3i 1− i

]

5.43* Nel campo complesso mostrare che se A = B + iB con B matrice adelementi reali, allora se esiste B−1 è A−1 = 1

2

(B−1 − iB−1).

5.44* Nel campo complesso sia A = B + iC dove B e C sono matrici realie B 6= ±C è vero che A−1 = 1

2 (B−1 − iC−1)? Giustificare la risposta.[solo nel caso in cui CB−1 = BC−1. . . ]

5.3 Quesiti

Q.5.14 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine. Se esistono A−1 eB−1 allora esiste (A + B)−1. 2 vero 2 falso

Q.5.15 Siano A e B come nel quesito 5.14. Se inoltre è A + B 6= 0 allora esiste(A + B)−1. 2 vero 2 falso

Q.5.16 Se A =

[B 00 C

]dove B e C sono non singolari, allora anche A è non

singolare. 2 vero 2 falso

Q.5.17 Sia A una matrice m× n di rango r. Allora ogni minore di A di tipo(r + 1)× (r + 1) è singolare. 2 vero 2 falso

Q.5.18 Se A è non singolare, allora det A = det A−1. 2 vero 2 falso

Q.5.19 Se A è quadrata con elementi interi allora det A è un numero intero.2 vero 2 falso

Q.5.20 Se Ax = 0, A è quadrata e x è un vetttore colonna tale che x 6= 0, alloraA = 0. 2 vero 2 falso

Q.5.21 Sia A quadrata tale che A2 = I. Allora A = A−1. 2 vero 2 falso

Capitolo 6

Teoria dei sistemi

Questo capitolo è dedicato ai sistemi lineari: si tratta di applicare il Teorema di Rouché-Capelli o quello di Cramer, od i loro corollari applicati ai sistemi omogenei. Spessosi tratterà di discutere un sistema dipendente da uno o più parametri: ciò significastabilire per quali valori dei parametri il sistema è possibile ed in corrispondenza diessi trovare quante soluzioni ci sono.

6.1 Risolvere i sistemi:

x + y + z + t = 0−x− y− 2z + t = 1

x− y− z− t = −1x− y− 2z + t = 0

2x + 2y + 3z = −1

[[x = − 12 ; y = − 3

2 z; t = 12 (1 + z)]]

x + 3y + z + 2w = 13x + 2y + z + w = −1

4x + 3y + 2z− t + 4w = 25x + 4z + 3w = 1

,

[[y = − 97 x− 1; z = − 26

7 x− 2; w = 237 x + 3; t = 41

7 x + 3] ]

2x + y = 13x + 2y + z = 0−x− 3y + z = 4

[[ 32 ;−2;− 1

2 ]]

45

46 Capitolo 6. Teoria dei sistemi

6.2 Dire per quali valori dei parametri è possibile il seguente sistema.

ax + y− z = 0x + ay− z = b

(a + 1)x + 3y− 2z = b

[ [ Se b = 0 ∀a; se b 6= 0 per a 6= 1]

6.3 Dato il sistema

2x + y + hz + 3t = a4x + 2y− 2z + 6t = b−2x + hy + z− 3t = c

determinare i valori di h in corrispondenza dei quali il sistema è risolu-bile per qualsiasi scelta del termine noto. [[h 6= −1] ]

6.4 Risolvere i seguenti sistemi

2x2 − 4x3 + x4 = 1x1 − 3x2 − x3 + x4 = 0

x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = −12x1 − 2x2 − x3 + 2x4 = 0

x + y + z + t = 18x + 4y + 2z + t = 5

27x + 9y + 3z + t = 1464x + 16y + 4z + t = 30

[− 1

18,

118

,−29

, 0

;

13

,16

,12

, 0

]

6.5 Sia

Ax =

[1 23 λ

] [x1x2

]

i) Per quali valori del parametro λ il sistema Ax = 0 ammetteun’unica soluzione? Per quali più di una?

ii) Se b1 =

[13

], per quali valori di λ il sistema Ax = b1 non ammette

soluzioni? Per quali ne ammette una sola? Per quali ne ammettepiù di una?

iii) Se b2 =

[11

], per quali valori di λ il sistema Ax = b2 non ammette


[i) Ax è il sistema

x1 + 2x2 = 0

3x1 + λx2 = 0che è omogeneo, quindi ammette un’u-

nica soluzione (quella banale) se e solo se∣∣∣∣1 23 λ

∣∣∣∣ 6= 0 da cui λ 6= 6;. . . ]

47

6.6 Sia

Ax =

−1 2 1

3 −1 20 1 λ

xyz

.

i) Per quali valori del parametro λ il sistema Ax = 0 ammetteun’unica soluzione? Per quali più di una?

ii) Se b1 =

111

, per quali valori di λ il sistema Ax = b1 non ammette


iii) Se b2 =

110

, per quali valori di λ il sistema Ax = b2 non ammette


[i)per λ 6= 1 solo la soluzione banale. . . ]

6.7 Discutere e risolvere i seguenti sistemi lineari dipendenti da un parame-tro

x− y + 2z = 1kx + y + z = k + 1

x + ky− kz = −2

2x + ky = 2kx + 2y = kkx + kz = k

3x + 2y + hz = 112x− 6y− 3z = 0hx + 4y + 2z = 7

x2 + x3 = λ

2x1 + 3x2 + 7x3 = 5x1 − 3x2 − x3 = −2

x + (k− 1)y + z = 12x + ky + kz = k

kx + 2y + (2k− 2)z = 4− k

[Il primo sistema, di tre equazioni in tre incognite, ammette una ed una

sola soluzione se e solo se det A =

∣∣∣∣∣∣

1 −1 2k 1 11 k −k

∣∣∣∣∣∣6= 0. Si ha det A =

(k + 1)(k− 3) quindi si annulla per k = −1 e k = 3. Dunque ∀k 6= −1, 3

l’unica soluzione è: x =

∣∣∣∣∣∣

1 −1 2k + 1 1 1−2 k −k

∣∣∣∣∣∣(k + 1)(k− 3)

y =

∣∣∣∣∣∣

1 1 2k k + 1 11 −2 −k

∣∣∣∣∣∣(k + 1)(k− 3)

e z =


∣∣∣∣∣∣

1 −1 1k 1 k + 11 k −2

∣∣∣∣∣∣(k + 1)(k− 3)

. Per k = −1 la matrice dei coefficienti

1 −1 2−1 1 1

1 −1 1

ha

rango r(A) = 2 ; la matrice B completata con la colonna dei termini noti

B =

1 −1 2 1−1 1 1 0

1 −1 1 2

ha anch’essa rango r(B) = 2, quindi il sistema è

possibile ed ammette ∞3−2 = ∞1 soluzioni; analogamente per k = 3 si

ha A =

1 −1 23 1 11 3 −3

e quindi r(A) = 2 e B =

1 −1 2 13 1 1 41 3 −3 −2

e

r(B) = 2 da cui ∞1 soluzioni.. . . ]

6.8 Discutere e risolvere i seguenti sistemi dipendenti da più parametri reali

x + 2y + az = 12x + ay + 8z = −14x + 7y + z = b

2x + y = a2x + z = b

4x + y + z = c

3kx + 3y + (k + 2)z = hx + 2y + 2z = k + 1x + ky + kz = 1

kx + y + z = 1x + ky + z = h

x + y + kz = h2

[La matrice dei coefficienti del secondo sistema è A =

2 1 02 0 14 1 1

, pa-

lesemente singolare (la terza riga è la somma delle prime due). Poiché∣∣∣∣2 12 0

∣∣∣∣ 6= 0 si ha r(A) = 2 per qualsiasi valore dei parametri. La matrice

completa B =

2 1 0 a2 0 1 b4 1 1 c

ha rango 2 se e solo se c = a + b quindi in

questo caso il sistema è possibile ed ammette ∞1 soluzioni. ]

6.9 Al variare dei parametri che in essi compaiono, si discuta la risolubilitàdei seguenti sistemi lineari

i)

x− 2hy + z + t = hy− hz = 0

x + 2y + z− ht = 0

[h 6= −1 : ∞1 soluzioni; h = −1 impossibile]

49

ii)

hx− y− 2z = 1hx− (h + 1)y− 3z = 1

hx− y− z = 2h + 1

[h 6= 0 : 1 soluzione; h = 0: impossibile]

iii)

x + y = 2x− y− z = 3 + h

x + 2y + kz = 4

[k 6= 12 : 1 soluzione∀h; k = 1

2 , h = −5 : ∞1 soluzioni; k = 12 , h 6= −5 impossibile]

6.10* Discutere e risolvere al variare dei parametri complessi a e k il seguentesistema nel campo complesso, cioè con x, y, z ∈ C.

x + 2y + kz = 0ky− z = 1kx + z = a

6.11 Determinare il valore del parametro k per cui le matrici

A =

[k− 1 0

2 k + 1

], B =

[1 k− 10 k + 2

], C =

[0 −21 1

]

sono linearmente dipendenti.

[Le matrici sono linearmente dipendenti se xA + yB + zC = 0 per qualcheterna x, y, z con almeno un elemento non nullo. Ma xA + yB + zC =

0 rappresenta un sistema lineare omogeneo di quattro equazioni nelletre incognite x, y e z, dunque le matrici sono dipendenti se e solo se ilsistema ammette soluzioni non banali e questo avviene solo se la matricedei coefficienti ha rango minore di 3. . . k = −1.]

6.12 Sia A =

1 2 31 3 41 2 4

. Mostrare che il sistema Ax = b ha un unica solu-

zione qualunque sia il vettore b. Mostrare poi che Ax = Ay se e solo sex = y.

[r(A) = 3; r([A|b]) non può essere maggiore di 3, perché [A|b] ha solo trerighe, non può essere minore di 3, perché det A è un minore di [A|b] diordine 3 non nullo per ipotesi, dunque il sistema ammette una ed una solasoluzione ∀b. . . ]


Per gli esercizi dal 6.13 al 6.19 occorre discutere e, quando possibile, risolvere isistemi.

6.13

x + ky− z = 0(k + 1)x + (k + 2)y = 0

x + (k + 1)y + kz = 0

[k 6= ±1 solo la soluzione banale; k = ±1 ∞1 soluzioni]

6.14

hx + 2y = 1x + (h + 1)y = 2h

(2h− 1)x + (3− h)y = h + 2

[h = 0 1 soluzione; h 6= 0 impossibile]

6.15

(h− 1)x + 4y = 0x + (h− 1)y = 0

hx + (2− h)z− 4t = 0hy− z + (2− h)t = 0

[h 6= 3, 0,−1, 4 solo soluzione banale; h = 3, 0,−1, 4 ∞1 soluzioni]

6.16

2x + (h− 1)y + z = 3x + 2y = 4− h

x + ((2h + 1)y− z = 4− hx + (1 + h)y− z = 1

[h = 4 una soluzione; h 6= 4 non esistono soluzioni]

6.17

x + y = 12hx− y = −(1 + h)

1(1− 4h)x + 2y = 3 + 2h

[h 6= − 13 impossibile; h = − 1

3 una soluzione]

6.18

(h + 1)x + y + z = 2 + h

(3 + h)x + z = 2h2

(5 + h) + y + (1ih)z = 6− h

[h 6= −4, 1 una soluzione; h = 1 ∞1 soluzioni; h = −4 impossibile]

51

6.19 x + (h2 + 1)y− z = 2− h

2x + (5− h2)y + 2h2z = 2h

[h = 1 ∞2 soluzioni; h 6= 1 impossibile]

6.20 Scrivere un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, dipendenteda un parametro k, in modo che, se k 6= 0, il sistema ammetta la solasoluzione [1, 0, 1] e se k = 0 ammetta infinite soluzioni.

6.21 Dimostrare che un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n inco-gnite con m < n ammette sempre soluzioni non banali.

[ r ≤ min(m, n)⇒ r < n]

6.22 Trovare per quali valori reali di k esiste una matrice X ∈M3,2(R) taleche

2 1 −13 0 11 −1 2

X =

0 12 02 k

.

[Sia X =

x ty uz v

allora si ha

2x + y− z 2t + u− v3x + z 3t + v

x− y + 2z t− u + 2v

=

0 12 02 k

che rappresenta un sistema lineare di 6 equazioni in 6 incognite. . . ]

6.23 Determinare i parametri a, b e c in modo che il sistema

x + y + az = a2x− (1− b)z = 1− b

x− y + cz = 0

ammetta ∞1 soluzioni. [b = 1− a; c = −2a]

6.24 Si consideri il sistema

ax + bz + t = 02x− by + 2z + at = 0bx− by + az− 3t = 0

. Determinare per quali

valori dei parametri a e b il sistema ammette la soluzione

x = −3y = −1z = −1t = −2

; in


questo caso verificare che ci sono altre soluzioni e determinarle.

[a = −2, b = 4;

x = 5β− 2α

y = α

z = β

t = 6β− 4α

.]

6.25 Discutere, al variare del parametro, il sistema

h 0 0h2 − 1 h + 1 21− h2 1 1

xyz

=

h10

[h 6= 0, 1 una soluzione; h = 0 ∞1 soluzioni; h = 1 impossibile]

6.26 Stabilire per quali valori del parametro è possibile il sistema

m 41 m1 2

[

xy

]=

00m

[m = 0,−2]

6.27 Trovare le quaterne (h, x, y, z) per le quali sia verificata la seguenterelazione matriciale:

x y zy z xz x y

11h

= (h + 2)

111

[h 6= 1, 2; (h, 1, 1, 1), (1, α, β, 3− α− β), (−2, γ, γ, γ)]

6.28 Si considerino le matrici

A1 =

xyz

, A2 =

yzx

, A3 =

zxy

e B =

11−2

Determinare le quaterne (h, x, y, z) in modo che sia verificata la relazione

A1 + hA2 + hA3 = B.

[h 6= 1,− 12 ;(

h,− 1h−1 ,− 1

h−1 ,− 2h−1

),(

12 , α, α, α

)]


A =

1 0 00 −h 10 1 10 0 h

, B =

1 1 −h−1 −h 1

h 0 0−1 1 1

e X =

xyz

53

Determinare i valori di h per cui esistono matrici non nulle X tali che siaverificata la relazione

2AX = BX

[h = 1]

6.30 Date le matrici

A =

2 1 −10 h 10 0 h− 1

e X =

xyz

Determinare i valori di h e le terne non nulle (x, y, z) per cui è verificatal’uguaglianza

AX = A−1X.

[h = −1 :

αβ−β

, (α, β) 6= (0, 0); h = 2:

γ00

, γ 6= 0]

6.31 Si consideri il sistema:

λx1 + x2 − x3 + νx4 = −λ

x1 − λx2 + x3 − x4 = µn

x1 − λx2 − µx3 − νx4 = 1

ove λ, µ, ν sono numeri reali e n ∈ N. Dire per quali valori di λ, µ, ν eper quali n il sistema è risolubile e precisando in ognuno dei casi quantesoluzioni ammette.

[ Se A è la matrice completa del sistema, r(A) = 3 per (µ, ν) 6= (−1, 1)qualsiansi siano λ ed n, quindi in questo caso si hanno ∞1 soluzioni. Seµ = −1 e ν = 1 ∀λ si ha r(A) = 3 se n dispari, quindi ancora ∞1 soluzioni,mentre si ha r(A) = 2 se n è pari, quindi ∞2 soluzioni. In conclusione ilsistema è sempre risolubile ed ammette ∞1 soluzioni per qualunque ternaλ, µ, ν ed n dispari, mentre ne ammette ∞2 ∀λ, µ, ν ed n pari. ]

6.32 Discutere e risolvere il sistema

x + 2y− 3z = h2x− y + 4z = −h

3hx + hy + h2z = h

ove h ∈ R è un parametro.

[ Per h 6= 0 e h 6= 1 una soluzione, per h = 0 ∞1 soluzioni, per h = 1nessuna soluzione ]


6.1 Quesiti

Vero o Falso

Q.6.22 Un sistema di n equazioni in n + 1 incognite ammette sempre soluzioni.2 vero 2 falso

Q.6.23 Il sistema Ax = b dove A è una matrice di tipo m, n di rango m, ammettesempre almeno una soluzione. 2 vero 2 falso

Q.6.24 Se Ax = 0, A è una matrice quadrata di ordine n e x 6= 0 allora det A = 02 vero 2 falso

Q.6.25 Per k = 1 il sistema

x + y + z− 3 = 0kx− (k + 2)z + 1 = 0

ky− y + 3x = 0kx + y + z = k

è possibile 2 vero 2 falso

A risposta multipla

Q.6.26 Nel sistema lineare Ax = b il rango della matrice A è uguale al numerodelle righe di A, allora il sistema a ammette al più una soluzioneb ammette almeno una soluzione c non ammette soluzioni d

ammette esattamente una soluzione.

Q.6.27 Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora l’equazione matricialeAx = 0 ammette soluzioni non banali se e solo se a r(A) = n br(A) < n c A 6= 0 d A = 0.

Q.6.28 Sia A una matrice 37× 38 ad elementi reali. Allora Ax = 0 a deveavere una soluzione non nulla b non può avere soluzioni non nullec può o no avere soluzioni non nulle in dipendenza da A d non è

un sistema lineare.

Q.6.29 Sia A una matrice 38× 37 ad elementi reali. Quale delle risposte dell’e-sercizio 6.28 è vera?

Q.6.30 Se il sistema lineare Ax = b di n equazioni in n incognite ammettealmeno due soluzioni, allora a r(A) = n− 1 b r(A) < n cdet A 6= 0 d det A = 0.

6.1. Quesiti 55

Q.6.31 Si consideri il sistema

3x + (2k− 3)y + 3(k− 1)z = 12x + (k− 3)y + 2(k− 1)z = k

3x + (2k− 3)y + (4k− 5)z = 1(6.1)

allora il sistema 6.1 ammette una ed una sola soluzione a per due valoridi k b per nessun valore di k c per infiniti valori di k ma non pertutti d per esattamente un valore di k.

Q.6.32 Nel sistema lineare Ax = b il rango della matrice A è uguale al numerodelle equazioni; allora si può dire che il sistema ammette a al piùuna soluzione b almeno una soluzione c nessuna soluzione desattamente una soluzione.

Q.6.33 Il sistema Ax = b di m equazioni in n incognite ammette ∞1 soluzioni.Allora: a m ≥ n− 1; b r(A) ≤ n− 1; c n = m e det A = 0; dn < m + 1.

Q.6.34 Se il sistema lineare Ax = b di m equazioni in n incognite ammette alpiù una soluzione, allora a r(A) < n; b r(A) = m; c r(A) = n;d r(A) = n− 1.

Q.6.35 Il sistema lineare Ax = b di m equazioni in n incognite ammetta ∞1

soluzioni. Allora: a m ≥ n− 1; b r(A) ≤ n− 1; c n = M edet A = 0; d n < m + 1.

Q.6.36 Sia Ax = 0 un sistema lineare omogeneo di n equazioni in n incognite.Il sistema ammette: a almeno una soluzione se e solo se det A 6= 0;b solo la soluzione banale, se i vettori colonna di A sono linearmente

indipendenti; c infinite soluzioni se e solo se det A = 0; d infinitesoluzioni.

Q.6.37 Sia Ax = b un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Per ognib il sistema ha al più una soluzione se: a i vettori colonna di Asono linearmente dipendenti; b i vettori riga di A sono linearmenteindipendenti; c i vettori colonna di A sono linearmente indipendenti;d i vettori riga di A sono linearmente dipendenti.

Q.6.38 Se la matrice A, di m righe e n colonne, ha rango massimo, le soluzionidel sistema lineare omogeneo Ax = 0 sono: a infinite se m ≤ n;b solo la soluzione banale se m < n; c infinite se m < n; d solo la

soluzione banale se n ≤ m.


Q.6.39 Sia A una matrice di tipo (m, n) tale che il sistema Ax = b abbia almenouna soluzione per ogni vettore b. Allora: a m = n− 1; b m = n;c m ≤ n; d M ≥ n.

Capitolo 7

Applicazioni lineari, prodottiscalari

7.1 Applicazioni lineari e matrice rappresentativa

7.1 Sia f l’applicazione R 7→ R tale che f (x) = ax2 + bx + c. Determinarea, b e c in modo che:

i) f sia iniettiva

ii) f sia suriettiva

7.2 Dimostrare che l’applicazione f : Dn 7→ Rn che associa ad ogni matricediagonale di ordine n il vettore di Rn costituito dalla n–pla ordinatadegli elementi principali è un isomorfismo.

7.3* Sia f : C2 7→ C2 l’applicazione che associa ad ogni coppia di numericomplessi i loro coniugati. Verificare che f è R–lineare, cioè se si con-sidera C2 come spazio vettoriale su R, ma non è C–lineare, cioè non èlineare se si considera C2 come spazio vettoriale su C.

[ Per verificare che f è lineare su R consideriamo due qualsiansi elementi diC2, ad esmpio [z, w] e [z′, w′] ed una coppia (λ, µ) di numeri reali. Avremoallora, utilizzando la notazione algebrica dei numeri complessi,

f (λ[z, w] + µ[z′, w′]) =

= f (λ[x + iy, a + ib] + µ[x′ + iy′, a′ + ib′]) =

= f ([λx + µx′ + i(λy + µy′), λa + µa′ + i(λb + µb′)]) =

= [λx + µx′ − i(λy + µy′), λa + µa′ − i(λb + µb′)] =

= [λ(x− iy) + µ(x′ − iy′), λ(a− ib) + µ(a′ − ib′)] =

= λ[x− iy, a− ib] + µ[x′ − iy′, a′ − ib′] =

= λ[z, w] + µ[z′, w′] =

= λ f ([z, w]) + µ f ([z′, w′]).

57

58 Capitolo 7. Applicazioni lineari, prodotti scalari

Quindi f conservando le combinazioni lineari su R, è lineare.Analogamente si ottiene:

f (i[z, w]) = f (iz, iw] =

= f (i[x + iy), i(a + ib)] == f ([−y + ix,−b + ia]) == [−y− ix,−b− ia].

Mentre invece

i f ([z, w] = i[z, w] = i[x− iy, a− ib] = [y + ix, b + ia].

]

7.4 Di ciascuna delle seguenti applicazioni dire se sono iniettive, suriettive,lineari o no.

i) f : N 7→ Z tale che f (n) = 5n

ii) f : R 7→ R tale che f (x) = x3

iii) f : Z×Z 7→ Z tale che f ([a, b]) = a + b

iv) f : N 7→ Z×Z tale che f (n) = [n2, n + 1]

[ i) iniettiva; ii) non lineare; iii) suriettiva ma non iniettiva; iv) non lineare ]

7.5 Sia V il sottospazio di R3 formato dai vettori che hanno la terza com-ponente nulla, cioè V = [x1, x2, 0]|x1, x2 ∈ R. Siano f1, f2 e f3 treapplicazioni V 7→ V tali che, rispettivamente:

f1([x, y, 0]) = [2x− y, x, 0],

f2([x, y, 0]) = [x2, 2y, 0],f3([x, y, 0]) = [x + 1, y, 0].

Mostrare che, delle tre, solo f1 è lineare.

[Verifichiamo che f1 conserva le combinazioni lineari; siano v = [x, y, 0] ev′ = [x′, y′, 0] due generici elementi di V, si ha:

f1(αv + βv′) = [2(αx + βx′)− (αy + βy′), αx + βx′, 0] =

= [2αx− αy + 2βx′ − βy′, αx + βx′, 0] =

= [2αx− αy, αx, 0] + [2βx′ − βx′, βx′, 0] =

= α[2x− y, x, 0] + β[2x′ − y′, x′, 0] =

= α f1(V) + β f1(v′).

f2 non è nè additiva nè omogenea, infatti, per esempio,

2 f2([1, 0, 0]) = 2[1, 0, 0] = [2, 0, 0]

maf2(2[1, 0, 0]) = f2([2, 0, 0]) = [4, 0, 0].

]

7.1. Applicazioni lineari e matrice rappresentativa 59

7.6 Sia V = Mn lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n.Dimostrare che se A ∈ V allora l’applicazione A 7→ tr(A) è lineare,dove tr(A) indica la traccia della matrice A.

7.7 Dimostrare che se f : V 7→W allora

i) Se dimV > dimW allora f non può essere iniettiva.

ii) Se dimV < dimW allora f non può essere suriettiva.

iii) Se dimV = dimW allora f è iniettiva se e solo se f è suriettiva.

[Ricordare la relazione dimV = dimKer f + dimIm f e che se f è lineareallora essa è iniettiva se e solo se Ker f = 0V]

7.8* Sia f : R3 7→ R3 l’applicazione lineare tale che:

f ([1, 0, 0]) = [3, 2, 1],f ([0, 1, 0]) = [−1, 2,−3],f ([0, 0, 1]) = [2, 4,−2],

e sia gα : R2 7→ R3 l’applicazione lineare tale che:

gα([1, 2]) = [6, 4, 2] e gα([2,−1]) = [α, 0, 4]

Determinare per quali valori del parametro reale α si ha Im( f ) =Im(gα).

[Lo spazio vettoriale Im( f ) è generato dai vettori f (e1) = [3, 2, 1], f (e2) =

[−1, 2,−3] e f (e3) = [2, 4,−2], dove e1, e2 ed e3 sono i vettori della ba-se canonica di R3; se essi fossero indipendenti l’immagine di f avreb-be dimensione 3 e quindi non potrebbe coincidere con l’immagine di gα

perché dimIm(gα) ≤ dimIm(R2) ∀α; ma f (e3) = f (e1) + f (e2) ed essen-do f (e1) e f (e2) linearmente indipendenti, essi costituiscono una baseper l’Im( f ). Anche l’immagine di gα ha dimensione 2, infatti i vetto-ri g1 = [6, 4, 2] e g2 = [α, 0, 4] sono indipendenti per ogni valori di α,quindi per determinare per quali valori di α i due spazi coincidono bastatrovare per quali valori i vettori g1 e g2 sono generati da f (e1) e f (e2):g1 = [6, 4, 2] = 2[3, 2, 1] = 2 f (e1) mentre g2 è combinazione lineare di f (e1)

e f (e2) se e solo se il determinante

∣∣∣∣∣∣

α 0 43 2 1−1 2 −3

∣∣∣∣∣∣è uguale a zero; da cui si

ha α = 4. ]

7.9 Calcolare la dimensione di Im( f ) ∩ Im(gα) al variare di α, dove f e gα

sono le applicazioni definite nell’esercizio 7.8


7.10* Sono date le applicazioni lineari fi : R3 7→ R2 tali che

f1([x1, x2, x3]) = [5x1 + 2x2 + 7x3, x1 + x2 − x3];

f2(([x1, x2, x3]) = [x1 + x2 + x3, x2 − x3];

f3([x1, x2, x3]) = [−x1 − x2 − x3, x3].

i) Trovare la matrice rappresentativa A di ciascuna di esse rispettoalle basi canoniche.

ii) Trovare la matrice rappresentativa A′ di ciascuna di esse rispettoalle basi B = v1 = [1, 1, 0], v2 = [0, 1, 1], v3 = [1, 0, 1] e B′ = f ′1 = [−1, 1], f ′2 = [1, 1] rispettivamente.

[Illustriamo la soluzione per l’applicazione f1 : i) Basta scrivere la matriceche ha per righe i vettori immagine tramite f1 della base canonica: A =

5 12 17 −1

.

ii) I modo. Scriviamo le immagini dei vettori di B come combinazionelineare dei vettori di B’: i coefficienti di tali combinazioni lineari saranno ivettori riga della matrice richiesta:

f1(v1) = [7, 2] = −52

v′1 +92

v′2

f1(v2) = [9, 0] = −92

v′1 +92

v′2

f1(v3) = [12, 2] = −6v′1 + 6v′2.

da cui la matrice A′ =

− 52

92

− 92

92

−6 6

;

II modo. Ricaviamo A′ come prodotto delle tre matrici HAK−1, dove H èla matrice del cambiamento di base in R3 dalla base B a quella canonica, Aè la matrice del punto i) e K è la matrice di passaggio in R2 dalla base B’ aquella canonica ( e quindi la sua inversa è quella che ci serve, cioè quellache trasforma la base canonica in B’). . . ]

7.11 Siano:

f1([x1, x2, x3]) = [x1, x2, 0],

f2([x1, x2, x3]) = [x1 + x2, x1 − x2, 0],

f3([x1, x2, x3]) = [0, 0, x1 + x2 + x3],

e f4([x1, x2, x3]) = [x1 − x2, 0, x3 − x2] quattro applicazioni lineari da R3

a R3.


i) Trovare le matrici rappresentative di queste applicazioni rispettoalla base [1, 0, 1], [1, 1, 0], [0, 1, 1].

ii) Trovare le matrici rappresentative di queste applicazioni rispettoalla base B = [

√2,√

2, 0], [−√

2,√

2, 0], [0, 0, 1]7.12 Sia f ([x1, x2, x3]) = [x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, x1 + x2 + x3] un’applica-

zione lineare f : R3 7→ R4. Trovare la matrice rappresentativa rispettoalle basi:

[1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 1][1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1].

[

2 1 1 21 2 1 21 1 2 2

.]

7.13 Per ciascuna delle seguenti matrici e basi, trovare le applicazioni lineariad esse associate

i) A =

2 2 23 2 11 0 −1

[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1].

ii) B =

[2 1 −11 −1 −2

][1, 1], [−1,−2]

e [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1].

iii) C =

3 −1−3 1

1 0

[1, 1, 1], [1, 1, 0], [0, 1, 1]

e [1, 1], [−1,−2].

[B) H =

[1 1−1 −2

]−1è la matrice di passaggio dalla base canonica alla

base [1, 1], [−1,−2], quindi HB è la matrice di passaggio associata all’ap-plicazione lineare richiesta rispetto alle basi canoniche (la base dello spaiodi arrivo è già quella canonica). Basta quindi moltiplicare il vettore riga

[x, y] per HB: [x, y][

5 1 −4−3 0 3

]= [5x− 3y, x,−4x + 3y].

C) f ([x, y, z]) = [3x− 7y + 8z, 4x− 9y + 10z]. ]

7.14 Sia f : R3 7→ R2 l’applicazione lineare rappresentata, rispetto alle basicanoniche, dalla matrice

1 11 20 1

.

Trovare la matrice che rappresenta la f rispetto alle basi

B1[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] e B2[1, 0], [1, 1].


7.15 Sia f : R2 7→ R2 rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla ma-

trice[

1 33 5

]. Trovare la matrice che rappresenta la f rispetto alla base

B[1, 3], [3, 5].

7.16 Siano dati i vettori di R3

~v1 = [1, 0, 1], ~v2 = [0, 1,−1], ~v3 = [0, 0, 2]

~w1 = [3, 1, 0], ~w2 = [−1, 0, 2], ~w3 = [0, 2, 0].

Dimostrare:

i) che B = ~v1,~v2,~v3 è una base per R3;

ii) che esiste un’unica applicazione lineare f : R3 7→ R3 tale chef (~vi) = ~wi ∀i = 1 . . . 3; [ f ([x, y, z]) = [3x− y, y + z, 2y]]

iii) trovare inoltre la matrice associata a f rispetto a B e rispetto alla

base canonica. [

3 1 0−1 0 20 2 0

]

7.17 Si consideri, per ogni terna λ, µ, ν ∈ R e per ogni intero positivo nl’applicazione lineare Lλ,µ,ν,n : R4 7→ R3 associata, rispetto alle basicanoniche, alla matrice

A =

λ 1 −1 ν1 −λ2n 1 −11 −λ2n −µ −ν

Determinare per quali λ, µ, ν, n il nucleo di Lλ,µ,ν,n ha dimensione 2.

[ Per il teorema della dimensione, si ha:

4 = dimKer(L) + dimIm(L) = dimKer(L) + r(A) (7.1)

dunque dalla (7.1) si ha dimKer(L) = 4− r(A) quindi dev’essere r(A) =

2. . . ]

7.18 Sia A la matrice[

1 22 4

], e sia f : M2(R) 7→M2(R) l’applicazione data

da: f (X) = AX − XA. Calcolare il rango di f e trovare la dimensioneed una base di Ker f , Im f .

[Se X =

[a bc d

]allora f (X) =

[2c− 2b −2a− 3b + 2d

2a + 3c− 2d 2b− 2c

]; il Ker f è

l’insieme delle matrici X tali che f (X) sia la matrice nulla, per cui, ugua-gliando a zero componente pr componente, si hanno le matrici del tipo


d− 32

b b

b d

: Ker f ha dimensione 2 ed una sua base è la coppia di matrici

[−3 22 0

]e[

1 00 1

]; dimIm f = dimM2,2(R)− dimKer f = 4− 2 = 2 ed una

sua base è la coppia[

0 −22 0

]e[

2 03 −2

].Per quanto riguarda il rango r di

f , cioè il rango della matrice associata ad f rispetto ad una qualunque base,si può dimostrare che esso coincide con la dimensione dell’immagine di f ,quindi nel nostro caso r = 2. ]

7.19 Sia A la matrice[

1 11 0

], e sia f : M2(R) 7→M2(R) l’applicazione data

da: f (X) = AX− XA. Dimostrare che f è lineare, trovare Ker f , Im f emostrare che M2(R) = Ker f ⊕ Im f .

7.20 Mostrare che z 7→ αz è una trasformazione lineare di C in sè. Se z = x +iy, qual è la matrice rappresentativa di questa trasformazione rispettoalla base 1, i?

7.21 Trovare se esistono le applicazioni lineari specificate in ciascuno deiseguenti casi: se esistono fornire almeno un esempio, in caso contrariogiustificare la risposta.

i) f1 : R4 7→ R3 tale che f1 sia suriettiva e che il nucleo di f1 siagenerato dal vettore [1, 0, 1, 0].

ii) f2 : R2 7→ R2 tale che l’immagine di f2 sia generata dal vettore[1, 1].

iii) f3 : R3 7→ R3 tale che f3 sia iniettiva e che l’immagine di f3 siagenerata dai vettori [1, 1, 1] e [−1, 2, 0].

7.22* Esiste un’isomorfismo (cioè un’applicazione lineare biunivoca) tra lospazio M3,4 delle matrici di tipo 3× 4 e quello M6,2 delle matrici 6× 2?Se esiste trovare un esempio, se non esiste giustificare la risposta1.

7.23 Sia faP2(t) 7→ R3 tale che ∀p ∈P2(t) si ha

fa(p) = [p(0), p(a), p(1)].

Trovare per quali valori di a l’applicazione fa è un isomorfismo.

7.24 Sia V come nell’esercizio 4.14 a pagina 27. Dimostrare che V è isomorfoa W, spazio vettoriale delle funzioni definite su [a, b] rispetto alle usualidefinizioni di somma di funzioni e di prodotto di una funzione per unoscalare.

1Più in generale si può dimostrare che spazi vettoriali definiti su uno stesso campo efinitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.


7.2 Prodotti scalari

7.25 In R3, quali dei seguenti non sono prodotti scalari?

i) 〈x, y〉 = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3;

ii) 〈x, y〉 = x1y1 + 2x2y2 − 3x3y3;

iii) 〈x, y〉 = x1y2 + x2y3 + x3y1.

[Il secondo, perché 〈x, x〉 può essere negativo, ad esempio per x = [0, 0, 1];il terzo, in quanto per alcuni vettori si può avere 〈x, x〉 = 0 con x 6= 0, adesempio ancora con x = [0, 0, 1]. ]

7.26 Delle seguenti applicazioni 〈·, ·〉 : R3×R3 7→ R dire quali sono prodottiscalari in V = R3

i) 〈v, w〉 = v21 + w2

2 + v3w3;

ii) 〈v, w〉 = v1w1 − v1w2 − v2w1 + 3v2w2 + πv3w3;

iii) 〈v, w〉 = v1w2 + v2w1 + v3w2 + v3w1 + v1w3;

iv) 〈v, w〉 = 3v1w1 − v1w2 + v3w3;

v) 〈v, w〉 = −v1w1 + v1w2 + v2w1 − v2w2 − v3w3;

vi) 〈v, w〉 = v1w1 − v2w2;

vii) 〈v, w〉 = 400v1w1 + 3√

πv1w3 + 3√

πv3w1 + 227v3w3.

[ Solo ii); ad esempio i) non lo è perché non è bilineare. . . ]

7.27 Mostrare che (~x +~y)T(~x +~y) = ~xT~x +~yT~y se e solo se ~xT~y = 0.

7.28* Una matrice simmetrica reale A si dice definita positiva se e solo sexT Ax > 0 ∀x ∈ Rn, si dice semidefinita positiva se e solo se xT Ax ≥0 ∀x ∈ Rn. In modo analogo si definiscono le matrici definite e semi-definite negative. Quali delle seguenti matrici appartengono ad una diqueste categorie?

A =

[3 00 0

]B =

[1 33 2

]C =

[1 22 4

]D =

[−1 11 −1

].

[ A e C sono semidefinite positive, D è semidefinita negativa]

7.29 Tenendo conto della definizione data nell’esercizio precedente, mostrareche se A è una qualunque matrice reale, AT A e AAT sono semidefinitepositive; e che AAT è definita positiva se e solo se è non singolare.

7.30 Dire per quali valori del parametro λ è definita positiva la matrice[1 11 λ

]. [ [x, y]A

[xy

]= x2 + 2xy + λy2 da cui λ > 1]

7.2. Prodotti scalari 65

7.31* Sia V = P3(t) lo spazio vettoriale dei polinomi ad una indeterminataa coefficienti reali e di grado non maggiore di 3. Sia B = 1, t, t2 una

base di V. Poniamo 〈p, q〉 =∫ 1

0p(t)q(t)dt. Mostrare che

i) 〈p, q〉 così definito è un prodotto scalare;

ii) la matrice che rappresenta questo prodotto scalare rispetto alla baseB è

M =

1 12

13

12

13

14

13

14

15

;

iii) verificare che M è definita positiva.

7.32* Quali dei seguenti sono prodotti scalari in V = C2?

i) 〈~x,~y〉 = ~x ·[

1 i−i 2

]·~y;

ii) 〈~x,~y〉 = ~x ·[

1 11 1

]·~y;

iii) 〈~x,~y〉 = ~x ·[

1 ii 2

]·~y;

iv) 〈~x,~y〉 = ~x ·[

0 11 0

]·~y;

v) 〈~x,~y〉 = ~x ·[ −1 1− i

1 + i −1

]·~y;

vi) 〈~x,~y〉 = ~x ·[ −1 1 + i

1 + i −1

]·~y.

7.33* Sia H(t) l’insieme dei polinomi a coefficienti complessi definiti sull’in-tervallo [a, b] dell’asse reale.

Mostrare che 〈 f , g〉 =∫ b

af (t)g(t)dt definisce un prodotto scalare in

H(t).

7.34* Sia S ∈Mn(R) simmetrica e siano

〈·, ·〉 : Rn ×Rn 7→ R

e〈〈·, ·〉〉 : Mn(R)×Mn(R) : 7→ R

rispettivamente definite da:

〈x, y〉 = ytSx


e〈〈A, B〉〉 = tr(BTSA)

per ogni x, y ∈ Rn e per ogni A, B ∈ Mn(R). Dimostrare che sonoentrambi prodotti scalari e che 〈·, ·〉 è definito positivo se e solo se lo è〈〈·, ·〉〉.

7.35 Sia V uno spazio vettoriale con norma ‖·‖. Verificare che

‖v + w‖2 + ‖v− w‖2 = 2(‖v‖2 + ‖w‖2).

7.3 Basi ortonormali

7.36* Ortonormalizzare i seguenti insiemi di vettori:

i) [1, 1, 1], [1, 2, 3], [0, 0, 1].

ii)[

i√3

,i√3

,i√3

], [0, i, 0], [0, 0,−i]

.

iii) [1, 0, 0, 0], [2, 1, 1,−1], [0, 1, 1, 2], [1, 1,−1, 0].

[Dobbiamo ottenere, a partire dai vettori dati ~e1, ~e2 ed ~e3, tre vettori ~v1,~v2 e ~v3 tali che 〈~v1,~v2〉 = 0,〈~v1,~v3〉 = 0 e 〈~v3,~v2〉 = 0. Sia ~v1 = ~e1 =

[1, 1, 1]; poniamo ~v2 = ~e2 + α~v1 Poiché ~v1 e ~v2 devono essere ortogonali,

cioè 〈(~e2 + αv1),~v1〉 = 0 si ricava che α = − 〈~v1,~e2〉〈~v1,~v1〉

, dunque α = −2 e

dunque ~v2 = [−1, 0, 1]. Analogamente sia ~v3 = ~e3 + β~v1 + γ~v2; imponendo

l’ortogonalità di~v3 sia a~v1 che a~v2 si ottiene β = −13

e γ = −12

da cui~v3 =[

16

,−13

,16

]. Naturalmente occorre ora normalizzare i tre vettori ottenuti

con questo procedimento2ottenendo infine ~u1 = ~v1√3=[

1√3

, 1√3

, 1√3

], ~u2 =

~v2√2=[− 1√

2, 0, 1√

2

]e ~u3 = ~v3√

16

=[√

66 ,−

√6

3 ,√

66

]... ]

7.37 Mostrare che se X = ~x1, . . . ,~xr è una famiglia di vettori a due a dueortogonali nello spazio vettoriale V di dimensione n, X può esserecompletato ad una base. [ Se sono ortogonali sono indipendenti, quindi. . . ]

7.38 Come l’esercizio precedente ma essendo X un insieme di vettori orto-normali.

7.39 In V = Rn mostrare che, se ~v1, . . . ,~vn è una base ortogonale, allora~v1

‖~v1‖, . . . ,

~vn

‖~vn‖

è una base ortonormale. [ Sono tutti a norma 1.]

2che prende il nome di procedimento di Grahm–Schmidt.

7.3. Basi ortonormali 67

7.40 Si determini una base di R3 ortonormale rispetto al prodotto scalarestandard, che sia costituita da autovettori della matrice

0 2 22 0 22 2 0

.

[~u1 = 1√3

111

,~u2 = 1√

2

10−1

,~u3 = 1√

6

1−2−1

.]

7.41 Trovare una base ortonormale, rispetto al prodotto scalare standard, delsottospazio V di R4, generato dai vettori

~v1 = [1,−1, 1,−1], ~v2 = [5, 1, 1, 1] e ~v3 = [−3,−3, 1,−3].

7.42* Nello spazio vettoriale V = P3(τ) dei polinomi di grado non maggioredi 3 nella variabile τ definiamo il prodotto scalare

〈p(τ), q(τ)〉 =∫ 1

0p(τ)q(τ)dτ.

Ortonormalizzare i vettori 1, τ, τ2 rispetto a questo prodotto scalare.

7.43 Trovare una base ortonormale rispetto a ciascuno dei prodotti scalaritrovati nell’esercizio 7.26 a pagina 64

7.44* In V = P1(t) si consideri la trasformazione lineare f : V 7→ V tale chef (αt + β) = 2αt + 3β. Trovare una base ortogonale di V rispetto allaquale la matrice rappresentativa di f sia triangolare superiore.

7.45* In R3 sia definito un prodotto scalare 〈, 〉 rispetto al quale i vettori~v1 = [1, 0, 0], ~v2 = [0, 2, 0] e ~v3 = [0, 0, 3] formano una base ortonormale.Dati ~w1 = [2, 2, 0] e ~w2 = [0, 4, 9] calcolare 〈 ~w1, ~w2〉.

[ Essendo ~w1 = 2~v1 + ~v2 e ~w2 = 2~v2 + 3~v3, si ottiene, in forza dellabilinearità del prodotto scalare e dell’ortonormalità della base,

〈 ~w1, ~w2〉 = 〈2~v1 + ~v2, 2~v2 + 3~v3〉 == 〈2~v1, 2~v2〉+ 〈2~v1, 3~v3〉+ 〈~v2,~v2〉+ 〈~v2, 3~v3〉 == 4 〈~v1,~v2〉+ 6 〈~v1,~v3〉+ 2 〈~v2,~v2〉+ 3 〈~v2,~v3〉 =

= 4× 0 + 6× 0 + 2× 1 + 3× 0 = 2

]


7.4 Quesiti

Vero o Falso

Q.7.40 Se f è un’applicazione di uno spazio vettoriale V in se stesso tale chef (x + y) = f (x) + f (y) allora, per ogni scalare α ∈ R ed ogni vettorex ∈ V accade che f (αx) = α f (x). 2 vero 2 falso

Q.7.41 Esiste una trasformazione lineare di V in V tale che se A e B sono duematrici ad essa associate (rispetto ad opportune basi) si ha det A 6= det B.

2 vero 2 falso

Q.7.42 Un’applicazione lineare R3 7→ R2 è sempre suriettiva.2 vero 2 falso

Q.7.43 Nello spazio vettoriale Mn delle matrici quadrate di ordine n la corri-spondenza f definita da f (A) = h(A + AT), con A ∈ Mn ed h ∈ R èun’applicazione lineare. 2 vero 2 falso

Q.7.44 Sia f : V 7→W un’applicazione lineare, allora dimKer f = dimV− dimW.2 vero 2 falso

Q.7.45 Nello spazio vettoriale Mn delle matrici quadrate reali di ordine n, lacorrispondenza f (A) = h(A + AT) dove A ∈Mn e h ∈ R, è un’applica-zione lineare. 2 vero 2 falso

Q.7.46 〈x, y〉 = xT

[1 11 1

]y è un prodotto scalare. 2 vero 2 falso

Q.7.47 Se ‖x‖ =√〈xT, x〉 allora ‖x + y‖ < ‖x‖+ ‖y‖. 2 vero 2 falso

Q.7.48 La matrice A =

[1 22 4

]è semidefinita positiva. 2 vero 2 falso

Q.7.49 Ogni insieme di vettori ortogonali è indipendente.2 vero 2 falso

Q.7.50 Ogni insieme di vettori ortonormali è indipendente.2 vero 2 falso

Q.7.51 Sia f : V 7→ V un’applicazione lineare. Se v1, v2, . . . , vn sono linearmenteindipendenti, allora lo sono anche f (v1), f (v2), . . . , f (vn).

2 vero 2 falso

A risposta multipla

Q.7.52 Si consideri l’applicazione f : M2(R) 7→ M2(R) tale che f (A) =[1 02 0

]A; il nucleo dell’endomorfismo3 f ha dimensione a 0 b

3Un endomorfismo è un’applicazione lineare per cui dominio e codominio coincidono.

7.4. Quesiti 69

1 c 2 d 3.

Q.7.53 Sia L l’applicazione lineare a cui è associata, rispetto a certe basi, la

matrice

1 hh 00 h

. Allora a dimKerL = dimImL ∀h; b dimKerL =

dimImL per un solo valore di h; c dimKerL + dimImL = 3 per ognivalore di h; d dimKerL + dimImL = 3 per infiniti valori di h ma nonper tutti.

Q.7.54 L’applicazione lineare F : R3 7→ R3 definita da

f ([x, y, z]) = [hx, x− hy, y + hz]

è a iniettiva per infiniti ma non tutti i valori di h; b suriettiva perinfiniti ma non tutti i valori di h; c iniettiva per ogni h; d suriettivaper ogni h.

Q.7.55 La matrice H =

[2 −ii 1

]è: a definita positiva; b definita ne-

gativa; c semidefinita positiva ma non definita; d nessuna dellerisposte precedenti.

Q.7.56 Definiamo il prodotto 〈x, y〉 = x∗Hy (dove x∗ indica il coniugato traspo-sto del vettore x ∈ C2). Quale delle seguenti matrici, sostituita ad H,

fornisce un prodotto scalare? a[

1 i−i 2

]; b

[1 11 1

]; c

[1 ii 2

];

d[

0 11 0

].

Q.7.57 Quale dei seguenti insiemi di vettori è ortogonale?

a [i, i], [−i,−i]; b [1, 1], [−1, 0];c [i, i], [−i, i]; d [1, 0], [1, 0].

Q.7.58 Se i vettori della famiglia [1, 1], [1,−1] vengono ortonormalizzati, siottengono i vettori:

a [√

2,√

2], [√

2,−√

2]; b [1, 0], [0, 1];c [1, 1], [1,−1]; d

[√2

2 ,√

22

],[√

22 ,−

√2

2

].

Capitolo 8

Autovalori ed autovettori

La ricerca degli autovalori di una matrice quadrata deve ovviamente ritenersi ambien-tata, salvo esplicito avviso contrario, nel campo complesso C.

8.1* Si consideri la matrice

A =

h 1 01− h 0 2

1 1 h

Determinare h in modo che essa ammetta un autovalore uguale a 1: incorrispondenza di tale valore del parametro, trovare gli altri autovalori.

[ Il polinomio caratteristico di A è:

ϕ(λ) =

∣∣∣∣∣∣

λ− h −1 0h− 1 λ −2−1 −1 λ− h

∣∣∣∣∣∣= λ3 − 2hλ2 + (h2 + h− 3)λ− h2 + 3h− 2;

dovrà essere ϕ(1) = 0 quindi 1− 2h + h2 + h− 3− h2 + 3h− 2 = 0, da cuih = 2; sarà allora ϕA(λ) = λ3 − 4λ2 + 3λ = λ(λ2 − 4λ + 3) che si annulla,oltre che per λ1 = 1, anche per λ2 = 0 e λ3 = 3. ]

8.2 Sia A una qualsiasi matrice quadrata. Dimostrare che A e AT hanno glistessi autovalori ma non necessariamente gli stessi autovettori.

[A ed AT hanno lo stesso polinomio caratteristico, infatti det(λI − A) =

det(λI − A)T = det(λIT − AT) = det(λI − AT)]

71

72 Capitolo 8. Autovalori ed autovettori

8.3 Trovare autovalori ed autovettori delle seguenti matrici:

A =

[2 77 24

]; B =

1 1 10 1 01 1 1

; C =

0 −2 12 −5 2−1 2 −2

;

D =

1 −2 −40 0 −20 1 3

; E =

−11 −24 −18

8 17 12−2 −4 −2

; F =

1 0 00 1 10 0 1

;

G =

1 0 0 10 4 −2 00 3 −1 00 0 0 1

; H =

4 0 −2 00 2 0 53 0 −1 00 −1 0 −2

; K =

2 1 10 2 10 0 2

.

[Per la matrice B: la matrice λI − B è

λ− 1 −1 −10 λ− 1 0−1 −1 λ− 1

quindi il suo

polinomio caratteristico è ϕ(λ) = det(λI − B) = (λ− 1)∣∣∣∣λ− 1 −1−1 λ− 1

∣∣∣∣ =

(λ− 1)(λ2− 2λ) = λ(λ− 1)(λ− 2) dunque gli autovalori sono 0, 1 e 2. Tro-

viamo gli autovettori associati ad essi: per λ = 0 si ha

1 1 10 1 01 1 1

xyz

= 0

da cui il sistema omogeneo

x + y + z = 0

y = 0

x + y + z = 0

che ammette come autoso-

luzione x = k, y = 0, z = −k e quindi

k0−k

; per λ = 1

0 −1 −10 0 0−1 −1 0

xyz

=

0 e quindi il sistema

−y− z = 0

−x− y = 0da cui l’autovettore

k−k

k

; infine per

λ = 2 si ha

1 −1 −10 1 0−1 −1 1

xyz

= 0 cioè

x− y− z = 0

y = 0

−x− y + z = 0

e quindi

k0k

. . .

Per la matrice C si vede che gli autovalori sono: −5,−1,−1: per λ = −5

si ha (5I − C)x = 0 da cuix = −k, y = −2k, z = k e quindi

−1−2

1

è

l’autovettore associato. Per quanto riguarda l’autovalore λ = −1 si hal’unica equazione x− 2y + z = 0 da cui x = 2h− k, y = h, z = k e quindi si

ottengono i due autovettori indipendenti

210

−1

01

. Per quanto riguarda

73

le altre matrici le soluzioni sono:

A13±√

170√

170− 1171

−√

170− 1171

; D1, 1, 2

100

0−2

1

−2−1

1

;

E1, 1, 2−2

10

−3

201

6−4

1

; F1, 1, 1

100

010

;

G1, 1, 1, 2

1000

02310

0110

; H1, 2, i,−i

23010

1010

0−i− 2

01

0i− 2

01

;

K2, 2, 2

100

.

]

8.4 Per ciascuna delle seguenti matrici trovare gli autovalori, gli autovettoriassociati, ed una base per gli autospazi associati.

A =

1 1 00 1 00 0 2

; B =

1 0 00 1 00 0 2

;

C =

0 2 −10 2 −10 1 0

; D =

−1 3 0

3 −1 0−2 −2 6

;

E =

6 −4 −16 −4 −10 0 1

;

[Matrice A autovalori 1, 1, 2 per λ = 1

−y = 0

−z = 0da cui

k00

, per λ = 2

x− y = 0

y = 0da cui

00h

quindi si hanno due autovettori indipendenti

[1, 0, 0] e [0, 0, 1] e l’autospazio ha dimensione 2; matrice B autovalori

1, 1, 2 per λ = 1 si ha il sistema

x = ky = hz = 0

e quindi due autovettori in-

dipendenti: [1, 0, 0] e [0, 1, 0]; per λ = 2 si ha

x = 0

y = 0

z = le quindi l’autovettore

[0, 0, 1] dunque l’autospazio ha dimensione 3. . . ]


8.5 Sia

A =

1 1 21 2 12 1 1

.

Mostrare che 4 è un autovalore di A, trovare gli altri autovalori e gliautovettori associati.

[Il polinomio caratteristico è λ3 − 4λ2 − λ + 4, autovalori 1,−1, 4, auto-

vettori rispettivamente

1−2

1

−1

01

111

.]

8.6 Sia A quadrata di ordine 2, simile ad A3. Calcolare det A sapendo chegli autovalori di A sono entrambi negativi.

[ Da A = P−1 A3P si ha det A = det(A3) quindi det A = 0,±1; siccomeentrambi gli autovalori sono negativi, det A > 0 dunque. . . ]

8.7 Mostrare che (λ− 2)2 è un divisore del polinomio caratteristico dellamatrice

A =

−8 −10 7 −90 2 0 0−9 −9 8 −9

1 1 −1 2

.

Trovare gli autovalori e gli autovettori associati di A.

[Il polinomio caratteristico è λ4− 4λ3 + 3λ2 + 4λ− 4 = (λ + 1)(λ− 1)(λ−

2)2 autovalori −1, 1, 2, 2 autovettori

1010

−1001

−1100

−30−3

1

]

8.8* Se ATx = λx allora xT A = λxT; xT è chiamato autovettore riga di Aassociato a λ.

i) Trovare gli autovalori e gli autovettori riga e colonna della matrice

A =

[i 1 + i0 1− 1

].

ii) Se A è quadrata di ordine n, x è un autovettore colonna associatoa λ e yT è un autovettore riga associato a µ 6= λ, mostrare che1

yTx = 0.1Questa relazione equivale a dire, come abbiamo visto, che x e y sono ortogonali.

75

8.9 Dare un esempio di una matrice 2× 2 ad elementi reali, i cui autovalori

non siano reali. [[

0 −34 2

].]

8.10 Gli elementi di una matrice quadrata A di ordine 2 sono interi naturali.Determinare A sapendo che det A = 3 e tr(A) = 5.

8.11 Sia A =

1 + i 2 1− i3− i −1 + i i

4 7 + i 2− 5i

. Calcolare λ1 + λ2 + λ3, λ1λ2 + λ1λ3 +

λ2λ3 e λ1λ2λ3 senza calcolare il polinomio caratteristico di A. Trovarepoi i tre autovalori e confrontare i risultati.

[Tenere conto delle relazioni tra gli autovalori di A, i coefficienti del polino-mio caratteristico ed i minori principali di A. . . ]

8.12 Mostrare che se A è una matrice quadrata reale di ordine n con n dispari,allora A ha almeno un autovalore reale.

[Ricordare il Teorema Fondamentale dell’Algebra e le sue conseguenze. . . ]

8.13 Come conseguenza di quanto mostrato nell’esercizio 8.12 fornire unesempio di una matrice quadrata reale di ordine 3 che abbia un solo

autovalore reale. [ Ad esempio la matrice

1 0 02 0 −33 4 2

]

8.14 Sia A ∈Mn(R) e sia ϕA(λ) il suo polinomio caratteristico. Mostrare chese A è emisimmetrica allora

ϕA(λ) = (−1)n ϕA(−λ)

e dedurre da ciò il noto risultato che se n è dispari, A è singolare.

[Basta ricordare che A è emisimmetrica se A = −AT quindi λI − A =

λI + AT e che det(−A) = (−1)n det A. . . ]

8.15 Sia f : P3(x) 7→P3(x) tale che f (p) = xp′(x) dove p′(x) è la derivatadi p(x). Trovare autovalori ed autovettori della matrice associata ad frispetto alla base canonica 1, x, x2, x3

8.16 Per quali valori del parametro h la matrice

A =

−1 2 −h−1 2 −1

0 0 1− h


ammette l’autovettore

211

?

[Dalla definizione si ha, nel caso in esame,

−2 + 2 · 1− h · 1 = 2λ

−2 + 2 · 1− 1 = λ

(1− h) · 1 = λ

. . . h = 2]

8.17* Si considerino la matrice A =

a 4 0b 0 b0 4 c

ed il polinomio

ϕ(λ) = λ3 − 3λ2 + 2λ + h. (8.1)

Determinare a, b, c ed h in modo che A abbia rango < 3 ed ammetta la(8.1) come polinomio caratteristico.

[Siccome A è singolare ed il determinante di una matrice coincide con iltermine noto del suo polinomio caratteristico, si ha det A = −4b(a + c) =h = 0 ne segue che h = 0 oppure a + c = 0. Ricordando le relazioni tra glielementi di A ed i coefficienti del polinomio caratteristico, si ha tr(A) =

a + c = −(−3) = 3 e∣∣∣∣a 00 c

∣∣∣∣ +∣∣∣∣a 4b 0

∣∣∣∣ +∣∣∣∣0 b4 c

∣∣∣∣ = 2. . .

a + c = 3

b = 0

ac = 2

⇒

[a, b, c] = [1, 0, 2] ∨ [2, 0, 1].]


1 0 10 0 21 0 k

. Determinare per quali valori

reali di k A ammette un autovalore λ = 0 di molteplicità algebrica 2.In corrispondenza di questi valori determinare l’altro autovalore e gliautovettori di A.

[Il polinomio caratteristico è λ[λ2 − (1 + k)λ + k− 1

]che ammette la radi-

ce λ = 0 doppia se k = 1. . . ]

8.19 Determinare per quali valori del parametro k la matrice

0 k 12k− 1 k− 1 k

1 3k− 2 0

ammette come autovettore il vettore #»x =

11−2

[k = 1]

77

8.20 Sia A quadrata di ordine 2. Determinarne gli autovalori sapendo che èdet(I − A) = 4 e det(4I − A) = 1.

[ Il polinomio caratteristico è ϕ(λ) = det(λI − A) = λ2 + aλ + b; lerelazioni date ci dicono che ϕ(1) = 4 e ϕ(4) = 1 di conseguenza. . . ]

8.21 Data la matrice

A =

0 1 ab c de f g

Determinare A in modo che sia emisimmetrica ed ammetta l’equazionecaratteristica

λ3 + 2aλ + d = 0

[c = g = 0, b=-1; d = f = 0, a = −e = 1]

8.22 Si considerino la matrice A =

a 4 0b 0 b0 4 c

e l’equazione λ3 − 3λ2 + 2λ +

h = 0. Determinare i valori di a, b, c ed h in modo che A abbia rangominore di 3 ed ammetta la precedente come equazione caratteristica.

[|A| = 0⇒ h = 0; λ = 0, 1, 2⇒ a = 1, b = 0, c = 2; a = 2, b = 0, c = 1.]

8.23 Sia A una matrice quadrata di ordine 2 non nulla e singolare tale cheA2 + A = 0; determinare gli autovalori di A.

[ |A| = |I + A| = 0 : λ = 0, 1]

8.24 Verificare che non esistono matrici non nulle che siano contemporanea-mente idempotenti ed emisimmetriche.

[ Se A è idempotente allora A2 − A = 0 quindi gli autovalori di A posssonoessere solo 0 o 1. Poiché la traccia di una matrice emisimmetrica è nullane segue che gli autovalori devono essere tutti nulli, ma da A(A− I) = 0segue che o A = 0 oppure gli autovalori non sono uguali. ]

8.25 Si consideri la matrice B =

[2 1h h

]; determinare, al variare di h le matrici

A che hanno gli autovalori non nulli e soddisfano la relazione A = A2B.

[Dev’essere det A 6= 0 quindi h 6= 0: A = B−1 =

[1 − 1

h

−1 2h

]]


8.26 Trovare tutte le matrici quadrate del terz’ordine emisimmetriche che

ammettono l’autovettore

−3

01

associato all’autovalore 0.

[α

0 1 0−1 0 −3

0 3 0

(con α 6= 0)]

8.27 Determinare gli autovettori della matrice[

2 k− 1k 1

]al variare del para-

metro k. [λ = k + 1, 2− k; per k = 0 :[

αα

] [β0

]per k 6= 0 :

[ 1−kk ββ

]con α, β 6= 0]

8.28 Determinare gli autovettori della matrice

1 −1 10 2 1−2 0 0

[autovalori 1, 1±√

3,

t2t−2t

,

1+√

32 h1

1−√

3h

−h

,

1−√

32 k1√3−3

kk

]

8.29* Trovare tutte le matrici quadrate singolari che ammettono l’autovettore[11

].

[ Se indichiamo con A =

[a bc d

]la matrice e con λ l’autovalore a cui

l’autovettore è associato, la relazione

(λI − A)

[11

]= 0

ci dice che deve esistere un valore di λ per cui è risolubile il sistema

λ− a− b = 0

−c + λ− d = 0,

cioè dev’essere a + b = c + d. Ma poiché la matrice cercata dev’essere

anche singolare, si ha inoltre ad = bc. Da qui otteniamo le matrici[

a ba b

]e

[−b bc −c

]. ]

8.30 Determinare gli autovettori della matrice A =

[2 k− 1k 1

]al variare del

parametro k ∈ R.

[λ = k + 1, 2− k; k = 0 :[

αα

] [β0

]; k 6= 0 :

[ 1−kk ββ

]con (α, β 6= 0)]

8.1. Quesiti 79

8.31 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine, ciascuna dellequali ammette l’autovettore x associato all’autovalore λ. Mostrare chela matrice A + B ammette l’autovalore 2λ.

[Ax = λx, Bx = λx =⇒ (A + B)x . . . ]

8.32* Determinare tre autovettori linearmente indipendenti della matrice

A =

1 1 11 1 11 1 1

.

[ Il polinomio caratteristico di A è ϕ(λ) = −λ2(λ− 3) e quindi gli autova-lori sono λ1 = λ2 = 0 e λ3 = 3. Per λ = 0 otteniamo gli autovettori dal

sistema

−x− y− z = 0

−x− y− z = 0

−x− y− z = 0

che ammette l’autosoluzione

x = α

y = β

z = −α− β

con

α2 + β2 6= 0. Da qui si ricava, ponendo rispettivamente α = 1, β = 0e α = 0 β = 1, che due autovettori indipendenti sono, per esempio,

10−1

e

01−1

: In corrispondenza dell’autovalore λ3 = 3 si ha il siste-

ma

2x− y− z = 0

−x + 2y− z = 0

−x− y− 2z = 0

che ammette l’autosoluzione

x = γ

y = γ

z = γ

e quindi un

autovettore, indipendente dai precedenti, può essere, per esempio

111

. ]

8.1 Quesiti

Vero o Falso

Q.8.59 Esiste una matrice che ammette come autovalori −1, 1, 0 e come autovet-

tori rispettivamente associati

−3

06

,

011

e

20−4

2 vero 2 falso

Q.8.60 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine, ciascuna delle qualiammette l’autovettore x associato all’autovalore λ. Allora la matriceA + B ammette l’autovalore 2λ 2 vero 2 falso

Q.8.61 Esistono matrici ad elementi reali che ammettono come polinomio carat-teristico il polinomio ϕ(λ) = λ3 − λ 2 vero 2 falso

Q.8.62 Sia A una matrice invertibile, allora A e A−1 hanno gli stessi autovettori.2 vero 2 falso


Q.8.63 Se x è autovettore di A associato a λ e y è autovettore di A associato a µallora x + y è autovettore di A associato a λ + µ. 2 vero 2 falso

Q.8.64 Ogni matrice quadrata è individuata dai suoi autovalori e dai corrispon-denti autovettori. 2 vero 2 falso

Q.8.65 Siano A e B due matrici quadrate non singolari dello stesso ordine taliche AB = 2A + B. Allora B non puøammettere l’autovalore λ = 2 ed Anon può ammettere l’autovalore λ = 1. 2 vero 2 falso

Q.8.66 Sia A quadrata singolare di ordine 2 con traccia non nulla. Allora Aammette due autovettori indipendenti. 2 vero 2 falso

Q.8.67 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine, ciascuna dellequali ammette l’autovettore x0 associato all’autovalore λo. Allora lamatrice A + B ammette l’autovalore 2λ0. 2 vero 2 falso

Q.8.68 Se A è invertibile, allora A non ammette alcun autovalore nullo.2 vero 2 falso

Q.8.69 Se il polinomio caratteristico di A ha termine noto nullo, allora A èinvertibile 2 vero 2 falso

Q.8.70 Se λ è un autovalore di A, allora la molteplicità algebrica di λ è ugualealla sua molteplicità geometrica. 2 vero 2 falso

Q.8.71 Il vettore colonna v =

−1

01

è un autovettore della matrice

A =

1 −1 0−1 2 −1

0 −1 1

?

2 vero 2 falso

Q.8.72 Siano x1, x2, . . . , xp autovettori di una matrice A associati, rispettivamen-te, agli autovalori distinti λ1, λ2, . . . , λp allora l’insieme

x1, x2, . . . , xp

è un insieme indipendente. 2 vero 2 falso

Q.8.73 Se A è quadrata di ordine 2, allora il polinomio caratteristico di A èϕ(λ) = λ2 − tr(A)λ + det A. 2 vero 2 falso

Q.8.74 Il determinante di una matrice è zero se e solo se uno dei suoi autovaloriè nullo. 2 vero 2 falso

Q.8.75 Se λ è autovalore di A allora la molteplicità geometrica di λ è uguale alrango della matrice λI − A. 2 vero 2 falso

8.1. Quesiti 81

Q.8.76 Sia f : R2 7→ R2 l’applicazione lineare definita da f (x, y) = [3x,−3y].Allora tutti gli autovalori della matrice associata ad f sono reali.

2 vero 2 falso

Q.8.77 La matrice[

h 11 h

](h ∈ R) ammette due autovettori indipendenti solo

per h 6= ±1. 2 vero 2 falso

Q.8.78 Sia A una matrice quadrata singolare di ordine 2 a traccia non nulla.Allora A ammette due autovettori indipendenti. 2 vero 2 falso

Q.8.79 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine ciascuna delle qualiammette l’autovalore λ associato all’autovettore #»x . Allora la matriceA + B ammette l’autovalore 2λ associato allo stesso autovettore #»x .

2 vero 2 falso

A risposta multipla

Q.8.80 Siano A e B due matrici quadrate reali di ordine n. Allora è vero che:a A e B hanno gli stessi autovalori; b A e B hanno gli stessi autovet-

tori; c Valgono le due proprietà precedenti; d Non vale nessunadelle proprietà precedenti.

Q.8.81 Sia λ un autovalore di una matrice non singolare A. Allora: ar(λI − A) < r(A); b r(λI − A) = r(A); c r(λI − A) > r(A); dNessuna delle risposte precedenti.

Q.8.82 Sia

A =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 1 00 0 0 1 00 0 0 0 2

Allora la molteplicità algebrica dell’autovalore 1 è: a 4; b 3; c2; d 1.

Q.8.83 Sia A come nel quesito Q.8.8.82. Allora la molteplicità geometricadell’autovalore 1 è: a 4; b 3; c 2 d 1.

Q.8.84 Sia A = [aij] e sia 1, 1, 2, 2, 0 l’insieme dei suoi autovalori, allora lasomma a11 + a22 + a33 + a44 + a55 è: a 3; b −3; c 6; d −6.

Q.8.85 Se l’insieme degli autovalori di A è 1,−2, 0 allora il suo polinomiocaratteristico ϕ(λ) è: a λ3 +λ2− 2λ; b λ3−λ2− 2λ; c −λ3−λ2 + 2λ; d −λ3 − λ2 − 2λ.


Q.8.86 Se A è simile alla matrice diag(1, 2,−1), allora l’insieme degli autovaloridi A è: a 1, 2,−1; b 1, 1

2 ,−1; c 1,−2,−1; d 1,− 12 ,−1.

Q.8.87 Se A =

1 2 33 0 30 0 6

, quale dei seguenti non è un autovalore di A? a

6; b 3; c −2; d 2.

Q.8.88 Sia A quadrata di ordine n ≥ 3 e rango 1, allora A a ha tutti gli au-tovalori distinti; b ha n autovalori uguali a 1; c ha solo l’autovalorenullo; d ha solo gli autovalori λ1 = 0 e λ2 = tr(A)

Q.8.89 Per quanti valori reali del parametro k il vettore[

1k

]è autovettore del-

la matrice[

0 k2 −1

]? a nessuno; b tutti; c almeno due; d

esattamente uno.

Capitolo 9

Diagonalizzazione, matriciortogonali

9.1 Determinare se la matrice A =

2 1 10 2 01 0 2

è o no diagonalizzabile, e, se

lo è, trovare una matrice P tale che P−1AP sia una matrice diagonale.

[Gli autovalori sono 1, 2, 3 quindi è diagonalizzabile. La matrice P èformata da tre autovettori indipendenti di A. . . ]

9.2 Sia M la matrice

1 2 02 −2 0−1 0 1

. Trovare, se esiste, una matrice non

singolare P tale che P−1MP sia una matrice diagonale.

[ Ad esempio P =

0 2 40 1 −81 −2 1

.]


A =

−13 6 4−36 17 8−28 10 11

P =

1 1 12 1 21 3 2

e ∆ = diag(3, 5, 7).

Mostrare che ∆ = P−1AP. Quali sono gli autovalori e gli autovettori diA? e quelli di ∆?

[Autovalori di A e di ∆ 3, 5, 7, A è diagonalizzabile . . . gli autovettori di

A sono le colonne di P, gli autovettori di ∆ sono

100

,

010

e

001

.]

83

84 Capitolo 9. Diagonalizzazione, matrici ortogonali

9.4 Sia data la matrice

A =

2 0 10 3 01 0 2

.

Verificare che A è diagonalizzabile e determinare una matrice invertibileP e una matrice diagonale ∆ tali che

AP = P∆.

[Gli autovalori 3, 3, 1 sono regolari: 1 perché semplice, 3 perché la suamolteplicità algebrica coincide con quella geometrica, cioè con n− r(λI −

A); P =

−1 0 1

0 1 01 0 1

∆ =

3 0 00 3 00 0 1

]

9.5 Determinare se sono diagonalizzabili in R o in C le matrici dell’eserci-zio 8.3 a pagina 72. [ Sono tutte diagonalizzabili, tranne F, G e K.]

9.6 Per ciascuno dei valori trovati nell’esercizio 8.16 a pagina 75 dire se lamatrice A è o no diagonalizzabile. [ Sì]

9.7 Le matrici A =

[1 01 1

]e B =

3 0 0−2 1 0

1 2 2

sono diagonalizzabili?

[ A no, B si]

9.8 Determinare gli eventuali valori del parametro p per i quali è diagona-lizzabile la matrice

A =

1 1 p1 0 10 0 2

.

[Cominciamo a vedere se esistono valori del parametro p per cui gli autova-lori sono tre distinti. Il polinomio caratteristico di A è (λ− 2)[λ(λ− 1)− 1]

e quindi gli autovalori sono

2,−1−

√5

2,−1 +

√5

2

; essendo distinti A

è diagonalizzabile qualunque sia p.]

9.9* Determinare per quali valori del parametro è diagonalizzabile la matrice

A =

1 0 0t 0 01 −2t 1

.

85

[Gli autovalori sono 1 con moltepicità 2 e 0 semplice, quindi regolare. Dob-biamo vedere per quali valori di t è regolare l’autovalore 1. Consideriamo

la matrice B = 1 · I − A =

0 0 0−t 1 0−1 2t 0

; l’autovalore 1 è regolare se

r(B) = 1. È facile osservare che l’unico minore del secondo ordine che

potrebbe essere diverso da 0 è∣∣∣∣−t 1−1 2t

∣∣∣∣ = −2t2 + 1 che si annulla per

t = ± 1√2

. Quindi A è diagonalizzabile solo per t = ± 1√2

.]

9.10 Determinare i valori dei parametri h e k per i quali è diagonalizzabile lamatrice

A =

1 0 k− 10 1 00 h 2

.

[Il polinomio caratteristico è (λ− 1)2(λ− 2) e dunque gli autovalori sono 1doppio e 2 semplice. Studiamo la regolarità dell’autovalore 1. B = I − A =

0 0 1− k0 0 00 −h −1

che ha rango 2 se e solo se

∣∣∣∣0 1− k−h −1

∣∣∣∣ 6= 0 da cui si

ricava che la matrice è diagonalizzabile se e solo se h(1− k) = 0 cioè perh = 0 oppure per k = 1.]

9.11 Stabilire per quali valori reali dei parametri h e k è diagonalizzabile lamatrice

A =

k h2 k0 k2 0k h k

.

[Il polinomio caratteristico è λ(λ− k2)(λ− 2k) dunque gli autovalori sono0, k2 e 2k che sono distinti se k 6= 0 o k 6= 2. Per questi valori la matrice è

diagonalizzabile ∀h. Ponendo k = 0 si ottiene A =

0 h2 00 0 00 h 0

; si hanno

tre autovalori coincidenti e la matrice è diagonalizzabile solo se h = 0. Per

k = 2 si ha A =

2 h2 20 4 02 h 2

gli autovalori sono 0 semplice e 4 doppio. La

matrice 4I − A ha rango 1 se h = 0 oppure se h = −1.]

9.12 Sia A =

[1 2α 1

]per quali valori di α A non è diagonalizzabile?

[ α = 0]


9.13 Esiste un valore di β per cui non è diagonalizzabile la matrice B =[3 3β 1

]? [β = −1

3]

9.14 Se P−1AP = ∆ e A2 = 0, dimostrare che A = 0.

9.15 Sia A una matrice diagonalizzabile non singolare e siano λ1, . . . , λn isuoi autovalori; calcolare gli autovalori di A−1 in funzione dei λi.

[A−1 è diagonalizzabile e simile a ∆−1. . . gli autovalori di A−1 sono quellidi ∆−1 cioè 1

λ1, 1

λ2, . . . , 1

λn]

9.16 Sia A ∈M2(R). Dimostrare che se det A < 0 allora A è diagonalizzabile.Trovare una matrice reale quadrata di ordine due singolare –diversadalla matrice nulla– e non diagonalizzabile.

[Ricordando che il polinomio caratteristico è λ2 − tr(A)λ + det A si vedesubito che se det A < 0 l’equazione caratteristicha ha due radici reali

distinte; ad esempio la matrice[

0 01 0

]]

9.17 Mostrare che ogni matrice nilpotente1 diversa dalla matrice nulla non èdiagonalizzabile.

9.18* Sia fα : P3(x) 7→P3(x) tale che fα(p(x)) = xp′(x− α) dove p′(x) è laderivata di p(x). Determinare per quali valori di α ∈ R –se esistono– lamatrice associata a fα è diagonalizzabile.

[La matrice associata all’applicazione è

A =

0 0 0 00 1 0 00 −2α 2 00 3α2 −6α 3

i suoi autovalori sono 0, 1, 2, 3 quindi essa è certamente diagonalizzabile∀α.]

9.19 Siano A una matrice quadrata di ordine 2 singolare e b un opportunovettore colonna. Dimostrare che se Ab = b allora A è idempotente.

[A è singolare, quindi ha un autovalore nullo, inoltre la relazione Ab = bimplica che l’altro autovalore è uguale a 1]

1Ricordiamo che una matrice A si dice nilpotente se esiste un numero k tale che Ak = 0.

87

9.20 Mostrare che è ortogonale la matrice

A =

[cos ϑ − sin ϑsin ϑ cos ϑ

].

9.21 Mostrare che ogni matrice ortogonale di ordine 2 con determinanteuguale ad 1 è della forma della matrice A dell’esercizio 9.20 per unopportuno valore di ϑ.

9.22 Tra le seguenti matrici individuare quelle che sono ortogonali:

A =

1√2−√

22

1√2

√2

2

B =

35

425

45− 3

25

C =

35

45

45−3

5

;

D =

1√3

1√6

√2

21√3

1√6

√2

21√3− 2√

60

; E =

1√3

12

1

1√3

12−1

1√3−1 0

F =

1 112

1 −112

1 0 1

;

[ Basta verificare che le colonne siano a due a due ortogonali e normalizzate...]

9.23 La matrice:

G =

12

√3

61√6

√2

212

√3

61√6−√

22

12

√3

6− 2√

60

12−3

√3

60 0

è ortogonale?

9.24 Tra le seguenti matrici trovare, se esiste, una base ortonormale di R3 che


le diagonalizzi

A =

1 2 −12 0 0−1 0 −1

; B =

1 0 −30 0 0−3 0 9

; C =

2 0 40 2 24 2 0

;

D =

2 2 −42 1 −3−2 1 1

; E =

1529

−110 −450 282−450 227 288282 288 941

;

F =

1 −1 1−1 0 1

1 1 1

; G =

1 0 −20 0 0−2 0 4

; H =

0 2 02 0 10 1 0

.

[Se la matrice è diagonalizzabile, basta ortonormalizzare gli autovettoriindipendenti. . . ]

9.25 Trovare per quali valori del parametro, se esistono, ciascuna delle se-guenti matrici è diagonalizzabile e se esistono valori per cui è ortogonal-mente diagonalizzabile

A =

1 0 00 0 a0 b 0

; B =

1 1 01 h k0 −1 1

;

C =

λ 0 0µ 1 10 1 1

; D =

1 0 10 t 0s 0 1

;

E =

k + 1 2 k− 10 k 0k k −1

.

[Basta ricordare che una matrice reale è ortogonalmente diagonalizzabile see solo se è simmetrica. . . l’unica che non è ortogonalmente diagonalizzabileper nessun valore del parametro è la E]


A =

0 h 0k 0 00 0 0

e B =

0 0 00 −1 00 0 1

.

Determinare h e k in modo che esista una matrice ortogonale U tale cheAU = UB. [ h = k = 1]

89

9.27 Mostrare che la matrice

U =

√2

2

√2

20√

22−√

22

0

0 0 1

è unitaria (Si chiama unitaria una matrice complessa tale che U∗U = I,dove U∗ è la coniugata trasposta di U).

9.28* Trovare un vettore x =

x1x2x3

in modo che la matrice U =

35 − 4

6 x145

36 x2

0√

116 x3

sia unitaria.

9.29* Data la matrice non singolare

A =

1 i 1− i1 i 01 0 0

trovare una matrice unitaria U tale che AU sia triangolare superiore.

9.30 Dimostrare che il prodotto di due matrici unitarie è una matrice unitaria.

9.31 Se D = diag(d1, . . . , dn) è una matrice diagonale, dimostrare che essa èunitaria se e solo se |dj| = 1 ∀j = 1 . . . n.

9.32* Sia V lo spazio vettoriale euclideo dei polinomi in una indeterminata digrado ≤ n. In V definiamo il seguente prodotto scalare:

〈p(x), q(x)〉 =∫ +1

−1p(x)q(x)dx

dimostrare che i seguenti polinomi2 formano una base ortogonale perV.

p0(x) = 1, pk(x) =1

2kk!· dk

dxk [(x2 − 1)k] (k = 1, 2, . . . , n).

9.33 Sono dati i vettori u = [α, 1, 0]T, v = [γ, 1, 1]T e w = [α, β, 0]T dipen-denti dai parametri reali α, β e γ. Determinare, se esistono, i valori deiparametri in modo che u, v e w siano autovettori di una matrice realesimmetrica associati agli autovalori 1, 0, −1.

2chiamati polinomi di Legendre.



A =

1 0 02 1 −11 0 1

e B =

k 0 00 1 00 0 1

.

Verificare che per nessun valore del parametro k esiste una matrice nonsingolare X tale che XA = BX

[A non è diagonalizzabile, mentre B è diagonale . . . ]

9.35 Determinare se le seguenti coppie di matrici sono o no simili.

1 0 00 2 00 0 3

,

1 0 00 3 00 0 2

;

1 2 32 3 13 1 2

,

1 2 32 3 43 5 7

[ La prima sì, la seconda no]

9.36 Le matrici

A =

−4 −7 −6−2 −1 −26 8 8

e B =

−2 −8 −12−8 −18 −26−4 −11 −17

sono simili? [ No, non hanno gli stessi autovalori]


A =

1 0 00 k −11 k −1

e B =

1 0 10 0 00 0 −1

.

Trovare k in modo che A e B siano simili.

[Gli autovalori di B sono 1, 0,−1, per k = 0 gli autovalori coincidono e lematrici sono entrambe diagonalizzabili. . . ]

9.38 Si considerino la matrice

A =

2 0 0h 1 1

h + 1 2h 1

ed una matrice B avente come polinomio caratteristico

pB(λ) = λ3 − 4λ2 + 5λ− 2.

Determinare gli eventuali valori del parametro h per i quali A e B posso-no essere simili. [ I polinomi caratteristici coincidono solo per h = 0. . . ]

91

9.39 Mostrare che:

i) Se A è non singolare, A è simile a B se e solo se B−1 è simile a A−1.

ii) Se A è simile a B allora AT è simile a BT.

[ A−1PA = B⇐⇒ AP−1 A−1 = B−1 e A−1PA = B⇐⇒ AT PT(AT)−1 = BT]

9.40 Se A è simile a B, mostrare che tr(A) = tr(B).[ I polinomi caratteristici sono uguali, quindi. . . ]

9.41 Determinare due matrici A, B ∈ M2(R) che non siano simili, ma cheabbiano uguali determinante, traccia, autovalori e polinomio caratteri-

stico. [ Ad esempio[

0 10 0

]e[

0 01 0

]]


A =

1 0 00 1 01 0 5

e B =

5 0 00 1 01 k 1

.

i) Verificare che A è diagonalizzabile.

ii) Determinare tutti i valori del parametro k in corrispondenza deiquali B è simile a A.

iii) Determinare una matrice non singolare P tale che P−1AP sia dia-gonale.

[ k = 0; P =

0 0 −40 1 01 0 1

]

9.43 Sia A una matrice reale simmetrica del terz’ordine che ammette gli

autovalori 1, 1 e 2 e sia B =

1 1 00 1 00 0 2

. Stabilire se A e B sono simili.

[A è diagonalizzabile perché reale simmetrica, gli autovalori di B sono glistessi di A; le matrici sono simili se e solo se B è diagonalizzabile. . . ]

9.44 Ridurre a forma canonica la forma quadratica

ϕ(x, y, z) = z2 + 2xz + 2yz

[ψ(x, y, z) = 2y2 − z2]

9.45 Dimostrare che ϕ(x, y, z) = 3x2 non può essere la forma canonica di

ψ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2xz

senza calcolare esplicitamente gli autovalori.


[La forma canonica di una forma quadratica è del tipo λ1x2 + λ2y2 + λ3z2

dove i λi sono gli autovalori della matrice simmetrica associata alla for-

ma. Nel caso della ψ la matrice è

1 0 −10 1 0−1 0 1

che ha rango 2, quindi

l’autovalore nullo è semplice, mentre nella ψ è doppio.]

9.46* Si consideri l’equazione matriciale

AX = B (9.1)

dove A, B, X sono matrici quadrate di ordine n ed A è non singolare.Mostrare che la soluzione X dell’equazione (9.1) è ortogonale se e solose si ha AAT = BBT.

[ Sia X ortogonale allora, poiché per ipotesi esiste A−1, si ha X = A−1B,inoltre poiché XXT = I si ha

I = XXT = (A−1B)(A−1B)T = A−1BBT A−1T

essendo (A−1)T = (AT)−1, moltiplicando ambo i membri a sinistra per A

e a destra per AT si ha

AIAT = A(A−1BBT A−1T )AT

da cui la tesi.Viceversa sia AAT = BBT abbiamo ancora X = A−1B e quindi

XXT = (A−1B)(A−1B)T = A−1BBT A−1T =

A−1(AAT)A−1T = (A−1 A)(AT A−1

T ) = I

]

9.1 Quesiti

Vero o Falso

Q.9.90 Ogni matrice è simile ad una matrice diagonale. 2 vero 2 falso

Q.9.91 Due matrici sono simili se e solo se hanno gli stessi autovalori con lestesse molteplicità. 2 vero 2 falso

Q.9.92 Ogni matrice quadrata di ordine 3 con i tre autovalori coincidenti non èmai diagonalizzabile 2 vero 2 falso

Q.9.93 Sia A una matrice quadrata singolare di ordine due con traccia non nulla.Allora A ammette due autovettori indipendenti. 2 vero 2 falso

9.1. Quesiti 93

Q.9.94 Sia S l’insieme delle matrici diagonalzzabili mediante la stessa matricedi passaggio P. Allora le matrici di S sono tutte simili.

2 vero 2 falso

Q.9.95 Una matrice reale di ordine due tale che det A = 0 è sempre diagonaliz-zabile. 2 vero 2 falso

Q.9.96 Una matrice diagonalizzabile con tutti gli autovalori uguali è sempreinvertibile. 2 vero 2 falso

Q.9.97 Una matrice simile ad una matrice simmetrica è a sua volta simmetrica.2 vero 2 falso

Q.9.98 Se A è una matrice diagonalizzabile, allora anche A2 è diagonalizzabile2 vero 2 falso

Q.9.99 Se A è ortogonale, allora anche A ∗ I è ortogonale. 2 vero 2 falso

Q.9.100 Se A è ortogonale, allora anche A− 2I lo è. 2 vero 2 falso

Q.9.101 Se le matrici U e U ·V sono ortogonali allora V è ortogonale2 vero 2 falso

Q.9.102 Se A è diagonalizzabile, allora la molteplicità geometrica di ciascuno deisuoi autovalori distinti è 1. 2 vero 2 falso

Q.9.103 Due matrici sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteri-stico 2 vero 2 falso

Q.9.104 Se A non è diagonalizzabile allora gli autovalori di A non sono tuttidistinti. 2 vero 2 falso

Q.9.105 Se A è diagonalizzabile per ogni autovalore λs di molteplicità k, allorala matrice λs I − A ha rango n− k 2 vero 2 falso

Q.9.106 Le matrici A =

0 0 00 0 2h 1 2

e B =

1 0 10 2 01 0 1

sono simili

2 vero 2 falso

Q.9.107 Se A non è invertibile, allora A non è diagonalizzabile.2 vero 2 falso

Q.9.108 Se λ è autovalore di una matrice unitaria, allora |λ| ≤ 12 vero 2 falso

Q.9.109 Siano A e B due matrici simili. Se A è non singolare, allora B ha unautovalore nullo. 2 vero 2 falso


Q.9.110 Una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori distinti.2 vero 2 falso

Q.9.111 Le forme quadratiche ϕ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2yz e ψ(x, y, z) = x2 +2y2 + z2 − 2xz ammettono una stessa forma canonica.

2 vero 2 falso

Q.9.112 Sia SP l’insieme delle matrici diagonalizzabili con la stessa matrice dipassaggio P. Allora le matrici di SP sono tutte simili.

2 vero 2 falso

A risposta multipla

Q.9.113 Se due matrici quadrate dello stesso ordine hanno gli stessi autovaloricon le stesse molteplicità, allora: b a hanno lo stesso rango; b sonosimili c hanno gli stessi autovettori; d hanno la stessa equazionecaratteristica.

Q.9.114 Quale o quali delle seguenti matrici è ortogonale?

a[

sin ϑ cos ϑ− cos ϑ sin ϑ

]b[

sin ϑ cos ϑcos ϑ sin ϑ

]

c[

sin ϑ sin ϑcos ϑ cos ϑ

]d[− sin ϑ cos ϑ− cos ϑ sin ϑ

].

Q.9.115 Per quali valori reali del parametro k le matrici

A =

1 k 0k2 1 01 1 2

e B =

0 0 10 2 10 0 2

sono simili? a se k = 1 oppure k = −1; b solo se k = −1; c pernessun valore di k; d solo se k = 1.

Capitolo 10

Teorema di Cayley–Hamilton.Polinomio minimo

Alcuni esercizi proposti in questo capitolo sono uguali o molto simili ad esercizipresentati nei capitoli precedenti: questo è stato fatto per mostrare un modo alternativodi risoluzione, che faccia uso del Teorema di Cayley–Hamilton, spesso più rapido edelegante.

10.1 Siano A una matrice quadrata di ordine 2 singolare e b un opportunovettore colonna. Dimostrare che se Ab = b, allora A è idempotente

[λ = 0, 1 . . . ]

10.2 Verificare che una matrice A singolare di ordine 2 per cui è tr A = 1 èidempotente. [Da λ2 − tr Aλ + |A| = 0 si ha A2 − A = 0.]

10.3 Se A è la matrice

1 2 10 1 01 2 −1

verificare che

A−1 = −12(A2 − A− 2I).

[Il polinomio caratteristico è −λ3 + λ2 + 2λ− 2. . . A è non singolare. . . ]

10.4 Determinare tutte le matrici che ammettono come equazione caratteristi-ca l’equazione λ2 − 3λ + 2 = 0.

[Sono matrici di ordine due che soddisfano l’equazione matriciale A2 −3A + I = 0. . . ]

10.5 Sia A la matrice

1 0 01 2 01 −1 0

; verificare che le matrici A, A2 e A3 sono

linearmente dipendenti. [Con-siderando il polinomio caratteristico di A, sussiste la relazione A3 − 3A2 + 2A = 0...]

95

96 Capitolo 10. Teorema di Cayley–Hamilton. Polinomio minimo

10.6 Verificare che una matrice A quadrata di ordine 2 singolare con tr(A) =1 è idempotente. [Da λ2 − tr(A)λ + |A| = 0 si ottiene A2 − A = 0]

10.7 Determinare le matrici di ordine due triangolari inferiori non simmetri-

che per cui sia A2 + 2A = 0 [Sono del tipo[−2 0

a 0

]o[

0 0b −2

]]

10.8 Verificare che non esistono matrici quadrate del second’ordine singolariche soddisfano la relazione A2 + A + I = 0.

[Da λ2 − tr(A)λ + |A| = 0 si ricava A2 − tr(A) = 0. . . ]

10.9 Sia A =

[2 04 3

]. Verificare che è A2 + kA + I 6= 0 per qualunque k ∈ R.

[ Gli autovalori di A sono 2 e 3 quindi A2 − 5A + 6I = 0...]

10.10 Determinare i valori che può assumere la traccia di una matrice quadrataA di ordine due tale che A2 − A + 2I = 0 senza determinare esplicitamentela matrice.

[Indichiamo con α la traccia di A e con β il suo determinante. Si ha ϕ(λ) =λ2 − αλ + β da cui A2 − αA + β = 0. Quindi la matrice A deve esseresoluzione del sistema matriciale

A2 − A + 2I = 0

A2 − αA + βI = 0

. Sottraendo membro a membro, si ha la relazione

(−α + 1)A + (β− 2)I = 0.

Se α = 1 allora è β = 2 e la relazione data coincide con l’equazione caratte-

ristica; gli autovalori sono λ = 1±i√

72 , quindi la traccia è 1. Matrici siffatte

esistono, ad esempio

[1+i√

72 00 1−i

√7

2

].

Se α 6= 1 si ha A =β−2α−1 I; quindi tale matrice avrà autovalori λ1 = λ2 =

β−2α−1

e perciò α = tr(A) = λ1 + λ2 = 2 β−2α−1 e β = |A| = λ1λ2 =

(β−2α−1

)2.

Si ha dunque il sistema

α = 2β− 2α− 1

β =

(β− 2α− 1

)2

da cui si ottiene

β− 2 =α(α− 1)

2α(α− 1)

2+ 2 =

α2(α− 1)2

4· 1(α− 1)2

, che ha come so-

luzioni α = 1 ± i√

7 e β = ±i√

7−32 . In conclusione la traccia di A può

assumere solo i valori 1, 1 + i√

7 e 1− i√

7. ]

97

10.11 Sia A una matrice quadrata di ordine 2 tale che A2 + A = 0. Determinare

gli autovalori di A. [

A2 + A = 0

A2 + αA + β = 0. . . ]

10.12 Verificare che tutte le matrici quadrate di ordine due singolari con tracciadiversa da zero sono diagonalizzabili. [ϕ(λ) = λ2 + kλ con k 6= 0. . . ]

10.13 Sia A una matrice quadrata di ordine 3 avente rango 1 e traccia 3. Stabi-lire se A è diagonalizzabile e determinare una relazione tra A2 e An pern > 2. [ϕ(λ) = λ3 − 3λ2. . . ]

10.14 Sia A quadrata tale che A2 = 0. Dimostrare che A ammette solo l’auto-valore nullo. [[tr(A)]A− |A|A = 0. . . ]

10.15 Determinare tutte le matrici quadrate del second’ordine che non sonodiagonalizzabili e che soddisfano la relazione A2 = 0.

[λ1 = λ2 = 0. . .[

a − a2

bb −a

] [0 b0 0

]con b 6= 0]

10.16 Sia A quadrata di ordine 2 con A 6= 0; dimostrare che se per un interon > 2 si ha An = 0 allora anche A2 = 0. [A2 − tr(A)A = 0. . . ]

10.17 Sia A quadrata tale che An = 0 per un certo n ∈ N; dimostrare che lamatrice I + A ha tutti gli autovalori uguali a 1. [λA = 0 . . . ]

10.18 Sia A quadrata del second’ordine. Sia B una matrice diversa da A masimile ad essa tale che A2 = B2. Verificare che

A2 =

[−det A 00 −det A

].

[Sia ϕ(λ) = λ2 + αλ + β il polinomio caratteristico di A e quindi anche diB. Dal teorema di Cayley-Hamilton si ottiene

A2+αA+βI=0B2+αB+βI=0

e sottraendomembro a membro si ha α(A− B) = 0, che implica, essendo A 6= B, α = 0;quindi A2 − βI = 0, da cui A2 = −det AI.]

10.19* Determinare, al variare del parametro k, il polinomio minimo µ(λ) dellamatrice

A =

2 k k0 k k− 10 0 2

e discuterne la diagonalizzabilità.

[Le radici del polinomio minimo di una matrice A sono tutti e soli gliautovalori di A con molteplicità non superiori a quelle che hanno comeradici del polinomio caratteristico, quindi, dal momento che ϕ(λ) = (λ−


2)2(λ− k) i possibili polinomi candidati ad essere minimi sono (λ− 2)(λ−k) e ϕ(λ) stesso (in realtà, per k = 2 ci potrebbe essere anche λ− 2 ma ciò siesclude, dato che A 6= 2I). A questo punto, poiché si ha (A− 2I)(A− kI) =

0 0 k0 0 00 0 0

che coincide con la matrice nulla se e solo se k = 0, si conclude

che A è radice del polinomio (λ − 2)(λ − k) -che risulta dunque il suopolinomio minimo- solo per k = 0. Per ogni altro valore di k µ(λ) = ϕ(λ).Una matrice è diagonalizzabile se e solo se le radici del suo polinomiominimo sono distinte, quindi in questo caso se e solo se k = 0. ]

10.20 Calcolare il polinomio minimo della matrice

1 k 20 1 k− 20 0 1

e determinare per quali valori di k tale matrice è diagonalizzabile.[Per k = 0, 2 µ(λ) = (λ− 1)2, per k 6= 0, 2 µ(λ) = ϕ(λ) = (λ− 1)3]

10.21* Sia A una matrice quadrata singolare di ordine n tale che A2 = 2A.Stabilire se Aè diagonalizzabile. [Il polinomio minimo ha radici semplici...]

10.22 Sia A quadrata di ordine 2 radice del polinomio A2 − 2A− 3I = 0. Direse A è diagonalizzabile.

[ Sia ϕ(λ) = λ2 + αλ + β il polinomio caratteristico di A. Dal teorema diCayley-Hamilton si ha il sistema

A2 − 2A− 3I = 0

A2 + αA + βI = 0

Quindi −αA− βI = 2A + 3I e dunque (α + 2)A = −(3 + β)I. Se α 6= −2

si ha A = −3 + β

α + 2I quindi A è scalare. Se invece α = −2 si ha 0 · A =

−(3+ β)I da cui β = −3, da cui ϕA(λ) = λ2− 2λ− 3 dunque gli autovalorisono distinti e quindi A è diagonalizzabile. ]

10.1 Quesiti

Vero o Falso

Q.10.116 Non esiste nessuna matrice quadrata singolare del secondo ordine chesoddisfa la relazione A2 + A + I = 0 2 vero 2 falso

Q.10.117 Una matrice A quadrata di ordine due tale che A2 − 5I = 0 è diagona-lizzabile. 2 vero 2 falso

10.1. Quesiti 99

Q.10.118 Una matrice A quadrata di ordine due tale che A2 − A = 2I non èdiagonalizzabile. 2 vero 2 falso

Q.10.119 Una matrice quadrata A di ordine n, singolare, tale che A2 = 2A èdiagonalizzabile. 2 vero 2 falso

A risposta multipla

Q.10.120 Per quali valori del parametro a il polinomio minimo della matrice

1 a 0 00 2 1 00 0 a 00 0 0 1

ha tutte le radici distinte? a per infiniti valori ma non per tutti bper ogni valore di a c per a = 1 d per a = 2.

Q.10.121 Sia A una matrice quadrata di ordine n che ammette l’autovalore λ = 1con molteplicità algebrica n. Allora: a Il polinomio minimo è µA =

λ− 1; b A è diagonalizzabile; c A = I; d il polinomio caratteri-stico è ϕA = (λ− 1)n.

Q.10.122 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine. Se µ indica il poli-nomio minimo e ϕ indica quello caratteristico, indicare le affermazionivere: a ϕA = ϕB solo se A e B sono simili; b µA = ϕB se A e Bsono simili; c µA = ϕB solo se A e B sono simili; d µA = µB se A eB sono simili.

Q.10.123 Sia µA il polinomio minimo della matrice A =

1 1 01 1 01 1 0

. Indicare le

proprietere: a il grado di µA è 2; b µA non ha radici multiple; cµA coincide con il polinomio caratteristico; d il grado di µA è 3.

Q.10.124 Il polinomio minimo della matrice A =

2 1 10 −1 00 0 h

ha grado: a 1

per qualche h; b > 3 per qualche h; c 3 per h = 2; d 2 solo perh = −1.

Q.10.125 Per quali valori di h il polinomio minimo della matrice A =

1 0 0h 0 11 h2 0

è di secondo grado? a per nessun valore di h; b se h 6= 0 e h 6= 1;c solo se h = 1; d solo se h = −1.


Q.10.126 Indicare le proprietà vere in relazione al polinomio minimo della matri-ce:

1 1 0 00 2 1 00 0 3 00 0 0 1

a coincide con il polinomio caratteristico; b ha una radice doppia;c ha radici distinte; d è di quarto grado.

Parte II

Geometria piana

101

Capitolo 11

La retta nel piano

In questo e nei successivi capitoli, salvo avviso contrario, i parametri ed i coefficientidelle equazioni che compaiono si intendono reali; il sistema di riferimento si intendecartesiano ortogonale e, se non altrementi specificato, lunghezze ed aree si intendonoin senso elementare.

11.1 Coordinate cartesiane

11.1 Sia P(−2) trovare una nuova origine in modo che P abbia ascissa 3.[O′(−5)]

11.2 dati A(a) e B(b) trovare una nuova origine in modo che l’ascissa di Asia tripla di quella di B. [O′

(3b−a

2

)]

11.3 Dati i punti A(0, 3) e B(5, 0), determinare le coordinate del punto C chedivide il segmento AB in modo che sia AC = 2BC.


103

104 Capitolo 11. La retta nel piano

[ Indicate con H e K (vedi Figura 11.1 nella pagina precedente) rispetti-vamente le proiezioni di C sull’asse x e sull’asse y, il teorema di Taletegarantisce che se è AC = 2BC si ha anche OH = 2HB e AC = 2OK.Visto che è

0 < xC < 5 e 0 < yC < 3,

le relazioni precedenti diventano rispettivamente xC − 0 = 2(5− xC) e3− yC = 2(yC − 0); da cui C

(103 , 1

). ]

11.4 Trovare le coordinate dei vertici di un rombo che non abbia né i lati néle diagonali paralleli agli assi coordinati.

11.5 Determinare i punti aventi ascisssa ed ordinata opposte e tali che conA(1, 0) e B(−1, 0) formino un triangolo di perimetro 6.

[(±2√

37 ,∓2

√37

)]

11.6 Dati A(1, 1) e B(3, 5) trovare i punti C tali che il triangolo ABC siarettangolo ed isoscele. [C1(0, 4); C2(, 2)]

11.7* Scrivere l’equazione del cammino di un punto che si muove nel pianoin modo tale che il quadrato della sua distanza dal punto A(−3, 4) èuguale al doppio del quadrato della sua distanza dall’asse x.

[(x + 3)2 + (y− 4)2 = 2y2. . . x2 − y2 + 6x− 8y + 25 = 0]

11.2 La retta, esercizi introduttivi

11.8 Verificare che le equazioni

x = t

y =1 + t

2x = 2t− 1y = t

rappresentano la stessa retta.

11.9 Scrivere l’equazione dei punti del piano equidistanti da A(2, 4) e B(4, 6)..[ (x− 2)2 + (y− 42) = (x− 4)2 + (y− 6)2 . . . x + y− 8 = 0 è l’asse del segmento AB]

11.10 Scrivere l’equazione dei punti P del piano tali che il rapporto tra la

distanza tra P e A(1, 0) e tra P e la retta x = 9 sia λ =13

.

11.11 Sia r la retta di equazione 7x − 3y + 21 = 0. Dire quali dei seguentipunti appartengono alla r : A(3, 14), B(4, 13), C(−3, 0) e D(0, 7).

11.2. La retta, esercizi introduttivi 105

[Sostituendo le coordinate dei punti nell’equazione della retta si osservache l’unico che non appartiene a r è B.]

11.12 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse x che passa per il puntoA(−2, 2). [ y = 2]

11.13 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse x che passa per il puntoA(3,−4). [ y + 4 = 0]

11.14 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse y passante per il puntoA(−6, 0) [ x + 6 = 0]

11.15 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P(3,−5) perpendi-colare al vettore v = [4, 2]. [2x + y− 1 = 0]

11.16 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e per il puntoP(2, 3) [ 3x− 2y = 0]

11.17 Calcolare la lunghezza del segmento staccato sugli assi dalla retta 3x +4y− 24 = 0

[La retta si scrive in forma segmentaria comex8+

y6= 1 quindi interseca

gli assi nei punti A(8, 0) e B(0, 6) la cui distanza è√

64 + 36 = 10]

11.18 Sulla retta di equazione 2x + y− 6 = 0 trovare un punto M equidistantedai punti A(3, 5) e B(2, 6) [ M(1, 4) ]

11.19 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale un rettanglo ha i latilunghi 3 e 4. Scrivere le equazioni di tutti i suoi lati sapendo che è nel IIIquadrante, che i suoi lati stanno sugli assi coordinati e il lato più cortosta sull’asse y. [ x = 0, y = 0, x + 4 = 0, y + 3 = 0]

11.20 Scrivere le equazioni dei lati di un quadrato situato nel I quadrante duevertici del quale hanno coordinate A(2, 0) e B(5, 0).

[ y = 0, y = 3, x = 2 e x = 5]

11.21 Scrivere in forma segmentaria l’equazione della retta

3x− 4y + 2 = 0

[x− 2

3+

y12= 1]

11.22 Scrivere l’equazione della retta che taglia l’asse x nel punto A(3, 0) el’asse y nel punto B(0, 5). [

x3+

y5= 1]


11.23 Calcolare l’angolo formato dalla retta 3x + 2y + 6 = 0 con l’asse x.[Risolvendo l’equazione rispetto a y si ottiene y = −3

2x− 3 da cui tan α = −3

2]

11.24 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e formante unangolo di π

4 con l’asse x. [ x− y = 0]

11.25 Trovare le coordinate di un punto A sapendo che la pendenza della rettapassante per l’origine e per A è 3

4 e la distanza tra l’origine ed il punto Aè pari a 10 unità.

[Se la pendenza è 34 significa che y

x = 34 . La distanza dall’origine è

√x2 + y2

da cui il sistema

yx=

34√

x2 + y2 = 10

che ammette le soluzioni x1 = 6 y1 = 8 e x2 = −6 y2 = −8. Quindi ci sonole due soluzioni A1(6, 8) ed A2(−6,−8) ]

11.26 Un punto P dista 5 unità dall’origine O(0, 0). La pendenza della rettaOP è 3

4 . Determinare le coordinate di P. [ P1 = (4, 3), P2(−4,−3)]

11.27 La diagonale di un rettangolo i cui lati giacciono sui semiassi positivi diun sistema di riferimento cartesiano ortogonale è 20 unità di lunghezza;la pendenza della diagonale è 4

3 . Trovare i vertici del rettangolo.[ (0, 0), (12, 0), (0, 16) e (12, 16)]

11.28 Date le rette ax + by + c = 0 e 3x− 8y + 6 = 0 determinare i coefficientia e b in modo che esse siano:

i) parallele [a = 3k, b = −8k, ∀c, k 6= 0]

ii) perpendicolari [3a = 8b ∀c, a 6= 0 6= b]

iii) coincidenti [a = 3k, b = −8k, c = 6k, k 6= 0]

11.29 Scrivere l’equazione della retta parallela alla r : 5x − 4y + 1 = 0 epassante per il punto comune a s1 : x + 2y + 3 = 0 e s2 : 2x− 3y + 2 = 0

[ La retta cercata è un elemento del fascio individuato da s1 ed s2 che haequazione:

F : k(x + 2y + 3) + 2x− 3y + 2 = 0

e che si può scrivere come (k + 2)x + (2k− 3)y + 3k + 2 = 0; basterà alloratrovare la retta di F che ha lo stesso coefficiente angolare di r cioè 5

4 . Dovràessere − k+2

2k+3 = 54 , cioè k = 1

2 ; sostituendo questo valore nell’equazione delfascio si ottiene 5x− 4y + 7 = 0.Si poteva anche, considerando l’equazione generale della retta, scrivere(k− 2)(−4) + (2k− 3)5 = 0 che, ovviamente, forniva lo stesso risultato.

11.2. La retta, esercizi introduttivi 107

Un terzo modo di procedere è quello di partire dal fascio improprio dellerette parallele ad r, che ha equazione 5x− 4y + k = 0; occorre, in questocaso, cercare l’equazione dell’ elemento del fascio la cui equazione, conquelle di s1 ed s2 costituisce un sistema lineare di 3 equazioni in 2 incogniteavente esattamente una soluzione. Il sistema in questione è:

5x− 4y = −kx + 2y = −3

2x− 3y− 2

la sua matrice dei coefficienti è A =

5 −41 22 −3

che ha rango 2. Per avere

una ed una sola soluzione occorre e basta che la matrice completa abbia

rango due, quindi dovrà essere

∣∣∣∣∣∣

5 −4 −k1 2 −32 −3 −2

∣∣∣∣∣∣= 0 e cioè k = 7. ]

11.30 Trovare il punto P di intersezione delle rette 3x − 4y + 11 = 0 e 4x −y− 7 = 0.

[Le coordinate di P sono soluzione del sistema

x− 4y + 11 = 0

4x− y− 7 = 0da cui P(3, 5).]

11.31 I lati di un triangolo sono le rette rispettivamente di equazioni x + 3y−3 = 0, 3x− 11y− 29 = 0 e 3x− y + 11 = 0. Trovarne i vertici.

[Intersecando il ati a due a due si hanno tre sistemi lineari, risolvendo iquali si ottiene A(6,−1), b(−5,−4) e C(−3, 2).]

11.32 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto di intersezionedelle rette x + 11y − 27 = 04 e 6x − 7y − 16 = 0 e perpendicolare alvettore ~v = [4,−3].

[ Il punto comune è P(5, 2) e dunque la retta cercata è: 4x− 3y− 14 = 0]

11.33 Determinare l’angolo acuto tra le rette y = 5x e y = 2x

[Ricordando che tan α =

∣∣∣∣m2 −m1

1 + m1m2

∣∣∣∣ si ha tan α =

∣∣∣∣2− 5

1 + 2 · 5

∣∣∣∣ =311

]

11.34 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P(−2, 4) e parallelaalla retta di equazione 2x− 3y + 6 = 0.

[La retta cercata sarà del tipo 2x − 3y + q = 0. Il coefficiente q si puòdeterminare imponendo il passaggio per P, cioè deve valere la relazione(−2) · 2 + 4 · (−3) + q = 0 che diventa −12− 4 + q = 0 da cui q = 16 equindi l’equazione cercata è: 2x− 3y + 16.]


11.35 Stabilire quali tra le seguenti coppie di equazioni rappresentano retteparallele:

i) 2x− 3y + 4 = 0 e 10x− 15y + 7 = 0;

ii) 25x− 20y− 8 = 0 e 5x + 4y + 4 = 0;

iii) y = −2x + 8 e y = −2x + 1;

iv) y = 3x + 4 e y = −6x− 8.

[ i) e iii)]

11.36 Per quali valori del parametro a sono parallele le rette di equazioni

x− 12

=y + 4

5e

x + 64

=y + 2

a?

[ a = 10]

11.37 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto M(2, 3) e perpen-dicolare alla retta r di equazione 5x− 4y− 20 = 0.

[Ogni retta perpendicolare alla r ha equazione ax + by + c = 0 con 5a−4b = 0. Allora a = 4 b = 5, imponendo il passaggio per M si ottiene4x + 5y− 23 = 0.]

11.38 Trovare la distanza del punto P(6, 8) dalla retta 4x + 3y + 2 = 0.

[ Si ha: d =|4 · 6 + 3 · 8 + 2|√

42 + 32= 10]

11.39 Trovare la distanza tra le rette parallele r : 4x + 3y − 8 = 0 ed s :4x + 3y− 33 = 0.

[Scegliamo un punto “comodo” su una delle due, per esempio r. Sia A(2, 0).La distanza delle due rette sarà allora la distanza di A da s. Dunque

d =|4 · 2 + 3 · 0− 33|√

42 + 32= 10 ]

11.40 Stabilire quali delle seguenti coppie di rette sono perpendicolari:

i) 3x− 4y + 12 = 0 e 4x + 3y− 5 = 0;

ii) 4x + 5y− 8 = 0 e 3x− 2y + 4;

iii)x + x1

2=

y− y1

3e

x− x2

3=

y− y2

−2;

iv)x + x1

5=

y− y1

−4e

x− x2

4=

y− y2

5.

11.3. Esercizi vari sulla retta 109

[ i), iii) iv)]

11.41 Per quali valori del parametro k sono perpendicolari le rette: y = 5x− 4e y = kx− 2? [ k = −1

5]

11.42 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e perpendicolarealla retta che taglia l’asse x nel punto A(2, 0) e l’asse y nel punto (0,−6).

[ 2x + 6y = 0]

11.43* Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi A(1, 2) e B(−1, 0).

[Ci sono vari modi per svolgere questo esercizio, che tengono conto dellepossibili definizioni equivalenti di asse di un segmento:

i) L’asse del segmento è la perpendicolare alla retta AB, di equazionex− y + 1 = 0, nel punto medio M(0, 1), quindi ha equazione x + y−1 = 0.

ii) L’asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagliestremi, quindi se P(x, y) è un punto generico dell’asse si dovrà avere(x− 1)2 + (y− 2)2 = (x + 1)2 + y2 che diventa −2x + 1− 4y + 4 =2x + 1 che è appunto l’equazione x + y + 1 = 0

e si perviene, ovviamente, allo stesso risultato ]

OSSERVAZIONE 11.1. Osserviamo esplicitamente che, quando un esercizio sipuò svolgere in più modi significativamente diversi, ciascuno di essi fornisceun metodo di verifica dello svolgimento dell’altro.

11.3 Esercizi vari sulla retta

11.44 Per quale valore della pendenza m la retta y = mx + 9 passa per il puntoP di intersezione delle rette x− y + 5 = 0 e x− 2y + 2 = 0.

[ P(−8,−3) m =32

]

11.45 Una retta r passa per il punto M(2, 5) e forma, con l’asse x, un angolo αtale che arctan α = 3. Trovare il punto P ∈ r di ascissa −2.

[ La retta ha equazione y = 3x− 1 il punto ha coordinate (−2,−7)]

11.46 Sulla retta r di equazione 2x + 3y − 18 = 0, trovare il punto P la cuidistanza dall’asse y è tre volte quella dall’asse x.

[Le coordinate del punto soddisfano il sistema

2x + 3y− 18 = 0

x = 3ye quin-

di P(6, 2).]

11.47 Un triangolo ha vertici nei punti A(−5,−2), B(7, 6) C(5,−4). Trovare:


i) l’equazione del lato AB;

ii) l’equazione della mediana relativa al vertice A;

iii) l’equazione dell’altezza relativa al vertice C

iv) le coordinate dell’ortocentro

[i) −2x + 3y− 4 = 0, ii) −3x + 11y + 7 = 0 iii) −3x + 2y + 7 = 0 iv) (5,−4)]

11.48 In un parallelogrammo le equazioni dei lati uscenti da un vertice A sonorispettivamente 5x− 3y + 28 = 0 e x− 3y− 4 = 0 mentre le coordinatedel vertice opposto ad A sono (10, 6). Scrivere le equazioni degli altridue lati e delle diagonali del parallelogrammo.

[Lati: 5x− 3y− 32, x− 3y + 8 = 0; diagonali: 5x− 9y + 4 = 0 e y = 1 ]

11.49 Discutere e, quando possibile, risolvere i seguenti sistemi, fornendoun’interpretazione geometrica dei risultati ottenuti

x + hy = 1x− 2y = h2(h + 1)x + hy = h + 2

2x + (k− 4) = 1kx− 6y = k + 1− 2x + (2k + 1)y = k− 2

[ Primo sistema:

h 6= 0 impossibile: le tre rette non hanno punti in comune.

h = 0 esiste una ed una sola soluzione: le rette hanno un punto in comune.

Secondo sistema:

h 6= 92 , 1 impossibile: le rette non passano per uno stesso punto;

h = 92 esiste una ed una sola soluzione: le tre rette sono distinte ma

appartengono allo stesso fascio.

h = 1 ∞1 soluzioni: le tre rette coincidono.

]

11.50 Si considerino le rette:

r1 :x + (h− 2)y = 3 + 4hr2 :x = 1 + 2h

r3 :x + y = h− h2

Stabilire se esistono valori del parametro h in corrispondenza dei qualiessi appartengono ad un medesimo fascio.

[Il sistema formato dalle tre equazioni deve ammettere una ed una solasoluzione. . . h = 2.]

Capitolo 12

La circonferenza nel piano

In questo capitolo, così come nei successivi, tra i punti di intersezione delle curve inquestione verranno considerati anche quelli a coordinate complesse, così come tra lecurve riducibili verranno considerate anche quelle rappresentate da polinomi riducibiliin C ma non in R.

12.1 Scrivere l’equazione della circonferenza che ha centro nel punto A(5,−7)e passa per il punto P(2,−3). [(x− 5)2 + (y + 7)2 = 25]

12.2* Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(3, 1),B(−2, 6) e C(−5,−3)

[Ci sono vari metodi significativamente diversi per risolvere questo eserci-zio, ne esaminiamo alcuni:

• Il centro C della circonferenza cercata è il punto equidistante da A,B e C, quindi si ottiene come intersezione degli assi di due dei tresegmenti formati ai punti. Nel nostro caso l’asse del segmento AB èx− y + 3 = 0, l’asse di AC è 2x + y + 3 = 0 da cui le coordinate delcentro C (−2, 1). Il raggio sarà aalora la distanza di C da uno qualsiasidei punti dati. Si vede subito che BC = 5 e quindi (x + 2)2 + (y−1)2 = 25 cioè x2 + y2 + 4x− 2y− 20 = 0 rappresenta l’equazione dellacirconferenza.

• La generica equazione della circonferenza è:

x2 + y2 + ax + by + c = 0; (12.1)

imponendo il passaggio per i tre punti si ottengono tre equazioni in a,b e c:

3a + b + c + 10 = 0

−2a + 6b + c + 40 = 0

−5a− 3b + c + 34 = 0

; (12.2)

le soluzioni del sistema 12.2 sono i coefficienti della 12.1.• Infine si può pensare la circonferenza cercata come appartenente al

fascio F individuato da due di questi punti e poi imporre il passaggioper il terzo.

111

112 Capitolo 12. La circonferenza nel piano

Lo studente è invitato a confrontare e riflettere su questi modi per risolverel’esercizio proposto.]

12.3 Scrivere l’equazione delle circonferenze che hanno raggio 2 e passanoper i punti A(−1, 2) e B(1, 0)

[ I centri si possono ottenere come intersezione delle circonferenze di raggio2 aventti centri rispettivamente in A e B. . . (x + 1)2 + y2 = 4, (x − 1)2 +

(y− 2)2 = 4. ]

12.4* Fornire una rappresentazione parametrica razionale della circonferenzadi equazione

x2 + y2 − 2x + 2y = 1 (12.3)

[ La circonferenza di equazione (12.3) si scrive anche come

(x− 1)2 + (y + 1)2 = 3, (12.4)

quindi ha centro in C(1,−1) e raggio r =√

3. A sua volta l’equazione (12.4)equivale al sistema

x− 1 =√

3 cos α

y + 1 =√

3 sin α

con 0 ≤ α ≤ 2π. A questo punto, facendo uso delle cosiddette formuleparametriche e ponendo t = tan α

2 ed α 6= π si ottiene

x = 1 +√

31− t2

1 + t2 =1 +√

3 + (1−√

3)t2

1 + t2

y = −1 +√

32t

1 + t2 =2√

3− 1− t2

1 + t2

.

Un generico punto della circonferenza data è dunque

P

(1 +√

3 + (1−√

3)t2

1 + t2 ,2√

3− 1− t2

1 + t2

)

dove, come detto t = tan α2 e α 6= π. Questo comporta che il punto P(1−√

3,−1) ottenuto per α = π non è raggiunto dalla parametrizzazioneconsiderata; si ha però P→ P per α→ π qundi per t = tan α

2 → ∞.La parametrizzazione cercata puà essere determinata anche in modo piùgenerale: il punto generico della circonferenza può essere parametrizzatotramite il coefficiente angolare di una retta che lo congiunge ad un puntofissato su di essa. Nel caso in esame, considerato il punto P, l’equazionedella generica retta non verticale passante per esso sarà y + 1 = m(x− 1 +√

3); dall’intersezione di tale retta con la circonferenza, cioè dal sistema(x− 1)2 + (y + 1)2 = 3

y + 1 = m(x− 1 +√

3)

113

si ottengono come soluzioni le coordinate del generico punto

P

(1 +√

3 + (1−√

3)m2

1 + m2 ,2√

3− 1−m2

1 + m2

).

In effetti abbiamo ancora escluso la retta verticale che, in questo caso, essen-do tangente in P alla circonferenza, fornisce il punto P stesso, che comun-que è ottenibile come limite per m → ∞. Osserviamo infine che abbiamoottenuto la stessa parametrizzazione perche si ha m = tan β = tan α

2 : consi-derando le corde per un diverso punto si otterrebbero parametrizzazionirazionali diverse. ]

Figura 12.1: I triangoli simili dell’Esercizio 12.5

12.5 Siano γ la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, A e B le intersezionidi γ con l’asse x e P un punto di γ; verificare, analiticamente e sintetica-mente, che le rette AP e BP tagliano l’asse y in punti H e K tali che siaOK ·OH = k con k costante da determinare.

[I triangoli BOH e KOA sono simili (v. fig. 12.1). . . k = 1]

12.6 Rislovere l’esercizio 12.2 con lo strumento dei fasci di circonferenze.

12.7 Scrivere l’equazione di una circonferenza tangente all’asse x nel puntoA(3, 0) ed avente raggio r = 6.

[Il centro sarà C1(3, 6) oppure C2(3,−6) da cui...]

12.8 Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per l’origine e tangentialle rette r : x− 2y = 0 e s : x + y− 1 = 0.

[Tangenza alla r in O. . . 9x2 + 9y2 − 2(1±√

10)(x− 2y) = 0]

12.9 Siano


T

A

B

O


γ la circonferenza di equazione x2 + y2 − 2y = 0,

T un punto della γ, A e B le intersezioni della tangente in T alla γrispettivamente con l’asse x e con l’asse y.

Determinare T in modo che i triangoli OAT ed OTB abbiamo la stessaarea. (Vedi figura 12.2)

[T dev’essere il punto medio di AB (perché?). . . T1 =(√

32 , 3

2

)e T2 =

(−√

32 , 3

2

)]

12.10 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i tre punti A(1, 1),

B(6, 1) e C(

145

,175

).

[Osservare che il triangolo ACB è rettangolo in C, dunque AB è un diame-

tro. . .(

x− 72

)2+ (y− 1)2 = 25

4 ]

12.11 Scrivere le equazioni delle circonferenze che hanno raggio 2 e passanoper i punti A(−1, 2) e B(1, 0).

[I centri si possono ottenere come intersezione delle circonferenze di centriA e B e raggio 2. . . ]

12.12* Sia r la retta di equazione x + y − 2 = 0 e P il punto di coordinate(2, 0); scrivere l’equazione della circonferenza tangente in P alla retta r epassante per l’origine.

[ Tra i tanti metodi per risolvere questo tipo di esercizi, da quello più inge-nuo, consistente nell’imporre all’equazione generale della circonferenza lecondizioni richieste, a quello più sintetico, consistente nel determinare il

115

centro della circonferenza richiesta come intersezione dell’asse del segmen-to OP con la perpendicolare ad r passante per P, scegliamo di utilizzare latecnica dei fasci. Possiamo procedere in due maniere diverse: cercando nelfascio di circonferenze tangenti in P ad r quella passante per O oppure nelfascio delle circonferenze passanti per O e P quella tangente ad r.

• L’equazione del fascio di circonferenze tangenti in P ad r è

(x− 2)2 + y2 + k(x + y− 2) = 0

ottenuta come combinazione lineare della circonferenza con centro inP e raggio nullo (x− 2)2 + y2 = 0) con l’asse radicale del fascio, cioèla retta r. Imponendo ora il passaggio per l’origine, cioè sostituendonell’equazione del fascio le coordinate di O(0, 0), si ottiene k = 2 equindi l’equazione della circonferenza cercata x2 + y2 − 2x + 2y = 0.

• Il fascio di circonferenze passanti per O e P si ottiene, per esempio,combinando linearmente l’asse radicale, cioè la retta OP y = 0 e lacirconferenza che ammette OP come diametro, cioè che ha centro nelpunto medio M di OP e raggio MO che ha equazione (x− 1)2 + y2 =0. Quindi la generica circonferenza del fascio sarà (x− 1)2 + y2 + ky =0; essa dovrà essere tangente alla retta r, quindi l’equazione risolventedel sistema

(x− 1)2 + y2 = 0

x + y− 2 = 0

dovrà avere due radici reali coincidenti. Eliminando, per esempio la xotteniamo 2y2 + (k− 2)y = 0 che ammette la radice nulla contata duevolte se e solo se k = 2, da cui il risultato.

]

12.13 Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per l’origine e tangentialle rette r : x− 2y = 0 ed s : x + y− 1 = 0

[La tangenza ad r è in O. . . 9x2 + 9y2 − 2(1±√

10(x− 2y) = 0]

12.14 Determinare l’equazione della circonferenza tangente nell’origine allaretta r : 3x− 4y = 0 e tangente alle rette s : x = 8 e t : x = −2.

[ Il centro è l’intersezione della bisettrice della striscia formata dalle rette se t (che sono parallele) e della retta passante per O ortogonale alla tangenter . . . (x− 3)2 + (y + 4)2 = 25. ]

12.15 Trovare asse radicale e punti base del fascio di circonferenze

x2 + y2 − x− y + λ(x2 + y2 − 1) = 0.

[x + y− 1 = 0; A(1, 0), B(0, 1)]


12.16 Sia data la famiglia di curve

F : a(x2 + y2 − 1) + b(x2 − y) + c(x− y2) = 0

Verificare che le curve di F che passano per il punto P(0, 1) formano unfascio di circonferenze e trovare i punti base di tale fascio.

[Imponendo il passaggio per P si ottiene b = −c. . . ]

12.17 Sia F il fascio di circonferenze tangenti alla bisettrice del I e I I I quadran-te nel punto A(1, 1); scrivere l’equazione della curva di F che intersecal’asse x in due punti simmetrici rispetto al punto B(3, 0).

[Il centro deve essere sulla x = 3. . . (x− 3)2 + (y + 1)2 = 8]

12.18 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze individuatodalle due circonferenze

γ : x2 + y2 − y = 0

γ′ : x2 + y2 − 2x + y = 0

[È la congiungente dei centri di γ e γ′. . . 2x + 2y− 1 = 0]

12.19 Sia F il fascio di circonferenze tangenti alla bisettrice del I e I I I qua-drante nel punto A(1, 1); denotate con B e C le ulteriori intersezioni dellagenerica circonferenza di F con le rette di equazioni rispettive x = 1 ey = 1, scrivere l’equazione del luogo dei punti medi dei segmenti BC.

[È il luogo dei centri delle circonferenze del fascio. . . x + y− 2 = 0]

12.20 Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per l’origine O(0, 0),per il punto C(−1, 0) e taglia gli assi coordinati in due punti aventi lastessa proiezione ortogonale sulla retta OC.

[Il centro è il punto medio di OC. . .(

x + 12

)2+(

y + 12

)2= 1

4 ]

12.21 Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(2, 0) eB(0, 2) e rispetto alla quale l’origine ha potenza 4.

[x2 + y2 − 4x− 4y + 4 = 0]

.

12.22* Verificare che se γ e γ′ sono due circonferenze, ogni circonferenza delfascio da esse individuato è il luogo dei punti P tali che il rapporto tra lapotenza di P rispetto a γ e rispetto a γ′ è costante e dedurre da ciò chel’asse radicale di un fascio F di circonferenze è il luogo dei punti chehanno la stessa potenza rispetto a tutte le coniche del fascio.

Capitolo 13

Le coniche

Salvo esplicito avviso contrario, in questo capitolo le coniche si intendono irriducibilie le iperboli non equilatere. Anche se non esplicitamente richiesto si sottintendeche ogni conica di cui si parla vada riconosciuta. Si parlerà anche di luoghigeometrici, cioè insiemi di punti che godono di certe proprietà; in questo caso ilproblema è quello di tradurre queste proprietà in manera analitica, cioè medianteequazioni e poi, di solito, eliminare uno o più parametri presenti nelle equazionitrovate per poter ottenere così l’equazione cartesiana del luogo.

13.1 Siano P la parabola di equazione y2 = 4x, A ∈ P B la proiezioneortogonale di A sull’asse x, e C il simmetrico di B rispetto all’origineO(0, 0); verificare che la retta CA risulta tangente a P .

[Vedi figura 13.1]

Figura 13.1

13.2 Sia P la parabola di equazione y2 = 2x e P il punto di coordinate (2, 2).

117

118 Capitolo 13. Le coniche

Determinare un punto Q ∈ P tale che l’area del triangolo OPQ siauguale a 4.

Figura 13.2

[Ricordando che l’area di un triangolo di vertici A(a, b), B(c, d) C(e, f ) è

12

∣∣∣∣∣∣

a b 1c d 1e f 1

∣∣∣∣∣∣e ponendo Q

(t2

2 , t)

si ottiene t = . . . da cui i punti Q1(2,−2)

e Q2(8, 4). (v. Fig. 13.2) ]

13.3 Siano

P la parabola di equazione y = x2

r ed r′ due rette perpendicolari uscenti dall’origine,

R ed R′ Le ulteriori intersezioni di P con r ed r′ rispettivamente.

Verificare che al variare comunque della coppia (r, r′) le rette passanti perR ed R′ passano sempre per un medesimo punto A, di cui si chiedonole coordinate. [A(0, 1)]

13.4 Verificare che l’equazione xy− 2x + y− 3 = 0 rappresenta un’iperboleequilatera.

[ Con un’opportuna rototraslazione di assi l’equazione diventa x2

2 −y2

2 = 2che è proprio la forma canonica dell’iperbole equilatera. ]

13.5 Sia P la parabola che ammette come fuoco il punto F(2, 2) e comevertice il punto V(1, 1); determinare la tangente a P parallela alla rettar : x− 2y + 3 = 0 ed il suo punto di contatto con P .

[Direttice y = −x. . . (x− y)2 − 8(x + y− 2) = 0. . . x− 2y = 8, P(16, 4)]

119

13.6 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze tangentialla bisettrice del I I e IV quadrante e passanti per P(1, 0).

[È la parabola con direttrice x + y = 0 e fuoco P(1, 0). . . x− y)2 − 4x + 2 = 0]

13.7 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera γ che ammette come fuocoil punto F(3, 0) e la retta r : x = 1 come direttrice coniugata ad F.Determinare inoltre il centro ed i vertici di γ.

[ Sia P(x, y) : allora d(PF)d(P,r) =

√2. . . x2 − y2 + 2x− 7 = 0. . . (x + 1)2 − y2 −

8 = 0. . . C(−1, 0), V1(−1− 2√

2, 0), V2(−1 + 2√

2, 0). ]

13.8 Siano

t una tangente all’iperbole di equazione xy− y = 1;

A e B le intersezioni di t con l’asse x e con l’altro asintoto, rispettiva-mente.

A′ l’intersezione dell’asse x con la retta per B parallela alla r : y =−2x

Trovare la relazione che intercorre tra le ascisse x di A e x′ di A′ al variaredi t. [x = 2

x′ + 1]

13.9 Si consideri l’ellisse γ di equazione x2 + xy + y2 = 1. Scrivere l’equazio-ne di una circonferenza che tagli l’ellisse in quattro punti vertici di unrettangolo.

Figura 13.3


[ Gli assi dell’ellisse sono le bisettrici dei quadranti. . . la circonferenza deve

avere centro in O e raggio r con√

23 < r <

√2, vedi un esempio in Fig. 13.3

nella pagina precedente ]

13.10 Si considerino le parabole P e P ′ che hanno fuoco nel punto F(0, 1) ecome direttrici rispettivamente le rette r : x = 2 e s : y = 2. Trovare lecoordinate dei punti comuni a P e P ′. [P1(1, 1) P2(3,−3)]

13.11 Scrivere l’equazione della parabola che ammette il punto F(1, 1) comefuoco e come vertice l’origine.

[La direttrice è x + y + 2 = 0 . . . (x− y)2 − 8(x + y) = 0]

13.12 Determinare fuoco e direttrice della parabola che ha il vertice in O,ammette come asse la bisettrice del I e III quadrante e passa per il puntoP(2, 1).

[ F(t, t) r : y = −x− 2t, ponendo PF = d(P, r). . . F(

124 , 1

24

), y = −x− 1

12 ]

13.13 Sia P la parabola di equazione y2 + 2x = 0. Scrivere l’equazione dellaparabola P ′ che ha fuoco nel punto F(1, 1) e come direttrice la tangentea P parallela alla retta OF.

[La retta OF ha coefficiente angolare 1. La tangente alla parabola è 2x− 2y = 1. . . ]

13.14 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera non degenere che passa perO(0, 0) ha un fuoco sull’asse x ed ammette come direttrice coniugata adF la retta di equazione x− y−

√5 = 0.

[F(t, 0) 6∈ r: OFd(O,r) =

√2. . . t = −

√5. . . xy + 2

√5x−

√5y = 0]

13.15 Calcolare l’eccentricità della conica

x2 − y2 + 2y− 5 = 0.

[Si tratta di un’iperbole equilatera, quindi e =√

2]

13.16 Si considerino Il punto F(2, 0) e la retta d : x− 2y = 0; scrivere l’equa-zione del luogo dei punti del piano per i quali il rapporto delle distanzeda F e da d è

√5 e riconoscerlo.

[F 6∈ d. . .√

5 > 1: iperbole. . . 4xy− 3y2 − 4x + 4 = 0 ]

13.17 Si consideri la famiglia di coniche F

2ax2 + 2y2 + 4ax + 2y + 2a = 0 (a ∈ R)

Determinare le coniche degeneri di F .

121

[La matrice dei coefficienti della conica è A =

a 0 2a0 1 12a 1 a

. Essa è singola-

re se e solo se a = 0 oppure a = −13

, da cui le coniche degeneri y2 + y = 0

e x2 − 3y2 + 2x− 3y + 1 = 0]

13.18* Trovare una rototraslazione di assi che riduca la conica K

x2 − xy + y2 − 5x = 0

a forma canonica.

[La matrice dei coefficienti della conica è A =

1 −12−5

2

− 12

1 0

−52

0 0

; la

natura di K dipende dal segno del determinante I2 della sottomatrice

B =

1 −12

− 12

1

formata dalle prime due righe e dalle prime due colonne

di A; poiché I2 > 0 si tratta di un’ellisse. Per ridurla a forma canonicadobbiamo far sì che l’origine e gli assi del sistema di riferimento coincidanorispettivamente con il suo centro ed i suoi assi. Per determinare il centrodobbiamo risolvere il sistema

1 −12

− 12

1

[xy

]+

− 5

2

0

=

[00

],

da cui C(

103

,53

); in seguito consideriamo la traslazione di vettore CO di

equazioni

x′ = x− 103

y′ = y− 53

. Sostituendo nell’equazione della conica i valori

di x e y ricavati in funzione di x′ ed y′ si ottiene l’equazione della conica cen-trata nell’origine: x2 − xy + y2 = 25

3 . La direzione degli assi è individuata

dagli autovettori di B, che sono[

11

]e[

1−1

]; per ridurre a forma canoni-

ca l’equazione della conica è sufficiente ruotare il sistema di riferimentoattorno all’origine di un angolo di π

4 . Le e quazioni della rotazione sono

x =x′√

2− y′√

2

y =x′√

2+

y′√2

;


sostituendo tali valori nell’equazione precedentemente trovata, si ottiene

l’equazione in forma canonica:350

x2 +9

50y2 = 1.]

13.19 Riconoscere le seguenti coniche e poi ridurle a forma canonica:

3x2 − xy + 3y2 − 6x + y− 22 = 0,

[ ellisse, 7x2 + y2 = 50. . . ]

xy + x− 3y + 4 = 0,

[iperbole equilatera. . . ]

4x2 + 4xy + y2 − 4x + 2y + 1 = 0.

[parabola. . . ]

13.20 Scrivere l’equazione della conica passante per i punti A(2, 1), B(2,−1),C(0,−1), D(0, 1) e E(3, 0) e riconoscerla. [ x2 + 3y2 − 2x− 3 = 0 ellisse.]

13.1 Quesiti

Q.13.127 La conica di equazione (x− y)2 + 3x = 0 è una parabola non degenere.2 vero 2 falso

Q.13.128 Esistono coppie di coniche distinte che hanno infiniti punti in comune.2 vero 2 falso

Q.13.129 L’equazione della conica x2 − 2xy + y2 + x = 0 può essere ridotta, conun’opportuna rototraslazione, ad una forma canonica del tipo ax2 +by2 = k con a, b 6= 0 2 vero 2 falso

Q.13.130 Se un fascio di coniche contiene due iperboli equilatere allora esso con-tiene anche una parabola. 2 vero 2 falso

Q.13.131 L’equazione dell’iperbole equilatera che ha i fuochi nei punti F(0, 0) eF′(−2, 0) nel piano è: a 2x2− 2y2 + 4x− 1 = 0; b x2− 2y2 + 3 =

0; c x2 − y2 + 4y = 0; d x2 + y2 + 2x− 1 = 0.

Q.13.132 Nel piano, l’equazione 2x2 + 2xy + y2 + 2y = 0 rappresenta: a unaconica di eccentricità < 1; b un’iperbole; c un’iperbole equilatera;d un’ellisse.

13.1. Quesiti 123

Q.13.133 Si consideri la famiglia di coniche rappresentata dall’equazione

x2 + kxy + y2 + kx− 1 = 0 (13.1)

allora esiste almeno un valore di k per cui l’equazione 13.1 rappresenta:a un’iperbole equilatera: b una parabola non degenere; c una

conica degenere; d una circonferenza reale.

Capitolo 14

Fasci di coniche

Da qui in poi il piano si intende completato con gli elementi impropri e con i puntia coordinate complesse; quando è il caso si useranno le coordinate omogenee nellaforma (x : y : u); inoltre indicheremo quasi sempre i fasci con un unico parametrocon la convenzione che esso possa, quando non esplicitamente vietato, assumere ancheil valore ∞. L’equazione di una generica conica sarà considerata della forma

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13xu + 2a23yu + a33u2 = 0 (14.1)

ed a questa forma faremo riferimento quando considereremo i coefficienti della (14.1)nelle soluzioni. Infine precisiamo che il parametro che useremo per scrivere l’equazionedi un fascio potrà essere una qualunque lettera minuscola dell’alfabeto latino (tranne,ovviamente la x e la y) o di quello greco.

14.1* Data la conicaγ : x2 + 2y2 + 2txy + 2y + t = 0, (14.2)

stabilire per quali valori del parametro t la γ è:

i) degenere;

ii) una circonferenza;

iii) un’iperbole equilatera;

iv) una parabola non degenere.

[ Per vedere quando una conica è degenere occorrre e basta vedere quandosi annulla il determinante della matrice dei coefficienti, cioè, per quanto

riguarda la (14.2), quando

∣∣∣∣∣∣

1 t 0t 2 10 1 t

∣∣∣∣∣∣= 0 quindi dev’essere −t3 + 2t −

1 = 0 le cui soluzioni sono t = 1, −1±√

52 . Per ottenere una circonferenza,

invece, occorre e basta che sia risolubile il sistema

a11 = a22

a12 = 0; che nel

caso della (14.2) non ammette soluzioni, essendo a11 = 1 6= 2 = a22

125

126 Capitolo 14. Fasci di coniche

quindi non esiste una circonferenza nel fascio assegnato. Anche per quantoriguarda l’iperbole equilatera, caratterizzata dal fatto che a11 + a22 = 0osserviamo che non esiste alcun valore del parametro per cui la conica(14.2) è un’iperbole equilatera. Infine abbiamo una parabola quando e

solo quando l’invariante I2 =

∣∣∣∣a11 a12a12 a22

∣∣∣∣ è nullo. Nel nostro caso si ha

2− t2 = 0 da cui t = ±√

2 che rappresentano i due valori per cui la (14.2)rappresenta una parabola non degenere (in quanto diversi da quelli trovatiper le coniche degeneri). ]

14.2 Determinare, se esistono, le parabole nel fascio di equazione

λ(x2 + 1) + µ(2xy + 3y2 − 2x + 6y− 4) = 0

[x2 + 1 = 0 degenere e (x + 3y)2 − 6x + 18y− 11 = 0 non degenere]

14.3 Si consideri il fascio F di coniche passanti per l’origine e per i puntiA(0, 1), B(2, 0) e C(1, 1). Verificare che le intersezioni di tutte le conichenon degeneri di F con la retta x = 2 sono simmetriche rispetto ad unmedesimo punto M e determinare le coordinate di M. [M(0, 2)]

14.4 Si consideri il fascio di coniche passanti per il punto improprio dellabisettrice del I e III quadrante, per l’origine, per A(0, 2) e tangenti allaretta y = 2; trovare l’ascissa dell’ulteriore punto in cui la generica conicadel fascio taglia l’asse x.

[ A appartiene alla tangente. . . il fascio è (x− y)(y− 2) + kx(x− y + 2) =0. . . per k = 0 la conica passa per X∞, per k 6= 0 si ha xP = 2−2k

k . ]

14.5 Nel fascio di coniche tangenti alla retta di equazione y = 2 e passantiper A(0, 1), B(2, 1) e C(1, 2), determinare quelle tangenti all’asse x ericonoscerle.

[(y− 2)(y− 1) = 0, parabola degenere; x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0 circonferenza.]

14.6 Determinare, se esistono, le circonferenze nel fascio di coniche che hacome punti base i punti A(2, 1), B(2,−1), C(0,−1) e D(0, 1).

[x2 + y2 − 2x− 1 = 0]

14.7* Esiste una circonferenza che passa per i punti A(1, 0), B(3, 0), C(2,−1)e D(−1,−2)?

[ Si può scrivere l’equazione della circonferenza che passsa per tre di questipunti e verificare se passa anche per il quarto, ma, in maniera più elegante,si può applicare la tecnica dell’esercizio 14.6. . . ]

127

14.8 Sia γ la circonferenza di raggio r =√

5 e centro a coordinate entram-be positive che stacca sugli assi x e y corde AB e CD di lunghezza 2.Determinare le parabole del fascio di coniche avente come punti baseA, B, C, D.

[Fascio (x− 2)2 + (y− 2)2 − 5 + kxy = 0. . . k = ±2. . . (x± y)2 − 4x− 4y + 3 = 0]

14.9 Scrivere l’equazione della conica che passa per il punto improprio del-l’asse y, per l’origine e per i punti A(3, 0), B(2, 3) e C(4, 5).

[15x2 − 11xy− 45x + 32y = 0]

14.10 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti O(0, 0), B(1, 1),C(2, 1) ed è tangente alla retta di equazione 2x− y− 1 = 0 nel puntoD(0,−1) e riconoscerla.

[ È la conica di equazine (x− 2y)(2x− y− 1) = 0, degenere.]

14.11 Scrivere l’equazione della conica passante per i punti A(1, 0), B(1,−1),C(2, 2) e tangente alla retta di equazione 3x− y+ 1 = 0 nel punto D(0, 1)e riconoscerla. [ 7x2 − 6xy− y2 − 3x + 5y− 4 = 0 iperbole.]

14.12 Determinare l’equazione della conica passante per P(2, 3) e tangente allacirconferenza1 x2 + y2 − 2x− 2y = 0 nei punti in cui essa interseca laretta y = x− 1 e riconoscerla. [16(x2 + y2 − 2x− 2y)− 3(x + y− 1)2 = 0.]

14.13 Determinare l’equazione dell’iperbole tangente nell’origine alla biset-trice del I e III quadrante, passante per A(1, 0) ed avente un asintotoparallelo alla bisettrice del II e IV quadrante.

[2x2 + xy− y2 − 2xu + 2yu = 0]

14.14 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha gli stessi asintoti dell’iperbolex2 − xy− 2y2 + 1 = 0 e passa per il punto P(1, 1).

[x2 − xy− 2y2 + 2 = 0]

14.15 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti A(1, 0), B(0, 2) eC(2, 2) ed è tangente alle rette r : x− 2y− 1 = 0 ed s : x + 2y− 4 = 0

[A ∈ r e B ∈ s. . . 20x2 + 12xy + 29y2 − 64x + 36y + 44 = 0]

14.16 Scrivere l’equazione dell’iperbole che passa per i punti A(1, 1), B(2, 0) eC(0, 3) ed ammette come asintoto la retta y = 2x

[L’iperbole è tangente al suo asintoto nel punto improprio. . . 68x2 + 16xy−25y2 − 142x + 71y + 12 = 0]

14.17 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha come asintoti le rette di equa-zioni x + 2y− 5 = 0 e 2x− 3y + 4 = 0 e passa per l’origine.

[2x2 + xy− 6y2 − 6x + 23y = 0]

1Due coniche sono tangenti in un punto se ivi hanno una retta tangente comune.


14.18 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera tangente nell’origine all’as-se x ed avente come asintoto la retta di equazione x + y + 1 = 0:

[x2 − y2 − 2y = 0]

14.19 Scrivere l’equazione della parabola non degenere tangente nell’origineall’asse x ed in P(0, 1) alla retta di equazione y = x + 1.

[(x− 2y)2 − 2y = 0]

14.20* Scrivere l’equazione della parabola che ha l’asse parallelo alla rettar.y = 3x e passa per i punti A(1, 0), B(0, 1) e C(1, 1).

Figura 14.1

[ L’asse fornisce il punto improprio della parabola, punto in cui essa ètangente alla retta impropria, quindi i cinque punti sono A, B, C eP∞

contato due volte. Posso scegliere come punti base del fascio A, B e P∞, P∞

e quindi le coniche degeneri del fascio sono: la retta impropria con la rettaAB, e le rette per A e B parallele alla r (Figura 14.1) ]

14.21 Scrivere l’equazione della conica che ha centro in C(1, 0), è tangente inA(0, 2) alla retta di equazione y = 2 e passa per il punto P(−1,−1).

[Il centro è centro di simmetria. . . 3x2 + 3xy + 7y2 − 6x− 3y− 22 = 0 ellisse]

14.22 Scrivere l’equazione della conica che passa per l’origine, ha come asse laretta di equazione 2x + 3y− 6 = 0 ed ammette come vertici i punti incui questa retta taglia gli assi coordinati.

[Le tangenti nei vertici sono perpendicolari all’asse. . . x2 + y2 − 3x− 2y = 0circonferenza]

129

14.23 Scrivere l’equazionne dell’iperbole equilatera che ha centro in C(1, 1),passa per l’origine ed è ivi tangente alla parabola y = x2 − x.

[ In O ha la stessa tangente della parabola, cioè y = −x. . . C è centro disimmetria. . . xy− x− y = 0]

14.24* Risolvere l’equazione x4 − 4x3 + 8x− 2 = 0.

[ La tecnica dei fasci di coniche permette di risolvere equazioni di quar-to grado non abbassabili di grado con il Teorema di Ruffini o algoritmianaloghi.È facile, nel nostro caso, osservare che l’equazione proposta non ammetteradici razionali (esse possono essere solo ±1 o ±2). Se ora poniamo y = x2

nell’equazione data, si ottiene y2 − 4xy + 8x− 2 = 0, cioè le equazioni didue coniche: le soluzioni cercate sono allora le ascisse dei punti di interse-zione delle due coniche, cioè dei punti base del fascio da esse individuato.Tali punti possono essere individuati facilmente considerando le conichedegeneri del fascio, che si possono ottenere dall’equazione del fascio ponen-

do I3 = 0; nel nostro caso si ha

∣∣∣∣∣∣

k −2 4−2 1 − k

24 − k

2 −2

∣∣∣∣∣∣, cioè k3− 24k + 32 = 0, che

ammette la soluzione razionale k = 4 a cui corrisponde la conica di equa-zione (2x− y)2 + 4(2x− y)− 2 = 0. Da essa si ottiene 2x− y = −2±

√6,

cioè [(2x− y)− (−2 +

√6)] [

(2x + y)− (−2−√

6)]

.

Il sistema y = x2

y2 − 4xy + 8x− 2 = 0

risulta allora equivalente al sistema

y = x2

(2x− y + 2−√

6)(2x− y + 2√

6) = 0

corrispondente ai due sistemi di secondo grado

y = x2

2x− y + 2−√

6

y = x2

2x− y + 2 +√

6

A questo punto basta eliminare la y e si ottengono le quattro soluzionicercate, che sono x = 1±

√3∓√

6 ]

14.25 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che passa per i punti co-muni alla circonferenza di equazione x2 + y2 = 1 ed alla parabola diequazione y2 = x. [x2 − y2 + 2x− 1 = 0]


14.26* Sia γ la circonferenza passante per l’origine ed avente centro nel puntoC(1, 1); siano A e B le ulteriori intersezioni di γ con gli assi coordinati.Scrivere l’equazione della conica passante per P(1, 2) e tangente alla γin P.

Figura 14.2

[ Due coniche sono tangenti in un punto se (e solo se) in quel punto hannouna retta tangente in comune. Dunque abbiamo un fascio di coniche bitan-genti, la cui equazione può essere determinata combinando linearmentel’equazione della conica degenere formata dalla retta AB “contata due volte”e di quella formata dalla coppia di tangenti in A e B; quest’ultima, (vediFigura 14.2) in realtà, non è necessario determinarla, in quanto la stessacirconferenza γ fà parte del fascio, la cui equazione sarà allora:

x2 + y2 − 1 + λ(x + y− 2)2 = 0

Imponendo poi il passaggio per P si ottiene λ = 1 da cui l’equazione dellaconica cercata x2 + xy + y2 − 3x− 3y + 2 = 0 che rappresenta un’ellisse. ]

14.27* Sono date le parabole

P : (ax + by)2 + c1x + d1y + e1 = 0

P1 : (bx− ay)2 + c2x + d2y + e2 = 0

Verificare che i quattro punti in cui esse si intersecano appartengono aduna medesima circonferenza.

[Basta verificare che nel fascio da esse individuato esiste ua circonferenza. . . ]

OSSERVAZIONE 14.1. Le parabole che compaiono nell’esercizio 14.27 sono duegeneriche parabole con gli assi perpendicolari. Pertanto la proprietà enunciata è dicarattere generale.

131

Quesiti

Q.14.134 Le coniche di equazione

(x2 + y) + (t2 + 1)(x2 − y2) = 0

costituiscono un fascio 2 vero 2 falso

Q.14.135 L’equazione a(x − 1)2 + b(x − y)2 + c(2x + 1)2 = 0 rappresenta, nelpiano, un fascio di coniche 2 vero 2 falso

Q.14.136 Se un fascio di coniche contiene due circonferenze, allora tutte le conichedel fascio sono circonferenze. 2 vero 2 falso

Capitolo 15

Luoghi geometrici

Come già accennato all’inizio del capitolo 13 a pagina 117, un luogo geometricoè un insieme di punti o rette o piani o altri enti geometrici descritto mediante una opiù proprietà di cui questi enti godono. Per risolvere questo tipo di esercizi occorretradurre in termini analitici queste proprietà: si perviene di solito ad un certo numerodi equazioni dipendenti da parametri, l’eliminazione dei quali fornisce un’equazionecartesiana che è quella del luogo richiesto se sono soddisfatte tutte le condizioni,esplicite od implicite.

15.1 Siano:

r la retta di equazione x− 2y = 0;

s la retta di equazione x + y + 1 = 0;

γ la generica iperbole, tangente nell’origine ad r ed avente s comeasintoto;

P e Q le ulteriori intersezioni di γ con gli assi.

Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze che passanoper O, P e Q.

[Sono i punti medi dei segmenti PQ. . . 6xy + 2x + y = 0 iperbole equilatera.]

15.2 Siano:

K la parabola di equazione x2 = 4y, F il suo fuoco e V il suo vertice;

r una generica retta per V;

A l’ulteriore intersezione di K con r;

B la proiezione ortogonale di A sull’asse x.

Scrivere l’equazione del luogo descritto dal punto P (v. Fig. 15.1 nellapagina seguente) intersezione delle rette r e BF e riconoscerlo.

[x2 + 2y2 − 4y = 0 ellisse]

133

134 Capitolo 15. Luoghi geometrici

Figura 15.1

15.3* Dati i punti A(−a, 0) e B(2a, 0) scrivere l’equazione del luogo dei puntiP tali che APO = OPB.

[ Indicato con P(x, y) il generico punto del piano, se denotiamo con mAP,mPO ed mPB i coefficienti angolari delle rette AP, PO, e PB rispettivamente,dovrà essere

mPO −mAP1 + mAP ·mPO

=mPO −mPB

1 + mPB ·mPOcioè

yx −

yx+a

1 + yx ·

yx+a

=

yx−2a −

yx

1 + yx ·

yx−2a

.

Con semplici passaggi e ponendo x 6= 0,−a, 2a si ottiene

ayx2 + ax + y2 =

2ayx2 − 2ax + y2

da cui, essendo a > 0 e y 6= 0 si ottiene x2 + y2 − 4ax = 0Per x = 0 si ha y = 0 non accettabile perché sull’asse x, per x = −a siottiene y = ±

√3 ed, infine, per x = 2a non si ottiene alcun punto. I punti

(−a,±√

3) vanno accettati, in quanto ottenibili nel caso in cui la retta PA èparallela all’asse y.

Il luogo richiesto è dunque costituito dalla circonferenza con centro C(−2a, 0)e raggio r = 2a, privata dei punti O e P2(−4a, 0) (vedi Fig. 15.2) ]

15.4* Siano:

γ l’iperbole di equazione xy = 1;

A il vertice di γ a coordinate positive;

B l’altro vertice;

T un punto di γ diverso da i vertici;

t la tangente in T a γ;

n la normale a t passante per A.

135

Figura 15.2

Figura 15.3

Scrivere l’equazione del luogo dei punti comuni ad n ed alla retta BT.

[ Si ha A(1, 1), B(−1,−1) e T(

t, 1t

)(con t 6= 0,±1); la tangente in T ha

coefficiente angolare mt = − 1t2 , dunque quello di n è mn = t2. Quindi

avremo n : y− 1 = t2(x− 1) e BT : y + 1 =1t +1t+1 (x + 1) che diventa, con

le limitazioni di t, y + 1 = 1t (x + 1); un sistema che dà l’equazione cercata


è:

y + 1 =1t(x + 1)

y− 1 = t2(x− 1). Ricavando t dalla prima equazione e sostituendolo

nella seconda, si perviene, dopo alcuni passaggi, all’equazione (x− y)[(x +

y)2 − (x− 1)(y− 1)] = 0. Si verifica facilmente che la retta x = y si ottieneper t = a caso che abbiamo escluso; le altre condizioni impongono dieliminare anche i punti (±1,±1) ed

(13 , 1

3

). Il risultato è quindi costituito

da tutti e soli i punti P(x, y) le cui coordinate sono radici dell’equazione(x + y)2 − (x− 1)(y− 1) = 0, che rappresenta un’ellisse (v. fig. 15.3 nellapagina precedente). ]

15.5 Siano:

γ la parabola di equazione y2 = x;

γ′ la circonferenza di equazione x2 + y2 − 2y = 0;

r la generica retta passante per l’origine O(0, 0);

A e B rispettivamente le intersezioni di r con γ e γ′;

a la retta per A parallela all’asse x;

b la retta per B parallela all’asse y.

Scrivere l’equazione del luogo descritto dal punto di intersezione dellerette a e b. [L’equazione del luogo è x(1 + y2)− 2y = 0. v. fig. 15.4]

Figura 15.4

15.6 Si consideri la curva

γ :

x =1− 3t2

t2 − 1

y =3− 2t− 3t2

t2 − 1

.

137

Dopo averne scritto l’equazione cartesiana ed averla riconosciuta, det-ti A e B i punti nei quali è tagliata dalla generica retta per l’origine,determinare il luogo dei punti medi dei segmenti AB.

[ x2 − y2 + 4x − 6y − 6 = 0, iperbole equilatera; x2 − y2 − 2x − 3y = 0iperbole equilatera. ]

15.7 Sia γ la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, t la generica tangentealla γ, A il punto comune a t ed all’asse y, d il diametro parallelo a t.Scrivere l’equazione del luogo dei punti P proiezione ortogonale di Asu d.

Figura 15.5

[ Se indichiamo con T(cos α, sin α) il punto di tangenza la retta t ha equa-zione cos αx + sin αy = 1. . . x2(x2 + y2)− y2 = 0 che è la quartica illustratain Figura 15.5 ]

15.8 Siano A(1, 0) e B(1, 1) due punti e F il fascio delle circonferenze tangentiin O = (0, 0) all’asse x; sia H l’ulteriore intersezione della genericacirconferenza del fascio con l’asse y. Detta P la proiezione ortogonaledi A sulla retta HB, scrivere l’equazione del luogo descritto dai puntiP. [x2 + y2 − 2x− y + 1 = 0]

15.9 Si considerino i punti A(1, 0) e B(1, 1) ed il fascio F delle circonferenzetangenti in O all’asse y. Siano:


P l’ulteriore intersezione della generica circonferenza di F con l’asse x;

Q Il punto simmetrico di A rispetto alla retta PB.

Scrivere l’equazione del luogo dei punti Q. [x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0]

15.10 Siano F il fascio di circonferenze passanti per O e per A(0, 1), sia γ ∈ Fe sia B l’ulteriore intersezione di γ con l’asse x, siano inoltre t la tangentea γ in B, C l’intersezione di t con l’asse y ed M il punto medio delsegmento BC. Scrivere l’equazione del luogo dei punti M. [y = −2x2]

15.11 Determinare il luogo dei punti medi delle corde della circonferenza diequazione x2 + y2 − 2y− 3 = 0 passanti per l’origine.

[ La generica retta (non verticale) per l’origine ha equazione y = mx,intersecandola con la circonferenza abbiamo l’equazione (m2 + 1)x2 −2mx − 3 = 0. Il punto medio cercato avrà coordinate soluzioni del si-

stema

y = mx

x =m

m2 + 1da cui

m =yx

x =yx

y2

x2 + 1

da cui, dopo semplici calcoli, si

ottiene l’equazione della circonferenza x2 + y2 − y = 0. ]

15.12 Siano:

γ una circonferenza tangente all’asse x nel punto A(2, 0);

r la tangente alla γ uscente dall’origine e distinta dall’asse x;

P Il punto di contatto della r con la γ.

Scrivere l’equazione del luogo dei punti P al variare di γ. [x2 + y2 = 4]

15.13 Scrivere l’equazione del luogo dei piedi delle perpendicolari condottedall’origine alle tangenti alla conica di equazione

8x2 + 3y2 − 12xy− 6x + 4y− 1 = 0

Capitolo 16

Proiettività ed involuzioni

16.1 Nella proiettività di equazione

xx′ − 3x + 4x′ + 1 = 0

calcolare l’omologo di 1 e di ∞. [x′ = 13 ; x′ = 3

2 ]

16.2 Trovare i punti uniti delle proiettività:

i) xx′ − x + x′ − 2 = 0ii) m + m′ = 0

[±√

2; 0, ∞ ]

16.3 Trovare, in funzione del parametro λ, i punti uniti della proiettività diequazione λxx′ − x− x′ − 2 = 0

[

λ > − 12 x1,2 = 1± i

√−1− 2λ 6∈ R

λ = − 12 x1,2 = 1

λ < − 12 x1,2 = 1±

√−1− 2λ ∈ R

]

16.4* Scrivere l’equazione della proiettività che manda i punti 0, 1 e ∞ rispet-tivamente nei punti 3, 2 e 5.

[ L’equazione di una generica proiettività π(x) si può scrivere nella formax′ = αx+β

γx+δ (con αδ− βγ 6= 0); nel nostro caso dovrà essere π(0) = 3 cioè

3 =βδ , π(1) = 2 cioè 2 =

α+βγ+δ e π(∞) = 5 cioè 5 = lim

x→∞αx+βγx+δ = α

β .

Otteniamo dunque il sistema

β = 3δ

α + β− 2δ = 0

α = 5γ

che ammette le soluzioni:

α = 5γ, β = −9γ, δ = −3γ quindi la proiettività è: x′ = 5x−9x−3 cioè xx′ −

5x + 3x′ − 9 = 0 ]

139

140 Capitolo 16. Proiettività ed involuzioni

16.5 Scrivere l’equazione della proiettività che manda i punti 1, 2 e 5 rispetti-vamente nei punti 2, 3 e 6 [x′ = x + 1]

16.6 Scrivere l’equazione della proiettività che ha come punti uniti 1 e ∞ emanda il punto 0 in 2 [x′x− 2 = 0]

16.7 Trovare due involuzioni tali che la loro composizione non sia un’involu-zione.

16.8* Si consideri il fascio F delle parabole passanti per i punti A(0, 1) eB(1, 1) e per il punto improprio della bisettrice del I e III quadrante;siano P la generica parabola del fascio e P e P′ le intersezioni di P conl’asse x. Verificare che che i punti P e P′ si corrispondono in una invo-luzione della quale si chiedono l’equazione ed i punti uniti. Osservareche questa involuzione è in realtà una simmetria rispetto ad un puntoM; determinare inoltre l’equazione della parabola del fascio tangenteall’asse x.

[ Essendo la parabola tangente alla retta impropria nel suo punto improprio,l’equazione del fascio è (x − y + 1)(x − y) + k(y − 1) = 0. Intersecandola generica parabola del fascio con la retta y = 0 si ottiene l’equazionex2 + x− k = 0 che, risolta, fornisce le ascisse di P e P′; la somma delle radiciè −1 e dunque l’involuzioen cercata è x + x′ = −1 cioè x′ = −1− x, che èproprio la restrizione all’asse x della simmetria rispetto al punto M

(− 1

2 , 0)

.

I punti uniti di tale involuzione risultano x1 = − 12 ed x2 = ∞: ad essi

corrispondono le coniche del fascio che incontrano l’asse x in due punticoincidenti, cioè alle parabole del fasci tangenti all’asse x; per determinarequella non degenere basta imporre il passaggio per M1: sia avrà allora− 1

4 − k = 0 e quindi l’equazione 4(x− y)2 − 4x− 5y + 1 = 0 ]

16.9 Siano:

A il punto (0, 1);

r la generica retta per A;

s la perpendicolare ad r passante per A

R ed S i punti di intersezione della retta di equazione y = 1 con r ed srispettivamente

Verificare che R ed S si corrispondono in una involuzione di cui si chiedel’equazione. [xx′ + 4 = 0]

1imponendo il passaggio per X∞ si nota che, intersecando anche due volte la retta im-propria in P∞ la conica contiene per intero la retta impropria, contata due volte ed è quindidegenere

141

16.10 Siano:

γ la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1;

A il punto (0, 1);

B il punto (0,−1);

r una generica retta per A;

C l’ulteriore intersezione di r con γ;

r′ la retta BC;

R ed R′ le intersezioni dell’asse x con le rette r ed r′ rispettivamente.

Verificare che R ed R′ si corrispondono in una involuzione di cui sichiede l’equazione. [xx′ + 1 = 0]

16.11 Siano:

r la retta di equazione x = 3;

A il punto (2, 0);

γ la circonferenza di diametro OA;

P Il generico punto di γ.

Verificare che le rette OP ed AP staccano su r coppie di punti che sicorrispondono in un’involuzione, di cui si chiede l’equazione.

[yy′ + 3 = 0]

16.12 Siano:

t una generica tangente all’iperbole γ di equazione xy− y− 1 = 0

A e B le intersezioni di t con l’asse x e con l’altro asintoto della γrispettivamente

A′ l’intersezione dell’asse x con la retta passante per B e parallela aquella di equazione y = 2x.

Verificare che i punti A e A′, al variare della tangente t si corrispondonoin una stessa involuzione. [xx′ − (x + x′) + 3 = 0]

16.13 Sia F il fascio di coniche che sono tangenti in O all’asse x ed in A(0, 2)alla retta di equazione y = 2. Verificare che le coppie di punti chele coniche di F tagliano sulla retta impropria si corrispondono inun’involuzione ω determinandone equazione e punti uniti.

[ Sia yx = m. . . mm′+ k = 0; per k > 0 m1,2 = ±i

√k 6∈ R, per k = 0 m1,2 = 0,

per k < 0 m1,2 = ±√−k ∈ R. ]

142 Capitolo 16. Proiettività ed involuzioni

16.14 Si consideri sull’asse x l’involuzione ω avente uniti i punti M(−1, 0) eN(1, 0).

Siano:

F il fascio di coniche tangenti nel punto A(0, 1) all’asse y e nel puntoB(1, 2) alla retta di equazione y = 2;

P un punto generico dell’asse x;

P′ il corrispondente di P nella ω.

Verificare che la conica di F che passa per P passa anche per P′.

16.15 Siano:

P il generico punto della circonferenza γ di equazione x2 + y2 −2x = 0 no appartenente all’asse x;

t la tangente in P alla γ;

A ed A′ le intersezioni della t rispettivamente con l’asse y e con la rettadi equazione x = 2;

r ed r′ le rette che dal punto B(−1, 0) proiettano rispettivamente A eA′.

Verificare che, al variare di P su γ, r ed r′ sono coniugate in una stessainvoluzione.

Figura 16.1

[ La circonferenza data ha centro in C(1, 0) e raggio r = 1; il punto P avràcoordinate (1 + cos α, sin α) (con sin α 6= 0) e quindi la tangente t avràequazione

y− sin α = − cos α

sinα(x− 1− cos α)

143

da cui A(

0, 1+cos αsin α

)ed A′

(2, 1−cos α

sin α

). I coefficienti angolari di AB ed A′B

sono rispettivamente m = 1+cos αsin α e m′ = 1−cos α

sin α da cui mm′ = 1+cos αsin α ·

1−cos αsin α = 1−cos2 α

3 sinα = 13 ; dalla Figura 16.1 si desume inoltre facilmente che

se P appartiene all’asse x, t coincide o con l’asse y o con la retta x = 2 il cherende indeterminata la posizione del punto A o del punto A′. ]

16.16 Si considerino la parabola P di equazione y = x2− 1 ed i punti A(−1, 0)e B(0,−1).

Siano:

P un generico punto di P diverso da A o B;

r la retta AP;

s la retta BP;

t la retta simmetrica di s rispetto all’asse x;

u la parallela a t passante per A.

Verificare che la corrispondenza fra le rette r ed u nel fascio di sostegnoA che così si ottiene è un’involuzione [m + m′ + 1 = 0]

16.17 Siano r ed r′ due rette nel fascio di sostegno A(0, 1) che si corrispondononell’involuzione di equazione mm′ − 2 = 0. Verificare che i punti diintersezione di r ed r′ con l’asse x si corrispondono in una involuzione etrovare l’equazione di questa involuzione. [xx′ = 1

2 ]

Capitolo 17

Polarità piana

La polarità si intende sempre definita rispetto a coniche irriducibili. Nelle risoluzioniproposte faremo uso di una delle tante forme dell’equazione della polare, nulla vieta,se il caso, che lo studente provi a risolvere in altro modo l’esercizio. In alcunicasi la risoluzione non si baserà su un procedimento solo analitico, ma farà uso diconsiderazioni sintetiche legate alla legge di reciprocità: è un invito alla riflessione

17.1 Sia F il fascio di coniche di equazione

y2 − xy + λ(2x2 − 3xy + y2 − 6x + 3y) = 0

Verificare che tutte le coniche del fascio sono tangenti nell’origine aduna stessa retta ,di cui si chiede l’equazione. [2x + y = 0]

17.2 Determinare la polare dell’origine rispetto alla conica di equazione

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

[dx + ey + f = 0]

17.3 Si consideri l’iperbole equilatera γ che ha come asintoto la retta diequazione y = 2x ed è tangente in P(3, 0) alla retta di equazione 4x +3y = 12; scrivere l’equazione dell’altro asintoto.

[È la polare di (−2 : 1 : 0). . . x + 2y = 0]

17.4 Un’iperbole equilatera γ ammette come asintoto la retta di equazionex + 2y − 4 = 0; determinare l’altro asintoto sapendo che γ intersecal’asse x nei punti P(1, 0) e Q(3, 0).

[. . . 2x2 + 3xy− 2y2 − 8x + 4y + 6 = 0. . . gli asintoti sono ortogonali . . . y− 2x = 0]

17.5 Determinare gli asintoti dell’iperbole equilatera non degenere che passaper l’origine e per A(1, 0), ha gli asintoti paralleli alle rette x− 5y = 0 ex− y = 0 e taglia l’asse x secondo un segmento lungo 5.

[. . . x2 − 6xy + 5y2 − x− 25y = 0. . . 2x− 10y− 15 = 0 e 2x− 2y + 13 = 0]

145

146 Capitolo 17. Polarità piana

17.6 Considerate le coniche γ1 : x2 + y2 − 2 = 0 e γ2 : 4xy + 3 = 0, determi-nare i punti P tali che la polare di P rispetto a γ1 coincida con la polaredi P rispetto a γ2 [(0, 0), (1 : ±1 : 0)]

17.7 Date le coniche γ : x2 + y2 + 4x = 0 e γ′ : y2 − 6x = 0 determinare ipunti P ∈ γ′ tali che la tangente in P alla γ′ sia ortogonale alla polare diP rispetto a γ. [(2,±

√3)]

17.8 Nel fascio di coniche che passano per l’origine, per i punti A(0,−1) eB(−1,−1) e sono tangenti alla retta di equazione x + y + 2 = 0 deter-minare le coniche rispetto alle quali la polare del punto P(−1, 0) e delpunto improprio della retta 2x− 2y− 5 = 0 sono tra loro perpendicolari.

[3x2 + 4xy− y2 + 7x− y = 0; x2 + 2xy− y2 + 3x− y = 0]

17.9* Siano:

γ la generica conica che ha fuoco nel punto F(0, 2) e come direttri-ce coniugata ad F la retta di equazione x + y + 1 = 0;

r la polare del punto P(1, 2) rispetto a γ;

Q ed R le intersezioni di r rispettivamente con la retta di equazionex = 1 e con l’asse y

Verificare che Q ed R si corrispondono in una proiettività.

[ Si potrebbe scrivere l’equazione di γ ricorrendo alla definizione di conicatramite fuoco e direttrice, tuttavia la teoria della polarità ci permette unasoluzione più rapida ed elegante: la direttrice può essere infatti vista come lapolare del fuoco, e quindi la congiungente i punti di contatto delle tangentiuscenti dal fuoco che sono le rette isotrope1; γ appartiene allora al fasciogenerato dalla direttrice “contata due volte” e dal complesso delle retteisotrope passanti per F, cioè la circonferenza di centro F e raggio nullo. Incoordinate omogenee l’equazione di tale fascio è: x2 + (y− 2u)2 + k(x +y + u)2 = 0. La polare di P rispetto alla generica conica del fascio è:

1 · [2x + 2k(x + y + u)]++2[2(y− 2u) + 2k(x + y + u)]+

+1[−4(y− 2u) + 2k(x + y + u)] = 0.

che, semplificando, diventa x + 3k(x + y + u) = 0. Allora Q =(

1, −6k−13k

)

ed R =(−3k

3k+1 , 0)

(k 6= 0 in quanto la polarità riguarda solo coniche irriduci-

bili), per k = − 13 si ha R ≡ X∞(1 : 0 : 0)). Sarà dunque y = −6k−1

3k = −2−13k ed x′ = −3k

3k+1 cioè 1x′ =

−3k−13k = −1− 1

3k ; da y + 2 =(− 1

3k

)= 1

x′ + 1 siottiene l’equazione della proiettività yx′ + x′ − 1 = 0. ]

1Ricordiamo che le rette isotrope sono due rette immaginarie che passano per i punti ciclicidel piano e per l’origine e le cui equazioni sono x± iy = 0.

147

17.10 Un’iperbole equilatera ha un fuoco nel punto F(−1, 0) ed ammettecome polare di F la retta f di equazione 2x + y + 1 = 0; determinarnel’equazione. [ f è la direttrice. . . 3x2 + 8xy− 3y2 − 2x + 4y− 3 = 0]

17.11 Una parabola P non degenere ha per direttrice la bisettrice del I eIII quadrante e come polare del punto A(−1, 1) la retta di equazione3x − y + 1 = 0. Determinare il fuoco F e l’asse di simmetria r di P .

[F(− 3

2 , 12

), r : x + y + 1 = 0]

17.12 Scrivere l’equazione della conica che passa per il punto A(0, 1), è tan-gente nell’origine alla bisettrice del I I e IV quadrante ed ammette comepolare di X∞ la retta di equazione x = 2. [x2 + 4y2 − 4x− 4y = 0 ellisse]

17.13 Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti O e P(1,−1) perla quale la retta di equazione y = 1 è un asintoto e quella di equazione2y + 1 = 0 è la polare del punto Q(1, 1). [xy− 5y2 − x− 7y = 0]

17.14* Siano γ la circonferenza di equazione x2 + y2 = 4 ed A il punto (2, 4).Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera tangente a γ nei punti dicontatto delle tangenti ad essa uscenti da A.

[ Si tratta dell’iperbole equilatera del fascio generato dalla circonferenzadata e dalla polare pA di A “contata due volte”, che è la congiungente ipunti di tangenza. (v. Fig. 17.1)

Figura 17.1

La polare di A è x + 2y− 2u = 0 e dunque il fascio suddetto ha equazionex2 + y2 − 4 + k(x − 2y− 2)2 = 0; avremo un’iperbole equilatera se I1 =

a11 + a22 = 1 + 1 + k + 4k = 0 cioè per k = − 25 da cui l’iperbole 3x2 −

8xy− 3y2 + 8x + 16y− 28 = 0 ]


17.15 Siano γ la conica di equazione 2xy = 1 ed F il punto (1, 1); scriverel’equazione dell’involuzione delle rette reciproche uscenti da F.

[F è uno dei fuochi. . . l’involuzione è quella circolare mm′ = −1]

17.16 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha gli stesssi asintoti della x2 −xy − 2y2 − x + 2y + 1 = 0 ed ammette gli assi cartesiani come rettereciproche.

[Gli asintoti sono x− 2y = 0 e x + y− 1 = 0. . . (x− 2y)(x + y− 1) + 1 = 0]

17.17 Una conica γ passa per i punti impropri degli assi cartesiani, per il puntoA(1, 1), ed ammette come polare del punto P(0,−1) la retta di equa-zione y = 1; scrivere l’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse yreciproci rispetto alla γ. [Y∞ è unito e P è coniugato con A. . . y + y′ = 0]

17.18 Sia γ l’iperbole equilatera che passa per i punti A(0, 1), B(2, 0) e C(1, 1)ed è tangente alla bisettrice del I e III quadrante; scrivere l’equazionedell’involuzione dei punti dell’asse x reciproci rispetto a γ

[2xx′ − 3(x + x′) + 4 = 0]

17.19* Si considerino il punto A(0,−1) e la conica γ di equazione 2x2 + 3xy +3y2 − x− 6y− 1 = 0; scrivere l’equazione dell’iperbole che passa per ilpunto B(2, 0) ed ha come asintoti le tangenti alla γ passanti per A.

Figura 17.2

[ Le due tangenti AT1 e AT2 sono le rette che congiungono A con i punti incui la polare di A taglia la γ (v. Fig. 17.2). Il fascio a cui appartiene l’iperboleche cerchiamo sarà il fascio di iperboli avente queste due rette come asintoti,cioè tangenti nei punti impropri. Lavorando in coordinate omogenee, la

149

polare pA di A ha equazione x + 3y− u = 0. La conica spezzata nelle duerette AT1 AT2 appartiene al fascio 2x2 + 3xy + 3y2 − xu− 6yu− u2 + k(x +

3y− u) = 0 Ricercando le coniche degeneri, cioè imponendo I3 = 0 si hak = ∞, a cui corrisponde la retta pA contata due volte e k = − 1

2 che è quellache fa a l caso nostro ed ha equazione x2 − y2 − 2yu− u2 = 0. La conicarichiesta sarà dunque tangente a quest’ultima nei suoi punti impropri, saràquindi una conica del fascio x2 − y2 − 2yu− u2 + ku2 = 0. Imponendo ilpassaggio per B otteniamo k = −4 da cui l’equazione, in coordinate nonomogenee x2 − y2 − 2y− 4 = 0 che è un’iperbole equilatera. ]

17.20 Siano:

γ l’ellisse di equazione x2 − xy + y2 − 3x + 2 = 0;

P il punto di coordinate (0,−1)

Q il punto (0, 1).

Verificare che i punti P e Q ed i quattro punti di contatto di γ con letangenti uscenti da P e da Q appartengono ad una medesima conica.


[Nel fascio di coniche generato da γ e dalle due polari, cercare quella chepassa per Q ed osservare che passa anche per P (vedi Figura 17.3). ]

17.21 Siano:


P la parabola di equazione (x− y)2 − 4(x + y + 1) = 0;

P un punto del piano;

T1 e T2 i punti di contatto delle tangenti uscenti da P con la parabola.

Scrivere l’equazione del luogo dei punti P tali che T1 e T2 siano allineaticon l’origine. [È la polare dell’origine. . . x + y + 2 = 0]

17.22* Trovare il polo della retta impropria rispetto alla conica di equazione

x2 − 3y2 − 2x + 2 = 0.

[ Per la legge di reciprocità basterà trovare le polari di due punti impropriqualsiansi: i più comodi sono X∞(1 : 0 : 0) e Y∞(0 : 1 : 0) le due polarisono rispettivamente la derivata rispetto ad x e quella rispetto ad y della

conica: in coordinate omogenee si ha il sistema

2x− 2u = 0

−6y = 0che ha come

soluzione x = u e y = 0 da cui il punto P(1, 0). ]

17.23 Trovare il polo della retta x + y + 3 = 0 rispetto alla conica

2x2 − 3xy + y2 + 3x = 0.

[(1, 2)]

17.24 Siano:

r una retta per l’origine;

P il polo della r rispetto alla circonferenza di equazione x2 + y2 − 2x =0;

Q il polo della r rispetto all’iperbole di equazione x2 − xy− y + 1 = 0

Trovare le rette r per le quali i corrispondenti punti P e Q sono allineaticon A(−2, 1). [y = 2

3 x, y = 3x]

17.25 Data la circonferenza di equazione x2 + y2 − 2x + 3y = 0 ed i puntiA(1, 2) e B(2, 0), determinare un punto C che sia reciproco sia di A siadi B. [È il polo della retta AB. . . C

(207 ,− 4

7

)]

17.26* Verificare che i punti impropri degli assi x e y sono reciproci rispetto atutte le coniche che passano per i punti O(0, 0) ed A(2, 0) ed ammettonocome polare del punto P(1, 2) l’asse x. [(x− y)2 + 4x− 8 = 0]

[ La polare di P passa per O ed A che sono quindi i punti di contatto delletangenti uscenti da P. L’equazione del fascio, in coordinate omogenee, sipuò scrivere come

ky2 + (2x− y)(2x + y− 4u) = 0.

151

La polare di X∞(1 : 0 : 0) rispetto alla generica conica del fascio ha equa-zione 2(2x + y− 4u) + 2(2x− y) = 0 e cioè, semplificando, x− u = 0 chepassa per Y∞(0 : 1 : 0).]

17.27 Data la parabola y = x2, verificare che l’involuzione dei punti reciprocida essa subordinata sull’asse x è la simmetria rispetto all’origine.

[. . . i punti uniti sono le intersezioni con l’asse x: O e X∞. . . ]

17.28* Una conica taglia l’asse x nei punti A(2, 0) e B(4, 0) e l’asse y in C(0, 2)e D(0, 4). Determinare la polare dell’origine.

[ Considerare l’involuzione dei punti reciproci sugli assi. . . i corrispondentidi O sono rispettivamente A′(3, 0) e B′(0, 3). . . la retta AB è x + y− 3 = 0 ]

17.29* Si considerino i punti A(0, 1) e B(2, 0) e la retta r di equazione x+ 2y = 4;sia γ la conica non degenere tangente in A all’asse y, tangente in Ball’asse x e tangente anche alla retta r.

Senza determinare l’equazione di γ, trovare le tangenti ad essa uscentidal punto P∞(2 : −1 : 0)

[ Una delle rette cercate è r che è tangente in T(2, 1), l’altra passa per l’altropunto unito dell’involuzione dei punti reciproci sulla retta OT, che tienefisso T e manda il punto O nel punto P

(1, 1

2

). . . xx′ − 4(x + x′) + 4 =

0. . . T′(

23 , 1

3

). . . 3x + 6y− 4 = 0. ]

17.30* Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha come asintoto laretta r : x − y + 1 = 0 e subordina sull’asse x l’involuzione dei puntireciproci di equazione xx′ − (x + x′) = 0.

[ La conica ha r come asintoto, passa per il punto improprio in direzio-ne ortogonale ad r e per i punti dell’asse x uniti nell’involuzione data,quindi. . . x2 − y2 − 2x + 4y = 0 ]

Capitolo 18

Centro e diametri di una conica

18.1 Centro, diametri ed assi

18.1* Sia γ l’iperbole equilatera che passa per i punti A(0,−1) e B(−2,−1)ed avente come asintoto la bisettrice del I e I I I quadrante; trovarel’equazione di γ e le coordinate del suo centro.

[ L’iperbole appartiene al fascio (x+ 1)(x− y)+ k(x− y− 1)(x− y+ 1) = 0;è equilatera se e solo se I1 = 1 + k + k = 0 cioè se k = − 1

2 , quindi haequazione x2− y2 + 2x− 2y+ 1 = 0. Il centro è il polo della retta impropria,dunque il punto di incontro delle polari di X∞ ed Y∞ cioè le sue coordinatesono soluzione del sistema

∂ f∂x

= 0

∂ f∂y

= 0

Nel nostro caso

2x + 2 = 0

−2y− 2 = 0e qundi C(−1,−1). ]

18.2 Determinare le coordinate del centro delle coniche non degeneri chehanno equazione del tipo ax2 + by2 + cx + dy + f = 0. [

(− c

2a ,− d2a

)]

18.3 Si consideri l’iperbole γ di equazione xy = 1.

Siano:

A il punto (1, 1);

a la tangente In A a γ;

d il generico diametro di γ;

d′ il diametro coniugato a d rispetto a γ;

P l’intersezione di a con d;

P′ l’intersezione di A con d′.

153

154 Capitolo 18. Centro

Verificare che P e P′ si corrispondono in una involuzione ω di cui sichiedono l’equazione ed i punti uniti.

[x = 21+m , x′ = 2

1−m . . . eliminando m si ha xx′ − (x + x′) = 0. . . (0, 2) e 2, 0)]

18.4 Siano:

γ l’ellisse di equazionex2

a2 +y2

b2 = 1;

V un vertice di γ;

t la tangente a γ in V;

p e q due diametri coniugati di γ distinti dagli assi.

verificare che p e q tagliano t in due punti P e Q tali che VP · VQ ècostante comunque vari la coppia p q.

18.5* Trovare l’equazione della conica γ che ha centro nelll’origine, un verticesulla circonferenza di equazione x2 + y2 = 4 e quale polare del puntoA(0, 1) la retta r di equazione x + y− 2 = 0.

Figura 18.1

[ Se uno dei vertici sta su γ sarà su di essa anche il suo simmetrico rispettoall’origine. Un asse sarà allora la retta y = mx (si vede subito che i verticinon appartengono all’asse y). La polare di A passa per C quindi la pola-re di C passa per A e non può essere la retta y = 2. La generica conicache ha come asse y = mx, appartiene al fascio (in coordinate omogenee)x2 + y2 − 4u2 + k(y−mx)2. Imponiamo che la polare pA di A rispetto alla

18.1. centro 155

generica conica sia r. pA ha equazione 1 · [2y + 2k(y−mx)] + 1 · [−8u] = 0che diventa kmx− (k + 1)y + 4u = 0. I coefficienti di quest’ultima devo-no essere proporzionali a quelli dell’equazione di r: otteniamo il sistema

km1

=4−2

−(k + 1)1

=4−2

che ha come soluzione k = 1 e m = −2, quindi la conica

ha equazione 5x2 − 4xy + 2y2 − 4 = 0. Vedi la Figura 18.1 a fronte ]

18.6 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha centro in C(1, 2), passa peril punto A(−1,−1) e subordina sull’asse x l’involuzione dei puntireciproci xx′ − x− x′ = 0

[ L’iperbole passa anche per il simmetrico di A rispetto a C e per i due puntiuniti dell’involuzione. . . 5x2 − 3y2 − 10x + 12y = 0. ]

18.7 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha centro in C(1, 1) etale che la polare dell’origine sia l’asse x.

[ L’asse x è tangente. . . l’iperbole passa per A(2, 2) con tangente y = 2. . . x2−2xy− y2 + 4y = 0. ]

18.8 Considerato il fascio F delle iperboli equilatere che passano per A(1,−2)ed ammettono la retta di equazione x− 2y = 1 come asintoto,

i) scrivere l’equazione di F ;

ii) Scrivere l’equazione dell’iperbole appartenente ad F che ha centronel punto C(3, 1).

[(x− 2y− u)(2x + y) + k(x− 2y− 5u)u = 0; k = −7]

18.9 Determinare l’equazione dell’involuzione dei punti reciproci subordina-ta sulla retta x = y dalla conica di equazione x2 + 2y2 = 1.

[È la simmetria rispetto al centro, cioè O(0, 0). . . x + x′ = 0.]

18.10 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti O(0, 0), A(4, 0) eB(0, 2), è tangente alla retta r : 2x− y + 2 = 0 ed ammette la retta ABcome diametro.

[ Le tangenti agli estremi di un diametro sono tra loro parallele. . . r contieneA . . . quindi la tangente in B è . . . x2 + y2 − 4x− 2y = 0. ]


18.11 Siano:

γ la conica di equazione y2 − x2 − 2y = 0;

C il centro di γ;

A e B rispettivamente i punti (−1, 0) e (0,−2);

D il punto della retta di equazione y = 2 reciproco di A rispetto a γ;

p la retta DB;

p′ la retta DC.

Verificare che le rette p e p′ sono reciproche rispetto a γ.

[ La polare di A è la retta x = y. . . D(2, 2) . . . il diametro coniugato a DC èparallelelo a DB. . . ]

18.12 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ammette l’asse y comepolare del punto improprio della bisettrice del I I e IV quadrante esubordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci di equazionexx′ − 1 = 0.

[ Sull’asse x, l’origine è il reciproco di X∞. . . O sta sul diametro x = 0 dun-que è il centro. . . gli asintoti sono le bisettrici di ogni coppia di diametri co-niugati. . . la conica passa per (1, 0). . .

(y + (1 +

√2)x) (

y + (1−√

2)x)+

1 = 0. ]

18.13 Dimostrare che tutte le iperboli equilatere che hanno centro nell’originee tagliano la retta di equazione y = 1 in due punti simmetrici rispetto alpunto

(− 4

3 , 1)

hanno gli stessi asintoti.

[ AO è coniugato all’ax. . . gli asintoti sono le bisettrici di ogno coppia didiametri coniugati. . . . ]

18.14* Sia γ l’iperbole equilatera che ha centro in C(2, 1), passa per l’origine edivi ammette come tangente la retta r di equazione y + 2x = 0; trovare laretta passante per il punto (−1, 1) che è reciproca dell’asse x rispetto aγ.

[ Basta trovare il polo dell’asse x: esso sarà l’intersezione della polare diO, che è r con quella di X∞ Per trovare quest’ultima consideriamo l’in-voluzione dei diametri coniugati: il diametro CO è coniugato a quello indirezione di r dunque ad m = −2 corrisponde m′ = 1

2 e quindi consi-derando l’equazione mm′ + α(m + m′) + β = 0 si ottiene la condizione

18.1. centro 157

−1− 32 α + β = 0; ora, poiché si tratta di un’iperbole equilatera, gli asintoti,

che sono le bistttrici di ogni coppia di diametri coniugati, sono perpen-dicolari e sono le rette unite nell’involuzione dei diametri coniugati e siottengono quindi dall’equazione m2 + 2αm + β = 0 dunque dalle due re-lazioni ora determinate abbiamo che l’involuzione dei diametri coniugatidi γ è mm′ − 4(m + m′) − 3 = 0 la polare di X∞ ha quindi coefficienteangolare che è soluzione dell’equazione 3 · 0 ·m′ − 4(0 + m′)− 3 = 0 dacui m′ = − 3

4 . Il polo dell’asse x ha allora coordinate che sono soluzione del

sistema

y + 2x = 0

y− 1 = −34(x− 2)

quindi è P′(−2, 4); la retta richiesta, che è

PP′, ha dunque equazione y = −3x− 2. ]

18.15* Sia γ una conica che ammette come polare dell’origine la retta r diequazione x = 1, come involuzione dei punti reciproci su r la simmetriarispetto al punto S(1, 0) e la retta y = −1 come diametro. Determinaregli asintoti della γ.

[ Nell’involuzione dei punti reciproci su r i punti uniti sono S e R∞. . . letangenti uscenti da O sono quindi l’asse y (che è uno degi asintoti) e l’asse x. . . il centro è C(0,−1) e l’ax è coniugato a CS . . . l’altro asintoto è l’elementounito nell’involuzione dei diametri coniugati. . . Ha coefficiente angolarem = 1

2 . . . . ]

18.16 Rispetto ad un’iperbole equilatera γ, l’involuzione delle rette reciprocheuscenti da O(0, 0) ha equazione mm′ + m + m′ + 3 = 0 e la polare di Oè la retta di equazione x = 2; scrivere l’equazione della γ e quelle deisuoi assi.

[ Le tangenti uscenti da O sono le rette unite. . . x2− 2xy− y2− 16x+ 16 = 0;±x + (

√2± 1)y + 4

√2 = 0. ]

18.17 Un’iperbole equilatera γ ammette come polare del punto P(1, 1) la rettap : x = 2 e taglia la p nei punti A(2, 1)3 B(2, 3); scrivere l’equazionedella γ e dei suoi assi.

[x2 + 2xy− y2 − 6x + 5 = 0; x− 32 = (−1±

√2)(

x− 32

)]

18.18 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ammette i punti O edA(0, 1) come reciproci ed ha per asintoti gli assi dell’ellisse di equazione2x2 − 2xy + 5y2 − 4x + 2y = 0. [(x− 1)2 − 3(x− 1)y− y2 = 5

2 ]


18.19 Si consideri la conica γ : x2 − 2xy + 2y2 − x + 2y = 0; scrivere l’equazio-ne della parabola avente come asse la retta di equazione x + y + 2 = 0 eche subordina sull’asse y la stessa involuzione dei punti reciproci subor-dinata da γ.

[Le intersezioni con l’asse y sono le stesse di γ. . . (x + y)2 +−x + 9y = 0]

18.20 Si consideri la parabola P di equazione x2 + 2xy + y2 − 4x + 1 = 0;scrivere l’equazione di una parabola che passa per l’origine ed ha lostesso asse di P . [L’asse è x + y + 1 = 0. . . ]

18.21 Scrivere l’equazione della conica che passa per l’origine, per A(1, 0) eper B(0, 1), è tangente in B alla retta r : x − 2y + 2 = 0 ed ha un asseparallelo alla retta di equazione x− 3y = 0.


[ La polare di (3 : 1 : 0) deve passare per (1 : −3 : 0) . . . si ottiene l’equa-zione 2x2 + 3xy− 2y2 − 2x + 2y = 0 che rappresenta un’iperbole. (vedifigura 18.2) ]

18.22 Scrivere l’equazione della parabola che ha come asse la retta di equa-zione x + y + 1 = 0 e che subordina sull’asse x l’involuzione dei puntireciproci ω : xx′ − 1 = 0

[ La parabola passa per i punti uniti di ω che sono A(−1, 0) e B(1, 0), quindiA è il vertice. Dunque appartiene al fascio (x + y + 1)2 + λ(x− y− 1) =0. . . ]

18.23 Riconoscere le seguenti coniche e determinarne centro, assi e vertice:

3x2 − xy + 3y2 − 6x + y− 22 = 0,

18.2. Triangoli autopolari 159

4x2 − 10xy + 4y2 − 18 = 0.

[La prima conica è un’ellisse che ha centro nel punto (1, 0) e come assi lerette y = x− 1 e y = 1− x; intersecando tali assi con la conica si ottengonole coordinate dei quattro vertici (1±

√5,±√

5). La seconda è un’iperbole

di centro(−16

9,−20

9

)]

18.24 Nel piano si considerino i punti A(2, 0) e B(−1, 1) e la retta r : x + y = 0.Scrivere l’equazione della parabola K che passa per A di vertice B edasse r e l’equazione della tangente in A a K

18.25 Si consideri la conica γ di equazione x2 + 4y2 − 2x = 0. Determinare idiametri della conica che intercettano su di essa segmenti di lunghezza32 . [d1 ≡

√7x− 2

√5y−

√7 = 0 e d2 ≡

√7x + 2

√5y−

√7 = 0]

18.2 Triangoli autopolari

18.26 Si consideri la conica γ di equazione xy − y2 − x = 0; verificare cheil triangolo avente come vertici i punti A(1, 0), B(0, 1) e C(−1, 0) èautopolare per la γ.

18.27 Determinare i triangoli aventi un vertice nell’origine che sono autopolaririspetto alle coniche γ : x2− xy+ 2y− 1 = 0 e γ′ : y2− 2xy− 2y+ 1 = 0.

[ La polare dell’origine è, rispetto ad entrambe le coniche, la retta p : y− 1 =

0,. . . le polari di un punto di p rispetto alle due coniche coincidono solo peri punti (±1, 1),. . . i terzi vertici dei triangoli così ottenuti sono (∓1, 1). ]

18.28 Si consideri il fascio F di coniche aventi come punti base A(1, 0), B(0, 1),C(−1, 0) e D(0,−1).

Verificare che il triangolo avente come lati le bisettrici dei quadranti e laretta impropria è autopolare per tutte le coniche di F .

[ Considerando l’involuzione dei punti reciproci sui due assi otteniamo cheil centro è O(0, 0). . . considerando la retta x− y + 1 = 0 si ha che la polaredi (1 : 1 : 0) passa per

(12 , 1

2

). . . ]

18.29 Si consideri il fascio F delle circonferenze tangenti alla bisettrice delI e III quadrante nel punto A(1, 1); determinare la circonferenza di Frispetto alla quale è autopolare il triangolo avente per lati la retta y = 1e gli assi coordinati.


[ Il centro sta sulla polare di X∞, cioè l’asse y . . . è C(0, 2) . . . x2 +(y− 2)2 = 2. . . verifica tutte le condizioni richieste. ]

18.30 Siano dati i punti C(1, 1), A(1, 0) e B(0, 1); scrivere l’equazione dellaconica che ha centro in C ed ammette come autopolare il triangolo OAB.

[2xy− 2x− 2y + 1 = 0. . . del resto gli asintoti sono x = 1 e . . . ]

18.31 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ammette come autopolare il trian-golo di vertici O, A(8, 0) e B(0, 8) e come asintoto la retta di equazioney = 3x− 16: [15x2 − 2xy− y2 + 16x + 16y− 64 = 0]

18.32 Sia F la famiglia di circonferenze tangenti alla retta di equazione y−x− 1 = 0; trovare la circonferenza di F rispetto alla quale è autopolareil triangolo avente per lati le rette x = 1, x = 0 e y = 1.

[ Il centro della circonferenza sta sulla polare di Y∞, che è la retta y = 1.

Figura 18.3

La tangenza avviene in A(1, 2), dal momento che il punto di tangenza devestare sulla polare di (0, 1) (V. Fig. 18.3) che appartiene alla tangente, cioèsulla retta x = 1. Il centro si ottiene dunque come intersezione della y = 1 edella perpendicolare in A alla y = x + 1, cioè la x + y− 3 = 0. Pertantio ilcentro è C(2, 1) ed il raggio r = CA =

√2 da cui x2 + y2 − 4x− 2y− 2 = 0.

]

18.33 Scrivere l’equazione della parabola non degenere che ammette comeautopolare il triangolo di vertici O(0, 0), A(2, 0) e B(0, 1) e che ha la

18.2. Triangoli autopolari 161

tangente nel vertice parallela alla retta AB.[4x2 − 4xy + y2 + 4x + 8y− 4 = 0]

18.34 Scrivere l’equazione della parabola che ha come asse la retta di equa-zione x− y + 1 = 0 e rispetto alla qualle il triangolo di vertici O(0, 0),P(5 : 7 : 4) e Q(0 : −2 : 1) è autopolare dopo aver stabilito se lecondizioni assegnate sono indipendenti.

[ Le condizioni sono 6, non indipendenti. . . ; la rete (5y + 7x)2 + αx2 +

β(3x − y − 2)2 = 0 deve essere del tipo k(x − y)2 + · · · = 0. . . β = −5,α = 16. . . 2(x− y)2 + 6x− 2y− 2 = 0. ]

18.35 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha come asse la retta diequazione 7x− y = 0 ed è tangente in A(2, 0) all’asse x.

Parte III

Geometria dello spazio

163

Capitolo 19

Generalità sulllo spazio

19.1 Calcolare la distanza dell’origine dal punto P(1, 2,−1): [√

6]

19.2 Calcolare la distanza tra i punti A(1, 0,−1) e B(1,−1, 0). [√

2]

19.3 Determinare il punto appartenente al piano yz ed equidistante dai puntiA(3, 1, 0), B(1, 1, 1) ed O(0, 0, 0). [

(0, 5,− 7

2

)]

19.4 Calcolare la distanza del punto P(1,−2, 0) dal piano xz. [2]

19.5* Calcolare la distanza di A(2, 4, 3) dall’asse x.

Figura 19.1

[ Per calcolare la distanza di un punto A da una retta r occorre considerarela proiezione ortogonale di A su r. La situazione è quella illustrata nellaFigura 19.1. Considerata, ad esempio, la proiezione ortogonale Axy di A sul

165

166 Capitolo 19. Generalità sulllo spazio

piano xy si ha che Ax Axy è perpendicolare all’asse x e dunque, dal Teoremadi Pitagora e riferendoci sempre alla Figura 19.1,

d(A, x) = AAx =

√AAxy

2+ Ax Axy

2=√

9 + 16 =√

25 = 5

infatti AAxy e Ax Axy sono due dei segmenti che determinano le coordinatedi A. ]

19.6 Determinare le coordinate dei punti dell’asse x che formano un triangoloisoscele con i punti A(1, 2, 3) e B(0,−1, 1).

[(6, 0, 0), (±2√

3, 0, 0) (2, 0, 0), O]

19.7 Determinare le coordinate dei punti del piano xy che formano un trian-golo rettangolo in A con A(2, 1, 0) e B(−1, 0,−1) . [(2, k, 0) ∀k.]

19.8 Esiste una retta che ammette come coseni direttori i numeri 1,12

e13

?[No: la somma dei quadrati non è 1]

19.9 Siano 2, −4 e 5 i parametri direttori di una retta; determinarne i cosenidirettori. [ 2

±3√

5, −4±3√

5e ±

√5

3 ]

19.10 Trovare i coseni direttori della retta che congiunge l’origine con il puntoP(2, 1, 0). [ 2

±√

5, 1±√

5,0]

19.11 Trovare i coseni direttori della semiretta bisettrice del primo ottante.[ 1√

3, 1√

3, 1√

3.]

19.12 Determinare l’angolo fomato dalle rette che congiungono l’origine ri-spettivamente con i punti A(8, 5, 3) e B(6, 2,−3). [ π

4 ]

19.13 Siano dati i punti A(2, 4, 4), B(3, 2, 1), C(1, 2, 2) e D(−2,−4,−7); verifi-care che la retta AB è parallela alla retta CD.

[Hanno i parametri direttori proporzionali.]

19.14* Dati i punti A(2,−3, 1) e B(2, 1,−3), dimostrare che la retta AB è per-pendicolare all’asse x e sghemba con esso.

[ AB sta sul piano x = 2 ortogonale all’asse x; l’intersezione dovrebbe esserequindi P(2, 0, 0) ma ciò non è possibile perché P non è allineato con A e B,infatti i parametri direttori delle rette AP e BP non sono proporzionali. ]

19.15 Trovare il simmetrico di A(−2, 1, 3)

i) rispetto all’origine, [(2,−1,−3)]

ii) rispetto al piano, xy [(−2, 1,−3)]

167

iii) rispetto all’asse x, [(−2,−1,−3)]

19.16* Generalizzare i risultati dell’esercizio 19.15 determinando le formule cheforniscono le coordinate del simmetrico di un generico punto P dellospazio rispetto all’origine, rispetto ad uno dei piani coordinati e rispettoad uno degli asssi coordinati.

[ Se è P(x0, y0, z0) si ha (−x0,−y0,−z0) rispetto all’origine (−x0, y0, z0)

rispetto al piano yz e (x0,−y0,−z0) rispetto all’asse x. ]

19.17 Calcolare le coordinate del punto P(1, 0, 0) in un nuovo sistema di rife-rimento traslato rispetto al primo in cui l’origine è, rispetto al vecchiosistema (0,−1, 1). [P′(1, 1,−1)]

19.18 Dimostrare che, se è P(a, b, c) esiste sempre una traslazione del sistemadi riferimento tale che, nel nuovo sistema, P abbia coordinate (α, β, γ)qualunque siano a, b, c, α, β, γ. [La nuova origine è O′(a− α, b− β, c− γ)]

19.19 Trovare, se esiste, una rotazione di centro l’origine che mandi il puntoP(1, 0, 1) nel punto P′(0, 0, 1). [Non esiste: è PO =

√2 e P′O = 1]

Capitolo 20

Rette e piani nello spazio

20.1 Piani e rette

20.1 Determinare gli eventuali valori del parametro k per i quali i piani

x + (1− k)z = 1− kkx + y + 2z = 1

(1− k)x + y + 3z = 2(1 + k)x + 3y + 7z = 4

hanno in comune un solo punto.

[Il sistema formato dalle quattro equazioni deve ammettere una sola solu-zione. . . ]

20.2* Scrivere l’equazione del piano passante per i punti A(1, 1, 0), B(0, 1, 2) eC(3, 0, 4).

[Ci sono vari modi per risolvere un esercizio di questo tipo. Ne esaminiamodue:

i) Il piano cercato sarà parallelo sia al vettore ~v = AB = [−1, 0, 2]sia al vettore ~w = AC = [2,−1, 4]; ricordando che per un pianodi equazione ax + by + cz + d = 0 le componenti del vettore [a, b, c]formano una terna di parametri direttori di una retta ortogonale a talepiano, possiamo ricavare a, b, c dal prodotto vettoriale~v× ~w = [2, 8, 1],quindi l’equazione del piano sarà della forma 2x + 8y + z + d = 0; perdeterminare il termine noto d possiamo imporre il passaggio per unodei tre punti, ad esempio A, ottenendo 2 + 8 + d = 0 da cui d = −10.

ii) La generica equazione del piano è ax + by + cz + d = 0 (con [a, b, c] 6=[0, 0, 0]); imponendo successivamente il passaggio per i tre punti siottiene il sistema di tre equazioni nelle quattro incognite a, b, c e d

a + b + d = 0

b + 2c + d = 0

3a + 4c + d = 0

169

170 Capitolo 20. Rette e piani nello spazio

le cui soluzioni sono del tipo (2c, 8c, c,−10c): ricordando che l’equa-zione del piano è definita a meno di un fattore di proporzionalità nonnullo, si perviene al risultato del punto precedente.

]

20.3 Calcolare il coseno dell’angolo ϕ fra i piani π1 ≡ x + y + z = 1 eπ2 ≡ x− y− z = 2.

[cos ϕ =〈v, w〉‖v‖ · ‖w‖ , con v = [1, 1, 1] e w = [1,−1,−1] parametri direttori

delle rette ortogonali rispettivamente a π1 e π2 e ϕ ∈[0,

π

2

]. . . cos ϕ =

13

.]

20.4 Calcolare i coseni direttori del piano che taglia sugli assi coordinatisegmenti OX, OY e OZ lunghi rispettivamente 1

2 , 13 e 3.

[2x + 3y− 13 z = 0. . .± 6

19 , ± 1819 , e ± 1

19 ]

20.5 Nello spazio, scrivere le equazioni cartesiane e parametriche della rettapassante per i punti A = (3, 0, 4) e B = (−1, 2,−2).

[La retta cercata è parallela al vettore AB = [xb − xa, yb − ya, zb − za] =

[−4, 2,−6] e quindi, mettendo in evidenza il punto A come punto di pas-

saggio, si ottengono le equazioni parametriche

x = 3− 4ty = 2tz = 4− 6t

. Per passare

alla forma cartesiana è sufficiente ricavare il parametro t da una delle treequazioni, ad esempio in questo caso la seconda (t =

y2

) e sostituirlo nelle

altre due: si ottiene

x = 3− 2yz = 4− 3y

]

20.6 Determinare la posizione reciproca delle seguenti rette (cioè se sonoparallele, incidenti, coincidenti o sghembe):

r :

x + y + z + 1 = 0

x− y + z = 3e s :

x = ty = 2t− 1z = 1− 2t

[Come sappiamo due rette sono parallele se e solo se hanno parametri di-rettori proporzionali. Una terna di parametri direttori di s è evidentemente1, 2,−2; per quanto riguarda la r una terna di parametri direttori è data

dai tre minor∣∣∣∣

1 1−1 1

∣∣∣∣ = 2, −∣∣∣∣1 11 1

∣∣∣∣ = 0 e∣∣∣∣1 11 −1

∣∣∣∣ = −2. Le due terne

non sono proporzionali, quindi le rette non sono parallele, nè tantomeno

20.1. Piani e rette 171

coincidenti. Per verificare l’incidenza consideriamo il sistema che si ottie-ne sostituendo nelle equazioni di r le espressioni parametriche di x, y e z

di s: otteniamo

t + 2t− 1 + 1− 2t + 1 = 0

t− (2t− 1) + 1− 2t = 3da cui

t = −1

−3t = 1. Le due

equazioni sono incompatibili, quindi il sistema non ammette soluzioni e diconseguenza le rette sono sghembe. ]

20.7 Sia r la retta che passa per i punti A(3, 0, 4) e B(−1, 2,−2) ed s quellapassante per C(2, 2, 5) e D(0, 0,−3). Dimostrare che r ed s si incontranoe trovare le coordinate del loro punto comune.

[ r :

x = 3− 2yz = 4− 3y

, s :

x = yz = −3 + 4y

; punto comune (1, 1, 1)]

20.8 Scrivere le equazioni cartesiane del piano e delle rette passanti per ilpunto P(0, 1, 0) ed ortogonali alla retta s dell’esercizio 20.7

[Il piano cercato ha equazione 1(x − 0) + 1(y − 1) − 3(z − 0) = 0, cioèx + y − 3z − 1 = 0, essendo [1, 1, 3] il vettore direzione della retta s; ladirezione v delle rette perpendicolari ad s si ricava annullando il prodotto

scalare 〈[1, 1,−3], v〉 . . .

y = 1 + (3h− 1)xz = hx

]

20.9 Calcolare il coseno dell’angolo formato dalle rette

r =

2x + y− z = 0

x + y + z = 1ed s =

x− y = 1y− z = 0

.

[ cos ϕ = 0, quindi le rette sono ortogonali.]

20.10 Calcolare il seno dell’angolo ψ formato dalla retta r dell’esercizio 20.7 edal piano π1 dell’esercizio 20.3. [ sin ψ =

4√42

]

20.11 Determinare l’equazione del piano che contiene la retta r di equazioni

x = 1 + 2ky = 2− kz = k

(20.1)

e passa per il punto P(2, 1,−3).

[Il piano cercato sarà parallelo sia al vettore v[2,−1, 1], che individua ladirezione di r, sia al vettore che ha per estremi P ed un punto qualsiasidi r, per esempio il punto che si ottiene ponendo k = 0 nelle equazioniparametriche (20.1) di r e cioè A(1, 2, 0), quindi al vettore w[1,−1,−3]. Il


prodotto vettoriale v × w = [4, 7,−1] sarà perciò ortogonale al piano inquestione, che avrà quindi equazione 4x + 7y− z + d = 0. Imponendo ilpassaggio per A si ottiene d = −18 da cui l’equazione 4x + 7y− z− 18 = 0]

20.12 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, scrivere l’equa-zione del piano contenente sia la retta r di equazioni1 x = 2y− 1 = z + 1sia il punto P(1, 0,−1).

[Questo esercizio è analogo all’esercizio 20.11 ma ne proponiamo una solu-zione differente, che in questo caso conviene in quanto la retta r è definitacome intersezione di due piani. Tra gli infiniti piani che contengono r equindi appartenenti al fascio di equazione

λ(x− 2y + 1) + µ(x− z− 1) = 0 (20.2)

(ottenuta come combinazione lineare delle equazioni dei due piani chedefiniscono la r) cerchiamo quello che contiene il punto P. Imponendoil passaggio per P, sostituendo le coordinate di P nella (20.2), si ottieneλ(1 + 1) + µ(1 + 1− 1) = 0 da cui µ = −2λ e quindi, sostituendo, peresempio, λ = 1 e µ = −2 ancora nella (20.2), si ottiene il piano cercatox + 2y− 2z− 3 = 0. ]

20.13 Nello spazio si considerino le due rette r e s, rispettivamente di equazionix + y = z− 1 = 0 e y = x− z + 1 = 0; verificare che sono complanari escrivere l’equazione del piano che le contiene.

[Le coordinate dell’eventuale punto di intersezione sono soluzioni del

sistema

x + y = 0

z− 1 = 0

y = 0

x− z + 1 = 0

, quindi le rette si incontrano nel punto P(0, 0, 1).

A questo punto il problema si riconduce a quello degli esercizi 20.11 e 20.12pur di prendere un punto comodo2 su una delle due rette (ma diverso dalpunto di intersezione) e considerare il piano che passa per questo punto eper l’altra retta.]

1Questa espressione è scritta in forma contratta e sta ad indicare la retta ottenuta comeintersezione di due qualsiansi piani tra i tre x = 2y− 1, x = z + 1 e 2y− 1 = z + 1.

2Nel senso di un punto le cui coordinate siano facilmente trattabili, in questo caso, peresempio, può esser comodo il punto S(−1, 0, 0) ∈ s.

20.1. Piani e rette 173

20.14 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, si considerinole rette

r :

x = 2y + 1

y + z = 1e s :

x = 2ty = 1 + tz = 3− t

verificare che sono complanari e scrivere l’equazione del piano che lecontiene entrambe.

[Le due rette sono parallele3, quindi si procede come negli esercizi prece-denti considerando una delle due rette ed un punto dell’altra. Si ottiene ilpiano x− y + z = 2. ]

20.15 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, si considerinole rette

r : x = y = z e s :

x = 1 + kty = 2tz = 3− t

.

Trovare gli eventuali valori del parametro k in corrispondenza dei qualile rette sono complanari. Per ciascuno di tali valori scrivere l’equazionedel piano che contiene r e s.

[I vettori [1, 1, 1] e [k, 2, 1], che sono i vettori di direzione di r e s rispettiva-mente, non sono paralleli per alcun valore di k. Procedendo poi in manierausuale, si ricava che le rette s’intersecano solo per k = 1 nel punto P(2, 2, 2)e che il piano che le contiene ha equazione 3x− y− z = 0.]

20.16 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali scrivere l’equa-

zione del piano passante per la retta r :

x− y = z

z = 1e parallelo alla retta

s :

x = y + 2z = −y

.

[Nel fascio di piani λ(x − y− z) + µ(z− 1) = 0 che ha per sostegno r sisceglie quello parallelo alla retta s, si ottiene x− y− 1 = 0 ]

3Per determinare il vettore direzione della retta r in questo caso, in cui mancano delleincognite nelle equazioni, vale la pena di passare alla forma parametrica fissando, ad esempio,y come parametro ed esprimendo le altre due incognite in funzione di y ed ottenendo così in

modo rapido le equazioni parametriche di r che sono

x = 2t + 1

y = yz = 1− t

e quindi il suo vettore di

direzione [2, 1,−1].


20.17 Scrivere le equazioni della retta r passante per P(1, 1, 1), perpendicolare

ed incidente alla retta s ≡

x− y− z = 12x− y + z = 1

[È facile trovare due piani a cui deve appartenere r: uno è, ovviamente,quello ortogonale ad s che contiene P e l’altro. . . ]

20.18 Scrivere le equazioni dei piani passanti per il punto P(0, 0, 2) e paralleli

alla retta r di equazioni

x− y + z = 1

2x + y + 2z = 0.

[Tra i piani passanti per P, cioè quelli di equazione ax + by + c(z− 2) = 0scegliamo quelli per cui il vettore [a, b, c] è ortogonale al vettore direzionedi r, cioè [1, 0,−1],. . . ax + by + a(z− 2) = 0 ovvero a(x + z− 2) + by = 0:osserviamo che tali piani altro non sono che gli infiniti piani del fascio cheha per sostegno la retta passante per P e parallela a quella data.]

20.19 Nello spazio, si considerino le rette

r :

x = ty = tz = t

e s :

x + y + z = 1x− y− z = 0

.

Verificare che sono sghembe e scrivere le equazioni della retta r′ perpen-dicolare e incidente ad entrambe.

[Consideriamo un generico punto P ∈ r, quindi di coordinate (t, t, t), eduno di s che possiamo ottenere passando alle equazioni parametriche di s

e che sarà(

12

,12− k, k

). A questo punto basta imporre che il vettore PQ,

che ha coordinate[

12− t,

12− k− t, k− t

], sia ortogonale ad entrambe le

rette il che avviene per t =13

e k =14

. Dunque la retta cercata sarà parallela

al vettore[

16

,− 112

,− 112

]cioè al vettore [2, 1, 1] e quindi, mettendo in evi-

denza il punto P, avrà equazioni parametriche

x =13+ 2h

y =13− h

z =13− h

ed equazioni

cartesiane

x = 1− 2zy = z

. ]

.

20.2. Esercizi vari 175

20.2 Esercizi vari

20.20 Sia P(1, 0, 1). Calcolare la distanza di P dai piani dell’esercizio 20.3 a

pagina 170. [ d(Pπ1) =|1 + 0 + 1− 1|√

12 + 12 + 12=

1√3

, . . . ]

20.21 Determinare il piano assiale del segmento che ha per estremi i due puntiA(1,−2, 3) e B(−1, 0, 1).

[Basta uguagliare le distanze del punto generico P(x, y, z) del piano cercatodal punto A e dal punto B: si ha (x− 1)2 + (y + 2)2 + (z− 3)2 = (x + 1)2 +

y2 + (z− 1)2. . . x− y + z− 3 = 0.]

20.22 Nello spazio, in cui indichiamo rispettivamente con#»

i ,#»

j e#»

k i vettoriunitari dei tre assi cartesiani, si determinino i punti P che soddisfanoalle seguenti condizioni:

i) P appartiene al piano x− y = 0

ii) cos ϑ = 1√3, dove ϑ è l’angolo fra la retta OP ed il vettore

#»

i +#»

j +#»

k

iii) |OP| = 1

[P1(0, 0, 1) e P2

(23

,23

,−13

)]

20.23 Scrivere le equazioni dei piani (o del piano) che distano2√6

dal punto

P(1, 1, 1) e contengono (o contiene) la retta di equazioni

x− y = 1y + z = 1

.

[ Ve n’è uno solo di equazione 2− 2y− z = 0]

20.24 Risolvere l’esercizio precedente considerando come distanza tra i piani

ed il punto il valore1√6

.

[I piani sono due, di equazioni rispettivamente 2x − y + z = 0 e x + y +

2z− 3 = 0]

20.25 Scrivere le equazioni della retta s che passa per P(0,−1,−1) ed è per-

pendicolare ed incidente alla retta r :

x = 2y− 1x = z + 1

. Calcolare inoltre la

distanza di P da r.


[Il piano π che passa per P ed è perpendicolare ad r interseca r stessa inun punto H che è la proiezione ortogonale di P su r. La retta cercata è

quindi la retta PH e la distanza PH è la distanza Pr. Si ha H(−1

3,

13

,−43

)

quindi Pr = PH =

√19+

(13+ 1)2

+

(−4

3+ 1)2

=√

2 ed infine s :

x = ty = −1− 4tz = −1 + 3t

. ]

20.26 Calcolare la distanza di P(1, 0, 1) dalle rette dell’esercizio 20.7 a pagi-na 171

20.27 Calcolare la distanza tra il piano π di equazione 2x + 2y− z− 2 = 0 e la

retta r di equazioni

x + 1 = 0

2y− z = 0.

[Piano e retta sono paralleli (verificarlo) quindi la distanza cercata sarà quellatra il piano stesso ed un punto qualsiasi della retta. Ad esempio scegliendo

P(−1, 0, 0) si ha d(P, π) =| − 2− 2|√4 + 4 + 1

=43

. ]

20.28 Siano r e s le due rette parallele dell’esercizio 20.14; calcolare la lorodistanza.

[ Basta calcolare la distanza tra un punto qualsiasi di una retta e l’altra. . . ]

20.29 Calcolare la distanza fra le due rette dell’esercizio 20.7.[ Le rette sono incidenti, quindi. . . ]

20.30 Calcolare la distanza tra le due rette sghembe dell’esercizio 20.19

[Tra i vari modi per risolvere un esercizio di questo tipo indichiamo i dueseguenti:

i) Consideriamo il vettore AB che ha come estremi un punto qualsiasiA ∈ r ed uno B ∈ s e calcoliamo la sua proiezione ortogonale sulladirezione perpendicolare ad entrambe le rette, ovvero quella indivi-duata da v×w (v essendo il vettore direzione di r e w quello di s); taleproiezione si ottiene calcolando il prodotto scalare tra AB ed il versore

parallelo a v × w, ovvero| 〈AB, v× w〉 |‖v× w‖ . I vettori v e w sono stati

ricavati nella risoluzione dell’esercizio 20.19, quindi, considerando

per esempio i punti A(0, 0, 0) e B(

12

,12

, 0)

, si ha| 〈AB, v× w〉 |‖v× w‖ =

⟨[12

,12

, 0]

,[2,−1,−1]√

6

⟩=

12· 2√

6− 1

2√

6+ 0 =

12√

6.

20.2. Esercizi vari 177

Figura 20.1: Distanza di due rette sghembe

ii) Consideriamo il fascio di piani F che ha per sostegno una delle duerette, ad esempio s (che è già scritta in forma cartesiana) e tra tutti que-sti piani scegliamo quello (π) parallelo ad r. La distanza cercata sarà ladistanza tra r e π, quella tra un qualunque punto P di r ed il piano π v.Figura 20.1. Il fascio ha equazione λ(x + y + z− 1) + µ(x− y− z) = 0quindi π ha equazione 4x − 3y − 3z − 1 = 0; scegliendo P(0, 0, 0)

come punto di r si ha d(r, s) = d(r, π) = d(P, s) =| − 1|√

16 + 4 + 4=

1√24

=1

2√

6.

]

20.31 Si considerino le rette

r :

y = 0z = 1

ed s :

x− y + z = 0

3x + y + 2 = 0.

i) Verificare che r e s sono sghembe;

ii) determinare la retta incidente e perpendicolare ad entrambe;

iii) trovare la minima distanza tra r ed s.

20.32* Siano r e s due rette non parallele. Dimostrare che esiste un unica rettar′ ortogonale ed incidente ad entrambe, che la distanza d(r, s) è ugualealla distanza d(Hr, Hs) dove Hr e Hs sono, rispettivamente, i punti diintersezione di r′ con s e r.

20.33 Sono date le rette

r ≡

x = 2 + ty = −2tz = −1 + 3t

ed s ≡

x + y + 2z = 0x + y + z = 0

.


Calcolare la distanza tra la retta r e la retta r′ passante per il puntoP(2, 1, 3) ortogonale ad r ed incidente a s.

20.34 Scrivere le equazioni del luogo dei punti del piano x = 2 per cui ladistanza dal piano π di equazione x = y coincide con quella dalla retta

x = 2 + ty = −tz = 2

.

[Sia P(2, y, z) il generico punto del piano x = 2,. . . d(P, π) =|2− y|√

2, mentre

d(P, r) =

√y2

2+ z2 − 4z + 4, da cui, uguagliando le distanze, si ottengono

le equazioni del luogo

x = 2

2z2 − 8z + 4y + 4 = 0]

20.35 Trovare tutti i valori del parametro reale h per cui i tre piani

x + hy− 1 = 0hx + y + 1 = 0x + y + hz = 0

appartengono ad un medesimo fascio e scrivere le equazioni della rettasostegno di questo fascio.

[Il fascio individuato dai primi due piani ha equazione

(1 + λh)x + (h + λ)y− 1 + λ = 0 (20.3)

affinchè il terzo piano appartenga al fascio (20.3) occorre e basta che siaλ = 1 e h = 0. In corrispondenza di questo valore la retta ha equazioni

x− 1 = 0

y + 1 = 0]

20.36 Verificare che le rette

x + y = 0z = 1

e

x− z + 1 = 0

y = 0

sono complanari e determinare le equazioni delle bisettrici dell’angoloda esse formato.

20.37 Nello spazio, si considerino il piano β : x + y = 1 ed il punto P(1, 1, 0).Sia α un generico piano per l’asse x ed s la retta α ∩ β. Determinare ipiani α per i quali la distanza di P da α è uguale alla distanza di P da s.

[y = 0]

20.3. Quesiti 179

20.3 Quesiti

20.4 Vero o Falso

Q.20.137 Nello spazio, la retta di equazioni

x− 2y + 3z = 0

3x− 2y− z + 1 = 0appartiene al

piano di equazione 4x + 2z + 1 = 0 2 vero 2 falso

Q.20.138 Dati comunque un fascio F dei piani ed una retta r esiste sempre unpiano di F che contiene la r 2 vero 2 falso

Q.20.139 Se la retta a è sghemba con la retta b e la retta b è sghemba con la retta callora a e c sono sghembe. 2 vero 2 falso

Q.20.140 I numeri sin t, cos t e t2 − 1 sono i coseni di una retta per al più duevalori del parametro t. 2 vero 2 falso

Q.20.141 La retta di equazioni

x = 0y = 1

è la proiezione ortogonale sul piano xy

della retta

y = 1y = z

. 2 vero 2 falso

Q.20.142 Date due rette sghembe, esiste sempre un piano parallelo ad entrambe.2 vero 2 falso

Q.20.143 Date due rette sghembe, esiste un unico piano parallelo ad entrambe.2 vero 2 falso

Q.20.144 Date due rette sghembe, esiste sempre un piano ortogonale ad entrambe.2 vero 2 falso

Q.20.145 Il piano di equazione x = y è il simmetrico di quello di equazionex− y− 2 rispetto al punto P(0, 1, 2). 2 vero 2 falso

20.5 A risposta multipla

Q.20.146 Nello spazio, dati il punto P e la retta r che non si appartengono, quantesono le rette che passano per P e sono parallele ad r? a due bnessuna c infinite d una ed una sola.

Q.20.147 Le rette r : x = 2y = 3z e s :

x + y + z = 0

2x− y + z = 1sono a complanari

b sghembe c parallele d perpendicolari.


Q.20.148 Nello spazio, quanti sono i piani del fascio di equazione x + y + kz = 0che contengono la retta di equazioni x − z = x + y = 0? a tutti;b nessuno c infiniti ma non tutti d esattamente uno.

Q.20.149 La retta di equazioni y− 2x = z− 3x + 1 = 0 è perpendicolare al pianoa 3x + z = 3; b x− 2y + 3z = 0; c 3y− 2z− 5 = 0; d

x + 2y + 3z = 1.

Q.20.150 La retta di equazioni y− 2x = z− 3x + 1 = 0 è parallela al piano a3x + z = 3; b x − 2y + 3z = 0; c 3y − 2z − 5 = 0; dx + 2y + 3z = 1.

Q.20.151 Le rette r ed s di equazioni rispettivamente

x + 2z− 6 = 0

x− y = 0e

x = 3ty = 5 + tz = 1− t

sono a incidenti; b parallele; c sghembe; d perpendicolari.

Q.20.152 La distanza tra il piano α di equazione x− y + z = −1 ed il piano β diequazione −x + y− z + 2 = 0 è a

√2; b 3; c

√3 d

0.

Q.20.153 Nello spazio si considerino le rette di equazioni r : x = z = 0 eds : x = z− y− 1 = 0, allora a r ed s sono incidenti b r ed s sonoparallele c r ed s sono sghembe d r ed s formano un angolo diπ/4.

Capitolo 21

Sfera e circonferenza nellospazio

21.1 Sfera

21.1 Determinare centro e raggio della sfera di equazione

x2 + y2 + z2 − 2x + 2y− 6z− 14 = 0.

[ (1,−1, 3); 5]

21.2 Scrivere l’equazione della sfera che ha centro nell’origine e passa per ilpunto P(1,−1− 0). [ la sfera avrà raggio OP =

√2. . . ]

21.3 Scrivere l’equazione della sfera che ha centro in C(0, 1, 1) ed è tangenteal piano di equazione x + y + z + 1 = 0.

[Il raggio è la distanza di C dal piano dato, cioè√

3 da cui x2 + (y− 1)2 +

(z− 1)2 = 3. . . ]

21.4 Scrivere l’equazione dei piani tangenti alla sfera di equazione x2 + y2 +z2 + 2x + 4y + 2z + 5 = 0 e paralleli al piano di equazione x + 2y + 2z =2.

[Il centro della sfera è il punto C(−1,−2,−1), la lunghezza del suo raggioè 1. . . tra i piani di equazione x + 2y + 2z + d = 0 (cioè quelli paralleli alpiano dato) dobbiamo scegliere quelli a distanza 1 da C. . . si ottiene d = 4 ed = 10]

21.5 Trovare per quali valori del parametro reale k il piano di equazionex − 2y + 3z− k = 0 è tangente alla sfera di equazione x2 + y2 + z2 −4y + 6z− 8 = 0. [ k = ±7

√6− 13]

181

182 Capitolo 21. Sfera e circonferenza nello spazio

21.6 Sia π un piano che passa per il punto P(0, 0, 2), che è parallelo alla rettax− y + z− 1 = 0

2x + y + 2z = 0e tangente alla sfera x2 + y2 + z2 − 1 = 0. Scrivere

l’equazione di π. [ I piani sono due, di equazione x±√

2y + z = 2]

21.7* Scrivere l’equazione della sfera che passa per i punti A(1, 0, 0), B(1, 1, 0),C(1, 0,−2) e per l’origine O(0, 0, 0).

[È un classico esempio di esercizio che si può svolgere in diversi modi: adesempio, partendo dall’equazione della generica sfera nello spazio:

x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 (21.1)

ed imponendo il passaggio per i quattro punti, si ottiene un sistema linearedi quattro equazioni nelle quattro incognite a, b, c e d. Tale sistema, siccomei punti non sono complanari, ammette una ed una sola soluzione (dimo-strarlo per esercizio): soluzione che costituisce l’opportuna quaterna chesostituita nella (21.1) dł’equazione della sfera cercata.Oppure si può cercare il centro, che sarà l’intersezione dei piani assiali diAO, di BO e di CO: i tre piani, siccome i punti non sono complanari, siincontrano in un unico punto P (dimostrarlo per esercizio) che è proprioil centro della sfera. Il raggio sarà la distanza di P da uno qualsiasi deiquattro punti (il più comodo in questo caso è ovviamente O).

Si può anche considerare il fascio di sfere che passa per tre dei quattropunti, ad esempio O A e B, la cui equazione sarà la combinazione linearedell’equazione del piano OAB (z = 0) che rappresenta la sfera di raggiomassimo, e di una qualsiasi sfera passante per i tre punti, ad esempioquella che ha centro sul piano xy è x2 + y2 + z2 − x − y = 0 e poi tra lesfere del fascio, scegliere quella che passa per il punto C: si ha quindix2 + y2 + z2 − x − y + λz = 0. L’equazione dev’essere soddisfatta dallecoordinate di C e quindi si ottiene λ = 2 ]

21.8 Data la sfera Γ : x2 + y2 + z2− 2x + 3y− z− 3 = 0, scrivere l’equazionedel piano tangente a Γ in A(1, 1, 1).

[Il centro è C(

1,− 32 , 1

2

). . . il piano sarà quello per A ortogonale alla retta

CA. . . 5(y− 1) + z− 1 = 0 . . . ]

21.9 Scrivere l’equazione della sfera tangente nell’origine O(0, 0, 0) al pianodi equazione x + y + 2z = 0 che ha raggio r =

√6 e centro di coordinate

positive.

[Il centro ha coordinate (t, t, 2t) e dista√

6 dal piano dato. . . x2 + y2 + z2 −2x− 2y− 4z = 0.]

21.1. Sfera 183

21.10 Scrivere le equazioni delle due sfere S1 e S2 di raggio 2 che hanno ilcentro sulla retta

x = 2t− 1y = −tz = t

e sono tangenti al piano x− 2y + 2z− 4 = 0.

[ I centri delle due sfere sono C1

(83

,−116

,116

)e C2

(−4

3,

16

,−16

)]

21.11 Scrivere l’equazione di una sfera che passa per il punto P di coordinate(1, 2, 2) è tangente al piano α di equazione z = 0 ed ha il centro sullaretta r di equazioni

x = 1 + ty = 2 + tz = 1 + t

.

[Il centro sta su r, quindi ha coordinate C(1 + t, 2 + t, 1 + t). La distanza diC dal piano α, che è 1 + t, deve essere uguale alla distanza di C da P, cioè(1 + t)2 = (1 + t− 1)2 + (2 + t− 2)2 + (1 + t− 2)2 da cui t2 − 2t = 0 =⇒t1 = 0, t2 = 2. In conclusione una sfera ha centro in C1(1, 2, 1) e raggio 1 el’altra in C2 = (3, 4, 3) e raggio 3. ]

21.12 Scrivere l’equazione di una sfera avente il centro sulla retta

x = −2ty = t + 1z = t

e tangente all’asse x ed al piano di equazione 2x + 2y− z− 8 = 0.

[Il centro C ha coordinate (−2t, t + 1, t) e deve essere equidistante dal pianodato e dall’asse x; la distanza dal piano è |t + 2| mentre per determinarela sua distanza dall’asse x basta calcolare quella tra C e la sua proiezioneH(−2t, 0, 0) su tale asse. . . ; uguagliando le due distanze si perviene all’e-quazione t2 − 2t− 3 = 0 e quindi a due sfere, l’una di centro C1(2, 0,−1) el’altra di centro C2(−6, 4, 3) entrambe di raggio 5.]

21.13 Scrivere l’equazione delle sfere che hanno il centro sull’asse z e sonotangenti alle rette

r :

x = 1y = 2

e s :

x = ty = 2tz = −2t

.

[ x2 + y2 + (z± 2)2 = 5]


21.14* Verificare che esiste una sola sfera di raggio non nullo che ha il centrosulla curva

L :

x = t

y = t2

z = t3

ed è tangente nell’origine alla retta di equazioni

x + y + z = 0x− z = 0

.

21.2 Circonferenza nello spazio

21.15 Determinare il centro ed il raggio della circonferenza

γ :

x2 + y2 + z2 − 2y + z− 1 = 0

x− y + z = 0.

Figura 21.1: Circonferenza nello spazio

[Anche questo esercizio si può risolvere in molti modi. Osservando la figu-ra 21.1 il centro C′ della circonferenza può essere visto come la proiezioneortogonale del centro della sfera sul piano π dato, cioè l’intersezione di π

con la perpendicolare ad esso passante per il centro C della sfera Σ data, (che

è C′(

0, 1,− 12

)), cioè con la retta

x = ty = 1− t

z = −12+ t

. Si ha dunque t = 12 da cui

21.2. Circonferenza nello spazio 185

le coordinate del centro C(

12 , 1

2 , 0)

. Il raggio si può determinare applicandoil Teorema di Pitagora al triangolo che ha come cateti la distanza d dei centried il raggio r della circonferenza e come ipotenusa il raggio R della sfera. Siottiene r = 1

2

√6. È anche interessante osservare come si può applicare in

questo caso la teoria dei fasci di sfere: il fascio di sfere che passano per γ

ha equazione x2 + y2 + z2 − 2y + z− 1 + k(x− y + z) = 0. Cerchiamo, intale fascio, la sfera che ammette la circonferenza considerata come cerchiomassimo, vale a dire quella che ha centro sul piano radicale del fascio e cheavrà gli stessi centro e raggio: dovrà essere: − k

2 + k+22 − k+1

2 = 0, da cuik = −1 a cui corrisponde la sfera x2 + y2 + z2 − x− y− 1 = 0.]

21.16 Scrivere le equazioni della circonferenza che passa per i punti O(0, 0, 0),P(2, 0, 0) ed R(0, 1, 0).

[La circonferenza cercata sarà intersezione tra il piano per i tre punti cioè ilpiano z = 0 ed una qualunque sfera passante per i tre punti, ad esempiox2 + y2 + z2 − 2x− y = 0.]

21.17 Scrivere le equazioni della circonferenza che ha centro nel punto C(1, 1, 1),giace su un piano parallelo ad α : 2x− 3y + z + 2 = 0 ed ha raggio 3.

[La circonferenza giace ovviamente sul piano parallelo ad α che passa per Ced è individuata, per esempio, dall’intersezione di questo piano con la sfera

che ha centro in C e raggio 3. . .

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y− 2z− 6 = 0

2x− 3y + z = 0]

21.18 Si considerino i punti A(1,−2, 3) e B(−1, 0, 1) e la retta r di equazioni

x + y− z− 1 = 02y− z + 2 = 0

.

Scrivere le equazioni della circonferenza che passa per A e B ed ha centrosulla r.

[Il centro, che si può ricavare intersecando r ed il piano assiale di AB, è

C(2,−1, 0), il piano è quello per A, B e C. . .

x + 2y + z = 0

(x− 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 11]

21.19 Nello spazio sono dati i punti A(0, 1, 1) e B(−1, 1, 2). Scrivere le equa-zioni della circonferenza che ha centro nel punto C(2, 1, 3) e tangentealla retta per A e per B.


[La circonferenza cercata è intersezione tra il piano per A, B e C e, ad esem-pio, la sfera che la ammette come cerchio massimo, quindi con centro in C e

raggio pari alla distanza tra C e la retta AB. . . si

(x− 2)2 + (y− 1)2 + (z− 3)2 = 8

y = 1]

21.20 Scrivere l’equazione di una sfera che ha centro sulla retta 2y = x = 2z,è tangente al piano xz ed interseca il piano α : 2y− x + 2 = 0 secondouna circonferenza di raggio 1.

[Il raggio della sfera è uguale alla distanza di C(2t, t, t) dal piano xy ed èipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti la distanza di C dalpiano α ed il raggio della circonferenza. . . applicando il Teorema di Pitagora

si ha|2t− 2t + 2|2

5+ 1 = t2 ⇐⇒ t = ± 3√

5]

21.21 Consideriamo le due sfere dell’esercizio 21.10 Determinare un piano chepassi per l’asse z e che le tagli secondo circonferenze aventi lo stessoraggio.

21.22 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle sfere che tagliano i pianicoordinati xy, xz e yz secondo circonferenze aventi raggi rispettivamente1, 2, e 3.

21.23 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze che passanoper i punti A(1, 0, 0), B(0, q, 0) e (0, 0, r) con la condizione che qr = 1

21.3 Quesiti

Q.21.154 Nello spazio il raggio della sfera che ha centro in C(1,−1, 1) ed è tan-gente all’asse y vale 1. 2 vero 2 falso

Q.21.155 Il piano x + y− 2z = 0 è tangente alla sfera di equazione x2 + y2 + z2 −2x− y = 2. 2 vero 2 falso

Q.21.156 Esiste un solo piano passante per un punto P, parallelo ad una retta r etangente ad una sfera. 2 vero 2 falso

Q.21.157 Esiste uno ed un solo piano passante per un punto P, parallelo ad unaretta r e tangente ad una sfera Σ. 2 vero 2 falso

Q.21.158 Il piano tangente nell’origine alla sfera di equazione x2 + y2 + z2 + ax +by = 0 ha equazione ax + by = 0 ∀a, b. 2 vero 2 falso

21.3. Quesiti 187

Q.21.159 Nello spazio, quante sono le sfere che hanno centro su una retta data epassano per due punti distinti, non allineati con il centro? a al piùuna b almeno due c una sola d infinite.

Q.21.160 Nello spazio, la circonferenza di equazioni

x2 + y2 + z2 − 2x = 02x + y = 0

ha raggio uguale a: a√

3 b1√2

c√

2 d1√5

.

Q.21.161 Il piano di equazione x + y + z + 1 = 0 rispetto alla sfera di equazionex2 + y2 + z2 − 2x + 4z + 2 = 0 è a tangente b diametrale cesterno d secante.

Q.21.162 L’intersezione tra la sfera di equazione x2 + y2 + z2 − 2x + 2y = 2 ed ilpiano x + y− z + 1 = 0 a è una circonferenza reale b è una unacirconferenza completamente immaginaria c è ridotta ad un unicopunto d non esiste nè reale nè immaginaria.

Q.21.163 Rispetto alla sfera di equazione x2 + y2 + z222x− 4y− 8 = 0 la retta diequazioni

x = 1z = 0

risulta: a tangente b diametrale c esterna d secante.

Capitolo 22

Cilindri, coni e proiezioni

22.1 Cilindro e cono

22.1 Scrivere l’equazione del cilindro con le generatrici parallele alla rettar : x = y = 2z che ha come direttrice la curva di equazioni

x2 + y2 + z2 = 1

x = 0.

[Per determinare l’equazione del cilindro, consideriamo le rette parallele

ad r, cioè di equazioni

x = x0 + 27

y = y0 + 2tz = z0 + t

, passanti per i punti della direttrice:

si perviene al sistema

(y0 + 2t)2 + z0 + t)2 = 1

x0 + 2t = 0; eliminando il parame-

tro t dalle due equazioni si ottiene (y0 − x0)2 +

(z0 −

x02

)2= 1 da cui

l’equazione cartesiana 5x2 + 4y2 + 4z2 − 8xy− 4xz− 4 = 0.]

22.2 Verificare che la curva γ di equazioni parametriche

x = 2t2 + t + 1

y = −t2 + tz = 3t− 1

è piana e scrivere le equazioni del cilindro che ha le generatrici paralleleall’asse z e ammette la γ come direttrice.

[Consideriamo l’equazione di un generico piano ax + by + cz + d = 0 e visostituiamo ordinatamente le coordinate del generico punto di γ ottenendocosì un’equazione in t: (2a− b)t2 + (a + b + c)t + a− c + d = 0; la curva è

189

190 Capitolo 22. Cilindri, coni e proiezioni

piana se e solo se tale equazione è identicamente verificata, cioè è verificatada ogni valore del parametro t, ciò avviene se e solo se ogni suo coefficiente

(compreso il termine noto) è nullo. Si perviene al sistema

a = −cb = −2cd = 2c

, quindi

γ giace sul piano di equazione x + 2y− z− 2 = 0;. . . (x + 2y− 1)2 − 3(x−y− 1) = 0.]

22.3 Verificare che nello spazio l’equazione x2 + y2 = 1 rappresenta uncilindro con le generatrici parallele all’asse z.

22.4 Determinare tutti i valori del parametro h per i quali la curva L diequazioni

x = h + t

y = 1 + ht2

z = h− t2

è piana. Scelto uno di questi valori, scrivere l’equazione del piano che lacontiene. [È piana per ogni h. . . ]

22.5 Scrivere l’equazione del cilindro con le generatrici parallele alla retta diequazioni x = y = z che ha come direttrice sul piano x− y + z = 1 lacirconferenza di centro C(1, 1, 1) e raggio 1.

[(x− z)2 + (2y− x− z)2 + (y− x)2 = 1]

22.6 Scrivere l’equazione del cilindro che ha le generatrici parallele alla rettar di equazioni x = 2y = −z ed è tangente alla sfera Σ di equazionex2 + y2 + z2 − 4x = 0.

[Una direttrice può essere la circonferenza intersezione tra Σ ed il pianodiametrale ortogonale ad r.]

22.7 Scrivere l’equazione di un cilindro che tagli il piano xy secondo l’ellissedi equazioni

z = 0

x2 + 4y2 = 1

ed il piano xz secondo una circonferenza.

22.8 Sia C il cilindro con le generatrici parallele all’asse y che ammette comedirettrice la curva di equazioni parametriche

x = 2t2 + 2

y = t2 − 1z = 2t + 1

.

22.1. Cilindro e cono 191

Determinare l’equazione dei piani tangenti a C e passanti per la retta di

equazioni

x = 1z = 1

. [ x− 1 = ±√

2(z− 1)]

22.9 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle sfere che intersecano ilpiano π x− y− z = 0 secondo una circonferenza di raggio 1 e passanteper l’origine. Riconoscere tale luogo.

Figura 22.1: Esercizio 22.9, proiezione sul piano xy

[Nel piano π le circonferenze di raggio 1 e passanti per l’origine hannocome luogo dei centri la circonferenza γ di centro l’origine e raggio 1 (vedifig. 22.1), quindi, dal momento che i centri delle sfere considerate stannosulle rette perpendicolari a π e passanti per i punti di γ, il luogo richiestosarà allora il cilindro avente direttrice γ e generatrici perpendicolari a

π. . . x2 + y2 + z2 + xy + xz− yz− 32= 0. ]

22.10 Si considerino la circonferenza H che passa per i punti A(1, 0, 0), B(0, 1, 0)e C(0, 0, 1) ed il piano α di equazione x = 0. Detta H′ la circonferenzasimmetrica di h rispetto ad α, scrivere l’equazione del cilindro circolareretto che ammette H′ come direttrice.

22.11* Scrivere l’equazione del cono di vertice V(1, 0, 2) che ammette comedirettrice la curva di equazioni

y2 − 4x− 4 = 0

x + z = 0.


[Consideriamo le rette passanti per V e per un generico punto P(x0, y0, z0)dello spazio; esse hanno equazione

x = 1 + (x0 − 1)ty = y0tz = 2 + (z0 − 2)t

,

poiché tali rette passano per i punti della direttrice, si ha il sistema

y0t)2 − 4(1 + x0t− t)− 4 = 0

1 + (x0 − 1)t + 2 + (z0 − 2)t = 0

da cui, eliminando il parametro t si ottiene l’equazione del cono che è:

9y2 + 4(2x− z)(x + z− 3)− 4(x + z− 3)2 = 0]

22.12 Data la curva

γ :

x = t− 1

y = t2 − 1

z = t2 + t

,

scrivere l’equazione del cono con vertice nell’origine che l’ammette comedirettrice. [ La curva è una parabola; y2 − xy + 2xz− yz = 0]

22.13 Si considerino le circonferenze di equazioni rispettive:

γ :

x2 + y2 = 2

z = 1e γ′

x2 + z2 = 2

y = 1;

i) scrivere le equazioni dei coni C e C′ aventi entrambi il verticenell’origine e passanti rispettivamente per γ e γ′;

ii) trovare le intersezioni tra C e C′.

[C : x2 + y2 − 2z2 = 0; C′ : x2 + z2 − 2y2 = 0; le intersezioni sono le

quattro rette

x = ±zy = ±z

]

22.14 Sono date le curve

γ :

x2 + 2y2 − 3x = 0

y = 1e γ′ :

2x2 + z2 + 3x = 0

y = 0.

i) Scrivere l’equazione del cono C avente vertice nell’origine e pas-sante per γ.

ii) Scrivere l’equazione del cilindro C′ avente parametri direttori dellegeneratrici uguali a 1 e passante per γ′.

22.1. Cilindro e cono 193

iii) Stabilire se C e C′ hanno una generatrice in comune.

22.15 Siano:

γ la curva di equazioni

x = 2

y2 − z2 + x2 − 4x + 3 = 0;

π il piano di equazione x = 3;

γ′ la curva simmetrica di γ rispetto a π

Scrivere l’equazione del cono che dall’origine proietta1 la γ′.

22.16 Nello spazio si considerino il punto V(1, 0, 1) e la curva di equazioni

L :

x = t2

y = 1 + tz = t

i) Verificare che L è piana.

ii) Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale della curva L sulpiano xy.

iii) Scrivere l’equazione del cono che proietta la L da V.

22.17 Data la linea

γ ≡

x = t

y = t2 − 1z = t

i) stabilire se è o no una curva piana;

ii) scrivere le equazioni dei cilindri C e C′ che ammettono la γ comecurva direttrice ed hanno le generatrici parallele rispettivamenteallasse x ed all’asse z;

iii) rappresentare analiticamente e riconoscere la curva intersezione diC e C′.

[È piana e giace sul piano x = z; le equazioni cartesiane di γ sonoy = x2 − 1

x = z; I cilindri hanno equazioni y = z2 − 1 e y = x2 − 1. . . ]

1Cioè il cono che ha vertice nell’origine ed ammette la γ′ come direttrice.


22.18 Verificare che esistono due cilindri C e C′ che ammettono entrambi comedirettrici le linee

γ :

y− z2 = 0

x = 0e γ′ :

y− 2x− 9x2 = 0

z = 0.

Determinare le direzioni2 delle generatrici di C e C′.

22.2 Proiezioni

22.19* Nello spazio si consideri la conica K di equazioni

x + ay + bz = 0

(x− 2)2 + (y− 2)2 = 1.

Determinare i parametri reali a e b in modo che la proiezione ortogonaledi K sul piano yz sia una circonferenza.

[Per proiettare la curva K lungo la direzione dell’asse x, è sufficienteeliminare tale variabile dalle equazioni del sistema assegnato, ottenen-do cosıun’equazione che non contiene la variabile x quindi che rappre-senta il cilindro con le generatrici parallele all’asse omonimo che ha perdirettrice la curva data e cioè (−ax − bz − 2)2 + (y − 2)2 = 0. Interse-cando il cilindro con il piano yz si arriva alle equazioni della proiezione

x = 0

(−ax− bz− 2)2 + (y− 2)2 = 0; queste rappresentano una circonferenza

se e solo se

2ab = 0

b2 = a2 + 1, ovvero se e solo se a = 0 e b = ±1.]

22.20 Verificare che la curva di equazioni parametriche

x = t− 1

y = t2 + 1

z = t2 − t

è piana e scrivere le equazioni della sua proiezione ortogonale sul piano

xy. [ Giace sul piano x− y + z + 2 = 0. . .

y = (x + 1)2 + 1

z = 0]

22.21 Sia γ la circonferenza di equazioni:

x2 + y2 + z2 − 2x = 0x + y + z = 0

.

Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale di γ sul piano z = 3.2cioè una terna di parametri direttori

22.2. Proiezioni 195

[La proiezione cercata può essere ottenuta scrivendo γ come interzezionedel piano su cui essa giace con il cilindro con generatrici parallele all’asse zche la ammette come direttrice (infatti il piano su cui è chiesto di proiettareè ortogonale all’asse z). . . .]

22.22* Si consideri, nello spazio, la curva H di equazioni

x = t

y = t2 + 1z = t− 1

.

Riconoscere la H e scrivere le equazioni del cono che la proietta dall’o-rigine O(0, 0, 0).

[Poiché la natura di una conica non cambia per proiezione parallela, possia-

mo proiettare la H , le cui equazioni cartesiane sono

y = x2 + 1

z = x− 1su uno

dei piani coordinati, ad esempio il piano x = 0, e quindi studiare la natura

della sua proiezione

y = (z− 1)2 + 1

x = 0,che è una parabola. ]

22.23 Riconoscere il luogo dei punti richiesto nell’esercizio 20.34 a pagina 178.[ Si tratta di una parabola]

22.24 Sia γ la curva di equazioni

z2 − y2 = 1x = 0

e P il punto di coordinate (2, 0, 1).

Riconoscere la curva γ′ simmetrica di γ rispetto a P e scriverne le equa-zioni. [È l’intersezionetra il cono di vertice P e direttrice γ ed il piano simmetrico di x = 0 rispetto a P]

22.25 Data la parabola di equazioni

y2 = 2xz = 0

scrivere le equazioni della sua proiezione sul piano yz dalla direzione

della retta

x = zy = 0

.


22.26 Si consideri la curva

L :

x = t2

y = −2tz = 4t + 1

e la retta r : x = y− z + 1 = 0. Detto P il generico punto di L, sianoP′ la proiezione ortogonale di P su r e M il punto medio del segmentoPP′. Scrivere le equazioni del luogo descritto da M al variare di P e

riconoscerlo. [parabola di equazioni

x = 2y2

5y + z− 2 = 0.]

22.27 Data la curva L di equazioni

x = t3 − t2

y = t

z = t2

.

i) Verificare che L è una curva gobba3.

ii) Scrivere l’equazione del cono che proietta la L dall’origine.

iii) Determinare l’equazione di un piano che tagli il cono secondo unaparabola.

[. . . l’equazione del cono è xy + yz− z2 = 0. . . ]

22.28 Siano:

α il piano di equazione y = h,

C il cono con vertice nell’origine che ammette come direttrice laconica di equazioni

ax2 − 2y2 + bx + 8 = 0

z = 1.

Determinare per quali valori dei parametri a, b e h il piano α taglia Csecondo una parabola.

22.29 Siano date una retta r ed una parabola P di equazioni rispettivamente

r :

x = 0y = 1

e P :

y = 0

z = x2 . Trovare il punto V ∈ r tale che proiettando

la P da V sul piano xy, si ottenga un’iperbole equilatera. [V(0, 0, 1)]

3cioè non è piana.

22.3. Quesiti 197

22.3 Quesiti

Q.22.164 Il sistema di equazioni parametriche

x = t + u

y = t2 + 2u

z = t2 − 3t + u

rappresenta un cilindro. 2 vero 2 falso

Q.22.165 Tutte le sezioni piane di un cilindro circolare sono ellissi con la stessaeccentricità. 2 vero 2 falso

Q.22.166 Nello spazio ogni equazione in due variabili rappresenta un cilindro2 vero 2 falso

Q.22.167 Se la proiezione ortogonale di una curva paiana γ sul piano xy è unaconica, allora la stessa γ è una conica. 2 vero 2 falso

Q.22.168 Sia L la linea x = y + 1

z = x2 − 1.

La sua proiezione ortogonale sul piano yz è un’iperbole.2 vero 2 falso

Q.22.169 Il piano di equazione x + y = z taglia il cono x2 + y2 − z2 = 0 secon-do una a parabola non degenere b iperbole non degenere cconica degenere in due rette reali d ellisse non degenere.

Q.22.170 Nello spazio, il sistema

x = t2uy = 1 + tuz = 2 + (t + 1)u

rappresenta a una curva gobba b un cono c un cilindro duna superficie del second’ordine.

Capitolo 23

Superfici rigate e di rotazione

23.1* Siano date, nello spazio, le rette:

r ≡

x = 2 + ty = 1− 2t

z = 1− ted s ≡

x = 2 + 3uy = 1− uz = 1 + u

.

Scrivere l’equazione della superficie che si ottiene facendo ruotare rattorno a s.

[Si vede subito che le rette passano entrambe per il punto (2, 1, 1) quindisono incidenti: la superficie cercata è dunque un cono rotondo. La suaequazione può essere ottenuta come quella del luogo delle circonferenze de-scritte dai punti di r nella rotazione attorno ad s. Il generico punto di r sarà:P(2+ t, 1− 2t, 1− t). Dovremo imporre che P, sul piano α, passante per essoed ortogonale ad s, descriva una circonferenza per esempio intersezione di αstesso con una qualsiasi sfera con centro C ∈ s e raggio PC. α ha equazione3 · (x− 2− t)− 1 · (y− 1+ 2t)+ 1 · (z− 1+ t) = 0; se scegliamo C(2, 1, 1), lasfera di centro C e raggio PC ha equazione (x− 2)2 + (y− 1)2 + (z− 1)2 =t2 + 4t2 + t2. L’equazione del cono si otterrà quindi eliminando il parame-

tro t dal sistema

(x− 2)2 + (y− 1)2 + (z− 1)2 = 6t2

3x− y + z = 6 + 4t. Con semplici ma

laboriosi calcoli, eliminando il parametro, si perviene all’equazione

19x2 − 5y2 − 5z2 − 18xy + 18xz− 6yz− 76x− 52y− 20z + 60 = 0

che può essere scritta nella forma omogenea in x− 2, y− 1 e z− 1 il chedimostra che la superficie è effettivamente un cono con vertice nel punto(2, 1, 1).]

23.2 Sia r la retta di equazioni x = 2z = 3y

.

Scrivere l’equazione della superficie ottenuta facendo ruotare r attornoall’asse z. [9x2 + 9y2 − z2 = 36]

199

200 Capitolo 23. Superfici rigate e di rotazione

23.3 Sia γ la curva di equazioni parametriche

x = t3

y = t2

z = t

e sia r la retta di equazioni

x = 1y = 3

.

Scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione di γ attornoad r. [(x− 1)2 + (y− 3)2 + z2 = (z3 − 1)2 + (z2 − 3)2 + z2 che si semplifica. . . ]

23.4 Scrivere l’equazione della superficie generata dalla rotazione della curvadi equazioni

x2 − 2x− 3z + 1 = 0y = 0

attorno alla retta di equazioni

x = 1y = 0

.

[È opportuno notare che una terna di equazioni parametriche della curva

è data da

x = ty = 0

z =(t− 1)2

3

. . . con i soliti metodi si ottiene l’equazione (x−

1)2 + y2 − 3z = 0]

23.5* Sia γ la curva del piano di equazione x = z avente come proiezioneortogonale sul piano xy la curva

γ′ ≡

2x2 + y2 = 1z = 0

.

Scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione di γ attornoalla retta

r ≡

y = 0z = x

[γ è una circonferenza con centro nell’origine. . . ruotando attorno ad un suodiametro descrive una sfera. . . x2 + y2 + z2 = 1]

201

23.6 Si consideri il cono C generato dalla rotazione della retta

r ≡

x = 0z = 2

attorno alla

s ≡

x = ty = tz = 2

;

trovare il centro della circonferenza intersezione di C con il piano x +y = 2.

[Il piano dato è ortogonale all’asse del cono, quindi si tratta effettivamentedi una circonferenza. . . r =

√2]

23.7 Determinare il vertice dei coni di rotazione che hanno come generatricela retta r di equazioni parametriche

x = ty = 2tz = t

e tagliano il piano x + z = 0 secondo una circonferenza di raggio 1.

[La generatrice interseca il piano dato in O(0, 0, 0). . . la proiezione ortogona-le del vertice sul piano dato deve distare 1 da O . . . quindi i possibili vertici

sono(±1

2,±1,±1

2

)]


r :

x = 2y = 1

e s :

x− y + z = 0

x + z = 0

i) Verificare che r e s sono sghembe.

ii) Scrivere l’equazione della superficie S ottenuta dalla rotazione dir attorno ad s.

iii) Riconoscere la curva intersezione di S con il piano π y = 2.


23.9 Scrivere l’equazione della superficie S ottenuta dalla rotazione dellaretta

x = ty = tz = 1− t

attorno alla retta x = y = −z. Riconoscere l’intersezione di S con ilpiano z = x

23.10* Considerato il cono C generato dalla rotazione della retta r :

x = 0z = 2

attorno alla retta s :

x = ty = tz = t

, trovare il raggio della circonferenza inter-

sezione di C con il piano di equazione x + y = 2.

[ L’intersezione richiesta è proprio ua circonferenza i quanto il piano dato èortogonale all’asse di rotazione. . . il raggio cercato è la distanza dei puntiche le due rette hanno in comune con il piano, rispettivamente ad uno deipunti del cono ed il centro della circonferenza in questione. . . r =

√2. ]

23.11* Si consideri la sfera S di equazione x2 + y2 + z2 = 900. Trovare i verticidei coni circoscritti alla sfera e tali che la circonferenza di contatto γabbia raggio 24.

[ Il cono in questione è certamente di rotazione in quanto tutte le suegeneratrici formano con la retta congiungente il vertice V del cono con ilcentro O della sfera angoli della medesima ampiezza (v. Figura 23.1 nellapagina successiva). Il raggio della circonferenza di contatto corrisponde allalunghezza del segmento TH, mentre la lunghezza di OT è il raggio dellasfera: si ha quindi TH = 24 e OT = 30 dunque, considerando il triangolorettangolo OHT otteniamo sin HOT = 24

30 ; considerando invece il triangoloOTV abbiamo VO = TO

cos VOT= TO

35

= 53 · 30 = 50. In conclusione i vertici

cercati dovranno distare 50 dall’origine e non è necessario imporre loroalcun’altra condizione: sono dunque tutti i punti della sfera di centro O eraggio 50, cioè i punti della sfera di equazione x2 + y2 + z2 = 2500. ]

23.12 Sia C il cono avente vertice nell’origine che ammette come direttrice lacirconferenza di equazioni

x2 + z2 = 0

y = 2.

203

Figura 23.1

Scrivere l’equazione dei piani che tagliano C secondo una circonferenzadi raggio 1. [y = ± 2√

3]

23.13* Siano:

r la retta di equazioni

x = ty = 2tz = −t

,

A il punto (2, 2, 2)

C il cono che passa per A, ha come asse la retta r e come verticel’origine O(0, 0, 0).

Scrivere l’equazione delle sfere tangenti a C aventi raggio√

7.

[ La semiapertura α del cono è tale che cos α =√

23 . . . il centro della sfera

deve appartenere all’asse del cono e la sua distanza dal vertice O del cono è

data da d =√

7sin α =

√7√7

3

= 3. . . i centri possibili sono(±√

32 ,±√

6,±√

32

)

dunque. . .(

x∓√

32

)2+ (y∓

√6)2 +

(z±

√32

)2= 7. ]


23.14 Determinare il vertice del cono di rotazione che ammette come parallelile circonferenze di equazioni

x2 + y2 = 1

z = 3e

x2 + y2 = 4

z = 0

Figura 23.2

[ Osservando la figura 23.2, si vede che i triangoli OAV e BCV, che siformano su uno dei piani che contengono l’asse di rotazione, sono simi-li. . . V(0, 0, 6) ]

23.15 Nello spazio, si consideri la curva L di equazioni

x = t + 1

y = t2 + 1z = −t

i) Scrivere l’equazione della superficie S generata dalla rotazione

della L attorno alla retta di equazioni

x = 1z = 0

.

ii) Trovare il piano che taglia la S secondo una circonferenza di raggio√2.

23.1. Quesiti 205

23.1 Quesiti

Q.23.171 Un cilindro che contiene una circonferenza è sempre di rotazione.2 vero 2 falso

Q.23.172 L’equazione (x2 + y2)2 − (x2 + y2)3 − 3 = z rappresenta una superficiedi rotazione attorno all’asse z. 2 vero 2 falso

Q.23.173 La superficie che si ottiene facendo ruotare una retta r attorno ad unaretta s è a un cono; b un cilindro; c dipende dalla posizionereciproca di r e s; d può essere comunque solo un cilindro oppure uncono.

Q.23.174 Nello spazio la rotazione della retta r :

x− 2y + z = −1

x− 2y + kz = 1attorno alla

retta s :

x = 1 + ty = at− 2z = 1− 2t

rappresenta un cilindro per: a a = − 12 k; b

ogni valore di a; c nessun valore di a; d a = 12

Capitolo 24

Quadriche

Coni e cilindri in questo capitolo saranno sempre intesi come coni e cilindri quadriciirriducibili. Lo studente è invitato a riconoscere tutte le quadriche di cui si parla.

24.1 Con un procedimento analogo a quello dell’esempio sul paraboloideiperbolico, dimostrare che l’iperboloide ad una falda è una superficierigata.

24.2 Si considerino la quadrica Q di equazione xy + z = 0 ed il cilindro C lecui generatrici sono parallele alla retta x = y = z e tangenti a Q. Scrivereuna terna di equazioni parametriche della proiezione ortogonale sulpiano di equazione y = z della curva intersezione di Q e C .

[

x = t

y =t2 − 1

2

z =t2 − 1

2

]

24.3 Considerata la superficie S : x2 − y2 − 2xz = 0 e la linea γ :

y2 = xz = 0

,

i) riconoscere la S ;

ii) verificare che esiste una linea piana γ′ appartenente ad S ed aventeγ come proiezione ortogonale sul piano xy;

iii) riconoscere la γ′.

[Cono con vertice nell’origine;

x2 − y2 − 2xz = 0

z =12(x− 1)

; parabola]

24.4 Si considerino

la superficie S di equazione x2 + y2 − z2 − 2x− 2z = 1;

il punto P(2, 0,−1);

207

208 Capitolo 24. Quadriche

il piano α di equazione x− 2 = 0.

determinare l’equazione del piano che passa per P, è perpendicolare adα e taglia la S secondo una circonferenza.

[S è un iperboloide di rotazione attorno all’asse z . . . z + 1 = 0]

24.5 Verificare che esiste un piano passante per la retta di equazioni x = y = zche interseca la superficie di equazione x2 + 2y2 − 2z = 0 secondo unaconica la cui proiezione ortogonale sul piano xy ammette come centrodi simmetria il punto C(−1, 1, 0). [x− 2y + z = 0]

24.6 Siano:

Π il paraboloide di equazione x2 + y2 = 2z,

π un piano perpendicolare all’asse y,

P la parabola intersezione di Π con π,

γ la curva che si ottiene proiettando dall’origine la P sul piano diequazione z = 1.

Determinare π in modo che la γ abbia centro sul piano π. [y = ±1]

24.7 Sia P il paraboloide di equazione ax2 + y2 = 2pz; determinare a inmodo che ogni conica ottenuta tagliando P con un piano non paralleleloall’asse z abbia come proiezione sul piano xy una circonferenza.

[I piani cercati hanno equazione del tipo z = αx + βy + γ. . . a = 1]

24.8 Scrivere l’equazione del paraboloide di rotazione che ammette comeparalleli le circonferenze di equazioni

x2 + y2 = 1

z = 2e

x2 + y2 = 4

z = 3

[x2 + y2 = 3(

z− 23

)]

24.9 Verificare che ogni piano non parallelo all’asse z taglia il paraboloide

generato dalla rotazione della parabola di equazioni

x2 = 2zy = 0

attorno

all’asse z secondo una conica la cui proiezione sul piano xy è una circon-ferenza. [Paraboloide x2 + y2 = 2z. . . piani del tipo z = ax + by + c. . . ]

24.10 Si consideri la parabola P che ha come fuoco l’origine e come direttrice

la retta di equazioni

x + y = 0

z = −2; trovare l’equazione del parboloide che

si ottiene facendo ruotare P intorno al suo asse.

209

[ P giace sul piano di equazione x + y = 0. . . P ha come asse di simmetria

l’asse z . . . P :

(x− y)2 − 8(z + 1) = 0

x + y = 0. . . x2 + y2 = 4(z + 1). ]

24.11 Scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione della curva

γ :

x = ty = 2− t

z = (t− 1)2

attorno alla retta di equazioni y = x = 1 e verificare che si tratta di unparaboloide. [(x− 1)2 + (y− 1)2 = 2z; traslando il riferimento in (1, 1, 0). . . ]

24.12* Verificare che la quadrica di equazione xy + z(x + y) = 0 è un cono dirotazione e determinarne vertice ed asse.

[ L’equazione è omogenea di secondo grado in x, y e z, quindi se rappresen-ta una quadrica irriducibile si tratta di un cono con vertice nell’origine; ineffetti, come risulta semplice verificare, è il cono ottenuto dalla rotazione diuno qualsiasi degli assi coordinati attorno alla retta r : x = y = z: le equa-zioni della circonferenza descritta dal generico punto P(α, 0, 0) dell’asse x

nella sua rotazione attorno ad r sono

x + y + z− α = 0

x2 + y2 + z2 = α2 ed, eliminando

α si ha proprio x2 + y2 + z2 = (x2 + y2 + x2)2, cioè xy + yz + xz = 0.

In un altro modo possiamo considerare la matrice rappresentativa della

quadrica che è la A =

0 12

12 0

12 0 1

2 012

12 0 0

0 0 0 0

, singolare e di rango 3 dunque

quadrica specializzata irrducibile: cono o cilindro. La sottomatrice B =

0 12

12

12 0 1

212

12 0

ammette gli autovalori λ1 = λ2 = − 1

2 e λ3 = 1; non essendoci

autovalori nulli B non è singolare, quindi non si tratta di un cilindro, quindiè un cono, reale perché gli autovalori non sono concordi, di rotazione,perché due di tali autovalori sono uguali. Il vertice, come già osservato èl’origine; l’asse di rotazione ha la direzione di uno qualsiasi degli autovettorirelativi all’autovalore semplice: dunque da Bx = x abbiamo che [β, β, β]

con β 6= 0 è il generico autovettore, la cui direzione coincide con quelladella retta r. ]

24.13 Determinare centro ed assi di simmetria della quadrica di equazionex2 + 2y2 + 3z2 − 2x− 6z + 3 = 0.

[(x− 1)2 + 2y2 + 3(z− 1)2 = 1 . . . (1, 0, 1) . . .

x = 1

y = 0;

y = 0

z = 1;

x = 1

z = 1]


24.14 Individuare un sistema di riferimento in cui la quadrica avente equa-zione 2x2 + 2y2 − z2 + 4x− 2z = 0 è rappresentata in forma canonica;dire di che quadrica si tratta e, se di rotazione, determinare l’asse dirotazione.

[ Nel sistema di riferimento traslato in (−1, 0,−1) si ha 2X2 + 2Y2− Z2 = 1che è l’equazione di un iperboloide iperbolico di rotazione intorno all’asse

Z, retta che nel vecchio sistema di riferimento ha equazioni

x = −1

y = 0. ]

24.15 Ridurre a forma canonica le equazioni delle seguenti quadriche e rico-noscerle:

x2 + xy + y2 − z = 0

25x2 + 9y2 − 16z2 − 24yz = 25

[x2 + 3y2 = z, paraboloide ellittico; 25x2 + 25y2 = 1 cilindro rotondo]

24.16 Data la quadrica Q: (x + y)2 − 2z2 = 1,

i) trovare una forma canonica per l’equazione di Q;

ii) riconoscere la Q;

iii) detta γ la curva intersezione di Q con il piano di equazione 2x−y − z = 1, rappresentare analiticamente la curva γ′ proiezioneortogonale di γ sul piano xy e riconoscerla.

[2x2 − 2z2 = 1; cilindro iperbolico;

6x2 − 8xy + 4y + 3 = 0

z = 0, iperbole.]

24.17* Verificare che la quadrica Q: x2 + yz + x = 0 è rigata; trovare quindile rette passanti per l’origine ed interamente contenute nella quadricae riconoscere la conica intersezione di Q con il piano di equazione2x− y− z = 0.

[ La matrice rappresentativa di Q è la A =

1 0 0 12

0 0 12 0

0 12 0 0

12 0 0 0

che è non sin-

golare, quindi la quadrica non è degenere (nè riducibile nè cono o cilindro)e quindi si tratta di una superficie che contiene al masssimo (nel caso in cuisia rigata) due rette per O; del resto risulta quasi immediato verificare chel’asse y e l’asse z sono entrambi interamente contenuti in Q.Il sistema

x2 + yz + x = 0

2x− y− z = 0

211

è equivalente a x2 + (2x + z)z + x = 0

2x− y− z = 0

che rappresenta la conica γ come sezione di un cilindro con le generatri-ci parallele all’asse y: la sua proiezione ortogonale sul piano yz ha dun-

que equazioni

(x + z)2 + x = 0

y = 0, che sono quelle di una parabola non

degenere, dunque anche γ è una parabola non degenere. ]

24.18 Considerata la quadrica Q : x2 + y2 = xz + 1

i) trovare tutte le rette interamente conenute nella Q;

ii) riconoscere la conica intersezione di Q con il piano di equazionez = 2x + 1;

iii) trovare, se esiste, un piano che taglia la Q secondo una circonferen-za reale.

[

y∓ 1 = λx

y± 1 =1λ(z− x)

; iperbole; ne esistono. . . ]

24.19* Determinare l’equazione della generica quadrica che contiene gli assi

x e y e taglia sul piano x = 1 la conica di equazioni

x = 1

yz + y + 1 = 0.

Stabilire poi se esiste un paraboloide che soddisfa le condizioni date e,in caso affermativo, scrinerne l’equazione.

[ Per determinare l’equazione di una quadrica occorre imporre nove condi-zioni lineari indipendenti.Contiamo quelle che abbiamo:

• una retta interamente contenuta nella quadrica fornisce tre condizioniindipendenti, infatti occorre e basta che intersechi la superficie in tre(più di due) punti;

• una seconda retta, incidente alla prima, ne fornisce altre due, oltre aquella, già considerata, del punto di incidenza;

• una conica incidente alle due rette appena considerate vuol dire pas-saggio per altri tre punti (che con i due distinti di incidenza sonocinque, più dei quattro ordinariamente soluzione del sistema del quar-t’ordine formato dall’equazione della conica e da quella della quadrica:sufficienti a garantire che la conica giaccia interamente sulla super-ficie) in totale abbiamo quindi otto condizioni, dunque un fascio diquadriche.

Per trovare l’equazione richiesta intersechiamo innanzittutto la genericaquadrica

ax2 + by2 + cz2 + dxy + eyx + f xz + gx + hy + iz + l = 0 (24.1)


con gli assi x e y rispettivamente; si ottengono le equazioni by2 + hy + l = 0e cz2 + iz + l = 0 che sono identicamente verificate quando e soltantoquando è b = h = i = l = 0, quindi la (24.1) diventa

ax2 + dxy + eyz + f xz + gx = 0

che rappresenta una quadrica la cui intersezione con il piano x = 1 è la

conica di equazioni

a + g + dy + eyz + f xz = 0

x = 1che è quella data se e

soltanto se è f = 0 e d = a + g: si avrà allora ax2 + dxy + dyz + (d− a)x =0 cioè a(x2 − x) + d(xy + yz + x) = 0. Le quadriche in questione sonoirrriducibili, visto che intersecano il piano secondo una conica irriducibile;possiamo allora porre d 6= 0 e limitarci a considerare equazioni del tipoxy + yz + x + k[x(x− 1)] = 0. Esse rappresentano un paraboloide se e solose si ha: ∣∣∣∣∣∣∣∣

k 12 0 1−k

212 0 1

2 00 1

2 0 01−k

2 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0 =

∣∣∣∣∣∣

k 12 0

12 0 1

20 1

2 0

∣∣∣∣∣∣

il che accade quando e solo quando k = 0, quindi il paraboloide cercatoesiste, è unico, ed ha equazione xy + yz + x = 0. ]

24.20 Scrivere l’equazione del paraboloide contenente l’asse x, la retta diequazioni x = z− 2 = 0 ed i punti A(1, 1, 1) e B(0, 0, 1).

[xz + yz− 2y = 0]

24.21 Siano:

α un piano passante per l’asse x;

A l’intersezione di α con la retta

x = ty = tz = 1− t

;

β il piano per A parallelo al piano yz;

r la retta α ∩ β.

Scrivere l’equazione del luogo delle rette r. [xy + xz− y = 0]

24.22 Riconosere la quadrica di equazione x2 + xz− y2 + z2 + 2y = 0 e deter-minarne centro ed assi.

[Iperboloide ellittico; C(0, 1, 0); x = z = 0,

x± z = 0

y = 1]

24.23 Stabilire se esistono valori del parametro reale t per cui è rigata laquadrica

x2 + y2 − 2yz + tx− 2y = 0.

Capitolo 25

Luoghi nello spazio.Linee e superfici nello spazio

In questo capitolo vengono proposti esercizi sui luoghi geometrici nello spazio euclideotridimensionale ordinario

Come nel caso del piano, nelle soluzioni sono indicate le equazioni in questione,sottintendendo eventualmente la necessità di eliminare una parte dei punti le cuicoordinate verificano tali relazioni.

Lo studente è invitato a riconoscere tutte le curve e le superfici del secondo ordine,anche dove non espressamente richiesto.

25.1 Siano:

α un piano passante per l’asse x;

A l’intersezione di α con la retta di equazioni

x = ty = tz = 1− t

,

β il piano per A parallelo al piano yz,

r la retta α ∩ β.

Scrivere l’equazione del luogo delle rette r. [xy + xz− y = 0]

25.2 Siano:

r la retta di equazioni

x = yz = x

,

α un piano per l’asse z,

β il piano per r perpendicolare ad α,

t la retta comune ad α e β.

Scrivere l’equazione del luogo delle rette t. [x2 + y2 − xz− yz = 0]

213

214 Capitolo 25. Luoghi nello spazio


r :

x + y− 2z = 0

x = 2, s : x− 1 = y = z e t :

x = 3ty = tz = t + 1

.

Siano:

π un piano per r,

P π ∩ s,

π′ Il piano per P e per t,

u la retta π ∩ π′.

Scrivere l’equazione del luogo delle rette u.[x2 − 2y2 + 2z2 + xy− 5xz + 3yz + 3x + y− 4 = 0]

25.4 Siano date le rette:

a :

x− y + z = 0

y = z, b :

x− y = 0

y = 2

c :

5x + 3y + z = 23x− y + 2z = 0

Scrivere l’equazione del luogo delle rette che sono incidenti ad a e b eperpendicolari a c. [x2 − xy− 2xz + 4x− 4y + 4z = 0]

25.5* Scrivere l’equazione del luogo delle rette incidenti alle tre rette

a :

x− y = 0z + 1 = 0

, b :

y− z = 0x− 1 = 0

, c :

x + 1 = 0y + z = 0

[ Conviene procedere in questo modo: fissato un punto generico P sullaretta a, intersechiamo il piano che contiene P e la retta b con quello perP e la retta c si ottiene così una retta incidente alle tre rette date (occorreperò escludere il caso in cui la complanarità significa parallelismo e nonincidenza).Sia dunque P(t, t,−1) il fascio di piani di sostegno b ha equazione y −z + λ(x − 1) = 0 quindi il piano Pb si ottiene per il valore di λ per cui èt+ 1+ λ(t− 1) = 0; quello di sostegno c ha equazione y+ z+ µ(x + 1) = 0da cui, sostituendo ancora le coordinate di P, t − 1 + µ(t + 1) = 0. Lagenerica retta incidente le tre rette date avrà dunque equazioni

(t + 1)x + (1− t)y + (t− 1)z− (t + 1) = 0

(t− 1)x− (t + 1)y− (t + 1)z + t− 1 = 0; (25.1)

una terna di parametri direttori per essa sarà t2 − 1, t2 + 1 e −2t Quindi taleretta è parallela alla b quando t2 − 1 = 0 e t2 + 1 = −2t, cioè per t = −1

215

e parallela alla c quando è t2 − 1 = 0 e t2 + 1 = 2t, cioè per t = 1; quindiuna retta che fa al caso nostro si otterrà per t 6= ±1. Il sistema (25.1) èequivalente alle relazioni

x + y− z− 1−x + y− z + 1

= t =x + y + z + 1x− y− z + 1

e quindi il luogo richiesto avrà equazione

(x + y− z− 1)(x− y− z + 1) + (x + y + z + 1)(x− y + z− 1) = 0

con−x + y− z + 1 6= 0 6= x− y− z + 1. Il risultato è dunque il paraboloideiperbolico di equazione

x2 − y2 + z2 − 1 = 0

privato dei punti della retta di equazione

x− y = 0

z− 1 = 0. ]

25.6 Si considerino nello spazio l’asse z e le rette r ed s aventi rispettivamenteequazioni

r :

y = 1x = z

ed s :

x = 1z = 0

Siano:

P il generico punto della r;

i la retta passante per P ed incidente la retta s e l’asse z;

A e B rispettivamente i punti di incidenza della retta i con la s e l’asse z;

M il punto medio del segmento AB.

Scrivere le equazioni del luogo descritto da M al variare di P sulla r e

riconoscere tale luogo. [

x =12

z = − y1 + 2y

iperbole.]

Esercizi di ricapitolazione

Questi esercizi, per lo più tratti da vecchi temi d’esame, non sono volutamente inalcun ordine, né per difficoltà né per argomento, per allenare l’alunno a passare da unargomento ad un altro con disinvoltura. Non sono dati né suggerimenti né risoluzioni:lo studente è invitato, anche quando non esplicitamente richiesto, a riconoscere tutte leconiche e le quadriche risultanti negli esercizi proposti. Il capitolo è diviso in due parti,la prima composta di esercizi veri e propri, la seconda di quesiti a risposta chiusa.

Esercizi

.1 In S 3 Si considerino il punto V(1, 0, 1) e la curva di equazioni

L :

x = t2

y = 1 + tz = t

i) Verificare che L è pianaii) Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale della curva l sul

pino xy.iii) Scrivere l’equazione del cono che proietta la L da V

.2 Si consideri la curva

L :

x = t2

y = −2tz = 4t + 1

e la retta r : x = y− z + 1 = 0. Detto P il generico punto di L, sianoP′ la proiezione ortogonale di P su r e M il punto medio del segmentoPP′. Scrivere le equazioni del luogo descritto da M al variare di P ericonoscerlo.

.3 Determinare tutti i valori del parametro h per i quali la curva di equa-zioni

x = h + t

y = 1 + ht2

z = h− t2

217

218 Esercizi di ricapitolazione

è piana. Scelto uno di questi valori, scrivere l’equazione del piano che lacontiene.

.4 Scrivere l’equazione di un cono rotondo che contenga i tre assi coordina-ti.

.5 Si consideri l’applicazione

f : R3 7→ R3

tale che

f ([x, y, z]) = [x + hy, (h− 1)x2 + y, z + h− 1] con h ∈ R

i) Determinare gli eventuali valori di h in corrispondenza dei quali fè lineare.

ii) Per ciascuno di tali valori determinare ker f e = f

.6 Sia W l’insieme W = [x, y, z] ∈ R3, x = z.

i) Verificare che W è sottospazio di R3.

ii) Introdotto in W il prodotto scalare standard, trovare una base perW⊥

.7 Nello spazio si considerino il punto P(1, 1, 1) e la retta r di equazionix− y− z + 2 = 0

y + 2z = 0.

i) Scrivere l’equazione del piano contenente sia P che r.

ii) Determinare la distanza di P da r.

.8 Verificare che l’applicazione f : M2 7→M2 definiita da

f([

a bc d

])=

[a + 1 0

0 d− 1

]

nonè un omomorfismo.

.9 Si considerino i punti O(0, 0), A(2, 0) e B(2, 3). Scrivere l’equazionedella parabola che ammette il triangolo OAB come autopolare ed ha undiametro parallelo alla retta x = y.

.10 Siano ~u,~v e ~w tre vettori indipendenti di uno spazio vettoriale E; siano Vil sottospazio di E generato dai vettori ~u, ~v e ~w e W quello generato daivettori ~u e ~v− ~w: Stabilire se sono vere o false le seguenti affermazioni:

i) V ⊆W

Esercizi 219

ii) V ⊇W

iii) V = W

.11 Scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione della curva2x2 + y− 1 = 0

z = 0attorno alla retta di equazioni

y = 1z = 2

.

.12 Si consideri la matrice

A =

2 0 30 5 00 k 5

.

Determinare A in modo che A sia diagonalizzabile.

.13 Scrivere l’equazione di un piano che tagli il cono di equazione x2 + y2 −z2 = 0 secondo una parabola non degenere.

.14 Sia B = ~v1,~v2,~v3,~v4 una base dello spazio vettoriale V e siano ~w1 =~v1 +~v2, ~w2 = ~v3, ~w3 = ~v4 −~v1 e ~w4 = ~v1 −~v2; dimostrare che B′ =~w1, ~w2, ~w3, ~w4 è un’altra base per V e trovare la matrice di passaggioda B a B′.

.15 Siano :

K la conica di equazione x2 − 2y = 0.

P il generico punto di K .

t la tangente in P alla K

R la proiezione ortogonale dell’origine O(0, 0) su t

Scrivere l’equazione del luogo dei punti R al variare di P su K .

.16 Sia K una conica non degenere con centro in (0, 0) che ammette comepolare del punto P(2,−2) la retta x− y + 4 = 0. Verificare che le rettex = y e x = −y sono gli assi di K .

.17 Si consideri in M2 la matrice A =

[1 00 2

]; verificare che 〈X, Y〉 =

tr(XAY) non è un prodotto scalare.

.18 Verificare che le rette

a :

x = 5t + 2y = tz = −3t− 1

b :

x = uy = uz = u + 1

c :

x = 3v− 12

y = 2v− 12

z = v +12

appartengono ad un medesimo fascio.


.19 Trovare per quali valori del parametro h le matrici

A =

[1 2−1 0

], B =

[h 1

h− 1 0

]; C =

[ −1 h−2h 0

]

sono linearmente dipendenti.

.20 Trovare le coniche degeneri ed i punti base del fascio di coniche

x2 + y2 − 2x− 2y + λ(xy− y2 + 2y) = 0.

.21 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha il centro nel punto C(1, 0),ammette come asintoto la retta x + y− 1 = 0 e come polo dell’asse y ilpunto A(−1, 0).

.22 Sia V = P2(x). Trovare il valore reale di k per il quale l’applicazionef : V 7→ V definita da

f (αx2 − βx + γ) = (α− k)x2 + kx + β

è un endomorfismo1 di V. Determinare poi la matrice ad esso associatarispetto alla base B = x2 + 1, x, x + 1.

.23 Scrivere l’equazione di una sfera avente il centro sulla retta

x = −2ty = t + 1z = t

e tangente all’asse x ed al piano 2x + 2y− z− 8 = 0.

.24 Discutere il sistema

x− (h + 1)y− 2z = h(2h + 1)x + 2y + z = h2x + (h + 1)y− z = h

ove h è un parametro.

Dare una interpretazione geometrica dei risultati ottenuti.

.25 Scrivere l’equazione della conica che ammette il triangolo O(0 : 0 : 1),A(2 : 0 : 1) e Y∞(0 : 1 : 0) come autopolare, passa per il punto B(0 : 1 : 1)ed ha un asse parallelo alla retta di equazione 2x− y + 3 = 0.

.26 Si considerino un punto V variabile sulla circonferenza x2 + y2 = 1 ela retta r di equazione 2x + y = 0. Scrivere l’equazione del luogo deifuochi delle parabole che hanno come direttrice la retta r e vertice nelpunto V.

.27 Verificare che le rette di equazioni

x + y = 0z = 1

e

x− z + 1 = 0

y = 01Un endomorfismo è un’applicazione lineare di uno spazio vettoriale in sè

Esercizi 221

sono complanari. Determinare poi le equazioni delle bisettrici di talirette.

.28 Determinare i valori dei parametri h e k per i quali è diagonalizzbile lamatrice

1 0 k− 10 1 00 h 2

.29 Una conica irriducibile K è tangente alle rette x = 1 e y = −1 ed ammet-te come autopolare il triangolo di vertici O(0, 0), A(1, 0) e B(0,−1). Scri-vere l’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse y reciproci rispettoa K .

.30 Si considerino nello spazio l’asse z e le rette r ed a aventi rispettivamenteequazioni:

R :

y = 1x = z

e a :

x = 1z = 0

.

Siano:

P il generico punto della r;s la retta passante per P ed incidente la retta a e l’asse z;A e B rispettivamente i punti di incidenza della s con la a e l’asse z;M il punto medio del segmento AB.

Trovare le equazioni del luogo descritto da M al variare di P sulla r ericonoscere tale luogo.

.31 Nello spazio, si consideri la curva L di equazioni parametriche

x = t + 1

y = t2 + 1z = −t

i) Scrivere l’equazione della superficie S generata dalla rotazione di

L attorno alla retta

x = 1z = 0

;

ii) trovare il piano che taglia la S secondo una circonferenza di raggio√2

.32 Discutere il sistema lineare

x + 2y− 3z = h2x− y + 4z = −h

3hx + hy + h2z = h

ove h è un parametro reale.


Quesiti

Per ogni quesito la risposta esatta esiste, ma non sempre è una sola.

Q..175 La quadrica di equazione (y− 2x)2 = xa è spezzata b ha infiniti punti doppi c ha un solo punto doppio d ha

infiniti punti impropri reali

Q..176 Nel piano, indicare le proprietà vere relativamente alla conica di equa-zione (x + 1)(y− 1) = 1

a è spezzata b ha due punti impropri immaginari coniugati c ha un solo

punto improprio ma contato due volte d ha due punti impropri reali e distinti

Q..177 Indicare le proprietà vere circa le matrici quadrate dello stesso ordine:a la somma di matrici diagonalizzabili è diagonalizzabile b se una matrice inver-

tibile è diagonalizzabile allora la sua inversa è diagonalizzabile c la trasposta di una

matrice diagonalizzabile è diagonalizzabile d il prodotto di matrici diagonalizzabiliè diagonalizzabile

Q..178 Se fa : R4 7→ R3 è l’applicazione lineare associata, rispetto alle basicanoniche alla matrice

A =

1 2 0 12 4 0 00 0 0 0

la dimensione del nucleo di fA è: a 3; b 2; c ∞; d 0.

Q..179 Nello spazio, le equazioni

x2 + y2 − z2 − 2x− 2 = 0

x− y + 1 = 0rappresentano:

a a una conica con centro in (1; 1;−1) b una parabola con asse parallelo all’asse

z c una parabola con asse parallelo allasse y d una conica con centro in (0; 1; 0)

Q..180 Sia A = [aik] una matrice quadrata di ordine n e sia Aik il complementoalgebrico dell’elemento di posto i, k allora:

a ∑ni=1 aik Aki = det A b ∑n

j=1 aij Akj = δik c ∑nk=1 aik Akj = δij d ∑n

k=1 aik Aik =

det A

Q..181 In uno spazio euclideo reale, per quali vettori vale ‖~u‖+ ‖~v‖ = ‖~v + ~u‖?a se ~u e ~v sono perpendicolari b solo se ~u e ~v sono paralleli c solo se ~u e ~v

sono perpendicolari d se ~u e ~v sono paralleli

Q..182 Sia µA il polinomio minimo della matrice A =

1 1 01 1 01 1 0

. Indicare le

proprietà vere:a il grado di µA è = 2 b µA non ha radici multiple c µA coincide con il

polinomio caratteristico d il grado di µA è = 3

Quesiti 223

Q..183 Se A è una matrice quadrata di ordine n, che ammette l’autovalore λ = 0con molteplicità algebrica k, allora:

a r(A) < k b r(A) ≥ n− k c r(A) < n− k d r(A) ≥ k

Q..184 Sia Ax = 0 un sistema lineare omogeneo di n equazioni in n incognite.Se i vettori riga della matrice A sono linearmente dipendenti, allora ilsistema:

a ammette al più una soluzione b ammette solo la soluzione banale; purché ivettori colonna siano linearmente indipendenti c non ammette soluzioni non banali

d ammette infinite soluzioni

Q..185 Il sistema

x = cos2 t− 2

y = sin2 t + 2z = 2t

a rappresenta una superficie b rappresenta una curva gobba c rappresenta

una curva piana d rappresenta una quadrica riducibile

Q..186 In R3 siano U e V i sottospazi definiti rispettivamente da x = y = z ez = 0; allora

a U ⊕V = R3 b U + V = U c U + V = V d U + V = R3

Q..187 Nel piano, la circonferenza passante per A(−1, 0) e tangente all’asse yin B(0, 1) ha equazione:

a y2− 2x + 1 b x2− y2 + 2x = 0 c x2 + y2− 4x + 3 = 0 d x2 + y2 + 2x−2y + 1 = 0

Q..188 Nel piano l’iperbole equilatera che ha fuochi nei punti F1(0, 0) ed F2(−2, 0)ha equazione:

a 2x2 − 2y2 + 4x − 1 = 0 b x2 − 2y2 + 3 = 0 c x2 − y2 + 4y == dx2 + y2 + 2x− 1 = 0

Q..189 Si consideri l’applicazione lineare f di M2 in sè definita da

f (A) =

[1 02 0

]A;

allora il nucleo di f ha dimensionea 0 b 1 c 2 d 3

Q..190 Le matrici

A =

2 1− t 00 −1 01 1− 3t −1

e B =

−1 0 0

0 1 2−1 1 0

a sono diagonalizzabili b hanno lo stesso polinomio minimo c hanno lo

stesso polinomio caratteristico d sono simili


Q..191 Quali delle seguenti proprietà sono vere, essendo A una matrice quadra-ta di ordine n ed I la matrice unità dello stesso ordine di A ed indicandocon tr(A) la traccia di A?

a tr(I − A) = 1− tr(A) b tr(AT) = tr(A) c tr(A + B) = tr(A) + tr(B) dtr(AB) = tr(A) · tr(B)

Q..192 Nel piano, assegnare un asintoto per una conica significa fornire unnumero di condizioni lineari pari a

a 1 b 2 c 3 d una; ma non lineare

Q..193 Nel piano, la conica che ha centro nel punto C(0, 1), è tangente all’asse xnel punto A(2, 0) e passa per il punto P(−1,−1) è:

a un’ellisse b una parabola c un’iperbole d degenere

Q..194 Date nel piano due rette ortogonali, le iperboli che le ammettono comeasintoti sono:

a almeno due b una ed una sola c un fascio d una rete

Q..195 Se il sistema lineare Ax = b di m equazioni in n incognite ammettealmeno due soluzioni, allora:

a det A = 0 b ne ammette infinite c r(A) < m d r(A) < n

Q..196 Una matrice quadrata emisimmetrica ed idempotentea non esiste b è la matrice nulla c è la matrice unità d è simile alla

matrice unità

Q..197 Le matrici A =

[0 −10 2λ

], B =

[0 λ0 µ

]e C =

[0 λ + 10 µ

]sono linear-

mente indipendentia per λ 6= 0 e ∀µ b per λ 6= 0 e µ 6= 0 c per λ = µ d mai

Q..198 Una conica non degenere K è tangente alle rette x = 1 e y = −1ed ammette come autopolare il triangolo di vertici A(1, 0), B(0,−1) eO(0, 0).

Scrivere l’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse y che sonoreciproci rispetto alla K .

Temi esame dell’ultimo anno

Segue la raccolta dei temi d’esame proposti nell’anno accademico 2010− 2011presso la sede di Cremona del Politecnico di Milano.

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIASede di Cremona

Prof. Ernesto Dedopreappello del 29 giugno 2011

NOME E COGNOME: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MATRICOLA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIRMA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Scrivere solo le risposte negli appositi spazi di questo foglio. • Riportare calcoli e

motivazioni su altri fogli. • Consegnare (oltre a questo foglio) tutti e soli quelli che

contengono i calcoli e le motivazioni dei risultati ottenuti. • Ogni esercizio completamente

e correttamente svolto, con le opportune motivazioni e giustificazioni, vale al massimo 5

punti.

1. Sia

M =

λ λ λ− 1−λ −1 02 2λ 0

la matrice rappresentativa di una applicazione lineare f : R3 7→ R3.

i) Stabilire per quali valori di λ la f e un automorfismo

ii) Determinare, negli altri casi, una base e la dimensione del nucleoe dell’immagine di f

Valori di λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nucleo e immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Considerata, nello spazio, la famiglia di piani F

x+ (2− h)y + (h2 − 2h+ 2)z − 1 = 0

i) determinare i piani di F che sono perpendicolari al piano α diequazione 2x+ y − z = 0

ii) scrivere l’equazione della superficie luogo delle rette passanti perl’origine e perpendicolari ai piani di F e riconoscerla.

Piani di F ortogonali ad α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Superficie ottenuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 29 giugno 2011

Cognome: Nome: Firma:

preappello. Professore: E. Dedo Matricola:

• Piu risposte possono essere corrette. Indicarle con una croce. • Per annullare una risposta ritenuta errata racchiu-derla in un cerchio. Limitarsi a una correzione per domanda e a non piu di 3 complessivamente • Ogni domanda valein tutto 2 punti. Si richiedono almeno 12 punti.

1. Le matrici

A =

3 0 00 3 00 0 1

e B =

2 1 01 2 00 0 3

a hanno polinomi caratteristici diversi; b non sono simili; c hanno lo stesso polinomio caratteristico;

d sono simili.

2. Sia r la retta di equazioni

x = 3

z = 1; allora r e : a ortogonale all’asse x; b parallela al piano xz; c or-

togonale al piano xz; d parallela all’asse z.

3. La conica di equazione t2x2 + 4txy+ 2y2 + 2y+ t = 0 e degenere a per due valori di t; b per nessun valore

reale di t; c ∀t; d solo per t = 0.

4. Sia A una matrice quadrata reale di ordine n = 2k+1 e sia B = −AT . Allora: a r(A) = r(B) e detA = −detB;

b r(A) = −r(B) e detA = detB; c r(A) = −r(B) e detA = −detB; d r(A) = r(B) e detA = detB.

5. Siano A e B due sistemi di generatori di uno spazio vettoriale V . Allora e sempre vero che a B contiene

almeno una base; b A e B hanno almeno un vettore in comune; c A e B contengono lo stesso numero di

vettori; d A e contenuto in almeno una base.

6. Di una conica γ si conosce l’involuzione dei diametri coniugati, allora si puo determinare a gli asintoti di γ;

b la polare di un punto improprio qualsiasi; c il centro; d la natura di γ.

7. Nello spazio sono date le equazioni di tre piani. Se, per il sistema da esse formato il rango della matrice deicoefficienti e 2 e quello della matrice completa e 3, allora i tre piani a sono paralleli ad una stessa retta;

b non hanno ne punti ne direzioni in comune; c sono paralleli; d hanno solo una direzione in comune.

8. Sia A una matrice quadrata di ordine 2 simmetrica e con determinante positivo. A quali delle seguenti matrici A

non puo essere simile? a

[1 13 4

]; b

[0 1−1 4

]; c

0 1 21 0 32 3 0

; d

[1 12−2 0

].

9. Sia A una qualunque matrice quadrata di ordine 6, allora non ammette inversa: a ogni A con gli elementi

principali uguali a 0; b ogni A per cui la somma degli elementi e uguale a 0; c ogni A che ha una colonna

nulla; d ogni A che ha rango 5.

10. Nello spazio, l’equazione 3x2 + y2 = 1 rappresenta: a un ellissoide; b un cilindro; c una parabola;

d un’ellisse.


Prof. Ernesto DedoI appello del 13 luglio 2011

NOME E COGNOME:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MATRICOLA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIRMA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Scrivere solo le risposte negli appositi spazi di questo foglio. • Riportare calcoli e motivazioni

su altri fogli. • Consegnare (oltre a questo foglio) tutti e soli quelli che contengono i calcoli e

le motivazioni dei risultati ottenuti. • Ogni esercizio completamente e correttamente svolto,

con le opportune motivazioni e giustificazioni, vale al massimo 5 punti.

1. Sia

M =

1 h 0 0h 1 0 h0 0 h 00 0 0 0

con h ∈ R.

i) Discutere il rango di M al variare di h

ii) Per ogni valore di h trovare una base dello spazio vettoriale generatodalle colonne di M e completarla ad una base di R4.

iii) Discutere la diagonalizzabilita di M al variare di h.

Rango di M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M e diagonalizzabile per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Considerata, nello spazio, la famiglia di piani F x+ (2− h)y+ (h2− 2h+2)z − 1 = 0

i) determinare i piani di F che sono perpendicolari al piano α di equa-zione 2x+ y − z = 0

ii) scrivere l’equazione della superficie luogo delle rette passanti perl’origine e perpendicolari ai piani di F e riconoscerla.

Piani di F ortogonali ad α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Superficie ottenuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 13 luglio 2011


I appello. Professore: E. Dedo Matricola:


1. L’involuzione dei punti reciproci che una conica K induce sulla retta impropria e .

mm′ − 2(m + m′)− 3 = 0.

Allora la conica e : a un’iperbole; b non si puo stabilire la natura di K; c un’ellisse; d una parabola.

2. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n > 0 e sia f : V 7→ V tale che Kerf = Imf . Allora a f coincide con

la sua inversa; b dimV e un numero pari; c f e iniettiva; d V e somma diretta di nucleo ed immagine.

3. Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine tali che AB = I. Allora: a nessuna delle due e singolare;

b il loro determinante puo essere solo 1 o −1; c AB = BA; d almeno una delle due e singolare.

4. Nel piano, assegnare un asintoto per una conica significa dare un numero di condizioni pari a: a 2 lineari;

b 3 lineari; c una, ma non lineare; d 1 lineare.

5. Nello spazio il sistema

x = 2u + 2v + 2w

y = u + v + w

z = −1

rappresenta a un piano parallelo all’asse y; b una retta parallela all’asse y; c un piano parallelo al piano

xy; d una retta parallela al piano xy.

6. Nello spazio, la curva intersezione tra la superficie di equazioni

x = u

y = ut

z = 1 + u2t

ed il piano di equazione x − y +

2z + 1 = 0 e : a un’iperbole; b non e una conica; c un’ellisse; d una parabola.

7. In R3 siano v = [h, h + 1, 0], w = [1, 0, h] e sia e2 = [0, 1, 0]. Allora v appartiene allo spazio generato da w ed e2a per nessun valore di h; b per due valori di h; c per un solo valore di h; d per tutti i valori di h.

8. Nello spazio, siano r e s due rette sghembe non ortogonali. Allora la distanza tra r e s e uguale a alla

lunghezza di un segmento avente gli estremi su r e su s, ortogonale ad entrambe le rette; b alla distanza fra

due piani qualunque che contengono le due rette; c alla distanza fra i due punti di intersezione di r ed s con un

opportuno piano ortogonale ad r; d alla distanza fra un punto qualunque di r ed un qualunque piano passanteper s.

9. Sia A ∈M100 una matrice simmetrica i cui elementi aij = −1 se i 6= j e gli altri sono nulli. Allora A a ha −99

come autovalore; b ha 1 come autovalore; c ha un autovalore di molteplicita 99; d non ha autovalorireali.

10. Sia V uno spazio vettoriale e siano v1, v2, . . . , vs i vettori di una sua base. Se w1, w2, . . . , wr e un sistema digeneratori di V allora a r ≤ s; b r ed s non sono confrontabili; c r = s; d r ≥ s.


Prof. Ernesto DedoII appello del 12 settembre 2011

NOME E COGNOME: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MATRICOLA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .FIRMA:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Scrivere solo le risposte negli appositi spazi di questo foglio. • Riportare calcoli e

motivazioni su altri fogli. • Consegnare (oltre a questo foglio) tutti e soli quelli che

contengono i calcoli e le motivazioni dei risultati ottenuti. • Ogni esercizio completamente

e correttamente svolto, con le opportune motivazioni e giustificazioni, vale al massimo 5

punti.

1. Trovare il valore reale di k per il quale l’applicazione fk : P2(x) 7→P2(x) definita da:

fk(αx2 − βx+ γ) = (α− k)x2 + kx+ β

e lineare.

Determinare la matrice ad esso associata rispetto alla base

B = x2 + 1, x, x+ 1Valori di k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Scrivere l’equazione della conica γ che passa per i punti O(0, 0), A(4, 0)e B(0, 2), e tangente alla retta 2x− y+ 2 = 0 ed ammette la retta ABcome diametro. Riconoscere la conica γ.

Equazione della conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La conica e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 12 settembre 2011


II appello. Professore: E. Dedo Matricola:


1. Lo spazio vettoriale intersezione tra quello delle matrici triangolari alte e quello delle matrici triangolari basse,tutte di ordine n, ha dimensione a 2n; b n2; c 0; d n.

2. Siano γ1 e γ2 due circonferenze di ugual raggio giacenti sui piani paralleli π1 e π2, allora a esiste un cono

circolare che le contiene; b esiste un cono che le contiene ma non e circolare; c non esiste nessun cono che

le contiene; d esiste un cilindro che le contiene.

3. Le rette r : x = 2y = 3z e s :

x+ y + z = 0

2x− y + z = 1sono a complanari; b sghembe; c parallele; d per-

pendicolari.

4. Sia A una matrice di tipo (m,n) e sia r il suo rango. Allora a m ≤ r ≤ n; b r ≤ min(m,n); c r ≤ m;

d r ≤ n.

5. La relazione ”il punto A e coniugato con B rispetto alla conica K” e : a transitiva; b di equivalenza;

c riflessiva; d simmetrica.

6. Sia Ax =0 un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite con r = r(A). Allora la dimensione dellospazio vettoriale delle sue soluzioni e : a m; b n; c r; d n− r.

7. La matrice

1 0 a− 1a 3 0a 0 3

e diagonalizzabile a per infiniti valori di a ma non per tutti; b per a 6= 0;

c solo per a = 0 ed a = 1; d per tutti i valori di a.

8. Quanti sono i piani paralleli a due rette sghembe assegnate? a un fascio; b esattamente due; c esatta-

mente uno; d nessuno.

9. Due matrici che hanno lo stesso polinomio minimo a hanno lo stesso polinomio caratteristico; b hanno gli

stessi autovalori, eventualmente con molteplicita diverse; c hanno gli stessi autovettori; d sono simili.

10. Le coniche che ammettono una data equazione come involuzione dei diametri coniugati sono a una rete;

b due; c una ed una sola; d un fascio.


Prof. Ernesto DedoIII appello del 25 gennaio 2012

NOME E COGNOME:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MATRICOLA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIRMA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Scrivere solo le risposte negli appositi spazi di questo foglio. • Riportare calcoli e motivazioni

su altri fogli. • Consegnare (oltre a questo foglio) tutti e soli quelli che contengono i calcoli e

le motivazioni dei risultati ottenuti. • Ogni esercizio completamente e correttamente svolto,

con le opportune motivazioni e giustificazioni, vale al massimo 5 punti.

1. Si considerino nello spazio l’asse z e le rette r ed s aventi rispettivamenteequazioni

r :

y = 1

x = zed s :

x = 1

z = 0

Siano:

P il generico punto della r;

i la retta passante per P ed incidente la retta s e l’asse z;

A e B rispettivamente i punti di incidenza della retta i con la s e l’asse z;

M il punto medio del segmento AB.

Scrivere le equazioni del luogo descritto da M al variare di P sulla r ericonoscere tale luogo.

Equazione del luogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Riconoscimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Sia V l’insieme delle matrici simmetriche di ordine 2 che ammettono il

vettore

[11

]come autovettore.

i) Verificare che V e sottospazio vettoriale dello spazio M delle matriciquadrate di ordine 2.

ii) Calcolare la dimensione di V

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 25 gennaio 2012


III appello. Professore: E. Dedo Matricola:


1. Sia A una matrice quadrata di ordine n che ammette l’autovalore λ = 0 con molteplicita algebrica k. Allora:a r(A) < n− k; b r(A) > k; c r(A) < k; d r(A) ≥ n− k.

2. Nello spazio, la proiezione ortogonale della curva

x2 − y2 + z2 = 1

x− 2y + z = 0sul piano yz e : a una parabola;

b un’iperbole; c una conica degenere; d un’ellisse.

3. Le rette r : x = 2y = 3z e s :

x+ y + z = 0

2x− y + z = 1sono a complanari; b sghembe; c parallele; d per-

pendicolari.

4. Sia A una matrice quadrata idempotente (cioe tale che A2 = A), allora a e diagonalizzabile solo se e di ordine

pari; b ammette sempre l’autovalore λ = 0; c ha sempre autovalori distinti; d e sempre diagonalizzabile.

5. Sia A quadrata di ordine 2 radice del polinomio A2−2A−3I = 0; allora a A non e diagonalizzabile; b nulla

si puo dire sulla sua diagonalizzabilita ; c A e diagonalizzabile; d A e simmetrica.

6. Sia Ax =0 un sistema lineare omogeneo di n equazioni in n incognite Se i vettori riga della matrice A sonolinearmente dipendenti, allora il sistema a non ammette soluzioni non banali; b ammette infinite soluzioni;

c ammette al piu una soluzione; d ammette solo la soluzione banale, purche le colonne siano linearmenteindipendenti.

7. La matrice

1 0 a− 1a 3 0a 0 3

e diagonalizzabile a per infiniti valori di a ma non per tutti; b per a 6= 0; c solo per a = 0 ed a = 1;

d per tutti i valori di a.

8. Quanti sono i piani paralleli a due rette sghembe assegnate? a un fascio; b esattamente due; c esatta-

mente uno; d nessuno.

9. Per quanti valori del parametro reale h l’applicazione lineare associata alla matrice

A =

1 1 + h1 0h h− 1

e iniettiva? a per nessun valore; b per un solo valore; c per due valori; d per ogni valore.

10. Nel piano, la conica di equazione (x+ 1)(y− 1) = 1 a ha un solo punto improprio, contato due volte; b ha

due punti impropri, reali e distinti; c e spezzata; d ha due punti impropri immaginari coniugati.

Esercizi di Geometria

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