Esercitazioni di Biostatistica

In collaborazione con la Dott.ssaAntonella Zambon

ESERCIZIO 1

7.7423FMaria

25.0424MAldo

12.3422MGiuseppe

422MMarco

3.2426FAnna

12.0424FLucia

7.5423MClaudio

5.0428MAntonio

Distanza (km)

Livello istruzione

Età (anni compiuti)

GenereNome

1- Licenza elementare 2- Licenza media

3- Diploma scuola superiore 4- Laurea

Unità statistica

Variabile

ESERCIZIO 1: frequenza

Una prima sintesi può essere effettuata costruendo la lista delle modalità di una variabile accompagnate dalle rispettive frequenze assolute: distribuzione di frequenze assolute

nJ…nj…n1Frequenza

totaleyJ…yj…y1Modalità

∑=

=J

jjnn

1

…o relative: distribuzione di frequenze relative

1pJ…pj…p1Frequenza

totaleyJ…yj…y1Modalità

n

fp j

j =

ESERCIZIO 1

1- Licenza elementare 2- Licenza media

3- Diploma scuola superiore 4- Laurea

7.7423FMaria

25.0424MAldo

12.3422MGiuseppe

422MMarco

3.2426FAnna

12.0424FLucia

7.5423MClaudio

5.0428MAntonio

Distanza (km)

Livello istruzione

Età (anni compiuti)

GenereNome

ESERCIZIO 1: distribuzione

8

3

5

Frequenzaassoluta

1Totale

0.375F

0.625M

Frequenzarelativa

Genere

Serie statistica

8

8

Frequenzaassoluta

1Totale

14

Frequenzarelativa

Livello istruzione

Variabile statistica degenere

Come riassumere la variabile distanza?

ESERCIZIO 1

0.142115 25

7

4

2

Frequenzaassoluta

1Totale

0.5725 15

0.2860 5

Frequenzarelativa

Distanza

Seriazione statistica

Classi di modalità

Le classi vanno definite in modo che:

•non siano troppe né troppo poche

•siano disgiunte

•comprendano tutte le modalità osservate

Le classi devono avere la stessa

ampiezza?

ESERCIZIO 1: diagramma a barre

8

3

5

Frequenzaassoluta

1Totale

0.375F

0.625M

Frequenzarelativa

Genere

L’altezza del rettangolo èproporzionale alla frequenza della modalità

Valido sia per variabili nominali o numeriche discrete

M F

5

3

ESERCIZIO 1: istogramma

0.142115 25

7

4

2

Frequenzaassoluta

1Totale

0.5725 15

0.2860 5

Frequenzarelativa

Distanza

0.5

0.3

20

10

2,5

Punto centrale

(5+0)/2

(15+5)/2

(25+15)/2

2,50 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0

0.4

0.20.1

Nell’istogramma sono le aree e non le altezze dei rettangoli ad essere proporzionali alle frequenze.

5*0.4=2

• Indicare la tipologia di ogni variabile considerata.

• Quali indici di posizione è possibile calcolare per le diverse variabili?

• Calcolare tali indici per il genere, livello d’istruzione ed età. Confrontare.

ESERCIZIO : in riferimento all’esercizio 1

La carica virale di HIV-1 è un noto fattore di rischio per la trasmissione eterosessuale dell’HIV; i soggetti con carica virale di HIV-1 più elevata hanno un rischio maggiore di trasmettere il virus al partner non infetto. Alcuni ricercatori hanno misurato la quantità di RNA di HIV-1 presente nel siero ematico di un gruppo di persone con partner sieroconvertiti (ovvero non infetti all’inizio ma divenuti positivi all’HIV durante lo studio):

79725 – 12862 – 18022 – 76712 - 256440 – 14013 – 46083 –6808 – 85781 – 1251 – 6081 – 50397 – 11020 – 13633 – 1064 –496433 – 25308 – 6616 – 11210 – 13900 (copie di RNA/ml).

Rappresentare i dati e calcolare media, mediana e deviazione standard.

ESERCIZIO 2

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/ml

paziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

Copie di RNA/ml

paziente

ESERCIZIO 2

128622

1363314

1390020

1121019

1102013

68088

661618

608111

125110

106415

Copie di RNA/ml

paziente

857819

2564405

49643316

797251

767124

5039712

460837

2530817

180223

140136

Copie di RNA/ml

paziente

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/ml

paziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

Copie di RNA/ml

paziente

ESERCIZIO 2

128622

1363314

1390020

1121019

1102013

68088

661618

608111

125110

106415

Copie di

RNA/ml

paziente

857819

2564405

49643316

797251

767124

5039712

460837

2530817

180223

140136

Copie di

RNA/ml

paziente

20

2

4

2

7

5

Frequenza

1

0.1

0.2

0.1

0.35

0.25

Frequenza relativa

100000 500000

Totale

50000 100000

20000 50000

10000 20000

0 10000

Copie di RNA/ml

ESERCIZIO 2

20

2

4

2

7

5

Frequenza

1

0.1

0.2

0.1

0.35

0.25

Frequenza relativa

100000 500000

Totale

50000 100000

20000 50000

10000 20000

0 10000

Copie di RNA/ml

0 2000010000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 110000 … 500000

Poligono di frequenza0.5*10-3

ESERCIZIO 2

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/ml

paziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

Copie di RNA/ml

paziente

n

yy

n

ii∑

== 1 95,6166720

1390011210...1286279725 =++++=

MEDIA

Valida solo per dati quantitativi

Definizione?

ESERCIZIO 2

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/ml

paziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

Copie di RNA/ml

paziente

-54859,958

24113,059

-60416,9510

-15584,957

-47654,956

194772,055

15044,054

-43645,953

-48805,952

18057,051

paziente

-5505218

-5045819

-4776820

-3636017

43765,116

-6060415

-4803514

-5064813

-1127112

-5558711

paziente( )xxi −

( )xxi −

( ) 01

≈−∑=

n

ii yyPrima proprietà

(del baricentro)

ESERCIZIO 2

764405

767124

780223

728622

797251

Copie di RNA/ml

paziente

14405

17124

30223

-21382

47251

Copie di RNA/ml

paziente

2,767521 ==∑

=

n

yy

n

ii

-75000(scelto arbitrariamente)

2,17521 ==∑

=

n

yd

n

ii

2,7675275000 =+= dy

( ) yAAyn

ii =⇔=−∑

=

min1

2Seconda proprietà

ESERCIZIO 2

Terza proprietà

(di Cauchy)

La media è sempre compresa tra l’osservazione più piccola e la più grande

Quarta proprietà

(di linearità)

baxy += ℜ∈ba,

bxay +=

ESERCIZIO 2

Limitazioni:

•dati non quantitativi

•diversi ordini di grandezza (ad es. 0.8 – 7 – 58 – 124)

•presenza di valori estremi (ad es. 28 – 34 – 22.5 – 299)

•Sensibile a variazioni nei dati (non robusta)

ESERCIZIO 2

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/ml

paziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

Copie di RNA/ml

paziente

Valida per dati qualitativi ordinali o

quantitativi

MEDIANA

E’ quel valore della variabile che, rispetto all’ordinamento non decrescente delle osservazioni, risulta preceduto e seguito dalla stessa porzione di osservazioni (50%) a meno di effetti di discretizzazione

ESERCIZIO 2

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/ml

paziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

Copie di RNA/ml

paziente

MEDIANA

La mediana di una variabile èquel valore che soddisfa contemporaneamente alle due condizioni:

•almeno il 50% delle unitàstatistiche presenta modalitàinferiori o pari alla mediana

•almeno il 50% delle unitàstatistiche presenta modalitàsuperiori o pari alla mediana

ESERCIZIO 2

128622

1363314

1390020

1121019

1102013

68088

661618

608111

125110

106415

Copie di RNA/ml

paziente

857819

2564405

49643316

797251

767124

5039712

460837

2530817

180223

140136

Copie di RNA/ml

paziente

5,139562

1401313900 =+=M

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/ml

paziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

Copie di RNA/ml

paziente

dispari èn se 2

1M

pari èn se 12

e 2

+=

+=

n

nnM

ESERCIZIO 2

128622

1363314

1390020

1121019

1102013

68088

661618

608111

125110

106415

Copie di RNA/ml

paziente

857819

2564405

49643316

797251

767124

5039712

460837

2530817

180223

140136

Copie di RNA/ml

paziente

QUANTILI

Un quantile di livello α è quel valore di una variabile qualitativa ordinale o quantitativa che, rispetto all’ordinamento non decrescente delle osservazioni, risulta preceduto da α*100% osservazioni e seguito da (1-α)*100% osservazioni, a meno di effetti dovuti alla discretizzazione

ESERCIZIO 2

128622

1363314

1390020

1121019

1102013

68088

661618

608111

125110

106415

Copie di RNA/ml

paziente

857819

2564405

49643316

797251

767124

5039712

460837

2530817

180223

140136

Copie di RNA/ml

paziente

QUANTILI

La mediana è un particolare quantile, quello di livello α=0.50

I quantili di livello α=0.25, 0,50 e 0,75 sono detti quartili

I quantili di livello α=0.33 e 0,66 sono detti terzili

ESERCIZIO 2

128622

1363314

1390020

1121019

1102013

68088

661618

608111

125110

106415

Copie di RNA/ml

paziente

857819

2564405

49643316

797251

767124

5039712

460837

2530817

180223

140136

Copie di RNA/ml

paziente

QUANTILI

Dai dati ordinati della variabile Y il quantile di livello α è dato dalla:

•modalità che si trova nell’intero successivo a (n*α) se n* α è un numero non intero

•modalità che si trovano nelle posizioni (n*α) e (n*α)+1 se n* α è un numero intero

Achtung!!! Ordinare i dati

128622

1363314

1390020

1121019

1102013

68088

661618

608111

125110

106415

Copie di RNA/ml

paziente

857819

2564405

49643316

797251

767124

5039712

460837

2530817

180223

140136

Copie di RNA/ml

paziente

QUANTILI

Il range interquartile è dato dalla differenza tra il valore del quartilecon livello α=0.75 e quello con livello α=0.25. Questo intervallo indica che il 25% delle osservazioni sono inferiori all’estremo inferiore del range e il 25% sono superiori all’estremo superiore.

QUANTILI

Diagramma box plot (detto a scatola a baffi oppure box and whiskers plot)

min maxQ1 Q3Q2

Il range interquartile può essere un utile indice di dispersione quando si ritiene che la deviazione standard (e quindi la varianza) sia troppo influenzata dalle code della distribuzione

10648914

13956 63554

61668496433

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/mlpaziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

CAMPO DI VARIAZIONE

Min:1064

Max:496433

Campo di variazione:495369

-6 -4 -2 0 2 4 6

Misure della variabilità

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/mlpaziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

( )1

1

2

2

−

−=∑

=

n

yys

n

ii

2ss =

VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD (campionaria)

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/mlpaziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

( )1

1

2

2

−

−=∑

=

n

yys

n

ii

-54860

24113,05

-60417

-15585

-47655

194772,1

15044,05

-43646

-48806

18057,05

-55052

-50458

-47768

-36360

434765,1

-60604

-48035

-50648

-11271

-55587

( )xxi −

30,1*108

5,81*108

36,5*108

2,43*108

22,7*108

379*108

2,26*108

19,0*108

23,8*108

3,26*108

30,3*108

25,5*108

22,8*108

13,2*108

1890*108

36,7*108

23,1*108

25,7*108

1,27*108

30,9*108

( )2xxi −

2,62*1011

1011

2 10*38,119

10*62,2 ==s

29,11753910*38,1 10 ==s

2ss =

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/mlpaziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

( ) ∑∑

∑=

=

=

−=−n

i

n

ii

i

n

ii n

y

yyy1

2

12

1

2

(Σyi)2= 1,52117*1012

( )1

1

2

2

−

−=∑

=

n

yys

n

ii

Σyi=1233359

Varianza: formula ridotta

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/mlpaziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

46348864

7358379961

1565001

2123642889

196364169

6,5761*1010

5884730944

324792484

165431044

6356075625

43771456

125664100

193210000

640494864

2,46446*1011

1132096

185858689

121440400

2539857609

36978561

2ix

(Σy2i)=3,38553*1011

=

−∑∑

=

=n

i

n

ii

i n

y

y1

2

12

11

1211

10*62494,2

20

10*5117,110*38553,3

=

=−=

1011

2 10*38,119

10*62494,2 ==s

ESERCIZIO 2

02 ≥sPrima proprietà

L’uguaglianza si ha solo se la variabile è degenere

Seconda proprietà

(di linearità)

baxy += ℜ∈ba,

222xy sas =

Esercizio: Analogie e differenze tra queste proprietà e quelle della media

68088

857819

125110

460837

140136

2564405

767124

180223

128622

797251

Copie di RNA/mlpaziente

661618

1121019

1390020

2530817

49643316

106415

1363314

1102013

5039712

608111

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

Valido solo per variabili che assumono valori positivi

91.1==x

sCV x

E’ un indice adimensionale di variabilità relativa nel senso che misura la variabilità dei dati tenendo conto dell’ordine di grandezza del fenomeno.

Essendo un numero puro permette di confrontare variabili diverse

35

44

63

62

81

120

FrequenzaNnumero di colonie

Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza del numero di colonie per piastra dopo inoculo con una sospensione batterica

ESERCIZIO 3

35

44

63

62

81

120

Frequenza

Numero di colonie

15

16

18

12

8

0

fi*xi

n

yn

n

yn

y

J

jjj

J

jj

J

jjj ∑

∑

∑=

=

= == 1

1

1

**

6939

77,139

69 ==

Tale procedura equivale a fare la media con la formula precedente sommando 12 volte 0, 8 volte 1 etc e dividendo tale somma per il numero totale di piastre

35

44

63

62

81

120

FrequenzaNumero di colonie

39

36

32

26

20

12

Frequenza cumulata

Qual è la mediana?

N è dispari quindi occorre cercare la modalità della variabile a cui èassociata la frequenza cumulata più piccola per la quale vale la relazione:

2

1+≥ nF cum

j

35

44

63

62

81

120

FrequenzaNumero di colonie

39

36

32

26

20

12

Frequenza cumulata

Qual è la mediana?

Se N fosse pari occorre cercare le modalità della variabile a cui sono associate le frequenze cumulate più piccole per le quali valgono le relazioni:

2

nF cum

j ≥ 12

+≥ nF cum

j

35

44

63

62

81

120

FrequenzaNumero di colonie

10.438

4.976

1.515

0.053

0.592

3.130

(xi-x) 2

Qual è la varianza?

( )∑=

−−

=J

jjj yyn

ns

1

22 *1

171.2=

31.314

19.905

9.089

0.320

4.734

37.562

fi* (xi-x)2

102.923

Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dell’età di insorgenza di patologie tiroidee in 321 maschi assistiti presso un centro endocrinologico. Determinare la media la mediana e la moda

680-90

4470-80

9460-70

6150-60

5340-50

3230-40

1620-30

1510-20

FrequenzaEtà

ESERCIZIO 4

680-90

4470-80

9460-70

6150-60

5340-50

3230-40

1620-30

1510-20

FrequenzaEtà

∑

∑

=

==k

ii

k

ivcii

n

yny

1

1

*

85

75

65

55

45

35

25

15

Valore centrale

510

3300

6110

3355

2385

1120

400

225

fi*xvci

17405321

22.54321

17405==

Le osservazioni che cadono in una classe coincidono con il punto centrale della classe

Le osservazioni sono distribuite in modo uniforme nella classe di appartenenza

Con questa procedura non si ottiene il valore della media

che si otterrebbe lavorando sui valori individuali. In questo

caso si ottiene una approssimazione. Infatti a tutti i soggetti

nella classe d’età 10-20 si attribuisce una età pari al valore

centrale ovvero 15 il che non è detto che risponda al vero.

Tale ragionamento si ripete anche per le altre classi. Se però

n è abbastanza grande e la distribuzione è poco asimmetrica

tale approssimazione risulta poco importante perchégli

errori tendono a bilanciarsi. Lo stesso risultato si ottiene

utilizzando classi meno ampie

680-90

4470-80

9460-70

6150-60

5340-50

3230-40

1620-30

1510-20

FrequenzaEtà

( )c

n

nn

LMmediana

i

*2inf

∑−+=

321

315

271

177

116

63

31

15

Frequenza cumulata161

2

1321

2

1 =+=+n

La classe mediana è 50-60

Estremo inferiore della classe mediana

Numerosità campionaria

Somma delle frequenza delle classi

prima della classe mediana

Frequenza della classe medianaAmpiezza delle classi

680-90

4470-80

9460-70

6150-60

5340-50

3230-40

1620-30

1510-20

FrequenzaEtà

( )c

n

nn

LMmediana

i

*2inf

∑−+=

321

315

271

177

116

63

31

15

Frequenza cumulata

( )30.5710*

61

1162

321

50 =−

+=

La classe mediana è 50-60

1612

1321

2

1 =+=+n

680-90

4470-80

9460-70

6150-60

5340-50

3230-40

1620-30

1510-20

FrequenzaEtà

cLModa *21

1inf ∆+∆

∆+=

La classe modale è la 6070

Estremo inferiore della classe modale

Eccesso della frequenza della classe modale rispetto alla frequenza della classe

immediatamente precedente

Eccesso della frequenza della classe modale rispetto alla frequenza della classe immediatamente successiva

Ampiezza delle classi

Vale solo se le classi hanno la stessa

ampiezza

680-90

4470-80

9460-70

6150-60

5340-50

3230-40

1620-30

1510-20

FrequenzaEtà

cLModa *21

1inf ∆+∆

∆+=

La classe modale è 60-69

98,6310*5033

3360 =

++=

Dati questi risultati possiamo affermare che i dati si distribuiscono come una Normale?

Vale solo se le classi hanno la stessa

ampiezza

22.54=y 30.572 =Q 98.63=Moda

Come si calcola la moda se le classi non hanno la stessa ampiezza?

ESERCIZIO 5

99501-800

173301-500

304201-300

159151-200

288101-150

36851-100

25126-50

FrequenzaN°posti lettoClasse modale?

99501-800

173301-500

304201-300

159151-200

288101-150

36851-100

25126-50

Frequenza

N°posti letto

300

200

100

50

50

50

25

Ampiezza della classe

0.33

0.87

3.04

3.18

5.76

7.36

10.04

Densità di frequenza

Rapporto tra frequenza e ampiezza della classe

Classe modale

Il numero di mosche presenti in una popolazione di laboratorio di Drosophila melanogaster costituita originariamente da 100 elementi, viene rilevato in tre periodi successivi. Al primo conteggio si rilevano 112 mosche, al secondo 196 e al terzo 369.Qual è il tasso di incremento medio della popolazione?

12,1100

112 = 75,1112

196 = 88,1196

369 =Incrementi osservati nei tre periodi

ESERCIZIO 6

12,1100

112 = 75,1112

196 = 88,1196

369 =Incrementi osservati nei tre periodi

584.13

88.175.112.1 =++=y

100 158 251 398

×1.584 ×1.584 ×1.584

ESERCIZIO 6

Si deve mantenere inalterato il prodotto!!!

12,1100

112 = 75,1112

196 = 88,1196

369 =Incrementi osservati nei tre periodi

nn

i ig yy ∏ ==

1 ∑=

=n

iig y

ny

1

log1

log

100*12,1112=

100*12,1*75,1196=

100*12,1*75,1*88,1369=

ESERCIZIO 6

Si deve mantenere inalterato questo prodotto!!!

∑=

=n

iig y

ny

1

log1

log ( ) 43521.063268.055962.011333.0*3

1 =++=

( ) 545,14352,0exp ==gy La popolazione ha subito un tasso di incremento medio del 54%

nn

i ig yy ∏ ==

1 ∑=

=n

iig y

ny

1

log1

log

Il logaritmo della media geometrica è la media aritmetica del logaritmo delle osservazioni

ESERCIZIO 6

100 155 239 369

×1.545 ×1.545 ×1.545

Usata in microbiologia e sierologia quando le osservazioni sono espresse in titoli i cui valori sono multipli dello stesso fattore di diluizione

ESERCIZIO 6

Adesso si mantiene inalterato il prodotto!!!

Una proteina viene studiata mediante l’elettroforesi per conoscerne la velocità di migrazione media. La proteina viene fatta correre su gel in campo elettrico per 20 mm e viene misurato il tempo di percorrenza in 5 prove diverse.

705

504

303

602

401

Tempo (sec)Prova

ESERCIZIO 7

705

504

303

602

401

Tempo (sec)Prova

20/70=0,29 mm/sec

20/50=0,40 mm/sec

20/30=0,66 mm/sec

20/60=0,33 mm/sec

20/40=0,50 mm/sec

Velocità

n

yy

n

ii∑

== 1 4372,05

29,0...33,050,0 =+++=

Non è la velocità media perché: mm 3,109250*4372,0 =

∑∑==

==n

i i

n

i i

a

y

n

n

y

y

11

111

La media armonica è il reciproco della media aritmetica dei reciproci delle osservazioni. Adatta a valori espressi come rapporti.

705

504

303

602

401

Tempo (sec)Prova

20/70=0,29 mm/sec

20/50=0,40 mm/sec

20/30=0,66 mm/sec

20/60=0,33 mm/sec

20/40=0,50 mm/sec

Velocità

==∑

=

n

y

y n

i i

a

1

11

1/0,29 =3,5

1/0,40 =2,5

1/0,66=1,5

1/0,33 =3

1/0,50=2

1/Velocità

4,0

5

5,35,25,1321 =++++

E’ la velocità media perché: mm 100250*4,0 =

Cinque dietologi rilevano la circonferenza addominale (indice divalutazione del grasso addominale) delle loro pazienti prima di un trattamento dimagrante. Noto il valore medio delle pazienti di ciascun dietologo è possibile determinare la circonferenza media generale di tute le pazienti?

ESERCIZIO 8

9390928588Circonferenza media

1213251015N°pazienti

EDCBADietologi

9390928588Circonferenza media

1213251015N°pazienti

EDCBADietologi

∑

∑

=

==k

ii

k

iii

n

yny

1

1

* ( ) ( ) ( )1.90

75

6756

93...8588

12*93...10*8515*88 ==+++

+++=

Nella seguente tabella sono riportati i carichi di rottura espressi in newton di alcuni cavi di acciaio. Determinare il campo di variazione.

112,8-13,2

312,3-12,7

611,8-12,2

1411,3-11,7

1710,8-11,2

1210,3-10,7

59,8-10,2

29,3-9,7

N°di caviCarico di rottura

ESERCIZIO 9

112,8-13,2

312,3-12,7

611,8-12,2

1411,3-11,7

1710,8-11,2

1210,3-10,7

59,8-10,2

29,3-9,7

N°di caviCarico di rottura

Newton 3,99,3-13,2resistente meno classe della

inferiore estremo-resistentepiù classe della superiore estremo

e variaziondi Campo

==

=

Data la seguente distribuzione di frequenza dei livelli di colesterolo sierico in 1067 maschi di età compresa tra i 25 e i 34 anni, determinare la varianza e la deviazione standard

5360-400

9320-360

34280-320

115240-280

299200-240

442160-200

150120-160

1380-120

FrequenzaLivello di colesterolo sierico (mg/100 ml)

ESERCIZIO 10

5360-400

9320-360

34280-320

115240-280

299200-240

442160-200

150120-160

1380-120

FrequenzaLivello di colesterolo sierico (mg/100 ml)

( ) ( )

∑

∑∑

=

=

∞→

=

−≈

−

−= k

ii

k

ivcii

n

k

ivcii

n

yyn

n

yyns

1

1

2

1

2

2

*

1

*

5360-400

9320-360

34280-320

115240-280

299200-240

442160-200

150120-160

1380-120

FrequenzaLivello di colesterolo sierico

(mg/100 ml)

380

340

300

260

220

180

140

100

Valore centrale

1900

3060

10200

29900

65780

79339

21000

1300

ni*xcvi

2124791067

∑

∑

=

== k

ii

k

ivcii

n

yny

1

1

*

14.1991067

212479== mg/100 ml

5360-400

9320-360

34280-320

115240-280

299200-240

442160-200

150120-160

1380-120

FrequenzaLivello di colesterolo

sierico (mg/100 ml)

380

340

300

260

220

180

140

100

Valore centrale

180,86

140,86

100,86

60,86

20,86

-19,14

-59,14

-99,14

32710,34

19841,54

10172,74

3703,94

435,14

366,34

3497,54

9828,74

163551,70

178573,86

345873,16

425953,1

139076,86

161922,28

524631

127773,62

( )yyvci − ( )2yyvci − ( )2* yyn vcii −

2067355,58

( )

∑

∑

=

=

−=

k

ii

k

ivcii

n

yyns

1

1

2

2

*54,1937

1067

2067355,58== (mg/100 ml)2

2ss = 02,4454,1937 == mg/100 ml

5360-400

9320-360

34280-320

115240-280

299200-240

442160-200

150120-160

1380-120

FrequenzaLivello di colesterolo sierico

(mg/100 ml)

380

340

300

260

220

180

140

100

Valore centrale ( )2* yyn vcii −

180,86

140,86

100,86

60,86

20,86

-19,14

-59,14

-99,14

( )yyvci −

32710,34

19841,54

10172,74

3703,94

435,14

366,34

3497,54

9828,74

( )2yyvci −

163551,70

178573,86

345873,16

425953,1

139076,86

161922,28

524631

127773,62

( )2* yyn vcii −

Confrontare la variabilità dei due gruppi A e B nel caso di osservazioni espresse nella stessa scala (1°) o con diverse scale di misura (2°)

5080,925

5231,213

5201,555

5151,134

5200,816

5000,555

BABA

2°1°

308661728∑ iy

514,3312,834,67y8,010,321,670,94s

100*y

sCV =

1,5631,6259,0120,13CV

ESERCIZIO 11

ESERCIZIO 12

Sono stati raccolti i valori di glicemia in un campione di 10 soggetti sani, espressi in mg di glucosio per 100 ml di sangue. Si stimi il valore medio di glucosio nel sangue, si forniscano tre intervalli di confidenza per l’ignota media a livello di significativitàα rispettivamente pari a 0.10, 0.05, 0.01 e si commentino i risultati ottenuti.

65.5 80.0 92.8 90.2 100.5 95.0 98.0 70.3 80.0 105.5Mg/ml=Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Soggetto

a) Stimapuntuale di µ

Utilizzo lo stimatoremedia campionaria

Y mg/ml78.8710

mg/ml8.8771 ===∑

=

n

yn

ii

Stima puntuale di µµµµ

b) Stima intervallare di µ

Utilizzo la formula:

αµ αα −=

+≤≤

− −− 1Pr ,1,1n

sty

n

sty gg

Gli estremi dell’intervallo di confidenza sono dati da:

a) =Y mg/ml78.87

c) s=deviazione standard =( )

1

10

1

2

−

−∑=

n

yyi

i= 13.28

± −n

sty g,1 α

d) Scegliamo un valore tabulare di t con 9 gradi di libertà (n-1) corrispondente ad una probabilità 1-α

1° caso: α = 0.10 t0.90;9=1.833

2° caso: α = 0.05 t0.95;9=2.262

3° caso: α = 0.01 t0.99;9=3.250

Achtung!!!! Y valori di t si riferiscono alla tabella della distribuzione a 2 code.

Se si utilizza la tabella della ripartizione invece si deve dimezzare α.

Estremi 1° intervallo: α = 0.10

=± )10/28.13(833.178.87

Estremi 2° intervallo: α = 0.05

Estremi 3° intervallo: α = 0.01

=± )10/28.13(262.278.87

=± )10/28.13(25.378.87

95.48

80.08

97.28

78.28

101.43

74.13

=Y 78.87

95.4880.08

97.2878.28

101.4374.13

α = 0.10

α = 0.05

α = 0.01

I tre intervalli sono centrati sulla stima fornita dalla media campionaria ma presentano ampiezze diverse. Diminuendo infatti il grado di incertezza (α ) ottengo intervalli via via meno precisi. Diminuendo il grado di incertezza siamo più sicuri ma meno precisi.

mg/ml

mg/ml

mg/ml

Stimare, con confidenza del 95%, l’intervallo di confidenza dell’altezza media di una varietà di pomodoro, attraverso 7 esemplari alti 22, 25, 21, 23, 24, 25, 21 pollici.

237

21252423212522 =++++++=y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

17

232123252324232123252322 222222

=−

−+−+−+−+−+−=

( )1

1

2

2

−

−=∑

=

n

yys

n

ii

ESERCIZIO 13

398,217

732,1*447,223 =−=iµ

602,247

732,1*447,223 =+=sµ

αµ αα −=

+≤≤

− −− 1Pr ,1,1n

sty

n

sty gg

Da una popolazione con σ=3 è stato estratto un campione di 10

unità con y=25. Calcolare l’intervallo di confidenza per la vera

media con un errore α pari all’1%.

z0.99=2.57

ESERCIZIO 14

56,2210

3*57,225 =−=iµ 44,27

10

3*57,225 =+=sµ

ασµσαα −=

+≤≤

− −− 1Pr 11n

zyn

zy

Anche in questo caso si considera la distribuzione a 2 code altrimenti si dimezza α

Altezza in centimetri di 5 piantine di mais: 24,26, 30, 28 e 22.

Calcolare l’intervallo di confidenza per l’altezza media della

popolazione. Si consideri un livello di confidenza del 95%

ESERCIZIO 15

265

2228302624 =++++=y

( ) ( )10

4

)2622(...2624

1

221

2

2 =−++−=−

−=∑

=

n

yys

n

ii

08.225

10*78.226 =−=iµ 92.29

5

10*78.226 =+=sµ

t4;0,95=2.78

Si immagini ora di conoscere la varianza della popolazione e

che questa sia pari a 10, come cambiano gli intervalli di

confidenza?

23.235

10*96.126 =−=iµ 77.28

5

10*96.126 =+=sµ

Z0,95=1.96

In questo caso l’ampiezza è minore il che è atteso in base al

fatto che la stima intervallare dipende da una quantità stimata µmentre nel caso precedente all’errore commesso nella stima di

µ si deve aggiungere quello per la stima di σ2.

ESERCIZIO 16

In un campione di 10 individui sani è stata misurata la

glicemia. La media è risultata pari a 80 mg di glucosio/100 ml

di sangue. E’ nota la deviazione standard della popolazione che

è pari a 15.

70.7010

15*96.180 =−=iµ

29.8910

15*96.180 =+=sµ

Volendo ottenere un grado di precisione maggiore, ad esempio

un intervallo pari alla metà di quello ottenuto quante

osservazioni sono necessarie?

z1- α

18.6

~9,3 ~9,3

~4.6 ~4.6

ασµσαα

−=

+≤≤

− −−1Pr 11 n

zyn

zy

80=x

70.70 89.29

3.9

3.9

11

11

1

=

+−

+

=

−−

+

±

−−

−−

−

nzy

nzy

nzy

nzy

nzy

σσ

σσ

σ

αα

αα

α

4096.39

6225.21225

*84.3

6.415

*96.1

65.415

*96.1

65.4

3.9*2

22

2

1

1

≈=

=

=

=

=

=

−

−

n

n

n

n

nz

nz

σ

σ

α

α

Si potrebbe anche risolvere così:

40102

102

11

10

15*96.1

2

115*96.1

=⇒=⇒

⇒=⇒=

nn

nn

Semiampiezza precedente =

Semiampiezza attuale = ½semiampiezza precedente

30.910

15*96.1 =

Perché il risultato è diverso? Quale conviene scegliere?

ESERCIZIO 17

Un campione di 100 osservazioni è estratto da una popolazione

di media ignota e varianza pari a 25. La media campionaria è

pari a 20.

Calcolare gli intervalli di confidenza per la media della

popolazione a livello del 95%.

Quanto dovrebbe essere la numerosità campionaria per

ottenere un intervallo di confidenza al 95% con ampiezza al

più pari a 2.2?

02.1910

5*96.120 =−=iµ 98.20

10

5*96.120 =+=sµ

nnnis

5*96.1*2)

5*96.120(

5*96.120 =−−+=− µµ

2,2≤− is µµ

1.15

*96,12.25

*96,1*2 ≤⇒≤nn

n≤1.1

5*96.1n≤

2

1.1

5*96.1n≤⇒ 80

ESERCIZI

Si vuole stimare il perimetro toracico medio di una certa popolazione. Di conseguenza si considera un campione di 50 soggetti con perimetro toracico medio pari a 90. Se la popolazione si considera distribuita in modo normale σ=10, determinare un intervallo di confidenza per µ al 90%.

Il numero medio di battiti al minuto di un campione di 8 operai vale 71,5 con s=5.1. Si costruisca un intervallo di confidenza al 99% per la media della popolazione.

[Soluzione: 87.67-92.33]

[Soluzione: 65.2-77.8]

ESERCIZI

Si consideri la seguente tabella di frequenza che riporta le merci e i passeggeri sbarcati agli scali portuali di alcune regioni italiane nel 1988

2664937Marche

312627Emilia – Romagna

24821849Veneto

4222806Friuli V. G.

Passeggeri (migliaia)Merci (migliaia di tonnellate)

Regione

Ci si chiede se è più variabile lo sbarco di merci o lo sbarco dei passeggeri.

[Soluzione: CV 0.47 e 0.85]

ESERCIZI

Sia Y la variabile quantitativa discreta che descrive il numero di componenti delle famiglie residenti al censimento del 1981 in Liguria

17077

1175094

297275

65776

9068 o più

1685363

2037092

1979061

FrequenzaN°componenti

Qual è la mediana?

[Soluzione: 2]

ESERCIZI

Si considerino i dati di peso e l’altezza di 6672 statunitensi esaminati tra il 1960 e il 1962 dal Public Health Service. Questi dati sono stati raggruppati in 7 classi d’età e per genere dando origine a 14 gruppi. Quali informazioni si possono dedurre dal grafico?

http://www.science.unitn.it/~matsoc/stat/sezione2/node4.html

Invecchiando la gente non si accorcia!!! Il fatto è che si stanno confrontando in uno specifico istante temporale individui nati in epoche diverse (e quindi probabilmente alimentati in modo diversi durante le giovani età)

ESERCIZI

Si effettuano n=40 misurazioni di una variabile quantitativa (n° di fiori di una pianta) e si ottengono i seguenti risultati

2333332442

2115532444

5223133125

2832134120

Costruire una tabella della distribuzione di frequenza e rappresentarla graficamente. Calcolare media, moda, mediana e deviazione standard

[Soluzione: 2.825, 2, 3, 1.517]

ESERCIZI

La seguente tabella si riferisce a n=20 individui. Le variabili sono:

Puls1=pulsazioni cardiache rilevate a riposo

Puls2=pulsazioni cardiache rilevate dopo 500 metri di passo veloce

Fumo: 1 =fumatore 2= non fumatore

Altezza in cm.

Peso in kg.

Attività sportiva: 1 =bassa, 2=media, 3=alta

ESERCIZI

•Classificare le variabili considerate

•Calcolare media, varianza, Q1, Q2 e Q3 per le variabili quantitative. Quale variabile è la più dispersa?

•Calcolare moda e mediana per le variabili fumo e attivitàsportiva

•Calcolare un intervallo di confidenza per la media delle variabili quantitative.

•Nei fumatori è più variabile Puls1 o Puls2? E nei non fumatori?

ESERCIZI

36117028072

28218817668

37718517270

27917518266

37918325862

37718027660

26617027668

36917818492

27018329680

17318819490

263180211876

28918327562

28618827268

36818328484

17518528474

27017528064

18618517866

37318717662

26618327058

26417028864

Attività sportivaPesoAltezzaFumoPuls2Puls1

ESERCIZI

Puls1 Puls2fumo media 73,42857 80,28571fumo varianza 150,2857 52,57143no fumo media 68,61538 81,30769no fumo varianza 64,92308 206,5641fumo cv 0,166953 0,09031no fumo cv 0,11743 0,176765

Puls1 Puls2 Fumo Altezza Peso Attività sportivamedia 70,3 80,95 180,95 73,65moda 2 2mediana 68 79 2 183 73 2var 94,01053 147,3132 36,68158 66,13421cv 0,137922 0,149935 0,033471 0,110418Q1 63,5 75,75 1 177,25 67,5 2Q3 74,5 84 2 185 79 3min 58 58 1 170 61 1max 92 118 2 188 89 3range 34 60 18 28

Puls1 Puls2 Altezza PesoIc inf 65,76218 75,26958 178,1155 69,84397Ic sup 74,83782 86,63042 183,7845 77,45603

ESERCIZI

La seguente tabella si riferisce al peso (kg) e all’altezza (cm) di n=30 bambini.

1031181725

1101182319

1111251923

1141112019

1051141820

1161081819

1061061515

1171041915

1111081618

1231182118

1081161428

1161023214

1141082021

1181312120

1081251827

AltezzaPeso

ESERCIZI

Suddividere le variabili in 4 classi di uguale ampiezza e costruire la tabella di frequenza. Calcolare media e varianzadai dati originali e da quelli categorizzati e confrontare i risultati.

TotaleTotale

FrequenzaAltezzaFrequenzaPeso

Varianza

Media

Dati divisi in classi

Dati originali

ESERCIZI

Suddividere le variabili in 4 classi di uguale ampiezza e costruire la tabella di frequenza. Calcolare media e varianzadai dati originali e da quelli categorizzati e confrontare i risultati.

30Totale30Totale

3124-132228-34

9116-123422-27

12108-1151816-21

6100-107610-15

FrequenzaAltezzaFrequenzaPeso

22.2317.17Varianza

18.9319.73Media

Dati divisi in classi

Dati originali

53.2250.62Varianza

113.95113.07Media

Dati divisi in classi

Dati originali

ESERCIZI

Sono qui di seguito riportate le durate in anni degli studi compiuti da 20 persone

13-18-18-13-8-8-13-8-8-8-13-19-14-8-8-14-8-13-20-8Rappresentare graficamente la distribuzione degli anni di studio

Quante persone hanno studiato almeno 13 anni?

Completare la tabella seguente e calcolare media e varianza

Totale

20

19

18

14

13

8

y2iniy2

iyi niniAnni di studio (yi)

ESERCIZI

Completare la tabella seguente e calcolare media e varianza

3222151424020Totale

40040020120

36136119119

64832436218

39219628214

84516965513

576647298

y2iniy2

iyi niniAnni di studio (yi)

[Soluzione: 12, 18]

ESERCIZI

Una popolazione è costituita da quattro appartamenti A, B, C e D. La caratteristica in studio è rappresentata dal n° di vani

4D

4C

3B

2A

N°vaniAppartamento

Calcolare media e varianza della variabile nella popolazione

P.S. La varianza nella popolazione è indicata come σ2 ed ècalcolata come:

( )N

yyN

ii∑

=

−= 1

2

2σ

ESERCIZI

Estrarre tutti i 16 possibili campioni di due unitàe calcolare la media campionaria

22 - 2A A

AB

ACAD

BA

B BB C

B D

C AC B

C C

C D

D AD B

D C

D D

Media campionariaValoriAppartamenti

ESERCIZI

Tracciare il grafico della distribuzione della media campionaria

Calcolare la media delle medie campionarie

Calcolare la varianza e lo scarto quadratico medio delle medie campionarie

Confrontare questi valori con quelli ottenuti considerando tutti i campioni

ESERCIZI

Un insieme di dati ha media e deviazione standard

Agli n dati se ne aggiunge uno di valore uguale a

Si ottiene così una nuova media e una nuova deviazione standard

Si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è valida (se SI’evidenziarla; se NO darne una breve giustificazione)

nsny

ny

1+ny1+ns

nn ss <+1 nn ss =+1 nn ss >+1

nn yy <+1 nn yy =+1 nn yy >+1

Si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è valida (se SI’evidenziarla; se NO darne una breve giustificazione

ESERCIZI

Le due figure rappresentano i diagrammi a barre di due insiemi di dati. Indichiamo con e la media e lo scarto della figura 1 e con

e la media e lo scarto della figura 2

1s1y

21 ss < 21 ss = 21 ss >

Delle sei relazioni sotto indicate indicare le due corrette

2s2y

21 yy < 21 yy = 21 yy >

Figura 1 Figura 2

ESERCIZI

Si considerino due osservazioni con valore uguale e sconosciuto s tale che s<t. A questi dati se ne aggiungono 8 tutti con valore t.

Il valore medio dei 10 dati complessivi rispetto a quello dei due iniziali:

aumenta diminuisce rimane invariato

Lo scarto dei 10 dati complessivi rispetto a quello dei due datiiniziali:

aumenta diminuisce rimane invariato

ESERCIZI

Su uno stesso sistema di assi sono riportati i diagrammi a barre di due insiemi di dati: il gruppo A e il gruppo B.

Dire quale dei due insiemi ha media maggiore e quale scarto maggiore.

[Soluzione: media maggiore A, scarto maggiore B]

ESERCIZI

Date 101 osservazioni di cui è noto che:

∑=

=n

iiy

1

6841.51 ∑=

=n

i

iy1

2 2367.50

•stimare media e varianza campionaria

•fornire un intervallo di confidenza per la media a livello α=0.90

[Soluzione: 0.51, 0.24, 0.43-0.59]

ESERCIZI

Si hanno osservazioni di una certa variabile e se ne conosce la media . Si definisce .Allora la media delle osservazioni è:

nxx ,...,1

xnyy ,...,1

53 += ii xy

x 5+x x3 53 +x

ESERCIZI

Quanto vale il primo quartile? Quanto il secondo? Quanto il terzo?

42.132.432.025.319.717.116.815.113.310.7

9.49.08.78.07.97.27.27.06.86.4

5.55.35.24.84.74.74.34.13.63.5

3.33.22.92.82.82.42.42.12.02.0

1.91.71.51.51.41.31.20.90.70.7

ESERCIZI

I biologi che studiano la salute della pelle misurano la velocitàcon cui le nuove cellule tendono a chiudere un taglio fatto con un rasoio sulla pelle di una salamandra anestetizzata. Qui di seguito sono riportati i dati relativi a 18 salamandre misurati in micrometri (un milionesimo di metro) all’ora.

332322111823301235

263514282240342729

Assumendo che la deviazione standard dei tassi di rinnovo della pelle nella popolazione delle salamandre sia pari a 8 micrometriper ora calcolare un intervallo di confidenza per il tasso medio di rinnovo al 90% di confidenza.

[Soluzione: 22,57-28,77]

ESERCIZI

Quanto dovrebbe essere la numerosità campionaria per poter stimare il tasso tasso medio di rinnovo con un errore di non più di 1 micrometro per ora?

[Soluzione: 174]