Esercitazione di Meccanica dei fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica

Esercitazione 3 - 20 Ottobre 2011

Calcolo delle Spinte Equazione di Bernoulli Esercizio 1 Spinta su un piano verticale Nella figura a fianco rappresentata una paratoia piana verticale sulla quale si esercita la spinta di

un liquido omogeneo (=1000 kg/m3). Sulla base dei dati riportati si tracci il diagramma delle pressioni e si calcoli la spinta per unit di lunghezza della paratoia, nonch il centro di spinta. Soluzione La spinta sulla paratoia equivale, in modulo, alla pressione calcolata nel baricentro moltiplicata per la superficie per unit di lunghezza (b= A/L= 5.4 m). Essendo la paratoia rettangolare. Il suo baricentro giace sullintersezione della due rette diagonali, pertanto si ha:

N 5.1429714.52

4.59806bhApS 00 /m

Allo stesso risultato si perviene calcolando larea del diagramma della pressioni (area di un

triangolo di base b):

S = b2/2=142971.5 N/m Il centro di spinta si trova, rispetto al pelo libero, ad una distanza pari a 3.6 m.

Esercizio 2 Pressione e forza sul fondo di un serbatoio Si calcoli la pressione e la forza esercitate sul fondo di un serbatoio circolare di diametro pari a 0.75 m, quando questultimo riempito con un olio di densit 875 kg/m

3 per unaltezza di 7 m.

Soluzione 60086p gh Pa

26.55F pA kN

Esercizio 3 Spinta su una superficie piana verticale Si dimostri che il centro di spinta su un muro verticale come quello disegnato in figura si trova a 2/3 dellaltezza dello stesso. Si dimostri quindi che il momento (valutato rispetto al lato inferiore) esercitato dal fluido sulla stessa parete pari

a 3 6gh per unit di larghezza.

Soluzione 3

2

2

1

23

3

2

cs

hb

Mh h

hMb

2

2 2

bgAhF gbh h gh

b b b

2 31

2 3 6cs

m F gh ghh h h

b b

Esercizio 4 Spinta su un portello rettangolare Il muro in cemento armato disegnato in figura dotato di un portello rettangolare di acciaio. Si chiede di determinare la forza esercitata dal fluido sul portello, il suo centro di spinta e il corrispondente momento torcente valutato rispetto al punto pi basso del portello. Si assuma che il fluido abbia una densit di 1 g/cm

3.

Soluzione

1.5 32

b

Hh m

176.58bF gAh kN 3

1 18bM Ah m 3

2 4

2 58.512

b

bHM Ah m

2

1

3.25csM

h mM

1.5 220.72csT F H h kNm

Esercizio 5 Spinta su un disco circolare Si determini la forza da applicare sul punto pi alto del disco circolare riportato in figura per garantire una perfetta chiusura del canale. Si assuma una densit del fluido pari a 1030 kg/m

3. Si tenga

conto che il disco in grado di ruotare intorno a un asse orizzontale passante per il suo centro.

Soluzione

1 22

b

Dh m

63.487bF gAh kN 2

3

1 6.284

b b

DM Ah h m

42 4

2 13.3564

b

DM Ah m

2

1

2.125csM

h mM

(1 )2

ext cs

DF D F h

(1 )2

cs

ext

Dh

F FD

Esercizio 6 Spinta su un disco circolare Il disegno riportato a lato mostra un portello circolare di diametro D incernierato su un asse (a distanza x dalla base inferiore), in grado di ruotare quando il livello dellacqua raggiunge un livello massimo h (cos da garantire lo svuotamento del serbatoio e il mantenimento del livello massimo stesso).

a. Si dimostri che perch questo accada la posizione

della cerniera deve essere pari a: 8 5

2 8 4

D h Dx

h D

.

b. Sapendo che il diametro pari a 0.60 m, si determini quindi la posizione della cerniera in grado di

garantire un livello massimo di 4 m.

Soluzione

2b

Dh h

1

2

cs

Mh h x

M

2 2

2

1 24 4 2 8

b b

D D DM Ah h h h D D

2 24 4 2 2 2 2 22 2

2

5

64 64 4 2 4 16 2 4 16b

D D D D D D D D DM Ah h h hD h

2 22

22

2 2

2

5 54 16 1 5 16 16162

2 8 22

8

cs

D D DhD h hD hD hD h

hh D h D

h D D

2 2 2 2 2 21 5 16 16 16 8 5 16 16 8 5 8 5

8 2 8 2 8 2 2 8 4cs

D hD h h Dh D hD h hD D D h Dx h h h

h D h D h D h D

Esercizio 7 Spinta su una parete inclinata In figura rappresentata una paratoia piana

inclinata, sulla quale due liquidi sovrapposti (1 =

900 kg/m3, 2 = 1000 kg/m3) esercitano la loro

spinta. Sulla base dei dati riportati in figura si tracci il diagramma delle pressioni e si calcoli la spinta per unit di lunghezza della paratoia, nonch il centro di spinta. Inoltre, si determini la quota (z) del piano dei carichi idrostatici raggiunta

dal liquido (2 = 1000 kg/m3) nel piezometro

riportato in figura.

Soluzione Sia h1 = 2 m la profondit del fluido 1 e h2= 2 m la profondit del secondo fluido al di sotto del primo. La pressione allinterfaccia fra il due fluidi data dallaltezza di colonna di liquido 2 data

dalla differenza =z-h2:

2intp

Tale pressione per anche pari a quella esercitata dal fluido circostante di peso specifico 1:

11int hp . Il valore di vale quindi 1.8 m. La quota z raggiunta nel piezometro vale quindi: 3.8 m.

La spinta per unit di lunghezza esercitata dal fluido 1 pari a S1 = 1h1 h1/(2 sen45)=24962 N/m, mentre quella esercitata dal fluido 2 sulla superficie di sua pertinenza vale:

S2 = (1h12 z) h2/(2 sen45)=77659.6 N/m o S2 = (1h12 h2/2) h2/ sen45 La spinta totale sulla parete della paratoia vale quindi: S1+S2=102609. N/m. Applicando la regola dei momenti (riferendosi allunit di lunghezza) si trova il centro di spinta

(essendo h1/sen=2.282 m e h2/sen = 5.656 m) rispesto al pelo libero del recipiente:

m87.32

x2.0

3

x

3

xsen

dxx2.0xdxxsendxxhdxxhL

S

656.5

282.2

22

32

2

282.2

0

31

1

656.5

282.2

22222

282.2

0

1211

A

2222

A

1111

21

Il diagramma qualitativo dellandamento delle pressioni riportato in figura.

h1

z

Esercizio 8 Paratoia La paratoia piana AB quadrata con lato a=2.5 m, incernierata in A e

appoggiata in B, a contatto con acqua ( = 9806 N/m3). Supposto trascurabile il peso proprio della paratoia, determinare la forza F che si scarica sullappoggio B ed il momento M necessario per iniziare lapertura della paratoia. Soluzione Si cominci con il valutare langolo di inclinazione della paratoia. Esso valutabile come arcotg del rapporto 4/3, vale pertanto 53.13. Laffondamento del baricentro della paratoia quindi dato da:

4sen2

ahhG m

La spinta che agisce sulla paratoia ha quindi modulo: 2451505.249806AhS 2G N

Il centro di spinta viene valutato, dal momento di inerzia e dal momento statico del baricentro:

m104.5

m25.31sen/5.24AxM

m5.159dxxaI

32G

4

25.6

75.3

2

Il momento di S rispetto alla cerniera A, in equilibrio con M per poter iniziare lapertura della paratoia, vale, in modulo:

331933ACS N m mentre la forza F che si scarica sullappoggio B (reazione vincolare) determinabile dallequilibrio dei momenti rispetto ad A:

132773FFaACS N

Esercizio 9 Parete inclinata Uno sbarramento costituito da un elemento a forma di diedro, la cui base orizzontale di traccia AB appoggiata sul terreno, con perfetta tenuta in A. Ritenuto trascurabile il peso proprio della struttura, determinare la pi piccola lunghezza L della base AB in modo che lelemento non si ribalti e langolo a per cui tale lunghezza minima. Soluzione Affinch la struttura non si ribalti, occorre che la spinta complessiva sullelemento ABC passi al limite per B, vale a dire che sia nullo il momento rispetto a B delle spinte su AB e BC; considerato

un elemento di larghezza unitaria la spinta su AB vale in modulo: HLSAB

Essa diretta verticalmente verso il basso ed applicata nel baricentro del lato AB; il suo momento rispetto a B vale perci:

2

HL

2

LSM

2

AB1

mentre la spinta su BC (che ha una lunghezza H/sen) vale in modulo:

sena

H

2

HSBC

Il centro di spinta si trova ad 2/3 della lunghezza BC:

sen3

H2

Il suo momento rispetto a B vale quindi:

2

3

BCBC1sen6

H

2S

3

BCSM

Dalluguaglianza dei momenti si ottiene:

sen3

HL

sen6

H

2

HL2

32

La minima lunghezza quella per il quale massimo sen, cio quando =90.

Esercizio 10 Parete inclinata Il recipiente prismatico in figura lungo L=3 m, contiene olio

(1=8335 N/m3), acqua (2=9806 N/m

3) e glicerina (3=12356 N/m3). Determinare la forza orizzontale F che necessario applicare al bordo superiore della parete EABCD, incernierata alla base, per manternerla in equilibrio. Soluzione La spinta S1, esercitata dallolio sulla parte AB della parete, risulta in modulo:

L45sen

b

2

bS 11

=25461 N

Essa applicata nel centro di spinta posto ad una distanza dalla retta di sponda pari a:

13.145sen2b

dhh

45senbLx

dxxL

M

I22

b

0

2

0

x

0

2

1

11

B

m

Il braccio di S1 rispetto alla cerniera D vale:

45dsen45sen

c

45sen

bb 11 =4.1 m

La spinta S2 esercitata dallacqua risulta, in modulo:

L45sen

c

2

cbS 212

= 110456 N

ed applicata nel centro di spinta posto a una distanza dal baricentro G2 pari a:

45senS

L45sen12c

45senS

12BCL

M

I

22

33

22

3

2

0202 = 0.15 m

45dsen45sen2

cb 022 2.32 m

Per quanto riguarda la glicerina, risulta:

dL

2

dcbS 3213 222402 N

ed applicata nel centro di spinta posto ad una distanza dal baricentro G3 pari a:

33

3

3

03

03S

12Ld

M

I= 0.103 m

89.02

db 033 m

Il braccio della forza F vale:

dcbab4 5.4 m

Per lequilibrio dei momenti rispetto alla cerniera si pu scrivere:

FbSbSbSFb 3322114 103442 N

Esercizio 11 Parete curva

Il recipiente prismatico in figura contiene acqua (=9806 N/m3). Determinare la spinta che si esercita sul tratto curvo AB del recipiente, il suo punto di applicazione e il suo momento rispetto alla cerniera A.