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MICROECONOMIA (F-N)

Novelli Giacomo giacomo.novelli4@unibo.it

Ricevimento: lunedì, 13 - 14:30, aula tutor, Strada Maggiore 45

Esercitazione 8 - 14 maggio 2018

ESERCIZI

Esercizio 1

Si consideri un duopolio in cui operano due imprese caratterizzate da due funzioni di costo

differenti e pari a ��� = 10�� + 5 e �� = 5� + 20. La funzione di domanda di mercato è � = 500 − 10�. Determinare prezzi, quantità e profitti di equilibrio sia nel caso in cui la

competizione avvenga sulle quantità sia nel caso in cui avvenga sui prezzi.

SVOLGIMENTO

Cournot

La funzione di domanda indiretta è � = 50 − ����

Per l’impresa 1 vale: Π� = � ∙ �� − ��� = �50 − 110 ��� + ��� ∙ �� − �10�� + 5� =

= 50�� − 110 �� − 110��� − 10�� − 5 = 40�� − 110 �� − 110��� − 5

la condizione del primo ordine è:

������ = 0 ⟹ 40 − �� �� − ���� ⟹ �� = 200 − � � ⟹ funzione di reazione impresa 1

Per l’impresa 2 vale: Π = � ∙ � − �� = �50 − 110 ��� + ��� ∙ � − �5� + 20� =

= 50� − 110��� − 110� − 5� − 20 = 45� − 110 ��� − 110� − 20

la condizione del primo ordine è

������ = 0 ⟹ 45 − �� � − ����� = 0 ⟹ � = 225 − � �� ⟹ funzione di reazione impresa 2

Sostituendo una funzione di reazione nell’altra si ottiene:

� = 225 − 12 �200 − 12� ⟹ 34� = 125 ⟹ �∗ = 5003 ≅ 167

Mentre per l’altra impresa vale:

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��∗ = 200 − 12 ∙ 5003 = 3503 ≅ 117

�∗ = 5003 + 3503 = 8503 ≅ 283

�∗ = 50 − 110 ∙ 8503 = 653 ≅ 22

Per quanto riguarda i profitti si ha:

Π� = � ∙ �� − ��� = 22 ∙ 117 − �10 ∙ 117 + 5� = 1399

Π = � ∙ � − �� = 22 ∙ 167 − �5 ∙ 167 + 20� = 2819

Bertrand I costi marginali sono diversi per le imprese e tali che �(� = 10 > �( = 5. Se l’impresa 2,

competendo con la prima sui prezzi, riesce a fare un prezzo lievemente inferiore a �(�,

l’impresa 1 esce dal mercato perché non riesce più a sostenere i propri costi, mentre l’impresa

2 diventa monopolista, perché il prezzo di mercato è invece superiore a �(.

Pertanto, l’impresa 2 fissa un prezzo pari a � = 10 − *, con * > 0 e piccolo a piacere: in questo

caso l’impresa 1 esce dal mercato, mentre per la seconda vale:

�∗ = �∗ = 500 − 10� = 500 − 10�10 − *� = 500 − 100 + 10* ≅ 400

(* è talmente piccolo da essere trascurabile).

Π = �10 − *� ∙ 400 − �5 ∙ 400 + 20� = 4000 − 400* − 2000 − 20 = 1980 − 400* ≅ 1980 (* è talmente piccolo da essere trascurabile).

Esercizio 2

Si consideri un duopolio in cui le imprese sono caratterizzate dalla seguente funzione di costo

totale (identica per entrambe) ��+ = 20�+ . Esse offrono un prodotto omogeneo su un mercato

la cui funzione di domanda è � = 80 − �.

Si determinino i prezzi, la quantità, i profitti di equilibrio e il benessere sociale sia nel caso in

cui le imprese competano sulle quantità (Cournot), sia sui prezzi (Bertrand), sia nel caso in cui

esse decidano di colludere e imporre un cartello.

Si consideri, inoltre, il caso in cui l’impresa 1 agisca da leader e l’impresa 2 da follower

(competizione à la Stackelberg).

Infine, si verifichi che è possibile superare il paradosso di Bertrand nel caso in cui vi sia

differenziazione del prodotto; si considerino per questo caso le funzioni di domanda �� = 80 − 4�� + 2� e � = 80 − 4� + 2��.

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SVOLGIMENTO

Cournot La domanda indiretta di mercato è: � = 80 − � ⟹ � = 80 − ��� + �� poiché � = �� + �

Il profitto dell’impresa 1 è dato da: Π� = � ∙ �� − ��� = -80 − ��� + ��. ∙ �� − 20�� = 80�� − �� − ��� − 20�� = = 60�� − �� − ���

La condizione del primo ordine per la massimizzazione del profitto richiede che: /Π�/�� = 0 60 − 2�� − � = 0; �� = 30 − � � ⟹ funzione di reazione dell’impresa 1.

Data la simmetria della struttura dei costi delle due imprese, la funzione di reazione

dell’impresa 2 sarà � = 30 − ���.

L’equilibrio si ricava dall’intersezione delle due funzioni di reazione

1�� = 30 − 12 �� = 30 − 12��

� = 30 − 12 �30 − 12� ⟹ � = 30 − 15 + 14� ⟹ 34� = 15 ⟹ � = 15 ∙ 43

�∗ = 20 e, per simmetria, ��∗ = 20

La quantità ed il prezzo di equilibrio del mercato duopolistico saranno, rispettivamente: �∗ = ��∗ + �∗ = 40 �∗ = 80 − 40 = 40

I profitti sono dati da: Π+ = � ∙ �+ − ��+ = �40 ∙ 20� − �20 ∙ 20� = 800 − 400 = 400 i profitti sono uguali per

entrambe le imprese.

Il surplus dei produttori è la somma dei profitti delle due imprese: 23 = 2 ∙ Π+ = 2 ∙ 400 = 800

Il surplus dei consumatori è l’area compresa fra la curva di domanda e il prezzo di equilibrio: 2� = �80 − 40� ∙ 402 = 800

Il benessere dell’intera economia è dato la somma dei due surplus: 4 = 23 + 2� = 1600

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Bertrand La competizione sui prezzi da origine alla concorrenza perfetta. Quindi deve valere: �∗ � �( ⟹ �∗ � �567

��7 � 20

di conseguenza

�∗ � 80 20 � 60

Rispetto a Cournot, in Bertrand osserviamo un prezzo più basso e una quantità scambiata più

elevata. Poiché siamo in concorrenza perfetta, i profitti delle due imprese sono nulli, così

come il surplus dei produttori. Il surplus dei consumatori è dato da:

2� � �80 20� ∙ 602 � 1800

E coincide con il benessere dell’intera economia. Rispetto a Bertrand, in Cournot si riscontra

una perdita di benessere pari a 1800-1600=200.

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Cartello

Le imprese agiscono come fossero un monopolista.

Pertanto �� = � = �.

La funzione di profitto congiunta è:

Π � -80 ��� � ��. ∙ ��� � �� 20��� � �� � �80 2�� ∙ 2� 20 ∙ 2� �

� 160� 4� 40� � 120� 4�

La condizione del primo ordine è: /Π/� � 0 ⟹ 120 8� � 0 ⟹ �∗ � 15

�∗ � 2�∗ � 30

�∗ � 80 30 � 50

Π+ � �∗ ∙ �+ ��+ � �50 ∙ 15� �20 ∙ 15� � 750 300 � 450

Pertanto il surplus totale dei produttori è:

23 � 2 ∙ Π+ � 2 ∙ 450 � 900

Il surplus dei consumatori è:

2� � �80 50� ∙ 302 � 450

Il benessere sociale è:

4 � 23 � 2� � 900 � 450 � 1350

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Stackelberg

Il leader, data la funzione di reazione del follower, massimizza il proprio profitto.

La funzione di reazione del follower è la stessa ricavata nel punto a): �8 = 30 − ��9

Il problema di massimizzazione del leader diventa:

max Π9 = -80 − ��9 + �8�. ∙ �9 − 20�9 =. >.�8 = 30 − 12�9

Incorporiamo la funzione di reazione del follower nella funzione di profitto del leader: Π9 = �80 − ��9 + 30 − 12�9 � ∙ �9 − 20�9 = �50 − 12�9� ∙ �9 − 20�9 =

= 50�9 − 12�9 − 20�9 = 30�9 − 12�9

La condizione di massimizzazione è: /Π9/�9 = 0 ⟹ 30 − �9 = 0 ⟹ �9∗ = 30

Per il follower vale: �8∗ = 30 − 12 ∙ 30 = 15

La quantità scambiata è: �∗ = �9∗ + �8∗ = 30 + 15 = 45

Ed il prezzo di equilibrio sarà pari a: �∗ = 80 − 45 = 35

I profitti sono:

per il leader Π9 = � ∙ �9 − ��9 = �35 ∙ 30� − �20 ∙ 30� = 1050 − 600 = 450 per il follower Π8 = � ∙ �8 − ��8 = �35 ∙ 15� − �20 ∙ 15� = 525 − 300 = 225

Il surplus totale del produttore è: 23 = 450 + 225 = 675

Il surplus dei consumatori è: 2� = �80 − 35� ∙ 452 = 1012,5

Il benessere totale è: 4 = 675 + 1012,5 = 1687,5

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Prodotti differenziati

Il profitto dell’impresa 1 è:

� � ���80 4�� � 2�� 20�80 4�� � 2��� 80�� 4�� � 2��� 1600 � 80�� 40� �

� 160�� 4�� � 2��� 1600 40�

La condizione del primo ordine è: ����@� � 0 ⟹ 160 8�� � 2� � 0 ⟹ �� � 20 � �

A � ⟹funzione di reazione dell’impresa 1

E per simmetria:

� � 20 � �A �� ⟹ funzione di reazione dell’impresa 2

Ricaviamo ��:

�� � 20 � 14 �20 � 1

4�� ⟹ �� � 20 � 5 � 116�� ⟹ �� � 25 ∙ 1615 � 80

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��∗ � �∗ � 803

��∗ � 80 4 ∙ 803 � 2 ∙ 803 � 240 320 � 1603 � 80

3

��∗ � �∗ � 803 ⟹ �∗ � 160

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Π� � Π � � ∙ � �� � 803 ∙ 803 20 ∙ 803 � 6400

9 16003 � 6400 4800

9 � 16009

Con prodotti differenziati il prezzo che applica il produttore è maggiore del prezzo di

concorrenza perfetta; si supera il paradosso di Bertrand.

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Esercizio 3

In un mercato vi sono due imprese rivali. Entrambe producono un bene omogeneo con costi

marginali pari a zero. La funzione di domanda è lineare.

a) Se voi foste il manager di una di queste due imprese, che variabile strategica scegliereste

(prezzo o quantità) per fare concorrenza al vostro rivale? Dimostrate la vostra risposta.

b) Quale sarebbe la situazione ʺmiglioreʺ dal punto di vista sociale (del consumatore)?

SVOLGIMENTO

Nel caso di concorrenza strategica alla Bertrand, in seguito ad una politica di ʺundercuttingʺ,

lʹequilibrio finale si raggiunge quando le due imprese eguagliano i costi marginali al prezzo. In

questo caso entrambe le imprese hanno costi marginali pari a zero e quindi questo sarà anche

il prezzo di vendita del prodotto omogeneo. Di conseguenza anche i profitti sono nulli. Nel

caso di concorrenza alla Cournot, il prezzo che si determina sul mercato è superiore e la

quantità venduta inferiore rispetto al caso precedente. Di conseguenza i profitti, per entrambe

le imprese, saranno positivi e quindi maggiori con con Bertrand.

Dal punto di vista dellʹ impresa, quindi, conviene intraprendere una concorrenza di quantità.

Per il consumatore, invece, la concorrenza di prezzo, che riproduce una situazione

concorrenziale connotata dal prezzo più basso (in questo caso pari a zero) e dalla quantità

venduta maggiore, risulta migliore.

Esercizio 4

Due imprese, 1 e 2, operano in un contesto di mercato à la Cournot (duopolio), e la curva di

domanda di mercato che fronteggiano è data dall’equazione p=160−Q. Entrambe le imprese,

disponendo di una tecnologia simile, hanno una funzione di costo totale di lungo periodo pari

a CT=10 qi. Si determinino:

1) le equazioni delle curve di domanda residuale per ciascuna impresa;

2) le funzioni di reazione (risposta ottima) per ciascuna impresa, le quantità il prezzo ed i

profitti di equilibrio

3) rappresentare graficamente l’equilibrio sul mercato (funzione di domanda di mercato)

e nei termini della relazione tra le quantità scelte dalle imprese (curve di reazione delle

imprese)

SVOLGIMENTO 1)

La domanda residuale indica la quota di mercato che rimane insoddisfatta dopo che l’altra

impresa ha venduto il suo volume di produzione. Data la funzione di domanda di mercato,

Q=160−p, questa può essere riscritta come �1 + �2 = 160 − � che dal punto di vista dell’

impresa1 diventa

���1� = �160 − �2�− �1;

ossia la sua domanda inversa residuale. La quantità prodotta e venduta sul mercato

dall’impresa 2 è un parametro fissato per l’impresa 1. Analogamente, possiamo ricavare la

funzione di domanda residuale per l’impresa 2 ���2� = �160 − �1� − �2.

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2)

Le funzioni di reazione indicano la relazione tra la quantità (ottima) prodotta/venduta sul

mercato da ciascuna impresa, per ogni possibile quantità prodotta/venduta dall’altra impresa:

la scelta ottima è pari alla quantità che massimizza il profitto. Quindi, poniamo la condizione

di massimizzazione dei profitti: B1’ � �1’. Partiamo dal determinare l’espressione dei ricavi marginali utilizzando la regola sempre

valida per curve di domanda inverse lineari(le residuali comprese):

B1’ � 160 �2 2�1. L’uguaglianza con i costi marginali permette di ottenere la funzione di reazione dell’impresa 1

che è data da

�1 � �150 �2�/2. Le due imprese, nel contesto di Cournot, sono “simmetriche” e dispongono della stessa

tecnologia (da cui deriva la stessa funzione di costo per entrambe). Pertanto, la funzione di

reazione dell’impresa 2, sarà:

�2 � �150 �1�/2. L’equilibrio di mercato in un duopolio à la Cournot è dato dalla combinazione strategica in cui

ciascuna impresa sceglie la risposta ottima alla decisione dell’altra, per quanto riguarda la

quantità da produrre. In questo modo, una volta raggiunta la situazione di equilibrio, nessuna

delle due imprese avrà interesse a modificare unilateralmente il proprio comportamento.

Dobbiamo individuare una coppia di quantità prodotte che appartenga contemporaneamente

a entrambe le funzioni di reazione. Dalla soluzione del sistema composto dalle funzioni di

reazione otteniamo: �1 � �2 � 50 da cui la quantità di mercato Q=100 e il prezzo di mercato

pari a p=60.

Infine il profitto per la singola impresa pari a

E � 60 ∙ 50 50 ∙ 10 � 3.000 500 � 2.500

3)

L’equilibrio è individuato dal punto di intersezione delle curve di reazione delle imprese, che

si possono disegnare facilmente, osservando che sono funzioni lineari, ricavando

l’intersezione con uno degli assi e sapendo che entrambe passano per la combinazione che

costituisce l’equilibrio.

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Esercizio 5

Due imprese competono sul prezzo. Le loro rispettive funzioni di domanda sono:

�1 � 20 �1 � �2

�2 � 20 � �1 �2

dove pi e qi sono i prezzi fissati da ciascuna impresa e le risultanti quantità, i=1,2. (In entrambi

i casi la domanda dipende dalla differenza di prezzo; si noti che ciò significa che se le due

imprese potessero colludere e fissare lo stesso prezzo, potrebbero in effetti fissarlo a livello

molto elevato e ottenere profitti tendenzialmente infiniti). I costi marginali sono nulli (C'=0).

Supponete che le imprese fissino un prezzo simultaneamente e trovate il risultante equilibrio

di Nash in termini di quantità, prezzo e profitti. Supponete, poi, che l'impresa 1 decida per

prima. Che cosa accade?

SVOLGIMENTO

Partendo dall'impresa 1, essa sa che l'avversaria fissa il suo prezzo simultaneamente, e quindi

lo considera come un dato. Il ricavo marginale è una retta negativamente inclinata con

pendenza doppia rispetto alla funzione di domanda e uguale intercetta verticale. Per 1

avremo:

B1′ � �20 � �2� 2�1

L'ottimo per la produzione prevede che R'=C' dalla cui soluzione si ottiene la funzione di

reazione di 1:

�1 � 10 � 12�2

Analogamente per 2, che è simmetrica. Risolvendo il sistema che mette in relazione le due

funzioni di reazione si ottiene �1∗ � �2∗ � 20, �1∗ � �2∗ � 20 e profitti pari a 400.

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Diversamente da una competizione sulla quantità, decidere per primi quando la competizione

è sul prezzo non sempre si rivela una strategia vincente, perché la concorrente può decidere

di proporre un prezzo leggermente inferiore. In questo caso l'impresa 1 considera, nella sua

decisione di prezzo, la possibile reazione di 2 che è �2 = 10 + 12�1

La sua funzione di domanda residua è �1 = 20 − �1 + �2 = 20 − �1 + �10 + 12�1� = 30 − 12�1

Da cui la funzione di ricavo marginale R'= 30-p1. Per ottenere il prezzo che propone l'impresa

si risolve R'=C' da cui p1=30 che sostituito nella funzione di reazione di 2 diventa �2 = 10 + 12 �1 = 25

L'impresa 2 può quindi proporre un prezzo più basso e occupare gran parte del mercato. I

profitti:

− per 1: �1 ∙ �1 = 30-20 − 30 + �10 − � 30�. = 450

− per 2: �2 ∙ �2 = 25�20 + 30 − 25� = 625

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Esercizio 6

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DOMANDE TEORICHE

Quando un’impresa cerca di influenzare con il proprio comportamento le azioni future di altri giocatori, si dice che tiene:

a. Un comportamento strategico.

b. Un comportamento collusivo.

c. Un comportamento non cooperativo.

d. Un comportamento lungimirante.

Soluzione:

a. Vero. Le imprese, infatti, spesso interagiscono ripetutamente con i propri concorrenti, e

possono cercare di influenzarne il comportamento futuro scegliendo strategicamente il proprio

comportamento odierno.

b. Falso. Le imprese tengono un comportamento collusivo se si accordano, implicitamente o

esplicitamente, per limitare la produzione e tenere alti i prezzi, in modo da accrescere i profitti.

c. Falso. Un comportamento non cooperativo può essere strategico, se l’impresa cerca di

condizionare con le sue azioni il comportamento futuro degli avversari, o non strategico, se

l’impresa si limita a massimizzare il suo payoff nel breve periodo.

d. Falso. Un’impresa che cerchi di condizionare con le sue azioni il comportamento futuro degli

avversari è sicuramente lungimirante; il termine tecnico per designare questo tipo di

comportamento è “comportamento strategico.

La situazione in cui ciascuna impresa compie la migliore scelta possibile, dato il comportamento dei concorrenti, è detta: a. Duopolio.

b. Dilemma del prigioniero.

c. Equilibrio di Nash.

d. Collusione.

Soluzione:

a. Falso. Il duopolio è una forma particolare di oligopolio in cui operano soltanto due imprese.

b. Falso. Il dilemma del prigioniero è un tipo di gioco caratterizzato da una situazione in cui

ciascun giocatore compie la migliore scelta possibile, dato il comportamento dei concorrenti.

c. Vero. L’equilibrio di Nash è un concetto fondamentale della teoria dei giochi, impiegato per

analizzare le interazioni strategiche tra le imprese.

d. Falso. La collusione è una situazione in cui le imprese si accordano, implicitamente o

esplicitamente, per limitare la produzione e tenere alti i prezzi, in modo da accrescere i

profitti.

Due oligopolisti producono un bene omogeneo, e competono fissando simultaneamente il prezzo a cui venderlo. Questo modello è detto:

a. Modello di Cournot.

b. Modello di Stackelberg.

c. Dilemma del prigioniero.

d. Modello di Bertrand.

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Soluzione:

a. Falso. Nel modello di Cournot, due o più imprese competono fissando simultaneamente la

quantità da produrre.

b. Falso. Nel modello di Stackerlberg, una delle due imprese agisce da leader, fissando per prima

la quantità da produrre e tenendo in considerazione le reazioni dell’altra impresa.

c. Falso.. Il dilemma del prigioniero è un gioco caratterizzato da due equilibri di Nash, in cui

l’equilibrio basato sulla cooperazione è superiore all’equilibrio non cooperativo.

d. Vero. Se le due imprese producono un bene omogeneo, continuano a tagliare i prezzi fino al

punto in cui P = C'.

DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA

Un oligopolista che massimizza il profitto prenderà le decisioni migliori per la sua impresa: a. date le congetture sulle strategie dei concorrenti e la sua funzione di reazione. b. date le previsioni sulla crescita del mercato e i futuri investimenti in tecnologia.

c. date domanda di mercato, tecnologia e costi dei fattori produttivi.

d. data la sua domanda di mercato e le sue funzioni di costo.

Le quantità prodotte da due imprese che competono à la Stackelberg sono: a. Uguali tra loro

b. Dipendono dal prezzo a cui vendono il bene prodotto

c. La metà della quantità che avrebbe prodotto una singola impresa monopolista

d. Cumulativamente maggiori della quantità che avrebbe prodotto un singolo monopolista

In una competizione alla Bertrand con prodotto omogeneo nel quale l’impresa 1 ha

un costo marginale di 6 euro e l’impresa 2 ha un costo marginale di 3 euro, in equilibrio: a. L’impresa 1 fissa un prezzo pari a 6 euro e l’impresa 2 fissa un prezzo pari a 3 euro.

b. Entrambe fissano un prezzo pari a 6 euro.

c. Entrambe fissano un prezzo pari a 3 euro.

d. L’impresa 2 fissa un prezzo appena al di sotto di 6 euro e l’impresa 1 è fuori dal mercato.