-'''-.

48 - - - - - CAP.S F.-Ù

CAPITOLO TERZO

LEGGI DEI CIRCUITI ELETTRICI

1 - Circuiti a costanti concentrate

Da un punto di vista energetico, un circuito elettrico '.o re;e elettrica)

è un sistema di elementi conduttori connessi tra loro in modo cae ener-gia elettrica possa essere trasferita dall'uno all'altro di essi e da questi

verso l'esterno in forme diverse (calore, luce, lavoro). D~alt::-apar ;e se da

un circuito elettrico esce energia, altrettanta energia deve essere fornitao dall'esterno al circuito o da qualcuno degli elementi stessi cid circuito.

Questi sono i generatori, dispositivi capaci o di convertire in energia elet-

trica altra energia fornita ad essi dall'esterno o di fornire direttamenteenergia elettrica a scapito di una qualche forma di energia interna da essiposseduta.

Per studiare il comportamento dei circuiti si utilizza una schematiz-zazione degli elementi circuitali che generalmente è in buon accordo con larealtà. Ogni circuito è immaginato come costituito da elementi occupantiun piccolo tratto dì questo e collegati da conduttori di resistenza nulla.

Si immagina cioè tutta concentrata in un resistere di resistenza R la re-sistenza dell'intero circuito e si attribuisce resistenza nulla ai conduttoridi collegamento.

Nella realtà, poichè i cavi di collegamento hanno resistenze che sonosempre molto piccole (dell'ordine di frazioni di ohm), basterà che nel cir-cuito sia presente un tratto con resistenza dell'ordine dell'ohm perchél'approssimazione fatta si possa considerare valida. Il più semplice deicircuiti elettrici è pertanto schematizzabile come è mostrato in fig. 1.1.

SII

Il

Si

•..

• •• 11IIII

PARTE I - CAP.3 49

+

R

Fig. 1.1

Peraltro lo schema di circuito chiuso riportato nella fig. 1.1 è tropposemplice per poter essere direttamente usato nella maggior parte dei casireali. In generale la corrente fluisce in sistemi più o meno complessi di re-sistori, alcuni dei quali possono essere ricondotti a situazioni più semplici.

2 - Resistori in serie

Due resistori collegati fra loro uno dopo l'altro (con un solo estremoin comune quindi) in modo da essere attraversati dalla stessa corrente si

dicono in serie (vedi fig. 2.1).

R, R3R2

Fig. 2.1

La resistenza R, equivalente dal punto di vista elettrico all'insieme

delle resistenze degli n resistori in serie, è facilmente determinabile osser-

vando che, se I è la corrente che circola nei resistori, 1l

VA - VAI = RlI, VAI:- VA2 = R2I, VAn_1 - VB = RnI

50 PARTE I - CAP.3

!~?~l1,

~.

e

VA - VA t VAl - VA2 + ...+ VAn+l - VB = VA - VB

da cui, essendo ,;,·_"rdìnizione,

VA - VB = RI

VA - VB = (Rl + R2 + ...+ Rn)I = RI

e quindin

R = R1 + R2 + ...+ R; = 2.::::: Rii=1

I3 - Leggi di Kirch}I0ff

In una rete elettrica sono riconoscibili nodi, rami e maglie. Per nodos'intende un punto di congiunzione di tre o più elementi circuitali; perramo s'intende una catena di elementi che congiunge due nodi e lungola quale non sono presenti altri nodi; per maglia s'intende un insieme di

rami costituenti un cammino chiuso tale che, muovendosi lungo di esso,ogni ramo venga percorso una sola volta.

Per risolvere il problema di determinare, nel caso più generale, leintensità delle correnti nei singoli rami di una rete (o le d.d.p. aicapi diquesti) note le f.e.m. dei generatori di tensione e le correnti dei generatori

di corrente (elementi attivi) e gli elementi passivi presenti nella rete, sono

stati introdotti dei criteri convenzionali i quali permettono di. applicarein modo comodo e sbrigativo a casi concreti alcuni principi fondamentalidella fisica: questi criteri sono noti come leggi di. Kirchhoff.

a) - Prima legge di Kirchhoff o legge dei nodi

Consideriamo un nodo N e la superficie chiusa 8 costituita da quella deiconduttori e delle sezioni 81, 82, ••. immaginate ad una certa distanza dalnodo, come illustrato in fig. 3.1.

"

PARTE I - GAP.9 51

"

Fig. 3.1

Trattandosi di una superficie chiusa, il flusso di i attraverso di essa inregime stazionario deve essere uguale a zero. In questa situazione neiconduttori in esame non ci sono accumuli di cariche (~~ = O, divi = O,i è solenoidale). Ciò significa che il campo elettrico deve essere lo stessoin tutti i punti del circuito e questo è abbastanza vero finchè la velocitàdi variazione del campo elettrico è piccola rispetto alla sua velocità di

propagazione lungo il conduttore ("" 3.108 m/s). Per questo motivosi considerano stazionari regimi in cui i campi sono variabili nel tempocon frequenze fino a circa 106 Hz e la validità di questa legge è estesa

a correnti alternate con frequenze fino a questi valori. È ovvio che in

questi casi la legge va scritta per un istante di tempo fissato ad arbitrio.

Per quanto sappiamo il flusso di i attraverso 8 si riduce alla somma deiflussi attraverso le sezioni 81, 82, ••• , i quali non rappresentano altro che

le intensità di corrente nei rispettivi rami, prese con segno opportuno,e cioè positive quelle che si allontanano dal nodo, negative quelle che vi

convergono. Se indichiamo con h, 12, ... le intensità di corrente attraversole sezioni 81, 82, ••. e ci riferiamo al caso illustrato in fig. 3.1, si ha

- Il + 12 + 13 - 14 + 15 = O

e, in generale,

(3.1) Lh=Ok

". ,;';..'.\.'~

.1

,;

52 PARTE 1- CAP.3

'j.:

J[

,~:

~!

il che equivale a dire che, indicata con Ei la generica d.d.p. esistente ai ~IIcapi degli elementi che costituiscono il circuito, lungo di esso è nulla in "..'ogni istante la somma algebrica di tutte le d.d.p. esistenti ai capi di ogni ,'.elemento, cioè '

ossia: per ogni nodo è nulla la somma algebrica delle correnti che in essosi incontrano, con la convenzione di attribuire in un certo istante un segnoalle correnti fluenti verso il nodo, il segno opposto a quelle fluenti in versocontrario.

b) - Seconda legge di Kirchhoff 'o legge delle maglie

Consideriamo una maglia costituita da più rami in ognuno dei quali sonoeventualmente presenti elementi attivi e/o passivi. A parità di corrente

erogata dai generatori, il valore del potenziale in un punto del circuito èuna caratteristica fissa di quel punto, pari, ad esempio, a VA. Partendo daquesto punto del circuito, seguendo idealmente un percorso chiuso lungodi esso fino a ritornare al punto di partenza e sommando a VA tutti gli

eventuali incrementi o decrementi di potenziale prodotti dagli elementipresenti nel circuito e misurabili con un opportuno strumento, quando sitorna in A il potenziale deve valere ancora VA'

B (

DAFig. 3.2

Deve cioè essere (vedi fig. 3.2 ad esempio)

VA + (VA - VB) + (VB - Ve) + (Ve - Vv) + (Vv - VA) = VA

(3.2)n

LEi=Oi=l

'f;

1,1

.~

F4.RTE I _ CAP.9 C" 59

Anche in questo caso, trattandosi di somma algebrica, bisogna fissare ar-::drariamente dei criteri univoci per stabilire il segno di ogni Ei. Questipossono essere scelti in parecchie combinazioni diverse, tutte però taliovviamente da portare allo stesso risultato: in ogni ramo circola una cor-

rente, con una certa intensità e un certo verso.Si potrebbe quindi enunciare questi criteri in modo molto generale,

in modo da lasciare arbitrarie tutte le scelte. In pratica però, per evitare

confusioni, è più opportuno scegliere sempre un'unica combinazione e uti-

lizzare sempre quella.

i) Si scelga a piacere in ogni ramo il verso in cui fluisce la correnteincognita: se, a conti fatti, il valore dell'intensità della corrente risultassein un certo istante negativo, significa solo che in realtà la corrente inquell'istante fluisce nel verso opposto.

ii) Si scelga un verso nel quale muoversi lungo la maglia (verso dipercorrenza), ad es. quello orario.

/

Per gli elementi passivi (resistori, condensatori scarichi, ecc.), si attribuisca

alla d.d.p. ai loro capi il segno + se la corrente che li attraversa è concordecon il verso di percorrenza, il segno - in ~aso contrario.

Se, ad esempio, nel ramo del circuito che collega i nodi A e B è presente

un resistore di resistenza R, si fa l'ipotesi che la corrente I circoli nel ramoda A a B e si sceglie come verso di percorrenza lungo la maglia quello cheva da A a B, deve -essere

VA-VB=IR

o anche

VB = VA - IR

Sulla resistenza R c'è una caduta di tensione.

Per gli elementi attivi (generatori, condensatori carichi, ecc.), nelquali la polarità è prefissata dalla situazione sperimentale, in analogia al

54- PARTE I - CAP.S

caso precedente si attribuisca il segno + a quelle d.d.p. che lungo il verso

di percorrenza producono delle cadute di tensione, il segno - a quelle cheproducono degli aumenti di tensione,

Se, ad esempio, nel ramo del circuito che collega i nodi A e B è

presente un generatore di f.e.m. Eo e si sceglie come verso di percorrenza

lungo la maglia quello che va da A a B, quando ad Aè connesso il polo +del generatore, e quindi lungo il verso di percorrenza si incontra prima il

polo positivo e poi quello negativo, la d.d.p. ai suoi capi va presa positiva,

in quanto essa produce una caduta di tensione: infatti

VA - VB = Eo

VB = VA - Eo

e quindi VB < VA.Quando invece ad A è connesso il polo - del generatore, e quindi

lungo il verso di percorrenza si incontra prima il polo negativo e poi quellopositivo, la d.d.p. ai suoi capi va presa negativa, in quanto essa produce

un aumento di tensione; infatti

VA - VB = -Eo

VB = VA +Eo

e quindi VB > VA.Per esemplificare meglio quanto detto sopra riferiamoci alla rete

schematizzata in fig. 3.3a; consideriamo la maglia, che possiamo indicareper mezzo dei nodi che la individuano, ABCDEA ed applichiamo ad essala seconda legge di Kirchhoff (3.2), stabilendo le opportune convenzioni.

Per far questo si scelga un verso di percorrenza lungo la maglia e si fissinoi versi delle correnti nei rami come mostrato in fig. 3.3b.

Si prenda come punto di partenza il nodo A con potenziale VA e Cl SI

muova lungo il verso di percorrenza scelto nella maglia:

;1","')

:1:

I.:"

I>I~'~~{;}

}l~..i-

~

1

~

PA.RTE I - CAP.9 55

B c 12___ C8

1.\

A +E01

A + EE

Fig. 3.3

nel punto A: il potenziale vale VA per ipotesiVA - VB = -ItRI perchè It ha verso contrario a quello di percorrenza

nella maglia;

nel punto B: VB = VA + IIRIVB - Ve = -I2R2 perchè 12 ha verso contrario a quello di percorrenza;

nel punto C: Ve = VB + I2R2 = VA + IIRI + I2R2Ve - VD = - I3R3 + E02 perchè 13 ha verso contrario a quello di

percorrenza e E02 produce una cadutadi tensione in questo verso;

nel punto D : VD = Ve + I3R3 - E02 = VA + IIRI + I2R2 + I3R3 - E02VD - VE = I4R4 perchè 14 ha lo stesso verso di quello di percorrenza;

nel punto E: VE = VD - I4R4 = VA + IIRI + I2R2 + I3R3 - E02 - I4R4VE - VA = - EOI poichè EOI produce un aumento di tensione nel verso

di percorrenza;

nel punto A: VA = VE+Eo1 = VA +ItRI +I2R2+I3R3-Eo2-I4R4+EoIper cui la (3.2) per questa maglia può essere scritta nella forma

, ,f

1(3.3) IIRI + I2R2 + I3R3 - E02 - I4R4 + EOI = O

È evidente che nella pratica tutti i passaggi effettuati nell'esempio sopra

J

< •• ~-

~~.'i

56 PARTE I - CAP.9

illustrato vanno omessi e che il risultato (3.3) va scritto come una diretta

applicazione alla (3.2) delle convenzioni scelte per la maglia in esame.

È anche evidente che l'equazione (3.3) non è sufficiente per risolvere ilproblema di determinare l'intensità delle correnti incognite circolanti nei

rami della rete schematizzata in fig. 3.3. Nella sola (3.3) compaiono infattiben quattro incognite e per di più lo schema a cui appartiene la magliaanalizzata suggerisce che la rete sia molto complessa, costituita da molte

maglie con numerosi nodi e rami.Peraltro, per quanto complessa sia una rete costituita da elementi attivi

e passivi noti, le leggi di Kirchhoff permettono di risolvere univocamenteil problema del calcolo delle intensità di corrente che circolano nei sin-goli conduttori della rete, in quanto grazie ad esse è possibile scrivere un

sistema di equazioni lineari e indipendenti pari in numero a quello delleintensità di corrente incognite. Basta applicare le leggi di Kirchhoff inmodo che ogni incognita (ad es. la corrente in ogni ramo) ed ogni ele-mento attivo e passivo vi figurino almeno una volta e che il numero delleequazioni linearmente indipendenti sia uguale a quello delle incognite.

In pratica in una rete costituita da n rami, m maglie indipendenti e p

nodi, si scelgono come incognite le n correnti di ramo e poichè n = m+p-l,si applica la prima legge di Kirchhoff a p-l nodi, in modo da avere p-l

equazioni linearmente indipendenti, quindi si applica la seconda legge di

Kirchhoff alle m maglie indipendenti, scegliendole tra quelle con il minornumero di elementi possibile, e si risolve il sistema di n = m + p-lequazioni linearmente indipendenti per ricavare i valori delle n incognite.

4 - Resistori in parallelo

Due o più resistori collegati in modo da avere gli estremi a contattoe quindi sempre allo stesso potenziale si dicono in parallelo (vedi fig. 4.1)

La resistenza. R, equivalente dal punto di vista elettrico all'insieme delleresistenze degli n resistori in parallelo, è facilmente determinabile osser-·

J

PARTE I - CAP.9

"

R,

A

R3

BR2

Fig. 4.1

vando che, se I è la corrente totale nel circuito,

e

VA - VB =!t,Rl

!t + 12 + 13 + ... + In = I

VA - VB = 12,R2

..., VA - VB = InRn

da cui, essendo per definizione VA -;;Vo = I,

VA -VBR

e quindi

VA - VB VA - VB VA - VB _ IRl + R2 + ... + Rn -

1 1 1 1 n 1R = R + R + ... + il = L R·

1 2 n i=l '

57

È utile sottolineare che la resistenza equivalente a quella di due opiù resistori in serie è sempre maggiore di ciascuna delle resistenze dei

resistori del sistema, mentre nel caso di due o più resistori in parallelo, laresistenza equivalente è sempre minore di quella di ciascun resistore del,sistema; infatti poichè

R1R2

R = Rl + R2__'-_ .. _---------- "'-,

~t

Rl1+ .fu.

R2

R2

1+.fu.Rl

58 PARTE I - CAP.9

si vede che è sempre

R < RI R < R2e

Inoltre se si collegano in serie due resistori uno con una resistenzagrande e l'altro con una resistenza piccola, la resistenza equivalente è

poco più grande di quella del resistore con resistenza grande, mentre sesi collegano in parallelo gli stessi due resistori, la resistenza equivalente èpoco più piccola di quella del resistore con resistenza piccola.

Se n resistori hanno resistenze tutte uguali ad R sarà evidentemente:quando sono collegati in serie

Rtot = n R

quando sono collegati in parallelo

RRtot = n

5 - Resistori nè in serie nè in parallelo

È bene sottolineare che in generale in un circuito complesso due resi-

stori non sono né in serie né in parallelo.

Basta riferirsi al circuito mostrato in fig. 5.1 per everne conferma. I quattroresistori abbiano tutti la stessa resistenza R.

R1 R2

R3 R4

I (G~

Fig. 5.1

~ J

PARTE I - CAP.9 59

I resistori Rl ed R2 sono in serie, così come lo sono R3 ed R4; l'insiemedei resistori Rl ed R"l. è in parallelo all'insieme di R3 ed R4 , ma Rl edR4 ad es. pur essendo attraversati da una corrente della stessa intensità,non sono serie, in quanto non hanno un estremo in comune, così comenon sono in parallelo ad es., R2 ed R4, pur avendo ai loro capi la stessad.d.p.: non hanno infatti i due estremi in comune.

6 - Esempi di applicazione delle leggi di Kirchhoff

a) - Partitore di tensione e potenziometro

R)

+ n... I

R2Eo I G

Fig. 6.1

Usando la seconda legge di Kirchhoff è facile determinare ad es. la d.d.p.

E2 ai capi del resistere R2 di fig. 6.1 in funzione di Eo, Rl ed R2• Si ha

infatti, indicando con I la corrente che circola nel circuito in verso orarioe scegliendo come verso di percorrenza pure quello orario,

-Eo + IRI + IR2 = O

da cuiEo

1= Rl + R2

Poichè E2 = I R2 sarà anche

60 PARTE I - CAP.~

RzEz = R R Eo

1 + 2

Le due resistenze in serie Rl edRz costituiscono il più semplice dei partitori

di tensione.Questo nome è dovuto al fatto che applicando al sistema una d.d.p. nota

Eo, è possibile ottenere, ad es. ai capi di R2, una d.d.p. più piccola di Eoe di valore dipendente dal rapporto

RzR, +R2

che, scegliendo opportunamente Rl e Rz, può essere determinato a priori.Il sistema "ripartisce" la d.d.p. Eo ai capi di Rl ed Rz in un modo chedipende solo dai valori di Rl ed R2•

Il partitore può essere ovviamente costruito con una serie lunga apiacere di resistori ed addirittura in modo continuo: basta infatti collegaregli estremi A e B di un potenziometro alla d.d.p. Eo e prelevare la tensionetra il contatto strisciante C e uno degli estremi A o B (vedi fig. 6.2).

+1

A

]E o t G ) »(1-0lRR -+-- .[

JoR

B

Fig. 6.2

PARTE 1- CAP.9 61

La resistenza R del potenziometro risulta divisa dal contatto strisciantein due resistenze, una di valore

R' = R« (con O < a < 1)l'altra di valore

R" = R(l - a)

In questo modo la resistenza R' può variare da un minimo uguale a zero

fino ad un massimo uguale ad R e la d.d.p. ai suoi capi

E' = R' R'R' + R"Eo = REo = aEo

pure da O ad Eo.Quando è alimentato da un generatore di f.e.m. fissa Eo, il poten-

ziometro si comporta come un generatore di f.e.m. E' variabile da Oa Eo.Nella maggior parte degli strumenti elettrici di uso quotidiano, ruotaredelle manopole vuole dire azionare un potenziometro, cioè programmarein un certo circuito una d.d.p. opportuna.

b) - Partitore di corrente

Se due (o più) resistori in serie costituiscono un partitore di tensione,

due (o più) resistori in parallelo costituiscono un partitore di corrente.

lliferendoci al caso semplice di fig. 6.3, usando le leggi di Kirchhoff è fa-

J-- A B

+ nnRl~Vl R2~jJ2Eo G

--l D cFig. 6.3

., s#

62 PARTE 1- CAP.3

cile determinare ad es. la corrente 12 (o Il) che circola nel resistore R2 (oRI) in funzione di I, la corrente erogata dal generatore, RI ed R2•

Al nodo A è infatti

I = Il +12

e nella maglia AB CD A12R2 - IIRI = O

e quindi:t.~

lli-[Rl+R~

{I = Il + 12 { 12 = I - Il { Il =

12R2 - Il RI = O 12R2 - IIR2 - IIRI = O 12 = Rl~R~ I

c) - Si consideri il circuito di fig. 6.4, dove in Rl ed R2 sono compreseanche le resistenze interne delle due pile.Utilizzando le leggi di Kirchhoff determiniamo le correnti che fluiscononelle resistenze, tenendo presente che non si conoscono né le loro inten-sità, né i loro versi. In questo circuito sono individuabili, per quanto dettoin precedenza, due nodi (B ed E) e tre maglie (ABEF A, BCDEB eABCDEFA).

A R1 B R4 C

+E02R3E01

F E DR2

Fig. 6.4

",;

S'

-----

PARTE I - CAP.3 63

Per risolvere il problema di determinare le n correnti incognite dovremorisolvere un sistema di n equazioni linearmente indipendenti, scelte inmodo che ogni grandezza del problema (Rl, R2, R3, R4, EOl· e E02)vi compaia almeno una volta.Il numero delle correnti incognite deve essere uguale al numero dei rami.Nel nostro caso questi ultimi sono tre, quindi tre sono le incognitedel nostro problema e il sistema risolvente deve essere composto da

tre equazioni linearmente indipendenti.

Possiamo ad esempio applicare le leggi di Kirchhoff al nodo B e alle maglieABEF A e BCDEB. Facciamo osservare infatti che la scelta contempo-

ranea dei due nodi (più una maglia qualsiasi) avrebbe portato ad un si-stema di tre equazioni non linearmente indipendenti, perchè le equazioniper i due nodi sono identiche.

Scegliamo nelle due maglie un verso di percorrenza e i versi delle correnticome mostrato in fig. 6.5.

Per la prima legge di Kirchhoff applicata al nodo B si ha

Il + 12 + 13 = O

Per la seconda applicata alla maglia AB E FA si ha

-EOl + IlRI - 13R3 = O

A R1 Il B 12 R4 c

+ +n ~R3n13E01 E02

F E R2 D

Fig. 6.5

64 PARTE I - CAP.8

Ancora per la seconda legge applicata alla maglia BC D E B si ha

Eoz - IzRz + 13R3 - IzR4 = O

Si tratta quindi di risolvere il sistema

(6.1) {

i.+ 12 + 13 = ORllt - R3h = EOl(R2 + R4)I2 - R313 = E02

Si ottengono per le tre intensità di ~oirente i seguenti valoril.

I - EOl (Rz+R3+R4)-EozRsl - RlRz+RlR3+RlR4+RzR3+R3R4

I - -Eol Rs+Eo2 (Rl +Rs)2 - RlR2+RlR3+RlR4+R2R3+R3R4

I - -Eol (R2+R4)-Eo2Rl3 - RlR2+RlR3+RlR4+R2R3+R3R4

È evidente che queste possono risultare positive o negative a seconda dei

valori delle resistenze e delle f.e.m.: ad es. se lt > O significa che la,_. - __ ~.'- .• ::-_':-;~_. "0

corrente fluisce nel verso scelto arbitrariamente all'inizio del problema, se-" -_ ...•. '.-_.- , .. , .._" _-_ ,-,,-_ .."" - , --_.-,._" -"'.'--- "~-"----"--

invece Il < O, la corrente fluisce nel verso opposto ..

7 - Teoremi per la risoluzione dei circuiti elettrici

Le leggi di Kirchhoff, pur permettendo la risoluzione di circuiti li-neari anche molto complessi, molto spesso comportano, per arrivare alladeterminazione delle incognite, svolgimenti molto lunghi e laboriosi.

Gli stessi circuiti spesso possono essere risolti molto più rapidamente me-diante l'applicazione di utilissimi teoremi che, pur essendo derivati dalleleggi di Kirchhoff, sfruttando particolari disposizioni circuitali, consentono

soluzioni semplici, quindi meno soggette a banali errori di calcolo.

Qui di seguito sono riportati alcuni dei più importanti di questi teoremi.

PA.RTE 1- CAP.3 65

a) - Teoremi di Thévenin e di NortonIl teorema di Thévenin afferma che una rete elettrica attiva (cioè conte-nente uno o più generatori), considerata tra due generici suoi punti, èequivalente ad un generatore avente per f.e.m. (Eo) la tensione esistentetra i due predetti punti quando non sono collegati da altro conduttore eper impedenza interna (Zo) una impedenza uguale a quella presente trai due punti considerati, nell'ipotesi che siano nulle tutte le f.e.m. e le

correnti fornite dai generatori presenti nella rete.Il teorema di Norton afferma che una rete elettrica attiva, considerata

tra due generici suoi punti, è equivalente ad un generatore di corrente che

fornisce una lo uguale alla corrente che circola tra i due predetti puntiquando questi siano stati cortocircuitati, con in parallelo una ammettenzainterna Yo uguale all'ammettenza presente tra i due punti considerati,nell'ipotesi che siano nulle tutte le f.e.m. e le correnti fornite dai generatori-presenti nel circuito (vedi fig. 7.1).

Osserviamo che annullare una f.e.m. implica sostituire il generatore idealecorrispondente con un corto circuito e annullare una corrente implica sosti-tuire il generatore ideale corrispondente con un circuito aperto. Eventuali

impedenze interne dei generatori vanno lasciate inserite nella rete.

Per valutare la potenzialità di questi teoremi vediamo qualche esempio.

_ +,1l

I

I . E-RETE 111 yLo -t 8

{ .LINEARE I. E equivale I

Ja -L

Fig. 7.1 I I .8

l:

66 F'.~...?rrI - CAP.3

R] .A A

EOl +() IY~ Eo +n=1lil <R. <F ~Jft.

B (a) i (b)

Fig. 7.2

Dato il circuito in fig. 7.2a si voglia determinare la d.d.p. fra A e B:applichiamo il teorema di Thévenin.Per questo tutto il circuito a monte dei punti A e B è equivalente ad un

generatore di f.e.m. Eo, pari alla tensione tra A e B a vuoto (cioè senza laresistenza R4) e con una resistenza interna Ro pari alla resistenza esistentecortocircuitando il generatore di f.e.m. EOl, come illustrato in fig. 7.2b.

Si ha allora cheEo!Eo =. R2». +R2

R - R R2Rl0- 3+ R2 + Rl

La d.d.p. EAB fra A e B diventa facilmente calcolabile dal circuito difig. 7.2b e vale

~Eo Rl+R2 R4=

EAB = -m-l.-.~R-R4 = R + RIR2 + R4.LL(J -.t- 4 3 (Rl +R

2)

......••. ~,\il!i\~\

~ \\~,...•~J'-7" .•

EOIR2R4- RIR2 + (Rl + R2)(R3 + R4) \

lÌLo stesso risultato può essere ottenuto applicando allo stesso circuito di

fig. 7.2a il teorema di Norton. Detto circuito è equivalente a quello di

PARTE 1- CAP.9 67

A

lo Ro R4

])

Fig. 7.2c

fig. 7.2c dove lo è la corrente che circola tra A e B quando questi sono incortocircuito e Ro è la resistenza che esiste tra A e B cortocircuitando ilgeneratore di tensione di fig. 7.2a.

Per trovare lo riferiamoci al circuito di fig. 7.2d ed applichiamo ad esso leleggi di Kirchhoff. Si ha cosÌ:per la maglia ABCDEFA

-Eo! + IoR3 + IR! = O

per il nodo B

I - lo - 12 = O

per la maglia BCDEB

IoR3 - 12R2 = O, R31--102 - R2

cioè

B

EOl+

lo

F I E D

Fig. 7.2d

è

68 PARTE I - CAP.3

e quindiR3

I = lo + -loRz

lo nella prima equazione, porta a

R3EOl = IoR3 + (1+ R

z)IoRl

che, SOS~l

1-o~\.

' ..'~Sl ricava.- Rz

lo = EOlR1(Rz + R3) + RZR3

RZRlu, = R3 + R Rz + 1

Utilizzando i valori qui calcolati nel circuito di fig. 7.2c, è immediatoricavare per E AB il valore trovato in precedenza. Come si vede però,

l'applicazione del teorema di Norton ad un circuito con generatori di ten-sione e con "strutture" a maglie porta a calcoli molto più macchinosi chenon l'applicazione del teor' ma di Thévenin. Nulla però, in linea di prin-cipio, ne vieta l'uso: la scel 'tra l'uno o l'altro sarà solo una questione diopportunità.

b) - Teoren4"," -,-" r:1;.~--.'._~Anche questo teorema è molto :':~L'uellasemplificazione dei circuiti elet-trici. Esso è vantaggiosamente applicabile ad un circuito costituito da nrami in parallelo tra i due nodi A e B.Note le f.e.m. e le resistenze presenti nei singoli rami, si può calcolare lad.d.p. tra i nodi comuni mediante le seguenti relazioni

\

n EOiEAB = Req L Ri

i=l

doven 1

u.; = l/L R.i=l ~

Nella sommatoria le f.e.m. che hanno il segno + dalla parte del punto Avanno scelte come positive, le altre come negative.

,,-

•••••

PARTE I - CAP.3

A

..-,,-,--~

69

+EOI k,.,

','. \ .

",t/':";;',

~~!(~f

·/1J

;~.

R) R.4

B

Fig. 7.3

Anche per questo teorema vediamo un esempio: applichiamolo al circuito

di fig. 7.3.

l:«u\

7\~~ ((.~(EOl E02)

EAB = Req . R1

- R2

1R = l leq l + _1 + - + R

RIR2 R3 "

'= R."Il teorema di Millman è più generale di quant •.- non appaia dalla formu-lazione precedente, Esso infatti potrebbe ar .ra essere applicato anchequando' EoL{féd' E02 non siano generatori T - ,bensì tensioni prodotte

--'t .

da parti di una rete comunque complicatc) - Teorema di sovrapposizione <!'_.-;_.-

Il teorema di sovrapposizione si basa sul principio di sovrapposizione degli

effetti delle grandezze elettriche.

L'effetto prodotto in un ramo di un circuito comunque complessodall'azione simultanea di diverse cause agenti sullo stesso ramo si può

determinare sovrapponendo i singoli effetti che le singole cause produrreb-

bero nel ramo in esame, qualora esse agissero una alla volta.Gli esempi che seguono dovrebbero chiarire le modalità di impiego e

gli eventuali vantaggi pratici di questo teorema.Consideriamo il circuito di fig. 7.4. Vogliamo determinare la corrente 14che circola in R4' Essa sarà data dalla somma algebrica della corrente 1~

che si avrebbe in R4 qualora€~9)lci fosse il generatore E02 e la corrente1~ che si avrebbe in R4 qualora:~ ci fosse il generatore E01'

~

':~.~.~ __ G.-j

70 PARTE I - CAP.3

li,=r:+_J __.R,

+E02

Fig. 7.4

l' _ EOI4 - R R RLlb

l + 4 + Rl+R3

l" = E02 R3 'P'",.J.. <Z••..4 R2 + <:~+:~~~RI + R, + R3 ' C!~,.j

Poichè per le polarità dei generatori queste due correnti hanno versi con-

trari, la corrente risultante 14 ha valore assoluto pari a

1141 = 11~ - I~'Ie verso concorde con la corrente parziale di intensità maggiore.

Il teorema di sovrapposizione si può anche utilizzare per la risoluzione

di circuiti analoghi a quelli in cui si può applicare il teorema di Millman.Per esempio nel circuito di fig. 7.3 si avrebbe che la tensione VAB è datadalla sovrapposizione delle due tensioni parziali VAB1 e VAB1 fornite rispet-

tivamente dal generatore EOl (supposto cortocircuitato E02) e dal genera-tore E02 (supposto cortocircuitato EOI):

VAB = VAB1 - VAB2

PARTE 1- CAP.3

Si ha così~Ol 1

VAB1 = 1 1 + _1_ + _1_R1 + ....L+....L+....L R3 R" RlR3 R" Rl

~02 1VAB2 = 1 l + _1 +_1R2 + ....L+....L+....L n, R3 R"

Rl R3 R"

Si potrebbe dimostrare con qualche manipolazione algebrica che i risul-tati qui ottenuti coincidono con quelli ottenuti applicando il teorema diMillman.

~c

-- .. ~- -- .. ---- --- -- ..- ------- --- ._---_. -----

71

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