Esercizi  I      con  soluzione    –  Statistica  

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Esercizio  1:  Si  considerino  le  distribuzioni  per  classi  di  età  della  popolazione  residente  (espressa  in  migliaia)  in  Piemonte:  

Classi  di  età   Piemonte  0  ⊢  6   322      6  ⊢  14   507  14  ⊢  21   477  21  ⊢  25   218  25  ⊢  45   1.282  45  ⊢  65   1.087  65  e  oltre   703  Totale   4596  

 

a) Quali  sono  le  unità  statistiche?___Le  unità  statistiche  sono  gli  individui  residenti  in  Piemonte________  

b)  Quante  sono  le  unità  statistiche  osservate?___4596________________________________________  

c) Indicare  la  classe  di  età  modale  in  Piemonte:__  14  ⊢  21_______________________________________      

Esercizio  2:  Rispondere  alle  seguenti  domande:  

1)  La  mediana  delle  seguenti  osservazioni  {1,  7,  2,  3,  7,  -­‐1,  0}  è     a)  7         b)  2         c)  3  

2)  La  somma  degli  scarti  dalla  media  aritmetica  è  sempre  pari  a:     a)  0         b)  –1       c)  +1  

3)  Aggiungendo  una  costante  positiva  c  a  tutti  i  valori  di  una  variabile  la  media  aritmetica:     a)  aumenta  di  c       b)  diminuisce  di  c   c)  non  si  modifica  

4)  Se  di  una  variabile  X  che  assume  valori  {-­‐1,  0  ,  +1}  non  si  conoscono  le  frequenze,  allora  la  media  aritmetica  può  essere:     a)    –1,25         b)  +  1,25       c)  +  0,25  

5)  Dalla  frequenza  relativa  di  una  certa  modalità  si  può  risalire  alla  frequenza  assoluta  purché  si  conosca:     a)  la  numerosità  della  popolazione    b)  di  quale  modalità  si  tratta   c)  la  media  e  la  mediana  

 

Esercizio  3:    Nella  tabella  è  riportata  la  distribuzione  percentuale  della  popolazione  della  Gran  Bretagna  secondo  gli  anni  di  scolarizzazione:  

a)    Il  50%  delle  persone  meno  istruite  nel  1991  aveva  un  livello  di  istruzione  inferiore  o  uguale  a________________________________  La  distribuzione  cumulata  relativa  al  1991  è    

Anni  di  istruzione   0⊣5   5  ⊣  8   8  ⊣  11   11  ⊣  13   13  ⊣  19  Freq  Cumulate  1991   15   35   47   72   100  

 da  cui  possiamo  affermare  che  la  50esima  persona  è  inclusa  nella  classe  11-­‐13.  Si  può  impostare  la  proporzione:  (72  -­‐  47)  :  (13  -­‐  11)  =  (50  -­‐  47)  :  (x  -­‐  11)  da  cui:                      x  =  11  +  (2  ·∙  3)/25=  11.24  

Anni  di  istruzione   1991  0  ⊣  5   15  5  ⊣  8   20      8  ⊣  11   12  11  ⊣  13   25  13  ⊣  19   28  

 

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Esercizio  4:  L’Università  di  Bologna  decide  di  aumentare  di  65  euro  le  tasse  di  iscrizione  all’università.  Come  cambierebbe  il  valore  medio  delle  tasse  se  questa  decisione  fosse  realizzata?      Aumenterebbe  di  65  euro    

Se  invece  l’università  decidesse  di  aumentare  le  tasse  del  5%  come  cambierebbe  la  media?  Aumentare  le  tasse  del  5%  significa  applicare  sull’importo  di  partenza  un  coefficiente  moltiplicativo  pari  a  1,05.  Quindi  la  media  aumenterebbe  del  5%.  

 Esercizio  5:    In  un  esperimento  250  soggetti  vengono  assegnati  al  gruppo  di  trattamento  e  249  al  gruppo  di  controllo.  Il  risultato  dell’esperimento  viene  valutato  attraverso  un  punteggio  che  va  da  0  a  100.  Alla  fine  dell’esperimento  il  punteggio  medio  del  gruppo  di  trattamento  è  risultato  66,  mentre  nel  gruppo  di  controllo  il  punteggio  medio  è  59.  Qual  è  il  punteggio  medio  del  gruppo  dei  499  soggetti  che  hanno  partecipato  all’esperimento?  

n1  =  250   n2  =  249   n  =  499  𝑥!=  66   𝑥!=  59   𝑥  =  62,50701  

 

Esercizio  6:  La  seguente  tabella  riporta  il  tempo  di  percorrenza  di  un  tratto  autostradale  per  70  automobilisti:  

Tempo  di  percorrenza   Tempo  (min)   N.  automobili  

Meno  di  1  h     <  60   8  

1h  ⊢  1h  20  min   60  ⊢  80   18  

1h  20  min  ⊢  1h  40  min   80  ⊢  100   23  

1h  40  min  ⊢  2h   100  ⊢  120   14  

2h  ⊢  4h   120  ⊢  240   7  

Totale     70  

 a)  Sapendo  che  il  tratto  autostradale,  di  lunghezza  155  km,  è  sottoposto  all’accertamento  della  velocità  e  che  il  limite  di  velocità  autostradale  è  di  130  km/h,  qual  è  la  percentuale  di  automobilisti  che  verranno  sanzionati?  ______________________________________________________________________________      

Si  fa  la  cumulata  del  tempo  di  percorrenza:    Tempo  di  percorrenza   <  1h   1h  ⊢1h20min   1h20min  ⊢1h40min   1h40min  ⊢  2h   2h  ⊢  4h  

Freq.  Cumulate   8   26   49   63   70      Il  tempo  impiegato  da  coloro  che  vanno  a  130  è  di  71.5383  minuti,  e  cade  nella  classe  60  |-­‐80  minuti.  Si  può  quindi  impostare  la  proporzione:     (80  -­‐  60)  :  18  =  (71.5383-­‐60)  :  x  da  cui         x  =  (18  *11.5383)/20=  10.38447  ≈  11-­‐>  dunque  (8+11)/70*100=27.14%    

Esercizio   7:   Nella   seguente   tabella   sono   riportati   i   dati   relativi   alla   mortalità   alla   nascita   (rapporto   fra  numero  di  nati  morti  sul  totale  dei  nati)  e  al  reddito  pro  capite  rilevati  in  alcuni  Paesi.  

3    

Natimortalità  (x  100)   22   15   12   8   7   6   5   4.8   4.7   4.4  Reddito  p.c.  in  migliaia  dollari   1   3   4   5   8   10   12   15   16   18  

a)  Si  calcoli  la  mediana  del  reddito__  La  mediana  è  9________________________________________  

     Esercizio  8:  Si  consideri  la  successione  di  valori  (24,  17,  ?,  10,  9,  8,  7,  6.8,  6.7,  6.4)  in  cui  si  è  persa  la  terza  osservazione.  Tuttavia  è  noto  che  la  somma  degli  scarti  degli  altri  nove  valori  rispetto  alla  media  aritmetica  complessiva  è  pari  a  –3.11.  Ricostruire  il  valore  mancante.      

     24 + 17 + 𝑥 + 3.11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6.8 + 6.7 + 6.4

10= 𝑥    

24 + 17 + 𝑥 + 3.11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6.8 + 6.7 + 6.4 = 10𝑥

𝑥 = 10.89   →  𝑥! = 10.89 + 3.11 = 14

 

Esercizio  9:  Si  considerino  le  distribuzioni  per  classi  di  età  della  popolazione  residente  (espressa  in  migliaia)  in  Piemonte  e  Campania  nel  1979:  

Classi  di  età   Piemonte   Campania   Totale   wi  hi  

Piemonte  Valore  centrale  

   0  ⊢  6   322   603   925   6   53,67   3      6  ⊢14   507   827   1334   8   63,38   10  14  ⊢  21   477   808   1285   7   68,14   17,5  21  ⊢  25   218   351   569   4   54,50   23  25  ⊢  45   1.282   1.366   2648   20   64,10   35  45  ⊢  65   1.087   1.038   2125   20   54,35   55  65  e  oltre   703   531   1234   35   20,09   82,5  Totale   4596   5524   10120          a) Quante  sono  le  unità  statistiche  osservate?__  10120____________________________________  b) La  classe  di  età  25|-­‐45  è  più  frequente  in  Piemonte  o  in  Campania?  (motivare  la  risposta):  _Piemonte  

Piemonte:  1282/4596  =    0,279  Campania:  1366/5524  =    0,247  

c) Fra  coloro  che  hanno  un  età  compresa  fra  21  e  25  anni  qual  è  la  percentuale  di  coloro  che  risiedono  in  Piemonte?___218/569*100  =  38,31%  ______________________________________________    

d) Indicare  la  classe  di  età  modale  in  Piemonte:__  14  ⊢  21_____________________________________    e) Calcolare  l’età  media  in  Piemonte  e  Campania:  _Età  media:  Piemonte  =  39,61    Campania  =  32,77  f) Calcolare  l’età  media  nell’insieme  delle  2  regioni:__35,87__________________________________  g) Calcolare  la  varianza  dell’età  nelle  due  regioni:__Varianza:  Piemonte  =  597,76  Campania  =  546,35  h) Calcolare  la  varianza  dell’età  nell’insieme  delle  due  regioni:  _581,31___________________________  i) In  quale  delle  due  regioni  l’età  presenta  la  maggiore  variabilità?  Rispondere  utilizzando  un  opportuno  

indicatore:______  CV:  Piemonte  =  0,62    Campania  =  0,71____________________________________  

 

 

Esercizio  10:  Rispondere  alle  seguenti  domande:  

4    

1)  La  varianza  di  una  variabile  statistica  può  diventare  negativa:  

  a)  solo  se  la  variabile  è  costante   b)  per  variabili  che  assumono  valori  negativi   c)  mai  

2)  La  varianza  di  3X  è  pari:  

  a)  alla  varianza  di  X     b)  a  3  volte  la  varianza  di  X     c)  a  9  volte  la  varianza  di  X  

8)  Se  la  media  aritmetica  di  X  è  10  e  la  varianza  di  X  è  100  allora  il  coefficiente  di  variazione  è  uguale  a:  

  a)  10         b)  1         c)  100  

 

Esercizio  11:  L’Università  di  Bologna  decide  di  aumentare  di  65  euro  le  tasse  di  iscrizione  all’università.  Come  cambierebbe  il  valore  medio  delle  tasse  se  questa  decisione  fosse  realizzata?  Aumenterebbe  di  65  euro  __________________    

E  lo  scarto  quadratico  medio?  _Non  cambierebbe__________________________________________    Se  invece  l’università  decidesse  di  aumentare  le  tasse  del  5%  come  cambierebbero  media  e  scarto  quadratico  medio?  __  Aumentare  le  tasse  del  5%  significa  applicare  sull’importo  di  partenza  un  coefficiente  moltiplicativo  pari  a  1,05.  Quindi  la  media  aumenterebbe  del  5%,  come  pure  lo  scarto  quadratico  medio.  

 Esercizio  12:    In  un  esperimento  250  soggetti  vengono  assegnati  al  gruppo  di  trattamento  e  249  al  gruppo  di  controllo.  Il  risultato  dell’esperimento  viene  valutato  attraverso  un  punteggio  che  va  da  0  a  100.  Alla  fine  dell’esperimento  il  punteggio  medio  del  gruppo  di  trattamento  è  risultato  66  con  uno  scarto  quadratico  medio  di  21,  mentre  nel  gruppo  di  controllo  il  punteggio  medio  è  59  con  uno  scarto  quadratico  medio  di  20.  Qual  è  il  punteggio  medio  del  gruppo  dei  499  soggetti  che  hanno  partecipato  all’esperimento?  E  qual  è  la  varianza?  

n1  =  250   n2  =  249   n  =  499  𝑥!=  66   𝑥!=  59   𝑥  =  62,50701  𝜎!=  21   𝜎!=  20    𝑛! ∙ 𝜎!!=110250   𝑛! ∙ 𝜎!!=99600   DevENTRO(X)  =  110.250  +  99.600  =  209.850       DevTRA(X)  =  (66-­‐62,50701)2  ∙  250  +  (59-­‐62,50701)2  ∙  249  =  6.112,725       Dev(X)  =  DevENTRO(X)  +  DevTRA(X)  =  209.850  +  6.112,725  =  215.962,7             𝜎!=  Dev(X)/n=215.962,7  /  499  =  432,791