Equazioni di⁄erenziali 1. a. Scrivere l™integrale generale ...

Recupero 1 compitino di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano

A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

Cognome e nome (in stampatello)_______________________________

codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________

Equazioni differenziali

1. a. Scrivere l’integrale generale dell’equazione

y′′ + 2y′ = 0.

b. Scrivere l’integrale generale dell’equazione

y′′ + 2y′ = 5ex sin (2x) .

[Nell’applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metododegli esponenziali complessi].

1

2. Risolvere il problema di Cauchyy′ = y3

xy (1) = − 1

2

precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.

Curve e integrali di linea3. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione paramet-

rica

r (t) =

(t3 +

2

t, 2√

6t

), per t ∈ [1, 2] .

Calcolare la sua lunghezza e la coordinata yc del centroide.

2

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione

f (x, y) = ey/x√x2 − y + 1

log (1− x2 − y2)

Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E (cioè espresso col minimonumero di condizioni) e averlo disegnato, dire se:

E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No

5. Si consideri la funzione:

f (x, y) =

(sinx) · log

(2x2+y2

x2+y2

)per (x, y) 6= (0, 0)

0 per (x, y) = (0, 0) .

a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.

3

6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).

f (x, y) = x3 − y3 + 2 (x− y)2

+ 3 (y − x) .

4



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.



1. Dimostrare che l’equazione

f (x, y) = ey3+2x + y5

definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1

2 , e calcolare g′ ( 1

2

).

5

2. Calcolare l’area e le coordinate del centroide di una lamina piana omoge-nea descritta da:

Ω =

(x, y) : |x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ (R− |x|)2/R

dove R > 0 è un parametro fissato. Per impostare l’integrale si richiede di fareuna figura e sfruttare le simmetrie.

3. Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solido (a forma dicono) rappresentato da:

C =

(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ h, x2 + y2 ≤ R2

( zh

)2, di densità

ρ (x, y, z) =µ

R5

(|x| z +R2

)con R, h, µ > 0 parametri fissati (aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µdi una massa). Riportare con cura impostazione e passaggi.

6

4. Si consideri il campo vettoriale

F =

(2xe−zy

(x2 + y2)2 ,e−zy

(zy2 + 2y + zx2

)(x2 + y2)

2 ,ye−zy

x2 + y2+ e−z

).

a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campoè conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.

b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di curva

r (t) =(t, t2, t3

), t ∈ [1, 2] .

5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla ro-tazione attorno all’asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni paramet-riche

x = t cos tz = t sin t

t ∈ [0, π]

e calcolarne l’elemento d’area, semplificando l’espressione ottenuta e determi-nando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l’integraledi superficie ∫ ∫

Σ

dS√x2 + y2

.

(Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l’elemento d’area di Σ a

partire dalle equazioni parametriche di γ).

7

6. Si consideri la funzione 2-periodica definita in [−1, 1] da

f (x) = sin |x|

a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria, cosaè possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa

funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere

motivando le affermazioni fatte.

b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.

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A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

Equazioni differenziali


y′′ + 2y′ = 0.


y′′ + 2y′ = 5ex sin (2x) .

[Nell’applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponen-

ziali complessi].

a.

α2 + 2α = 0

α = 0, α = −2

y (x) = c1 + c2e−2x.

b. Poiché5ex sin (2x) = Im

(5ex(1+2i)

),

cerco prima una soluzione particolare dell’equazione nel campo complesso

w′′ + 2w′ = 5ex(1+2i).

del tipo

w (x) = Aex(1+2i)

w′ (x) = A (1 + 2i) ex(1+2i)

w′′ (x) = A (1 + 2i)2ex(1+2i),

quindi

Aex(1+2i)

(1 + 2i)2

+ 2 (1 + 2i)

= 5ex(1+2i)

A −3 + 4i+ 2 + 4i = 5

A =5

−1 + 8i=

5 (−1− 8i)

65=−1− 8i

13

w (x) = −(

1 + 8i

13

)ex (cos 2x+ i sin 2x)

9

perciò una soluzione particolare dell’equazione completa di partenza è

y (x) = Im

(−(

1 + 8i

13


)=ex

13(− sin 2x− 8 cos 2x)

e l’integrale generale dell’equazione completa è

y (x) = c1 + c2e−2x +

ex

13(− sin 2x− 8 cos 2x) .


xy (1) = − 1

2


Equazione del prim’ordine a variabili separabili, soluzione costante y = 0non assume il dato di Cauchy. Per y 6= 0,∫

dy

y3=

∫dx

x

− 1

2y2= log |x|+ c

2y2 = − 1

log |x|+ c

e imponendo qui la condizione iniziale si ha

21

4= −1

c, c = −2

2y2 (x) =1

2− log |x| , y2 (x) =

1

4− 2 log |x|

Ora per scegliere se y = ±√

14−2 log|x| ragioniamo sul fatto che in y (1) < 0,

perciò

y (x) = − 1√4− 2 log |x|

definita nel più ampio intervallo contenente 1, non contenente 0, e tale che4− 2 log |x| > 0, quindi: anzitutto x > 0, inoltre

2− log x > 0 =⇒ x < e2

e l’intervallo è (0, e2

).

10

Curve e integrali di linea3. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione paramet-

rica

r (t) =

(t3 +

2

t, 2√

6t

), per t ∈ [1, 2] .


Si ha:

r′ (t) =

(3t2 − 2

t2, 2√

6

)

|r′ (t)| =√

9t4 − 12 +4

t4+ 24 =

√9t4 + 12 +

4

t4=

√(3t2 +

2

t2

)2

= 3t2 +2

t2.

l (γ) =

∫ 2

1

(3t2 +

2

t2

)dt =

[t3 − 2

t

]2

1

= 8− 1− 1 + 2 = 8.

yc =1

l (γ)

∫γ

yds =1

8

∫ 2

1

2√

6t

(3t2 +

2

t2

)dt =

√6

4

∫ 2

1

(3t3 +

2

t

)dt

=

√6

4

[3

4t4 + 2 log t

]2

1

=

√6

4

[12 + 2 log 2− 3

4

]=

√6

4

(45

4+ 2 log 2

).

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione

f (x, y) = ey/x√x2 − y + 1

log (1− x2 − y2)

Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E (cioè espresso col minimonumero di condizioni) e averlo disegnato, dire se:


x2 − y + 1 ≥ 0⇔ y ≤ x2 + 1

0 < 1− x2 − y2 6= 1⇔ 0 < x2 + y2 < 1

x 6= 0.

Le condizioni si sintetizzano così:

E =

(x, y) : x2 + y2 < 1, x 6= 0.

11



f (x, y) =

(sinx) · log

(2x2+y2

x2+y2

)per (x, y) 6= (0, 0)

0 per (x, y) = (0, 0) .


a. Si ha

|f (x, y)| ≤ |x|∣∣∣∣log

(2x2 + y2

x2 + y2

)∣∣∣∣ ,dove la funzione a secondo membro è positivamente omogenea di grado 1 econtinua fuori dall’origine, perciò tende a zero per (x, y) → (0, 0), e per ilteorema del confronto lo stesso fa f

b.f (x, 0) = (sinx) · log 2 ∼ x log 2 per x→ 0,

perciò∂f

∂x(0, 0) = log 2.

f (0, y) = 0

perciò∂f

∂y(0, 0) = 0,

in particolare f è derivabile in (0, 0) con ∇f (0, 0) = (log 2, 0)c. La differenziabilità di f in (0, 0) equivale alla condizione

g (x, y) ≡ f (x, y)− x log 2√x2 + y2

→ 0 per (x, y)→ (0, 0) .

12

Ma:

g (x, x) =(sinx) · log

(32

)− x log 2

(2x2)1/2

∼ x log (3/4)√2 |x|

→ ± log (3/4)√2

per x→ 0±.

In particolare g (x, y) non tende a zero per (x, y)→ (0, 0), e f non è differenzi-abile in (0, 0) .


f (x, y) = x3 − y3 + 2 (x− y)2

+ 3 (y − x) .

fx = 3x2 + 4 (x− y)− 3 = 0fy = −3y2 − 4 (x− y) + 3 = 0

e sommando membro a membro3(x2 − y2

)= 0 =⇒ y = ±x

3x2 + 4 (x− y)− 3 = 0

Se y = x,3x2 − 3 = 0, x = ±1.

Se y = −x,3x2 + 8x− 3 = 0, x =

1

3, x = −3

e i punti stazionari sono:

(1, 1) , (−1,−1) ,

(1

3,−1

3

), (−3, 3) .

Calcoliamo la matrice hessiana.

fxx = 6x+ 4

fxy = −4 Hf (x, y) =

[6x+ 4 −4−4 −6y + 4

]fyy = −6y + 4

Studiamo ora la natura dei punti stazionari:

Hf (1, 1) =

[10 −4−4 −2

]indefinita, punto di sella.

Hf (−1,−1) =

[−2 −4−4 10


Hf

(1

3,−1

3

)=

[6 −4−4 6

]definita positiva, punto di minimo

Hf (−3, 3) =

[−14 −4−4 −14

]definita negativa, punto di massimo

13



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.


f (x, y) = ey3+2x + y5



2

).

Si ha:

f

(1

2, y

)= ey

3+1 + y5 = 0⇐⇒ y = −1.

(Osservato che y = −1 è soluzione, il fatto che sia l’unica segue dalla monotoniadella funzione y 7→ ey

3+1 + y5).

∂f

∂y(x, y) = 3y2ey

3+2x + 5y4

∂f

∂y

(1

2,−1

)= 3 + 5 = 8 6= 0,

e per il teorema di Dini, essendo f ∈ C1(R2), f(

12 ,−1

)= 0, ∂f∂y

(12 ,−1

)6= 0,

l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una e una sola funzione y =g (x) in un intorno di x = 1

2 ; risulta g(

12

)= −1 e

g′(

1

2

)= −

∂f∂x

(12 ,−1

)∂f∂y

(12 ,−1

) .Calcoliamo perciò

∂f

∂x(x, y) = 2ey

3+2x;∂f

∂x

(1

2,−1

)= 2

g′(

1

2

)= −2

8= −1

4.


Ω =

(x, y) : |x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ (R− |x|)2/R

15

=µ

R5

∫ h

0

(∫ R zh

0

(4ρz + 2πR2

)ρ3dρ

)dz =

µ

R5

∫ h

0

(∫ R zh

0

[4

5ρ5z +

π

2R2ρ4

]R zh

0

)dz

=µ

R5

∫ h

0

(4

5

(Rz

h

)5

z +π

2R2(Rz

h

)4)dz =

µ

R5

4

5

R5

h5

∫ h

0

z6dz +π

2

R6

h4

∫ h

0

z4dz

=µ

R5

4

5

R5

h5

h7

7+π

2

R6

h4

h5

5

= µ

4

5

h2

7+π

2

Rh

5

=µ

5h

(4

7h+

π

2R

).


F =

(2xe−zy

(x2 + y2)2 ,e−zy

(zy2 + 2y + zx2

)(x2 + y2)

2 ,ye−zy

x2 + y2+ e−z

).



r (t) =(t, t2, t3

), t ∈ [1, 2] .

a.Ω =

(x, y, z) : x2 + y2 6= 0

(cioè lo spazio privato dell’asse z). Poiché Ω non è semplicemente connesso,l’unico modo di sapere se F è conservativo in Ω è cercarne un potenziale.

Ux =2xe−zy

(x2 + y2)2 ;U (x, y, z) = e−zy

∫2x

(x2 + y2)2 dx = − e−zy

x2 + y2+ f (y, z)

Uy = −∂y(

e−zy

x2 + y2

)+ fy (y, z)

= −(e−zy

(−z(x2 + y2

)− 2y

)(x2 + y2)

2

)+ fy (y, z) =

e−zy(zy2 + 2y + zx2

)(x2 + y2)

2

=⇒ fy (y, z) = 0, f (y, z) = g (z) e

U (x, y, z) = − e−zy

x2 + y2+ g (z)

Uz (x, y, z) =ye−zy

x2 + y2+ g′ (z) =

ye−zy

x2 + y2+ e−z

=⇒ g′ (z) = e−z, g (z) = −e−z + c e

U (x, y, z) = − e−zy

x2 + y2− e−z + c.

Poiché esiste un potenziale ben definito in tutto Ω, F è conservativo in tutto Ω.

17

b.

L = U (r (2))− U (r (1)) = U (2, 4, 8)− U (1, 1, 1)

=

(−e−32

20− e−8

)−(−e−1

2− e−1

)= −e

−32

20− e−8 +

3

2e−1.



t ∈ [0, π]


Σ

dS√x2 + y2

.

(Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l’elemento d’area di Σ a

partire dalle equazioni parametriche di γ).

Σ :

x = t cos t cos θy = t cos t sin θz = t sin t

t ∈ [0, π] , θ ∈ [0, 2π] .

dS = |a (t)|√a′ (t)

2+ b′ (t)

2dtdθ con

a (t) = t cos t, b (t) = t sin t

a′ (t) = cos t− t sin t

b′ (t) = sin t+ t cos t

a′ (t)2

+ b′ (t)2

= 1 + t2

dS = t |cos t|√

1 + t2dtdθ

L’elemento d’area si annulla per t = 0, t = π2 , che corrispondono ai punti singo-

lari su Σ:(0, 0, 0) ,

(0, 0,

π

2

).

∫ ∫Σ

√x2 + y2dS =

∫ 2π

0

(∫ π

0

1

t |cos t| t |cos t|√

1 + t2dt

)dθ

= 2π

∫ π

0

√1 + t2dt

18

[t = Shu; dt = Chudu]

= 2π

∫ SettShπ

0

Ch2 udu = 2π

[ChuShu+ u

2

]SettShπ

0

= 2ππ√

1 + π2 + SettShπ

2= π

(π√

1 + π2 + SettShπ).


f (x) = sin |x|

a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria, cosaè possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa

funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere

motivando le affermazioni fatte.

b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.

a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la seriedi Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fouriersaranno o (1/k).b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poiché

T = 2, ω = 2πT = π,

ak =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) cos (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) cos (kωx) dx

= 2

∫ 1

0

sinx cos (kπx) dx.

Quindi

a0 = 2

∫ 1

0

sinxdx = 2 [− cosx]10 = 2 (1− cos 1)

mentre sfruttando l’identità

sinα cosβ =1

2sin (α+ β) + sin (α− β)

si ha, per k = 1, 2, 3...

2

∫ 1

0

sinx cos (kπx) dx =

∫ 1

0

sin ((kπ + 1)x) dx+

∫ 1

0

sin ((1− kπ)x) dx

=

[−cos ((kπ + 1)x)

(kπ + 1)− cos ((1− kπ)x)

(1− kπ)

]1

0

19

= −cos (kπ + 1)

kπ + 1− cos (1− kπ)

1− kπ +1

kπ + 1+

1

1− kπ

= − (−1)k

cos 1

kπ + 1− (−1)

kcos 1

1− kπ +1

kπ + 1+

1

1− kπ

=2

1− k2π2

(1− (−1)

kcos 1

)e la serie di Fourier di f è

f (x) = (1− cos 1) +

∞∑k=1

2

1− k2π2

(1− (−1)

kcos 1

)cos (kπx)

Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 4:

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Primo appello di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano


Es. Punti

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Tot.




y′′ + 2y′ = 0.


y′′ + 2y′ = 5ex sin (2x) .



f (x, y) =

(sinx) · log

(2x2+y2

x2+y2

)per (x, y) 6= (0, 0)

0 per (x, y) = (0, 0) .



f (x, y) = x3 − y3 + 2 (x− y)2

+ 3 (y − x) .


Ω =

(x, y) : |x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ (R− |x|)2/R


21


C =

(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ h, x2 + y2 ≤ R2

( zh

)2, di densità

ρ (x, y, z) =µ

R5

(|x| z +R2



F =

(2xe−zy

(x2 + y2)2 ,e−zy

(zy2 + 2y + zx2

)(x2 + y2)

2 ,ye−zy

x2 + y2+ e−z

).



r (t) =(t, t2, t3

), t ∈ [1, 2] .


f (x) = x |x|

a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria,cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , semplificare oppor-

tunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la seriedi Fourier.

22



Es. Punti

1

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6

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Tot.




xy (1) = − 1

2


2. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione paramet-rica

r (t) =

(t3 +

2

t, 2√

6t

), per t ∈ [1, 2] .



f (x, y) = 8x4 + y4 − (x− y)2.


f (x, y) = ey3+2x + y5



2

).

23

5. Calcolare l’integrale doppio∫ ∫T

x

x+ ydxdy

dove T è il triangolo di vertici (0, 0) , (0, 2) , (1, 1), semplificando l’espressioneottenuta. Scrivere anzitutto la rappresentazione di T come dominio y-semplice.



t ∈ [0, π]


Σ

dS√x2 + y2

.

(Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l’elementod’area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ).


f (x) = sin |x|

a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria,cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourierdi f , tenendo conto del

periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenutaper i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier.

24



Es. Punti

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Tot.


y′′ + 2y′ = 0.


y′′ + 2y′ = 5ex sin (2x) .


a.

α2 + 2α = 0

α = 0, α = −2

y (x) = c1 + c2e−2x.

b. Poiché5ex sin (2x) = Im

(5ex(1+2i)

),

cerco prima una soluzione particolare dell’equazione nel campo complesso

w′′ + 2w′ = 5ex(1+2i).

del tipo

w (x) = Aex(1+2i)

w′ (x) = A (1 + 2i) ex(1+2i)

w′′ (x) = A (1 + 2i)2ex(1+2i),

quindi

Aex(1+2i)

(1 + 2i)2

+ 2 (1 + 2i)

= 5ex(1+2i)

A −3 + 4i+ 2 + 4i = 5

A =5

−1 + 8i=

5 (−1− 8i)

65=−1− 8i

13

w (x) = −(

1 + 8i

13


25

perciò una soluzione particolare dell’equazione completa di partenza è

y (x) = Im

(−(

1 + 8i

13


)=ex

13(− sin 2x− 8 cos 2x)

e l’integrale generale dell’equazione completa è

y (x) = c1 + c2e−2x +

ex

13(− sin 2x− 8 cos 2x) .


f (x, y) =

(sinx) · log

(2x2+y2

x2+y2

)per (x, y) 6= (0, 0)

0 per (x, y) = (0, 0) .


a. Si ha

|f (x, y)| ≤ |x|∣∣∣∣log

(2x2 + y2

x2 + y2

)∣∣∣∣ ,dove la funzione a secondo membro è positivamente omogenea di grado 1 econtinua fuori dall’origine, perciò tende a zero per (x, y) → (0, 0), e per ilteorema del confronto lo stesso fa f

b.f (x, 0) = (sinx) · log 2 ∼ x log 2 per x→ 0,

perciò∂f

∂x(0, 0) = log 2.

f (0, y) = 0

perciò∂f

∂y(0, 0) = 0,

in particolare f è derivabile in (0, 0) con ∇f (0, 0) = (log 2, 0)c. La differenziabilità di f in (0, 0) equivale alla condizione

g (x, y) ≡ f (x, y)− x log 2√x2 + y2

→ 0 per (x, y)→ (0, 0) .

Ma:

g (x, x) =(sinx) · log

(32

)− x log 2

(2x2)1/2

∼ x log (3/4)√2 |x|

→ ± log (3/4)√2

per x→ 0±.

26

In particolare g (x, y) non tende a zero per (x, y)→ (0, 0), e f non è differenzi-abile in (0, 0) .


f (x, y) = x3 − y3 + 2 (x− y)2

+ 3 (y − x) .

fx = 3x2 + 4 (x− y)− 3 = 0fy = −3y2 − 4 (x− y) + 3 = 0

e sommando membro a membro3(x2 − y2

)= 0 =⇒ y = ±x

3x2 + 4 (x− y)− 3 = 0

Se y = x,3x2 − 3 = 0, x = ±1.

Se y = −x,3x2 + 8x− 3 = 0, x =

1

3, x = −3


(1, 1) , (−1,−1) ,

(1

3,−1

3

), (−3, 3) .


fxx = 6x+ 4

fxy = −4 Hf (x, y) =

[6x+ 4 −4−4 −6y + 4

]fyy = −6y + 4


Hf (1, 1) =

[10 −4−4 −2


Hf (−1,−1) =

[−2 −4−4 10


Hf

(1

3,−1

3

)=

[6 −4−4 6

]definita positiva, punto di minimo

Hf (−3, 3) =

[−14 −4−4 −14

]definita negativa, punto di massimo

27


Ω =

(x, y) : |x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ (R− |x|)2/R


|Ω| = 2

∫ R

0

(R− x)2

Rdx =

2

R

∫ R

0

x2dx =2

3R2.

Per simmetria, si ha xc = 0, mentre

yc =1

|Ω|

∫ ∫Ω

ydxdy =3

2R2

∫ R

−R

(∫ (R−|x|)2/R

0

ydy

)dx =

3

2R2

∫ R

−R

(R− |x|)4

2R2dx

=3

4R42

∫ R

0

(R− x)4dx =

3

2R4

[− (R− x)

5

5

]R0

=3

2R4

R5

5=

3

10R.

28


C =

(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ h, x2 + y2 ≤ R2

( zh

)2, di densità

ρ (x, y, z) =µ

R5

(|x| z +R2


I =

∫ ∫ ∫C

ρ (x, y, z)(x2 + y2

)dxdydz =

∫ h

0

(∫ ∫x2+y2≤R2( zh )

2

µ

R5

(|x| z +R2

) (x2 + y2

)dxdy

)dz

in coordinate cilindriche

=µ

R5

∫ h

0

(∫ R zh

0

(∫ 2π

0

(ρ |cos θ| z +R2

)ρ2dθ

)ρdρ

)dz(

poiché∫ 2π

0

|cos θ| dθ = 4

∫ π/2

0

cos θdθ = 4

)

=µ

R5

∫ h

0

(∫ R zh

0

(4ρz + 2πR2

)ρ3dρ

)dz =

µ

R5

∫ h

0

(∫ R zh

0

[4

5ρ5z +

π

2R2ρ4

]R zh

0

)dz

=µ

R5

∫ h

0

(4

5

(Rz

h

)5

z +π

2R2(Rz

h

)4)dz =

µ

R5

4

5

R5

h5

∫ h

0

z6dz +π

2

R6

h4

∫ h

0

z4dz

=µ

R5

4

5

R5

h5

h7

7+π

2

R6

h4

h5

5

= µ

4

5

h2

7+π

2

Rh

5

=µ

5h

(4

7h+

π

2R

).


F =

(2xe−zy

(x2 + y2)2 ,e−zy

(zy2 + 2y + zx2

)(x2 + y2)

2 ,ye−zy

x2 + y2+ e−z

).



r (t) =(t, t2, t3

), t ∈ [1, 2] .

a.Ω =

(x, y, z) : x2 + y2 6= 0

29

(cioè lo spazio privato dell’asse z). Poiché Ω non è semplicemente connesso,l’unico modo di sapere se F è conservativo in Ω è cercarne un potenziale.

Ux =2xe−zy

(x2 + y2)2 ;U (x, y, z) = e−zy

∫2x

(x2 + y2)2 dx = − e−zy

x2 + y2+ f (y, z)

Uy = −∂y(

e−zy

x2 + y2

)+ fy (y, z)

= −(e−zy

(−z(x2 + y2

)− 2y

)(x2 + y2)

2

)+ fy (y, z) =

e−zy(zy2 + 2y + zx2

)(x2 + y2)

2

=⇒ fy (y, z) = 0, f (y, z) = g (z) e

U (x, y, z) = − e−zy

x2 + y2+ g (z)

Uz (x, y, z) =ye−zy

x2 + y2+ g′ (z) =

ye−zy

x2 + y2+ e−z

=⇒ g′ (z) = e−z, g (z) = −e−z + c e

U (x, y, z) = − e−zy

x2 + y2− e−z + c.

Poiché esiste un potenziale ben definito in tutto Ω, F è conservativo in tutto Ω.b.

L = U (r (2))− U (r (1)) = U (2, 4, 8)− U (1, 1, 1)

=

(−e−12

20− e−8

)−(−e−1

2− e−1

)= −e

−12

20− e−8 +

3

2e−1.


f (x) = x |x|

a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria,cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , semplificare oppor-

tunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la seriedi Fourier.

a. La funzione periodizzata è regolare a tratti ma discontinua. Perciò laserie di Fourier di f , in [−1, 1], converge puntualmente a f ovunque tranne in±1, dove converge a 0. I coeffi cienti di Fourier saranno o (1) ma non o (1/k) .

30

b. La funzione è dispari, perciò ak = 0. Poiché T = 2, ω = 2πT = π,

bk =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) sin (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) sin (kωx) dx = 2

∫ 1

0

x2 sin (kπx) dx

= 2

[−x

2 cos (kπx)

kπ

]1

0

+

∫ 1

0

2x cos (kπx)

kπdx

= 2

−cos (kπ)

kπ+

2

kπ

∫ 1

0

x cos (kπx) dx

= −2 cos (kπ)

kπ+

4

kπ

[x sin (kπx)

kπ

]1

0

−∫ 1

0

sin (kπx)

kπdx

= −2 cos (kπ)

kπ− 4

(kπ)2

[−cos (kπx)

kπ

]1

0

= −2 cos (kπ)

kπ+

4

(kπ)3 (cos (kπ)− 1) .

La serie di Fourier di f è

f (x) =

∞∑k=1

−2 cos (kπ)

kπ+

4

(kπ)3 (cos (kπ)− 1)

sin (kπx) .


31



Es. Punti

1

2

3

4

5

6

7

Tot.


xy (1) = − 1

2


Equazione del prim’ordine a variabili separabili, soluzione costante y = 0non assume il dato di Cauchy. Per y 6= 0,∫

dy

y3=

∫dx

x

− 1

2y2= log |x|+ c

2y2 = − 1

log |x|+ c

e imponendo qui la condizione iniziale si ha

21

4= −1

c, c = −2

y2 (x) =1

2− log |x|

Ora per scegliere se y = ±√

12−log|x| ragioniamo sul fatto che in y (1) < 0, perciò

y (x) = − 1√2− log |x|

definita nel più ampio intervallo contenente 1, non contenente 0, e tale che2− log |x| > 0, quindi: anzitutto x > 0, inoltre

2− log x > 0 =⇒ x < e2

32

e l’intervallo è (0, e2

).

2. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione paramet-rica

r (t) =

(t3 +

2

t, 2√

6t

), per t ∈ [1, 2] .


Si ha:

r′ (t) =

(3t2 − 2

t2, 2√

6

)

|r′ (t)| =√

9t4 − 12 +4

t4+ 24 =

√9t4 + 12 +

4

t4=

√(3t2 +

2

t2

)2

= 3t2 +2

t2.

l (γ) =

∫ 2

1

(3t2 +

2

t2

)dt =

[t3 − 2

t

]2

1

= 8− 1− 1 + 2 = 8.

yc =1

l (γ)

∫γ

yds =1

8

∫ 2

1

2√

6t

(3t2 +

2

t2

)dt =

√6

4

∫ 2

1

(3t3 +

2

t

)dt

=

√6

4

[3

4t4 + 2 log t

]2

1

=

√6

4

[12 + 2 log 2− 3

4

]=

√6

4

(45

4+ 2 log 2

).


f (x, y) = 8x4 + y4 − (x− y)2.

fx = 32x3 − 2 (x− y) = 0fy = 4y3 + 2 (x− y) = 0

e sommando membro a membro32x3 + 4y3 = 0 =⇒ y3 = −8x3 =⇒ y = −2x2(−8x3

)+ x+ 2x = 0

3x− 16x3 = 0 =⇒ x = 0 o x2 =3

16, x = ±

√3

4


(0, 0) ,

(√3

4,−√

3

2

),

(−√

3

4,

√3

2

).

33


fxx = 96x2 − 2

fxy = 2 Hf (x, y) =

[96x2 − 2 2

2 12y2 − 2

]fyy = 12y2 − 2


Hf (0, 0) =

[−2 22 −2

]semidefinita, caso dubbio.

Hf

(±√

3

4,∓√

3

2

)=

[16 22 7

]definita positiva, punto di minimo.

Per quanto riguarda il caso dubbio: studiamo il punto con la tecnica dellerestrizioni:

f (x, x) = 9x4

e lungo questa retta (0, 0) è punto di minimo;

f (0, y) = y4 − y2 ∼ −y2,

perciò lungo questa retta (0, 0) è punto di massimo. Quindi il punto è di sella.


f (x, y) = ey3+2x + y5



2

).

Si ha:

f

(1

2, y

)= ey

3+1 + y5 = 0⇐⇒ y = −1.

(Osservato che y = −1 è soluzione, il fatto che sia l’unica segue dalla monotoniadella funzione y 7→ ey

3+1 + y5).

∂f

∂y(x, y) = 3y2ey

3+2x + 5y4

∂f

∂y

(1

2,−1

)= 3 + 5 = 8 6= 0,

e per il teorema di Dini, essendo f ∈ C1(R2), f(

12 ,−1

)= 0, ∂f∂y

(12 ,−1

)6= 0,

l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una e una sola funzione y =g (x) in un intorno di x = 1

2 ; risulta g(

12

)= −1 e

g′(

1

2

)= −

∂f∂x

(12 ,−1

)∂f∂y

(12 ,−1

) .34

Calcoliamo perciò

∂f

∂x(x, y) = 2ey

3+2x;∂f

∂x

(1

2,−1

)= 2

g′(

1

2

)= −2

8= −1

4.

5. Calcolare l’integrale doppio∫ ∫T

x

x+ ydxdy

dove T è il triangolo di vertici (0, 0) , (0, 2) , (1, 1), semplificando l’espressioneottenuta. Scrivere anzitutto la rappresentazione di T come dominio y-semplice.

T = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2− x .

∫ ∫T

x

x+ ydxdy =

∫ 1

0

(∫ 2−x

x

x

x+ ydy

)dx

=

∫ 1

0

x(

[log (x+ y)]2−xx

)dx

=

∫ 1

0

x (log 2− log (2x)) dx = −∫ 1

0

x log xdx

= −[

x2

2log x

]1

0

−∫ 1

0

x2

2

1

xdx

=

∫ 1

0

x

2dx =

1

4.



t ∈ [0, π]


Σ

dS√x2 + y2

.

(Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l’elementod’area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ).

35

Σ :

x = t cos t cos θy = t cos t sin θz = t sin t

t ∈ [0, π] , θ ∈ [0, 2π] .

dS = |a (t)|√a′ (t)

2+ b′ (t)

2dtdθ con

a (t) = t cos t, b (t) = t sin t

a′ (t) = cos t− t sin t

b′ (t) = sin t+ t cos t

a′ (t)2

+ b′ (t)2

= 1 + t2

dS = t |cos t|√

1 + t2dtdθ

L’elemento d’area si annulla per t = 0, t = π2 , che corrispondono ai punti singo-

lari su Σ:(0, 0, 0) ,

(0, 0,

π

2

).

∫ ∫Σ

√x2 + y2dS =

∫ 2π

0

(∫ π

0

1

t |cos t| t |cos t|√

1 + t2dt

)dθ

= 2π

∫ π

0

√1 + t2dt

[t = Shu; dt = Chudu]

= 2π

∫ SettShπ

0

Ch2 udu = 2π

[ChuShu+ u

2

]SettShπ

0

= 2ππ√

1 + π2 + SettShπ

2= π

(π√

1 + π2 + SettShπ).


f (x) = sin |x|

a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria,cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourierdi f , tenendo conto del

periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenutaper i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier.

a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la seriedi Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fouriersaranno o (1/k).

36

b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poichéT = 2, ω = 2π

T = π,

ak =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) cos (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) cos (kωx) dx

= 2

∫ 1

0

sinx cos (kπx) dx.

Quindi

a0 = 2

∫ 1

0

sinxdx = 2 [− cosx]10 = 2 (1− cos 1)

mentre sfruttando l’identità

sinα cosβ =1

2sin (α+ β) + sin (α− β)

si ha, per k = 1, 2, 3...

2

∫ 1

0

sinx cos (kπx) dx =

∫ 1

0

sin ((kπ + 1)x) dx+

∫ 1

0

sin ((1− kπ)x) dx

=

[−cos ((kπ + 1)x)

(kπ + 1)− cos ((1− kπ)x)

(1− kπ)

]1

0

= −cos (kπ + 1)

kπ + 1− cos (1− kπ)

1− kπ +1

kπ + 1+

1

1− kπ

= − (−1)k

cos 1

kπ + 1− (−1)

kcos 1

1− kπ +1

kπ + 1+

1

1− kπ

=2

1− k2π2

(1− (−1)

kcos 1

)e la serie di Fourier di f è

f (x) = (1− cos 1) +

∞∑k=1

2

1− k2π2

(1− (−1)

kcos 1

)cos (kπx)


37

Equazioni di⁄erenziali 1. a. Scrivere l™integrale generale ...

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