Equazioni Di erenziali - unipa.it differenziali... · presenti derivate ordinarie (totali). alle...

Università degli Studi diPalermo

Corso di laurea in Ingegneria Civile

Equazioni Di�erenziali

Tutor: Dott. Fabio F. G. Calabrese

A.A. 2008- �09

Supervisor:Assessor:

Indice

Indice i

Prefazione ii

1 Introduzione 11.1 Esempi di interesse �sico di equazioni di¤erenziali alle derivate

parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Equazioni di¤erenziali ordinarie lineari 3

3 Equazioni di¤erenziali lineari del primo ordine 53.1 Equazione omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Equazione non omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Esempio: Moto di un corpo che cade in un mezzo viscoso . . . . . 73.4 Esempio: Circuito RL serie con V (t) = Vo sen!t . . . . . . . . . 103.5 Metodo dell�angolo aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Equazioni di¤erenziali del secondo ordine a coe¢ cienti costanti 164.1 Equazione omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Equazione non omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Esempio: Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3.1 Soluzione omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.2 Oscillazioni con forzante F = Fo cos (!t+ �) - Metodo

degli esponenziali complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Caduta di un corpo in un mezzo viscoso - Regime idraulico 27

Bibliogra�a 34

i

Prefazione

Il presente scritto consiste nelle dispense relative alla prima parte delle eserci-tazioni da me tenute, del corso di Meccanica razionale del prof. F. Bagarello.Il corso e le esercitazioni sono stati svolte nell�anno accademico 2008-�09

agli studenti dei Corsi di studio in Ingegneria civile e Ingegneria aerospazialedell�Università degli studi di Palermo.Queste dispense sono la versione corretta e ampliata di quelle dell�a.a. 2007-

�08. Sono disponibili su internet all�indirizzo:http://www.unipa.it/~bagarell/didattica/attivitadidattica.htm

Questo scritto può essere liberamente copiato e/o distribuito con gli unicivincoli che ciò sia fatto:- senza �ni commerciali- senza modi�che e integralmente- citando la fonte

Sarò grato per ogni commento o segnalazione di errori; essi potranno esserefatti pervenire all�indirizzo: [email protected] ogni commento sul corso il referente è il titolare del medesimo, raggiun-

gibile all�indirizzo: [email protected].

Sperando di avere fatto opera gradita, auguro al lettore uno studio fruttuoso.

Palermo, gennaio 2009Fabio F. G. Calabrese

ii

Capitolo 1

Introduzione

Indichiamo con equazione di¤erenziale un�equazione in cui l�incognita è una

funzione, presente nell�equazione con le sue derivate.

Le equazioni di¤erenziali sono dette:

� ordinarie: se l�incognita è una funzione di una sola variabile, quindi sonopresenti derivate ordinarie (totali).

� alle derivate parziali: se l�incognita è una funzione di più variabili, quindisono presenti derivate parziali.

Chiamiamo ordine dell�equazione di¤erenziale l�ordine massimo delle derivate

presenti.

1.1 Esempi di interesse �sico di equazioni dif-

ferenziali alle derivate parziali

Si de�nisce operatore laplaciano (scalare):

r2u def=

@2u

@x2+@2u

@y2+@2u

@z2(1.1)

con u = u (x; y; z) :

1. Equazione di Poisson per il potenziale elettrostatico V = V (x; y; z):

r2V = � 1"o� (1.2)

con � = � (x; y; z) densità di carica elettrica.

1

1. Introduzione 2

2. Equazione scalare delle onde (meccaniche, elettromagnetiche, ecc) con ampiez-

za dell�onda scalare, o della singola componente vettoriale, u = u (x; y; z; t):

r2u� 1

v2@2u

@t2= f (1.3)

dove f = f (x; y; z; t) è il termine di sorgente e v la velocità di propagazione

dell�onda.

3. Equazione di conduzione del calore, per il campo di temperature T =

T (x; y; z; t) all�interno di un solido omogeneo e isotropo:

ar2T � @T

@t= �q (1.4)

dove a è detto coe¢ ciente di di¤usione ed è caratteristico del materiale in esame

e q = q (x; y; z; t) è il calore fornito dalla sorgente per unità di tempo e volume.

Capitolo 2

Equazioni di¤erenziali ordinarielineari

Ci occuperemo da adesso soltanto delle equazioni di¤erenziali ordinarie. Più

speci�camente ci limiteremo, per semplicità, alle equazioni lineari. Esse possono

essere sempre messe nella forma:

hn (x) y(n) + hn�1 (x) y

(n�1) + :::+ h1 (x) y0 + h0 (x) y = w (x) (2.1)

w (x) è detto termine di inomogeneità o forzante. Ci limitiamo ulteriormente a

prendere in esame il caso in cui tutte le funzioni in gioco siano funzioni reali di

una variabile reale.

I punti in cui hn (x) = 0 sono singolari, in quanto riducono l�ordine del-

l�equazione; studiamo allora l�equazione in un intervallo in cui hn (x) 6= 0.

Dividendo ambo i membri per hn (x) l�equazione può scriversi:

y(n) + fn�1 (x) y(n�1) + :::+ f1 (x) y

0 + f0 (x) y = g (x) (2.2)

Se g (x) = 0 l�equazione di¤erenziale è detta omogenea:

y(n) + fn�1 (x) y(n�1) + :::+ f1 (x) y

0 + f0 (x) y = 0 (2.3)

Teorema 1 Teorema di esistenza e unicità - Equazione omogenea:Sia I un intervallo aperto e siano f0 (x) ; :::; fn�1 (x) funzioni continue su I

chiusura di I. La (2.3) ammette una e una sola soluzione y = f (x) in I che

soddis� le condizioni iniziali:

f (x0) = f0 ; f 0 (x0) = f1 ; ::: ; f (n�1) (x0) = fn�1 (2.4)

con f0 ; f1 ; :::; fn�1 numeri reali e x0 2 I.

3

2. Equazioni di¤erenziali ordinarie lineari 4

Si noti che la soluzione è almeno di classe Cn (I), infatti, essendo soluzioneammette almeno derivata n-ma e inoltre questa è continua perché può essere

scritta tramite la (2.2) come somma e moltiplicazione di funzioni continue.

Si vede agevolmente che a causa della linearità dell�equazione lo spazio delle

soluzioni è uno spazio vettoriale, inoltre1 dal teorema di esistenza e unicità che

tale spazio ha dimensione n. Quindi se u1 (x) ; :::; un (x) sono indipendenti (nel

senso dell�algebra lineare, ossia che nessuna funzione sia ottenibile come sovrap-

posizione lineare delle altre funzioni) ogni soluzione dell�equazione omogenea può

scriversi:

u (x) =nXi=1

ciui (x) (2.5)

con ci costanti. Essa è la soluzione generale dell�equazione omogenea.

Il problema, quindi, è determinare le ui. Una volta determinata la soluzione

generale, la soluzione speci�ca sarà ottenuta in modo unico imponendo nella

(2.5) le condizioni iniziali (2.4).

In particolare per le condizioni iniziali:

f (x0) = 0 ; f 0 (x0) = 0 ; ::: ; f (n�1) (x0) = 0 (2.6)

la (2.3) ammette sempre la soluzione banale y (x) = 0.

Teorema 2 Teorema di esistenza e unicità - Equazione non omogenea:Sia I un intervallo aperto e siano f0 (x) ; :::; fn�1 (x) ; g (x) ; funzioni continue su

I. Supponendo che u1 (x) ; :::; un (x) siano soluzioni indipendenti della (2.3),

omogenea associata alla (2.2), e che v(x) sia una soluzione particolare della non

omogenea, la soluzione generale di quest�ultima può scriversi:

y (x) =

nXi=1

ciui (x) + v (x) (2.7)

per ogni x 2 I, con ci 2 R.

La dimostrazione si ottiene immediatamente considerando che y�v è soluzionedell�omogenea di cui conosciamo la soluzione generale.

Richiamiamo per referenza che esiste un metodo generale, il metodo della

variazione dei parametri, che permette di determinare sempre una soluzione

particolare della non omogenea a partire dalla soluzione generale dell�omogenea.1Cfr. ad es. [4] p. 36.

Capitolo 3

Equazioni di¤erenziali lineari delprimo ordine

Le equazioni di¤erenziali lineari del primo ordine sono dunque nella forma:

y0 + f (x) y = g (x) (3.1)

con omogenea associata:

y0 + f (x) y = 0 (3.2)

Consideriamo qui il caso in cui f (x) e g (x) siano continue in modo che siano

veri�cate le ipotesi del teorema di esistenza e unicità.

3.1 Equazione omogenea

L�equazione omogenea può scriversi:

dy

dx= �f (x) y (3.3)

da cui per y 6= 0:dy

y= �f (x) dx (3.4)Z y(x)

y(xo)

dy

y= �

Z x

xo

f (x0) dx0 (3.5)

de�nendo adesso:

A (x)def=

Z x

xo

f (x0) dx0 (3.6)

5

3. Equazioni di¤erenziali lineari del primo ordine 6

in un intervallo in cui tale integrale sia �nito, e scegliendo y (xo)def= yo 6= 0 si ha:

ln

��y (x)yo

�� = �A (x) (3.7)

ossia:

jy (x)j = jyoj e�A(x) (3.8)

dovendo inoltre essere y (xo) = yo e y (x) continua, e visto che essa non si annulla

mai, questo è equivalente a dire:

y (x) = yoe�A(x) (3.9)

Si noti che essendo A (xo) = 0 tale soluzione e¤ettivamente ammette y (xo) = yo;

inoltre nel caso in cui y (xo) = yo = 0 la (3.9) prevede anche la soluzione banale.

In conclusione per il teorema di esistenza e unicità la (3.9) al variare di yo in

R descrive tutte e sole le soluzioni dell�equazione omogenea, in particolare nonci sono altre soluzioni con y = 0 all�infuori di quella banale.

3.2 Equazione non omogenea

Determineremo adesso la direttamente la soluzione generale della non omogenea,

senza passare da una soluzione particolare.

Sia y (x) la soluzione che cerchiamo della (3.1), allora:

y0 (x) + f (x) y (x) = g (x) (3.10)

pongo:

B (x)def= y (x) eA(x) (3.11)

derivando e usando la (3.10) e la derivata della (3.6) si ha:

B0 (x) = y0 (x) eA(x) + y (x)A0 (x) eA(x) =

= [y0 (x) + y (x) f (x)] eA(x) = (3.12)

= g (x) eA(x)

che può essere integrata:

B (x) = B (xo) +

Z x

xo

g (t) eA(t)dt (3.13)


e sostituendo la (3.11):

y (x) eA(x) = y (xo) e0 +

Z x

xo

g (t) eA(t)dt (3.14)

In�ne ponendo y (xo) = yo si ha:

y (x) = yoe�A(x) + e�A(x)

Z x

xo

g (t) eA(t)dt (3.15)

Abbiamo così ottenuto per costruzione tutte e sole le soluzioni cercate. Che

tali soluzioni rispettino il teorema di esistenza e unicità, discende direttamente

dall�osservazione che il primo termine del secondo membro è la soluzione generale

dell�omogenea e che il secondo termine, come si può veri�care per calcolo diretto,

è una soluzione particolare della non omogenea.

3.3 Esempio: Moto di un corpo che cade in un

mezzo viscoso

Questo paragrafo consiste nella discussione dell�esercizio 7 di p. 105 del libro

di testo [1]. In questo caso si è scelto il simbolo per indicare il coe¢ ciente di

attrito viscoso (si indicherà nel paragrafo 5 con � il coe¢ ciente relativo al regime

idraulico), mentre col simbolo k si indicherà nei paragra� successivi la costante

elastica di una molla.

Consideriamo un oggetto di massa m che si muova unidimensionalmente

soggetto ad una forza agente esterna Fa (t) all�interno di un mezzo viscoso, che

o¤re una resistenza proporzionale alla velocità: Fv = � v.L�equazione del moto di Newton in questo caso si scrive:

Fa (t)� v = ma (3.16)

questa equazione può essere pensata come una equazione di¤erenziale lineare del

primo ordine per la velocità:

_v +

mv =

Fa (t)

m(3.17)

Essa può essere risolta con la tecnica sopra esposta; successivamente si può

integrare la velocità così trovata per determinare la posizione.


Speci�chiamo adesso la forza agente supponendo che l�oggetto pesante ven-

ga lasciato immergere in un liquido viscoso partendo da fermo, sotto l�e¤etto

del proprio peso. Considerando come positivo il verso delle altezze crescenti

l�equazione del moto si scrive:

_v +

mv = �g (3.18)

e seguendo la tecnica precedentemente esposta:

A (t)def=

Z t

o

mdt0 =

mt (3.19)

B (t)def= ve

mt (3.20)

B0 (t) = _ve mt +

mve

mt =

�_v +

mv�e mt = �ge

mt (3.21)

B (t) = B (0)� gZ t

o

e mt0dt0 (3.22)

ve mt = 0� m

g�e mt � 1

�(3.23)

v (t) = �mg +mg

e�

mt (3.24)

Il signi�cato di questa descrizione è il seguente: inizialmente l�oggetto è fer-

mo, la (3.18) all�istante iniziale indica che l�accelerazione iniziale è g verso il

basso. Appena l�oggetto inizia a muoversi entra in gioco la forza di attrito vis-

coso che cresce al crescere della velocità, la (3.24) ci dice che al passare del

tempo la velocità cresce sempre di meno e tende al valore limite mg= . Il tempo

caratteristico in cui ciò avviene è:

�def=

m

(3.25)

nell�istante t = � la velocità è 1�e�1 ' 63% della velocità �nale; dopo un tempot = 3� invece la velocità ha raggiunto il 95% della velocità �nale.

Si noti come al decrescere della viscosità o al crescere della massa crescano

parallelamente sia la velocità limite che tale tempo caratteristico, non si avrà

di¢ coltà a immaginare tale fenomeno.

Nel caso che avessimo considerato una velocità iniziale non nulla vo la (3.22)

avrebbe dato:

ve mt = vo �

m

g�e mt � 1

�(3.26)


e usando la de�nizione di � :

v (t) = voe� t� � g�

�1� e� t

�

�=

= �g� + (vo + g�) e�t� (3.27)

col medesimo valore limite per la velocità, cioè:

vvis1 = g� = gm

(3.28)

in�ne utilizzando questo ulteriore parametro del sistema la velocità può scriversi:

v (t) = �vvis1 +�vo + vvis1

�e�

t� (3.29)

Come si può vedere, qualunque sia la velocità iniziale, si ha v (1) = �vvis1 ; se�vvis1 < vo < 0 la velocità crescerà in valore assoluto verso tale valore, se invece

vo < �vvis1 essa decrescerà. Nel caso in cui vo > 0 si avrà v (t) > 0 �no ad un

tempo et per cui v �et � = 0 e successivamente sarà v (t) < 0. Si ricava dalla (3.29)che per v = 0:

eet� =

vo + vvis1vvis1

(3.30)

da cui: et = � ln

�1 +

vovvis1

�(3.31)

La distanza coperta si può adesso ottenere integrando la (3.29):

�s (t) =

Z t

0

h�vvis1 +

�vo + vvis1

�e�

t0�

idt0 =

= �vvis1 t+�vo + vvis1

� h��e� t0

�

it0= (3.32)

= �vvis1 t+�vo + vvis1

��1� e� t

�

�

Esempio 3 Ra¤reddamento di un oggetto a contatto con un termostato

Consideriamo il caso in cui un oggetto a temperatura T sia messo a contatto

con un termostato a temperatura Tter (es. un edi�cio a contatto con l�aria o un

oggetto di acciaio incandescente che viene temprato). L�equazione del calore, in

questo semplice caso, può essere formulata dicendo che la temperatura del corpo


tende a quella del termostato, con una velocità proporzionale alla di¤erenza di

temperatura fra oggetto e termostato:

dT (t)

dt= c (Tter � T ) (3.33)

con c > 0. Ossia:dT (t)

dt+ cT (t) = cTter (3.34)

Essa è formalmente identica alla (3.18) che riscriviamo:

_v +v

�= �g (3.35)

se facciamo corrispondere alla temperatura T la velocità v, e inoltre a:

c ! 1

�(3.36)

cTter ! �g (3.37)

da cui:

�g� = �vvis1 ! Tter (3.38)

la soluzione (3.29) quindi si scrive:

T (t) = Tter + [T (0)� Tter] e�ct (3.39)

che indica una temperatura che si avvicina esponenzialmente alla temperatura

del termostato.

3.4 Esempio: Circuito RL serie con V (t) = Vo sen!t

Un circuito con generatore di tensione V = V (t), resistenza R e induttanza L

posti in serie è retto dall�equazione alla maglia:

V (t)�Ri� Ldidt= 0 (3.40)

ossia:di

dt+R

Li =

V (t)

L(3.41)

Si noti che anche questa equazione è formalmente identica alla (3.17) di p. 7,

di un corpo immerso in un �uido viscoso. Alla velocità corrisponde l�intensità di

corrente, alla forza la di¤erenza di potenziale, alla costante di attrito viscoso la

resistenza elettrica e alla massa l�induttanza.


Se la corrispondenza fra e R appare intuitiva, essa infatti è �sicamente

il fattore dissipativo (proporzionale a v $ i), è interessante notare come L

rappresenti un fattore inerziale, esso si oppone, infatti, proporzionalmente alla

variazione di i.

Se adesso riscriviamo la soluzione relativa a vo = 0 (3.24), tenendo conto che

�mg = Fa:

v (t) =Fa

�1� e�

mt�

(3.42)

da questa analogia traiamo subito che chiudendo all�istante t = 0 l�interruttore di

un circuito RL serie con generatore di tensione costante Vo, la corrente all�interno

del circuito seguirà la legge:

i (t) =VoR

�1� e� t

�

�(3.43)

dove abbiamo posto:

� =L

R(3.44)

la corrente è quindi inizialmente nulla, cresce rapidamente in principio, sempre

più lentamente dopo, tendendo al valore limite i (1) = Vo=R. Per t � � la

corrente non essendo praticamente più variabile cortocircuita l�induttanza.

Studiamo adesso il caso in cui il circuito vada soggetto a una di¤erenza di

potenziale del tipo:

V (t) = Vo sen!t (3.45)

L�equazione di¤erenziale del circuito allora si scrive:

di

dt+1

�i =

VoLsen!t (3.46)

essa è nella forma della (3.10) p. 6. La de�nizione (3.6) in questo caso si scrive:

A (t)def=

Z t

0

1

�dt0 =

t

�(3.47)

e la soluzione (3.15):

i (t) = ioe� t� + e�

t�

Z t

0

VoLsen!t0 e

t0� dt0 (3.48)

Calcoliamo adesso questo integrale per parti, dalla primitiva di et� :Z t

0

sen!t0 et0� dt0 =

hsen!t0 �e

t0�

it0�Z t

0

! cos!t0 � et0� dt0 (3.49)


integriamo nuovamente per parti:Z t

0

sen!t0 et0� dt0 = sen!t �e

t� � !�

�hcos!t0 �e

t0�

it0+

Z t

0

! sen!t0 �et0� dt0

�=

= sen!t �et� � !� 2

�cos!t e

t� � 1

�� !2� 2

Z t

0

sen!t0 et0� dt0(3.50)

portando adesso l�integrale a primo membro e mettendolo in evidenza si ha:Z t

0

sen!t0 et0� dt0 =

1

1 + !2� 2

hsen!t �e

t� � !� 2cos!t e t� + !� 2

i(3.51)

così:

i (t) = ioe� t� +

VoL

1

1 + !2� 2

h� sen!t� !� 2 cos !t+ !� 2e�

t�

i=

=

�io +

VoL

!� 2

1 + !2� 2

�e�

t� +

VoL

�

1 + !2� 2[sen!t� !� cos !t] (3.52)

Notiamo anche in questo caso una soluzione composta da un termine che

decade esponenzialmente e uno che permane nel tempo; il primo viene indicato

come transiente il secondo come soluzione stazionaria.

Disinteressiamoci adesso al transiente e, ricordando che � = L=R, scriviamo:

i (t) =VoR

1

1 + !2� 2[sen!t� !� cos !t] (3.53)

Si noti che per L! 0 (� ! 0) troviamo:

i (t) =VoRsen!t (3.54)

che è correttamente la legge di Ohm. Moltiplichiamo adesso la (3.53) per R=R:

i (t) = Vo1

R2 + !2L2[R sen!t� !L cos !t] (3.55)

essa per R! 0 diventa:

i (t) = � Vo!L

cos !t (3.56)

Si noti come la corrente circolante nel circuito puramente induttivo è in ritardo

di �=2, infatti � cos !t = sen (!t� �=2).


3.5 Metodo dell�angolo aggiunto

Introduciamo adesso una semplice tecnica che permette di scrivere somme di

termini in seno e coseno dello stesso argomento, come la (3.55), in termini di

una sola delle due funzioni trigonometriche, es. seno.

L�idea è quella di riscrivere a sen!t+b cos !t in modo da utilizzare la regola

di somma:

cos � sen!t+ sen� cos !t = sen (!t+ �) (3.57)

tentiamo allora ponendo:

a = c cos � (3.58)

b = c sen� (3.59)

in modo da avere:

a sen!t+ b cos !t = c cos � sen!t+ c sen� cos !t = (3.60)

= c sen (!t+ �) (3.61)

Interpretiamo adesso quindi le (3.58) e (3.59) come un sistema di incognite c e

� e termini noti a e b. Il modo più semplice per risolvere il sistema consiste nel

quadrare e sommare membro a membro per determinare c:

a2 + b2 = c2 cos2 �+ c2 sen2� = c2 (3.62)

c = �pa2 + b2 (3.63)

invece per determinare � si può dividere membro a membro (3.59) e (3.58) e

trovare:c sen�

c cos �= tan� =

b

a(3.64)

se a 6= 0.Naturalmente a = 0 corrisponde alla soluzione banale b cos !t = b sen (!t+ �=2)

(ossia c = b, � = �=2). Nel caso che fosse b < 0 e volessimo c > 0 potremmo

scrivere:

b cos !t = � jbj cos (!t) = jbj cos (!t� �) = jbj sen (!t� �=2) (3.65)

Non ci interesseremo oltre a questo caso.


Cerchiamo adesso soluzioni che appartengano al ramo ]��=2; �=2 [ dellatangente, ossia scegliamo:

��2< � <

�

2(3.66)

e quindi:

� = arctanb

a(3.67)

In questo caso cos� > 0 e dalla (3.58) segue che dobbiamo scegliere c concorde

con a.

Con questa posizione il problema può dirsi risolto; è però spesso comodo

esprimere la regola utilizzando c positivi, e questa sarà la scelta adottata d�ora

in poi. Nel caso quindi che c < 0 (in quanto a < 0) si può scrivere:

c sen (!t+ �) = jcj sen (!t+ �+ �) = jcj sen (!t+ ) (3.68)

con:

= �+ � (3.69)�

2< <

3

2� (3.70)

Riassumendo possiamo scrivere:

a sen!t+ b cos !t = c sen (!t+ �)

per: c =pa2 + b2

e:

(� = arctan b

a; se a > 0

� = arctan ba+ �; se a < 0

(3.71)

Si noti che la (3.68) è anche il motivo per cui la scelta di segno di c è equivalente a quella

del ramo della tangente. Si sarebbe potuto alternativamente scegliere �n dal principio c > 0 e

determinare dalla (3.58):(a > 0; ��

2< � <�

2=) arctan b

a= �

a < 0; �2< � <3

2� =) arctan b

a= �+ �

(3.72)

Con questo metodo la soluzione stazionaria del circuito RL assume la forma:

i (t) =Vop

R2 + !2L2sen (!t+ �) (3.73)


dove:

� = � arctan !LR

(3.74)

Si notino le condizioni limite L = 0 =) � = 0: circuito resistivo, nessuno sfasa-

mento; R = 0 =) � = � arctan (+1) = ��=2: circuito puramente induttivo,sfasamento di �=2 in ritardo.

Citiamo in�ne per referenza che nella teoria dei circuiti questa tecnica o

quella degli esponenziali complessi che a¤ronteremo a breve, sono alla base della

de�nizione di impedenza; ci disinteresseremo qui di tali sviluppi.

Capitolo 4

Equazioni di¤erenziali delsecondo ordine a coe¢ cienticostanti

Per quanto concerne le equazioni di¤erenziali del secondo ordine, si deve dire che

non esiste una regola generale che permetta di determinarne le soluzioni; esse

vengono studiate accorpandole in famiglie dalle caratteristiche speci�che.

La famiglia più semplice che si può considerare è quella delle equazioni lineari

a coe¢ cienti costanti: per questa famiglia esiste una soluzione generale in ter-

mini di funzioni elementari che considereremo in questo paragrafo. Ad esempio

l�oscillatore armonico, avendo equazione:

m�x = �kx (4.1)

appartiene a questa categoria.

Allentando la richiesta che i coe¢ cienti siano costanti o che l�equazione sia

lineare, in generale non è più possibile scrivere la soluzione in termini di funzioni

elementari, così, capovolgendo la prospettiva, tali equazioni possono essere usate

per de�nire funzioni di cui non esiste una espressione in termini di funzioni ele-

mentari. Tali funzioni sono dette funzioni speciali e lo studio delle loro proprietà

è uno dei campi tradizionali di studio dell�analisi e della �sica matematica. Casi

apparentemente semplici come il pendolo, con equazione:

l�� = �g sen �

appartengono a questa più ampia famiglia.

16

4. Equazioni di¤erenziali del secondo ordine a coe¢ cienti costanti 17

Come premesso ci si interesseremo adesso al semplice caso in cui l�equazione

sia lineare ed i coe¢ cienti siano costanti:

y00 + ay0 + by = g (x) (4.2)

Supporremo che g (x) sia continua su R. Tale equazione ha omogenea associata:

y00 + ay0 + by = 0 (4.3)

Di quest�ultima si può ottenere la soluzione generale secondo lo schema

seguente:

4.1 Equazione omogenea

Si de�nisce equazione caratteristica l�equazione algebrica:

�2 + a�+ b = 0 (4.4)

essa ha come discriminante:

� = a2 � 4b (4.5)

1. Se � = 0 si de�nisce: u1 (x)def= 1, u2 (x)

def= x

2. Se � > 0 si de�nisce: k = 12

p�; u1 (x)

def= ekx, u2 (x)

def= e�kx

3. Se � < 0 si de�nisce: k = 12

p��; u1 (x)

def= sen kx, u2 (x)

def= cos kx

La soluzione generale della (4.3) allora è:

y = e�a2x [c1u1 (x) + c2u2 (x)] (4.6)

Si noti come in ognuno dei tre casi la soluzione generale è combinazione lineare

di un numero di funzioni linearmente indipendenti pari all�ordine dell�equazione

di¤erenziale, cioè 2.


4.2 Equazione non omogenea

Si de�nisce wronskiano di due funzioni h1 (x) e h2 (x) la funzione w (x):

w (x)def= h1 (x)h

02 (x)� h2 (x)h01 (x) (4.7)

Siano h1 (x) e h2 (x) due funzioni de�nite da:

h1 (x)def= e�

a2xu1 (x) (4.8)

h2 (x)def= e�

a2xu2 (x) (4.9)

con u1 (x) e u2 (x) le funzioni de�nite per l�equazione omogenea. Si de�niscano

in�ne le due funzioni �1 (x) e �2 (x):

�1 (x)def= �

Zh2 (x)

g (x)

w (x)dx (4.10)

�2 (x)def= �

Zh1 (x)

g (x)

w (x)dx (4.11)

dove g (x) è il termine di inomogeneità. Allora l�equazione non omogenea (4.2)

ammette come soluzione particolare:

v (x) = �1 (x)h1 (x) + �2 (x)h2 (x) (4.12)

e quindi come soluzione generale:

y = e�a2x [c1u1 (x) + c2u2 (x)] + v (x) (4.13)

4.3 Esempio: Oscillatore armonico smorzato

Consideriamo un oggetto di massam che si muova unidimensionalmente soggetto

ad una forza agente esterna Fa (t) all�interno di un mezzo viscoso, che o¤re una

resistenza: Fv = � v. Supponiamo che il corpo sia altresì soggetto a una forzadi richiamo elastica (di Hooke): Fh = �kx.L�equazione del moto di Newton in questo caso si scrive:

Fa (t)� v � kx = ma (4.14)

Questa può essere pensata come una equazione di¤erenziale lineare del secondo

ordine per la posizione:

�x+

m_x+

k

mx =

Fa (t)

m(4.15)


che, ricordando che l�oscillatore armonico ammette una pulsazione naturale1:

!o =

rk

m(4.16)

può essere riscritta:

�x+

m_x+ !2ox =

Fa (t)

m(4.17)

Tale equazione può essere a¤rontata con la tecnica sopra esposta per ottenere la

soluzione generale dell�omogenea.

4.3.1 Soluzione omogenea

Consideriamo per cominciare il caso in cui non sia presente una forza agente

esterna e applichiamo lo schema precedentemente descritto:

� = 2

m2� 4!2o (4.18)

A¤rontiamo per primo il caso in cui � < 0 cioè

2

m2< 4!2o (4.19)

de�niamo:

! =1

2

p�� = 1

2

r4!2o �

2

m2(4.20)

! =

r!2o �

�

2m

�2(4.21)

e troviamo come soluzione:

x (t) = e� 2mt [a sen!t+ b cos !t] = ce�

2mt sen (!t+ �) (4.22)

secondo la tecnica dell�angolo aggiunto.

Si può notare la presenza anche in questo caso di un decadimento esponen-

ziale, che de�nisce un tempo proprio del sistema:

�def=2m

(4.23)

1Tale risultato è usato puramente per comodità di notazione, non è presupposto: saràcomunque ottenibile dalla soluzione generale.


ma rispetto alla (3.25) di p. 8 in assenza di forza di richiamo, questa è il doppio,

indicando un fenomeno �sicamente distinto (si noti che quel caso non può essere

pensato come caso limite di questo per k ! 0 perché per !2o = k=m = 0 e 6= 0si ha � > 0).

Ride�niamo allora le (4.17) e (4.18):

�x+2

�_x+ !2ox =

Fa (t)

m(4.24)

� = 4

�1

� 2� !2o

�(4.25)

e ricapitoliamo quanto ottenuto:

Oscillazioni smorzate (smorzamento sottocritico): � < 0

Per:

!o >1

�(4.26)

la soluzione è:

x (t) = ce�t� sen (!t+ �) (4.27)

con:

! =

r!2o �

1

� 2(4.28)

Si noti come la frequenza di oscillazione risulti comunque inferiore a quella in

assenza di smorzamento. Il caso limite si ha per = 0 ) � ! 1 caso in cui,

come annunciato nella nota di p. 19, si trova ! = !o =pk=m.

In questo primo caso il tempo caratteristico del decadimento è maggiore del

periodo di oscillazione:

� >1

!o=To2�

(4.29)

qualitativamente ciò signi�ca dire che possono avvenire delle oscillazioni prima

che lo smorzamento prevalga.

La velocità è:

v (t) = c

��1�e�

t� sen (!t+ �) + !e�

t� cos (!t+ �)

�=

= ce�t�

�! cos (!t+ �)� 1

�sen (!t+ �)

�(4.30)


Determiniamo adesso le costanti c e � a partire dalle condizioni iniziali:

x (0) = c sen�def= xo (4.31)

e:

v (0) = c

�! cos�� 1

�sen�

�def= vo (4.32)

da cui:

c ! cos�� 1�xo = vo (4.33)

c cos � =1

!

�xo�+ vo

�=1

!�(xo + vo�) (4.34)

da cui:

c2 = c2 sen2�+ c2 cos2 � = x2o +1

!2� 2(xo + vo�)

2 (4.35)

e d�altro canto:

tan� =c sen�

c cos �=

!�xoxo + vo�

(4.36)

Smorzamento critico: � = 0In questo caso:

!o =1

�(4.37)

e la soluzione si scrive:

x (t) = (a+ bt) e�t� (4.38)

Per a e b discordi vi è un cambiamento di segno per:

tc = �a

b> 0 (4.39)

Il caso dello smorzamento critico con a e b concordi è quello per cui vi è il più

rapido avvicinamento alla posizione di riposo senza oscillazione; per tale motivo

è la condizione utilizzata nella progettazione di vari apparati quali: chiusura

automatica di porte, apparati di misura a lancetta, ecc.

La velocità è in questo caso:

v (t) = (a+ bt)

��1�e�

t�

�+ be�

t� =

1

�(b� � a� bt) e� t

� (4.40)

e le condizioni iniziali si scrivono:

x (0) = adef= xo (4.41)


v (0) =1

�(b� � a) = b� xo

�

def= vo (4.42)

e in�ne:

b = vo +xo�

(4.43)

Smorzamento sovracritico: � > 0

Nel caso restante si ha:

!o <1

�(4.44)

0 < � =1

2

p� =

r1

� 2� !2o <

1

�=

2m(4.45)

e la soluzione si scrive:

x (t) = e�t�

�ae�t + be��t

�= ae�(

1��)t + be�(

1�+�)t (4.46)

Si noti che:1

�� > 0 (4.47)

ed entrambi gli esponenziali sono decrescenti.

Può aversi al più un cambiamento di segno.

Lasciamo come esercizio al lettore la determinazione dei parametri a e b sulla

base delle condizioni iniziali.

Nel caso limite k ! 0 si ha !o = 0, � = 4=� 2 e:

� =1

2

p� =

1

�> 0 (4.48)

da cui:

x (t) = a+ be�2�t = a+ be�

mt (4.49)

che ricostruisce l�andamento temporale aspettato.

Per veri�carlo direttamente si ponga ad esempio g = 0 nella (3.32) di p. 9 che

così diventa:

s (t) = vom

�1� e�

mt�+ so (4.50)

4.3.2 Oscillazioni con forzante F = Fo cos (!t+ �) - Meto-do degli esponenziali complessi

L�applicazione dello schema all�equazione non omogenea:

�x+2

�_x+ !2ox =

Fa (t)

m(4.51)


con forzante:

Fa (t) = Fo cos (!̂t+ �) (4.52)

risulta di¢ coltoso perché conduce agli integrali:

�1 (t) =Fom!o

Zsen !̂t cos!ot e

t� dt (4.53)

�2 (t) =Fom!o

Zsen !̂t sen!ot e

t� dt (4.54)

la cui soluzione oltre ad essere molto ingombrante, risulta di di¢ cile lettura.

È molto più conveniente fare l�ipotesi �sicamente evidente che la soluzione

oscilli con pulsazione identica alla forzante:

x (t) = xo cos (!̂t+ ) (4.55)

e determinare successivamente se e per quali condizioni questo sia possibile;

d�altro canto, per il teorema di esistenza e unicità, siamo interessati alla ricerca

di una soluzione particolare qualsiasi.

Prima di far ciò, per sempli�care ulteriormente i calcoli, è opportuno in-

trodurre un metodo di importanza cruciale per lo studio di ogni fenomeno

oscillatorio: il metodo degli esponenziali complessi.

Il punto di partenza consiste nell�individuare in ogni fenomeno oscillatorio

reale la parte reale di un esponenziale complesso, utilizzando la formula di Eulero:

cos ' = Re (cos '+ i sen') = Re ei' (4.56)

Adotteremo adesso la notazione per cui una grandezza complessa è indicata in

caratteri calligra�ci.

Nel nostro caso quindi scriveremo:

Fa (t) = Fo cos (!̂t+ �) = Re�Foe

i(!̂t+�)�= (4.57)

= Re�Foe

i�ei!̂t�= Re

�Foei!̂t

�= Re [F (t)] (4.58)

dove si è de�nito:

Fodef= Foe

i� (4.59)

F (t) def= Foei!̂t (4.60)

e analogamente per x.


Già a questo stadio si può osservare come la grande comodità di questo

metodo consiste nel potere scrivere complicate regola di somma come:

cos (!t+ �) = cos!t cos�� sen!t sen� (4.61)

nella semplice forma:

ei(!̂t+�) = ei!̂tei� (4.62)

infatti:

cos (!t+ �) = Re ei(!̂t+�) = Re�ei!̂tei�

�= Re [(cos!t+ i sen!t) (cos�+ i sen�)] (4.63)

= cos!t cos �� sen!t sen�

Ciò permette di svolgere i calcoli molto più agevolmente, posto che alla �ne si

prenda la parte reale del risultato.

Esprimiamo allora la soluzione cercata in forma complessa:

X (t) = Xoei!̂t (4.64)

e derivando:_X (t) = i!̂Xoei!̂t (4.65)

�X (t) _X (t) = �!̂2Xoei!̂t (4.66)

L�equazione non omogenea (4.51) espressa in forma complessa allora diventa:

�X + 2�_X + !2oX =

F (t)m

(4.67)

�!̂2Xoei!̂t +2

�i!̂Xoei!̂t + !2oXoei!̂t =

Fomei!̂t (4.68)

da cui: �!2o � !̂2 + 2i

!̂

�

�Xo =

Fom

(4.69)

Xo =Fo=m

!2o � !̂2 + 2i !̂�(4.70)

Il denominatore è nella forma cartesiana a+ ib, è può essere riscritto nella forma

polare ei� con:

=

s�!2o � !̂2

�2+ 4

!̂2

� 2(4.71)


tan� =2!̂=�

!2o � !̂2(4.72)

da cui:

X (t) = Foei�=m

ei�ei!̂t =

Fom

ei(!̂t+��) (4.73)

e in conclusione, passando alla parte reale:

x (t) =Fom

1q�!2o � !̂2

�2+ 4 !̂

2

�2

cos [!̂t+ (�� )] (4.74)

Si osservi che l�ampiezza dell�oscillazione:

xo =Fom

1q�!2o � !̂2

�2+ 4 !̂

2

�2

(4.75)

presenta un picco in corrispondenza di:

!̂ = !o (4.76)

ossia quando la forzante eccita il modo fondamentale di vibrazione del sistema.

Si noti che per ! 0 (� ! 1) ciò comporta la divergenza dell�ampiezza perforzanti arbitrariamente piccole. Senza arrivare a questi estremi, coe¢ cienti

di smorzamento bassi comportano fenomeni di risonanza che possono risultare

distruttivi. Ciò ha comportato in passato casi in cui una semplice brezza o il

marciare ritmico di truppe ha causato la distruzione di ponti non adeguatamente

progettati.

Tralasciamo in questa sede di studiare il comportamento dello sfasamento.

Esempio 4 Circuito RLC serie con V = Vo cos (!̂t+ ')

Un circuito con generatore di tensione V = V (t), resistenza R, capacità C e

induttanza L, posti in serie è retto dall�equazione alla maglia:

V (t)�Ri� q

C� Ldi

dt= 0 (4.77)

Derivando rispetto al tempo tale equazione e ricordando che i = dq=dt si ha:

_V (t)�Rdidt� 1

Ci� Ld

2i

dt2= 0 (4.78)

ossia:d2i

dt2+R

L

di

dt+

1

LCi =

_V (t)

L(4.79)


Questa equazione è formalmente identica alla (4.17) di p. 19 �n qui considerata,

con equivalenze:x ! i F ! _V

m ! L k ! 1C

! R(4.80)

Poniamo quindi analogamente:

(4.16) p. 19: !o =q

km ! !o =

1pLC

(4.23) p. 19: � = 2m ! � = 2L

R

(4.72) p. 25: tan� = 2!̂=�

!2o�!̂2 ! tan� = 2!̂=�

!2o�!̂2

(4.81)

se inoltre la forzante si scrive:

V (t) = Vo cos (!̂t+ ') (4.82)

si ha:_V (t) = �!̂Vo sen (!̂t+ ') = !̂Vo cos

�!̂t+ '+

�

2

�(4.83)

con equivalenze:

Fo ! !̂Vo (4.84)

� ! '+�

2(4.85)

con cui la soluzione (4.74) di p. 25 in�ne diventa:

i (t) =!̂VoL

1q�!2o � !̂2

�2+ 4 !̂

2

�2

cosh!̂t+

�'� �+ �

2

�i(4.86)

Soluzione sulla quale è possibile sviluppare considerazioni �siche dello stesso

tenore di quelle svolte precedentemente.

Capitolo 5

Caduta di un corpo in un mezzoviscoso - Regime idraulico

Il presente paragrafo consiste nella parziale risoluzione dell�Esercizio 8, p. 106 del

libro di testo [1], è però necessario leggere anche l�esercizio 7 precedente.

Per uniformità di notazione non indicheremo qui col simbolo k la costante di

viscosità in regime idraulico, bensì con �:

Fidr = ��vv (5.1)

Abbiamo inoltre indicato in grassetto le variabili vettoriali.

Si ha:

v =p_x2 + _y2 + _z2 (5.2)

Se le dimensioni �siche di sono:

[ ] =

�F

v

�=ml

t2t

l=m

t(5.3)

le dimensioni di � invece sono:

[�] =

�F

v2

�=ml

t2t2

l2=m

l(5.4)

indicandoci chiaramente il signi�cato �sico di¤erente delle due costanti.

La forza agente ha la forma:

Fa = �mgbz (5.5)

27

5. Caduta di un corpo in un mezzo viscoso - Regime idraulico 28

e le equazioni del moto di Newton diventano:8><>:��v _x = m�x

��v _y = m�y

��v _z �mg = m�z

(5.6)

Tali equazioni si presentano nella forma di un sistema di equazioni di¤eren-

ziali accoppiate, del secondo ordine e non lineari ; la risoluzione del sistema ove

possibile presenta quindi in generale una grande di¢ coltà.

Nel testo citato è dimostrato che con le semplici condizioni iniziali:�_x2 + _y2

�(0) = 0 (5.7)

si ha: �_x2 + _y2

�(t) = 0 (5.8)

In questo caso:

v =p0 + _z2 = j _zj (5.9)

Possiamo quindi disinteressarci alle prime due equazioni e scrivere la terza:

m�z + � j _zj _z = �mg (5.10)

ossia:

�z +�

mj _zj _z = �g (5.11)

Tale equazione (come le due precedenti) è mancante del termine di ordine

zero (cioè in z) e quindi secondo la ricetta generale è convenientemente espressa

come equazione del primo ordine in _z. Esplicitiamo questo con la posizione:

_z = vz (5.12)

con l�avvertenza che vz è considerato con il suo segno, mentre v è sempre non-

negativo. L�equazione del moto allora diventa:

_vz +�

mjvzj vz = �g (5.13)

La risoluzione di questa equazione richiede la suddivisione del problema in due

parti: vz � 0 e vz � 0. Il secondo caso diventa rilevante solo per vz (0) � 0mentrecomunque, prima o poi la velocità diventa negativa; si tenga inoltre presente che


una discussione �sicamente più adeguata richiederebbe di considerare nel caso

che �v� < vz < v� (cfr.[1], p. 105) la forza di regime viscoso Fvis = � v invecedi quella relativa al regime idraulico.

Ci interessiamo qui solo al primo caso:

vz � 0 (5.14)

e inoltre supporremo vz < �v�. Avremo quindi jvzj = �vz e l�equazione delmoto diventa:

dvzdt� �

mv2z = �g (5.15)

Tale equazione appartiene alla famiglia delle equazioni del primo ordine a varia-

bili separabili, per le quali cioè, è possibile isolare nei due membri la variabile

dipendente e quella indipendente:

dvzdt=�

mv2z � g (5.16)

dvz�mv2z � g

= dt (5.17)

purché il denominatore non si annulli.

Essa si può quindi integrare direttamente:Z vz(t)

vz(0)

dv0z�m(v0z)

2 � g=

Z t

0

dt0 (5.18)

m

�

Z vz(t)

vz(0)

dv0z(v0z)

2 � mg�

= t (5.19)

dove correttamente le dimensioni di mg=� sono:�mg

�

�=

�Fv2

F

�=�v2�

(5.20)

È interessante allora introdurre una velocità caratteristica ~v:

~vdef=

rmg

�(5.21)

tramite la quale la (5.19) diventa:

mg

�

1

g

Z vz(t)

vz(0)

dv0z(v0z)

2 � ~v2=~v2

g

Z vz(t)

vz(0)

dv0z(v0z)

2 � ~v2= t (5.22)


La condizione sul denominatore si può scrivere jv0zj 6= ~v ) v0z 6= �~v.

Siamo quindi condotti a calcolare l�integrale:

I =

Zdx

x2 � a2 (5.23)

questo è fatto canonicamente con la scomposizione:

1

x2 � a2 =1

x� a1

x+ a=1

2a

�1

x� a �1

x+ a

�(5.24)

da cui:

I =1

2a

�Zdx

x� a �Z

dx

x+ a

�=

=1

2a(ln jx� aj � ln jx+ aj) + c = (5.25)

=1

2alnjx� ajjx+ aj + c

Così la (5.22) diventa:

t =~v2

g

�1

2~vlnjv0z � ~vjjv0z + ~vj

�vz(t)vz(0)

= (5.26)

=~v

2g

�lnjvz (t)� ~vjjvz (t) + ~vj

� ln jvz (0)� ~vjjvz (0) + ~vj

�(5.27)

Ponendo ora per semplicità di scrittura:

�def=jvz (0)� ~vjjvz (0) + ~vj

(5.28)

abbiamo:

t =~v

2gln1

�

jvz (t)� ~vjjvz (t) + ~vj

(5.29)

da cui:jvz (t)� ~vjjvz (t) + ~vj

= �e2g~vt (5.30)

Dato che vz � 0 (e ~v > 0) si ha jvz (t)� ~vj = � (vz (t)� ~v) = ~v � vz (t).Per quanto concerne il denominatore dobbiamo distinguere i casi:

I) �~v < vz � 0II) vz < �~vIII) vz = �~v

(5.31)


Per il primo caso si ha jvz (t) + ~vj = vz (t) + ~v e la soluzione si scrive:

~v � vz (t)vz (t) + ~v

= �e2g~vt (5.32)

~v � vz (t) = vz (t) �e2g~vt + ~v�e

2g~vt (5.33)

vz (t)��e

2g~vt + 1

�= ~v

�1� �e

2g~vt�= �~v

��e

2g~vt � 1

�(5.34)

dove quest�ultimo passaggio è orientato a fare risaltare l�atteso segno negativo

della velocità.

vz (t) = �~v�e

2g~vt � 1

�e2g~vt + 1

(5.35)

L�espressione si presta male ad essere interpretata per t ! 1, quindi moltipli-chiamo numeratore e denominatore per e�

2g~vt:

vz (t) = �~v� � e� 2g

~vt

� + e�2g~vt

(5.36)

Anche in questo caso è possibile individuare un tempo proprio del sistema:

�def=

~v

2g(5.37)

vz (t) = �~v� � e� t

�

� + e�t�

(5.38)

Il valore limite della velocità è:

vidrz (1) = �~v (5.39)

indipendentemente dalle condizioni iniziali. Ciò conferisce signi�cato �sico alla

de�nizione (5.21) di ~v.

Nel semplice caso che vz (0) = 0 (si supponga in questa analisi che v� ' 0) siha dalla (5.28):

vz (t) = �~v1� e� t

�

1 + e�t�

(5.40)

e la velocità in valore assoluto dell�oggetto va crescendo asintoticamente da zero

al valore limite ~v. Si noti quindi che questa soluzione rispetta ad ogni istante

la condizione I) della (5.31). Si dimostra analogamente che per ogni vz (0) tale

che �~v < vz (0) � 0 la soluzione indica una velocità che va crescendo in valoreassoluto da jvz (0)j a ~v, rispettando ad ogni istante la condizione I).


Ritornando adesso a considerare il caso vz (0) = 0, si ha che per t = � il

rapporto (1� e�1) = (1 + e�1) vale circa 46% e che per t = 3� esso diventa il

91% circa, indicando, a parità di tempo proprio, un tipo di avvicinamento più

lento al valore limite rispetto al caso di attrito viscoso ordinario di p. 8.

Ricaviamo adesso sotto questa condizione la posizione:

�z (t) = �~vZ t

0

1� e� t0�

1 + e�t0�

dt0 (5.41)

Calcoliamo il corrispondente integrale inde�nito per sostituzione:

s = e�t�

ds = �1�e�

t� dt =) (5.42)

dt = ��sds

da cui:

Idef=

Z1� e� t

�

1 + e�t�

dt0 =

Z1� s1 + s

��s

�ds (5.43)

e scomponendo l�integrando:

1� ss (1 + s)

=1

s� 2

1 + s(5.44)

I = ��Z

ds

s� 2

Zds

1 + s

�= �� (ln jsj � 2 ln j1 + sj) + c =

= �� t�

�� 2 ln

�1 + e�

t�

��+ c = (5.45)

= t+ 2� ln�1 + e�

t�

�+ c

così:

�z (t) = �~v [I (t)� I (0)] = �~vht+ 2� ln

�1 + e�

t�

�� 2� ln 2

i(5.46)

e in�ne:

z (t) = zo � ~vt� 2~v� ln1

2

�1 + e�

t�

�(5.47)

Nel caso II) vz � �~v invece si ha: jvz (t) + ~vj = �vz (t)�~v e la (5.30) diventa:

~v � vz (t)�vz (t)� ~v

= �et� (5.48)


~v � vz (t) = �vz (t) �et� � ~v�e t� (5.49)

vz (t)��e

t� � 1

�= �~v

��e

t� + 1

�(5.50)

vz (t) = �~v�e

t� + 1

�et� � 1

= �~v � + e�t�

� � e�t�

(5.51)

Anche in questo caso:

vz (1) = �~v (5.52)

ed essendo la frazione maggiore di 1, la condizione II) è rispettata per ogni t � 0.In questo caso la velocità decresce in valore assoluto dal suo valore iniziale

che è maggiore del valore limite, avvicinandosi asintoticamente a questo.

Nel terzo e ultimo caso vz = �~v e la (5.16) si può scrivere:

dvzdt= g

�v2z~v2� 1�

(5.53)

cosicché se a un certo istante to si ha vz (to) = �~v, allora _vz = 0 e vz (t) = �~vcostante è una soluzione ad ogni istante.

Bibliogra�a

[1] F. Bagarello (2003), Note di Meccanica Razionale, Dario Flaccovio Editore

[2] F. Bagarello (2007), Fisica matematica, Zanichelli

[3] T. M. Apostol (1977), Calcolo, Vol. I - Analisi 1, Boringhieri

[4] T. M. Apostol (1978), Calcolo, Vol. III - Analisi 2, Boringhieri

[5] K. R. Symon (1960), Mechanics, Second edition, Addison-Wesley

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