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Dominijanni

EOMETRIA

I punti non si riescono a dividere,

ma quando decidono di unirsi possono creare di tutto(segmenti, rette, curve e superfici; ma anche immagini sullo schermo della televisione, quadri, e perfino molte espressioni della lingua italiana)

“I primi elementi”

IPSSAR - Soverato

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Osserva le seguenti immagini

Gli oggetti in esse raffigurati sono molto diversi fra loro, ma ci sono degli

elementi comuni

tutti occupano un certo spazio

ognuno di essi ha una forma precisa

ci sono delle forme che sono comuni ad alcuni oggetti

Chiesa di S.Miniato a Firenze

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Osservando le figure possiamo dire che il quaderno ad anelli ha le pagine

rettangolari con i fori circolari, la squadretta ha la forma triangolare, la palla è

sferica e presenta disegni a forma di pentagono, nella facciata della chiesa,

oltre alle porte di forma rettangolare, spiccano elementi decorativi a forma di

rettangolo, cerchio, semicerchio e strutture triangolari

Il triangolo, il rettangolo, il pentagono o più in generale un poligono sono modelli

ideali che servono per descrivere la realtà che ci circonda ed individuare le

proprietà comuni ad alcuni oggetti. La scienza che si occupa di studiare le

proprietà di questi oggetti si chiama geometria.

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La sua origine è antichissima se si pensa che già gli antichi

egizi si servivano di forme ideali come i triangoli per costruire

le piramidi e che sapevano come effettuare le misurazioni dei

terreni, i cui confini venivano periodicamente cancellati dalle

inondazioni del Nilo

La parola geometria deriva dalla fusione dei due vocaboli della lingua greca

“geo”(terra) e “metrein” (misurare).

A quell’epoca la geometria non poteva ancora dirsi una scienza, perché fu

solo parecchi secoli dopo che cominciò a svincolarsi dai problemi pratici e a

svilupparsi come scienza razionale. Questo passaggio si realizzò

gradualmente dal VI al III sec. a.C., per opera di grandi matematici:

Talete (ca. 624-545 a.C.) Pitagora (ca. 570-490 a.C.)

Archimede (ca. 287-212 a.C.)

e soprattuttoEuclide (ca.367-

283 a.C.)

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Euclide nacque ad Alessandria intorno al 300 a.C. ed è considerato il più

famoso matematico di tutti i tempi. La sua popolarità è dovuta alla sua

maggiore opera: gli Elementi, un trattato dove Euclide raccolse tutte le nozioni

di geometria note a quell’epoca.

Come in ogni disciplina, anche in geometria vi è la necessità di dare

definizioni che servano ad individuare senza equivoci un oggetto

geometrico.

A proposito delle definizioni, nasce una difficoltà. Per definire un concetto bisogna

utilizzare vocaboli che fanno riferimento ad altri concetti, che a loro volta vanno

definiti, utilizzando altri vocaboli … e così via, con il rischio che vi siano concetti

che rimandano l’uno all’altro. Per scongiurare questo rischio, si prese atto che

bisogna rinunciare a definire alcune nozioni dette per questo primitive.

In geometria, dunque, è necessario introdurre alcuni enti ideali primitivi, dei

quali non viene data alcuna definizione.

Gli enti primitivi della geometria sono: punto, retta, piano.

La geometria di Euclide è sostanzialmente quella che ancora oggi si

studia in tutte le scuole e che si dice appunto geometria euclidea.

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Non è possibile dare una definizione di questi oggetti; tuttavia, affinché tutti ne

abbiano la stessa immagine, possiamo fare delle analogie fisiche, indicano per

es. come:

Occorre però tenere presente che il punto, la retta ed il piano sono enti

geometrici astratti e che il punto non ha dimensioni, la retta ed il piano sono

illimitati e senza spessore; mentre la traccia della punta della matita, il filo e il

foglio di carta sono oggetti tridimensionali perché concreti.

punto la traccia che la punta di una matita lascia su un foglio

retta un filo molto sottile ben teso che si estende illimitatamente

piano la pagina superiore di un foglio di carta ben teso e pensato illimitato.

•

α

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Nei primi anni di scuola si studia la geometria intuitiva il cui scopo è

quello di intuire le proprietà degli enti geometrici attraverso

l’osservazione e l’esperimento su corpi reali o modelli fisici.

Negli anni successivi si passa allo studio della geometria razionale,

che altro non è che la geometria intuitiva precisata nei suoi concetti e

nei suoi procedimenti

La geometria razionale è impostata come una scienza ipotetico-deduttiva,

cioè una scienza la cui costruzione procede nel modo seguente:

Si introducono alcuni oggetti detti enti primitivi o fondamentali, e si suppone

che essi verifichino alcune proprietà dette assiomi o postulati; a partire dagli

enti fondamentali e dagli assiomi si deducono proposizioni dette teoremi.

Un teorema è quindi un’affermazione di cui bisogna controllare la verità

mediante un ragionamento che si dice dimostrazione.

La dimostrazione di un teorema è costituita da una sequenza di affermazioni

che, partendo dall’ipotesi, conducono alla tesi.

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GEOMETRIA

INTUITIVA RAZIONALE

OSSERVAZIONI

PROVE

TENTATIVI

CONCETTI

PRIMITIVIASSIOMI

Può essere

Si basa su Parte da

Definiti mediante

Concludendo

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Indice

Gli elementi fondamentali della geometria euclidea

Postulati e teoremi

Punto

Retta

Piano

Postulati riguardanti gli enti elementari

Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari

(semirette, segmenti, angoli

Gli obiettivi

Comprendere il significato di “dimostrazione”

Cogliere la differenza fra postulato e teorema

Approfondire la conoscenza degli enti geometrici

fondamentali

Operare con segmenti ed angoli

I contenuti

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I punti di partenza della geometria

Gli enti primitivi della Geometria sono:

PUNTO

RETTA

PIANO

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Gli elementi fondamentali della geometria

Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei

quali non è data definizione: la loro natura risulta però determinata da

particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati.

(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!)

Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure

geometriche.

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PUNTO

PUNTO

Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia

lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto.

Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso

indica soltanto una posizione.

Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi

la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc.

•A

•B

•C•D

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RETTA

RETTA

Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di

una retta.

A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e

senza spessore.

Su di una retta si possono segnare infiniti punti

Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse

Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc.

retta a

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PIANO

PIANO

Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago,

forniscono delle immagini concrete di un piano.

Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il

piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come

indefinitamente esteso in tutti i sensi

I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco:

α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc.

αPiano α

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Postulati riguardanti gli enti elementari

Alla retta appartengono infiniti punti

Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti

Esistono infinite rette

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Postulati riguardanti gli enti elementari

Per due punti distinti passa una sola retta

•

A

•

B

Per un punto passano infinite rette (l’insieme di tale rette è chiamato fascio

poprio)

A

Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro

La retta è illimitata e continua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due

suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.

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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari

Semiretta – Si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta

rimane divisa da un suo punto.

•A

semiretta semiretta

origine

Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi

punti che si dicono estremi del segmento

A• •

B

segmento

estremi

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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari

Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si

dicono consecutivi

•

Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono

consecutivi ed appartengono alla stessa retta

A• •

B

A

B

C

C• •

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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari

B

A C

Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea

spezzata

Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata

D

ESpezzata aperta

Spezzata chiusaSpezzata

intrecciata

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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari

ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano

da due semirette aventi l’origine in comune

Angolo convesso

Angolo

concavo

Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi

lati

Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei

suoi lati

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Angoli particolari

Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di

mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA.

In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il

prolungamento dell’altro ( 180 °)]

A O B

Angolo piatto

PIATTO:180°

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Angoli particolari

Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione

iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si

dice che AÔB è un angolo nullo

O

A

B

Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno

ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un

angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)]

O

A

BAngolo giroGIRO: 360°

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Angoli particolari

Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto

RETTO:90°

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Angoli particolari

Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto

Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto

OTTUSO: > di 90°

ACUTO: < di 90°

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Angoli particolari

Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se

hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati

situati da parte opposta rispetto al lato comune

O

A

B

CLato comune

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Angoli particolari

Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad

essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una

stessa retta

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Angoli particolari

Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i

prolungamenti dell’altro

O

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Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono

SUPPLEMENTARI

Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono

COMPLEMENTARI

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Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono

ESPLEMENTARI

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Concetti o enti primitivi

Enti che non definiamo esplicitamente

Assiomi o postulati

Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto

non dimostriamo

Teoremi

I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le

proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema,

mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi

deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e

avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate,

vale a dire dei risultati di altri teoremi.