Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali

(Ob. 4, 6, 7, 12)

3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

3.2 Il punto

3.3 La linea

3.4 La linea retta

3.5 Le posizioni reciproche delle rette nel piano

Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali

3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

3.1 L’impostazione assiomatica della geometria

La si deve a Euclide, con il testo Elementi, che e stato studiatodettagliatamente, per verificare la consistenza della proposta.Oggi si condivide l’impostazione suggerita da David Hilbert (1862-1943),che ne e una rivisitazione, ed e contenuta nei Fondamenti dellaGeometria del 1899.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

L’impostazione assiomatica di Hilbert prevede di dichiarare:

I gli enti primitivi;

I le relazioni primitive (per Euclide: nozioni comuni o assiomi);

I gli assiomi o postulati (per Euclide: postulati);

Da essi, tramite deduzioni logiche, discendono i teoremi.

Che cosa sono e a che cosa servono enti primitivi, relazioni primitive eassiomi?

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Per Hilbert, ad esempio:

I il punto, la retta e il piano sono enti primitivi;

I appartenere e una relazione primitiva;

I “dati due punti, esiste una retta alla quale i due puntiappartengono” e un assioma.

Dall’esempio si vede come l’assioma serva a descrivere il comportamentodegli enti primitivi, anche attraverso le relazioni primitive.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

L’idea e simile a questo esempio.

I Non conosco nessuna parola finlandese.

I Devo tradurre una frase dal finlandese all’italiano.

I Mi viene fornito un vocabolario finlandese monolingua.

Non riesco a tradurre.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

L’idea e simile a questo esempio.

I Non conosco nessuna parola finlandese.

I Devo tradurre una frase dal finlandese all’italiano.

I Mi viene fornito un vocabolario finlandese monolingua.

Non riesco a tradurre.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Ma se conoscessi:

la traduzione di qualche (due o tre)

parola finlandese;

qualche regola di base

(che mi dice come funziona

una lingua in generale);

qualche regola di

grammatica finlandese;

allora riuscirei a tradurre (avendo il vocabolario monolingue) e magari aintuire qualche altra regola grammaticale che prima non conoscevo.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Ma se conoscessi:

la traduzione di qualche (due o tre)

parola finlandese;

qualche regola di base

(che mi dice come funziona

una lingua in generale);

qualche regola di

grammatica finlandese;

allora riuscirei a tradurre (avendo il vocabolario monolingue) e magari aintuire qualche altra regola grammaticale che prima non conoscevo.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Riportando l’esempio alla Geometria (o alla Matematica in generale):

la traduzione di qualche (due o tre) TERMINI PRIMITIVI

parola finlandese;

qualche regola di base RELAZIONI PRIMITIVE

(che mi dice come funziona

una lingua in generale);

qualche regola di ASSIOMI

grammatica finlandese;

allora riuscirei a tradurre (avendo il vocabolario monolingue) e magari aintuire qualche altra regola grammaticale che prima non conoscevo.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Anche i giochi sono sistemi assiomatici...

Gioco: Bandierina

I enti primitivi: la bandiera, le due squadre (equinumerose), ilbambino B che tiene la bandiera, il campo da gioco

I relazioni primitive: ci sono due squadre; ogni squadra ha il propriocampo; ogni squadra vuole vincere la partita; i giocatori devonoessere onesti e condividere il fatto che si tratta di un gioco;...

I assiomi: ogni bambino, in ogni fila, e associato a un numero, apartire da 1; egli corre verso la bandiera quando B chiama il suonumero; deve cercare di portare la bandiera oltre il confine (linea deibambini della propria squadra), senza invadere l’altro campo e senzaessere toccato dall’avversario;...

“Teorema”. Se ci sono 11 bambini, uno di loro sara B e le squadresaranno composte ciascuna da 5 giocatori, numerati da 1 a 5.“Teorema”. Se ci sono 21 bambini, B non chiamera il numero 12.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Pensiamo al gioco della Briscola (1 contro 1) e proviamo a capire qualesia la sua impostazione assiomatica.

Cerchiamo di elencare:

I enti primitivi

I relazioni primitive

I assiomi

Successivamente proviamo a dedurre un “Teorema”.

Impostazione assiomatica della briscola

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Assiomatica Hilbert Corso di Geom. Elementare

enti p. punto, retta, piano punto, linea, piano

relaz. p. giacere, fra, congruente appartenere, direzione,

delimitare, trasportare

assiomi collegamento, ordinamento, [idem]

congruenza, parallelismo,

continuita

Di tutto cio i bambini devono aver fatto esperienza.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Per dare ordine ai concetti e per poterli richiamare velocemente, inMatematica assumono un ruolo fondamentale le definizioni.

Il loro scopo e proprio quello di identificare con una parola (o piu) uncerto concetto (magari anche molto articolato), in modo chel’interpretazione sia univoca.

Esempi?

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Che cos’e una definizione?

1. Ciascuno scriva sul proprio foglio una definizione di parallelogrammae una di circonferenza.

2. Raccogliamo quanto scritto per poi commentarlo.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Una definizione, per essere tale, deve esprimere:

I quanto necessario per identificare l’oggetto e

I quanto sufficiente per identificare l’oggetto.

Cioe:

I non dimenticare elementi essenziali e

I non essere sovrabbondante.

Le “definizioni sovrabbondanti” non sono “buone” in matematica, masono utili nella scuola primaria! Le chiameremo descrizioni.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

3. Torniamo a considerare le definizioni scritte precedentemente evalutiamole.

4. Creiamo una definizione corretta.

Compito. Scrivere definizioni e descrizioni di: rettangolo, rombo,triangolo equilatero.

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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria

Scegliamo di presentare gli enti geometrici nel seguente ordine (non el’unico possibile):

1. il punto;

2. le linee e la loro classificazione;

3. linee particolari: le rette;

4. le posizioni reciproche delle rette nel piano;

5. parti di retta (segmento e semiretta) e parti di piano (angoli);

6. i poligoni;

7. la circonferenza;

8. le trasformazioni del piano.

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3.2 Il punto

3.2 Il punto

I E l’astrazione della posizione di un oggetto.

I Descrizione: ente geometrico privo di dimensione.

I Rappresentazioni: granello di sabbia, punta di spillo, segno dellapunta della matita sul foglio.

I Notazione: lettere maiuscole dell’alfabeto italiano.

I Se i punti A e B coincidono: A ≡ B.

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3.3 La linea

3.3 La linea

I E l’astrazione della traiettoria di un corpo in movimento.I Descrizione: ente geometrico avente un’unica dimensione, costituito

da infiniti punti.I Rappresentazioni: un filo disposto in modo qualsiasi, la traccia della

matita sul foglio,...I Notazione: lettere minuscole dell’alfabeto italiano.

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3.3 La linea

Compito. Elencare modelli materiali di punto e di linea (vantaggi esvantaggi del loro utilizzo).

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3.3 La linea

Classificazione delle linee:

I secondo criteri topologici: aperta o chiusa, semplice o intrecciata:I aperta = il punto iniziale coincide con il punto finale (viceversa:

chiusa);I semplice = non attraversa se stessa (viceversa: intrecciata);

I secondo criteri non topologici: spezzata, curvilinea, mistilinea:I spezzata = formata solo da segmenti (detti lati)I curvilinea = formata solo da tratti curviI mistilinea = formata sia da tratti rettilinei sia da tratti curvi

Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali

3.3 La linea

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3.3 La linea

Alcuni esempi tratti da testi scolastici. Quali osservazioni si possono fare?

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3.3 La linea

Qualche buon esempio (C. Colombo Bozzolo, A. Costa, Nel mondo dellaGeometria, Erickson 2002).

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3.3 La linea

Osservazione: sia le linee chiuse sia quelle intrecciate (chiuse o aperte chesiano), suddividono il piano. Parleremo, pero di confine e di regioneinterna solo nel caso di linee chiuse e semplici.Il confine e la linea chiusa e semplice, la regione interna e la parte dipiano che tale linea circoscrive.

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3.3 La linea

Attivita. Proporre alcune opere pittoriche, fornendone una copia perogni bambino. Chiedere di ricalcare le linee presenti nell’opera e diclassificarle. Alcuni esempi:

Figura: Paul Klee, Insula dulcamara, 1938.

Figura: Vasilij Kandinskij, Composizione VIII, 1923.

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3.4 La linea retta

3.4 La linea retta

I E l’astrazione della traiettoria di un corpo in movimento chemantiene costante la propria direzione.

I Descrizione: ente geometrico avente un’unica dimensione, costituitoda infiniti punti che mantengono la stessa direzione; illimitata.

I Rappresentazioni: la scia di un aereo, la traccia rettilinea dellamatita sul foglio (con i puntini),...

I Notazione: lettere minuscole dell’alfabeto italiano.

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3.4 La linea retta

Quante rette passano per un punto?

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3.4 La linea retta

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3.4 La linea retta

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3.4 La linea retta

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3.4 La linea retta

Quante rette passano per un punto? Infinite. E un assioma.

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3.4 La linea retta

Attivita. Proporre immagini di rette e punti e chiedere se il puntoappartiene o meno alla retta, variando le posizioni reciproche (dopo averdiscusso sul significato di appartenere).

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3.4 La linea retta

Testi scolastici. Legame tra realta e enti geometrici.

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3.4 La linea retta