Confronto fra angoli La dimensione dell’angolo è l’ampiezza

in base all’ampiezza gli angoli si dicono:

congruenti (uguali)

maggiore

minore

la somma di due angoli la ottieni portandoli ad essere consecutivi

(il lato del primo deve appoggiare al lato del secondo angolo)

la bisettrice dell’angolo è una sola, ed è il segmento che parte dal vertice

dell’angolo e divide a metà l’angolo stesso

Un angolo minore di uno retto si dice acuto

Un angolo maggiore di uno retto si dice ottuso

complementari se la somma forma un angolo retto

supplementari se la somma forma un angolo piatto

esplementari se la somma (angolo blu e angolo rosso)

forma un angolo giro

Enti Geometrici

Punto indicato con lettere maiuscole A,B,C...

non ha ne dimensioni, ne parti

Linea ha 1 sola dimensione, la lunghezza

si indica con le lettere minuscole a, b, c...

curva retta spezzata

aperta chiusa semplice intrecciata

Retta contiene infiniti punti ed è illimitata in entrambe le direzioni

Piano ha 2 dimensioni, larghezza e lunghezza

queste figure si chiamano piane

Spazio ha 3 dimensioni, larghezza, lunghezza e altezza

queste figure si chiamano solidi

rapporto tra enti

enti tutti separati fra loro si dicono distinti

enti tutti uniti fra loro si dicono coincidenti

un punto rispetto al piano o alla retta può:

appartenere

non appartenere

una retta rispetto al piano può:

giacere

se tutti i punti appartengono al piano

e lo dividono in due parti

intersecare

se un solo punto appartiene al piano

punto di intersezione

parallela

se nessun punto è sul piano

simbolo di parallelismo

due rette su un piano possono essere:

complanari

se appartengono allo stesso piano

incidenti se hanno un solo punto in comune

parallele

se non hanno punti in comune

coincidenti

hanno tutti i punti in comune

gli assiomi sono delle affermazioni

1° assioma: da un punto passano infinte rette

2° assioma: da due punti passa una sola retta

Km hm dam m dm cm mm

Chilometro km 1km=10hm=100dam=1000m

Ettometro hm 1hm=10dam=100m

Decametro dam 1dam=10m

Metro m 1m

Decimetro dm 1dm=0,1m

Centimetro cm 1cm=0,1dm=0,01m

Millimetro mm 1mm=0,1cm=0,01dm=0,001m

esempio:

3 hm 9 m

2 km 4 hm 5 m

9 dam 5 cm

posiziona i numeri al loro posto nella tabella

dove non è indicata la lunghezza metti 0

metti la virgola dopo il primo numero a sinistra e riporta tutte le cifre

3hm 9m = 3,09

2km 4hm 5m = 2,405

9dam 5cm = 9,005

Km hm dam m dm cm mm

3 0 9

2 4 0 5

9 0 0 5

L’unità della misura di superficie è il metro quadrato

La misura di superficie ha due dimensioni

altezza e larghezza

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Chilometro quadrato km2 1km2=100hm2=10.000dam2=1.000.000m2

Ettometro quadrato hm2 1hm=100dam=10.000m2

Decametro quadrato dam2 1dam=100m2

Metro quadrato m2 1m2

Decimetro quadrato dm2 1dm=0,01m2

Centimetro quadrato cm2 1cm=0,01dm=0,0001m2

Millimetro quadrato mm2 1mm=0,01cm=0,0001dm=0,000001m2

esempio: m2 0,35 = dm2

ogni misura di superficie occupa due caselle (perchè le dimensioni sono due)

quindi la virgola si sposta di due posti

l’equivalenza vuole sapere quanti dm2 quindi sposto di due posti la virgola

m2 0,35 = dm2 35

Km2 hm

2 dam2 m2 dm2 cm

2 mm2

0, 3 5

0 3 5,

L’unità della misura di volume è il metro cubo

la misura di volume ha tre dimensioni

altezza larghezza e profondità

Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Chilometro cubo km3 1km3=1000hm3=1.000.000dam3=1.000.000.000m3

Ettometro cubo hm3 1hm3=1000dam3=1.000.000m3

Decametro cubo dam3 1dam3=1000m3

Metro cubo m3 1m3

Decimetro cubo dm3 1dm3=0,001m3

Centimetro cubo cm3 1cm3=0,001dm3=0,000001m3

Millimetro cubo mm3 1mm3=0,001cm3=0,000001dm3=0,000000001m3

esempio: m3 0,35 = dm3

ogni misura di volume occupa tre caselle (perchè le dimensioni sono tre)

quindi la virgola si sposta di tre posti

l’equivalenza vuole sapere quanti dm3 quindi sposto di tre posti la virgola

m3 0,35 = dm3 350

Km3 hm

3 dam3 m3 dm3 cm

3 mm

3

0, 3 5 0

Parallelismo

trasversale è una retta che taglia tutte le rette di un fascio

Proprietà

Si osservano gli angoli che una trasversale forma tagliando due

rette parallele

se prendiamo la metà colorata e la soprapponiamo alla metà

sopra, si vede che gli angoli corrispondono esattamente

trasversale

1 2

3 4

5 6

7 8

Alterni interni sono congruenti

Alterni esterni sono congruenti

1 2

3 4

5 6

7 8

1 2

3 4

5 6

7 8

Corrispondenti sono congruenti (uguali)

Alterni esterni sono congruenti

gli angoli alterni interni e esterni sono congruenti

gli angoli corrispondenti sono congruenti

gli angoli coniugati sono supplementari

due rette sono parallele quando tutti i punti di una, hanno la

stessa distanza dall’altra

1 2

3 4

5 6

7 8

Coniugati esterni sono supplementari

Cioè formano sommati un angolo piatto

1 2

3 4

5 6

7 8 Coniugati interni

Sono supplementari

Cioè formano sommati un angolo

piatto

La diagonale è un segmento che unisce due vertici non

consecutivi

Regola:

per sapere quante diagonali escono da ogni vertice bisogna

togliere il numero 3 dal numero dei lati del poligono

n (lati) - 3

quadrato 4 lati 4-3= 1 diagonale che esce da ogni vertice

pentagono 5 lati 5-3= 2 diagonali che escono da ogni vertice

Regola:

per sapere quante diagonali ci sono un poligono bisogna applicare

questa formula

n x (n – 3) : 2

quadrato 4 lati 4 x (4-3):2 = 2 diagonali nel quadrato

pentagono 5 lati 5 x (5-3):2 = 5 diagonali nel pentagono

Proprietà dei poligoni

La misura di un lato deve sempre essere più piccola della somma

degli altri lati.

esempio 1° lato lungo 6

2° lato lungo 3

3 °lato lungo 5

4 °lato lungo 10

6 + 3 + 5 = 14

il quarto lato deve essere minore di 14

Si (somma angoli interni)

la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°

la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°

la somma degli angoli interni di un pentagono è 540°

la somma si ottiene moltiplicando 180° x (n (lati) – 2)

Si = 180° x (n-2)

di un esagono:

Si = 180° x (6-2) = 180° x 4 = 720°

Se sappiamo la somma degli angoli possiamo stabilire quanti lati

ha il nostro poligono con la formula inversa

720° : 180° + 2 = 6

n = Si : 180° + 2

la somma degli angoli esterni di qualsiasi poligono è sempre 360°

se la somma di un angolo interno con il suo esterno è 180°

possiamo dire che la somma totale degli angoli interni e esterni

del triangolo è:

180° x 3 (angoli) = 540°

540° (somma angoli totali) - 180° (somma angoli interni) = 360°

del quadrilatero è:

180° x 5 (angoli) = 900° ecc…

900° - 540° = 360°

per calcolare la somma degli angoli esterni basterà togliere dalla

somma totale, la somma degli angoli interni ottenendo la somma

degli angoli esterni

Se = St - Si

1. la somma di un angolo interno con il suo corrispondente

esterno è sempre 180°

2. la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°

3. la somma degli angoli interni si moltiplica 180° per il numero

dei lati meno 2

4. per calcolare il numero dei lati sapendo la somma degli

angoli si divide questa con 180° più 2

5. la somma degli angoli esterni di un poligono è sempre 360°

Poligoni (in greco sign. figura con molti angoli)

linea spezzata

AB/BC/CD sono lati

A – B – C - D sono vertici

Una spezzata può essere: semplice intrecciata

chiusa aperta

una spezzata semplice chiusa ha una parte interna finita

e una esterna infinita

A D

C

B

A

D

C

B

Parte interna

finita Parte esterna

infinita

Il poligono è una parte di piano finito delimitato da una

spezzata chiusa

la linea spezzata costituisce

il contorno o confine del poligono

AB/BC/CD/DE/EA sono i lati del poligono

A/B/C/D/E sono i vertici del poligono

i vertici che hanno un lato in comune sono consecutivi

i lati che hanno un vertice in comune sono consecutivi

la somma dei lati è il perimetro così scritto 2p

il semiperimetro è invece scritto così p

isoperimetrici significa uguale perimetro

A

E

D

C

B

in un poligono ci sono angoli interni formati dai lati consecutivi

in un poligono ci sono angoli esterni formati dal lato e dal

prolungamento del lato consecutivo

in ogni poligono:

l’angolo interno è supplementare (180° angolo piatto) al suo

angolo esterno

i lati, i vertici e gli angoli interni sono in numero uguale

un lato è adiacente ai suoi angoli

un angolo è compreso fra i suoi lati

se i lati sono tutti uguali è un poligono equilatero

se gli angoli sono tutti uguali è un poligono equiangolo

se i lati e gli angoli sono tutti uguali è un poligono regolare

angolo

interno angolo esterno

C B

D A

prolungamento di AD

un poligono è:

convesso se non viene attraversato dai prolungamenti dei suoi lati

concavo se viene attraversato dai prolungamenti dei suoi lati

Convesso non contiene prolungamenti dei lati

concavo contiene prolungamenti dei lati

QUADRILATERI

- 4 lati

- 4 angoli

- 4 vertici

- 2 diagonali

- hanno almeno una coppia di lati opposti e paralleli

- la somma dei lati è il perimetro 2p

- la somma degli angoli interni ed esterni è 360°

- ogni lato è minore della somma degli altri tre

TRAPEZIO

ha 4 lati

di cui 2 opposti e paralleli (base maggiore e base minore)

2 diagonali

la somma degli angoli adiacenti ai lati obliqui (α e β) sono supplementari (angolo piatto 180°)

Base minore

Base maggiore

altezza lati obliqui

C K

AC e KB sono le

proiezioni dei lati obliqui

A B

α

β

Trapezio rettangolo ha due angoli retti

Trapezio isoscele se ha i lati obliqui uguali

Proprietà del trapezio isoscele

- gli angoli alle basi sono uguali α e β

- gli angoli opposti sono supplementari 180° (δ e β)

- le diagonali hanno la stessa lunghezza (sono congruenti)

- le proiezioni dei lati obliqui sono lunghe uguali (congruenti)

Trapezio scaleno se ha i lati obliqui diversi

α β

δ χ

PARALLELOGRAMMA

ha i lati opposti paralleli a due a due

- l’altezza rispetto alla base AB è DH

- l’altezza rispetto alla base BC è DK

- gli angoli opposti sono uguali α β e γ δ - gli angoli consecutivi sono supplementari 180°

α γ − α δ − δ β − β γ - i lati opposti sono uguali AB = CD – AD = BC

- le diagonali si intersecano a metà

A B

C D

H

K

α

β γ

δ

RETTANGOLO

è un parallelogramma che ha 4 angoli retti

e 2 diagonali uguali (congruenti)

le basi possono essere indifferentemente AB o BC o AD o DC

ROMBO

è un parallelogramma che ha 4 lati uguali

- le diagonali sono perpendicolari fra loro

e sono anche le bisettrici degli angoli da cui nascono

A B

C D

A

B

C

D

QUADRATO

è un parallelogramma che ha

- i lati tutti uguali

- gli angoli tutti retti

quindi è un poligono regolare

- le diagonali sono uguali

- sono perpendicolari fra loro

- sono bisettrici degli angoli

A B

C D

Rette

simbolo r s (si legge r perpendicolare a s)

due rette sono perpendicolari se formano 4 angoli retti

di 90°

individuato un punto esterno ad una retta e tracciando

una perpendicolare che parte dal punto, la retta rossa è

una sola, quindi unica

90° 90°

90° 90°

r

s

H Punto di intersezione

H Piede della perpendicolare

o proiezione di P sulla retta

P

H

proiezione di un segmento sulla retta r

A1 e B1 rappresentano la proiezione del segmento

r

A1 B1

A

B

r A = A1 B1

B

r

A

B1

B A1

r

A

A1=B1

B

obliquo incidente

perpendicolare

l’asse di un segmento è la retta perpendicolare che lo

interseca nel punto medio (sign. che lo taglia a metà)

la retta PQ rappresenta l’asse del segmento

qualsiasi punto che appartiene all’asse del segmento ha la

stessa distanza dagli estremi del segmento stesso

AR=RB

AS=SB

Q

A B

P

Q

A B

P R

s

rette parallele

quando non hanno alcun punto in comune

fascio di rette parallele

striscia parte di piano compresa tra due rette

parallele e le rette sono il contorno della striscia

per un punto passa una sola retta parallela alla retta data

striscia

segmento, retta e semiretta

il segmento è una retta compresa fra due punti

chiamati estremi

i segmenti possono essere:

consecutivi

adiacenti

una retta è una linea senza limiti da una parte e

dall’altra, quindi infinita , formata da tanti punti

consecutivi come un tratto di matita

se su una retta appoggiamo un punto chiamato origine,

questo forma due semirette infinite

estremi estremi

semiretta semiretta

origine

Congruenza di triangoli in generale

due triangoli sono congruenti se sovrapposti sono coincidenti

(uguali)

primo criterio

due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo uguali

secondo criterio

due triangoli sono congruenti se hanno un lato e due angoli adiacenti al

lato uguali

terzo criterio

due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati congruenti

Congruenza di triangoli rettangoli

Primo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno i due cateti uguali

Secondo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l’ipotenusa e l’angolo

acuto uguali

Terzo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e l’angolo

acuto adiacente uguali

Quarto criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e l’angolo

acuto opposto uguali

In base a quando detto il criterio generale di congruenza dei

triangoli rettangoli è:

due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l’ipotenusa e il

cateto uguali

cateto ipotenusa

In relazione agli angoli un triangolo può essere:

Triangolo acutangolo se ha tre angoli acuti (meno di 90°)

Triangolo rettangolo se ha un angolo retto (di 90°)

Triangolo ottusangolo se ha un angolo ottuso (più di 90°)

In relazione ai lati un triangolo può essere:

Triangolo isoscele se ha due lati uguali

Triangolo scaleno se ha tutti i lati diversi

Triangolo equilatero se ha tutti i lati uguali

acutangolo triang. rettangolo ottosangolo

isoscele scaleno equilatero

Triangolo rettangolo

visto che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° si

può dire che:

α è 90°

β γ sono complementari cioè la loro somma è 90°

β è 45°

γ è 45°

cateto

cateto

ipotenusa

α

γ

β

Triangolo isoscele

i lati obliqui sono congruenti

il lato diverso è la base

l’angolo opposto alla base è il vertice

gli angoli uniti alla base sono gli angoli alla base

e sono sempre della stessa ampiezza

lato obliquo lato obliquo

base

vertice

angolo alla base angolo alla base

Triangolo

a b c vertici

ab bc ca lati

α β γ angoli

la somma dei lati è il perimetro

i triangoli con il perimetro uguale sono isoperimetrici

per costruire un triangolo ogni lato deve essere più

piccolo della somma degli altri due

la somma degli angoli interni è sempre 180°

a

c

b

α

γ

β

elementi

Triangolo altezza e ortocentro

L’altezza è il segmento che scende perpendicolare dal

vertice al lato opposto

dove il segmento tocca il lato opposto è detto piede

dell’altezza

L’ortocentro è il punto in cui si incontrano le altezze

è interno nel triangolo acutangolo

è coincidente al vertice nel triangolo rettangolo

è esterno nel triangolo ottusangolo

a c

b

altezza

piede

ortocentro

Triangolo asse e circocentro

Gli assi sono rette perpendicolari che passano nella metà

di ogni lato.

In un triangolo sono tre come i lati e il punto in cui gli

assi si intersecano si dice circocentro.

Il circocentro è :

interno

esterno

coincidente con la metà dell’ipotenusa nel triangolo

rettangolo

equidistante dai vertici

assi circocentro

I segmenti rossi sono

equidistanti dai vertici,

infatti se traccio un cerchio

che li tocca tutti posso dire

che rappresentano anche i

raggi del cerchio

Triangolo bisettrice e incentro

La bisettrice è il segmento che scende dal vertice al

lato opposto e divide l’angolo al vertice a metà esatta.

In un triangolo sono tre come i vertici e il punto in cui le

bisettrici si intersecano si dice incentro

L’incentro è sempre all’interno del triangolo ed è

equidistante dai suoi lati.

Infatti i segmenti verdi IN IP IM che scendono

perpendicolari ai lati dall’incentro, sono tutti della stessa

lunghezza quindi sono alla stessa distanza dai lati

(equidistanti)

IN = IP = IM

bisettrice

incentro

mediane e baricentro

la mediana è il segmento che scende dal vertice alla

metà esatta del lato opposto.

In un triangolo sono tre come i lati e il punto in cui le

mediane si intersecano si dice baricentro

il baricentro è sempre all’interno del triangolo e divide la

mediana in due parti di cui una è il doppio dell’altra

fb = fa x 2

mediana

baricentro

a

b

f