Engineering Math 2 (12026003)

Lecture 3 (Complex Analysis)

Dr. Santhad Chuwongin

Outline 17.1 จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers)

17.2 ยกก ำลงและรำก (Powers and Roots)

17.3 เซทในระนำบเชงซอน (Sets in the Complex Plane)

17.4 ฟงกชนของตวแปรเชงซอน(Functions of a Complex Variable)

17.5 สมกำรโคช-รมนน(Cauchy–Riemann Equations)

17.6 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอกำรทม (Exponential and

Logarithmic Functions)

17.7 ฟงกชนตรโกณและไฮเพอรโบลค (Trigonometric and Hyperbolic

Functions)

17.8 อนเวอรสฟงกชนตรโกณและไฮเพอรโบลค (Inverse Trigonometric and

Hyperbolic Functions)

จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers)

• จ ำนวนเชงซอน คอจ ำนวนใดๆทอยในรป 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 โดยท x และ y คอจ ำนวนจรง และ i คอจ ำนวนจนตภำพ= −𝟏

–x คอสวนจรง หรอ Re(z)

–y คอสวนจนตภำพ หรอ Im(z)

–จ ำนวนเชงซอน 2 จ ำนวนจะเทำกน ถำทงสวนจรงและสวนจนตภำพเทำกน

• กำรด ำเนนกำรเกยวกบเลขคณต (Arithmetic operations) ทถกกระท ำกบจ ำนวนเชงซอน 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1และ 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2

– กำรบวก: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2

– กำรลบ: 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 − 𝑦2

– กำรคณ: 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑦1𝑥2 + 𝑥1𝑦2

– กำรหำร: 𝑧1

𝑧2=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2

𝑥22+𝑦2

2 + 𝑖𝑦1𝑥2−𝑥1𝑦2

𝑥22+𝑦2

2

• โมดลส หรอคำสมบรณของ z = 𝑥 + 𝑖𝑦

เทำกบ z = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧𝑧

จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers)

• กฏเหลำนใชไดกบจ ำนวนเชงซอน 𝑧1 และ 𝑧2

– กำรสลบท: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1

𝑧1𝑧2 = 𝑧2𝑧1

– กำรเปลยนหม: 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3

𝑧1 𝑧2𝑧3 = 𝑧1𝑧2 𝑧3

– กำรแจกแจง : 𝑧1 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑧1𝑧2 + 𝑧1𝑧3

จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers)

ยกก ำลงและรำก (Powers and Roots)

• จ ำนวนเชงซอน 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 สำมำรถถกเขยนใหอยในรป

𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ในพกดเชงขว (𝑟, 𝜃)

– 𝑟 คอคำโมดลสของ 𝑧

– 𝜃 คอคำอำกวเมนตของ 𝑧 และ 𝜃 = arg 𝑧

Figure 17.2.1: Polar coordinates

• จ ำนวนเชงซอนยกก ำลงจ ำนวนเตมถกแสดงไดโดย 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃)

• กำรคณและกำรหำรในรปเชงขว

𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2[𝑐𝑜𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (𝜃1 + 𝜃2)] 𝑧1𝑧2=𝑟1𝑟2 [𝑐𝑜𝑠 (𝜃1 − 𝜃2) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (𝜃1 − 𝜃2)]

• จำกสมกำรดำนบน ไดวำ

𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 ,𝑧1𝑧2=𝑧1𝑧2

arg 𝑧1𝑧2 = arg 𝑧1 + arg 𝑧2

arg 𝑧1

𝑧2= arg 𝑧1 − arg 𝑧2

ยกก ำลงและรำก (Powers and Roots)

• สตรของเดอมวร (DeMoivre’s formula) มประโยชนในกำรหำเอกลกษณตรโกณมตบำงอยำง

– เมอ 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 ,สตรของเดอมวรกลำววำ

𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑛 = (𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃) • รำกของจ ำนวนเชงซอนมคำเทำกบ

𝑤𝑘 = 𝑟1𝑛 𝑐𝑜𝑠

𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛

– เมอ 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 คอจ ำนวนคำรำกท n

ยกก ำลงและรำก (Powers and Roots)

เซทในระนำบเชงซอน (Sets in the Complex Plane)

• ถำแตละจด z ของเซท S เปนจดทอยภำยใน(interior point), S

จะเปนเซทเปด (open set) ดงรปซำยมอ

Figure 17.3.2: Open set Figure 17.3.3: Open set magnified view of a point near x = 1

เซทในระนำบเชงซอน (Sets in the Complex Plane)

เซทในระนำบเชงซอน (Sets in the Complex Plane)

1 2 1

• ถำมจด z1 และ z2 ในเซทเปด S ถกเชอมตอโดยเสนทมหลำยมมทวทง S เรำจะเรยก S วำ “connected set”

• เซททถกเชอมตอเหลำนจะถกเรยกวำ “โดเมน”

• รเจยน (region) คอโดเมนในระนำบเชงซอน

ทงหมด, บำงสวน, หรอ ไมมขอบเขต

• รเจยน ทประกอบดวยจดทงหมดของขอบเขตจะถกเรยกวำปด

(closed)

เซทในระนำบเชงซอน (Sets in the Complex Plane)

Figure 17.17.3.6: Connected

set

ฟงกชนของตวแปรเชงซอน(Functions of a Complex Variable)

• ฟงกชนของตวแปรเชงซอน 𝑓 จำกเซท 𝑍 ไป 𝑊 คอควำมสมพนธ (rule of correspondence) ซงก ำหนดวำแตละองคประกอบใน 𝑍 สมพนธแบบหนงตอหนงแตละองคประกอบใน 𝑊 โดยท Z เซทของจ ำนวนเชงซอน 𝑧

– ถำ 𝑤 เปนองคประกอบใน 𝑊 ถกก ำหนดไปหำ 𝑧 ใน 𝑍, w คอ ภำพ (image) ของ 𝑧 และถกเขยนเปน 𝑤 = 𝑓(𝑧)

– 𝑍 เปนโดเมนของ 𝑓

– เซทของทกภำพใน 𝑊 คอเรนจ (range) ของ 𝑓 𝑤 = 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

• กรำฟของ 𝑤 = 𝑓(𝑧) ไมสำมำรถถกวำดไดเนองจำกมนตองกำรทงหมด 4 แกนในระบบพกด 4 มต

• ฟงกชนจะถกแปลเปนกำรแมปปง (mapping ) หรอกำรแปลง(transformation) จำกระนำบ 𝑧 ไประนำบ 𝑤

Figure 17.4.1: Mapping from z-plane to w-plane

ฟงกชนของตวแปรเชงซอน(Functions of a Complex Variable)

• ลมตของ 𝑓 ท 𝑧0 คอ lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 = 𝐿

ส ำหรบ 휀 > 0 จะม δ > 0 ดงนน 𝑓 𝑧 − 𝐿 < 휀

เมอไหรกตำมท 0 < 𝑧 − 𝑧0 < δ

* f must be defined in a

neighborhood of z0

Figure 17.4.5: Geometric meaning of a complex limit

ฟงกชนของตวแปรเชงซอน(Functions of a Complex Variable)

สมกำรโคช-รมนน(Cauchy–Riemann Equations)

• สมกำรโคช-รมนน สมพนธกบอนพนธยอยล ำดบท 1

–ถำ 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) สำมำรถหำอนพนธไดทจด 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ดงนน ทจด 𝑧 จะมอนพนธยอยล ำดบท 1 ของ 𝑢 และ 𝑣 และสอดคลองกบ สมกำรโคช-รมนน

𝜕𝑢

𝜕𝑥=𝜕𝑣

𝜕𝑦 และ 𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑣

𝜕𝑥

• คำจรงของฟงกชน 𝜙(𝑥, 𝑦) ซงมอนพนธยอยล ำดบท 2 ตอเนองในโดเมน 𝐷 และสอดคลองกบสมกำรลำปลำซ จะถกเรยกวำ ฮำรโมนค (harmonic) ใน 𝐷

• ฟงกชนจะเปนฟงกชนวเครำะหในโดเมน ถำมนมอนพนธทกจด

• ถำ 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) เปนฟงกชนวเครำะหในโดเมน 𝐷ดงนนฟงกชน u และ v เปนฮำรโมนค

สมกำรโคช-รมนน(Cauchy–Riemann Equations)

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอกำรทม (Exponential and Logarithmic Functions)

• ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ

𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 = 𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑦)

• อนพนธของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ

𝑑𝑒𝑧

𝑑𝑧= 𝑒𝑧

• มคำเปนอนฟนตของคำลอกำลทมของจ ำนวนเชงซอน 𝑧 ln 𝑧 = log𝑒 𝑧 + 𝑖 𝜃 + 2𝑛𝜋 , 𝑛 = 0,±1,±2,…

ฟงกชนตรโกณและไฮเพอรโบลค (Trigonometric and Hyperbolic Functions)

• ส ำหรบจ ำนวนเชงซอน ใดๆ 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

sin 𝑧 =𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧

2𝑖 , cos 𝑧 =

𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧

2

• คำอนพนธและคำเอกลกษณของจ ำนวนเชงซอนของฟงกชนตรโกณมต จะเหมอนกบฟงกชนจ ำนวนจรง

• ฟงกชนไฮเพอรโบลคไซนและโคไซน เทยบไดกบจ ำนวนจรง

sinh 𝑧 =𝑒𝑧 − 𝑒−𝑧

2 , cosh 𝑧 =

𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧

2

อนเวอรสฟงกชนตรโกณและไฮเพอรโบลค (Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions)

• อนเวอรสของฟงกชนลอกำลทมและอนพนธ มคำดงน

sin−1 𝑧 = −𝑖 𝑙𝑛 𝑖𝑧 + 1 − 𝑧212

𝑑sin−1𝑧

𝑑𝑧=

1

1 − 𝑧212

cos−1 𝑧 = −𝑖 𝑙𝑛 𝑧 + 𝑖 1 − 𝑧212

𝑑cos−1𝑧

𝑑𝑧=

1

1 − 𝑧212

tan−1 𝑧 =𝑖

2𝑙𝑛𝑖 + 𝑧

𝑖 − 𝑧 𝑑tan−1𝑧

𝑑𝑧=1

1 + 𝑧2

Engineering Math 2 (12026003)

Lecture 4 (Integration in the Complex Plane)

Dr. Santhad Chuwongin

Outline

18.1 คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)

18.2 ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)

18.3 ควำมเปนอสระของเสนทำง (Independence of the Path)

18.4 สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)

คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)

• ให 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) สำมำรถหำคำไดททกจดบนเสนโคงเรยบ 𝐶 ซงคอ 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

• แบง 𝐶เปน 𝑛 สวนดงน 𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < ⋯ < 𝑡1 = 𝑏 บนชวง [𝑎, 𝑏] • 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 = 𝑥 𝑡0 + 𝑖𝑦 𝑡0 , … , 𝑧𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑖𝑦𝑛 = 𝑥 𝑡𝑛 + 𝑖𝑦 𝑡𝑛

โดยให ∆𝑧𝑘= 𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛

• ให 𝑃 เปนนอรมของสวนซงมคำมำกทสดของ ∆𝑧𝑘

• เลอกจดตวอยำง 𝑧𝑘∗ = 𝑥𝑘

∗ + 𝑖𝑦𝑘∗ บนแตละสวน(จดแดง)

• หำผลรวม 𝑓(𝑧𝑘

∗)

𝑛

𝑘=1

∆𝑧𝑘

คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)

• อนทกรลของ 𝑓(𝑧) บนเสนโคงเรยบ 𝐶 ซงตอเนองเปนชวงๆ (contour or path) ถกเรยกวำ คอนทวรอนทกรลหรอคอมเพลกซอนทกรล

𝑓(𝑧)𝐶

𝑑𝑧 = lim𝑃 →0 𝑓(𝑧𝑘

∗)

𝑛

𝑘=1

∆𝑧𝑘

𝐶 ถกก ำหนดโดย 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

• คอนทวรอนทกรล จะมคำเทำกบ

𝑓(𝑧)𝐶

𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑡𝑏

𝑎

𝑧′(𝑡)𝑑𝑡

คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)

• คณสมบตของคอนทวรอนทกรล เปรยบเทยบไดกบคณสมบตของไลนอนทกรล

• ถำ 𝑓 ตอเนองบนเสนโคงเรยบ 𝐶 และถำ 𝑓(𝑧) ≤ 𝑀

ส ำหรบทกจด 𝑧 บน 𝐶, ดงนน 𝑓 𝑧𝐶𝑑𝑧 ≤ 𝑀𝐿

โดยท 𝐿 เปนควำมยำวของ 𝐶

–ทฤษฎขอบเขต (Bounding Theorem)

หรอบำงครงถกเรยกวำ “ML-inequality”

– มประโยชนในเรองทฤษฎของกำรอนทเกรทจ ำนวนเชงซอน

คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)

• จงหำขอบเขตบนของโจทย โดยใช ML-inequality โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 = 4

• ในขอ 3, 𝐶 คอ quarter ของวงกลม 𝑧 = 4 จาก 𝑧 = 4𝑖 ถง 𝑧 = 4

คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)

≤𝑒48𝜋

3≈ 457

𝑒𝑧

𝑧 + 1𝐶

𝑑𝑧

𝑒𝑧

𝑧2 + 1𝐶

𝑑𝑧

1

𝑧3𝐶

𝑑𝑧

≤8𝜋 𝑒𝑧

𝑧 2 − 1=𝑒48𝜋

15≈ 91.5

≤2𝜋

4 3=𝜋

32

ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)

• ประเภทโดเมน

• โดเมนจะเปน simply connected ถำทกๆ simple closed contour 𝐶 ทงหมดทอยใน

โดเมนนปดลอมเพยงจด 𝐷 (หรอ โดเมนไมมร)

• โดเมนทไมเปน simply connected จะเปน multiply connected

•โดเมนทม 1 “hole” จะเปน doubly connected

•โดเมนทม 2 “hole” จะเปน triply connected

• ตำมททฤษฎบทของโคช-กรซำตกลำวไว เมอ 𝑓เปนฟงกชนวเครำะห (analytic) ในโดเมน 𝐷 ทเปนแบบ simply connected คำของคอน

ทวรอนทกรล 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶 มคำเทำกนส ำหรบเสนโคงปด 𝐶 ซงอย

ภำยใน 𝐷 ทงหมด

• ถำ 𝑓 เปนฟงกชนวเครำะห ททกๆจดทอยภำยใน

หรอบนคอนทวร 𝐶, แลว 𝑓 𝑧 𝑓𝑧𝐶= 0

ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)

• กำรพสจนทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat theorem) จะใช

ทฤษฎบทของกรน (Green’s theorem) และสมกำรของโคช-รมนน (Cauchy-

Riemann equations)

• 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) และ 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦

• 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶= 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦𝐶

= 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑣(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐶+

𝑖 𝑣 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐶= −

𝜕𝑣

𝜕𝑥−𝜕𝑢

𝜕𝑦𝐷𝑑𝐴 + 𝑖

𝜕𝑢

𝜕𝑥−𝜕𝑣

𝜕𝑦𝐷𝑑𝐴

• ถำ 𝑓 เปน analytic, ดงนน 𝜕𝑢𝜕𝑦

= −𝜕𝑣

𝜕𝑥 และ 𝜕𝑢

𝜕𝑥=𝜕𝑣

𝜕𝑦 ท ำให 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 0𝐶

ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)

• ในโดเมนทเปนแบบ multiply connected, 𝑓(𝑧)𝐶𝑑𝑧 ≠ 0

– สมมตวำ 𝐶, 𝐶1, … , 𝐶𝑛 เปนเสนโคงแบบ simple closed ทมทศทำงเปนบวก 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 อยใน 𝐶

– แตบรเวณทอยภำยในของแตละ 𝐶𝑘 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 จะไมมจดรวมกน

– 𝑓 เปนฟงกชนวเครำะหบนแตละคอนทวรและทแตละจดภำยใน 𝐶 แตไมใชภำยนอก 𝐶𝑘 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛

𝑓 𝑧

𝐶

𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧

𝐶𝑘

𝑛

𝑘=1

ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)

𝑓 𝑧

𝐶

𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧

𝐶𝑘

𝑛

𝑘=1

จงหำคำ 𝑑𝑧

𝑧2+1𝐶 โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 = 3

1

𝑧2 + 1=1/2𝑖

𝑧 − 𝑖−1/2𝑖

𝑧 + 𝑖

𝑑𝑧

𝑧2 + 1𝐶

=1

2𝑖 1

𝑧 − 𝑖−1

𝑧 + 𝑖𝑑𝑧

𝐶

𝑑𝑧

𝑧2 + 1𝐶

=1

2𝑖 1

𝑧 − 𝑖−1

𝑧 + 𝑖𝑑𝑧

𝐶1

+1

2𝑖 1

𝑧 − 𝑖−1

𝑧 + 𝑖𝑑𝑧

𝐶2

=1

2𝑖2𝜋𝑖 − 0 + 0 − 2𝜋𝑖 = 0

ทฤษฎบทของโคช-กรซำต (Cauchy–Goursat Theorem)

ควำมเปนอสระของเสนทำง (Independence of the Path)

• คอนทวรอนทกรล 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶 เปนอสระของ

เสนทำง ถำคำของมนมคำเทำกนในทกเสนทำงคงท 𝐶 ดวยจดเรมตน 𝑧0และจดสนสด 𝑧1 ใน 𝐷

• ถำ 𝑓 เปนฟงกชนวเครำะหใน simply connected

domain 𝐷, ดงนน 𝑓 𝑧 𝑑𝑧𝐶 เปนอสระของ

เสนทำง 𝐶 Figure 18.3.1: If f is analytic in D, integrals on C and C1 are equal

ควำมเปนอสระของเสนทำง (Independence of the Path)

• ถำมฟงกชน 𝐹 ทสำมำรถมได โดยท 𝐹′ 𝑧 = 𝑓(𝑧) ดงนน, 𝐹

เปนปฏยำนพนธของ 𝑓 (antiderivative)

• ตวอยำง , 𝐹 𝑧 = −cos 𝑧 เปนปฏยำนพนธของ 𝑓 𝑧 = sin 𝑧 เพรำะวำ 𝐹′ 𝑧 = sin 𝑧

• ถำ 𝑓 ฟงกชนทตอเนองในโดเมน 𝐷 และ 𝐹 เปนปฏยำนพนธของ 𝑓 ในโดเมน 𝐷 , ดงนน ส ำหรบทกคอนทวร C ซงมจดเรมตน 𝑧0และจดสนสด 𝑧1 ใน 𝐷

𝑓 𝑧 𝑑𝑧

𝐶

= 𝐹 𝑧1 − 𝐹 𝑧0

สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)

• ทฤษฎบทของโคช-กรซำต มควำมส ำคญหลำยอยำง

–คำของฟงกชนวเครำะห 𝑓 ทจด 𝑧0 ใดๆในโดเมนแบบ

simply connected สำมำรถถกแทนดวยคอนทวรอนทกรล

𝑓 𝑧0 =1

2𝜋𝑖 𝑓(𝑧)

𝑧 − 𝑧0𝐶

𝑑𝑧

– ฟงกชนวเครำะห 𝑓 ในโดเมนแบบ simply connected สำมำรถ

หำอนพนธทกล ำดบ 𝑓(𝑛) 𝑧0 =𝑛!

2𝜋𝑖

𝑓(𝑧)

(𝑧−𝑧0)𝑛+1𝐶𝑑𝑧

• ตำมทสตรโคชอนทกรลกลำวไว ส ำหรบฟงกชนวเครำะห 𝑓 ในโดเมน 𝐷

แบบ simply connected, ดวย 𝐶 เปนคอนทวรแบบ simple

closed อยใน 𝐷 และจด 𝑧0 ใดๆทอยภำยใน 𝐶 ดงแสดงในรปดำนลำง

𝑓 𝑧0 =1

2𝜋𝑖 𝑓(𝑧)

𝑧 − 𝑧0𝐶

𝑑𝑧

สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)

𝑧2 − 4𝑧 + 4

𝑧 + 𝑖𝐶

𝑑𝑧 =? โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 = 2

𝑧2 − 4𝑧 + 4

𝑧 + 𝑖𝐶

𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖𝑓 −𝑖 = 2𝜋𝑖 −𝑖 2 + 4𝑖 + 4 = 2𝜋(−4 + 3𝑖)

𝑧

𝑧2 + 9𝐶

𝑑𝑧 =? โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 − 2𝑖 = 4

𝑧

𝑧2 + 9𝐶

𝑑𝑧 = 𝑧

(𝑧 + 3𝑖)(𝑧 − 3𝑖)𝐶

𝑑𝑧 = 𝑧/(𝑧 + 3𝑖)

𝑧 − 3𝑖𝐶

𝑑𝑧

= 2𝜋𝑖𝑓 3𝑖 = 2𝜋𝑖3𝑖

6𝑖= 𝜋𝑖

สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)

𝑓 𝑧0 =1

2𝜋𝑖 𝑓(𝑧)

𝑧 − 𝑧0𝐶

𝑑𝑧

𝑧 + 1

𝑧4 + 4𝑧3𝐶

𝑑𝑧 =? โดยท 𝐶 คอวงกลม 𝑧 = 1

สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)

= 𝑧 + 1

𝑧3(𝑧 + 4)𝐶

𝑑𝑧 = (𝑧 + 1)/(𝑧 + 4)

𝑧3𝐶

𝑑𝑧

=2𝜋𝑖

2!𝑓′′ 0

𝑓 𝑛 𝑧0 =𝑛!

2𝜋𝑖

𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1

𝐶

𝑑𝑧

=2𝜋𝑖

2!−6

(0 + 4)3

= −3𝜋𝑖

32

𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝐶

𝑑𝑧 =? โดยท 𝐶 คอ

สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)

= 𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝐶1

𝑑𝑧 + 𝑧3 + 3

𝑧(𝑧 − 𝑖)2𝐶2

𝑑𝑧

= (𝑧3 + 3)/(𝑧 − 𝑖)2

𝑧𝐶1

𝑑𝑧 + (𝑧3 + 3)/𝑧

(𝑧 − 𝑖)2𝐶2

𝑑𝑧

= 2𝜋𝑖 × 3 +2𝜋𝑖

1!𝑓′ 𝑖

= 6𝜋𝑖 + 2𝜋𝑖(2𝑖 − 3/𝑖2)

= 6𝜋𝑖 − 4𝜋 + 6𝜋𝑖

= 12𝜋𝑖 − 4𝜋

𝑓 𝑛 𝑧0 =𝑛!

2𝜋𝑖

𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1

𝐶

𝑑𝑧

𝑓 𝑧0 =1

2𝜋𝑖 𝑓(𝑧)

𝑧 − 𝑧0𝐶

𝑑𝑧

𝑓(𝑧)

𝑧 − 𝑧0𝐶

𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0 + 𝑓(𝑧0)

𝑧 − 𝑧0𝐶

𝑑𝑧

𝑓(𝑧)

𝑧 − 𝑧0𝐶

𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0𝑧 − 𝑧0𝐶

+ 𝑓 𝑧0𝑧 − 𝑧0𝐶

𝑑𝑧 = 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0𝑧 − 𝑧0𝐶

+ 2𝜋𝑖𝑓 𝑧0

เนองจำก 𝑓 ตอเนองท 𝑧0 จะท ำให 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑧0 < 휀 ส ำหรบ 휀 > 0 แตเลกมำกๆ

และ 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 ส ำหรบ 𝛿 > 0 และถำเรำเลอก 𝐶1ใหเปน 𝑧 − 𝑧0 =𝛿

2 ดงนน ใช

ML-inequality

𝑓 𝑧 −𝑓 𝑧0

𝑧−𝑧0𝐶𝑑𝑧 ≤

2

𝛿2𝜋𝛿

2= 2𝜋휀 = 0 เนองจำก 휀 เลกมำกๆ

สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)

• ตำมทสตรโคชอนทกรลกลำวไวเกยวกบอนพนธ, ส ำหรบฟงกชนวเครำะห 𝑓 ในโดเมน 𝐷 แบบ simply connected ซงม 𝐶 เปนคอนทวรแบบ simple closed ทอยภำยใน 𝐷 และ 𝑧0 เปนจดใดๆทอยภำยใน 𝐶 อนพนธของฟงกชนวเครำะห 𝑓 ทจด 𝑧0 จะเทำกบ

𝑓 𝑛 𝑧0 =𝑛!

2𝜋𝑖

𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1

𝐶

𝑑𝑧

สตรโคชอนทกรลส ำหรบอนพนธ (Cauchy’s Integral Formulas for Derivatives)

• ถำเรำมคอนทวร 𝐶 เปนวงกลม 𝑧 − 𝑧0 = r ดงนน,มนเปนไปตำมสตรโคช

อนทกรลส ำหรบอนพนธ และ ML-inequality ดงนน

𝑓 𝑛 (𝑧0) =𝑛!

2𝜋 𝑓(𝑧)

(𝑧 − 𝑧0)𝑛+1

𝐶

𝑑𝑧 ≤𝑛!

2𝜋𝑀1

𝑟𝑛+12𝜋𝑟 =

𝑛!𝑀

𝑟𝑛

โดยท 𝑀 คอจ ำนวนจรง ซง 𝑓(𝑧) ≤ 𝑀 ส ำหรบทกจดบน 𝐶 ผลจำกสมกำรนจะถกเรยกวำ

“Cauchy’s inequality” ซงจะถกใชในกำรพสจนทฤษฎบทของลววว (Liouville’s

Theorem) (The only bounded entire functions are constants)

สตรโคชอนทกรล (Cauchy’s Integral Formulas)