Elettronica dello Stato Solido Lezione 11: Statistica dei...

Elettronica dello Stato Solido

Lezione 11: Statistica dei portatori

Daniele Ielmini

DEI – Politecnico di Milano

[email protected]

mailto:[email protected]

Outline

2D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 11

• Densità di portatori in

– Metalli

– Semiconduttori/isolanti

• Densità di stati in approssimazione parabolica (1D, 2D, 3D)

• Statistica di particelle

– Fermi-Dirac

– Bose-Einstein

– Maxwell-Boltzmann

• Conclusioni

Introduzione

• Per calcolare la densità di corrente di

elettroni j = -qnv nei semiconduttori/metalli

abbiamo bisogno di:

– Velocità v = mF

– Densità di portatori n che partecipano al

trasporto banda di conduzione

• La densità di portatori si ottiene come

prodotto di densità di stati per probabilità

di occupazione, da integrare sull’energia

D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 11 3

( ) ( )

CE

n g E f E dE

Metalli

• Il livello di Fermi (potenziale chimico degli elettroni nel solido, funge da confine tra stati occupati e vuoti) è allineato con una banda la banda è parzialmente piena alta conducibilità elettrica e termica


k

E

EC

E

g(E)EV

E

f(E)

EF

Semiconduttori/isolanti

• Il livello di Fermi (potenziale chimico degli elettroni nel solido, funge da confine tra stati occupati e vuoti) è allineato con un gap la banda è completamente piena (valenza) o vuota (conduzione) a T = 0 K, bassa conducibilità elettrica e termica


k

E

EC

E

g(E)EV

E

f(E)

EF

Outline



– Metalli




– Fermi-Dirac

– Bose-Einstein


• Conclusioni

Struttura a bande reale


Approssimazione parabolica

• Dato che i fenomeni di trasporto e ottici avvengono normalmente in corrispondenza del fondo/apice della banda di conduzione/valenza, è legittimo adottare l’approssimazione parabolica

per ricavare una formula analitica per la densità di stati g(E)


22

2 C

e

E E km

Densità di stati 1D

• Condizioni periodiche al

contorno:


k

E

+p/a-p/a

0

20 1

( ) ( )

( ) ( )

ikNa ikNa

Na

u Na e u e k nNa

p

0 1 22

, , ,..., N

n

• Due stati sull’asse k distano pertanto

e la densità è

2 k

Na

p

1 2 1 22

2( )

/

s

dk dkg k dk g dk

k Na Na

p p

Lunghezza tra k e k+dk

SpinVolume cristallo


• Densità in energia:

• Relazione E-k:

• Quindi


k

E

+p/a-p/a

2 22

2 C

e e

dEE E k k

m dk m

1 2

22 1( ) ( )

e eD

C

m mdkg E g k

dE k E Ep p

( ) ( )g E dE g k dk

EC

EV

g(E)

E


• Condizioni periodiche al contorno:

• Volume associato allo stato k:

• Quanti stati tra k e k+dk?


1 1 2 2

1 1 2 2

2 2, k n k n

N a N a

p p

2 2

2

1 1 2 2

2 2

k

N a N a

p p

2

2 12

2( )

/

kdk kg k dk dk

p

pp

Area tra k e k+dk

SpinVolume (area) del cristallo

k1

k2

E

k1

k2

dkk=(k1

2+k22)1/2


• Relazione E-k:

• Quindi:


2 2 2( ) ( ) ( )

e eD

m mkg E dE g k dk g E

kp p

k1

k2

E

2 2 2

2 2 2

1 22 2

C C

e e e

dEE E k k E k k

m m dk m

k1

E

+p/a1-p/a1

EC

EV

g(E)

E


• Condizioni periodiche al contorno:

• Volume associato allo stato k:

• Quanti stati tra k e k+dk?


1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

2 2 2, , k n k n k n

N a N a N a

p p p

3 3

3

1 1 2 2 3 3

2 2

k

N a N a N a

p p

2 2

3 2

4 12

2( )

/

k dk kg k dk dk

p

pp

Volume tra k e k+dk

SpinDensità per area unitaria

k1

k2

k3

k1

k2

k3



k1

k2

k3

k1

E

+p/a1-p/a1

EC

EV

g(E)

E

• Relazione E-k:

• Quindi:

3 22

3 2 2 2 3

2

2

/

( ) ( ) ( )

ee

D C

mmkg E dE g k dk g E E E

kp p

2 2 2

2 2 2 2

1 2 32 2

C C

e e e

dEE E k k k E k k

m m dk m

Massa efficace DOS

• Banda di conduzione:

• Banda di valenza:

• Le masse m*n e m*p sono chiamate masse

efficaci DOS (density of states)

• Per minimi/massimi unici (G) e isotropi le masse

DOS coincidono con la massa del portatore, e.g.

m*n = m*e per la banda di conduzione del GaAsD. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 11 15

3 2

2 3

2

2

/

( )

n

C C

mg E E E

p

EC

EV

g(E)

E

3 2

2 3

2

2

/

( )

p

V V

mg E E E

p

Casi degeneri/anisotropi

• Per casi degeneri (e.g. valli multiple in banda di conduzione) e/o anisotropi (e.g. masse trasversali e longitudinali), dobbiamo ricavare una massa DOS tale che la sfera di Fermi equivalente (m*n isotropa) contenga lo stesso numero di stati degli ellissoidi (m*t, m*l) di Fermi reali stesso volume (k equidistribuiti)


kx

ky

kz

kx

ky

kz

Casi degeneri/anisotropi


kx

ky

kz

kx

ky

kz

2 2 22 2

1 2 3

2

3

23

2

12

2

4 42

3 3

C

n eff

n C

eff

Ceff n

k k kkE E

m k

m E Ek

E Evol k mp p

2 2 2 2 22 2 22 3 2 31 1

2 2

31

22 2 2

2

12 2

2 2

4 42

3 3

,

C

l t

l C t C

Cl t

k k k kk kE E

m m

m E E m E E

E Evol g g m m

p p

Massa DOS di Si e Ge

• Ponendo uguali i volumi (pari numero, e

quindi densità, di stati per ogni energia) si

ottiene:

• In banda di valenza, si deve tenere conto

della degenerazione hh/lh: basta sommare

le densità di stati (gV=ghh+glh), ottenendo:


2 1 23 1

2 3 3 32 2 n l t n l tm g m m m g m m

23 3 32 2

p hh lhm m m

Masse DOS in Ge, Si, GaAs

• Masse DOS in banda di conduzione:

– Ge: m*n/m0= 42/31.591/30.08152/3 = 0.553

– Si: m*n/m0 = 62/30.9161/30.192/3 = 1.06

– GaAs: m*n/m0 = m*e/m0 = 0.067

• Masse DOS in banda di valenza

– Ge: m*p/m0 = (0.3473/2+0.04293/2)2/3 = 0.357

– Si: m*p/m0 = (0.5373/2+0.1533/2)2/3 = 0.59

– GaAs: m*p/m0 = (0.513/2+0.0823/2)2/3 = 0.532


Massa di conduzione

• Si impiega ai fini del calcolo della mobilità

• Le diverse masse danno contributi in

parallelo alla conduzione: dato che la

conducibilità è inversamente proporzionale

alla massa, la media deve effettuarsi

sull’inverso delle masse


2 2 2

1 3

1 26

l t tc

c

l t

m m mm

m

m m

kx

ky

kz

m*c/m0=0.26 (Si)

m*c/m0=0.12 (Ge)

Outline



– Metalli




– Fermi-Dirac

– Bose-Einstein


• Conclusioni

Statistica di particelle

• Problema: sistema con N particelle identiche e debolmente interagenti, volume costante

• Livelli in energia discreti che raggruppiamo in gruppi di gj

stati a energia Ej

• Occupazione (0/1) degli Ej

equiprobabile

• gj = degenerazione

• Nj = numero di particelle sul livello Ej (distribuite sui gj

stati)D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 11 22

E1

E2

E3

E4

g3

g4

g2

g1

N

N4 = 3

N3 = 4

N2 = 3

N1 = 4

Numero di configurazioni

• Quante sono le possibili configurazioni di

un particolare stato del sistema?

• Numero di configurazioni = W

• Lo stato del sistema con il massimo

numero di configurazioni rappresenta il più

probabile stato di equilibrio

• Il massimo numero di configurazioni

coincide con il massimo dell’entropia:


logS k W

Statistica di Fermi-Dirac – 1

• Particelle indistinguibili: dalla meccanica quantistica, lo scambio di due particelle tra i rispettivi stati non è rilevabile da nessuna misura fisica

• In ogni stato è possibile collocare una sola particella (principio di esclusione di Pauli)

• Nota: gli stati sono sempre a coppie, spin

• Stato del sistema = Nj particelle sul livello Ej


Statistica di Fermi-Dirac – 2

• In quanti modi posso collocare

Nj palline in gj stati?

• La prima in gj modi, la

seconda in gj-1, la terza in gj-

2.. l’ultima in gj-Nj+1

• Particelle indistinguibili il

numero è da ridurre per le

permutazioni di Nj particelle

• Estendendo alla sequenza di

livelli energetici


Ej

gj

Nj

!

! !

j

j j j

g

N g N

!

!

j

j j

g

g N

!

! !

j

FD

j j j j

gW

N g N

Formula di Stirling

• Calcoliamo il logaritmo logWFD:

• Formula di Stirling logx!=xlogx-x


log log ! log ! log ! FD j j j j

j j j

W g N g N

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40

logM!

Stirling

Condizione di massimo vincolato

• Quindi:

• Massimizziamo logWFD:

• Con i vincoli:


log log log FD j j j j j j

j j

W g g g N N N

( )log( ) ( ) j j j j j j

j

g N g N g N

log log ( )log( ) j j j j j j j j

j

g g N N g N g N

0log

log

FDFD j

j j

WW N

N

0

0

j

j

j j

j

N N

U E N

Moltiplicatori di Lagrange

• Se devo trovare il massimo di una funzione a 2 variabili f(x,y) sottoposto al vincolo g(x,y)=c, cerco le soluzioni tra i punti di stazionarietà della funzione

• Nel nostro caso quindi impongo:

• Ma data l’indipendenza dei Nj, la soluzione è che ogni termine nella sommatoria si annulli:


( , ) ( , ) f x y g x y c

0log

log

FD

FD j j

j j

WW a N b U a bE N

N

0log

FDj

j

Wa bE

N

Metodo MDL


• Funzione f(x,y) valutata sulla curva g(x,y)=c

• Nel punto di massimo vincolato, il contour di f e la curva g(x,y)=c sono tangenti

• Equivalentemente, in quel punto il gradiente di f(x,y) e quello di g(x,y)-c sono paralleli, i.e. proporzionali, con coefficiente di proporzionalità

http://it.wikipedia.org/wiki/File:LagrangeMultipliers2D.svg

Risultato

• Sostituendo

• Trovo:

• E quindi

• Ricavo una probabilità di occupazione:

• Significato di a, b? serve supporto dalla teoria termodinamica


1 1log

log log( )

FDj j j j

j

WN g N a bE

N

log log log ( )log( ) FD j j j j j j j j

j

W g g N N g N g N

ja bEj j

j

g Ne

N 1

j

j

j a bE

gN

e

1

1,

j

j

j FD a bE

j

Nf

g e

Prima legge della termodinamica• L’energia in un processo termodinamico si conserva

(non può essere creata o distrutta, ma solo trasformata)

• Dove U = energia interna (energia immagazzinata nel sistema), Q = calore (trasferimento di energia da sorgente calda) e L = lavoro fatto dal sistema

• Tradotto in differenziali esatti:

• Dove si è incluso anche lo scambio di energia sotto forma di materia, con m = potenziale chimico delle particelle N

• La variazione di entropia a volume costante è quindi:


dU Q L

dU TdS PdV dNm

dU

dS dNT T

m

Interpretazione termodinamica

• Confrontiamola con l’espressione:

• dove ,quindi

• e la distribuzione Fermi Dirac diventa:


0log FDW a N b U

logS k W

dS bkdU akdN

dU

dS dNT T

m

1

bkT

akT

m

11

j j

j j

j a bE E

kT

g gN

ee

m FEm Energia di Fermi =

potenziale chimico

degli elettroni

Argomento semplificato

• Dal risultato della massimizzazione con i

moltiplicatori di Lagrange, posso adottare i

seguenti argomenti:

– La distribuzione f deve essere pari a ½ in EF =

m = potenziale chimico degli elettroni

– La distribuzione deve tendere alla Maxwell-

Boltzmann per E grande b=1/kT


1 10

21( )

FFD F F Fa bE

f E a bE a bEe

1

1

( )

F

FD E E

kT

f E

e

Fermioni e bosoni• Entrambe le particelle sono indistinguibili tra

loro, cioè:

– non è possibile etichettare le particelle, oppure

– lo stato con particella 1 in a e la particella 2 in b

non è distinguibile dallo stato con particella 1 in b

e la particella 2 in a)

• Funzione d’onda: NO!

• Simmetrizzazione:

– Bosoni

– Fermioni


1 2 1 2( , ) ( ) ( ) a bx x x x

1 2 1 2 2 1

1

2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a bx x x x x x

1 2 1 2 2 1

1

2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a bx x x x x x

Fermioni e bosoni

• Conseguenza 1: funzione pari (bosone) o

dispari (fermione) rispetto all’operazione di

scambio di particelle

• Conseguenza 2: la funzione d’onda di due

fermioni nello stesso stato è identicamente

nulla

• impossibile per due fermioni condividere lo

stesso stato principio di esclusione di Pauli

• Nessuna restrizione per bosoni

condensazione di Bose (tutte le particelle

nello stesso stato a 0 K)D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 11 35

1 2 1 2 2 1

10

2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a ax x x x x x

Statistica di Bose-Einstein• Particelle indistinguibili (come FD)

• In ogni stato è possibile collocare un numero illimitato di particelle

• In quanti modi posso collocare Nj

palline in gj stati?

• Il problema equivale a permutare Nj

palline e gj-1 barriere tra stati

• Da ridurre per le permutazioni di Nj

particelle e gj-1 barriere

• Estendendo a tutti gli Ej


gj =12 Nj =16

1 ! j jN g

1

1

!

! !

j j

j j

N g

N g

1

1

!

! !

j j

BE

j j j

N gW

N g

Massimizzazione di WBE – 1

• Calcoliamo il logaritmo logWBE:

• Condizione di massimo vincolato:


1 1log log ! log ! log ! BE j j j j

j j j

W N g N g

1 1 1 1log log log j j j j j j j j

j

N g N g N N g g

0

0

0

loglog

BEBE j

j j

j

j

j j

j

WW N

N

N N

U E N

Massimizzazione di WBE – 2

• Moltiplicatori di Lagrange:

• Che per l’indipendenza dei Nj diventa:

• Quindi:


1log log j j j jN g N a bE

0log

log

BE

BE j j

j j

WW a N b U a bE N

N

0log

BEj

j

Wa bE

N

1

1 11

j j j

j j j

j a bE a bE E

kT

g g gN

e ee

m

Passaggio al continuo• Fermi-Dirac

• Bose-Einstein

• Maxwell-Boltzmann

• La distribuzione FD si applica a fermioni (particelle a spin semi-intero, e.g. elettroni), quella di BE ai bosoni (particelle a spin intero)

• La distribuzione di MB/semiclassica si usa come limite di FD e BE per E>>m


1

j

j

j E

kT

gN

e

m

1

j

j

j E

kT

gN

e

m

1

( )( )

E

kT

g E dEn E dE

em

1

( )( )

E

kT

g E dEn E dE

em

( ) ( )

E

kTn E dE g E dEem

jE

kTj jN g e

m

Applicazione: gas di fotoni/fononi

• L’applicazione tipica della statistica di BE è ai gas atomici (elio)

• Più in generale si può applicare ad ogni particella (o quasi particella) dotata di spinintero fotone (quanto di radiazione elettromagnetica) e fonone (quanto di vibrazione reticolare in un cristallo)

• In entrambi i casi (fotone/fonone) è necessario introdurre una modifica: sia i fotoni sia i fononi non si conservano, ma possono essere creati o distrutti il vincolo N=0 viene meno, quindi m=akT=0


Densità di energia nella cavità• Dalla trattazione di Rayleigh-Jeans, la

densità di modi è [m-3]:

• L’energia è legata alla frequenza da ,

quindi scriviamo

• Allora la densità di fotoni è:

• La densità di energia è:


3

22( )

g d d

c p

E h3

2

3

2( ) ( )

dg E g E

dE h c

p

2

3 3

8 1

1

( ) ( ) ( )

BE E

kT

En E g E f E

h ce

p

3

3 3

8 1

1

( ) ( ) ( )

BE E

kT

Eu E Eg E f E

h ce

p

Distribuzioni a confronto


0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

FD

BE

MB

Energia [eV]

f [1

]

Distribuzione di Fermi

• La curva impiega circa 5kT per andare dal 90% al 10% alle basse temperature è praticamente un gradino


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

1

100

300

600

Energia [eV]

f [1

]

1

j

j

j E

kT

gN

e

m

Conclusioni

• La densità di portatori in solidi (metalli o

semiconduttori/isolanti) all’equilibrio

richiede di conoscere:

– Densità di stati. In approssimazione

parabolica, la densità in 3D cresce con la

radice dell’energia. Si adotta un’opportuna

massa (DOS).

– Probabilità di occupazione degli stati

distribuzione statistica di Fermi Dirac


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