1

1

2

Cosa c’è nell’Unità 2

In questa sezione si affronterannointroduzione alle reti dinamiche

determinazione dei valori inizialitransitori nelle reti ad una costante di tempopoli (o frequenze naturali) di una retetransitori nelle reti a due costanti di tempoequazioni differenziali di una rete

2

3

Reti nel dominio del tempo

4

Introduzione alle reti dinamiche

3

5

Tagli e maglie di elementi reattivi

Classificazione:reti non degeneri

reti degeneri

Elementi topologici che comportanodegeneranza:

maglie di condensatori:maglie i cui lati sono o condensatori o generatoridi tensione

tagli di induttori: tagli i cui lati sono o induttori o generatori di corrente

6

Esempio

La rete presenta un taglio di induttori (indicato in blu) ed una maglia di condensatori(indicata in rosso)

Esempio

4

7

Reti non degeneri 1/2

Una rete che contiene maglie di condensatorie/o tagli di induttori s i dice degenere

esempio di rete degenere:

8

Reti non degeneri 2/2

Esempio di rete non degenere:

5

9

Introduzione alle reti dinamiche

10

Variabili di stato 1/2

Grandezze importanti nelle reti dinamiche:

variabili di stato:tensioni sui condensatoricorrenti sugli induttori

6

11

Variabili di stato 2/2

Nella rete le variabili di stato sono: vc1, vc2 e iL

12

Uscite

Uscite: tutte le tensioni e le correnti cheinteressa calcolare nella rete

Nella rete le uscite sono vL, i1, i2, vc1

vc1 è anche variabile di stato

7

13

Ingressi

Ingressi: sono le tensioni e le correnti deigeneratori ideali indipendenti presenti nella rete

Nella rete gli ingressi sono a, e1 e e2

14

Reti nel dominio del tempo

8

15

Determinazione dei valori iniziali

16

Definizioni

Se non sarà indicato diversamente le attivazioni delle reti saranno suppostenell’istante t=0

Condizioni e valori iniziali

condizioni iniziali:sono i valori delle grandezze di rete nell’istante 0-esempio v(0-), i(0-)

valori iniziali:sono i valori delle grandezze di rete nell’istante 0+esempio v(0+), i(0+)

9

17

Teoremi

Nelle reti che non sono degeneri dopo l’attivazionedi interruttori, non si hanno discontinuitàtemporali delle variabili di stato

Nelle reti non degeneri non si ha discontinuitàdelle variabili di stato anche in presenza di discontinuità temporali nei generatori

18

Continuità

(0 ) (0 )c cv v+ −=

La rete non è degenere. Siha continuità dello stato

(0 ) 0 , (0 )c c ov v E− += =

La rete è degenere. Si puòavere discontinuità dellostato

10

19

Discontinuità delle uscite 1/2

In generale le uscite di una rete in presenza di interruttori e/o generatori discontinui sonodiscontinui

(0 ) 0 , (0 ) oEi i

R− += =

20

Discontinuità delle uscite 2/2

La rete non è degeneretuttavia la corrente i(t) non è una variabile di stato: il valore iniziale in questo caso è differente dalla condizione iniziale!

11

21

Esempio 1/3

Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione dell’interruttore

Variabili di stato:corrente i1(t) sull’induttore L1

corrente i2 (t) sull’induttore L2

tensione vC (t) sul condensatore C

22

Esempio 2/3

Continuità dello stato:

1 1 2 2(0 ) (0 ) 0 (0 ) (0 ) 0

(0 ) (0 ) 0C C

i i i i

v v+ − + −

+ −

= = = == =

Nell’istante t=0+:gli induttori equivalgono a circuiti apertiil condensatore equivale ad un corto circuito

12

23

Esempio 3/3

3(0 ) 0i + =Ne consegue

24

Determinazione dei valori iniziali

13

25

Esercizio 1 (1/5)

Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione dell’interruttore

Continuità della corrente sull’induttore e dellatensione sul condensatore

26

Esercizio 1 (2/5)

Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)

il condensatore è un circuito apertol’induttore è un corto circuito

14

27

Esercizio 1 (3/5)

(0 ) 1||2 1 0.66Cv V− = × =1

(0 ) 1 0.332 1Li A− = × =+

Condizione iniziale dell’uscita

3

2(0 ) 1 0.66

2 1i A− = × =

+

Condizione iniziale dello stato

28

Esercizio 1 (4/5)

Situazione della rete in t=0+

15

29

Esercizio 1 (5/5)

Valore iniziale dell’uscita: si applichi Millman

3 3

(0 )10 (0 ) 111 2(0 ) 4.4 (0 ) 0.661 1 1 11 2 1

CL

v ii A i A

++

+ −

+ − += = ≠ =

+ +

30

Esercizio 2 (1/5)

Calcolare v(0+) dopo la deviazione dell’interruttore

Continuità della corrente sull’induttore e dellatensione sul condensatore

16

31

Esercizio 2 (2/5)

Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)

il condensatore è un circuito apertol’induttore è un corto circuito

32

Esercizio 2 (3/5)

1||1(0 ) 10 3.33 ,

1 1||1(0 )

(0 ) 3.331

C

CL

v V

vi A

−

−−

= =+

= =

Condizione iniziale dell’uscita 1||1(0 ) 10 3.33

1 1||1v V− = =

+

17

33

Esercizio 2 (4/5)

Situazione della rete in t=0+

(0 ) (0 ) 3.33C Cv v V+ −= =

(0 ) (0 ) 3.33L Li i A+ −= =

34

Esercizio 2 (5/5)

Valore iniziale dell’uscita: si applichi Millman

(0 )20(0 )

1 1(0 ) 6.6 (0 )1 1 11 1 1

CL

vi

v V v+

+

+ −

− += = ≠

+ +

18

35

Reti nel dominio del tempo

36

Transitori nelle reti ad una costante di tempo

19

37

Tipologie

Presenza di un induttore

Presenza di un condensatore

38

Formula fondamentale

( )

valore finale

( ) (0 )

valore iniziale

t

y t y Y e Yτ−

+ ∞ ∞

⇓

= − +

⇑

e

e

L induttoreRR C condensatore

τ

τ

=

=

20

39

Esempio 1/8

Calcolare i(t)

[ ]

( ) (0 ), 0

( ) (0 ) , 0t

i t i t

i t i I e I tτ

−

−

+ ∞ ∞

= <

= − + >

Continuità della corrente sull’induttore

40

Esempio 2/8

Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)

l’induttore è un corto circuito

21

41

Esempio 3/8

12 52 4(0 ) 5.81 1 1

2 2 4

ABv V−

+= =

+ +

Condizione iniziale dell’uscita(0 )(0 ) 2.72

ABvi A−− = =

12 (0 )(0 ) 3.1

2AB

L

vi A−

−

−= =

42

Esempio 4/8

Situazione della rete in t=0+

(0 ) (0 ) 3.1L Li i A+ −= =

22

43

Esempio 5/8

Valore iniziale dell’uscita:

(0 ) (0 ) 3.1 (0 ) 2.7Li i A i A+ + −= = ≠ =

44

Esempio 6/8

Costante di tempo

30.75

4e

Ls

Rτ = = =2 2 4 , 3eR L H= + = Ω =

23

45

Esempio 7/8

Valore finale dell’uscita:l’induttore è un corto circuito

123

2 2I A∞ = =

+

46

Esempio 8/8

0.75( ) 0.1 3 [ ], 0t

i t e A t−

= + >

Transitorio dell’uscita

(0 ) 3.1, 3, 0.75i I τ+ ∞= = =

24

47

Transitori nelle reti ad una costante di tempo

48

Circuito con amplificatore

Calcolare v(t) [ ]

( ) (0 ), 0

( ) (0 ) , 0t

v t v t

v t v V e V tτ

−

−

+ ∞ ∞

= <

= − + >

Continuità della tensione sul condensatore

25

49

Interruttore non ancora attivato 1/2

Condizioni iniziali dello stato e dell’uscita:

in t=0- la rete è a regime (stazionario)

il condensatore è in una parte di rete senzageneratoriil condensatore equivale ad un corto circuito

50

Interruttore non ancora attivato 2/2

(0 ) 0

(0 ) 0Cv

v−

−

=

=

26

51

Valori iniziali dello stato e dell’uscita:

in t=0+ la rete è in funzionamento dinamico

il condensatore è un corto circuito:

Valori iniziali 1/2

(0 ) (0 ) 0C Cv v+ −= =

52

Valori iniziali 2/2

(0 ) 10 (0 ) (0 ) 10M Nv v v V+ + += = = =Tensione differenziale ingresso amplificatore nulla:

27

53

Costante di tempo 1/3

Costante di tempo:

rendere inerte la retesostituire il condensatore con un generatore di corrente ipcalcolare Re=vp/ip

54

Costante di tempo 2/3

Sovrapposizione effetti:

20 2025||20 25||20 20 20

20 25 20 25p p u p p pv i v i i i= − = + =+ +

2525||20 0

20 25

20

N p u M

u p

v i v v

v i

= + = =+

⇓=−

28

55

Costante di tempo 3/3

Resistenza equivalente:

Costante di tempo:

20pe

p

vR k

i= = Ω

3 620 10 50 10 1eR C sτ −= = × × × =

56

Valori finali 1/2

Valore finale uscita:il condensatore è un circuito aperto

2510

20 25

4510 18

25

v v v

v V

+ − ∞

∞

= = =+

⇓

= =

29

57

Valori finali 2/2

( ) 8 18 [ ], 0tv t e V t−= − + >Transitorio dell’uscita:

( (0 ) 10, 18, 1)v V τ+ ∞= = =

58

Transitori nelle reti ad una costante di tempo

30

59

Circuito con generatore pilotato

Calcolare ix(t)

[ ]

( ) (0 ), 0

( ) (0 ) , 0

x x

t

x x x x

i t i t

i t i I e I tτ

−

−

+ ∞ ∞

= <

= − + >

Continuità della corrente sull’induttore

60

Condizioni iniziali 1/2

Condizioni iniziali dello stato e dell’uscita:in t=0- la rete è a regime (stazionario)

l’induttore è in serie con un circuito aperto

(0 ) 0Li − =

31

61

Condizioni iniziali 2/2

(0 ) 0(0 ) 2 (0 ) 0x x xi i i− − −⇒= =+

Equazione nodo M:

62

Valori iniziali 1/2

(0 ) (0 ) 0L Li i+ −= =

Valori iniziali dello stato e dell’uscita:in t=0+ la rete è in funzionamento dinamico

l’induttore equivale ad un circuito aperto

32

63

Valori iniziali 2/2

(0 ) 0(0 ) 2 (0 ) 0x x xi i i+ + +⇒= =+

Equazione nodo M:

64

Costante di tempo 1/3

Costante di tempo: rendere inerte la retesostituire l’induttore con un generatore di corrente ipcalcolare Re=vp/ip

33

65

Costante di tempo 2/3

Equazione nodo M:

2 013x x p x pI Ii i i⇒ = −+ + =

66

Costante di tempo 3/3

53

5 9,

3

1 2

5

p p

p

M p x

ee

p

p

v I

v LR s

i

v I i I

Rτ

= =

= = =

+ × +

=

=

Ω

−

13x pi I= −

Equazione maglia:

34

67

Valori finali 1/2

Valore finale uscita:l’induttore è un corto circuito (regime stazionario)

1 (3 ) 5 2( )

1x x

x

I I

I A∞ ∞

∞

× = − ⇒

=

68

Valori finali 2/2

59( ) 1 [ ], 0

t

xi t e A t−

= − + >Transitorio dell’uscita:

9( (0 ) 0, 1, )5x xi I sτ+ ∞= = =

35

69

Transitori nelle reti ad una costante di tempo

70

Formula 1/2

Formula del transitorio nel caso di ingressisinusoidali

le costanti di tempo non cambianoil valore finale è sostituito con il termine di regime

il termine di regime è sinusoidale ed isofrequenzialecon gli ingressiesso si calcola con il calcolo simbolico

36

71

Formula 2/2

termine di regime

( ) (0 ) (0) ( )

valore iniziale

t

p py t y y e y tτ−

+

⇓

= − + ⇑

72

Esempio 1/8

Nella rete l’ingresso è sinusoidale. Calcolare i(t)

( ) (0 ) (0) ( ), 0t

p pi t i i e i t tτ−

+ = − + >

37

73

Esempio 2/8

in t=0- la rete funziona a regime (sinusoidale)

nel dominio dei fasori:

il condensatore è modellato con l’impedenza –j0.5

il fasore dell’ingresso vale -2 j

74

Esempio 3/8

[ ]0.5( 2) 0.47 0.12

2 0.5C

jV j j V

j−

= − =− −−

Condizione iniziale dello stato e dell’uscita:

2(0 ) Re[ ] Re[ ] 0.2352 0.5

ji I Aj−

−= = =−

[ ]0

(0 ) Re

Re 0.47

j tC c t

c

v V e

V V

ω− =

= =

= = −

38

75

Esempio 4/8

Situazione della rete in t=0+e(0)=0la rete non è degenere: (0 ) (0 ) 0.47C Cv v V+ −= = −

76

Esempio 5/8

Valore iniziale dell’uscita:

(0 )1||1(0 ) 0.156 (0 ) 0.2351 1||1 1

Cvi A i A+

+ −= − = ≠ =+

39

77

Esempio 6/8

Costante di tempo

1.5eR C sτ = =

1 1||1 1.5 , 1eR C F= + = Ω =

78

Esempio 7/8

2

( ) Re[ ]

Re[(0.1 1.3) ]0.1cos(2 ) 1.3sin(2) [ ]

(0) 0.1[ ]

j tp p

j t

p

i t I e

j et t A

i A

ω= =

= − =+

=

20.1 1.3 [ ]

1 (1 0.5)||1p

jI j A

j−

= = −+ −

Termine di regime dell’uscita (dominio dei fasori):

40

79

Esempio 8/8

1.5( ) (0.156 0.1)0.1cos(2 ) 1.3sin(2 ) [ ], 0

t

i t et t A t

−= − +

+ >

Transitorio dell’uscita:

80

Transitori nelle reti ad una costante di tempo

41

81

Metodo 1/4

Presenza nella rete di interruttori che siaprono (chiudono) e si richiudono (riaprono) in istanti successivi

Caso trattato: ingressi in continua (costanti nel tempo)

82

Metodo 2/4

( ) 1

integrale particolare

( ) ( ) ,

valore all'istante inizialedell'intervallo

i

i

t t

i pi pi i ix t x t X e X t t tτ−

−

+

⇓

= − + ≤ ≤

⇑

Nell’intervallo ti – ti+1 relativo ad ogni fase di funzionamento:

42

83

Metodo 3/4

Le variabili di stato sono continue negli istanti in cui finisce una fase e comincia la fase successiva

La costante di tempo può cambiare da una fase all’altra

( ) 1( ) ( ) ,i

i

t t

i pi pi i ix t x t X e X t t tτ−

−

+= − + ≤ ≤

84

Metodo 4/4

L’integrale particolare Xpi dipende dalla fase considerata e può essere calcolato supponendo che tale fase duri abbastanza per poter raggiungere il regime stazionario

43

85

Esempio 1/7

L’interruttore si apre nell’istante t=0 e si richiudenell’istante t=0.4 s

calcolare vC (t)

86

Esempio 2/7

Presenza di tre fasi di funzionamentofase 1: t<0la rete è in regime stazionariofase 2: 0<t<0.4la rete è in fase transitoria ma non raggiunge ilregimefase 3: t>0.4la rete è in fase transitoria ma raggiunge il regime

44

87

Esempio 3/7

Fase 1: t<0 la parte di rete dove è inserito il condensatore è inerte

( ) 0, 0

(0 ) 0C

C

v t t

v −

= ≤

=

88

Fase 2:

valore iniziale

costante di tempo

Esempio 4/7

( ) 11 10 0.4: ( ) (0 ) ,

t

C C p pt v t v V e Vτ−

+≤ ≤ = − +

(0 ) (0 ) 0C Cv v+ −= =

1 1 13 2 5 0.5e eR CR sτ= + = Ω ⇒ = =

45

89

Fase 2:

integrale Particolare

transitorio

Esempio 5/7

1 1 10pV V V∞= =

0.5( ) 10 10, 0 0.4t

Cv t e t−

= − + ≤ ≤

90

Esempio 6/7

Fase 3: ( ) 2

0.4

2 20.4: ( ) (0.4 ) ,t

C C p pt v t v V e Vτ−

−

+≥ = − +

valore iniziale:

costante di tempo:

2

0.4(0.4 ) (0.4 ) 10(1 ) 5.5t

C C tv v e V−

+ − == = − =

2 2 22 0.2e eR CR sτ= Ω ⇒ = =

46

91

Esempio 7/7

2 2 0pV V V∞= =

0.40.2( ) 5.5 , 0.4

t

Cv t e t s−

−= ≥

integrale particolare :

transitorio :

92

Transitori nelle reti ad una costante di tempo

47

93

Teorema 1/2

Nelle reti non degeneri se in determinatoistante sono noti gli ingressi e le variabili di stato, in quello stesso istante si può calcolarequalsiasi uscita della rete

94

Teorema 2/2

Le equazioni che esprimono l’uscita in funzionedello stato e dell’ingresso si chiamano equazionidi uscita

lavorando nel dominio del tempo, nelle reti non degeneri, conviene sempre calcolare le evoluzionitemporali delle variabili di stato

vantaggio: le variabile di stato sono continue e comunque a partire da esse, le uscite si calcolanocon l’equazioni di uscita

48

95

Esempio 1/4

Ingressi: e,aVariabili di stato : vC, ilUscite: v4,i1,i2

96

Esempio 2/4

Sostituire condensatori con generatori di tensioneSostituire induttori con generatori di corrente

49

97

Esempio 3/4

La sovrapposizione degli effetti dovuti aigeneratori equivalenti associati alle variabili di stato ed ai generatori associati agli ingressiporge le equazioni:

3 444

3 4 3 4

21

1 2 1 2 1 2

12

1 2 1 2 1 2

1 1

1 1

C

L C

L C

R RRv v a

R R R R

Ri e i v

R R R R R R

Ri e i v

R R R R R R

= ++ +

= + ++ + +

= − −+ + +

98

Esempio 4/4

Le equazioni precedenti definiscono le equazioni dell’uscita delle rete considerata

50

99

Reti nel dominio del tempo

100

Poli (o frequenze naturali) di una rete

51

101

Definizione 1/2

Il comportamento qualitativo di una retedinamica dipende dalle sue frequenze naturalio poli

Per studiare i poli di rete si introduce la pulsazione complessa s definita da:

s jω=

102

Definizione 2/2

Per determinare i poli di rete: si consideri la rete nel dominio della pulsazionecomplessa s l’insieme dei valori s per i quali qualche uscita dellerete diventa infinita costituisce l’insieme dei poli di rete

Nel dominio delle pulsazioni complessel’impedenza di un induttore L diventa s L e l’impedenza di un condensatore C diventa 1/(s C)

52

103

Esempio 1/5

La rete considerata è nel dominio dellepulsazioni s. Gli ingressi A1 e A2 sono con pulsazione s

104

Esempio 2/5

Impedenza dell’induttore di 2 H: 2s

Impedenza dell’induttore di 1 H: s

Impedenza del condensatore di 1 F: 1/s

Applicando il metodo delle tensioni ai nodi si ha

53

105

Esempio 3/5

1 2 1

1 2 2

1 1 1ˆ ˆnodo 11 11 2s 1 1

1 1 1ˆ ˆnodo 21 12 s1 1

V V A

s s

V V A

s s

+ − = + + +

− + + = + + +

106

Esempio 4/5

Risolvendo il sistema si ottengono le uscite:3 2 3 2

1 1 2

2 2

2 1 2

2 7 5 1 2 5 2ˆ( 1)(1 3 ) ( 1)(1 3 )

( 2)(2 ) ( 2)(2 2 1)ˆ( 1)(1 3 ) ( 1)(1 3 )

s s s s s sV A As s s s

s s s s s sV A As s s s

+ + + + += ++ + + +

+ + + + += ++ + + +

54

107

Esempio 5/5

I poli della rete sono definiti dai valori di s cherendono nulli i denominatori delle uscite:

s=-1, s=-1/3

108

Proprietà

Salvo casi eccezionali tutte le uscite presentanogli stessi poli di rete

I poli di rete non dipendono dai valori degliingressi e da come essi sono posizionati nellarete

Le reti che rese inerti risultano le stesse, hannole stesse frequenze naturali o poli

55

109

La rete di figura quando viene resa inerte è identica a quella dell’esempio precedente (resainerte)

i poli di rete sono gli stessi e cioè: s=-1, s=-1/3

Invarianza dei poli

110

Poli (o frequenze naturali) di una rete

56

111

Caratteristiche 1/3

I poli di una rete sono strutturali:essi sono gli stessi per tutte le reti che rese inertihanno la stessa configurazione

I poli di rete derivano dagli zeri dei polinomiche costituiscono i denominatori nell’espressioni(nel dominio s) dell’uscite

i polinomi che danno luogo ai poli di rete sono a coefficienti realii poli di rete sono reali o (se complessi) sipresentano in coppie complesse coniugate

112

Caratteristiche 2/3

Nelle reti non degeneri il numero di poli(contati con la loro molteplicità) è uguale allasomma dei condensatori ed induttori presentinella rete

57

113

Caratteristiche 3/3

L’ordine di complessità di una rete (degenere o non degenere) è definito dalle condizioni inizialiche devono essere definite per poter determinarela sua evoluzione temporale

l’ordine di complessità di una rete si può esprimerecome differenza tra il numero totale di condensatoried induttori e la somma totale di maglie di condensatori e tagli di induttori

Il numero di poli di una rete coincide con il suoordine di complessità

114

Implicazioni 1/4

I poli di una rete che risultano nulli sono pocosignificativi

il numero di poli nulli è dato dalla somma dei taglidi condensatori e delle maglie di induttori

58

115

Implicazioni 2/4

Una rete di dice stabile se i suoi poli hanno tuttiparti reali non positive

una rete passiva è sicuramente stabile

Una rete con una costante di tempo τ ha solo un polo significativo di rete espresso da:

1s

τ= −

116

Implicazioni 3/4

Il modello matematico di una rete dinamica è costituito da un sistema di equazioni differenziali

nel caso di sola presenza di poli semplici, la soluzione del sistema omogeneo associatopresenta la forma:

1 21 2( ) .... ns ts t s t

t ny t K e K e K e= + + +

59

117

Implicazioni 4/4

s1,s2,…sn sono i poli della rete

Nelle reti passive gli esponenziali tendono a zero per valori elevati di t

la soluzione del sistema omogeneo costituisce un transitorio

118

Poli (o frequenze naturali) di una rete

60

119

Generalità

Ogni rete può essere vista come connessionedi due bipoli

120

Formula

Resi inerti i bipoli, i poli di rete si ottengonodall’equazione:

0Z Z+ =s r

0Y Y+ =s r

oppure

61

121

Esercizio 1 (1/3)

Determinare i poli della rete

122

Esercizio 1 (2/3)

La figura illustra la rete rese inerte

1 11, | |1

1Z Z s s

s s= = + = +

+

s r

62

123

Esercizio 1 (3/3)

Risulta

Poli di rete:

1 11, ||1

1Z Z s s

s s= = + = +

+

s r

1 21

1 0 1 , 11

Z Z s s j s js

+ = + + = ⇒ = − + = − −+

s r

124

Esercizio 2 (1/3)

Calcolare i poli della rete

63

125

Esercizio 2 (2/3)

La figura illustra la rete rese inerte

1 11 ||1, 1

2Z Z

s s = + = +

s r

126

Esercizio 2 (3/3)

Risulta:

Poli di rete:

1 11 ||1, 1

2Z Z

s s = + = +

s r

2

1 22

6 6 1 1 10 ( 3 3), ( 3 3)2 4 6 6s sZ Z s s

s s+ ++ = = ⇒ = − + = − −+

s r

64

127

Esercizio 3 (1/3)

Calcolare i poli della rete

128

Esercizio 3 (2/3)

La figura illustra la rete resa inerte

1 11||1 , 22

Z Zs

= = = +s r

65

129

Esercizio 3 (3/3)

1 11||1 , 22

Z Zs

= = = +s r

1 1 1 22 0

2 5oZ Z ss τ

+ = + + = ⇒ = − = −s r

Risulta:

Poli di rete:

130

Reti nel dominio del tempo

66

131

Transitori nelle reti a due costanti di tempo

132

Formula del transitorio

Si prenderanno in considerazione come uscitesolo variabili di stato

transitorio relativo ad una variabile di stato:

s1, s2 poli della rete

K1, K2 costanti da calcolare a partire dai valori iniziali

1 21 2( ) , 0s t s t

tx t K e K e t= + ≥

67

133

Procedimento con ingressi costanti

Si prenderanno in considerazione come uscite solo variabili di stato

transitorio relativo ad una variabile di stato:

s1, s2 poli della rete

K1, K2 costanti da calcolare a partire dai valori iniziali

valore finale della variabile di stato (regime stazionario)

1 21 2( ) , 0s t s tx t K e K e X t∞= + + ≥

X∞

134

Determinazione del valore finalecalcolare la rete in regime stazionario:

condensatori sostituiti da circuiti apertied induttorida corto circuiti

Determinazione parametri 1/2

Determinazione dei poli s1 e s2 della rete:fatto nelle slides precedenti

X∞

68

135

Determinazione parametri 2/2

1 2

1 1 2 2

(0 ) (0 ) condizione iniziale nota'(0 ) ? valore iniziale della derivata

x K K X xx s K s K

+ ∞ −

+

= + + = == + = =

Determinazione delle costanti K1 e K2è necessario scrivere due equazioni:

136

Uso delle variabili coniugate 1/2

Variabili coniugate allo stato:

correnti iC sui condensatori e tensioni vL sugliinduttorile variabili coniugate non sono continue

tuttavia si sanno calcolare i valori iniziali

69

137

Uso delle variabili coniugate 2/2

Formula che lega i valori iniziali delle derivate dello stato con i valori iniziali delle variabiliconiugate

'

'

1(0 ) (0 ) per un condensatore

1(0 ) (0 ) per un induttore

C C

L L

v iC

i vL

+ +

+ +

=

=

138

Sommario 1/4

Si determinano i poli s1 e s2 della rete:

C LV o I∞ ∞Si determini il valore finale

1 2

1 2

1 2

1 2

( ) , per un condensatore

( ) , per un induttore

s t s tC C

s t s tL L

v t K e K e V

i t K e K e I∞

∞

= + +

= + +

70

139

Sommario 2/4

Si determini il valore iniziale della variabileconiugata

'

'

1(0 ) (0 ) per un condensatore

1(0 ) (0 ) per un induttore

C C

L L

v iC

i vL

+ +

+ +

=

=

(0 ) (0 )C Li o v+ +

Si determini il valore iniziale della derivatadello stato

140

Sommario 3/4

1 2

'1 1 2 2

per un condensatore:(0 )

1(0 ) (0 )

C

C C

v K K V

v i s K s KC

+ ∞

+ +

= + +

= = +

Si determinano le costanti K1 e K2 con le due equazioni

71

141

Sommario 4/4

1 2

'1 1 2 2

per un induttore:(0 )

1(0 ) (0 )

L

L L

i K K I

i v s K s KL

+ ∞

+ +

= + +

= = +

142

Esempio 1/8

Nella rete l’interruttore si apre nell’istante t=0 calcolare v(t)

1 21 2

( ) (0 ), 0

( ) , 0s t s t

v t v t

v t K e K e V t−

∞

= <

= + + ≥

Continuità delle variabili di stato

72

143

Esempio 2/8

Poli di rete

Risulta:

Poli di rete:

45,Z Z s

s= = +

s r

2

1 2

5 40 1, 4

s sZ Z s s

s+ +

+ = = ⇒ = − = −s r

144

Esempio 3/8

24V V∞ =

Valore finale dell’uscita:l’induttore è un corto circuitoil condensatore un circuito aperto

73

145

Esempio 4/8

Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)

l’induttore è un corto circuito, il condensatore un circuito aperto

1(0 ) 24 4 ,

5 124

(0 ) 45 1L

v V

i A

−

−

= =+

= =+

146

Esempio 5/8

Situazione della rete in t=0+

(0 ) (0 ) 4(0 ) (0 ) 4

0

L Li i Av v V

t

+ −

+ −

+

= == =

=

74

147

Esempio 6/8

Valore iniziale della variabile coniugata:

(0 ) (0 ) 4Li i A+ += =

148

Esempio 7/8

Valore iniziale della derivata dello stato: 1

'(0 ) (0 ) 16 /v i V sC+ += =(0 ) (0 ) 4Li i A+ += =

75

149

Esempio 8/8

464 4( ) 24, 0

3 3t tv t e e t− −= − + + ≥

Soluzione dell’equazioni:

1 2

64 4,

3 3K K= − =

Transitorio richiesto:

Equazioni determinanti le costanti K1 e K2:

1 2 1 2

1 1 2 2 1 2

(0 ) 24 4

'(0 ) 4 16

v K K V K K

v s K s K K K+ ∞

+

= + + = + + =

= + = − − =

150

Transitori nelle reti a due costanti di tempo

76

151

Poli complessi 1/3

Nel caso di presenza di poli complessi s1 e s2

*2 1 ( )s s coniugato=

*2 1K K coniugato=

( ) ( )

1 2 11 2 1

2 cos sin

( 2

, 0

) Res t s t s t

t

x t K e K e X K

e M t N t X t

e Xσ ω ω−

∞

− − −∞ ∞

− + ≥

= + + = + =

=

1s jσ ω= − +

1K M jN= +

152

Transitorio nel caso di poli complessi coniugati: cisoide

Poli Complessi 2/3

( ) ( )( ) 2 cos sin , 0ttx t e M t N t tσ ω ω−= − ≥

77

153

Forma d’onda della cisoide:esempio

M=3,N=4,

Gli inviluppi sono definiti da:

Poli Complessi 2/3

1, 3σ ω= =

2 22 10t tM N e eσ− −± + = ±

t

154

Parametri alternativi di una cisoide

Espressione dei poli:

Poli Complessi 3/3

2 22 0o o

o

s ssmorzamentopulsazione

ξ ω ωξω

+ + =

1,2

21

o

o

s jσ ω

σ ξ ω

ω ξ ω

= − ±

=

= −

78

155

Esempio 1/9

Calcolare iL(t)

1 21 2

( ) (0 ), 0

( ) , 0L L

s t s tL L

i t i t

i t K e K e I t−

∞

= <

= + + ≥

156

Esempio 2/9

Poli di rete

2

1 23 3, (2 ) ||

1 2s

Z Z ss s

= + = =+

s r

79

157

Esempio 3/9

Risulta:

Poli di rete:

2

1 23 3, (2 )||

1 2s

Z Z ss s

= + = =+

s r

2*

1 2 12

2(6 3) 10 ( 1 71),1 2 12s sZ Z s j s s

s+ ++ = = ⇒ = − + =

+

s r

158

Esempio 4/9

32 1

3 3LI A∞ = =+

Valore finale dell’uscita:l’induttore è un corto circuitoil condensatore un circuito aperto

80

159

Esempio 5/9

Condizioni iniziali dello stato:in t=0- la rete è a regime (stazionario)

l’induttore è un corto circuito, il condensatore un circuito aperto

(0 ) 0,

(0 ) 0C

L

v

i−

−

==

160

Esempio 6/9

Valori iniziali dello stato e della variabileconiugata

la rete non è degenere:

(0 ) (0 ) 0(0 ) (0 ) 0

L L

C C

i iv v

+ −

+ −

= == =

(0 ) 0Lv + =

81

161

Esempio 7/9

Valore iniziale della derivata dello stato:

' 1(0 ) (0 ) 0L Li v

L+ += =

162

Esempio 8/9

Equazioni determinanti le costanti K1 e K2:

1 2 1 2

'1 1 2 2

(0 ) 1 0

(0 ) 0L L

L

i K K I K K

i s K s K+ ∞

+

= + + = + + =

= + =

Soluzione dell’equazioni:

*1 2 1

1 1,

2 2 71K j K K= − + =

82

163

Esempio 9/9

t

112 1 71 1 71( ) 2 cos( ) sin( ) 1, 0

2 12 122 71

t

Li t e t t t−

= − − + ≥

Transitorio richiesto:

)(tiL

164

Transitorio esponenziale

Nel caso di poli reali se K1+K2 è diverso da 0, il transitorio ha forme simili a quelle che sihanno nel caso di una costante di tempo

esempio: s1=-1, s2=-2, K1=4, K2=-0.5

ttt eety 25.04)( −− −=

t

83

165

Transitorio impulsivo

Nel caso di poli reali se invece K1+K2 =0, iltransitorio ha una forma di tipo impulsivo

esempio: s1=-1, s2=-2, K1=4, K2=-4

ttt eety 244)( −− −=

t

166

Transitorio cisoidale

Nel caso di poli complessi coniugati, iltransitorio ha una forma cisoidale

esempio: s1=-1+j 3, s2=-1-j 3 , K1=3+j 4, K2=3-j 4

t

tstst eKeKty 21

21)( +=

84

167

Transitori nelle reti a due costanti di tempo

168

Descrizione del fenomeno 1/2

Fenomeno:

85

169

Descrizione del fenomeno 2/2

Modello circuitale:

Valori tipiciparametri:

(0 ) 20 , 300 ,

0.1 , 50Cv kV R

L H C pFµ− = = Ω

= =

( ) ?i t =

170

Analisi circuitale 1/6

Poli di rete

1,Z Z R sL

s C= = +

s r

86

171

Analisi circuitale 2/6

Risulta:

Poli di rete:

1,Z Z R sL

s C= = +

s r

22

1,2

1 2

1 102 2

2.932 / , 68.218 /

s LC sRC R RZ Z ssC L L LC

s Grad s s M rad s

+ + + = = ⇒ = − ± −

= − = −

s r

172

Analisi circuitale 3/6

Prima della scarica

Valore finale della corrente di scarica:

(0 ) 20

(0 ) (0 ) 0C

L

v kV

i i−

− −

=

= =

( ) 0i I ∞∞ = =

87

173

Analisi circuitale 4/6

Valori iniziali dello statola rete non è degenere:

(0 ) (0 ) 0

(0 ) (0 ) 20L L

C C

i i

v v kV+ −

+ −

= =

= =

Valore iniziale della variabile coniugata:

(0 ) (0 ) 20L Cv v kV+ += =

174

Analisi circuitale 5/6

Valore iniziale della derivata della corrente di scarica:

' 91(0 ) (0 ) 200 10Li v

L+ += = ×

88

175

Analisi circuitale 6/6

Equazioni determinanti le costanti K1 e K2:

1 2 1 2

' 91 1 2 2

(0 ) 0

(0 ) 200 10L L

L

i K K I K K

i s K s K+ ∞

+

= + + = + =

= + = ×

Soluzione dell’equazioni:

1 2 169.61 ,K A K K= − = −

176

Impulso di scarica

)(ti

t

68.218 2932( ) 69.61( ) ,t ti t e e A t in sµ− −= −

Corrente di scarica elettrostatica:

89

177

Reti nel dominio del tempo

178

Equazioni differenziali di una rete

90

179

Modelli per Simulatori

In pratica le reti dinamiche presentano ordinedi complessità elevato e soprattutto alcune voltenon possono essere trascurate le non linearità

Necessità di simulatori numericii sistemi di equazioni differenziali costituisconoil modello matematico alla base dei simulatorinumerici di rete

180

Equazioni differenziali di una rete

91

181

Generalità 1/2

Metodo dei nodi

caso più semplice: tutti i lati sono comandabili in tensione

incognite: tensioni ai nodi indipendenti

equazioni:equazioni ai nodi indipendenti

182

Generalità 2/2

esempi di latinon comandabili in tensione:

generatori (indipendenti o dipendenti) di tensione

Induttori

scritta con comando in tensione la relazionecostitutiva degli induttori porta a equazioniintegrodifferenziali anziche differenziali

92

183

Metodo nodi modificato 1/2

Metodo dei nodi modificato:

sono presenti lati non comandabili in tensione

lato modificato è il lato non comandabile in tensioneche viene sostituito con generatore di corrente incognito

184

Metodo nodi modificato 2/2

incognite:tensioni ai nodi e correnti sui lati modificati

equazioni:equazioni ai nodi indipendentirelazioni costitutive dei lati modificati

93

185

Quattro nodi indipendenti (1,2,3,4)Tre lati da modificare:

generatore indipendente einduttore Lgeneratore di tensione pilotato

Esempio

2ˆ me R i=

2ˆ me R i=

186

Sette incognite:quattro tensioni ai nodi:tre correnti dei lati modificati:

i1 sul generatore indipendente eiL sull’induttore Li4 sul generatore di tensione pilotato

Incognite

e

1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,v v v v

94

187

Le quattro equazioni ai nodi 1/2

2ˆ me R i=

Le equazioni ai nodi 1 e 2:

1 21

1

2 31 2 2 21

1 2 3

ˆ ˆNodo 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆNodo 2

v vi

Rv vv v v dv

CR R dt R

−=

−−= + +

188

Le quattro equazioni ai nodi 2/2

2ˆ me R i=

Le equazioni ai nodi 3 e 4:

2 3 3 42

3

3 42 4

ˆ ˆ ˆ ˆNodo 3

ˆ ˆNodo 4 L

v v dv dvC

R dt dt

dv dvC i i

dt dt

− = −

− + =

95

189

Equazioni dei lati

1 1

L

24 2

2

4

4

ˆ

ˆˆ

lato modi

ˆ

ˆ

ficato con i :

lato modificato con i :

lato modificato con i :

m m

L

v e

vv e R i R

Rdi

v Ldt

=

= = =

=

2ˆ me R i=

Le tre equazioni dei lati modificati:

190

4 2

1

2

2

4

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

m

L

m

v e

vv ReR

div

t

i

d

R

L

=

= =

=

=

Sistema

Sistema misto di sette equazioni differenziali e algebriche:

1 21

1

2 31 2 2 21

1 2 3

2 3 3 42

3

3 42 4

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆL

v viR

v vv v v dvCR R dt R

v v dv dvC

R dt dt

dv dvC i idt dt

−=

−− = + +

− = −

− + =

quattro equazioni ai nodi tre equazioni ai latimodificati

96

191

Incognite

Incognite del sistema:

quattro tensioni ai nodi:

tre correnti dei lati modificati:

1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,v v v v

1 4, ,Li i i

192

Equazioni differenziali di una rete

97

193

Storia SPICE 1/2

Simulatori numerici per soluzioni equazionidifferenziali reti elettriche

ECAP prodotto dalla IBM

CANCER sviluppato all’Università di California in Berkeley

194

Storia SPICE 2/2

SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) sviluppato all’Università di California in Berkeley

SPICE2 evoluzione di SPICE

SPICE3 prodotto come supporto ai programmiCAD sviluppati a Berkeley

98

195

Versioni per grossi calcolatori

Famiglia SPICE:

versioni per grossi calcolatori:

HSPICE della Meta-SoftwareIG-SPICE della A.B. AssociatesI-SPICE della NCSS Time SharingPRECISE della Electronic Engineering SoftwarePSpice della Microsim

196

Versioni per PC

Famiglia SPICE

versioni per PC:

ALLSPICE della AcotechIS-SPICE della IntusoftZ-SPICE della Z-TechSPICE-Plus della Analog Design ToolsPSpice della MicrosimWinSPICE della Ousetech

99

197

Editori di SPICE 1/2

Editori che si utilizzano per il programmaSPICE:

Scrittura diretta NETLIST in file ASCII

Disegno con editore grafico (schematics editor)

198

Editori di SPICE 2/2

Programmi in ambiente Windows scaricabili dallarete gratuitamente:

http://www.ousetech.co.uk/winspice2/numero nodi: arbitrarioscrittura diretta NETLIST in file ASCII

http://www.cadencepcb.com/products/downloads/PSpicestudent/default.asp

numero nodi: massimo 64disegno con editore grafico (schematics editor)

100

199

Testi su SPICE

Alcuni testi di riferimento:

M.Biey: SPICE e PSPICE. CLUT Torino(Scrittura diretta NETLIST in file ASCII)

R.Perfetti: Circuiti Elettrici. Zanichelli, Bologna, 2003(Disegno con editore grafico (schematics editor))

200

Equazioni differenziali di una rete

101

201

Svantaggi metodo nodi

Il metodo dei nodi è alla base di SPICE e altrisimulatori

svantaggio: dà luogo ad un sistema con un numero elevato di equazioni differenziali e algebricheil sistema non si presenta in forma normale

202

Vantaggi equazioni stato

Il metodo dell’equazioni di stato è miglioreda un punto di vista matematico

le incognite sono le variabili di statonoto lo stato, qualsiasi uscita si determina con l’equazioni di uscita

102

203

Procedimento

Procedimento per dedurre le Equazioni di stato di una rete non degenere:

esprimere le variabili coniugate allo stato in funzione degli ingressi e degli stati

esprimere le variabili coniugate con l’equazionicostitutive che le legano alle di variabili di stato

il confronto delle due espressioni consente di eliminare le variabili coniugate e scriverel’equazioni differenziali che collegano le variabili di stato alle variabili di ingresso

204

Esempio 1/6

Dedurre l’equazioni di stato della rete

Ingressi: e, aVariabili di stato: vC, ilVariabili coniugate: iC, vl

103

205

Esempio 2/6

Esprimere le variabili coniugate in funzione degliingressi e delle variabili di stato

206

Esempio 3/6

1 4

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4

1 1 2 1

1 2 1 2 1 2

1 1( ) | | ( )C C L

L C L

R Ri v i e a

R R R R R R R R R R

R R R Rv v i eR R R R R R

= − − + ++ + + + +

= − ++ + +

La sovrapposizione degli effetti porge:

104

207

Esempio 4/6

Esprimere le variabili coniugate attraverso le relazioni costitutive che le legano alle variabili di stato

1 4

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4

1 1 2 1

1 2 1 2 1 2

1 1( ) | | ( )

CC L

LC L

dv R RC v i e adt R R R R R R R R R R

di R R R RL v i edt R R R R R R

= − − + ++ + + + +

= − ++ + +

,C LC L

dv dii C v L

dt dt= =

Confronto tra le due espressioni:

208

Esempio 5/6

Equazioni di stato:

1 4

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4

1 1 2 1

1 2 1 2 1 2

1 1( ) | | ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

CC L

LC L

dv R Rv i e adt C R R R R C R R C R R C R R

di R R R Rv i edt L R R L R R L R R

= − − + ++ + + + +

= − ++ + +

105

209

Esempio 6/6

Forma matriciale dell’equazioni di stato:

1 4

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4

1 1 2 1

1 2 1 2 1 2

, , ,

1 1( ) | | ( ) ( ) ( ) ( )

,0

( ) ( ) ( )

C

L

v ed xAx B s x s

i adt

R RC R R R R C R R C R R C R R

A BR R R R

L R R L R R L R R

= + = =

− −+ + + + +

= =−

+ + +