ELETTROMAGNETISMO Punto di arrivo: Equazioni di Maxwell (vuoto) Statica: E, B COSTANTI E, B...

ELETTROMAGNETISMOPunto di arrivo: Equazioni di Maxwell (vuoto)

JE

B

B

BE

E

ooo

o

tε

t

ρ/ε

0

Statica: E , B COSTANTI E , B comportamento distinto

ElettrostaticaElettrostatica0

E

E oρ/ε

MagnetostaticaMagnetostaticaJB

B

o 0

Ugual segno : REPULSIVASegno opposto : ATTRATTIVA


FORZE

+(–) (–)

+ –+

Carica elettrica: strofinamento panno conVetro – carica vetrosa (+)Resina – carica resinosa (–)

ELETTROSTATICA

Effetti sperimentali: forze attrattive/repulsive

• si può trasferire per conduzione da un punto ad un altro di un corpo conduttore

• si può trasferire per conduzione da un conduttore ad un altro conduttore

• si conserva

• è quantizzata: qmin = qe = 1.6e -19 Coulomb (C)

• si può trasferire per conduzione da un punto ad un altro di un corpo conduttore

• si può trasferire per conduzione da un conduttore ad un altro conduttore

• si conserva

• è quantizzata: qmin = qe = 1.6e -19 Coulomb (C)

PROPRIETA’ DELLA CARICA ELETTRICA

Conduttori

Isolanti

conduttore neutro

Carica totale indotta = 0Si ha solo una ridistribuzione

Conduttori: induzione elettrostatica

+++

++ +

+ + ++

---

-

conduttore neutro

La carica indotta sparisce se si elimina carica inducente

Conduttori: induzione elettrostatica


o= 8.85x10-12 F/m – S.I. (C2/ N m2)

1/4o= 9x109 m/F – S.I.


o= 8.85x10-12 F/m – S.I. (C2/ N m2)

1/4o= 9x109 m/F – S.I. (F=Faraday)

q2 q1

r12 F21

F12

21212

1221

o12 -

ˆ

4

1F

rF

r

qq

LEGGE DI COULOMB (1785)Cariche puntiformi q1 q2

)x(x

)Cos(12

21 x r

)Cos( )( x 12 12 FF x

312

2121

o 2 1

)(

4

1)(

r

xxqq

xF

221

221

22121 )zz()yy()xx( r

q2

q1 r12

F21

F12

21212

1221

o12 -

4

1F

rF

r

qq

^

F12 : su q1 da parte di q2

x

y

x

y

x1-x2

Considerazioni geometriche sul calcolo di F

)y(

)Cos(12

21

r

yy

)Cos( )( 12 12 yy FF

312

2121

o 2 1

)(

4

1)(

r

yyqqy

F

q2

q1 r12

F21

F12

x

y

x

y

Considerazioni geometriche sul calcolo di F

Analogamente per y:

)Cos( )( 12 12 zz FF

Analogamente per z:

)Cos( F )( x1j j

1jj

1jTOT 1 FF xx

11

Con più caricheq1, q2, q3.. qj .

VETTORIALE

ˆ

4

1

j2

1

1j

oTOT. 1

j

j

r

q rF

q1

1

q2

q1 q3 r12

r13

F13

F12

F1 TOT

)Cos( F )( 1j j

1jj

1jTOT 1 yyy FF 11

)Cos( F )( 1j j

1jj

1jTOT 1 zzz FF 11

Nm 108.85 22-120 C Nm 109

4

1 229

0

C

Modulo di Fisica 3 A.A. 2002/2000325 Settembre 2003

Si consideri un sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q2 = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 10 cm. Una piccola carica di prova positiva e valore q = 1 nC è posta nel punto C, centro della configurazione a quadrato. Calcolare: la forza esercitata sulla carica di prova nel punto C. ( )

-Q2+Q2

-Q2 -Q2

q

L

C

IL CAMPO ELETTRICO

q2 qp rp2

Fp2

ppp

pp

pp q

r

q

r

qq ˆ

4

1 ˆ

4

1 22

2

2

022

2

2

02 rrF

CAMPO ELETTROSTATICOprodotto da q2 dove è qP

p

p

q2F

E ppr

q22

2

2

0

ˆ4

1r

P1

q2 r12

E (r12)

qp

)(rE r

ˆ q

4π

1

22

o

r

p

p

q2F

Più in generale:

P3 r32 E(r32)

ovvero:

)( lim0 q

q

q

FrE )( )( rErF qq

[E] = V/m (N/C)

IL CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME q

ˆr

q

4π

1 )(

2o

rrE

q positiva

pq qp

EF

Con più cariche q2, q3.. qj si avrà:

ˆ

4

1 )(

j2

1

1j

o1TOT

j

j

r

rqP

E

r13

q2

q3 r12

E3

E2

ETOT

Principio di sovrapposizione

Si consideri un sistema di due cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q = +1 C fissate agli estremi di un segmento lungo L = 1 m. Calcolare il campo elettrico nel punto C, centrale e a distanza d = 2 m dal segmento.

L

d

C

QQ

Modulo di Fisica 3 A.A. 2002/2000325 Settembre 2003

Si consideri un sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q2 = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 10 cm. Una piccola carica di prova positiva e valore q = 1 nC è posta nel punto C, centro della configurazione a quadrato. Calcolare: la forza esercitata sulla carica di prova nel punto C.

-Q2+Q2

-Q2 -Q2

q

L

C

Composizione vettoriale dei campi da ciascuna carica in ogni punto dello spazio

Composizione vettoriale dei campi da ciascuna carica in ogni punto dello spazio

_+

_+

CAMPI ELETTRICI DA DIVERSE DISTRIBUZIONI DI CARICA

+ +

_+

dipolo elettrico

V

d ˆ

4

12

o1 V

r

r

E

dV

P1r

dˆ

4

12

o1 V

rd

r

E

Distribuzione continua di carica in volume V

V

),,( d

dqzyx

),,( zyxV

Più in generale:

V

dVr

2

0

ˆ

4

1 rrE

r1

O

FCoul

P1

q2

q1

.

.

LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO

ˆ

4

12

12

1221

o12 r

qq rF

Forza centrale

dl r

P

.q1

FCoul

r

r

P

P Coul.Coul dr

qq d L

11

221

o.

ˆ

4

1 l

rlF

dr ˆ dlrdlr̂

dr

rr

qq

r

drqqL

r

r

Coul

11

4

4

1

1o

212

21

o1


r1

O

FCoul

P1

q2

q1

.

. dl r

P

.q1

FCoul

rUrUrr

qqLCoul

1

1o

21 11

4

Energia potenziale

Quindi:

il campo elettrostatico E(r) è conservativo


r1

O

FCoul

P1

q2

q1

.

. dl r

P

.q1

FCoul

21

221 v

2

1 v

2

1 mmrUrULCoul

se non ci sono altre forze in gioco:

21

22

1o

21 v2

1 v

2

1

11

4 mm

rr

qq

cioè:


21

22 v

2

1 v

2

1 mmLL extCoul

altrimenti:

0 v2

1 v

2

1 T 2

12

2 mm

quindi, nel caso in cui:

11

4

1o

21

rr

qqLL Coulext

segue che:

ENERGIA ELETTROSTATICA DISISTEMA DI CARICHE

r1

O

FCoul

P1

q2

q1

.

. dl r

P

.q1

FCoul

r1 ∞ ; U(∞)=0

Costruiamo la distribuzione cariche con q1 inizialmente all’infinito:

rUrUrr

qqLCoul

1

1o

21 11

4

r1 ∞ ; U(∞)=0

rUr

qqLL extCoul

1

4

o

21

4

1 21

o r

qqrULext

U(r) è pari al lavoro che una forza esterna Fest = - F Coul compie contro l’azione della forza del campo per portare q1 da distanza infinita a distanza r.

U(r) è pari al lavoro che una forza esterna Fest = - F Coul compie contro l’azione della forza del campo per portare q1 da distanza infinita a distanza r.

q2.

r =

q1.

r .q1

Fest = - FCoul

Fest = - FCoul 0

Fest = - FCoul

4

1

4

1 )( 21

o2

21

o r

qq

r

drqqrU

r

U(r) è quindi pari al lavoro che compie una forza esterna Fest per costruire la distribuzione di carica q1 q2 (a distanza r)

U(r) è quindi pari al lavoro che compie una forza esterna Fest per costruire la distribuzione di carica q1 q2 (a distanza r)

q2.

r =

inizialeq1.

r .q1

finale

U(r) è anche pari al lavoro che compie la forza del campo FCoul per “distruggere” la distribuzione di carica q1 q2 ri-portando q1

all’infinto

U(r) è anche pari al lavoro che compie la forza del campo FCoul per “distruggere” la distribuzione di carica q1 q2 ri-portando q1

all’infinto

q2.

r =

iniziale

q1.

r .q1

finale

r

qqdrU

r

C21

04

1

lF

Sistema discreto di cariche : q1, q2… qj

4

1

o

carichedi

coppietutte ij

jiTOT r

qqU

4

1

2

1

io

ij ij

jiTOT r

qqU

12

21

o12

4

1

r

qqU

TOTEstTOT LUUUU 231312

13

31

o13

4

1

r

qqU

23

32

o23

4

1

r

qqU

Per il principio di sovrapposizione con più cariche q1, q2, q3:

ESERCIZIO

Si consideri il sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 1 m senza la carica di prova. Calcolare l’energia elettrostatica del sistema di cariche.

+Q 1

L

-Q 2

+Q 3-Q 4

2 cariche puntiformi q, qp

lElF d qd (P)PpP Coul.

U

Lavoro compiuto dal campo per portare qp

da P all’infinito

q

r P qp

IL POTENZIALE ELETTROSTATICO

/CJ VoltsV

è il lavoro compiuto da E per portare una carica unitaria da P all’infinito

d q

U V(P)

Pp

lE

allora definiamo:

ˆ

4

1 )(

2o r

qP

rE

q r

P V(P), E(P)

d V(P)P

lE

dalla:

per una carica puntiforme:

r

q

r

q

r

4

1 dr

4

1 V(P)

o2

o

segue:

0)V( e segue:

Potenziale di una carica positiva puntiforme

0)V(

r

q

4

1 V(P)

o

+V=cost E

Superfici equipotenziali

r1 P

q2

q1

qj

r2

rj

Sistema cariche

puntiformi

ˆ

4

1 )(

2o

j j

jj

r

qP

rE

dV

P

V

Vr

P d ˆ

4

1)(

2o

rE

),,( zyx

r

Sistema continuo di carica

V

Vr

P d

4

1)(V

o

j j

j

r

q

o4

1V(P)

ESERCIZIO

Si consideri solito sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo Q2 = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 10 cm senza la carica di prova. Calcolare: a) il potenziale elettrostatico nel punto C

-Q2+Q2

-Q2 -Q2

L

C

q

Pf qp

fiCoul qq L VV V.

ifEst q qL VV V

otteniamo:

Pi

abbiamo che:

)P()P(PP fifiCoul UUL

IMPORTANTEdalla proprietà di U(P):

d q

U V(P)

Pp

lE

ricordando la definizione:

E ANCORA:dalla definizione di V(P):

d )V( d V(P)P

lErlEr

segue che:

d d

d d )V(P )V(PV

P

P

P

P

PP

lElE

lElE

f

i

i

f

ifff

B A

in generale:

d )V( )V(V lE B

AAB AB

ci sarà utile in seguito

Due cariche puntiformi positive Q = 10-4 C sono disposte ad una distanza d = 1 m. Calcolare il lavoro eseguito dalla forza coulombiana spostando una carica q = 10-6 C dal punto mediano dell’asse al punto B a distanza R = d da una delle due cariche.

ESERCIZIO

R

d

AQ

Q

B

q

PROPRIETA’ E OPERATORI DI CAMPO

Ugrad(U)

Prodotto algebrico “vettore nabla” - scalare

Operatore nabla (“vettore” ?) zyx

kji ˆˆˆ

kjiz

U

y

U

x

UUgrad

)(^ ^ ^

scalarevettore

1) Operatore gradiente1) Operatore gradiente

VE

zE

yE

xE

V

;V

;V

zyx

dalla definizione di V(r):

d )V( d V(P)P

lErlEr

segue:

IMPORTANTE

E(r) è un campo vettoriale

V(r) è un campo scalare

VE

dalle definizioni:

d )V( d V(P)P

lErlEr

segue che:

dove E = 0 ¨ V = cost.

IMPORTANTE

E(r) = 0

V = cost.

+V=cost E

+_

V=cost E

Superfici equipotenziali

_+

Es: molecola d’ acquaEs: molecola d’ acqua

+8-

----+1- -

- -

-+1- -- -

p

polare

Momento di dipolo p=qä


_+

p

dipolo elettricodipolo elettrico

E+q -q ä

F+q

F-q

Caso E uniforme:

Le molecole polari in liquido (acqua) vengono allineate da un campo E esterno

Le molecole polari in liquido (acqua) vengono allineate da un campo E esterno

Dipolo elettrico in un campo elettrico “esterno”

Dipolo elettrico in un campo elettrico “esterno”

Ep U U minima quando p // E

Epτ Coppia meccanica che “allinea” p a E

Ftot= 0

fiEstCoul qqL L VV V .

ˆ

4

12

12

1221

o12 r

qq rF

)(PE 0

pq

lim

pq

F

d )V( lErr

RIEPILOGO ELETTROSTATICA definizioni:

rE V



_+

E è conservativo

RIEPILOGO: formule operative

ˆ

4

1 )(

2o

j j

jj

r

q rrE

j j

j

r

q

o4

1)V(

r

V

Vr

d ˆ

4

1)(

2o

rrE

V

Vr

d

4

1)(V

o

r

4

1

o

carichedi

coppietutte ij

jiTOT r

qqU

ˆr

q

4π

1 )(

2o

rrE

r

q

o4

1)V(

r

fiEstCoul qqL L VV V .

Epτ

d VP

PlE f

i

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