Elementi di Teoria dei Segnali - ISPAMM – Intelligent...

Master "Tecniche per la Multimedialità" 1

Elementi di Teoria dei Segnali

Ing. Michele [email protected]

http://ispac.ing.uniroma1.it/scarpiniti/index.htm


Il concetto di segnale

� I segnali sono funzioni nel senso ordinario del termine

� Il temine segnale si riferisce all’impiego di questi enti matematici in un contesto dove si effettua lo scambio di messaggi informativi tra soggetti diversi, individuabili come sorgente e destinatario, come accade in un sistema di comunicazione


Classificazione dei segnali

� Rispetto alla conoscenza a priori:� Certi;� Aleatori.

� Rispetto al codominio:� Reale;� Complesso.

� Rispetto alla tipologia della coppia dominio-codominio:

� Continuo-continuo;� Continuo-discreto;� Discreto-continuo;� Discreto-discreto.



� Rispetto al contenuto energetico:� Segnali di energia: energia finita e non nulla

� Segnali di potenza: potenza finita e non nulla

( ) ( ) ( ) 2*sE s t s t dt s t dt

∞ ∞

−∞ −∞

= ⋅ =∫ ∫

( ) 22

2

1lim

T

Ts TP s t dt

T

∆

∆∆ →∞ −=

∆ ∫Un segnale di energia ha potenza nulla; un segnale di potenza ha energia infinita. Se il segnale è periodico, la potenza è calcolata su un periodo.


Esempi di segnali

0 50 100 150 200 250 300 350 400-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

( ) ( )0cos 2s t A f tπ ϕ= +

0

1f

T=

A: ampiezza;

f0: frequenza;

ϕ: fase;

T: periodo


Esempi di segnali

( ) ( )Ts t rect t=

( ) ( )Tx t tri t=t

x(t)

1

T-T


Esempi di segnali

( ) ( )1s t u t−=

( ) ( ) ( )0x t u t tδ= =

t

s(t)

1

0

t

x(t)

1

0


Esempi di segnali

� Un segnale molto usato nella teoria dei segnali e dei sistemi è il seno cardinale o semplicemente sinc.

( ) ( )sinsinc

ts t t

t= =

E’ da notare che il valore di sinc(t) per t=0 è 1, cioèsinc(0)=1


Il sistema

� Un sistema T è una “scatola nera” che preleva il segnale x(t) e gli fa corrispondere un segnale in uscita y(t).


Il sistema

� Un sistema T è lineare se:� x1(t)→y1(t)

� x2(t)→y2(t), allora

� a1x1(t)+a2x2(t) → a1y1(t)+a2y2(y)

� Un sistema T è permanente se:� x(t)→y(t), allora

� x(t-T)→y(t-T)


L’uscita del sistema

� Si chiama risposta impulsiva di un sistema T l’uscita corrispondente ad un impulso di Dirac.

� La risposta impulsiva caratterizza completamente il sistema T.



� Nota la risposta impulsiva h(t) di un sistema T è allora nota l’uscita y(t) per un generico ingresso x(t):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*y t x h t d x t h tτ τ τ∞

−∞

= ⋅ − =∫

� La formula precedente è detta integrale di convoluzione.

� Un esempio di convoluzione tra due rettangoli è mostrata nella slide successiva.



� Per la serie e il parallelo di due diversi sistemi di risposta impulsiva h1 e h2, valgono le seguenti relazioni:


L’auto e cross-correlazione

� Si definisce funzione di auto-correlazione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*xxR t x x t d x t x tτ τ τ

∞

−∞

= ⋅ + = ⊗∫

� Si definisce funzione di cross-correlazione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*xyR t x y t d x t y tτ τ τ

∞

−∞

= ⋅ + = ⊗∫


L’auto e cross-correlazione

� In particolare:

( )0x xxE R=� Mentre si definisce energia incrociata:

( ) ( ) ( )*0xy xyE R x x dτ τ τ∞

−∞

= = ⋅∫

� Relazioni analoghe valgono per i segnali di potenza.

� Si definisce coefficiente di correlazione:xy

xy

x y

E

E Eρ =


Filtro

� In generale la h(t) è complessa.

� Se h(t) è reale allora il sistema è idealmente realizzabile (IR).

� Se il sistema è anche causale (cioè h(t)=0 pert<0) allora il sistema è fisicamente realizzabile (FR).

� Un sistema lineare e permanente è detto filtro.


Filtro

� Un filtro è instabile se l’uscita, in corrispondenza di ingressi limitati in ampiezza, assume valori illimitati.

� Un filtro è stabile se l’uscita rimane limitata.

� Condizione necessaria e sufficiente affinchéun filtro sia stabile è che:

( )h t dt∞

−∞

< ∞∫


Lo sviluppo in serie di Fourier

� Se un segnale è periodico (x(t)=x(t+T)) allora è sviluppabile in serie di Fourier:

( ) 02j nf tn

n

x t X e π∞

=−∞

= ∑

( ) 0

22

2

1T

j nf tn

T

X x t e dtT

π−

−

= ∫

� La sequenza dei coefficienti Xn è detto spettro del segnale periodico x(t).



� La potenza si può calcolare direttamente coi i coefficienti dello sviluppo in serie, tramite il teorema di Parseval:

2

x nn

P X∞

=−∞

= ∑

� Inoltre le funzioni di auto e cross-correlazionesono periodiche di periodo T, e i relativi spettri valgono:

xyn n nX YΦ = *xyn n nR X Y=


La trasformata di Fourier

� Un segnale non impulsivo e quindi non di energia non può essere sviluppato in serie di Fourier

� Si può però definire un’operazione detta trasformata di Fourier, che è un concetto limite della serie.



� Si può passare dal segnale x(t) alla sua trasformata di Fourier X(f) e viceversa (antitrasformata di Fourier), tramite le:

( ) ( ) ( ){ }2 1j ftx t X f e df X fπ∞

+ −

−∞

= =∫ F

( ) ( ) ( ){ }2j ftX f x t e dt x tπ∞

−

−∞

= =∫ F



� Un esempio: trasformata del rettangolo:



� In generale X(f) è complessa:� X(f)=XR(f)+jXI(f)=M(f)ejΦ(f)

� Se x(t) è reale allora X(f)=X*(-f)� Cioè XR(f) e M(f) sono funzioni pari;

� XI(f) e Φ(f) sono funzioni dispari.

� La trasformata di Fourier è un operatore lineare.



� Proprietà della traslazione nel tempo:

( ){ } ( )2j fTx t T e X fπ−− =F

� Proprietà della derivazione nel tempo:

( ) ( )2d

x t j fX fdt

π =

F

� Proprietà del prodotto nel tempo:

( ) ( ){ } ( ) ( )*x t y t X f Y f⋅ =F



� Vale il teorema di Parseval:

( ) 2

xE X f df∞

−∞

= ∫� Teorema della convoluzione:

( ) ( ){ } ( ) ( )*x t y t X f Y f= ⋅F

� Teorema della correlazione:

( ) ( ){ } ( ) ( )*x t y t X f Y f⊗ = ⋅F



� Se l’ingresso x(t) di un filtro è un segnale sinusoidale a frequenza f0, allora anche l’uscita sarà un segnale sinusoidale di frequenza f0, ma di ampiezza e fase diversi.

� Facendo variare la f0, posso ricostruire l’uscita per ogni frequenza e disegnare quindi, la risposta in frequenza.


I filtri

� Un filtro, visto in frequenza può dividersi in tre categorie:� Passa basso;

� Passa alto;

� Passa banda.

� Questi filtri eliminano le alte frequenze, le basse frequenze e le frequenze al di fuori di una certa banda, rispettivamente.

� La trasformata di Fourier del risposta impulsiva di un filtro caratterizza completamente il funzionamento del filtro in frequenza, ed è chiamata funzione di trasferimento del filtro.


I filtriPassa Basso: passano inalterate tutte le frequenze inferiori a fL.

Passa Alto: passano inalterate tutte le frequenze superiori a fH.

Passa Banda: passano inalterate tutte le frequenze comprese tra f1 e f2.

B=f2-f1 è detta larghezza di banda.

f0=(f1+f2)/2 è detta frequenza di centro banda.

f

H(f)

1

fL-fL

f

H(f)

1

fH-fH


I filtri

� Consideriamo il filtro passa basso ideale, precedentemente disegnato.

� Risulta che: H(f) = rect2fL(f)� Quindi nel tempo ho una risposta nel tempo

pari a: h(t)=2fLsinc(πfLt)� E’ chiaro che h(t) risulta non nulla per t<0, e

quindi il filtro passa basso ideale non risulta fisicamente realizzabile.

� I filtri reali hanno una pendenza più dolce: scendono verso zero più lentamente.


I filtri

� Grazie al teorema della convoluzione, l’uscita in frequenza Y(f) di un filtro è dato semplicemente dal prodotto della trasformata di Fourier dell’ingresso al filtro X(f) con le sua funzione di trasferimento H(f):

H(f)X(f) Y(f)=H(f)·X(f)


Spettro di densità di energia

� Si consideri il segnale x(t) ed il seguente filtro:

� Si definisce energia del segnale x(t) nella banda [f,f+∆f], l’energia in uscita dal filtro precedente quando si pone x(t) in ingresso.

� Tale energia si indica con: Ex,f,f+∆f.



� Si faccia ora l’ipotesi che la banda sia infinitesima, ovvero che ∆f→0.

� Allora al seguente rapporta si dà il nome di spettro di densità di energia:

( ) , ,

0lim x f f f

xf

EE f

f+∆

∆ →=

∆

� L’energia del segnale x(t) può quindi essere calcolata con questa nuova grandezza, come:

( )x xE E f df∞

−∞

= ∫



� Per i segnali di energia vale il risultato seguente, noto come Teorema di Wiener:

( ) ( ) ( ){ }2

x xxE f X f R t= =F

� Quindi lo spettro di densità di energia di un segnale x(t) può essere calcolato come trasformata di Fourier della funzione di auto-correlazione del segnale x(t).


Spettro di densità di potenza

� In modo analogo si definisce la potenza del segnale x(t)nella banda [f,f+∆f], e la si indica con: Px,f,f+∆f.

� Si definisce spettro di densità di potenza Px(f):

( ) , ,

0lim x f f f

xf

PP f

f+∆

∆ →=

∆

� La potenza del segnale x(t) può quindi essere calcolata come:

( )x xP P f df∞

−∞

= ∫

� Vale il teorema di Wiener, per i segnali di potenza:

( ) ( ){ }x xxP f R t=F


Il segnale analitico

� Si consideri il segnale x(t) ed il seguente filtro, dato da un gradino in frequenza:

H(f)

1

0 f

� L’uscita del segnale x(t) dal filtro precedente è chiamato segnale analitico ed indicato con x+(t).

� In frequenza il segnale analitico ha solo un contributo a frequenze positive


L’inviluppo complesso

� Si definisce inviluppo complesso il segnale ottenuto dalla seguente espressione:

( ) ( ) 022 j f tx t x t e π−+=

� L’ inviluppo complesso è un segnale complesso, che quindi ha una parte reale ed una parte immaginaria, denominate componenti analogiche di bassa frequenza in fase e quadratura:

( ) ( ) ( )c sx t x t jx t= +



� Un segnale x(t) è detto limitato in banda [f1,f2] intorno ad una frequenza f0, se è nullo lo spettro X(f) al di fuori di questa banda.

� La banda B del segnale è B=f2-f1� f0=(f1+f2)/2



� Un segnale x(t) limitato in banda [f0-fB,f0+fB]intorno a f0 può essere riportato in banda base intorno allo zero [-fB,fB] tramite l’inviluppo complesso.

� Il segnale nella banda originale intorno a f0 può essere riottenuto tramite le componenti analogiche in bassa frequenza (ricavate dall’inviluppo complesso):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0cos 2 sin 2c sx t x t f t x t f tπ π= −



� Quanto detto precedentemente è illustrato nel seguente esempio:


Il campionamento

� Si vuole ora passare da un segnale continuo-tempocontinuo ad un segnale continuo-tempo discreto.

� Una procedura è leggere il segnale ad istanti regolari di tempo: ogni Tc, prendo il valore del segnale (x(0), x(Tc), x(2Tc), x(3Tc),…).

� Il processo è chiamato campionamento, mentre Tc èdetto periodo di campionamento.

� La sequenza …,x(0), x(Tc), x(2Tc), x(3Tc),… è detta sequenza di campionamento, mentre il singolo x(kTc)è detto campione di x(t) all’istante kTc.

� Fc=1/Tc è detta frequenza di campionamento.


Il campionamento

� Un metodo pratico per leggere un segnale x(t) ogni Tc èquello di moltiplicare il segnale x(t) per un treno di impulsi s(t) equispaziati di Tc.

� Il segnale ottenuto (segnale campionato) viene indicato con xc(t).

� Si ricorda che la trasformata di Fourier di un treno di impulsi è un treno di impulsi equispaziati di fc e scalati di Tc, mentre la convoluzione in frequenza tra un segnale e un treno di impulsi dà come risultato lo spettro del segnale riportato sopra ogni impulso (replica).

� E’ molto istruttivo vedere il processo di campionamento contemporaneamente nel tempo che in frequenza.


Il campionamento

f

X(f)

1

0t

x(t)

t

s(t)

t

xc(t)

f

Xc(f)

fc 2fC-2fc -fc

t

S(f)

0

fc 2fC-2fc -fc 0

fM-fM0

0

0Tc

Tc 2Tc 3Tc-3Tc-4Tc -2Tc

1 1/Tc

1/Tc


Il campionamento

� Per poter ricostruire il segnale x(t), quindi devo far passare il segnale campionato xc(t) in un filtro passa basso ideale H(f) con frequenza di taglio fM.

� In questo modo isolo la replica intorno all’origine ottenendo il segnale y(t) che coincide con il segnale x(t).


Il campionamento

� Il segnale ricostruito y(t) può quindi essere espresso come segue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

sinc 2

sinc 2

c c c Mk k

c M ck

y t x t t kT h t x kT t kT f t

x kT f t kT

δ δ = ⋅ − ∗ = − ∗ =

= −

∑ ∑

∑


Il campionamento

� Se ora si diminuisce il periodo di campionamento Tc e quindi di conseguenza si aumenta la frequenza di campionamento fc (cioè prendo più informazione dal segnale), le repliche in frequenza si allontanano.

� Riesco allora a ricostruire il segnale anche con un filtro meno performante di quello ideale (che non èfisicamente realizzabile).


Il campionamento

� Se viceversa si aumenta il periodo di campionamento Tc e quindi di conseguenza si diminuisce la frequenza di campionamento fc (cioè prendo meno informazione dal segnale), le repliche in frequenza si avvicinano.

� Riesco allora a ricostruire il segnale solo con un filtro sempre più performante (che può non essere fisicamente realizzabile).


Il campionamento

� Se Tc aumenta troppo e quindi di conseguenza si fcdiminuisce troppo (cioè prendo troppo poca informazione dal segnale), le repliche in frequenza si sovrappongono.

� Non riesco allora a ricostruire il segnale originale con il filtro passa-basso, in quanto l’uscita di tale filtro contiene anche informazione proveniente dalle repliche adiacenti.


Il campionamento

� Questo fenomeno della sovrapposizione delle repliche è detto aliasing.

� Quando ho aliasing non riesco più a ricostruire il segnale.

� La frequenza di campionamenti fc minima per cui non ho aliasing è fc=2fM.

� Per poter ricostruire il segnale devo campionare ad una frequenza fcP2fM (fM è la massima frequenza del segnale).

� Il risultato precedente (fc P 2fM) è noto come Teorema del Campionamento o di Nyquist, mentre f=2fM è detta frequenza di Nyquist.


La quantizzazione

� Il passo successivo è quello di trasformare un segnale continuo-tempo discreto in un segnale discreto-tempo discreto, ovvero digitale.

� Il segnale digitale non può assumere qualsiasi valore, ma solo un certo numero limitato.

� Risulta cioè quantizzato.� La quantizzazione, allora, è il processo che

trasforma gli infiniti valori del codominio di un segnale tempo-continuo nei “pochi” valori del codominio del segnale digitale.


La quantizzazione

� Un metodo per effettuare la quantizzazione consiste ne dividere la dinamica del segnale (l’intervallo tra il minimo e massimo valore del codominio) in un certo numero L di livelli.

� Vedere la sequenza campionata all’istante kin quale intervallo appartiene.

� Associare al campione x(kTc) il valore del livello di appartenenza.

� In questo modo il segnale digitale può assumere solamente L valori distinti.


La quantizzazione

� Ovviamente quanto più il numero L di livelli èelevato tanto più il segnale quantizzato xq(t)sarà “simile” al segnale originale x(t).

� In ogni caso sarà sempre presente un errorepari alla differenza del valore vero del campione ed il valore quantizzato: eq(kTc)=x(kTc)-xq(kTc).

� Tale errore viene detto errore o rumore di quantizzazione.

� L’errore di quantizzazione è tanto più piccolo quanto più elevato è il numero di livelli L.


La quantizzazione

� Vediamo un esempio con L=11 livelli di quantizzazione:

� La sequenza quantizzata ottenuta è: {…,2,2,4,4,4,5,6,9,11,10,8,5,…}


La quantizzazione

� Si capisce intuitivamente che la sequenza quantizzata non coincide completamente con il segnale originale, come si può vedere dalla seguente figura:

t

xq(t)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

� Il processo di quantizzazione è quindi irreversibile.


La quantizzazione

� Vista la natura binaria di molte applicazioni pratiche (su PC), solitamente il numero di livelli L è preso come una potenza di 2.

� Così se utilizzo N bit ottengo L=2N livelli differenti.

� Per esempio con N=8 ho L=256, con N=16 ho L=65536 , con N=16 ho L=16777216 livelli.

� Si noti che raddoppiando il numero di bit il numero di livelli incrementa molto più del doppio: l’andamento èesponenziale.

� Il numero N di bit da utilizzare per rappresentare Llivelli differenti è: N=log2L.


La quantizzazione

� Alcuni esempi:

� CD Audio:� Fc=44100 Hz;

� N=16 bit (L=65536).

� PCM telefonico:� Fc=8000 Hz;

� N=8 bit (L=256).


La quantizzazione

� L’insieme di campionatore e quantizzatorepermette di passare da un segnale analogico ad uno digitale, e per questo motivo prende il nome di convertitore analogico-digitale o ADC.

� Il processo inverso, cioè il passaggio da un segnale digitale ad uno analogico, è ottenuto attraverso il convertitore digitale-analogico o DAC.


I segnali aleatori

� Purtroppo i segnali con cui funzionano i sistemi reali non appartengono alla tipologia di segnali certi, altrimenti non ci fornirebbero nessuna informazione, ma appartengono alla classe dei segnali aleatori.

� C’è un certo grado di non conoscenza dell’informazione trasmessa dai segnali “reali”.

� Se non conosciamo nulla del segnale, questo viene detto completamente aleatorio.

� Se conosciamo alcune caratteristiche ed altre no, viene detto ad aleatorietà parametrica (ad esempio di un oscillatore conosciamo l’ampiezza del segnale ma non la frequenza, etc.).

� Per studiare i segnali aleatori è necessaria una breve introduzione sulle nozioni di probabilità e statistica.


La probabilità

� Intuitivamente la probabilità che un evento E accada, coincide con il numero di casi favorevoli all’evento E su tutti i casi possibili.

� E’ intuitivo supporre che la probabilità dell’evento E coincida con la frequenza con cui questo evento si presenta.

� Così ad esempio, lanciando in aria una moneta 100volte, ci aspettiamo che escano 50 “teste” e 50 “croci”,da cui una probabilità del 50% di avere ad esempio “testa”.

� In ogni caso la probabilità di avere “testa” si calcola come casi favorevoli (“testa” e quindi 1) su casi possibili (“testa” o “croce” e quindi 2) ottenendo quindi una probabilità di ½, cioè del 50%.


La probabilità

� Matematicamente la probabilità di un evento E è un numero compreso tra 0 ed 1.

� Inoltre la probabilità dell’evento certo vale 1.

� Così ad esempio la probabilità che lanciando un dado esca un numero minore di 7 (è certo che sia così avendo il dado solo 6 facce) è 1, cioè del 100%.

� Le variabili che descrivono l’evento aleatorio prendono il nome di variabili aleatorie (v.a.).


La probabilità

� Data la v.a. X, la probabilità che essa assuma valori minori o uguali di x è indicata con Prob{XOx} ed è descritta dalla seguente funzione, detta funzione di ripartizione di probabilità (o cdf):

{ } ( )XProb X x F x≤ =

� La derivata di questa funzione è chiamata funzione di distribuzione di probabilità (o pdf):

( ) ( )X X

dp x F x

dx=

� Da questa funzione posso ricavare:

{ } ( )x

XProb X x p x dx−∞

≤ = ∫


La probabilità

� Due concetti molto importanti sono il concetto di media e varianza.

� La media mX di una v.a. X indica il valore medio della distribuzione, quello che divide la pdf in due parti di peso equivalente, e si calcola come:

( ) 1Xp x dx∞

−∞

=∫

� Poiché la probabilità dell’evento certo vale 1, deve essere che l’area al di sotto della pdf sia unitaria, cioè:

{ } ( )X Xm E x xp x dx∞

−∞

= = ∫


La probabilità

� La varianza σ2X di una v.a. X indica lo scarto

quadratico medio della distribuzione, cioè mi dice quanto i dati siano dispersi, cioè sparsi, intorno al suo valore medio, e si calcola come:

( ) ( )22X X Xx m p x dxσ

∞

−∞

= −∫

� La radice quadrata della varianza σ2X di una v.a. X,

indicata con σX è detta deviazione standard.

� La deviazione standard ha un significato analogo alla varianza.


La probabilità

� Un primo classico esempio di densità di probabilità è la distribuzione uniforme, in cui ogni valore è equiprobabile.

� In realtà la distribuzione uniforme può anche non essere simmetrica, ad esempio può estendersi su un intervallo [a,b] qualsiasi.

� La distribuzione disegnata ha mX=0 e σ2X =A2/3.

( )1

, -20,

X

A x Ap x A

altrove

≤ ≤=


La probabilità

� Un secondo esempio notissimo è la distribuzione Gaussianadalla classica forma a campana:

( )( )2

22

2

1

2

X

X

x m

X

X

p x e σ

πσ

−−

=

� Per costruire una distribuzione Gaussiana basta conoscere due parametri, la media mX e la varianza

σ2X .

� Si dice che per la Gaussiana è sufficiente la statistica del secondo ordine.


La probabilità

� La distribuzione Gaussiana è molto importante.

� Infatti molti fenomeni fisici e sociali sono modellati come una distribuzione Gaussiana.

� Inoltre se ho tanti processi, ognuno con una sua distribuzione di probabilità, il processo somma di questi avrà una distribuzione Gaussiana.

� Questo risultato è noto come teorema del limite centrale.

� Già con un numero di processi superiori a 5/6 la distribuzione somma risultante approssima abbastanza bene la gaussiana.


La probabilità

� Esitono fenomeni aleatori che dipendono da più variabili aleatorie, ad esempio x1, x2,…, xN.

� Esiste quindi una funzione di distribuzione di probabilità multi-dimensionale px(x1, x2,…, xN), detta funzione di densità di probabilitàcongiunta.

� Le singole pxi(xi) vengono dette funzioni di densità di probabilità marginali.


La probabilità

� Due eventi sono detti statisticamente indipendenti, se il verificarsi dell’uno non condiziona il verificarsi dell’altro.

� Se più eventi sono statisticamente indipendentiallora la funzione di densità di probabilitàcongiunta si fattorizza nel prodotto delle funzioni di densità di probabilità marginali:

( ) ( )1 21

, , ,k

N

N x kk

p x x x p x=

= ∏x …


La probabilità

� Oltre alla media e alla varianza, esistono tante altre funzioni statistiche chiamate momenti.

� Per v.a. multi-dimensionali, posso definire i momenti misti, che coinvolgono diverse v.a..

� In particolare si definisce il momento misto di ordine 1:

( ) ( )1 2

1,1, 1 2 1 2 1 2 1 2, ,x xm x x x x p x x dx dx

∞ ∞

−∞ −∞

= ∫ ∫ x


I processi aleatori

� Si definisce sorgente aleatoria Sx un qualsiasi dispositivo fisico che genera un segnale che risulti essere tutto o in parte non noto a priori.

� Indicato con x(t) un generico segnale aleatorio emesso dalla sorgente aleatoria Sx, prende il nome di processo aleatorio X(t) l’insieme {x(t)} di tutti i segnali aleatori che “a priori” la sorgente aleatoria Sxpuò generare.

� Si definisce realizzazione x(t) del processo aleatorio X(t) ciascun singolo segnale “a priori” generabile dalla sorgente aleatoria Sx.


I processi aleatori

� Ai processi aleatori si possono applicare tutte le tecniche già apprese per i segnali certi.

� La descrizione del processo aleatorio è però fatta in modo statistico.

� La v.a. X1 ottenuta dal processo aleatorio X(t) al tempo t1 è detta v.a. estratta dal processo all’istante t1 ed è descritta dalla funzione di densità di probabilità:

( )1 1 1;xp x t


I processi aleatori

� La v.a. X=(X1,X2,…,XN) ottenuta dal processo aleatorio X(t) al tempo t1, t2,…,tN è detta v.a. n-dimensionale estratta dal processo all’istante t1, t2,…,tN ed è descritta dalla funzione di densità di probabilità:

( )1 2 1 2, , , ; , , ,N Np x x x t t tx … …

� L’insieme di tutte le densità di probabilità del tipo precedente fino ad uno specificato ordine n, si chiama gerarchia di ordine n del processo aleatorio X(t), e descrive completamente il processo.


I processi aleatori

� In questo modo posso definire la media mx(t1) del processo aleatorio X(t):

( ) ( )11 1 1 1 1;x xm t x p x t dx

∞

−∞

= ∫� Si definisce la varianza σ2

x(t1) del processo aleatorio X(t):

( ) ( )( ) ( )1

221 1 1 1 1 1;x x xt x m t p x t dxσ

∞

−∞

= −∫

� Si definisce momento misto di ordine (1,1) m(1,1)x(t1,t2) del

processo aleatorio X(t):

( ) ( ) ( )1

1,11 2 1 2 1 2 1 2 1 2; , ; ,x xm t t x x p x x t t dx dx

∞

−∞

= ∫


I processi aleatori

� Un processo aleatorio X(t) è detto stazionario in senso stretto se ogni sua gerarchia di ordine n risulta invarianterispetto ad una traslazione dell’origine dei tempi, cioè:

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , ; , , , , , , ; , , ,N N N Np x x x t t t p x x x t t tδ δ δ= + + +x x… … … …

� Un processo aleatorio X(t) è detto stazionario in senso latose la sua media non dipende dall’istante temporale di estrazione e il suo momento misto di ordine (1,1) dipende solo dalla differenza dei tempi τ=t2-t1:

( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1,1 1,11 2,

x x

x x

m t m

m t t m τ

≡

≡


I processi aleatori

� Una realizzazione x(t) di un processo aleatorio X(t) è detta tipica se da essa ècalcolabile la gerarchia di ordine n qualsiasi, in qualunque punto e per qualsiasi n-pla di tempi t1,t2,…,tN.

� Un processo aleatorio X(t) è detto ergodico, se tutte le realizzazioni sono tipiche.

� Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché un processo sia ergodico è che esso risulti essere stazionario in senso stretto.


I processi aleatori

� Se un processo aleatorio X(t) è ergodicoallora le medie temporali del primo ordine sono uguali per tutte le realizzazioni x(t) ed inoltre coincidono con le corrispondenti medie d’insieme:

( )( ) ( )22 2 2

x

x x x x

x t m

P x t m mσ

≡

= ≡ ≡ −

� Quindi se il processo X(t) è a media nulla, la potenza coincide con la varianza.


I processi aleatori

� Analogamente se X(t) è ergodico le medie temporali del secondo ordine (funzioni di auto-correlazione) sono tutte uguali e coincidono con le corrispondenti medie di insieme (momenti misti di ordine (1,1)):

( ) ( ) ( )1,1xx xR mτ τ≡

� Un risultato notevole è il teorema di Wiener-Khintchine: lo spettro di densità di potenza Px(f) coincide con la trasformata di Fourier del momento misto di ordine (1,1):

( ) ( ) ( ){ }1,1x xP f m τ≡F


I processi aleatori

� Un processo aleatorio X(t) limitato in banda èdetto bianco se lo spettro di densità di potenza è costante all’interno di questa banda.

� Detta quindi B=f2-f1 la larghezza di banda, la potenza del processo X(t) bianco è pari a: Px=2BN.


I processi aleatori

� Widrow ha dimostrato che il rumore di quantizzazione è ergodico uniforme e bianco, cioè ha una funzione di densità di probabilitàuniforme ed uno spettro di densità di potenza costante.

� La potenza di tale rumore coincide quindi con la varianza del processo che, ponendo q l’intervallo tra due livelli adiacenti, vale: σ2

x=q2/12.


I processi aleatori

� Ad esempio con una dinamica di ±1Volt, utilizzando N=8 bit, cioè L=256livelli ed esprimendo il risultato in dB, ottengo σ2

x=(2/256)2/12=-53 dB

� Con N=16 bit, cioè L=65536 livelli ottengo σ2

x=(2/65536)2/12=-101 dB

Elementi di Teoria dei Segnali - ISPAMM – Intelligent...

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