Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni - Pagina principale · 3 Fondamenti di TLC - Prof. G....
Transcript of Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni - Pagina principale · 3 Fondamenti di TLC - Prof. G....
1
Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni
2 – TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATIProf Giovanni Schembra
1
Prof. Giovanni Schembra
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Struttura della lezione
Proprietà dei segnali nel dominio del tempo ( )Proprietà dei segnali nel dominio del tempo ( )Valore medio, potenza, energia, autocorrelazione
Proprietà dei segnali nel dominio della frequenza ( )Spettro, banda, densità spettrale di energia e di potenza
Convoluzione di segnali ( )Serie di Fourier ( )Segnali periodici ( )
2
Spettro, densità spettrale di potenza e funzione di autocorrelazione, potenza
Sistemi lineari e distorsione ( )Campionamento di un segnale e ricostruzione per interpolazione ( )
2
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
PROPRIETÀ DEI SEGNALI NEL DOMINIO DEL TEMPO
3
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Operatore media temporaleDefinizione:
( ) ( )dttwT
twT
TT ∫−∞→=
2
2
1lim
Linearità: )()()()( 22112211 twatwatwatwa +=+
Valore medio temporale (o componente continua):
4
( ) ( )dttwT
twWWT
TTdcm ∫−∞→=≡=
2
2
1lim
per una forma d’onda fisicamente realizzabile, il valore medio si può anche valutare su un intervallo [t1,t2]
dttwtt
Wt
tm )(1 2
112∫−
=
3
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali periodici
Definizione:Definizione:un segnale w(t) è periodico con periodo T0 se:
dove T0 è il più piccolo numero positivo che soddisfa la suddetta relazione
)()( 0Ttwtw +=
Valore medio temporale per un segnale
5
Valore medio temporale per un segnale periodico:
( )( )
( ) ( )dttwT
twWaT
aTm ∫+
+−==
2
20
0
0
1 arbitraria reale costante :a
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Potenza
Dalla fisica:Dalla fisica:Potenza: lavoro nell’unità di tempoTensione: lavoro per unità di caricaCorrente: carica per unità di tempo
Potenza in un circuito elettrico:
)()()( tittPotenza istantanea associata ad un circuito
)(tv)(ti
6
)()()( titvtp ⋅=
Potenza media
)()()( titvtpP ⋅==
4
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Valore efficace e potenza normalizzata
Valore efficace (r m s)Valore efficace (r m s)2)(twWeff =
Potenza media su un carico resistivo RSe un carico è resistivo, la potenza media è:
effeffeffeff IVRIR
VRti
Rtv
P ===== 22
22
)()(
7
RR
Potenza media normalizzatadttw
TtwP
T
TT
22
2
2 )(1lim)( ∫−→∞==
Ω=1Rcalcolata per
Potenza di picco { })()(maxpicco titvP ⋅=
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-1
8
60
5
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-1
9
Frequenza doppia rispetto a tensione e corrente
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-1
10
VIPpicco = VIPmedia 21
=
6
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali a energia finita e a potenza finita
Energia normalizzata totale Potenza media normalizzataEnergia normalizzata totaledttwE
T
TT
22
2)(lim ∫−∞→
=
Definizione: segnale a potenza finitase e solo se la potenza normalizzata media è finita e non nulla
∞<< P0
D fi i i l i fi it
dttwT
twPT
TT
22
2
2 )(1lim)( ∫−∞→==
11
Definizione: segnale a energia finitase e solo se l’energia normalizzata è finita e non nulla
∞<< E0Nota:
un segnale può appartenere ad una sola classe:
∞=⇒ EP finita 0 finita =⇒ PE
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
PROPRIETÀ DEI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
12
7
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Trasformata di Fourier e spettri di un segnale
Obiettivo:Obiettivo:la definizione di frequenza per un segnale sinusoidale è immediata (l’inverso del periodo)vogliamo ora determinare il contenuto frequenziale per un generico segnale
Definizione: trasformata di Fourier
13
detta anche spettro bilatero di w(t)
{ } dtetwtwfW ftj π2)()()( −+∞
∞−∫=ℑ=
f è il parametro frequenza, espresso in Hertz (Hz=1/s)
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Espressioni per la TF e antitrasformata di Fourier
Forma rettangolare Forma polare )()()( fjefWfW θ=Forma rettangolare
)()()( fYjfXfW +=
Forma polare )()( efWfW =
dove:)()()( 22 fYfXfW +=
SPETTRO di
( )
( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
<=−
>=
<+
>
=
0)(e0)(pervalorequalunque
0)( e 0)(per 2
0)( e 0)(per 2
0)(per )()(arctan
0)(per )()(arctan
)(
fYfX
fYfX
fYfX
fXfXfY
fXfXfY
f
π
π
π
θ
14
AMPIEZZA ⎩ 0)( e 0)(per valorequalunque fYfX
SPETTRO di FASE
Antitrasformata di FourierdfefWtw ftj π2)()( ∫
+∞
∞−=
)()( fWtw ↔
8
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio di calcolo della TF: spettro di un impulso esponenziale
15
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-2: spettro di un impulso esponenziale
16
9
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Proprietà delle trasformate di Fourier
Simmetria Hermitiana dei segnali realiSimmetria Hermitiana dei segnali reali
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−
=−⇒
)()( cioè DISPARI è )()()( cioè PARI è )(
)()(REALE è )( se
*
ffffWfWfW
fWfWtw
WWW θθθ
PARIREALEè)(PARIREALEè)( fW
17
PARIeREALEè)(PARIeREALE è )( se fWtw ⇒
DISPARI ePURA A IMMAGINARI è )(DISPARI e REALE è )( se fWtw ⇒
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teorema di Parseval
Teorema di ParsevalTeorema di Parseval
dffWfWdttwtw )()()()( *21
*21 ⋅=⋅ ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
DIMOSTRAZIONE
=⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⋅ ∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−dttwdfefWdttwtw ftj )()()()( *
22
1*21
π
=⋅= ∫ ∫+∞ +∞
dtdfetwfW ftj π2* )()(
18
=⋅= ∫ ∫∞− ∞−dtdfetwfW 21 )()(
Per il teorema di Fubini, che afferma che l’ordine di integrazione può essere scambiato se i due integrali sono assolutamente convergenti
[ ] =⋅= −+∞
∞−
+∞
∞− ∫∫ dfdtetwfW ftj*
221 )()( π
dffWfW )()( *21∫
+∞
∞−=
10
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teorema di Raileigh edensità spettrale di energia (DSE)
Teorema di Raileigh Permette diTeorema di Raileigh Permette di calcolare l’energia di un segnale nel dominio della frequenza
dffWdttwE 22 )()( ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−=≡
Definizione: densità spettrale di energia (DSE)per segnali ad energia finita
2)()( fWf =E
19
)()( fWf =E
Ovviamente, abbiamo che:
dffE )(E∫+∞
∞−=
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teoremi relativi alla trasformata di Fourier
20
11
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teoremi relativi alla trasformata di Fourier
21
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli
Sinusoide smorzataDelta di DiracGradino unitarioSegno
Impulso rettangolareImpulso triangolareSeno cardinale (sinc)Coseno rialzatog
Sinusoide
22
Pettine
12
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-3: SINUSOIDE SMORZATA
Definizione nel tempo:Definizione nel tempo:( )
⎩⎨⎧
<>>
=−
000,0sin
)( 0
tTtte
twTt ω
SPETTRO BILATERO:Applichiamo il teorema del cambiamento di scala con Ta 1=
23
(2-34)
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-3: SINUSOIDE SMORZATADa calcolare
24
Teorema della traslazione in frequenza
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2cossin 00
πωω tt
13
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-3: SINUSOIDE SMORZATA
(2-44)
25
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli
Funzione delta di Dirac, δ(x), ( )
Definizione 1: )0()()( wdxxxw =∫∞
∞−δ
Definizione 2:⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=∞==∫
∞
∞− 0 se0
0 se)( 1)(
x
xxdxx δδ
E’ una funzione generalizzata, che viene studiata in matematica nella teoria delle distribuzioni
26
Definizione 3: dyex xyj πδ 2)( ±∞
∞−∫=
Proprietà campionatrice della funzione δ(x):
)()()( 00 xwdxxxxw =−∫∞
∞−δ
14
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli
Funzione gradino unitario, u(t)g , ( )
Definizione:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=
>
=
0 se0
0 se21
0 se1
)(
t
t
t
tu
È facile rendersi conto che:
)()( tudxxt
=∫ ∞−δ )()( ttu
dtd δ=
27
Funzione segno, sgn(t)
Definizione:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−
=
>
=
0 se1
0 se0
0 se1
)sgn(
t
t
t
t 21)sgn(
21)( += ttu
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di una sinusoide
{ } dtetwtwfW ftj π2)()()( −+∞
∞−∫=ℑ=
28
dyex xyj πδ 2)( ±∞
∞−∫=
15
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di una sinusoide
NOTA:NOTA:
29NOTA: il calcolo di modulo e fase di una funzione della frequenza si effettua frequenza per frequenza
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di una sinusoide
30
16
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di una sinusoideAltro esempio:p
31
)(2
)(2
)( 00 ffAffAfW ++−= δδ come nel caso: ( )tAtw 0sin)( ω=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤⋅++
>⋅+−=
02
02)(
00
00
fff
fff
fW
θπ
θπ
θ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro a righe
Notiamo che:Notiamo che:lo spettro in ampiezza del segnale sinusoidale è costituito da funzioni Delta di Dirac; questo è conseguenza del fatto che il segnale sinusoidale è un segnale periodicotale tipo di spettro si chiama spettro a righese si considera un impulso sinusoidale (sinusoide accesa solo per un breve periodo), il segnale non è più periodico, e quindi lo spettro non sarà più a righe
32
quindi lo spettro non sarà più a righeoppure, se consideriamo la sinusoide smorzata, anch’essa non ha uno spettro a righe
17
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli
Funzione impulso rettangolare, Π(t)p g , ( )
Definizione:⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤≡⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π
2 se0
2 se1
Tt
Tt
Tt
Funzione impulso triangolare, Λ(t)
33
Definizione:⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤−≡⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Λ
Tt
TtTt
Tt
se0
se1
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli: SENO CARDINALE
Funzione Sa(x)Funzione Sa(x)
Definizione:x
xxSa sin)( =
Segnale SENO CARDINALE, sinc(x)
f ( )xπsin
34
( )x
xxπ
πsin)(sinc =
Definizione: ( )x
xxπ
πsin)(sinc =
)(sinc)( xxSa =πNOTA:
18
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli: SENO CARDINALE
MEDIA
35
POTENZA
ENERGIA
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli: COSENO RIALZATO
Definizione in frequenza:Definizione in frequenza:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<<⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
<
=
Σ
ΣΔ
Bf
Bfff
ffff
fW
02
cos1211
)( 11
1
π
0fBf −= ΣΔ
Δ−= fff 01
occupata banda :ΣB
Fattore di decadimentofr Δ=dB 6- a banda :0f
ΣΣ
)( fW
36
oppure rolloff
10 ≤≤ r0f
r
19
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli: COSENO RIALZATO
Definizione in frequenza:Definizione in frequenza:)( fW
37
0=r • Impulso rettangolare in frequenza• Occupazione minima di banda:
0=r
0fB =Σ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli: COSENO RIALZATO
Definizione nel tempo:
( ) ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅=
Δ
Δ200 41
2cos2sinc2)(tftftfftw π
Definizione nel tempo:
)(tw
38
Coincide con un sinc(2f0 t)0=r
20
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali notevoli: SEGNALE PETTINESEGNALE PETTINEDefinizione nel tempo:Definizione nel tempo:
( )0)(pet0
nTttn
T −= ∑+∞
−∞=
δ
Definizione in frequenza:+∞
{ } ( )00)(pet0
fnfftn
T −=ℑ ∑+∞
−∞=
δ lo dimostreremo in seguito
00
1T
f =dove:{ } )(pet)(pet
00 0 fft fT ⋅=ℑ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di un impulso rettangolareValutiamo la TF del segnale:
⎪⎧ ≤
⎞⎛se1 Ttt
g( )
⎪⎩
⎪⎨
>
≤≡⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π=
2 se0
2 se1
Tt
t
Tttw
da cui:
dtefW tjT
T
ω−
−∫= 1)(2
2
( ) ( )fTTT
TT sinc2
2sin==
ωω
ω
ωω
jee TjTj
−−
=− 22
40
da cui:
( )TfTTt sinc↔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π
21
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di un impulso rettangolare
41
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di un impulso rettangolare
( ) ⎟⎞
⎜⎛ f1
( ) ( )fwtW −↔
42
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Π⋅↔
Wf
WtW
2212sinc
( ) ( )TfTTfTTt sincSa =↔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π π (2-55)
22
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di un impulso rettangolare
43
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di un impulso rettangolare
44
23
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
CONVOLUZIONE DI SEGNALI
45
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Convoluzione
Definizione:Definizione:
( ) dttwtwwww )()()(*)( 21213 −⋅≡= ∫+∞
∞−τττ
La convoluzione è ottenuta:invertendo per w2(t) l’asse temporale in modo da ottenere w2(-t);traslando w2(-t) di τ secondi per ottenere w2(τ-t) ;moltiplicando il risultato per w (t)
46
moltiplicando il risultato per w1(t) .
[VEDI ESEMPIO NELLA SLIDE SUCCESSIVA]
24
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-7: convoluzione di un impulso rettangolare con una esponenziale
)(1 tw
0>τ
)(2 tw
)(2 tw − )(2 τ+−tw
t
t
2ESEMPIO
T=τ )()( 22 Twtw ≡+− τ
47
0<τ
( ) dttwtwwww )()()(*)( 21213 −⋅≡= ∫+∞
∞−τττ
)(2 τ+tw
tt τ
22
TtT−=
τ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-7: convoluzione di un impulso rettangolare con una esponenziale
)(1 tw
)(2 τ+−tw
tτ
t
)()( 21 τ+−⋅ twtw
48
)(3 τw
τ
)()( 21 τtwtw
tτ
τ
( ) dttwtwwww )()()(*)( 21213 −⋅≡= ∫+∞
∞−τττ
25
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-7: convoluzione di un impulso rettangolare con una esponenziale
( )TTtteTdtew τττ −−+ −== ∫ 11)( /)(
03
T>τ
T<< τ0 )()( 21 twtw −⋅ τ
)(1 tw )(2 tw0>τ t
( ) TTtT +∫ /)(
49
( ) TTt eeTdtew τττ −−+ −== ∫ 11)( /)(
03
( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
>−<<−
<=
−
−
TeeTTeeTw
T
T
ττ
ττ
τ
τ
10
00)(3
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Calcolo dello spettro di un impulso triangolare mediante convoluzione
50
26
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Calcolo dello spettro di un impulso triangolare mediante convoluzione
)(1 tw )(2 tw
2T
−2T0 t
2T
−2T0 t
)(2 tw −
))((2 τ−− twT≤≤τ0
51
2T
−2T0 t
2T
−τ2T
+τ0 tτ
0 t
))((2 τ−− tw
0≤≤− τT
2T
−τ τ2T
+τ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Calcolo dello spettro di un impulso triangolare mediante convoluzione
)(1 tw
⎧ ≤≤0)2(2 TTT
2T
−2T0 t
))((2 τ−− twT≤≤τ0
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤−−−+
≤≤−−==
Altrove002)2(
0)2(2)(*)( 213 ττ
ττττ TTT
TTTwww
( ) ⎪⎨
⎧≤≤−+
≤≤−== 0
0)(*)( 213 ττ
ττττ TT
TTwww
52
2T
−τ2T
+τ0 tτ
0 t
))((2 τ−− tw
0≤≤− τT
2T
−τ τ2T
+τ
( )⎪⎩
⎨Altrove0
)()( 213
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Λ⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π=
TT
Tt
Ttw τττ )(*)(3
27
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Calcolo dello spettro di un impulso triangolare mediante convoluzione
)(1 tw
2T
−2T0 t
))((2 τ−− twT≤≤τ0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Λ⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π=
TT
Tt
Ttw τττ )(*)(3
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Λℑ⋅=⋅TtTTfTTfT )(sinc)(sinc
53
2T
−τ2T
+τ0 tτ
0 t
))((2 τ−− tw
0≤≤− τT
2T
−τ τ2T
+τ
)(sinc2 TfTTt
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Λℑ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro di un impulso triangolare
( ) ( )fTTTttw 2sinc↔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Λ=
( )fTT 2sinc
54
28
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Trasformate di Fourier notevoli
)(sinc2 fTT
)(sinc fTT
55
( )ϕπ +tfa 02sin ( ) ( )[ ]0021 ffeffeaj jj −−+ +− δδ ϕϕSinusoide
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Trasformate di Fourier notevoli
Cosinusoide
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π
Ff
F1( )tFsinc
56( )tB2sinc2sinc ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Λ
Bf
B1
29
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-9: IMPULSO SINUSOIDALE
57
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-9: spettro di un IMPULSO SINUSOIDALE
Dato che:
( ) ( )TfTTfTTt sincSa =↔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π π
Dato che:
Teorema della modulazione 2πθ −=
TF 1
=
( ) ⎥⎤
⎢⎡
⎟⎞
⎜⎛ +
+⎟⎞
⎜⎛ −
=+− ffTeffTeAfW
jj 0202 sincsincππ
58
( ) ⎥⎦
⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
+⎟⎠
⎜⎝
=F
TeF
TefW 22 sincsinc2
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=F
ffF
ffTAjfW 00 sincsinc2
jjej
±=±=±
2sin
2cos2 πππ
30
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-9: spettro di un IMPULSO SINUSOIDALE
⎤⎡ ⎞⎛ −⎞⎛ + ffffA Spettro di ampiezza( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=F
ffF
ffTAjfW 00 sincsinc2
Spettro di ampiezza
59
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-9: spettro di un IMPULSO SINUSOIDALE
Lo spettro dell’impulso sinusoidale può anche essere calcolato mediante il teorema della convoluzione, dove:
60
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
FfTfW sinc1
( ) ( ) ( )[ ]002 2ffffAjfW −−+= δδ
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=F
ffF
ffTAjfW 00 sincsinc2
31
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Banda di un segnale
Definizione: SEGNALE IN BANDA BASEDefinizione: SEGNALE IN BANDA BASE
)( fW
f
)( fW
f1f 2f2f 1f−2f−2f−
011 ≡−≡ ff 1221
2ffff
−≈+
61
2fB =
Definizione: Banda Assoluta
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Segnali a banda limitata
Definizione: un segnale è a banda rigorosamente limitata B se:BffW ≥= per 0)( dove B è la banda del segnale
Definizione: un segnale è a durata rigorosamente limitata T se:
[ ]Ttttwt +∉=∃ 000 ,tper 0)( :che tale dove T è la banda del segnale
62
Teorema:un segnale a BANDA LIMITATA non può essere a DURATA LIMITATAun segnale a DURATA LIMITATA non può essere a BANDA LIMITATA
32
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Banda limitata in frequenza Durata limitata nel tempo
Osserviamo che:Osserviamo che:La Banda di un segnale si misura solo sulle frequenze positiveLa Durata di un segnale si misura su tutto l’asse temporale
)(tw )( fW
63
)(
t2T− 2T
Segnale di durata T
)( f
fB− B
Segnale di banda B
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Banda di un segnale
Definizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTEDefinizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTE
)( fW
f1f 2f1f−2f−
1221
2ffff
−>>+
64
12 ffB −=
Definizione: Banda Assoluta
33
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Banda di un segnale
Definizione “ingegneristica” di banda per:Definizione ingegneristica di banda per:segnali non rigorosamente limitati in banda
oppure segnali con spettro trascurabile per frequenze superiori ad una soglia:
fB
)( fW
65
oppure segnali con spettro trascurabile per frequenze superiori ad una soglia:
f
)( fW
B
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Banda di un segnale
BANDA AL PRIMO NULLO (per i segnali in banda base):BANDA AL PRIMO NULLO (per i segnali in banda base):
fB
)( fW
66
BANDA A –3 dB:
12 ffB −= dove { }
{ }⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤≤≥
><<
21
21
per )(max2
1)(
e per )(max2
1)(
ffffWfW
fffffWfW( ) 321log20 10 −=
34
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Banda di un segnaleDefinizione di banda di un segnale:
12 ffB −=
BANDA AL 99%:
12 ffB −= dove f1 e f2 delimitano l’intervallo in cui viene a trovarsi il 99% della potenza totale del segnale
{ }{ }⎩
⎨⎧
≤≤≥><<
21
21
per )(max del )( e per )(max del )(ffffWdBxfW
fffffWdBxfWBANDA A –x dB:
67
BANDA NULLO-NULLO (per i segnali passa-banda):
12 ffB −=
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Densità spettrale di potenza (DSP)
Definizione:⎟⎞
⎜⎛ fW 2)( [ ]HzV 2e o e
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
∞→ TfWf T
Tw)(lim)(P
dove:
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π⋅=
>
≤=
Tttw
Tt
TttwtwT )(
2 se0
2 se)()(
versione troncatadel segnale
{ })()( twfW TT ℑ= Trasformata di Fourier del segnale troncato
[ ][ ]HzA2
68
Per mezzo del teorema di Raleigh, possiamo calcolarela potenza media normalizzata del segnale:
2)(twP ≡ dffWT
dttwT TT
T
TT
222
2)(1lim)(1lim ∫∫
∞+
∞−∞→
+
−∞→==
dffWT TT
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∞→
∞+
∞−∫2)(1lim dffw )(P∫
+∞
∞−= dffP w )(P∫
+∞
∞−=
35
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Funzione di autocorrelazione
Definizione [per un segnale reale]:Definizione [per un segnale reale]:
dttwtwT
twtwRT
TTww )()(1lim)()()(2
2τττ +⋅=+⋅= ∫−∞→
Definizione [per un segnale complesso]:
dttwtwT
twtwRT
TTww )()(*1lim)()(*)(2
2τττ +⋅=+⋅= ∫−∞→
69
Teorema di Wiener-Khintchine:
{ } )()( fR www P=ℑ τ
Calcolo della potenza media normalizzata:
)0()()( 22wwweff RdffWtwP ==== ∫
+∞
∞−P
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-10:DSP di una sinusoide
( ) ( )coscos yxyx +=1
70
( ) ( )2
coscossinsin yxyxyx +−−=⋅
36
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-10:DSP di una sinusoide
71
Esercizio: calcolare la DSP del segnale ( ) ( )tAtw 0cos ω=
si trova che: perché?
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
SERIE DI FOURIER
72
37
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Funzioni ortogonali
Definizione: )(tmϕt li ll’i t ll bDefinizione:
)(tnϕortogonali sull’intervallo bta << se:
0)()( * =∫ dttt mn
b
aϕϕ mn ≠
L’insieme di queste funzioni ha elementi tali che:
nmnmn
bKdttt δϕϕ =∫ )()( * dove:
⎩⎨⎧ ≠
=mn
mnnm
se1
se0δ Delta di Kronecker
(2-77)
73
nmnmna∫ ⎩ = mn se1
nKn ∀= 1Se:
l’insieme è un insieme di funzioni ortonormali{ })(tnϕ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-11: le funzioni esponenziali complesse sono ortogonali
74
Le funzioni esponenziali complesse sono ortogonali in a<t<a+T0
38
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-11: funzioni esponenziali complesse ortogonali
75
Funzioni ortonormali
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Insiemi ortogonali completi
{ }
Si può dimostrare che sono insiemi completi:Funzioni esponenziali complesse
Un insieme di funzioni ortogonali si dice completo se può essere utilizzato per rappresentare qualsiasi segnale a energia finita con un errore avente energia arbitrariamente piccola
{ })(tnϕ
76
Funzioni armoniche sinusoidaliFunzioni di BesselPolinomi di Legendre
39
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teorema della rappresentazione su base ortogonale
Sia un insieme di funzioni ortogonali completo.{ })(tnϕ
∑+∞
−∞=
=n
nn tatw )()( ϕ
Un generico segnale w(t) può essere rappresentato sull’intervallo [a,b] mediante la serie:
(1)
DIMOSTRAZIONE
dove i coefficienti dello sviluppo sono dati da: ∫=b
an
nn dtttw
Ka )()(1 *ϕ (2)
77
[ ]
mmn
nmnn
n
b
a mnn
b
a mn
nn
b
a m
KaKa
dtttadtttadtttw
==
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∑
∑ ∫∫ ∑∫∞+
−∞=
+∞
−∞=
+∞
−∞=
δ
ϕϕϕϕϕ )()()()()()( ***
DIMOSTRAZIONE
Applichiamo l’operatore ad entrambi i membri della (1):∫ ⋅b
am dtt)(][ *ϕ
(2)
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Serie di Fourier
Teorema:eo e aun segnale a energia finita può essere rappresentato sull’intervallo [a,a+T0] dalla serie di Fourier:
tjnn
n
ectw 0)( ω∑+∞
−∞=
=Rappresentazione in forma polare
dove:
cuisutemporaleintervallodell'ampiezza:0T
0Tata +<<
78
dtetwT
c tjnTa
an00 )(1
0
ω−+
∫⋅=
coefficienti complessi dello sviluppo
00 22 Tfo ππω ==
cuisu temporaleintervallodellampiezza :0Tserie la definita viene
40
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Serie di Fourier per segnali periodici
Se la forma d’onda w(t) è periodica con periodo T0:Se la forma d onda w(t) è periodica con periodo T0:la rappresentazione in serie di Fourier vale su tutto l’asse temporale
+∞<<∞− tla scelta del parametro a è arbitraria; di solito si sceglie:
2 oppure 0 0Taa −==
la frequenza f0=1/T0 è chiamata frequenza fondamentale
79
la generica frequenza nf0=n/T0 è l’n-esima armonica
il coefficiente c0 rappresenta il valore medio della forma d’onda
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Proprietà principali della serie di Fourier in forma complessa
IMMAGINARI DISPARI e REALE è )( Se
REALI PARI e REALE è )( Se
REALE è )( Se *
n
n
nn
ctw
ctw
cctw
⇒
⇒
=⇒ −
Proprietà dei coefficienti:
Teorema di Parseval:
80
22
0
)(1 0
nn
Ta
acdttw
TP ∑∫
+∞
−∞=
+=⋅=
Teorema di Parseval:
Lo dimostreremo in seguito
41
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Serie di Fourier in forma rettangolareTeorema:
un segnale a energia finita può essere rappresentato sull’intervallo
tnbtnatw nn
nn
01
00
sincos)( ωω ∑∑+∞
=
+∞
=
+=
un segnale a energia finita può essere rappresentato sull’intervallo [a,a+T0] dalla serie di Fourier:
Rappresentazione in forma rettangolare
dove:cuisu temporaleintervallodell' ampiezza :0T
serie la definita viene
81
00 22 Tfo ππω ==
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥⋅
=⋅=
∫
∫+
+
1 secos)(2
0 se)(1
00
00
0
ndttntwT
ndttwTa
Ta
a
Ta
a
n
ω
coefficienti della serie
( ) dttntwT
bTa
an 00
sin)(2 0 ω∫+
⋅=
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Serie di Fourier in forma rettangolare
Se la forma d’onda w(t) è periodica con periodo T0:( ) p p 0la rappresentazione in forma rettangolare in serie di Fourier vale su tutto l’asse temporale
+∞<<∞− tla scelta del parametro a è arbitraria; di solito si sceglie:
2 oppure 0 0Taa −==
Relazione tra
82
Relazione traFORMA POLARE e FORMA RETTANGOLARE:
{ }⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
==
1 seRe2
0 se0
nc
nca
n
n { } 1 Im2 ≥−= ncb nn
42
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
SEGNALI PERIODICI
83
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro a righe di un segnale periodico
Per un segnale periodico la rappresentazione mediantePer un segnale periodico la rappresentazione mediante serie di Fourier è definita su tutto l’asse temporaleObiettivo:
vogliamo calcolare la relazione fra la trasformata di un segnale periodico e i coefficienti di Fourier
Teorema:se un segnale è periodico di periodo T0, il suo spettro è:
+∞
84
( )0)( fnfcfW nn
−= ∑+∞
−∞=
δ
dove:
00 1 Tf =
segnale delFourier di seriein sviluppo dello ticoefficien :nc
43
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro a righe di un segnale periodico
Dimostrazione:tjn
n ectw 0)( ω∑+∞
= Vale su tutto Dimostrazione: nn
)( ∑−∞=
calcolando la TF di entrambi i membri, otteniamo:
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
+∞
−∞=
∞+
∞− ∑∫ dteecfW tjtjnn
n
ωω0)(
( ) dtec tnffjn
n
02 −−∞+
∞−
+∞
−∞=∫∑= π ( )0nffcn
n−= ∑
+∞
−∞=
δ
Nota:
l’asse temporale, dato che il segnale è periodico
85
Nota:un segnale periodico ha sempre uno spettro a righe (o discreto)le funzioni delta sono concentrate sulle frequenze armoniche f=nf0 e hanno area pari a cnviceversa, se il segnale non contiene componenti periodiche, lo spettro è continuo, eccetto per una possibile componente discreta in f=0, se il segnale ha valore medio (componente continua) non nullo
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Coefficienti di Fourier del segnale pettine
( ))(t T∑+∞
δ
Il segnale pettine è periodico, e quindi si può sviluppare in serie di Fourier per ogni tPer definizione:
SEGNALE PETTINE
dtetwT
c tjnTa
an00 )(1
0
ω−+
∫⋅=
( ) dtTtdtt tjnTatjnTa0000 1)(1 ωω δ −
+∞+−+
∑∫∫
( )0)(pet0
nTttn
T −= ∑−∞=
δ
8686
( ) dtenTtT
dtetwT
c j
na
j
an00
000
)( δ−∞=
−⋅=⋅= ∑∫∫
( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈=−∑
+∞
−∞= 2,
2per 0
TTttnTtn
δδ
Ma notiamo che:( ) 0
0
2
20
110
0
0
fT
dtetT
c tjnT
Tn === −+
−∫ωδ
nfcn ∀= 0
44
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro del segnale pettine
( ))(t T∑+∞
δ
nfcn ∀= 0
Coefficienti di Fourierdel segnale pettine
{ } ( )0)(pet0
fnfct nn
T −=ℑ ∑+∞
∞=
δ
Spettro di un segnale periodico
SEGNALE PETTINE ( )0)(pet0
nTttn
T −= ∑−∞=
δ
8787
Spettro del segnale pettine{ } ( )00)(pet
0fnfft
nT −=ℑ ∑
+∞
−∞=
δ
n −∞=
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Calcolo dei coefficienti di Fourier di un segnale periodico dalla TF
DEFINIZIONE: Troncatura di un segnale periodico nel O o catu a d u seg a e pe od co eperiodo
porzione del segnale periodico limitata ad un singolo periodo
Teorema:se w(t) è un segnale periodico di periodo T0, rappresentato da
( ) tjnn
nn
ecnTthtw 00)( ω∑∑
+∞
−∞=
+∞
−∞=
=−=
88
nn ∞∞
⎪⎩
⎪⎨⎧ <
=altrimenti0
2 se)(
)(0Tttw
thdove:
)( 00 fnHfcn =
45
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Calcolo dei coefficienti di Fourier di un segnale periodico dalla TF
Dimostrazione:
89SPETTRO DEL SEGNALE PETTINE { } ( )00)(pet0
fnfftn
T −=ℑ ∑+∞
−∞=
δ
)( 00 fnHfcn =
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-12: spettro di un treno di impulsi rettangolari
90
dtetwT
c tjnTa
an00 )(1
0
ω−+
∫⋅= ππω nTT
nTn ==2
122
0
0
00
46
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-12: spettro di un treno di impulsi rettangolari
91( ) ( ) ( )
TfTfeTfV
TTttv fTj
πππ sin 2 −=↔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Π=
Esempio 2-5
)( 00 fnHfcn = (2-112)
Tnnff
21
0 ==
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-12: spettro di un treno di impulsi rettangolari
( ) ( )dttwT
twT
TT ∫−∞→=
2
2
1lim
92
( )0)( fnfcfW nn
−= ∑+∞
−∞=
δ (2-109): TF per un segnale periodico
47
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-12: spettro di un treno di impulsi rettangolari
93
Il primo è discreto, il secondo è continuoEntrambi hanno lo stesso inviluppo, dato da sinc(Tf)
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-12: spettro di un treno di impulsi rettangolari
Coefficienti dello sviluppo in FORMA RETTANGOLARE
Relazione traFORMA POLARE e FORMA RETTANGOLARE:
{ }⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
==
1 seRe2
0 se0
nc
nca
n
n { } 1 Im2 ≥−= ncb nn
94
pp
48
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Potenza normalizzata per un segnale periodico
Teorema: per un segnale periodico w(t) la potenza normalizzata è pari a:per un segnale periodico w(t), la potenza normalizzata è pari a:
22)( nn
w ctwP ∑+∞
−∞=
==Caso particolare del teorema di Parseval
2)(twP =
95
2n
nw cP ∑
+∞
−∞=
=
mnmntmnjTa
a
tmnj TT
dteT
e δδωω =⋅⋅== −+
− ∫ 00
)(
0
)( 110
00 dato che le esponenziali sono
funzioni ortogonali
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Funzione di autocorrelazione e Densità spettrale di potenza per un segnale periodicoTeorema: per un segnale periodico w(t):
( )02)( fnfcf n
nw −= ∑
+∞
−∞=
δP
è la media rispetto a t
τωτ 02)( jn
nn
ww ecR ∑+∞
−∞=
=
Funzione di autocorrelazione Densità spettrale di potenza
96
49
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Funzione di autocorrelazione e Densità spettrale di potenza per un segnale periodico
)( 02 τωτ jn
nn
ww ecR ∑+∞
−∞=
=
97( )0
2)( fnfcf nn
w −= ∑+∞
−∞=
δP
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-13: DSP di un treno di impulsi rettangolari
( )02)( fnfcf n
nw −= ∑
+∞
−∞=
δP
98
(2-120)
50
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Esempio 2-13: DSP di un treno di impulsi rettangolari
99
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
SISTEMI LINEARI TEMPO-INVARIANTI (LTI) E DISTORSIONE
100
51
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)
101
Un sistema è:lineare quando vale il principio di sovrapposizione degli effettistazionario se, per qualsiasi ingresso ritardato x(t-t0), l’uscita è ritardata della stessa quantità, cioè y(t-t0). In altre parole la forma della risposta del sistema non dipende dall’istante in cui viene applicato l’ingresso.
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Risposta impulsiva
I sistemi lineari stazionari sono caratterizzati dalla s ste ea sta o a so o ca atte at da aconoscenza della risposta impulsiva:
)()( )()( Se thtyttx =⇒= δ
Si può usare la risposta impulsiva per ricavare la risposta del sistema a un qualunque ingresso:
( ) )(*)()()( thxdthxty =−= ∫+∞
∞−τττ
i i f
102
Risposta in frequenza:)()()( fHfXfY =
)()()(
fXfYfH = Funzione di trasferimento
del sistema
52
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Relazione DSP ingresso - DSP uscita
)()()( fHfXfY =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅≡
∞→ TfXfHf T
Ty
22 )(lim)()(P
)()()( fff
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
∞→ TfYf T
Ty
2)(lim)(P )()( 2 ffH xP⋅=
2)()(
)( fHf
fG yh ==
PRisposta in potenza
)()()( 2 ffHf xy PP ⋅=
DSP in uscita
Quindi abbiamo:
103
)()(
)( fHf
fGx
h P
dff
dff
PPG
x
y
X
YdB
)(
)(log10log10 1010
P
P
-
-
∫∫
∞+
∞
+∞
∞==
Guadagno di potenza
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Filtro RC passa-basso
104
53
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Filtro RC passa-basso
1)( fH =
105
( )01)(
ffjfH
+=
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Filtro RC passa-basso
)( fP 2)()()(
)( fHff
fGx
yh ==
P
P(2-143)
106
54
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Filtro RC passa-basso
107
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Trasmissione senza distorsione
Canale di comunicazione ideale:Canale di comunicazione ideale:canale che non introduce distorsionecioè, se il segnale all’uscita del canale è una versione ritardata dell’ingresso
( )⎧ −= dTtxAty ˆ)(
Condizioni equivalenti di assenza di distorsione:
non c’è distorsione di
108
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
−
−
d
d
Tfj
Tfj
d
eAfH
efXAfY
TtxAty
ˆ2
ˆ2
)(
)()(
)(
π
πcostante)( =fH
dfH Tf ˆ2)( πθ −=
non c è distorsione di ampiezza
non c’è distorsione di fase
(fase lineare con la frequenza)
55
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Distorsioni introdotte dal filtro RC passa-basso
Risposta in ampiezza( )011)(
ffjfH
+=
( )201
1)(ff
fH+
=
Risposta in ampiezza
109
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Distorsioni introdotte dal filtro RC passa-basso
Risposta di fase( )011)(
ffjfH
+=
( )01
)( tan)( fff fH−−==θθ
Risposta di fase
110
56
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Distorsioni introdotte dal filtro RC passa-basso
Po i mo llo l ol e il it do di f e del filt o
dfH Tf ˆ2)( πθ −=
1Possiamo allora calcolare il ritardo di fase del filtro: ( )01tan
21)( fff
fTd−=
π
11100
1
0 21tan
21lim
fff
ff ππ=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
→
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Ulteriori considerazioni
Tuttavia, se il segnale in ingresso al filtro possiede componenti utta a, se seg a e g esso a t o poss ede co po e tfrequenziali rilevanti solo in una banda di frequenza inferiore a 0.5f0
lo scarto nella risposta in ampiezza rispetto al caso di non distorsione è inferiore a 0.5 dBlo scarto nella risposta in fase rispetto al caso di non distorsione è inferiore a 2 1°
112
il filtro introduce una DISTORSIONE TRASCURABILE
è inferiore a 2.1°il ritardo è pari a circa 1/(2πf0)
Es.: ms 16.0ritardo kHz1 se 0 =⇒=f
57
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE ERICOSTRUZIONE PER INTERPOLAZIONE
113
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Replica nel tempo di un segnale: prima formula di somma di Poisson
Consideriamo un segnale aperiodico x(t)
( ) ( )0nTtxtyn
−= ∑+∞
−∞=
Costruiamo il segnale periodico y(t) di periodo T0 secondo la relazione di periodicizzazione
Sviluppiamo in serie di Fourier il segnale y(t):
114
( ) tkfjk
keYty 02π∑
+∞
−∞=
=
( ) dtetyT
Y
Tf
tkfjT
Tk0
0
0
22
20
00
1
1 :dove
π−
−∫=
=
)( 00 fkXfYk =per quanto dimostrato prima
58
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Replica nel tempo di un segnale: prima formula di somma di Poisson
( ) ( )Ttt ∑+∞
( ) tkfjYt 02π∑+∞
)( fkXfY( ) ( )0nTtxtyn
−= ∑−∞=
( ) tkfjk
keYty 0π∑
−∞=
= )( 00 fkXfYk =
( ) tkfj
kn
efkXfnTtx 02000 )( π∑∑
+∞
−∞=
+∞
−∞=
=− Prima formula di sommadi Poisson
Notiamo che:S i i l tt di l i d f tt i
115
( )0)()(ˆ kfffWfWk
−⋅= ∑+∞
−∞=
δ
Se campioniamo lo spettro di un segnale con periodo f0, otteniamo:
( ) dfekfffWdfefWtw ftj
k
ftj ππ δ 20
2 )()(ˆ)(ˆ −⋅== ∑∫∫+∞
−∞=
+∞
∞−
+∞
∞−
La sua antitrasformata è:
tkfj
k
ekfW 020 )( π∑
+∞
−∞=
=
( ) ( ) =−⋅= ∫∑+∞
∞−
+∞
−∞=
dfkffefW ftj
k0
2)( δπ
[ ]0
2)( kffftj
k
efW =
+∞
−∞=∑= π
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Replica nel tempo di un segnale: prima formula di somma di Poisson
Dunque: ( ) tkfjefkXfnTtx 02000 )( π∑∑
+∞+∞
=−Dunque:
)(tx )( fXℑ
( )0)()(ˆ kfffXfX −⋅= ∑+∞
δ
Campionando lo spettro
tkfjekfXtx 020 )()(ˆ π∑
+∞
=1−ℑ
( )kn
000 ∑∑−∞=−∞=
116
k∑
−∞=
( )00
1 nTtxf n
−∑+∞
−∞=
Prima formula di somma di Poisson
k∑
−∞=
Lo spettro di un segnale replicato nel tempo è uguale al campionamento dello spettro del segnale stesso, moltiplicato per f0
ℑ
59
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Campionamento ideale di un segnale: seconda formula di somma di PoissonSegnale campionamento ideale del segnale w(t):
( ) ( )ssn
TntTnwtw −⋅= ∑+∞
−∞=
δδ )(
Il campionamento ideale è schematizzabile come il prodotto del segnale analogico per il treno di delta di Dirac
g p g ( )
Segnale ottenuto campionando un segnale analogico con un treno di impulsi delta di Dirac
117
( )sn
Tnttwtw −⋅= ∑+∞
−∞=
δδ )()(
( )sn
T nTtts
−= ∑+∞
−∞=
δ)(petSegnale pettine: treno di impulsi di Dirac
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Campionamento ideale di un segnale: seconda formula di somma di Poisson
)(tw )(twδ
)(tw
s
s
s
s
)(pet tsT
)(pet tsT
118
)(twδ
s
60
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Campionamento ideale di un segnale: seconda formula di somma di Poisson
Sviluppo in serie di Fourier del PettineSegnale campionamento ideale
Calcoliamo la trasformata di Fourier:
( )sn
Tnttwtw −⋅= ∑+∞
−∞=
δδ )()( ( ) tjn
sns
n
seT
Tnt ωδ 1∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
=−
tjn
sn
seT
twtw ωδ
1)()( ∑+∞
−∞=
⋅=
119
( )sns
nffWT
fW −= ∑+∞
−∞=
1)(δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ℑ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∑
+∞
−∞=
tjn
ns
sefWT
fW ωδ *)(1)( ( )[ ]=ℑ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∑
+∞
−∞=
tjn
ns
sefWT
ω*)(1
( )sns
nfffWT
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∑
+∞
−∞=
δ*)(1 Seconda formula di somma di Poisson
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Campionamento ideale di un segnale: seconda formula di somma di Poisson
Seconda formula disomma di Poisson
Lo spettro di un segnale ottenuto per campionamento
( )sns
nffWT
fW −= ∑+∞
−∞=
1)(δ
120
p g p pideale si ricava come periodicizzazione della trasformata del segnale analogico di partenza con un periodo di ripetizione pari alla frequenza di campionamento, per 1/Ts
61
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Campionamento ideale di un segnale: seconda formula di somma di Poisson
121
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Formule di somma di Poisson
( ) tkfj
knefkXfnTtx 02
000 )( π∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
=− Prima formula disomma di Poisson
REPLICA NEL TEMPO causa CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA
CAMPIONAMENTO NEL TEMPO causa REPLICHE IN FREQUENZA
122
Seconda formula disomma di Poisson
( )sks
fTnjs
n
TkfXT
eTnx s −⋅= ∑∑+∞
−∞=
−+∞
−∞=
1)( 2π
CAMPIONAMENTO NEL TEMPO causa REPLICHE IN FREQUENZA
62
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Spettro del segnale campionato con campionamento ideale
( )sns
nffWT
fW −= ∑+∞
−∞=
1)(δ
Dunque lo spettro del segnale campionato idealmente è costituito da repliche dello spettro di w(t), traslate in frequenza di kfs=k/Ts, e scalate in ampiezza secondo il fattore 1/Ts
)( fW )( fWδ
sf
sf sf sf sf
sT1
123
sf sf sf sf
)( fWδ sf
sf sf
sT1)( fWδ
sf
sfsf
sT1
Banda di guardia: BG=fs-2B
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Campionamento ed errore di aliasingBfs 2≥
Bf 2<
124
Bfs 2<
AliasingAliasing:errore su una replica dello spettro causato dalla presenza delle altre repliche
63
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Campionamento ed errore di aliasing
Bfs 2≥
Condizione di NyquistSe un segnale è a banda rigorosamente limitata, pari a B, il segnale campionato non presenta aliasing [distorsione dovuta alla periodicizzazione dello spettro] se:
ss Tf 1=dove:
125
Banda di guardia
BfB sG 2−=
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Campionamento ed errore di aliasing
Riassumendo:Riassumendo:lo spettro del segnale campionato è la ripetizione, ogni fs Hz, dello spettro del segnale non campionatoil campionamento potrebbe essere utilizzato per traslare lo spettro di un segnale attorno a un’armonica della frequenza di campionamentose fs ≥2B le repliche degli spettri non si sovrappongono; sarà così possibile ricostruire il segnale a destinazione con un filtro opportuno
126
opportunose fs <2B il segnale è sottocampionato; si avrà una sovrapposizione delle repliche, detta aliasingl’aliasing può essere contenuto pre-filtrando il segnale originario prima del campionamento, con un filtro anti-aliasing
64
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teorema del campionamento
Teorema:Teorema:un segnale w(t) a banda rigorosamente limitata, B, può essere ricostruito esattamente a partire dai propri campioni, purchè la frequenza di campionamento sia
Bfs 2≥ Condizione di Nyquist
127
Dimostrazione:nel dominio della frequenzanel dominio del tempo
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teorema del campionamento
Ricostruzione nel dominio della frequenza:Ricostruzione nel dominio della frequenza:il segnale analogico può essere esattamente ricostruito dalla sua versione campionata, utilizzando un filtro passabasso ideale (filtro interpolatore):
)( fWδ )( fW)( fHr
128
)( fWδ
sf
sf sf sf sf
sT1sT
)()()( fHfWfW r⋅= δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Π⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Π⋅=
sssr f
fTBfTfH
2)(
65
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teorema del campionamento
Ricostruzione nel dominio del tempo:Ricostruzione nel dominio del tempo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Π⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Π⋅=
sssr f
fTBfTfH
2)(
)( fWδ )( fW)( fHr
Abbiamo visto che:
( ) ( )ssn
TntTnwtw −⋅= ∑+∞
−∞=
δδ )( (segnale di ingresso: treno di impulsi)
129
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
sr T
ttBth sinc2sinc)( (risposta all’impulso del filtro passabasso ideale)
Formula di interpolazione
cardinale( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅== ∑
+∞
−∞= s
ss
nr T
nTtTnwthwtw sinc)()(*)( δ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Interpolazione di una sequenza
Interpolazione di una sequenza:Interpolazione di una sequenza:ricostruzione di un segnale tempo-continuo a partire da una sequenza
Esempio di interpolazione
130
s
66
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Interpolazione di una sequenza
La ricostruzione di un segnale tempo-continuo a partire da unaLa ricostruzione di un segnale tempo continuo a partire da una sequenza viene realizzata tramite un interpolatore p(t)
( ) [ ] ( )sn
nTtpnwtw −⋅= ∑+∞
−∞=
ˆ [ ] ( )snTwnw =dove:
( ) [ ] ( ) fTnj
n
sefPnwfW π2ˆ −+∞
−∞=
⋅= ∑Trasformando ambo i membri otteniamo:
( ) [ ] fTnj
n
senwfP π2−+∞
−∞=
⋅= ∑
131
n
qualunque sia l’interpolatore
( )sks
fTnjs
n
TkfXT
eTnx s −⋅= ∑∑+∞
−∞=
−+∞
−∞=
1)( 2π
( ) ( )sks
TkfWT
fP −⋅= ∑+∞
−∞=
1
Seconda formula di somma di Poisson
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Interpolazione di una sequenza
s
Interpolazione a mantenimento
132s s s
sss
s
67
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Interpolazione a mantenimento
Interpolazione a mantenimento (Sample & Hold):
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Π=
s
s
TTttp 2 Impulso rettangolare
In questo caso il segnale ricostruito è una replica distorta del segnale originale. Infatti:
s
133
( ) ( ) sfTjss
s
s efTTTTtfP π−⋅=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −Πℑ= sinc2
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅= ∑+∞
−∞=
−
sk
fTjs T
kfWeTffW sπsincˆ( ) ( ) ( )sks
TkfWT
fPfW −⋅= ∑+∞
−∞=
1ˆ
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Interpolazione a mantenimento
Lo spettro del segnale ricostruito differisceLo spettro del segnale ricostruito differisce apprezzabilmente da quello del segnale analogico di partenza in due aspetti fondamentali:
il segnale interpolato non è limitato in bandaanche la replica principale dello spettro del segnale ricostruito differisce dallo spettro del segnale di partenza
134
(distorsione di ampiezza)
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅= ∑+∞
−∞=
−
sk
fTjs T
kfWeTffW sπsincˆ
Distorsione di ampiezza
ss Tf
T 21
21
≤≤−
( ) ( )fWeTf fTjs
sπ−⋅⇒ sinc
68
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Interpolazione cardinale
Si deve allora scegliere l’impulso interpolante in modo che la
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Π=
ss f
fTfP
Si deve allora scegliere l impulso interpolante in modo che la sua trasformata sia costante nell’intervallo [-1/2T, 1/2T] e nulla al di fuori, cioè:
Infatti, in assenza di aliasing, otteniamo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Π= ∑
+∞
s TkfW
TffT 1( ) ( ) ( )sTkfW
TfPfW −⋅= ∑
+∞1ˆ ( )fW=
Segnale originale
( ) ( )sTttp sinc=
135Bfs 2≥
1. x(t) abbia banda limitata B;2. sia stata rispettata la condizione di Nyquist
Assenza di aliasing:
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
∑−∞= skss
s Tf
TfksT ∑−∞=
( )f
Con l’interpolazione cardinale è possibile ricostruire il segnale originale da una sequenza, purchè sia stata ottenuta campionando con la
condizione di Nyquist
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Applicazione del teorema del campionamento
È possibile riprodurre un segnale a banda limitata utilizzando un f d d l lnumero N finito di campioni del segnale
Supponiamo di voler riprodurre il segnale in figura in un intervallo T0
136
69
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Applicazione del teorema del campionamento
Indichiamo con: ⎟⎞
⎜⎛ − sTntsincϕ )()(
1
tatwNn
ϕ∑+
=Indichiamo con: ⎟⎠
⎜⎝
=s
sn T
sincϕ )()(1
tatw nnnn
ϕ∑=
=
È ffi i t i t tt i i f i
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅= ∑
+∞
−∞= s
ss
n TnTtTnwtw sinc)()(
137
È sufficiente memorizzare o trasmettere i pesi an per fornire una rappresentazione del segnaleIl numero minimo di campioni necessari per ricostruire il segnale su di un intervallo di lunghezza T0 secondi è:
00 2 TBfTN s =⋅= Dimensionalità del segnaleBfs 2≥
Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati
Teorema della dimensionalitàTeorema:
U l l ò l t t ifi t dUn segnale reale può essere completamente specificato da:
02 TBN =informazioni indipendenti che descrivono il segnale su un intervallo di durata T0
Quindi, l’informazione che si DEVE trasportare per trasmettere un segnale a banda limitata è proporzionale al prodotto tra la banda del
138
segnale a banda limitata è proporzionale al prodotto tra la banda del segnale e la durata dell’informazione stessaApplicazioni:
se è dato un certo segnale e si vuole memorizzare un certo numero di campioni del segnale su un file per poter poi ricostruire l’andamento in un intervallo T0 dobbiamo salvare almeno N valori [calcolo del numero di campioni --> quantità di memoria]