1 Fondamenti TLC

Il rumore nelle apparecchiature elettroniche

eprobabilita’ d’ errore dei segnali binari

SEZIONE 7

2 Fondamenti TLC

Il rumore termico, definizione

Il rumore termico e’ la tensione con andamento casuale v(t) esistente ai capi di una resistenza R posta alla temperatura assoluta T.

La tensione v(t) e’ un processo casuale

• a valor medio nullo

• con densita’ di probabilita’ delle ampiezze gaussiana

• densita’ spettrale di potenza costante (fino a frequenze di qualche THz) pari a

t

v(t)

kTRNV 2T e’ la temperatura assoluta espressa in gradi Kelvin k e’ la costante di Boltzman che vale 1.38 x 10-23 joule

La densita’ spettrale di potenza Nv si misura quindi in [V2/Hz]

mV=0 a

)(afv

d.d.p di v(t)

R

v(t)

R (rumorosa)

v(t)

Circuito equivalente

Non rumorosa

3 Fondamenti TLC

La potenza di rumore disponibile al carico

Quando la resistenza R, che produce la tensione di rumore v(t), viene inserita in un circuito elettrico, si ha circolazione di corrente sia nella resistenza R sia nella resistenza d’ingresso Rin del circuito (che svolge in questo caso la funzione di resistenza di carico e supponiamo non rumorosa).

Parte della potenza del rumore termico viene dissipata nella resistenza R (e non e’ utilizzabile), parte finisce sulla resistenza di carico Rin ed e’ quella che interessa conoscere per valutarne gli effetti sul circuito in esame.

R Vout(t)Vin(t)

Sorgente rumorosa

Circuito elettrico

Rin

v(t)

v1(t)

Eventuale segnale utile

4 Fondamenti TLC

La massima potenza di rumore disponibile al carico (1)

Se la resistenza d’ingresso Rin e’ uguale a R si ottiene il massimo trasferimento di potenza dalla sorgente al carico (condizione che si cerca di ottenere per non dissipare inutilmente la potenza del segnale utile).

In questo caso la potenza trasferita all’ingresso del circuito in esame e’ data da:

R Vout(t)Vin(t)

Sorgente rumorosa

Circuito elettrico ad ingresso adattato

R

v(t)

)( tensionedella medio quadratico valoreil e' dove 4

2222

tVVR

V

R

V

R

VP in

in

inin

5 Fondamenti TLC

La massima potenza di rumore disponibile al carico (2)

fkT

R

fN

R

VP V

in 24

4

2

In una qualsiasi banda di frequenze f il valore quadratico medio della tensione

v(t) coincide con la densità spettrale di potenza Nv moltiplicata per f .

La potenza trasferita all’ingresso del circuito in esame nella banda f e’ data da:

La densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso No e’ quindi:

2

kT

f

PN in

o

INDIPENDENTE DA R

ff

6 Fondamenti TLC

Un esempio numerico

W108

1042

2931038.1

217

423

fkT

fNP o

La potenza di rumore disponibile generata da una resistenza posta a temperatura ambiente di T=293 gradi Kelvin (20 gradi centigradi) in una banda di frequenze di 2*20KHz=40KHz (quella di un normale amplificatore HI-FI) vale:

E’ un valore estremamente piccolo in assoluto, ma che va confrontato con la potenza del segnale utile.

Generalmente nelle apparecchiature elettroniche per telecomunicazioni esistono altri tipi di disturbo con potenze molto maggiori di quella del rumore termico.

E’ tuttavia utile introdurre il concetto di potenza di rumore termico (cosi’ come quelli di temperatura e fattore di rumore che seguono) perché, formalmente, la quasi totalita’ dei disturbi verra’ assimilata ad un rumore termico equivalente con temperature T che saranno molto maggiori di quelle fisiche delle apparecchiature.

f0 B=20KHz

f=40KHz

7 Fondamenti TLC

BGNdffGNP oou 2)( 0

Banda di un amplificatore (od altra apparecchiatura)

Consideriamo una apparecchiatura elettronica (ad esempio un amplificatore),

assumeremo per semplicità che abbia guadagno in potenza fra ingresso e uscita G(f) costante nella banda di interesse.

f f-f0 -f0

B

G(f) G(f)G0

G0

BNel caso in ingresso vi sia un rumore con densità spettrale N0 in uscita avremo una

potenza di rumore data da:

8 Fondamenti TLC

Temperatura di rumore

k

NT a

a

2

La temperatura di rumore di un qualsiasi disturbo con le stesse caratteristiche del rumore termico (ed in particolare densità spettrale di potenza pari a Na) e’ definita come:

Data un’apparecchiatura elettronica (ad esempio un ricevitore radio) e’ necessario confrontare la potenza del segnale utile con quella del rumore (termico e non) per valutarne le prestazioni (il rapporto tra le potenze di segnale e rumore viene indicato con Signal to Noise Ratio (SNR)):

SNR=PS/PN

L’apparecchiatura elettronica e’, in generale, costituita da tanti elementi (nell’esempio del ricevitore radio avremo l’antenna, il cavo di collegamento, il sintonizzatore, l’amplificatore) ognuno dei quali aggiunge il suo rumore.

E’ comodo riportare tutti gli effetti del rumore all’ingresso come se ci fosse una sola sorgente di rumore concentrata che possa essere vista come una resistenza posta ad una temperatura equivalente di rumore Te generalmente molto maggiore della

temperatura fisica dell’apparecchiatura.

9 Fondamenti TLC

Fattore di rumore di un amplificatore (1)

Amplificatore con guadagno G0

x(t)Px

y(t)Py =G0Px+Pno

Un amplificatore e’ un dispositivo che aumenta l’ampiezza del segnale d’ingresso e,

inevitabilmente, aggiunge del rumore. La potenza Py del segnale d’uscita e’ data dalla

somma della potenza Px del segnale d’ ingresso moltiplicata per G0 (guadagno in

potenza) e della potenza del rumore Pno introdotta dall’amplificatore.

Il FATTORE DI RUMORE F di un amplificatore e’ definito come il rapporto tra la densita’ spettrale di potenza in uscita quando all’ingresso c’e’ un rumore con densita’ spettrale di potenza kTo / 2 (dove To e’ la temperatura standard di 290 gradi Kelvin) e la densita’

spettrale di potenza in uscita attribuibile al solo rumore in ingresso.

2/1

2/

2/

2/ 00

0

0 o

ampli

o

oampli

o

out

kTG

N

kTG

kTGN

kTG

NF

10 Fondamenti TLC

Fattore di rumore di un amplificatore (2)

La densita’ spettrale di potenza di rumore aggiunta dall’amplificatore in uscita vale dunque:

Se vogliamo riportare in ingresso all’amplificatore una densita’ spettrale di potenza che produca gli stessi effetti sull’uscita otteniamo:

2/ 1 0 oampli kTGFN

2/ 1 oin kTFN

Quindi, per quanto riguarda gli effetti del rumore, un amplificatore puo’ essere rappresentato come una sorgente di rumore all’ingresso con una temperatura equivalente di rumore:

oe TFT 1

= kTe/2

11 Fondamenti TLC

Temperatura equivalente di rumore

Amplificatoreguadagno G0

fattore di rumore F

x(t)Px

y(t)Py =G0Px+ (G0kTe /2 )2B= =G0Px+ G0kTeB

Amplificatoreguadagno G0

non rumoroso

x(t)Px

y(t)Py =G0Px+ (G0kTe /2 )2B = =G0Px+ G0kTeB

Pn = kTeB

B e’ la banda dell’amplificatore

12 Fondamenti TLC

Temperatura di rumore di amplificatori in cascata

Amplific. 2guadagno G2

Amplific. 1guadagno G1

Amplific. 3guadagno G3

Amplificatore 2guadagno G2

Amplificatore 1guadagno G1

Amplificatore 3guadagno G3

Pn = kTeB

21

3

1

21 GG

T

G

TTT ee

ee

La temperatura di rumore del primo stadio e’ la piu’ critica.

kTe1B kTe2B kTe3B

13 Fondamenti TLC

Temperatura di rumore di un attenuatore (1)

Un attenuatore e’ un dispositivo passivo che riduce l’ampiezza del segnale d’ingresso e, inevitabilmente, aggiunge del rumore termico. La potenza Py del segnale d’uscita e’

data dalla somma della potenza Px del segnale d’ ingresso moltiplicata per G0<1 e della

potenza del rumore Pn introdotta dall’attenuatore a temperatura fisica Ta.

Per ricavare l’espressione della densita’ spettrale di potenza di rumore introdotta dall’attenuatore si pensi di collegare all’ingresso una resistenza alla stessa temperatura dell’attenuatore.

La densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso sara’ quindi:

2a

in

kTN

La densita’ spettrale di potenza di rumore all’uscita dovuta al solo ingresso sara’:

20a

outkT

GN

AttenuatoreRTa Ta

14 Fondamenti TLC

Temperatura di rumore di un attenuatore (2)In uscita, tuttavia, si avra’ ancora la stessa densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso dato che tutto l’attenuatore e’ alla stessa temperatura fisica Ta

La densita’ spettrale di potenza di rumore all’uscita Nout dovuta sia all’ ingresso sia

all’attenuatore sara’:

220a

aa

outkT

NkT

GN

2

1 0a

akT

GN

Ora e’ facile ricavare la densita’ spettrale di potenza di rumore aggiunta in uscita dall’attenuatore

Riportandola in ingresso si ottiene:

21

1

0

aai

kT

GN

AttenuatoreRTa Ta

Circuito (bipolo) Passivo

Ta

15 Fondamenti TLC

Temperatura di rumore di un attenuatore (3)

Attenuatore nonrumoroso

e guadagno G0 < 1x(t) y(t)

La temperatura equivalente di rumore Te di un attenuatore con temperatura fisica Ta e

con guadagno in potenza G0 < 1 ha la seguente espressione:

ae TG

T

1

1

0

21

1

0

aai

kT

GN

16 Fondamenti TLC

Temperatura di rumore di un’apparecchiatura complessa

Amplificatore 1G1=10dB (10)

Te1=435K

AttenuatoreGa= -3dB (0.5)

Ta=300K

Amplificatore 2G2=20dB (100)

Te2=870K

G = 27dB (500)non rumoroso

Pn = kTe BTei = 1344 Kelvin

Tei= Ta(1/Ga-1)+Te1/Ga+Te2/G1Ga

Tei=300+870+174=1344

17 Fondamenti TLC

Sistema di trasmissionenon rumoroso

Probabilita’ d’ errore di segnali binari antipodali

y(t)=-A;+A

x(t)=y(t)+n(t)

n(t) mn=0

n2= kT B

-A Th=0 A

px(A+n)px(-A+n)

x

Soglia Th 0;1Gen.Segn.

0;1

P(0)=P(1)=0,5

0 -A1 A

n2= 1

2 <22

n2= 2

2 >12

x<Th 0

x>Th 1

18 Fondamenti TLC

Probabilità d’ errore del segnale binario (caso generale)

Simboli trasmessi: s={0;1} ; segnali corrispondenti y={-A;A}Segnale ricevuto e campionato: x=y+nCriterio di decisione: s=1 se p(x,s=1) > p(x,s=0); altrimenti s=0Calcolo della soglia di decisioneTh

p(x=Th,s=1)= p(x =Th,s=0) e quindi p(x =Th /s=1)P(s=1)=p(x =Th /s=0)P(s=0)

Simbolo riconosciuto: 0 se x<Th ,1 se x<Th

Errore: “evento costituito dall’ unione di due eventi mutuamente esclusivi”Probabilita’ d’errore:PE=P(x<Th,s=1)+P(x>Th,s=0) = P(x<Th/s=1)P(s=1)+P(x>Th/s=0)P(s=0)

-A Thott A

P(x/s=0)P(s=0)P(x/s=1)P(s=1)

x

0 -A1 A

19 Fondamenti TLC

Probabilita’ di errore del segnale antipodale

00

2

N

EQ

N

EQeP bs

b

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1410

-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

Eb/N0 [dB]

Eb=A2

No= kT

-A A

nx

x=y+n

simbolo ricevuto= 0 Errore!!!

simbolo trasmesso =1

x<Th

ATTENZIONE: Eb e’ l’ energia

del segnale che rappresenta ogni bit N0 e’ la densita spettrale di potenza di rumore

Il rapporto Eb / N0 e’ adimensionale!!

Th=0

20 Fondamenti TLC

)(ty tgamFiltro PBcanale campionatore tg

ma sm nTga

soglia0;10;1

Trasmissione antipodale in banda base

-A 0 A am

Sistema di trasmissionenon rumoroso

y(t)

x(t)=y(t)+n(t)

n(t) mn=0

n2= kT B

campionatoree Soglia

0;1Gen.Segn.

0;1

Sincronizzatoredi bit

21 Fondamenti TLC

)(ty tgam

tfo2cos

Filtro PBcanale campionatore tg

ma sm nTga tfo2cos

soglia

0;1

0;1

-A 0 A am

Trasmissione antipodale in banda traslata

Sincronizzatoredi bit o simbolo

Ricostruttore di portante