Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali

8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali

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2/88

Q u e s t o f o r m u l a r i o s t a t o s c r i t t o d a G i u s e p p e M o d u g n o , s t u d e n t e i n I n g e g n e r i a

E l e t t r o n i c a a l P o l i t e c n i c o d i B a r i , i n o c c a s i o n e d e l l ' e s a m e T e o r i a d e i S e g n a l i s v o l -

t o c o n i l p r o f . C a m a r d a , p e r u n a r a p i d a c o n s u l t a z i o n e d u r a n t e l a p r o v a s c r i t t a .

R a p p r e s e n t a u n a e s t r a p o l a z i o n e d e i m i e i a p p u n t i p r e s i d u r a n t e l e l e z i o n i t e n u t e d a l

p r o f . C a m a r d a n e l l ' a n n o s c o l a s t i c o 1 9 9 7 9 8 a l P o l i t e c n i c o d i B a r i .

F i n i t o d i s t a m p a r e i l 2 1 S e t t e m b r e 1 9 9 8 .

G i u s e p p e M o d u g n o

2 1 S e t t e m b r e 1 9 9 8


3/88

P a g . I

I n d i c e

I S e g n a l i d e t e r m i n a t i 1

1 G e n e r a l i t s u i s e g n a l i d e t e r m i n a t i 2

1 . 1 S e g n a l i c o n t i n u i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 . 1 . 1 C o n v o l u z i o n e , c o r r e l a z i o n e e d a u t o c o r r e l a z i o n e . . . . . 3

1 . 2 S e g n a l i d i s c r e t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 S e r i e d i F o u r i e r 5

2 . 1 S e r i e d i F o u r i e r p e r s e g n a l i r e a l i . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r 8

3 . 1 P r o p r i e t d e l l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . 8

3 . 2 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i r e a l i . . . . . . . . . . . . . 9

3 . 3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i d i p o t e n z a . . . . . . . . . 1 0

3 . 3 . 1 S e g n a l i p e r i o d i c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

4 S i s t e m i d i t r a s f o r m a z i o n e d i s e g n a l i 1 1

4 . 1 G e n e r a l i t s u i s i s t e m i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

4 . 2 S i s t e m i l i n e a r i t e m p o - i n v a r i a n t i . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

4 . 3 S i s t e m i l i n e a r i d i s c r e t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

5 C a m p i o n a m e n t o 1 4

6 A u t o c o r r e l a z i o n e 1 6

6 . 1 S e g n a l i d i e n e r g i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

6 . 2 S e g n a l i d i p o t e n z a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

6 . 3 S e g n a l i p e r i o d i c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

7 F - t r a s f o r m a t a p e r s e g n a l i d i s c r e t i 2 0

7 . 1 S e g n a l i d i e n e r g i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

7 . 2 C a s o p a r t i c o l a r e d i s e g n a l i d i p o t e n z a : s e g n a l i p e r i o d i c i . . . . 2 1

8 T r a s f o r m a t a d i H i l b e r t 2 2

A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i


4/88

I N D I C E P a g . I I

I I S e g n a l i a l e a t o r i 2 3

9 P r o c e s s i s t o c a s t i c i 2 4

9 . 1 P r o c e s s i s t a z i o n a r i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

9 . 2 E r g o d i c i t d i u n p r o c e s s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

9 . 3 F i l t r a g g i o d i u n p r o c e s s o s t o c a s t i c o s t a z i o n a r i o . . . . . . . . . 2 6

1 0 C a t e n e d i M a r k o v 2 7

1 0 . 1 C a t e n e d i M a r k o v t e m p o - d i s c r e t e . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

1 0 . 2 C a t e n e d i M a r k o v t e m p o - c o n t i n u e . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

I I I T r a s m i s s i o n e d e l s e g n a l e 3 1

1 1 C o d i c a d i c a n a l e 3 2

1 1 . 1 G e n e r a l i t s u l l a c o d i c a d e l c a n a l e . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

1 1 . 2 C o d i c a a r i p e t i z i o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4

1 1 . 3 C o d i c a a c o n t r o l l o d i p a r i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

1 2 Q u a n t i z z a z i o n e 3 7

1 3 T r a s m i s s i o n e d i u n s e g n a l e 3 9

1 3 . 1 C a m p i o n a t o r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

1 3 . 2 S e g n a l i a b a n d a n o n l i m i t a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

1 3 . 3 F i l t r o p a s s a - b a s s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

1 3 . 4 I n t e r p o l a t o r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

1 4 I l s e g n a l e t e l e f o n i c o 4 3

1 5 C o d i c a d e l l e s o r g e n t i d i s c r e t e 4 7

1 6 M o d u l a z i o n e 5 1

1 6 . 1 M o d u l a z i o n e d i a m p i e z z a A M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

1 6 . 1 . 1 D S B - S C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

1 6 . 1 . 2 S S B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

1 6 . 1 . 3 V S B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

1 6 . 1 . 4 A M s t a n d a r d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

1 6 . 2 M o d u l a z i o n e i n f r e q u e n z a F M e i n f a s e F M . . . . . . . . . . . . 5 6

1 7 R u m o r e 5 8

1 7 . 1 C a r a t t e r i s t i c h e d e l r u m o r e t e r m i c o . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

1 7 . 2 F i l t r a g g i o d e l r u m o r e a t t r a v e r s o u n S L I . . . . . . . . . . . . . 5 9



5/88

I N D I C E P a g . I I I

1 7 . 3 C i f r a d i r u m o r e e t e m p e r a t u r a e q u i v a l e n t e d i r u m o r e . . . . . 6 0

1 7 . 4 L ' a t t e n u a t o r e r e s i s t i v o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

1 7 . 5 C i r c u i t i r u m o r o s i i n c a s c a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

1 8 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e 6 2

1 8 . 1 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e A M D S B - S C . . . . . . . . . . . . . . 6 3

1 8 . 2 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e A M S S B . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4

1 8 . 3 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e A M s t a n d a r d . . . . . . . . . . . . . 6 5

1 8 . 4 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e F M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

1 9 T e o r i a d e l l e c o d e 6 8

1 9 . 1 C o d a M M 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

1 9 . 2 C o d a M M 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0

I V A p p e n d i c i 7 1

A S e g n a l i d e t e r m i n a t i 7 2

A . 1 S e g n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

A . 2 G r a d i n o u n i t a r i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

A . 3 R e t t a n g o l o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

A . 4 E s p o n e n z i a l e d e c r e s c e n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

A . 5 S e n o c a r d i n a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

A . 6 I m p u l s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

A . 7 S e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

A . 8 C o s e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6

B C o n v o l u z i o n i i m p o r t a n t i 7 7

B . 1 R e t t a n g o l o - r e t t a n g o l o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

B . 1 . 1 D u e r e t t a n g o l i u g u a l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8

B . 2 R e t t a n g o l o - e s p o n e n z i a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8

C D i s t r i b u z i o n i c o n t i n u e 7 9

C . 1 D i s t r i b u z i o n e g a u s s i a n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9

C . 2 D i s t r i b u z i o n e e s p o n e n z i a l e n e g a t i v a . . . . . . . . . . . . . . . 8 0

D P r o c e s s i i m p o r t a n t i 8 2

D . 1 P r o c e s s o d i B e r n o u l l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2

D . 1 . 1 P a s s e g g i a t a c a s u a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2

D . 2 P r o c e s s o d i P o i s s o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

D . 2 . 1 P r o c e s s o t e l e g r a c o c a s u a l e . . . . . . . . . . . . . . . 8 3



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P a g . 1

P a r t e I

S e g n a l i d e t e r m i n a t i



7/88

P a g . 2

C a p i t o l o 1

G e n e r a l i t s u i s e g n a l i d e t e r m i n a t i

U n s e g n a l e d e t e r m i n a t o u n a f u n z i o n e c h e a s s u m e v a l o r i b e n p r e c i s i e n o t i

n e l d o m i n i o d i d e n i z i o n e . E s i s t o n o d u e t i p i d i s e g n a l i d e t e r m i n a t i a s e c o n d a

d e l c a m p o d i e s i s t e n z a :

s e g n a l i c o n t i n u i i l c u i i n s i e m e d i d e n i z i o n e u n i n t e r v a l l o o t u t t o l ' a s s e

r e a l e d a n o n c o n f o n d e r e c o n u n a f u n z i o n e c o n t i n u a ;

s e g n a l i d i s c r e t i i l c u i i n s i e m e d i d e n i z i o n e f o r m a t o d a i s t a n t i d i t e m p o

d i s c r e t i , e q u a m e n t e i n t e r v a l l a t i .

I n o l t r e , u n s e g n a l e d e t e r m i n a t o p u e s s e r e a v a l o r i d i s c r e t i o a v a l o r i

c o n t i n u i : n e l p r i m o c a s o , i l s e g n a l e p u a s s u m e r e , i n t u t t i g l i i s t a n t i d e l l ' i n -

s i e m e d i d e n i z i o n e , s o l o v a l o r i d i s c r e t i a n c h e i n n i t i ; n e l s e c o n d o c a s o , i l

s e g n a l e p u a s s u m e r e u n q u a l s i a s i v a l o r e i n u n i n t e r v a l l o o i n t u t t o l ' i n s i e m e

d e i n u m e r i r e a l i .

1 . 1 S e g n a l i c o n t i n u i

S i a s t u n s e g n a l e c o n t i n u o d e n i t o s u t u t t o l ' a s s e r e a l e a v a l o r i c o m p l e s s i

o r e a l i .

P e r i s e g n a l i c o n t i n u i s i p o s s o n o d e n i r e a l c u n i i n d i c i c a r a t t e r i s t i c i :

a r e a A =

Z

+ 1

, 1

s t d t

v a l o r m e d i o M = l i m

T ! 1

1

2 T

Z

+ T

, T

s t d t

e n e r g i a E

s

=

Z

+ 1

, 1

js t

j

2

d t



8/88


9/88

C a p . 1 G e n e r a l i t s u i s e g n a l i d e t e r m i n a t i P a g . 4

1 . 2 S e g n a l i d i s c r e t i

I s e g n a l i d i s c r e t i s o n o d e n i t i s o l o i n a l c u n i i s t a n t i b e n p r e c i s i e d i s t a n z i a t i

f r a l o r o d i u n a q u a n t i t c o s t a n t e , d e t t a p e r i o d o . S i m b o l i c a m e n t e u n s e g n a l e

d i s c r e t o r a p p r e s e n a t o d a s n T , d o v e T i l p e r i o d o e d n u n n u m e r o i n t e r o

r e l a t i v o q u a l s i a s i . U n s e g n a l e d i s c r e t o a s s u m e u n v a l o r e d e n i t o s o l o n e g l i

i s t a n t i d i t e m p o n T ; n e g l i a l t r i i s t a n t i , i l s e g n a l e i n u n o s t a t o i n d e n i t o .

G e n e r a l m e n t e i l p e r i o d o T d i u n s e g n a l e d i s c r e t o v i e n e c o n s i d e r a t o u n i t a r i o .

A n c h e p e r i s e g n a l i d i s c r e t i p o s s i b i l e d e n i r e a l c u n i i n d i c i c a r a t t e r i z z a n -

t i :

a r e a A =

+ 1

X

n = , 1

T s n t

v a l o r m e d i o M = l i m

N ! + 1

1

2 N + 1 T

+ N

X

n = , N

T s n t

e n e r g i a E

s

=

+ 1

X

n = , 1

T j s n T j

2

p o t e n z a P

s

= l i m

N ! + 1

1

2 N + 1 T

+ N

X

n = , N

T j s n T j

2

p o s s i b i l e d e n i r e , a n c h e p e r i s e g n a l i d i s c r e t i , l ' o p e r a z i o n e d i c o n v o l u -

z i o n e e q u i n d i d i c o r r e l a z i o n e e d a u t o c o r r e l a z i o n e . D a t i d u e s e g n a l i d i s c r e t i ,

x n T e y n T , l a c o n v o l u z i o n e f r a q u e s t i i l s e g n a l e z n T c o s d e n i t o :

z n T = x n T ? y n T =

+ 1

X

k = , 1

T x k T y n T , k T



10/88

P a g . 5

C a p i t o l o 2

S e r i e d i F o u r i e r

S i a x t u n s e g n a l e d e t e r m i n a t o e c o n t i n u o c o n l e s e g u e n t i c a r a t t e r i s t i c h e :

p e r i o d i c o d i p e r i o d o T x t + T = x t 8 t 2 R ;

i n t e g r a b i l e n e l l ' i n t e r o p e r i o d o ;

d o t a t o d i u n n u m e r o n i t o d i p u n t i d i d i s c o n t i n u i t d i t e r z a s p e c i e .

I n q u e s t e i p o t e s i , s i p u d i m o s t r a r e c h e i l s e g n a l e x t p u e s s e r e s v i -

l u p p a t o c o m e s o m m a d i i n n i t e a r m o n i c h e d i f r e q u e n z a m u l t i p l a a q u e l l a

f o n d a m e n t a l e : x t =

+ 1

X

n = , 1

X

n

e

j 2 f

n

t

c o n f

n

=

n

T

.

A l v a r i a r e d i n , s i o t t e n g o n o i n n i t i c o e c i e n t i X

n

, i l c u i i n s i e m e v i e n e

d e t t o s p e t t r o d i a m p i e z z a c o m p l e s s a . E s s i p o s s o n o e s s e r e c a l c o l a t i m e d i a n t e

l a s e g u e n t e i n t e g r a z i o n e :

X

n

=

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t e

, j 2 f

n

t

d t

L a d e s c r i z i o n e d e l s e g n a l e p e r i o d i c o i n t e r m i n i d i t e m p o s i d i c e c o m u -

n e m e n t e n e l d o m i n i o d e l t e m p o e s a t t a m e n t e e q u i v a l e n t e a l l a d e s c r i z i o n e

i n t e r m i n i d i c o e c i e n t i d e l l a s e r i e d i F o u r i e r d o m i n i o d e l l e f r e q u e n z e . I n

d e n i t i v a , p o s s i b i l e p a s s a r e u n i v o c a m e n t e e s e n z a a m b i g u i t , d a l s e g n a l e

x t p e r i o d i c o a l l o s p e t t r o d i a m p i e z z a c o m p l e s s a f X

n

g . P e r q u e s t o m o t i v o

s i u t i l i z z e r l a s e g u e n t e s i m b o l o g i a p e r i n d i c a r e l ' a s s o c i a z i o n e , m e d i a n t e l o

s v i l u p p o i n s e r i e d i F o u r i e r , d e i c o e c i e n t i X

n

a l s e g n a l e x t : x t ! X

n

.

D a t a l ' e q u i v a l e n z a f r a i l s e g n a l e n e l d o m i n i o d e l t e m p o , m e d i a n t e l a r e -

l a z i o n e f u n z i o n a l e x t , e n e l d o m i n i o d e l l a f r e q u e n z a , m e d i a n t e i c o e c i e n t i

d e l l o s v i l u p p o i n s e r i e d i F o u r i e r X

n

, i n t u i t i v o p e n s a r e c h e l a p o t e n z a d e l



11/88

C a p . 2 S e r i e d i F o u r i e r P a g . 6

s e g n a l e p o s s a e s s e r e c a l c o l a t a c o n o s c e n d o s o l o q u e s t i u l t i m i . E e t t i v a m e n t e

v a l e l a s e g u e n t e r e l a z i o n e :

P

x

=

1

T

Z

T = 2

, T = 2

j x t j

2

d t =

+ 1

X

n = , 1

j X

n

j

2

Q u e s t a f o r m u l a s o g g e t t a a d u n a i n t e r e s s a n t e i n t e r p r e t a z i o n e : l a q u a n -

t i t e l e m e n t a r e d e l l a p r e c e d e n t e s o m m a t o r i a j X

n

j

2

r a p p r e s e n t a l a p o t e n z a

a s s o c i a t a a l l a s i n g o l a a r m o n i c a e l e m e n t a r e X

n

e

j 2 f

n

t

.

L a s e r i e d i F o u r i e r g o d e d i a l c u n e p r o p r i e t :

; S e x t ! X

n

, a l l o r a y t = a x t ! Y

n

= a X

n

; S e x t ! X

n

e y t ! Y

n

, a l l o r a z t = x t + y t ! Z

n

=

X

n

+ Y

n

; S e x t ! X

n

, a l l o r a y t = x

?

t ! Y

n

= X

?

, n

; S e x t ! X

n

, a l l o r a y t = x t , t

0

! Y

n

= X

n

e

, j 2 f

n

t

0

; S e x t

!X

n

, a l l o r a y t = x

,t

!Y

n

= X

, n

; S e x t ! X

n

e y t ! Y

n

, a l l o r a z t = x t ? y t ! Z

n

= X

n

Y

n

; S e x t ! X

n

e y t ! Y

n

, a l l o r a z t = x t y t ! Z

n

= X

n

? Y

n

2 . 1 S e r i e d i F o u r i e r p e r s e g n a l i r e a l i

S e i l s e g n a l e p e r i o d i c o x t r e a l e , i c o e c i e n t i d e l l a s e r i e d i F o u r i e r p r e -

c e d e n t e m e n t e i n t r o d o t t a p o s s o n o c o m u n q u e e s s e r e c o m p l e s s i . S i d i m o s t r a ,

p e r , c h e e s s i g o d o n o d e l l a s e g u e n t e p r o p r i e t , d e t t a s i m m e t r i a h e r m i t i a n a :

X

, n

= X

?

n

. C i v u o l d i r e c h e X

, n

= X

n

e c h e = X

, n

= , = X

n

.

f a c i l e d i m o s t r a r e c h e :

X

n

=

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t c o s 2 f

n

t d t

= X

n

= ,

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t s i n 2 f

n

t d t

I n d e n i t i v a :

X

n

=

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t c o s 2 f

n

t d t ,

j

T

Z

T = 2

, T = 2

x t s i n 2 f

n

t d t



12/88

C a p . 2 S e r i e d i F o u r i e r P a g . 7

N e l c a s o i n c u i i l s e g n a l e s i a p a r i , o l t r e c h e r e a l e , i c o e c i e n t i d e l l a s e r i e

d i F o u r i e r s o n o t u t t i r e a l i :

X

n

=

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t c o s 2 f

n

t d t =

2

T

Z

T = 2

0

x t c o s 2 f

n

t d t

A l l o s t e s s o m o d o , s i p u f a c i l m e n t e d i m o s t r a r e c h e u n s e g n a l e r e a l e e

d i s p a r i d o t a t o d i c o e c i e n t i d i F o u r i e r t u t t i i m m a g i n a r i e s i p u s c r i v e r e :

X

n

= ,

j

T

Z

T = 2

, T = 2

x t s i n 2 f

n

t d t = ,

2 j

T

Z

T = 2

0

x t s i n 2 f

n

t d t

O l t r e a l l a s e r i e d i F o u r i e r e s p o n e n z i a l e , i n c u i l e a r m o n i c h e e l e m e n t a r i

s o n o r a p p r e s e n t a t e d a l t e r m i n e e s p o n e n z i a l e e

j 2 f

n

t

, e s i s t e a n c h e , s o l o p e r i

s e g n a l i r e a l i , l a s e r i e d i F o u r i e r t r i g o n o m e t r i c a . S i p u s c r i v e r e :

x t = R

0

+ 2

+ 1

X

n = 1

R

n

c o s 2 f

n

t + 2

+ 1

X

n = 1

I

n

s i n 2 f

n

t

d o v e

R

0

=

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t d t

R

n

=

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t c o s 2 f

n

t d t

I

n

=

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t s i n 2 f

n

t d t



13/88

P a g . 8

C a p i t o l o 3

T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r

S e i l s e g n a l e d e t e r m i n a t o e t e m p o - c o n t i n u o n o n p e r i o d i c o , n o n p o s s i b i l e

t r o v a r e u n o s v i l u p p o i n s e r i e d i F o u r i e r c o n v e r g e n t e a d e s s o . P e r s t u d i a r n e

i l c o n t e n u t o i n f r e q u e n z a s i u t i l i z z a , q u i n d i , l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r , c h e h a

m o l t e c a r a t t e r i s t i c h e s i m i l i a l l a s e r i e .

D a t o u n s e g n a l e x t d i e n e r g i a p o s s i b i l e d i m o s t r a r e l a s e g u e n t e r e l a -

z i o n e :

x t =

Z

+ 1

, 1

X f e

j 2 f t

d f d o v e : X f =

Z

+ 1

, 1

x t e

, j 2 f t

d t

M e d i a n t e l a s e c o n d a e q u a z i o n e p o s s i b i l e o t t e n e r e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r

X f c o n o s c e n d o n e i l s u o a n d a m e n t o t e m p o r a l e x t ; m e d i a n t e l a p r i m a

e q u a z i o n e p o s s i b i l e , i n v e c e , a n t i t r a f o r m a r e e c i o o t t e n e r e l ' a n d a m e n t o n e l

d o m i n i o d e l t e m p o x t d e l s e g n a l e , c o n o s c e n d o n e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r

X f . Q u e s t e o p e r a z i o n i s o n o p o s s i b i l i u n i v o c a m e n t e e s e n z a a m b i g u i t d a t o

c h e l a d e s c r i z i o n e d e l s e g n a l e i n t e r m i n i d i r e l a z i o n e t e m p o r a l e e d i n t e r m i n i

d i t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r f e t t a m e n t e e q u i v a l e n t e .

L ' e n e r g i a d e l s e g n a l e p u q u i n d i e s s e r e c a l c o l a t a s i a m e d i a n t e l ' e s p r e s s i o n e

d i x t , s i a m e d i a n t e l ' e s p r e s s i o n e d i X f :

E

x

=

Z

+ 1

, 1

j x t j

2

d t =

Z

+ 1

, 1

j X f j

2

d f

3 . 1 P r o p r i e t d e l l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r

L e p r o p r i e t d i c u i g o d e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r s o n o m o l t o i m p o r t a n t i

i n q u a n t o , m e d i a n t e i l l o r o o p p o r t u n o u t i l i z z o , p o s s i b i l e c a l c o l a r e l a t r a -

s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n q u a l s i a s i s e g n a l e c o m p l e s s o a p a r t i r e d a s e g n a l i

e l e m e n t a r i .



14/88

C a p . 3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r P a g . 9

; d e l v a l o r e i n i z i a l e S e x t ! X f , a l l o r a x t j

t = 0

= x 0 =

Z

+ 1

, 1

X f d f

e X f j

f = 0

= X 0 =

Z

+ 1

, 1

x t d t

; l i n e a r i t S e x t ! X f e y t ! Y f , a l l o r a s t = a x t +

b y t

!S f = a X f + b Y f

; t r a s l a z i o n e t e m p o r a l e S e x t ! X f , a l l o r a y t = x t , t

0

!

Y f = X f e

, j 2 f t

0

; t r a s l a z i o n e i n f r e q u e n z a S e x t ! X f , a l l o r a y t = x t e

j 2 f

0

t

!

Y f = X f , f

0

; d u a l i t S e x t ! X f , a l l o r a y t = X t ! Y f = x , f

; d i s c a l a S e x t ! X f a l l o r a y t = x a t ! Y f =

1

j a j

X

f

a

c o n

a 6= 0

; d e r i v a z i o n e S e x t ! X f , a l l o r a y t =

d x t

d t

! Y f = j 2 f X f

; i n t e g r a z i o n e S e x t ! X f , a l l o r a y t =

Z

t

, 1

x d ! Y f =

X 0

2

f +

X f

j 2 f

; c o n i u g a t o S e x t ! X f , a l l o r a y t = x

?

t ! Y f = X

?

, f

; c o n v o l u z i o n e S e x t ! X f e y t ! Y f , a l l o r a z t = x t ?

y t

!Z f = X f Y f

; p r o d o t t o S e x t ! X f e y t ! Y f , a l l o r a z t = x t y t !

Z f = X f ? Y f

3 . 2 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i r e a l i

S e i l s e g n a l e x t r e a l e , l a s u a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p u e s s e r e a n c o r a

c o m p l e s s a , m a e s s a g o d e d e l l a s i m m e t r i a h e r m i t i a n a :

X , f = X

?

f X , f = X f e = X , f = , = X f

N e l s o l o c a s o i n c u i i l s e g n a l e x t f o s s e r e a l e e p a r i , a l l o r a l a t r a s f o r m a t a

d i F o u r i e r s a r e b b e r e a l e e a n c h ' e s s a p a r i .



15/88

C a p . 3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r P a g . 1 0

Q u e s t o v u o l d i r e c h e l a r a p p r e s e n t a z i o n e d e l l a s e r i e d i F o u r i e r s u u n g r a c o

p u a v v e n i r e s o l o n e l c a s o i n c u i i l s e g n a l e s i a r e a l e e p a r i .

A l l o s t e s s o m o d o , s i p u d i m o s t r a r e c h e s e i l s e g n a l e x t f o s s e r e a l e e

d i s p a r i , l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r s a r e b b e p u r a m e n t e i m m a g i n a r i a e a n c h ' e s s a

d i s p a r i .

3 . 3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i d i p o -

t e n z a

L ' e s i s t e n z a d e l l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r g a r a n t i t a s o l o p e r s e g n a l i d i e n e r g i a .

C o m u n q u e , p o s s i b i l e d e n i r e u n a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r a n c h e p e r s e g n a l i

d i p o t e n z a u t i l i z z a n d o i l f o r m a l i s m o m a t e m a t i c o i n t r o d o t t o d a l l a f u n z i o n e

i m p u l s i v a t .

3 . 3 . 1 S e g n a l i p e r i o d i c i

A n c h e p e r i s e g n a l i p e r i o d i c i s i p u d e n i r e u n a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r s t r e t -

t a m e n t e l e g a t a a l l a s e r i e d i F o u r i e r . S i a x t u n s e g n a l e p e r i o d i c o d i p e r i o d o

T

0

:

x t + T

0

= x t 8 t

L o s v i l u p p o i n s e r i e d i F o u r i e r p e r m e t t e d i s c r i v e r e i l s e g n a l e x t c o m e

s o m m a d i a r m o n i c h e e l e m e n t a r i :

x t =

+ 1

X

n = , 1

X

n

e

j 2 f

n

t

Q u i n d i l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l s e g n a l e :

X f =

+ 1

X

n = , 1

X

n

f , f

n

L a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e g n a l e p e r i o d i c o q u i n d i s e m p l i c e m e n t e

u n t r e n o d i i m p u l s i l a c u i a r e a c o i n c i d e c o n i c o e c i e n t i d e l l a s e r i e d i F o u r i e r .

I n o l t r e , s i a x

T

t i l s e g n a l e x t r i s t r e t t o a d u n p e r i o d o , c o s d e n i t o :

x

T

t =

x t j t j

T

2

0 a l t r o v e

L a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r X

T

f d i q u e s t o s e g n a l e l e g a t o a l s e g n a l e x t

p e r i o d i c o i n q u a n t o :

X

T

f j

f = f

n

= X

T

f

n

= T X

n



16/88

P a g . 1 1

C a p i t o l o 4

S i s t e m i d i t r a s f o r m a z i o n e d i

s e g n a l i

4 . 1 G e n e r a l i t s u i s i s t e m i

U n s i s t e m a d i t r a s f o r m a z i o n e d i u n s e g n a l e u n q u a l s i a s i o g g e t t o r e a l e o

t e o r i c o c h e t r a s f o r m a u n s e g n a l e i n i n g r e s s o x t i n u n s e g n a l e i n u s c i t a y t ,

m e d i a n t e l a t r a s f o r m a z i o n e y t = T

C

x t . P e r c a r a t t e r i z z a r e u n i v o c a m e n t e

u n s i s t e m a d i t r a s f o r m a z i o n e , s a r n e c e s s a r i o s p e c i c a r e s e m p l i c e m e n t e l a

f u n z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e T

C

.

U n s i s t e m a d i t r a s f o r m a z i o n e d i u n s e g n a l e t u t t ' a l t r o c h e u n a e n t i t

a s t r a t t a : e s s o t r o v a n u m e r o s i r i s c o n t r i p r a t i c i i n m o l t i c i r c u i t i e s t r u m e n t i

e l e t t r o n i c i . N o n s i e n t r e r n e i d e t t a g l i s u c o m e s i a p o s s i b i l e , e l e t t r o n i c a m e n t e ,

l a t r a s f o r m a z i o n e d e l s e g n a l e o p e r a t a d a l s i s t e m a , m a s i c o n s i d e r e r i l s i s t e m a

a l i v e l l o s u p e r i o r e c o m e u n a b l a c k - b o x d i c u i s i c o n o s c o n o s o l o g l i e e t t i e

c i o i l t i p o d i t r a s f o r m a z i o n e . P e r q u e s t o , l ' o p e r a z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e d e l

s e g n a l e x t n e l s e g n a l e y t r a p p r e s e n t a t a n e l l a g u r a s e g u e n t e e s i s c r i v e r :

x t

, !y t

y(t)x(t)T

C

A s e c o n d a d e l t i p o d i t r a s f o r m a z i o n e T

C

t i p i c a d e l s i s t e m a , e s s o p u

d e n i r s i i n v a r i m o d i :

s i s t e m a l i n e a r e q u a n d o l a f u n z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e T

C

g o d e c o n t e m -

p o r a n e a m e n t e d e l l a p r o p r i e t a d d i t i v a e d i o m o g e n e i t , c i o :

T

C

x t + y t = T

C

x t + T

C

y t



17/88

C a p . 4 S i s t e m i d i t r a s f o r m a z i o n e d i s e g n a l i P a g . 1 2

T

C

a x t = a T

C

x t

L a v e r i c a d e l l e p r e c e d e n t i d u e p r o p r i e t p u e s s e r e f a t t a e q u i v a l e n t e -

m e n t e m e d i a n t e l a s e g u e n t e :

T

C

a x t + b y t = a T

C

x t + b T

C

y t

s i s t e m a t e m p o i n v a r i a n t e q u a n d o l ' e e t t o d e l s i s t e m a n o n c a m b i a c o l

t e m p o . F o r m a l m e n t e q u e s t a p r o p r i e t p u e s s e r e v e r i c a t a n e l s e g u e n t e

m o d o . S e x t , ! y t , a l l o r a T

C

x t , = y t , .

s i s t e m a s t a b i l e q u a n d o o g n i s e g n a l e x t i n i n g r e s s o l i m i t a t o , s i t r a s f o r m a

i n u n s e g n a l e y t i n u s c i t a a n c h ' e s s o l i m i t a t o .

s i s t e m a c a u s a l e q u a n d o l a r i s p o s t a d e l s i s t e m a a l l ' i s t a n t e t d i p e n d e s o l -

t a n t o d a i v a l o r i d e l s e g n a l e i n i n g r e s s o a l l ' i s t a n t e t e o n e g l i i s t a n t i

p r e c e d e n t i .

s i s t e m a s e n z a m e m o r i a q u a n d o l a r i s p o s t a d e l s i s t e m a a l l ' i s t a n t e d i t e m -

p o t d i p e n d e d a l v a l o r e d e l l ' i n g r e s s o a l m e d e s i m o i s t a n t e e n o n d a g l i

i s t a n t i p r e c e d e n t i .

s i s t e m a i n v e r t i b i l e q u a n d o , c o n o s c e n d o l a r i s p o s t a f o r n i t a d a l s i s t e m a ,

p o s s i b i l e r i c a v a r n e s e n z a a m b i g u i t i l s e g n a l e i n i n g r e s s o .

4 . 2 S i s t e m i l i n e a r i t e m p o - i n v a r i a n t i

M o l t o i m p o r t a n t i r i s u l t a n o i s i s t e m i l i n e a r i e t e m p o - i n v a r i a n t i S L I . P e r

q u e s t i , l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o h t c a r a t t e r i z z a c o m p l e t a m e n t e i l s i s t e m a .

t , ! h t

I n f a t t i , s i p u d i m o s t r a r e c h e l a r i s p o s t a y t a d u n q u a l s i a s i s e g n a l e i n i n -

g r e s s o x t p u e s s e r e c a l c o l a t a c o n o s c e n d o s o l t a n t o l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o

m e d i a n t e l a s e g u e n t e f o r m u l a :

y t = x t ? h t =

Z

+ 1

, 1

x h t , d

I n f r e q u e n z a , s i p u s u b i t o d i m o s t r a r e c h e :

Y f = X f H f



18/88

C a p . 4 S i s t e m i d i t r a s f o r m a z i o n e d i s e g n a l i P a g . 1 3

d o v e X f , Y f e H f s o n o l e t r a s f o r m a t e d i F o u r i e r r i s p e t t i v a m e n t e d e l

s e g n a l e i n i n g r e s s o x t , d e l l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o h t e d e l s e g n a l e i n u s c i t a

y t .

S i p u , i n o l t r e , d i m o s t r a r e c h e u n S L I c h e s i a c a u s a l e d o t a t o d i u n a

r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o h t c h e s o d d i s f a l a s e g u e n t e r e l a z i o n e :

h t = 0 8 t 0

I n o l t r e l a c o n d i z i o n e d i s t a b i l i t d i u n S L I e q u i v a l e a l l a a s s o l u t a i n t e g r a -

b i l i t d e l l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o :

s i s t e m a s t a b i l e

Z

+ 1

, 1

j h t j d t + 1

I n n e , u n s i s t e m a l i n e a r e t e m p o - i n v a r i a n t e c h e a b b i a u n a r i s p o s t a a l l ' i m -

p u l s o h t r e a l e e c h e s i a c a u s a l e , s i d i c e s i c a m e n t e r e a l i z z a b i l e . S i d i c e

i d e a l m e n t e r e a l i z z a b i l e s e h t r e a l e .

4 . 3 S i s t e m i l i n e a r i d i s c r e t i

L e s t e s s e c o n s i d e r a z i o n i f a t t e p e r u n s i s t e m a p e r s e g n a l i c o n t i n u i p o s s o n o

r i f a r s i p e r u n s i s t e m a p e r s e g n a l i d i s c r e t i . L a f u n z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e

T

D

v i e n e a p p l i c a t a a s e g n a l e d i s c r e t i x n T d e n i t i n e g l i i s t a n t i d i t e m p o

d i s c r e t i n T .

A n c h e i s i s t e m i d i s c r e t i p o s s o n o c l a s s i c a r s i i n : l i n e a r i , t e m p o - i n v a r i a n t i ,

s t a b i l i , s i c a m e n t e r e a l i z z a b i l i , e c c .

S i p u d e n i r e p e r i s i s t e m i l i n e a r i t e m p o - i n v a r i a n t i l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o

h n T e s i p u d i m o s t r a r e c h e :

y n T = x n T ? h n T =

+ 1

X

k = , 1

x k T h n , k T T

Q u i n d i , a n c h e p e r i s i s t e m i l i n e a r i t e m p o - i n v a r i a n t i d i s c r e t i l a r i s p o s t a a l -

l ' i m p u l s o h n T c a r a t t e r i z z a n t e i l s i s t e m a .

S e i l S L I c a u s a l e , s i p u d i m o s t r a r e c h e h n T = 0 8 n 0 .



19/88

P a g . 1 4

C a p i t o l o 5

C a m p i o n a m e n t o

I l c a m p i o n a m e n t o u n a d e l l e p r i m e f a s i d u r a n t e l a t r a s m i s s i o n e i n d i g i t a l e d i

s e g n a l i s u u n a q u a l s i a s i l i n e a d i t r a s m i s s i o n e . F o n d a m e n t a l m e n t e , m e d i a n t e

q u e s t a o p e r a z i o n e , s i p r e l e v a n o d e i c a m p i o n i d i u n s e g n a l e t e m p o c o n t i n u o a d

i n t e r v a l l i r e g o l a r i d i p e r i o d o T e f r e q u e n z a f

c

=

1

T

c

e s i c o s t r u i s c e i l s e g n a l e

c a m p i o n a t o c o s d e n i t o :

s

c

t =

+ 1

X

n = , 1

s n T

c

t , n T

c

=

+ 1

X

n = , 1

s t t , n T

c

= s t

+ 1

X

n = , 1

t , n T

c

C o m e s i p u n o t a r e d a l l e p r e c e d e n t i e s p r e s s i o n i , i l s e g n a l e c a m p i o n a t o s

c

t

a l t r o n o n c h e i l p r o d o t t o f r a i l s e g n a l e s t o r i g i n a l e e d u n t r e n o d i i m p u l s i

u n i t a r i

+ 1

X

n = , 1

t , n T

c

, t u t t i a p p l i c a t i n e g l i i s t a n t i d i c a m p i o n a m e n t o .

N e l d o m i n i o d e l l a f r e q u e n z a , l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l s e g n a l e c a m -

p i o n a t o s

c

t :

S

c

f = S f ?

1

T

c

+ 1

X

n = , 1

f ,

n

T

c

=

1

T

c

+ 1

X

n = , 1

S

f ,

n

T

c

I n d e n i t i v a , l o s p e t t r o i n f r e q u e n z a d e l s e g n a l e c a m p i o n a t o d a t o d a l l a

s o m m a d i u n o s t e s s o s p e t t r o , p a r i a q u e l l o d e l s e g n a l e d i p a r t e n z a , t r a s l a t o

n e l l e f r e q u e n z e

n

T

c

= n f

c

e a t t e n u a t o d i u n f a t t o r e T

c

.

Q u i n d i , p e r p o t e r r i c o s t r u i r e i l s e g n a l e s t d a l s e g n a l e s

c

t , b a s t a r i o t -

t e n e r e l o s p e t t r o o r i g i n a l e ; c i p o s s i b i l e e l i m i n a n d o t u t t i e c c e t t o q u e l l o

c e n t r a t o n e l l ' o r i g i n e . A n c h q u e s t a o p e r a z i o n e r i e s c a n e c e s s a r i o , p e r ,

c h e :

i l s e g n a l e s t a b b i a u n o s p e t t r o i n f r e q u e n z a l i m i t a t o , p e r e s e m p i o

n e l l ' i n t e r v a l l o , w ; + w ;



20/88

C a p . 5 C a m p i o n a m e n t o P a g . 1 5

l a f r e q u e n z a d i c a m p i o n a m e n t o s i a a l m e n o p a r i a l d o p p i o d i w .

A q u e s t o p u n t o , p e r r i o t t o n e r e i l s e g n a l e s t p a r t e n d o d a l s e g n a l e s

c

t ,

b a s t a m o l t i p l i c a r e i n f r e q u e n z a S

c

f c o n u n r e t t a n g o l o l t r o p a s s a - b a s s o

i n m o d o d a e l i m i n a r e g l i s p e t t r i s u p e r u i . L a f r e q u e n z a d i t a g l i o f

s

d e l l t r o ,

d e v e e s s e r e m a g g i o r e d i w p e r e v i t a r e d i t a g l i a r e a n c h e l o s p e t t r o o r i g i n a l e

e m i n o r e d i f

c

, w p e r e l i m i n a r e c o m p l e t a m e n t e g l i a l t r i s p e t t r i .

w f

s

f

c

, w

D o p o q u e s t a o p e r a z i o n e s i o t t i e n e i l s e g n a l e r i c o s t r u i t o s

r

t c h e , n e l l e

i p o t e s i p r e c e d e n t e m e n t e f a t t e , c o i n c i d e p e r f e t t a m e n t e c o n i l s e g n a l e o r i g i n a l e

s t :

s

r

t ! S

r

f = S

c

f T

c

r e c t

f

2 f

s

D a l l a f o r m u l a p r e c e d e n t e , a n t i t r a s f o r m a n d o , s i o t t i e n e l ' e s p r e s s i o n e n e l t e m -

p o d e l s e g n a l e r i c o s t r u i t o s

r

t a p a r t i r e d a i c a m p i o n i s n T

c

:

s

r

t = 2 f

s

T

c

+ 1

X

n = , 1

s n T

c

s i n c 2 f

s

t , n T

c

L a p r e c e d e n t e f o r m u l a c o n o s c i u t a c o m e t e o r e m a d e l c a m p i o n a m e n t o .

N e l c a s o i n c u i l a f r e q u e n z a d i c a m p i o n a m e n t o f o s s e p r o p r i o i l d o p p i o d e l l a

s e m i a m p i e z z a d i b a n d a d e l s e g n a l e c i o f

c

= 2 w , n e l l e c o s i d d e t t e i p o t e s i d i

N y q u i s t , i l t e o r e m a d e l c a m p i o n a m e n t o p r e n d e q u e s t o a s p e t t o :

s

r

t =

+ 1

X

n = , 1

s

n

2 w

s i n c

h

2 w

t ,

n

2 w

i

O v v i a m e n t e , n e l l e i p o t e s i d i N y q u i s t , l a f r e q u e n z a d i t a g l i o d e l l t r o a l

r i c e v i t o r e d e v e n e c e s s a r i a m e n t e c o i n c i d e r e c o n l a m e t d e l l a f r e q u e n z a d i

c a m p i o n a m e n t o : f

s

=

f

c

2

= w .

N e l l e i p o t e s i d i c a m p i o n a m e n t o i d e a l e e q u i n d i d i s e g n a l e p e r f e t t a m e n -

t e r i c o s t r u i b i l e d a i c a m p i o n i s

r

t = s t , l a c o n o s c e n z a d e i s o l i c a m p i o n i

s n T

c

p e r m e t t e u n a d e s c r i z i o n e c o m p l e t a d i t u t t o i l s e g n a l e i n t u t t i g l i i s t a n t i

d i t e m p o . P e r e s e m p i o , p o s s i b i l e c a l c o l a r e l ' e n e r g i a d e l s e g n a l e d a l l a c o n o -

s c e n z a d e i s o l i c a m p i o n i p u r i g n o r a n d o i v a l o r i d e l s e g n a l e n e g l i a l t r i i s t a n t i

d i t e m p o , m e d i a n t e l a s e g u e n t e f o r m u l a :

E

s

=

+ 1

X

n = , 1

T

c

j s n T

c

j

2



21/88

P a g . 1 6

C a p i t o l o 6

A u t o c o r r e l a z i o n e

6 . 1 S e g n a l i d i e n e r g i a

S i a x t u n s e g n a l e a d e n e r g i a n i t a . Q u e s t a p u e s s e r e c a l c o l a t a f a c i l m e n t e

c o n l e d u e f o r m u l e s e g u e n t i , u n a n e l d o m i n i o d e l t e m p o , l ' a l t r a n e l d o m i n i o

d e l l a f r e q u e n z a :

E

x

=

Z

+ 1

, 1

j x t j

2

d t =

Z

+ 1

, 1

j X f j

2

d f

L ' u l t i m a d i q u e s t e e s p r e s s i o n i p u e s s e r e i n t e r p r e t a t a n e l s e g u e n t e m o d o : l a

q u a n t i t j X f j

2

r a p p r e s e n t a l a d e n s i t d i e n e r g i a d e l s e g n a l e p e r g a m m a d i

f r e q u e n z a . Q u e s t a d e n i z i o n e c o e r e n t e c o l n o m e d i d e n s i t d i e n e r g i a s e

s o n o v e r i c a t e e n t r a m b e l e s e g u e n t i r e l a z i o n i :

L ' e n e r g i a d e l s e g n a l e x t p u e s s e r e c a l c o l a t a d a l l a d e n s i t d i e n e r g i a

i n t e g r a n d o s u t u t t o l o s p e t t r o i n f r e q u e n z a : E

x

=

Z

+ 1

, 1

j X f j

2

d f

L ' e n e r g i a a s s o c i a t a a l s e g n a l e x t l i m i t a t a m e n t e a l l e f r e q u e n z e c o m p r e -

s e f r a f

1

e f

2

p a r i a l l ' i n t e g r a l e d e l l a d e n s i t d i e n e r g i a s u l l ' i n t e r v a l l o

d i f r e q u e n z e d i i n t e r e s s e : E

x

f

1

; f

2

=

Z

f

2

f

1

j X f j

2

d f

S i p u d i m o s t r a r e l a v a l i d i t d e l l e p r e c e d e n t i p r o p r i e t d a c u i i l n o m e d i

d e n s i t d i e n e r g i a a l l a f u n z i o n e j X f j

2

.

P o i c h l a d e n s i t d i e n e r g i a j X f j

2

d i u n s e g n a l e e n e r g e t i c o x t u n

s e g n a l e n e l d o m i n i o d e l l a f r e q u e n z a , e s s o p u e s s e r e c o n s i d e r a t o c o m e u n a

t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e g n a l e n e l d o m i n i o d e l t e m p o c h e s i d e n i s c e

a u t o c o r r e l a z i o n e R

x

t .

R

x

t ! j X f j

2



22/88

C a p . 6 A u t o c o r r e l a z i o n e P a g . 1 7

E s s e n d o j X f j

2

= X f X

?

f , l ' a u t o c o r r e l a z i o n e p u e s s e r e c a l c o l a t a a

p a r t i r e d i r e t t a m e n t e d a l s e g n a l e x t n e l d o m i n i o d e l t e m p o d a l l a s e g u e n t e

r e l a z i o n e :

R

x

t = x t ? x

?

,t =

Z

+ 1

, 1

x x

?

,t d

L ' a u t o c o r r e l a z i o n e g o d e d i a l c u n e i n t e r e s s a n t i p r o p r i e t :

R

x

t j

t = 0

= R

x

0 =

Z

+ 1

, 1

x x

?

d =

Z

+ 1

, 1

j x j

2

d = E

x

j R

x

t j R

x

t j

t = 0

= R

x

0 = E

x

S e i l s e g n a l e r e a l e , a l l o r a l ' a u t o c o r r e l a z i o n e e q u i n d i a n c h e l a d e n s i t

d i e n e r g i a u n s e g n a l e r e a l e e p a r i

S i a y t l ' u s c i t a d i u n S L I c o n a l l ' i n g r e s s o i l s e g n a l e x t . E s i s t e u n

l e g a m e t r a l ' a u t o c o r r e l a z i o n e d e l s e g n a l e i n i n g r e s s o e q u e l l o i n u s c i t a :

R

y

t = R

x

t ? R

h

t = R

x

t ? h t ? h , t , s u p p o n e n d o h t r e a l e .

6 . 2 S e g n a l i d i p o t e n z a

L e s t e s s e c o n s i d e r a z i o n i f a t t e p r e c e d e n t e m e n t e p e r i s e g n a l i d i e n e r g i a , p o s -

s o n o r i f a r s i a n c h e p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a c o n o p p o r t u n e m o d i c h e . I n p a r -

t i c o l a r e , p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a a s s i c u r a t a l a c o n v e r g e n z a d e l s e g u e n t e

i n t e g r a l e d e t t o , a p p u n t o , p o t e n z a d e l s e g n a l e :

P

x

= l i m

T ! + 1

1

T

Z

+ T = 2

, T = 2

j x t j

2

d t

Q u i n d i , i n m o d o s i m i l e a i s e g n a l i d i e n e r g i a , s i d e n i s c e a u t o c o r r e l a z i o n e d i

u n s e g n a l e d i p o t e n z a x t l a s e g u e n t e q u a n t i t :

R

x

t = l i m

T ! + 1

1

T

Z

+ T = 2

, T = 2

x x

?

,t d

Q u e s t o l i m i t e s i c u r a m e n t e c o n v e r g e p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a .

L a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l l ' a u t o c o r r e l a z i o n e , i n d i c a t a c o n S

x

f , r a p -

p r e s e n t a , i n v e c e , l a d e n s i t d i p o t e n z a d e l s e g n a l e x t .

R

x

t ! S

x

f

Q u e s t ' u l t i m a e e t t i v a m e n t e u n a d e n s i t d i p o t e n z a d a t o c h e g o d e d e l l e

s e g u e n t i p r o p r i e t :



23/88


P

x

=

Z

+ 1

, 1

S

x

f d f

P

x

f

1

; f

2

=

Z

f 2

f 1

S

x

f d f

I n o l t r e :

R

x

t j

t = 0

= R

x

0 = P

x

E s i s t e u n l e g a m e f r a l ' a u t o c o r r e l a z i o n e d i u n s e g n a l e d i p o t e n z a e q u e l l a

d e l s e g n a l e d i e n e r g i a r i c a v a t o d a l l a s u a r e s t r i z i o n e a l l ' i n t e r v a l l o , T ; T . S i

p u d i m o s t r a r e c h e :

R

x

t = l i m

T ! + 1

R

x

T

t

T

= l i m

T ! + 1

1

T

Z

T = 2

, T = 2

x t x

?

T

t d t

d o v e :

x

T

t =

x t

jT

j T

0 a l t r o v e

6 . 3 S e g n a l i p e r i o d i c i

L e s t e s s e c o n s i d e r a z i o n i f a t t e p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a , s o n o v a l i d e , s e n z a n e s -

s u n a m o d i c a , a n c h e p e r i s e g n a l i p e r i o d i c i c h e s o n o d e i p a r t i c o l a r i s e g n a l i d i

p o t e n z a . P o i c h q u e s t i g o d o n o d e l l a i m p o r t a n t e p r o p r i e t c h e x t + T

0

= x t

p e r u n p a r t i c o l a r e n u m e r o r e a l e T

0

d e t t o p e r i o d o , l e f o r m u l e d e l l ' a u t o c o r -

r e l a z i o n e d e n i t e p r e c e d e n t e m e n t e p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a p o s s o n o e s s e r e

n o t e v o l m e n t e s e m p l i c a t e p e r i s e g n a l i p e r i o d i c i .

I n p a r t i c o l a r e s i p u d i m o s t r a r e c h e l ' a u t o c o r r e l a z i o n e R

x

t d i u n s e g n a l e

p e r i o d i c o x t d i p e r i o d o T

0

p u e s s e r e c a l c o l a t a n e l s e g u e n t e m o d o :

R

x

t =

1

T

0

Z

+ T

0

= 2

, T

0

= 2

x x

?

,t d

e v i t a n d o , c o s , l ' o p e r a z i o n e d i l i m i t e .

D a t o c h e u n s e g n a l e p e r i o d i c o x t d e s c r i v i b i l e i n t o t o d a i s u o i c o e f -

c i e n t i d e l l a s e r i e d i F o u r i e r , l e c i t o d o m a n d a r s i s e p o s s i b i l e c a l c o l a r e

l ' a u t o c o r r e l a z i o n e c o n o s c e n d o s o l o q u e s t i c o e c i e n t i . S i p u e e t t i v a m e n t e

d i m o s t r a r e l a s e g u e n t e r e l a z i o n e :

R

x

t =

+ 1

X

n = , 1

j X

n

j

2

e

j 2 f

n

t



24/88


L a d e n s i t d i p o t e n z a d i u n s e g n a l e p e r i o d i c o q u i n d i s e m p l i c e m e n t e :

S

x

f =

+ 1

X

n = , 1

j X

n

j

2

f , f

n



25/88

P a g . 2 0

C a p i t o l o 7

T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r

s e g n a l i d i s c r e t i

7 . 1 S e g n a l i d i e n e r g i a

A n c h e p e r i s e g n a l i d i s c r e t i x n T d e n i t i s o l o i n a l c u n i i s t a n t i d i t e m p o

p o s s i b i l e o t t e n e r e u n a t r a s f o r m a z i o n e i n v e r t i b i l e u n i v o c a m e n t e c h e d i a i n f o r -

m a z i o n i s u l c o n t e n u t o i n f r e q u e n z a d e l s e g n a l e . S i p u d i m o s t r a r e , a p a r t i r e

d a l l o s p e t t r o i n f r e q u e n z a d i u n s e g n a l e c a m p i o n a t o , c h e i l s e g n a l e d i s c r e t o

x n T p u s c r i v e r s i c o m e :

x n T =

Z

+ F = 2

, F = 2

X f e

j 2 f n T

d f

d o v e X f p r o p r i o l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l s e g n a l e d i s c r e t o c h e p u

e s s e r e c a l c o l a t a n e l s e g u e n t e m o d o :

X f =

+ 1

X

n = , 1

T x n T e

, j 2 f n T

b e n e n o t a r e c o m e , p u r e s s e n d o i l s e g n a l e x n T d i s c r e t o , i l s u o c o n t e -

n u t o i n f r e q u e n z a d e s c r i t t o d a u n a t r a s f o r m a t a X f c o n t i n u a n e l d o m i n i o

d e l l a f r e q u e n z a . P e r , a d i e r e n z a d i u n a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e -

g n a l e c o n t i n u o , s i p u d i m o s t r a r e c h e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e g n a l e

d i s c r e t o p e r i o d i c a d i p e r i o d o F =

1

T

:

X f + F = X f

8f

L a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e g n a l e d i s c r e t o g o d e d i p r o p r i e t d e l t u t -

t o s i m i l i a q u e l l e t i p i c h e d i u n a t r a s f o r m a t a p e r s e g n a l i c o n t i n u i . P e r e s e m p i o ,



26/88

C a p . 7 F - t r a s f o r m a t a p e r s e g n a l i d i s c r e t i P a g . 2 1

p o s s i b i l e c a l c o l a r e l ' e n e r g i a d e l s e g n a l e d i s c r e t o d a l l a s u a t r a s f o r m a t a :

E

x

=

Z

+ F = 2

, F = 2

j X f j

2

d f

7 . 2 C a s o p a r t i c o l a r e d i s e g n a l i d i p o t e n z a : s e -

g n a l i p e r i o d i c i

C o s c o m e s t a t o p o s s i b i l e g e n e r a l i z z a r e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i

d i p o t e n z a p a r t e n d o d a q u e l l a p e r s e g n a l i d i e n e r g i a n e l c a m p o d e i s e g n a l i

t e m p o - c o n t i n u i , p o s s i b i l e d e n i r e u n a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r a n c h e p e r

s e g n a l i d i p o t e n z a e d i s c r e t i . V e r r a n n o t r a t t a t i s o l t a n t o a l c u n i p a r t i c o l a r i

s e g n a l i d i s c r e t i d i p o t e n z a e c i o i s e g n a l i p e r i o d i c i , p e r i q u a l i :

x n T + N T = x n T 8 n

L a q u a n t i t T

p

= N T d e t t a p e r i o d o d e l s e g n a l e .

S i p u d i m o s t r a r e l a v a l i d i t d e l l a s e g u e n t e c o p p i a d i e q u a z i o n i d i t r a -

s f o r m a z i o n e e d a n t i t r a s f o r m a z i o n e :

x n T =

N , 1

X

k = 0

d

k

e

j 2

k n

N

x n T =

N , 1

X

k = 0

F S k F e

j 2

k n

N

d

k

=

1

N

N , 1

X

n = 0

x n T e

, j 2

k n

N

S k F =

N , 1

X

n = 0

T x n T e

, j 2

k n

N

. . . d o v e F =

1

N T

=

1

T

p

.

I n q u e s t o c a s o , s i a i l s e g n a l e c h e l a t r a s f o r m a t a s o n o s e g n a l i d i s c r e t i .

L ' i m p o r t a n z a d i q u e s t o t i p o d i t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r r i s i e d e n e l l a s e m -

p l i c i t c o m p u t a z i o n a l e i n s i t a n e l l e f o r m u l e p r e c e d e n t i : i n f a t t i q u e s t o l ' u n i c o

c a s o i n c u i p o s s i b i l e t r a s f o r m a r e o a n t i t r a s f o r m a r e i l s e g n a l e c o n u n a s o m -

m a t o r i a d i s c r e t a e n i t a d i t e r m i n i , o p e r a z i o n e f a c i l m e n t e i m p l e m e n t a b i l e i n

u n e l a b o r a t o r e .

C o m e a l s o l i t o , p o s s i b i l e c a l c o l a r e l a p o t e n z a d e l s e g n a l e p e r i o d i c o e

d i s c r e t o s i a m e d i a n t e u n a s o m m a t o r i a n e l d o m i n i o d e l t e m p o , s i a n e l d o m i n i o

d e l l a f r e q u e n z a :

P

x

= F

2

N , 1

X

k = 0

j S k F j

2

=

1

N

N , 1

X

n = 0

j x n T j

2



27/88

P a g . 2 2

C a p i t o l o 8

T r a s f o r m a t a d i H i l b e r t

L ' o p e r a z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e s e c o n d o H i l b e r t p u e s s e r e r a p p r e s e n t a t a c o -

m e u n S L I c o n u n a f u n z i o n e d i t r a s f e r i m e n t o p a r i a :

H f =

8

:

j f 0

0 f = 0

, j f 0

= , j s i g n f

f a c i l e d i m o s t r a r e c h e l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o :

h t =

1

t

Q u e s t o v u o l d i r e c h e l a t r a s f o r m a t a d i H i l b e r t p r o v o c a u n o s f a s a m e n t o

d i 9 0

s u o g n i c o m p o n e n t e i n f r e q u e n z a n e g a t i v a e d i , 9 0

s u o g n i c o m -

p o n e n t e i n f r e q u e n z a p o s i t i v a . L a c o m p o n e n t e c o s t a n t e d e l s e g n a l e v i e n e

c o m p l e t a m e n t e a n n u l l a t a .

S i a x t u n s e g n a l e d e t e r m i n a t o e s i i n d i c h i ~x t l a s u a t r a s f o r m a t a d i

H i l b e r t e c i o :

~

X f = X f H f

N e l d o m i n i o d e l t e m p o s i p u s c r i v e r e :

~x t = x t ? h t = x t ?

1

t

L a t r a s f o r m a t a d i H i l b e r t d i u n s e g n a l e r e a l e u n s e g n a l e r e a l e .



28/88

P a g . 2 3

P a r t e I I

S e g n a l i a l e a t o r i



29/88

P a g . 2 4

C a p i t o l o 9

P r o c e s s i s t o c a s t i c i

I p r o c e s s i s t o c a s t i c i s o n o u n a n a t u r a l e g e n e r a l i z z a z i o n e d i u n a v a r i a b i l e a l e a -

t o r i a . C o s c o m e , p e r d e n i r e u n a v a r i a b i l e a l e a t o r i a n e c e s s a r i o a s s o c i a r e a d

o g n i e v e n t o e l e m e n t a r e u n n u m e r o r e a l e , p e r d e n i r e u n p r o c e s s o s t o c a s t i c o

s i d e v e a s s o c i a r e a d o g n i e v e n t o e l e m e n t a r e u n a f u n z i o n e r e a l e n e l d o m i n i o

d e l t e m p o , c h e d e s c r i v e u n a e v o l u z i o n e t e m p o r a l e d e l l ' e s p e r i m e n t o c a s u a l e .

L a d e s c r i z i o n e d e l p r o c e s s o p u a v v e n i r e s s a n d o a r b i t r a r i a m e n t e u n

i s t a n t e d i t e m p o e d e s t r a e n d o l a v a r i a b i l e a l e a t o r i a a s s o c i a t a X t . D i q u e -

s t a , s i p u c a l c o l a r e l a f u n z i o n e d i s t r i b u z i o n e , f u n z i o n e d e n s i t e t u t t i g l i a l t r i

i n d i c i d i u n a v a r i a b i l e a l e a t o r i a .

a n c h e p o s s i b i l e s s a r e d u e o p i i s t a n t i d i t e m p o t

1

, t

2

, . . . , t

n

e

d e s c r i v e r e l a f u n z i o n e d i s t r i b u z i o n e c o n g i u n t a :

F

X t

1

; X t

2

; : : : ; X t

n

x

1

; x

2

; : : : ; x

n

; t

1

; t

2

; : : : ; t

n

N e l l a m a g g i o r p a r t e d e i c a s i s u c i e n t e u n a d e s c r i z i o n e i n p o t e n z a d e l

p r o c e s s o c h e s i a r r e s t a a d u n a c o p p i a d i v a r i a b i l i e s t r a t t e i n d u e i s t a n t i d i

t e m p o .

9 . 1 P r o c e s s i s t a z i o n a r i

U n a c l a s s e m o l t o i m p o r t a n t e d i p r o c e s s i s t o c a s t i c i q u e l l a d e i p r o c e s s i s t a z i o -

n a r i c h e , d a u n p u n t o d i v i s t a i n t u i t i v o , r a p p r e s e n t a n o q u e i p r o c e s s i i n v a r i a n t i

a d u n c a m b i a m e n t o d e l l ' i s t a n t e d i r i f e r i m e n t o .

F o r m a l m e n t e , u n p r o c e s s o s i d i c e s t a z i o n a r i o i n s e n s o s t r e t t o q u a n d o ,

s s a t i n i s t a n t i d i t e m p o t

1

, t

2

, . . . , t

n

, r i s u l t a :

F

X t

1

; X t

2

; : : : ; X t

n

x

1

; x

2

; : : : ; x

n

= F

X t

1

+ ; X t

2

+ ; : : : ; X t

n

+

x

1

; x

2

; : : : ; x

n

L a s t a z i o n a r i e t s t r e t t a d i u n p r o c e s s o c o m p o r t a d u e i m p o r t a n t i p r o p r i e t :



30/88

C a p . 9 P r o c e s s i s t o c a s t i c i P a g . 2 5

i l v a l o r m e d i o d e l p r o c e s s o s t o c a s t i c o E X t i n d i p e n d e n t e d a l l ' i s t a n -

t e d i t e m p o ;

l ' a u t o c o r r e l a z i o n e d e l l e d u e v a r i a b i l i e s t r a t t e X t

1

e X t

2

d i p e n d e

s o l t a n t o d a l l a d i e r e n z a d e g l i i s t a n t i d i t e m p o = t

2

,t

1

e n o n d a i d u e

i s t a n t i d i t e m p o i n d i p e n d e n t e m e n t e .

U n p r o c e s s o , i n v e c e , s t a z i o n a r i o i n s e n s o l a t o q u a n d o s o d d i s f a s e m p l i -

c e m e n t e l e d u e p r o p r i e t p r e c e d e n t i .

C o m e s i p u i m m a g i n a r e i n t u i t i v a m e n t e , u n p r o c e s s o s t a z i o n a r i o i n s e n s o

l a t o a n c h e s t a z i o n a r i o i n s e n s o s t r e t t o . N o n v e r o i l v i c e v e r s a .

S e u n p r o c e s s o s t a z i o n a r i o , a l l o r a l a f u n z i o n e d i a u t o c o r r e l a z i o n e R

x

c h e d i p e n d e s o l t a n t o d a l t e m p o , d o t a t a d i t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r S

x

f d e -

n i t a c o m e d e n s i t s p e t t r a l e d i p o t e n z a . E s s a , i n f a t t i , r a p p r e s e n t a l a p o t e n z a

E X

2

t d e l p r o c e s s o p e r g a m m a d i f r e q u e n z a .

9 . 2 E r g o d i c i t d i u n p r o c e s s o

I p r o c e s s i e r g o d i c i s o n o m o l t o i m p o r t a n t i p e r c h g o d o n o d i p r o p r i e t i n t e -

r e s s a n t i d a l p u n t o d i v i s t a p r a t i c o . P e r e s s i , i n f a t t i , l a m i s u r a d i u n a s o l a

r e a l i z z a z i o n e p e r m e t t e d i s t i m a r e , s e n z a e r r o r e , i l v a l o r m e d i o d i t u t t o i l

p r o c e s s o .

S i a x t u n a s i n g o l a r e a l i z z a z i o n e d i u n p r o c e s s o . S i d e n i s c e m e d i a t e m -

p o r a l e d e l l a r e a l i z z a z i o n e m = l i m

T ! + 1

1

2 T

Z

+ T

, T

x t d t . q u i n d i p o s s i b i l e a s s o -

c i a r e a d o g n i r e a l i z z a z i o n e d e l l ' e s p e r i m e n t o , u n n u m e r o r e a l e c h e r a p p r e s e n t a

l a s u a m e d i a t e m p o r a l e . I n q u e s t o m o d o p o s s i b i l e d e n i r e u n a v a r i a b i l e

a l e a t o r i a M c h e , p e r i p r o c e s s i e r g o d i c i , h a l a s e g u e n t e c a r a t t e r i s t i c a :

p M = m

x

= 1

d o v e m

x

= E X t .

A n c h l a p r e c e d e n t e r e l a z i o n e s i a v e r a , d e v e a c c a d e r e c h e i l v a l o r m e d i o

d e l p r o c e s s o m

x

s i a i n d i p e n d e n t e d a l l ' i s t a n t e d i t e m p o t .

P e r i p r o c e s s i s t a z i o n a r i , s i d i m o s t r a c h e l a e r g o d i c i t i n m e d i a p u e s s e r e

v e r i c a t a n e l s e g u e n t e m o d o :

l i m

T ! + 1

1

T

Z

2 T

0

1 ,

2 T

c

x

d = 0

d o v e c

x

r a p p r e s e n t a l ' a u t o c o v a r i a n z a d e l p r o c e s s o .



31/88


32/88

P a g . 2 7

C a p i t o l o 1 0

C a t e n e d i M a r k o v

U n p r o c e s s o s t o c a s t i c o s i d i c e M a r k o v i a n o o d i M a r k o v , q u a n d o l a s u a e v o l u -

z i o n e f u t u r a d i p e n d e s o l t a n t o d a l l o s t a t o d e l p r o c e s s o a l l ' i s t a n t e t e n o n d a g l i

i s t a n t i p r e c e d e n t i . I n f o r m u l e , u n p r o c e s s o d i M a r k o v q u a n d o l a s e g u e n t e

p r o b a b i l i t c o n g i u n t a p u s c r i v e r s i :

p X t

n

= A

n

; X t

n , 1

= A

n , 1

: : : ; X t

1

= A

1

; X t

0

= A

0

=

= p X t

n

= A

n

jX t

n , 1

= A

n , 1

: : :

p X t

0

= A

0

d o v e i t e r m i n i t

0

, t

1

, . . . t

n

r a p p r e s e n t a n o n i s t a n t i d i t e m p o e i t e r m i n i A

i

r a p p r e s e n t a n o d e i p o s s i b i l i v a l o r i a s s u n t i d a l p r o c e s s o n e l l ' i n s t a n t e t

i

.

U n p r o c e s s o d i M a r k o v d e t t o c a t e n a d i M a r k o v s e i v a l o r i a s s u n t i d a l

p r o c e s s o s o n o d i s c r e t i n i t i o i n n i t i n u m e r a b i l i .

1 0 . 1 C a t e n e d i M a r k o v t e m p o - d i s c r e t e

U n a c a t e n a d i M a r k o v t e m p o - d i s c r e t a q u a n d o g l i i s t a n t i d i t e m p o i n c u i

i l p r o c e s s o e v o l v e s o n o d i s c r e t i . U n p r o c e s s o d i q u e s t o t i p o p u e s s e r e i l

m o d e l l o d i u n s i s t e m a c h e p u a s s u e m e r e u n c e r t o n u m e r o d i s c r e t o d i s t a -

t i , c a m b i a n d o l o s o l o i n i s t a n t i d i t e m p o d e n i t i e d i s c r e t i . S i a n o , q u i n d i ,

S = f s

1

; s

2

; : : : ; s

n

g l ' i n s i e m e d e g l i s t a t i d e l s i s t e m a .

L a p r o b a b i l i t c o n g i u n t a d i c u i s o p r a p u s c r i v e r s i n e l s e g u e n t e m o d o :

p X

n

= x

n

; X

n , 1

= x

n , 1

; : : : ; X

0

= x

0

=

p X

n

= x

n

j X

n , 1

= x

n , 1

: : : p X

0

= x

0

d o v e i l g e n e r i c o t e r m i n e x

i

r a p p r e s e n t a u n o d e g l i s t a t i p o s s i b i l i s

i

.

P e r d e s c r i v e r e u n a c a t e n a d i M a r k o v t e m p o - d i s c r e t a s i u t i l i z z a n o l e p r o -

b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e a d u n p a s s o c h e r a p p r e s e n t a n o l a p r o b a b i l i t c h e i l



33/88

C a p . 1 0 C a t e n e d i M a r k o v P a g . 2 8

s i s t e m a c a m b i d a l l o s t a t o i a l l o s t a t o j i n u n s o l o p a s s o .

p X

n

= j j X

n , 1

= i

I n g e n e r a l e , q u e s t a p r o b a b i l i t u n a f u n z i o n e c o m p l e s s a d e g l i s t a t i i n i z i a l e

e n a l e i e j e a n c h e d e l p a s s o n . Q u a n d o e s s a i n d i p e n d e n t e d a l p a s s o n ,

a l l o r a l a c a t e n a d i M a r k o v s i d i c e o m o g e n e a . c o e r e n t e , q u i n d i l a s e g u e n t e

s i m b o l o g i a :

p X

n

= j j X

n , 1

= i = p

i ; j

A l v a r i a r e d i i e d i j s i p u q u i n d i d e n i r e u n a m a t r i c e d i p r o b a b i l i t d i

t r a n s i z i o n e a d u n p a s s o i l c u i e l e m e n t o g e n e r i c o p r o p r i o l a p r o b a b i l i t d i

t r a n s i z i o n e a d u n p a s s o d a u n p a r t i c o l a r e s t a t o a d u n a l t r o .

U n a p a r t i c o l a r i t d i q u e s t a m a t r i c e c h e l a s o m m a d e g l i e l e m e n t i d i o g n i

r i g a p a r i a d 1 . N o n v e r o p e r g l i e l e m e n t i d e l l e c o l o n n e .

S i p u d e n i r e a n c h e u n a m a t r i c e d i p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e a d n p a s s i

e s i p u d i m o s t r a r e c h e :

P

n

= P

n

e s s e n d o P

n

p r o p r i o q u e s t a m a t r i c e .

I n o l t r e , d e n e n d o p

n

i l v e t t o r e d i s t a t o d e l s i s t e m a a l p a s s o n , c o n t e n e n t e

l e p r o b a b i l i t d i s t a t o p

i

n = p X n = i . S i p u d i m o s t r a r e c h e s u s s i t e l a

s e g u e n t e r e l a z i o n e :

p

n

= p

n , 1

P = p

0

P

n

S i d e n i s c e , i n v e c e , = l i m

n ! + 1

p

n

l a p r o b a b i l i t a s i n t o t i c a c h e r a p p r e s e n t a

c o m e i l s i s t e m a s i a s s e s t a c o l p a s s a r e d e l t e m p o . I n m o l t i c a s i p i s e m p l i c e

c a l c o l a r e l a p r o b a b i l i t a s i n t o t i c a a n z i c h l a p r o b a b i l i t d i s t a t o a l p a s s o n .

S e l a c a t e n a d i M a r k o v d o t a t a d i p r o b a b i l i t a s i n t o t i c a , e s i s t e i l l i m i t e

c h e l a d e n i s c e , e s s a s i d i c e r e g o l a r e . , i n v e c e , c o m p l e t a m e n t e r e g o l a r e q u a n -

d o q u e s t a p r o b a b i l i t i n d i p e n d e n t e d a l v e t t o r e d e l l e p r o b a b i l i t d i s t a t o a l

p a s s o 0 , c i o d a p

0

.

N e l c a s o l a c a t e n a d i M a r k o v s i a c o m p l e t a m e n t e r e g o l a r e , s i p u u t i l i z z a r e

u n a f o r m u l a m o l t o s e m p l i c e p e r i l c a l c o l o d e l l a p r o b a b i l i t a s i n t o t i c a :

P , I = 0

c h e r a p p r e s e n t a u n s i s t e m a l i n e a r e c h e a m m e t t e s i c u r a m e n t e i n n i t e s o l u z i o -

n e . L ' u l t e r i o r e c o n d i z i o n e l a s e g u e n t e :

X

i

i

= 1



34/88


35/88

C a p . 1 0 C a t e n e d i M a r k o v P a g . 3 0

P e r r i s o l v e r e q u e s t o s i s t e m a d i e q u a z i o n i d i e r e n z i a l i n e c e s s a r i o u n a c o n d i -

z i o n e a l c o n t o r n o , c o m e l a s e g u e n t e :

l i m

t ! + 1

d

d t

p

j

t = 0

X

i

i ; j

p

i

= 0

d o v e p

i

= l i m

t ! + 1

p

i

t . Q u e s t a c o n d i z i o n e a l c o n t o r n o p u a n c h e e s s e r e s c r i t t a

i n u n a l t r o m o d o :

X

i 6= j

i ; j

p

i

= p

j

X

i 6= j

j ; i



36/88

P a g . 3 1

P a r t e I I I

T r a s m i s s i o n e d e l s e g n a l e



37/88


38/88

C a p . 1 1 C o d i c a d i c a n a l e P a g . 3 3

1-p

1-p

p

p

0 R

1 R

0 T

1 T

F i g u r a 1 1 . 2 : R a p p r e s e n t a z i o n e s c h e m a t i c a d e l l e p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e d i

u n c a n a l e b i n a r i o s i m m e t r i c o C B S

S i d e n i s c e p r o b a b i l i t d i e r r o r e , l a p r o b a b i l i t d e l l ' e v e n t o c o r r i s p o n d e n t e

a l l a t r a s m i s s i o n e e r r a t a d i u n b i t q u a l s i a s i :

p E = p 1 R ; 0 T + p 0 R ; 1 T = p 1 R j 0 T p 0 T + p 0 R j 1 T p 1 T

d o v e s i r i c o n o s c o n o i m m e d i a t a m e n t e l e p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e t i p i c h e d e l

c a n a l e . O v v i a m e n t e p e r c a l c o l a r e n u m e r i c a m e n t e l a p r o b a b i l i t d i e r r o r e

n e c e s s a r i o c o n o s c e r e s t a t i s t i c a m e n t e l a s o r g e n t e . S u p p o n e n d o c h e l a s o r g e n t e

e m e t t a i d u e b i t i n m o d o e q u i p r o b a b i l e , a l l o r a l a p r o b a b i l i t d i e r r o r e d i v e n t a :

p E =

p 1 R j 0 T + p 0 R j 1 T

2

U n c a s o m o l t o p a r t i c o l a r e a v v i e n e q u a n d o l e p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e

p e r i d u e b i t s o n o u g u a l i .

p 1 R

j0 T = p 0 R

j1 T = p

Q u e s t o r e n d e s i m m e t r i c a l a p o s s i b i l i t , d a p a r t e d e l c a n a l e , d i e s e g u i r e u n a

t r a s m i s s i o n e e r r a t a . I n q u e s t o c a s o , i l c a n a l e v i e n e c h i a m a t o c a n a l e b i n a r i o

s i m m e t r i c o C B S g u r a 1 1 . 2 . P e r u n C B S l a p r o b a b i l i t d i e r r o r e p a r i a l l a

p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e :

p E = p

P e r m i g l i o r a r e l a q u a l i t d i t r a s m i s s i o n e e r e n d e r e m i n i m a l a p r o b a b i l i t

d i e r r o r e , s o n o p o s s i b i l i d u e s o l u z i o n i :

u t i l i z z a r e u n c a n a l e d i t r a s m i s s i o n e a l t a m e n t e e c i e n t e , c o n d e l l e p r o -

b a b i l i t d i t r a n s i z i o n i m o l t o b a s s e a d i s p e t t o d e l c o s t o d i t u t t o l ' a p -

p a r a t o

u t i l i z z a r e d e l l e t e c n i c h e d i c o d i c a d e l c a n a l e c h e , a g g i u n g e n d o d e i b i t

d i s e r v i z i o a l s e g n a l e d a t r a s m e t t e r e , l o p r o t e g g e d a e v e n t u a l i e r r o r i

n e l l a t r a s m i s s i o n e a d i s p e t t o d e l l a v e l o c i t d i t r a s m i s s i o n e



39/88


40/88

C a p . 1 1 C o d i c a d i c a n a l e P a g . 3 5

r i s p o n d e n t e a d u n a r i c e z i o n e c o r r e t t a ; s i d i m o s t r a c h e :

p R C =

n

X

k = 0

2 n + 1

k

p

k

1 , p

2 n + 1 , k

p R E =

2 n + 1

X

k = n + 1

2 n + 1

k

p

k

1 , p

2 n + 1 , k

I n q u e s t o m o d o , s e p

!0 e n

1 , a l l o r a p R E

p .

1 1 . 3 C o d i c a a c o n t r o l l o d i p a r i t

Q u e s t a u n a d e l l e t e c n i c h e d i c o d i c a p i d i u s e e d a r i l e v a z i o n e d ' e r r o r e .

I l c o d i c a t o r e r a g g r u p p a i b i t d a t r a s m e t t e r e i n p a c c h e t t i d a 2 n , 1 b i t e n e

a g g i u n g e , p e r o g n u n o , u n b i t d i s e r v i z i o , d e t t o b i t d i p a r i t , i n m o d o t a l e c h e

o g n i p a c c h e t t o , d a 2 n b i t , c o n t e n g a u n n u m e r o p a r i d i b i t a d 1 o 0 .

I l d e c o d i c a t o r e , a l l o s t e s s o m o d o , r a g g r u p p a i b i t i n p a c c h e t t i d a 2 n b i t

e c o n t a , p e r o g n u n o d i e s s i , i l n u m e r o d i b i t a d 1 : s e e s s i s o n o i n n u m e r o p a r i ,

s u p p o n e c h e t u t t o i l p a c c h e t t o s i a s t a t o t r a s m e s s o e s a t t a m e n t e e l o m a n d a ,

e l i m i n a n d o i l b i t d i p a r i t , a l l ' u t e n t e ; s e , i n v e c e , i l n u m e r o d i b i t a d 1

d i s p a r i , s u p p o n e c h e t u t t o i l p a c c h e t t o s i a e r r a t o e , n o n p o t e n d o c o r r e g g e r e

l ' e r r o r e , n e c h i e d e l a r i t r a s m i s s i o n e a l c o d i c a t o r e , a t t r a v e r s o u n a a p p o s i t a

l i n e a d i s e r v i z i o .

I n c o r r i s p o n d e n z a d e l d e c o d i c a t o r e p o s s o n o a v v e n i r e 3 e v e n t i : R L q u a n d o

s i r i l e v a t o u n e r r o r e i l n u m e r o d i b i t a d 1 d i s p a r i n e l p a c c h e t t o ; R C

q u a n d o t u t t i i b i t s o n o s t a t i t r a s m e s s i c o r r e t t a m e n t e ; R E q u a n d o i l n u m e r o d i

b i t a d 1 s e m p r e p a r i m a n e l l a s e q u e n z a d i b i t t r a s m e s s a c ' s t a t o c o m u n q u e

q u a l c h e e r r o r e . S i p u d i m o s t r a r e c h e :

p R L =

n

X

k = 1

2 n

2 k , 1

p

2 k , 1

1 , p

2 n , 2 k + 1

p R C = 1 , p

2 n

p R E =

n

X

k = 1

2 n

2 k

p

2 k

1 , p

2 n , 2 k

P o i c h i l d e c o d i c a t o r e , s e r i l e v a u n e r r o r e , c h i e d e l a r i t r a s m i s s i o n e d e l l o

s t e s s o p a c c h e t t o , t e o r i c a m e n t e a n c h e i n n i t e v o l t e , i n c o r r i s p o n d e n z a d e l l ' u -

t e n t e e s i s t o n o d u e s o l i e v e n t i : R C U q u a n d o i b i t i n e n t r a t a s o n o s t a t i t r a -

s m e s s i t u t t i c o r r e t t a m e n t e e R E U q u a n d o i b i t r i c e v u t i s o n o d i v e r s i d a q u e l l i



41/88


42/88


43/88

C a p . 1 2 Q u a n t i z z a z i o n e P a g . 3 8

d i p e n d e d i r e t t a m e n t e d a l s e g n a l e t r a s m e s s o . P u r n o n c o n o s c e n d o i l s e g n a l e

, c o m u n q u e , p o s s i b i l e f o r n i r e u n r i s u l t a t o s t a t i s t i c o s u l l ' e r r o r e d i q u a n t i z -

z a z i o n e s u p p o n e n d o d i c o n s i d e r a r e i l n u m e r o r e a l e s n T

C

= X c o m e u n a

v a r i a b i l e c a s u a l e d i s t r i b u i t a c o n u n a f u n z i o n e d e n s i t d i p r o b a b i l i t f

x

x . S i

p u q u i n d i c a l c o l a r e i l s e g u e n t e r a p p o r t o :

S

N

=

E s

2

n T

c

E s n T

c

, s

q

n T

c

2

=

E X

2

E X , X

q

2

d o v e X

q

r a p p r e s e n t a l a v a r i a b i l e c a s u a l e , d i p e n d e n t e d a X , c h e a s s o c i a a l

c a m p i o n e s n T

c

, i l s u o v a l o r e q u a n t i z z a t o s

q

n T

c

. Q u e s t o r a p p o r t o s e g n a -

l e r u m o r e r a p p r e s e n t l a b o n t d e l l ' o p e r a z i o n e d i q u a n t i z z a z i o n e : q u a n t o p i

g r a n d e l ' i n d i c e , t a n t o p i b a s s o l ' e r r o r e i n t r o d o t t o d a l l a q u a n t i z z a z i o n e .

I l p r e c e d e n t e r a p p o r t o p o t r e s s e r e c a l c o l a t o c o n l e s e g u e n t i f o r m u l e :

S =

Z

+ 1

, 1

x

2

f

x

x d x

N =

Z

+ 1

, 1

x , x

q

2

f

x

x d x

P e r c a l c o l a r e q u e s t e d u e q u a n t i t n e c e s s a r i o , p e r , d e s c r i v e r e s t a t i s t i c a m e n -

t e i l s e g n a l e d a t r a s m e t t e r e m e d i a n t e l a s u a f u n z i o n e d e n s i t d i p r o b a b i l i t .

N e l c a s o i n c u i i l s e g n a l e s t f o s s e a s s i m i l a b i l e a d u n a v a r i a b i l e c a s u a -

l e u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i t a n e l l ' i n t e r v a l l o , a ; + a e c h e l a q u a n t i z z a z i o n e

f o s s e u n i f o r m e n e l l o s t e s s o i n t e r v a l l o , s i p u d i m o s t r a r e c h e :

S

N

= 2

2 b

c o n b n u m e r o d i b i t u t i l i z z a t i p e r o g n i c a m p i o n e . L o s t e s s o i n d i c e p u e s s e r e

a n c h e d e n i t o i n d e c i b e l :

S

N

j

d B

= 1 0 l o g

1 0

S

N

= 1 0 l o g

1 0

2

2 b

= 2 0 n l o g

1 0

2 6 : 0 2 n d B

P e r o t t i m i z z a r e , c i o m a s s i m i z z a r e , i l r a p p o r t o s e g n a l e r u m o r e d o v u t o

a l l a q u a n t i z z a z i o n e p o s s i b i l e u t i l i z z a r e d e l l e q u a n t i z z a z i o n i n o n u n i f o r m i a

s e c o n d a d e l l a d i s t r i b u z i o n e s t a t i s t i c a d e l s e g n a l e d a t r a s m e t t e r e . i n t u i t i v o

p e n s a r e c h e l a q u a n t i z z a z i o n e d e b b a e s s e r e p i t t a l a d d o v e i l s e g n a l e

a l t a m e n t e p r o b a b i l e , e p i r a d a d o v e i l s e g n a l e p o c o p r o b a b i l e . N e l l a

m a g g i o r p a r t e d e i c a s i , p e r , n o n s i c o n o s c e l a d e n s i t d i p r o b a b i l i t d e l

s e g n a l e e , p e r q u e s t o , d i c i l e o t t i m i z z a r e i l f a t t o r e s e g n a l e r u m o r e .

N e l l a t e l e f o n i a , p e r e s e m p i o , s i u t i l i z z a u n a q u a n t i z z a z i o n e l o g a r i t m i c a m e -

d i a n t e p a r t i c o l a r i a l g o r i t m i d i q u a n t i z z a z i o n e c h e g a r a n t i s c o n o , n o n t a n t o l a

o t t i m i z z a z i o n e d e l r a p p o r t o s e g n a l e r u m o r e , q u a n t o l a u n i f o r m i t n e l l ' e r r o r e

p e r t u t t i i t i m b r i d i v o c e .



44/88

P a g . 3 9

C a p i t o l o 1 3

P r o b l e m i c o n n e s s i a l l a

t r a s m i s s i o n e d i g i t a l e d i s e g n a l i

U n t i p i c o s i s t e m a d i t r a s m i s s i o n e d i g

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