Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 lineari Abbiamo visto che se aggiungo o sottraggo...

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 105-Deviazione standard e punteggi z

vers. 1.1 (22 ottobre 2014)

Germano Rossi1

[email protected]

1Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

2014-2015

G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2014-2015 1 / 26

Introduzione

Per le variabili quantitative usiamo delle unità di misura (anni,numero di errori. . . )I punteggi grezzi (ciò che abbiamo misurato) sono semplici dainterpretare se conosciamo la scala su cui sono misurati (i metri, igradi centigradi e simili)Non sono facili da interpretare se usano scale non conosciute (ades. intervallo 6-36 oppure 30-180)Variabili diverse possono usare unità diverse (età,soddisfazione. . . ) con metriche diverse (età -> 0-n; soddisfazione-> 0-10, . . . ) che possono cambiare da una cultura all’altra (kg olibbre, km o miglia, . . . )


Introduzione

Non sono molto utili neppure per confrontare fra loro variabilidiverse: un 25 in un test di abilità matematica (AM) è migliore opeggiore di un 55 in un test di abilità verbale (AV)?Dipende dalle relative scale:

se AM ha un range 1-30e AV un range 10-60entrambi i punteggi sono abbastanza vicini al valore massimoMa uno è “migliore” dell’altro?


Introduzione

Nella vita reale, le unità di misura sono già un’enormesemplificazione della nostra vitaConfrontare variabili diverse fra loro non è possibile se nonusando la stessa scala di misura e lo stesso metroÈ come decidere se 3 banane sono di più di 3 aranceSono cose diverse e non possiamo confrontarleA meno di non trasformarle in una stessa unità di misura


Confrontare variabili

Ad esempio“3 banane pesano di più di 3 arance?”“In 3 banane ci sono più vitamine che in 3 arance?”“3 banane occupano più spazio di 3 arance?”“ci sono più frutti di tipo ’banane’ o di tipo ’arance’?”

Ma in statistica vorremmo avere un’unica un’unità di misura che valgaper misurare qualsiasi variabileQuale potrebbe essere questa unità di misura?


Distanze dalla media

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L’unità di misura parte da 0 e va fino a 10. Se sottraiamo 5 a tutti i punteggiotteniamo:

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

L’unità di misura parte da -5 e va fino a +5

Non cambia nulla, abbiamo trasformato lo zero assoluto in uno zero relativo.La nuova unità di misura è la deviazione dalla media (x−M ); in termini piùprecisi è “quante unità di misura di questa variabile, ogni punteggio distadalla media della variabile”.


Deviazione standard

Non basta modificare la metrica ed esprimere tutto in base a“quanti scarti ci sono da qui alla media”perché ogni variabile ha una sua estensione e una sua unità dimisura specificaAnche se diciamo che “X dista 2 dalla sua media” e “Y dista 3dalla sua media”, se X misura i chilometri e Y il peso. . . . nonpossiamo fare confronti.Ma la deviazione standard è la radice quadrata della varianza

ds =√var =

√∑(Xi −X)2

N

e se esprimiamo gli scarti in termini di distanza. . . .


Trasformazioni lineari

Abbiamo visto che se aggiungo o sottraggo una costante ad unadistribuzione, la media subisce la stessa trasformazione

X =∑

X ⇒∑

(X + k) = X + k

per cui se io tolgo ad AM e AV la loro media, trasformo le due variabili inmodo che abbiano entrambe M=0∑

(X −X) = X −X = 0

Ho semplicemente spostato le misure in modo che la media di entrambefosse 0.


Trasformazioni lineari

Adesso hanno la stessa media (zero) ma hanno ancora varianza diversa

Come possiamo rendere i campi di variazione uguali?

Una prima possibilità è di dividere tutto per un determinato valore (ades. le rispettive gamme) e poi moltiplicare tutto per uno stesso valore(ad es. 100)

Un’altra possibilità è quella di usare la deviazione standard come unitàdi misura

In pratica, ci chiediamo “Quante deviazioni standard ci sono fra undeterminato valore X e la media?”


Variabili standardizzate

Punti z

“Quante deviazioni standard ci sono fra un determinato valore X ela media?”La risposta implica utilizzare la deviazione standard (σ) comenuova unità di misuraGli scarti dalla media (X −X) vengono divisi per la dev. st.:

zx =X −Xσ

Il punteggio trasformato in “numero di scarti dalla media” sichiama punto z o punteggio z



Punti z

Il punto z è una misura standard

La media dei punti z è 0 (z = 0), visto che un qualunque punteggiocorrispondente alla media sarebbe a 0 scarti dalla media

La somma dei punti z è 0 (∑

z = 0), perché i punti z sono scartidalla media trasformati in modo uniforme e la somma degli scartiè 0La deviazione standard dei punti z è 1 (σz = 1), perché ladeviazione standard è l’unità di misuraValori negativi indicano punteggi inferiori alla mediaValori positivi, punteggi sopra la media



Punti z

Il punto z è una misura standardLa media dei punti z è 0 (z = 0), visto che un qualunque punteggiocorrispondente alla media sarebbe a 0 scarti dalla media





Punti z



z = 0), perché i punti z sono scartidalla media trasformati in modo uniforme e la somma degli scartiè 0

La deviazione standard dei punti z è 1 (σz = 1), perché ladeviazione standard è l’unità di misuraValori negativi indicano punteggi inferiori alla mediaValori positivi, punteggi sopra la media



Punti z



z = 0), perché i punti z sono scartidalla media trasformati in modo uniforme e la somma degli scartiè 0La deviazione standard dei punti z è 1 (σz = 1), perché ladeviazione standard è l’unità di misura

Valori negativi indicano punteggi inferiori alla mediaValori positivi, punteggi sopra la media



Punti z



z = 0), perché i punti z sono scartidalla media trasformati in modo uniforme e la somma degli scartiè 0La deviazione standard dei punti z è 1 (σz = 1), perché ladeviazione standard è l’unità di misuraValori negativi indicano punteggi inferiori alla media

Valori positivi, punteggi sopra la media



Punti z






Punti Z

La trasformazione in punti z, si dice anche “standardizzazione”La distribuzione dei punti z si dice “distribuzione standardizzata”perché è una delle tante possibili curve di frequenza, ma conmedia e ds conosciute a prioriI punti z permettono di confrontare fra loro punteggi provenienti dadistribuzioni di frequenza diverse

Esempiox=70, M=82, σ=12 (z=-1) x=23, M=35, σ= 6 (z=-2)23 è 2 ds al di sotto della sua media, mentre 70 è solo 1 ds sotto lasua media; se fossero punteggi di profitto, confrontandoli, dovremmodire 23 è un valore “peggiore” rispetto a 70 non perché è più piccoloma perché il suo punto z è inferiore



Esempi d’uso dei punti z

Conoscendo media, varianza e il punto z, si può calcolare il valoredi X (cioè il punto grezzo):

X = X + zxσx

EsempioSe un test di profitto ha M=82 è σ=12, a quale punteggio corrisponde ilpunto z=1.2?

X = 82 + 1.2 ∗ 12 = 96.4



Scale derivate dai punti z

Ci sono scale standardizzate utilizzate comunemente in psicologia(specie per i test) che derivano dai punti zpunteggi T: hanno media 50 e ds=10. Si ottengono conT = 10z + 50

punteggi SAT: hanno media 500 e ds=100. Si ottengono conSAT = 100z + 500

QI o IQ: la maggior parte dei test d’intelligenza (come il WAIS)utilizza una media di 100 e ds=15. Si ottengono conQI = 15z + 100

QI o IQ: il test d’intelligenza Stanford-Binet utilizza una media di100 e ds=16. Si ottengono con QI = 16z + 100



Spss: punti z

Spss permette di calcolare i punti z di una variabile per ogni unitàstatistica, tramite Analizza | Statistiche descrittive| Descrittive... e attivando il flag Salva valoristandardizzati come variabili



Spss: punti z

Viene aggiunta una variabile con il nome corrispondentepreceduto da Z

Questa variabile può essere usata come qualsiasi altra



Tavole della distr. normale

Nella curva normaleogni z corrisponde adun area

L’area può essereproposta in modi diversi

Ad ogni z corrispondeun’area fino a z=−∞

Fra z=−3 e z=−∞ c’èun’area del 99.87%

La tavola del vostro libro (Howitt) propone l’area per determinatipunti z




Alcuni punti z corrispondono adaree particolari

z=-1.64 corrisponde al 5%/95%

z=-1.96 corrisponde al2.5%/97.5%




La curva normale è simmetrica

Quindi ogni metà è il 50%

Allontanandoci da z=0 abbiamoaree simili per z simili

z=-0.10 -> 53.98% (cioè 3.98%sotto)

z=0.10 -> 46.02% (cioè50-46.02=3.98% sopra la media)




z=1.64 corrisponde al 95%/5%

z=1.96 corrisponde al97.5%/2.5%




Altri libri riportano tavole più complete (ad es. Welkowitz, Cohen, Ewen:Tavola A, p. 473 ss.)

La tavola riporta le proporzione diarea sottese alla curva normalecalcolate a partire dalla media(ricordarsi che l’intera area èsimmetrica)

Per ogni punto z viene indicatal’area fra z=0 e il punto z stesso(area in grigio)

La proporzione di area è indicatacome percentuale (34,13) condue decimali




La prima colonna indica il primo decimale del punto z, ogni colonnasuccessiva indica il secondo decimale

All’incrocio fra una riga (ad es. 0,3) e una colonna (0,05) troviamo l’areacorrispondente (ad es. 0,35)

Es. l’area fra z=0,35 e 0 è pari a 13,68




Qual è la % di soggetti con un punteggio inferiore o uguale a 120 (M=100,s=20)?

calcolo il punto z[(120-100)/20=1]

tavole della normale; cerco la rigacorrispondente a z=1.0, avanzofino alla colonna 0 e leggo l’areacorrispondente [34,13]

questa è l’area fra la z=0 e z=|1|;mi interessa anche la metàinferiore, sommo 50,00 [50,00 +34.13 = 84.13%]

oppure Howitt; cerco 1.00, trovo15.87%, ma è quella superiore,quindi 100-15.87=84.13%




Qual è la % di soggetti con un punteggio inferiore a 80 (M=100, s=20)?

calcolo il punto z [(80-100)/20=-1]

negativo perché sotto la media

tavole della normale; cerco la rigacorrispondente a z 1.0, avanzofino alla colonna 0 e leggo l’areacorrispondente [34,13]

poiché questa è l’area fra la z=0e z=|1| e mi interessa l’areainferiore, faccio il complemento[50,00 - 34,13 = 15.87%]

oppure Howitt; cerco -1.00, trovo84.13%, ma è quella superiore,quindi 100-84.13=15.87%




Qual è la % di soggetti con punteggio compreso fra 80 e 120?

calcolo i punti z [-1 e +1]

tavole della normale; cerco la rigacorrispondete al punto z 1.0,avanzo fino alla colonna 0 e leggol’area corrispondente [34,13]

poiché questa è l’area fra la z=0e z=|1| ed entrambe sono uguali,sommo l’area 2 volte [34,13 +34,13 = 68.26%]

oppure Howitt; cerco 1.00, trovo34.13%, raddoppio, quindi 34,13+ 34,13 = 68.26%




A quale punto z corrisponde l’area con il 10% di punteggi superiori?

poiché le tavole indicano l’areafra z=0 e z=x, devo trovare il restodi 10,00 [50,00-10,00=40,00]

cerco dentro le tavole unaproporzione che si avvicini a40,00. . . corrisponde a z=1.28

i punteggi il cui z è >= di 1.28,rientrano nel 10% superiore

oppure Howitt; cerco un’areavicina al 10% sul lato positivo;trovo 9.68% -> z=1.30


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