Psicometria 2 - Psicologia - Lezioni Cavallero

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LEZIONE 1

ANALISI DELLA VARIANZA: test parametrico che serve per analizzare dei dati raccolti in

esperimenti e che va alla ricerca di differenze tra condizioni, cio tra pi campioni.

Ci sono 3 grossi settori dellanalisi dei dati: il primo va alla ricerca di condizioni, il secondo di correlazioni1, il terzo va alla ricerca di differenze fra distribuzioni. Si analizzer la varianza

in disegni sperimentali semplici2; nella seconda parte del modulo si vedr lapplicazione ai disegni fattoriali complessi3, oltre allanalisi dellinterazione. Esame scritto: 4/5 domande a scelta multipla su questioni generali di metodologia (es.

mediana, moda), un esercizio con situazione sperimentale e risultati, ai cui dati si deve applicare lanalisi della varianza oltre a rispondere ad una serie di domande.

VARIABILE: caratteristica di oggetti/persone che pu assumere diversi valori. Numero

minimo di valori: due, se ne assume solo uno una costante. La distinzione fondamentale

fra variabile intervenente VI e variabile dipendente VD: gli esperimenti in psicologia servono a

vedere come determinati fattori (VI) influenzano il comportamento di soggetti (VD), cercando

di eliminare il pi possibile leffetto di altri fattori (variabili di disturbo o intervenienti). Per cercare di eliminare leffetto di queste ultime si usano, nella costruzione di esperimenti, 4 metodi in ordine gerarchico (dal pi semplice al pi complesso):

1. Casualizzazione: si cerca di far ricadere in maniera casuale leffetto di una variabile di

disturbo sui livelli della nostra VI, ad es. attraverso i metodi di campionamento casuale,

cos non ci sono solo individui di un tipo (es. maschi) in un gruppo e solo individui di un

altro tipo(es. femmine) nellaltro gruppo.

2. Fissazione: il disegno sperimentale viene costruito sotto un unico livello della variabile di

disturbo che cerchiamo di eliminare, es. se la variabile genere pu influenzare la

prestazione dei soggetti, si pu decidere di fissare la variabile a un solo livello, testando

quindi o solo maschi o solo femmine anche se le conclusioni tratte dai risultati sono

limitate solo a tale livello.

3. Bilanciamento: i (due) gruppi da confrontare sono costituiti da un numero di soggetti che

presentano la variabile di disturbo e lo stesso numero senza tale variabile, es. met maschi

e met femmine in una condizione e met maschi e met femmine nellaltra condizione.

4. Fattorizzazione: la variabile di disturbo diventa una VI: una volta bilanciata la variabile

genere nei due gruppi da confrontare, pu essere conveniente far entrare nel nostro

disegno sperimentale la variabile interveniente come VI presentando quindi un disegno

con due o pi VI. Questo pu fornirmi pi informazioni, ma devo anche considerare che se

mi trovo con unaltra VI, ci mi rende il disegno ancora pi complesso e di difficile gestione!

1 Come due VI co-variano, es. allaumentare di una aumenta/diminuisce laltra (peso altezza). 2 Cio a una sola VI a due o pi livelli (condizioni) es. sonnifero, placebo e gruppo di controllo. 3 Disegni con due o pi VI.



2



VARIABILE DIPENDENTE

Per misurare il comportamento (ovvero la VD) ci sono della scale di misurazione (nominale,

ordinale, intervallo e rapporto) in ordine gerarchico:

I. scala nominale: la pi semplice, una forma di classificazione, di etichettamento dei

soggetti;

II. scala ordinale: serie ordinata di etichette (simboli) con intervalli non uguali, es. scala

Lickert nei questionari (pienamente daccordo , daccordo, poco daccordo, disaccordo,

pienamente disaccordo);

III. scala a intervallo: con simboli ordinati in ordine di grandezza, con intervalli omogenei,

con la stessa distanza;

IV. scala a rapporto: con uno 0 assoluto = assenza completa di quella determinata

caratteristica (tempi di reazione e alcuni valori di frequenza/ampiezza dei potenziali

evocati).

Il confine pi importante in questa gerarchia il quello fra le prime e le ultime due4 e i test

statistici sono divisi proprio in base a questo confine: ci sono infatti test parametrici e test non

parametrici.

Per capire la differenza fra i due tipi di test necessario conoscere alcuni concetti:

statistica5: la misura di una determinata caratteristica in un campione;

parametro: la stessa misura ma relativa alla popolazione;

popolazione: linsieme di tutti gli individui che condividono determinate caratteristiche

(es. popolazione italiana, popolazione degli studenti dellUniversit di TS);

campione: un sottogruppo di una popolazione.

Normalmente i disegni sperimentali vengono compiuti su un campione che rappresenta una

determinata popolazione, in quanto le popolazioni hanno unestensione ingovernabile. Quindi quando si vanno a misurare alcuni elementi (es. altezza, profitto) in un campione si ottiene la statistica di tale campione, da cui, attraverso metodi statistici, si pu arrivare ad una stima del

parametro nella popolazione. Logicamente, si pu parlare di misurazione per quanto riguarda il

campione (ad es. raccolgo tutti i dati campionari e ne calcolo una media), ma di stima per la

popolazione, in base a una o pi statistiche calcolate su uno o pi campioni.

I test parametrici svolgono il lavoro di stima sui i parametri della popolazione partendo da

delle statistiche su campioni, e soprattutto devono rispondere alle caratteristiche della

popolazione; i test non parametrici sono liberi dalle assunzioni sulla forma della popolazione

da cui vengono tratti i campioni. Inoltre, i test parametrici possono essere usati solo a partire

dalla scala ad intervallo, quelli non parametrici si possono usare su tutte le scale.

Ecco perch lanalisi della varianza, essendo un test parametrico, pu venire usata

4 Scale di livello inferiore e superiore (in quanto danno maggiori informazioni). 5 Qui: non intesa come disciplina ma come oggetto.



3



soltanto a partire da dati misurati su scala ad intervallo, in cui gli intervalli fra due punti

contigui sono identici.

VARIABILE INDIPENDENTE

Le VI hanno parecchie caratterizzazioni (quantitative, qualitative, discrete.) di cui una fondamentale in quanto specifica i disegni sperimentali:

Variabile a casualizzazione completa (tra i soggetti o between): sotto tutti i livelli

della VI considerata si trovano gruppi di soggetti diversi;

variabile a ripetizione completa (allinterno dei soggetti o within): tutti i soggetti

passano sotto tutti i livelli della VI, cosicch ogni soggetto fornisce una prestazione per

tutti i livelli considerati.

Disegni misti: almeno una delle VI di tipo diverso dalle altre.

NB: le variabili vengono indicate con la lettera maiuscola (A, B, C), i diversi livelli di una variabile vengono indicati con la lettera minuscola (a1, a2, a3)!

Costruire un disegno sperimentale significa rappresentare graficamente le variabili in gioco,

che tipo di variabili sono e quali sono le combinazioni di livelli.

Esempi:

a) Abbiamo un disegno con una variabile A a due livelli, a1 e a2: x11 significa che il

dato relativo al soggetto 1 sotto la condizione 1.

A = genere

a1= maschi n=10

a2=femmine n=10 N=20

Si tratta di un disegno a casualizzazione completa, con due gruppi di soggetti diversi.

Bisogner quindi reclutare n maschi e n femmine6 per ogni livello di variabile (n per a1 e n per a2) 20 persone che mi daranno 20 osservazioni.

b) Se invece il compito si riferisce ai tempi di reazione a degli stimoli da parte della mano

destra e della sinistra, avr:

A = mano

a1= mano destra n=10

a2= mano sinistra n=10

E lo stesso soggetto, risponde agli stimoli con entrambe le mani, passa quindi sotto i due livelli della VI disegno a ripetizione completa. Le persone da reclutare per avere 20

osservazioni sono 107.

Quando abbiamo disegni a ripetizione completa con una sola VI si pu avere una terza

6 n minuscolo indica il numero di soggetti, delle osservazioni sotto ciascun livello o sotto ciascuna combinazione dei livelli di una VI

(nei disegni con due o pi variabili); N maiuscolo indica il numero totale dei soggetti (a*n). 7 NB: da notare la differenza tra persone e osservazioni!



4



condizione: le due mani possono rispondere a stimoli presentati in campo destro, sinistro e in

centro. Avremo quindi 3 livelli inerenti la VI:

A = campo di presentazione

a1= destra

a2= sinistra

a3= centro n= 10

N= 30 osservazioni nel nostro disegno sperimentale con una VI.

La situazione si complica un po quando abbiamo due VI: in un disegno a casualizzazione completa, sotto tutti i livelli di ognuna delle due VI si

trovano gruppi di soggetti diversi;

in un disegno a ripetizione completa, tutti i soggetti passeranno sotto tutte le combinazioni

dei livelli delle due VI;

in un disegno misto abbiamo una VI a casualizzazione completa, laltra a ripetizione

completa.

Esempi:

1. Disegno a casualizzazione completa, con 4 gruppi di n soggetti diversi (n=10):

A= genere B=colore dei capelli

a1= maschi b1= bruni

a2= femmine b2= biondi

x111= il primo 1 si riferisce al livello di a, il secondo al livello di b, il terzo al primo soggetto; x12n= il valore del soggetto n sotto a1 e sotto b2 xabn

In questo caso avr N= 40 osservazioni a*b*n soggetti N =2*2*10 = 40 osservazioni,

corrispondenti a 40 soggetti, ognuno dei quali ci d una sola prestazione8.

2. Disegno con due variabili a ripetizione completa:

A= campo di presentazione stimoli B= mano di risposta

a1= destro b1= destra

a2= sinistro b2= sinistra

Non abbiamo pi gruppi diversi ma sotto sotto tutte le combinazioni (a1b1, a1b2, a2b1, a2b2) passano tutti i soggetti (x111, x121, x211, x221) ciascun soggetto mi d quattro valori che sono relativi alla prestazione9. Anche in questo caso N = a*b*n = 40 osservazioni. Il

numero di persone da reclutare fisicamente corrisponde solo a 10, ognuna che ci d 4

osservazioni.

c) L ultima complicazione riguarda il disegno misto. Per vedere se si risponde pi

velocemente con la mano destra o la sinistra e se questo vero per i maschi o per le

femmine, far un disegno sperimentale in cui una VI (mano, A) a casualizzazione

completa, laltra a ripetizione completa (genere, B).

8 Cio: 10 maschi biondi, 10 maschi bruni, 10 femmine bionde, 10 femmine brune. 9 Cio: mano destra in campo destro, mano destra in campo sinistro, mano sinistra in campo destro, mano sinistra in campo sinistro.



5



A= genere B=mano di risposta

a1= maschi b1= destra

a2= femmine b2= sinistra

Ogni maschio mi dar due risposte (una con la mano destra, una con la sinistra); lo stesso per

le femmine. NB: Nel disegno misto le variabili entrano nel disegno sperimentale seguendo una

specifica regola: prima entrano le variabili a casualizzazione completa, poi quelle a ripetizione

completa.

Per N = abn = 40, cambia il numero di persone da reclutare, che saranno 10 femmine e 10

maschi, ognuno dei quali ci d due prestazioni.

La situazione si complica ulteriormente quando abbiamo pi VI: A,B,C,D con due o pi livelli a1b1c1d1, a1b1c1d2..

A= genere (a1: maschio, a2: femmina)

B= mano (b1: destra, b2: sinistra)

C=campo di presentazione (destra/centro/sinistra)

D= colore degli stimoli (rosso/verde)

Interessante nei disegni complessi con pi di una variabile fattoriale (VI) che danno pi

informazioni rispetto ai disegni con una sola variabile. Le informazioni che riguardano gli effetti

delle singole VI sul comportamento sono i cosiddetti effetti principali (Main Effects), da cui

posso calcolare leffetto medio di una determinata VI sulla VD, indipendentemente dai valori delle altre VI. Quindi: posso trovare leffetto di A, indipendente da B, da C e da D, sul comportamento del soggetto. In questo caso confronto quindi la media delle medie sotto il

livello a1 e la media delle medie per a2. Metto tutto assieme e quello che guardo solamente

se in quellesperimento maschi e femmine si sono comportati in maniera diversa indipendentemente dalle altre VI- nel nostro caso, se nei tempi di reazione sono stati pi veloci

i maschi o le femmine in generale. Poi trovo leffetto della VI B, indipendentemente da A, da C e da D, sapendo cos se la mano destra (indipendentemente dagli altri stimoli: maschio o

femmina, campo di presentazione, colore stimoli) pi veloce della sinistra; quindi riesco ad

avere info su C indipendentemente da A,B e C, ovvero se c una differenza di velocit fra stimoli presentati in campo destro/centrale/sinistro (indipendentemente dal fatto che chi

risponde sia maschio o femmina, che risponda con la mano destra o sinistra, che lo stimolo sia

rosso o verde). Infine riesco a sapere qualcosa su D, se agli stimoli rossi si risponde pi

velocemente rispetto agli stimoli verdi, indipendentemente dal fatto che chi risponde sia

maschio o femmina, che risponda con la mano destra o sinistra, che gli stimoli siano presentati

sinistra/centro/destra.

Il vantaggio di un disegno complesso poi la possibilit di analizzare le interazioni, cio gli

effetti combinati delle VI. Le interazioni possono essere di primo ordine: AB, AC, AD, BC, BD

e CD, cio fra due variabili soltanto. Se ottengo un risultato significativo da AB, vuol dire che la

variabile A ha un effetto sugli effetti della variabile B = la differenza fra le risposte con la mano

destra e quelle con la mano sinistra significativamente diversa per i maschi e per le femmine,

ad es. i maschi sono pi veloci quando rispondono con la mano sinistra rispetto alla destra e le

femmine sono pi veloci quando rispondono con la mano destra rispetto alla sinistra.

Linterazione AC dice se il genere influenza le differenze fra i tre campi di presentazione; AD se il genere influenza la risposta a stimoli rossi o verdi; BC se la differenza fra i tre campi di



6



presentazione dipende dalla mano di risposta, ad es. se rispondo con la mano destra o con

quella sinistra avr tempi di risposta diversa per gli stimoli presentati a destra, sinistra o al

centro.

Ci sono poi le interazioni di secondo ordine, fra tre variabili: ABC, ABD e BCD. Se mi risulta

significativa una di queste vuol dire che linterazione fra due variabili ulteriormente modificata dai livelli dellaltra variabile. Ad esempio, se significativa risulta ABC, vuol dire che la differenza fra i tre campi (B), differenziata dal fatto di rispondere con la mano destra o con

quella sinistra (BC), a sua volta influenzata dallessere maschio o femmina (ABC). Quindi linterazione fra B e C significativamente diversa sotto a1 (maschi) o sotto a2 (femmine). Linterazione di terzo ordine riguarda linterazione fra le quattro VI: linterazione fra C e D modificata dai livelli di B, a sua volta modificata dai valori di A.

Ecco perch meglio evitare la fattorizzazione in maniera indiscriminata: pi VI inserisco in un

disegno sperimentale, vero che mi d pi informazioni, ma anche vero che diventa sempre

pi complicato riuscire a interpretare le interazioni fra 4 o 5 variabili e il loro effetto sul

comportamento!

NB: i disegni di questo modulo saranno con 1 o con 2 VI a 2 o pi livelli. Se ci sono pi livelli, lanalisi della varianza ci dice se c almeno una coppia di livelli che differisce in modo significativo senza dirci quali sono e quali non lo sono in quanto si tratta del primo passo per unanalisi. Bisogner quindi ridurre la situazione a un confronto a coppie: o un confronto semplice fra livelli, o un confronto fra combinazioni di livelli ad ogni modo, sempre confronti fra due cose alla volta!

LEZIONE 2

Simbolo di sommatoria di una variabile, con sopra altri indici e sotto:

n

Xi i=1

i = indice della sommatoria, limite inferiore della sommatoria;

n = numeri da sommare, ovvero limite superiore della sommatoria; in pratica significa che bisogna sommare tutti gli elementi da 1 a n (da X1 a Xn); se gli

indici cambiano si prendono solo quegli elementi indicati dagli estremi della serie.

Xi = insieme degli elementi da sommare10.

Sommatoria delle sommatorie : dice di sommare tutti gli elementi della serie. NB: Nel caso di () bisogna prima svolgere la sommatoria allinterno della parentesi, poi svolgere quella fuori della parentesi sommando i risultati delle sommatorie nella parentesi.

10

NB: n

= n in questi appunti.



7



Noi incontreremo:

a b sommatoria in base a, cio a1+a2+a3+a4; sommatoria in base b, cio b1+b2+b3+b4 n sommatoria in base n, cio, in una tavola a doppia entrata, n si trova allincrocio fra i livelli di due variabili A e B, ed la somma di due soggetti, di due n.

a n b n sommatoria dei totali delle righe; sommatoria dei totali delle colonne

(n11+n12)

b1 b2 b3 Totali

delle

righe

a1 n11 n12 n13

a2 n12 n22 n32

Totali

delle

colonne

VARIANZA = la media degli scarti dalla media al quadrato, ossia si sommano tutti gli scarti

dalla media, elevati poi al quadrato per dividere il tutto al numero di elementi sommati:

S = (xi - M) n

(xi - M) = sommatoria dei quadrati, base delle formule computazionali dellanalisi della varianza. Questo perch lanalisi della varianza va a scomporre la variabilit totale del disegno sperimentale in sotto-componenti. Sulla base di tale scomposizione riesce a

determinare se la variabilit dovuta alla manipolazione della VI11

significativamente maggiore a quella che la variabilit casuale12- cio se leffetto della VI superiore alleffetto casuale. Quello che si ottiene alla fine dellanalisi della varianza si chiama F (o F di Fischer) che il rapporto tra la variabilit dovuta al trattamento13 e il cosiddetto errore sperimentale, cio la

variabilit casuale dovuta al fatto che ci sono soggetti diversi. La stima della variabilit dovuta

al trattamento non mai pura ma al suo interno contiene anche lerrore sperimentale, perci il numeratore composto dalla variabilit dovuta alla VI pi errore sperimentale; al

denominatore invece c, idealmente, solo lerrore sperimentale:

F = variabilit dovuta ai vari livelli della VI + errore sperimentale = varianza fra i campioni__

errore sperimentale varianza allinterno dei campioni

11

Cio dovuta alla VI considerata. 12

Dovuta cio al fatto che ci sono soggetti diversi che non si comportano tutti allo stesso modo quindi c una variabilit interna. 13

Cio alla VI manipolata, allassegnazione dei diversi livelli ai soggetti.



8



Da questo deriva che, se non avessimo alcun effetto della nostra VI, ci ritroveremmo con un

rapporto di:

errore sperimentale F = 1

errore sperimentale

Quando vi leffetto della VI, allora, nella situazione ideale, il valore di F > 1. In realt ci sono dei casi in cui F < 1 perch le due stime dellerrore sperimentale (al numeratore e al denominatore) vengono fatte con due metodi diversi e quindi non danno sempre lo stesso

valore. Quando F 1 bisogna determinare se leffetto della VI, del trattamento, significativo o dovuto al caso.

VERIFICA DELLE IPOTESI

Se prendiamo due gruppi di soggetti e una VI a due livelli, misuriamo la caratteristica della VI,

calcoliamo le due medie14 e le confrontiamo, sar pressoch impossibile che le due medie siano

identiche e ci vuole un metodo per poter determinare se tale differenza trovata casuale o

significativa. La verifica delle ipotesi comunque basata sul fatto che la verit assoluta non

esiste e che riusciamo a prendere solo delle decisioni in termini probabilistici, proprio perch

quando prendiamo una decisione e diciamo che leffetto della variabile importante (significativo), c sempre un margine di errore dato che la verifica delle ipotesi si basa sulla scelta fra due ipotesi: lipotesi nulla (H0) dice che non esiste alcun effetto della/e VI considerata/e sulla VD15. Secondo lipotesi alternativa (H1), invece, esiste un effetto della VI, tanto che ad es. la media della prima condizione diversa da quella della seconda

condizione, quindi la differenza tra le due medie diversa da 016.

Ipotesi bidirezionale (a due code) vs ipotesi monodirezionale (a una coda), pi forte

perch d gi la direzione della differenza, quindi con maggiori probabilit di essere verificata.

Quello che alla fine bisogna esser in grado di fare applicando test statistici, quello di scegliere

fra le due ipotesi, H0 e H1. La procedura della verifica delle ipotesi parte dallassunzione che H0 sia vera e quindi si calcola qual la probabilit di trovare il risultato che abbiamo calcolato

sotto lipotesi che H0 sia vera. Il numero che otteniamo alla fine indica la probabilit di ottenere per caso tale risultato sotto lassunzione che H0 sia vera. Se si ripete molte volte lo

14

La media di ognuno dei due gruppi sottoposti ai due livelli della VI. 15

Quindi la media della prima condizione uguale alla media della seconda condizione, o la differenza fra le due medie 0. 16

NB: nel caso di due livelli di una variabile, secondo H1 la media della condizione 1 sar, in maniera pi specifica, > o < alla media della condizione 2. Unipotesi monodirezionale stabilisce che media della condizione 1 > media della condizione 2, oppure - ipotesi inversa - media della condizione 1< media della condizione 2 e quindi la differenza fra le due medie < 0.

211

211

:

:

H

H

211

210

:

:

H

H



9



stesso esperimento, basato ad es. sul confronto fra due medie in un disegno a casualizzazione

completa con una variabile a due livelli, si ottiene una distribuzione normale con il centro di

simmetria in 0, valore previsto da H0, e un andamento normale, con risultati che vanno sia a

sinistra (dove la media della prima condizione superiore alla media della seconda

condizione), che a destra (dove la media della prima condizione superiore alla media della

seconda condizione):

Quando con tale verifica devo scegliere unipotesi, devo calcolare la probabilit associata a un determinato risultato e poi vedere qual la sua probabilit in tale distribuzione; se la

probabilit associata a tale risultato bassa17, allora rifiuto H0 perch non vero che il risultato uno di quelli che appartengono alla distribuzione dellH0 - e accetto H1, appartenente ad unaltra distribuzione, ad es. spostata verso destra:

Se la probabilit di ottenere per caso il risultato che si ottenuto uguale o inferiore ad , allora accetto H1, dicendo che c linfluenza della VI, con una probabilit di commettere un errore pari o inferiore al livello di significativit , conferito per convenzione al 5%. Quindi posso accettare H1 se la probabilit che il risultato ottenuto si verifichi per caso sotto

lassunzione che H0 sia vera, uguale o inferiore a 0,0518.

Quindi legato allaccettazione di H1. In caso di ipotesi bidirezionale va diviso per due, per distribuire la probabilit su entrambi i rami della distribuzione; 2,5% a destra e 2,5% a

sinistra. Se invece lipotesi monodirezionale, tutta la probabilit viene spostata o a destra o a sinistra a seconda della direzione.

Errori di primo tipo (o errori ): accettare unH1 falsa; Errori di secondo tipo (o errori ): accettare unH0 falsa (o: respingere unH1 vera).

Se viene stabilito convenzionalmente, pu essere calcolato e si basa su una serie di

17 Cio tradotto con , il livello di significativit. 18 Per essere maggiormente sicuri delle conclusioni da trarre, si pu anche scegliere un inferiore, es. 0,001=1% - anche se, restringendo troppo larea in cui possiamo accettare H1, ampliamo al massimo larea in cui accettiamo H0, ecco perch dobbiamo cercare di creare un trade off tra errori ed errori .



10



parametri; alla fine, nel 90% dei casi dei lavori pubblicati, tutti accettano H1, ossia tutti

presentano risultati in cui possono accettarla nessuno presenta dati in cui viene accettata lH0 e i pochissimi che lo fanno devono calcolare . Ad ogni modo, anche per c un valore convenzionale che deve essere raggiunto e non superato, pari al 20%.

Ricapitolando: nellesperimento si calcola la probabilit associata ai risultati dellesperimento e si guarda, sotto lassunzione che H0 sia vero, se la probabilit associata a tali risultati (uguale o inferiore) al livello di significativit - se s, accetto H1. Se invece il valore della probabilit associata ai risultati > a (0,05), allora o calcolo il valore di e se tale valore 0 o < al 20% accetto H0 dicendo che non c alcun effetto della VI considerata, oppure sospendo il giudizio, magari ripensando allesperimento (aumentando il numero dei soggetti, ripensando le ipotesi).

La probabilit associata al nostro risultato va calcolata in base a dei test statistici: per la

varianza, si calcola F e si confronta con dei valori critici sulla tavola19 che d il valore legato alla

probabilit pari al livello di significativit.

NB: Se il valore calcolato maggiore o uguale al valore critico trovato nelle tavole, accetto

H1 perch vuol dire che la probabilit di compiere un errore inferiore (o uguale) al 5%.

Lanalisi della varianza analizza prima di tutto la variabilit generale dei numeri derivanti dalle prestazioni di soggetti in determinate condizioni; poi riesce a tirare fuori leffetto della VI e il cosiddetto errore sperimentale (= variabilit casuale). Facendo un rapporto tra loro, trova

un indice che permette di accettare o meno H1.

Esempio:

Si ha una VI a due livelli; per ogni livello troviamo due medie diverse:

1 e 220 generale del campione totale, come se tutti i soggetti appartenessero allo stesso

gruppo21.

A1 A2

n1

n2

1 2 generale

La variabilit22 di un soggetto quella rispetto alla media generale (variabilit totale); tale

variabilit viene quindi scomposta in due componenti, costituite dalla variabilit del soggetto

rispetto alla media del suo gruppo (variabilit within group) e dalla variabilit tra i gruppi

(variabilit between groups), cio la distanza della media del gruppo di appartenenza

rispetto alla media totale. Queste tre componenti vengono calcolate dallanalisi della varianza

19

La tavola dei valori critici di F. 20

Media del gruppo 1 e media del gruppo 2. 21

Media delle medie. 22 Per variabilit di una risposta comportamentale X (VD) rilevata su n unit statistiche, sintende l'attitudine di tale risposta a

manifestarsi in diversi modi, ossia con diverse modalit che dipendono da diversi fattori, tra cui dalla VI e i suoi livelli,

dagli stessi soggetti, dalla possibile interazione fra livelli di VI e soggetti.



11



per arrivare al rapporto F:

variabilit generale: va stimata;

variabilit between group: variabilit del gruppo rispetto alla media generale, ossia il

numeratore nel rapporto F;

variabilit within group: denominatore nel rapporto F.

F = between

within

La somma della variabilit within group e della variabilit between groups uguale alla

variabilit totale se ci non si verifica vuol dire che sono sbagliati i calcoli.

NB:

N = numero totale di osservazioni (a*n)

n = livelli della variabile soggetti, ovvero: numero di osservazioni che si trova sotto ciascun

livello della variabile o sotto ciascuna combinazione fra i livelli della variabile.

1. Disegni a una variabile A (VI), a due livelli (a1 e a2).

a) In un disegno a casualizzazione completa con n=3 (N=6)

a1 a2

n1 2 6

n2 3 7

n3 1 5

x 6 18

Media 2 6

Variabilit 2 2

In base alla formula: S = (xi - M) n

1. trover la variabilit (rispetto alla media di ogni gruppo) fra i soggetti allinterno

(within) di ciascun gruppo; poich la sommatoria degli scarti dalla media mi d 0, devo

fare unaltra operazione, elevare cio al quadrato gli scarti dalla media23 per trovare la

varianza ottenendo quindi:

(2-2) + (3-2) + (1-2) = 2 per a1

(6-6) + (7-6) + (5-6) = 2 per a2

2. La stima della variabilit allinterno dei entrambi i gruppi 2, la loro sommatoria24 4, cio

la nostra stima della variabilit allinterno (within) di entrambi i gruppi.

23 Pi precisamente: la somma degli scarti fra ogni singolo dato e la media di ogni gruppo (within) sommati fra loro. Il tutto

elevato al quadrato in quanto usando semplicemente gli scarti otterremmo 0. 24 Quindi: la sommatoria delle sommatorie, scritta anche .



12



3. Si calcola poi la media generale delle 6 prestazioni date dai 6 soggetti come se non

fossero divisi in due gruppi ma facessero parte di un unico gruppo (dato che sono tutti

soggetti diversi):

2 + 6 = 4

2

4. Si pu quindi calcolare la variabilit totale - ovvero la variabilit di ogni soggetto rispetto

alla media generale25:

(2-4) + (3-4) + (1-4) = 14 per a1

(6-4) + (7-4) + (5-4) = 14 per a2

La loro somma - relativa al totale 28, cio la variabilit nellintero disegno sperimentale.

5. Ci rimane la variabilit dovuta allappartenenza del gruppo26:

media del dato singolo: 2 in a1, 6 in a2;

media allinterno del gruppo: 4 in entrambi i gruppi; da calcolare quindi la differenza della media di ciascun soggetto con la media del suo gruppo27:

(2-4) + (2-4) + (2-4) = 12

(6-4) + (6-4) + (6-4) = 12

trovando in questo modo la variabilit between = 2428

NB: allaltezza di 15,00 da segnare la media generale!

25 Pi precisamente: la somma degli scarti tra ogni dato e la media generale, del gruppo come fosse un tuttuno. Il tutto sempre

elevato al quadrato. 26 Il tratto che va dalla media del gruppo alla media generale. Pi precisamente: la somma degli scarti fra la media dei dati di ogni

gruppo e la media generale. 27 Sempre elevati al quadrato! 28 Cio quanto mediamente sono distanti le medie dei diversi gruppi dalla media generale



13



Il tutto riportabile nella tabella dellANOVA (=ANalys Of VAriance):

Fonti di

Variabilit

(SV)29

Somma

dei

quadrati

(SS)30

Gradi di

libert

(df)31

Media dei

quadrati

(MS)32

Rapporto

F (tra

varianze)

Tra gruppi

(variabile

A)33

SS(A)

12 (a1)

12 (a2)

df(A):

a-1

2 - 134= 1

MS(A):

SS(A)

a-1

24/1=24

MS(A)

MS(S/A)

24/1

Entro

gruppi

(variabile

relativa ad

n,

soggetti)35

SS(S/A)

2 (a1)

2 (a2)

df(S/A):

a(n36 1) 2 *(3 1) = 4

MS(S/A):

SS(S/A)

a(n-1)

4/4=1

Totale SS(y)

24+4 = 28

an-137

5

NB: non posso ancora fare F = 24/ 4 in quanto non sto ancora lavorando sulle varianze ma

sulla parte della varianza che sta al di sopra della divisione di n: finora ho infatti ottenuto la

somma dei quadrati.

Nella tavola dellanalisi della varianza trovo una prima colonna indicante le fonti della variabilit allinterno del disegno sperimentale. Ci sono fonti di variabilit per ciascuna variabile che in gioco, e nel nostro caso la variabilit provocata da:

o A, cio la VI (due livelli diversi, a1 e a2);

o dai soggetti n, indicati con S, (che corrispondono al numero di osservazioni sotto ogni

livello di A: n1, n2, n3);

o alla fine unultima fonte (riassuntiva) ci dice qual la variabilit totale.

29 Source Variance, ovvero le variabili in gioco nel mio disegno sperimentale (VI, che non entra in gioco direttamente ma che ci viene

fornita dai soggetti e variabile soggetti) + una fonte totale che ci d la stima della variabilit totale ai fini di controllo. 30 Sums Square. E la parte della formula per arrivare alla varianza prima di dividere per il numero dei dati della nostra distribuzione. 31 Degrees of Freedom = il numero minimo di dati sufficienti a valutare la quantit d'informazione contenuta nella statistica. Infatti,

quando un dato non indipendente (v. poi), l'informazione che esso fornisce gi contenuta implicitamente negli altri.

possibile quindi calcolare le statistiche utilizzando soltanto il numero di osservazioni indipendenti. 32 Mean squares, ovvero le stime della varianza dovute alle varie fonti della variabilit media della varianza fra i gruppi e entro i

gruppi. 33 Fonte di A che la mia VI al numeratore. 34 Numero di livelli, di osservazioni (di gruppi) 1. 35 Fonte di S/A (leggi: s dentro a); rappresenta il numero di soggetti ma anche il numero di prestazioni sotto ogni livello della

VI. Si trova al denominatore. 36 A*n = numero di unit sperimentali totali (6, 3 in ognuno dei due gruppi). 37 Ossia: il prodotto dei livelli delle variabili in gioco meno uno; oppure la somma delle variabili precedenti: (a-1)+a(n-1).



14



I soggetti in un disegno a casualizzazione completa sono nidificati nei livelli di A, cio sono diversi in ogni livello di A e ci si indica con: S/A, capendo quindi che la variabile A a

casualizzazione completa.

La colonna successiva quella dei gradi di libert: per A n-1, per S/A a(n-1) e per la

fonte totale an - 1.

I gradi di libert cambiano dunque a seconda delle fonti:

nelle variabili in isolamento, ovvero in qualsiasi effetto principale, i gradi di libert sono

uguali al numero dei livelli della variabile meno 1: a 1; essendo due i livelli di A, abbiamo

1 grado di libert;

per quanto riguarda la fonte totale i gradi di libert sono dati dal numero totale delle

osservazioni totali meno 138:

an 1. Per la variabile soggetti nidificata nei livelli di A le cose sono leggermente diverse. Il calcolo

dei df deriva infatti da come scritta la formula nella colonna delle fonti: avendo S/A, tutto

quello che sta a destra della barra (A), compare nella formula con i livelli -; tutto ci che

sta a sinistra della barra compare con i gradi di libert che corrispondono a: numero dei

livelli (in questo caso: n) meno 1. In questo caso avremo che da S/A la formula data da:

a (n-1) = 2(3-1).

Somme dei quadrati

Somme dei quadrati di A: calcolate prima, si tratta delle sommatorie delle differenze fra il

singolo dato e le varie medie, elevate al quadrato e sommate fra loro. Si tratta di:

la somma dei quadrati di A:

(2-4) + (2-4) + (2-4) = 12 (per a1)

(6-4) + (6-4) + (6-4) = 12 (per a2);

la somma dei quadrati di S/A

(2-2) + (3-2) + (1-2) = 2 per a1

(6-6) + (7-6) + (5-6) = 2 per a2;

la somma dei quadrati totale

24+4= 28

NB: la somma dei quadrati della fonte totale deve essere uguale alla sommatoria dei quadrati

delle altre fonti (di A e di S/A). Inoltre, i gradi di libert della fonte totale non sono altro che la

somma dei gradi di libert delle altre fonti: n 1 + a (n 1) = 1 + 4 = 5.

A questo punto abbiamo la formula superiore di quella della varianza, la cosiddetta somma dei

quadrati. Per ottenere la stima della varianza dovuta alle singole fonti dividiamo la somma dei

quadrati di A per i gradi di libert di A; la somma dei quadrati di S/A per i relativi gradi di

libert ottenendo cos le medie dei quadrati (Mean Squares)

38 Date cio dal prodotto delle variabili del disegno sperimentale.



15



somma dei quadrati di A39 e somma dei quadrati di S/A40

gradi di libert di A gradi di libert di S/A

Abbiamo quindi due stime per la varianza: una dovuta alla VI (la variabile A), laltra dovuta (idealmente) alla variabilit dei soggetti allinterno di A. Facendo il rapporto fra i due con al numeratore la fonte fra i campioni e al denominatore la fonte allinterno dei campioni, avr:

F =_Mean Square di A F = 24 = 24

Mean Square di S/A 1

F con 1 grado di libert al numeratore e 4 al denominatore uguale a 24. Vado quindi a vedere

le tavole e allincrocio fra 1 e 4 trova il valore critico 7, 71. Faccio il confronto con F calcolato: 24>7,71, quindi accetto H1.

LEZIONE 3

b) Nel caso in cui il disegno con una VI a due livelli sia a ripetizione completa i soggetti

compaiono sotto tutti i livelli della VI ed entrano quindi in interazione con la stessa

variabile.

Fonti

della

Variabilit

(SV)

Somma

dei

quadrati

(SS)

Gradi di

libert

(df)

Media dei

quadrati

(MS)

Rapporto

F (tra

varianze)

Variabile A SS(A)

(a1),(a2)

df(A):

a-1

di A:

SS(a)

a-1

MS A

MS AS

Variabile

relativa ad

n,

(Soggetti)

SS(S)

(a1),(a2)

df(S):

n-1

di S:

SS(S)

n-1

Interazione

fra A e

soggetti

SS(AS) df(AS)

(a-1)(n-

1)

di SA:

SS(AS)

(a-1)(n-

1)

Fonte

totale

SS(A)+

SS(S) +

+ SS(AS)

(a-1)+(n-

1)+

+[ (a-

1)(n-1)]

Oppure:

an-1

39 Oppure: mean square di A MSA. 40 Oppure: mean square di s dentro A MS S/A.



16



Le fonti della variabilit sono quindi:

la nostra VI: A;

la variabile totale;

la variabile soggetti;

linterazione fra VI e variabile soggetti - non pi nidificata in A, bens entra in iterazione con

A;

I gradi di libert:

quelli di A corrispondono al numero di livelli di A meno uno: a 1;

quelli di s, come variabile in isolamento, diventa un effetto principale con i gradi di libert

che sono dati dal numero dei livelli dei soggetti meno uno: n 1;

lunico elemento nuovo linterazione fra soggetti e VI che si comporta come tutte le

interazioni fra VI: i gradi di libert corrispondono al prodotto dei gradi di libert delle fonti

che compongono tale interazione: (a-1)(n-1);

I gradi di libert della fonte totale il numero di osservazioni meno uno: an 1; deve

essere uguale alla somma dei gradi di libert delle due fonti e dellinterazione.

Somma dei quadrati:

di A;

dei soggetti;

di AS (soggetti*A) essendo le due variabili in interazione fra loro;

della fonte totale anche in questo caso la somma dei quadrati della fonte totale

uguale alla sommatoria delle somme dei quadrati delle altre fonti.

Stime della varianza: da calcolare dividendo le somme dei quadrati delle singole fonti con i

gradi di libert relativi:

somma dei quadrati di A/gradi di libert di A (mean square di A);

la stima della varianza dei soggetti non viene pi calcolata in quanto serve solo a togliere

variabilit nel nostro disegno sperimentale: nel caso di un disegno a ripetizione completa

siamo in grado di suddividere la varianza in pi componenti rispetto a uno a casualizzazione

completa;

somma dei quadrati di AS/gradi di libert di AS (mean square di AS).

F = MS A

MS SA

Se il valore calcolato uguale o maggiore del valore critico delle tavole, accettiamo H1 la VI ha un effetto sulla VD.

Esempio:

A: 3 livelli (a1, a2, a3)



17



n = 10 (livelli dei soggetti) ognuno dei 10 soggetti svolge 3 prestazioni (a1, a2, a3), quindi

mi d 3 valori.

Calcolo dei gradi di libert: - di A a 1 = 3 1 = 2 - dei soggetti: n 1 = 10 1 = 9 - di AS (denominatore): prodotto dei gradi di libert di A e di S: 2*9=18

- della fonte totale: (3*10) 1 = 29; corrispondente a: 18+2=20+9=29

Quindi:

in un disegno a casualizzazione completa con una variabile si hanno 3 fonti della

variabilit: A, S/A e la fonte totale;

in un disegno a ripetizione completa con una variabile si hanno 4 fonti della

variabilit: A, S, AS e la fonte totale.

2) Disegni a due variabili, A e B, ognuna a due livelli (a1 e a2, b1 e b2)

a) In un disegno a casualizzazione completa con due variabili a due livelli, si avranno

4 gruppi diversi di soggetti per le 4 combinazioni dei livelli delle nostre due variabili (un

gruppo di soggetti: a1b1, un altro gruppo: a1b2; un altro: a2b1; e poi: a2b2)

Fonti

della

Variabilit

(SV)

Somma

dei

quadrati

(SS)

Gradi di

libert

(df)

Media dei

quadrati

(MS)

Rapporto

F (tra

varianze)

Variabile A SS(A)

df(A)

a-1

MS(A)

SS(a)

a-1

MS A

MS S/AB

Variabile B SS(B)

df(B)

b-1

MS(B)

SS(b)

b-1

MS B

MS S/AB

Interazione

fra A e B

(AB)

SS(AB)

df(AB)

(a-1)(b-

1)

MS(AB)

SS(AB)

(a-1)(b-

1)

MS AB

MS S/AB

Variabile

relativa ad

n, soggetti,

S/AB41

SS(S/AB) df(S/AB)

ab(n-1)=

abn-ab

MS(S/AB)

SS(S/AB)

ab(n-1)

Fonte

totale

SS(A) +

SS(B) +

SS(AB) +

SS(S/AB)

(a-1) + (b-

1) +

(abn-ab) +

[(a-1)(n-

1)]

41 Denominatore.



18



Oppure:

abn-1

Essendoci fonti di variabilit per ciascuna variabile che in gioco, avremo:

una fonte per A;

una fonte per B;

essendo le due variabili in interazione fra loro, bisogna anche considerare linterazione AB;

la fonte totale;

i soggetti sono diversi a seconda della combinazione dei livelli di A e di B (ci sono cio 4

gruppi diversi di soggetti): si dice quindi che i soggetti sono nidificati dentro i livelli di B e a

loro volta dentro i livelli di A. La fonte di variabilit soggetti viene indicata come S/AB.

Gradi di libert:

a1, b-1 (per A e B);

la totale: abn1;

dellinterazione AB: prodotto dei gradi di libert delle fonti che compongono linterazione

(a-1)(b-1);

al denominatore: sappiamo che ci che sta a destra compare nella formula con i livelli,

quello che sta a sinistra compare con i gradi di libert. Nel nostro caso: ab(n-1).

Somma dei quadrati:

di A, di B, di AB, di S/AB, della fonte totale.

Anche qui vale la regola che sia i gradi di libert, sia la somma di quadrati della fonte

totale, sono, ognuna per conto suo, uguali alla sommatoria dei gradi di libert di tutte le

altre fonti e alla sommatoria delle somme dei quadrati di tutte le altre fonti.

Dividendo le somme dei quadrati di ciascuna fonte per i relativi gradi di libert otteniamo i

mean square per A, per B e per AB che ci servono per calcolare F.

A questo punto possiamo calcolare i nostri rapporti F: ne avremo uno per A, uno per B, uno per

AB (per linterazione fra le due VI) e, per calcolare F andremo a dividere i vari mean square di A, B e AB al numeratore per i mean square della fonte che contiene i soggetti al denominatore.

MS A__ ; MS B___ ; MS AB__

MS di S/AB MS di S/AB MS di S/AB

Questi tre F avranno come gradi di libert:

al numeratore quelli del relativo numeratore: nel caso di A avr a-1, nel caso di B avr

b-1, nel caso di AB avr (a-1)(b-1);

al denominatore, essendo sempre lo stesso, avr sempre ab(n-1).

I tre F calcolati andranno confrontati con i valori critici delle tavole allincrocio fra gradi di libert del numeratore e gradi di libert del denominatore. Se i valori saranno maggiori o



19



uguali, potremmo accettare H1. In questo caso, se risulter significativo lF di A, sapremo che c un effetto di A indipendentemente da B; se F di B risulta essere significativo sapremo che c anche un effetto di B indipendentemente da A; se pure linterazione risulta significativa, sapremo che c un effetto combinato delle due VI, cio che al variare del livello di una variabile, cambiano le differenze fra i livelli dellaltra.

Esempio:

A = 3 B = 4 n = 5

gradi di libert di A: 3-1=2

gradi di libert di B: 4-1=3

gradi di libert di AB: (3-1)(4-1)=6

di S/AB: 3*4 (5-1)= 48

gradi di libert della fonte totale: 3*4*5 - 1 = 59 (48+2=50+9=59)

F relativo ad A avr quindi 2 gradi di libert al numeratore e 48 al denominatore;

F relativo a B avr 3 gradi di libert al numeratore e 48 al denominatore;

F relativo ad AB avr 6 gradi di libert al numeratore e 48 al denominatore.

Tale coppia di valori servir per trovare il valore critico da confrontare con la relativa F.

b) Se il nostro disegno a due variabili a ripetizione completa, ogni soggetto ci d un

dato per ogni combinazione di livelli delle variabili. Quindi il soggetto nr. 1 (come pure il

soggetto nr.2, il soggetto nr. 3) mi dar un valore per a1b1, uno per a1b2, uno per

a2b1, uno per a2b2.

Fonti della variabilit:

A, B (effetti principali); AB (interazione);

I soggetti - che qui non sono bloccati dentro la singola combinazione della variabile, bens

si muovono da una allaltra combinazione, comparendo quindi a pieno titolo;

i soggetti entrano in interazione con le variabili: avremo quindi SA, SB, SAB;

la fonte totale .

Fonti della

Variabilit

(SV)

Somma

dei

quadrati

(SS)

Gradi di

libert

(df)

Media dei

quadrati

(MS)

Rapporto

F (tra

varianze)

variabile A SS (A)

df (A)

a-1

SS (a)

a-1

MS A

MS SA

Variabile B SS (B) df (B)

b-1

SS (B)

b-1

MS B

MS SB

Variabile

dell Interazione

SS (AB) df (AB)

(a-1)(b-

1)

SS (AB)

(a-1)(b-

MS AB

MS SAB



20



fra A e B

(AB)

1)

variabile

relativa ad

n, soggetti,

S

SS (S) df (S)

n-1

Variabile

SA

(interazione

soggetti e

VI)

SS (SA) df (SA)

(a-1)(n-

1)

SS (SA)

(a-1)(n-

1)

Variabile

SB

SS (SB) df (SB)

(b-1)(n-

1)

SS (SB)

(b-1)(n-

1)

Variabile

SAB

SS (SAB) df (SAB)

(a-1)(b-

1)(n-1)

SS (SAB)

(a-1)(b-

1)(n-1)

Fonte totale SS (A) +

SS (B) +

SS (AB) +

SS (S) +

SS (AS) +

SS (BS) +

SS (ABS)

abn-1

Gradi di libert:

a-1, b-1, n-1 per le fonti principali;

abn-1 per la fonte totale;

prodotti dei gradi di libert che compongono le fonti di interazione per le interazioni: (a-

1)(b-1) per AB, (a-1)(n-1) per SA, (b-1)(n-1) per SB e (a-1)(b-1)(n-1) per SAB.

Anche in questo caso la somma dei gradi di libert uguale ai gradi di libert della fonte

totale; le somme dei quadrati di A, di B, di AB, di AS, di AS(A), di AS(B), di (AS)(AB) mi d la

somma dei quadrati della fonte totale cio la somma dei quadrati di tutte le altre fonti.

Si andr a dividere per i relativi gradi di libert per trovare numeratori e denominatori per tutti

i nostri rapporti F:

mean square di A: somma dei quadrati di A

gradi di libert di A

mean square di B: somma dei quadrati di B



21



gradi di libert di B

mean square di AB: somma dei quadrati di AB

gradi di libert di AB

mean square di SA: somma dei quadrati di SA

gradi di libert di SA

mean square di SB: somma dei quadrati di SB

gradi di libert di SB

mean square di SAB: somma dei quadrati di SAB

gradi di libert di SAB

NB: I soggetti non ci interessano pi.

Non trovandoci come nel disegno a casualizzazione completa con un unico denominatore, bisogna scegliere quello pi appropriato, cio quello che contiene la fonte di variabilit (leffetto o fonte principale) e la fonte (variabile) soggetti e possibilmente niente altro. In questo caso avremo che:

F per A: MS (A)

MS (SA)

F per B: MS (B)

MS (SB)

F per AB: MS (AB)

MS (SAB)

Ci troviamo quindi con tre F con i gradi di libert di A, di B, di AB e nellinterazione con i gradi di libert di SA, SB e di SAB. Le coppie di gradi di libert le useremo per trovare gli F critici da

confrontare con le tavole al fine di accettare o meno F1.

3) In un disegno misto abbiamo due variabili una a casualizzazione completa e una a

ripetizione completa, ad es. maschi e femmine quando, in un compito di tempi di

reazione, rispondono a stimoli su uno schermo con la mano destra e sinistra.

Qui abbiamo:

A (a1 e a2) e B (b1 e b2); A=3, B=4, n=5

NB: In base alle convenzioni, in un disegno misto A la variabile a casualizzazione completa, B

quella a ripetizione completa.

Abbiamo due gruppi di soggetti, ognuno dei quali fornisce due prestazioni. La variabilit

provocata da:

A, B e AB

Soggetti, nidificati nei livelli di A quindi non possono comparire da soli ma sono vincolati

ad A e sono indicabili come S/A.



22



La variabile dei soggetti entra invece in iterazione con laltra variabile B, avremo quindi B*S

/A;

La fonte totale.

Fonti della

Variabilit

(SV)

Somma

dei

quadrati

(ss)

Gradi di

libert

(df)

Media dei

quadrati

(MS)

Rapporto

F (tra

varianze)

Variabile A SS(A)

a-1

SS(A)

a-1

MS(A)

MS(S/A)

Variabile B SS(B)

b-1

SS(B)

b-1

MS(B)

MS(BS/A)

Variabile

dellinterazione fra A e B (AB)

SS(AB)

(a-1)(b-

1)

SS(AB)

(a-1)(b-

1)

MS(AB)

MS(BS/A)

Variabile

relativa ad n,

soggetti, S/A

SS(S/A)

a(n-1)

SS(S/A)

a(n-1)

Variabile

relativa ad n,

soggetti, BS/A

SS(BS/A)

a(b-1)(n-

1)

SS(BS/A)

(a-1)(n-

1)

Fonte totale Somma

delle

precedenti

abn-1

Gradi di libert (df): a-1, b-1, (a-1)(b-1) 2 df per A, 3 per B, 6 per linterazione

per S/A a(n-1): 3*4=12

per BS/A a(n-1)(b-1) 3*4*3=36

Per la fonte totale abn-1: 3*4*5 -1=59 (infatti la prova risulta:

36+12=48+2=50+9=59)

Bisogna poi trovare:

Somme dei quadrati di A;

Somme dei quadrati di B;

Somme dei quadrati di AB;



23



Somme dei quadrati di S/A;

Somme dei quadrati di BS/A;

Somme dei quadrati della fonte totale= sommatoria delle somme dei quadrati di tutte le

fonti.

Ogni somma dei quadrati di ciascuna fonte va divisa per i relativi gradi di libert ai

denominatori e si trova il mean square:

mean square di A: somma dei quadrati di A

gradi di libert di A

mean square di B: somma dei quadrati di B

gradi di libert di B

mean square di AB: somma dei quadrati di AB

gradi di libert di AB

mean square di S/A: somma dei quadrati di S/A

gradi di libert di S/A

mean square di BS/A: somme dei quadrati di BS/A

gradi di libert di BS/A

Ci calcoliamo quindi gli F:

F per A: MS A F per B: MS B__ F per AB: MS AB

MS S/A MS BS/A MS BS/A

Anche in questo caso le tre F ci servono per vedere se vi un effetto indipendente di A o di B

(effetti principali) e/o se vi uninterazione fra le due variabili. Per F relativo ad A le coppie di gradi di libert sono a-1 e an-1, per B sono b-1 e a(b-1)(n-1)

per AB sono al numeratore (a-1)(b-1) e al denominatore a(b-1)(n-1).

Allincrocio si trovano i valori critici e se quello che abbiamo calcolato maggiore o uguale al valore critico, accettiamo H1, altrimenti sospendiamo il giudizio.

4) Disegno con 3 VI, a casualizzazione completa:

A: maschi e femmine B: biondi e castani C: alti e bassi 8 gruppi individuati dai livelli della variabile A (a1b1, a1b2; a1c1,a1c2; a2b1, a2b2,

a2c1,a2c2).

Fonti della variabilit:

o A, B e C;

o Interazioni di primo ordine AB, AC, BC;

o Interazione di secondo ordine ABC;

o Fonte totale;

o Soggetti ingabbiati dentro le combinazioni dei livelli della variabile quindi sono

dentroA, dentroB e dentroC.



24



Fonti

della

Variabilit

(SV)

Somma

dei

quadrati

(ss)

Gradi di

libert

(df)

Media dei

quadrati

(ms)

Rapporto

F (tra

varianze)

Variabile A SS(A)

a-1

SS(A)

a-1

MS(A)

MS S/ABC

Variabile B SS(B)

b-1

SS(B)

b-1

MS(B)

MS S/

ABC

Variabile C SS(C) c-1 SS(C)

c-1

MS(C)

MS S/

ABC

Variabile

dell Interazione

fra A e B

(AB)

SS(AB)

(a-1)(b-

1)

SS (AB)

(a-1)(b-

1)

MS(AB)

MS S/

ABC

Variabile

dell Interazione

fra A e C

(AC)

SS(AC)

(a-1)(c-1)

SS (AC)

(a-

1)(c-1)

MS(AC)

MS S/

ABC

Variabile

dell Interazione

fra C e B

(CB)

SS(BC)

(c-1)(b-1)

SS (BC)

(b-

1)(c-1)

MS(BC)

MS S/

ABC

S/A

SS(S/A)

S/B

SS(S/B)

S/C

SS(S/C)

Variabile

dell Interazione

fra A, B e C

(ABC)

SS(ABC) (a-1)(b-

1)(c-1)

MS(ABC)

MS S/

ABC

Fonte

totale

Somma

delle

abcn-1



25



precedenti

Gradi di libert (df): o a-1, b-1, c-1 essendoci 2 livelli per A,B,C, abbiamo 1 df per A, 1 per B, 1 per C;

o per le interazioni di primo grado: prodotto dei gradi di libert delle variabili che lo

compongono: (a-1)(b-1);(a-1)(c-1);(b-1)(c-1) 1 df per AB, AC e BC;

o per literazione ABC: (a-1)(b-1)(c-1) = 1;

o fonte totale: abcn-1= 2*2*2*5=40-1=39 n=5 abc(n-1)=2*2*2*4= 32+5+27=39

Quindi si trovano:

Somme dei quadrati di ogni fonte;

mean square di ogni fonte;

F di ogni mean square: mean square di A/mean square di S/ABC; mean square di B/mean

square di S/ABC e cos via

Tutti i sette F calcolati avranno come denominatore lunico che contiene i soggetti e le altre variabili: S/ABC. Ogni F avr i suoi gradi di libert e ci dar informazioni sugli effetti principali,

cio se ci sono effetti indipendenti di A, di B o di C; informazioni su eventuali effetti delle

interazioni fra AB, AC, BC; e se c uninterazione generale.

5) Nei disegni a ripetizione completa non si pi in una situazione di questo genere ma

ogni soggetto mi d otto dati.

o La variabile soggetti (S) entra da sola (ed entra in iterazione con tutte le altre variabili);

o ci sono tutte le interazioni con A, con B, con C, con AB, con AC, con BC e con ABC:

SA,SB, SC, SAB, SAC, SBC, SABC.

o Tutti questi (tranne la fonte S che perderemo per strada) sono dei denominatori, e

ciascuna di queste un denominatore unico per gli F, cio F di A sar dato dal mean

square di A/mean square di SA, F di B sar dato dal rapporto fra mean square di B/

mean square di SB e cos via, fino al F di ABC dato da mean square di ABC/ mean

square di SABC.

o I gradi di libert sono gli stessi: per i soggetti ne abbiamo 4 (n=5);

o gli altri hanno tutti 4 gradi di libert;

o la fonte totale 5*8=40-1=39

o 32 sono suddivisi tra tutti i denominatori, e ciascuna fonte ha un suo denominatore: 4.

LEZIONE 4

6) Se ci troviamo con disegni misti con tre variabili: A (a1, a2), B (b1, b2) e C (c1, c2),

di cui ci sono due possibilit: due variabili a casualizzazione completa e una a

ripetizione completa oppure una variabile a casualizzazione completa e due a

ripetizione completa (v. poi).



26



A: maschi femmine (casualizzazione completa)

B: alti e basse (casualizzazione completa)

C: mano destra e sinistra (ripetizione completa)

Fonti

della

Variabilit

(SV)

Somma

dei

quadrati

(ss)

Gradi di

libert

(df)

Media dei

quadrati

(ms)

Rapporto

F (tra

varianze)

Variabile A SS(A)

a-1

SS(A)

a-1

MS(A)

MS S/AB

Variabile B SS(B)

b-1

SS(B)

b-1

MS(B)

MS S/AB

Variabile C SS(C) c-1 SS(C)

c-1

MS(C)

MS CS/AB

Variabile

dell Interazione

fra A e B

(AB)

SS(AB)

(a-1)(b-

1)

SS (AB)

(a-1)(b-1)

MS(AB)

MS S/AB

Variabile

dell Interazione

fra A e C

(AC)

SS(AC)

(a-1)(c-1)

SS (AC)

(a-

1)(c-1)

MS(AC)

MS CS/AB

Variabile

dell Interazione

fra C e B

(CB)

SS(BC)

(c-1)(b-1)

SS (BC)

(b-

1)(c-1)

MS(BC)

MS CS/AB

Variabile

dell Interazione

fra A, B e C

(ABC)

SS(ABC) (a-1)(b-

1)(c-1)

SS(ABC)

(a-1)(b-

1)(c-1)

MS(ABC)

MS CS/AB

S/AB

SS(S/AB) ab(n-1)

SS(S/AB)

ab(n-1)

CS/AB

SS(CS/AB) ab(n-

1)(c-1)

SS(CS/AB)



27



ab(n-1)(c-

1)

Fonte

totale

Somma

delle

precedenti

abcn-1

Effetti:

i tre effetti principali, le variabili A, B, C;

gruppi identificati nelle combinazioni delle singole variabili: AB (a1b1, a1b2, a2b1,

a2b2), AC, BC; ABC (interazioni di primo e di secondo ordine);

la fonte totale;

i denominatori che contengono la variabile soggetti. Essendo A e B variabili a

casualizzazione completa, i nostri soggetti sono nidificati in A e B in quanto sia in

soggetti in a1 e a2 (maschi e femmine), sia quelli in b1 e b2 (alti e bassi) sono diversi,

indichiamo come S/AB.

C poi linterazione fra la variabile C e la variabile soggetti nidificata nei livelli AB:

C*S/AB.

Gradi di libert (da elencare in tabella): livelli 1 per gli effetti principali: a-1, b-1, c-1 1 grado di libert per A,B,C;

prodotto dei gradi di libert delle fonti che compongono linterazione per le interazioni:

(a-1)(b-1), (a-1)(c-1), (b-1)(c-1), (a-1)(b-1)(c-1) per interazioni AB, AC, BC, ABC 1

grado di libert

per la fonte totale: nr osservazioni -1: abcn-1 se n=5 (cio 5 osservazioni per

ciascuna combinazione di variabili), avremo 2*2*2*5 1= 39

per i denominatori (soggetti): prendendo come punto di riferimento la barra, quello che

sta a destra con i livelli, quello che a sinistra sta con i gradi di libert: ab(n-1) per

quanto riguarda S/AB 2*2(5-1)= 16; ab(c-1)(n-1) per quanto riguarda CS/AB (in

quanto C ed S stanno a sinistra della barra) 2*2(2-1)(5-1)= 16.

Si calcolano quindi le somme dei quadrati: di A, di B della fonte totale.

La sommatoria delle somme dei quadrati di tutte le fonti (tranne la totale) danno come

risultato la somma dei quadrati della fonte totale. La somma dei quadrati il numeratore della

formula della varianza.

Per ottenere le stime della varianza si divide per i gradi di libert relativi, quindi per avere il

mean square di A avremo la somma dei quadrati di A/gradi di libert di A e cos via; per avere

il mean square di CS/AB avremo la somma dei quadrati di CS/AB/gradi di libert di CS/AB.

Gli F vanno costruiti con denominatore appropriato, che contiene la variabile soggetti: per A

avremo il mean square di A al numeratore e il denominatore con la fonte A e la fonte soggetti,

cio S/AB. Quindi:



28



F di A: mean square di A/mean square di S/AB

F di B: mean square di B/mean square di S/AB

F di C: mean square di C/mean square di CS/AB

Per le interazioni: se ci sono solo le variabili A e B, avremo S/AB:

F di AB: mean square di AB/ mean square di S/AB;

per quelle che contengono C: il denominatore sar mean square di CS/AB

Troviamo quindi sette F identificati dai gradi di libert del numeratore e del denominatore42;

per ciascuno di essi si andr a cercare il valore critico sulle tavole allincrocio tra numeratore e denominatore e se il valore calcolato sar superiore a tale valore, accettiamo ciascuna delle H1

(se c un effetto del genere sulla velocit di risposta dei soggetti, indipendente dalla mano di risposta o di essere alti e bassi; se c un effetto dellaltezza, indipendente dal genere e dalla mano di risposta; se c un effetto della mano di risposta, indipendente dellaltezza e dal genere; se ci sono interazioni fra genere e altezza, genere e mano, h e mano; se c uninterazione a tre con effetto combinato sulla velocit di risposta dei soggetti).

7) Se ho un disegno misto con tre variabili, una a casualizzazione completa e due

a ripetizione completa.

A: maschi e femmine (casualizzazione completa);

B: campo di presentazione (ds/sin) (ripetizione completa);

C: mano di risposta (ds/sin) (ripetizione completa).

I valori di B e C saranno legati fra loro in quanto dati dallo stesso soggetto: lo stesso soggetto

ci d una prestazione per campo ds e sin, per mano ds e sin (campo ds e mano ds, campo ds e

mano sin, campo sin e mano ds, campo sin e mano sin). Sono per bloccati allinterno dei valori di A.

Fonti

della

Variabilit

(SV)

Somma

dei

quadrati

(ss)

Gradi di

libert

(df)

Media dei

quadrati

(MS)

Rapporto

F (tra

varianze)

Variabile A SS(A)

a-1

1

SS(A)

a-1

MS(A)

MS S/A

Variabile B SS(B)

b-1

1

SS(B)

b-1

MS(B)

MS BS/A

Variabile C SS(C) c-1

1

SS(C)

c-1

MS(C)

MS CS/A

42 Sette F diversi costituiti da elementi diversi.



29



Variabile

dell Interazione

fra A e B

(AB)

SS(AB)

(a-1)(b-

1)

1

SS (AB)

(a-1)(b-1)

MS(AB)

MS BS/A

Variabile

dell Interazione

fra A e C

(AC)

SS(AC)

(a-1)(c-1)

1

SS (AC)

(a-

1)(c-1)

MS(AC)

MS CS/A

Variabile

dell Interazione

fra C e B

(CB)

SS(BC)

(c-1)(b-1)

1

SS (BC)

(b-

1)(c-1)

MS(BC)

MS BCS/A

Variabile

dell Interazione

fra A, B e C

(ABC)

SS(ABC) (a-1)(b-

1)(c-1)

1

SS(ABC)

(a-1)(b-

1)(c-1)

MS(ABC)

MS BCS/A

S/A

SS(S/A) a(n-1)

2(5-1)=8

SS(S/A)

a(n-1)

BS/A SS(BS/A) a(n-1)(b-

1)

2(5-1)(2-

1)=

8

SS(BS/A)

a(n-1)(b-

1)

CS/A SS(CS/A) a(n-1)(c-

1)

2(5-1)(2-

1)=

8

SS(CS/A)

a(n-1)(c-

1)

BCS/A SS(BCS/A) a(n-1)(b-

1)(c-1)

2(5-1)(2-

1)(2-1)=

8

SS(BCS/A)

a(n-1)(b-

1)(c-1)

Fonte

totale

Somma

delle

precedenti

abcn-1

2*2*2*5 -

1=

39



30



I numeratori sono gli stessi: effetti principali e le interazioni tra essi A, B, C, AB, AC, BC,

ABC.

Ci che cambia sono invece i denominatori:

totale: abcn -1;

S: nidificati dentro A (unica variabile a casualizzazione completa, tanto da determinare i

due gruppi differenti): S/A;

i soggetti entrano poi in iterazione con le variabili a ripetizione completa: BS/A, CS/A,

BCS/A.

Cio: S/A come se fosse un blocco unico, e come blocco unico entra in iterazione con

le altre variabili. Tali interazioni sono di primo (BS/A, CS/A) e di secondo ordine

(BCS/A).

Gradi di libert (v. tabella)

Somme dei quadrati/relativi gradi di libert = mean square (v. tabella)

Calcolo dei vari F (v. tabella)

Anche qui abbiamo sette F, identificati in questo caso da un grado di libert al numeratore e 8

al denominatore - in quanto tutti i denominatori e tutti i numeratori hanno gli stessi df. Avremo

quindi un unico valore critico allincrocio fra 1 e 8, che useremo per tutti i valori calcolati.

Se avessimo una situazione diversa, come tre campi di presentazione e quattro modi di

risposta (due mani e due piedi), le cose cambierebbero in quanto:

o per il numeratore avremmo per B due df e per C tre df; per le interazioni AB sarebbe 2, per

AC sarebbe 3, BC sarebbero 6 df; ABC 6 df;

o per il denominatore avremmo 8 df per S/A, 2x2x4=16 df per ABS/A; 2x6x4=24 df per

CS/A; 2x2x3x(n-1)=48 df per BCS/A. Il tutto sommato dovrebbe dare 119.

A questo punto non ci sarebbe pi solo un F critico allincrocio tra 1 e 8: esso servirebbe solo per A. Un altro sarebbe fra 2 e 16, un altro fra 3 e 24, uno fra 2 e 16, uno fra 3 e 24, fra 6 e

48 per BC, fra 6 e 48 (per ABC).

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Psicometria 2 - Psicologia - Lezioni Cavallero

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