Elementi di Elementi di Matematica finanziariaMatematica finanziaria

Elementi di Matematica Elementi di Matematica finanziariafinanziaria

InteressiAnnualità costantiPeriodicità costantiCapitalizzazione

InteressiInteressi

Semplici Composti

discontinui annui convertibili

gli interessi maturati si sommano al capitale che li ha prodotti una volta all’anno

gli interessi maturati si sommano al capitale più volte in un anno

Gli interessi maturati non si sommano al

capitale

Gli interessi maturati si sommano al capitale

Interesse sempliceInteresse semplice

InteressenrCI 0

Montante (posticipazione)

)1(0 nrCCn

Capitale iniziale (anticipazione)

)1(

10 nrCC n

Interesse

Interesse composto discont. Interesse composto discont. annuoannuo

)1(0 nqCI

)1(000

0

0

nn

nn

n

qCCqCI

qCC

dove

CCI

rq 1

Montante

Int.comp.discont. annuo: Int.comp.discont. annuo: posticipazioneposticipazione

nn rCC )1(0

C nC n-1C o C 1 C 2 C 3

)1(0001 rCrCCC

)1(1112 rCrCCC

202

02

)1(

)1()1(

rCC

rrCC

(1+r)n = q n

fattore di posticipazione

Capitale iniziale

Int.comp.discont. annuo: Int.comp.discont. annuo: anticipazioneanticipazione

nn rCC

)1(

10

C nC n-1C o C 1 C 2 C 3 fattore di anticipazione

nn qr

1

)1(

1

AnnualitàAnnualità

posticipate anticipatescadenza

entità costanti variabili

durata limitate illimitate

Annualità costanti posticipate limitateAnnualità costanti posticipate limitate

n-1 n1 2 3

aaa a a

Accumulazione finale (An)

r

qaA

n

n

1

)...1(

...122

122

nn

n

nnn

qqqqaA

aqaqaqaqaA

I termini entro le parentesi sono una progressione geometrica crescente di ragione q. Pertanto:

r

qa

q

qa

q

qqaA

nnn

n

1

1

1

1

11

Coefficiente di accumulazione

finale

Annualità costanti Annualità costanti posticipate limitateposticipate limitate

n-1 n1 2 3

aaa a a

Accumulazione iniziale (Ao)

n

n

rq

qaA

10

Coefficiente di accumulazione

iniziale

n

n

nn qr

qa

qAA

1110

An

Annualità costanti posticipate limitateAnnualità costanti posticipate limitateformule inverseformule inverse

ammortamento

reintegrazione

10

n

n

q

rqAa

1

nn q

rAa

Annualità costanti Annualità costanti anticipate limitateanticipate limitate

Accumulazione inizialen

n

rq

qaqA

10

Accumulazione finaler

qaqA

n

n

1

n-1 n

a a a a a

1 2 3

Annualità costanti posticipate Annualità costanti posticipate illimitateillimitate

qqqaA

qa

qa

qaA

11...

1

11...

1

20

20

I termini entro le parentesi sono una progressione geometrica crescente di ragione q. Pertanto:

11

01

1

01

01

1

11

0

0

ra

qaA

qdato

qq

qq

aA

a 3 a 4 a 5 a infa 1 a 2

r

aA 0

PeriodicitàPeriodicità

posticipate anticipatescadenza

entità costanti variabili

durata limitate illimitate

Periodicità costanti posticipate Periodicità costanti posticipate limitatelimitate

Accumulazione finale1

1

n

tn

tn q

qPA

tn

P P

(t-1)n

P P

n 2n 3n 4n 5n

P PP

Accumulazione inizialetnn

tn

qq

qPA

1

1

10

Periodicità costanti posticipate Periodicità costanti posticipate illimitateillimitate

capitalizzazionecapitalizzazione

Accumulazione iniziale1

100

nq

PVA

PeriodicitàAnnualità

Riepilogo coefficientiRiepilogo coefficientiannualità e periodicità annualità e periodicità costanti posticipatecostanti posticipate

capitalizzazione1

1

nqr

1

accumulazione finale1

1

n

tn

q

q

r

qn 1

accumulazione iniziale tnn

tn

qq

q 1

1

1

n

n

qr

q 11