Elementi di Economia I -...

Teoria dei giochiOligopolio

Modelli statici di oligopolioModelli dinamici di oligopolio

Elementi di Economia I10. Teoria dei giochi e oligopolio

Giuseppe Vittucci Marzetti1

Corso di laurea in SociologiaDipartimento di Sociologia e Ricerca SocialeUniversita degli Studi di Milano-Bicocca

A.A. 2016-17

1Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Universita degli Studi di Milano-Bicocca, ViaBicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, E-mail: [email protected]

Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 1/28



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1 Teoria dei giochiElementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di NashGiochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochiEquilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritrosoGiochi ripetuti e folk theorem

2 Oligopolio

3 Modelli statici di oligopolioDuopolio di CournotDuopolio di Bertrand

4 Modelli dinamici di oligopolioGiochi dinamici e concorrenza sequenzialeModello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantita




Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di NashGiochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochiEquilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritrosoGiochi ripetuti e folk theorem

Cos’e la teoria dei giochi

Teoria dei giochi

Branca dell’economia che studia le scelte di soggetti razionali in contestistrategici

Soggetto razionale e un agente in grado di:

valutare le conseguenze di ogni propria azione;esprimere un sistema coerente di preferenze su tali conseguenze;selezionare la scelta cui e associata la conseguenza preferita.

Un contesto di scelta e strategico quando le conseguenze diun’azione per un soggetto dipendono, oltre che dalle sue scelte, maanche dalle scelte compiute da altri soggetti razionali.

Nascita della moderna teoria dei giochi comunemente fatta risalire al1944, anno di pubblicazione del libro Theory of Games and

Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern.





Definizione di gioco

Per caratterizzare un gioco necessario definire gli elementi del gioco:

giocatori (players);strategie (strategies), ovvero possibili azioni di ogni giocatore;guadagni/perdite (payoffs) di ogni giocatore in ogni combinazionepossibile di strategie (strategy profile).

In termini formali, un gioco generico Γ in forma normale e definitocome:

Γ = 〈N , {S1,S2, . . . ,SN}, {u1, u2, . . . , uN} 〉

dove

N = {1, 2, . . . ,N} e l’insieme dei giocatori;Si (i ∈ N ) e l’insieme delle strategie del giocatore i ;ui (.) (i ∈ N ) e la payoff function del giocatore i , ovvero la funzioneche associa ad ogni possibile combinazione strategica (strategyprofile) il payoff del giocatore i , cioe un numero che misura ilguadagno del giocatore.





Un classico esempio: il dilemma del prigioniero

Due giocatori: N = {A,B};

Strategie: SA = SB = {D,C};

Funzioni dei payoff:

uA(D ,D) = −5, uA(D ,C) = 0, uA(C ,D) = −7, uA(C ,C) = −1;uB(D ,D) = −5, uB(D ,C) = −7, uB(C ,D) = 0, uB(C ,C) = −1;

B

D C

AD −5,−5 0,−7

C −7, 0 −1,−1

Tabella: Matrice dei payoff





Funzione di risposta ottima

Risposta ottima (best reply, o best response) di un giocatore:strategia che massimizza il payoff del giocatore, date e costanti lestrategie degli altri giocatori.

Es.: la risposta ottima di A quando B non rispetta i patti (sB = D)e non rispettare i patti (sA = D);

Di fatto, in questo caso D e strategia dominante: la risposta ottimadel giocatore qualunque sia la strategia dell’altro giocatore;

Funzione di risposta ottima (best reply function) del giocatore i :funzione che, ad ogni combinazione strategica degli altri giocatori,associa la risposta ottima di i :

bi(s−i ) = argmaxsi∈Si

ui (si , s−i )

dove s−i indica le strategie giocate da tutti i giocatori escluso i ;

Es.: la funzione di risposta ottima di A e bA(C ) = bA(D) = D.





Equilibrio di Nash

Equilibrio di Nash: profilo strategico (s) taleche la strategia di ogni giocatore e unarisposta ottima alle strategie degli altri:

s∗i ∈ bi(s∗−i ), ∀ i ∈ N

Definizione equivalente:

ui (s∗i , s

∗−i) ≥ ui (si , s

∗−i ), ∀ si ∈ Si , ∀ i ∈ N

In un equilibrio di Nash nessun giocatore haincentivo a deviare;

Nel dilemma del prigioniero l’unico equilibriodi Nash e s∗ = (D,D).

John Forbes Nash Jr.

(1928-2015)

Nobel Memorial Prize in

Economics 1994

Nel 1994 Nobel per le Scienze Economiche assegnato a J. Harsanyi, J. Nash e R.Selten “per l’analisi pionieristica degli equilibri nella teoria dei giochi non cooperativi”.





Giochi in forma estesa

Nei giochi in forma normale (strategic form) i giocatori agisconosimultaneamente;

Nei giochi dinamici le scelte sono effettuate in un determinatoordine temporale;

La rappresentazione dei giochi dinamici—in forma estesa (extensiveform)—utilizza una struttura ad albero:

ciascun vertice rappresenta un punto di decisione per un giocatore;le ramificazioni sono le azioni che il giocatore puo compiere;a ciascun vertice finale e associato un vettore di payoff.





Equilibri di Nash e minacce non credibili

La nozione di equilibrio di Nash non riesce ad escludere i casi diminacce non credibili (non credible threats).

Esempio:un’impresa (E) deve decidere se entrare (IN) o non entrare (OUT )in un mercato;l’incumbent (I ) deve decidere se ingaggiare una guerra dei prezzi (F )o non ingaggiarla (A);due equilibri di Nash: (OUT ,F ) e (IN,A);(OUT ,F ) contiene tuttavia una minaccia non credibile: una voltache E e entrato ad I non conviene guerreggiare.

I

F A

EIN -1,-1 1,1

OUT 0,2 0,2

OUT

(0,2)

IN

E

A

(1,1)

F

(-1,-1)

I





Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi

In base al principio di razionalita sequenziale,la strategia di un giocatore dovrebbespecificare risposte ottime ad ogni nododell’albero.

Secondo la definizione di Selten, un equilibriodi Nash e perfetto nei sottogiochi (Subgame

Perfect Nash equilibrium, SPNE) se lestrategie di equilibrio costituiscono unequilibrio di Nash in ciascun sottogioco;

Sottogioco (subgame): parte del gioco informa estesa che inizia in un nodo (contenutoin un insieme di informazione di cui e l’unicoelemento) e contiene tutti i nodi che seguono.

Reinhard Selten (1930)

Nobel Memorial Prize in

Economics 1994





Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso

Per eliminare gli equilibri di Nash non perfetti nei sottogiochipossibile usare l’induzione a ritroso (backward induction):

1 vai agli ultimi nodi di decisione e seleziona le risposte ottime deigiocatori cui spetta muovere in ciascuno di quei nodi;

2 vai in ciascuno dei nodi precedenti e seleziona la risposta ottima sullabase delle strategie individuate nel passaggio 1;

3 continua il processo fino a giungere al nodo iniziale.

OUT

0,2

IN

E

A

1,1

F

-1,-1

I

Figura: Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel gioco di entrata





Giochi e supergiochi

Supergioco

Sequenza di giochi giocati da uno stesso insieme di giocatori.

Supergiochi con dipendenza temporale

Supergioco in cui i payoff di ogni gioco costituente (stage game) in unafase t dipendono dalla successione delle strategie giocate dai giocatorinelle fasi precedenti.

Giochi ripetuti

Supergiochi in cui il gioco costituente e lo stesso in ogni fase.





Dilemma del prigioniero ripetuto

In ciascuno di T periodi due giocatori (A e B) giocano un dilemmadel prigioniero come quello in tabella;Giocatori impazienti scontano i payoff futuri ad un tasso δ

(0 < δ < 1);Payoff di ogni giocatore dato dal flusso scontato dei payoff generatiin ciascun gioco costituente:

Gi = ui(s1,0, s2,0) + δui (s1,1, s2,1) + . . .+ δTui(s1,T , s2,T )

=

T∑

t=0

δtui (s1,t , s2,t)

B

D C

AD d ,d w ,l

C l ,w c ,c

Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w)





Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali

Passare dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto faemergere possibili equilibri cooperativi (C ,C ) nel gioco costituente;

Trigger strategy (strategia del grilletto) (Friedman, 1971): ognigiocatore i ∈ N S

inizia giocando C ;continua a giocare C fino a quando l’altro gioca C ;gioca D per sempre in caso contrario.

La strategia del grilletto sostiene un equilibrio di Nash se, perciascun giocatore, i guadagni della cooperazione (

∑∞

t=0 δtc) sono

maggiori di quelli della defezione e conseguente punizione da partedell’altro (w +

∑∞

t=1 δtd), cioe se:

∞∑

t=0

δtc −

(

w +

∞∑

t=1

δtd

)

=c

1− δ− w −

δd

1− δ≥ 0

δ ≥w − c

w − d





Folk theorem

In base ad una popolare versione debole del folk theorem, nei giochiripetuti, se gli agenti non sono troppo impazienti esistono sempreprofili strategici che in equilibrio supportano miglioramenti paretianirispetto ad equilibri di Nash statici, cioe relativi al gioco costituente,subottimali;

Folk theorem (Friedman, 1971)

Sia s∗ un equilibrio statico con payoff u∗. Per ogni vettore di payoff u

tale che ui ≥ u∗i per tutti i giocatori i , esiste un δ < 1 tale che, per ogniδ > δ, c’e un equilibrio perfetto nei sottogiochi con payoff u.

Intuizione: con giocatori pazienti e gioco ripetuto per un numeroinfinito di volte, qualsiasi guadagno finito di un periodo annullato dauna anche piccola perdita di utilita in ciascun periodo futuro.





Giochi ripetuti un numero finito di volte e paradosso della

catena di vendita

In caso di dilemma del prigioniero ripetuto un numero finito di volte,unico equilibrio di Nash quello di non cooperazione (dimostrazionevia backward induction):

Nell’ultimo periodo non ci sara nessun vantaggio a non deviaredall’equilibrio cooperativo;Allora neanche nel periodo precedente potra esserci qualchevantaggio a non deviare;...Nel primo periodo non ci sara nessun incentivo a deviare....

Proposizione dimostrata da Selten (1978) e anche nota comeparadosso della catena di vendita (chain store paradox).




Oligopolio

I mercati oligopolistici sono mercati in cui opera un numero limitatodi imprese che interagiscono tra loro in modo strategico;

Diversamente da quanto avviene per la concorrenza perfetta e ilmonopolio, non esiste un unico modello di oligopolio;

I modelli di oligopolio si differenziano per:modalita di interazione strategica tra le imprese:

competizione sulle quantita vs. competizione sui prezzi;concorrenza simultanea vs. sequenziale.

omogeneita/eterogeneita dei beni offerti;omogeneita/eterogeneita delle imprese presenti sul mercato.

Il duopolio e un oligopolio con due sole imprese.




Duopolio di CournotDuopolio di Bertrand

Modelli statici di oligopolio

Modelli di oligopolio statico piu noti:

modello di Cournot: competizione sullequantita (quantity competition);

modello di Bertrand: competizione sui prezzi(price competition).

Antoine AugustinCournot

(1801-1877)

Joseph Louis FrancoisBertrand

(1822-1900)





Duopolio di Cournot

Due imprese (i = {1, 2}) competono per lo stesso mercato;

Funzione di domanda inversa lineare:

p(Q) = a− b Q = a− b (q1 + q2)

con a e b parametri positivi.

Ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c) e sceglie la quantitada produrre (qi) per massimizzare i profitti:

πi (qi , qj) = (p(Q) − c) qi =(

a− b (qi + qj)− c)

qi

Condizioni del primo ordine:

∂πi(qi , qj)

∂qi= a− c − bqj − 2bqi = 0

Funzione di risposta ottima (o di reazione) dell’impresa i :

q∗i =a− c

2b−

qj

2





Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione algebrica

Equilibrio di Nash:{

q∗1 = a−c2b −

q∗

2

2

q∗2 = a−c2b − q∗

1

2

Quantita di equilibrio:

q∗1 = q∗2 =a− c

3b

Output totale:

Q∗ = q∗1 + q∗2 =2(a− c)

3b>

a− c

2b= qm

Prezzo di equilibrio:

p∗ = a − b Q∗ = a− b2(a− c)

3b=

a+ 2c

3<

a + c

2= pm





Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione grafica

q2

q1

a−cb

a−c2b

a−cb

a−c2b

E

Curva di reazione dell’impresa 2

Curva di reazione dell’impresa 1





Duopolio di Bertrand

Due imprese (i = {1, 2}) competono nello stesso mercato;

Ciascuna impresa i fissa il suo prezzo (pi ) e ha costi medi unitaricostanti c ;

Funzione di domanda lineare:

Q = A− B min(p1, p2)

con A e B parametri positivi.

Payoff dell’impresa i :

πi (pi , pj) =

0 se pi > pj

(pi − c)Q2 = (pi − c)A−Bpi2 se pi = pj

(pi − c)Q = (pi − c)(A− Bpi ) se pi < pj





Equilibrio nel duopolio di Bertrand

Funzione di risposta ottima dell’impresa i :

p∗i = pm se pj > pmp∗i = pj − ǫ se c < pj ≤ pmp∗i ≥ pj se c = pjp∗i > pj se c > pj

dove pm = A+Bc2B e il prezzo di monopolio.

Unico equilibrio di Nash:

p1 = p2 = c

Quando le imprese competono sul prezzo e i beni sonoperfettamente omogenei, l’equilibrio nel duopolio coincide con quellodi concorrenza perfetta.




Giochi dinamici e concorrenza sequenzialeModello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantita

Giochi dinamici e concorrenza sequenziale

Nei modelli di Cournot e Bertrand le imprese agisconosimultaneamente;

Spesso le imprese concorrenti compiono le loro azioni in modosequenziale;

La concorrenza sequenziale da luogo a giochi dinamici,rappresentabili in forma estesa, mediante cioe una rappresentazionead albero;

La nozione di equilibrio rilevante diventa quella di equilibrio di Nash

perfetto nei sottogiochi (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE).





Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla

quantita

Caso analogo al duopolio di Cournotanalizzato in precedenza:

due imprese (i = {1, 2}) competono nellostesso mercato;domanda lineare:p = a − b Q = a − b (q1 + q2);ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c)e sceglie la quantita da produrre (qi) permassimizzare i profitti: πi = (p(Q)− c) qi ;

...eccetto che per il fatto che l’impresa 1(leader) muove prima dell’impresa 2(follower).

Il gioco da statico diventa dinamico;

La concorrenza diventa sequenziale.

Heinrich Freiherr vonStackelberg

(1905-1946)





Equilibrio nel modello di Stackelberg

Per l’impresa 2, che conosce e non puo modificare la quantitaprodotta dall’impresa 1, la funzione di reazione e uguale al duopoliodi Cournot:

q∗2 (q1) =a− c

2b−

q1

2

L’impresa 1 invece muove per prima e puo sfruttare l’informazionesulla reazione dell’impresa 2;

Funzione di payoff dell’impresa 1:

π1(q1) =(

a − b(

q1 + q2(q1))

− c)

q1 =a − c

2q1 −

b

2q21

Condizione del primo ordine:

dπ1

dq1=

a− c

2− bq

∗

1 = 0






Quantita prodotte dalle imprese nell’equilibrio di Nash perfetto neisottogiochi:

Impresa 1 (leader)

q∗

1 =a− c

2bImpresa 2 (follower):

q∗

2 = q∗

2 (q∗

1 ) =a− c

2b−

q∗

1

2=

a − c

2b−

1

2

(

a − c

2b

)

=a − c

4b

Output totale:

Q∗ = q∗1 + q∗2 =a− c

2b+

a− c

4b=

3(a− c)

4b

q1

1

q2

π1, π2

2






Quantita prodotta (e utili) dileader: maggiore rispetto a

follower:

q∗S1 =a− c

2b>

a− c

4b= q∗S2

duopolio di Cournot:

q∗S1 =a − c

2b>

a− c

3b= q∗C1

Nota: anche gli utili sono maggiori (l’aumento della quantita offertapiu che compensa la diminuzione del prezzo).

follower: minori rispetto al duopolio di Cournot

q∗

S2 =a − c

4b<

a − c

3b= q

∗

C2

Output totale in Stackelberg maggiore che in Cournot:

Q∗S =

3(a− c)

4b>

2(a− c)

3b= Q∗

C


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