Effetto di intaglio

Il calcolo analitico dello stato di tensione e di deformazione in un componente di un

organo di macchina è possibile solo se il componente può essere assimilato ad una trave

di De Saint Venant. Spesso, però, i vincoli, le modalità di applicazione dei carichi e le

forme geometriche dei componenti differiscono sensibilmente da quelle assunte nella

Teoria delle Travi .

Nella maggior parte dei casi, le esigenze funzionali e costruttive impediscono il rispetto

dell’ipotesi di sezioni uniformi (costanti) e si riscontrano spesso brusche variazioni della

geometria del componente localizzate in zone di estensione relativamente piccola: ciò

dà luogo a una concentrazione delle tensioni detta effetto di forma o effetto di intaglio.

Nelle zone prossime alla discontinuità geometrica non è più lecito riferirsi alla

distribuzione teorica delle tensioni (detta anche distribuzione nominale), ma occorre

conoscerne il reale andamento. Inoltre uno stato di tensione teoricamente uniassiale può

diventare, in certi casi, pluriassiale, almeno nelle immediate vicinanze dell’intaglio.

Per affrontare questo problema viene dapprima introdotto il concetto di intaglio e poi

viene definito il coefficiente d’intaglio, spesso più conosciuto con il nome di fattore

(teorico) di concentrazione della tensione. Per inciso, il nome “intaglio” (ed il relativo

termine coefficiente di intaglio) viene comunemente impiegato anche se la discontinuità

geometrica non è un vero e proprio intaglio ma è comunque una repentina variazione di

ampiezza (o di spessore) della sezione resistente di un componente.

Sulla base di questi concetti si potranno infine formulare i criteri per la verifica di

resistenza di organi meccanici intagliati in condizioni di carico statiche.

Coefficiente d’intaglio (fattore di concentrazione della tensione)

Si consideri una trave a sezione uniforme (costante) di forma rettangolare (lati b, ed H),

sottoposta a trazione. Secondo la trattazione della Teoria delle Travi lo stato di tensione

è di tipo uniassiale e la tensione vale:

bH

F

⋅=σ

La trave mostrata in fig.1 presenta una repentina variazione geometrica (la larghezza

passa bruscamente da H a h) e ciò non consente di assimilarla ad una trave a sezione

costante. Utilizzando la Teoria delle Travi si potrebbe, al più, calcolare lo stato di

tensione esclusivamente nelle zone 1 e 3 (lontane dalla variazione di sezione) nelle quali

risulta:

bh

F1

⋅=σ

bH

F3

⋅=σ

Per comprendere l’andamento delle tensioni nella zona 2 è utile ricorrere alla cosiddetta

“analogia idraulica”, tracciando le linee di corrente dentro la sezione resistente della

trave, che viene così equiparata alla sezione di efflusso di un fluido incomprimibile in

regime stazionario.

Nel caso di sezione uniforme di area A, indicando con V la velocità del fluido e con Q

la portata volumetrica, in ogni sezione del condotto si ha :

A

QV =

e quindi, per analogia, la tensione normale (costante) nella sezione resistente della trave

equivalente vale:

A

F=σ

come prescritto dalla Teoria delle Travi .

Se il condotto presenta una variazione di sezione, la costanza della portata (Q = cost)

porta ad affermare che il moto del fluido sarà perturbato da tale variazione: le linee di

flusso tenderanno ad addensarsi maggiormente vicino alla parete del condotto per poi

diradarsi al centro della sezione.

Osservazioni:

• Le linee di corrente si addensano dove la velocità aumenta e si diradano dove essa

decresce.

• Il vettore velocità del fluido è , in ogni punto, tangente alla linea di corrente.

• La direzione di una tensione principale è, in ogni punto, tangente ad una linea

isostatica.

Il profilo di velocità nel condotto presenta quindi un massimo sulla parete e un minimo

in corrispondenza dell’asse, come si intuisce osservando zona 2 della figura precedente,

ove il flusso del fluido è rappresentato mediante linee la cui densità è proporzionale alla

velocità.

Per la trave equivalente si può prevedere, in prossimità dei bordi, un valore massimo

della tensione σmax che è sicuramente maggiore della tensione nominale σ0, calcolata

facendo riferimento alla Teoria delle Travi. La sezione 2 è quindi detta sezione

d’intaglio o sezione intagliata.

La tensione al centro della sezione 2 è invece minore di σ0, in quanto nella sezione

intagliata deve essere verificata la relazione di equilibrio:

∫σ=A

dA F

L’analogia idraulica permette anche di capire, intuitivamente, che quanto più brusca è la

variazione di sezione, tanto maggiore è l’addensamento del flusso (fig. 2) .

Si può inoltre comprendere come le grandezze dalle quali dipende l’effetto d’intaglio

siano i rapporti adimensionali H/h (rapporto che descrive l’entità del restringimento

della sezione) e r/h, (rapporto che descrive la severità dell’intaglio) essendo r il raggio

di raccordo dell’intaglio.

Esempi di intagli molto diffusi sono: i fori per il passaggio delle viti in una giunzione

bullonata, lo spallamento realizzato su un albero allo scopo di permettere

l’alloggiamento di un cuscinetto, la filettatura di una vite, il raccordo al piede dei denti

delle ruote dentate, la sede delle linguette, una giunzione saldata, ecc. (fig. 3) .

Dal punto di vista del calcolo a resistenza statica, si introduce un opportuno coefficiente

adimensionale, detto fattore teorico di concentrazione della tensione (o coefficiente

d’intaglio statico teorico, o ancora coefficiente di sovrasollecitazione teorico Kt ) che

esprime il rapporto tra la tensione effettiva massima nella zona dell’intaglio e la

tensione che si calcolerebbe in quella stessa zona in assenza di intaglio: quest’ultima è

definita tensione nominale.

Tale definizione presuppone il rispetto della linearità nel legame costitutivo del

materiale (ipotizzato anche omogeneo e isotropo): Kt dipende allora solo dalla

geometria del problema e dal tipo di carico applicato (flessione, trazione, torsione ecc. ).

Per questo motivo il coefficiente Kt viene talora indicato con il nome di fattore

geometrico (Kg) o elastico (Ke) di concentrazione della tensione.

Considerando la trave già utilizzata per illustrare questi concetti, la tensione nominale

nella sezione d’intaglio 2 risulta:

bh

F0

⋅=σ ovvero 0

F

H b=

⋅σ

e quindi, se è nota la tensione massima σmax, si calcola il fattore teorico di

concentrazione della tensione Kt tramite il rapporto:

σ

σ=

0

maxtK

Occorre puntualizzare che l’impiego pratico (ai fini dell’esecuzione dei calcoli di

progetto) di tale fattore è quello di ottenere il valore della tensione massima σmax ,

difficile da valutare tramite calcoli analitici, una volta nota la tensione nominale σ0, che

invece si può calcolare molto più facilmente se nella zona d’intaglio si ipotizza la

presenza di una sezione uniforme (non intagliata) sulla quale la distribuzione di

tensione può essere valutata (in quanto costante o variabile linearmente).

Il fattore (teorico) di concentrazione della tensione Kt viene di solito rappresentato

graficamente in funzione di opportuni rapporti tra le dimensioni che caratterizzano la

geometria dell’intaglio, tramite curve che variano, a volte anche sensibilmente, al

variare del tipo di carico considerato ( figg. 4 e 5 ) .

E’ interessante notare come il fattore Kt della trave sottile inflessa sia diverso, a parità di

geometria, da quello della trave soggetta ad forza assiale. Infatti la distribuzione

nominale delle sollecitazioni, e quindi la perturbazione indotta dall’intaglio, varia con il

tipo di carico applicato.

Esistono delle raccolte di valori del fattore di concentrazione della tensione, presentate

sotto forma di diagrammi pubblicati su testi tecnici specialistici ( si cita, ad esempio,

R. E. Peterson, “Stress concentration factors”, John Wiley & sons, New York ).

Altrimenti la determinazione del Kt richiede il ricorso ad analisi teoriche, a indagini

sperimentali, o, ancora, a calcoli numerici eseguiti con il metodo degli Elementi Finiti.

Concentrazione delle tensioni in geometrie comuni

1) Travi sottili forate e intagliate

Un tipo comune di intaglio in una trave sottile a sezione rettangolare è il foro passante,

con asse perpendicolare al piano della trave. La massima perturbazione del flusso delle

tensioni si verifica in corrispondenza del piano contenente l’asse del foro e normale

all’asse della barretta (fig .6) .

La sollecitazione nominale nella sezione minima è data da:

b)dh(

F0

⋅−=σ

I valori di Kt per la trave forata soggetta a forze assiali sono riportati in fig. 7 .

Se il foro è di piccole dimensioni rispetto alla larghezza H della trave (d/H → 0), il

fattore di concentrazione della tensione vale Kt = 3. E’ altresì interessante notare come

per un foro molto grande rispetto alla larghezza della trave si abbia Kt → 2.

Si può dimostrare che il Kt al bordo di un foro ellittico (fig. 8) caratterizzato dai

semiassi “c” ed “a” (dimensione “a” parallela alla forza F), in una lastra di larghezza

molto grande rispetto ai semiassi “c” ed “a” è esprimibile mediante la relazione :

⋅+=

a

c21K t

Il foro circolare può essere considerato un caso particolare del foro ellittico: infatti per

c/a = 1 la precedente formula restituisce Kt = 3.

Considerando una trave contenente un foro ellittico si può valutare l’effetto della forma

del foro: per esempio con c/a = 3 si ricava Kt = 7, mentre con c/a = 0,33 =1/3 , il fattore

di concentrazione della tensione scende a Kt = 1,67. Ciò è dovuto al più agevole flusso

delle tensioni attorno al foro orientato in direzione longitudinale.

Poiché per una ellisse il raggio di curvatura valutato sull’asse trasversale (ossia nei punti

di coordinate ± c) vale:

c

a2

=ρ

il fattore di concentrazione della tensione può essere espresso come:

Kt = ρ+=ρ

+=

+ /c21

c

c21

a

c21

Questa equazione consente di evidenziare le due grandezze caratteristiche di un intaglio

ellittico : la semilarghezza c e il raggio di raccordo ρ.

Anche nei casi di “ellisse equivalente” (fig. 9), relativi ad intagli di forma diversa

dall’ellisse (per esempio fori ovali, scanalature con il bordo circolare, due fori connessi

da una scanalatura), il fattore di concentrazione della tensione si può calcolare con

ottima approssimazione tramite l’espressione ρ+= /c21K t .

2) Alberi di trasmissione

Si consideri un intaglio a U in una trave prismatica sottile sollecitata da forza assiale e

poi un “analogo” intaglio praticato in un albero a sezione circolare, anch’esso

sollecitato da un carico assiale: lo stato di tensione dei due componenti risulta

completamente diverso (fig. 10) . Nella lastra si ha uno stato di tensione uniassiale

anche nel punto più sollecitato, mentre nell’albero lo stato di tensione causato dalla

presenza dell’intaglio è biassiale poiché nasce anche una componente di tensione

circonferenziale positiva σ2, dovuta alle contrazioni trasversali ε2 che nella zona

dell’intaglio sono impedite, almeno parzialmente.

Nel caso dell’albero il fattore di contrazione Kt si definisce come il rapporto tra la

tensione principale massima σ1 e la tensione uniassiale nominale σ0 :

1t

0

K =σ

σ

Le curve delle figg. 11 e 12 riportano i fattori di concentrazione della tensione per alberi

sollecitati assialmente o in flessione, provvisti di spallamenti e gole circonferenziali.

Per alberi soggetti a torsione si definisce un fattore di concentrazione della tensione per

le tensioni tangenziali definito come:

τ

τ=

0

maxtK

Le curve di fig. 13 riportano il fattore di concentrazione della tensione per un albero con

variazioni di sezione soggetto ad un momento torcente.

3) Intagli multipli ed effetto ombra

La presenza di intagli “multipli” (intagli ripetuti uno vicino all’altro) non è più gravosa

di quella di un intaglio singolo. Si può constatare ciò alla luce, ancora una volta,

dell’analogia idrodinamica. Osservando l’andamento delle linee di corrente risulta

evidente che gli intagli intermedi non subiscono sovrasollecitazioni maggiori di quelle

dell’intaglio singolo, mentre gli intagli di estremità presentano concentrazioni simili a

quelle dell’intaglio singolo (fig. 14) .

Tale effetto è conosciuto anche come “effetto ombra”: la presenza di un primo intaglio

tende a “incanalare” le tensioni riducendo la concentrazione di tensione su altri intagli

“successivi” a questo. Quest’effetto permette di adottare soluzioni costruttive che

consentono di ridurre il fattore di concentrazione della tensione in intagli

particolarmente gravosi.

Si consideri, per esempio, un albero su cui sia calettato un cuscinetto. Affinché il

cuscinetto possa appoggiare correttamente allo spallamento su cui fa battuta, alla base di

quest’ultimo si dovrebbe realizzare un raccordo con raggio molto piccolo e quindi si

avrebbe un elevato effetto di intaglio. Ciò non si verifica se si adotta la classica

soluzione progettuale di praticare una gola di scarico di grande raggio, oppure si

realizzano una o più gole circonferenziali atte a creare un effetto ombra (fig. 15)

Fattore sperimentale di concentrazione della tensione

Ai fini progettuali è necessario analizzare le condizioni limite di sollecitazione (carico

limite) dei componenti intagliati al variare del tipo di materiale (duttile/fragile).

Si definisce fattore sperimentale di concentrazione della tensione Ks il rapporto tra il

carico limite di un elemento non intagliato ed il carico limite dell’elemento intagliato

con la stessa sezione resistente dell’elemento non intagliato

F

FK '

lim

lims =

Per determinare Ks è quindi necessario distinguere tra materiali fragili e materiali duttili.

Si consideri, quale esempio, una lastra (provvista, oppure no, di un piccolo foro

centrale) sottoposta a trazione uniforme in una sola direzione e sia fx la forza per unità

d’area la cui risultante è la forza di trazione F .

Materiali fragili

Per questi materiali la curva σ-ε rimane lineare fino alla rottura e quindi il carico

unitario limite è assunto pari al carico unitario di rottura σR . Si hanno i due casi

seguenti (assenza o presenza del foro) :

1) la lastra senza foro giunge al collasso quando fx = σR = (fx)lim

2) la lastra con foro giunge al collasso quando 3

fR

x

σ= = (fx)

’lim

Pertanto ( fig. 16 ) : x lims '

x lim

(f )K 3

(f )= = ( = Kt )

Nota. La frattura iniziale si genera nei punti A e B quando la forza esterna fx raggiunge

il valore σR/3. La linea di frattura (che nel primissimo istante è di lunghezza

infinitesima) è causa di elevatissima sovrasollecitazione (il raggio di raccordo all’apice

della frattura è teoricamente nullo) e quindi la propagazione della linea di frattura

avviene pressoché istantaneamente, in quanto il materiale all’interfaccia tra i due lembi

separati non ha più alcuna capacità di resistere al carico esterno, mentre la sezione

resistente decresce via via che la frattura procede.

Materiali duttili

Per questi materiali la curva σ-ε rimane lineare fino allo snervamento e se il

comportamento del materiale è rappresentato dal modello schematico elastico-

perfettamente plastico, il secondo tratto della curva è una retta a pendenza nulla.

Nuovamente si distinguono i due casi (assenza o presenza del foro) :

1) la lastra senza foro giunge al collasso quando fx = σs = (fx)lim

2) la lastra con foro giunge al collasso quando fx = σs = (fx)’lim

Pertanto ( fig. 17 ) : x lims '

x lim

(f )K 1

(f )= =

Nota. Quando la forza fx raggiunge il valore σs/3 , nei punti A e B il materiale si snerva

(poiché in quei punti la tensione ha il picco σ = 3(σs/3) = σs), ma la lastra non si rompe

(il materiale sopporta ancora aumenti del carico finché in tutta la sezione si ha fx = σS ).

Se la condizione limite è determinata dal raggiungimento del carico unitario di

snervamento, l’intaglio non penalizza la lastra riducendone la capacità di carico ultima .

Progettazione dei componenti con intagli soggetti a carichi statici

Con il termine “carico statico” si intende un carico non ripetuto nel tempo

Lo stato di tensione nel componente è, nel caso più generale, di tipo pluriassiale : la

tensione massima da utilizzare per la verifica è quindi una tensione ideale σid (calcolata

secondo una delle ipotesi di cedimento che si impiegano quando la tensione non è

uniassiale) .

1) Materiale fragile

La tensione ammissibile in un materiale fragile è σamm = σlim / ηsf dove :

− ηsf è il fattore di sicurezza statico per un materiale fragile (ηsf = 2 ÷ 4)

− σlim è la tensione limite di un materiale fragile ( σlim = σR )

Se il componente è intagliato (Ks = Kt) la verifica utilizza la disequazione :

KK

1

K

1

t

amm

tsf

R

ssf

Rid

σ=

η

σ=⋅

η

σ≤σ

2) Materiale duttile

La tensione ammissibile in un materiale duttile è σamm = σlim / ηsd dove :

− ηsd è il fattore di sicurezza statico per un materiale duttile (ηsd = 1.33 ÷ 2)

− σlim è la tensione limite di un materiale duttile ( σlim = σS )

Se il componente è intagliato (Ks = 1) la verifica utilizza la disequazione :

σ=η

σ=⋅

η

σ≤σ amm

sd

s

ssd

Sid

K

1

Nota. Alcuni autori propongono un legame funzionale tra Ks e Kt :

( )1K q1K tss −+=

dove qs è la sensibilità agli intagli nel caso di carichi statici

qs = 1 per materiali fragili

qs = 0 per materiali duttili

Fig. 1 – Effetto di intaglio dovuto a brusca variazione della sezione

Fig. 2 – Linee di forza per intagli di diversa severità

Fig. 3 – Esempi di intaglio negli elementi di macchine

Fig. 4 – Fattore di concentrazione della tensione in una trave soggetta a forza normale

Fig. 5 – Fattore di concentrazione della tensione in una trave soggetta a flessione

Fig. 6 – Concentrazione della tensione dovuta ad un foro passante circolare

Fig. 7 – Andamento di Kt in una trave forata al variare del rapporto d / H

Fig. 8 - Concentrazione della tensione dovuta ad un foro passante ellittico

Fig. 9 – Ellisse equivalente ad intaglio di forma diversa

Fig. 10 – Concentrazione della tensione in una trave sottile ed in un albero intagliato

Fig. 11 – Concentrazione della tensione in alberi sollecitati assialmente ed in flessione

Fig. 12 - Concentrazione della tensione in alberi sollecitati assialmente ed in flessione

Fig. 13 – Concentrazione della tensione in alberi sollecitati in torsione

Fig. 14 – Intagli singoli ed intagli multipli

Fig. 15 – Impiego dell’effetto ombra per ridurre la concentrazione di tensione

Fig. 16 – Carico limite in elemento intagliato per materiali fragili

Fig. 17 – Carico limite in elemento intagliato per materiali duttili