Effetto di intaglio
Il calcolo analitico dello stato di tensione e di deformazione in un componente di un
organo di macchina è possibile solo se il componente può essere assimilato ad una trave
di De Saint Venant. Spesso, però, i vincoli, le modalità di applicazione dei carichi e le
forme geometriche dei componenti differiscono sensibilmente da quelle assunte nella
Teoria delle Travi .
Nella maggior parte dei casi, le esigenze funzionali e costruttive impediscono il rispetto
dell’ipotesi di sezioni uniformi (costanti) e si riscontrano spesso brusche variazioni della
geometria del componente localizzate in zone di estensione relativamente piccola: ciò
dà luogo a una concentrazione delle tensioni detta effetto di forma o effetto di intaglio.
Nelle zone prossime alla discontinuità geometrica non è più lecito riferirsi alla
distribuzione teorica delle tensioni (detta anche distribuzione nominale), ma occorre
conoscerne il reale andamento. Inoltre uno stato di tensione teoricamente uniassiale può
diventare, in certi casi, pluriassiale, almeno nelle immediate vicinanze dell’intaglio.
Per affrontare questo problema viene dapprima introdotto il concetto di intaglio e poi
viene definito il coefficiente d’intaglio, spesso più conosciuto con il nome di fattore
(teorico) di concentrazione della tensione. Per inciso, il nome “intaglio” (ed il relativo
termine coefficiente di intaglio) viene comunemente impiegato anche se la discontinuità
geometrica non è un vero e proprio intaglio ma è comunque una repentina variazione di
ampiezza (o di spessore) della sezione resistente di un componente.
Sulla base di questi concetti si potranno infine formulare i criteri per la verifica di
resistenza di organi meccanici intagliati in condizioni di carico statiche.
Coefficiente d’intaglio (fattore di concentrazione della tensione)
Si consideri una trave a sezione uniforme (costante) di forma rettangolare (lati b, ed H),
sottoposta a trazione. Secondo la trattazione della Teoria delle Travi lo stato di tensione
è di tipo uniassiale e la tensione vale:
bH
F
⋅=σ
La trave mostrata in fig.1 presenta una repentina variazione geometrica (la larghezza
passa bruscamente da H a h) e ciò non consente di assimilarla ad una trave a sezione
costante. Utilizzando la Teoria delle Travi si potrebbe, al più, calcolare lo stato di
tensione esclusivamente nelle zone 1 e 3 (lontane dalla variazione di sezione) nelle quali
risulta:
bh
F1
⋅=σ
bH
F3
⋅=σ
Per comprendere l’andamento delle tensioni nella zona 2 è utile ricorrere alla cosiddetta
“analogia idraulica”, tracciando le linee di corrente dentro la sezione resistente della
trave, che viene così equiparata alla sezione di efflusso di un fluido incomprimibile in
regime stazionario.
Nel caso di sezione uniforme di area A, indicando con V la velocità del fluido e con Q
la portata volumetrica, in ogni sezione del condotto si ha :
A
QV =
e quindi, per analogia, la tensione normale (costante) nella sezione resistente della trave
equivalente vale:
A
F=σ
come prescritto dalla Teoria delle Travi .
Se il condotto presenta una variazione di sezione, la costanza della portata (Q = cost)
porta ad affermare che il moto del fluido sarà perturbato da tale variazione: le linee di
flusso tenderanno ad addensarsi maggiormente vicino alla parete del condotto per poi
diradarsi al centro della sezione.
Osservazioni:
• Le linee di corrente si addensano dove la velocità aumenta e si diradano dove essa
decresce.
• Il vettore velocità del fluido è , in ogni punto, tangente alla linea di corrente.
• La direzione di una tensione principale è, in ogni punto, tangente ad una linea
isostatica.
Il profilo di velocità nel condotto presenta quindi un massimo sulla parete e un minimo
in corrispondenza dell’asse, come si intuisce osservando zona 2 della figura precedente,
ove il flusso del fluido è rappresentato mediante linee la cui densità è proporzionale alla
velocità.
Per la trave equivalente si può prevedere, in prossimità dei bordi, un valore massimo
della tensione σmax che è sicuramente maggiore della tensione nominale σ0, calcolata
facendo riferimento alla Teoria delle Travi. La sezione 2 è quindi detta sezione
d’intaglio o sezione intagliata.
La tensione al centro della sezione 2 è invece minore di σ0, in quanto nella sezione
intagliata deve essere verificata la relazione di equilibrio:
∫σ=A
dA F
L’analogia idraulica permette anche di capire, intuitivamente, che quanto più brusca è la
variazione di sezione, tanto maggiore è l’addensamento del flusso (fig. 2) .
Si può inoltre comprendere come le grandezze dalle quali dipende l’effetto d’intaglio
siano i rapporti adimensionali H/h (rapporto che descrive l’entità del restringimento
della sezione) e r/h, (rapporto che descrive la severità dell’intaglio) essendo r il raggio
di raccordo dell’intaglio.
Esempi di intagli molto diffusi sono: i fori per il passaggio delle viti in una giunzione
bullonata, lo spallamento realizzato su un albero allo scopo di permettere
l’alloggiamento di un cuscinetto, la filettatura di una vite, il raccordo al piede dei denti
delle ruote dentate, la sede delle linguette, una giunzione saldata, ecc. (fig. 3) .
Dal punto di vista del calcolo a resistenza statica, si introduce un opportuno coefficiente
adimensionale, detto fattore teorico di concentrazione della tensione (o coefficiente
d’intaglio statico teorico, o ancora coefficiente di sovrasollecitazione teorico Kt ) che
esprime il rapporto tra la tensione effettiva massima nella zona dell’intaglio e la
tensione che si calcolerebbe in quella stessa zona in assenza di intaglio: quest’ultima è
definita tensione nominale.
Tale definizione presuppone il rispetto della linearità nel legame costitutivo del
materiale (ipotizzato anche omogeneo e isotropo): Kt dipende allora solo dalla
geometria del problema e dal tipo di carico applicato (flessione, trazione, torsione ecc. ).
Per questo motivo il coefficiente Kt viene talora indicato con il nome di fattore
geometrico (Kg) o elastico (Ke) di concentrazione della tensione.
Considerando la trave già utilizzata per illustrare questi concetti, la tensione nominale
nella sezione d’intaglio 2 risulta:
bh
F0
⋅=σ ovvero 0
F
H b=
⋅σ
e quindi, se è nota la tensione massima σmax, si calcola il fattore teorico di
concentrazione della tensione Kt tramite il rapporto:
σ
σ=
0
maxtK
Occorre puntualizzare che l’impiego pratico (ai fini dell’esecuzione dei calcoli di
progetto) di tale fattore è quello di ottenere il valore della tensione massima σmax ,
difficile da valutare tramite calcoli analitici, una volta nota la tensione nominale σ0, che
invece si può calcolare molto più facilmente se nella zona d’intaglio si ipotizza la
presenza di una sezione uniforme (non intagliata) sulla quale la distribuzione di
tensione può essere valutata (in quanto costante o variabile linearmente).
Il fattore (teorico) di concentrazione della tensione Kt viene di solito rappresentato
graficamente in funzione di opportuni rapporti tra le dimensioni che caratterizzano la
geometria dell’intaglio, tramite curve che variano, a volte anche sensibilmente, al
variare del tipo di carico considerato ( figg. 4 e 5 ) .
E’ interessante notare come il fattore Kt della trave sottile inflessa sia diverso, a parità di
geometria, da quello della trave soggetta ad forza assiale. Infatti la distribuzione
nominale delle sollecitazioni, e quindi la perturbazione indotta dall’intaglio, varia con il
tipo di carico applicato.
Esistono delle raccolte di valori del fattore di concentrazione della tensione, presentate
sotto forma di diagrammi pubblicati su testi tecnici specialistici ( si cita, ad esempio,
R. E. Peterson, “Stress concentration factors”, John Wiley & sons, New York ).
Altrimenti la determinazione del Kt richiede il ricorso ad analisi teoriche, a indagini
sperimentali, o, ancora, a calcoli numerici eseguiti con il metodo degli Elementi Finiti.
Concentrazione delle tensioni in geometrie comuni
1) Travi sottili forate e intagliate
Un tipo comune di intaglio in una trave sottile a sezione rettangolare è il foro passante,
con asse perpendicolare al piano della trave. La massima perturbazione del flusso delle
tensioni si verifica in corrispondenza del piano contenente l’asse del foro e normale
all’asse della barretta (fig .6) .
La sollecitazione nominale nella sezione minima è data da:
b)dh(
F0
⋅−=σ
I valori di Kt per la trave forata soggetta a forze assiali sono riportati in fig. 7 .
Se il foro è di piccole dimensioni rispetto alla larghezza H della trave (d/H → 0), il
fattore di concentrazione della tensione vale Kt = 3. E’ altresì interessante notare come
per un foro molto grande rispetto alla larghezza della trave si abbia Kt → 2.
Si può dimostrare che il Kt al bordo di un foro ellittico (fig. 8) caratterizzato dai
semiassi “c” ed “a” (dimensione “a” parallela alla forza F), in una lastra di larghezza
molto grande rispetto ai semiassi “c” ed “a” è esprimibile mediante la relazione :
⋅+=
a
c21K t
Il foro circolare può essere considerato un caso particolare del foro ellittico: infatti per
c/a = 1 la precedente formula restituisce Kt = 3.
Considerando una trave contenente un foro ellittico si può valutare l’effetto della forma
del foro: per esempio con c/a = 3 si ricava Kt = 7, mentre con c/a = 0,33 =1/3 , il fattore
di concentrazione della tensione scende a Kt = 1,67. Ciò è dovuto al più agevole flusso
delle tensioni attorno al foro orientato in direzione longitudinale.
Poiché per una ellisse il raggio di curvatura valutato sull’asse trasversale (ossia nei punti
di coordinate ± c) vale:
c
a2
=ρ
il fattore di concentrazione della tensione può essere espresso come:
Kt = ρ+=ρ
+=
+ /c21
c
c21
a
c21
Questa equazione consente di evidenziare le due grandezze caratteristiche di un intaglio
ellittico : la semilarghezza c e il raggio di raccordo ρ.
Anche nei casi di “ellisse equivalente” (fig. 9), relativi ad intagli di forma diversa
dall’ellisse (per esempio fori ovali, scanalature con il bordo circolare, due fori connessi
da una scanalatura), il fattore di concentrazione della tensione si può calcolare con
ottima approssimazione tramite l’espressione ρ+= /c21K t .
2) Alberi di trasmissione
Si consideri un intaglio a U in una trave prismatica sottile sollecitata da forza assiale e
poi un “analogo” intaglio praticato in un albero a sezione circolare, anch’esso
sollecitato da un carico assiale: lo stato di tensione dei due componenti risulta
completamente diverso (fig. 10) . Nella lastra si ha uno stato di tensione uniassiale
anche nel punto più sollecitato, mentre nell’albero lo stato di tensione causato dalla
presenza dell’intaglio è biassiale poiché nasce anche una componente di tensione
circonferenziale positiva σ2, dovuta alle contrazioni trasversali ε2 che nella zona
dell’intaglio sono impedite, almeno parzialmente.
Nel caso dell’albero il fattore di contrazione Kt si definisce come il rapporto tra la
tensione principale massima σ1 e la tensione uniassiale nominale σ0 :
1t
0
K =σ
σ
Le curve delle figg. 11 e 12 riportano i fattori di concentrazione della tensione per alberi
sollecitati assialmente o in flessione, provvisti di spallamenti e gole circonferenziali.
Per alberi soggetti a torsione si definisce un fattore di concentrazione della tensione per
le tensioni tangenziali definito come:
τ
τ=
0
maxtK
Le curve di fig. 13 riportano il fattore di concentrazione della tensione per un albero con
variazioni di sezione soggetto ad un momento torcente.
3) Intagli multipli ed effetto ombra
La presenza di intagli “multipli” (intagli ripetuti uno vicino all’altro) non è più gravosa
di quella di un intaglio singolo. Si può constatare ciò alla luce, ancora una volta,
dell’analogia idrodinamica. Osservando l’andamento delle linee di corrente risulta
evidente che gli intagli intermedi non subiscono sovrasollecitazioni maggiori di quelle
dell’intaglio singolo, mentre gli intagli di estremità presentano concentrazioni simili a
quelle dell’intaglio singolo (fig. 14) .
Tale effetto è conosciuto anche come “effetto ombra”: la presenza di un primo intaglio
tende a “incanalare” le tensioni riducendo la concentrazione di tensione su altri intagli
“successivi” a questo. Quest’effetto permette di adottare soluzioni costruttive che
consentono di ridurre il fattore di concentrazione della tensione in intagli
particolarmente gravosi.
Si consideri, per esempio, un albero su cui sia calettato un cuscinetto. Affinché il
cuscinetto possa appoggiare correttamente allo spallamento su cui fa battuta, alla base di
quest’ultimo si dovrebbe realizzare un raccordo con raggio molto piccolo e quindi si
avrebbe un elevato effetto di intaglio. Ciò non si verifica se si adotta la classica
soluzione progettuale di praticare una gola di scarico di grande raggio, oppure si
realizzano una o più gole circonferenziali atte a creare un effetto ombra (fig. 15)
Fattore sperimentale di concentrazione della tensione
Ai fini progettuali è necessario analizzare le condizioni limite di sollecitazione (carico
limite) dei componenti intagliati al variare del tipo di materiale (duttile/fragile).
Si definisce fattore sperimentale di concentrazione della tensione Ks il rapporto tra il
carico limite di un elemento non intagliato ed il carico limite dell’elemento intagliato
con la stessa sezione resistente dell’elemento non intagliato
F
FK '
lim
lims =
Per determinare Ks è quindi necessario distinguere tra materiali fragili e materiali duttili.
Si consideri, quale esempio, una lastra (provvista, oppure no, di un piccolo foro
centrale) sottoposta a trazione uniforme in una sola direzione e sia fx la forza per unità
d’area la cui risultante è la forza di trazione F .
Materiali fragili
Per questi materiali la curva σ-ε rimane lineare fino alla rottura e quindi il carico
unitario limite è assunto pari al carico unitario di rottura σR . Si hanno i due casi
seguenti (assenza o presenza del foro) :
1) la lastra senza foro giunge al collasso quando fx = σR = (fx)lim
2) la lastra con foro giunge al collasso quando 3
fR
x
σ= = (fx)
’lim
Pertanto ( fig. 16 ) : x lims '
x lim
(f )K 3
(f )= = ( = Kt )
Nota. La frattura iniziale si genera nei punti A e B quando la forza esterna fx raggiunge
il valore σR/3. La linea di frattura (che nel primissimo istante è di lunghezza
infinitesima) è causa di elevatissima sovrasollecitazione (il raggio di raccordo all’apice
della frattura è teoricamente nullo) e quindi la propagazione della linea di frattura
avviene pressoché istantaneamente, in quanto il materiale all’interfaccia tra i due lembi
separati non ha più alcuna capacità di resistere al carico esterno, mentre la sezione
resistente decresce via via che la frattura procede.
Materiali duttili
Per questi materiali la curva σ-ε rimane lineare fino allo snervamento e se il
comportamento del materiale è rappresentato dal modello schematico elastico-
perfettamente plastico, il secondo tratto della curva è una retta a pendenza nulla.
Nuovamente si distinguono i due casi (assenza o presenza del foro) :
1) la lastra senza foro giunge al collasso quando fx = σs = (fx)lim
2) la lastra con foro giunge al collasso quando fx = σs = (fx)’lim
Pertanto ( fig. 17 ) : x lims '
x lim
(f )K 1
(f )= =
Nota. Quando la forza fx raggiunge il valore σs/3 , nei punti A e B il materiale si snerva
(poiché in quei punti la tensione ha il picco σ = 3(σs/3) = σs), ma la lastra non si rompe
(il materiale sopporta ancora aumenti del carico finché in tutta la sezione si ha fx = σS ).
Se la condizione limite è determinata dal raggiungimento del carico unitario di
snervamento, l’intaglio non penalizza la lastra riducendone la capacità di carico ultima .
Progettazione dei componenti con intagli soggetti a carichi statici
Con il termine “carico statico” si intende un carico non ripetuto nel tempo
Lo stato di tensione nel componente è, nel caso più generale, di tipo pluriassiale : la
tensione massima da utilizzare per la verifica è quindi una tensione ideale σid (calcolata
secondo una delle ipotesi di cedimento che si impiegano quando la tensione non è
uniassiale) .
1) Materiale fragile
La tensione ammissibile in un materiale fragile è σamm = σlim / ηsf dove :
− ηsf è il fattore di sicurezza statico per un materiale fragile (ηsf = 2 ÷ 4)
− σlim è la tensione limite di un materiale fragile ( σlim = σR )
Se il componente è intagliato (Ks = Kt) la verifica utilizza la disequazione :
KK
1
K
1
t
amm
tsf
R
ssf
Rid
σ=
η
σ=⋅
η
σ≤σ
2) Materiale duttile
La tensione ammissibile in un materiale duttile è σamm = σlim / ηsd dove :
− ηsd è il fattore di sicurezza statico per un materiale duttile (ηsd = 1.33 ÷ 2)
− σlim è la tensione limite di un materiale duttile ( σlim = σS )
Se il componente è intagliato (Ks = 1) la verifica utilizza la disequazione :
σ=η
σ=⋅
η
σ≤σ amm
sd
s
ssd
Sid
K
1
Nota. Alcuni autori propongono un legame funzionale tra Ks e Kt :
( )1K q1K tss −+=
dove qs è la sensibilità agli intagli nel caso di carichi statici
qs = 1 per materiali fragili
qs = 0 per materiali duttili
Fig. 1 – Effetto di intaglio dovuto a brusca variazione della sezione
Fig. 2 – Linee di forza per intagli di diversa severità
Fig. 3 – Esempi di intaglio negli elementi di macchine
Fig. 4 – Fattore di concentrazione della tensione in una trave soggetta a forza normale
Fig. 5 – Fattore di concentrazione della tensione in una trave soggetta a flessione
Fig. 6 – Concentrazione della tensione dovuta ad un foro passante circolare
Fig. 7 – Andamento di Kt in una trave forata al variare del rapporto d / H
Fig. 8 - Concentrazione della tensione dovuta ad un foro passante ellittico
Fig. 9 – Ellisse equivalente ad intaglio di forma diversa
Fig. 10 – Concentrazione della tensione in una trave sottile ed in un albero intagliato
Fig. 14 – Intagli singoli ed intagli multipli
Fig. 15 – Impiego dell’effetto ombra per ridurre la concentrazione di tensione
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