(eBook - Ita - Fisica) La Nascita Della Teoria Della Relativit Di Einstein (PDF)

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2. La nascita della teoria della relatività di

Einstein

28



Alcuni protagonisti

̄ velocità della luce: Olaf Römer (1675, astronomo danese), Fizeau

[1819-1896] (1849), Foucault (1819-1868), Michelson (1852-1931)

̄ ottica dei corpi in movimento e etere: Fizeau (1851), Michelson,

Morley (1838-1923)

̄ elettromagnetismo, etere e materia: J.J. Thomson, FitzGerald (1851-1901), Lorentz (1853-1928), Larmor (1857-1942), Abraham (1875-1922),

Wien (1864-1928), Poincaré (1854-1912)

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Relatività Galileiana

È il principio di inerzia a fornirci uno strumento di discriminazione tra i vari si-

stemi di riferimento: dato un sistema di riferimento in cui valgono le leggi della

Meccanica (essenzialmente Ñ ) in qualunque sistema di riferimento in

moto rettilineo uniforme rispetto ad esso valgono le stesse leggi (principio di

relatività galileiana).

Ö

́ Ø µ Ö

¼

́ Ø µ · Ú

Ø (1)

Ø Ø

¼ (2)

Ö

́ Ø µ Ö

¼

́ Ø µ · Ú (3)

Ö

́ Ø µ Ö

¼

́ Ø µ (4)

Ö

½

Ö

¾

Ö

¼

½

· Ú

Ø Ö

¼

¾

Ú

Ø Ö

¼

½

Ö

¼

¾

(5)

30



¹

©

¹

©

Ü

Ý

Þ

OÜ

¼

Ý

¼

Þ

¼

O¼

Ø

vt

Ò

µ

½

Ú

¼

× Ù Ó Ò Ó

Ú

¼

× Ù Ó Ò Ó

[Fizeau] La prima ipotesi è quella che afferma che la stanza trascina nel suomoto, insieme alla sorgente luminosa, anche questa sostanza , l’etere, così

come prima l’aria veniva trascinata dalla stanza. In questo caso la legge di

trasformazione dovrebbe rimanere quella galileiana.

[Michelson-Morley] La seconda ipotesi è quella dell’etere come sistema di

riferimento assoluto : la nostra stanza insieme alla sorgente luminosa si spostasenza trascinare l’etere in alcun modo, bensì si muove attraverso l’etere con-

siderato come sistema assoluto di riferimento, fermo rispetto a qualunque

sistema inerziale. Per l’osservatore esterno alla stanza, fermo nel sistema

di riferimento assoluto, la luce avrebbe velocità costante in ogni direzione.

Per ogni osservatore in moto rispetto all’oceano di etere la velocità della luce

sarebbe diversa rispetto a diverse direzioni .

31



(1) La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimentoinerziali (legge fondamentale nel campo dei fenomeni elettromagnetici ).

(2) Tutte le leggi di natura sono le stesse nei sistemi di riferimento inerziali.

Entrambi questi enunciati sono sperimentalmente verificati, il secondo è unaestensione a tutti gli eventi della natura del principio di relatività galileiana.

Nel campo della Meccanica newtoniana veniva postulato poi che:

(T) Posizione e tempo nel passaggio da un sistema inerziale all’altro ubbidis-cono alle trasformazioni galileiane .

L’aggiunta di questo postulato implica una contraddizione tra (1) e (2), manello stesso tempo afferma l’invarianza in forma delle leggi della MeccanicaClassica. L’eliminazione di (T) e la sua sostituzione con

(T¼

) Posizione e tempo nel passaggio da un sistema inerziale all’altro ubbidis-cono alle trasformazioni di Lorentz .

porta ad una ricomposizione di (1) e (2) in un unico principio (principio di rela-

tività ristretta ), ma nello stesso tempo asserisce che le leggi della Meccanica

Classica sono solo un’ottima approssimazione, che è in pratica “tutta la verità”

quando Ú (cioè nella nostra esperienza di tutti i giorni).

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Ecco quindi che delle tre possibilità:

(a) vale un principio di relatività per la Meccanica manon per l’Elettrodinamica; esiste per l’Elettrodinami-ca un riferimento inerziale privilegiato, il riferimentoetereo

(b) vale un principio di relatività sia per la Meccanicache per l’Elettrodinamica, ma l’Elettrodinamica non èformulata correttamente dalle equazioni di Maxwell

(c) vale un principio di relatività sia per la Meccanicache per l’Elettrodinamica, ma non è corretta la formu-lazione newtoniana delle leggi della Meccanica

solo la possibilità (c) è in accordo con i risultati speri-

mentali e quindi corretta.

33



34



Elettrodinamica dei corpi in movimentoprincipi e teorie alla fine dell’Ottocento

̄ Principi di relatività e invarianza: dalla geome-tria alla fisica (il “programma di Erlangen” di Felix

Klein [1849-1925]).

̄ L’affermarsi esplicito di una distinzione tra teoriecostruttive (Weber e Maxwell in una prima fase)e teorie dei principi (Franz Neumann, Maxwell,

von Helmholtz [teorie del potenziale] e gli allievidi prima e seconda generazione di Franz Neu-mann: Kirchhoff, Voigt [vettori e vettori assiali],Planck, Drude).

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Contrazioni delle lunghezze e dilatazioni dei tempi

Tra il 1892 e il 1904 Lorentz elabora la sua teoria dell’elettrone, le cui equazioni

e i cui risultati, ma non l’interpretazione, finiranno per coincidere in larga parte

con quelli della relatività di Einstein.

̄ 1892-1895: espressione della “forza di Lorentz”

̄

Ritrovando indipendentemente anche risultati di W. Voigt (1850-1919;1887), Lorentz introduce nel 1892 l’idea di tempo locale e contrazione

delle lunghezze (autonomamente proposta nel 1889 da FitzGerald) per

spiegare il risultato negativo degli esperimenti di Michelson e Morley.

Da queste ipotesi discendono le “trasformazioni di Lorentz” 1899-1904.

̄ Etere stazionario come sistema di riferimento assoluto e elettrone (chia-

mato “ione” fino al 1899) deformabile.

̄ Negli stessi anni i contributi di Larmor (Aether and Matter, 1900 ) por-

tano a conclusioni simili a quelle di Lorentz ma sulla base di un modello

etereo nel quale l’elettrone viene interpretato come singolarità.

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Altre teorie dell’elettrone

̄ Max Abraham [1875-1922] (Berlino, Göttingen, Illinois, Milano, Aachen):

dinamica dell’elettrone come sfera rigida (non deformabile).

̄ Emil Cohn [1854-1944] (Strasburgo): continua l’approccio di alcuni

filoni “maxwelliani” considerando il campo e.m. come l’entità fondamen-

tale e cercando opportuni aggiustamenti delle equazioni che regolano

la dinamica dei campi. Non interessato al riduzionismo meccanico con-

sidera la nozione di etere come non necessaria (richiamandosi anche

al principio di “economia del pensiero” di Mach). Critica la distinzione

di Lorenz tra coordinate spaziotemporali vere/generali e misurate/locali,

ma non crede nella validità generale del principio di relatività.

̄ Alfred Bucherer [1853-1928] (John Hopkins and Cornell University,

Strasburgo, Bonn): dinamica dell’elettrone deformabile con la condizione

che il volume deve restare costante. Quindi a una contrazione in una

direzione corrisponde la dilatazione in un’altra.

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I contributi di Poincaré

̄ La mesure du temps (1898): ‘Non abbiamo alcuna intuizione direttadell’uguaglianza di due intervalli temporali: coloro che ritengono di averetale intuizione sono vittime di un’illusione. [...] È difficile separare i prob-lemi di carattere qualitativo della simultaneità dal problema di caratterequantitativo della misura del tempo; [per stabilire la simultaneità] o siusa un cronometro o ci si basa sulla velocità di propagazione di unsegnale come la luce, velocità che però non si può determinare senzaeffettuare una misura di tempo.’ Discutendo i limiti di queste definizioni

Poincaré conclude: ‘La simultaneità di due eventi, o l’ordine in cui sisuccedeono, come pure l’uguaglianza di due intervalli temporali, si de-vono definire in modo tale che le leggi naturali assumano la forma piùsemplice possibile. In altre parole, tutte le regole e le definizioni sonosemplici conseguenze di un opportunismo inconscio.’

̄ Intervento al Congresso di Parigi (1900): analisi critica della nozione dietere.

̄ Intervento al Congresso di St. Louis (1904): Sincronizzazione degliorologi mediante segnali luminosi; analisi critica dei principi di conser-vazione (il secondo principio della termodinamica, il terzo della mec-canica newtoniana, il principio di relatività, il principio di conservazionedella massa, il principio di minimo dell’azione). Nelle conclusioni silegge “forse dobbiamo edificare una nuova meccanica, che riusciamoa mala pena a intravedere, [...] in cui la velocità della luce diventi unlimite invalicabile’.

38



Il 1905

̄ 5 giugno: Poincaré presenta la prima memoria all’accademia delle scienze

di Parigi.

̄ 30 giugno: il primo articolo di Einstein su “Elettrodinamica dei corpi in

movimento”.

̄ Luglio 1905 (pubblicata nel 1906): Poincaré presenta completa la se-

conda memoria (in Rendiconti del circolo matematico di Palermo).

̄ 27 settembre: secondo articolo di Einstein “L’inerzia di un corpo dipende

dalla sua energia?”. (Una terza memoria intitolata “Sul principio di re-

latività e le conclusioni da esso ricavate” apparirà nel 1907).

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Le trasformazioni di Lorentz-Poincarè-Einstein

Ü

¼

Ü Ú Ø

´ ½ Ú

¾

¾

µ

½ ¾

Ý

¼

Ý

Þ

¼

Þ

Ø

¼

Ø ́ Ú

¾

µ Ü

´ ½ Ú

¾

¾

µ

½ ¾

(6)

relative a due sistemi K e K ¼ (che si muove di moto uniforme rispetto a Ã

con velocità Ú diretta lungo l’asse Ü ). Da queste discende la regola di compo-

sizione delle velocità:

Ú

Ú

¼

· Ú

Ö

½ · ́ Ú

¼

Ú

Ö

µ

¾

̧ ¬

¬

½

· ¬

¾

½ · ¬

½

¬

¾

(7)

40



41



42



43



44



¹

Á

passato

futuro

Ü

Ø

altrovealtrove

d b

ca

O³

sulla retta Ü Ø e sulla retta Ü Ø ; nelle regioni Ç

( Ø ¼ ) e Ç ( Ø ¼ ) si ha

¾

Ø

¾

Ü

¾

¼ (intervalli di “tipo tempo”: si può

sempre trovare un sistema di riferimento nel quale due eventi hanno luogo

nello stesso punto dello spazio aØ

diversi); nelle regioni Ç

e Ç

si ha

¾

Ø

¾

Ü

¾

¼ (intervalli di “tipo spazio”, nei quali l’intervallo spazio temporale

è immaginario: si può sempre trovare un sistema di riferimento nel quale

due eventi sono simultanei, ma anche uno in cui un evento precede l’altro e

viceversa, cioè non è definita la concatenazione causale degli eventi in modo

invariante).

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Il gruppo delle rotazioni non è abeliano in spazi a dim > 2

Una rotazione B diÃ

inÃ

¼

Ü

¼

¿

½

Ü

½ ¾ ¿ (8)

Una rotazione A di Ã

¼ in Ã

¼ ¼

Ü

¼ ¼

¿

½

Ü

¼

½ ¾ ¿ (9)

La loro composizione C=AB è ancora una rotazione:

Ü

¼ ¼

¿

½

¿

½

Ü

¿

½

́

¿

½

µ Ü

¿

½

Ü

(10)

Ovviamente AB BA, poiché gli elementi di D=BA sono:

¿

½

(11)

Nel caso dello spaziotempo di Minkowski la condizione di ortogonalità tieneconto del fatto che gli elementi di matrice non sono tutti reali (come per le

trasformazioni spaziali euclidee): al posto della delta c’è il tensore

.

46



47



Relatività Ristretta e esperimenti - I

̄ Fresnel aveva previsto che se un liquido (o altro oggetto trasparente) simuove dentro un tubo (o lungo una traiettoria rettilinea) con velocità Ú

rispetto all’etere e un raggio di luce percorre il tubo (o l’oggetto traspar-ente) nella stessa direzione, allora la velocità della luce nel riferi-mento di laboratorio non è data dalla legge di composizione galileianadelle velocità (

Ò

· Ú ) ma da:

Ò

· Ú

½

½

Ò

¾

(12)

con Ò indice di rifrazione del mezzo. Fresnel (e con lui Fizeau cheverificò sperimentalmente l’equazione nel 1851) ipotizzava che la lucetrasmettesse vibrazioni elastiche all’etere attraversato: la presenza delfattore ½

½

Ò

¾

esprime il fatto che la luce non può acquistare una ve-locità addizionale pari a Ú perché è parzialmente rallentata dall’eterepresente nel mezzo. Le relazioni puramente cinematiche di addizione

delle velocità ricavate da Einstein danno pienamente conto del risultatodi Fresnel-Fizeau senza ricorrere a considerazioni sull’etere:

Ò

· Ú

½ ·

Ò

Ú

¾

³

Ò

· Ú

½

Ú

Ò

(13)

da cui si riottiene (trascurando Ú

¾

Ò

½ ) l’espressione di Fresnel-Fizeau.

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Relatività Ristretta e esperimenti - II

̄ L’aberrazione stellare (Bradley, 1728): A causa del moto con velocitàÎ della Terra una stella che apparirebbe allo zenith se la Terra fossein quiete appare in realtà spostata di un angolo « dalla verticale conØ Ò « Î . Il concetto di etere in quiete assoluta, introdotto da Fres-nel nella famosa lettera ad Arago del 1818, aveva proprio il fine di sp-iegare l’effetto di aberrazione che sarebbe nullo se la Terra trascinassel’etere nel suo moto. Consideriamo il sistema Ã (per semplicità bidi-mensionale con assi Ý verticale e Ü orizzontale) solidale con la stella: lavelocità dell’impulso luminoso da essa proveniente sarà in componenti ́ Ú

Ü

¼ Ú

Ý

µ . Secondo la legge di composizione delle velocità di

Einstein (supponendo la velocitàÎ

di traslazione del sistema solidalealla terra, Ã

¼ , rispetto a Ã diretta lungo Ü parallelo a Ü

¼ ) si ha:

Ú

Ü

Ú

Ü

¼

· Î

½ · ́ Ú

Ü

¼

Î µ

¾

(14)

Ú

Ý

Ú

Ý

¼

´ ½ ¬

¾

µ

½ ¾

½ · ́ Ú

Ü

¼

Î µ

¾

(15)

siccome Ú

Ü

¼ dalla prima si ricava Ú

Ü

¼

Î , mentre tenendo contoche Ú

Ý

e Ú

Ü

¼

Î dalla seconda si ottiene:

Ú

Ý

¼

´ ½ ¬

¾

µ

½ ¾

½ Î

¾

¾

(16)

da cui Ú

Ý

¼

´ ½ ¬

¾

µ

½ ¾ . Infine:

Ø Ò «

Ú

Ü

¼

Ú

Ý

¼

Î

(17)

Sviluppando ´ ½ ¬

¾

µ

½ ¾ in serie si ritrova, trascurando termini

al secondo ordine inÎ

, l’espressione di Fresnel, ma senza ricorrereal riferimento etereo assoluto.

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Relatività Ristretta e esperimenti - III

̄ Effetto Doppler:

¼

½

Ú Ó ×

(18)

dove

è l’angolo formato da un raggio di luce monocomatica di fre-quenza con la direzione Ü . Einstein in tal modo scopre l’effetto Dopplertrasverso:

¼

anche se il moto della sorgente luminosa è perpen-dicolare alla direzione di osservazione (sulla possibilità di rivelare spe-rimentalmente l’effetto Doppler trasverso Einstein pubblica una brevenota nel 1907).

̄ Legge di trasformazione dell’energia di un raggio di luce:

¼

½

Ú Ó ×

(19)

L’analogia tra questa espressione e l’espressione (18) viene così com-mentata da Einstein nel suo lavoro del 1905: “È degno di rilievo che l’energia e la frequenza di un complesso luminoso varino con la stessa legge al variare dello stato di moto dell’osservatore.”

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La controversia sulla massa elettromagneticaNel limite per velocità Ú piccole rispetto a la massa è Ñ

Ó

¾

¾

(o cam-

biando unità di misuraÑ

Ó

¾

¾

¿

¾

).

̄ Abraham:

Ñ

¿

Ñ

Ó

½

¬

¾

½ · ¬

¾

¾ ¬

Ð Ò

½ · ¬

½ ¬

½

Ñ

Ó

½ ·

¾

¬

¾

·

¿

¬

(20)

̄ Bucherer:

Ñ Ñ

Ó

½ ¬

¾

¡

½ ¿

Ñ

Ó

½ ·

½

¿

¬

¾

·

¾

¬

(21)

̄ Lorentz (Einstein):

Ñ Ñ

Ó

½ ¬

¾

¡

½ ¾

Ñ

Ó

½ ·

½

¾

¬

¾

·

¿

¬

(22)

51



Gli esperimenti di Kaufmann tra il 1901 e il 1906 lo portavano a concludere:

“I risultati delle misure sono incompatibili con il postulato di Lorentz-Einstein.

L’equazione di Abraham e quella di Bucherer si accordano ugualmente bene

con le osservazioni ”. Planck nel 1906 analizzava i dati di Kaufmann (ot-

tenendo tra l’altro per la prima volta l’espressione covariante della forza di

Newton per una particella carica) senza trovare errori ma, come Lorentz, as-

sumeva un atteggiamento di prudente attesa di risultati più precisi. Einstein

nel 1907 scriveva: “Kaufmann ha determinato, con ammirevole precisione,

la relazione fra [la deflessione elettrica e quella magnetica] dei raggi beta...

Usando un metodo indipendente, Planck ha ottenuto risultati che concordano

pienamente con Kaufmann... Si deve inoltre notare che le teorie di Abraham

e Bucherer forniscono curve che si adattano alla curva empirica considerevol-

mente meglio della curva derivata dalla teoria della relatività. Tuttavia, a mio

giudizio, queste teorie sono alquanto improbabili poiché le loro ipotesi di base

sulla massa dell’elettrone in moto non sono avvalorate da sistemi teorici che

comprendano classi più vaste di fenomeni” .

I risultati del 1908-9 di Bucherer davano ragione a Einstein (anche se il verdetto

finale doveva arrivare solo nel 1914 da Neumann e nel 1915 da Guye e La-

vanchy). Minkowski ne fu entusiasta: “Introdurre un elettrone rigido nella teoria di Maxwell è come andare a un concerto con il cotone nelle orecchie” .

52



53



Relatività Ristretta dopo il 1905

̄ Nella breve nota del settembre del 1905 Einstein analizza la relazione Ñ

¾ . L’articolo termina con l’osservazione che: “i corpi il cui contenuto di energia è variabile in grado elevato, per esempio i sali di uranio ” avrebbero potuto essere usati per controllare questa previ-sione. La perdita di peso derivante da trasmutazioni radioattive vieneper la prima volta messa in relazione all’energia di legame da Plancknel 1907, ma solo negli anni trenta si arriverà, in un contesto teoricoprofondamente mutato, alle prime chiare indicazioni in questo senso.

̄ Nel 1908 Minkowski arriva all’identificazioni delle trasformazioni di Lorentzcon pseudorotazioni per le quali l’invariante fondamentale è:

Ü

¾

½

· Ü

¾

¾

· Ü

¾

¿

· Ü

¾

dove Ü

Ø (23)

Presentazione delle equazioni della meccanica e di quelle di Maxwell-Lorentz nella moderna forma tensoriale, introduzione dei termini “vettore-spazio”, “vettore-tempo”, “cono luce”, “linea universo”. La seplificazione

formale venne abbracciata da Einstein solo in seguito nell’ambito del-l’elaborazione della teoria della relatività generale. Minkowski affer-mava in una conferenza a Colonia del 1908 su Spazio e Tempo : “Leconcezioni dello spazio e del tempo che intendo presentarvi hanno leloro radici nella fisica sperimentale, e qui sta la loro forza. Sono con-cezioni drastiche: d’ora innanzi lo spazio in sé e il tempo in sé sonocondannati a dissolversi in nulla più che ombre, e solo una particolarecongiunzione dei due conserverà una realtà indipendente”.

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