duration - Corso di Laurea in Matematica per la Finanza e ...

1

1/-Unità 8.1

-Duration

DurationDuration

2/-Unità 8.1

-Duration

Portafoglio e cash flows (continua)

Un portafoglio può essere definito mediante un vett ore

nel quale la generica componente xs rappresenta la

quantità investita nell’attività s-esima , per s=1,2,…,m

E’ comodo per i calcoli successivi che l’unità di valu ta sia la

stessa ma non è obbligatorio

====

mx

x

x

x...

2

1

2

3/-Unità 8.1

-Duration

Portafoglio e cash flows (segue)

Data una matrice di dimensioni n××××m le cui colonne ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜn contengono I

cash flows derivanti da un’unità investita nelle sing ole attività, con n

numero degli istanti nei quali hanno luogo i cash f lows:

I cash flows prodotti dal portafoglio x sono semplicemente i flussi del

vettore y = Ax. x∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜm, y∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜn.

=

nmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

4/-Unità 8.1

-Duration

Portafoglio e cash flows, esempio (continua)

Dati i due titoli con cedole annue e durata 3 anni così caratterizzati:

- titolo 1: prezzo 95, cedola 5, valor nominale e di rimborso 100

- titolo 2: prezzo 103, cedola 8, valor nominale e di rimborso 100

La matrice A risulta:

=

103

108

95

105103

8

95

5103

8

95

5

A

3

5/-Unità 8.1

-Duration

Portafoglio e cash flows, esempio (segue)

Il portafoglio da analizzare sia il vettore

Il vettore che contiene i cash flows originati dal p ortafoglio e che viene

identificato con il portafoglio medesimo, un po’ imp ropriamente, è dato

da:

=

×+×

×+×

×+×

==62.535

83.33

83.33

103

108300

95

105200

103

8300

95

5200

103

8300

95

5200

xAy

=300

200x

6/-Unità 8.1

-Duration

Il nome portafoglio denota spesso i cash flows {{{{(as,ts)}}}}s=1,2,…,n prodotti agli istanti ts dalle m attività in portafoglio.

Portafoglio e cash flows, esempio (segue)

In numerosi contesti applicativi il portafoglio vie ne definito in forma normalizzata, ossia con la somma delle compon enti pari ad uno, nel qual caso ogni componente rappresenta l a percentuale investita nel singolo titolo.

Altre volte la quantità investita nel singolo titolo viene indicata a valor nominale, ma in questo caso i calcoli risul tano piùcomplessi.

Par.7.1

4

7/-Unità 8.1

-Duration

Valore di un portafoglio (continua)

Il valore di un portafoglio all’istante z, calcolat o al tasso di interesse

composto i – in presenza di una struttura piatta dei tassi di in teresse di

mercato, è dato da:

( ) ( ) ( )4434421

4434421 21

1

,011),(forma

z

forma

n

s

tzs iWiiaizW s +=+=∑

=

−

8/-Unità 8.1

-Duration

Valore di un portafoglio (segue)

Supponendo:

t1 < t2 < … < tp < z < tp+1 < … < tn

il valore del portafoglio si può scomporre nel mont ante dei flussi di cassa

che precedono z e nel valore attuale dei flussi che seguono z:

…

W(z,i) a1 a2 ap ap+1 ap+1 an 0 t1 t2 … tp z tp+1 t p+2 … tn

5

9/-Unità 8.1

-Duration

Valore di un portafoglio (segue)

…ossia in formule:

L’ipotesi sottostante è che tutti i primi p flussi di cassa siano reimpiegati

a tasso i fino all’istante z e in z i restanti n-p flussi siano venduti a tasso i.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )izPizMiaiaizWn

ps

tzs

p

s

tzs

ss ,,11,11

+=+++= ∑∑+=

−

=

−

10/-Unità 8.1

-Duration

Choc sulla struttura dei tassi di interesse, esempi o (continua)

Dato il portafoglio: {{{{(300,1),(400,2)(1200,4)}}}}

Calcolarne il valore W(2.5,10%) all’istante z=2.5 al tasso i 0=10%.

6

11/-Unità 8.1

-Duration

Choc sulla struttura dei tassi di interesse, esempi o (segue)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) 77.1805%10,5.2%10,5.2%10,5.2

14.1040%1012001%1012001%10,5.2

63.765%101400%101300

%101400%101300%10,5.2

5.145.2

5.05.1

25.215.2

====++++========++++====++++====

====++++++++++++====

====++++++++++++====

−−−−−−−−

−−−−−−−−

PMW

P

M

12/-Unità 8.1

-Duration


In caso di uno shock positivo di +1% sui tassi a q uanto ammonterebbero

M(2.5, i), P(2.5 , i) e W(2.5, i) ?

Viceversa a quanto ammonterebbero in caso di uno sho ck negativo di

–1%?

7

13/-Unità 8.1

-Duration


Le formule per calcolare M(2.5, i), P(2.5 , i) e W(2 .5, i) sono:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

%9%,11

1200114001300,5.2,5.2,5.2

1200112001,5.2

1400130014001300,5.2

5.15.05.1

5.145.2

5.05.125.215.2

====++++++++++++++++++++====++++====

++++====++++====

++++++++++++====++++++++++++====

−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

i

iiiiPiMiW

iiiP

iiiiiM

14/-Unità 8.1

-Duration


Rappresentiamo in forma sintetica i calcoli precede nti nella seguente tabella:

i 300 400 1200 M(z,i) P(z,i) W(z,i)

i0 10% 346,1069 419,5235 1040,141 765,63 1040,14 1805,77

i0+1% 11% 350,8373 421,4262 1026,117 772,26 1026,12 1798,38

i0-1% 9% 341,398 417,6123 1054,488 759,01 1054,49 1813,50

8

15/-Unità 8.1

-Duration


Lo choc positivo produce un aumento di M ed una diminuzione di P ed una complessiva riduzione di W

Lo choc negativo produce una diminuzione di M ed un aumento di P ed un complessivo aumento di W

16/-Unità 8.1

-Duration

Choc sulla struttura dei tassi di interesse, formalizzazione (continua)

Se si verifica prima di tprima di t 11, cioè prima del primo flussoprima del primo flusso , uno choc sui tassi di

interesse di ampiezza ∆∆∆∆i, le due componenti del valore W(z,i) del portafoglio

subiscono variazioni di segno opposto, dipendenti d al segno di ∆∆∆∆i :

∆∆∆∆i > 0 M(z,i+ ∆∆∆∆i) > M(z,i) , P(z, i+∆∆∆∆i) < P(z,i)

∆∆∆∆i < 0 M(z,i+ ∆∆∆∆i) < M(z,i) , P(z, i+∆∆∆∆i) > P(z,i)

M si dice soggetta a rischio di reimpiego, P soggett a a rischio di prezzo, W(z,i)

a rischio di tasso.

9

17/-Unità 8.1

-Duration

Choc sulla struttura dei tassi di interesse, formalizzazione (segue)

In generale le due oscillazioni subite dalle compon enti M(z,i) e P(z,i),

essendo di segno opposto, si compensano, ma non com pletamente.

Si pone il problema di cercare un istante z* che immunizzi il

portafoglio dal rischio di tasso, faccia in modo ci oè che il valore W al

più subisca una variazione trascurabile, a fronte di uno di choc sul

tasso.

18/-Unità 8.1

-Duration

Immunizzazione (continua)

La variazione del valore del portafoglio in z conse guente allo choc sui

tassi ∆∆∆∆i è approssimabile mediante l’infinitesimo principal e nell’intorno

di i:

La condizione di immunizzazione si può perciò tradu rre nella

condizione di annullamento dell’infinitesimo princi pale e, dunque,

della derivata prima:

( ) ( ) ( ) ( )ioii

izWizWiizW ∆+∆

∂∂=−∆+ ,

.,

( )0

,

*

=∂

∂

=zzi

izW

10

19/-Unità 8.1

-Duration

Immunizzazione (segue)

L’equazione

permette di trovare la scadenza z* in corrispondenz a della quale

l’infinitesimo principale della variazione compless iva del valore del

portafoglio in corrispondenza allo choc di ampiezza ∆∆∆∆i si annulla

( )0

,

*

=∂

∂

=zzi

izW

20/-Unità 8.1

-Duration

Espressione della funzione valore in due forme diverse ma equivalenti (continua)

La funzione valore può essere espressa in due forme apparentemente diverse, ma, in realtà, del tutto equivalenti come mostrato nell’unitàdidattica dedicata alle rendite in regime di intere ssi composti:

Forma 1 :

Forma 2 :

( )∑=

−+=n

s

tzs

siaizW1

1),(

( ) ( )iWiizW z ,01),( +=

11

21/-Unità 8.1

-Duration

Calcolo di z* , forma 1 (continua)

( )∑=

−+=n

s

tzs

siaizW1

1),(

( ) ( ) ( ) =+−=∂

∂∑

=

−−n

s

tzss

siatzi

izW

1

11,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⇒=

+−++=

=+−+=

∑ ∑

∑

= =

−−−

=

−−

0111

11

1 1

1

1

1

n

s

n

s

tss

ts

z

n

s

tss

z

ss

s

iatiazi

iatzi

( ) ( )( )

( )∑

∑

=

−

=

−

+

+==

n

s

ts

n

s

tss

s

s

ia

iatiDiz

1

1

1

1*

22/-Unità 8.1

-Duration

z*(i) = D(i) è la media aritmetica ponderata delle t s con pesi i valori attuali a s(1+i)-ts, ossia la duration della rendita generata dal portafoglio.

Calcolo di z* , forma 1 (segue)

12

23/-Unità 8.1

-Duration

Calcolo di z* , forma 2

( ) ( )iWiizW z ,01),( +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒=

∂∂+++=

∂∂ − 0

,01,01

, 1

i

iWiiWiz

i

izW zz

( ) ( )( ) ( )

( )iWi

iWi

iDiz,0

,01

* ∂∂+

−==

24/-Unità 8.1

-Duration

Le due espressioni per la duration trovate sono equivalenti

Duration , forma 1 e forma 2

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))iWi

iWi

ia

iatiDiz

n

s

ts

n

s

tss

s

s

,0

,01

1

1*

1

1 ∂∂∂∂∂∂∂∂++++

−−−−====++++

++++========∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

−−−−

====

−−−−

La duration espressa nella forma 2 non ha un’utilità pratica immediata, nel senso che per calcolarla normalmente si ricorre alla forma 1, ma la forma 2 si presta a più immediate dimostrazioni di i nteressanti proprietà

13

25/-Unità 8.1

-Duration

DEFINIZIONE 1:

La duration z*(i) = D(i) di un portafoglio che dà diritto alla rendita {{{{(as,ts)}}}}s=1,2,…,n è la media aritmetica ponderata degli istanti di esigibilità t s con pesi i valori attuali a s(1+i)-ts

z*(i) possiede la proprietà di immunizzazione , ossia la funzione valore W[z*(i),i] calcolata all’istante z*(i)subisce una variazione in corrispondenza ad uno choc ∆∆∆∆i sul tasso di interesse pari ad un infinitesimo di ordine superiore a ∆∆∆∆i.

26/-Unità 8.1

-Duration

DEFINIZIONE 2:

La duration z*(i) = D(i) di un portafoglio che dà diritto alla rendita {{{{(as,ts)}}}}s=1,2,…,n è la durata di immunizzazione del portafoglio, soddisfacente l’equazione nell’incognita z:

e vale:

( ) ( ) ( )[ ]0

,01, =∂

+∂=∂

∂i

iWi

i

izW z

( ) ( )( )

( ) 0,0

,0

1* =∂∂

+−=iW

i

iW

iiz

14

27/-Unità 8.1

-Duration

Calcolo della duration, esempio (continua)

Dati:

• t0 = 29/09/03 data di valutazione, assunta come origi ne dei tempi

• portafoglio: {{{{(1000,03/12/03),(1500,12/10/07)}}}}

t1 = 65/365 = 0.178 anni dal 29/09/03 al 03/12/03

t2 = 1474/365 = 4.038 anni dal 29/09/03 al 12/10/07

28/-Unità 8.1

-Duration

Calcolo della duration, esempio (segue)

( ) ( )

( )

( )( )

( )2.144445

0042

2974

1

1%10

29741.150010384.41.10001178.01

004278.020117.9831.150011.100011,0

1

1

0384.4178.0

1

0384.4178.0

1

==+

+=

=××+××=+

=+=×+×=+=

∑

∑

∑

∑

=

−

=

−

−−

=

−

−−

=

−

n

s

ts

n

s

tss

n

s

tss

n

s

ts

s

s

s

s

ia

iatD

iat

iaiW

19/11/05≅≅≅≅××××++++==== 36514445.203/09/29

Par.7.2

Data di immunizzazione = data di origine + D(10%) ××××365

15

29/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà analitiche della duration - Calcolo di D(0), esempio

Con riferimento all’esempio precedente calcoliamo l a durationin corrispondenza del tasso i=0

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) 49425.250010001

50010384.40001178.00

150010384.410001178.01

1500110001,0

0384.4178.0

1

0384.4178.0

========++++

××××++++××××====

++++××××××××++++++++××××××××====++++

++++××××++++++++××××====

−−−−−−−−

====

−−−−

−−−−−−−−

∑∑∑∑

tD

iiiat

iiiWn

s

tss

s

Data corrispondente a t = data di origine + t ××××365=

=29/09/03 + 2.49425 ××××365 ≅≅≅≅ 27/03/2006

30/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà analitiche della duration - Calcolo di D(0), formalizzazione

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))aritmetica media scadenza tt

a

at

ia

iatD

n

ss

n

sss

i

n

s

ts

n

s

tss

s

s

,1

10

1

1

01

1 ========++++

++++====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

========

−−−−

====

−−−−

16

31/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà analitiche della duration – Comportamento asintotico della duration, esempio

Con riferimento all’esempio precedente calcoliamo

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]

178.00001

0001178.0

1500100011

150010384.40001178.01lim

1500110001

150010384.410001178.0limlim

178.00384.4178.0

178.00384.4178.0

0384.4178.0

0384.4178.0

====××××

====++++××××++++++++

++++××××××××++++××××++++

====++++××××++++++++××××

++++××××××××++++++++××××××××====

++++−−−−−−−−

++++−−−−−−−−

∞∞∞∞→→→→

−−−−−−−−

−−−−−−−−

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

ii

ii

ii

iiiD

i

ii

Data corrispondente a t 1 = data di origine + 0.178 ××××365==29/09/03 + 0.178 ××××365 ≅≅≅≅ 3/12/2003

32/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà analitiche della duration - Comportamento asintotico della duration, formalizzazione

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

11

11

1

1lim

11

11lim

1

1limlim

ta

at

ia

iat

iai

iati

ia

iatiD

n

s

tts

n

s

ttss

i

n

s

tts

t

n

s

ttss

t

in

s

ts

n

s

tss

ii

s

s

s

s

s

s

==+

+

=++

++=

+

+=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

+−

=

+−

∞→

=

+−−

=

+−−

∞→

=

−

=

−

∞→∞→

17

33/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà analitiche della duration – Duration come funzione monotòna decrescente del tasso i (continua)

Viene fatta una dimostrazione euristica con un port afoglio con due soli flussi, al fine di snellire le notazioni v iene posto:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))ipip

ipttt

ipip

ipttipipt

ipip

iptttipt

ipip

iptipt

iaia

iatiatiD

tt

tt

21

2121

21

212211

21

212111

21

2211

21

2211

21

21

11

11

++++−−−−++++====

++++−−−−++++++++====

====++++

−−−−++++++++====

====++++++++====

++++++++++++++++++++++++==== −−−−−−−−

−−−−−−−−

(((( )))) (((( )))) 2,1,1 ========++++ −−−− sipia st

ss

34/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà analitiche della duration – Duration come funzione monotòna decrescente del tasso i (segue)

Supposto ∆∆∆∆i>0, si analizza:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )iipiip

iipttt

iipiip

iiptiiptiiD

∆++∆+∆+−+=

∆++∆+∆++∆+=∆+

21

2121

21

2211

Se i aumenta p 1 e p2 diminuiscono, la diminuzione di p 2 èperò maggiore in quanto p 2 contiene il fattore di attualizzazione con durata t 2>t1 , il quoziente

diminuisce e con esso anche D(i)

( )( ) ( )ipip

ip

21

2

+

Per una dimostrazione più rigorosa vedi le dispense

18

35/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà analitiche della duration – Duration come funzione monotòna decrescente del tasso i (segue)

Pochè la funzione D(i) è monotona decrescente, ne consegue che per i≥≥≥≥0 la duration è compresa fra la scadenza del primo flusso e la media aritmetica ponderata delle scadenze, che sono, rispettivamente estremo inferiore e massimo di tale funzione. In simboli: ( ) ( )01 ≥≤< itiDt

Par.7.3

36/-Unità 8.1

-Duration

Cambio della data origine per il calcolo della duration, esempio (continua)

Con riferimento all’esempio trattato in precedenza, anticipiamo di un anno la data di valutazione e di origine, portandola dal 29/09/03 al 29/09/02.

Il tasso i sia lo stesso e così pure il portafoglio, ossia: {{{{(1000,03/12/03),(1500,12/10/07)}}}}

Gli istanti di esigibilità dei flussi aumentano di uno:

t1 = 65/365 +1 = 1.178 anni dal 29/09/02 al 03/12/03

t2 = 1474/365 +1 = 5.038 anni dal 29/09/02 al 12/10/07

Quanto vale la duration D(i)?

19

37/-Unità 8.1

-Duration

Cambio della data origine per il calcolo della duration, esempio (segue)

La duration è aumentata esattamente di 1, ma la data di immunizzazione è rimasta la stessa

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))3.144445

========++++

++++====

====++++====

====××××××××++++××××××××====++++

====++++====××××++++××××====++++====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

−−−−

====

−−−−

−−−−−−−−

====

−−−−

−−−−−−−−

====

−−−−

77.182147.7285

1

1%10

47.728551.467596,1052

1.150010384.51.10001178.11

77.182198.92779.8931.150011.100011,0

1

1

0384.5178.1

1

0384.5178.1

1

n

s

ts

n

s

tss

n

s

tss

n

s

ts

s

s

s

s

ia

iatD

iat

iaiW

Data di immunizzazione: 29/09/02 + 3.144445 ××××365 ≅≅≅≅19/11/05

38/-Unità 8.1

-Duration

Cambio della data origine per il calcolo della duration, formalizzazione (continua)

In generale, posto:

F={(as,ts)}

F∆∆∆∆={(as,ts+∆∆∆∆)},

si ha:

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

∆∆∆∆++++−−−−

====

∆∆∆∆++++−−−−

====

∆∆∆∆++++−−−−

====

∆∆∆∆++++−−−−

====

∆∆∆∆++++−−−−

∆∆∆∆

++++

++++∆∆∆∆++++++++====

++++

++++∆∆∆∆++++====

n

s

ts

n

s

ts

n

s

tss

n

s

ts

n

s

tss

s

ss

s

s

ia

iaiat

ia

iatiz

1

11

1

1*

1

11

1

1

20

39/-Unità 8.1

-Duration

Cambio della data origine per il calcolo della duration, formalizzazione (segue)

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) ∆∆∆∆++++====

++++

++++∆∆∆∆++++

++++

++++====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

∆∆∆∆ izia

ia

ia

iatiz

n

s

ts

n

s

ts

n

s

ts

n

s

tss

s

s

s

s

*

1

1

1

1*

1

1

1

1

Si moltiplica numeratore e denominatore per (1+i) -∆∆∆∆ e si scompone la frazione in due addendi, ottenendo:

Par.7.4

40/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà di convexity, esempio (continua)

Con riferimento al solito esempio, valutiamo l’effetto di uno choc positivo pari all’1% ed uno choc negativo pari a -1% sul valore del portafoglio calcolato in D(10%)=2.144445. Ossia:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))776.2458116.1274661.1184

09.1500109.10001%9,144445.2

%9

77.2458987.1230782.1227

11.1500111.10001%11,144445.2

%11

395.2458268.1252127.1206

1.150011.10001%10,144445.2

%10

0384.4144445.2178.0144445.2

0384.4144445.2178.0144445.2

0384.4144445.2178.0144445.2

====++++========××××++++××××====

========++++====

====××××++++××××========

====++++========××××++++××××====

====

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

W

i

W

i

W

i

21

41/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà di convexity, esempio (segue)

Lo choc sui tassi ha prodotto, in entrambi i casi, un pur modesto incremento del valore del portafoglio.

Essendo l’infinitesimo principale nullo, tale incremento è un infinitesimo secondario

42/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà di convexity, formalizzazione (continua)

Sviluppo della funzione W[z*(i 0),i] in serie di Taylornell’intorno di i0, arrestata al termine di 2° ordine:

Poiché, per la proprietà della duration , la derivata prima ènulla, vale l’approssimazione:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )222

02

00000 00

,*

2

1,*,*,* ioi

i

iizWi

i

iizWiizWiiizW iiii ∆+∆

∂∂+∆

∂∂+=∆+ ==

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 22

02

0000 0

,*

2

1,*,* i

i

iizWiizWiiizW ii ∆

∂∂

+≈∆+ =

22

43/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà di convexity, formalizzazione (segue)

Per ∆∆∆∆i sufficientemente piccolo, la variazione della funzione W[z*(i 0),i] nell’intorno di i0 ha lo stesso segno della derivata seconda calcolata in i0 e perciò dimostrare la positività della variazione del valore W[z*(i 0),i] equivale a dimostrare il segno positivo della derivata seconda.

In altre parole, la funzione W[z*(i 0),i]presenta un punto di minimo relativo in i=i 0

44/-Unità 8.1

-Duration


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+−++−+=

=+−−−+=

=+−−−=∂

∂

=

=

−

=

−−

=

−−

=

−−

∑∑

∑

∑

444 3444 210

11

22*

1

2*

1

2*

2

2

1*1*1

11**1

11***,

n

s

tss

n

s

tss

z

n

s

tsss

z

n

s

tzsss

ss

s

s

iatziatzi

iatztzi

iatztzi

izW

Notazione utilizzata: z* = z*(i0)

23

45/-Unità 8.1

-Duration


A meno del fattore (1+i) z*-2, l’espressione a secondo membro è la somma ponderata dei quadrati degli scarti delle ts dalla media z*, con pesi positivi a s(1+i)-ts, positiva per n>1.

Si tratta quindi di un indicatore di dispersione co n però un difetto: se ad esempio moltiplicassimo tutti i flus si del portafoglio per 100 l’indicatore aumenterebbe, risu lta necessario quindi dividere la derivata seconda risp etto a i per W al fine di normalizzare tutti i pesi.

( ) ( ) ( ) ( )∑=

−− +−+=∂

∂ n

s

tss

z siaztii

izW

1

22*

2

2

1*1*,

46/-Unità 8.1

-Duration

Proprietà di convexity, rappresentazione grafica

W(z*,i)

2455,00

2460,002465,00

2470,002475,00

2480,00

2485,002490,00

2495,002500,00

2505,00

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00%

i

W

24

47/-Unità 8.1

-Duration

Zero Coupon Bond e Duration (continua)

Quanto vale la duration di uno zero-coupon bond?

Evidentemente la duration , essendo una media di scadenze ed essendoci una sola scadenza, coincide con l’unica scadenza disponibile, diciamo t1.

48/-Unità 8.1

-Duration

Zero Coupon Bond e Duration (segue)

Quanto vale la derivata seconda della funzioneW[z*(i 0),i] calcolata per i=i 0 per uno zero-coupon bond ?

Poiché l’unico flusso di cassa viene valutato in corrispondenza della sua scadenza, coincidente con la duration , la funzione W[z*(i 0),i] risulta indipendente dal tasso di interesse e quindi costante e, dunque, la derivata seconda è nulla, coerentemente con il fatto intuitivo che, con un solo flusso, la dispersione è nulla.

Par.7.4

25

49/-Unità 8.1

-Duration

Significato di volatilità

In ambito borsistico la volatilità di un titolo sta ad indicare la sensibilità del prezzo del titolo alle variazioni di tasso di mercato.

La volatilità rappresenta un moltiplicatore che trasforma una variazione di tasso nella corrispondente variazione relativa di prezzo.

La variazione relativa di prezzo rappresenta la perdita/guadagno percentuale realizzabile grazie alla variazione di tasso

Premessa

50/-Unità 8.1

-Duration

Volatilità, esempio (continua)

Esempio:

Siano dati due zero-coupon bond di durate, rispettivamente, 4 e 7 anni, aventi oggi entrambi u n rendimento del 10% annuo composto , calcolare le variazioni assolute ∆∆∆∆P e relative ∆∆∆∆P/P di prezzo dei due titoli, per unità di valor nominale, a fronte di una variazione di tasso di ±±±±1% (da 10% a 11% e da 10% a 9%.

26

51/-Unità 8.1

-Duration

Volatilità, esempio (segue)

ZCB 4 annii P(i) ∆P ∆P/P

10% 0,683013

11% 0,658731 -0,0242825 -3,5552%

9% 0,708425 0,0254118 3,7205%

7 annii P(i) ∆P ∆P/P

10% 0,513158

11% 0,481658 -0,0314997 -6,1384%

9% 0,547034 0,0338761 6,6015%

Il secondo ZCB risulta più volatile del primo.

52/-Unità 8.1

-Duration

DEFINIZIONE:

Indice di volatilità ηηηη(i): limite del rapporto fra la variazione relativa di prezzo e la variazione assol uta di tasso, in una parola semielasticità del prezzo rispetto al tasso. In formule, premettendo un segno meno affinchél’indice risulti positivo (come avviene nella definizione di elasticità) e ricordando che P(i) ≡≡≡≡ W0,i), si ha:

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )iWi

iW

iP

iP

i

iP

iP

ii ,0

,0'

lim0

∂∂

−≡−=∆

∆

−=→∆

η

27

53/-Unità 8.1

-Duration

Indice di volatilità (continua)

Ricordando che:

( ) ( )( )

( )iWi

iW

iiz,0

,0

1* ∂∂

+−=

( )( )

( )( ) ( )

i

iD

i

iz

iWi

iW

i+

=+

=∂∂

−=11

*

,0

,0

η

Durationmodificatasi ha

54/-Unità 8.1

-Duration

Indice di volatilità (segue)

Invertendo la definizione, si può esprimere la deri vata prima del prezzo rispetto al tasso in funzione del prezzo e della duration modificata :

E’ quindi possibile esprimere l’infinitesimo princip ale di una variazione di prezzo conseguente ad una variazi one di tasso nella forma seguente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )iWi

iDiWi

i

iW,0

1,0

,0

+−=−=

∂∂ η

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiPi

iziiPii

i

iWiPiiPiP ∆

+−=∆−=∆

∂∂≈−∆+=∆

1

*,0 η

28

55/-Unità 8.1

-Duration

Indice di volatilità e approssimazione del prezzo, esempi (continua)

Applichiamo la formula trovata ai due ZCB dell’ulti mo esempio in presenza di una variazione di tasso ∆∆∆∆i = 0.5%.

Si introducono le notazioni:

P∆∆∆∆(i) =P(i) -ηηηη(i)×××× P(i)×××× ∆∆∆∆ i

o(∆∆∆∆i) =P(i+∆∆∆∆i) - P∆∆∆∆(i)

o(∆∆∆∆i) rappresenta l’errore che si commette con l’approssimazione

56/-Unità 8.1

-Duration

Indice di volatilità e approssimazione del prezzo, esempi (segue)

ZCB 4 anni ηηηη(i)= 3,6364

i P(i) ∆∆∆∆P - ηηηη(i)*P(i)* ∆∆∆∆i P∆∆∆∆ (i) o(∆∆∆∆i)

10,0% 68,30135

10,5% 67,07349 -1,2278581 -1,241843 67,05950 0,01398

9,5% 69,55743 1,2560838 1,241843 69,54319 0,01424

29

57/-Unità 8.1

-Duration


ZCB 7 anni ηηηη(i)= 6,3636

i P(i) ∆∆∆∆P -ηηηη(i)*P(i)* ∆∆∆∆i P∆∆∆∆(i) o(∆∆∆∆i)

10,0% 51,31581

10,5% 49,71232 -1,6034893 -1,632776 49,68304 0,02929

9,5% 52,97868 1,6628721 1,632776 52,94859 0,03010

58/-Unità 8.1

-Duration


30

59/-Unità 8.1

-Duration


Confronto prezzi ed approssimazione lineare di uno ZCB

58,0000

63,0000

68,0000

73,0000

78,0000

83,0000

88,0000

4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0%

i

Par.7.5

60/-Unità 8.1

-Duration

Immunizzazione di un portafoglio mediante l’allineamento della duration all’orizzonte temporal e.

Dato un orizzonte di pianificazione, una durata in corrispondenza della quale vogliamo che il portafoglio di più attività finanziarie negoziabili sul mercato in quantità continue sia immunizzato rispetto al rischio di tasso, quale composizione di portafoglio permette di realizzare l’obiettivo sopra descritto, effettuando acquisti e vendite di attività senza alterare il valore complessivo del portafoglio?

Descrizione del problema

31

61/-Unità 8.1

-Duration

Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (continua)

Un portafoglio del valore di € 1 000 000 viene investito in due ZCB di durate residue (e duration) 2 e 5 anni in percentuali 40% e 60%.

La struttura dei tassi di interesse sia piatta a tasso i = 8%.

62/-Unità 8.1

-Duration

Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (segue)

Calcoliamo i valori in portafoglio V 1 e V2 investiti nei due titoli ed i corrispondenti valori nominali N 1 e N2:

V1 = 40%€ 1 000 000 = € 400 000

V2 = 60%€ 1 000 000 = € 600 000

N1 = V1(1+8%)2 = € 400 000××××1.1664 = € 466 560

N2 = V2(1+8%)5 = € 600 000××××1.4693 = € 881 597

32

63/-Unità 8.1

-Duration


Graficamente…

-1.000.000

-800.000-600.000

-400.000

-200.000

-

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

€

0 1 2 3 4 5

Portafoglio (40% , 60%), tasso i = 8%

64/-Unità 8.1

-Duration


La duration del portafoglio si può calcolare facendo riferimento ai flussi di cassa {{{{(€ 466 560,2),( € 881 597,5)}}}} della rendita generata dal portafoglio:

Poiché 466 560 = 400 000 ××××1.082 e 881 597 = 600 000××××1.085 , si ha, 466 560××××1.08-= 400 000 e 881 597××××1.08-5 = 600 000, che porta a semplificare il calcolo della duration in modo banale:

( )52

52

08.159788108.1560466

08.1597881508.15604662%8 −−

−−

×+×××+××=D

( ) 80.3%605%402000600000400

00060050004002%8 =×+×=

+×+×=D

33

65/-Unità 8.1

-Duration


Alcuni dati sono risultati superflui ed altrettanto alcuni calcoli:

• il tasso di interesse della struttura dei tassi piatta è irrilevante

• è stato inutile calcolare i valori nominali

• è stato inutile calcolare i i valori monetari in portafoglio

La formula contiene solo le durate dei due ZCB e le percentuali di tali titoli presenti in portafoglio, ma facciamo notare tuttavia che questo è vero perché il tasso di mercato al quale si scontano i flussi è lo stesso che era in vigore al momento dell’acquisto degli ZCB.

66/-Unità 8.1

-Duration


Se intervenisse una variazione del tasso di mercato e volessimo ricalcolare la duration del portafoglio in base al nuovo tasso, diventato, poniamo, 9%, essa varrebbe:

(((( ))))

3.7859,335%40,665% ====××××++++××××====++++

++++++++

====

====++++

××××++++××××====××××++++××××

××××××××++++××××××××==== −−−−−−−−

−−−−−−−−

52977572694392

9775725

977572694392694392

2

97757269439297757256943922

09.159788109.156046609.1597881509.15604662

%952

52

D

34

67/-Unità 8.1

-Duration


Riscontriamo che:

- il valore del portafoglio è diminuito, ma in modo non omogeneo, essendo diminuito di più lo ZCB di più lunga durata, più volatile, nel senso appena definito;

- la composizione percentuale del portafoglio è variata, anche se non si sono effettuate operazioni di acquisto o di vendita;

- la duration del portafoglio è diminuita, coerentemente col fatto che la duration è funzione decrescente del tasso.

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